Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca
Unidade Descentralizada de Nova Iguaçu
Departamento de Ensino Superior
Departamento de Engenharia Industrial de Controle e Automação
Curso de Graduação em Engenharia Mecânica / Controle e Automação
RELATÓRIO 1 – CONVOLUÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES CONTÍNUAS
Disciplina: Eletrônica I (GELE0631)
Prof.: Rene Cruz Freire
Turma: A1
Aluno(a): Lara Heloisi Pereira Alves
NOVA IGUAÇU
2022/2
SUMÁRIO
1.
32
2. 32
3. 43
4. 54
5. 1010
1. Introdução
Um Sistema é Linear se atende ao Princípio da Superposição. Sendo assim um
sistema com entrada x1(t) associada à saída y1(t), e entrada x2(t) associada à saída
y2(t), e assim por diante até a n-ésima entrada xN(t) associada à n-ésima saída
yN(t). E esse Sistema Linear será Invariante no Tempo se um retardo, ou avanço,
de tempo do sinal de entrada resultar em um deslocamento de tempo idêntico ao
sinal de saída. Conhecido como SLIT
A resposta impulsional h[k] demonstrada será a saída quando a entrada é um
impulso unitário aplicado na origem
A convolução nada mais é, portanto, que a operação matemática necessária para
se calcular a resposta de um SLIT a uma entrada qualquer. Para isso, é necessário
conhecer a resposta impulsional h[k] do SLIT.
2. Objetivo
Após este trabalho, o estudante será capaz de realizar uma implementação
computacional da operação de convolução gráfica entre dois sinais contínuos.
3. Desenvolvimento
Os gráficos a seguir nos foram propostos para implementação no MATLAB e
convolução com o intuito de descobrir qual é a resposta desse sistema à entrada.
𝒙(𝒕) = [µ(𝒕 − 𝟏) − µ(𝒕 − 𝟑) ∗ (𝒕 − 𝟏)] e 𝒚(𝒕) = [µ(𝒕) − µ(𝒕 − 𝟏)]
y(t)
x(t)
Nessa primeira etapa foi colocado tudo em função de τ e selecionada uma função
que se mantivesse fixa para ser espelhada em torno de τ=0, no caso apresentado
a melhor opção foi o gráfico de x (t). Já o gráfico y(t) foi selecionado para ser
deslocado em 𝑦 = (𝑡 − 𝜏) .
Nessa próxima etapa foi realizado um estudo para identificar os intervalos de
integração correspondentes que y(t) teria antes, durante e após a convolução . A
área abaixo a curva do produto entre as duas funções é o valor da convolução.
Com as equações no formato adequado podemos escrever a integral da
convolução sendo:
∞
z = ∫−∞ 𝑥(𝜏)𝑦(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
4. Resultados
x(t) e y(t) implementados em função de τ
y(τ) espelhado em função de τ = 0
Ponto t identificado no gráfico que foi espelhado
A função espelhada (y (t), no nosso caso) irá se deslocar e percorrer toda a função x(t)
ao longo dos intervalos
Para 𝑡 < 1 a integral de convolução entre as funções será zero pois não tem interseção
entre as áreas
+∞
𝑧(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏)𝑦(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = 0
−∞
Nesse caso, começamos a notar a interseção entre as funções. Nessa etapa veremos que
a integral de convolução é válida para 1 ≤ 𝑡 ≤ 2
𝑡
𝑡2
3
𝑧(𝑡) = ∫ 1 ∗ ((𝑡 − 𝜏) − 1)𝑑𝜏 =
− 2𝑡 +
2
2
1
Nessa etapa veremos que a integral de convolução é válida 2 ≤ 𝑡 ≤ 3
𝑡−1
𝑡 2 −𝑡 2 + 1
𝑧(𝑡) = ∫ 1 ∗ ((𝑡 − 𝜏) − 1)𝑑𝜏 =
+
2
2
𝑡
Nessa etapa veremos que a integral de convolução é válida para 3 ≤ 𝑡 ≤ 4
𝑡−1
𝑡 2 − 8𝑡 + 16
𝑧(𝑡) = ∫ 1 ∗ ((𝑡 − 𝜏) − 1)𝑑𝜏 =
2
3
Para 𝑡 > 4 a integral de convolução entre as funções será zero pois não tem interseção
entre as áreas
+∞
𝑧(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏)𝑦(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = 0
−∞
Podemos então dizer que a convolução destas duas funções pode ser descrita como
0 ,𝑡 < 1 𝑒 𝑡 > 4
𝑡2
z(t) = x(t) * y(t)
3
− 2𝑡 + 2 ,1 ≤ 𝑡 ≤ 2
2
= 𝑡2 −𝑡2+1
+ 2 ,2 ≤ 𝑡 ≤ 3
2
𝑡2 −8𝑡+16
,3 ≤ 𝑡 ≤ 4
{
2
5. Conclusão