Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
T6. Funções holomorfas
Matemáticas III
Manuel Andrade Valinho
manuel.andrade@usc.gal
Área de Astronomia e Astrofísica
Departamento de Matemática Aplicada
Escola Politécnica Superior de Engenharia
Campus Terra (Lugo)
Manuel Andrade Valinho
Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
Matemáticas III – Tema 6
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Índice
Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
Apartados
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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Introdução
Definição 6.1.1 (função de uma variável complexa)
Seja S um conjunto de números complexos. Uma função
complexa f definida em S é uma regra que associa a cada z de S
um número complexo w .
Dizemos que w é o valor ou a imagem de f em z, ou seja,
w = f (z) = u (x, y ) + i v (x, y ) ,
onde u e v (que são funções reais) constituem as partes real e imaginária de w .
O conjunto S é denominado o domínio de definição de f e a
imagem de todo o domínio de definição de S é a imagem de f .
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Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
Mapeamento complexo
Ainda que não é possível representar a gráfica de uma função complexa w = f (z), podemos interpretá-la como uma aplicação ou
transformação do plano z no plano w .
plano z
z
plano w
w=f(z)
domínio de f
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w
imagem de f
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Mapeamento complexo
Exercício 6.1.2 (mapeamento complexo)
Acha a imagem da linha Re (z) = 1 sob o mapeamento f (z) = z 2 .
Resolução
Para a função f (z) = z 2 temos
f (z) = z 2 = (x + iy )(x + iy ) = (x 2 − y 2 ) + 2xyi.
Isto é, u = x 2 − y 2 e v = 2xy . Por outra parte, considerando
Re (z) = x e substituindo x = 1 em u e v , obtemos
�
u(x, y ) = 1 − y 2 ,
v (x, y ) = 2y ,
que são as equações paramétricas da curva no plano w .
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�
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Algumas funções elementares
Mapeamento complexo
Substituindo y =
v
na primeira equação elimina-se y e obtemos
2
v2
u =1− ,
4
de maneira que a imagem da reta é uma parábola.
v
3
y
3
plano w
plano z
2
2
x=1
1
-3
-2
-1
1
2
u = 1-
1
3
x
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
v2
4
2
3
u
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Mapeamento complexo
Definição 6.1.3 (curva paramétrica no plano complexo)
Se x(t) e y (t) são as funções de valores reais de uma variável real
t, então o conjunto C formado por todos os pontos
z(t) = x(t) + iy (t), a ≤ t ≤ b, chama-se curva paramétrica
complexa.
A função de valores complexos de variável real t,
z(t) = x(t) + iy (t), chama-se parametrização de C .
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Algumas funções elementares
Funções complexas como campos vetoriais
Função complexa w = f (z) −→ fluxo bidimensional (w representa
a velocidade e a direção do fluxo em z)
Seja z(t) = x(t) + iy (t) uma parametrização do caminho de uma
partícula no fluxo e z � = x � (t) + iy � (t) o vetor tangente
⇒ z � (t) = x � (t) + iy � (t)=f (z(t)) = f (x(t) + iy (t)).
Posto que f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ), o caminho da partícula verifica

dx


= u(x, y ),

dt

dy


= v (x, y ),
dt
cuja família de soluções são as linhas de corrente do fluxo planar
associado a f (z).
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Funções complexas como campos vetoriais
Exercício 6.1.4 (linhas de corrente)
Acha as linhas de corrente do fluxo associado a f (z) = z 2 .
Resolução
Temos
f (z) = z 2 = (x + iy )2 = x 2 − y 2 + i 2xy ⇒
�
u(x, y ) = x 2 − y 2 ,
v (x, y ) = 2xy .
As linhas de corrente do fluxo associado a f (z) devem satisfazer

dx


= x 2 − y 2,

dt

dy


= 2xy .
dt
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�
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Funções complexas como campos vetoriais
Chegamos à equação diferencial
dy
2xy
⇒ x2 + y2 = c y,
= 2
2
dx
x −y
cuja solução representa uma
família de circunferências com
centro no eixo y que passam pelo
zero.
1.0
y
0.5
0.0
- 0.5
- 1.0
- 1.0
- 0.5
0.0
0.5
1.0
x
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Algumas funções elementares
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Apartados
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Algumas funções elementares
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Limites e continuidade
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Algumas funções elementares
Limite
Definição 6.2.1 (limite de uma função)
Suponhamos que f seja um função definida em todos os pontos z
de alguma vizinhança perfurada de um ponto z0 . Diremos que f (z)
tem um limite em z0 , isto é,
lim f (z) = w0 ,
z→z0
se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que |f (z) − w0 | < ε sempre
que 0 < |z − z0 | < δ.
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Limites e continuidade
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Algumas funções elementares
�
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Limite
Significado geométrico do limite complexo
v
w0
ε
u
plano w
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
Teoremas de limites
Teorema 6.2.2 (unicidade)
Se um limite de uma função f (z) existir num ponto z 0 , ele é único.
Teorema 6.2.3 (partes real e imaginária de um limite)
Suponhamos que
z = x + iy ,
f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ),
z0 = x0 + iy0 ,
w0 = u0 + iv0 .
Então
lim(x,y )→(x0 ,y0 ) u(x, y ) = u0
lim(x,y )→(x0 ,y0 ) v (x, y ) = v0
�
⇔ lim f (z) = w0 .
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Algumas funções elementares
z→z0
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Teoremas de limites
Teorema 6.2.4 (limites da soma, do produto e do quociente)
Suponhamos que
lim f (z) = w1 ,
z→z0
lim g (z) = w2 .
z→z0
Então
• limz→z0 [f (z) ± g (z)] = w1 ± w2 ,
• limz→z0 f (z)g (z) = w1 w2 ,
• limz→z0
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f (z)
w1
,
=
g (z)
w2
w2 �= 0.
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Limites e continuidade
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Algumas funções elementares
Continuidade
Definição 6.2.5 (continuidade num ponto)
A função f é contínua num ponto z0 se
lim f (z) = f (z0 ).
z→z0
Teorema 6.2.6 (continuidade das partes real e imaginária)
Seja a função complexa f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ) e z0 = x0 + iy0 ,
então f é contínua no ponto z0 se, e somente, se ambas funções
reais u e v são contínuas no ponto z0 .
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Algumas funções elementares
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Continuidade
Teorema 6.2.7 (continuidade de funções polinomiais)
Um polinómio de grau n
f (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 ,
an �= 0, n ∈ Z+ ,
com ai ∈ C, i = 0, 1, . . . , n, é contínuo em todo o plano z.
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
Continuidade
Teorema 6.2.8 (função limitada)
Se uma função f for contínua em toda uma região R que é fechada
e também limitada, então existirá um número real não negativo M
tal que
|f (z)| ≤ M
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Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
∀z ∈ R.
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Algumas funções elementares
Diferenciabilidade
Definição 6.3.1 (derivada)
Seja f uma função definida numa vizinhança de um ponto z 0 . A
derivada de f em z0 é o limite
f � (z0 ) = lim
z→z0
ou
f (z) − f (z0 )
,
z − z0
f (z0 + Δz) − f (z0 )
,
Δz→0
Δz
f � (z0 ) = lim
Δz = z − z0 .
e, se existir, diremos que a função f é complexa diferenciável
(C–diferenciável) em z0 .
�
�
dw
�
Notação
w = f (z), f � (z0 ) =
dz �
z=z0
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Algumas funções elementares
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Diferenciabilidade
Regras de derivação
d
d
c = 0,
cf (z) = cf � (z),
dz
dz
d
soma
[f (z) ± g (z)] = f � (z) ± g � (z),
dz
d
produto
[f (z)g (z)] = f (z)g � (z) + g (z)f � (z),
dz �
�
d f (z)
g (z)f � (z) − f (z)g � (z)
=
quociente
,
dz g (z)
[g (z)]2
d n
potência
z = nz n−1 , n ∈ Z,
dz
d
regra da cadeia
f (g (z)) = f � (g (z))g � (z).
dz
constante
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Algumas funções elementares
Diferenciabilidade
Exemplo
z2
Derivar f (z) =
.
4z + 1
(4z + 1) · 2z − z 2 · 4
4z 2 + 2z
=
.
f (z) =
(4z + 1)2
(4z + 1)2
�
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Diferenciabilidade
Definição 6.3.2 (função holomorfa)
Seja f : Ω −→ C, Ω ⊂ C aberto, uma função complexa. Dizemos
que f é holomorfa em z0 ∈ Ω se é diferenciável numa vizinhança
de z0 .
Dizemos que f é holomorfa em Ω se é holomorfa em todos os
pontos de Ω (escreve-se f ∈ H(Ω)).
Em geral, um ponto z em que uma função f não é holomorfa
chama-se ponto singular ou singularidade.
Nota É frequente o uso do termo analítica como sinónimo de holomorfa, apesar de que o primeiro se refere a uma função igual à
sua série de Taylor num disco aberto. Porém, em análise complexa
prova-se que as funções holomorfas também são analíticas.
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Limites e continuidade
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Algumas funções elementares
Diferenciabilidade
Definição 6.3.3 (função inteira)
Dizemos que uma função f é inteira se é holomorfa em todo ponto
z do plano complexo, isto é, se f ∈ H(C).
Teorema 6.3.4 (funções polinomiais e racionais)
i) Uma função polinomial complexa
p(z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 , n ∈ Z+ ,
é uma função inteira.
p(z)
, onde p e q são
ii) Uma função racional complexa f (z) =
q(z)
funções polinomiais, é holomorfa num domínio D que não
contém nenhum ponto z0 para o qual q(z0 ) = 0.
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Algumas funções elementares
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Diferenciabilidade
Teorema 6.3.5 (diferenciabilidade ⇒ continuidade)
Se f é derivável num ponto z0 , então f é contínua em z0 .
Teorema 6.3.6 (infinitamente diferenciável)
Seja f : Ω −→ C, Ω ⊂ C aberto, uma função holomorfa, então f
é infinitamente diferenciável.
Teorema 6.3.7 (regra de L’Hôpital)
Suponhamos que f e g são funções holomorfas num ponto z 0 e
f (z0 )=0, g (z0 )=0, mas g � (z0 ) �= 0. Então
f (z)
f � (z0 )
= �
.
lim
z→z0 g (z)
g (z0 )
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
Equações de Chauchy-Riemann
Teorema 6.3.8 (equações de Cauchy–Riemann)
Suponhamos que f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ) e que exista f � (z) num
ponto z0 = x0 + iy0 . Então, as derivadas parciais de primeira ordem
de u e v existem em (x0 , y0 ) e satisfazem nesse ponto as equações
de Cauchy–Riemann

∂u



∂x
∂u



∂y
∂v
,
∂y
∂v
= − .
∂x
=
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Algumas funções elementares
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(1)
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Equações de Chauchy-Riemann
Demonstração.
Posto que f � (z) existe
f (z + Δz) − f (z)
.
Δz→0
Δz
f � (z) = lim
Tomando f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ) e Δz = Δx + iΔy
transforma-se em
u(x + Δx, y + Δy ) + iv (x + Δx, y + Δy )
...
Δz→0
Δx + iΔy
−u(x, y ) − iv (x, y )
...
f � (z) = lim
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�
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
Equações de Chauchy-Riemann
Δz pode aproximar-se a zero desde qualquer direção. Tomemos a
direção horizontal, então Δz = Δx e
u(x + Δx, y ) − u(x, y )
Δx→0
Δx
v (x + Δx, y ) − v (x, y )
+ i lim
Δx→0
Δx
∂u
∂v
⇔ f � (z) =
+i .
∂x
∂x
f � (z) = lim
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Algumas funções elementares
(2)
�
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Equações de Chauchy-Riemann
Fazendo o mesmo, mas tomando Δz → 0 verticalmente, então
Δz = iΔy , temos que
u(x, y + Δy ) − u(x, y )
Δy →0
iΔy
v (x, y + Δy ) − v (x, y )
+ i lim
Δy →0
iΔy
∂u ∂v
⇔ f � (z) = −i
+
.
∂y
∂y
f � (z) = lim
(3)
Igualando as partes real e imaginária de (2) e (3) obtemos as
equações de Cauchy–Riemann.
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Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
Equações de Chauchy-Riemann
Exercício 6.3.9 (função não holomorfa)
Demonstra que a função f (z) = 2x 2 + y + i(y 2 − x) não é
holomorfa em nenhum ponto.
Resolução
Identificamos u(x, y ) = 2x 2 + y e v (x, y ) = y 2 − x.
Calculamos as derivadas parciais

∂u



 ∂x = 4x ,
∂u



 ∂y = 1 ,
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Limites e continuidade
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Algumas funções elementares
∂v
∂y
∂v
∂x
=
2y ,
= −1.
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�
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Equações de Chauchy-Riemann
Vejamos se se satisfazem as equações de Cauchy–Riemann

∂v
∂u


=
⇔ 4x = 2y
⇔ y = 2x,

∂x
∂y
∂u
∂v



=−
⇔ 1 = −(−1) ⇔ 1 = 1.
∂y
∂x
Porém, para qualquer ponto na reta y = 2x não existe nenhuma
vizinhança de z na qual f seja derivável ⇒ f não é holomorfa em
nenhum ponto.
Manuel Andrade Valinho
Matemáticas III – Tema 6
32 / 88
Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
Equações de Chauchy-Riemann
As equações de Cauchy–Riemann são uma condição necessária, mas
não suficiente, para garantir que uma função seja holomorfa.
Teorema 6.3.10 (teorema de Looman–Menchoff, 1923–1936)
Seja f = u(x, y ) + iv (x, y ) uma função contínua no disco aberto
Ω ⊂ C. Suponhamos que as derivadas parciais de primeira ordem
de u(x, y ) e v (x, y ) existem em cada ponto de Ω. Então
f ∈ H(Ω) ⇔ u, v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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Equações de Chauchy-Riemann
Exercício 6.3.11 (função holomorfa)
Será f (z) =
x
y
−
i
holomorfa em algum domínio?
x2 + y2
x2 + y2
Resolução
A função f é contínua exceto no ponto onde x 2 + y 2 = 0, isto é,
y
x
em z = 0. Identificamos u(x, y ) = x 2 +y
2 e v (x, y ) = − x 2 +y 2 .
Comprovamos que se satisfazem as equações de Cauchy–Riemann

∂u
∂v
y2 − x2



=
=
,
 ∂x
(x 2 + y 2 )2
∂y
∂u
2xy
∂v


=
−
=
−
,

 ∂y
(x 2 + y 2 )
∂x
exceto em z = 0 ⇒ f (z) é holomorfa em C \ {0}.
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Matemáticas III – Tema 6
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Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
Equações de Chauchy-Riemann
f holomorfa ⇒ f diferenciável
✟ f diferenciável
⇐
f holomorfa ✟
Teorema 6.3.12 (critério de diferenciabilidade)
Suponhamos que as funções reais u(x, y ) e v (x, y ) são contínuas,
que têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas numa
vizinhança de z e que satisfazem as equações de Cauchy–Riemann
(1) em z.
Então, a função complexa f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ) é diferenciável
em z e a sua derivada é
f � (z) =
∂u
∂v
∂v
∂u
+i
=
−i .
∂x
∂x
∂y
∂y
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Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
(4)
Matemáticas III – Tema 6
35 / 88
Equações de Chauchy-Riemann
Exercício 6.3.13 (derivada de uma função complexa)
Calcula a derivada, se existir, da função f (z) = 2x 2 + y + i(y 2 − x).
Resolução
Num exemplo anterior provamos que f não era holomorfa em
nenhum ponto, mas que satisfazia as equações de Cauchy–Riemann
na reta y = 2x.
Posto que as funções
�
u(x, y ) = 2x 2 + y , ux = 4x, uy = 1
v (x, y ) = y 2 − x, vx = −1, vy = 2y ,
são contínuas em cada ponto, deduzimos que f é derivável na reta
y = 2x. Utilizamos (4) para calcular a derivada
Manuel Andrade Valinho
f � (z) = 4x − i = 2y − i.
Matemáticas III – Tema 6
36 / 88
Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
Equações de Chauchy-Riemann
Definição 6.3.14 (funções harmónicas)
Dizemos que uma função real φ(x, y ) é harmónica num domínio Ω
se tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e satisfaz a
equação de Laplace
∂ 2 φ(x, y ) ∂ 2 φ(x, y )
+
=0
∂x 2
∂y 2
ou
∇2 φ = 0 (sendo ∇ o operador laplaciano)
Teorema 6.3.15 (fonte de funções harmónicas)
Se uma função f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ) é holomorfa num domínio
Ω, então as suas funções componentes u e v são harmónicas em Ω.
Manuel Andrade Valinho
Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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Apartados
Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
A função exponencial
Cálculo de uma variável real
f (x) = e x ,
f � (x) = e x ,
f (x1 + x2 ) = f (x1 )f (x2 ).
x
e =
∞
�
xn
n=0
n!
(em série de McLaurin)
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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�
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A função exponencial
Tomando x = iy obtemos a fórmula de Euler
e
iy
∞
�
(iy )n
(iy )2 (iy )3 (iy )4
=
= 1 + iy +
+
+
+ ...
n!
2!
3!
4!
n=0
�
�
�
�
y3 y5 y7
y2 y4 y6
+
−
+ ... + i y −
+
−
+ ...
= 1−
2!
4!
6!
3!
5!
7!
= cos y + i sen y .
Definição 6.4.1 (exponencial complexa)
e z = e x+iy = e x (cos y + i sen y )
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
A função exponencial
Exercício 6.4.2 (exponencial)
Avalia e 2+3i .
Resolução
Identificando x = 2 e y = 3 chegamos a
e z = e 2+3i = e 2 (cos 3 + i sen 3) = −7.3151 + 1.0427i.
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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A função exponencial
Teorema 6.4.3 (diferenciabilidade da exponencial)
A função exponencial e z é inteira e a sua derivada é
d z
e = ez .
dz
Teorema 6.4.4 (propriedades algébricas)
Dados z1 , z2 ∈ C temos que
e z1 e z2 = e z1 +z2 ,
e z1
= e z1 −z2 ,
z
e 2
(e z1 )n = e nz1 , n = 0, ±1, ±2, . . . .
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Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
A função exponencial
Definição 6.4.5 (periodicidade)
Dizemos que uma função complexa f é periódica com período T
se f (z + T ) = f (z) para todo z ∈ C.
Teorema 6.4.6
A função exponencial complexa e z é periódica com um período
imaginário puro 2πi.
Demonstração.
e z+2πi = e z e 2πi = e z (cos 2π + i sen 2π) = e z .
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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A função exponencial
O plano complexo divide-se em infinitas faixas horizontais.
Aquela definida por −∞ < x < ∞
e −π < y ≤ −π chama-se a região fundamental da função exponencial complexa.
Fluxo sobre a região fundamental
6
4
y
2
Região
0
fundamental
-2
-4
-6
- 10
-5
0
5
10
x
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
A função logaritmo
O logaritmo de um número complexo z = x + iy , z �= 0, define-se
como a inversa da exponencial, isto é,
w = ln z ⇔ z = e w ,
onde w = u + iv .
Partes real e imaginária
z = re iθ = e w = e u e iv ⇒
�
r = eu,
⇒
θ = v,
�
u = ln r ,
v = θ,
onde se θ é um argumento de z, também o é θ + 2nπ com n =
0, ±1, ±2, . . ..
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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A função logaritmo
Definição 6.4.7 (logaritmo)
ln z = ln |z| + i arg z,
sendo z �= 0, arg z = θ + 2nπ.
O valor principal de ln z corresponde ao logaritmo complexo com
n = 0 e θ = Arg z (isto é, −π < θ ≤ π)
Ln z = ln |z| + iθ.
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
A função logaritmo
Exercício 6.4.8 (valores complexos do logaritmo)
Acha os valores de a) ln(−1), b) ln i, e c) ln(−1 − i).
Resolução
a)
ln (−1) = ln 1 + i(π + 2nπ) = iπ(1 + 2n), (n = 0, ±1, ±2, . . .),
Ln (−1) = iπ.
b)
�π
�
π
+ 2nπ , (n = 0, ±1, ±2, . . .),
ln i = ln |i| + i( + 2nπ) = i
2
2
π
Ln i = i .
2
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Algumas funções elementares
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�
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A função logaritmo
c)
�
5π
+ 2nπ
ln (−1 − i) = ln | − 1 − i| + i
4
�
�
√
5π
+ 2nπ , (n = 0, ±1, ±2, . . .),
= ln 2 + i
4
√
3π
Ln (−1 − i) = ln 2 −
i.
4
Manuel Andrade Valinho
�
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Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
A função logaritmo
Exercício 6.4.9 (resolução de uma equação exponencial)
Acha todos os valores de z que satisfazem e z = 1 +
√
3i.
Resolução
√ �
e = 1 + 3i ⇔ z = ln 1 + 3i

√
 r = |1 + 3i| = 2,
√
⇒
√ �
�
 arg 1 + 3i ⇒ tg θ = 3 ⇒= π ,
1
3
�π
�
z = ln 2 + i
+ 2nπ .
3
z
√
�
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Limites e continuidade
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Algumas funções elementares
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A função logaritmo
O logaritmo complexo,
ln z = ln |z| + i(θ + 2nπ),
(n = 0, ±1, ±2, . . .),
é uma função multivalente, quer dizer, uma coleção infinita de
funções logaritmo.
Definição 6.4.10 (ramo)
Um ramo de uma função multivalente f é qualquer função bem
definida (ou seja, univalente) F que seja holomorfa em algum
domínio e tal que, em cada ponto z desse domínio, F (z) é um dos
valores de f (z). F (z) chama-se ramo principal da função
multivalente f .
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
A função logaritmo
Definição 6.4.11 (corte e ponto de ramificação)
Um corte é uma parte de uma reta ou curva que é introduzida para
definir um ramo F de uma função multivalente f . Os pontos de um
corte para F são singularidades de F , e qualquer ponto em comum
de todos os cortes de f é denominado um ponto de ramificação
de f .
Partes real e imaginária da função logaritmo
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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A função logaritmo
Representação da parte imaginária
do logaritmo complexo com vários
dos ramos. A medida que o número complexo z gira em redor da
origem, a parte imaginária sobe ou
baixa.
Superfície de Riemann
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
A função logaritmo
w = Ln z como um fluxo
A função F (z) = Ln z é o ramo
principal da função f (z) = ln z.
2
-∞
y
O corte do ramo principal do logaritmo consiste no zero e na parte
negativa do eixo real. De facto,
a origem é um ponto de ramificação de todos os ramos da função
multivalente logaritmo.
4
corte
0
-2
ponto de ramificação
-4
-4
-2
0
2
4
x
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Limites e continuidade
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Algumas funções elementares
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A função logaritmo
Teorema 6.4.12 (diferenciabilidade do logaritmo)
A função logaritmo Ln z é holomorfa em C \ (−∞, 0] e tem como
derivada
d
1
Ln z = .
dz
z
Teorema 6.4.13 (propriedades algébricas)
Dados z1 , z2 ∈ C temos que
ln (z1 z2 ) = ln z1 + ln z2 ,
� �
z1
= ln z1 − ln z2 ,
ln
z2
ln z1n = n ln z1 .
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Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
A função logaritmo
Exemplo
Consideremos z1 = 1 e z2 = −1. Tomando logaritmos (para o caso
n = 0) temos Ln z1 = 2πi e Ln z2 = πi. Portanto


 Ln (z1 z2 ) = Ln (−1) = Ln z1 + Ln z2 = 2πi + πi = 3πi,
� �
z

 Ln 1
= Ln (−1) = Ln z1 − Ln z2 = 2πi − πi = πi.
z2
A propriedades algébricas dos logaritmos não se verificam, em geral,
quando substituímos ln z por Ln z.
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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A função logaritmo
Exemplo
A identidade Ln (1 + i)2 = 2 Ln (1 + i) é válida, posto que

π
2

= Ln (2i)
= ln 2 + i,
 Ln (1 + i)
2
�
� √
π

 2 Ln (1 + i) = 2 ln 2 + π i
= ln 2 + i.
4
2
Porém, temos que Ln (−1 + i)2 �= 2 Ln (−1 + i), posto que

π
2

=
Ln
(−2i
)
=
ln
2
−
Ln
(−1
+
i)
i,


2
�
�
√
3π
3π


i
= ln 2 +
i.
 2 Ln (−1 + i) = 2 ln 2 +
4
2
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Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
A função potência
Definição 6.4.14 (função potência)
Se α é um número complexo e z �= 0, então a potência complexa
z α define-se como
z α = e α ln z .
Em geral, z α é multivalente, posto que ln z também o é. Porém, no
caso em que α = n, n = 0, ±1, ±2, . . ., z α será univalente.
O valor principal de z α obtém-se utilizando o valor principal do
logaritmo, isto é,
z α = e α Ln z .
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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A função potência
Exemplo
Considera a função potência i i = e i ln i .
Posto que
ln i = ln 1 + i
�π
2
+ 2nπ =
�
�
1
+2n
2
�
�
1
+ 2n πi,
2
(n = 0, ±1, ±2, . . .),
Podemos escrever
i
i =e
i
�
1
+2n
2
πi
=e
−
�
�
π
,
(n = 0, ±1, ±2, . . .),
π
cujo valor principal é i i = e 2 .
−
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Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
A função potência
Teorema 6.4.15 (diferenciabilidade da função potência)
O valor principal de z α = e α Ln z tem como derivada
d α
z = αz α−1 ,
dz
(|z| > 0, −π < arg z < π).
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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As funções trigonométricas e hiperbólicas
Cálculo de uma variável real
Da fórmula de Euler
�
e ix
e −ix


 sen x
e ix − e −ix
,
=
2i
e ix + e −ix
=
.
2
= cos x + i sen x
⇒
= cos x − i sen x

 cos x
Definição 6.4.16 (funções seno e cosseno)




 sen z
Manuel Andrade Valinho



 cos z
e iz − e −iz
,
=
2i
=
e iz
+
2
e −iz
(5)
.
Matemáticas III – Tema 6
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Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
As funções trigonométricas e hiperbólicas
Definição 6.4.17 (outras funções trigonométricas)


tg z










cotg z





sec z









 cossec z
Manuel Andrade Valinho
Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
sen z
,
cos z
cos z
,
=
sen z
=
=
1
,
cos z
=
1
.
sen z
Matemáticas III – Tema 6
61 / 88
As funções trigonométricas e hiperbólicas
Teorema 6.4.18 (diferenciabilidade das funções seno e cosseno)
As funções seno e cosseno são inteiras e as suas derivadas são

d


 dz sen z = cos z,


 d cos z = − sen z.
dz
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Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
As funções trigonométricas e hiperbólicas
Teorema 6.4.19 (propriedades algébricas)
Dados z, z1 , z2 ∈ C temos que
sen (−z) = − sen z,
cos (−z) = cos z,
cos2 z + sen2 z = 1,
sen (z1 ± z2 ) = sen z1 cos z2 ± cos z1 + sen z2 ,
cos (z1 ± z2 ) = cos z1 cos z2 ∓ sen z1 + sen z2 ,
sen (2z) = 2 sen z cos z,
Manuel Andrade Valinho
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
cos (2z) = cos2 z − sen2 z.
Matemáticas III – Tema 6
63 / 88
As funções trigonométricas e hiperbólicas
Teorema 6.4.20 (periodicidade do seno e do cosseno)
As funções seno e cosseno complexas, sen z e cos z, são periódicas
com um período real puro 2π.
Demonstração.
e i(z+2π) − e −i(z+2π)
e iz
sen (z + 2π) =
=
2i
e i(z+2π) + e −i(z+2π)
e iz
cos (z + 2π) =
=
2
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− e −iz
= sen z,
2i
+ e −iz
= cos z.
2
Matemáticas III – Tema 6
64 / 88
Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
As funções trigonométricas e hiperbólicas
Seno e cosseno hiperbólicos na análise real
Seno e cosseno hiperbólicos (y ∈ R):

y
−y

 senh y = e − e ,
2
y + e −y
e

 cosh y =
.
2
Destas expressões, junto com as definições (5), obtemos na forma
u + iv
�
sen z = sen x cosh y + i cos x senh y ,
cos z = cos x cosh y − i sen x senh y .
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
Matemáticas III – Tema 6
65 / 88
As funções trigonométricas e hiperbólicas
Definição 6.4.21 (zero de uma função)
Um zero de uma função dada f é um número z0 tal que f (z0 ) = 0.
Teorema 6.4.22 (zeros das funções seno e cosseno)
Os zeros de sen z e cos z no plano complexo são os mesmos zeros
de sen x e cos x na reta real, ou seja,

 sen z = 0 ⇔ z = nπ,
 cos z = 0 ⇔ z = (2n + 1) π ,
2
com n = 0, ±1, ±2, . . ..
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�
66 / 88
Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
As funções trigonométricas e hiperbólicas
Demonstração.
Tendo em conta que cosh2 y = 1 + senh2 y chegamos a
�
| sen z|2 = sen2 x + senh2 y ,
| cos z|2 = cos2 x + senh2 y .
�
sen x = 0 ⇒ x = nπ,
2
sen z = 0 ⇔ sen2 x + senh y = 0 ⇒
senh y = 0 ⇒ y = 0.
⇒ z = nπ,
n = 0, ±1, ±2, . . ..
2
2
cos z = 0 ⇔ cos x + senh y = 0 ⇒
π
⇒ z = (2n + 1) ,
2
�
(6)
cos x = 0 ⇒ x = (2n + 1) π2 ,
senh y = 0 ⇒ y = 0.
n = 0, ±1, ±2, . . ..
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As funções trigonométricas e hiperbólicas
Na análise real satisfazem-se | sen x| ≤ 1 e | cos x| ≤ 1. Porém, das
expressões (6), posto que senh y toma valores no intervalo (−∞, ∞),
deduz-se que sen z e cos z não estarão limitadas.
Exemplo
Consideremos a função seno sen (2 + i).
O seu valor será
sen z = sen x cosh y + i cos x senh y
= sen 2 cosh 1 + i cos 2 senh 1 = 1.4031 − 0.4891i.
Manuel Andrade Valinho
Matemáticas III – Tema 6
68 / 88
Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
As funções trigonométricas e hiperbólicas
Teorema 6.4.23 (diferenciabilidade das outras funções
trigonométricas)
As funções tg z e sec z são holomorfas em toda parte, exceto nas
singularidades correspondentes aos zeros de cos z.
As funções cotg z e cossec z são holomorfas em toda parte, exceto
nas singularidades correspondentes aos zeros de sen z.
As suas derivadas são

d
2


 dz tg z = sec z,


 d sec z = sec z tg z,
dz
d
cotg z = − cossec2 z,
dz
d
cossec z = − cossec z cotg z.
dz
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
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As funções trigonométricas e hiperbólicas
Exercício 6.4.24 (resolução de uma equação trigonométrica)
Resolve a equação cos z = 10.
Resolução
e iz + e −iz
= 10 ⇒ e iz + e −iz = 20
cos z =
2
iz iz
⇒ e e + e iz e −iz = 20e iz ⇒ e 2iz − 20e −iz + 1 = 0
√
⇒ e iz = 10 ± 3 11
�
√ �
⇒ iz = ln 10 ± 3 11 + 2nπi,
n = 0, ±1, ±2, . . .
�
√ �
⇒ z = 2nπ ± i ln 10 + 3 11 ,
n = 0, ±1, ±2, . . . .
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Matemáticas III – Tema 6
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
As funções trigonométricas e hiperbólicas
Definição 6.4.25 (funções seno e cosseno hiperbólicos)
Para qualquer z = x + iy ∈ C




 senh z



 cosh z
e z − e −z
,
=
2
e z + e −z
=
.
2
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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As funções trigonométricas e hiperbólicas
Definição 6.4.26 (outras funções hiperbólicas)



tgh z










 cotgh z




sech z








 cossech z
Manuel Andrade Valinho
=
senh z
,
cosh z
=
1
,
tgh z
=
1
,
cosh z
=
1
.
senh z
Matemáticas III – Tema 6
72 / 88
Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
As funções trigonométricas e hiperbólicas
Teorema 6.4.27 (diferenciabilidade das funções seno e cosseno
hiperbólicos)
As funções seno e cosseno são inteiras e as suas derivadas são

d


 dz senh z = cosh z,


 d cosh z = senh z.
dz
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
Matemáticas III – Tema 6
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As funções trigonométricas e hiperbólicas
Teorema 6.4.28 (propriedades algébricas)
Dados z, z1 , z2 ∈ C temos que
senh (−z) = − senh z,
cosh (−z) = cosh z,
cosh2 z − senh2 z = 1,
senh (z1 ± z2 ) = senh z1 cosh z2 ± cosh z1 + senh z2 ,
cosh (z1 ± z2 ) = cosh z1 cosh z2 ± senh z1 + senh z2 .
Manuel Andrade Valinho
Matemáticas III – Tema 6
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Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
As funções trigonométricas e hiperbólicas
Teorema 6.4.29 (relação funções trigonométricas/hiperbólicas)

sen z





 cos z
tg iz





 tg iz
= −i senh z,
= i cosh z,
= i tgh z,
= i tgh z,
Teorema 6.4.30 (periodicidade do seno e do cosseno
hiperbólicos)
As funções seno e cosseno hiperbólicas de uma variedade complexa,
senh z e cosh z, são periódicas com um período imaginário puro
2πi.
Manuel Andrade Valinho
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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As funções trigonométricas e hiperbólicas
As expressões das funções hiperbólicas na forma u + iv são
�
senh z = senh x cos y + i cosh x sen y ,
cosh z = cosh x cos y + i senh x sen y .
Teorema 6.4.31 (zeros das funções seno e cosseno
hiperbólicos)
Todos os zeros de senh z e cosh z no plano complexo pertencem ao
eixo imaginário,

 senh z = 0 ⇔ z = nπi,
�
�
 cosh z = 0 ⇔ z = π + nπ i,
2
com n = 0, ±1, ±2, . . ..
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Funções de uma variável complexa
Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
As funções trigonométricas e hiperbólicas
Teorema 6.4.32 (diferenciabilidade das outras funções
hiperbólicas)
As funções tgh z e sech z são holomorfas em toda parte, exceto nas
singularidades correspondentes aos zeros de cosh z.
As funções cotgh z e cossech z são holomorfas em toda parte,
exceto nas singularidades correspondentes aos zeros de senh z.
As suas derivadas são

d
2


 dz tgh z = sech z,


 d sech z = − sech z tgh z,
dz
d
cotgh z = − cossech2 z,
dz
d
cossech z = − cossech z cotgh z.
dz
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
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As funções trigonométricas e hiperbólicas
Teorema 6.4.33 (função inversa do seno)
�
�
2
arcsen z = −i ln iz + 1 − z .
�
Demonstração.
w = arcsen z
se z = sen w .
�
e iw − e −iw
⇒ e 2iw − 2ize iw − 1 = 0 ⇒ e iw = iz + 1 − z 2
z=
2i �
�
�
�
�
�
2
2
⇒ iw = ln iz + 1 − z ⇒ w = −i ln iz + 1 − z .
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
As funções trigonométricas e hiperbólicas
Exercício 6.4.34 (valores da função inversa do seno)
Acha todos os valores de arcsen
√
5.
Resolução
�
�
�
2
arcsen z = −i ln iz + 1 − z
�
�
�
��√
� �
√
√
√
2
5i + 1 − ( 5) = −i ln
5±2 i
⇒ arcsen 5 = −i ln
� ��
� �� � π
� �
� √
= −i ln ��
5 ± 2 i �� +
+ 2nπ i , n = 0, ±1, ±2, . . .
2
�
�√
π
= + 2nπ ± i ln
5 + 2 , n = 0, ±1, ±2, . . .
2
�
� √
�
�√
�
�√
Nota: ln 5 − 2 = ln 1/( 5 + 2) = − ln 5 + 2 .
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Algumas funções elementares
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As funções trigonométricas e hiperbólicas
Teorema 6.4.35 (funções inversa do cosseno e da tangente)
�
�
2
arccos z = −i ln z + i 1 − z .
�
arctg z =
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i i +z
ln
.
2 i −z
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Algumas funções elementares
As funções trigonométricas e hiperbólicas
Teorema 6.4.36 (derivadas das funções trigonométricas
inversas)
d
1
,
arcsen z = √
dz
1 − z2
d
−1
,
arccos z = √
2
dz
1−z
d
1
.
arctg z =
dz
1 + z2
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Algumas funções elementares
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As funções trigonométricas e hiperbólicas
Exercício 6.4.37 (derivada da função inversa do seno)
Acha a derivada de w = arcsen z em z =
Resolução
√
√
5.
��
√ �
Tomando a raiz concreta 1 − =
1 − ( 5)2 = 2i na
expressão da derivada de arcsen z obtemos
�
1
1
dw ��
=
=
−
i.
dz �z=√5 2i
2
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z2
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As funções trigonométricas e hiperbólicas
Teorema 6.4.38 (inversas das funções hiperbólicas)
�
�
�
2
arcsenh z = ln z + z + 1 ,
�
�
�
2
arccosh z = ln z + z − 1 ,
arctgh z =
1 1+z
ln
.
2 1−z
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As funções trigonométricas e hiperbólicas
Exercício 6.4.39 (derivada da função inversa do seno)
Acha todos os valores de arccosh (−1).
Resolução
Tomando z = −1 na expressão da inversa do cosseno hiperbólico
obtemos
�
�
�
�
�
�
arccosh z = ln z + z 2 − 1 = ln −1 + (−1)2 − 1 = ln (−1)
= ln | − 1| + (π + 2nπ)i,
(n = 0, ±1, ±2, . . .)
⇒ arccosh (−1) = (2n + 1)πi,
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(n = 0, ±1, ±2, . . .)
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Algumas funções elementares
As funções trigonométricas e hiperbólicas
Teorema 6.4.40 (derivadas das funções hiperbólicas inversas)
d
1
arcsenh z = √
,
dz
z2 + 1
d
1
,
arccosh z = √
2
dz
z −1
d
1
.
arctgh z =
dz
1 − z2
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Limites e continuidade
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Algumas funções elementares
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Algumas diferenças importantes com a análise real
i) A função exponencial real é unívoca, mas a exponencial
complexa não.
ii) No referente à função logaritmo, ln x é uma função de valor
único, mas ln z é multivalente.
iii) Não todas as propriedades dos logaritmos reais são
aplicáveis aos logaritmos complexos, especialmente ao seu
valor principal Ln z.
iv) Existem algumas propriedades das potências reais que não
satisfazem as potências complexas. Exemplo:
(z α1 )α2 �= z α1 α2 , a menos que α2 ∈ Z.
v) Algumas propriedades válidas para potências complexas
não são aplicáveis a valores principais de potências complexas.
Exemplo: (z1 z2 )α = z1α z2α para quaisquer números complexos
não nulos, mas não se satisfaz para os valores principais.
�
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Limites e continuidade
Diferenciabilidade. Equações de Cauchy–Riemann
Algumas funções elementares
Algumas diferenças importantes com a análise real
vi) A função exponencial é muito mais importante na análise
complexa que na real, posto que todas as funções elementares
complexas se podem definir em termos da exponencial e da
logarítmica complexas.
vii) As funções de uma variável real senh x e cosh x não são
periódicas, ao contrário que as funções complexas senh z e
cosh z. Ademais, cosh x não tem zeros e senh x só tem um
zero em x = 0. Porém, as funções complexas senh z e cosh z
têm um número infinito de zeros.
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