Análisis Matemático II
FCE-UA
Análisis Matemático II
Docentes: E. Santillan Marcus - J. Semitiel - J. Bollati - L. Venturato - M. L. Hortal
15 de febrero de 2023
Índice
1. Series numéricas y aproximación de funciones por polinomios
1.1. Series numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. La p-serie. Condición necesaria de convergencia de una serie . . . . .
1.3. La serie geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. La serie telescópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Criterios de convergencia para series numéricas a términos positivos
1.6. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Aproximación de funciones por polinomios. . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Polinomios de Taylor generados por una función . . . . . . . . . . . .
1.9. Los polinomios de Taylor de las funciones fundamentales . . . . . . .
1.10. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11. Propiedades de las funciones representadas por series de potencias .
1.12. Desarrollo en serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
4
5
6
7
9
10
10
12
13
14
14
16
2. Integración de funciones de una variable real
2.1. Cálculo de primitivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. La integral definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Teoremas importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Aplicaciones de la integral definida. . . . . . . . . . . .
Cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aplicaciones a la Administración y la Economı́a . . . .
2.5. Integrales impropias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Ecuaciones diferenciales de primer orden. . . . . . . . .
Ecuaciones diferenciales lineales a variables separables.
2.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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22
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26
26
27
29
31
31
33
3. Secciones Cónicas y Superficies
3.1. Secciones Cónicas Elementales. . . . . . . . . . . . . .
3.2. Ecuación general de segundo grado en dos variables .
3.3. Superficies en tres dimensiones. . . . . . . . . . . . . .
Cilindros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cuádricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elipsoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hiperboloide de una hoja. . . . . . . . . . . . . . . . .
Hiperboloide de dos hojas. . . . . . . . . . . . . . . . .
Paraboloide elı́ptico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Paraboloide hiperbólico. . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4. Cálculo Diferencial en Varias Variables
4.1. El espacio R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Funciones definidas en R2 y en R3 . . . . . . .
4.3. Lı́mites y continuidad. . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Derivadas parciales. . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Regla de la cadena. . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Optimización de funciones de varias variables
4.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . .
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Análisis Matemático II
Contenidos de la materia
Series numéricas. Criterios de convergencia. Polinomios de Taylor y Mc Laurin.
Series de potencias. Serie de Taylor y serie de Mc Laurin de una función real de una
variable.
Integral indefinida y definida de una función real. Primer y segundo teorema fundamental del cálculo integral. El teorema del valor medio del cálculo integral. Aplicaciones de la integración al cálculo de área de una región entre dos curvas. Integrales
impropias.
Ecuaciones diferenciales de primer orden a variables separables.
Secciones cónicas. Ecuación general de segundo grado en dos variables. Superficies.
Funciones de varias variables reales. Conjuntos de nivel. Lı́mites, continuidad y
derivadas parciales. Regla de la cadena.
Optimización de funciones de varias variables reales. Extremos relativos y absolutos. Puntos crı́ticos. Puntos de ensilladura. Criterio del Hessiano. El método de
los mı́nimos cuadrados. Extremos condicionados o con restricciones. Método de los
multiplicadores de Lagrange.
Bibliografı́a:
Haeussler, E. F. - Paul, R. S., Matemática para Administración y Economı́a (13a. ed.),
Pearson, México (2015).
Stewart, J., Cálculo. Trascendentes Tempranas. Una variable (7a. ed.), Cengage Learning,
México (2012).
Stewart, J., Cálculo. Trascendentes Tempranas. Varias variables (7a. ed.), Cengage Learning, México (2012).
Thomas, G. B. Cálculo, varias variables (12a. ed.), Pearson Educación, México (2010).
Thomas, G. B. Cálculo, una variable (12a. ed.), Pearson Educación, México (2010).
Larson, R. E., Hostetler, R. P. - Edwards, B. H., Cálculo y Geometrı́a analı́tica (8a. ed.)
(Vol. 1), McGraw-Hill, México (2006).
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Análisis Matemático II
1.
1.1.
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Series numéricas y aproximación de funciones por polinomios
Series numéricas
Definición 1 Dada la sucesión {an }, una expresión (suma infinita) de la forma:
∞
P
an = a1 + a2 + ... + an + ...
n=1
se llama serie infinita.
Ejemplo 1
+∞
P
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n + ... =
n.
n=1
Definición 2 Dada la serie
+∞
P
an = a1 + a2 + ... + an + ...
n=1
Se llama sucesión de sumas parciales a la sucesión {Sn } definida por
Sn = a1 + a2 + ... + an =
n
P
ak .
k=1
Si existe lı́m Sn = lı́m
n→+∞
n
P
n→+∞ k=1
ak = S diremos que la serie es convergente y que S es la suma de la
serie. En caso contrario, se dice que la serie es divergente.
Ejemplo 2
(a) Dada {an }n = {1}n resulta
Sn =
n
P
1=n
k=1
y
lı́m Sn = +∞
n→+∞
∞
P
Por lo tanto
1 es divergente.
n=1
(b) Dada {an }n =
Sn =
n
P
k=1
1
k
n
−
1
n
−
1
k+1
o
1
n+1 n
resulta
1
= 1 − 12 + 21 − 31 + 13 − 41 + ... + n−1
− n1 + n1 −
y entonces
1
n+1
=1−
1
n+1
lı́m Sn = 1
n→+∞
Por lo tanto
∞
P
n=1
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1
n
−
1
n+1
es convergente, y su suma es 1.
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FCE-UA
Análisis Matemático II
Proposición 1 El carácter (convergencia o divergencia) de una serie no se altera añadiendo o
sustrayendo un conjunto finito de términos de la misma.
Teorema 1 (linealidad de las series convergentes)
+∞
+∞
P
P
Sean an y
bn convergentes a las sumas A y B respectivamente, y sean α, β ∈ R.
k=1
Entonces
+∞
P
n=1
αan + βbn es convergente , y su suma vale
n=1
+∞
P
+∞
+∞
P
P
αan + βbn = α an + β bn = αA + βB
n=1
n=1
Corolario 1 Sean
+∞
P
an converge y
n=1
Observación 1 Si
+∞
P
n=1
bn diverge. Entonces
n=1
+∞
P
an y
n=1
+∞
P
+∞
P
[an + bn ] diverge.
n=1
bn divergen no asegura que
n=1
+∞
P
[an + bn ] diverja.
n=1
Ejemplo 3
Las series
+∞
P
k=1
1 y
+∞
P
(−1) son ambas divergentes. Sin embargo, la serie
k=1
[1 + (−1)] es
k=1
convergente y su suma es 0.
1.2.
+∞
P
La p-serie. Condición necesaria de convergencia de una serie
Se llama p-serie con p > 0 a la serie de la forma:
+∞
P
1
p
n=1 n
En particular si p = 1:
+∞
P
1
1 1 1
= 1 + + + + ...
2 3 4
n=1 n
recibe el nombre de serie armónica.
Se puede demostrar que:
(a) Si 0 < p 6 1 la p-serie diverge.
(b) Si p > 1 la p-serie converge.
Ejemplo 4
La serie
+∞
P
n=1
4
1
n2
converge (p = 2), mientras que
+∞
P
1
1
n=1 n 3
diverge (p = 13 ).
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Análisis Matemático II
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Teorema 2 ( Condición necesaria de convergencia)
Si
+∞
P
n=0
+∞
P
Demostración: Sea
an converge, entonces lı́m an = 0.
n→+∞
ak = S, entonces tenemos que:
k=0
Sn = a0 + a1 + a2 + ... + an
Sn−1 = a0 + a1 + a2 + ... + an−1
Por lo tanto an = Sn − Sn−1 , y entonces
lı́m an = lı́m (Sn − Sn−1 ) = S − S = 0
n→+∞
n→+∞
La negación de esta proposición es utilizada para demostrar la divergencia de una serie.
Es decir:
Corolario 2 Si lı́m an , 0 entonces
n→+∞
+∞
P
an diverge.
n=0
Observación 2 El hecho que lı́m an = 0 no asegura la convergencia de
n→+∞
Por ejemplo la serie
+∞
P
n=1
1.3.
1
n
1
n→+∞ n
es divergente y sin embargo lı́m
+∞
P
an .
n=0
= 0.
La serie geométrica
Si a , 0, la serie
+∞
P
n=0
a rn = a + a r + a r2 + ...
se denomina serie geométrica de término inicial a y razón r.
Ejemplo 5
(a)
+∞
P
n=0
3 (2n ) = 3 + 6 + 12 + 24 + ... es una serrie geométrica de término inicial a = 3 y
razón r = 2.
(b)
+∞
P
7
7 7
7
=
7
+
+
+
+ ... es una serie geométrica de término inicial a = 7 y razón
n
5 25 125
n=0 5
r = 15 .
n
1
(c)
=
n=1 2
r = 12 .
+∞
P
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1
2
+ 14 + 18 +
1
16
+ ... es una serie geométrica de término inicial a =
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1
2
y razón
5
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Análisis Matemático II
Teorema 3 Si r ∈ R tal que |r| < 1, entonces
+∞
P
+∞
P
a rn converge, y su suma viene dada por
n=0
a rn =
n=0
a
1−r
En el caso que |r| ≥ 1, dicha serie diverge.
Demostración:
Sn =
a + a r + a r2 + ... + a rn
r Sn = a r + a r2 + a r3 + ... + a rn+1
Luego (1 − r)Sn = a − a rn+1
a(1 − rn+1 )
Si r , 1, se tiene que Sn =
.
1−r
a
.
Cuando |r| < 1 resulta rn → 0 si n → ∞, entonces Sn → 1−r
Si en cambio |r| ≥ 1, la serie no verifica la condición necesaria de convergencia y por lo
tanto diverge.
Ejemplo 6
(a)
+∞
P
1
n=0
3n+2
es una serie geométrica de término inicial a =
1
9
y razón r = 13 . La serie es
1
1
a
convergente pues |r| = < 1 y su suma es S =
= 9
3
1−r 1−
1
3
1
= .
6
+∞
P
23n
8
(b) La serie geométrica
≥ 1.
es
divegente
pues
|r|
=
n
7
n=1 7
pues |r| =
1.4.
1
5
+∞
P
(−1)n
de término inicial a = 5 y razón r = − 15 es convergente
n−1
5
n=0
a
5
25
< 1. Su suma es S =
=
=
.
1 − r 1 − (− 15 )
6
(c) La serie geométrica
La serie telescópica
Sean {an } y {bn } dos sucesiones de números tales que an = bn − bn+1 con n ∈ N. Una serie
del tipo
∞
∞
P
P
(bn − bn+1 )
an =
n=1
n=1
es llamada serie telescópica.
Teorema 4 La serie telescópica
∞
P
n=1
an =
∞
P
(bn − bn+1 ) converge si y sólo si existe lı́m bn = L. En
n→∞
n=1
cuyo caso se tiene
∞
P
an = b1 − L
n=1
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Análisis Matemático II
FCE-UA
Demostración: Sea
Sn =
n
P
ak =
k=1
n
P
(bk − bk+1 ) = b1 − b2 + b2 − b3 + ... + bn − bn+1 = b1 − bn+1
k=1
luego
lı́m Sn = lı́m b1 − bn+1 = b1 − L
n→+∞
n→+∞
Ejemplo 7
∞
P
(a) Consideremos la serie telescópica
n=1
( n1 −
1
).
n+1
1
Dado que lı́m bn = lı́m = 0, entonces la serie es convergente, y como b1 = 1, su
n→∞
n→∞ n
suma es
∞ 1
P
1
−
=1−0=1
n+1
n=1 n
(b) La serie telescópica
∞
P
(ln(n) − ln(n + 1)) es divergente puesto que
n=1
lı́m bn = lı́m ln(n) = +∞.
n→∞
1.5.
n→∞
Criterios de convergencia para series numéricas a términos positivos
Teorema 5 (criterio de comparación por paso al lı́mite) Sean an > 0 y bn > 0 para todo
n ∈ N, tales que
an
lı́m
= L , 0.
n→+∞ bn
+∞
+∞
P
P
Entonces se tiene que
an y
bn tienen el mismo carácter. Esto es, o ambas series convergen o
n=0
n=0
ambas series divergen.
Ejemplo 8
+∞
P
1
diverge. En efecto:
n=0 3n + 5
+∞
P 1
Si consideramos la serie armónica
(divergente) y como
n=1 n
(a) La serie
1
3n+5
lı́m
n→+∞ 1
n
= lı́m
n→+∞
n
1
= , 0,
3n + 5 3
entonces de acuerdo al teorema anterior las series
carácter.
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+∞
P
+∞
P 1
1
y
tienen el mismo
n=0 3n + 5
n=1 n
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Análisis Matemático II
(b) Para estudiar el carácter de la serie
gente). Dado que:
3
n3 +7
n→+∞ 1
n3
lı́m
+∞
P 1
3
,
consideremos
la
p-serie
(conver3
3
n=0 n
n=0 n + 7
+∞
P
n3
= 1 , 0,
n→+∞ n3 + 7
= lı́m
por el teorema anterior podemos asegurar que
carácter. Por lo tanto,
+∞
P
+∞
P 1
3
y
tienen el mismo
3
3
n=0 n + 7
n=0 n
+∞
P
3
3
n=0 n + 7
es convergente.
Teorema 6 (Criterio de la raı́z)
+∞
P
√
an con an ≥ 0 para todo n ≥ n0 . Si existe lı́m n an = R entonces:
Dada la serie
n→+∞
n=0
a) Si R < 1, la serie converge.
b) Si R > 1, la serie diverge.
c) Si R = 1, el criterio no decide.
Ejemplo 9
r
1
1
1
a)
=0<1
converge pues lı́m n
= lı́m
n
n
n→+∞
n→+∞
(ln n)
ln n
n=2 (ln n)
2
+∞
P n n
b)
converge pues
n=0 n + 1
r
2
n
n n
n n
x
= lı́m
= lı́m ex ln( x+1 ) = e−1 < 1.
lı́m
n→+∞ n + 1
x→+∞
n→+∞
n+1
+∞
P
Teorema 7 (Criterio del cociente)
Dada la serie
+∞
P
n=0
que:
an con an > 0 para todo n ≥ n0 . Entonces si existe lı́m
n→+∞
an+1
= R se tiene
an
a) Si R < 1, la serie converge.
b) Si R > 1, la serie diverge.
c) Si R = 1, el criterio no decide.
Ejemplo 10
+∞
P
1
a)
converge pues lı́m
n→+∞
n=0 n!
+∞
P
n!
b)
diverge pues lı́m
n
n→+∞
n=0 2
8
1
(n+1)!
1
n!
(n+1)!
2n+1
n!
2n
n!
1
= lı́m
= 0 < 1.
n→+∞ (n + 1)!
n→+∞ n + 1
= lı́m
(n + 1)!2n
n+1
=
lı́m
= +∞.
n→+∞
n→+∞
2
n!2n+1
= lı́m
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Análisis Matemático II
1.6.
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Series alternadas
Definición 3 Sean an > 0, ∀n ∈ N. Llamaremos serie alternada a una serie de la forma:
∞
P
(−1)n−1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + ...
n=1
Teorema 8 (Criterio de Leibniz)
Sea {an }n tal que an > 0, ∀n ∈ N, decreciente y con lı́m an = 0 entonces la serie
n→+∞
∞
P
(−1)n−1 an
converge.
n=1
Ejemplo 11
+∞
P
(−1)n−1
es una serie alternada convergente.
n
n=1
Definición 4 La serie
∞
P
an se dice absolutamente convergente si la serie
∞
P
pero
∞
P
|an | converge.
n=1
n=1
Definición 5 La serie
∞
P
an se dice condicionalmente convergente si la serie
n=1
∞
P
an converge
n=1
|an | diverge.
n=1
Ejemplo 12
n
n
∞
+∞
P
P 3 n
3
n 3
(−1)
(−1)
a)
es absolutamente convergente pues
=
es una
4
4
n=0
n=0 4
n=1
+∞
P
n
p-serie con r = 34 .
b)
+∞
P
1
es condicionalmente convergente ya que por el criterio de Leibniz la serie
n
n=1
∞
+∞
P
P 1
1
(−1)n =
converge pero
que es la serie armónica que sabemos que diverge.
n
n=1
n=1 n
(−1)n
Observación 3 Si
∞
P
n=1
Teorema 9 Si
∞
P
n=1
an y
∞
P
bn son absolutamente convergentes,
n=1
an es absolutamente convergente, entonces
∞
P
αan + βbn también lo es.
n=1
∞
P
an es convergente.
n=1
Ejemplo 13
+∞
P
+∞
+∞
P (−1)n
P 1
(−1)n
es
absolutamente
convergente
pues
=
que es un p− serie
5
5
5
n
n=1 n
n=1
n=1 n
convergente con p > 1 .
2023
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9
FCE-UA
1.7.
Análisis Matemático II
Aproximación de funciones por polinomios.
Los polinomios figuran entre las funciones más sencillas estudiadas en el Análisis Matemático. Son muy adecuadas para trabajar en cálculos numéricos porque sus valores se
pueden obtener efectuando un número finito de sumas y multiplicaciones. Se verá que
muchas funciones pueden ser aproximadas por polinomios, esto quiere decir si que la
diferencia entre una función y su aproximación polinómica es lo suficientemente pequeña,
entonces se puede encontrar el valor aproximado de tal función en un punto evaluando
lo que vale ese polinomio en tal punto.
Se vio anteriormente que
lı́m
x→a
f (x) − f (a)
= f 0 (a)
x−a
Esto equivale a pensar que
lı́m f (x) − f (a) + f 0 (a)(x − a) = 0,
x→a
Ası́ pues, si x ' a, entonces f (x) ' f (a) + f 0 (a)(x − a), o sea que cerca del punto x la función
es casi igual a un polinomio de grado 1. (Recta tangente a la gráfica de f en x = a)
Pensemos en un ejemplo en concreto. Sea f (x) = ex y tomemos al punto a = 0. Es sabido
que f 0 (x) = ex , y ası́ f (0) = f 0 (0) = e0 = 1.
Entonces cuando x ' 0, f (x) ' f (0) + f 0 (0)(x − 0), lo que en este caso es decir que
ex ' 1 + x
1
Si tomamos por ejemplo x = 0, 5, esto significarı́a que e 2 =
√
e'1+
1
2
= 1, 5.
√
Si usamos una calculadora, vemos que el valor que nos da e es 1,6487212707. Ası́ que
lo que obtuvimos como aproximación es bastante grosero, pero nos sirve como para ir
teniendo una idea del valor que estamos buscando. ¿Cómo podemos mejorar entonces
esta aproximación?
Geométricamente, la gráfica de g(x) = 1 + x es la recta tangente a f (x) en el punto (0, 1) , y
es sencillo observar que f 0 (0) = g0 (0). O sea que tanto la función como el polinomio que la
aproxima tienen el mismo valor en el punto (p(0) = f (0)) y las mismas caracterı́sticas en
cuanto a crecimiento (si f crece en 0, g también lo hará, por ejemplo). Es de suponer que si
buscamos un nuevo polinomio p(x) para aproximar a la función que además de tener las
mismas caracterı́sticas de crecimiento (p0 (0) = f 0 (0)) también tenga la misma concavidad,
vale decir que (p00 (0) = f 00 (0)), éste nos de una mejor aproximación al valor buscado.
1.8.
Polinomios de Taylor generados por una función
Se supone que f tiene derivadas hasta el orden n en el punto x = 0, e intentamos encontrar
un polinomio P que coincida con f y sus n primeras derivadas en 0. Deben satisfacerse
entonces las n + 1 condiciones,
P (0) = f (0) ,
10
P0 (0) = f 0 (0) , ....P(n) (0) = f (n) (0)
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(1)
2023
Análisis Matemático II
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Sea entonces P un polinomio de grado n
P (x) = c0 + c1 x + ... + cn xn
ck ∈ R, k = 0, 1, .., n
(2)
Debe ser
ck =
f (k) (0)
P(k) (0)
=
k!
k!
k = 0, 1, ..., n
(3)
Ésta es la fórmula para los coeficientes en función de los valores de f y sus derivadas en
x = 0.
El grado de P será n si f (n) (0) , 0, si no, será de grado < n.
Teorema 10 Sea f una función con derivadas hasta el orden n en el punto x = 0. Existe un único
polinomio P de grado ≤ n que satisface las n + 1 condiciones
P (0) = f (0) ,
P0 (0) = f 0 (0) , ....P(n) (0) = f (n) (0)
Tal polinomio viene dado por
P (x) =
n f (k) (0)
P
xk
k!
k=0
(4)
Observación 4
De la misma manera se puede demostrar que existe un único polinomio P (de grado ≤ n)
que coincide con f y sus derivadas en el punto x = a ∈ dom f .
P (x) =
n f (k) (a)
P
(x − a)k
k!
k=0
(5)
Éste es el único polinomio de grado ≤ n que satisface las condiciones
P (a) = f (a) ,
P0 (a) = f 0 (a) , ....P(n) (a) = f (n) (a)
Este polinomio se llama Polinomio de Taylor de orden ≤ n asociado a f en a (llamado ası́
en honor al matemático Brook Taylor (1685-1731)).
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Análisis Matemático II
Notación: Para indicar la dependencia del polinomio respecto de f y n y del punto a,
indicaremos a tal polinomio P por
P (x) = Pn (x) = Tn f, a (x) = Tn f (x) , a
Observación 5
En el caso en que a = 0, el Polinomio de Taylor de orden ≤ n asociado a f en 0 suele
llamarse Polinomio de Maclaurin asociado a f (en honor al matemático Colin Maclaurin
(1698 - 1746)).
1.9.
Los polinomios de Taylor de las funciones fundamentales
Ejemplo 14
f (x) = ex , x ∈ R, como f (k) (x) = ex para todo k ∈ N0 , en x = 0 tenemos f (k) (0) = e0 = 1,
luego el polinomio de Taylor de ex de grado n en x = 0 es (por (4))
Tn (ex , 0) =
n xk
P
x2
xn
=1+x+
+ ... +
2!
n!
k=0 k!
Como vimos antes tenemos una aproximación de ex dada por un polinomio de grado n al
menos cerca de x = 0
xn
x2
+ ... +
ex ' 1 + x +
2!
n!
En el gráfico se pueden ver los polinomios de Mac Laurin de f (x) = ex , para n = 1 y n = 2.
Ası́, para calcular un valor aproximado del número e, calculamos x = 1 y n = 5 (por ej)
e1 = e ' 1 + 1 +
1
1
1
163
1
+ + + =
= 2. 71b
6
2! 3! 4! 5!
60
Pero e ' 2. 718 281.
Si queremos por ejemplo Tn (ex , 2) debemos calcular f (k) (2) = e2 entonces según (5) se tiene
n e2
P
(x − 2)k
Tn (e , 2) =
k=0 k!
x
Ejemplo 15
f (x) = ln (1 + x) , para x ∈ (−1, ∞) calculamos f (k) (0)
f (x) = ln (1 + x) f 0 (x) =
f (0) = 0
1
1+x
f 0 (0) = 1
f 00 (x) =
−1
(1+x)2
f 00 (0) = −1
f 000 (x) =
(−1)(−2)
(1+x)3
f 000 (0) = 1,2
entonces
Tn (ln (1 + x) , 0) = f (0) +
... f (k) (x) = (−1)k+1
(k−1)!
(1+x)k
... f (k) (0) = (−1)k+1 (k − 1)!
n (−1)k+1
P
xk
k
k=1
Cerca de x = 0, es
(−1)n+1 n
1 2 1 3 1 4
ln (1 + x) ' x − x + x − x + ... +
x
2
3
4
n
12
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Ejemplo 16
f (x) = ln x, queremos calcular f (k) (a) para k = 0, 1, ..., n
f (x) = ln x f 0 (x) =
f (a) = ln a f 0 (a) =
f 00 (x) = − x12
f 00 (a) = − a12
1
x
1
a
f 000 (x) =
f 000 (a) =
2
x3
2
a3
... f (k) (x) = (−1)k+1 2,3...(k−1)
xk
k+1 (k−1)!
(k)
... f (a) = (−1)
ak
Luego el Polinomio de Taylor de ln x de grado n en x = a es
k+1
n (−1)
P
Tn (ln x, a) = ln a +
k!
k=1
(k−1)!
ak
(x − a)k = ln a +
n (−1)k+1
P
(x − a)k
kk
a
k=1
Por ejemplo si a = 1,
Tn (ln x, 1) =
n (−1)k+1
P
(x − 1)k
k
k=1
Ası́, ln x se aproxima al polinomio, al menos cerca de x = 1
ln x ' (x − 1) −
1.10.
(x − 1)2 (x − 1)3
(x − 1)n
+
+ ... + (−1)n+1
2
3
n
Series de potencias
Definición 6 Recibe el nombre de serie de potencias centrada en c toda serie de la forma
∞
P
n=0
an (x − c)n .
El número real an se denomina coeficiente n-ésimo de la serie de potencias.
¿Para qué valores de x converge una serie de potencias?
Teorema 11 Dada una serie de potencias
∞
P
an (x − c)n centrada en c, exactamente una de las
n=0
siguientes afirmaciones es válida:
a) La serie sólo converge en c
b) La serie converge para todo x
c) Existe R > 0 tal que la serie converge para |x − c| < R y diverge para |x − c| > R
Nota 1 R se llama radio de convergencia de la serie. En el caso a) se dice que R = 0 y en b) que
el radio es infinito. El conjunto de valores reales para los cuales converge la serie de potencias se
llama intervalo de convergencia.
Observación 6 Para realizar directamente el estudio de la convergencia de las series para los
distintos valores de x y hallar el valor del radio R, haremos uso de los criterios de convergencia
aprendidos para series numéricas, tales como el criterio del cociente o el de la raı́z.
Ejemplo 17
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Análisis Matemático II
a) La serie
∞
P
n=0
xn = 1 + x + x2 + ... tiene radio de convergencia R = 1 pues lı́m
n→+∞
√
n
|x|n =
|x| < 1, entonces el intervalo de convergencia es (−1, 1).
∞
P
b) Aplicando el criterio del cociente puede verse que la serie
n=1
xn
n
tiene radio de
convergencia R = 1, es decir, el intervalo de convergencia es (−1, 1) .
∞
P
c) Aplicando el criterio del cociente puede verse que la serie
n=1
xn
n2
tiene radio de
convergencia R = 1, es decir, el intervalo de convergencia es (−1, 1).
d) Aplicando el criterio del cociente puede verse que la serie
∞ xn
P
converge para todo
n=1 n!
x ∈ R, su radio de convergencia es infinito.
e) Aplicando el criterio del cociente puede verse que la serie
mente para x = 0, su radio de convergencia es R = 0.
∞
P
n! xn converge sola-
n=1
∞ (x − 2)n
P
tiene radio de
3n
n=0
convergencia R = 3. El intervalo de convergencia es (−1, 5).
f) Aplicando el criterio del cociente puede verse que la serie
1.11.
Propiedades de las funciones representadas por series de potencias
∞
P
Teorema 12 Sea
an (x − c)n una serie de potencias de radio R > 0 y sea
n=0
f (x) =
∞
P
n=0
an (x − c)n ,
definida si |x − c| < R. Entonces la funcion f es derivable, y si |x − c| < R se tiene
f 0 (x) =
∞
P
n an (x − c)n−1 ,
n=1
El teorema muestra que la derivación de una serie de potencias se hace derivando cada
uno de sus términos, como si fuese un polinomio. Esto nos permite sumar fácilmente
determinadas series a partir de otras de sumas conocidas.
1.12.
Desarrollo en serie de Taylor
Definición 7 Si f es una función que tiene derivadas de todo orden en x = c la serie
∞ f (n) (c)
P
(x − c)n ,
n!
n=0
se llama serie de Taylor de f en x = c.
Se puede demostrar que si f es una función que tiene derivadas de todo orden en x = c,
f (x) es ”la suma”de la serie de Taylor en x = c, es decir, f puede ser representada como
suma de su serie de Taylor para x ∈ (−R, R) siendo R el radio de convergencia de la serie:
14
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Análisis Matemático II
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f (x) =
∞
P
n=0
f (n) (c)
n!
(x − c)n .
Ejemplo 18
a) Sea f (x) = ex y c = 0 resulta
ex =
+∞
P
xn
n=0 n!
para todo x ∈ R.
b) Sea f (x) =
a
, a ∈ R y c = 0 resulta (recordando las series geométricas)
1−x
+∞
P n
a
ax
=
1 − x n=0
para todo x ∈ (−1, 1).
c) Del item anterior, para a = 1 y aplicando el Teorema 12 obtenemos
+∞
P n−1
1
=
nx
2
(1 − x)
n=1
para todo x ∈ (−1, 1).
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FCE-UA
1.13.
Análisis Matemático II
Ejercicios propuestos
1. Verificar que las siguientes series son divergentes:
∞ n2 + 1
∞ ∞
P
P
P
1 n
i)
; ii)
1+
; iii) cos (n π) .
n
n
n=1
n=1
n=1
2. Analizar en cada caso el carácter de la serie y cuando sea posible calcule su suma.
∞ 2
∞ (−1)n
∞ 1
P
P
P
1
i)
;
ii)
;
iii)
− n;
n
n
n
3
n=2 2
n=3 2
n=1 3
∞
∞
∞ n
P
P
P
1
1
−5
n
−
;
v)
iv)
; vi) ln n+1
;
3
n
n=0
n=1 n + 1
n=1
∞ 1
∞ 1
∞
P
P
P
2
1
1
; viii)
−
;
ix)
+ 3.
vii)
√
2
3
n
n
n
n=1 n
n=1 n
n=1
3. En cada caso probar que la serie converge y que la suma es la indicada.
∞ 2n + 3n
P
3
=
n
n−1
6
2
n=1 3
n=1
∞
∞
P
P
4
1
1
7
1
iii)
= 1 ; iv) ( n − n ) = −
√ − √
2
2
n
n=1
n=1 3
n+1
i)
∞
P
2
=3
; ii)
4. Utilizando criterios de convergencia, analizar el carácter de las siguientes series:
n2 + 5
4
n=1 (3n − 2n)
∞
P
iv) e−n
i)
∞
P
;
n=1
∞
P
1
;
n
n=2 (ln n)
∞ n!
P
x)
;
n
n=1 n
2
∞ P
1 n
xiii)
1−
;
n
n=1
vii)
∞ 1
P
n=1 n!
∞ (−1)n
P
v)
n
n=0 3 + 2
∞
P
viii) ne−n
n=0
√
∞
P
3n − 1
xi)
n4
n=1
∞ ln n n
P
xiv)
n
n=1
; ii)
∞ 3n−1
P
n
n=1 10
∞
P
2n
; vi)
√
n=1
n3 + 1
∞
P (n!)
; ix)
2
n=1 n
∞
P
1
; xii)
√
n=1
1 + 2n
; iii)
5. Diga si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa, justificando
correctamente su respuesta:
∞ 1
P
es divergente.
n=1
n=1 an
∞
∞ 1
P
P
b) Si
an es divergente, entonces
es convergente.
n=1
n=1 an
a) Si
16
∞
P
an es convergente, entonces
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Análisis Matemático II
FCE-UA
P
P
c) Si an es una serie de términos positivos y convergente, entonces a2n también
es convergente.
P
P√
d) Si an es una serie de términos positivos y convergente, entonces
an también es convergente.
P
P 1
diverge.
e) Si an ≥ 0 y an converge, entonces
an
6. El déficit por gastos del Estado causa inflación en la economı́a de un paı́s. Sin
embargo, gran parte del dinero gastado por el Estado es gastado a su vez por
aquellos que lo reciben, produciendo por lo tanto un gasto adicional. Esto produce
una reacción en cadena que los economistas llaman efecto multiplicador. Si se supone
que el Estado gasta mil millones de pesos ($109 ) y que los que reciben ese dinero en
sus sucesivas operaciones comerciales gastan un 80 % de lo que reciben y retienen
sólo un 20 %. Entonces:
a) Halle una expresión matemática para Sn : gasto total generado al cabo de n
operaciones comerciales de la cadena.
b) Demuestre que cuando n crece, el gasto total se aproxima a $5 · 109 . El número
5 se denomina multiplicador.
c) ¿Cuál será el gasto total si en cada operación se gasta un 90 % en vez de un
80 %?
d) ¿Qué sucede si el gasto es del 95 % o del 99 %?
7. El precio de un bono (a perpetuidad) está dado por la siguiente expresión (J.C. de
Pablo, ”Macroeconomı́a”, pag. 282) :
Q=
∞
P
1
n
n=1 (1 + r)
donde Q es el precio del bono y r es el interés constante que regirá en todos los
perı́odos futuros. Demuestre que Q viene dado por la simple fórmula Q = 1r , que
resulta ser el precio de una perpetuidad en la que el emisor se compromete a pagarle
al poseedor del bono $1 al final de cada perı́odo.
8.
a) El precio de un producto aumenta 2, 5 % anualmente. Si hoy el precio es de $100,
calcule cuál es el precio al cabo de : 1 año, 2 años, 3 años, 4 años. Hallar una
expresión para el precio al cabo de n años. ¿Puede el precio alcanzar cualquier
valor si se aguarda un número suficiente de años o tiene una cota máxima?
b) Generalizar los resultados obtenidos en el item a) para un aumento de x % y un
precio inicial P.
9. Esta es la manera en que los bancos, con la ayuda de sus clientes crean dinero. Si un banco
recibe un depósito de $1000, puede prestar gran parte de ese dinero pero no todo.
El gobierno estipula una reserva del orden del 20 % del importe total (encaje del
sistema). Por lo tanto, el banco podrá prestar a otra persona $800. Si se supone que el
que recibe el préstamo deposita el 90 % en el banco reservándose para sus gastos el
2023
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17
FCE-UA
Análisis Matemático II
10 % restante, y el proceso se repite indefinidamente. ¿Cuál es el depósito total en el
banco? Halle una fórmula general si el depósito inicial es de $A.
10. Hallar el polinomio de Maclaurin de orden 3 de las siguientes funciones:
i) f (x) = e−x
; ii) f (x) = e3x
; iii) f (x) = cos(πx)
iv) f (x) = x e−x ; v) f (x) = x3 − 2x ; vi) f (x) = 2 x4 − x3
11. Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 centrado en a de las siguientes funciones:
1
; ii) f (x) = ln(x), a = 1
i) f (x) = , a = 1
x
√
iii) f (x) = x, a = 4 ; iv) f (x) = x3 − 2x, a = 3
12. Calcular los valores indicados en forma aproximada, usando los polinomios obtenidos en los dos ejercicios anteriores:
1
i) √
√
e
; ii)
3, 9 ; iii) ln(0, 8)
13. Determinar el radio de convergencia de las series de potencias de término n-ésimo:
∞ n x n
∞ 2n
∞ 2n
P
P
P
n
n
x
; iii)
i)
x
; ii)
2
n=1 1 + n
n=1 n
n=1 n!
2
n
∞ n−1
∞ 3n
∞ ((n + 1) x)n
P
P
P
n
2n+1
iv)
x ; v)
; vi)
√ x
n
nn+1
n
n=1
n=1
n=1
n
∞ (x + 1)
P
vii)
3n−1
n=1
14. Desarrollar en series de Taylor de las siguientes funciones alrededor del valor indicado en cada caso:
i) f1 (x) = e2x ; c = 0 ; ii) f2 (x) = ln(2x − 1) ; c = 1 ; iii) f3 (x) =
18
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1
;c=1
x
2023
Análisis Matemático II
2.
FCE-UA
Integración de funciones de una variable real
En Economı́a se trabaja con magnitudes cuyo significado está relacionado con el ritmo
dy
de variación (derivada primera
) del valor de una magnitud respecto a la variable de
dx
la que depende y = f (x). Por ejemplo, si C = C(q) es el costo total, el costo marginal CM
expresa el ritmo de variación del costo total respecto a la cantidad q producida:
CM =
dC
.
dq
Ejemplo 19
Si el costo marginal se valora como CM (q) = 10q − 2, tenemos la ecuación
dC
= 10q − 2
dq
La resolución de esta ecuación implica el proceso inverso a la derivación, conocido por
cálculo de primitivas o integración indefinida.
2.1.
Cálculo de primitivas.
Definición 8 Diremos que la función F es una función primitiva o antiderivada de f en un
intervalo I si
F0 (x) = f (x)
,
∀x ∈ I
.
Teorema 13 Sea F una primitiva de f para todo x ∈ I entonces
G es primitiva de f en I ⇔ existe una constante c real tal que G(x) = F(x) + c , ∀ x ∈ I
Demostración: Sea H(x) = G(x) − F(x), entonces H0 (x) = 0, luego H(x) = cte. Recı́procamente,
si G0 (x) = F0 (x) = f (x) entonces G es primitiva de f .
Definición 9 Dada la función f , se llama integral indefinida de f al conjunto de todas las funciones
primitivas de f
Z
f (x)dx = F(x) + c
donde c es una constante arbitraria, siendo F una primitiva cualquiera de f .
Observación 7 Existen ciertas integrales que son inmediatas y nos servirán para cálculos poste2023
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19
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riores.
R
= kx+c
xr+1
=
+ c,
r+1
= ln |x| + c
k dx
R
xr dx
R 1
dx
R x
x
R e dx
e−x dx
R
ax dx
R
R sen (x) dx
cos (x) dx
R
1
dx
cos2 (x)
R
1
dx
1 + x2
si r , −1
= ex + c
= −e−x + c
ax
+ c, si a > 0
=
ln(a)
= − cos (x) + c
= sen (x) + c
= tg (x) + c
= arc tg (x) + c
Proposición 2
a) Si f es derivable,
Z
f 0 (x) dx = f (x) + c
b)
d
dx
Z
f (x) dx = f (x)
c) Si f y g admiten primitivas,
Z
Z
Z
f (x) ± g(x) dx =
f (x) dx ±
g(x) dx
d) Para todo escalar a ∈ R y si f admite primitiva,
Z
Z
a f (x) dx = a
f (x) dx
Existen distintos métodos de integración que nos podrán ayudar a la hora de calcular su
integral indefinida.
Proposición 3 (Método de descomposición)
Si f y g admiten primitivas y a, b ∈ R se tiene
Z
Z
Z
a f (x) ± bg(x) dx = a
f (x) dx ± b
g(x) dx
Ejemplo 20
20
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1.
R
FCE-UA
(3x + 5 ex ) dx =
R
3 x dx +
R
5 ex dx = 3
R
x dx + 5
R
ex dx = 3
x2
+ 5 ex + c
2
R −7
R −7
R
R 1
R
1
1
1
2.
+
dx
=
dx
+
dx
=
−7
dx
+
dx = −7 ln |x| +
2
2
x
1+x
x
1+x
x
1 + x2
arc tg(x) + c
Proposición 4 (Método de sustitución o cambio de variable)
Sea ϕ una función con derivada ϕ0 continua, y sea f una función continua. Entonces, haciendo
t = ϕ(x) tenemos entonces que
Z
Z
0
f ϕ(x) ϕ (x) dx =
f (t) dt
Ejemplo 21
R
a) Consideremos la integral e2x−5 dx. Tomamos t = 2x − 5 de manera que dt = 2dx.
1
Luego dx = dt, y sustituyendo tenemos entonces:
2
Z
Z
Z
1 t
1
1
1
2x−5
e dx =
e dt =
et dt = et + c = e2x−5 + c
2
2
2
2
R
b) Consideremos la integral x3 cos x4 dx. Tomamos t = x4 de manera que dt = 4 x3 dx,
y sustituyendo obtenemos:
Z
Z
1
1
1
3
4
x cos x dx =
cos(t) dt = sen(t) + c = sen(x4 ) + c
4
4
4
R
c) Sea eax dx con a , 0. Tomamos t = ax de manera que dt = a dx, y sustituyendo
obtenemos:
Z
Z
1 t
1
eax
ax
e dx =
e dt = et + c =
+c
a
a
a
Proposición 5 (Integración por partes)
Este método se suele emplear cuando tenemos en el integrando el producto de dos funciones que no se relacionan con sus derivadas. Si u y v son dos funciones de x tales que
sus derivadas son continuas entonces:
Z
Z
0
u(x) v (x) dx = u(x) v(x) −
v(x) u0 (x) dx
Ejemplo 22
Consideremos distintas situaciones que pueden aparecer en las que aplicaremos integración por partes.
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21
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R
1
a) Si tenemos x ln(x) dx, tomaremos u = ln (x) y v0 (x) = x. De esta manera du = dx
x
1 2
y v = x , y tenemos
2
Z
Z
1 2
1
1
1
x ln(x) dx = x ln(x) −
x dx = x2 ln(x) − x2 + c
2
2
2
4
R
b) Si tenemos x sen(x) dx, tomaremos u = x y v0 (x) = sen(x). De esta manera du = dx
y v = − cos(x), y tenemos
Z
Z
x sen(x) dx = −x cos(x) +
cos (x) dx = −x cos(x) + sen(x) + c
R
c) Consideremos la integral x ex dx. Entonces tomaremos u = x y v0 (x) = ex , con lo que
du = dx y v(x) = ex y tenemos:
Z
Z
x
x
x e dx = x e +
ex dx = x ex + ex + c
R
1
d) Para ln(x) dx se toma u(x) = ln(x) y v0 (x) = 1, y se tiene u0 (x) = y v(x) = x, y
x
entonces:
Z
Z
1
ln(x) dx = x ln(x) −
x dx = x ln(x) − x + c
x
2.2.
La integral definida.
Definición 10 Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y F una primitiva de f en dicho
Rb
intervalo. Se llama integral definida de f entre a y b, y notamos f (x) dx al número real definido
a
por
Zb
f (x) dx = F(b) − F(a).
a
En cuyo caso, decimos que f es integrable en [a, b].
Observación 8 Notar la relación entre la integral definida con la integral indefinida. Ası́, dada f
continua en [a, b] y F una primitiva de f resulta
Zb
f (x) dx = F(x) |ba = F(b) − F(a).
a
Ejemplo 23
Z1
x2 dx =
x3 1 13 03 1
|=
−
= .
3 0 3
3
3
0
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Nota 2 También son integrables en [a, b] las funciones que tienen un número finito de discontinuidades de salto finito (funciones seccionalmente continuas).
Observación 9 Convenimos lo siguiente:
a)
Ra
f (x) dx = 0
a
b)
Rb
f (x) dx = −
a
Ra
f (x) dx
b
c) Si f es integrable en [a, b] y g coincide con f en [a, b] salvo en un número finito de
puntos, entonces g es integrable en [a, b] y
Zb
Zb
f (x) dx =
a
g(x) dx
a
Proposición 6 (Propiedades de las integrales definidas)
Linealidad:
Si f, g : [a, b] → R son funciones integrables y α ∈ R entonces:
a) f + g es integrable y
Zb
Zb
( f + g)(x) dx =
a
Zb
f (x) dx +
a
g(x) dx
a
b) α f es integrable y
Zb
Zb
(α f )(x) dx = α
a
f (x) dx
a
Monotonia:
Dadas f, g : [a, b] → R funciones integrables tales que f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b]
entonces:
Zb
Zb
f (x) dx ≤
g(x) dx
a
a
De aqui se deduce que si f es integrable y no negativa en [a, b] entonces:
Zb
f (x) dx ≥ 0
a
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Acotacion:
Si f : [a, b] → R es una función continua, existe dos números m, M ∈ R tales que
Zb
m(b − a) ≤
f (x) dx ≤ M(b − a)
a
donde podemos tomar a m y a M como el mı́nimo y el máximo aboslutos de f .
Aditividad respecto del intervalo:
Sea f : [a, b] → R y sea c ∈ [a, b], entonces f es integrable en [a, b] si y solo si lo es en [a, c]
y en [c, b], verificándose además que:
Zb
Zc
f (x) dx =
Zb
f (x) dx +
a
f (x) dx
a
c
Ejemplo 24
 1



 x
Dada f (x) = 


 2x
si
1≤x≤e
si
e<x≤3
Ze
Z3
f (x) dx =
1
2.3.
1
1
dx +
x
Z3
2x dx
e
Teoremas importantes.
Teorema 14 (Teorema del valor medio para integrales) Si f : [a, b] → R es una función continua
en [a, b] entonces existe un c ∈ [a, b] tal que:
Zb
f (x) dx = f (c) (b − a)
a
Demostración: Sean m, M mı́nimo y máximo de f (x) respectivamente en [a, b], es decir,
m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ [a, b]
luego
m(b − a) ≤
Rb
f (x) dx ≤ M(b − a)
a
y resulta
m≤
1
b−a
Rb
f (x) dx ≤ M
a
Aplicando el teorema del valor intermedio en [a, b] se tiene que existe c ∈ (a, b) tal que:
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1
f (c) =
b−a
Zb
f (x) dx
a
Teorema 15 (Teorema fundamental del cálculo) Sea f : [a, b] → R integrable. La funcion F :
[a, b] → R definida por
Zx
F(x) =
f (t) dt
a
se denomina función integral y verifica las siguientes propiedades:
a) F es continua en [a, b].
b) F es derivable en [a, b] y F0 (x) = f (x).
Ejemplo 25
Si F(x) =
Rx
2
2
e−u du entonces F0 (x) = e−x
0
Observación 10 (Sustitución en la integral definida)
Cuando se evalúa una integral definida por sustitución, se pueden aplicar dos métodos.
Uno es evaluar primero la integral indefinida y, enseguida aplicar la definición. Otra, es
cambiar los extremos de integración cuando se cambia la variable.
Si g0 es continua sobre [a, b] y f lo es sobre la imagen de g(x) entonces
Zg(b)
Zb
f (g(x))g0 (x) dx =
a
f (u) du
g(a)
Ejemplo 26
R1
πcos(πx) dx =
Rπ
−π
2
1
2
cos(u) du = sen(π) − sen( −π
)=1
2
Teorema 16 Sea f : [−a, a] → R una función continua
1. Si f es par entonces
Za
Za
f (x) dx = 2
−a
2023
f (x) dx
0
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2. Si f es impar entonces
Za
f (x) dx = 0
−a
Demostración:
Za
Za
Z0
f (x) dx =
−a
f (x) dx +
−a
f (x) dx
0
Aplicando la sustitución u = −x tenemos que
Z0
Z0
f (x) dx = −
f (−u) du
a
−a
y como f es par resulta
Z0
Za
Z0
f (x) dx = −
f (u) du =
a
−a
f (u) du
0
Luego
Za
Za
Z0
f (x) dx =
−a
f (x) dx +
−a
Za
f (x) dx =
0
Za
f (u) du +
0
Za
f (x) dx = 2
0
f (x) dx
0
Ası́ queda demostrada la primera parte del teorema. El caso con f impar se demuestra de
manera análoga
2.4.
Aplicaciones de la integral definida.
Cálculo de áreas
Primero veamos una aplicación que surge casi naturalmente luego de definir la integral
definida: el cálculo de áreas.
Definición 11
Sea y = f (x) una ecuación que determina una curva en el plano xy. Supongamos que f es
continua y no negativa en el intervalo a ≤ x ≤ b. Consideremos la región R limitada por
las gráficas de y = f (x), x = a, y = 0 y x = b. Entonces el área de la región R, A(R), viene
dada por
Zb
A(R) =
f (x) dx
a
Ejemplo 27
26
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El área de la región plana R determinada por la gráfica de f (x) = x2 y el eje x en el intervalo
[−1, 3] es
Z3
x3 3
28
x2 dx =
|−1 =
A(R) =
3
3
−1
Observación 11
¿Qué sucede si f es una función no positiva en el intervalo a ≤ x ≤ b? ¿Cómo halları́amos
el área encerrada entre tal función y el eje x? Claramente, si f (x) ≤ 0 en [a, b] resulta
− f (x) ≥ 0 y el área de la región encerrada por la gráfica de f y el eje x coincide con el área
de la región limitada por la gráfica de − f (x) y el eje x en [a, b]. Luego
Zb
A=
− f (x) dx
a
Teorema 17
Sean y = f (x) e y = g(x) dos ecuaciones que determinan dos curvas distintas en el plano
xy. Supongamos que tanto f como g son continuas en el intervalo a ≤ x ≤ b y que se
verifica que f (x) ≥ g(x) para todo x de dicho intervalo. Consideremos la región S limitada
entre las gráficas de y = f (x), x = a, y = g(x) y x = b. Entonces el área de la región S, A(R),
viene dada por
Zb
A(R) =
f (x) − g(x) dx
a
Ejemplo 28
El área de la región plana acotada limitada por las gráficas de f (x) = x2 y g(x) =
A(R) =
Z1 √
√
x es
1
x − x2 dx =
3
0
Aplicaciones a la Administración y la Economı́a
Entre las funciones que se utilizan en economı́a para hacer modelos de situaciones de
mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda.
Función de oferta: una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza
esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el
mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que,
2023
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en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que
los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en algún perı́odo especı́fico.
Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa está
dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos permite
asegurar que la función de oferta es una función creciente. Si p representa el precio por
unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p y q se la
denomina función de oferta y a su gráfica se la conoce como gráfica de oferta.
A esta función la simbolizamos p = o(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la
cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado.
Función de demanda: La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de
productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender
esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una
disminución de la cantidad demandada del artı́culo porque no todos los consumidores
están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al
aumentar el precio por eso esta es una función decreciente como lo observamos en los
ejemplos gráficos. Podemos asegurar entonces que para cada precio de un producto
existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en
determinado perı́odo. Si el precio por unidad de un producto está dado por p y la cantidad
correspondiente en unidades está dada por q la ley que los relaciona se denomina función
de demanda. A su gráfica se la llama gráfica de demanda.
A esta función la simbolizamos p = d(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la
cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el mercado.
El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de intersección de
la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio.
En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto
que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar
más en un artı́culo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio
de equilibrio del artı́culo y los mayores precios que todas esas personas aceptan pagar se
considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit de los consumidores.
El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos
a pagar por q0 artı́culos. El área sombreada bajo la recta y = p0 muestra la cantidad total
que los consumidores realmente gastarán en el precio p0 de equilibrio. El área entre la
curva y la recta representa el superávit de los consumidores o excedente de los consumidores.
El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p = d(q) y p = p0
entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma:
Zq0
EC =
d(q) − p0 dq
0
donde d(q) es una función demanda con precio de equilibrio p0 y demanda de equilibrio
q0 .
28
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De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un
producto a un menor precio que el precio p0 de equilibrio, el total de las diferencias
entre el precio de equilibrio y los precios más bajos a los que los fabricantes venderı́an
el producto se considera como una entrada adicional para los fabricantes y se llama el
superávit de los productores o excedente de fabricantes.
El área total bajo la curva de oferta entre q = 0 y q = q0 es la cantidad mı́nima total que
los fabricantes están dispuestos a obtener por la venta de q0 artı́culos. El área total bajo
la recta p = p0 es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre esas dos áreas, el
superávit de los productores, también está dada por una integral definida.
Si s = s(q) es una función de oferta con precio p0 de equilibrio y oferta q0 de equilibrio,
entonces el superávit de los productores viene dado por
Zq0
EF =
p0 − s(q) dq
0
2.5.
Integrales impropias.
En la integral definida se ha supuesto que el intervalo de integración es acotado, y que
en él la función que estamos integrando también es acotada. Cuando alguno de estos
requisitos no se cumple, surgen las integrales impropias.
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Definición 12 (Integral impropia)
a) Sea f una función continua en [a, +∞), se llama integral impropia de f en [a, +∞), y notamos
+∞
R
f (x) dx al lı́mite:
a
Z+∞
Zt
f (x) dx = lı́m
f (x) dx.
t→+∞
a
a
b) Sea f una función continua en (−∞, b], se llama integral impropia de f en (−∞, b], y notamos
Rb
f (x) dx al lı́mite:
−∞
Zb
Zb
f (x) dx = lı́m
f (x) dx.
t→−∞
t
−∞
Las integrales impropias
Rb
f (x) dx y
+∞
R
f (x) dx se dicen convergentes si los lı́mites corres-
a
−∞
pondientes existen, y divergentes en caso contrario.
c) Sea a ∈ R. Si tanto
Ra
f (x) dx como
+∞
R
f (x) dx son convergentes, entonces definimos
a
−∞
Z+∞
f (x) dx =
−∞
Z+∞
Za
f (x) dx +
−∞
f (x) dx
a
Si al menos una de las integrales diverge entonces diremos que la integral impropia diverge.
Ejemplo 29
a)
+∞
R
1
Rt 1
1
dx = lı́m
dx = lı́m ln(x)|t1 = lı́m (ln(t) − ln 1) = +∞
t→+∞
t→+∞
t→+∞
x
x
1
Por lo tanto esta integral es divergente.
b)
+∞
R
1
Rt 1
1
−1
−1 t
dx
=
lı́m
dx
=
lı́m
=
lı́m
+
1
=1
t→+∞
t→+∞
t→+∞ x 1
x2
x2
t
1
Por lo tanto esta integral es convergente.
c)
+∞
R
−∞
+∞
R0 1
R
1
1
dx
=
dx
+
dx.
2
2
2
1+x
−∞ 1 + x
0 1+x
Dado que:
Z+∞
−∞
30
1
dx = lı́m
t→−∞
1 + x2
Z0
t
1
π
π
0
dx = lı́m arctan x|t = lı́m (arctan 0 − arctan t) = − −
=
2
t→−∞
t→−∞
1+x
2
2
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Z+∞
FCE-UA
1
dx = lı́m
t→+∞
1 + x2
Zt
0
1
π
dx = lı́m arctan x|t0 = lı́m (arctan t − arctan 0) =
2
t→+∞
t→+∞
1+x
2
0
resulta entonces que
Z+∞
−∞
1
dx = π
1 + x2
es convergente.
Proposición 7 La integral
+∞
R
1
2.6.
1
dx es convergente si p > 1, y divergente si p ≤ 1.
xp
Ecuaciones diferenciales de primer orden.
Definición 13 Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o
más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva,
las ecuaciones diferenciales se dividen en:
1. Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola
variable independiente.
2. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más
variables.
Las ecuaciones que tienen como incógnitas una función y su derivada primera se denominan
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
Ejemplo 30
y0 = 2x + 1 es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden donde y = f (x) es la
dy
variable dependiente (función incógnita), x la variable independiente e y0 = f 0 (x) = dx es
la derivada de y con respecto a x.
La resolución de ecuaciones diferenciales consiste en hallar una función que satisfaga
una determinada ecuación. Se puede llevar a cabo mediante un método especı́fico para la
ecuación diferencial en cuestión.
Ecuaciones diferenciales lineales a variables separables.
Son aquellas que se pueden escribir de la forma
y0 = f (x)g(y).
dy
, estas ecuaciones adoptan la forma genérica:
dx
f (y)dy = g(x)dx
Si y = y(x), teniendo en cuenta que y0 =
Se resuelven simplemente integrando en ambos lados de la ecuación:
Z
Z
f (y)dy =
g(x)dx
Las dos constantes de integración aparecen juntas como una sola constante indistintamente en alguno de los lados de la ecuación.
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31
FCE-UA
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Ejemplo 31
Resolvamos la ecuación (x + 1)y0 = y + 1. Al considerar y0 =
dy
, toma la forma:
dx
dy
dx
=
y+1 x+1
para y , −1 y x , −1. Ası́
Z
dy
=
y+1
Z
dx
x+1
Entonces obtenemos que
ln y + 1 = ln |x + 1| + c
Aplicando la función exponencial de ambos lados de la ecuación y considerando que ec
es también una constante (a la que volveremos a llamar c por comodidad) obtenemos:
y + 1 = C |x + 1| ,
c ∈ R+
Podemos ver, para terminar, que es posible quitar las barras de valor absoluto haciendo
que la constante c sea cualquier número real. De esta forma,
y(x) = −1 + C (x + 1) ,
c∈R
Ejemplo 32
Dado el costo marginal CM = 25 + 30 q − 9 q2 de la producción de cierto artı́culo, queremos
hallar cuál es el costo total C del mismo.
Con este fin, podemos resolver la ecuación diferencial
CM =
dC
= 25 + 30 q − 9 q2
dq
Esta ecuación es a variables separables:
dC = 25 + 30 q − 9 q2 dq
de lo que surge que
C = 25 q + 15 q2 − 3 q3 + k,
k∈R
La constante de integración k es el valor del costo C cuando no hay producción (q = 0), lo
que se conoce con el nombre de costo fijo CF . Ası́
C(q) = 25 q + 15 q2 − 3 q3 + CF .
32
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2.7.
FCE-UA
Ejercicios propuestos
1. Calcule las siguientes integrales aplicando el método de descomposición:
5 x4 + 9 x8 dx
R 2
3
2
3
; iv)
2 x − 3 x dx
!
R x3 − 3 x2 + 1
; vi)
dx
√
x
√ !
R 2 x6 − x2 + 2
dx
; viii)
√3
x5
R
2 x2 − 3 sen x dx
R 1
iii)
ln 2 +
dx
x
!
6
5
R 3x − 2x − 1
dx
v)
x5
R 4
2
−
dx
vii)
x5 x7
i)
2.
; ii)
R a) La función ingreso marginal del producto de una empresa es I0 (q) = 40000 − 2q
donde q es el número de unidades vendidas. Si el ingreso total I es 0 cuando no
se venden unidades, determine la función de ingreso total del producto.
b) La función que describe el costo marginal (en pesos) de fabricar un producto
es C0 (q) = 2800 + 6q, donde q es el número de unidades producidas. Si el costo
toal es de $60000 cuando se fabrican 20 unidades mensuales, determine el costo
total de producir 50 unidades mensuales.
3. Calcule las siguientes integrales aplicando el método de sustitución
R 2
cos (ln(x)) dx
R x
(3 x + 2)5 dx
iii)
R 4x + 2
v)
dx
x2 + x
R e 1x
vii)
dx
x2
R dx
ix)
R a + xdx
xi)
x2 + 2x + 10
i)
; ii)
;
;
;
sen(3 x) dx
R
3 x4 sen(x5 ) dx
R
x
vi)
dx
√
x2 + 1
R
viii)
x cos 2 − 3 x2 dx
R x4
x)
dx
x
+
1
R
dx
xii)
1 + 9 x2
; iv)
;
R
4. Calcule las siguientes integrales aplicando el método de integración por partes:
i)
R
5 ln(x) dx
; ii)
R
4 x sen(x) dx
R x
iii)
(−7) x ln(x) dx ; iv)
ex dx
R
R 3
v) R x2 ex dx
; vi) R x2 ln(x) dx
vii) R x cos(x) dx
; viii) R x e−x dx
√
ix)
arc tg(x) dx
; x)
x ln(x) dx
R
5. Calcule las siguientes integrales aplicando el método que resulte conveniente:
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33
FCE-UA
Análisis Matemático II
√ R sen x
i)
dx
√
x
R
ex
iii)
dx
4 + 9 e2x
R
sen(x)
v)
dx
p
1 + 2 cos(x)
R
dx
vii)
x 1 + ln2 (x)
R
2
3
ix)
x ex +1 dx
2
R
xi)
ln(2x) dx
R
3x
xiii)
dx
√
2
5
+
x
R √
xv)
x 3x2 + 7 dx
; ii)
R
x ln 3 x2 − 1 dx
R x+1
dx
x2 √
+1
R
x
; vi)
√ dx
1+ x
R √
; viii)
x ln(2x) dx
; iv)
√ 1
√ arc tg x dx
x
R 1+tg
x
; xii)
dx
cos2 (x)
R
sen(x)
dx
; xiv)
p
1
−
cos(x)
R 2
; xvi)
ln (x) dx
; x)
R
6. Calcule las siguientes integrales definidas:
i)
R3
x2 dx
; ii)
iii)
v)
; iv)
; vi)
π
2
π
2
vii)
ix)
R
0
R3
x2 +
0
0
Re dx
x
1
0
R
x sen(x) dx
R2 Rπ
0
R1
3x
dx
2
sen(x) dx
x ex dx
0
π
(cos(x) − 2) dx ; viii)
|x − 2| dx
; x)
−1
R2
− π2
R2
x sen(x) dx
f (x) dx,
−1


−1 si −1 < x < 12



5 si 12 ≤ x < 1
siendo f (x) = 


 1 si 1 ≤ x < 3
2
7. El costo marginal de una empresa a un nivel de producción q es C0 (q) = 23,5 − 0,01q.
Calcule el incremento en el costo total cuando el nivel de producción se incrementa
de 1000 a 1500 unidades.
8. La función ingreso marginal de una empresa está dada por I0 (q) = 25 − 3q. Determine
el cambio en el ingreso de la empresa si el nivel de ventas aumenta de 2 a 4 unidades.
9. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique:
a) Si
R4
3 f (x) − 2x + 7 dx = 12 entonces
1
b) Si
R4 1
34
R4
f (x) dx = 2.
1
√1
x
− a dx = −13 entonces a = 5.
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Análisis Matemático II
c) Si
R3
FCE-UA
f (x) dx =
2
d) Si
R2
f (x) dx entonces
3
R0
f (x) dx = 4 y
−3
10.
R3
f (x) dx = 0.
2
R0
f (x) dx = 5, entonces
R2
f (x) dx = 9.
−3
2
a) Halle el valor medio de las siguientes funciones reales f en los intervalos [a, b]
indicados:
ex
,
a = 0, b = 1
; ii) f (x) = 4 x2 ,
2
iii) f (x) = cos(x),
a = 0, b = π ; iv) f (x) = 3x ,
a = 0, b = 1
f (x) =
i)
a = 1, b = 2
b) Para las funciones reales f y los intervalos [a, b] dados en el item anterior, halle
los valores de c ∈ [a, b] de manera que se satisfaga el Teorema del Valor Medio
del Cálculo Integral.
11. Halle el área de la región del plano limitada por la gráfica de la función real f = f (x),
por el eje x y las rectas x = a y x = b, siendo:
i)
f (x) = 2 x3 ,
iii) f (x) = 3 sen(x),
v)
f (x) = −x2 + 9,
1
,
a = 2, b = 3
x3
π
1
a = 0, b =
; iv) f (x) = ,
a = 1, b = 5
6
x
π
a = −3, b = 3 ; vi) f (x) = sen(x),
a = 0, b =
2
a = 1, b = 2
f (x) =
; ii)
12. Halle el área de la región del plano encerrada por las gráficas de las siguientes
funciones reales o ecuaciones :
i)
y = x2 ,
y = 2x
2
1
y= , y=
x
x
v) y = 0, x = 0, y = −x2 + h2
vii) y = 2x − 4, y = x − 4, y = −x + 14
ix) y = x2 , y = x + 2, y = −x + 2
xi) y = ln(x), x = e, y = −x + 1
iii)
y = 4 x,
y = x,
; ii)
; iv)
;
;
;
;
vi)
viii)
x)
xii)
1
y = , x = 1, x = e, y = 0 ;
x
√
y = x2 ,
y= x
;
y = 1 + x2 , y = 9 − x2
y = x2 , y = 3x + 4
y = x − 2, y = x2 − 4
y = 2x − x2 , y = |x − 1| − 1
;
;
;
;
13. En cada uno de los siguientes casos, halle el excedente de los consumidores y el
excedente de los fabricantes para un mercado en equilibrio:
a) d(q) = 100 − 0, 05q y s(q) = 10 + 0, 1q
90
y s(q) = q + 1
b) d(q) =
q+2
c) d(q) = 20 − 0, 8q y s(q) = 4 + 1, 2q
d) d(q) = 400 − q2 y s(q) = 2q + 100.
14. Demuestre la Proposición 7.
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Análisis Matemático II
15. Calcule las siguientes integrales impropias:
i)
+∞
R
0
+∞
R
1
1+x2
dx
+∞
R
; ii)
0
R0
dx
; v)
√
x
1
+∞
R 1
vii)
dx ; xi)
x0,99
1
iv)
−∞
+∞
R
−x2
xe
dx
; iii)
dx
dx ; vi)
9 + x2
e−x dx
0
; xii)
+∞
R
√
e x
√ dx
x
1
R0
dx
−∞ (x
+∞
R
2
− 1) 3
x e−x dx
−∞
16. En una empresa, el valor actual de todas las utilidades futuras, a una tasa de interés
r capitablizable continuamente, está dada por
Z+∞
p(t) e−rt dt
0
en donde p(t) es la utilidad anual (en pesos) en el instante de tiempo t. Evalúe la
integral impropia si p(t) = 240000 y r = 0,06.
17. Calcule el área de la región plana del primer cuadrante limitada por la curva de
ecuación y = e−2x y el eje x.
18. Compruebe que la función y = Ce−2x es una solución general de la ecuación y0 + 2y =
0. Dar la solución particular que pasa por el punto (0, 3).
19. Compruebe que la función y = C1 sen(3x) + C2 cos(3x) es una solución general de la
ecuación y00 + 9y = 0. Dé la solución particular que pasa por el punto ( π6 , 2), y además
y0 ( π6 ) = 1.
20. Resolver el problema de valores iniciales
(
y0 = y2 + 4
y(0) = 2
21. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) y0 =
x
y
b) y0 + 2y = 1
c) y0 =
x2 + 2
3y2
d) (2 + x)y0 = 3y
e) xy0 = y
f ) yy0 = sen x
g) xyy0 − ln x = 0
h) y0 = e3x+2y
36
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Análisis Matemático II
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i) 2x2 y − y + x3 y0 = 0
j) xy − y0 = x2 y0
k) y0 + (x − 1)y = 0
l) y + (x − 1)y0 = 0
22. Una sociedad de crédito hipotecario anunció que el interés se ajustará de manera
continua, con una tasa del 10 % por año. Esto significa que si P es el balance en una
cuenta al tiempo t,
dP
= (0,1)P.
dt
Si P0 es la inversión en el primer dı́a del año, encuentre a cuánto asciende la cuenta
al final del primer año.
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3.
Análisis Matemático II
Secciones Cónicas y Superficies
3.1.
Secciones Cónicas Elementales.
Definición 14 Se llama superficie cónica o cono a la superficie engendrada por una lı́nea recta,
llamada generatriz, que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo, llamado vértice, sobre
dicho eje.
Hay varias formas de definir las cónicas. Una de ellas es en términos de intersección de
planos y conos:
Definición 15 Se llama cónica a la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano.
Las distintas posiciones del plano determinan diferentes cónicas.
1. La circunferencia es la cónica que se obtiene cuando el plano secante es perpendicular
al eje de la superficie cónica, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.
38
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Análisis Matemático II
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2. La elipse es la cónica que se obtiene cuando el plano secante no es perpendicular al
eje de la superficie cónica, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.
3. La hipérbola es la cónica que se obtiene cuando el plano es paralelo al eje de la
superficie cónica y no pasa por el vértice.
4. La parábola es la cónica que se obtiene cuando el plano secante no es perpendicular
al eje de la superficie cónica, es paralelo a una generatriz y no pasa por el vértice.
5. Cuando el plano que corta a la superficie cónica contiene al vértice se obtiene una
sección llamada cónica degenerada.
Otra forma de definir estas curvas y que permite obtener una ecuación que las describa
es la dada a continuación:
1. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un
punto fijo llamado centro es constante. Vale decir, si C es el centro de la circunferencia
y P es un punto que está sobre la curva se cumple que
d(C, P) = r
donde r ∈ R constante.
Veamos cómo obtener la ecuación de la circunferencia. Supongamos que el centro
de la circunferencia es el punto C(a, b) y tomemos un punto cualquiera P(x, y) de la
curva. Entonces tendremos que:
q
(x − a)2 + (y − b)2 = r
Elevando al cuadrado obtenemos que:
(x − a)2 + y − b 2 = r2
que es la ecuación de la circunferencia.
El radio r de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha
circunferencia al centro.
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Análisis Matemático II
Observación 12
Si desarrollamos los cuadrados en la ecuación de la circunferencia, obtendremos
que:
x2 + y2 − 2 x a − 2 y b + a2 + b2 − r2 = 0
Ejemplo 33
a)
(x − 1)2 + (y + 2)2 = 4
es la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (1, −2) y radio 2.
b) La ecuación
4x2 + 4y2 + 8x − 24y − 40 = 0
√
es la ecuación de una circunferencia centrada en (−1, 3) y de radio 20. En
efecto:
4x2 +4y2 +8x−24y−40 = 0 ⇔ 4 x2 + y2 + 2x − 6y − 10 = 0 ⇔ (x2 +2x)+(y2 −6y)−10 = 0
⇔ x2 + 2x + 1 − 1 + y2 − 6y + 9 − 9 −10 = 0 ⇔ (x + 1)2 − 1 + (y − 3)2 − 9 −10 = 0
⇔ (x + 1)2 + (y − 3)2 − 20 = 0 ⇔ (x + 1)2 + (y − 3)2 = 20.
√
c) la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 3 es
x2 + y2 = 3.
2. La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a
dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Para deducir la ecuación de esta curva se consideran los focos situados sobre el eje
x equidistantes del origen de coordenadas, es decir F(c, 0) y F0 (−c, 0) con c > 0 y sea
P(x, y) un punto cualquiera de la curva. A partir de la definición de la elipse:
d(F, P) + d(F0 , P) = 2 a
se obtiene:
x2 y2
+
=1
a2 b2
donde b2 = a2 − c2 y a > c > 0.
Observación 13
La recta que pasa por los focos corta a la elipse en dos puntos llamados vértices.
El segmento que une los vértices es el eje mayor de la elipse y su punto medio el
centro de la elipse. El segmento perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro
se llama eje menor de la elipse.
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Observación 14
Se puede hacer el mismo razonamiento hecho hasta aquı́ pero situando los focos en
los puntos F(0, c) y F0 (0, −c). De esta manera el eje mayor de la elipse estará sobre el
eje y y la ecuación resultarı́a:
y2 x2
+
=1
a2 b2
Ejemplo 34
a)
x2 y2
+
=1
9
4
es la ecuación de una elipse
con eje
√
√ focal el eje x, vértices en (−3, 0) y (3, 0) y los
focos son los puntos ( 5, 0) y (− 5, 0)
b)
y2
=1
4
es la ecuación de una elipse
√ con eje√focal el eje y, vértices en (0, −2) y (0, 2) y los
focos son los puntos (0, − 3) y (0, 3)
x2 +
Observación 15
Como en el caso de la circunferencia, el centro de la elipse podrı́a ser otro (y no el
origen de coordendas). En el caso en que el centro es el punto de coordendas (x0 , y0 )
y el eje focal es parapelo al eje x, la ecuación de la elipse es
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
= 1,
a2
b2
en cambio si el eje focal es paralelo al eje y, la ecuación de la elipse es
(y − y0 )2 (x − x0 )2
+
= 1,
a2
b2
donde b2 = a2 − c2 , a > c > 0.
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Análisis Matemático II
Ejemplo 35
(y + 2)2
= 1 es de centro (1, −2). Los vértices son (1, 0)
La elipse de ecuación (x − 1) +
4
y (1, −4).
2
3. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo valor absoluto de
la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos
se llaman focos de la hipérbola.
Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c, 0) y
F0 (−c, 0) (de esta manera tenemos a la hipérbola centrada en el origen), y tomemos
un punto cualquiera P(x, y) de la curva. Luego de la definición de hipérbola:
|d(F, P) − d(F0 , P)| = 2 a
donde 0 < a < c. Trabjando algebraicamente se obtiene que:
x2 y2
−
=1
a2 b2
donde b2 = c2 − a2 .
Observación 16
La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices.
Dicha recta es el eje focal de la hipérbola. El punto medio del segmento que une los
vértices se llama el centro de la hipérbola. La recta perpendicular al eje focal y que
pasa por el centro se llama eje secundario o imaginario de la hipérbola. La hipérbola
resulta ser simétrica respecto de su eje focal y respecto de su eje imaginario.
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Análisis Matemático II
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Observación 17
Se puede hacer el mismo razonamiento hecho hasta aquı́ pero situando los focos en
los puntos F(0, c) y F0 (0, −c). De esta manera el eje focal de la hipérbola estará sobre
el eje y, y la ecuación a la que llegarı́amos serı́a:
y2 x2
−
=1
a2 b2
Observación 18
Toda hipérbola tiene dos ası́ntotas que se intersecan en su centro y pasan por los
vértices de un rectángulo de dimensiones 2a y 2b y centro en el centro de la hipérbola.
Si la hipérbola tiene el eje focal horizontal las ecuaciones de las ası́ntotas son
b
y=± x
a
y si el eje focal es vertical, las ecuaciones de las ası́ntotas son
a
y=± x
b
Ejemplo 36
a)
x2 y2
−
=1
9
4
es la ecuación de una hipérbola con eje focal el eje x. Las ası́ntotas son las rectas
2
2
de ecuaciones y = x e y = − x, los vértices están en (−3, 0) y (3, 0) y los focos
√3
√ 3
son los puntos ( 13, 0) y (− 13, 0)
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Análisis Matemático II
b)
x2
=1
4
es la ecuación de una hipérbola con eje focal el eje y. Las ası́ntotas son las rectas
x
de ecuaciones y = e y = −2x,los vértices son (0, −1) y (0, 1) y los focos son los
2 √
√
puntos (0, − 5) y (0, 5)
y2 −
Observación 19
Similar a lo realizado con la elipse, si el centro de la hipérbola es el punto de
coordendas (x0 , y0 ) y el eje focal es parapelo al eje x, la ecuación de la hipérbola es
(x − x0 )2 (y − y0 )2
−
= 1,
a2
b2
en cambio si el eje focal es paralelo al eje y, la ecuación de la elipse es
(y − y0 )2 (x − x0 )2
−
= 1,
a2
b2
donde b2 = c2 − a2 , 0 < a < c.
Ejemplo 37
(y + 2)2
= 1 es de centro (1, −2). Los vértices son
La hipérbola de ecuación (x − 1) −
4
(0, −2) y (2, −2).
2
44
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Análisis Matemático II
FCE-UA
4. La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz que no contiene al foco.
Si supongamos que el foco esté situado en el punto F(0, c) y la directriz r es la recta
y = −c. Si tomamos un punto cualquiera P(x, y) de la parábola, debe cumplirse que
por definición:
d(F, P) = d(r, P)
y trabajando algebraicamente se obtiene la ecuación:
x2 = 4 c y
Observación 20 La parábola es simétrica respecto a la recta perpendicular a la directriz que
pasa por el foco, llamada eje de simetrı́a de la parábola. El punto que resulta como intersección
de la curva con dicho eje recibe el nombre de vértice de la parábola. El vértice es el punto
cuya distancia a la directriz es mı́nima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce como
distancia focal (o radio focal).
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FCE-UA
Análisis Matemático II
Observación 21 Se puede hacer el mismo razonamiento hecho hasta aquı́ pero situando al
foco en F(c, 0). De esta manera el eje de simetrı́a de la parábola será paralelo al eje x, y la
ecuación a la que llegarı́amos serı́a:
y2 = 4 c x
Ejemplo 38
a) x2 = 4y es la ecuación de una parábola con eje focal el eje y, el foco es el punto
(0, 1) y la recta directriz es y = −1.
b) y2 = −8x es la ecuación de una parábola con eje focal el x, el foco es (−2, 0) y la
recta directriz es x = 2.
Observación 22
Si el vértice de la parábola es el punto de coordenadas (x0 , y0 ) y el eje focal es parapelo al
eje x, la ecuación de la parábola es
(x − x0 )2 = 4c(y − y0 )
y si en cambio si el eje focal es paralelo al eje y, la ecuación de la parábola resulta
(y − y0 )2 = 4c(x − x0 )
Ejemplo 39
La parábola de ecuación (y − 1)2 = −2(x − 4) tiene por vértice el punto de coordenadas
(4, 1).
46
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Análisis Matemático II
3.2.
FCE-UA
Ecuación general de segundo grado en dos variables
Definición 16 Se conoce como ecuación general de segundo grado en dos variables a la
expresión algebraica del tipo:
A x2 + B xy + C y2 + D x + E y + F = 0
en donde A, B y C no son cero a la vez.
Observación 23 Esta ecuación general representa a todas las cónicas: parábola, elipse, circunferencia o hipérbola o bien una cónica degenerada (dos rectas paralelas o secantes, un punto o el
conjunto vacı́o).
Ejemplo 40
1. y2 + 8x − 6y + 33 = 0. Completando cuadrados se tiene que es equivalente a (y − 3)2 +
8x + 24 = 0 o equivalentemente,
(y − 3)2 = −8(x + 3)
es una parábola con vértice en (−3, 3) y eje focal la recta y = 3.
2. 4x2 + 9y2 + 8x − 36y + 4 = 0. Completando cuadrados se tiene que es equivalente a
4(x + 1)2 + 9(y − 2)2 − 36 = 0 o equivalentemente,
(x + 1)2 (y − 2)2
+
=1
9
4
es una elipse centrada en (−1, 2) y eje focal la recta y = 2. Los vértices son (2, 2) y
(−4, 2).
3. x2 + y2 + 2x + 10 = 0. Completando cuadrados se tiene que es equivalente a (x + 1)2 +
(y + 2)2 + 5 = 0 o equivalentemente,
(x + 1)2 + (y + 2)2 = −5
lo que representa al conjunto vacı́o. Por lo tanto corresponde a una cónica degenerada.
3.3.
Superficies en tres dimensiones.
Definición 17 Una superficie es la gráfica de una ecuación con tres variables x, y, z.
Ejemplo 41 Un plano es una superficie.
Observación 24
La gráfica de una superficie puede ser muy complicada. Es más fácil de visualizar encontrando las intersecciones de la superficie con planos bien elegidos. Estas intersecciones
se llaman trazas. Son particularmente útiles las trazas de los tres planos coordenados. En
muchos casos nos resultará de gran utilidad el uso del software libre GeoGebra. Pueden
descargalo en forma gratuita en el siguiente link: https://www.geogebra.org
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Análisis Matemático II
Figura 1: Cilindro
Cilindros.
Definición 18 Sea C una curva contenida en un plano y sea r una recta que intersecte a C y que
no está contenida en tal plano. El conjunto de todos los puntos de las rectas que son paralelas a r e
intersectan a C se llama cilindro. A la curva C se la llama directriz, y a la recta r generatriz.
Ejemplo 42
Sea la ecuación
x2
4
+
y2
9
=1
en la que falta la variable z. Esta ecuación determina una curva C en el plano xy, que es
una elipse. Además, si (x0 , y0 , 0) satisface la ecuación, también lo hacen todos los puntos
de la forma (x0 , y0 , z) con z ∈ R. Por lo tanto, el punto (x0 , y0 , z) describe una recta paralela
al eje z, y consideramos entonces que el eje z es la directriz y se toma como generatriz a la
elipse anteriormente mencionada.
Cuádricas.
Definición 19 Una superficie cuadrática (o cuádrica) es la gráfica de una ecuación de segundo
grado con tres variables x, y, z.
La forma general de la ecuación es:
A x2 + B y2 + C z2 + D xy + E yz + F xz + G x + H y + I z + J = 0
en donde A, B, C, D, E, F, G, H, I y J son constantes, con A, B, C, D, E, F no simultáneamente
nulas.
Observación 25
Las trazas de una cuádrica son cónicas.
48
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Análisis Matemático II
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Esfera.
La esfera o superficie esférica es el lugar geométrico de los puntos P(x, y, z) que equidistan de un punto fijo llamado centro C(x0 , y0 , z0 ). La ecuación de una esfera o superficie
esférica centrada en el origen y de radio r > 0 (distancia del punto P al punto C)
x2 + y2 + z2 = r2
Las trazas de la esfera son circunferencias centradas en el origen de coordenadas y radio
r es decir, la intersección con planos paralelos a los planos coordenados es circunferencia
x=0
y=0
z=0
⇒ y2 + z2 = r2
⇒ x2 + z2 = r2
⇒ x2 + y2 = r2
Figura 2: Esfera
Elipsoide.
La ecuación de una elipsoide centrada en el origen es
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=1
Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planos paralelos a los
planos coordenados es una elipse
x=0
y=0
⇒
⇒
z=0
⇒
y2
b2
x2
a2
x2
a2
+
+
+
z2
c2
z2
c2
y2
b2
=1
=1
=1
Observación 26
Cuando a = b = c el elipsoide es una superficie esférica centrada en el origen de coordenadas y radio a.
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Figura 3: Elipsoide
Hiperboloide de una hoja.
La ecuación de un hiperboloide de una hoja centrada en el origen es
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
=1
Figura 4: Hiperboloide de una hoja
Las trazas del hiperboloide de una hoja son hipérbolas en planos paralelos al plano XZ y
al YZ, mientras que en planos paralelos al XY las trazas son elipses.
x=0
y=0
⇒
⇒
z=0
⇒
y2
b2
x2
a2
x2
a2
−
−
+
z2
c2
z2
c2
y2
b2
=1
=1
=1
El eje por donde se abre el hiperboloide es por el eje cuya variable aparece en la ecuación
negativa (en este caso eje z). La diferencia fundamental entre el hiperboloide de una hoja
y el elipsoide es que tiene una variable con signo negativo.
Hiperboloide de dos hojas.
La ecuación de un hiperboloide de dos hojas centrada en el origen es
2
− xa2 −
50
y2
b2
+
z2
c2
=1
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Figura 5: Hiperboloide de dos hojas
Las trazas de esta superficie son hipérbolas para planos paralelos a XZ y para planos
paralelos al YZ, .
x=0 ⇒
y=0 ⇒
y2
− b2 +
2
− xa2 +
z2
c2
z2
c2
=1
=1
Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas. Esta superficie
no tiene intersección con el plano XY.
Paraboloide elı́ptico.
La ecuación de un paraboloide elı́ptico centrado en el origen es
x2
a2
+
y2
b2
=z
Figura 6: Paraboloide elı́ptico
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Las trazas del paraboloide son elipses para planos paralelos al plano XY, y parábolas para
planos paralelos al XZ o al plano YZ.
x=0
y=0
⇒
⇒
z=k
⇒
y2
b2
x2
a2
x2
a2
+
=z
=z
y2
b2
=k
Su diferencia con las otras cuádricas es que tiene una variable que no está elevada al
cuadrado, y las otras variables tienen el mismo signo.
Paraboloide hiperbólico.
La ecuación de un paraboloide hiperbólico centrado en el origen es
x2
a2
−
y2
b2
=z
Figura 7: Paraboloide hiperbolico
Las trazas del paraboloide hiperbólico son parábolas para planos paralelos al XZ o al
plano YZ, para el plano XY son dos rectas, y para planos paralelos al XY son hipérbolas.
x=0
y=0
⇒
⇒
z=k
⇒
y2
− b2 = z
x2
=z
a2
x2
a2
−
y2
b2
=k
Su diferencia fundamental con las otras superficies es que ella tiene en su ecuación una
variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen signos contrarios
entre sı́.
Cono.
La ecuación de un cono centrado en el origen es
x2
a2
+
y2
b2
=
z2
c2
Las trazas del cono son elipses para planos paralelos al XY, y con los planos YZ y XZ son
dos rectas, y para planos paralelos al YZ o al XZ son hipérbolas.
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x=0
y=0
⇒
⇒
z=k
⇒
y = ± bc z
x = ± ac z
x2
a2
+
y2
b2
=
k2
c2
Ejercicio: ¿Cómo será la gráfica en R3 de un cono? Realice la figura.
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3.4.
Análisis Matemático II
Ejercicios propuestos
1. Determine, en cada caso, la ecuación cartesiana de la circunferencia descripta y dar
dos puntos que pertenezcan a la circunferencia y dos que no pertenezcan.
a) Tiene centro en (2, 7) y radio 8.
1
b) Tiene centro en (2, −1) y pasa por el punto (3, − )
2
2. Determine el centro y el radio de las siguientes circunferencias, luego grafı́quelas.
a) x2 + y2 + x + y = 0.
b) (x − 4)2 + y2 = 2y
c) 2x2 + 2y2 + 7y − 5x + 10 = 0
3. Identifique en cada caso si la ecuación dada representa una elipse o una hipérbola.
Halle vértices, focos y ası́ntotas si correspondiera. Grafique cada una de las curvas.
y2
= 1 ; ii) 4 x2 + y2 = 16
42
y2 x2
x2 y
+
= 1 ; iv)
=
+1
iii)
32
92
4
4
x2 y
v)
−
= 1 ; vi) 4 x2 = 64 + 16 y2
4
8
i)
x2 +
4. Encuentre las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de cada una de las
siguientes parábolas:
i) 3 y2 + 4 x = 0 ; ii) 9 x = y2
iii) 2 x2 = y
; iv) 2 x2 + 24 y = 0
5. Represente gráficamente en el plano las siguientes ecuaciones:
a) 9x2 − 4y2 − 18x − 27 = 0
b) 25x2 + 4y2 + 100x + 24y + 36 = 0
c) x2 − 6 x + 57 = 12 y
d) x2 + 4y2 − 2x − 16y + 21 = 0
e) 3x2 + 3y2 − 6x − 12y = 0
f ) 5x2 + 4y2 = 0
g) x2 − 3y2 = 0
h) x2 + 2x + y2 = 0
i) 5x2 + y − 1 = 0
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6. Grafique el lugar geométrico de R3 representado por cada una de las siguientes
ecuaciones:
a) x + y + 2z − 5 = 0
b) y2 − x = 0
c) x2 + y2 = 4
Figura 8: Gráficas del Ejercicio 7
7. Relacione cada una de las siguientes ecuaciones con la gráfica que corresponda de la
figura 8, indique en cada caso si es superficie esférica, elipsoide, paraboloide elı́ptico,
paraboloide hiperbólico, hiperboloide de una o de dos hojas o una superficie cónica:
x2 y2 z2
+
+
=1
9
16 9
b) 15 x2 − 4 y2 + 15 z2 = −4
a)
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c) 4 x2 − y2 + 4 z2 = 4
d) 12 z = 4 x2 − 3 y2
e) 4 x2 − 4 y + z2 = 0
f ) 4 x2 − y2 + 4 z = 0
8. Identifique el lugar geométrico de los puntos de R3 determinados por las ecuaciones
dadas. Esboce su gráfica con ayuda del GeoGeobra:
a) x2 + y2 + z2 − 4 = 0
b) 3 x2 + 8 y2 − 4 z2 − 24 = 0
y2 z2
x2
+
+
=1
25 16 9
d) 2 x + 3 y + 4 z − 12 = 0
c)
e) z2 = x2 + y2
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4.
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Cálculo Diferencial en Varias Variables
4.1.
El espacio R2
Vamos a generalizar algunos conceptos y resultados vistos durante el curso de Análisis
Matemático I para el espacio R2 .
Definición 20 Llamaremos entorno de centro P0 (x0 , y0 ) ∈ R2 y radio r > 0 y notaremos E (P0 , r) ,
Er (P0 ) o E (P0 ) al conjunto
E (P0 , r) = {P(x, y) ∈ R2 : d (P, P0 ) < r}
siendo d (P, P0 ) =
p
(x − x0 )2 + (y − y0 )2
Definición 21 Sea A ⊂ R2 . Se dice que:
(a) el punto P0 ∈ A es llamado punto interior de A si existe E (P0 ) ⊂ A.
(b) A es un conjunto abierto si todos sus puntos son interiores.
(c) A es un conjunto cerrado si à (complemento de A) es abierto.
(d) un punto P0 es punto de frontera del conjunto A si cualquier E (P0 ) contiene puntos de A
y de Ã.
(e) la frontera del conjunto A, y denotamos ∂A, es el conjunto formado por todos sus puntos
frontera.
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(f) el conjunto A es acotado si es posible contenerlo en un entorno de centro y radio arbitrarios.
Observación 27
El vacı́o es abierto por definición, y R2 es evidentemente abierto. Además, R2 y ∅ también
son cerrados.
Ejemplo 43
1. El entorno E (P0 , r) es un conjunto abierto.
2. El complemento del entorno Ẽ (P0 , r) es un conjunto cerrado.
3. A = (x, y) : |x| < 1 es abierto.
4. La frontera de E (P0 , r) es ∂E (P0 , r) = {P : d(P, P0 ) = r} y es también la frontera de su
complemento.
5. Si A = (x, y) : |x| < 1 entonces ∂A = (x, y) : |x| = 1 .
6. El conjunto A = (x, y) : −1 < x < 1, 0 ≤ y ≤ 2 es acotado.
Teorema 18 Un conjunto es cerrado si y sólo si contiene a su frontera. (A cerrado si y sólo si
∂A ⊂ A)
4.2.
Funciones definidas en R2 y en R3
.
Definición 22 Dado un conjunto D ⊂ R2 se define la función de dos variables f que asigna a
cada (x, y) ∈ D un único z ∈ R
f : D ⊆ R2 → R
(x, y) → z = f (x, y)
D es el dominio de f y z ∈ R
(x, y) ∈ D es el conjunto imagen de la función. La
: z = f (x, y),
3
gráfica de f es el conjunto G = (x, y, z) ∈ R : z = f (x, y), (x, y) ∈ D .
Se puede dar una definición similar para una función de tres variables. Una función de tres
variables asigna a una terna de números reales (x, y, z) un único valor w real.
f : D ⊆ R3 → R
(x, y, z) → w = f (x, y, z)
Ejemplo 44
1. z = f x, y = x2 + y2 , su dominio es D = R2 y su gráfica es un paraboloide elı́ptico.
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2. z = f x, y = 5, su dominio es D = R2 y su gráfica es el plano z = 5.
p
3. z = f x, y = 1 − x2 − y2 , su dominio es D = (x, y) : x2 + y2 ≤ 1 y su gráfica es la
parte superior de la esfera centrada en el origen y de radio 1.
4. z = f x, y = x2 + 1, su dominio es D = R2 y su gráfica es una superficie cilı́ndrica.
Definición 23 Sean f : A ⊆ R2 → R y k ∈ R llamamos curva de nivel k de f a
Ck = {(x, y) ∈ A ⊆ R2 : f x, y = k}
Observación 28
Para que este conjunto sea no vacı́o debe ser k ∈ Im f .
Las curvas de nivel Ck son las proyecciones al plano xy de las intersecciones de la superficie
z = f (x, y) con el plano z = k.
Ejemplo 45
Sea f : R2 → R tal que z = f x, y = 4 − x2 + y2 .
Las curvas de nivel k de f serán Ck = { x, y : x2 + y2√= 4 − k} , ∅ si y sólo si k ∈ (−∞, 4] y
Ck son circun f erencias centradas en el origen de radio 4 − k si k < 4 o un punto (el origen)
si k = 4. Por ejemplo para k = 0, es la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 4 y para k = 3
es la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 1.
4.3.
Lı́mites y continuidad.
Definición 24 Sea f : R2 → R, entonces diremos que L ∈ R es el lı́mite de f cuando (x, y)
tiende a (x0 , y0 ) si f (x, y) se aproxima a un único valor L cuando P(x, y) se aproxima a P0 (x0 , y0 ).
Notación:
lı́m
f x, y = L o f x, y → L
(x,y)→(x0 ,y0 )
(x,y)→(x0 ,y0 )
Observación 29 Valen las mismas propiedades de lı́mite vistas para funciones de una variable
real.
z
z = x2 + 1
1
y
x
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Definición 25 Decimos f : A ⊆ R2 → R es continua en (x0 , y0 ) ∈ A =dom f si
lı́m
(x,y)→(x0 ,y0 )
f x, y = f x0 , y0
Si f es continua en (x, y) para todo (x, y) ∈ A =dom f decimos que f es continua.
Teorema 19 (Continuidad de la composición):
Sean f : R2 → R y g : R → R. Si f es continua
en (x0 , y0 ) y g es continua en f x0 , y0 entonces g ◦ f es continua en (x0 , y0 ).
Ejemplo 46
Las siguientes funciones son continuas:
1. f x, y = k = cte
2. f x, y = x
3. f x, y = αxr ys con α ∈ R, r, s ∈ N0
p
√
4. f x, y = x2 + y2 es continua, pues es composición de g : R → R, g (t) = t y
f : R2 → R, f x, y = x2 + y2 que son continuas.
Observación 30
Sean C1 y C2 dos curvas que contienen al punto x0 , y0 ∈ R2 . Sean
lı́m
f x, y = L1
(x,y)→(x0 ,y0 )
por la curva C1 y
lı́m
f x, y = L2 por la curva C2 . Entonces:
(x,y)→(x0 ,y0 )
a) Si L1 , L2 =⇒ no existe lı́m f x, y
(x,y)→(a,b)
b) Si L1 = L2 ; ∃ lı́m f x, y
(x,y)→(a,b)
Ejemplo 47
1) f (x, y) =
5xy
x2 + y2
;
¿existe
5xy
lı́m
?
(x,y)→(0,0) x2 + y2
Nos acercamos al origen por la recta x = y,
5x2 5
lı́m
=
(x,y)→(0,0) 2x2 2
x=y
Nos acercamos al origen por la recta x = 0,
0
lı́m
=0
(x,y)→(0,0) y2
x=0
5xy
Por lo tanto @ lı́m
2
(x,y)→(0,0) x + y2
2) g x, y =
60
x2 y
x4 + y2
;
x2 y
¿existe lı́m
?
(x,y)→(0,0) x4 + y2
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Aquı́ introduciremos el concepto de lı́mites radiales. Nos acercamos al origen por todas
las rectas que pasan por el origen
(
mx
x2 mx
y = mx
lı́m
= lı́m 2
=0
4
2
2
x=0
x→0 x + m2
(x,y)→(0,0) x + m x
y=mx
y=mx
x2 y
= 0? No lo podemos asegurar.
lı́m
(x,y)→(0,0) x4 + y2
Si nos acercamos al origen a través de otra curva, por ejemplo, y = x2 resulta
¿Pero
x2 x2
1
lı́m
=
4
4
2
(x,y)→(0,0) x + x
y=x2
por lo tanto
x2 y
lı́m
(x,y)→(0,0) x4 + y2
no existe.
4.4.
Derivadas parciales.
Supongamos que deseamos calcular la tasa de cambio de z en el punto (x0 , y0 ) en la
dirección del vector unitario ~i = (1, 0). Para esto consideramos la superficie S con ecuación
z = f (x, y) (la gráfica de f ) y sea z0 = f (x0 , y0 ). Entonces el punto P(x0 , y0 , z0 ) está sobre S. El
plano vertical que pasa por el punto P en la dirección del vector ~i interseca a la superficie
S en la curva C1 . La pendiente de la recta tangente a la curva C1 en el punto P es la tasa de
cambio de z en la dirección de ~i.
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De la misma manera, si deseamos calcular la tasa de cambio de z en el punto (x0 , y0 ) en la
dirección del vector unitario ~j = (0, 1), consideramos la superficie S y el plano vertical que
pasa por el punto P en la dirección del vector ~j que interseca a la superficie S en la curva
C2 . La pendiente de la recta tangente a la curva C2 en el punto P es la tasa de cambio de z
en la dirección de ~j. Para calcular estas tasas de cambio definimos las derivadas parciales
de f
Definición 26 Si existe
f x0 + h, y0 − f x0 , y0
lı́m
h→0
h
se lo llama derivada parcial con respecto a x de f en P(x0 .y0 ), y la notaremos
D1 f (P) = fx (P) =
∂f
(P)
∂x
De igual manera, si existe
f x0 , y0 + h − f x0 , y0
lı́m
h→0
h
es la derivada parcial con respecto a y de f en P(x0 , y0 ) y la notaremos
D2 f (P) = f y (P) =
∂f
(P)
∂y
Nota 3
En el caso en que f : D ⊆ R3 → R, también se puede definir de manera similar la derivada
parcial con respecto a z de f en P(x0 , y0 , z0 ).
Ejemplo 48
1) Sea f x, y = x + y2 calcular las derivadas parciales en P x, y
f x + h, y − f x, y
x + h + y2 − x − y2
= lı́m
=1
D1 f x, y = fx x, y = lı́m
h→0
h→0
h
h
2
f x, y + h − f x, y
x + y + h − x − y2
y2 + 2yh + h2 − y2
D2 f x, y = lı́m
= lı́m
= lı́m
= 2y
h→0
h→0
h→0
h
h
h
Podemos observar que fx x, y se obtiene derivando respecto de x a la función f dejando a
y como constante, y f y se obtiene derivando a f respecto de y dejando a x como constante.
2
2) Sea f x, y, z = xe y z calcular las derivadas parciales
2
fx x, y, z = e y z
2
f y x, y, z = xe y z 2yz
2
fz x, y, z = xe y z y2
62
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Observación 31
Si f : R2 → R, las derivadas parciales fx y f y son nuevas funciones de R2 en R, y
como tales podemos calcularle sus derivadas parciales, tendremos derivadas parciales
segundas de f
fxx = fx
x
=
∂2 f
,
∂x2
fxy = fx
y
=
∂2 f
,
∂x∂y
∂2 f
f yx = f y =
,
x
∂y∂x
∂2 f
f yy = f y = 2
y
∂y
Ejemplo 49
2
Sea f x, y = xe y calcular las derivadas parciales segundas de f
2
fx x, y = e y
2
f y x, y = xe y 2y
fxy
2
2
2
fxx x, y = 0 , f yy x, y = x e y 2y + e y 2
2
2
x, y = e y 2y ,
f yx x, y = e y 2y
Teorema 20 Sean f : R2 → R. Si fxy y f yx son continuas en (x0 , y0 ), entonces
fxy x0 , y0 = f yx x0 , y0 .
Aplicaciones de las derivadas parciales
Supongamos que un fabricante elabora x unidades del producto X e y unidades del
producto Y. En este caso el costo C de estas unidades es función x y de y y se lo conoce
∂f
como función de costos conjuntos o totales. Si esa función es C = f (x, y) entonces
∂x
recibe el nombre de costo marginal (parcial) con respecto a x. Es la tasa de variación de C
∂f
con respecto a x, cuando se mantiene a y fija. De manera similar
es el costo marginal
∂y
(parcial) con respecto a y. Es la tasa de variación de C con respecto y cuando se mantiene
a x fija.
Ejemplo 50
Una empresa fabrica dos tipos de esquı́es, los modelos Relámpago y Alpino. Supongamos
que la función de costos conjuntos de fabricar x pares del modelo Relámpago e y pares
del modelo Alpino a la semana es C = f (x, y) = 0,06x2 + 7x + 15y + 1000 en donde C se
expresa en dólares. Calcular los costos marginales cuando x = 100 e y = 50 e interpretar
los resultados.
Los costos marginales son
∂f
∂f
= 0,12x + 7 ,
= 15
∂x
∂y
Ası́
∂f
∂f
(100, 50) = 0,12(100) + 7 = 19 ,
(100, 50) = 15
∂x
∂y
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El primer resultado significa que aumentando la producción del modelo Relámpago de
100 a 101 al tiempo que se mantiene en 50 la producción del otro modelo, produce un
aumento en costos de aproximadamente 19 dólares. El segundo resultado significa que
aumentar la producción del modelo Alpino de 50 a 51 manteniendo en 100 la producción
del oro modelo produce un aumento en los costos de aproximadamente 15 dólares. De
∂f
es una función constante, el costo marginal con respecto a y es 15 a
hecho, dado que
∂y
cualquier nivel de producción.
De la misma manera, supongamos que la producción de un artćulo depende sólo de la
mano de obra y del capital, es decir P(x, y) representa la producción cuando el fabricante
utiliza x unidades de mano de obra e y unidades de capital, entonces a esta función se la
denomina función de producción. Se define la productividad marginal con respecto a x
∂P
. Es la tasa de variación de P con respecto a x cuando se mantiene fija y. De la
como
∂x
∂P
misma manera, la productividad marginal con respecto a y es
, es la tasa de variación
∂y
de P con respecto a y cuando se mantiene fija x.
4.5.
Regla de la cadena.
Teorema 21 Regla de la Cadena para la derivación de la composición de una función de
dos variables con funciones de una variable real:
Sea f : D ⊆ R2 → R con derivadas
parciales continuas en x0 , y0 ∈ D. Sean x : I ⊆ R → R e
y : I ⊆ R → R tales que x(t), y(t) ∈ D, son derivables en t0 ∈ I siendo x(t0 ), y(t0 ) = x0 , y0 .
Si g : I ⊆ R → R está definida como g(t) = f x(t), y(t) , resulta g derivable en t0 y vale
g0 (t0 ) = fx x(t0 ), y(t0 ) x0 (t0 ) + f y x(t0 ), y(t0 ) y0 (t0 )
Ejemplo 51
Sea f (x, y) = 2x2 y + ex +y , con x(t) =
2
2
√
t, y(t) = t3 − t.
Calculemos la derivada de g(t) = f (x(t), y(t)).
1
x0 (t) = √ , y0 (t) = 3t2 − 1
2 t
√
√
3
2
2
2
fx (x, y) = 4xy + 2xex +y = 4 t(t3 − t) + 2 tet+(t −t)
f y (x, y) = 2x2 + 2yex +y = 2t + 2(t3 − t)et+(t −t)
2
2
3
2
Por lo tanto
h √
i 1
h
i
√
3
2
3
2
g0 (t) = 4 t(t3 − t) + 2 tet+(t −t)
√ + 2t + 2(t3 − t)et+(t −t) (3t2 − 1)
2 t
3
Observaci
en
ón 32 Sea f : D ⊆ R → R una función con derivadas parciales continuas
x0 , y0 , z0 ∈ D. Sean x : I ⊆ R → R e y : I ⊆ R → R tales que x(t), y(t), z(t) ∈ D,
derivables en t0 ∈ I siendo
x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ) = x0 , y0 , z0 . Si g : I ⊆ R → R está definida como
g(t) = f x(t), y(t), z(t) , resulta g derivable en t0 y vale
g0 (t0 ) = fx x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ) x0 (t0 ) + f y x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ) y0 (t0 ) + fz x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ) z0 (t0 )
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Teorema 22 Regla de la Cadena para la derivación de la composición de una función de
dos variables con funciones de dos variables:
Sea f : D ⊆ R2 → R una función con derivadas parciales continuas
en x0 , y0 ∈ D. Sean
x : A ⊆ R2 → R e y : A ⊆ R2 → R tales que x(u, v), y(u,v) ∈ D, funciones
con derivadas
parciales continuas en (u0 , v0 ) ∈ A siendo x(u
,
v
),
y(u
,
v
)
=
x
,
y
.
Si
g
:
A
⊆ R2 → R
0 0
0
0
0 0
está definida como g(u, v) = f x(u, v), y(u, v) , resulta que las derivadas parciales de g en (u0 , v0 )
están dadas por
gu (u0 , v0 ) = fx x(u0 , v0 ), y(u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) + f y x(u0 , v0 ), y(u0 , v0 ) yu (u0 , v0 )
gv (u0 , v0 ) = fx x(u0 , v0 ), y(u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) + f y x(u0 , v0 ), y(u0 , v0 ) yv (u0 , v0 )
Ejemplo 52
Sea f (x, y) = cos(xy) + 2y sin(x), con x(u, v) = 3u − v, y(u, v) = u2 v3 .
Calculemos las derivadas parciales de g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)).
xu (u, v) = 3 , xv (u, v) = −1
yu (u, v) = 2uv3 , yv (u, v) = 3u2 v2
fx (x, y) = −y sin(xy) + 2y cos(x) = −u2 v3 sin(u2 v3 (3u − v)) + 2u2 v3 cos(3u − v)
f y (x, y) = −x sin(xy) + 2 sin(x) = −(3u − v) sin(u2 v3 (3u − v)) + 2 sin(3u − v)
De este modo,
n
o
gu (u, v) = 3 −u2 v3 sin(u2 v3 (3u − v)) + 2u2 v3 cos(3u − v) +
n
o
+2uv3 −(3u − v) sin(u2 v3 (3u − v)) + 2 sin(3u − v)
n
o
gv (u, v) = − −u2 v3 sin(u2 v3 (3u − v)) + 2u2 v3 cos(3u − v) +
n
o
+3u2 v2 −(3u − v) sin(u2 v3 (3u − v)) + 2 sin(3u − v)
4.6.
Optimización de funciones de varias variables
Damos a continuación las definiciones de extremos absolutos y extremos relativos para
una función de dos variables.
Definición 27 Sea f : D ⊆ R2 → R y P0 (x0 , y0 ) ∈ D.
1. Se dice que f tiene en P0 un máximo absoluto si f (x, y) ≤ f (x0 , y0 ), ∀P(x, y) ∈ D
2. Se dice que f tiene en P0 un mı́nimo absoluto si f (x, y) ≥ f (x0 , y0 ), ∀P(x, y) ∈ D
3. Se dice que f tiene en P0 un máximo relativo si f (x, y) ≤ f (x0 , y0 ), ∀P(x, y) ∈ E(P0 ).
4. Se dice que f tiene en P0 un mı́nimo relativo f (x, y) ≥ f (x0 , y0 ), ∀P(x, y) ∈ E(P0 ).
Ejemplo 53
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f (x, y) = x2 + y2 tiene un mı́nimo absoluto en (0, 0).
Definición 28 Sea f : D ⊆ R2 → R con D conjunto abierto, se dice que P0 (x0 , y0 ) es un punto
crı́tico de f si fx (P0 ) = f y (P0 ) = 0 o no existe fx (P0 ) ó f y (P0 ).
Ejemplo 54
1. El punto (0, 0) es punto crı́tico de f (x, y) =
f y (0, 0).
p
x2 + y2 ya que no existen fx (0, 0) ni
2. El punto (−2, 3) es un punto crı́tico de f (x, y) = 2x2 + y2 + 8x − 6y + 18. En efecto,
fx (x, y) = 4x + 8 y f y (x, y) = 2y − 6 existen para todo (x, y) ∈ R2 entonces buscamos
los (x, y) ∈ R2 tales que ambas derivadas parciales se anulen:
(
(
fx (x, y) = 4x + 8 = 0
x = −2
⇒
f y (x, y) = 2y − 6 = 0
y=3
Definición 29 Sea f : D ⊆ R2 → R con D conjunto abierto, se dice que P0 (x0 , y0 ) es un punto
silla o un punto de ensilladura de f si P0 es punto crı́tico de f pero no es ni máximo ni mı́nimo
relativo de f .
Ejemplo 55
Sea f (x, y) = y2 − x2 .
(
fx (x, y) = −2x = 0
⇒
f y (x, y) = 2y = 0
(
x=0
y=0
Es decir que el punto (0, 0) es punto crı́tico de f , pero observemos que f no tiene ni máximo
relativo ni mı́nimo relativo en ese punto ya que si consideramos los puntos P(0, y) resulta
f (0, y) = y2 ≥ 0, y si consideramos los puntos de la forma P(x, 0) resulta f (x, 0) = −x2 ≤ 0.
Es decir (0, 0) es punto silla de f .
Teorema 23 Si f tiene en P0 un extremo relativo en un conjunto abierto D entonces P0 es punto
crı́tico de f .
Observación 33
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El recı́proco del teorema no es válido. En efecto, en el ejemplo anterior (0, 0) es punto
crı́tico de f (x, y) = y2 − x2 pero dicha función no posee un extremo relativo en (0, 0) (es un
punto silla).
En lo que sigue veremos un criterio de las derivadas parciales segundas de f para
determinar si existen extremos relativos.
Definición 30 Llamaremos Hessiano al siguiente determinante
H(x, y) =
fxx
f yx
fxy
2
= fxx f yy − fxy
f yy
suponiendo que fxy = f yx
Teorema 24 Criterio del Hessiano para la determinación de extremos relativos.
Sea f una función con derivadas parciales primeras y segundas continuas en una región abierta
que contiene al punto P0 , punto crı́tico de f . Se tiene que:
1. Si H(P0 ) > 0, fxx (P0 ) > 0, entonces f tiene en P0 un mı́nimo relativo.
2. Si H(P0 ) > 0, fxx (P0 ) < 0, entonces f tiene en P0 un máximo relativo.
3. Si H(P0 ) < 0 entonces f tiene en P0 un punto de ensilladura.
4. Si H(P0 ) = 0 el criterio no decide.
Ejemplo 56
Anteriormente habı́amos visto que el punto (−2, 3) es un punto crı́tico de
f (x, y) = 2x2 + y2 + 8x − 6y + 18
Veamos si es extremo relativo o punto silla de f .
H(x, y) =
4 0
=8
0 2
En particular H(−2, 3) = 8 > 0 y fxx (−2, 3) = 4 > 0 Luego, por el criterio visto resulta (−2, 3)
un mı́nimo relativo de f .
Teorema 25 (Teorema de Weierstrass)
Si f es continua en un conjunto cerrado y acotado D entonces f tiene máximo absoluto y mı́nimo
absoluto en D.
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Observación 34
El procedimiento para encontrar los extremos absolutos de una función con derivadas
parciales primeras y segundas continuas en una región cerrada y acotada es similar al
realizado para una función de una variable.
En primer lugar se deben encontrar los extremos relativos de f en el interior del conjunto y
luego comparar los valores de en estos extremos con los valores extremos sobre la frontera
de dicho conjunto.
Ejemplo 57
Sea f (x, y) = x2 + xy, queremos encontrar sus extremos absolutos sobre el conjunto cerrado
y acotado
n
o
D = (x, y) : |x| ≤ 2, y ≤ 1
1. Primero buscamos los puntos crı́ticos de f en el interior de D, es decir, en el conjunto
int(D) = (x, y) : −2 < x < 2, −1 < y < 1
(
fx (x, y) = 2x + y = 0
⇒
f y (x, y) = x = 0
(
x=0
y=0
Ası́, el punto crı́tico es (0, 0), y está dentro de D. Además, f (0, 0) = 0.
2. Ahora veamos qué sucede en la frontera de D, es decir en
∂D = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4 ,
donde
C1 = (x, y) : x = −2, −1 ≤ y ≤ 1 , C2 = (x, y) : x = 2, −1 ≤ y ≤ 1 ,
C3 = (x, y) : −2 ≤ x ≤ 2, y = 1 , C4 = (x, y) : −2 ≤ x ≤ 2, y = −1
a) Si consideramos los puntos sobre la curva (segmento de recta) C1 :
f (−2, y) = g1 (y) = 4 − 2y, −1 ≤ y ≤ 1,
La función g1 tiene el mı́nimo en y = 1 y el máximo en y = −1. Además:
máx = g1 (−1) = f (−2, −1) = 6, mı́n = g1 (1) = f (−2, 1) = 2
b) Si consideramos los puntos sobre la curva (segmento de recta) C2 :
f (2, y) = g2 (y) = 4 + 2y, −1 ≤ y ≤ 1,
La función g2 tiene el mı́nimo en y = −1 y el máximo en y = 1. Además:
máx = g2 (1) = f (2, 1) = 6, mı́n = g2 (−1) = f (2, −1) = 2
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c) Si consideramos los puntos sobre la curva (sección de parábola) C3 :
f (x, 1) = g3 (x) = x2 + x = x(x + 1), −2 ≤ x ≤ 2,
podemos observar que g03 (x) = 2x + 1 = 0 si y solo si x = − 12 (punto crı́tico) en
el intervalo (−2, 2). Luego, g3 tiene el mı́nimo en x = − 12 y el máximo en x = 2
pues:
1
1
1
f (−2, 1) = g3 (−2) = 2, mı́n = f (− , 1) = g3 (− ) = − , máx = f (2, 1) = g3 (2) = 6
2
2
4
d) Si consideramos los puntos sobre la curva (sección de parábola) C4 :
f (x, −1) = g4 (x) = x2 − x = x(x − 1), −2 ≤ x ≤ 2,
podemos observar que g04 (x) = 2x − 1 = 0 si y solo si x = 21 (punto crı́tico) en el
intervalo (−2, 2). Luego, g4 tiene el mı́nimo en x = 12 y el máximo en x = 2 pues:
1
1
1
máx = f (−2, −1) = g4 (−2) = 6, mı́n = f ( , −1) = g4 ( ) = − , f (2, −1) = g4 (2) = 2
2
2
4
3. Comparando los valores obtenidos en los ı́tems 1. y 2. resulta que el máximo absoluto
de f se alcanza en (−2, −1) y en (2, 1), y vale 6, y el mı́nimo absoluto de f se alcanza
en (− 12 , 1) y ( 12 , −1), y vale − 41 .
Método de los mı́nimos cuadrados.
Dados n puntos del plano (xi , yi ), i = 1, ...n, tratamos de encontrar la recta de ecuación
y = mx + h que en promedio esté más cerca de todos los puntos, aunque no pase por
ninguno de ellos. Es decir, la recta debe minimizar el error cuadrático medio:
σ(m, h) =
n
2
1P
(mxi + h) − yi
n i=1
lo que es equivalente a minimizar la función
E(m, h) = n σ(m, h) =
n
P
(mxi + h) − yi
2
i=1
Se puede demostrar que la recta de regresión de mı́nimos cuadrados para (xi , yi ),
i = 1, ...n es
y = mx + h
con
n
m=
n
P
xi yi −
i=1
n
n
P
i=1
n
P
i=1
x2i −
xi
n
P
i=1
!2
n
P
x2i
i=1
yi
,
!
n
n
P
1 P
yi − m xi ,
h=
n i=1
i=1
donde (m, n) es el único punto crı́tico que minimiza la función E.
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Análisis Matemático II
Ejemplo 58
Queremos hallar la recta que pase más cerca de los puntos P1 (−3, 0), P2 (−1, 1), P3 (1, 0) y
P4 (3, 2).
4
P
2
Construimos entonces E(m, h) =
(mxi + h) − yi (considerando obviamente que Pi (xi , yi )).
i=1
De esta manera surge que
(
3
1
Em (m, h) = 40m − 10 = 0
⇒m= ,h=
Eh (m, h) = 8h − 6 = 0
4
4
Ası́ que la recta de regresión es y = 14 x + 43 .
Optimización de funciones con restricciones.
Ahora nos encontramos con el problema de querer maximizar o minimizar la función
z = f (x, y) sujeta a una restricción g(x, y) = 0. Esto es, encontrar el o los puntos de la curva
g(x, y) = 0 que hacen máximo o mı́nimo el valor de z = f (x, y). Para esto enunciamos el
siguiente teorema:
Teorema 26 Si f y g son funciones con derivadas parciales primeras continuas tal que f tiene un
extremo en el punto P0 (x0 , y0 ) de la curva g(x, y) = 0. Si gx (x0 , y0 ) , 0 y g y (x0 , y0 ) , 0, entonces
existe un número λ (al que llamaremos multiplicador de Lagrange) tal que
(
fx (x0 , y0 ) = λgx (x0 , y0 )
f y (x0 , y0 ) = λg y (x0 , y0 )
Ası́, para determinar los valores máximo y mı́nimo de z = f (x, y) sujeta a la restricción
g(x, y) = 0 (suponiendo que estos valores existen) se procede de la siguiente manera:
1. Se determinan todos los valores de x, y, λ tales que satisfacen el sistema:


fx (x0 , y0 ) = λgx (x0 , y0 )



f y (x0 , y0 ) = λg y (x0 , y0 )



 g(x, y) = 0
2. Se evalúa f en todos los puntos (x, y) obtenidos en 1. El más grande de esos valores
es el máximo de f y el más pequeño es el mı́nimo de f .
70
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Ejemplo 59
Hallemos los extremos de f (x, y) = x2 + y2 sujetos a x + y2 = 1. Por lo tanto nuestra
restricción será g(x, y) = x + y2 − 1 = 0.
Las derivadas parciales de primer orden de f
gx (x, y) = 1 y g y (x, y) = 2y. Luego, buscamos los
sistema:



 2x = λ

2y = λ2y



 x + y2 − 1 = 0
y g son fx (x, y) = 2x, f y (x, y) = 2y,
valores de x, y y λ que satisfacen el
(1)
(2)
(3)
De la ecuación (2) se obtiene 2y(1 − λ) = 0 la cual se satisface para y = 0 ó λ = 1.
Al sustituir y = 0 en la ecuación (3) resulta que x = 1. Por lo que se obtiene el punto
(1, 0). Al sustituir λ = 1 en la ecuación (1) resulta quex = 12 y al reemplazar
este último
1
1
1
1
1
valor en (3) se obtiene y = ± √2 , resultando los puntos 2 , √2 y 2 , − √2 .
Al evaluar f en los tres puntos obtenidos:
!
1 1
3
f (1, 0) = 1, f , √ = ,
2
4
2
!
1
3
1
f ,− √ = ,
2
4
2
se otbiene entonces que el
máximo
es 1 y se da en el punto (1, 0) y el mı́nimo es
valor
1
1
1 √1
se obtiene en los puntos 2 , 2 y 2 , − √2 .
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3
4
y
71
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4.7.
Análisis Matemático II
Ejercicios propuestos
1. En cada caso determine el dominio, represéntelo gráficamente y dibuje la gráfica de
f con ayuda del GeoGebra:
p
vii) f (x, y) = xp2 + y2 − 1
i) f (x, y) = 3
viii) f (x, y) = − x2 + y2
ii) f (x, y) = 6 − x
√
ix) f (x, y) = p
x2 y + y
iii) f (x, y) = 6 − x − 2y
iv) f (x, y) = p
6 − x2
x) f (x, y) = 1 − x2 − 2y2
y
2
2
xi) f (x, y) = x + xy
v) f (x, y) = 16 − x − y
1
xii) f (x, y) = ln x2 +y
vi) f (x, y) = 3 − x2 − y2
( 2 −9)
Además para cada uno de los conjuntos de definición de las funciones, indique si
el conjunto es abierto, cerrado, acotado o no. En los casos de ser posible describa
analı́tica y gráficamente la frontera del conjunto.
2. Un fabricante produce dos tipos de zapatillas A y B, a un costo de $100 cada par de
zapatillas de tipo A y de $60 cada par de tipo B.
a) Exprese el costo total mensual de producción en función del número de pares
de zapatillas de tipo A y de tipo B producidas.
b) Calcule el costo total mensual si se producen 500 pares del tipo A y 800 del tipo
B.
c) Si el fabricante desea aumentar la producción de zapatillas de tipo B en 50 al
mes, a partir del nivel logrado en b, qué cambio debe hacerse en la producción
mensual de zapatillas de tipo A para que el costo total de producción no se
modifique?.
3. Un ejemplo de función de dos variables que se usa en economı́a es la función de
producción de Cobb-Douglas. Esta función se usa como modelo para representar el
número de unidades producidas por cantidades reales de trabajo y capital. Si x mide
unidades de trabajo e y unidades de capital, el número total de unidades producidas
es:
f (x, y) = Cxα y1−α
con C constante y 0 < α < 1. Pruebe que, si el número de unidades de trabajo y el
de unidades de capital se duplican, el nivel de producción también se duplica. Es
cierto este resultado para cualquier otra función de producción?.
4. Represente la curva de nivel correspondientes a los valores dados de c:
a) f (x, y) = x2 + y2
b) f (x, y) = exy
c = 0, c = 1, c = 4
c = 0, c = 1
c) f (x, y) = y − sin(x)
c = −2, c = −1, c = 0
d) f (x, y, z) = ln x + 2y
2
e) f (x, y) = x2 − y2
72
2
c=0
c = 0, c = 1
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5. Si se utilizan x máquinas e y horas - trabajador al dı́a, cierta fábrica produce Q(x, y) =
10xy radios. Describa analı́tica y gráficamente la relación entre los insumos x e y que
permiten producir 1000 radios por dı́a.
6. Encuentre el lı́mite indicado en cada caso:
x−y
i) lı́m
(x,y)→(1,2) 2x + 3y
ii) lı́m x + 2y2
(x,y)→(1,3)
iii)
cos(πx)
(x,y)→(1,0) 1 + y2
lı́m
iv)
lı́m
(x,y)→(0,0)
exy
sin(x2 + y2 )
(x,y)→(0,0) 3x2 + 3y2
exy
vi) lı́m
(x,y)→(0,0) x2
v)
lı́m
7. Halle, si existen los lı́mites radiales (según la recta y = mx) cuando (x, y) → (0, 0) de
las siguientes funciones:
i) f (x, y) =
xy
x2 + y2
iv) f (x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
Verifique, además, que los correspondientes lı́mites dobles no existen. Es posible
definir f (0, 0) de manera que la función resulte continua en el punto origen?
8. Sea f (x, y) =
8x2 y
2x4 + 6y2
a) Cuál es el dominio de f ?
b) Qué le sucede a f (P) a medida que P tiende a (0, 0) a lo largo de la recta y = mx?
c) Qué le sucede a f (P) a medida que P tiende a (0, 0) a lo largo de la parábola
y = x2 ?
d) Existe
lı́m
(x,y)→(0,0)
f (x, y)? En caso afirmativo, cuánto vale este lı́mite?
9. Sea la superficie de ecuación z = f (x, y) = x2 + y2 .
a) Calcule las derivadas parciales de f en el punto (1, 2).
b) Interprete geométricamente el significado de tales números.
10. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva intersección de la superficie
36z = 4x2 + 9y2 con el plano x = 3 en el punto (3, 2, 2)
11. Encuentre
la pendiente de la recta tangente a la curva intersección de la superficie
p
2
2z = 9x + 9y2 − 36 con el plano y = 1 en el punto (2, 1, 32 ).
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12. Calcule las derivadas parciales de primer y segundo orden de las siguientes funciones :
2
vi) f (x, y) = e−x sin(y)
i) f (x, y) = 4x + 2y − 5
vii) f (x, y) = 2 sin(x) cos(y)
ii) f (x, y) = xy
x−y
√
viii) f (x, y) =
iii) f (x, y) = x y
x+y iv) f (x, y) = ex ln 1 + y2
ix) f (s, t) = ln s2 − t2
v) f (x, y) = arctan(xy)
x) f (x, y) = cos x2 + ln(y)
13. Halle las derivadas parciales primeras con respecto a x, y, z de las siguientes funciones:
p
i) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2
iv) f (x, y, z) = xz3 − yx2
3
z
5x − yz5
ii) f (x, y, z) =
2
2
v)
f
(x,
y,
z)
=
log x + y + 1
sin(xy)
ex+y
vi)
f
(x,
y,
z)
=
sin
log(x + 2y − z2 )
iii) f (x, y, z) =
z
14. El fabricante de un juguete ha establecido que su función de producción es P(x, y) =
√
xy donde x es el número de horas de mano de obra a la semana e y es el capital (expresado en centenares de dólares a la semana). Halle las funciones de productividad
marginal y evalúelas cuando x = 400 e y = 16. Interprete los resultados.
15. Con x trabajadores calificados e y trabajadores no calificados un fabricante puede
producir Q(x, y) = 10x2 y unidades por dı́a. En la actualidad trabajan 20 empleados
calificados y 40 no calificados.
a) Cuántas unidades se producen por dı́a?
b) En cuánto cambiará el nivel de producción diario si se agrega un trabajador
calificado a la fuerza laboral actual?
c) En cuánto cambiará el nivel de producción diario si se agrega un trabajador no
calificado a la fuerza laboral actual?
16. Halle las derivadas de las siguientes funciones compuestas g(t) = f (x(t), y(t)) o
h(t) = f (x(t), y(t), z(t)) según corresponda:
i) f (x, y) = x2 y3 √
√ ii) f (x, y) = log x + y
iii) f (x, y) = ex sin(y) + e y sin(x)
iv) f (x, y, z) = sin xyz2
x(t) = t3 ,
y(t) = t2
x(t) = sin4 (t),
y(t) = cos4 (t)
x(t) = 3t,
y(t) = 2t
3
x(t) = t ,
y(t) = t2 ,
z(t) = t.
17. Halle las derivadas parciales de primer orden de las funciones compuestas g(u, v) =
f (x(u, v), y(u, v)) o h(u, v) = f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) según corresponda:
i) f (x, y) = x2 + y2
ii) f (x, y) = x2 y
iii) f (x, y, z) = xp2 − y2 − z2
iv) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2
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x(u, v) = u cos v, y(u, v) = u sin v
x(u, v) = uv, y(u, v) = u − v
x(u, v) = u + v, y(u, v) = u − v, z(u, v) = 2uv
x(u, v) = cos(uv), y(u, v) = sin(uv), z(u, v) = u2 v.
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18. Halle, si existen, los puntos crı́ticos de las siguientes funciones de dos variables.
Además, si es posible, clasifı́quelos en puntos de mı́nimo relativo, máximo relativo
o ensilladura, siendo:
i) f (x, y) = e−x sin(y)
ii) f (x, y) = 9x + 2y −x2 − xy − y2
iii) f (x, y) = y x2 + y
iv) f (x, y) = x3 + y3 + 3xy
v) f (x, y) = e−(x +y )
vi) f (x, y) = 2x3 + 6xy
+ y2 vii) f (x, y) = y − x2 y − 2x2
viii) f (x, y) = x2 + (y − 1)2
2
2
19. Halle el o los puntos de extremos (máximos y mı́nimos) absolutos en el dominio
cerrado dado, siendo :
D = (x, y) : 0 ≤ y ≤ 2 − x, 0 ≤ x ≤ 2
i) f (x, y) = xy(x + y − 2)
D = n(x, y) : x − 2 ≤ y ≤ 0, o0 ≤ x ≤ 2
ii) f (x, y) = x2 y − xy2 − xy
2
iii) f (x, y) = 5x + 2xy
D = (x, y) : |x| ≤ 1, y ≤ 3
20. Halle la recta de regresión de mı́nimos cuadrados para los puntos indicados:
i) (1, 0); (3, 3); (5, 6)
ii) (0, 0); (1, 1); (3, 4); (4, 2); (5, 5)
21. Halle los puntos crı́ticos de f condicionados a la restricción g = 0 dada en cada caso,
siendo:
g(x, y) = x + y − 1 = 0
i) f (x, y) = xy ;
ii) f (x, y) = x2 + y2 ;
g(x, y) = 12 x + 13 y − 1 = 0
22. La función de producción de una empresa está representada por la función de
producción de Cobb-Douglas P(x, y) = 100x0,25 y0,75 .
a) Calcule el máximo nivel de producción si el costo total del trabajo (a $48 la
unidad) y el del capital (a $36 la unidad) está limitado a $100.000.
b) Cuál es el costo mı́nimo exigido para la producción de 20.000 unidades del
producto?.
23. Un fabricante tiene un pedido de 1076 unidades que han de fabricarse en dos lugares.
Sean x, y los números de unidades producidas en los lugares A y B respectivamente.
Halle el número que deberá producirse en cada lugar para satisfacer el pedido y
minimizar el costo, si el costo es C(x, y) = 0,25x2 + 10x + 0,15y2 + 12y
24. Una companiá fabrica un producto en dos lugares. las funciones de costo para
producir x1 unidades en el lugar 1 y x2 unidades en el lugar 2 vienen dadas por
C1 = 0, 005x21 + 15x1 + 5400
C2 = 0, 003x22 + 15x2 + 6100
y la función ingreso total es
R = [225 − 0, 4(x1 + x2 )](x1 + x2 )
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Calcúlense los niveles de producción de los dos lugares que hacen máximo el beneficio
P(x1 , x2 ) = R − C1 − C2 .
25. La función de producción de un fabricante es
f (x, y) = 4x + xy + 2y
Suponiendo que la cantidad total disponible para trabajo y capital es de 2000 dólares
y que las unidades de trabajo y capital cuestan 20 y 4 dólares respectivamente, hállese
el nivel de producción máximo de este fabricante.
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