INFERENCIA ESTADISTICA
Estimación
Parte I
Muestra - Población
Determinación del Tamaño de la Muestra
Método: Estimación Puntual
DETERMINACION DEL TAMAÑO
APROPIADO DE LA MUESTRA
El tamaño de la
muestra juega
un papel
importante al
determinar la
probabilidad
de error así
como en la
precisión de la
estimación.-
Una vez que se ha seleccionado el
nivel de confianza, dos factores
importantes influyen en el tamaño
muestral.-
1.- La varianza de
la población σ²
2.- El tamaño del error tolerable que el
investigador está dispuesto a aceptar.
Mientras que el 1) esta fuera del alcance del
investigador y nada se puede hacer, en el 2) si es
posible limitar el tamaño del error.-
El tamaño del error que un investigador puede tolerar depende
de que tan crítico es el trabajo que está realizando.-
Algunas tareas extremadamente delicadas requieren de
resultados exactos ;
por ejemplo, los procedimientos médicos de los cuales
dependen la vida humana; la producción de piezas de una
máquina que debe cumplir especificaciones precisas, pueden
tolerar un muy pequeño error, etc, en otros casos los errores
más grandes pueden tener consecuencias menos graves.-
En los ejemplos sobre Intervalos de
Confianza, el tamaño de la muestra se
determino de manera arbitraria sin tomar en
cuenta el tamaño del intervalo de confianza.-
En el mundo de los negocios, la
determinación de un tamaño de muestra
adecuado es un procedimiento complicado
sujeto a restricciones de presupuesto, tiempo
y facilidad de selección.-
Para entender esto, suponga que usted como Auditor de la
Empresa Garbarino, quisiera estimar el promedio o la
proporción de facturas que contienen errores, intentaría
determinar de antemano la calidad
requerida de la
estimación.-
Esto significa que debe decidir la cantidad de error que esta
dispuesto a permitir al estimar estas variables.También debe determinar de antemano la confianza que
desea tener de obtener una estimación correcta del parámetro
de población verdadero.-
VEREMOS AHORA COMO
DETERMINAR EL
TAMAÑO
DE MUESTRA PARA
ESTIMAR
LA MEDIA
POBLACIONAL
LA
PROPORCION
POBLACIONAL
DETERMINACION DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA
PARA LA MEDIA.Para determinar el tamaño de la muestra necesario para estimar la media,
debe tenerse en cuenta la cantidad de error de muestreo que se aceptará
y el nivel de confianza deseado.-
Por otro lado, debe tener alguna información de la desviación estándar.Recordemos que:
X Z =
μ
σ
√n
Donde Z es el valor crítico correspondiente a un área de
( 1 - α) / 2 desde el centro de una distribución normal
estándar.-
Si se multiplica ambos lados de la ecuación por σ /√ n
tiene:
σ
Z
= X - μ
√n
se
Entonces el valor de Z es negativo o positivo, según si X
es mayor o menor que μ.La diferencia entre la media muestral y la media
poblacional que simbolizamos con E, se conoce como
error de muestreo .- Entonces:
E = Z
σ
√n
n=
Z² σ²
E²
De acuerdo con la fórmula de n, para determinar el
tamaño de la muestra, deben conocerse los tres
factores siguientes:
a) El intervalo de confianza deseado, que determina el
valor de Z o valor crítico en la distribución normal
estándar.b) El error de muestreo E aceptable.c) La desviación estándar σ.En la práctica profesional casi nunca
es
fácil
determinar
estas
tres
cantidades.- En esos casos se debe
recurrir a personas expertas en estos
temas.-
Ejemplo: Un grupo de consumidores desea estimar el monto
de las facturas de energía eléctrica para el mes de julio para
las viviendas unifamiliares en una gran ciudad.-
Con base a estudios realizados en otras entidades, se supone
que la desviación estándar es de 25 $.- El grupo desea
estimar el monto promedio para julio dentro de ± 5 pesos del
promedio verdadero con 99% de confianza.a) ¿Qué tamaño de muestra necesita?.b) Si desea 95 % de confianza.¿Qué tamaño de muestra necesitaría?.Solución
a)
2,58²
25²
n =
6,6564 * 625
=
5,0²
n = 166,41
a)
1,96²
25
167 facturas
25²
n =
3,8416 * 625
=
5,0²
n = 96,04
25
97 facturas
Ejemplo.El propietario de un gran centro de esquí de los Estados Unidos esta
considerando comprar una máquina para hacer nieve y ayudar a la madre
naturaleza a proporcionarle una base apropiada para los fanáticos
esquiadores.
Si el promedio de nevadas parece insuficientes, piensa que la máquina
debería pagarse sola muy pronto.Planea estimar las pulgadas promedio de nieve que caen el área, pero no
tiene idea que tan grande tiene que ser la muestra.
Solo sabe que desea un 99% de confianza en sus hallazgos y que el
error no debe exceder de 1 pulgada.-
El propietario le promete abonos gratuitos.- ¿Usted puede ayudarlo?.
Solución
Usted comienza con una muestra piloto grande n ≥ 30,
que en el estudio produce una desviación estándar de
3,5 pulgadas.- Entonces:
n =
σ²
Z²
E²
=
2,58²
3,5²
= 81,5
82
1,0²
Ahora puede recolectar los datos sobre las últimas 82 nevadas
que se utilizaran para estimar las nevadas promedio.-
Con esta información el propietario puede determinar si la
madre naturaleza necesita ayuda.Lo más importante es que usted puede pasar el resto del
invierno esquiando gratuitamente.-
DETERMINACION DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA
PARA LA PROPORCION
Los métodos de determinación del tamaño de la muestra
para la proporción son similares a lo visto para estimar la
media.
Recordemos que:
Z=
p - P
P * (1 -P)
n
Donde Z es el valor crítico que corresponde a un área de
(1 – α)/ 2 desde el centro de una distribución normal
estándar.
Al multiplicar
queda:
ambos lados por el denominador, nos
P * (1 -P)
Z
= ( p - P)
n
El error de muestreo E es igual ( P - P), la diferencia
entre la proporción muestral y el parámetro estimado P.Este error de muestreo se define como:
P * (1 -P)
E
=
Z *
n
Al despejar n de nuestra fórmula anterior nos queda:
Z² * P (1 – P)
n =
E²
Para determinar el tamaño de la muestra que
permita estimar una proporción, se debe definir
tres incógnitas:
a) El nivel de confianza deseado.
b) El error de muestreo E.
c) La proporción verdadera de éxito P.
En la practica profesional la determinación de estas tres cantidades requiere toda
una planificación.El nivel de confianza deseado me dará el valor de Z.
El error de muestreo será la cantidad de error que se está dispuesto a tolerar al
estima la proporción P de la población.
La tercera cantidad es la proporción de éxito P, en realidad “es el parámetro de la
población que se quiere encontrar”, entonces ¿como se establece un valor que es
justo para lo que se debe tomar una muestra que permita determinarlo?.
Primero se debe recurrir a información histórica o experiencias previas que
ayuden a estimar una predicción de P.-
Cuando no encontramos nada que nos ayude, suponemos P = 0,50 como la
manera más conservadora de determinar el tamaño de la muestra.-
Es posible que el uso de P = 0,50 sobreestime el
tamaño de la muestra porque la proporción muestral real
se usa para desarrollar el intervalo de confianza.
Si la proporción muestral es muy diferente de 0,50, el
ancho del intervalo de confianza será más angosto que
el requerido en un principio.
La mayor precisión la obtenemos a costa de gastar más
tiempo y dinero en un tamaño de muestra más grande.-
Veamos un ejemplo.
Supongamos que el Poder Legislativo de nuestra ciudad está planeando
una Ley que prohíbe fumar en todos los edificios públicos incluyendo
restaurantes, confiterías, cines etc.
Solo estará exentas las viviendas particulares.
Sin embargo, la legislatura antes de sacarla definitivamente, desea saber
que proporción de la población acompaña tal medida.
La carencia de toda habilidad estadística por parte de los legisladores
obliga a citarlo a usted como consultor.
Su primer paso será determinar el tamaño muestral necesario.
Se le dice que su error no debe exceder del 2 % y usted debe estar 95 %
seguro de sus resultados.
Solución
Debido a que no se tomo previamente una muestra piloto,
usted debe determinar temporalmente un P = 0,50 para
determinar el tamaño muestral.Al despejar n de nuestra fórmula anterior nos queda:
n =
Z² * P (1 – P)
E²
n = 1,96² * 0,50 * 0,50 = 2401 ciudadanos
0,02²
Con los datos suministrados por los 2401 ciudadanos usted
puede proceder con su estimación de la proporción de todos
los ciudadanos que están a favor de la ley.- Recién el
legislativo tomará una decisión.-
EJERICICIO
Unos fabricantes de tubo de polivinilo quieren tener un
suministro suficiente para satisfacer las necesidades del
mercado.
Desean hacer una investigación entre los comerciantes al
por mayor que compran el tubo de polivinilo, a fin de
estimar la proporción en que planean aumentar sus
compras el próximo año.
¿Qué tamaño de muestra se requiere si desean que su
estimación quede dentro de 0,04 de la proporción real
con probabilidad igual a 0,90?
R:
n = 422,7
El teorema central del límite establece que, aun
cuando las poblaciones muestreadas no sea
normales, las distribuciones muestrales de estos
estadísticos, serán aproximadamente normales
cuando el tamaño de la muestra n es grande.Estos estadísticos son las herramientas que se
usa para la estadística inferencial; hacer
inferencia acerca de una población usando la
información contenida en la muestra.
Hay muchas maneras de tomar decisiones o hacer predicciones,
algunas de naturaleza subjetivas y otras más objetivas.- ¿Cuán buenas
será su toma de decisiones o predicciones?.Aunque podría sentir que su propia habilidad para tomar decisiones es
bastante buena, la experiencia hace pensar que este podría no ser el
caso.El trabajo del Estadístico es proporcionar los métodos de
inferencia estadística que sean mejores y más confiable que
las suposiciones subjetivas.-
La inferencia estadística tiene que ver con la toma de decisiones o la
elaboración de predicciones acerca de los parámetros, las
medidas numéricas descriptivas que caracterizan a una
población.- Tres parámetros encontrados en Unidades
anteriores, son la media poblacional μ, la desviación
estándar de la población σ y la proporción binomial p.En la inferencia estadística un problema práctico es
repetido en el marco de una población con un
parámetro específico.Por ejemplo, un metalúrgico podría medir los
coeficientes de dilatación promedio para ambos tipos
de acero y después comparar sus valores.-
Los métodos para hacer inferencia de los
parámetros de la población caen en una de dos
categorías:
a) ESTIMACION:
para
estimar
o
predecir el valor
del parámetro.-
b)
PRUEBA
DE
HIPOTESIS: para tomar
una decisión respecto al
valor de un parámetro con
base en alguna idea
preconcebida acerca de
cual podría ser su valor.-
Veamos un ejemplo:
1.- Los circuitos de las computadoras y otros equipos
electrónicos constan de una o más tarjetas de circuitos
impresos (TCI) y las computadoras se reparan
reemplazando una o más tarjetas defectuosas.-
En un intento por encontrar la aplicación apropiada de un
proceso de enchapado en un lado de la tarjeta, un
supervisor de producción podría estimar el espesor
promedio de la electrodeposición de cobre en la tarjeta al
usar muestras durante varios días de operación.-
Puesto que el no tiene conocimiento del espesor
promedio μ, antes de observar el proceso de producción,
el problema que tiene es de estimación.-
2.- El dueño de la planta le dice al supervisor, del ejemplo
anterior, que el espesor de la electrodeposición de cobre
no debe ser menor que 0,001 pulgadas para que el
proceso esté bajo control.-
Para decidir si el proceso esta bajo control o no, el
supervisor podría formular una prueba.El podría hipotetizar que el proceso esta bajo control:
asume que el espesor medio de la electrodeposición es
0,001 o mayor, y usa una muestra de varios días de
operación para decidir si la hipótesis es correcta o no.- El
método de toma de decisiones del supervisor se llama
Prueba de Hipótesis.-
¿Qué método de inferencia usaría?.- Es decir, ¿debe
estimar el parámetro o debe probar una hipótesis con
respecto a su valor?.-
La respuesta es dada por la pregunta práctica planteada,
y a menudo se determina por preferencia personal.Puesto que tanto la estimación como las pruebas de
hipótesis se usan con frecuencia en las publicaciones de
temas científicos, nosotros veremos ambos temas.Estimaciones en esta
Unidad y Pruebas de
Hipótesis en la Unidad siguiente.-
Un problema estadístico que requiere planificación, análisis y la
realización de inferencias está incompleto sin una medida de la
bondad de la inferencia.-
Es decir, ¿Qué tan exacta o confiable es el método que
utilizó?.- Si un corredor de bolsa predice que el precio de una
acción será de 80 dólares el lunes, ¿estará dispuesto a comprar
o vender su acción sin saber que tan confiable es su
predicción?.Los procedimientos estadísticos son importantes porque
proporcionan dos tipos de información:
• Métodos para hacer inferencia.• Una medida numérica de la bondad o confiabilidad de
la inferencia.-
METODOS
DE
ESTIMACION
Todo el mundo hace estimaciones.- Por ejemplo, cuando
usted decide cruzar una calle hace una estimación de la
velocidad del auto que viene, que tan cerca está, etc,
luego decide si cruza o no.-
Los Administradores, Contadores, Economistas, etc,
deben hacer estimaciones rápidas.El resultado de estas estimaciones pueden afectar sus
organizaciones de manera tan seria como el resultado de
su decisión de cruzar la calle.-
Todos estos profesionales hacen estimaciones sin
preocuparse si son científicas o no, pero con las
esperanza de que las estimaciones tengan una
semejanza razonable con el resultado.-
Con lo que veremos con este tema, observaremos que
podemos hacer estimaciones lo más acertadas
posibles, es decir sin correr grandes riesgos.-
Además con este tema empezamos a explicar las
posibilidades de hacer inferencias sobre una población,
basándonos en la información contenida en una
muestra aleatoria.Vamos a centrar nuestra atención en características
específicas o parámetros de la población.-
Algunos parámetros de interés podrían ser la media, la varianza o
la proporción de la población que poseen determinados
atributos.Por ejemplo, podríamos hacer inferencia sobre:
•El ingreso medio de las familias de un barrio.• Todas las acciones que cotizan en una bolsa de valores.-
•La variación en el nivel de impureza en diferentes lotes de un
producto químico.•La proporción de empleados de una empresa que están a favor de
modificar un plan de incentivos.• Ver la aceptación del público de un nuevo producto.• Las ventas de un comercio en el futuro.-
• Todas las cuentas pendientes de cobro de un proveedor.•Etc, Etc.-
Cualquier inferencia que se haga sobre la población
tendrá
que basarse necesariamente en estadísticos
muestrales, es decir en función
de la información
muestral.La elección apropiada de estos estadísticos dependerá de
cual sea el parámetro de interés de la población.El verdadero parámetro será desconocido y un objetivo
será estimar su valor.-
Cualquier estadístico de la muestra que se
utilice para estimar un parámetro poblacional
desconocido se conoce como estimador
ES DECIR
Un estimador de un parámetro
poblacional es una variable aleatoria
que depende de la información de la
muestra
y
cuyas
realizaciones
proporcionan aproximaciones al valor
desconocido del parámetro.-
La media de la muestra X puede ser un
estimador de la media de la población μ, la
proporción de la muestra p puede ser un
estimador de la proporción poblacional P.-
Cuando hemos observado un valor numérico
específico de nuestro estimador nos referimos a
ese valor como una estimación.-
En otras palabras, una estimación es un valor específico
observado de un estadístico.- Hacemos una estimación si
tomamos una muestra y calculamos el valor que toma nuestro
estimador en esa muestra.Supongamos que deseamos estimar el ingreso medio de las familias
de un barrio.Parece razonable basar nuestra conclusiones en el ingreso medio
muestral, por lo tanto, diremos que el estimador de la media
poblacional es la media muestral.Supongamos que habiendo tomado la muestra hallamos que el
ingreso promedio de las familias de la muestra es 1650$.Entonces la estimación de la media de la población es 1650$.Para estudiar la estimación de un parámetro desconocido, debe
considerarse dos posibilidades.-
Primero, podríamos calcular en base a los datos de la muestra, un
valor representativo o tal vez el más representativo y es lo que vimos
con la estimación de los 1650$ para las familias del barrio que
estudiamos.Alternativamente, podríamos estar interesado en encontrar un
intervalo o rango, en el cual estemos casi seguro de que esté el
verdadero parámetro, y es lo que llamamos Estimación por Intervalos
de Confianza.-
Entonces, si bien hay otros métodos, los métodos de estimación que
veremos son dos:
a) ESTIMACIÓN PUNTUAL
b) ESTIMACION POR INTERVALOS DE CONFIANZA
a) ESTIMACION
PUNTUAL
Un estimador puntual de un parámetro poblacional es
una función de la muestra que da como resultado un
único valor.La correspondiente realización se llama estimación
puntual.En el ejemplo, que vimos antes, el ingreso medio de las
familias, el parámetro que se quiere estimar es la media
poblacional.El estimador puntual que se utiliza es la media muestral y
la estimación resultante fue de 1650$.Entonces tenemos la siguiente tabla, para estimadores
puntuales:
Parámetro poblacional
Media
Varianza
x
X
²x
S²x
x
Desviación estándar
Proporción
Estimador
P
sx
p
Ejemplo:
Las ganancias por acciones de una muestra de
10 valores de la Bolsa en un día particular fueron:
10
16
5
10
12
8
4
6
5
4
Hallar estimaciones puntuales para los siguientes
parámetros poblacionales; media, varianza,
desvío estándar y la proporción para los que la
ganancia por acción fue mayor que 8,5.
Entonces:
TABLA DE FRECUENCIAS
Nº
Ganancia por acciones
Xi
X²
1
2
3
10
16
5
100
256
25
4
5
6
10
12
8
100
144
64
7
8
9
4
6
5
16
36
25
10
Total
4
80
16
782
Tenemos que:
n = 10
 Xi = 80
Por lo tanto la media muestral es
 xi
X = ------------ =
n
 X² = 782
80
------------ = 8.0
10
Que es nuestra estimación de la media poblacional.Una estimación de la varianza poblacional será:
 x² - n X²
782 - 10 * 64
S² = ---------------------------- = --------------------------- = 15.7
n - 1
9
Para la desviación estándar la estimación puntual será
Sx =
 S²
=
15,78 = 3.97
Finalmente, en la muestra, el número de
valores para los cuales la ganancia por
acción es mayor que 8,5 son cuatro (ver
tabla de frecuencias)
Por lo tanto nuestra estimación puntual
de la proporción poblacional es:
p =
x
4
=
n
= 0.40
10
En un situación practica podría haber varios estadísticos disponibles como
estimadores puntuales para un parámetro poblacional.Para decidir cual es la mejor opción, necesita saber como se comporta el
estimador en el muestreo repetido, descrito por su distribución muestral.A manera de analogía, piense en disparar un revolver a un blanco.El parámetro de interés es el centro del blanco en el que dispara las balas.Cada bala representa una sola estimación de la muestra, disparada por el
revolver, la cual representa al estimador.Suponga que su amigo dispara un solo tiro y da en el centro del blanco.¿su conclusión es que el es un tirador excelente?.¿se pondría de pie al lado del blanco mientras el hace un segundo disparo?
Probablemente no, porque no tiene ninguna medida del desempeño en
ensayos repetidos.-
¿El siempre da en el blanco, o es constante para dar muy alto o muy
bajo?.¿sus tiros se agrupan muy cercanos al blanco o por lo general salen
desviados del blanco por un amplio margen?.-
En la figura siguiente aparecen varias configuraciones del blanco.-
●●
●
●
●
●
●
●
●
● ● ● ● ●●
●
Consistente
abajo del blanco
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
Consistente
arriba del blanco
●●●●●
●
Fuera del blanco
por un amplio
margen
Mejor puntería
Las distribuciones muestrales proporcionan información útil para
seleccionar el mejor estimador.¿Qué características serían valiosas?.-
Primero, la distribución muestral del estimador puntual debe
estar centrada en el valor verdadero del parámetro por
estimar.Es decir, el estimador no debe subestimar o sobreestimar
regularmente el parámetro de interés.- Se dice que tal estimador es
no sesgado.-
Definición: Se dice que un estimador de un
parámetro es no sesgado si la media de su
distribución es igual al verdadero valor del
parámetro.- De otra manera, se dice que el estimador
es sesgado.-
Gráfica de distribución
Normal; Desv.Est.=5
0,09
Estimador
Estimador
0,07
0,06
Densidad
no
sesgado
0,08
sesgado
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
0
10
20
30
40
X
Valor verdadero del parámetro
En la figura anterior aparecen las distribuciones muestrales para un estimador no
sesgado y un estimador sesgado.La distribución para el estimador sesgado se desplaza a la derecha del valor
verdadero del parámetro.-
Este estimador sesgado tiene más probabilidad de sobreestimar el valor verdadero
del parámetro que uno no sesgado.-
La segunda característica deseable de un estimador es
que la dispersión (medida por la varianza) de la
distribución muestral debe ser tan pequeña como
sea posible.Gráfica de distribución
0,04
0,03
Densidad
Estimador
con
varianza
mayor
Estimador
con
varianza
menor
0,02
0,01
0,00
-50
-25
0
25
X
50
75
Valor verdadero del parámetro
100
Esto asegura que, con una probabilidad alta, una
estimación individual caerá cerca del verdadero valor del
parámetro.-
Las distribuciones muestrales para dos estimadores no
sesgados, uno con una varianza pequeña y la otra con
una varianza mayor se muestran en la placa anterior.Claro, preferirá al estimador con la menor varianza,
porque las estimaciones tienden a quedar más cerca del
verdadero valor del parámetro que en la distribución con
la varianza más grande.-
En situaciones de muestreo de la vida real, quizás usted sabe que la
distribución muestral de un estimador se centra respecto al
parámetro que intenta estimar, pero todo lo que tiene es la estimación
calculada de las n mediciones contenidas en la muestra.¿cuán lejos estará su estimación del
parámetro?.-
valor del verdadero
La distancia entre la estimación y el verdadero valor del parámetro se
llama error de estimación.-
En esta Unidad debe suponer que los tamaños de la muestra siempre
son grandes y por consiguiente, que los estimadores no sesgados
que estudiara tienen distribución muestral que se pueden aproximar
mediante una distribución normal (debido al teorema central del
límite).Recuerde que, para cualquier estimador puntual con una distribución
normal; la regla empírica establece que aproximadamente el 95% de
las estimaciones
puntuales, estarán a dos (o con más exactitud 1,96) desviaciones
estándar de la media de esa distribución.-
Para estimadores no sesgados, esto significa que la diferencia entre
el estimador puntual y el valor verdadero del parámetro será menor
que 1,96 desviaciones estándar o 1,96 errores estándar (SE).-
Esta cantidad conocida como margen de error del 95% (o
simplemente margen de error), proporciona un límite superior
práctico para el error de estimación.- (ver figura siguiente)
Es posible que el error de estimación exceda este margen de error,
pero esto es muy improbable.-
Distribución muestral de un estimador no sesgado
95%
1.96 SE
1.96 SE
Margen
Margen
de
de
error
error
Estimador
muestral
¿COMO ESTIMO UNA MEDIA O PROPORCION
POBLACIONAL?
• Para estimar la media poblacional μ de una población
cuantitativa, el estimador puntual x es no sesgado,
con un error estándar estimado como:
SE =
S
n
El margen de error de 95% cuando n ≥ 30 es estimado
como:
± 1,96
S
n
Para estimar la proporción poblacional P de una
población binomial, el estimador puntual p = x/n es
no sesgado con error estándar estimado como:
SE =
pq
n
El margen de error del 95% es estimado como:
± 1,96
pq
n
Suposiciones: n p > 5
y
nq >5
Ejemplo 1:
Un investigador está interesado en la posibilidad de fusionar las
capacidades de la televisión e Internet.-
Una muestra aleatoria de n = 50 usuarios de Internet que fueron
encuestados acerca del tiempo que pasan viendo la televisión
produjo un promedio de 11,5 horas por semana con una
desviación estándar de 3,5 horas.Use esta información para estimar el tiempo medio poblacional
que los usuarios de Internet pasan viendo televisión.Solución
La variable aleatoria medida es el tiempo que pasaron viendo
televisión por semana.- Esta es una variable aleatoria cuantitativa
mejor descripta por su media μ
La estimación puntual de μ, el tiempo promedio que
los usuarios de Internet pasan viendo televisión es
x = 11,5 horas.- El margen de error se estima como:
S
1,96 SE = 1,96
n
3.5
= 1,96
50
= 0.97
Puede sentirse bastante seguro de que la estimación
muestral de 11,5 horas de ver televisión para los
usuarios de Internet esta a ± 1 hora de la media
poblacional.-
Ejemplo 2:
Además del tiempo promedio que los usuarios de Internet pasan
viendo televisión del ejemplo anterior, está interesado en estimar
la proporción de individuos en la población que quieren comprar
una televisión que también funcione como computador.-
En una muestra aleatoria de n = 100 adultos, 45% en la muestra
indicaron que podían comprar una.
Estime la proporción poblacional verdadera de adultos
interesados en comprar una televisión que también funcione
como computador, y encuentre el margen de error para la
estimación.
Solución
El parámetro de interés ahora es P, la proporción de individuos en
la población que quieren comprar una televisión que también
funcione como computador.-
El mejor estimador de P es la proporción muestral p, que para
esta muestra es p = 0,45.A fin de encontrar el margen de error, aproxime el valor de P con
su estimación p = 0,45, entonces:
1,96 SE = 1,96
Pq
n
= 1,96
0,45 * 0,55 = 0.10
100
Con este margen de error, usted puede estar muy
seguro de que la estimación de 0,45 está a ± 0,10 del
verdadero valor de P.-
Por tanto, es posible concluir que el verdadero valor de P
podría ser tan pequeño como 0,35 o tan grande como 0,55.Este margen de error es bastante grande cuando se compara
con la estimación y refleja el hecho de que se requieren
muestras grandes para lograr un margen de error pequeño al
estimar P.
Cuando el valor de p esta entre 0,3 y 0,7 hay poco cambios en
el valor de
que es el numerador
Pq
del SE , que alcanza su máximo valor para p = 0,50, por tal
motivo muchas encuestadoras como Gallup usan tamaños de
muestras de alrededor de 1000 así que su margen de error es:
1,96
0.5 * 0.5
=
0,031
3%
1000
Se dice en este caso que la estimación esta ± 3 % de la
proporcion poblabacional verdadera.
EJERCICIOS
1.- ¿Explique lo que significa “ margen de error” en la
estimación puntual?
2.- ¿Cuáles son las dos características del mejor
estimador puntual para un parámetro poblacional?
3.- Calcule el margen de error al estimar una media
poblacional μ para estos valores:
a) n = 50
S² = 4
b) n = 500
S² = 4
c) n = 5000
S² = 4
¿Que efecto tiene un tamaño mayor de la muestra en
el margen de error?
3.- Calcule el margen de error al estimar una proporción
binomial P por medio de muestras de tamaño n = 100 y
los siguientes valores estimados de para P:
a) P = 0.10
b) P = 0.30
d) P = 0.70
e) P = 0.90
c) P = 0.50
¿Cuál de los valores de P produce el margen de error
más grande?.4.- Suponga que usted está escribiendo un cuestionario para una
encuesta de n = 100 individuos.El cuestionario generará las estimaciones para varias proporciones
binomiales diferentes.-
Se quiere informar un solo margen de error para la encuesta,
¿Qué margen de error del ejercicio anterior está bien usar?.-
5.- Con frecuencia un aumento en la proporción de ahorro de los
consumidores se relacionan con una falta de confianza en la
economía y se dice que es un indicador de una tendencia recesiva.
Un muestreo aleatorio de n= 200 cuentas de ahorro en una
comunidad mostró un incremento medio en los valores de las
cuentas de ahorro de 7,2% durante los últimos 12 meses, con una
desviación estándar de 5,6%.
Estime el incremento porcentual medio de los valores de las cuentas
de ahorro durante los últimos 12 meses de los depositantes en la
comunidad.- Encuentre el margen de error para su estimación.
R:
x = 7.2 %
SE = 0,776
6.- A la mayoría de los ciudadanos les encanta participar o por lo
menos ver, en una multitud de eventos deportivos; muchos
sienten que los deportes tienen más que solo el valor de
entretenimiento.- En una encuesta a 1000 adultos , el 78% sienten
que los deportes espectáculo tienen un efecto positivo en la
sociedad.
a) Encuentre una estimación puntual para la proporción de
ciudadanos adultos que sienten que los deportes espectáculo
tienen un efecto positivo en la sociedad.- Calcule el margen de
error.
b) La encuesta produce un margen de error de más o menos 3,1%.
¿esto concuerda con los resultados del inciso a)? Si no, ¿Qué
valor de p produce el margen de error dado en la encuesta?.
R: a) p = 0,78
ME= 0,026 b) no,
p = 0.50
7.- Uno de los costos principales al planear las vacaciones de verano
es el costo del hospedaje.- Incluso dentro de una cadena particular
de hoteles, los costos varían sustancialmente dependiendo del tipo
de habitación y los servicios ofrecidos.-
Suponga que elige al azar 50 estados de cuentas de cada una de las
bases de datos de las cadenas de hoteles, Marriott, Sheraton, y
Hilton, y se registra las tarifas de alojamientos nocturnos:
Marriott
Promedio muestral
Desvió estándar muestral
170
17,5
Sheraton
145
10,0
Hilton
150
16,5
a) Describa la población o poblaciones muestreadas.-
b) Encuentre la estimación puntual para la tarifa de alojamiento
promedio de los hoteles Marriott.- Calcule el margen de error.
c) Encuentre la estimación puntual para la tarifa de alojamiento
promedio de los hoteles Sheraton.- Calcule el margen de error.
d) Encuentre la estimación puntual para la tarifa de alojamiento
promedio de los hoteles Hilton.- Calcule el margen de error.-
8.- Las estaciones de radio y televisión con frecuencia sacan al aire
temas polémicos durante sus transmisiones y piden a los
espectadores que indiquen si están de acuerdo o no con una
posición dada acerca de un problema.Se realiza una encuesta u se pide a los telespectadores que si
están de acuerdo que llamen a un cierto número 900 y si no que
llamen a un segundo número 900.-
Todos los participantes pagan una cuota por sus llamadas.a) ¿Esta técnica de muestreo produce una muestra aleatoria?.
a) ¿Qué es posible decir acerca de la validez de los resultados de tal
encuesta?.- ¿Debe preocuparse por un margen de error en este
caso?.-
ESTIMACION
PUNTUAL
Supongamos que un día seleccionamos una muestra
aleatoria de acciones que cotizan en la bolsa y
observamos que las relaciones precio-beneficio de
estas acciones son:
10
16
13
11
12
14
12
15
14
14
13
13
13
----
a)Muestre
si
normalmente.
los
datos
se
distribuyen
b) Halle estimaciones puntuales de la media y de
la varianza.
Gráfica de probabilidad de C1
Normal
99
Media
Desv .Est.
N
AD
Valor P
95
90
13,08
1,605
13
0,281
0,581
Porcentaje
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
9
10
11
12
13
C1
14
15
16
17
En el gráfico de probabilidad normal no se observa nada que indique ausencia de
normalidad.
Suponiendo que la distribución es normal, una estimación puntual de la media
poblacional precio beneficio es la media muestra de 13,1 y una estimación de la
varianza poblacional es la varianza muestral S²= 2.58.-
Tanto la media muestral como la varianza son estimadores puntuales insesgados,
consistentes y eficientes de la media y varianza poblacional, respectivamente.-
1.- Una muestra aleatoria de ocho viviendas de un barrio tenían los
siguientes precios de ventas (en miles de dólares):
92
83
112
127
109
96
102
90
a) Busque pruebas de la ausencia de normalidad.
b) Halle una estimación puntual de la media poblacional que sea
insesgada y eficiente.
c) Utilice un método de estimación insesgado para hallar una
estimación puntual de la varianza de la media muestral.
d) Utilice un estimador insesgado para estimar la proporción de
viviendas de este barrio que se venden por menos de 92500
dólares.-
2.- Una muestra aleatoria de 12 obreros de una gran fábrica encontró
las siguientes cifras sobre número de horas extras realizadas el
mes anterior:
22
16
28
12
18
36
23
11
41
29
26
31
Utilice métodos de estimación insesgados para hallar la estimaciones
puntuales de:
a) La media poblacional.-
b) La varianza poblacional.c) La varianza de la media muestral.
d) La proporción poblacional de obreros que trabajaron más de 30
horas extras en esta fábrica el mes anterior.e) La varianza de la proporción muestral de obreros que trabajaron
más de 30 horas extras en esta fábrica el mes anterior.-
3.- Una muestra aleatoria de 10 economistas han realizado las
siguientes predicciones del crecimiento porcentual del producto
bruto interno real del próximo año:
2.2
2.8
3.0
2.5
2.4
2.6
2.5
2.4 2.7
2.6
Utilice métodos de estimación insesgados para hallar las
estimaciones puntuales de:
a) La media poblacional.b) La varianza poblacional.c) La varianza de la media muestral.d) La proporción poblacional de economistas que han predicho un
crecimiento del PIB real de al menos 2,5 por ciento.e) La varianza de la proporción muestral de economistas que han
predicho un crecimiento del PBI real de al menos un 2,5 %.-