Universidad Autónoma del
Estado de México
Inferencia estadística
Corrección de
examen
Actuaria 5 semestre
Profesor: Rafael Morales Ibarra
Alumna: Alondra Aleli Venancio
Perete
Grupo: A3
Periodo: 2023B
1. Sean 𝑋1….𝑋𝑛 una m.a. con ~𝑒𝑥𝑝(𝜃), donde 𝜃 > 0, es desconocido y sea 𝜃̂ =
1
, obtenga el sesgo 𝐵(𝜃̂), 𝑉 (𝜃̂) 𝑌 𝐸𝐶𝑀(𝜃̂).
𝑋̅
Solución:
Primero obtenemos el sesgo, tenemos
𝑓(𝑥; 𝜃) =
1 𝑥𝑖
𝑒𝜃
𝜃
𝜃
La esperanza de 𝜃̂ , sabiendo que 𝐸(𝑋) = 𝑛
𝑛
𝑛
∑
∑
𝐸(𝑥 )
𝜃
𝑛𝜃
, ahora, 𝐸(𝜃̂) = 𝑖=1𝑛 𝑖 = 𝑖=1
= 𝑛 =𝜃
𝑛
Por lo tanto 𝜃̂ es insesgado de 𝜃.
Ahora calculamos la varianza:
𝑉𝑎𝑟(𝜃̂) =
∑𝑛𝑖=1 𝑉𝑎𝑟(𝑥𝑖 ) ∑𝑛𝑖=1 𝜃 2 𝑛𝜃 2 𝜃 2
=
= 2 =
𝑛2
𝑛2
𝑛
𝑛
Para obtener el sesgo:
1
𝐵(𝜃̂) = ( )𝜃
𝜃
2. Suponga que 𝑋 es una v.a. con ~𝑓(𝑥, 𝜃) = 𝜃𝑒 −𝜃𝑥 𝑥 > 0 𝑦 𝜃 > 0, donde 𝜃 es
el parámetro de la distribución. Use el MMV para estimar al parámetro, si se
tienen cinco observaciones de x con valores 𝑋1 = 0.9, 𝑋2 = 1.7, 𝑋3 = 0.4, 𝑋4 =
0.7 𝑦 𝑋5 = 2.4
Solución:
Tenemos ~𝑓(𝑥, 𝜃) = 𝜃𝑒 −𝜃𝑥 con 𝑥 > 0 𝑦 𝜃 > 0
5
𝐿(𝑋, 𝜃) = 𝜃𝑒
−𝜃𝑥
, → ∏ 𝜃𝑒 −𝜃𝑥2 = 𝜃 4 𝑒 −𝜃(𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 , 𝑥5)
𝑖=1
𝑙𝑛𝐿(𝑋, 𝜃) = 5 𝑙𝑛𝜃 − 𝜃(𝑥, 𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 ) = 0
Ahora:
𝜃=
5
5
=
𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 , 𝑥5 0.9 + 1.7 + 0.4 + 2.4 + 0.7
∴ 𝜃=
5
= 0.819672131
6.1
3. Sea x una m.a. de una Poisson que tiene una media 𝜃 > 0. Emplee la
𝑦
desigualdad de 𝐶 − 𝑅 para demostrar que 𝑛 = 𝑥̅ es un estadístico suficiente
para 𝜃.
Solución:
Según la desigualdad de Cramer-Rao tenemos que para un estimador
insesgado 𝑇(𝑥)𝑑𝑒 𝜃, 𝑉𝑎𝑟(𝑇(𝑥)) ≥ 𝐼(𝜃)1 donde (𝜃) se define como 𝐼(𝜃) =
𝑑
2
𝐸 [(𝑑𝜃 ln 𝑓(𝑥; 𝜃)) ],
Tenemos 𝑓(𝑥; 𝜃) =
𝑒(−𝜃)𝜃𝑥
𝑥!
, luego derivamos con respecto a 𝜃
𝑑
𝑑
𝑛
𝜃 𝑙𝑛𝑓(𝑥; 𝜃) = 𝜃(𝑥𝑙𝑛𝜃 − 𝜃 − 𝑙𝑛𝑥!) = − 1
𝑑
𝑑
𝜃
𝜃
→ 𝐼(𝜃): 𝐼(𝜃) = 𝐸[(𝜃𝑥 − 1)2 ] = 𝜃21 𝐸[𝑥2 ] − 2𝜃1𝐸[𝑥] + 1 = 𝜃21 (𝜃 + 𝜃2 ) − 2 + 1
𝜃
1
=
𝜃
Para una distribución Poisson 𝑋̅ es un estimador insesgado para 𝜃. Su varianza
𝜃
𝑉𝑎𝑟(𝑋̅) = 𝑛.
Usando la desigualdad tenemos:
𝑉𝑎𝑟(𝑋̅) ≥ 𝑛𝐼(𝜃)1
𝜃
1 𝜃 𝜃
≥𝑛× 1 ≥
𝑛
𝜃 𝑛 𝑛
Dado que la varianza de la media muestral 𝑋̅
alcanza el limite inferior
establecido por la desigualdad de D-R, 𝑋̅ es un estadístico suficiente para 𝜃.
4. Suponga que se desea estimar la proporción de contribuyentes (con el
enfoque bayesiano) que cometen fraude contra el SAT, manipulando
contablemente sus declaraciones para pagar menos o nada en su
declaración anual. De una población de 1.3 millones de contribuyentes
morales, se selecciona a 150 empresas, de las cuales se encuentra que 12
de ellas efectivamente cometen fraude. El gobierno tiene información de que
la tasa de fraude habitual a nivel nacional es de 10%.
Solución:
Suponemos que el gobierno cree que l tasa de fraude a nivel nacional es de
10%, entonces 𝑝 = 0.10, luego tenemos que 12 de cada 150 empresas cometen
fraude, podemos dar una proporción de muestra:
[𝑝̂ =
12
= 0.08] → 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏. 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑣𝑖𝑎𝑠.
150
Utilizamos la forma general del teorema de Bayes
[𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐵|𝐴)×𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵)
] donde tendríamos que:
𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖
𝑃(𝐵|𝐴) = 𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑃(𝐴) = 𝑙𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖
𝑃(𝐵) = 𝑙𝑎 𝑒𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
Ahora utilizando la E.B. tenemos lo siguiente
∝= 1 + (. 10)(150) = 16
𝛽 = 1 + (. 90)(150) = 136
Y con los nuevos datos tenemos:
∝= 16 + 12 = 28
𝛽 = 136 + 138 = 274
La media posterior según nuestros datos es:
𝑃̂𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 =
𝛼
28
=
≈ 0.0927
𝛼 + 𝛽 302
Entonces se estima que alrededor de 9.27% de los contribuyentes cometen
fraude.