Música e Matemática –nota 2
Equação de onda linear numa corda vibrante
Henrique M. Oliveira
Exercícios
Vamos agora supor que temos uma corda de guitarra com comprimento l,
e que é pinçada na posição a com elongamento h de forma a …car triangular.
Nesse momento é libertada a partir do repouso. Qual será a evolução do comportamento ondulatório?
I. Velocidade inicial nula
É preciso é obter a função condição inicial f (x) sabendo que estando a corda
em repouso no início a velocidade inicial g é a função nula.
A função triangular tem a expressão
f (x) =
h
a l
h
ax
se x 2 [0; a] ;
l) se x 2 [a; 0] :
(x
Resta apenas calcular o integral dos coe…cientes An , já que os coe…cientes Bn
são todos nulos porque a velocidade inicial é nula
An
=
2
l
Zl
n u
du
l
f (u) sin
(1)
0
=
2h
la
Za
n u
2h
u sin
du +
l
l (a l)
=
(u
l) sin
n u
du
l
(2)
a
0
2hl2
a (l a) n2
Zl
2
an
sin
l
.
(3)
Ficamos com a função de onda
(x; t) =
1
X
2hl2
a (l a) n2
n=1
2
sin
an
l
sin
n x
n ct
cos
.
l
l
O que é interessante nesta solução é que as vibrações no tempo são dadas pela
função trigonométrica cos n l ct , com frequências angulares crescentes e múltiplas
inteiras de lc , cada uma destas frequências será detectada pelo ouvido humano
1
Figure 1: Neste grá…co vê-se o decaimento dos coe…cientes de Fourier para a
onda triangular com um comprimento de 50cm, um elongamento de 1 cm e com
a corda pinçada a um décimo do seu comprimento.
2
Figure 2: Forma da onda no tempo numa corda, em cada cor pode-se observar
um certo tempo. A velocidade foi feita 1ms 1 (aqui usada para facilitar a
visualição). Como se sabe, a velocidade depende da tensão e da massa especí…ca
da corda. Utilizámos apenas cinco termos na série de Fourier.
e reconstiuída pelo analisador espectral das nossas membranas cocleares que são
indenti…cadas como sons musicais pelo cérebro. A forma como os coe…cientes
An são compostos denota o timbre do som. Podemos ver a evolução da onda no
tempo quando apenas colocamos cinco termos no somatório da série de Fourier
na …gura 2.
Colocando mais termos na série de Fourier, agora 100, temos uma ideia mais
exacta do que seria a evolução de uma onda triangular, ver a …gura 3. O que se
passa é que a onda triangular inicial também é uma idealização e o fenómeno
real tem muito mais pareceenças com a …gura anterior do que com a …gura com
as ondas triangulares em evolução!
II. Velocidade inicial não nula
Se considerarmos agora uma velocidade inicial o que acontece? Apenas que
os termos com Bn deixam de ser nulos.
Seja a velocidade inicial da forma
g (x) = Dx (l
3
x) .
Figure 3: Forma da onda no tempo numa corda, com condições iguais ao grá…co
anterior mas com 100 termos na série de Fourier, a onda triangular mantém-se
em evolução.
Calculamos os coe…cientes Bn
Bn
=
2D
n c
Zl
g (u) sin
2D
n c
Zl
u (l
n u
du
l
(4)
0
=
u) sin
n u
du
l
(5)
0
3
=
4Dl (1 ( 1)n )
cn4 4
(6)
O resultado …nal da função de onda será
(x; t) =
1
X
n=1
sin
an
l
sin
n x
l
An cos
n ct
n ct
+ Bn sin
l
l
;
em que os coe…cientes An e Bn foram calculados acima.
O grá…co com velocidade inicial em que se vê a evolução da onda no tempo
com diferentes tempos será agora o da …gura 4.
4
Figure 4: Forma da onda no tempo numa corda, com condições iniciais triangulares mas com alguma velocidade inicial, com D = 0:0001. Todas as outras
condições se mantém. Repare-se que a forma triangular da evolução se perde.
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