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DIMENSÕES Matemática A 11.o ano
Manual
Caderno de atividades e avaliação contínua
Solucionário
Componentes do projeto:
*531010208*
11.o ano de escolaridade
C. Produto
DIMENSÕES
Matemática A
NOVIDADpiElação
a com
Este livro é um
unciados
en
de todos os
respetivas
e
,
os
ci
cí
dos exer
manual
do
RESOLUÇÕES,
SÕES
EN
M
DI
o
do projet
11
Solucionário
DIMENSÕES
Matemática A
11.o ano de escolaridade
ANA CLÁUDIA ANTUNES
Consultores científicos: Pedro J. Freitas e Hugo Tavares
000707 CAPA.indd 1
12/07/16 15:56
11
Solucionário
DIMENSÕES
Matemática A
11.o ano de escolaridade
CRISTINA NEGRA
Consultores científicos: Pedro J. Freitas e Hugo Tavares
000707 001-005.indd 1
04/07/16 15:20
Índice
Domínio 1
TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS p. 6
UNIDADE 1
Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos
e resolução de triângulos
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 6
p. 6
1.1 Razões trigonométricas de ângulos agudos (p. 6)
1.2 Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos (p. 12)
1.3 Resolução de triângulos (p. 16)
AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 18
UNIDADE 2
Ângulos orientados, ângulos generalizados
e rotações
p. 28
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 28
2.1 Ângulos orientados, amplitudes de ângulos orientados e respetivas medidas (p. 28)
2.2 Rotações segundo ângulos orientados (p. 29)
 ngulos generalizados. Medidas de amplitudes de ângulos generalizados (p. 29)
2.3
2.4 Ângulos generalizados e rotações (p. 31)
UNIDADE 3
Razões trigonométricas
de ângulos generalizados
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 33
p. 33
3.1
Generalização das definições das razões trigonométricas
a ângulos orientados e a ângulos generalizados (p. 33)
3.2 Medidas de amplitudes de ângulos e arcos em radianos (p. 41)
AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 47
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 1
p. 55
UNIDADE 4
FUNÇões trigonométricas
p. 61
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 61
4.1O seno, o cosseno e a tangente como funções reais de variável real (p. 61)
4.2 Funções trigonométricas inversas (p. 74)
4.3 Equações trigonométricas (p. 76)
AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 88
AVALIAÇÃO GLOBAL DE CONHECIMENTOS
p. 106
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 2
p. 129
2
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Domínio 2
UNIDADE 5
UNIDADE 6
GEOMETRIA ANALÍTICA p. 134
Declive e inclinação de uma reta
p. 134
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 134
produto escalar de vetores
p. 140
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 140
6.1 Definições e aplicações (p. 140)
6.2 Propriedades do produto escalar (p. 148)
6.3 Resolução de problemas geométricos envolvendo o produto escalar (p. 151)
AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 156
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 3
p. 172
UNIDADE 7
Equações de planos no espaço
p. 176
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 176
7.1
7.2
7.3
7.4
Vetores normais a um plano (p. 176)
Equações cartesianas de planos (p. 177)
Posição relativa de dois planos (p. 182)
Equação vetorial de um plano (p. 185)
AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 192
AVALIAÇÃO GLOBAL DE CONHECIMENTOS
p. 206
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 4
p. 232
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 5
p. 237
Domínio 3
UNIDADE 8
SUCESSÕES p. 243
Generalidades acerca de sucessões
p. 243
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 243
8.1 Sucessões numéricas (p. 243)
8.2 Sucessões monótonas (p. 246)
8.3 Sucessões limitadas (p. 249)
UNIDADE 9
Princípio de indução matemática
p. 252
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 252
9.1 Princípio de indução matemática (p. 252)
9.2 Sucessões definidas por recorrência (p. 256)
AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 259
3
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Índice
UNIDADE 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 268
p. 268
10.1 Progressões aritméticas (p. 268)
10.2 Progressões geométricas (p. 278)
AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 287
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 6
p. 292
UNIDADE 11
Limites de sucessões
p. 296
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
11.9
p. 296
Definição de limite (p. 296)
Convergência e limitação (p. 299)
Limites infinitos (p. 302)
Limites de sucessões que diferem num número finito de termos (p. 305)
Aplicação da definição de limite a casos particulares (p. 306)
Álgebra de limites de sucessões convergentes (p. 308)
Álgebra de limites infinitos e indeterminações (p. 309)
Levantamento algébrico de indeterminações (p. 314)
n
Limite de a , com a > 0 (p. 316)
AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 319
Avaliação global de conhecimentos
p. 328
Preparação para o teste 7
p. 346
Domínio 4
FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Unidade 12 LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 352
p. 352
p. 352
12.1 Limites segundo Heine de funções reais de variável real (p. 352)
12.2 Limites laterais (p. 353)
12.3 Limites no infinito (p. 355)
12.4 Álgebra de limites de uma função (p. 356)
12.5 Limite da função composta (p. 359)
12.6 Levantamento algébrico de indeterminações (p. 361)
AVALIAR CONHECIMENTOS
Unidade 13
funções contínuas
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 368
p. 378
p. 378
13.1 Função contínua num ponto do seu domínio (p. 378)
Unidade 14
Assíntotas ao gráfico de uma função
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 386
p. 386
14.1 Assíntotas verticais ao gráfico de uma função (p. 386)
14.2 Assíntotas não verticais ao gráfico de uma função (p. 389)
4
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Unidade 15
funções racionais
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 406
p. 406
15.1 Domínio, zeros e sinal (p. 406)
15.2 Operações com funções racionais. Equações e inequações fracionárias (p. 412)
AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 417
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 8
p. 440
derivadas de funções reais de variável real
Unidade 16
e aplicações
p. 446
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 446
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
Taxa média de variação (p. 446)
Derivada de uma função num ponto (p. 449)
Aplicação da noção de derivada à cinemática do ponto (p. 452)
Função derivada (p. 453)
Operar com derivadas (p. 458)
AVALIAR CONHECIMENTOS
derivada e estudo de funções
Unidade 17
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 472
p. 480
p. 480
17.1 Teorema de Lagrange (p. 480)
17.2 Derivada. Monotonia e extremos de funções (p. 481)
17.3 Problemas de otimização (p. 486)
AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 490
Avaliação global de conhecimentos
p. 502
Preparação para o teste 9
p. 532
Preparação para o teste 10
p. 538
Domínio 5
ESTATÍSTICA p. 543
UNIDADE 18 AMOSTRAS BIVARIADAS. RETA De MÍNIMOS QUADRADOS
p. 543
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
p. 543
AVALIAÇÃO GLOBAL DE CONHECIMENTOS
p. 554
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 11
p. 564
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 12
p. 569
5
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1
UNIDADE
Extensão da trigonometria
a ângulos retos e obtusos
e resolução de triângulos
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
1.1 Razões trigonométricas de ângulos agudos
Apresente uma justificação para cada uma das seguintes fórmulas envolvendo
as razões trigonométricas de um ângulo agudo:
Tarefa 1
(1)
sin a
sin2 a + cos2 a = 1 e tan a = cos a
A primeira fórmula é usualmente designada por fórmula fundamental
da trigonometria.
B
Atendendo à figura ao lado, pode-se definir:
BC
AC
BC
; cos a =
e tan a =
.
sin a =
a
AB
AB
AC
A
C
Assim:
2
2
2
2
2
BC + AC
AB
BC
AC
p +f
p=
sin2 a + cos2 a = f
=1
=
2
2
Teorema
AB
AB
AB
AB
de Pitágoras
Sabe-se que:
u1p9h1s
BC
+ BC = AB sin a
sin a =
AB
AC
+ AC = AB cos a
cos a =
AB
Então:
sin a
BC
AB sin a
=
= cos a
tan a =
AC
AB cos a
Determine o seno, o cosseno e a tangente do ângulo interno b do triângulo
[ABC] , retângulo em A .
1
B
a)
B
b)
b
3 cm
C
25 cm
6
Os símbolos
,
u1p9h2
000707 006-027 U1.indd 6
e
b
B
A
C
(1)
5 cm
4 cm
b
4 cm
A
c)
15 cm
C
A
representam o grau de dificuldade por ordem crescente.
u1p9h3
u1p9h4
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
2
2
4 +3 =
3
3
4
; cos b =
e tan b =
.
Assim, sin b =
4
5
5
a) Pelo teorema de Pitágoras, obtém-se BC =
1
25 = 5 .
25 2 - 15 2 = 400 = 20 .
3
20
4
3
15
15
=
; cos b =
=
e tan b =
=
.
Assim, sin b =
4
20
5
25
5
25
b) Pelo teorema de Pitágoras, obtém-se AB =
c) Pelo teorema de Pitágoras, obtém-se BC =
Assim, sin b =
4
4 41
=
; cos b =
41
41
4 2 + 5 2 = 41 .
5
5 41
4
=
e tan b =
.
41
5
41
2
Mostre que para qualquer ângulo agudo a se tem:
1
1 + tan2 a =
cos 2 a
sin 2 a
cos 2 a + sin 2 a
1
sin a 2
1 + tan2 a = 1 + c cos a m = 1 +
=
=
2
2
cos a
cos a
cos 2 a
1
Sabendo que um ângulo agudo b é tal que tan b =
, determine:
2
a) cos b
b) sin b
3
1
1
1 2
c
m =
+
1
+
+
2
2
cos b
cos 2 b
1
5
1
1
+1+
=
+
=
+ 5 cos2 b = 4 +
4
4
cos 2 b
cos 2 b
4
2 5
4
+ cos2 b =
+ cos b =
=
5
5
5
b é agudo
a) 1 + tan2 b =
cos b 2 0
b) Tem-se que:
tan b =
sin b
sin b
1
+
=
+ cos b = 2 sin b
2
cos b
cos b
Como sin2 b + cos2 b = 1 , então:
sin2 b + (2 sin b)2 = 1 + 5 sin2 b = 1 +
+ sin2 b =
Em alternativa:
1
5
+ sin b =
b é agudo
sin b 2 0
1
=
5
4
, logo:
5
4
1
=
sin2 b + cos2 b = 1 + sin2 b = 1 5
5
5
5
Sabe-se pela alínea a) que cos2 b =
+ sin b =
b é agudo
sin b 2 0
5
5
7
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Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos
e resolução de triângulos
C
Partindo de um triângulo equilátero [ABC]
e traçando a bissetriz de um dos seus ângulos,
obteve-se a figura ao lado.
Tarefa 2
60º
30º
Utilize a figura para obter o valor exato do seno,
do cosseno e da tangente dos ângulos agudos
assinalados, ou seja, sin 30° , cos 30° ,
tan 30° , sin 60° , cos 60° e tan 60° .
B
A
SUGESTÃO: Como as razões trigonométricas dependem apenas da amplitude
do ângulo, pode considerar um triângulo equilátero de lado 1 .
u1p10h2
Considerando que o triângulo [ABC] tem lado 1 , pelo teorema
de Pitágoras, tem-se BD =
Assim:
3
.
2
1
1
CD
2
=
=
sin 30º = cos 60º =
2
1
BC
3
BD
3
2
cos 30º = sin 60º =
=
=
1
2
BC
1
1
3
CD
2
=
=
=
tan 30º =
3
BD
3
3
2
tan 60º =
BD
=
CD
3
2
=
1
2
3
Determine as dimensões, x e y , do esquadro de 60° representado na figura
seguinte.
4
60º
m
0c
3
y
x
x
3
+ x = 30 × sin 60º + x = 30 ×
= 15 3 cm
2
30
y
1
u1p11h3
cos 60º =
+ y = 30 × cos 60º + y = 30 ×
= 15 cm
30
2
sin 60º =
8
000707 006-027 U1.indd 8
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De acordo com os dados da figura,
determine BC .
5
A
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
B
1
60º
E
C
30º
30
D
30
CD
30
+ tan 30º =
+ CE =
+ CE = 30 3 u. c.
tan30
º
CE
CE
Como CE = AB , tem-se que:
tan 30º =
BD
+ BD = 30 3 × tanu1p11h4
60º + BD = 90 u. c.
AB
Assim, BC = BD - CD . 90 - 30 = 60 u. c.
tan 60º =
Logo, BC é igual a 60 u. c.
6
Determine o valor de x , em metros,
de acordo com os dados da figura.
50 m
45º
60º
x
Considere-se y a medida do comprimento do cateto adjacente do triângulo
com um dos ângulos internos igual a 60º :
*
50
———
———
u1p11h5
x+y
50
50 3 +
+*
50 + *
y=
=
y=
50
3
º
tan
60
tan 60º = y
3
50
tan 45º =
50 3
ex +
o # 1 = 50
50 3
3
x+
+*
+
+
3
———
———
150 - 50 3
x=
3
+
50 3
y=
3
150 - 50 3
metros.
Logo, x é igual a
3
tan 45º =
*
*
9
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Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos
e resolução de triângulos
Na figura ao lado está representado o triângulo [PQR] .
Tarefa 3
R
Sabe-se que:
• PQ = 10 cm
W = 30°
• RPQ
70º
30º
W = 70°
• PQR
P
Q
10 cm
W .
3.1Determine a amplitude do ângulo PRQ
3.2Determine o valor, arredondado às décimas de centímetro, de PR e RQ .
PW
RQ = 180º - (30º + 70º) = 80º
3.1
u1p12h1
3.2Seja hQ a medida da altura do triângulo relativa ao vértice Q .
Tem-se que:
sin 30º =
hQ
+ hQ = 10 sin 30º = 5 cm
10
Por outro lado, tem-se que:
hQ
5
+ RQ =
. 5,1 cm
sin 80º =
sin 80º
RQ
Seja hP a medida da altura do triângulo relativa ao vértice P .
Tem-se que:
hP
+ hP = 10 sin 70º . 9,397 cm
10
hP
9,397
Como sin 80º =
, tem-se que PR =
. 9,5 cm .
s
in 80º
PR
sin 70º =
7
Considere o triângulo representado na figura ao lado.
Utilize a lei dos senos para determinar os valores
de x e y , em centímetros, arredondados
às décimas.
Como 180º - (75º + 65º) = 40º , aplicando a lei dos senos,
tem-se:
3,5 sin 40º
sin 40º
sin 65º
x
. 2,5 cm
=
+
=
x
sin 40º
3,5
y
3,5 cm
75º 65º
x
u1p12h4
3,5 sin 75º
sin 75º
sin 65º
y
. 3,7 cm
=
+
=
y
3,5
sin 65º
10
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
B
Calcule as medidas do lado e da diagonal
maior de um losango cuja diagonal menor
mede 5 cm e em que os ângulos obtusos
medem 130º . Apresente os resultados
aproximados às décimas.
8
1
C 5 cm
A
D
X = 130° , então, BAD
W = BCD
W = ADC
W = 50° , pois
os ângulos opostos
Se ABC
u1p13h3
têm a mesma amplitude e a soma das amplitudes dos ângulos internos é de 360° .
Como as diagonais do losango são bissetrizes e são perpendiculares, formam
ângulos de 90° no seu centro (ponto E ) .
Considere-se o triângulo retângulo [CDE] , donde:
X = 130º = 65º , ECD
W = 50º = 25° e DE = BD = 2,5 cm
EDC
2
2
2
Então:
2,5
DE
+ CD =
+ CD . 5,9 cm
sin 25º
CD
Pelo teorema de Pitágoras, vem que:
sin 25º =
2
2
2
2
CE = CD - DE + CE = 5,92 - 2,52 + CE =
28,56 . 5,3 cm
Assim, AC = 2CE = 2 28,56 . 10,7 cm .
Portanto, o losango tem de lado, aproximadamente, 5,9 cm e de diagonal
maior, aproximadamente, 10,7 cm .
NOTA: Pode-se calcular CD aplicando a lei dos senos:
Considerando o triângulo isósceles [BCD] , tem-se:
sin 50º
sin 65º
5 sin 65º
. 5,9 cm
=
+ CD =
5
sin 50º
CD
B
Considere um triângulo acutângulo [ABC] ,
W = 80° e BC = 2AC .
em que BAC
Determine um valor aproximado às décimas
da amplitude do ângulo ABC .
9
80º
A
C
Pela lei dos senos:
W
sin 80º
sin ABC
W = AC sin 80º = sin 80º &
=
+ sin ABC
2
BC
AC
BC
7
1
=
u1p13h4
W = sin-1c sin 80° m . sin-1(0,4924) . 29,5° ( ABC é agudo)
& ABC
2
2
11
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Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos
e resolução de triângulos
1.2 Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos
10
No Parque Aventura pretende-se construir
uma diversão que consiste em atravessar
um ribeiro, em equilíbrio, com o auxílio de
cordas. As cordas terão como extremidades
dois pontos, A e B , em margens opostas.
A
Para determinar o comprimento das cordas
foi necessário fixar um ponto C na mesma
C
margem de A , medir a distância entre A e B ,
e a amplitude dos ângulos CAB e BCA ,
tendo-se obtido os seguintes resultados:
W = 39,7° e BCA
W = 47,9°
AC = 35 m , CAB
B
Que comprimento, em metros, devem ter as cordas?
Divida-se o triângulo [ABC] em dois
triângulos retângulos, marcando a altura,
hB , relativamente à base AC .
35-x
x
C 47,9º
A
39,7º
hB
42,1º
50,3º
De acordo com a figura apresentada,
tem-se:
B
hB
1,11 = tan 47,9° = x
hB = 1,11x
hB = 16,62
+*
+*
hB
hB = 29,05 - 0,83x
x = 14,97
0,83 = tan 39,7° =
35 - x
*
u1p12h1
Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:
AB =
h 2B + (35 - x)2 = 16,62 2 + 20,03 2 . 26 m
BC =
x 2 + h 2B = 14,97 2 + 16,62 2 . 22,37 m
As cordas AB e BC têm, aproximadamente e respetivamente, 26 m e 22,37 m .
V = 150° , bT = 135° e cU = 120° .
Sejam a , b e c ângulos tais que a
11
Indique o valor exato de:
a) sin a - 2 sin b
b)
-sin c
2 sin a
a) sin 150º - 2 sin 135º = sin 30º - 2 sin 45º =
- sin 120º
- sin 60º
b) =
=
2 sin 30º
2 sin 150º
2 o
1
1
- 2e
=
2
2
2
2
3
3
2
=2
1
2c m
2
-
12
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Considere um triângulo [ABC] tal que
os ângulos internos de vértices em A e B são
agudos e de lados cujas medidas de comprimento
são a = BC , b = AC e c = AB .
W = a . Considere a projeção ortogonal
Seja CAB
Tarefa 4
1
C
a
b
A
Cl do ponto C sobre a reta AB e hC = CCl .
hC
a
B
C'
c
4.1Escreva ACl e ClB em função de a .
4.2Mostre, aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos [AClC] e [ClBC] ,
u1p16h3
que hC2 = a2 - (c - b cos a)2 e hC2 = b2 - b2 cos2a .
4.3Da alínea anterior deduza que a2 = b2 + c2 - 2bc cos a .
Adaptado do Caderno de Apoio do 11.º ano
4.1 Como cos a =
AC'
, tem-se AC' = b cos a .
b
Como C'B = AB - AC' , então, C'B = c - b cos a .
4.2 Aplicando o teorema de Pitágoras a [AC'C] , tem-se que:
2
2
2
AC' + CC' = AC , isto é, por 4.1, hC2 = b2 - b2 cos2 a .
Aplicando o teorema de Pitágoras a [C'BC] , obtém-se:
2
2
2
CB = CC' + BC' , isto é, por 4.1, hC2 = a2 - (c - b cos a)2 .
4.3 Igualando as expressões obtidas em 4.2, tem-se que:
b2 - b2 cos2 a = a2 - (c - b cos a)2 +
+ b2 - b2 cos2 a = a2 - c2 + 2bc cos a - b2 cos2 a +
+ a2 = b2 + c2 - 2bc cos a
c.q.d.
Determine o raio da circunferência
representada na figura ao lado.
12
12
r
60º
A
Considere-se a figura ao lado:
%
W = 120º .
Como AB = 2 × 60º = 120º , então, AEB
u1p16h5
Como o triângulo [ABE] é isósceles _ AE = BE = r i ,
W = 30º = ABE
W .
então, BAE
Aplicando a lei dos senos, tem-se:
12
r
60º
E
B
C
1
12 #
sin 120º
sin 30º
12 3
12 sin 30º
2
=
+r=
=
=
= 4 3 u. c.
r
2
12
sin 120º
3
u1p16h5 13
2
000707 006-027 U1.indd 13
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Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos
e resolução de triângulos
De um triângulo [ABC] sabe-se que:
W = 76°
• ABC
13
• BC = 11 cm
• AC = 12 cm
13.1Justifique que o ângulo BAC é agudo e determine um valor
aproximado ao grau da sua amplitude.
13.2Determine um valor aproximado ao centímetro do comprimento
do lado [AB] .
W 1 ABC
W .
13.1 Como BC 1 AC , então, BAC
Portanto, o ângulo BAC é agudo.
Aplicando a lei dos senos, tem-se:
sin 76º
sin A
11 sin 76º
=
A . 63°
+ sin A =
+W
12
11
12
W = 180º - (76º + 63º) = 41º , aplicando a lei dos senos,
13.2Como ACB
tem-se:
sin 76º
sin 41º
12 sin 41º
=
+ AB =
+ AB . 8 cm
12
sin 76º
AB
Dois navios saíram de um porto às 8 horas
da manhã. Um dos navios viajou na direção
60° nordeste a uma velocidade constante
de 24 nós. O outro navio viajou na direção
15° sudeste à velocidade constante de 18 nós,
conforme a figura ao lado.
14
60º
15º
Qual será a distância em quilómetros entre
os navios ao meio-dia?
Apresente o resultado arredondado às unidades.
NOTA: 1
nó é uma unidade de medida de velocidade equivalente a 1852 m/h .
u1p17h3
Ao fim de 4 horas, cada um dos navios percorreu, respetivamente:
24 × 1,852 km/h × 4 = 177,792 km
18 × 1,852 km/h × 4 = 133,344 km
Então, a distância entre os navios será a medida, d , do lado oposto ao ângulo
de amplitude 75º .
14
000707 006-027 U1.indd 14
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Pelo teorema de Carnot, tem-se:
1
d2 = 133,3442 + 177,7922 - 2 × 133,344 × 177,792 × cos 75º +
+ d2 = 37118,71442 + d . 193 km
Portanto, a distância entre os navios ao meio-dia será de, aproximadamente,
193 km .
Determine o valor exato de:
15
a) cos 135° - cos 120°
b) sin 150° ∙ cos 150°
a) cos 135º - cos 120º = cos 45º - cos 60º =
2
1
= 12
2
b) sin 150º $ cos 150º = -sin 30º $ cos 30º = -
1
#
2
2
3
3
=2
4
Considere uma circunferência de centro O
e raio 10 cm .
16
Dois raios [OA] e [OB] formam entre si
um ângulo de 125° .
Determine a medida do comprimento
da corda [AB] .
Apresente o resultado arredondado à décima
do centímetro.
A
10
O
125º
10
B
Como os outros dois ângulos do triângulo [ABO] são iguais e de amplitude
27,5º , pela lei dos senos, tem-se:
u1p18h1
sin 27,5º
sin 125º
,
=
10
AB
ou seja,
AB =
10 # sin 125º
. 17,7 cm
sin 27,5º
Portanto, a medida do comprimento da corda [AB] é de, aproximadamente,
17,7 cm .
Em alternativa, pelo teorema de Carnot:
AB = 10 2 + 10 2 - 200 cos125° . 17,7 cm
15
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Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos
e resolução de triângulos
1.3 Resolução de triângulos
17
Calcule a área de um terreno triangular cujos
lados medem 80 , 150 e 200 metros.
200 m
Apresente o resultado arredondado
às unidades.
150 m
80 m
Aplicando o teorema de Carnot, obtém-se um dos ângulos internos
do triângulo:
u1p20h4
2002 = 802 + 1502 - 2 × 80 × 150 cos a +
+ 40 000 = 28 900 - 24 000 cos a
Como
cos-1d
40 000 - 28 900
37
n = cos-1dn = cos-1(-0,4625) . 117,5º ,
- 24 000
80
então, a . 117,549° .
Assim, a área do triângulo da figura é, aproximadamente, igual a:
80 #150 # sin 117,549°
. 5320 m2
2
Resolva cada um dos seguintes triângulos.
18
Apresente as medidas arredondadas às décimas.
Sempre que nos cálculos intermédios proceder a arredondamentos conserve
três casas decimais.
a)
b)
B
c
85º
a
a
3 cm
y
x
x
36º
A
8 cm
C
37º
4 cm
y ! ]90, 180[
a) x = 180º - 85º - 36º = 59º
Pela lei dos senos, tem-se:
u1p19h2
sin 85º
sin 59º
8
=
a
+a=
8 sin 59ºu1p19h3
. 6,9 cm
sin 85º
8 sin 36º
sin 85º
sin 36º
. 4,7 cm
=
+c=
8
b
sin 85º
16
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
b) Aplicando o teorema de Carnot, obtém-se:
1
a2 = 32 + 42 - 2 × 3 × 4 cos 37° + a2 = 9 + 16 - 24 cos 37° +
+ a2 = 25 - 24 cos 37° + a . 2,4 cm
Pela lei dos senos, tem-se:
sin 37°
sin x
3 sin 37°
=
+ sin x =
+ x . 48,4°
3
2,415
2,415
Logo, y . 180° - (37° + 48,38°) . 94,6° .
Sabendo que as diagonais de um paralelogramo
medem 8 e 6 centímetros e que o menor
ângulo por elas formado mede 50° ,
determine as medidas dos comprimentos
dos lados do paralelogramo, aproximadas às décimas.
19
50º
Recorde:
u1p19h4
As diagonais de um paralelogramo intersetam-se nos seus pontos médios.
Sejam l1 e l2 os lados do paralelogramo, em que l1 é o lado oposto ao ângulo
de amplitude 50º e l2 é o lado oposto ao ângulo de amplitude 130º .
Aplicando o teorema de Carnot, obtém-se:
l12 = 32 + 42 - 2 × 3 × 4 cos 50º + l12 . 9,573 + l1 . 3,1 cm
l22 = 32 + 42 - 2 × 3 × 4 cos 130º + l22 . 40,427 + l2 . 6,4 cm
As medidas dos comprimentos dos lados do paralelogramo são,
aproximadamente, 3,1 cm e 6,4 cm .
20
Considere um triângulo acutângulo
qualquer [ABC] .
Mostre que a área do triângulo [ABC]
AB $ AC $ sin a
da figura é igual a
2
e conclua que a área de um triângulo é igual
ao semiproduto das medidas de dois dos seus
lados pelo seno do ângulo por eles formado.
B
a
A
C
Seja h a altura do triângulo relativamente à base [AC] . Tem-se que:
h
+ h = AB sin a
sin a =
AB
u1p20h3
h # AC
Como A[ABC] =
, obtém-se o pretendido.
2
17
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Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos
e resolução de triângulos
AVALIAR CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
De acordo com os dados da figura, conclui-se que o comprimento de [BD] ,
em centímetros, é:
B
(A) 5
3
45º
D
10 3
3
10 _3 (C)
3
(D) 1
(B)
*
3i
30º
A
C
10 cm
10
10
1=
———
BD + AD
BD + AD
u1p21h1
10
10 3 +
+
+*
AD =
=
10
10
3
tan 60º =
3=
3
AD
AD
*
tan 45º =
10
=1
10 3
10 3
BD +
= 10
BD = 10 10 3
3
3 +
+ BD +
+*
+*
3
———
———
———
*
+*
BD =
10 _3 3
3i
———
A opção correta é a (C).
2
Considere o triângulo [XBY] . Atendendo aos dados da figura e sabendo que
XY = 30 , a medida da altura, h , do triângulo é:
B
(A) 30 - 15 3
(B) 30 + 15 3
h
(C) 45 - 15 3
(D) 45 + 15 3
X
60º
45º
C
Y
18
u1p21h2
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*
tan 45º =
h
XC
h
tan 60º =
30 - XC
+*
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
h = XC
h=
3 _30 - XC i
& h = 30 3 -
1
3h +
+ _ 3 + 1ih = 30 3 +
30 3
30 3 - 90
=
= 45 - 15 3
-2
1+ 3
A opção correta é a (C).
+h=
3
Um paralelogramo tem lados que medem a e 2a e que formam, entre si,
um ângulo de 30º .
A área desse paralelogramo é:
(A) 2a2
(B) 2a
(D) a2
(C) a
Pelo enunciado, obtém-se:
a
a
ou
30º
h
30º
2a
2a
Os dois paralelogramos têm a mesma área e, em ambos os casos, tem-se:
h
a
sin 30º = a + h =
2
a
Logo, Aparalelogramo = 2a ×
= a2 .
2
u1p19h1s
u1p19h2s
A opção correta é a (D).
A distância em metros, arredondada
às unidades, entre dois pontos opostos,
A e B , de um lago é, de acordo
com os dados da figura, igual a:
4
(A) 61 m
(C) 154 m
(B) 66 m
(D) 341 m
A
150 m
74º
sin 74º
sin 25º
150 sin 74º
. 341 m
=
+ AB =
150
sin 25º
AB
A opção correta é a (D).
25º
B
u1p21h3
19
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Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos
e resolução de triângulos
Na figura ao lado, está representado um
paralelepípedo de dimensões 3 , 5
e 6 centímetros em que A , B e C são
três dos seus vértices.
5
C
3 cm
A medida da amplitude, em graus,
do ângulo CAB é, aproximadamente:
(A) 33,3°
(C) 56,7°
(B) 46,6°
(D) 76,7°
B
A
Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:
61 ; BC =
AB =
34 e AC =
Pelo teorema de Carnot, vem:
2
34 =
2
45 +
2
61 - 2 × 3 5 ×
W +
+ 34 = 106 - 6 305 cos CAB
W =
+ cos CAB
Como cos-1e
6 cm
5 cm
u1p21h4
45 = 3 5
W +
61 × cos CAB
12
12 305
=
305
305
12 305
W . 46,6° .
o . 46,6° , CAB
305
A opção correta é a (B).
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
Relativamente ao triângulo [ABC] , retângulo
em C , representado na figura ao lado, determine
o valor aproximado às décimas:
6
a)do comprimento do lado [AC] .
C
A
b)do comprimento do lado [BC] .
50º
B
70 cm
c)da medida da altura do triângulo relativamente à base [AB] .
a) cos 50º =
AC
u1p22h1
+ AC = 70 cos 50º + AC . 45,0 cm
70
BC
+ BC = 70 sin 50º + BC . 53,6 cm
70
h
c) sin 50º =
+ h = 45 sin 50° . 34,5 cm
AC
b) sin 50º =
20
000707 006-027 U1.indd 20
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Mostre que para qualquer ângulo agudo a se tem:
7
1
a)(sin a - cos a)2 + (sin a + cos a)2 = 2
b)
tan a - sin 2 a # tan a
= sin a
cos a
a) (sin a - cos a)2 + (sin a + cos a)2 =
= sin2 a - 2 sin a cos a + cos2 a + sin2 a + 2 sin a cos a + cos2 a =
= 2(sin2 a + cos2 a) = 2 × 1 = 2
sin a (cos2 a + sin 2 a - sin 2 a)
sin a
2
tan a - sin 2 a tan a
cos a (1 - sin a)
cos a
=
b)
=
=
cos a
cos a
cos a
=
sin a cos2 a
= sin a
cos2 a
8
3
Considere que sin b =
e b é um ângulo agudo.
5
8.1Determine o valor exato de:
a)cos2 b
b)tan b
8.2Determine a amplitude de b , aproximada à décima de grau.
8.1 a) cos2 b = 1 - sin2 b = 1 - d
16
3
n =
25
5
2
b) Como b é agudo, então, cos b =
sin b
tan b =
cos b
8.2 Como sin-1d
4
16
=
. Logo:
25
5
3
3
5
=
4
4
5
3
n . 36,9º e b é agudo, então, bT . 36,9º .
5
Considere o retângulo [ABCD] , representado na figura ao lado.
9
Sabe-se que BC = 2AB .
D
C
Determine:
a)os valores exatos das razões trigonométricas
O
do ângulo BAC .
b)a amplitude do ângulo COD , com arredondamento
à unidade de grau.
A
B
21
u1p22h2
000707 006-027 U1.indd 21
01/07/16 11:40
Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos
e resolução de triângulos
a) Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:
AC = AB + BC = AB + _2ABi = 5AB +
2
2
+ AC =
2
2
2
2
5 AB
Então, os valores exatos das razões trigonométricas do ângulo BAC são:
W =
sin BAC
BC
=
AC
2AB
W = 2 5
+ sin BAC
5
5 AB
W = AB =
cos BAC
AC
AB
W =
+ cos BAC
5 AB
5
5
W =
tan BAC
BC
2AB
W =2
=
+ tan BAC
AB
AB
X = OCD
W . 63,43º , então, ODC
W =
b) Pela alínea anterior, sabe-se que BAC
W = 63,43º , pois são ângulos alternos internos.
= BAC
W = 180º - 2 × 63,43º = 53,14º . 53º .
Logo, COD
Calcule a área, com arredondamento às décimas, de um octógono regular
com 6 cm de lado.
10
Um octógono regular é formado por oito triângulos isósceles. Os ângulos
internos de cada um destes triângulos têm as seguintes amplitudes:
360º
180º - 45º
= 45º e dois ângulos de amplitude
= 67,5º .
um ângulo de
8
2
Seja h a altura de cada um dos triângulos isósceles. Então:
h
+ h . 7,243 cm
tan 67,5° =
3
Portanto,
6 # 7,243
Aoctógono = 8 × A3 = 8 ×
. 173,8 cm2
2
Considere o paralelogramo representado.
11
Determine, tendo por base os dados
apresentados na figura:
a)a área do trapézio [BCDE] , com
arredondamento às centésimas.
6 cm
D
a
C
4 cm
55º
A
B
E
b)a amplitude do ângulo a , com aproximação à décima de grau.
u1p22h3
22
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W = DE + sin 55º = DE + DE = 4 sin 55º . 3,277 cm
a) sin DAE
4
AD
W =
cos DAE
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1
AE
AE
+ cos 55º =
+ AE = 4 cos 55º . 2,294 cm
4
AD
Como BE = BA - AE = 6 - 2,294 = 3,706 , então:
3,706 + 6
BE + CD
# DE =
× 3,277 . 15,90 cm2
2
2
X = 180º - 55º = 125º .
b) Sabe-se que ADC
Atrapézio =
Aplicando o teorema de Carnot, obtém-se o comprimento da diagonal
do paralelogramo:
2
AC = 42 + 62 - 2 × 4 × 6 cos 125º + AC . 8,918 cm
Finalmente, pela lei dos senos, obtém-se a amplitude de a :
sin 125º
sin a
4 sin 125º
+ sin a =
=
8,918
4
8,918
Como sin-1d
4 sin 125º
V . 21,6°.
n . 21,6º e a é agudo, então, a
8,918
12
A Helena encontra-se junto ao Padrão dos Descobrimentos,
em Lisboa.
Sabendo que os olhos da Helena se encontram a 1,60
metros do solo e que a Helena, se caminhar em direção
ao monumento cerca de 45 metros, observa o topo
do monumento com um ângulo de elevação que aumenta de 40º para 70º ,
determine a altura do monumento, com aproximação às unidades.
Considere-se a a distância da Helena ao monumento quando está mais perto
e h a altura do monumento menos os 1,60 metros de altura a que os olhos
da Helena se encontram do solo.
h
tan 40º =
h = (a + 45) tan 40º
a + 45
+)
+
h = a tan 70º
h
tan 70º = a
a tan 70º = (a + 45) tan 40º
a (tan 70º - tan 40º) = 45 tan 40º
+(
+(
+
———
———
45 tan 40º
a . 19,8
a=
70
tan
º - tan 40º + *
+*
h . 54,4
———
Logo, h + 1,6 . 56 m .
*
A altura do monumento é de, aproximadamente, 56 metros.
23
000707 006-027 U1.indd 23
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Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos
e resolução de triângulos
Na figura ao lado, está representada uma pirâmide
quadrangular regular [ABCDP] .
13
P
Sabe-se que:
• a base [ABCD] é um quadrado de área 16 ;
• a amplitude do ângulo PAC é de 60° .
D
A
Determine:
a) o valor exato da medida da aresta lateral [AP] .
C
B
b)a amplitude do ângulo, arredondada à décima de grau, que a aresta lateral
[AP] faz com uma aresta da base, sua concorrente.
u1p23h1
c) o valor exato do volume da pirâmide.
a) Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:
AC =
42 + 42 =
32 = 4 2 u. c.
Seja O o centro da base [ABCD] .
W = AO + cos 60º = 2 2 +
cos PAO
AP
AP
2 2
2 2
=
= 4 2 u. c.
+ AP =
1
cos 60º
2
b) Designe-se por M o ponto médio do segmento [AB] .
Considere-se o triângulo retângulo [AMP] :
AB
16
=
= 2 u. c.
2
2
W = AM = 2 + cos PAM
W =
cos PAM
AP
4 2
W . 69,3º .
Então, PAM
AM =
2
4
c) Calcule-se OP , a altura da pirâmide [ABCDP] :
W = OP + sin 60º = OP + OP = 4 2 # 3 = 2 6 u. c.
sin PAO
2
AP
4 2
A[ABCD] # OP
32
16 # 2 6
=
=
6 u. v.
V[ABCDP] =
3
3
3
14
Aplicando a lei dos senos determine, com aproximação às décimas:
a)o terceiro lado de um triângulo cujos outros dois lados medem 30 cm e 50 cm
e o ângulo oposto ao lado que mede 50 cm tem de amplitude 40º .
b)o perímetro e a área do triângulo em que um dos lados mede 10 cm ,
um dos ângulos adjacentes tem de amplitude 70º e o ângulo oposto 30º .
24
000707 006-027 U1.indd 24
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1
a)Seja a a amplitude do ângulo oposto ao lado de comprimento 30 cm .
Calcule-se, aplicando a lei dos senos, o comprimento, x , do lado em falta:
sin 40º
sin a
30 sin 40º
=
+ sin a =
30
50
50
Como sin-1d
Assim,
30 sin 40º
V < 40° ) , então, a
V . 22,7° .
n . 22,7º e a é agudo ( a
50
sin (180 - 40 - 22,7)º
50 sin 117,3º
sin 40º
=
+x=
. 69,1 cm .
x
sin 40º
50
b)Considere-se x o comprimento do lado oposto ao ângulo de amplitude 70°
e y o comprimento do terceiro lado.
Perímetro:
sin 30º
sin 70º
10 sin 70º
=
+x=
. 18,794 cm
x
10
sin 30º
sin 30º
sin 80º
10 sin 80º
=
+y=
. 19,696 cm
y
10
sin 30º
Então, P3 . 10 + 18,794 + 19,696 . 48,5 cm .
Área:
Seja h a altura do triângulo relativamente ao lado de comprimento 10 cm .
Então:
sin 80° =
Assim, A3 .
h
+ h . 18,509 cm
18,794
10 # 18,509
. 92,5 cm2 .
2
15
Sem recorrer à calculadora, determine o valor exato de:
a) 1 - 2 sin2 120°
b) (sin 135° + cos 135°)2
c) cos 120° sin 150°
d) tan 120°
2
3
1
3
o =1a) 1 - 2 sin 120º = 1 - 2 sin 60º = 1 - 2e
=2
2
2
2
2
b) (sin 135º + cos 135º)2 = (sin 45º + cos 45º)2 = e 2 #
c) cos 120º sin 150º = -cos 60º sin 30º = -
2
2
o =2
2
1
1
1
#
=2
2
4
d) tan 120º = -tan 60º = - 3
25
000707 006-027 U1.indd 25
01/07/16 11:40
Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos
e resolução de triângulos
Atendendo aos dados da figura, determine
o perímetro do triângulo [PQR] ,
com aproximação às unidades.
R
16
10 cm
P
40º
20 cm
Q
Aplicando o teorema de Carnot, obtém-se a medida do comprimento de RQ :
2
RQ = 102 + 202 - 2 × 10 × 20 cos 40º +
2
u1p23h2
+ RQ = 500 - 400 cos 40º + RQ . 14 cm
Portanto, o perímetro do triângulo [ABC] , com aproximação às unidades,
é de 44 cm .
Considere um triângulo [ABC] em que A , B e C designam os seus ângulos
internos e a , b e c as medidas dos lados que se opõem aos ângulos A , B
e C , respetivamente.
17
Resolva o triângulo [ABC] , utilizando valores aproximados às décimas,
sabendo que:
a)W
B = 48° e c = 100 m
c)W
A = 55° , W
A = 130° , a = 20 m e b = 8 m
b)W
A = 80° , b = 40 m e c = 75 m
d)a = 50 m , b = 60 m e c = 75 m
W = 180º - W
a) C
A-W
B = 77º
Pela lei dos senos, tem-se:
sin 77º
sin 55º
100 sin 55º
+a=
. 84,1 m
=
a
100
sin 77º
sin 77º
sin 48º
100 sin 48º
=
+b=
. 76,3 m
100
sin 77º
b
b) Aplicando o teorema de Carnot, obtém-se a medida de a :
a2 = 402 + 752 - 2 × 40 × 75 cos 80º +
+ a2 = 7225 - 6000 cos 80º + a . 78,6 m
sin 80º
sin B
40 sin 80º
=
+ sin b =
.
Pela lei dos senos, tem-se
40
78,6
78,6
40 sin 80º
n . 30,1° e B é agudo ^ W
B < 80° , necessariamenteh,
Como sin-1d
78,6
então, W
B . 30,1° .
W = 180º - W
A-W
B . 69,9º .
Logo, C
sin 130º
sin B
8 sin 130º
=
c) Pela lei dos senos, tem-se
+ sin b =
.
20
8
20
8 sin 130º
n . 17,8º e B é necessariamente agudo, então,
Como sin-1d
20
W
B . 17,8° .
W = 180º - W
A-W
B . 32,2º e tem-se:
Logo, C
20 sin 32,2º
sin 32,2º
sin 130º
=
+c=
. 13,9 m
c
20
sin 130º
26
000707 006-027 U1.indd 26
01/07/16 11:40
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1
d) Aplicando o teorema de Carnot, obtém-se, por exemplo, a amplitude de A :
502 = 602 + 752 - 2 × 60 × 75 cos A +
6725
+ 2500 = 9225 - 9000 cos A + cos A =
9000
6725
n . 41,6º , então, W
Como cos-1d
A . 41,6° .
9000
Aplicando novamente o teorema de Carnot, calcule-se a amplitude de B :
4525
602 = 752 + 502 - 2 × 75 × 50 cos b + cos b =
. 52,9º
7500
4525
n . 52,9º , então, W
Como cos-1d
B . 41,6° .
7500
W = 180º - W
A-W
B . 85,6º .
Portanto, C
18
Determine, com aproximação às unidades de metro, o valor de d .
a)
b)
C
D
60º
A
100º
40 m
C
55º
65º
30º
B
D
d
d
A
60º
40º
55º
25 m
B
a)Considere-se o triângulo [ABC] e os seus ângulos internos CW
AB = 60º ,
WB = 55º . Tem-se:
AW
BC = 65º e AC
u1p23h3
40 sin
65º
sin 55º
sin 65º
u1p23h4
+ AC =
. 44,26 m
=
40
sin
55
º
AC
X = 180° - 35° - 95° = 50° , e:
Por outro lado, ADB
sin 50°
sin 100°
=
+ AD = 51,42 m
40
AD
Logo, ao aplicar o teorema de Carnot, obtém-se d :
d2 . 44,262 + 51,422 - 2 × 44,26 × 51,42 cos 30° + d . 661,08 . 26 m
b)Considere-se o triângulo [ABD] e os seus ângulos internos DW
AB = 60º ,
W
X
ABD = 95º e ADB = 25º . Tem-se:
25 sin 60º
sin 25º
sin 60º
+ BD =
. 51,23 m
=
25
sin 25º
BD
Considere-se agora o triângulo [ABC] e os seus ângulos internos
WB = 25º . Tem-se:
BW
AC = 115º , AW
BC = 40º e AC
25 sin 115º
sin 25º
sin 115º
+ BD =
. 53,613 m
=
25
sin 25º
BC
Logo, ao aplicar o teorema de Carnot, obtém-se d :
d2 = 51,232 + 53,6132 - 2 × 51,23 × 53,613 cos 55º +
+ d2 = 5498,867 - 5493,188 cos 55º + d . 48 m
27
000707 006-027 U1.indd 27
01/07/16 11:41
UNIDADE
2
Ângulos orientados,
ângulos generalizados
e rotações
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
2.1 Ângulos orientados, amplitudes de ângulos orientados
e respetivas medidas
Tarefa 1
Numa visita a um parque de diversões, o Vasco
e a Inês decidiram andar numa roda-gigante.
Tal como a figura ao lado ilustra, a roda
tem 12 cadeiras igualmente espaçadas,
que a dividem em 12 arcos iguais.
7
8
6
9
5
10
1.1Justifique que a amplitude do arco
4
11
3
12
que separa duas cadeiras consecutivas,
em graus, é igual a 30° .
2
1
1.2Designe por O , I e V os pontos que representam o centro da roda-gigante
e as cadeiras onde a Inês e o Vasco se sentaram, respetivamente.
WV = 60° e que o Vasco ocupa a cadeira u1p24h1
Sabendo que IO
número 4 ,
indique, se possível, o número da cadeira da Inês.
Justifique a sua resposta.
1.1Como a roda está dividida em 12 setores circulares, a amplitude do arco
que separa duas cadeiras consecutivas é dada por
360°
= 30º .
12
1.2A Inês pode ocupar a cadeira número 2 ou a cadeira número 6 ,
WV = 60° ,
uma vez que somente é afirmado que o ângulo IO
não sendo nada afirmado sobre a orientação do ângulo.
Na figura ao lado está representado o triângulo
equilátero [ABC] .
1
Indique as amplitudes dos ângulos orientados com
lados origem e extremidade, respetivamente:
oB e A
oC
oC e A
oB
oB e C
oA
a) A
b) A
c) C
a)60°
28
000707 028-032 U2.indd 28
b)-60°
C
A
B
c)-60°
u1p25h4
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
2.2 Rotações segundo ângulos orientados
Considere que O representa o centro da roda
referida na tarefa 1.
2
2.1Indique a imagem do ponto que representa
a cadeira 1 pela rotação de centro em O
e amplitude:
a) 90°
c) 180°
b) -120°
d) -240°
7
8
2
6
9
5
O
10
4
3
11
12
1
2
2.2Indique as amplitudes de duas rotações com centro O que transformem
2 em 6 .
u1p26h3
2.1 a) Cadeira 4.
b) Cadeira 9.
c) Cadeira 7.
d) Cadeira 5.
2.2 As amplitudes são: 120° e -240° .
2.3 Ângulos generalizados.
Medidas de amplitudes de ângulos generalizados
3
A Joana foi assistir a uma prova de ciclismo em contrarrelógio, que se realiza
numa pista circular com 500 metros de perímetro. Quando entrou no recinto
desportivo, um ciclista percorria a pista.
3.1Indique a distância percorrida pelo ciclista, com valor aproximado
à décima de metro, quando a amplitude do arco descrito é igual a:
a) 300°
b) -1920°
c) 3150°
3.2Se o sentido adotado for o negativo, qual é a amplitude do arco descrito
quando o ciclista percorre 2187,5 metros?
3.1 a)
300°
x
300° # 500
=
+x=
. 416,7 m
360°
360°
500
b)
1920°
x
1920° # 500
=
+x=
. 2666,7 m
360°
360°
500
c)
3150°
x
3150° # 500
+x=
= 4375,0 m
=
360°
360°
500
3.2
2187,5
360° # 2187,5
x
+ Vx = = -1575°
=
- 360°
500
500
29
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01/07/16 11:42
Ângulos orientados, ângulos generalizados e rotações
A Terra demora 24 horas a efetuar uma rotação
completa em torno do seu eixo. Determine quanto
tempo demora a efetuar uma rotação de:
4
a) 60°
b) 210°
c) 600°
60°
x
60° # 24
=
+x=
= 4 horas
24
360°
360°
a)
210°
x
210° # 24
=
+x=
= 14 horas
24
360°
360°
b)
600°
x
600° # 24
=
+x=
= 40 horas
24
360°
360°
c)
5
V e k para o ângulo generalizado (a, k) de amplitude:
Indique o valor de a
a) 600°
b) 1320°
c) -550°
d)
-1000°
a) Como
<
600
F = 1 e 600 - 1 × 360 = 240 ! [0, 360[ ,
360
então, o ângulo generalizado é (240°, 1) .
b) Como
<
1320
F = 3 e 1320 - 3 × 360 = 240 ! [0, 360[ ,
360
então, o ângulo generalizado é (240°, 3) .
c) Como
<
550
F = 1 e -550 + 1 × 360 = -190 ! ]-360, 0[ ,
360
então, o ângulo generalizado é (-190°, -1) .
d) Como
<
1000
F = 2 e -1000 + 2 × 360 = -280 ! ]-360, 0[ ,
360
então, o ângulo generalizado é (-280°, -2) .
30
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01/07/16 11:42
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
2.4 Ângulos generalizados e rotações
2
6
Fixada uma semirreta para o lado origem, justifique que as rotações com
o mesmo centro e ângulos generalizados (200°, 3) e (-160°, -4) coincidem.
Coincidem, uma vez que as rotações têm sentidos contrários
e 200° + -160° = 360° , a amplitude de um ângulo giro.
Os programas de geometria dinâmica permitem efetuar transformações
geométricas, em particular rotações.
Tarefa 2
Utilizando um programa de geometria dinâmica, marque dois pontos, O e A ,
e trace a semirreta OoA .
oB , OoC ,
2.1Tomando O como centro de rotação, obtenha as semirretas O
o
o
o
o
o
OD , OE , OF e OG rodando a semirreta OA , 390° , 750° , 1110° ,
-1410° , -330° e -690° , respetivamente.
2.2Identifique a amplitude do ângulo orientado de cada uma das rotações
anteriores.
2.3Identifique o ângulo generalizado de cada rotação e indique as rotações
que coincidem.
2.1
390º
O
1110º
B
O
A
u1p31h1_LP
C
750º
O
A
D
2330º
O
u1p31h2_LP
A
A
21410º
u1p31h3_LP E
O
F
u1p31h5_LP
2690º
G
O
A
A
u1p31h6_LP
u1p31h4_LP
2.2As amplitudes dos ângulos orientados
são, respetivamente, 30° , 30° ,
30° , -330° , -330° e -330° .
2.3Os ângulos generalizados são, respetivamente, (30°, 1) ; (30°, 2) ; (30°, 3) ;
(-330°, -3) ; (-330°, 0) e (-330°, -1) . Todas as rotações coincidem.
31
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Ângulos orientados, ângulos generalizados e rotações
Na figura ao lado está representado,
em referencial ortonormado xOy ,
um dodecágono inscrito numa circunferência
de raio 1 .
Considere os ângulos de lado origem OoA .
Tarefa 3
y
D
E
C
F
B
A
G
O
3.1Indique a amplitude de dois ângulos
x
L
H
generalizados, considerando o sentido
positivo, que têm como lado extremidade
a semirreta:
oC
a) O
I
oD
b) O
J
K
u1p31h1
oE
c) O
3.2Indique a amplitude de dois ângulos generalizados, considerando o sentido
negativo, que têm como lado extremidade a semirreta:
oB
oD
oF
a) O
b) O
c) O
3.3 Indique a semirreta extremidade do ângulo de amplitude:
a) -150°
b) 780°
c) -390°
3.4 Determine as coordenadas dos pontos B , E e H .
3.1 Por exemplo:
a) 60° e 420°
b) 450° e 810°
c) 480° e 840°
3.2 Por exemplo:
a) -690° e -1050°
b) -630° e -990°
c) -210 e -570°
oH
3.3 a) O
b) OoC
c) OoL
3.4 B(cos 30°, sin 30°) , isto é, B e
3 1
, o;
2
2
E(cos 120°, sin 120°) , isto é, E eH(cos 210°, sin 210°) , isto é, H e-
1
,
2
3
o;
2
3
1
,- o
2
2
32
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01/07/16 11:43
3
UNIDADE
Razões trigonométricas
de ângulos generalizados
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
3.1 Generalização das definições das razões trigonométricas
a ângulos orientados e a ângulos generalizados
1
Considere um referencial ortonormado direto xOy do plano.
Indique o quadrante onde se encontra o lado extremidade do ângulo orientado
que tem como origem o semieixo positivo Ox e amplitude:
a) 130°
c) -80°
b) 250°
d) -210°
a)2.º quadrante.
b)3.º quadrante.
c)4.º quadrante.
d)2.º quadrante.
Tarefa 1
Considere um plano munido de um referencial o.n. direto xOy no qual
se fixou para unidade de medida angular o grau.
Copie para o seu caderno a seguinte tabela e complete-a, representando cada
ângulo no referencial e lendo os valores obtidos para as respetivas razões
trigonométricas na circunferência trigonométrica.
Amplitude de a
-270° -180° -90°
0°
90°
180°
270°
sin a
1
?
?
0
?
?
?
cos a
?
?
?
1
?
?
?
0°
90°
180°
270°
Amplitude de a
-270° -180° -90°
sin a
1
0
-1
0
1
0
-1
cos a
0
-1
0
1
0
-1
0
(ver imagem na página seguinte)
33
000707 033-060 U3.indd 33
01/07/16 11:43
Razões trigonométricas de ângulos generalizados
sin 90º
1
!êê
3
}
!êê
2 2
}
2
1
}
2
120º
135º
150º
180º
21 !êê
1
3 !êê
2
2} 2} 2}
2
2
2
O
60º
45º
30º
1
}
2
0º
360º
1
!êê
2 !êê
3
} }
2 2
1
2}
2
210º
330º
!êê
2
2}
2
225º
315º
!êê
3
2}
21 2
240º
cos
300º
270º
3 4
Num referencial o.n. direto xOy , considere os pontos Ad , n
5 5
2 2 1
u1p47h3
, o.
e Be3
3
Sejam a e b ângulos orientados que têm como lados extremidade as semirretas
OoA e OoB , respetivamente, e lado origem o semieixo positivo Ox .
2
2.1Verifique que os segmentos de reta [OA] e [OB] têm comprimento 1 .
2.2Determine:
a) sin a e cos a
1
1
+
b)
sin 2 b
cos 2 b
OA =
2.1
d
3
4
n +d n =
5
5
OB =
e-
2
2
2
9 + 16
=1
25
2 2
1
o +d n =
3
3
2
8+1
=1
9
4
3
e cos a =
5
5
9
81
1
1
1
3
+
=
+
b)
=9+
=
2
2
2
2
8
8
sin b
cos b
1
2 2
d n
eo
3
3
2.2 a)sin a =
34
000707 033-060 U3.indd 34
01/07/16 11:43
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
y
Na figura ao lado estão representados a circunferência
trigonométrica e os pontos P e Q , pontos
de interseção da circunferência com os lados
extremidade dos ângulos de amplitude 60° e 240° ,
respetivamente.
3
3
P
240º
60º
O
3.1Indique a rotação de centro em O para a qual
x
Q
a imagem de P é Q .
3.2Justifique que as coordenadas dos pontos P e Q são simétricas.
3.3Indique as coordenadas dos pontos P e Q .
u1p34h2
3.1Rotação de centro em O e amplitude 180° .
3.2A rotação de centro em O e amplitude 180° corresponde a uma reflexão
central em relação à origem; logo, as coordenadas de P e Q são simétricas.
3.3
P(cos 60°, sin 60°) , isto é, Pe
1
,
2
3 o
;
2
1
3 o
Q(cos 240°, sin 240°) , isto é, Qe- , 2
2
4
Considere o hexágono regular da figura, inscrito
na circunferência de centro em O e raio 1 ,
tal que [AB] é paralelo a Oy .
y
C
D
Tendo por base as amplitudes dos ângulos
formados entre as semirretas OoA , OoB , OoD
e OoE e o semieixo positivo Ox , determine
as coordenadas dos pontos A , B , D e E .
B
O
E
x
A
F
Sabe-se que um hexágono regular é composto por seis triângulos
equiláteros, então:
A(cos -30°, sin -30°) , isto é, Ae
B(cos 30°, sin 30°) , isto é, Be
3
1 u1p35h5
,- o ;
2
2
3 1o
,
2
2
O ponto D é simétrico de A e o ponto E é simétrico de B ; logo,
as suas coordenadas são:
De-
3 1o
3
1
,
,- o
e Ee2
2
2
2
35
000707 033-060 U3.indd 35
01/07/16 11:43
Razões trigonométricas de ângulos generalizados
Represente, na circunferência trigonométrica, ângulos do 3.o ou 4.o quadrantes,
para os quais:
1
1
a)o seno é igual a - .
c)o cosseno é igual a
.
3
2
1
b)o cosseno é igual a .
2
5
a)
sin
1
para a . 19,5°
3
V pode tomar os seguintes valores:
340,5º
Logo,
a
sin a =
199,5º
b)
219,5º cos
1
2} 2160,5º
3
199,5° ou -160,5° ; -19,5° ou 340,5° .
sin
1
para a = 60°
cos a =
240º
2
1
u1p24h1s
2}
2
V pode tomar os seguintes valores:
Logo, a
cos
240° ou -120° .
2120º
sin
c)
u1p24h2s
300º
1
}
2
260º
cos
V pode tomar os seguintes valores:
a
-60° ou 300° .
Determine
o valor exato de:
u1p24h3s
6
V = 240°
a)sin a , com a
c)sin c - sin d , com d = -90°
T = -150°
b)cos b , com b
a)sin 240° = -sin 60° = -
3
2
b) cos(-150°) = cos 210° = -cos 30° = -
3
2
c) sin 270° - sin(-90°) = -1 - (-1) = 0
36
000707 033-060 U3.indd 36
01/07/16 11:43
Na figura estão representados, em referencial o.n. direto
xOy , a circunferência trigonométrica, a reta de equação
x = 1 e um ângulo a do 1.o quadrante:
7
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
y
C
• O
ponto C tem de coordenadas (1, 3) .
• O
oC é a semirreta extremidade do ângulo a .
7.1Indique o valor de tan a .
3
A
O
a
B
x
7.2Determine a equação reduzida da reta OC .
7.3Calcule as coordenadas de A , ponto de interseção
da reta OC com a circunferência.
7.4Determine a área do triângulo [AOB] .
7.1tan a =
u1p36h2
3
=3
1
7.2A reta OC passa na origem e tem declive 3 ; logo, a equação reduzida
da reta OC é y = 3x .
7.3Determine-se as coordenadas de A :
———
y = 3x
———
+) 2
+* 2
* 2
1
x + y2 = 1
x + (3x)2 = 1
x =
10
*
+
x > 0 , pois A ! 1.º Q
3 10
10
+
10
x=
10
y=
Logo, Ae
10 3 10 o
,
.
10
10
OB # AB
7.4 A[AOB] =
=
2
10
3 10
#
30
3
10
10
=
=
u. a.
2
200
20
Represente num referencial o.n. direto um ângulo orientado a tal que:
1
a) a amplitude de a é positiva, sin a =
e cos a < 0 .
3
b) a tem orientação negativa, tan a = -2 e sin a > 0 .
Tarefa 2
c) cos a = -1 e a orientação de a é positiva.
37
000707 033-060 U3.indd 37
01/07/16 11:43
Razões trigonométricas de ângulos generalizados
a)
b)
c)
y
y
y
1
}
3a
x
O
a
O
O
1 x
a
1 x
22
u1p37h1_LP
u1p37h3_LP
u1p37h2_LP
V ! [0, 360] que
Represente, na circunferência trigonométrica, um ângulo a
verifique a condição:
8
a) tan a = 1
b) tan a = -2
a)
b)
y
1
c) tan a = -0,25
c)
y
y
a
a
a
1x
1x
20,25
21
21
22
V = 45°)
(a
u1p26h1s
x
V . 297°)
(a
V . 346°)
(a
u1p26h3s
Represente num referencial o.n. direto um ângulo orientado a positivo tal que:
1
1
u1p26h2s
a)sin a = e cos a > 0
b)cos a = e tan a < 0
2
2
9
y
a)
y
b)
a
a
1
2}
2
1x
1
2}
2
1x
u1p27h1s
38
u1p27h2s
000707 033-060 U3.indd 38
01/07/16 11:43
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Determine o valor exato de:
10
3
a)sin 450° + cos 900°
b) cos 120° - sin(-240°)
c) cos(-510°) - 2 tan 1800°
d) tan(-840°) - sin 495°
a)sin 450° + cos 900° = sin 90° + cos 180° = 1 + (-1) = 0
b)cos 120° - sin(-240°) = -cos 60° - sin 60° = -
=-
1
2
1+ 3
2
c)cos(-510°) - 2 tan 1800° = -cos 30° - 2 tan 0° = d)tan(-840°) - sin 495° = tan 60° - sin 45° =
3 -
3
=
2
3
2
2
2
11
Indique a que quadrante pertence o ângulo a para que cada afirmação
seguinte seja verdadeira:
a) sin a × cos a < 0
tan a
cos a > 0
c) sin a × tan a > 0
b)
a)2.º ou 4.º quadrante.
b)1.º ou 3.º quadrante.
c)1.º ou 4.º quadrante.
Indique duas amplitudes de ângulos com:
12
a)o mesmo seno e cossenos simétricos.
b)o mesmo cosseno e senos simétricos.
c) seno e cosseno simétricos.
d) tangentes simétricas.
a)Por exemplo: 45º e 135º .
b)Por exemplo: 45º e -45º .
c)Por exemplo: 45º e -135º .
d)Por exemplo: 45º e -45º .
39
000707 033-060 U3.indd 39
01/07/16 11:43
Razões trigonométricas de ângulos generalizados
Considere o ângulo generalizado i = (a, 1) .
13
Sabe-se que:
3
5
V ! ]180, 360[ , em que a
V é a amplitude, em graus, de a .
•a
• cos i = -
13.1Determine o seno e a tangente de i .
13.2Indique, recorrendo à calculadora, um valor aproximado às unidades
da amplitude de i .
13.1Considere-se P o ponto de interseção da circunferência trigonométrica
com o lado extremidade de i .
3
e que a equação reduzida
5
2
2
da circunferência trigonométrica é x + y = 1 . Substituindo x pela
abcissa de P , obtém-se:
2
9
4
3
d- n + y2 = 1 + y2 = 1 + y =!
25
5
5
o
o
Como o ângulo a é do 3. ou do 4. quadrantes, o ponto P tem
ordenada negativa.
4
4
Portanto, y = - , ou seja, sin i = - .
5
5
Por fim, tem-se:
sin i
4
tan i =
=
3
cos i
Sabe-se que a abcissa de P é igual a -
13.2Na calculadora, obtém-se:
sin -1d
4
n . 53,13°
5
Então, o ângulo orientado correspondente a i tem de amplitude, em graus,
(53,13° + 180°) + 1 × 360° = 593,13° , ou seja, i . 593° .
Tarefa 3
Na figura está representado, em referencial o.n.
direto xOy , o ângulo a cujo lado extremidade
interseta a circunferência trigonométrica
no ponto A de abcissa -0,8 .
3.1Calcule o valor exato de sin a e tan a .
y
A
a
20,8
O
x
3.2Indique as coordenadas da imagem de A pela
rotação de centro O e amplitude 180° e, por
definição de seno, cosseno e tangente, indique o seno,
V + 180° , em que a
V éa
o cosseno e a tangente, do ângulo de amplitude a
amplitude, em graus, de a .
40
000707 033-060 U3.indd 40
u1p40h1
01/07/16 11:43
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3.3Indique a amplitude, em graus, de dois ângulos, um com orientação
3
positiva e outro com orientação negativa, que tenham o mesmo seno e o
mesmo cosseno que a . Apresente os valores arredondados às unidades.
3.1Pelo teorema de Pitágoras, tem-se que 0,82 + b2 = 1 + b = 0,6 ,
b>0
sendo b a ordenada do ponto A . Portanto, sin a = 0,6
e tan a =
0,6
3
=- .
- 0,8
4
3.2Tem-se que Al(0,8; -0,6) ; logo:
V + 180°) = -0,6
sin(a
V + 180°) = 0,8
cos(a
3
V + 180°) = tan(a
4
3.3Por exemplo, +503° e -217° .
3.2 Medidas de amplitudes de ângulos e arcos em radianos
Tarefa 4
Recorde que:
Numa dada circunferência ou em circunferências iguais, o comprimento
de um arco de circunferência e a área de um setor circular são
diretamente proporcionais à amplitude do respetivo ângulo ao centro.
Utilize este resultado para resolver o seguinte
problema:
d
Numa pista de gelo circular com 30 metros de raio,
um atleta prepara-se para as competições que
se avizinham.
a
4.1Indique a distância percorrida pelo atleta depois
de descrever, sobre a pista, um arco de amplitude,
em graus, igual a:
a) 360°
b) 180°
c) 60°
d) 420°
u1p40h2
4.2Determine a amplitude do arco descrito pelo atleta quando percorre
30 metros.
Apresente um valor arredondado à décima de grau.
4.3Prove que, numa pista circular de raio r , a distância percorrida pelo
atleta, quando descreve um arco de amplitude de a graus, é dada,
em metros, por:
a#r #r
d=
180
41
000707 033-060 U3.indd 41
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Razões trigonométricas de ângulos generalizados
4.1 a) 2 × 30 × r = 60r
60r
= 30r
2
60r
c)
= 10r
6
d) 60r + 10r = 70r
b)
x
360°
=
+ x . 57,3°
30
60r
a#r#r
d
2rr
a#2#r#r
4.3
+d=
a = 360° + d =
180°
360°
4.2
Considere uma circunferência de raio 4 centímetros.
14
14.1Determine o comprimento do arco de amplitude:
a) 45°
b) 120°
c) 300°
14.2Determine a área do setor circular cujo ângulo ao centro tem de amplitude:
a) 60°
b) 150°
c) 315°
14.1 a)
b)
c)
14.2 a)
b)
c)
a#r#r
45° # 4 # r
=
= r cm
180°
180°
120° # 4 # r
8
= r cm
180°
3
300° # 4 # r
20
=
r cm
180°
3
a # r2 # r
60° # 4 2 # r
8
=
= r cm2
3
360°
360°
2
150° # 4 # r
20
=
r cm2
3
360°
315° # 4 2 # r
= 14r cm2
360°
Mostre que a área do setor circular cujo comprimento do arco é r cm é dada
r #r
por
cm2 , sendo r o raio da circunferência.
2
15
42
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3
Sendo r o raio da circunferência, então, o perímetro da circunferência é dado
através da expressão 2 × r × r e a área da circunferência através de r2 × r .
Tem-se que
360° # r
180°
2#r#r
r
= x +x=
+x= r
2#r#r
360°
é a amplitude do ângulo correspondente ao setor circular.
Portanto:
r2 # r #
y
r2 # r
+y=
=
180°
360°
360°
r
+y=
180°
r
+
r#r
180° # r # r
+y=
cm2
2
360°
Indique, justificando, o valor lógico da afirmação seguinte:
16
«Qualquer setor circular de raio r e perímetro 6r tem ângulo ao centro
de amplitude 4 radianos.»
A afirmação tem valor lógico verdade, porque, se o raio do setor circular é r ,
então, o comprimento do arco desse setor é 6r - r - r = 4r .
Vr + a
V = 4 rad .
Logo, 4r = a
Observe o relógio da figura seguinte.
Tarefa 5
Indique a amplitude, em radianos e em
graus, do ângulo que, em cada instante
assinalado na tabela (a partir das zero
horas), o ponteiro dos minutos determina
com a semirreta vertical que une o centro
do relógio ao ponto que representa
as zero horas (posição inicial).
Instante
Radiano
Graus
0 rad
0°
0 h 05 min
?
?
0 h 10 min
?
?
0 h 15 min
?
?
0 h 20 min
?
?
0 h 25 min
?
?
0 h 30 min
?
0 h 35 min
r rad
?
0 h 40 min
?
?
0 h 45 min
?
?
0 h 50 min
?
?
0 h 55 min
?
?
1h
?
?
2h
?
?
0h
?
43
000707 033-060 U3.indd 43
01/07/16 11:43
Razões trigonométricas de ângulos generalizados
Uma volta completa do ponteiro
dos minutos corresponde a 60 minutos.
360°
= 6° ; então, o ponteiro
60
percorre 6º por minuto, e, portanto,
percorre 30º a cada cinco minutos.
Ora,
Por outro lado, a 30º corresponde
30 # r
r
rad , isto é,
rad .
180
6
Instante
Radiano
Graus
0°
1h
0 rad
r
rad
6
r
rad
3
r
rad
2
2
r rad
3
5
r rad
6
r rad
7
r rad
6
4
r rad
3
3
r rad
2
5
r rad
3
11
r rad
6
2r rad
2h
4r rad
0h
0 h 05 min
0 h 10 min
0 h 15 min
0 h 20 min
0 h 25 min
0 h 30 min
0 h 35 min
0 h 40 min
0 h 45 min
0 h 50 min
0 h 55 min
30°
60°
90°
120°
150°
180°
210°
240°
270°
300°
330°
360°
720°
Um arco AB de uma circunferência tem comprimento igual a 8 cm .
Se o raio da circunferência medir 2 cm , qual é a amplitude em radianos
do arco AB ?
17
Vr + 8 = 2a
V+a
V = 4 rad
s=a
Portanto, o arco AB tem de amplitude 4 radianos .
18
18.1Converta as amplitudes seguintes para o sistema circular:
a)30° , 45° e 60° .
b)-150° , 225° e 380° .
18.2Converta as amplitudes seguintes para o sistema sexagesimal:
7r
2r 10r
a)
,
e
.
9
10
3
4r
7r
b),
e 3r .
3
6
44
000707 033-060 U3.indd 44
01/07/16 11:44
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3
r
60
r
30
45
r
r rad =
rad ;
r rad =
rad e
r rad =
rad
4
180
3
180
180
6
150
225
5
5
b) r rad = - r rad ;
r rad = r rad
180
180
4
6
380
19
e
r rad =
r rad
180
9
10r
2r
7r
9
3
10
18.2 a)
r × 180° = 120° ; r × 180° = 200° e r × 180° = 126°
7r
4r
3r
3
6
b) r × 180° = -240° ; r × 180° = 110° e r × 180° = 540°
18.1 a)
Converta as amplitudes seguintes para o sistema sexagesimal, apresentando
os valores em graus, minutos e segundos, sendo os segundos arredondados
à unidade:
19
a) 6 rad
b)
2r
rad
7
6
c 1080 m° . 343,775°
×
180°
=
r
r
a)
c 1080 - 343m°
l
64 800
x
r
- 20 580 m . 46,48l
+x=c r
=
1°
60l
c 64 800 - 20 626 m
m
y
64 800
r
=
+ y = =60 c r
- 20 626 mG . 28m
1l
60m
Portanto, 6 rad é igual a, aproximadamente, 343° 46l 28m .
2r
360
3
2 # 180°
360 °
7
m
m . 51,429° c
b)
=c
- 51 =
r × 180° =
7
7
7
7
c
3 °
m
7
180
5
180 l
x
m . 25,71l d
n
- 25 =
+x=c
=
7
7
7
1°
60l
d
5 l
n
7
y
300 m
m . 43m
=
+y=c
7
1l
60m
Portanto,
2r
rad é o mesmo que 51° 25l 43m .
7
45
000707 033-060 U3.indd 45
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Razões trigonométricas de ângulos generalizados
Qual a amplitude em radianos de um arco CD cuja corda [CD] mede 6 cm
e cujo raio da circunferência mede 8 cm ? Apresente o resultado arredondado
à décima de radiano.
20
Determine-se a amplitude, em graus, do ângulo ao centro a (correspondente
ao arco CD ) :
62 = 82 + 82 - 2 × 8 × 8 × cos a +
+ 36 = 128 - 128 cos a
Como cos-1 d
23
n . 44° , então, a . 44° .
32
Convertendo em radianos, obtém-se:
44
11
r rad =
r rad . 0,8 rad
180
45
NOTA:
É possível obter, diretamente, na calculadora cos-1d
23
n em radianos.
32
As rodas de uma bicicleta têm 1 metro
de diâmetro. Qual é a distância percorrida
pela bicicleta quando um dos raios de uma
roda descreve um ângulo de amplitude igual
a 30 radianos?
21
Admita que as rodas não derrapam.
Comece-se por converter radianos em graus:
30
c 5400 m°
×
180°
=
r
r
O perímetro da roda da bicicleta é r metros; logo:
r
x
5400
=
+x=
= 15 m
360
360
5400
r
A distância percorrida pela bicicleta é de 15 metros.
Em alternativa:
O comprimento do arco correspondente ao ângulo de amplitude 30 radianos
1
é igual a 30 ×
= 15 m .
2
Logo, a bicicleta percorre 15 metros.
46
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
AVALIAR CONHECIMENTOS
3
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta
de entre as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Um relógio marcava 10 horas e 10 minutos.
O ponteiro dos minutos rodou -450° .
Que horas marca agora o mesmo relógio?
(A) 10 h 25 min
(C) 11 h 25 min
(B) 11 h 10 min
(D) 11 h 30 min
12
x
=
+ x = 15
360
450
A opção correta é a (C).
2
Considere, num referencial o.n. direto xOy , o ângulo generalizado
a = (-200°, -2) cujo lado origem coincide com o semieixo positivo Ox .
A que quadrante pertence o ângulo a ?
(A) 1.º quadrante
(B) 2.º quadrante
(C) 3.º quadrante
(D) 4.º quadrante
A opção correta é a (B).
3
y
Considere, num referencial o.n. direto xOy , a circunferência
trigonométrica e o ângulo a cujo lado extremidade
interseta a circunferência no ponto A de abcissa 0,7 .
O seno do suplementar de a é, aproximadamente:
(A) -0,51
(C) 0,51
(B) -0,71
(D) 0,71
A
O
a
0,7
x
Seja y a ordenada do ponto A , isto é, y = sin a .
(0,7)2 + y2 = 1 + y = ! 0,51 . !0,71
u1p44h2
O suplementar de a encontra-se no 2.º quadrante; logo, o seu
seno é positivo.
A opção correta é a (D).
47
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Razões trigonométricas de ângulos generalizados
4
Considere um ângulo de amplitude a , em graus, tal que a ! ]90, 180[ .
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) sin a ∙ cos a > 0
(C) sin a ∙ tan a < 0
cos a
>0
sin a
(D) tan a ∙ cos a < 0
(B)
Como a pertence ao 2.º quadrante, então, a sua tangente e o seu cosseno
são negativos, e o seu seno é positivo.
A opção correta é a (C).
5
Na figura está representado, em referencial o.n. xOy ,
um arco de circunferência AB , de centro na origem
do referencial e raio igual a 1 .
y
B
r
d
A reta r tem equação y = 1 . O ponto C
pertence ao arco AB .
C
Seja a a amplitude do ângulo AOC .
a
Qual das expressões seguintes dá a distância d
do ponto C à reta r ?
(A) 1 + sin a
(B) 1 - sin a
O
(C) 1 + cos a
A
x
(D) 1 - cos a
Teste Intermédio do 11.º ano, 2008
u1p44h3
d + sin a = 1 + d = 1 - sin a
A opção correta é a (B).
y
6
r
Considere, num referencial o.n. xOy ,
a circunferência trigonométrica e a reta r
de equação x = 1 .
A
Seja a a amplitude do ângulo convexo
cujo lado origem é o semieixo positivo Ox
oA .
e cujo lado extremidade é O
a
O
x
Sabe-se que as coordenadas do ponto A
são (1; 0,75) .
6.1 cos a é igual a:
(A) 0,5
(B) 0,6
(C) 0,75
(D) 0,8
6.2 O valor de sin(-a) é:
(A) -0,8
(B) -0,75
(C) -0,6u1p45h1(D) 0,8
48
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1 2 + 0,75 2 = 1,25
1
= 0,8
cos a =
1,25
A opção correta é a (D).
0,75
6.2 sin(-a) = -sin a = = -0,6
1,25
A opção correta é a (C).
6.1 OA =
7
B
Na figura está representada uma circunferência
de centro em O e raio 3 cm .
WB = 2 rad .
Sabe-se que b = AO
b
(B) 6 cm
(C) 9 cm
A
O
O perímetro do setor circular AOB é:
(A) 3 cm
3
(D) 12 cm
O arco AB mede 2 × 3 = 6 cm .
Logo:
Psetor circular = 6 + 3 + 3 = 12 cm
A opção correta é a (D).
8
u1p45h2
y
No referencial o.n. xOy da figura estão
representados a circunferência trigonométrica
e o triângulo [AOB] .
Sabe-se que:
• os pontos A , B e C pertencem à
circunferência;
• os pontos A e C pertencem ao eixo Ox ;
WB = r rad
• CO
3
A área do triângulo [AOB] é:
(A)
1
4
(B)
3
4
(C)
B
p
}
3
A
1
2
O
C x
3
(D)
u1p45h3
2
Considerando a base AO , então, a altura do triângulo é igual a
sin 60 =
r
3
c pois
rad corresponde a 60°m .
2
3
A opção correta é a (B).
49
000707 033-060 U3.indd 49
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Razões trigonométricas de ângulos generalizados
9
O ponteiro das horas de um relógio tem 7 centímetros
de comprimento.
Das 13 horas às 16 horas a extremidade desse ponteiro
percorre, aproximadamente:
(A) 7 cm
(C) 14 cm
(B) 11 cm
(D) 21 cm
r
rad .
O ponteiro percorre 3 horas, ou seja,
2
r
. 11 cm .
Ora, 7 ×
2
A opção correta é a (B).
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
10
Determine a amplitude e, considerando um referencial o.n. direto xOy ,
indique em que quadrante se situa cada um dos seguintes ângulos
generalizados:
a) (-170°, -2)
c) (200°, 5)
b) (30°, 3)
d) (-340°, 0)
a) -170° - 2 × 360° = -890° ; 3.º quadrante.
b)30° + 3 × 360° = 1110° ; 1.º quadrante.
c)200° + 5 × 360° = 2000° ; 3.º quadrante.
d)-340° - 0 × 360° = -340° ; 1.º quadrante.
11
No referencial o.n. xOy da figura estão
representados a circunferência trigonométrica
e o retângulo [ABCD] , de lados paralelos
aos eixos coordenados, inscrito
na circunferência.
Sabe-se que:
• o ponto E pertence ao eixo Ox
e é o ponto médio de [AD] ;
WE = a e a ! ]0°, 90°[
• AO
50
000707 033-060 U3.indd 50
y
B
A
a
E
O
C
x
D
u1p46h1
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3
11.1 Determine as coordenadas dos pontos A , B , C e D , se a = 60° .
11.2Mostre que a área da região colorida é, em função de a , igual
a 2 sin a cos a .
11.3 Se o ponto A tiver coordenadas d
12 5
n , determine tan a
,
13 13
e tan(180° - a) .
11.1Como sin 60° =
Ae
1
,
2
1
3
e cos 60° =
, então:
2
2
3 o
1
; Be- ,
2
2
3 o
1
3 o
1
3 o
; Ce- , e De , .
2
2
2
2
2
11.2Como A(cos a, sin a) e B(-cos a, sin a) , então, AB = 2 cos a .
Assim:
Aregião colorida = 2 × A[AOB] = 2 ×
5
5
13
11.3tan a =
=
12
12
13
tan(180° - a) = -tan a = -
2 cos a # sin a
= 2 sin a cos a
2
5
12
12
Determine o valor exato de:
a) sin 135° - 2 cos 120° + tan(-225°)
b) 2 sin 765° - 3 cos(-45°) + sin 210°
c)
tan 315° + sin 150°
cos 2(-60°)
a)sin 135° - 2 cos 120° + tan(-225°) =
= sin 45° - 2(-cos 60°) + (-tan 45°) =
=
2
1
- 2 c- m + (-1) =
2
2
2
2
b)2 sin 765° - 3 cos(-45°) + sin 210° = 2 sin 45° - 3 cos 45° - sin 30° =
= 2e
2 o
2 o
1
2
1
- 3e
=2
2
2
2
2
tan 315° + sin 150°
- tan 45° + sin 30°
c)
=
=
2
cos (-60°)
cos 2 60°
- 1+
c
1
2
1 2
m
2
1
2
== -2
1
4
51
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Razões trigonométricas de ângulos generalizados
13
Considere num referencial o.n. direto xOy um ângulo generalizado i .
Indique, justificando, a que quadrante pertence o ângulo i , se:
a) sin i cos i > 0
tan i
< 0 / cos i > 0
cos i
c) sin2 i cos i < 0 / tan i > 0
b)
a)1.º ou 3.º quadrante, pois no 1.º quadrante ambas as quantidades são
positivas e no 3.º quadrante ambas são negativas.
tan i
< 0 só se verifica no 3.º e no 4.º quadrantes, e o cosseno
cos i
é positivo no 1.º e no 4.º quadrantes; logo, o ângulo i pertence ao 4.º quadrante.
b) Tem-se que
c)Tem-se que sin2 i é sempre não negativo; logo, sin2 i cos i só é negativo
no 2.º e no 3.º quadrantes.
A tangente só é positiva no 1.º e no 3.º quadrantes; portanto, o ângulo i
pertence ao 3.º quadrante.
14
Numa pista de atletismo circular com quatro
faixas, a medida do raio da circunferência até
ao meio da primeira faixa, onde o atleta corre,
é de 100 metros, e a distância entre cada faixa
é de 2 metros. Quatro atletas, um em cada
pista, concorrem numa prova de 100 metros.
Determine a amplitude do arco descrito por cada um dos atletas, aproximada
às centésimas do radiano.
Amplitude do arco descrito pelo atleta da primeira faixa:
V × 100 + a
V = 1 rad
100 = a
Amplitude do arco descrito pelo atleta da segunda faixa:
100 = bT × 102 + bT =
100
. 0,98 rad
102
Amplitude do arco descrito pelo atleta da terceira faixa:
100 = cU × 104 + cU =
100
. 0,96 rad
104
Amplitude do arco descrito pelo atleta da quarta faixa:
100 = dU × 106 + dU =
100
. 0,94 rad
106
52
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Considere um setor circular de raio com comprimento r
e ângulo de amplitude a radianos. Seja s o comprimento
do arco correspondente a a .
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
15
15.1Supondo que o perímetro do setor circular
é 20 centímetros, mostre que:
20
a) a = r - 2
b) a área do setor circular é 10r - r2 .
3
r
s
a
r
15.2Supondo que o raio do setor circular mede 2 centímetros eu1p47h2
que
4r
rad , calcule a área e o perímetro do setor circular.
9
15.3Supondo que r = 5 cm e s = 7 cm determine a amplitude a ,
em radianos.
a =
15.1 a)Tem-se que s = 20 - 2r e s = ar ; logo:
s
20 - 2r
20
= r -2
a= r =
r
b) A circunferência de raio r tem de área r 2r ; logo:
Asetor
r2r
=
+
20
2r
2
r
c 20 - 2 m r 2 r
r
20r - 2r 2
=
= 10r - r2
+ Asetor =
2r
2
15.2 Tem-se que s =
8
4
r×2= r
9
9
Portanto:
Psetor =
8
8
r + 2 + 2 = r + 4 cm
9
9
Tem-se:
4r
4r #
Asetor
8
4r
9
+ Asetor =
= r cm2
=
2r
4r
2r
9
9
7
15.3 s = ar + a =
rad
5
53
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Razões trigonométricas de ângulos generalizados
No referencial o.n. xOy da figura estão representadas
a circunferência trigonométrica e a reta r .
y
16
r
B
Sabe-se que:
• a reta r tem equação x = 1 ;
a
• os pontos A e B são os pontos
da circunferência de abcissas 1
20,65 O
e -0,65 , respetivamente;
WB = a e a ! E r , r;
• AO
2
• O pertence à reta BC ;
• C é o ponto de interseção da reta r com a reta BC .
231
16.1Mostre que a ordenada de B é
.
20
16.2Determine o valor exato de sin(-a) + 2 cos(r - a) + tan a .
A
x
C
u1p47h3
16.3Determine a área do triângulo [OAC] .
13
e que
20
a equação reduzida da circunferência trigonométrica é x2 + y2 = 1 .
Substituindo, na equação reduzida da circunferência, x pela abcissa
de B , obtém-se:
2
169
13
dn + y2 = 1 + y2 = 1 +
400
20
231
231
+y=!
+y=!
20
400
Como o ponto B pertence ao 2.º quadrante, tem ordenada positiva.
16.1Sabe-se que a abcissa de B é igual a -0,65 = -
231
.
20
Portanto, a ordenada de B é
231
20
16.2Equação da reta BC : y =
x + y =13
20
231
x
13
Coordenadas do ponto C : e1, -
231 o
13
Como sin(-a) + 2 cos(r - a) + tan a = -sin a - 2 cos a + tan a , então:
sin(-a) + 2 cos(r - a) + tan a =
=-
16.3A[OAC] =
13
231 o
231
13
33 231
n + e- 2d=
20
13
20
10
260
OA # AC
=
2
231
13
1#
2
=
231
u. a.
26
54
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Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 1
I
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
C
Na figura ao lado está representado um triângulo retângulo
em A , tal que BC = 3AB .
A amplitude de a , em graus, é aproximadamente:
(A) 1,2
a
A
(B) 0,3
B
(C) 70,5
(D) 67,5
u1p48h1
AB
AB
+ cos a =
BC
3AB
1
V . 70,5° .
Como cos-1d n . 70,5 , então, a
3
cos a =
A opção correta é a (C).
2
A
Seja [ABC] o triângulo acutângulo da figura,
W = 30° , AB
WC = a e BC = 4 cm .
em que BAC
4
Sabendo que tan a =
, o valor exato de AC é,
3
em centímetros:
30º
(A) 6,1
a
(B) 6,2
B
C
(C) 6,3
(D) 6,4
u1p48h2
1
1
9
4
+1+d n =
& cos2 a =
3
25
cos2 a
cos2 a
2
1 + tan2 a =
sin2 a = 1 - cos2 a =
16
4
& sin a =
25
5
4
32
sin 30°
5
Então,
=
+ AC =
= 6,4 cm .
4
5
AC
A opção correta é a (D).
55
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preparação para o teste 1
3
Considere o ângulo generalizado b de amplitude 690° .
3.1 O ângulo b pode ser definido por:
(A) (340°, 1)
(B) (350°, 1)
3.2 O valor exato de:
é:
(A) -
3
(C) (330°, 1)
(D) (320°, 1)
sin^bT + 90°h + cos bT + tan^bT - 30°h
(B) 0
(C)
3
(D) 2 3
<
3.1
690
F = 1 e 690° = 330° + 1 × 360°
360
A opção correta é a (C).
T + 90°h + cos bT + tan^bT - 30°h =
3.2 sin^b
= sin(330° + 90°) + cos 330° + tan(330° - 30°) =
= sin 60° + cos 30° + (-tan 60°) =
3
+
2
3
2
3 =0
A opção correta é a (B).
4
No referencial da figura estão representados
a circunferência trigonométrica e o hexágono
[ABCDEF] , inscrito na circunferência.
O ponto A desloca-se ao longo da circunferência
no 1.º quadrante, de tal modo que:
• B é simétrico de A em relação a Oy ;
• D é simétrico de A em relação à origem;
• E é simétrico de A em relação a Ox ;
• C e F pertencem a Ox .
y
B
A
a
C
F
1 x
O
D
E
Sendo a a amplitude, em radianos, do ângulo AOF , qual das expressões
seguintes dá a área do hexágono [ABCDEF] em função de a ?
u1p48h3
(A) sin a cos a
(C) sin a (1 + cos a)
(B) 2 sin a cos a
(D) 2 sin a (1 + cos a)
Como A(cos a, sin a) e B(-cos a, sin a) , então, AB = 2 cos a .
Tem-se ainda que CF = 2 .
Logo:
2 + 2 cos a
× sin a =
2
= sin a (2 + 2 cos a) = 2 sin a (1 + cos a)
A[ABCDEF] = 2 × A[ABCF] = 2 ×
A opção correta é a (D).
56
000707 033-060 U3.indd 56
01/07/16 11:44
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
II
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
1
Atendendo aos dados apresentados na figura seguinte, determine o valor
de x , distância entre A e B . Apresente o resultado arredondado à unidade
de metro.
D
50º
10 m
C
100º
A
x
2m
B
Denomine-se E o ponto do segmento AB , de modo que a figura
se decomponha em dois triângulos retângulos [ADE] e [BCE] . Tem-se que
u1p49h1
AB = AE + EB .
Então:
AE
+ AE . 7,66 m
10
W = 180° - 100° - AED
W = 80° - (180° - 50° - 90°) = 40°
BEC
sin 50° =
2
+ EB . 2,38 m
EB
Logo, x . 10 m .
tan 40° =
2
Prove que, dado a um ângulo agudo, se tem:
1
1
+
= 2 + 2 tan2 a
1 - sin a
1 + sin a
1
1
+
=
1 - sin a
1 + sin a
(1 - sin a)
(1 + sin a)
=
+
=
(1 - sin a) (1 + sin a)
(1 - sin a) (1 + sin a)
2 (sin 2 a + cos 2 a)
2
2#1
=
=
=
cos 2 a
1 - sin 2 a
cos 2 a
2 sin 2 a
2 cos 2 a
=
= 2 tan2 a + 2
+
cos 2 a
cos 2 a
=
57
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preparação para o teste 1
Determine o perímetro e a área do triângulo representado em cada uma
das figuras seguintes, considerando as dimensões assinaladas.
3
Apresente valores arredondados às décimas.
3.1
3.2
A
y
2 cm
72º
4 cm
60º
3 cm
a
x
B
A
4 cm
C
C
B
u1p49h2
3.1Perímetro:
sin 60°
sin x
=
+ sin x =
4
2
Como sin-1e
3
4
u1p49h3
3
o . 25,7° e x é agudo, então, x . 25,7° .
4
y = 180° - 60° - 25,7° = 94,3°
sin 94,3°
4 sin 94,3°
sin 60°
=
+ BC =
. 4,6 cm
4
sin 60°
BC
P9 . 2 + 4 + 4,6 . 10,6 cm
Área:
Seja h a altura do triângulo relativa ao vértice A . Tem-se:
sin 60° =
h
+h=2×
2
3
=
2
3 cm
Logo:
A9 =
4,6 #
2
3
. 4,0 cm2
3.2 Perímetro:
a2 = 32 + 42 - 2 × 3 × 4 × cos 72° +
+ a =
25 - 24 cos 72° . 4,193 cm
P9 . 3 + 4 + 4,193 . 11,2 cm
Área:
Seja h a altura do triângulo relativa ao vértice A . Tem-se:
sin 72° =
h
+ h . 3,8 cm
4
Logo:
A9 .
3,8 # 3
. 5,7 cm2
2
58
000707 033-060 U3.indd 58
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Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
No referencial o.n. da figura estão representados
a circunferência trigonométrica e o triângulo [AOB] .
4
Os pontos A e B pertencem à circunferência
e são a imagem um do outro pela reflexão
de eixo Ox .
y
A
a
a é a amplitude do ângulo com orientação
positiva cujo lado origem é o semieixo
positivo Ox e cujo lado extremidade é
x
O
B
o e a ! E r , r; o .
OA
2
4.1Determine as coordenadas de A e de B se a =
2
.
5
Determine o valor exato de cos a + tan(-a) .
4.2Admita que a ordenada de A é
2r
.
3
u1p48h4
4.3Mostre que a área do triângulo [AOB] é dada em função de a por
cosa sin a .
4.1Tem-se que A(cos a, sin a) e B(cos a, -sin a) .
Como r rad = 180° , então, a =
2 # 180°
= 120° .
3
Assim:
sin 120° = sin 60° =
3
2
cos 120° = -cos 60° = 1
Portanto, Ae- ,
2
1
2
3 o
1
3 o
e Be- , .
2
2
2
4.2Determine-se as coordenadas de A(x, y) :
———
2
———
2
5
+* 2
+* 2
*
21
2
x =
x +d n =1
x2 + y2 = 1
25
5
y=
+
*
y=
+
x < 0 , pois A ! 2.º Q
2
5
x =-
21
5
59
000707 033-060 U3.indd 59
01/07/16 11:44
preparação para o teste 1
Como Ae-
21 2 o
2
21
,
, então, cos a = e sin a =
.
5
5
5
5
Logo:
sin a
cos a + tan(-a) = cos a - tan a = cos a - cos a =
2
21
21
2
5
=+
=
=5
5
21
21
5
==-
2 21
21
10 21 - 21 21
+
=
=
21
5
105
11 21
105
4.3Base: AB = 2 sin a
Altura: h = cosa (pois as medidas de comprimento são positivas)
A[AOB] =
2 # sin a # cos a
AB # h
=
= cos a sin a
2
2
60
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UNIDADE
4
Funções trigonométricas
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
4.1 O seno, o cosseno e a tangente como funções reais de variável real
Na figura está representada, em referencial
o.n. xOy , parte do gráfico f de uma função
periódica com período fundamental 3 .
Tarefa 1
y
2
Sabe-se que os pontos (-2, 0) , (0, 0)
e (1, 0) pertencem ao gráfico de f .
1.1Indique os zeros da restrição de f
a [-2, 4] .
22
0
21
1
x
2
21
1.2Copie a figura e complete o gráfico
para o intervalo [-5, 6] .
1.1Os zeros são: -2 , 0 , 1 , 3 e 4 .
1.2
y
25
22
2
4
6
u1p51h2
x
Na figura está
representada, em referencial
u1p51h1_LP
o.n. xOy , parte do gráfico da função g periódica
2r
de período fundamental
e de domínio IR .
3
Sabe-se que: os zeros de g no intervalo [0, r] são
r
2r
r
r
0,
,
e r ; g c m = 4 e g c m = -4 .
3
2
3
6
1
Indique:
a)os zeros de g no intervalo [-r, 0] .
b) g c
3r
m
2
r
c) g c- m
6
y
4
2
2p
}
3
p
}
3
O
p
}
6
p
}
2
x
22
24
61
u1p51h4
000707 061-105 U4.indd 61
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Funções trigonométricas
a)Os zeros são: -r , b)gc
3r
m= 4
2
r
m = -4
c)gc6
r
2r
,e 0.
3
3
2
Mostre que as funções seguintes são r-periódicas .
a) f(x) = sin(2x)
b) g(x) = cos(6x)
Para cada função, tem-se que: x , x + r ! D .
a)f(x + r) = sin^2(x + r)h = sin(2x + 2r) = sin(2x) = f(x)
b)g(x + r) = cos^6(x + r)h = cos(6x + 6r) = cos(6x + 3 × 2r) =
= cos(6x) = g(x)
3
Indique o contradomínio das funções definidas por:
a) f(x) = 3 + sin x
b) g(x) = 2 cos x
a) -1 G sin x G 1 + -1 + 3 G 3 + sin x G 1 + 3 +
+ 2 G 3 + sin x G 4 , 6 x ! IR
Dlf = [2, 4]
b) -1 G cos x G 1 + -1 × 2 G 2 cos x G 1 × 2 +
+ -2 G 2 cos x G 2 , 6 x ! IR
Dlg = [-2, 2]
4
Determine uma expressão geral dos zeros das seguintes funções:
a) f(x) = sin (2x)
b) g(x) = cosc x +
r
m
3
c) h(x) = sin x cos x
a)sin(2x) = 0 + 2x = kr, k ! Z + x = k
b)cosc x +
r
,k!Z
2
r
r
r
r
m= 0 + x +
=
+ kr, k ! Z + x =
+ kr, k ! Z
3
3
2
6
r
c)sin x cos x = 0 + sin x = 0 0 cos x = 0 + x =
k, k ! Z
2
62
000707 061-105 U4.indd 62
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Na figura estão representados a circunferência
trigonométrica e um losango [OABC] , tal que
A e C pertencem à circunferência e x ! ]0, r[
é a amplitude, em radianos, do ângulo AOC .
5.1Mostre que a área do losango é dada,
em função de x , por:
5
4
y
C
B
x
O
x
A
A(x) = sin x, x ! ]0, r[
5.2Determine a área do losango para x =
5r
.
6
5.3Calcule Ac
r
m e interprete geometricamente o resultadou1p54h5
obtido.
2
5.4Determine o valor de x para o qual o losango tem área máxima.
5.1
A[OABC] = base × altura = 1 × sin x, x ! ]0, r[
Portanto, a área do losango é dada por A(x) = sin x, x ! ]0, r[ .
5.2
Ad
1
5r
5r
n = sin
= sin 150° = sin 30° =
u. a.
2
6
6
5.3
Ac
r
r
m = sin = sin 90° = 1 u. a.
2
2
Obtém-se um quadrado de lado 1 u. c.
5.4O valor máximo da área é 1 u. a. e, como tal, o losango tem área máxima
r
, pois esse é o valor máximo da função sin x , que dá
2
a área do losango.
quando x =
6
O gráfico da função f(x) = 2 sin x + 3 é imagem do gráfico da função seno
pela composição de dilatação vertical com uma translação.
6.1Identifique a dilatação e a translação indicando o coeficiente de dilatação
e o vetor translação, respetivamente.
6.2Indique o contradomínio de f .
6.1Dilatação vertical, de coeficiente 2 , e translação vertical, segundo
o vetor de coordenadas (0, 3) .
6.2
-1 G sin x G 1 + -1 × 2 + 3 G 2 sin x + 3 G 1 × 2 + 3 +
+ 1 G 2 sin x + 3 G 5, 6 x ! IR
Dlf = [1, 5]
63
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Funções trigonométricas
Considere as funções reais de variável real definidas por
7
f(x) = 1 + 3 sin x e g(x) = -cos(3x)
7.1Identifique uma transformação geométrica que permita obter o gráfico
de f como imagem do gráfico da função seno e, com base nessa
transformação, indique o contradomínio de f .
7.2Identifique uma transformação geométrica que permita obter o gráfico
de g como imagem do gráfico da função cosseno e determine a expressão
geral dos zeros de g e a expressão geral dos valores de x para os quais
g assume máximos relativos.
7.1Dilatação vertical, de coeficiente 3 , seguida de translação vertical,
segundo o vetor de coordenadas (0, 1) .
Dlf = [-1 × 3 + 1, 1 × 3 + 1] = [-2, 4]
7.2Contração horizontal, de coeficiente
1
, seguida de reflexão de eixo Ox .
3
Zeros de g :
-cos(3x) = 0 + cos(3x) = 0 + 3x =
+x=
r
r
+k ,k!Z
3
6
r
+ kr, k ! Z +
2
Máximos relativos de g :
O máximo da função g é 1 ; logo, obtém-se os maximizantes resolvendo:
g(x) = 1 + -cos(3x) = 1 + cos(3x) = -1 +
r
2kr
+ 3x = r + 2kr, k ! Z + x =
+
,k!Z
3
3
8
Considere a função real de variável real, de domínio IR , definida por:
f(x) = 3 + sin c
x
m
2
8.1Determine a expressão geral dos zeros de f .
8.2Calcule o período fundamental de f .
8.3Justifique que f não é par nem ímpar.
8.1A função f não admite zeros, uma vez que Dlf = [2, 4] .
8.2
2r
= 4r
1
2
64
000707 061-105 U4.indd 64
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
8.3 Tem-se que -x , x ! Df = IR , então:
f(-x) = 3 + sinc-
x
m = 3 - sinc
2
x
f(-x) = 3 + sinc- m = 3 - sinc
2
Portanto, f não é par nem ímpar.
4
x
m ! f(x)
2
x
x
m = -e-3 + sin c mo ! -f(x)
2
2
Prove que são verdadeiras as proposições:
9
a) 6 x ! IR, (cos x + sin x)2 + (cos x - sin x)2 = 2
b)6 x ! IR, sin4 x - cos4 x = 1 - 2 cos2 x
a) (cos x + sin x)2 + (cos x - sin x)2 =
= cos2 x + 2 cos x sin x + sin2 x + cos2 x - 2 cos x sin x + sin2 x =
= cos2 x + sin2 x + cos2 x + sin2 x = 1 + 1 = 2
b) sin4 x - cos4 x = (sin2 x)2 - cos4 x = (1 - cos2 x)2 - cos4 x =
= 1 - 2 cos2 x + cos4 x - cos4 x = 1 - 2 cos2 x
1
Sabendo que x é um ângulo do 3.º quadrante e sin x = - , calcule:
5
sin(-x) + 2 cos x
10
1
, pela fórmula fundamental da trigonometria, tem-se:
5
2
1
1
cos2 x + d- n = 1 + cos2 x = 1 +
25
5
Como sin x = -
+ cos x = !
2 6
24
+ cos x = !
5
25
Como x é um ângulo do 3.º quadrante, o seu cosseno é negativo.
Portanto, cos x = -
2 6
.
5
Então:
sin(-x) + 2 cos x = -sin x + 2 cos x = -d-
=
1
2 6
n + 2eo=
5
5
1
4 6
1-4 6
=
5
5
5
65
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Funções trigonométricas
Considere a família de funções definidas por:
11
f(x) = a + b sin x
11.1Considere a = 4 e b = -3 .
Sabendo que r G i G
determine tan i .
3r
29
e f(i) =
,
2
5
y
p
2}
2
11.2Para um certo valor de a e um certo
1
p
}
2
valor de b , a função f tem o gráfico
parcialmente representado ao lado.
Determine os valores de a e de b .
x
25
11.1 Tem-se que:
4 - 3 sin i =
29
3
+ 20 - 15 sin i = 29 + sin i =u1p58h1
5
5
Determine-se cos i :
cos2 i + sin2 i = 1 + cos2 i + d+ cos2 i =
Como r G i G
3
n =1+
5
2
16
4
+ cos i = !
25
5
3r
, i é um ângulo do 3.o quadrante, e, portanto:
2
4
cos i = 5
Logo:
sin i
tan i =
=
cos i
3
3
5
=
4
4
5
-
11.2 Se Dlf = [-5, 1] = [-1 × 3 - 2, 1 × 3 - 2] , tem-se:
f(x) = -2 + 3 sin x
Portanto, a = -2 e b = 3 .
Em alternativa:
*
fc
r
m=1
2
a+b = 1
a =-2
+)
+)
r
a - b =-5
b=3
f c- m =-5
2
66
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Simplifique as expressões seguintes:
12
4
a)sin(r + x) + cos(2r - x)
-2 sin(r + x) + sin(-x)
cos(x - r) + 2 cos(-x)
b)
a) sin(r + x) + cos(2r - x) = -sin x + cos(-x) = -sin x + cos x
b)
-2 (-sin x) - sin x
-2 sin (r + x) + sin (-x)
sin x
= cos x = tan x
=
- cos x + 2 cos x
cos (x - r) + 2 cos (-x)
13
2
Sabendo que x ! ]0, r[ e que cos(x - r) =
, determine:
3
a)sin x
b)sin(r + x) - cos(-x)
2
2
, portanto, cos x = - .
3
3
2
5
2
a) cos2 x + sin2 x = 1 + d- n + sin2 x = 1 + sin2 x =
+
9 x ! ]0, r[
3
5
+ sin x =
3
5
2
2- 5
b) sin(r + x) - cos(-x) = -sin x - cos x + +
=
Por a)
3
3
3
Tem-se que cos(x - r) = -cos x = -
Prove que para todo o x ! IR , cos(r - x) = -cos x e sin(r - x) = sin x .
Tarefa 2
y
P'(cos(p 2 x), sin(p 2 x))
P(cos x, sin x)
p2x
x
O
1
x
SUGESTÃO: Aplique os dois grupos de fórmulas anteriores a
-x + r ou -(x - r) .
u1p60h1
cos(r - x) = cos(-x + r) = cos^-(x - r)h = cos(x - r) = -cos x
sin(r - x) = sin(-x + r) = sin^-(r - x)h = -sin(r - x) = sin x
67
000707 061-105 U4.indd 67
01/07/16 11:45
Funções trigonométricas
y
No referencial o.n. xOy da figura estão
representados a circunferência trigonométrica
e dois pontos A e B , tais que:
14
B
x
• [AB] é um diâmetro da circunferência;
O
• x é a amplitude, em radianos, do ângulo
que tem como lado origem o semieixo
positivo Ox e lado extremidade OoB ;
20,6
1
x
A
• a ordenada do ponto A é -0,6 .
Determine:
a) cos(r + x)
b) tan x
c) sin(-x)
u1p60h4
Sabe-se que B(cos x, sin x) . Como A é simétrico de B em relação à origem,
tem-se que A(-cos x, -sin x) . Logo, -sin x = -0,6 + sin x = 0,6 .
Portanto:
0,62 + cos2 x = 1 + cos2 x = 0,64 + cos x = -0,8
x ! 2.o Q
a) cos(r + x) = -cos x = -(-0,8) = 0,8
b) tan x =
0,6
sin x
cos x = -0,8 = -0,75
c) sin(-x) = -sin x = -0,6
Utilizando o resultado anterior e a paridade das funções seno e cosseno,
prove que:
r
r
m = sin x e sin c x - m = -cos x .
a) para todo o x ! IR , cos c x 2
2
r
r
Repare que x = -c-x + m .
2
2
r
r
b)para todo o x ! IR , cos c
- x m = sin x e sin c - x m = cos x .
2
2
Tarefa 3
a) cosc x -
r
r
r
m = cosc-x + m = cosc(-x) + m = -sin(-x) = sin x
2
2
2
r
r
r
m = -sinc-x + m = -sinc(-x) + m =
sinc x 2
2
2
= -cos(-x) = -cos x
b) cosc
r
r
m = sin x
- x m = cosc x 2
2
r
r
m = cos x
sinc
- x m = -sinc x 2
2
68
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Determine:
3r
7r
m
m + 2 cosca)sinc
4
6
10r
r
n sinc- m
b)cosd
3
4
3r
1
5r
m
n - cosc
c)sind
4
4
6
15
4
3r
3r
r
7r
m = sincr + m + 2 cosc
m=
m + 2 cosc4
4
6
6
r
1
r
r
m = - - 2 cosc m =
= -sinc m + 2 coscr 4
4
2
6
1
1
2
=- - 2 ×
=- - 2
2
2
2
a) sinc
b) cosd
10r
r
r
r
n sinc- m = cosc3r + me-sin c mo =
3
4
3
4
r
2
r
2
o = -cosc m # eo=
= coscr + m # e3
2
3
2
=-
1
2
2
o=
# e2
2
4
c) sind
3r
1
1
r
5r
m = sincr - m - coscr n - cosc
4
4
4
6
6
1
1
1
1
2
r
r
o=
= sinc m + cosc m =
+ e
+
4
4
2
4
2
2
6
r
m=
4
2
8
16
r
r
Prove que, tal como a figura sugere, cosc + x m = sinc - x m , para
4
4
qualquer x ! IR .
y
M
O
x
Pela alínea b) da Tarefa 3 da página 68, tem-se:
cosc
r
r
r
u1p61h4
sine
-c
+ x mo =
+ xm =
2
4
4
r
r
r
= sinc
- xm
- x m = sinc
2
4
4
69
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Funções trigonométricas
r
3
Sabendo que x ! [-r, 0] e que sin c x + m =
, calcule:
2
4
sin(r - x) + 2 tan x
17
Tem-se que sinc x +
r
3
m = cos x =
; logo:
2
4
3 2
cos2 x + sin2 x = 1 + c m + sin2 x = 1 +
4
7
7
+ sin2 x =
+ sin x = !
4
16
Como x ! [-r, 0] , então, o ângulo r - x pertence ao 3.º ou ao 4.º quadrante.
Logo, sin x é um valor negativo.
Portanto:
sin x
sin(r - x) + 2 tan x = sin^(-(x - r)h + 2 cos x =
sin x
sin x
7
= -sin(x - r) + 2 cos x = sin x + 2 cos x = +2
4
=-
7
2 7
11 7
=4
3
12
Considere, num referencial o.n. xOy ,
a circunferência de centro na origem e raio [AO] ,
sendo A o ponto de coordenadas (4, 0) ,
B um ponto que se desloca sobre a circunferência
e a o ângulo AOB .
-
7
4
=
3
4
18
y
B
a
O
A x
18.1Calcule a área do triângulo [AOB]
V=
quando a
r
.
3
18.2Justifique que a área do triângulo [AOB]
é dada em função de a por:
A(a) = 8 sin a
u1p62h1
8
e que a é um ângulo do 2.º quadrante,
5
r
calcule o valor exato de cos(r + a) - sinc + a m .
2
18.3Sabendo que A(a) =
70
000707 061-105 U4.indd 70
01/07/16 11:45
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
18.1 Seja h a altura do triângulo [AOB] . Tem-se que:
h = OB × sin a = 4 sin
Portanto:
A[AOB] =
r
=4×
3
4
3
=2 3
2
AO # h
4#2 3
=
= 4 3 u. a.
2
2
18.2 Calcule-se a altura h do triângulo [AOB] para qualquer a .
Considere-se a ordenada de B dada por yB , então:
yB
+ yB = 4 sin a
sin a =
4
Assim, h = yB = 4 sin a .
Portanto:
4 # 4 sin a
= 8 sin a
2
A(a) =
18.3 cos(r + a) - sinc
r
+ a m = -cos a - cos a = -2 cos a
2
Pela questão anterior, tem-se:
8
1
+
sin a =
A(a) = 8 sin a + 8 sin a =
5 a ! 2.º Q
5
Aplicando a fórmula fundamental de trigonometria:
sin2 a + cos2 a = 1 + cos2 a = 1 - d
+ cos2 a =
Logo, -2 cos a =
24
25
+ cos a = -
a ! 2. o Q
1
n +
5
2
2 6
5
4 6
.
5
Considere a função real de variável real definida por:
sin x
tan x = cos x
Prove analiticamente que:
Tarefa 4
Se x ! Dtan , então, x + r ! Dtan e tan(x + r) = tan x .
Tem-se que:
x ! Dtan & bk ! Z: x =
r
r
+ kr & bk ! Z: x + r =
+ kr
2
2
Portanto, x + r ! Dtan .
Além disso:
tan(x + r) =
sin(x + r)
-sin x
= -cos x = tan x
cos(x + r)
71
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01/07/16 11:46
Funções trigonométricas
Determine o domínio e o período fundamental das seguintes funções reais
de variável real:
x
a) f(x) = tan(2x)
b) g(x) = tanc m + 1
3
19
a)Df = 'x: 2x !
r
+ kr, k ! Z1 = 'x: x !
2
r
Período fundamental:
2
r
x
b)Dg = 'x:
!
+ kr, k ! Z1 = 'x: x !
2
3
r
r
+ k , k ! Z1
4
2
3r
+ 3kr, k ! Z1
2
Período fundamental: 3r
20
Determine uma expressão geral dos zeros das funções definidas por:
a) f(x) = tan(2x)
b) g(x) = tan(x + r)
r
,k!Z
2
b)g(x) = 0 + tan(x + r) = 0 + x + r = kr, k ! Z + x = kr, k ! Z
a)f(x) = 0 + tan(2x) = 0 + 2x = kr, k ! Z + x = k
y
Na figura ao lado está representada em
referencial o.n. parte do gráfico de uma
função de domínio ]-r, r[ definida por:
21
2
f(x) = a +tan(bx) ,
em que a e b são números reais.
Determine o valor de a e de b .
1
2p
p
2} O
2
p
}
2
px
Tem-se:
r
r
r
m=2
a + tan c b m = 2
1 + tan c b m = 2
2
2
2
+*
+*
+
*
a=1
f (0) = 1
a + tan 0 = 1
fc
tan c
r
r
r
1
bm = 1
b=
+ kr, k ! Z
b = u1p64h2
+ 2k, k ! Z
2
2
4
2
+*
+*
+*
a=1
a=1
a=1
1
1
Logo, a = 1 e b =
( b só pode tomar o valor
, pois a dilatação
2
2
horizontal tem razão 2 ) .
72
000707 061-105 U4.indd 72
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Considere a função real de variável real definida por:
22
22.1Determine f c
11r
m.
4
f(x) = 2 - tan x
22.2Sabendo que b ! ]r, 2r[ e que cos b =-
4
de f(b) .
2
determine o valor exato
3
22.1 f c
11r
11r
3r
3r
m = 2 - tanc
m = 2 - tanc 2r +
m = 2 - tanc
m=
4
4
4
4
= 2 - (-1) = 3
22.2 Se b ! ]r, 2r[ e cos b = -
Assim:
2
, então, b ! 3.º Q e sin b < 0 .
3
cos2 b + sin2 b = 1 + d+ sin2 b =
2
n + sin2 b = 1 +
3
2
5
5
+ sin b = 3
9
5
sin b
3
f(b) = 2 - tan b = 2 =2=22
cos b
3
Logo:
5
2
23
Prove que a seguinte proposição é verdadeira:
1
r
6x !
+ kr, k ! Z , cos x - sin x tan x = cos x
2
2
2
1
1
c sin x m = 1 - sin x = cos x = cos x
sin
x
tan
x
=
sin
x
cos x
cos x
cos x
cos x
cos x
24
Simplifique a seguinte expressão:
3r
r
cos c
+ x m tan c + x m , com x ! kr, k ! Z
2
2
r
sin c
+ xm
2
r
3r
r
c
m
c
m
c
mo
e
+ x tan
+ x = cos r +
+x
=
cos
2
2
2
r
cos c
+ xm
2
r
sin c
+ xm
2
r
r
+ xm
+ x m = -cos x
= -sinc
= -cosc
2
2
r
cos c
+ xm
2
73
000707 061-105 U4.indd 73
01/07/16 11:46
Funções trigonométricas
4.2 Funções trigonométricas inversas
25
Determine o valor exato de:
2r
r
n
m b) arcsindsin
a) arcsincsin
3
5
c) arcsin(-1)
a)arcsincsin
r
r
m=
5
5
r
3
2r
n = arcsine
o=
b)arcsindsin
3
3
2
d) arcsine
2
o
2
r
2
r
2
o=
d) arcsine
4
2
c) arcsin(-1) = -
Considere as funções definidas por g: [0, r] " [-1, 1] , tal que g(x) = cos x
r r
e h: E- , ; " IR , tal que h(x) = tan x .
2 2
5.1Justifique, utilizando argumentos geométricos, que as funções g e h
são bijetivas.
Tarefa 5
5.2Indique o domínio e o contradomínio das funções inversas de g e h .
5.1Quando x ! [0, r] (1.º e 2.º quadrantes), cos x assume, uma única vez,
todos os valores do intervalo [-1, 1] . Então, a função g é bijetiva.
r r
Quando x ! E- , ; (1.º e 4.º quadrantes), tan x assume, uma única
2 2
vez, todos os valores reais. Então, a função h é bijetiva.
r r
5.2
Dg = [-1, 1] e Dlg = [0, r] ; Dh = IR e Dlh = E- , ;
2 2
-1
-1
-1
Determine o valor exato de:
-1
26
a) cos(arccos 1)
b) arccos 0
c) sinearccosd-
2
no
3
a)cos(arccos 1) = cos 0 = 1
r
2
b)arccos 0 =
c)Seja arccosd-
2
2
n = y . Então, cos y = e y ! [0, r] .
3
3
Determine-se sin y utilizando a fórmula fundamental da trigonometria:
sin y + d-
5
2
5
n = 1 + sin2 y =
+ sin y = !
3
9
3
5
Como y ! [0, r] , sin y H 0 , então, sin y =
.
3
3
5
.
Portanto, sind arccos n =
3
5
2
2
74
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01/07/16 11:46
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Determine o valor exato de:
a) arctan_- 3 i
b) cos(arctan(-1))
27
a)arctan_- 3 i = -
4
c) sin(arctan 2)
r
3
b)cos^arctan(-1)h = cosc-
r
2
m=
4
2
c)Seja arctan 2 = y . Então, tan y = 2 e y pertence ao 1.º quadrante.
Calcule-se o valor exato de sin y :
1
1
+1=
+
2
tan y
sin 2 y
1
4
1
+
+1=
+ sin2 y =
4
5
sin 2 y
cos2 y + sin2 y = 1 +
Como y ! 1.º Q , sin y =
2 5
.
5
28
Determine o valor exato de:
1
a) tanearcsinc- m + arccos 1o
2
b) arccos(tan 0)
c) tan^arcsin(arcos 1)h
a)tanearcsinc- m + arccos 1o = tanc-
1
2
r
3
r
+ 0 m = tanc- m = 3
6
6
r
2
c)tan^arcsin(arccos 1)h = tan^arcsin 0h = tan 0 = 0
b)arccos(tan 0) = arccos 0 =
29
Mostre que a seguinte proposição é verdadeira:
sin(arccos x) = 1 - x 2 , 6 x ! [-1, 1]
Seja arccos x = y . Então, cos y = x , com x ! [-1, 1] e y ! [0, r] .
Determine-se sin y utilizando a fórmula fundamental da trigonometria:
sin2 y + x2 = 1 + sin2 y = 1 - x2 + sin y = ! 1 - x 2
Como y ! [0, r] , sin y H 0 , então, sin y = 1 - x 2 .
Portanto, a proposição sin(arccos x) = 1 - x 2 , 6 x ! [-1, 1] tem valor
lógico verdade.
75
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01/07/16 11:46
Funções trigonométricas
4.3 Equações trigonométricas
30
Represente no círculo trigonométrico, caso existam, dois ângulos de lado
origem coincidente com o semieixo positivo Ox , tais que:
1
3
2
b) sin x = c) sin x =
2
2
2
Em cada alínea, indique duas amplitudes possíveis para cada ângulo representado.
a) sin x =
y
a)
y
c)
!êê
2
}
2
!êê
3
}
2
x
1 x
Por exemplo, 60° ou 120° .
Por exemplo, 45° ou 135° .
y
b)
u1p71h3s
u1p71h1s
x
1
2}
2
Por exemplo, -30° ou -150° .
31
u1p71h2s
r
Uma das soluções da equação sin x = a é
.
9
Indique o conjunto solução desta equação.
C.S. = 'x: x =
r
8r
+ 2kr 0 x =
+ 2kr, k ! Z1
9
9
Resolva, em IR , as seguintes equações:
1
x
a) sinc m = b)
2
2
32
2 - 2 sin(x + r) = 0
76
000707 061-105 U4.indd 76
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1
r
a)Como arcsinc- m = , tem-se:
2
6
x
x
r
r
= - + 2kr 0
=r+
+ 2kr, k ! Z +
2
2
6
6
r
7r
+ 4kr, k ! Z
+ x = - + 4kr 0 x =
3
3
Portanto:
r
7r
C.S. = 'x: x = - + 4kr 0 x =
+ 4kr, k ! Z1
3
3
2
b) 2 - 2 sin(x + r) = 0 + sin(x + r) =
2
r
2
o=
Como arcsine
, tem-se:
4
2
r
r
x+r=
+ 2kr 0 x + r = r + 2kr, k ! Z +
4
4
r
3r
+ x =+ 2kr 0 x = - + 2kr, k ! Z
4
4
Portanto:
r
3r
C.S. = 'x: x = + 2kr 0 x = - + 2kr, k ! Z1
4
4
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
4
33
Considere a função f de domínio IR definida por:
f(x) = 1 + 2 sin(-x)
Determine:
a)a expressão geral dos zeros de f .
b)os valores de x para os quais f(x) = -2 .
a)f(x) = 0 + 1 + 2 sin(-x) = 0 + sin(-x) = -
Como arcsinc-
1
2
1
r
m = - , tem-se:
2
6
r
r
+ 2kr, k ! Z +
-x = - + 2kr 0 -x = r +
6
6
r
7r
+ 2kr 0 x = + 2kr, k ! Z
+x=
6
6
Portanto:
7r
r
C.S. = 'x: x =
+ 2kr 0 x = + 2kr, k ! Z1
6
6
3
b)f(x) = -2 + sin(-x) = 2
Como sin x ! [-1, 1], 6x ! IR , a equação é impossível. Logo, C.S. = Q .
34
Determine as abcissas dos pontos de interseção dos gráficos das funções
r
g(x) = sin(3x) e h(x) = sinc x + m
3
77
000707 061-105 U4.indd 77
01/07/16 11:46
Funções trigonométricas
g(x) = h(x) + sin(3x) = sinc x +
r
m+
3
r
r
m + 2kr, k ! Z +
+ 2kr 0 3x = r - c x +
+ 3x = x +
3
3
r
r
r
+ kr 0 x =
+k ,k!Z
+x=
2
6
6
35
Resolva, em IR , as seguintes equações:
r
1
a) cos(2x) =
c) cos x = cos
2
5
2r
b) 2 cos x + 2 = 0
d) cos x = sin
7
1
r
a)Como arccosc m =
, tem-se:
2
3
r
r
+ 2kr 0 2x = - + 2kr, k ! Z +
2x =
3
3
r
r
+ kr 0 x = - + kr, k ! Z
+x=
6
6
Portanto:
r
r
C.S. = 'x: x =
+ kr 0 x = - + kr, k ! Z1
6
6
2
b) 2 cos x + 2 = 0 + cos x = 2
3r
2
o=
, tem-se:
Como arccose4
2
3r
3r
x=
+ 2kr 0 x = + 2kr, k ! Z
4
4
Portanto:
3r
3r
C.S. = 'x: x =
+ 2kr 0 x = + 2kr, k ! Z1
4
4
r
r
r
c)cos x = cos
+x=
+ 2kr 0 x = - + 2kr, k ! Z
5
5
5
Portanto:
r
r
C.S. = 'x: x =
+ 2kr 0 x = - + 2kr, k ! Z1
5
5
2r
r
2r
m+
d)cos x = sin
+ cos x = cosc
7
7
2
3r
3r
+x=
+ 2kr 0 x = + 2kr, k ! Z
14
14
Portanto:
3r
3r
C.S. = 'x: x =
+ 2kr 0 x = + 2kr, k ! Z1
14
14
Resolva, em IR , as seguintes equações:
36
a)cos2 x - cos x = 0
b)sin x cos x - 2 cos x = 0
c) 4 sin2 x = 3
78
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
2
a)cos x - cos x = 0 + cos x (1 - cos x) = 0 +
4
+ cos x = 0 0 cos x = 1
r
Como arccos 0 =
e arccos 1 = 0 , tem-se:
2
r
x = ! + 2kr 0 x = 2kr, k ! Z +
2
r
+ kr 0 x = 2kr, k ! Z
+x=
2
Portanto:
r
C.S. = 'x: x =
+ kr 0 x = 2kr, k ! Z1
2
b)sin x cos x - 2 cos x = 0 + cos x(sin x - 2) = 0 +
r
+ cos x = 0 0 sin x = 2 + x =
+ kr, k ! Z
>
2
eq. impossível
Portanto:
r
C.S. = 'x: x =
+ kr, k ! Z1
2
3
c)4 sin2 x = 3 + sin x = !
2
r
r
3
3
o=
o = - , tem-se:
Como arcsine
e arcsine3
3
2
2
r
r
r
+ 2kr 0 x = r + 2kr 0 x = - + 2kr 0
x=
3
3
3
r
+ 2kr, k ! Z +
0x=r+
3
r
r
+ kr 0 x = - + kr, k ! Z
+x=
3
3
Portanto:
r
r
C.S. = 'x: x =
+ kr 0 x = - + kr, k ! Z1
3
3
Resolva em [0, 2r] as seguintes equações:
37
a) sin x = -cos x
b) sin x = cos(2x)
a)sin x = -cos x + sin x = sinc
3r
- xm +
2
3r
3r
+x=
- x m + 2kr, k ! Z +
- x + 2kr 0 x = r - c
2
2
r
3r
+ 2x =
+ 2kr 0 x = - + x + 2kr, k ! Z +
2
2
3r
+x=
+ kr, k ! Z
4
3r
7r
para k = 0 e
As soluções pertencentes ao intervalo [0, 2r] são
4
4
para k = 1 .
3r 7r
1.
Portanto, C.S. = '
,
4
4
79
000707 061-105 U4.indd 79
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Funções trigonométricas
b)sin x = cos(2x) + cosc
r
- x m = cos(2x) +
2
r
r
- x = 2x + 2kr 0
- x = -2x + 2kr, k ! Z +
+
2
2
r
r
+ -3x = - + 2kr 0 x = - + 2kr, k ! Z +
2
2
r
2r
r
+k
0 x = - + 2kr, k ! Z
+x=
2
3
6
r
5r
As soluções pertencentes ao intervalo [0, 2r] são
para k = 0 ;
e
6
6
3r
3r
9r
para k = 1 ; e
=
para k = 2 .
2
2
6
Portanto:
r 5r 3r
2
C.S. = ( ,
,
2
6 6
Resolva, em IR , as seguintes equações:
38
b) tan2(2x) = 3
a) tan x + 1 = 0
c) tan(2x) = tanc x +
r
m
4
a)tan x + 1 = 0 + tan x) = -1
Como arctan(-1) = Portanto:
r
r
, tem-se x = - + kr, k ! Z .
4
4
C.S. = 'x: x = -
r
+ kr, k ! Z1
4
b)tan2(2x) = 3 + tan(2x) = ! 3
r
r
Como arctan_ 3 i =
e arctan_- 3 i = - , tem-se:
3
3
r
r
2x =
+ kr 0 2x = - + kr, k ! Z +
3
3
r
r
r
r
+k 0x=- +k ,k!Z
+x=
2
2
6
6
Portanto:
r
r
r
r
C.S. = 'x: x =
+ k 0 x = - + k , k ! Z1
2
2
6
6
r
r
m + 2x = x +
c)tan(2x) = tanc x +
+ kr, k ! Z +
4
4
r
+ kr, k ! Z
+x=
4
Portanto:
r
+ kr, k ! Z1
C.S. = 'x: x =
4
r
Considere a função real de variável real de domínio E0, ; definida por:
4
f(x) = 3tan(2x)
39
Determine analiticamente as coordenadas do ponto de interseção do gráfico
de f com a reta de equação y = 3 .
80
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01/07/16 11:46
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3tan(2x) = 3 + tan(2x) = 3
r
Como arctan_ 3 i =
, tem-se:
3
r
r
r
+ kr, k ! Z + x =
+k ,k!Z
2x =
3
2
6
r
r
A única solução pertencente ao intervalo ;0, E é
, para k = 0 .
4
6
r
Assim, as coordenadas do ponto de interseção são c , 3m .
6
4
Resolva, em IR , as seguintes equações:
40
a)2 cos2 x + 5 cos x - 3 = 0
b)sin2 x + 2 cos2 x = 2
1
2
d)sin(2x) = cos(4x)
c)cos x tan x =
a)Usando a fórmula resolvente:
- 5 ! 5 2 - 4 # 2 # (-3)
2 cos2 x + 5 cos x - 3 = 0 + cos x =
+
2#2
1
+ cos x =
0 cos x = cos x =-3
>
2
eq. impossível
r
1
Como arccos =
, tem-se:
3
2
r
r
+ 2kr 0 x = - + 2kr, k ! Z
x=
3
3
Portanto:
r
r
C.S. = 'x: x =
+ 2kr 0 x = - + 2kr, k ! Z1
3
3
b)sin2 x + 2 cos2 x = 2 + 1 - cos2 x + 2 cos2 x = 2 + 1 + cos2 x = 2 +
+ cos2 x = 1 + cos x = 1 0 cos x = -1
Como arccos 1 = 0 e arccos(-1) = r , tem-se:
x = kr, k ! Z
Portanto:
C.S. = {x: x = kr, k ! Z}
sin x
1
1
1
+ cos x cos x =
+ sin x =
2
2
2
1
r
Como arcsin =
, tem-se:
2
6
r
r
+ 2kr 0 x = r + 2kr, k ! Z +
x=
6
6
r
5r
+ 2kr 0 x =
+ 2kr, k ! Z
+x=
6
6
Portanto:
r
5r
C.S. = 'x: x =
+ 2kr 0 x =
+ 2kr, k ! Z1
6
6
c)cos x tan x =
81
000707 061-105 U4.indd 81
01/07/16 11:46
Funções trigonométricas
d)sin(2x) = cos(4x) + sin(2x) = sinc
r
2
r
+ 6x =
2
r
+x=
12
Portanto:
+ 2x =
r
- 4x m +
2
r
- 4x + 2kr 0 2x = r + 4x + 2kr, k ! Z +
2
r
+ 2kr 0 -2x = r + 2kr, k ! Z +
2
r
r
+ k 0 x = - + kr, k ! Z
3
4
C.S. = 'x: x =
r
r
r
+ k 0 x = - + kr, k ! Z1
12
3
4
Na figura estão as representações gráficas de duas funções f e g ,
41
de domínio [0, 2r] , definidas por f(x) = cos(2x) e g(x) = cosc 2x +
r
m.
3
y
g
f
x
A
O ponto A é o ponto de interseção dos gráficos de f e de g de menor abcissa.
Recorrendo a processos exclusivamente analíticos determine:
a)as coordenadas do ponto A .
u1p76h2
b)os zeros de g .
a)cos(2x) = cosc 2x +
r
m+
3
r
r
m + 2kr, k ! Z +
+ 2kr 0 2x = -c 2x +
3
3
r
r
r
+ 4x = - + 2kr, k ! Z + x = +k ,k!Z
3
12
2
5r
A menor solução positiva da equação é
para k = 1 .
12
5r
3
5r
3
5r
o.
; logo, as coordenadas de A são e , f d n = cosd n = 12
2
12
2
6
r
m= 0
b)g(x) = 0 + cosc 2x +
3
r
, tem-se:
Como arccos 0 =
2
r
r
r
r
= ! + 2kr, k ! Z + 2x +
=
+ kr, k ! Z +
2x +
3
2
3
2
r
r
+k ,k!Z
+x=
12
2
+ 2x = 2x +
82
000707 061-105 U4.indd 82
01/07/16 11:46
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Resolva no intervalo [0, 2r] as seguintes inequações:
2
3
a) sin x >
b) cos x G
c) tan x > -1
2
2
42
a)Recorrendo à circunferência trigonométrica,
y
no intervalo [0, 2r] , observa-se que:
sin x >
4
!êê
2
r 3r
2
;
+ x !E ,
4 4
2
} 3p
2 }
4
r 3r
;
C.S. = E ,
4 4
p
}
4
O
b)Recorrendo à circunferência trigonométrica,
x
y
no intervalo [0, 2r] , observa-se que:
u1p81h1s
3
r 11r
F
+x!< ,
2
6
6
r 11r
F
C.S. = < ,
6
6
cos x G
O
11p
6
c)Recorrendo à circunferência trigonométrica,
x
!êê
3
}
2
y
no intervalo [0, 2r] , observa-se que:
tan x > -1 +
3r
r
,
+ x ! ;0, ; , E
2
4
r
3r
C.S. = ;0, ; , E
,
2
4
p
}
6
3p
u1p81h2s
}
p
4
3r
7r
;,E
, 2rE
2
4
3r
7r
;,E
, 2rE
2
4
3p
}
2
}
2
O
x
7p
}
4
21
Uma roda-gigante de um parque de diversões tem doze cadeiras.
43
u1p81h3s
No instante em que a roda começa a girar, a cadeira
número 1 está na posição indicada na figura.
A distância, em metros, da cadeira número 1
ao solo, t segundos após a roda-gigante ter
começado a girar, é dada por:
rt
m
d(t) = 7 + 5sinc
30
5
4
3
6
2
7
1
12
8
9
10
11
83
u1p78h3
000707 061-105 U4.indd 83
01/07/16 11:46
Funções trigonométricas
43.1Determine a distância a que a cadeira 1 se encontra do solo no instante
em que a roda começa a girar.
43.2Determine os maximizantes e os minimizantes da função no intervalo
[0, 75] .
43.3Resolva a equação d(t) = 9,5 , para t ! [0, 75] e indique quanto
tempo demora a cadeira 1 a encontrar-se pela primeira vez a 9,5 metros
do solo, depois de a roda ter começado a girar.
43.4Indique, justificando, qual é o comprimento do raio da roda-gigante.
Adaptado do Exame Nacional do 12.º ano, 1997
43.1 d(0) = 7 + 5 sin 0 = 7 m
43.2Os maximizantes são os valores de t para os quais sinc
rt
m= 1 .
30
Assim:
r
rt
rt
m= 1 +
=
+ 2kr, k ! Z + t = 15 + 60k, k ! Z
sinc
2
30
30
No intervalo [0, 75] tem-se as soluções t = 15 para k = 0 e t = 75
para k = 1 .
rt
m = -1 .
Os minimizantes são os valores de t para os quais sinc
30
Assim:
3r
rt
rt
m = -1 +
=
+ 2kr, k ! Z + t = 45 + 60k, k ! Z
sinc
2
30
30
No intervalo [0, 75] tem-se a solução t = 45 para k = 0 .
Portanto, os maximizantes são 15 e 75 , e o minimizante é 45 .
43.3 d(t) = 9,5 + 7 + 5 sinc
1
rt
rt
m = 9,5 + sinc
m=
+
2
30
30
rt
rt
r
r
+
=
+ 2kr 0
=r+ 2kr, k ! Z +
30
30
6
6
+ t = 5 + 60k 0 t = 25 + 60k, k ! Z
As soluções pertencentes ao intervalo [0, 75] são 5 e 25 para k = 0
e 65 para k = 1 .
A cadeira 1 demora 5 minutos a encontrar-se pela primeira vez
a 9,5 metros do solo.
rt
m = 1 . A altura atingida
43.4 A função atinge um máximo quando sinc
30
pela cadeira 1 nesse instante é de 7 + 5 = 12 m .
A função atinge um mínimo quando sinc
rt
m = -1 . A altura atingida
30
pela cadeira 1 nesse instante é de 7 - 5 = 2 m .
12 - 2
=5m.
Assim, o raio da roda-gigante mede
2
84
000707 061-105 U4.indd 84
01/07/16 11:46
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
No referencial o.n. da figura estão representados
a circunferência trigonométrica e um triângulo
[ABC] tal que:
44
4
y
B
A
• o s pontos B , C e D têm coordenadas (0, 1) ,
(0, -1) e (1, 0) , respetivamente;
x
O
• o ponto A pertence à circunferência
WD = x, x ! E0, r ; .
e AO
2
3
44.1Admita que a abcissa de A é
.
4
Determine o valor exato de sin(r - x) - 2 tan(-x) .
x
C
44.2Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada em função de x
por cos x .
u1p79h2
44.3Determine o valor de x para o qual a área do triângulo é igual
a sin
2r
.
3
44.1 sin(r - x) - 2 tan(-x) = sin x + 2 tan x
Como cos x =
3
, vem:
4
cos2 x + sin2 x = 1 + c
3 2
m + sin2 x = 1 +
4
7
7
+ sin2 x =
+ sin x = !
4
16
r
7
Como x ! E0, ; , tem-se sin x =
.
2
4
7
sin x
7
4
.
Assim, tan x = cos x =
=
3
3
4
Calculando o valor da expressão:
sin x + 2 tan x =
7
+2×
4
7
11 7
=
3
12
44.2Tome-se para base o lado [BC] . Tem-se, então, que a base mede
2 unidades e a altura corresponde à abcissa de A , ou seja, cos x .
2 # cos x
= cos x .
Assim, A[ABC] =
2
2r
3
44.3 A[ABC] = sin
+ cos x =
+
3
2
r
r
+ 2kr 0 x = - + 2kr, k ! Z
+ x =
6
6
r
r
.
Como x ! E0, ; , tem-se x =
2
6
85
000707 061-105 U4.indd 85
01/07/16 11:46
Funções trigonométricas
Considere as funções f e g definidas em IR por:
1
f(x) =
+ 2 sin x e g(x) = 2 cos2 x
2
6.1Mostre que a função g é r-periódica .
Tarefa 6
6.2Sabendo que:
f ca -
r
m = 1, a ! ]r, 2r[
2
Calcule f(a - r) + g(3r + a) .
6.3Mostre que a função f admite extremos nos zeros de g .
3
/ x ! [0, r] representando o conjunto
2
solução na forma de intervalo ou união de intervalos de números reais.
6.4Resolva a condição f(x) G
6.5Na figura seguinte estão representadas em referencial o.n. xOy os
gráficos das restrições de f e g ao intervalo [0, 2r] e o papagaio [ABCD] .
y
D
O
g
C
A
2p
B
x
f
Sabe-se que:
• A e C são os pontos de interseção dos gráficos de f e g ;
u1p79h1
• B é o ponto de interseção do gráfico de g com o eixo Ox de menor
abcissa;
• D é o ponto do gráfico de f de maior ordenada.
Determine o valor exato da área do papagaio.
6.6
Considere a função definida por:
h(x) =
f (x)
2 - g(x)
6.6.1 Determine o domínio de h .
6.6.2 Calcule o valor exato de hfarctand
12
np .
5
86
000707 061-105 U4.indd 86
01/07/16 11:46
6.1
x, x + r ! Dg porque Dg = IR .
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
4
g(x + r) = 2^cos(x + r)h2 = 2(-cos x)2 = g(x)
6.2
f ca -
1
1
r
r
m= 1 +
+ 2 sinca - m = 1 + cos a = - , a ! 3.º Q
2
2
2
4
Pela fórmula fundamental da trigonometria:
1 2
15
cos2 a + sin2 a = 1 + c- m + sin2 a = 1 + sin a = 4
4
Então:
1
f(a - r) + g(3r + a) =
+ 2 sin(a - r) + 2^cos(3r + a)h2 =
2
1
1
15
1 2
o+ 2 ×c m =
- 2 sin a + 2(-cos a)2 =
- 2 × e
=
4
2
2
4
5 + 4 15
=
8
6.3Os maximizantes de f são os valores para os quais sin x = 1 , ou seja,
r
x=
+ 2kr, k ! Z , e os minimizantes de f são os valores para
2
r
os quais sin x = -1 , ou seja, x = - + 2kr, k ! Z . Então,
2
r
os extremos ocorrem nos pontos
+ kr, k ! Z .
2
Ora, os zeros de g são os valores para os quais cos x = 0 ,
r
o que corresponde a x =
+ kr, k ! Z .
2
y
3
1
3
1
6.4
f(x) G
+
+ 2 sin x G
+ sin x G
2
2
2
2
1
} 5p
Recorrendo à circunferência trigonométrica,
2 }
6
p
}
no intervalo [0, r] , observa-se que:
6
O
x
1
r
5r
+ x ! ;0, E , <
, rF
2
6
6
r
5r
C.S. = ;0, E , <
, rF
6
6
1
1
6.5
f(x) = g(x) +
+ 2 sin x = 2 cos2 x +
+ 2 sin x = 2(1 - sin2 x) +
2
2
3
-2 ! 4 - 4u1p85h1s
# 2 #c- m
2
3
= 0 + sin x =
+
+ 2 sin2 x + 2 sin x 2
2#2
1
-2 ! 16
3
+ sin x =
+ sin x =
0 sin x = -sin x =- +
2
4
2
>
eq. impossível
r
r
+ x =
+ 2kr 0 x = r + 2kr, k ! Z +
6
6
r
5r
+ 2kr 0 x =
+ 2kr, k ! Z
+ x =
6
6
r
5r
e
, donde
Assim, as abcissas de A e C são, respetivamente,
6
6
2r
AC =
.
3
sin x G
87
000707 061-105 U4.indd 87
01/07/16 11:46
Funções trigonométricas
Pela alínea anterior, sabe-se que as abcissas de B e D são iguais a
Assim, a ordenada de D é dada por f c
Portanto:
AC # BD
A[ABCD] =
=
2
r
1
5
r
m=
+ 2 sin =
.
2
2
2
2
r
.
2
2r
5
#
5r
3
2
=
2
6
1
+ 2 sin x
f (x)
2
6.6 6.6.1 h(x) =
=
2 - g (x)
2 - 2 cos 2 x
Dh = {x ! IR: 2 - 2 cos2 x ! 0} =
= {x ! IR: cos x ! 1 / cos x ! -1} =
= {x ! IR: x ! kr, k ! Z}
12
12
= y . Então, tan y =
e y pertence
5
5
ao 1.º quadrante.
6.6.2Seja arctan
Calcule-se o valor exato de cos y e de sin y :
12
1
1
25
n =
+1+d
+ cos2 y =
169
5
cos 2 y
cos 2 y
5
Como y ! 1.º Q , cos y =
.
13
sin y
sin y
12
12
Tem-se que tan y = cos y +
=
+ sin y =
.
13
5
5
13
1
12
1
+2#
+ 2 sin y
793
13
2
2
Assim, h(y) =
=
=
.
2
576
25
2 - 2 cos y
2-2#
169
2
1 + tan2 y =
AVALIAR CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Seja f uma função real de variável real, de domínio IR , r-periódica .
Qual das expressões seguintes pode definir a função f ?
x
(A) sin x
(B) cos
(C) tan x
2
(D) sin(2x)
A opção correta é a (D).
88
000707 061-105 U4.indd 88
01/07/16 11:46
No referencial o.n. da figura
está representada parte do
gráfico de uma função f
definida por f(x) = a cos(bx)
em que a e b designam
números reais.
2
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
4
y
4
p
2p
3p
4p
5p
6p x
24
Quais dos valores seguintes podem ser os valores de a e de b ?
2
(A) a = 4 e b =
(C) a = -4 e b = 1
3
u1p80h1
1
(B) a = 4 e b =
(D) a = -4 e b = -1
3
A opção correta é a (B).
Considere a função h , de domínio IR , definida por h(x) = 2 cos(3x) .
3
3.1 Uma expressão geral dos zeros da função h é:
(1 + k) r
,k!Z
3
(1 + 2k) r
(B) x =
,k!Z
6
3.2 O contradomínio de h é:
(A)x =
(A) [-3, 3]
(B) [-2, 2]
3.1
h(x) = 0 + 2 cos(3x) = 0 + 3x =
(1 + k) r
,k!Z
6
(1 + 2k) r
(D) x =
,k!Z
3
(C) x =
(C) [-1, 1]
(D) ;-
1 1
, E
2 2
r
kr
r
+ kr, k ! Z + x = +
,k!Z
2
3
6
A opção correta é a (B).
3.2A opção correta é a (B).
O mostrador do relógio da figura é um círculo
e está apoiado numa barra.
4
Sabe-se que, t segundos após as zero horas,
a distância, em metros, da extremidade
do ponteiro dos minutos à barra é dada por:
r
tm
d(t) = 1 + 0,8 cosc
1800
O comprimento, em metros, do ponteiro dos minutos é:
(A) 0,5
(B) 0,8
(C) 0,9
(D) 1
89
000707 061-105 U4.indd 89
01/07/16 11:46
Funções trigonométricas
30 min = 1800 s
d(0) = 1 + 0,8 cos(0) = 1,8 m
r
d(1800) = 1 + 0,8 cos c
# 1800 m = 0,2 m
1800
1,8 - 0,2
= 0,8 m
2
A opção correta é a (B).
5
3
Se tan x = e x ! ]0, r[ , o valor exato da expressão 3 - 5 sin2 x é:
4
6
6
1
1
(A) (B) (C)
(D)
5
5
5
5
cos2 x + sin2 x = 1 +
cos 2 x
sin 2 x
1
+
+
=
2
2
sin x
sin x
sin 2 x
1
1
9
4
1
+1 =
+ d- n + 1 =
+ sin2 x =
2
2
2
3
25
tan x
sin x
sin x
9
6
15 - 9
Logo, 3 - 5 sin2 x = 3 - 5 ×
=
=
.
25
5
5
A opção correta é a (D).
2
+
No referencial o.n. da figura estão
representados os gráficos das
funções f e g de domínio [0, 2r]
definidas por f(x) = sin x
e g(x) = cos x .
6
y
g
P
O
f
Q
x
Os pontos P e Q são os pontos de interseção dos dois gráficos.
O valor exato de PQ é:
(A)
r
2
(B)
r2
+2
4
(C) r
u1p81h1
(D)
r2 + 2
r
+ kr, k ! Z
4
5r
2
r
2
o e Qe
o.
Assim, tem-se Pe ,
,4
2
4
2
sin x = cos x + x =
Portanto:
PQ =
d
5r
2
r
n + e4
4
2
2
2
2
o =
2
r2 + 2
A opção correta é a (D).
90
000707 061-105 U4.indd 90
01/07/16 11:46
UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
5
no ?
Qual é o valor de tanearccosd
13
7
(A)
5
12
(B)
12
5
(C)
13
12
(D)
4
12
13
5
5
= y . Então, cos y =
e y pertence ao 1.º quadrante .
13
13
Calcule-se o valor exato de tan y :
144
1
1
+ 1 + tan2 y =
+ tan2 y =
1 + tan2 y =
2
25
cos 2 y
5
d
n
13
12
Como y ! 1.º Q , tan y =
.
5
A opção correta é a (B).
Seja arccos
r
Qual é o valor de x tal que arcsin(2x - 3) = - ?
6
7
7
5
(A) (B) (C)
4
4
4
8
(D)
5
4
r
r
& sin^arcsin(2x - 3)h = sinc- m &
6
6
1
5
& 2x - 3 = - + x =
2
4
arcsin(2x - 3) = -
A opção correta é a (D).
Para qualquer valor real de x , a expressão
9
sin(r - x) sin(-x) + cos(r + x) sinc
r
+ xm
2
é igual a:
(A) -sin x (sinx + cos x)
2
(C) 1
2
(D) -1
sin(r - x) sin(-x) + cos(r + x) sinc
r
+ xm =
2
(B) -sin x + cos x
= sin x (-sin x) - cos x cos x =
= -sin2 x - cos2 x = -(sin2 x + cos2 x) = -1
A opção correta é a (D).
91
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Funções trigonométricas
Seja m ! IR . Os valores de m para os quais a equação 1 - sin x = m2
é possível são:
10
(A) A-3 , (B) 7-
2,
2 A , 7 2 , +37
(C) A-3 ,
2A
(D) A-
2,
2A
27
A equação é possível se, e só se, -1 G 1 - m2 G 1 .
A opção correta é a (B).
Qual das seguintes representações gráficas traduz as soluções da equação
-2 cos x - 1 = 0 no intervalo ]-r, r[ ?
11
(A)
(B)
y
(C)
y
(D)
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A opção correta é a (C).
u1p81h2
RESPOSTA ABERTA
u1p81h3
u1p81h4
u1p81h5
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
12
Considere as funções f e g , reais de variável real, definidas por:
x
f(x) = -3 sin(2x) e g(x) = 2 cosc m
2
3r
5r
c
m
d
n
12.1Determine o valor exato de f
+g
.
2
6
12.2Determine o período fundamental de cada uma das funções f e g .
12.3Calcule uma expressão geral para os zeros de f e outra para os zeros de g .
12.4Determine o contradomínio de g .
12.5Estude a paridade de f e de g .
3r
3r
5r
5r
f
p=
m = -3 sind 2 #
n + gc
n + 2 cos 2
12.1 f d
2
2
6
6
r
r
r
r
m = 3 sinc m - 2 cosc m =
= -3 sinc- m + 2 coscr 3
4
3
4
3 3 -2 2
=
2
92
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
4
12.2Como o período fundamental de sin x é 2r , o período fundamental
de f(x) é r .
Como o período fundamental de cos x é 2r , o período fundamental
de g(x) é 4r .
12.3 Zeros de f :
f(x) = 0 + -3 sin(2x) = 0 + 2x = kr, k ! Z +
arcsin 0 = 0
r
+ x = k , k ! Z
2
Zeros de g :
r
x
x
g(x) = 0 + 2 cosc m = 0 + r
=
+ kr, k ! Z +
2
2
2
arccos 0 =
2
+ x = r + 2kr, k ! Z
12.4 -1 G cosc
x
x
m G 1 + -2 G 2 cosc m G 2
2
2
Assim, Dlg = [-2, 2] .
12.5 Tem-se que -x e x ! D , então:
f(-x) = -3 sin(-2x) = 3 sin(2x) ; logo, f é ímpar.
g(-x) = 2 cosc
-x
x
m = 2 cosc m ; logo, g é par.
2
2
A profundidade da água do mar,
à entrada de um certo porto de abrigo,
varia com a maré.
13
Admita que o tempo que decorre entre
cada maré baixa e cada maré alta é de
6 horas, sendo igualmente de 6 horas
o tempo que decorre entre cada maré alta
e cada maré baixa.
Nestas condições, apenas uma das expressões seguintes pode definir a função
que dá a profundidade, em metros, da água do mar, à entrada desse porto,
t horas após a maré baixa.
Qual é a expressão correta?
r
r
tm
(A) 9 - 2 cosc t m
(C) 11 - 4 cosc
12
6
r
r
(B) 9 - 2 cosc t m
(D) 9 + 2 cosc t m
3
6
Numa pequena composição, explique as razões pelas quais rejeita as outras
três expressões.
Apresenta três razões diferentes, uma por cada expressão rejeitada.
93
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Funções trigonométricas
A função pretendida é periódica de período fundamental 12 , porque ocorre
uma maré alta a cada 12 horas sempre intercalada com uma maré baixa que
também acontece a cada 12 horas.
A opção (C) tem período fundamental 24 e a opção (B) tem período
fundamental 6 ; por isso, a opção correta ou é a (A) ou a (D). Ambas
as expressões das opções (A) e (D) têm contradomínio [7, 11] . No entanto,
para t = 0 , obtém-se 7 m na expressão da opção (A) e 11 m na expressão
da opção (D). Como a função dá a profundidade da água do mar t horas após
a maré baixa, o valor para t = 0 tem de ser um mínimo da função. Logo,
a opção correta é a (A).
Simplifique a expressão seguinte:
14
sin(r + i) + cos(-i) + sinc
r
- im
2
1
Calcule o seu valor exato, sabendo que cos i = - / i ! 2.º Q .
4
Simplifique-se a expressão:
sin(r + i) + cos(-i) + sinc
r
- im =
2
= -sin i + cos i + cos i = -sin i + 2 cos i
Calcule-se o valor de sin i :
sin2 i + cos2 i = 1 + sin2 i + c-
1 2
m =1+
4
15
15
+ sin i = !
4
16
15
Como i ! 2.º Q , sin i =
.
4
- 15 - 2
Assim, -sin i + 2 cos i =
.
4
+ sin2 i =
15
Seja h uma função, de domínio IR , definida por:
h(x) = 2 + (1 + cos x)2 - (1 - cos x)2
15.1Mostre que:
a) h(x) = 2 + 4 cos x
b)h é 4r-periódica . O valor 4r é o período fundamental de h ?
15.2Sabendo que h(a) = 1 e que a pertence ao 3.º quadrante, determine
o valor exato de:
sin(a + r) + cosc
r
+ am
2
94
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
2
2
15.1 a) h(x) = 2 + (1 + cos x) - (1 - cos x) =
4
= 2 + 1 + 2 cos x + cos2 x - 1 + 2 cos x - cos2 x = 2 + 4 cos x
b) h(x + 4r) = 2 + 4 cos(x + 4r) = 2 + 4 cos(x + 2 × 2r) =
=
2 + 4 cos x
cos é 2r-periódica
Logo, h é 4r-periódica , mas 4r não é o período fundamental,
uma vez que h também é 2r-periódica .
15.2 Simplificando a expressão, tem-se:
sin(a + r) + cosc
r
+ a m = -sin a - sin a = -2 sin a
2
1
Tem-se que h(a) = 1 + 2 + 4 cos a = 1 + cos a = - .
4
Logo:
2
1
cos2 a + sin2 a = 1 + sin2 a = 1 - c- m +
4
15
15
+ sin2 a =
+ sin a = 4
16 a ! 3. Q
15
Portanto, -2 sin a =
.
2
o
16
Determine os valores de k reais para os quais é possível, em IR , a condição:
sin x =
k + 1 / cos x = k
Pela fórmula fundamental da trigonometria, tem-se:
2
cos2 a + sin2 a = 1 + k2 + _ k + 1i = 1 + k2 + k = 0 +
+ k2 + k = 0 + k(k + 1) = 0 + k = 0 0 k = -1
Substituindo na condição, tem-se que k = 0 ou k = -1 é possível . Logo,
k pode assumir os valores 0 e -1 .
No referencial o.n. xOy da figura está representado o gráfico da função f
de domínio [-r, r] , definida por f(x) = 1 - 2 sin2 x e o triângulo [AOB] .
17
y
B
2p
A
O
p
x
Sabe-se que:
• os pontos A e B pertencem ao gráfico de f ;
• o ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto B pertence ao eixo Oy .
u1p83h1
000707 061-105 U4.indd 95
95
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Funções trigonométricas
17.1Sabendo que para b ! E
exato de:
r
, r; se tem f(b) = 0,1 , determine o valor
2
cos b + sin(r + b)
17.2Determine a área do triângulo [AOB] .
17.3Determine os valores do domínio de f , tais que f(x) = -
1
.
2
17.1 Simplificando a expressão, tem-se:
cos b + sin(r + b) = cos b - sin b
Calcule-se sin b e cos b :
f(b) = 0,1 + 1 - 2 sin2 b = 0,1 + sin2 b =
+ sin b = !
Tem-se que:
3 5
10
9
+
20
9
+ cos2 b = 1 +
20
11
55
+ cos b = !
+ cos2 b =
20
10
r
3 5
55
Como b ! E , r; , sin b =
e cos b = .
2
10
10
55 + 3 5
Assim, cos b - sin b = .
10
sin2 b + cos2 b = 1 +
17.2 Determine-se a ordenada de B :
f(0) = 1 - 2 sin2 0 = 1
Determine-se a abcissa de A :
1
f(x) = 0 + 1 - 2 sin2 x = 0 + sin2 x =
+
2
r
r
2
+x=
+k ,k!Z
+ sin x = !
4
2
2
A abcissa de A corresponde ao zero da função com abcissa menor, ou seja,
3r
3r
.
4
#1
3r
AO # BO
4
Assim, A[AOB] =
=
=
.
2
2
8
1
1
3
17.3 f(x) = + 1 - 2 sin2 x = - + sin2 x =
+
2
2
4
r
2r
3
+x=
+ kr 0 x =
+ kr, k ! Z
+ sin x = !
3
2
3
r
2r
Como Df = [-r, r] , as soluções são
e
para k = 0
3
3
r
2r
e para k = -1 .
e 3
3
2r
r r 2r
2
C.S. = (,- , ,
3
3 3 3
96
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
r
Considere o triângulo isósceles da figura, em que a ! E0, ; .
2
18.1Mostre que a área do triângulo é dada,
em função de a , por:
18
2 cm
A(a) = 4 sin a cos a
a
4
2 cm
a
r
18.2Determine a área do triângulo para a =
.
3
5
18.3Sabendo que sin(r - a) =
, determine o valor exato de A(a) .
12
u1p83h2
18.1Considere-se a figura seguinte, que resulta da divisão do triângulo inicial
em dois triângulos retângulos iguais:
C
2 cm
A
2 cm
h
a
a
B
Sabe-se que:
AB
2
u1p83h2
cos a =
+ AB = 4 cos a
AC
h
+ h = 2 sin a
sin a =
AC
Assim:
A[ABC] =
AB # h
4 cos a # 2 sin a
=
= 4 cos a sin a
2
2
18.2 Ac
r
r
1
r
3
m = 4 cos sin = 4 ×
×
= 3
3
3
3
2
2
5
5
18.3 sin(r - a) =
+ sin a =
12
12
Tem-se que:
2
5
2
2
d
n
sin a + cos a = 1 +
+ cos2 a = 1 +
12
119
119
+ cos2 a =
+ cos a = !
144
12
Como a ! E0,
r
; , cos a =
2
119
.
12
Logo:
A(a) = 4 ×
5
×
12
119
5 119
=
12
36
97
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Funções trigonométricas
Determine o domínio e os zeros, se existirem, da função definida por:
1
x
x
a) f(x) = tanc m
b) g(x) =
c) h(x) = tanc m
x
tan (2x)
2
19
a)Df = 'x:
r
x
!
+ kr, k ! Z1 = 'x: x ! r + 2kr, k ! Z1
2
2
x
x
Zeros: f(x) = 0 + tanc m = 0 +
= kr, k ! Z + x = 2kr, k ! Z
2
2
r
b)Dg = 'x: 2x !
+ kr, k ! Z / tan(2x) ! 01 =
2
r
= 'x: x ! k , k ! Z1
4
r
x
=0+x=0/x!k ,k!Z+x!Q
Zeros: g(x) = 0 +
tan (2x)
4
1
r
c)Dh = 'x:
x ! 2 + kr, k ! Z / x ! 01 =
1
= 'x: x ! r
, k ! Z / x ! 01
+ kr
2
1
Zeros: h(x) = 0 + tanc x m = 0 +
1
1
+x!0/x! r
/ x = kr, k ! Z +
+ kr
2
1
, k ! Z\{0}
+x=
kr
20
Na figura está representado um cilindro de revolução, tal que:
D
• O é o centro da base inferior;
• a reta DB é perpendicular a OB ;
• D pertence à base superior do cilindro;
• o raio da base mede 4 cm ;
a
O
• a é a amplitude do ângulo BOD .
B
20.1Prove que o volume do cilindro é dado em função de a por:
V(a) = 64r tan a, a ! ;0,
r
;
2
u1p84h1
r
.
3
20.3Calcule o valor de a para o qual o volume do cilindro é 64r .
20.2Determine a altura do cilindro para a =
20.4Para que valores de a a altura do cilindro mede o mesmo que
o diâmetro da base? Utilize valores aproximados às décimas do radiano.
98
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
4
DB
20.1 Tem-se que tan a =
+ DB = 4 tan a . Logo:
OB
V(a) = rr2 × DB = r × 42 × 4 tan a = 64r tan a
r
O domínio da função é E0, ; porque nos casos em que a = 0
2
r
ou a =
o cilindro fica degenerado.
2
r
20.2 DB = 4 tan
=4 3
3
r
20.3 V(a) = 64r + 64r tan a = 64r + tan a = 1 + a =
+ kr, k ! Z
4
r
r
.
No intervalo E0, ; a única solução é a =
2
4
20.4 DB = 8 + 4 tan a = 8 + tan a = 2 & a = tan-1 2 & a . 1,1 rad
1
r
Sabendo que sin(r - x) =
e x ! E , r; , determine o valor exato de:
2
3
3r
sinc
+ x m + tan(2r + x)
2
Tem-se que:
1
1
+ sin x =
sin(r - x) =
3
3
3r
sinc
+ x m + tan(2r + x) = -cos x + tan x
2
Assim:
1
+ cos2 x = 1 +
sin2 x + cos2 x = 1 +
9
8
2 2
+ cos x = !
+ cos2 x =
9
3
r
2 2
Como x ! E , r; , cos x = .
2
3
1
sin x
2
3
Logo, tan x = cos x =
=.
4
2 2
3
2 2
5 2
2
Portanto, -cos x + tan x =
=
.
3
4
12
21
22
Determine:
a) arcsineb) arccos
2
o
2
3
2
c) sinfarccose-
d) tanearccos 1 + arcsind-
5
no
13
r
1
- arcsinc- mo
2
2
3
f) sinc-arctan m
4
e) cose
2
op
2
99
000707 061-105 U4.indd 99
01/07/16 11:47
Funções trigonométricas
a)arcsineb)arccos
r
2
o=4
2
3
r
=
2
6
c)sinfarccose-
3r
2
op = sin
=
4
2
d)tanearccos 1 + arcsind-
= tanearcsind-
Seja arcsind-
5
no
13
2
2
5
5
no = tane0 + arcsind- no =
13
13
5
5
n = y . Então, sin y = e y pertence ao 1.º quadrante.
13
13
Calcule-se o valor exato de tan y :
1
1
+1=
+
2
tan y
sin 2 y
169
25
1
+
+1=
+ tan2 y =
2
144
25
tan y
5
Como y ! 4.º Q , tan y = .
12
r
1
r
2r
1
r
e)cose
- arcsinc- mo = cose - c- mo = cos
=2
2
2
3
2
6
cos2 y + sin2 y = 1 +
3
3
m = -sincarctan m
4
4
3
3
Seja arctan = y . Então, tan y =
e y pertence ao 1.º quadrante.
4
4
f)sinc-arctan
Tem-se que sin(-y) = -sin y .
Calcule-se o valor exato de sin y :
1
1
+1=
+
tan 2 y
sin 2 y
16
9
1
+
+1=
+ sin2 y =
2
9
25
sin y
3
Como y ! 1.º Q , -sin y = - .
5
cos2 y + sin2 y = 1 +
Na figura ao lado está
representado o gráfico da função
f(x) = 1 + 2 sin x , de domínio
[-r, 2r] .
y
23
C
A
O
B
x
100
000707 061-105 U4.indd 100
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
4
• O
s pontos A e B são pontos de interseção consecutivos do gráfico de f
com o eixo Ox ;
• A abcissa de A é negativa e a abcissa de B é positiva;
• A ordenada de C é máximo da função f .
Utilizando apenas processos analíticos, determine o valor exato da área
do triângulo [ABC] .
f(x) = 0 + 1 + 2 sin x = 0 + sin x = -
1
+
2
r
r
+ 2kr 0 x = r - c- m + 2kr, k ! Z +
6
6
r
7r
+ 2kr, k ! Z
+ x = - + 2kr 0 x =
6
6
r
7r
As soluções pertencentes a [-r, 2r] são e
para k = 0 ,
6
6
11r
5r
para k = 1 e para k = -1 .
6
6
r
7r
Assim, as abcissas de A e B são, respetivamente, e
.
6
6
Tem-se que f atinge um máximo quando sin x = 1 ; logo, a ordenada de C ,
yc , é 1 + 2 × 1 = 3 .
Portanto:
7r
r
c
m#3
+
AB # yc
6
6
=
= 2r
A[ABC] =
2
2
+x=-
Resolva, em IR , as seguintes equações:
24
a) 2 - sin x = 1
f) 1 - 2 sin2 x = 0
b) 2 - 2 cos x = 3
g) sin(2x) = cos x
c) 2 sin x - 3 = 0
h)
a)2 - sin x = 1 + sin x = 1 + x =
r
+ 2kr, k ! Z
2
r
d) 1 + cos(2x) = sinc- m
2
e) sin x cos(2x) = 0
C.S. = &x: x =
3 - tan x = 0
i) tan x = tanc 2x -
r
m
4
r
+ 2kr, k ! Z0
2
1
2r
2r
b)2 - 2 cos x = 3 + cos x =- + x =
+ 2kr 0 x = - + 2kr, k ! Z
2
3
3
2r
2r
+ 2kr 0 x = + 2kr, k ! Z0
C.S. = &x: x =
3
3
3
c)2 sin x - 3 = 0 + sin x =
+
2
r
2r
+ 2kr 0 x =
+ 2kr, k ! Z
+x=
3
3
r
2r
+ 2kr 0 x =
+ 2kr, k ! Z0
C.S. = &x: x =
3
3
101
000707 061-105 U4.indd 101
01/07/16 11:47
Funções trigonométricas
d)1 + cos(2x) = sinc-
C.S. = Q
r
m + 1 + cos(2x) = -1 + cos(2x) = -2 + x ! Q
2
e)sin x cos(2x) = 0 + sin x = 0 0 cos(2x) = 0 +
r
+ x = kr 0 2x =
+ kr, k ! Z +
2
r
r
+k ,k!Z
+ x = kr 0 x =
4
2
r
r
+ k , k ! Z0
C.S. = &x: x = kr 0 x =
4
2
1
2
f)1 - 2 sin2 x = 0 + sin2 x =
+ sin x = !
+
2
2
r
r
+x=
+k ,k!Z
4
2
r
r
+ k , k ! Z0
C.S. = &x: x =
4
2
r
- xm +
g)sin(2x) = cos x + sin(2x) = sinc
2
r
r
- x m + 2kr, k ! Z +
- x + 2kr 0 2x = r - c
+ 2x =
2
2
r
r
+ 2kr 0 x =
+ 2kr, k ! Z +
+ 3x =
2
2
r
2r
r
+k
0x=
+ 2kr, k ! Z
+x=
2
3
6
r
2r
r
+k
0x=
+ 2kr, k ! Z0
C.S. = &x: x =
2
3
6
r
h) 3 - tan x = 0 + tan x = 3 + x =
+ kr, k ! Z
3
r
C.S. = &x: x =
+ kr, k ! Z0
3
r
r
m + x = 2x i)tan x = tanc 2x + kr, k ! Z +
4
4
r
+ kr, k ! Z
+x=
4
r
+ kr, k ! Z0
C.S. = &x: x =
4
r
Resolva, em ; , 2rE , a equação seguinte:
2
2 sin2 x = 1 - cos x
25
2 sin2 x = 1 - cos x + 2(1 - cos2 x) = 1 - cos x +
1 ! 1 - 4 # 2 # (-1)
+
+ 2 cos2 x - cos x - 1 = 0 + cos x =
2#2
1! 9
1
+ cos x = 1 0 cos x = - +
+ cos x =
4
2
2r
2r
2kr
+ 2kr 0 x = + 2kr, k ! Z + x =
,k!Z
+ x = 2kr 0 x =
3
3
3
2r 4r
2r 4r
r
, 2r2 .
,
e 2r . Logo, C.S. = ( ,
Soluções no intervalo ; , 2rE :
3 3
2
3
3
102
000707 061-105 U4.indd 102
01/07/16 11:47
TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
UNIDADE
Domínio 1
26
4
Considere um triângulo retângulo [ABC] ,
cujos catetos são [AB] e [BC] .
WC = x
Admita que se tem AB = 1 , BA
r
x
e 0<x<
.
A
2
1
26.1 Mostre que o perímetro do triângulo é dado por:
1+ sin x + cos x
P(x) =
cos x
r
u1p85h1
26.2 Calcule o valor exato de Pc m .
3
r
5
26.3 Sabendo que tan a =
, determine o valor exato de Pc - x m .
2
12
C
B
26.1 Tem-se que:
CB
+ CB = tan x
AB
1
AB
+ AC = cos x
cos x =
AC
tan x =
Assim:
1
P(x) = AB + AC + CB = 1 + tan x + cos x =
sin x
1
1 + sin x + cos x
= 1 + cos x + cos x =
cos x
r
26.2 Pc m =
3
r
r
+ cos
1+
3
3
=
r
cos
3
1 + sin
26.3 Tem-se que:
3
1
+
2
2
=3+
1
2
3
1
1
5
144
n =
+1+d
+ cos2 x =
12
169
cos 2 x
cos 2 x
12
Como x ! 1.º Q , cos x =
.
13
Tem-se ainda que:
sin x
5
5
sin x
tan x = cos x +
=
+ sin x =
12
12
13
13
Assim:
r
r
1 + sin c
- a m + cos c
- am
2
2
r
- am =
=
Pc
2
r
- am
cos c
2
12
5
1+
+
1 + cos a + sin a
13
13
=
=
=6
sin a
5
13
2
1 + tan2 x =
000707 061-105.indd 103
103
20/07/16 16:14
Funções trigonométricas
Resolva, analiticamente, em [0, 2r] e em [-r, r] :
27
a) sin x H -
1
2
2
2
b) cos x <
c) tan x G 1
a)Recorrendo à circunferência trigonométrica, no intervalo [0, 2r] ,
observa-se que:
sin x H -
1
7r
11r
E,<
+ x ! ;0,
, 2rF
2
6
6
Já no intervalo [-r, r] :
sin x H -
1
r
5r
F , ;- , rE
+ x ! <- r, 2
6
6
b)Recorrendo à circunferência trigonométrica, no intervalo [0, 2r] ,
observa-se que:
cos x <
r 7r
2
;
+ x !E ,
4 4
2
Já no intervalo [-r, r] :
cos x <
r
r
2
+ x ! ;- r, - ; , E , rE
4
4
2
c)Recorrendo à circunferência trigonométrica, no intervalo [0, 2r] ,
observa-se que:
tan x G 1 + x ! ;0,
r
3r
r 5r
F ,E
E ,F ,
, 2rE
2 4
4
2
Já no intervalo [-r, r] :
tan x G 1 + x ! ;- r, -
3r
r r
r
E , E- , E , E , rE
4
2 4
2
Determine quais são as soluções inteiras de:
28
2 sin x -
3 > 0 / x ! ]-r, r [
Recorrendo à circunferência trigonométrica, no intervalo ]-r, r[ ,
observa-se que:
r 2r
3
<
+ x !F ,
2 sin x - 3 > 0 + sin x >
3 3
2
Assim, a única solução inteira desta equação é x = 2 .
104
000707 061-105 U4.indd 104
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UNIDADE
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Resolva, em [0, 2r] , a seguinte condição:
1
sin x G
/ cos x < 0
2
29
4
Recorrendo à circunferência trigonométrica, no intervalo [0, 2r] ,
observa-se que:
1
+ x ! ;0,
2
r
cos x < 0 + x ! ; ,
2
sin x G
Assim:
sin x G
r
5r
E,<
, 2rF
6
6
3r
E
2
1
5r 3r
<
/ cos x < 0 + x ! <
,
2
2
6
Mostre que:
30
a) sin4x - sin2 x = cos4x - cos2 x, 6x ! IR
b)
cos x - cos 3x
= sinx cosx, 6x ! IR\{x: x = kr, k ! Z}
sin x
c)
r
cos 2x
= 1 + sin x, 6x ! IR\&x: x =
+ 2kr, k ! Z0
2
1 - sin x
d) 1 + sinc x +
3r
m cos x = sin2 x
2
a)sin4 x - sin2 x = (sin2 x)2 - (1 - cos2 x) =
= (1 - cos2 x)2 - 1 + cos2 x =
= 1 - 2 cos2 x + cos4 x - 1 + cos2 x =
= cos4 x - cos2 x
cos x (1 - cos 2x)
cos x - cos 3x
cos x sin 2x
=
=
= sin x cos x
sin x
sin x
sin x
Esta igualdade é válida desde que sin x ! 0 , isto é, para x ! kr, k ! Z .
b)
(1 - sin x) (1 + sin x)
cos 2x
1 - sin 2 x
=
=
= 1 + sin x
1 - sin x
1 - sin x
1 - sin x
Esta igualdade é válida desde que 1 - sin x ! 0 , ou seja, sin x ! 1 .
r
+ 2kr, k ! Z .
Logo, a igualdade é válida para x !
2
3r
m cos x = 1 - cos x cos x = sin2 x
d)1 + sinc x +
2
c)
105
000707 061-105 U4.indd 105
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Avaliação global de conhecimentos
AVALIAÇÃO GLOBAL DE CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Na figura estão representados dois quadrados
[ABCD] e [EFGH] .
que BF = CG = DH = AE = 9 cm ,
pode-se concluir que a área do quadrado [EFGH]
é igual a:
3
cos 30° =
(B) 9 + 3 3
F
H
30º
30º
A
(C) 108
AE
AE
+ HE =
+ HE =
cos
30°
HE
C
30º
30º
Tendo em conta os dados da figura e sabendo
(A) 6
G
D
E
B
(D) 324
9
+ HE =
6 3 cm
u1p90h1
3
2
A opção correta é a (C).
2
A circunferência da figura tem centro em P e os pontos
N e M pertencem-lhe.
XM = 30° .
Sabe-se que NM = 15 cm e PN
N
P
Então, o comprimento da circunferência é:
(A) 5 3
(C) 10 3r
(B) 15r
(D) 75r
15
NM
2
2
cos 30° =
+ PN =
+ PN = 5 3
cos30
°
PN
A opção correta é a (C).
3
Tendo em conta os dados
da figura, a altura da torre é,
aproximadamente, igual a:
(A) 257,77 m
(C) 245,56 m
(B) 256,23 m
(D) 244,52 m
M
u1p90h2
268,5 m
60º
245,5 m
106
000707 106-133.indd 106
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Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Usando o teorema de Carnot:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos a +
+ a2 = 268,52 + 245,52 - 2 × 268,5 × 245,5 × cos 60° +
1
&
+ a2 = 72092,25 + 60270,25 - 131833,5 ×
2
& a = 132362,5 - 65916,75 = 257,771
A opção correta é a (A).
4
Na figura está representado um triângulo [ABC] com dois ângulos
de amplitude a e um ângulo de amplitude b .
B
b
A
a
a
C
Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para qualquer triângulo nestas
condições?
(A) cos b = sin(2a)
(C) cos b = -sin(2a)
u1p90h4
(B) cos b = cos(2a)
(D) cos b = -cos(2a)
Teste intermédio do 11.º ano, 2008
B
b
A
a
a
C
cos b = cos(r - 2a) = -cos(2a)
A opção correta é a (D).
u1p90h4
5
A que quadrante pertence o ângulo generalizado de amplitude -1756° ?
(A) 1.º quadrante
(B) 2.º quadrante
(C) 3.º quadrante
(D) 4.º quadrante
-1756 = -5 × 360 + 44
A opção correta é a (A).
107
000707 106-133.indd 107
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Avaliação global de conhecimentos
6
O valor exato da expressão
sin2 60° + sin 1080° - cos1440°
é:
cos 720° + sin 1800°
(B) 1
(A) -0,25
(C) 1,5
(D) 2
3
+ 0 -1
sin2 60° + sin 1080° - cos1440°
sin2 60° + sin 0° - cos 0°
4
=
=
cos 720° + sin 1800°
cos 0° + sin 0°
1+ 0
A opção correta é a (A).
7
Seja x um valor pertencente a Er,
designa um número real negativo?
3r
; . Qual das expressões seguintes
2
(A) -cos x - sin x
(C) sin x cos x
-cos x
(B)
tan x
(D) sin x - tan x
Como x pertence ao 3.o quadrante, o cosseno, o seno e a tangente de x
são valores negativos.
A opção correta é a (D).
8
Na figura está representada em referencial o.n. xOy a circunferência
trigonométrica.
y
Sabe-se que:
• B e C pertencem à circunferência;
• a reta CD é tangente à circunferência,
paralela a AB e perpendicular a Ox ;
• o ponto A pertence a Ox ;
WB = r
• AO
3
• AB = a
•C
D=b
a+b
Então,
é igual a:
b-a
(A) 2
(B) 3
(C) 2 3
a = sin
r
=
3
r
3
e b = tan =
3
2
3
+
2
D
B
O
p a
}
3
A
b
C
x
(D)
3 3
u1p91h1
3
3 3
2
=
=3
3
3
3 2
2
A opção correta é a (B).
a+b
=
b-a
3
108
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Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
y
B
9
No referencial o.n. xOy da figura estão representados
a circunferência trigonométrica e o triângulo [ABC] .
Sabe-se que:
• A é um ponto da circunferência do 3.o quadrante;
• B tem coordenadas (0, 1) ;
• [AC] é um diâmetro da circunferência;
• i é o ângulo de lado extremidade OoC e de lado
origem o semieixo positivo Ox .
C
u
O
x
A
A área do triângulo [ABC] é, em função de i , igual a:
u1p91h2
1
1
(A) sin i
(B) cos i
(C)
(D)
sin i
2
tan i
Como [AC] é um diâmetro, o triângulo [ABC] é retângulo em B .
Tome-se para base o lado [AB] e para altura o lado [BC] .
Tem-se C(cos i, sin i) e A(-cos i, -sin i) . Logo:
AB =
=
cos 2 i + 1 + 2 sin i + sin 2 i =
BC =
=
Assim:
(0 + cos i)2 + (1 + sin i)2 =
2 + 2 sin i
(0 - cos i)2 + (1 - sin i)2 =
cos 2 i + 1 - 2 sin i + sin 2 i =
2 - 2 sin i
4 - 4 sin 2 i
= cos 2 i + cos i
2
cos i20
1 # cos a
Em alternativa: A[ABC] = 2A[OCB] = 2 ×
= cos a .
2
A opção correta é a (B).
A[ABC] =
2 + 2 sin i # 2 - 2 sin i
=
2
10
Para os valores de x para os quais está definida, a expressão
4 cos3 x - cos x
3 sin x - 4 sin3 x
é igual a:
(A) cos x
(B) tan x
(C)
cos x
sin x
(D)
1
cos x
cos x (4 cos 2 x - 1)
cos x (4 - 4 sin 2 x - 1)
4 cos 3 x - cos x
=
=
=
sin x (3 - 4 sin 2 x)
sin x (3 - 4 sin 2 x)
3sin x - 4 sin 3 x
cos x (3 - 4 sin 2 x)
cos x
=
=
2
sin x
sin x (3 - 4 sin x)
A opção correta é a (C).
109
000707 106-133.indd 109
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Avaliação global de conhecimentos
11
Um pêndulo oscila descrevendo um ângulo de amplitude
r
radianos e um arco de comprimento 11 centímetros.
6
O comprimento do pêndulo é, aproximadamente, igual a:
(A) 18 cm
(B) 19 cm
(C) 20 cm
(D) 21 cm
r
1
2r
r
66
6
+ r =
+ r = r . 21
=
2rr
11
66
A opção correta é a (D).
u1p92h1
12
y
Na figura ao lado, estão representados, num referencial
o.n. xOy , uma circunferência e o triângulo [OAB] .
Sabe-se que:
A
• O é a origem do referencial;
• a circunferência tem centro no ponto O e raio 1 ;
• A é o ponto de coordenadas (-1, 0) ;
• B pertence à circunferência e tem ordenada negativa;
2r
radianos.
• o ângulo AOB tem amplitude igual a
3
Qual é a área do triângulo [OAB] ?
(A)
3
4
(B)
1
2
(C)
1
4
O
x
B
u1p92h2
(D)
3
Exame Nacional do 12.º ano, 2011
Tomando para base o lado [AO] , então, a altura é o valor simétrico
da ordenada de B .
Esta é uma circunferência trigonométrica; logo, a ordenada de B é:
2r
2r
3
n = -sin
=sind r +
3
3
2
3
1#
3
2
=
.
Assim, A[AOB] =
2
4
A opção correta é a (A).
13
Indique qual dos seguintes valores não é período da função real de variável real
f(x) = sin(3x) .
2r
4r
(A)
(B) r
(C)
(D) 2r
3
3
A opção correta é a (B).
110
000707 106-133.indd 110
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Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
14
Seja g uma função de domínio IR e período fundamental 3 , em que se sabe que:
g(x) = x2 / x ! [-1, 2]
O contradomínio de g é:
(A) [1, 4]
(B) [0, 4]
(C) [-1, 4]
(D) [0, 1]
A opção correta é a (B).
15
Considere o conjunto A = &x ! IR: x = cosc
Então, tem-se que:
1
(A) A = '- 1
2
1
(B) A = ' 1
2
r
+ krm, k ! Z0 .
3
(C) A = '-
1 1
, 1
2 2
1 1
, 11
(D) A = '-1, - ,
2 2
A opção correta é a (C).
16
Selecione a proposição falsa.
(A) arcsin
r
1
2
- arcsin
=
12
2
2
(C) sin`arctan_- 3 ij =
(B) arcsin
7r
2
+ arctan 3 =
2
12
(D) tan(arccos 1) = 0
3
2
A opção correta é a (C).
17
Seja b um número real, tal que b = arccosd-
O valor de cos b + sin b é igual a:
1
n.
5
3
19
-1 + 2 6
(C)
(D)
5
25
5
1
Tem-se que cos b = - . Assim:
5
1
24
2
2
+ sin2 b = 1 + sin2 b =
cos b + sin b = 1 +
25
25
2 6
Como b ! [0, r] , sin b =
.
5
1
2 6
Logo, cos b + sin b = - +
.
5
5
A opção correta é a (D).
(A)
-1 - 2 6
5
(B)
111
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Avaliação global de conhecimentos
18
Seja f a função de domínio [-1, 1] definida por f(x) = arcsin x .
Sabe-se que o ponto de coordenadas (y, i) pertence ao gráfico da função f .
Selecione a proposição falsa.
(A) sin(r - i) = y
(C) sin(r + i) = -y
(B) cosc
(D) cosc
r
- im = y
2
3r
+ im = -y
2
Tem-se que i = arcsin y + y = sin i
A opção correta é a (D).
19
No referencial o.n. da figura está
representado o gráfico de uma função f
definida por f(x) = arcsin(x + a) + b ,
em que a e b designam números reais.
y
p
}
2
Sabe-se que Df = [1, 3] e que, tal como
r
O
2,5
a figura sugere, f(2,5) =
.
2
Então, tem-se:
r
r
(A) a = -2 e b =
(C) a = 2 e b =
3
3
r
r
(B) a = -2 e b =
(D) a = 2 e b =
2
2
u1p93h1
f
x
O domínio da função arcsin é [-1, 1] ; logo, a = -2 .
r
r
r
r
+ arcsin(2,5 - 2) + b =
+
+b=
f(2, 5) =
2
2
2
6
A opção correta é a (A).
20
Seja a um número real. Sabe-se que a é uma solução da equação
1
cos x = - .
5
1
Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação cos x =
?
5
(A) -a
(C) 2r - a
r
(B) r + a
(D)
+a
2
A opção correta é a (B).
112
000707 106-133.indd 112
01/07/16 11:48
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
21
De acordo com os dados da figura
determine:
A
a)um valor aproximado às centésimas
23º
da distância entre os dois barcos
^ BC h .
b)a amplitude, em graus, arredondada
às unidades, dos outros dois
ângulos internos do triângulo
[ABC] .
785,5 m
625,5 m
B
C
a)Usando o teorema de Carnot:
a2 = c2 + b2 - 2cb cos a +
+ a2 = 625,52 + 785,52 - 2 × 625,5 × 785,5 × cos 23° +
+ a2 = 391250,25 + 617010,25 - 982660,5 × cos 23° &
& a c 1008260,5 - 904543,76 & a c 322,05 m
b)Usando o teorema de Carnot:
W+
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
W+
+ 625,52 = 322,052 + 785,52 - 2 × 322,05 × 785,5 cos C
W&
+ 391250,25 - 103716,2 - 617010,25 = -505940,55 cos C
W c 0,6512 & C
W c 49°
& cos C
Tem-se que W
B c 180° - (23° + 49°) = 108° .
NOTA:
Pode-se, em alternativa, usar a lei dos senos em ambos os casos.
22
De acordo com os dados da figura seguinte, determine
sin b
.
sin a
3m
b
3 !w3 m
37º
60º
a
113
u1p94h2
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Avaliação global de conhecimentos
Seja a a altura do triângulo. Tem-se que:
sin b
sin 37°
sin a
sin 60°
a = 3 3 e a =
3
Logo:
a # sin 37°
sin b
3
=
= 2 sin 37°
sin a
a # sin 60°
3 3
23
Na figura ao lado está representado um triângulo [ABC] .
sin b
sin c
=
e que
2
5
b = 150 m , determine a medida de c
em metros.
23.1Sabendo que
23.2Determine c , em graus, se:
2
2
2
c =a +b -
C
a
A
b
c
B
3ab
sin b
sin c
= c . Sabe-se que:
b
23.1 Pela lei dos senos,
a
g
b
u1p94h3
sin b
sin b
sin c
sin c
=
+
=
2
150
5
375
Logo, c = 375 m .
23.2 Pelo teorema de Carnot, c2 = a2 + b2 - 2ab cos c .
Assim, cos c =
3
; logo, c = 30° .
2
24
Na figura ao lado está representado o quadrado
[ABCD] de lado 2 .
P
D
Considere um ponto P , que se desloca ao longo
do lado [CD] , nunca coincidindo com o ponto C
nem com o ponto D .
Para cada posição do ponto P , seja x a amplitude,
r r
em radianos, do ângulo BAP e x ! E , ; o .
4 2
C
2
x
A
2
B
Resolva os três itens seguintes, sem recorrer à calculadora, a não ser para
eventuais cálculos numéricos.
u1p94h4
114
000707 106-133.indd 114
01/07/16 11:48
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
24.1Mostre que a área da região colorida é dada por 4 -
2
tan x .
24.2Determine o valor de x para o qual a área da região colorida
é
12 - 2 3
.
3
24.3Para um certo valor de x , sabe-se que cosc x +
r
15
m= .
2
17
Determine, para esse valor de x , a área da região colorida.
Teste Intermédio do 11.º ano, 2010
2
PA'
+ AA' = tan x .
AA'
2
Assim, PC = 2 - tan x .
24.1 Tem-se que tan x =
A[ABCP] =
PC + AB
× CB =
2
C
2
x
c2 - 2 m + 2
tan x
2
=
× 2 = 4 - tan x
2
24.2 A[ABCP] =
P
D
A
B
2 Al
2
12 - 2 3
12 - 2 3
+ 4 - tan x =
+
3
3
u1p94h4
1
+ tan x =
3
+ tan x =
3
24.3 Tem-se que cosc x +
3 & x = 60°
r
15
m = -sin x ; logo, sin x =
.
2
17
Usando a fórmula fundamental da trigonometria:
sin2 x + cos2 x = 1 + 1 +
+1+
1
=
tan 2 x
+ tan2 x =
1
1
=
+
2
tan x
sin 2 x
1
289
1
+1+
=
+
2
2
225
tan x
15
d
n
17
225
64
Como x ! 1.º Q , tan x =
11
15
2
; logo, A[ABCP] = 4 =
.
4
8
15
8
115
000707 106-133.indd 115
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Avaliação global de conhecimentos
25
Mostre que:
sin x
1+ cos x
a)
=
, 6x ! IR\{x: x = kr, k ! Z}
1- cos x
sin x
b) sin4x - cos4x = sin2 x - cos2 x , 6x ! IR
c) cos3x + sin2 x cos x = cos x, 6x ! IR
d) 1 -
r
cos 2 x
= sin x, 6x ! IR\{x: x = - + 2kr, k ! Z}
2
1 + sin x
sin x (1 + cos x)
sin x (1 + cos x)
sin x
=
=
=
1- cos x
(1 - cos x) (1 + cos x)
1 - cos 2 x
sin x (1 + cos x)
1 + cos x
=
=
2
sin x
sin x
Esta expressão está definida desde que:
1 - cos x ! 0 / sin x ! 0 + x ! kr, k ! Z
a)
b)sin4 x - cos4 x = (sin2 x - cos2 x)(sin2 x + cos2 x) = sin2 x - cos2 x
c)cos3 x + sin2 x cos x = cos x(cos2 x + sin2 x) = cos x
(1 + sin x) (1 - sin x)
cos 2 x
1 - sin 2 x
=1=1= sin x
1 + sin x
1 + sin x
1 + sin x
Esta expressão está definida desde que:
r
1 + sin x ! 0 + x ! - + 2kr, k ! Z
2
d)1 -
26
Na figura seguinte estão representadas em referencial ortogonal as restrições
das funções f e g , definidas por f(x) = sin x + 1 e g(x) = cos2 x - sin2 x ,
ao intervalo [0, 2r] .
y
P
Q
O
2p
x
26.1Calcule os zeros da função f × g .
26.2Determine as coordenadas dos pontos de interseção dos dois gráficos.
26.3Os pontos P e Q pertencem,
respetivamente, aos gráficos de f e de g ,
u1p95h1
têm a mesma abcissa e distam de uma unidade. Determine todos os pares
de pontos (P, Q) destes gráficos que gozam da mesma propriedade.
116
000707 106-133.indd 116
01/07/16 11:49
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1
, representando o conjunto solução
2
na forma de intervalo ou união de intervalos de números reais.
26.4Resolva a inequação f(x) >
Adaptado do Caderno de Apoio do 11.º ano
26.1 (f × g)(x) = (sin x + 1)(cos2 x - sin2 x)
(f × g)(x) = 0 + (sin x + 1)(cos2 x - sin2 x) = 0 +
+ sin x + 1 = 0 0 cos2 x - sin2 x = 0 +
r
+ x = - + 2kr, k ! Z 0 sin x = cos x 0 sin x = -cos x +
2
r
r
r
+ x = - + 2kr 0 x =
+k ,k!Z
2
4
2
r
3r
3r
No intervalo [0, 2r] , tem-se as soluções
para k = 0 ,
e
4
2
4
7r
5r
para k = 1 ,
para k = 2 e
para k = 3 .
4
4
26.2 f(x) = g(x) + sin x + 1 = cos2 x - sin2 x +
+ sin x + cos2 x + sin2 x = cos2 x - sin2 x +
+ sin x + 2 sin2 x = 0 + sin x = 0 0 1 + 2 sin x = 0 +
1
+ x = kr, k ! Z 0 sin x = - +
2
r
r
+ x = kr 0 x = - + 2kr 0 x = r +
+ 2kr, k ! Z +
6
6
r
7r
+ x = kr 0 x = - + 2kr 0 x =
+ 2kr, k ! Z
6
6
7r
No intervalo [0, 2r] , tem-se as soluções 0 e
para k = 0 , r
6
11r
para k = 1 e 2r para k = 2 .
e
6
Calcule-se as ordenadas destes pontos:
f(0) = sin 0 + 1 = 1
fc
1
7r
7r
m = sin
+1=
2
6
6
f(r) = sin r + 1 = 1
fd
1
11r
11r
n = sin
+1=
2
6
6
f(2r) = sin 2r + 1 = 1
Assim, as coordenadas dos pontos de interseção são:
(0, 1) ; d
7r 1
11r 1
, n ; (r, 1) ; d
, n e (2r, 1)
2
6 2
6
117
000707 106-133.indd 117
01/07/16 11:49
Avaliação global de conhecimentos
26.3 Tem-se que para os pontos P e Q :
f(x) = g(x) + 1 0 f(x) = g(x) - 1 +
+ sin x + 1 = cos2 x - sin2 x + 1 0 sin x + 1 = cos2 x - sin2 x - 1 +
+ sin x = cos2 x - sin2 x 0 sin x + 2 = cos2 x - sin2 x +
+ sin x = 1 - 2 sin2 x 0 sin x + 2 = 1 - 2 sin2 x +
+ 2 sin2 x + sin x - 1 = 0 0 2 sin2 x + sin x + 1 = 0 +
-1 ! 1 - 4 # 2 # (-1)
-1 ! 1 - 4 # 2 #1
0 sin x =
+
2#2
2#2
1 4 4 4 4 4 Eq.
44impossível
2 4 4 4 4 4 44 3
1
-1 ! 9
+ sin x =
0 sin x = -1 +
+ sin x =
4
2
3r
r
5r
+ 2kr 0 x =
+ 2kr 0 x =
+ 2kr, k ! Z
+ x =
2
6
6
3r
r
5r
No intervalo [0, 2r] , tem-se as soluções
,
e
para k = 0 .
2
6
6
Calcule-se as ordenadas destes pontos:
3
r
r
f c m = sin + 1 =
2
6
6
3
5r
5r
n = sin
fd
+1=
2
6
6
3r
3r
m = sin
fc
+1=0
2
2
Assim, as coordenadas dos pontos P e Q podem ser, respetivamente:
r 3
r 1
3r
3r
5r 3
5r 1
, 0m e c
, -1m
, ned
, n ou c
d , n e d , n ; d
2
2
6 2
6 2
6 2
6 2
1
1
1
26.4 f(x) >
+ sin x + 1 >
+ sin x > 2
2
2
Usando a circunferência trigonométrica, no intervalo [0, 2r] , observa-se que:
1
11r
7r
;,F
, 2rF
sin x > - + x ! ;0,
2
6
6
7r
11r
;,F
C.S. = ;0,
, 2rF
6
6
+ sin x =
27
Simplifique as expressões seguintes:
r
a) sinc
+ x m - cos(-r - x) + cos(3r + x)
2
3r
+ x m + cos(-x)
b) tan(-x) - sinc2
7r
c) sinc
+ x m + sin(9r + x) + cos(x - r)
2
3r
r
+ x m tanc + x m
d) sinc
2
2
118
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01/07/16 11:49
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
a)sinc
r
+ x m - cos(-r - x) + cos(3r + x) = cos x + cos x - cos x = cos x
2
3r
+ x m + cos(-x) = -tan x - cos x + cos x = -tan x
b)tan(-x) - sinc2
7r
+ x m + sin(9r + x) + cos(x - r) =
c)sinc
2
3r
= sinc
+ x m + sin(r + x) - cos x = -cos x - sin x - cos x =
2
= -sin x - 2 cos x
3r
r
cos x
cos2 x
m=
+ xm tanc + xm = -cos x cd)sinc
=
2
2
sin x
sin x
1
1 - sin 2 x
=
=
- sin x
sin x
sin x
28
Determine o valor exato de:
r
2r
5r
n + 3 tan
a) sin
- 2 cosd3
4
4
4r
7r
13r
b) cos
- sin
+ 2 cos
3
6
6
7r
8r
c) sin
- cos(-3r) - tan
4
3
7r
26r
17r
11r
m - sin
n
d) sin c+ 2 sin
+ tan d4
3
4
6
Recorrendo à circunferência trigonométrica:
2r
r
r
5r
r
2
n + 3 tan
a)sin
- 2 cosd=
- 2c-cos m + 3 tancr + m =
3
4
3
4
2
4
1
8+ 2
2
=
- 2 × c- m + 3 × 1 =
2
2
2
4r
7r
13r
b)cos
- sin
+ 2 cos
=
3
6
6
r
r
r
m - sincr + m + 2 cosc 2r + m =
= coscr +
3
6
6
3
3
3
=+
+2×
= 3
2
2
2
2r
7r
8r
r
n=
c)sin
- cos(-3r) - tan
= sinc2r - m - cos r - tand2r +
3
4
4
3
2
2+2 3 - 2
=+1+ 3 =
2
2
7r
26r
17r
11r
m - sin
n=
d)sin c+ 2 sin
+ tan d4
3
4
6
r
r
2r
r
+ tan =
= sin - sin + 2 sin
4
4
3
6
4 3
2
2
3
3
=
+2×
+
=
2
2
2
3
3
119
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Avaliação global de conhecimentos
29
Na figura está representado um cone de revolução.
• A geratriz [VB] mede 2 cm ;
• A amplitude do ângulo CVB é x ;
• [VC] é a altura do cone.
V
x
2 cm
29.1Prove que o volume do cone é dado,
em função de x , por:
r
8r
sin2 x cos x , x ! E0, ;
V(x) =
2
3
29.2Sabendo que b ! E0,
de V(b) .
A
C
B
r
5
; e que tan b = , determine o valor exato
2
2
u1p96h1
29.1 Tem-se que:
VC
CB
+ VC = 2 cos x e sin x =
+ CB = 2 sin x
2
2
r (2 sin x)2 # 2 cos x
rr 2 # a
8r sin 2 x cos x
=
=
V(x) =
3
3
3
4
25
1
1
29.2 1 + tan2 b =
+1+
=
+ cos2 b =
2
2
29
4
cos b
cos b
2 29
r
Como b ! E0, ; , cos b =
.
2
29
sin b
sin b
5
5 29
Tem-se que tan b =
+
=
+ sin b =
.
29
2
cos b
2 29
29
cos x =
8r #
Assim, V(b) =
25
2 29
#
400r 29
29
29
=
.
3
2523
30
Considere a função real de variável real f , de domínio
r
&x ! IR: x !
+ kr, x ! Z0 , definida por:
2
1 - (sin x + cos x)2
f(x) = 1 +
cos x
30.1Mostre que f(x) = 1 - 2 sin x .
30.2Determine uma expressão geral dos zeros de f .
30.3Determine, com denominador racional, o valor exato de
fc
7r
m
6
.
r
fc m
3
120
000707 106-133.indd 120
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Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
30.1 f(x) = 1 +
1 - (sin x + cos x)2
=
cos x
= 1 +
1 - sin 2 x - 2 sin x cos x - cos2 x
=
cos x
= 1 +
-2 sin x cos x
= 1 - 2 sin x
cos x
30.2 f(x) = 0 + 1 - 2 sin x = 0 + sin x =
+ x =
30.3
1
+
2
r
5r
+ 2kr 0 x =
+ 2kr, k ! Z
6
6
fc
7r
7r
m
1
2
sin
1+2#
6
6
=
=
r
r
1 - 2 sin
fc m
1-2#
3
3
=
2+2 3
= -1 1-3
1
2
2
=
=
3
1- 3
2
3
31
Determine:
a) sin(arctan 1)
b) tanfarccosd-
c) coscarcsin
2
np
3
a)sin(arctan 1) = sin
b)Seja arccosd-
1
m
6
d) tanfarccos(-1) + arcsind-
r
=
4
5
np
12
2
2
2
2
n = y . Então, cos y = - e y pertence ao 2.º quadrante.
3
3
Calcule-se o valor exato de tan y :
5
1
1
+ 1 + tan2 y =
+ tan2 y =
1 + tan2 y =
2
4
4
cos y
9
5
Como y ! 2.º Q , tan y = .
2
1
1
c)Seja arcsin
= y . Então, sin y =
e y pertence ao 1.º quadrante.
6
6
Calcule-se o valor exato de cos y :
cos2 y + sin2 y = 1 + cos2 y +
Como y ! 1.º Q , cos y =
1
35
= 1 + cos2 y =
36
36
35
.
6
121
000707 106-133.indd 121
01/07/16 11:49
Avaliação global de conhecimentos
d)tanfarccos(-1) + arcsind-
= tanfarcsind-
Seja arcsind-
5
np
12
5
5
np = tanfr + arcsind- np =
12
12
5
5
n = y . Então, sin y = e y pertence ao 4.º quadrante.
12
12
Calcule-se o valor exato de tan y :
1
1
+1=
+
2
tan y
sin 2 y
25
1
1
+1=
+ tan2 y =
+
119
25
tan 2 y
144
cos2 y + sin2 y = 1 +
Como y ! 4.º Q , tan y = -
5 119
.
119
32
No referencial o.n. da figura estão
representados o gráfico da função f ,
tal que f(x) = arccos x ,
o triângulo [ABC] e a reta r.
Sabe-se que:
• C é o ponto do gráfico de f
de abcissa -1 ;
• B é o ponto de interseção do gráfico
de f com a reta r ;
r
;
• r é a reta de equação y =
3
• A é o ponto da reta r de abcissa -2 .
y
C
f
r
A
-2
B
-1
O
x
32.1Determine tan
e fc
1
1
mo + f c- m .
4
2
32.2Calcule a área do triângulo [ABC] .
32.3Mostre que tan2[f(x)] =
32.1 tane f c
u1p96h2
1- x2
, 6x ! Df\{0} .
x2
1
1
1
1
mo + f c- m = tandarccos n + arccosc- m =
2
4
4
2
= tandarccos
Seja arccosc
1
2r
n+
4
3
1
1
m = y . Então, cos y =
e y pertence ao 1.º quadrante.
4
4
122
000707 106-133.indd 122
01/07/16 11:49
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Calcule-se o valor exato de tan y :
1
+ 1 + tan2 y =
1 + tan2 y =
cos 2 y
Como y ! 1.º Q , tan y = 15 .
Assim, tandarccos
1
+ tan2 y = 15
1
16
1
2r
2r
n+
= 15 +
.
4
3
3
32.2 Tem-se f(-1) = arccos(-1) = r ; logo, a ordenada de C é igual a r
e a altura do triângulo é r -
r
2r
=
.
3
3
Calcule-se a abcissa de B :
r
r
r
1
+ arccos x =
+ x = cos =
f(x) =
3
3
3
2
1
5
Assim, a base do triângulo mede
+2=
.
2
2
Logo:
5
2r
#
AB # h
5r
2
3
=
=
A[ABC] =
2
2
6
32.3 tan2[f(x)] = tan2[arccos x]
Seja arccos x = y . Então, cos y = x .
Calcule-se o valor exato de tan2 y :
1
1 - x2
1
+ 1 + tan2 y = 2 + tan2 y =
1 + tan2 y =
2
cos y
x
x2
Esta expressão só faz sentido para valores não nulos pertencentes
ao domínio de f .
33
Um ponto C desloca-se sobre uma
semicircunferência de diâmetro [AB]
e centro O .
C
d (x)
Considere que o comprimento do segmento
[AC] , em função da amplitude x do ângulo
B
AOC , é dado por:
x
d(x) = 2 sinc m , x ! [0, r]
2
x
O
A
u1p97h1
Determine:
a)OA
b)o valor de x para o qual d(x) =
3.
c)os valores entre os quais varia o perímetro do triângulo [AOC] .
123
000707 106-133.indd 123
01/07/16 11:49
Avaliação global de conhecimentos
a)Tem-se que d(r) = AB + AB = 2 sinc
Em alternativa:
x
DA
+ OA =
sinc m =
2
OA
r
m = 2 . Logo, OA = 1 .
2
C
DA
+ OA = 1
x
c
m
sin
2
d(x)
x
x
B
m= 3 +
2
r
2r
x
x
+
=
+ 2kr 0
=
+ 2kr, k ! Z +
3
3
2
2
2r
4r
+x=
+ 4kr 0 x =
+ 4kr, k ! Z
3
3
2r
A única solução pertencente ao intervalo [0, r] é
.
3
b) d(x) =
3 + 2 sinc
D
O
A
u1p97h1
c) P[AOC] = OA + OC + CA
Tem-se que OA = OC = 1 e 0 < CA < 2 ; logo, o perímetro pertence
ao intervalo ]2, 4[ .
34
Resolva, em IR , as equações seguintes.
a)4 sin(2x) =
8
b)coscrx +
r
1
m=
3
2
r
1
m= c)sinc x +
4
2
g)cos2 x + 2 = cos x
h)2 sin2 x = 1 + cos x
i)sin2 x - cos2 x = 0
d)tan2(2x) = 3
j)tan x + 2 sin x = 0
e)sin x - 2 sin x cos x = 0
k)sinc x +
f) 12 + 2 tan(2rx) = 0
l)(1 - tan2 x)_2 cos x +
r
x
m = cosc m
4
3
3i = 0
2
+
2
r
3r
+ 2x =
+ 2kr 0 2x =
+ 2kr, k ! Z +
4
4
r
3r
+x=
+ kr 0 x =
+ kr, k ! Z
8
8
r
3r
C.S. = &x: x =
+ kr 0 x =
+ kr, k ! Z0
8
8
a)4 sin(2x) =
8 + sin(2x) =
124
000707 106-133.indd 124
01/07/16 11:49
Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
b)coscrx +
r
1
m=
+
3
2
r
r
r
r
=
+ 2kr 0 rx +
= - + 2kr, k ! Z +
+ rx +
3
3
3
3
2
+ x = 2k 0 x = - + 2k, k ! Z
3
2
C.S. = &x: x = 2k 0 x = - + 2k, k ! Z0
3
1
r
m =- +
c)sinc x +
4
2
r
r
r
7r
=
+ 2kr 0 x +
= - + 2kr, k ! Z +
+x+
4
4
6
6
11r
5r
+x=
+ 2kr 0 x = + 2kr, k ! Z
12
12
11r
5r
+ 2kr 0 x = + 2kr, k ! Z0
C.S. = &x: x =
12
12
d)tan2(2x) = 3 + tan(2x) = ! 3 +
r
r
+ 2x =
+ kr 0 2x = - + kr, k ! Z +
3
3
r
r
r
r
+k 0x=- +k ,k!Z
+x=
2
2
6
6
r
r
r
r
+ k 0 x = - + k , k ! Z0
C.S. = &x: x =
2
2
6
6
e)sin x - 2 sin x cos x = 0 + sin x (1 - 2 cos x) = 0 +
1
+ sin x = 0 0 cos x =
+
2
r
r
+ 2kr 0 x = - + 2kr, k ! Z
+ x = kr 0 x =
3
3
r
r
+ 2kr 0 x = - + 2kr, k ! Z0
C.S. = &x: x = kr 0 x =
3
3
f) 12 + 2 tan(2rx) = 0 + tan(2rx) = - 3 +
r
1
k
+ 2rx = - + kr, k ! Z + x = - + , k ! Z
3
2
6
1
k
C.S. = &x: x = - + , k ! Z0
2
6
g)cos2 x + 2 = cos x + cos2 x - cos x + 2 = 0 +
+ cos x =
C.S. = Q
1!
1-4#1#2
+x!Q
2#1
h)2 sin2 x = 1 + cos x + 2(1 - cos2 x) = 1 + cos x +
1 - 4 # (-2) # 1
+
2 # (-2)
1! 9
1
+ cos x = + cos x = -1 0 cos x =
+
4
2
r
r
+ 2kr 0 x = - + 2kr, k ! Z
+ x = (2k + 1)r 0 x =
3
3
r
r
C.S. = &x: x = (2k + 1)r 0 x =
+ 2kr 0 x = - + 2kr, k ! Z0
3
3
+ 1 - 2 cos2 x - cos x = 0 + cos x =
1!
125
000707 106-133.indd 125
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Avaliação global de conhecimentos
i)sin2 x - cos2 x = 0 + sin2 x - (1 - sin2 x) = 0 + sin2 x =
1
+
2
r
r
2
+x=
+k ,k!Z
4
2
2
r
r
C.S. = &x: x =
+ k , k ! Z0
4
2
sin x
j)tan x + 2 sin x = 0 +
cos x + 2 sin x = 0 +
1
1
+ sin x c cos x + 2 m = 0 + sin x = 0 0 cos x + 2 = 0 +
1
+ x = kr, k ! Z 0 cos x = - +
2
2r
2r
+ 2kr 0 x = + 2kr, k ! Z
+ x = kr 0 x =
3
3
2r
2r
+ 2kr 0 x = + 2kr, k ! Z0
C.S. = &x: x = kr 0 x =
3
3
r
r
x
r
x
m = cosc m + cosf - c x + mp = cosc m +
k)sinc x +
4
2
4
3
3
r
x
m = cosc m +
+ cosc- x +
4
3
r
r
x
x
=
+ 2kr 0 -x +
= - + 2kr, k ! Z +
+ -x +
4
4
3
3
r
r
4x
2x
= - + 2kr 0 = - + 2kr, k ! Z +
+4
4
3
3
r
3r
3r
+ 3k 0 x =
+ 3kr, k ! Z
+x=
2
8
16
r
3r
3r
C.S. = &x: x =
+ 3k 0 x =
+ 3kr, k ! Z0
2
8
16
+ sin x = !
l)(1 - tan2 x)(2 cos x +
3) = 0 +
2
+ 1 - tan x = 0 0 2 cos x +
+ tan x = !1 0 cos x = -
3 =0+
3
+
2
r
r
5r
5r
+k 0x=
+ 2kr 0 x = + 2kr, k ! Z
4
2
6
6
r
r
5r
5r
+k 0x=
+ 2kr 0 x = + 2kr, k ! Z0
C.S. = &x: x =
4
2
6
6
+x=
35
Resolva cada uma das condições seguintes.
a)sin2 x = cos x / x ! [0, 2r]
b)cos x = sin(2x) / x ! <c)0 < sin x <
5r r
, F
2 2
1
/ x ! [-r, r]
2
126
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Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
a)sin2 x = cos x + 1 - cos2 x - cos x = 0 +
+ cos x =
1!
1 - 4 # (-1) # 1
+
2 # (-1)
1- 5
1+ 5
0 cos x = + cos x =2
2
>
Eq. impossível
No intervalo [0, 2r] :
C.S. = *arccose
5 -1
o, 2r - arccose
2
5 -1
o4
2
b)cos x = sin(2x) + sinc
r
- x m = sin(2x) +
2
r
r
+
- x = 2x + 2kr 0
- x = r - 2x + 2kr, k ! Z +
2
2
r
r
+ 2kr, k ! Z +
+ -3x = - + 2kr 0 x =
2
2
r
r
r
+ 2k 0 x =
+ 2kr, k ! Z
+x=
3
2
6
No intervalo <-
5r r
, F:
2 2
r
r
C.S. = &x: x =
+ 2k , k ! {-4, -3, -2, -1, 0} 0
3
6
r
+ 2kr, k ! {-1, 0}0
0x=
2
c)Usando a circunferência trigonométrica verifica-se que, no intervalo
[-r, r] :
1
r
5r
+ x ! E0, ; , F
0 < sin x <
, r<
2
6
6
C.S. = E0,
r
5r
;,F
, r<
6
6
y
36
Na figura estão representados,
em referencial o.n. direto,
uma circunferência de raio 2
e o quadrado [ABCD] .
Sabe-se que as semirretas OoA e OoB
são os lados extremidade dos ângulos
de lado origem coincidente com o semieixo
positivo Ox e amplitude, em radianos,
3r
- a , respetivamente.
a e
2
A
3p 2 a
}
2
a
O
x
B
D
C
127
000707 106-133.indd 127
u1p97h2
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Avaliação global de conhecimentos
36.1Mostre que a área do quadrado é dada, em função de a , por:
A(a) = 8 + 16 sin a cos a , a ! ;0,
3r
E
4
2r
36.2Determine o valor exato da área do quadrado para a =
.
3
3
36.3Sabendo que a equação reduzida da reta OA é y =
x , determine
4
as coordenadas de A e de B , e o perímetro do quadrado [ABCD] .
36.1 As coordenadas de A e B são, respetivamente, (2 cos a, 2 sin a)
e f2 cosc
Assim:
AB =
3r
3r
- a m, 2 sinc
- a mp .
2
2
e 2 cos c
2
(-2 sin a - 2 cos a)2 + (-2 cos a - 2 sin a)2
=
2 (-2 sin a - 2 cos a)2 =
=
2
3r
3r
- a m - 2 cos a o + e 2 sin c
- a m - 2 sin a o =
2
2
= 3r
a ! =0,
4
G
2 -2 sin a - 2 cos a =
= 2 2 (sin a + cos a)
Logo:
A(a) = 72 2 (sin a + cos a)A 2 =
= 8(sin2 a + 2 sin a cos a + cos2 a) = 8 + 16 sin a cos a
36.2 Ad
2r
1
2r
2r
3
n = 8 + 16 sin
cos
= 8 + 16 ×
× c- m =
3
2
2
3
3
=8-4 3
36.3Substituindo as coordenadas de A na equação reduzida da reta AO , vem:
2 sin a =
Assim:
sin a
3
3
3
× 2 cos a + cos a =
+ tan a =
4
4
4
1
1
16
9
+1+
=
+ cos2 a =
16
25
cos2 a
cos2 a
4
Como A ! 1.º Q , cos a =
.
5
Tem-se ainda que:
sin a
3
3
sin a
tan a = cos a +
=
+ sin a =
4
4
5
5
8 6
6
8
Logo, Ad , n e Bd- , - n .
5 5
5
5
Por 36.1, tem-se que:
3
4
14 2
AB = 2 2 (sin a + cos a) = 2 2 d + n =
5
5
5
14 2
56 2
Logo, P[ABCD] = 4 ×
=
.
5
5
1 + tan2 a =
128
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Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 2
I
Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Dois lados de um terreno triangular medem,
respetivamente, 120 e 180 metros e o ângulo
formado pelos dois lados é 47° .
120
47º
180
O perímetro, do terreno triangular, arredondado às unidades de metro, é:
(A) 431
(B) 432
(C) 433
(D) 434
u1p98h1
Usando o teorema de Carnot:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos a +
+ a2 = 1202 + 1802 - 2 × 120 × 180 cos 47° +
+ a2 = 46 800 - 43 200 cos 47° +
+ a2 = 46 800 - 43 200 cos 47° & a c 132 m
Assim, P c 120 + 180 + 132 = 432 m
A opção correta é a (B).
2
y
Na figura está representada a circunferência
trigonométrica.
Sabe-se que:
• a reta r é tangente à circunferência no ponto
A(1, 0) ;
• a reta s passa na origem do referencial e interseta
a reta r no ponto P cuja ordenada é 2 ;
• o ponto Q , situado no 3.o quadrante, pertence
à reta s .
2
P
s
a
A
x
O
Q
r
Seja a a amplitude, em radianos, do ângulo orientado, assinalado na figura,
que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade
a semirreta OQ .
Qual é o valor a , arredondado às centésimas?
(A) 4,23
(B) 4,25
(C) 4,27
u1p98h2
(D) 4,29
Adaptado do Teste Intermédio do 11.º ano, 2011
a = arctan 2 + r
A opção correta é a (B).
129
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preparação para o teste 2
3
O valor de cos(arcsin 1) - tanfarcsine(B) 0
(A) -1
arcsin 1 =
logo, cos
2
op é:
2
(C) 1
(D) 2
r
r
2
o=- ;
e arcsine2
2
2
r
r
= 0 e tanc- m = -1 .
2
2
A opção correta é a (C).
4
Considere a função f , real de variável real, de domínio E0,
r
; , definida por:
2
1
f(x) = sin x cos x ctan x + tan x m
Pode-se afirmar que f(x) é igual a:
(A) sin x + cos x
(B) 1
(C) 2
(D) sin x cos x
sin x
cos x
n = sin2 x + cos2 x = 1
sin x cos x d cos x +
sin x
A opção correta é a (B).
5
Indique em qual dos seguintes intervalos a equação sin x = -0,1
tem uma, e uma só, solução.
(A) ]-r, 0[
(B) E0,
r
;
2
(C)
F
r 5r
<
,
2 4
(D)
F
5r 7r
<
,
4
4
A opção correta é a (C).
130
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Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
II
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
1
Considere a função f , real de variável real, definida por:
11r
r
+ cos(r - x) - sinc x + m
2
4
1.1Mostre que f(x) = -1 - 2 cos x .
f(x) = tan
1.2Justifique que f é par.
1.3Determine o contradomínio de f e uma expressão geral dos maximizantes
de f .
1.4Sabendo que tan a = -
de ^f(a + 3r)h2 .
1.1 f(x) = tan
5
/ a ! ]-r, 0[ , determine o valor exato
12
r
11r
m=
+ cos(r - x) - sinc x +
2
4
3r
- cos x - cos x = -1 - 2 cos x
4
1.2Tem-se que Df = IR ; logo, -x ! Df sempre que x ! Df .
= tan
f(-x) = -1 - 2 cos(-x) = -1 - 2 cos x = f(x) ; logo, f é par.
1.3 Tem-se que:
-1 G cos x G 1 + -2 G -2 cos x G 2 + -3 G -1 - 2 cos x G 1
Logo, Dlf = [-3, 1] .
Os maximizantes de f são os valores de x para os quais cos x = -1 ,
ou seja, x = (2k + 1)r, k ! Z .
1.4Tem-se que:
1
1
25
+1+
=
+
144
cos 2 a
cos 2 a
144
+ cos2 a =
169
Como a ! ]-r, 0[ , e a tangente tem um valor negativo, tem-se que
r
12
.
a ! E- , 0 ; ; logo, cos a =
2
13
Assim:
1 + tan2 a =
^f(a + 3r)h2 = 7-1 - 2 cos(a + 3r)A 2 = (-1 + 2 cos a)2 =
= d- 1 + 2 #
12
121
n =
13
169
2
131
000707 106-133.indd 131
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preparação para o teste 2
2
Sabe-se que a figura ao lado representa
uma circunferência de raio 2 , em que:
• P e R pertencem à circunferência, sendo P
simétrico de R relativamente à origem;
• [QR] é paralelo a Ox ;
r
• a ! E- , 0;
2
r
• i ! E , r;
2
y
P
u
O
x
a
Q
R
2.1Suponha que a ordenada de P é 1 e determine i .
2.2Considere g(a) a função que define a área do triângulo [PQR]
u1p99h2
r
em função de a e a ! E- , 0; o .
2
2.2.1Mostre que g é definida por g(a) = -4 sin a cos a .
2.2.2Determine o valor exato de gfarcsind-
3
np .
5
2.2.3Seja h a função de domínio IR definida por:
h(x) = -4 sin x cos x
Determine uma expressão geral dos zeros de h .
2.1 Como P tem ordenada 1 , então, i é tal que:
1
+
2
r
5r
+i=
+ 2kr 0 i =
+ 2kr, k ! Z
6
6
r
5r
Como i ! ; , rE , tem-se i =
.
2
6
2 sin i = 1 + sin i =
2.22.2.1Tome-se para base o lado [QR] ; então, o comprimento da base
coincide com a abcissa de R , que é 2 cos a .
A altura correspondente mede -4 sin a .
Assim:
g(a) =
QR # h
2 cos a (-4 sin a)
=
=
2
2
= -4 sin a cos a
132
000707 106-133.indd 132
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Domínio 1 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
2.2.2 Seja y = arcsind-
r
3
3
n , então, sin y = - e y ! ;- , 0E .
2
5
5
Usando a fórmula fundamental da trigonometria:
9
+ cos2 y = 1 +
sin2 y + cos2 y = 1 +
25
16
+ cos2 y =
25
4
Logo, cos y =
.
5
Assim:
g(y) = -4 sin y cos y =
= -4 × d-
3
4
48
n×
=
5
5
25
2.2.3 h(x) = 0 + -4 sin x cos x = 0 +
+ sin x = 0 0 cos x = 0 +
r
+ x = kr 0 x =
+ kr, k ! Z +
2
kr
,k!Z
+ x =
2
3
Resolva em [-r, 2r] :
2 cos x - 1 < 0 / sin x G 0
Recorrendo à circunferência trigonométrica, observa-se que no intervalo
[-r, 2r] :
2 cos x - 1 < 0 + cos x <
1
r 5r
r
<
+ x ! ;- r, - ; , F ,
3 3
3
2
sin x G 0 + x ! [-r, 0] , [r, 2r]
Assim, fazendo a interseção destes dois conjuntos, obtém-se como solução:
x ! ;-r, -
5r
r
<
; , Fr,
3
3
133
000707 106-133.indd 133
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UNIDADE
5
Declive e inclinação
de uma reta
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
Tarefa 1
Na figura está representada, num referencial o.n. xOy , a reta AB , em que A e B
têm coordenadas (0, 2) e (4, 0) , respetivamente.
1.1
Determine a equação reduzida da reta AB .
y
1.2
Determine a amplitude do ângulo OBA .
A
Apresente o resultado em graus,
aproximado às unidades.
1.3Considere a reta r , paralela a AB ,
que passa na origem do referencial,
e um ponto P dessa reta de ordenada positiva.
O
B
x
Determine, em graus, a amplitude do ângulo convexo formado pelo
semieixo positivo Ox e a semirreta OoP .
Apresente o resultado em graus, aproximado às unidades.
1.1As coordenadas do vetor AB = B - A são (4, -2) ; logo,
m =
u2p102h1
-2
1
=- .
4
2
Assim sendo, a reta AB é dada por y = -
1
x+2.
2
1.2Tem-se OA = 2 e OB = 4 .
W )=
Então, tan(OBA
2
1
W c 27° .
=
, donde OBA
4
2
1.3O ângulo pretendido tem de amplitude 180° - 27° = 153° .
No referencial o.n. da figura estão representadas
duas retas r e s .
1
y
s
r
A reta s tem equação x = 1 .
1.1
Indique a amplitude do menor ângulo
formado pelas retas r e s .
70º
O
1
x
1.2
Determine a amplitude do ângulo que
a reta r forma com o eixo Oy .
134
000707 134-139 U5.indd 134
u2p102h4
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
5
1.1Os ângulos formados pelas retas r e s têm amplitudes 90° - 70° = 20°
e 90° + 70° = 160° . Portanto, a amplitude do menor ângulo formado
pelas retas r e s é igual a 20° .
1.2A amplitude é de 20°.
2
Considere, num referencial ortonormado, a reta r de equação y = 2x .
Determine um valor aproximado às décimas do grau da inclinação da reta r .
Seja a a inclinação da reta r . O ponto (1, 2) pertence à reta r , então,
2
tan a =
, donde a c 63,4° .
1
Determine a inclinação das retas que num referencial ortonormado são
definidas por:
3
a)(x, y) = (2, -3) + k(-4, 4), k ! IR
3y = 4
b) x +
c) 2x + y = 1
Apresente o valor aproximado às décimas de grau.
a) O declive desta reta é dado por m =
dos quadrantes pares.
4
= -1 ; logo, é paralela à bissetriz
-4
Portanto, a inclinação da reta é 90° + 45° , ou seja, 135° .
3y = 4 + y = -
b) x +
1
x+
3
4
+
3
4 3
3
x+
3
3
Esta reta interseta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas
+ y =-
e 0,
4 3
o e (4, 0) .
3
Assim, a inclinação, a , da reta é tal que:
4 3
3
+ -tan a =
tan(180° - a) =
4
3
+
3
3
3
Como 0° G a < 180° , conclui-se que a = 150° .
+ tan a = -
135
000707 134-139 U5.indd 135
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Declive e inclinação de uma reta
c) 2x + y = 1 + y = -2x + 1
Esta reta interseta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas (0, 1)
1
e c , 0m .
2
Assim, a inclinação, a , da reta é tal que:
1
+ -tan a = 2 +
tan(180° - a) =
1
2
+ tan a = -2
Como 0° G a < 180° , conclui-se que a c 116,6° .
4
Considere, num referencial o.n., a reta de inclinação 135° e que passa
no ponto de coordenadas (2, -3) .
Determine a sua equação reduzida.
Seja m o declive da reta.
Então:
m = tan 135° = -tan 45° = -1
Logo, a equação reduzida da reta é da forma y = -x + b , e como (2, -3)
pertence à reta, tem-se:
-3 = -2 + b + b = -1
Portanto, a equação reduzida da reta é:
y = -x - 1
5
Determine a inclinação das retas que num referencial ortonormado são
definidas por:
a)(x, y) = (2, 3) + k(-2, 0), k ! IR
b) y = x + 1
c) y =
3x + 2
a) O declive desta reta é igual a 0 ; logo, a reta é horizontal.
Portanto, a inclinação da reta é 0° .
b) Esta reta tem inclinação 45° , pois o seu declive é 1 ( tan 45° = 1 ) .
c)Esta reta tem inclinação 60° , pois o seu declive é igual a
e tan 60° =
3
3.
136
000707 134-139 U5.indd 136
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
No referencial o.n. xOy da figura estão
representadas duas retas, r e s .
6
y
Sabe-se que:
• a reta r é definida pela equação
y = 2x - 1 ;
• as retas r e s são perpendiculares e
intersetam-se no ponto de coordenadas (2, 3) ;
• a é a inclinação da reta s .
5
r
s
3
a
O
x
2
6.1
Determine o valor exato de sin(r + a) - cos a .
6.2Determine a equação reduzida da reta s .
u2p104h3
6.1Seja b a inclinação da reta r . Então:
b=r-
r
r
- (r - a) = a +
2
2
Por outro lado:
r
m= 2 +
tan b = 2 + tanca +
2
sin ca +
r
m
2
=2+
r
m
cos ca +
2
1
-cos a
= 2 + tan a = 2
sin a
Sabe-se também que:
1
1
1 2
c
m =
+
1
+
+
1 + tan2 a =
2
2
cos a
cos 2 a
+
4
2 5
+
cos a = 5 90° 1 a 1180°
5
Pela fórmula fundamental da trigonometria:
4
+
sin2 a = 1 - cos2 a + sin2 a = 1 5
1
5
+ sin2 a =
+ sin a =
5 0° 1 a 1180°
5
Portanto:
sin(r + a) - cos a = -sin a - cos a =
+ cos2 a =
=-
2 5
5
o=
- e5
5
5
5
6.2Pela alínea anterior, sabe-se que o declive da reta s é -
1
, já que
2
1
.
2
1
×2=4.
Assim, a ordenada na origem da reta s é dada por b = 3 +
2
1
Logo, a equação reduzida da reta s é y = - x + 4 .
2
tan a = -
137
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Declive e inclinação de uma reta
No referencial o.n. xOy da figura estão
representadas duas retas, r e s .
Tarefa 2
r
y
s
Sabe-se que:
3
• a reta r é definida pela equação
(x, y) = (0, -1) + k(1, 1), k ! IR ;
• a reta s é perpendicular à reta r e
passa no ponto de coordenadas (0, 3) .
2.1
Determine a inclinação da reta r .
x
O
2.2
Determine a equação reduzida da reta s .
2.3
Calcule as coordenadas do ponto de interseção das retas r e s .
u2p105h1
2.1Um vetor diretor da reta r é (1, 1) ; logo, o declive é m = 1 .
Sendo a a inclinação, tem-se que tan a = 1 e, portanto, a = 45° .
2.2O declive da reta s é dado por ms = tan(45° + 90°) = -tan(45°) = -1 .
Logo, a equação reduzida da reta s é y = -x + 3 , pois a ordenada
na origem é 3 .
2.3O ponto de interseção das duas retas é dado pela solução do seguinte
sistema, em que a primeira equação é a equação reduzida da reta r
com ordenada na origem -1 e declive 1 (por 2.1).
-x + 3 = x - 1
y = x-1
x=2
+(
+*
———
y =-x + 3
y=1
O ponto de interseção tem coordenadas (2, 1) .
*
7
No referencial o.n. da figura estão representadas duas retas, r e t ,
e uma circunferência.
Sabe-se que:
• a circunferência tem equação x2 + y2 = 1 ;
2r
rad ;
• a inclinação da reta r é
3
• a reta t tem equação x = 1 ;
• o ponto A pertence ao eixo das abcissas;
• o ponto B tem coordenadas (1, 0) ;
• C é o ponto de interseção das retas r e t ;
• D é o ponto de interseção da circunferência
com a reta r , com abcissa positiva;
• os pontos A e D têm a mesma abcissa.
Determine a área do trapézio [ABCD] .
138
000707 134-139 U5.indd 138
r
y
t
A
B
x
O
D
C
u2p105h3
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
5
Determine-se a equação reduzida da reta r :
2r
=- 3 .
O declive de r é tan
3
Como a reta r passa na origem do referencial, a equação reduzida da reta r
é y = - 3x .
Determine-se as coordenadas do ponto D :
*
x 2 + (- 3 x)2 = 1
x2 + y2 = 1
+)
+
———
y =- 3 x
1
1
x=
2
x =
4 +
+*
x20
———
y =-
*
2
Portanto, De
3
2
1
3
o.
,2
2
Determine-se as coordenadas do ponto C :
*
x=1
x=1
+*
y =- 3 x
y =- 3
Portanto, C^1, - 3 h .
Assim, a área do trapézio [ABCD] é dada por:
BC + AD
A[ABCD] =
× AB =
2
3+
2
3
2
#
1
=
2
3 3
3 3
2
=
=
u. a.
4
8
139
000707 134-139 U5.indd 139
01/07/16 12:07
UNIDADE
6
produto escalar
de vetores
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
6.1 Definição e aplicações
Num referencial o.n. xOy , a reta r tem equação y = -3x + 1 .
1
Determine a equação reduzida da reta s , perpendicular a r e que passa
no ponto de coordenadas (-4, -1) .
Como o declive da reta r é igual a -3 , tem-se que o declive da reta s
1
é igual a
.
3
1
1
Assim, a ordenada na origem da reta s é dada por b = -1 - × (-4) = .
3
3
1
1
Logo, a equação reduzida da reta s é y = x +
.
3
3
No referencial o.n. da figura, a reta t é
perpendicular a [AB] , em que A e B têm
coordenadas (-6, 2) e (5, 6) , respetivamente.
2
y
B
6
A reta t interseta o eixo das abcissas no ponto
de abcissa 3 .
A
2.1
Determine a equação reduzida da reta t .
26
2
O
3
5
x
t
2.2
Seja a a inclinação da reta AB .
Determine cos a .
2.3
Escreva uma condição que defina a região colorida da figura.
u2p106h3
2.4
Determine as coordenadas do ponto de interseção das retas t e AB .
2.1O declive da reta que passa pelos pontos A e B é dado por
4
11
6-2
=
; portanto, o declive da reta t é mt = .
11
4
5+6
11
33
Assim, a ordenada na origem da reta t é igual a b = 0 +
×3=
.
4
4
11
33
Logo, a equação reduzida da reta t é y = - x +
.
4
4
m AB =
140
000707 140-175 U6.indd 140
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
4
2.2A inclinação, a , da reta AB é tal que tan a =
.
11
Então:
1
1
4 2
c
m =
1 + tan2 a =
+
1
+
+
11
cos 2 a
cos 2 a
cos2 a =
121
137
+
0° 1 a 1 90°
+ cos a =
6
11 137
137
2.3Determine-se a equação reduzida da reta AB :
4
; logo, a equação reduzida da reta AB
Sabe-se, por 2.1, que m AB =
11
4
é da forma y =
x+b.
11
Substituindo as coordenadas do ponto A , obtém-se:
46
4
b=2× (-6) =
11
11
46
4
Assim, y =
x+
.
11
11
Portanto, a condição que define a região colorida da figura é:
46
4
11
33
x+
/yH- x+
/yH0/x<5
yG
11
11
4
4
4
46
4
46
11
33
y=
x+
11
11
x+
=x+
11
4
4 +
2.4
+ * 11
11
33
———
y =x+
4
4
179
x=
137
16x + 121x = 363 - 184
+
+
+ (
———
11
179
33
y =#
+
4
137
4
179
x=
137
+
638
y=
137
179 638
n.
,
O ponto de interseção das retas t e AB tem coordenadas d
137 137
*
*
*
3
Considerando como unidade de comprimento o lado da quadrícula, determine u $ v .
a)
b)
c)
u
u
u
v
a)u $ v = 2 × 3 = 6
u2p107h3
000707 140-175 U6.indd 141
v
b) u $ v = -1 × 2 = -2
u2p107h4
v
c) u $ v = -1 × 2 = -2
u2p107h5
141
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produto escalar de vetores
Considere o retângulo representado na figura ao lado.
4
D
C
A
B
Prove que:
BA $ BD = AB
2
A projeção ortogonal do ponto D na reta AB é o ponto A ; logo:
2
2
BA $ BD = BA × BA = BA = AB = AB
2
u2p108h3
Na figura está representado um paralelepípedo
retângulo, em que na unidade de comprimento
fixada AB = 6 , BC = 5 e CG = 4 .
5
H
G
4
F
E
D
Determine:
C
5
a) AB $ AF
A
b) AB $ DC
B
6
c) FB $ FG
d) AD $ GF
u2p109h3
a)AB $ AF = 6 × 6 = 36
b)AB $ DC = 6 × 6 = 36
c)FB $ FG = 4 × 0 = 0
d)AD $ GF = -5 × 5 = -25
6
Determine o produto escalar de u e v em cada caso:
a) u = 3 e
v =2
b) u = 3,2 e
v = 1,5
v
30º
u
u2p110h4
a) u $ v = u
b) u $ v = u
v
2p
}
3
u
v cos_u T v i = 3 × 2 × cos 30° = 6 ×
v cos_u T v i = 3,2 × 1,5 × cos
3
=3 3
2
u2p110h5
2r
r
= 3,2 × 1,5 × c-sin m =
3
6
= 3,2 × 1,5 × (-0,5) = -2,4
142
000707 140-175 U6.indd 142
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
H
Considere o cubo [ABCDEFGH] de aresta 3 ,
representado na figura.
7
E
6
G
F
Indique, utilizando letras da figura, dois vetores
cujo produto escalar seja igual a:
a) 9
c) 0
b) 18
d) -18
D
A
C
B
3
a) Por exemplo, AB e DC .
u9p96ha
b) Por exemplo, AB e 2DC .
c) Por exemplo, AB e AE .
d) Por exemplo, AB e 2CD .
Na figura está representado um tetraedro regular
[ABCD] , em que AB = 5 .
8
B
Determine:
D
a) AB $ BC
A
b) AC $ CA
C
c) AC $ BD
25
2
b) AC $ CA = 5 × 5 × cos 180° = -25
a) AB $ BC = 5 × 5 × cos 120° = -
u2p111h1
c) AC $ BD = 5 × 5 × cos 90° = 0
9
Na figura está representado um paralelogramo, em que AD = 3 e AB = 5 .
Determine:
D
C
a) AB $ AD
c) DC $ _ AB + ABi
b) AB $ BC
a) AB $ AD = AB
d) CB $ _ AB + BDi
A
30º
B
AD cos_ AB T ADi = 5 × 3 × cos 30° =
b) AB $ BC = 5 × 3 × cos 30° =
c) DC $ _ AB + ABi = DC
15 3
2
15 3
2
u2p111h2
2AB cos_ DC T ABi = 5 × 10 × cos 0° = 50
d) CB $ _ AB + BDi = CB $ AD = 3 × 3 × cos 180° = -9
143
000707 140-175 U6.indd 143
01/07/16 12:08
produto escalar de vetores
Várias pessoas empurram um carro exercendo
uma força de 18 130 newtons. Sabendo que
o trabalho realizado por essa força é de
455 000 joules, determine a distância percorrida
pelo carro, em metros, aproximada às décimas.
10
Seja d a distância percorrida pelo carro. Então:
455 000
c 25,1 m
d=
18 130
O Pedro puxa um carrinho aplicando uma força constante
de 50 newtons, deslocando-o 10 metros na horizontal.
Sabendo que o trabalho realizado pela força é de 250 joules,
determine o ângulo entre a força e o deslocamento.
11
Seja a o ângulo entre a força e o deslocamento. Então:
1
+ a = 60°
250 = 50 × 10 × cos a + cos a =
2
Tarefa 1
1.1 Seja a o ângulo entre as retas r e s . Sendo u e v , respetivamente,
vetores diretores de r e s , justifique que:
a = arccos
u$v
u
v
1.2Determine a amplitude, em graus, do ângulo entre as retas r e s , definidas,
respetivamente, pelas equações y = 2x + 3 e x + y = 2 , apresentando
o resultado aproximado às unidades.
1.1O ângulo entre as retas é o ângulo dos vetores u e v , se este for agudo
ou reto, ou o seu complementar, caso contrário. Em qualquer dos casos,
obtém-se o pretendido.
5
1.2 a = arccos
c 63°
5
Considere o triângulo [ABC] cujos lados [AB] e [BC] medem 2 cm e 3 cm ,
respetivamente.
12
Sabendo que AB $ BC = 0 , determine:
a)AC , justificando os procedimentos efetuados.
b)AB $ AC
WB , arredondada às décimas de grau.
c)AC
144
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
a) Como AB $ BC = 0 , tem-se que AB = BC .
6
Pelo teorema de Pitágoras, vem:
2
2
2
2
AC = AB + BC + AC = 22 + 32 + AC = 13 cm
b) Pela lei dos cossenos, tem-se:
32 = 22 + 13 - 2 × 2 × 13 cos_ AB T AC i +
2
+ cos_ AB T AC i =
Portanto:
AB $ BC = AB
c) cos_ AB T AC i =
2
2 13
=
13
13
AC cos_ AB T AC i = 2 × 13 ×
2 13
W c 56,3°
+ BAC
13
WB = 180° - 90 - 56,3 = 33,7°
AC
2 13
=4
13
13
Sejam u e v dois vetores tais que:
• u = v =2
• _u T v i = 120°
Determine:
a) u $ v
b) u $ u
a) u $ v = u
b) u $ u = u
2
c) v $ (-3v)
v cos_u T v i = 2 × 2 × cos 120° = 4 × c-
1
m = -2
2
= 22 = 4
c) v $ (-3v) = v × - 3 v × cos` v T (-3 v)j = 2 × 6 × cos 180° = -12
No referencial ortonormado da figura está representado
o triângulo [ABC] , em que A(2, 4) , B(-1, 1)
e C(3, -2) .
14
14.1Utilize o teorema de Carnot para mostrar
WC) =
que cos(AB
y
A
B
2
.
10
x
O
C
14.2Calcule BA $ BC e averigue se o triângulo [ABC]
é retângulo em B .
14.1 Calcule-se o comprimento dos lados de [ABC] :
BA =
(-1 - 2)2 + (1 - 4)2 =
AC =
(3 - 2)2 + (-2 - 4)2 = 1 + 36 =
BC =
(3 + 1)2 + (-2 - 1)2 = 16 + 9 =u2p114h2
5
9+9 =3 2
37
145
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produto escalar de vetores
Pelo teorema de Carnot, tem-se:
AC
+
2
2
= BA + BC
2
- 2 BA BC cos_ BA T BC i +
W )+
37 = _3 2 i + 52 - 2 × 3 2 × 5 × cos(ABC
2
2
W )=
+ cos(ABC
_3 2 i + 5 2 2
37
2
2#3 2 #5
=
6
30 2
=
2
6 2
=
10
60
BC cos_ BA T BC i = 3 2 × 5 ×
2
=3
10
Como BA $ BC = 3 ! 0 , os vetores BA e BC não são perpendiculares.
Logo, o triângulo [ABC] não é retângulo em B .
14.2 BA $ BC = BA
15
Determine, em cada alínea, o produto escalar dos vetores cujas coordenadas,
num referencial o.n. do plano, são:
a) u(2, -3) e v(1, -2)
b) u(3, -1) e v(1, 3)
c) u(1, 1) e v(2, 2)
a)u $ v = 2 × 1 + (-3) × (-2) = 2 + 6 = 8
b)u $ v = 3 × 1 + (-1) × 3 = 3 - 3 = 0
c)u $ v = 1 × 2 + 1 × 2 = 2 + 2 = 4
16
Num referencial o.n. do plano, considere os vetores u(7, -2) e v(m, 6) ,
em que m é um número real.
Determine o valor de m , de modo que:
a)u e v sejam perpendiculares.
b)u e v sejam colineares.
c)u = v
12
7
m = 7k
m = 7 # (-3)
m =- 21
b) (m, 6) = k(7, -2), k ! IR + )
+)
+)
6 =-2k
k =- 3
k =- 3
a) u $ v = 0 + 7m + (-2) × 6 = 0 + 7m = 12 + m =
c) u = v +
7 2 + (-2)2 =
m 2 + 6 2 + 53 = m2 + 36 +
+ m2 = 17 + m = ! 17
Num referencial o.n. do plano, considere os vetores u(8, -6) e v(m, 3) ,
em que m é um número real.
Determine o valor de m , de modo que _u T v i = 60° .
17
146
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u
UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
v cos_u T v i = u1v1 + u2v2 +
6
+ ` 8 2 + (-6)2 j_ m 2 + 3 2 i cos 60° = 8m - 18 +
_8 2 + (-6)2i (m 2 + 3 2)
100m 2 + 900
= 8m - 18 +
= 8m - 18 &
+
2
2
100m 2 + 900
&
= (8m - 18)2 + 25m2 + 225 = 64m2 - 288m + 324 +
4
+ 39m2 - 288m + 99 = 0 + 13m2 - 96m + 33 = 0 +
96 ! (-96)2 - 4 #13 # 33
96 ! 7500
+m=
+
+m=
2 (13)
26
48 + 25 3
48 - 25 3
96 ! 50 3
+m=
+m=
0m=
13
13
26
48 - 25 3
48 + 25 3
Como 8 ×
- 18 < 0 e 8 ×
- 18 > 0 ,
13
13
48 + 25 3
m=
.
13
y
No referencial o.n. xOy da figura estão
representados o quadrado [OABC]
e o retângulo [OPQR] .
18
Os pontos A e P pertencem ao semieixo
positivo Ox e os pontos C e R pertencem
ao semieixo positivo Oy .
Q
R
O ponto Q pertence ao interior do quadrado
[OABC] .
Sabe-se que:
• OA = a • OP = b
B
C
O
P
A
x
• RC = b
Prove que as retas QB e RP são perpendiculares.
Teste Intermédio do 11.º ano, 2012
u2p116h2
As retas QB e RP são perpendiculares se, e só se, QB $ RP = 0 .
Tem-se que B(a, a) , P(b, 0) , Q(b, a - b) e R(0, a - b) .
Então, QB = B - Q tem coordenadas:
(a, a) - (b, a - b) = (a - b, a - a + b) = (a - b, b)
e RP = P - R tem coordenadas:
(b, 0) - (0, a - b) = (b, -a + b)
Assim:
QB $ RP = (a - b, b) $ (b, -a + b) = ab - b2 + (-ab) + b2 = 0
Logo, as retas QB e RP são perpendiculares.
147
000707 140-175 U6.indd 147
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produto escalar de vetores
Justifique a igualdade u $ v = u1v1 + u2v2 + u3v3 para vetores não colineares
Tarefa 2
2
no espaço. Observe que u = u21 + u22 + u23 .
Sejam A , B e C pontos e os vetores u e v , tais que u = AB e v = AC .
Considerando a = BC , b = AC e c = AB , tem-se, pelo teorema de Carnot:
BC
2
2
= u + v
2
-2 u
v cos_u T v i = u + v
2
2
- 2u $ v (I)
Num referencial o.n. Oxyz , sejam u(u1, u2, u3) e v(v1, v2, v3) .
Como BC = v - u , tem-se que BC(v1 - u1, v2 - u2, v3 - u3) .
Então:
BC
2
= (v1 - u1)2 + (v2 - u2)2 + (v3 - u3)2
Ou seja,
BC
2
= v 12 - 2v1u1 + u 12 + v 22 - 2v2u2 + u 22 + v 32 - 2v3u3 + u 32 =
= u 12 + u 22 + u 32 + v 12 + v 22 + v 32 - 2v1u1 - 2v2u2 - 2v3u3
donde, reparando que u 12 + u 22 + u 32 = u
BC
2
2
= u + v
2
2
e v 12 + v 22 + v 32 = v
2
:
- 2v1u1 - 2v2u2 - 2v3u3 (II)
Comparando (I) e (II), obtém-se u $ v = u1v1 + u2v2 + u3v3 .
6.2 Propriedades do produto escalar
Tarefa 3
Prove as seguintes propriedades:
•Propriedade comutativa ou simétrica
Dados os vetores u e v , u $ v = v $ u .
• Propriedade associativa mista
Dados os vetores u e v e um número real m , ^muh $ v = m^u $ vh .
Considere-se que se tem u e v , vetores num referencial o.n. xOy ,
em que u e v têm coordenadas (u1, u2) e (v1, v2) , respetivamente.
Tem-se:
u $ v = u1v1 + u2v2 = v1u1 + v2u2 = v $ u
E para m número real:
(mu) $ v = (mu1)v1 + (mu2)v2 = m(u1v1) + m(u2v2) = m(u $ v)
Isto prova as propriedades comutativa e associativa mista num referencial o.n.
xOy .
Analogamente, para um referencial o.n. Oxyz do espaço, basta considerar
vetores com três coordenadas e aplicar o produto escalar usando coordenadas
no espaço.
148
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
6
Ou seja:
Considere-se u(u1, u2, u3) e v(v1, v2, v3) ; então:
u $ v = u1v1 + u2v2 + u3v3 = v1u1 + v2u2 + v3u3 = v $ u
E para m número real:
(mu) $ v = (mu1)v1 + (mu2)v2 + (mu3)v3 = m(u1v1) + m(u2v2) + m(u3v3) = m(u $ v)
Tarefa 4
Prove que, dados dois vetores u e v , se u = v , então, os vetores u + v
e u - v são perpendiculares.
Pela propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores:
^u + vh^u - vh = u $ u + u $ ^-vh + v $ u + v $ ^-vh =
2
= u - v
2
2
- v$u+v $u = u - v
2
=0
Portanto, (u + v) 9 (u - v) .
Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz ,
a pirâmide quadrangular [ABCOV] contida no plano
xOy e com vértice V de coordenadas (0, 0, 4) .
19
z
V
O ponto B tem coordenadas (4, 4, 0) .
19.1 Justifique que OB $ AC = 0 .
O
19.2 Calcule:
a) AB $ BC
A
b) AB $ BV
C y
B
x
19.3Considere a reta r de equação:
(x, y, z) = (0, 0, 4) + k(1, 0, 1) , k ! IR
Averigue se as retas r e BV são perpendiculares.
u2p117h1
19.1 Tem-se A(4, 0, 0) , B(4, 4, 0) , C(0, 4, 0) e O(0, 0, 0) .
Então, OB = B - O tem coordenadas (4, 4, 0) e AC = C - A
tem coordenadas (0, 4, 0) - (4, 0, 0) = (-4, 4, 0) .
Logo:
OB $ AC = 4 × (-4) + 4 × 4 + 0 = -16 + 16 + 0 = 0
19.2 a) AB = B - A tem coordenadas (0, 4, 0) .
BC = C - B tem coordenadas (-4, 0, 0) .
AB $ BC = -4 × 0 + 4 × 0 + 0 = 0
b) AB(0, 4, 0) e BV(-4, -4, 4)
AB $ BV = -4 × 0 + (-4) × 4 + 0 = -16
19.3 O vetor r(1, 0, 1) é um vetor diretor da reta r . Então:
r $ BV = 1 × (-4) + 0 × (-4) + 1 × 4 = 0
Logo, as retas r e BV são perpendiculares.
000707 140-175 U6.indd 149
149
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produto escalar de vetores
Relativamente a três vetores u , v e w , sabe-se que:
20
• u$v=4
• u $ w = -2
• w$v=3
Determine:
a) (2u) $ v
c) w $ (u + v)
b) u $ (-v)
d) u $ (2w + v)
a)(2u) $ v = 2(u $ v) = 2 × 4 = 8
b)u $ (-v) = -(u $ v) = -4
c)w $ (u + v) = w $ u + w $ v = u $ w + w $ v = -2 + 3 = 1
d)u $ (2w + v) = 2(u $ w) + u $ v = 2 × (-2) + 4 = -4 + 4 = 0
D
21
Mostre que as diagonais de um losango
são perpendiculares.
v
u
A
C
SUGESTÃO:
u
Repare que os lados opostos de um losango
são paralelos e têm o mesmo comprimento.
v
B
Considere-se o losango [ABCD] , em que AB = CD = AD = BC ,
AD = BC = v e BA = CD = u .
Então:
u2p118h1
BD $ CA = (u + v)(u - v) = u $ u + u $ (-v) + v $ u + v $ (-v) =
2
= u - v
2
2
-v$u+v$u= u - v
2
= AB - BC = 0
Portanto, (u + v) = (u - v) . Logo, as diagonais de um losango
são perpendiculares.
22
Considere, num referencial o.n. xOy , o vetor u de coordenadas (-2, 1) .
Escreva uma equação da reta perpendicular ao vetor u que passa pelo ponto P(2, 3) .
Seja m o declive da reta perpendicular ao vetor u . Então, m = -c
-2
m= 2 .
1
A ordenada na origem da reta perpendicular ao vetor u é dada por:
b = 3 - 2 × 2 = -1
Logo, a equação reduzida da reta perpendicular ao vetor u que passa pelo
ponto P(2, 3) é y = 2x - 1 .
150
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
6
Considere, num referencial o.n. xOy , os pontos A e B de coordenadas
(2, 4) e (-3, 0) , respetivamente.
23
Seja M o ponto médio de [AB] .
Identifique o conjunto dos pontos P do plano tais que MP $ AB = 0 .
Escreva uma condição que defina o conjunto referido.
Os pontos P definem uma reta perpendicular à reta AB que passa no ponto M ,
ou seja, definem a mediatriz de [AB] .
Sabe-se que AB(-5, -4) , então, o declive da reta AB é
4
.
5
5
Logo, o declive de uma reta perpendicular a esta é - .
4
1
Então, como M c- , 2 m , a ordenada na origem da reta perpendicular à reta
2
1
11
5
× c- m =
.
AB que passa no ponto M é b = 2 +
2
8
4
11
5
.
Portanto, a condição que define o conjunto referido é y = - x +
8
4
6.3 Resolução de problemas geométricos envolvendo o produto escalar
Considere a circunferência definida
pela equação (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25
num determinado referencial o.n. xOy .
5.1Prove que o ponto P(5, -1) pertence
à circunferência.
y
5.2Determine a equação reduzida da reta
O
Tarefa 5
P
C
tangente à circunferência no ponto P .
x
5.1Basta substituir x por 5 e y por -1 na equação dada:
(5 - 1)2 + (-1 - 2)2 = 25 + 25 = 25
E como tal, o ponto P pertence à circunferência.
u2p119h3
5.2A circunferência dada tem centro em C(1, 2) .
Como a reta pretendida é tangente à circunferência em P , todo o ponto
Q(x, y) pertencente à reta verifica CP $ PQ = 0 .
Então:
4
23
x3
3
Logo, a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto P
4
23
é y = x .
3
3
(4, -3) $ (x - 5, y + 1) = 0 + 4(x - 5) - 3(y + 1) = 0 + y =
151
000707 140-175 U6.indd 151
01/07/16 12:09
produto escalar de vetores
De dois vetores do plano u e v sabe-se que:
• o ângulo dos vetores u e v é obtuso.
• u =3
1
• sin_u T v i =
• v =2
4
Determine u $ v .
24
Pela fórmula fundamental da trigonometria, tem-se:
sin2_u T v i + cos2_u T v i = 1 + cos2_u T v i = 1 - c
& cos_u T v i = Portanto:
u$v= u
15
4
1 2
m
&
4 90° 1 _u T v i 1180°
v cos_u T v i = 3 × 2 × e-
No referencial o.n. da figura está representada
uma circunferência de centro em C(-3, 2)
e raio 4 , inscrita no quadrado [MNOP] .
A reta NO é tangente à circunferência em T ,
ponto do eixo Oy .
15
3 15
o =2
4
25
y
O
T
C
P
Determine:
2
N
23
a)as coordenadas de T .
b)a equação reduzida da reta NO .
x
M
c)o declive da reta MN .
a)Sabe-se que o ponto T pertence ao eixo Oy ; logo, tem abcissa nula,
ou seja, T(0, y) .
u2p119h2
Substituindo as coordenadas de T na equação da circunferência,
(x + 3)2 + (y - 2)2 = 16 , obtém-se:
(0 + 3)2 + (y - 2)2 = 16 + y2 - 4y - 3 = 0 +
+y=
4!
+y=2+
(-4)2 - 4 # 1 # (-3)
4 ! 28
+
+y=
2
2#1
y>0
7
Portanto, as coordenadas de T são _0, 2 +
7i .
b)A circunferência dada tem centro em C(-3, 2) .
Como a reta NO é tangente à circunferência em T_0, 2 +
7i , tem-se
que CT $ TQ = 0 , sendo Q(x, y) um ponto da reta.
152
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Portanto:
_3, 7i $ _x, y - 2 -
+ 3x +
+
7_y - 2 -
7i = 0 +
7i = 0 + 3x +
7y = -3x + 2 7 + 7 + y = -
+y=-
6
3 7
x+2+
7
7y - 2 7 - 7 = 0 +
3 7
14 + 7 7
x+
+
7
7
7
c)Como a reta MN é perpendicular à reta NO , então, o seu declive é dado por
7
3 7
=
7
3 7
#
7
=
7
7
3
Considere os vetores u e v , tais que u = 3 , v = 7 e _u T v i = 120° .
26
Calcule os seguintes produtos escalares:
a) u $ (5v)
b) 2u $ (-3v)
c) (u - 3v) $ u
a)u $ (5v) = 5 u × v × cos_u T v i = 3 × 35 × eb)2u $ (-3v) = 6 × (-21) × e-
3
o = 63 3
2
c)(u - 3v) $ u = -18 × 3 × e-
3
o = 27 3
2
27
Considere um ponto P , do 1.o quadrante (eixos
não incluídos), pertencente à circunferência
de centro na origem e raio 1 .
Sejam (r, s) as coordenadas do ponto P , t
a reta tangente à circunferência no ponto P e Q
o ponto de interseção da reta t com o eixo Ox .
3
105 3
o=2
2
y
s
t
P
Q
O
r
x
27.1Justifique que:
r 2 + s2 = 1
27.2Prove que a equação reduzida da reta t é:
r
1
u2p120h2
y=-s x+ s
27.3Determine a abcissa do ponto Q em função de r e s .
Adaptado do Teste Intermédio do 11.º ano, 2007
153
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produto escalar de vetores
27.1Considere-se o círculo trigonométrico e a fórmula fundamental
da trigonometria. Seja a a inclinação da reta OP , então:
cos2 a + sin2 a = 1 + r2 + s2 = 1
O ponto P pertence à circunferência de centro em (0, 0) e raio 1 .
Em alternativa, a equação da circunferência é x2 + y2 = 1 e P(r, s)
pertence à circunferência, logo, r 2 + s2 = 1 .
27.2 Tem-se que OP tem coordenadas (r, s) ; logo, um vetor diretor da reta t
pode ser u(-s, r) .
r
O declive da reta t é, portanto, igual a - s .
Então, a ordenada na origem da reta t que passa no ponto P(r, s) é:
r
r2
s2 + r2
1
b=s+ s ×r=s+ s =
= s
s
r
1
Logo, a equação reduzida da reta t é y = - s x + s .
27.3 Sabe-se que Q(x, 0) . Substituindo as coordenadas de Q na equação
r
1
reduzida da reta t , y = - s x + s , obtém-se:
1
r
1
1
s
0=-sx+ s +x= r = r
s
1
Logo, a abcissa de Q é r .
Tarefa 6
Considere, num plano munido de um referencial o.n. xOy , o vetor u(a, b) .
Prove que:
a) os vetores cujas coordenadas se obtêm trocando a ordem às coordenadas de u
e o sinal a uma delas, ou seja, v(b, -a) e v(-b, a) , são perpendiculares a u .
b) a reta perpendicular ao vetor u que passa no ponto P0(x0, y0) pode ser definida
pela equação
ax + by = c , em que c = ax0 + by0
a)Tomando v(b, -a) , tem-se que u $ v = a × b + b × (-a) = 0 ;
logo, u = v .
De igual modo, tomando v(-b, a) , tem-se u $ v = 0 , donde u = v .
b)Dado um ponto P(x, y) qualquer da reta, tem-se que u é perpendicular a P0P ;
logo:
u $ P0P = 0 + (a, b) $ (x - x0, y - y0) = 0 +
+ a(x - x0) + b(y - y0) = 0 + ax + by = c
em que c = ax0 + by0 .
154
000707 140-175 U6.indd 154
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Na figura estão representados, em referencial
o.n. xOy , um círculo e as retas r e s .
28
UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
r
y
6
s
Sabe-se que:
21 O
• r 9 s
• o ponto de coordenadas (0, -2) é comum
22
às duas retas e à circunferência;
• r interseta a circunferência e o eixo Ox
no ponto de coordenadas (-1, 0) ;
• s e a circunferência intersetam o eixo Ox no mesmo ponto.
Determine uma condição que defina o círculo.
x
u2p121h3
Sejam A(0, -2) , B(-1, 0) e C(x, 0) o ponto de interseção da reta s com
o eixo Ox .
Como AB tem coordenadas (-1, 2) , então, o declive da reta r é igual
1
a -2 e o declive da reta s (perpendicular a r ) é igual a
. A ordenada
2
na origem de ambas as retas é igual a -2 ; logo, a equação reduzida da reta r é
1
y = -2x - 2 e da reta s é y = x - 2 .
2
Assim, como as retas são perpendiculares, tem-se que [ABC] é retângulo em A .
Portanto, como o triângulo [ABC] está inscrito na circunferência e é retângulo,
[AC] é um diâmetro.
Substituindo y por 0 na equação reduzida da reta s , obtém-se a abcissa
do ponto C .
Tem-se C(4, 0) ; logo, o diâmetro [BC] mede 5 unidades de comprimento
3
e o centro da circunferência tem coordenadas c , 0 m .
2
3 2
25
Portanto, uma condição que define o círculo é c x - m + y 2 G
.
2
4
Considere, fixado um referencial ortonormado no espaço, os pontos A(2, 3, -1) ,
B(-4, 1, -1) e P(x, y, z) , (x, y, z ! IR) , e as condições:
29
(I)
AP $ BP = 0
(II) AB $ MP = 0 , em que M é o ponto médio de [AB] .
(III) AB $ AP = 0
29.1Identifique a região do espaço definida por cada uma das condições descritas.
29.2Caracterize por uma condição, em x , y e z , as regiões do espaço
obtidas em 29.1.
155
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01/07/16 12:09
produto escalar de vetores
29.1 (I)
Superfície esférica de diâmetro [AB] .
(II) Plano mediador do segmento [AB] .
(III) Plano perpendicular ao segmento [AB] que passa por A .
29.2 (I)
(x + 1)2 + (y - 2)2 + (z + 1)2 = 10
(II) 3x + y + 1 = 0
(III) 3x + y - 9 = 0
AVALIAR CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
No referencial o.n. da figura as retas r e s são
perpendiculares e a reta s passa na origem do
referencial.
y
De acordo com os dados da figura, a equação
reduzida da reta s é:
1
(A) y = tan 50° x
(C) y = x
tan 130°
1
1
(B) y =
x
(D) y =
x
tan
13
0°
tan 50°
r
130º
O
O declive de r é tan 50° . Logo, o declive de s é A opção correta é a (D).
x
s
1
1
=
.
u2p122h1
tan130°
tan 50
°
2
Considere dois vetores u e v colineares, ambos de norma 1 .
De entre as afirmações seguintes, indique a que é necessariamente verdadeira.
(A) u $ v = -1
(B) u $ v = 0
(D) u $ v = 2
(C) u $ v = 1
A opção correta é a (C).
3
Considere o triângulo equilátero representado na figura.
C
O valor de AB $ BC é igual a:
AB
(A) 2
2
(B) - AB × BC
(C)
2
AB
2
(D) AB
2
A
B
156
u2p122h2
000707 140-175 U6.indd 156
01/07/16 12:09
UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Como _ AB T BC i = 120° , então:
AB
AB $ BC = AB BC cos 120° = 2
A opção correta é a (A).
6
2
4
Considere, num referencial o.n., as retas r e s .
Sabe-se que as retas são perpendiculares e que a inclinação de r é 120° .
Então, o declive da reta s é igual a:
3
(A) -
(B) -
3
3
(C)
3
3
3
(D)
O declive da reta r é igual a tan 120° = -tan 60° = - 3 .
1
3
=
.
O declive da reta s é igual a 3
- 3
A opção correta é a (C).
B
5
Na figura está representada uma esfera inscrita num cubo.
A esfera tem 3 centímetros de raio e centro em C ,
e [AB] é uma diagonal espacial do cubo.
C
O valor de AB $ BC é:
(A) -54
(C) 36
(B) -36
(D) 54
A
Como o raio da esfera é 3 cm , sabe-se que o lado do cubo mede 6 cm .
Usando o teorema de Pitágoras:
2
AB = 62 + 62 + 62 & AB = 6 3
u2p122h3
Assim:
BC = 3 3 e AB $ BC = AB BC cos r = 6 3 × 3 3 × (-1) = -54
A opção correta é a (A).
6
D
Na figura está representado o losango [ABCD]
WD = a .
de lado 3 , tal que BA
Se AB $ AD = 6 , o valor de a , em graus,
arredondado às unidades, é:
(A) 41°
AB
(B) 42°
(C) 48°
AD cos a = 6 + cos a =
A
C
a
B
(D) 49°
2
3
&
0° 1 a 1 180°
2
a = arccosu2p122h4
+ a c 48°
3
A opção correta é a (C).
157
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produto escalar de vetores
C
Considere o triângulo representado na figura,
retângulo em A , cujos catetos medem 5 e 12 .
7
O valor de CA $ CB é igual a:
300
(A)
(B) 25
13
5
A
(C)
720
13
12
B
(D) 60
Seja a = _CA T CBi . Tem-se que tan a =
12
.
u2p123h1
5
Pelo teorema de Pitágoras, tem-se CB = 13 . Então, como a ! ]0, 90°[ ,
5
.
cos a =
13
5
= 25 .
Logo, CA CB cos a = 5 × 13 ×
13
A opção correta é a (B).
8
Uma força constante de 20 newtons
produz, num corpo, um deslocamento
de 0,5 metros no sentido da força.
20 N
O trabalho realizado por essa força é,
em joules, igual a:
(A) 40
(B) 20
0,5 m
(C) 10
(D) 5
u2p123h2
20 × 0,5 = 10
A opção correta é a (C).
9
Num referencial o.n. xOy , as retas de equação
x + by - 1 = 0 e x = 3y
são perpendiculares para b igual a:
1
1
(A) (B) 0
(C)
(D) 3
3
3
x
1
1
x + by - 1 = 0 + y = - x +
e x = 3y + y =
3
b
b
1
1
Portanto, as retas são perpendiculares se, e só se, d- n ×
= -1 ,
3
b
1
.
ou seja, se, e só se, b =
3
A opção correta é a (D).
158
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
10
Na figura estão representadas, num referencial
o.n. xOy , a circunferência de equação
x2 + y2 = 4 e a reta r tangente a essa
circunferência no ponto B , de coordenadas
_1, 3 i .
6
y
B
O
x
1
Seja u um vetor diretor da reta r .
O valor de u $ OB é:
(A) -4
(B) 0
(C) 4
(D) 2 u
Como u = OB , u $ OB = 0 .
A opção correta é a (B).
u2p123h3
11
Num referencial o.n. Oxyz , os vetores u e v têm coordenadas (-3, 1, 4)
e (2, 3p - 1, -2) , respetivamente.
O valor de p para o qual os vetores u e v são perpendiculares é:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 5
u $ v = 0 + -6 + 3p - 1 - 8 = 0 + p = 5
A opção correta é a (D).
12
Num referencial ortonormado do plano, considere os vetores a e b
de coordenadas (2, -3) e (1, 1) , respetivamente.
O ângulo dos vetores a e b é:
(A) agudo.
(B) obtuso.
(C) reto.
(D) raso.
Como a $ b = -1 , o ângulo formado pelos vetores tem uma amplitude maior
do que 90º . No entanto, não pode ser raso, pois, nesse caso, a $ b = - a b ,
mas a b = 13 $
2=
26 .
A opção correta é a (B).
13
De dois vetores u e v sabe-se que u = v = 2 e que u $ v = -2 .
Então, (u + v) $ (3u) é igual a:
(A) -12
(B) 0
(C) 6
(D) 8
2
(u + v) $ (3u) = 3u $ u + 3u $ v = 3 u + 3u $ v = 12 - 6 = 6
A opção correta é a (C).
159
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01/07/16 12:09
produto escalar de vetores
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
14
No referencial o.n. xOy da figura ao lado
estão representados a reta r de equação
x + 2y + 3 = 0 e o ponto P
de coordenadas (5, 2) .
y
14.1Seja a a inclinação da reta r .
O
P
2
Determine cos2a .
14.2Determine as coordenadas da projeção
P'
ortogonal de P , Pl , sobre a reta r .
SUGESTÃO: Comece
x
5
r
por determinar uma equação da reta PPl .
14.1 Como x + 2y + 3 = 0 + y = -
Portanto:
1
3
1
x, tan u2p124h1
a =- .
2
2
2
1
1
1
4
+1+
=
+ cos2 a =
4
5
cos 2 a
cos 2 a
14.2O declive da reta PPl é 2 ; assim, a sua equação é da forma y = 2x + b .
1 + tan2 a =
Substituindo as coordenadas de P na equação da reta PPl , vem:
2 = 2 × 5 + b + b = -8
Então, a abcissa de Pl é tal que:
1
3
13
2x - 8 = - x + 4x - 16 = -x - 3 + x =
2
2
5
13
14
Portanto, a ordenada é dada por y = 2 ×
-8=.
5
5
Assim, as coordenadas de Pl são d
13
14
n.
,5
5
15
Na figura está representada uma circunferência
de centro em O e raio r .
Sabe-se que:
• [AB] é um diâmetro da circunferência;
• o ponto C pertence à circunferência;
• a é a amplitude do ângulo COB ;
• [OD] é perpendicular a [AC] .
a
Prove que AB $ AC = 4r2cos2c m .
2
160
000707 140-175 U6.indd 160
O
A
B
a
D
C
Teste Intermédio do 11.º ano, 2009
u2p124h2
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AB $ AC = AB
UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
AC cos_ AB T AC i
6
Tem-se que AB = 2r .
180° - (180° - a)
a
Como o triângulo [AOC] é isósceles, _ AB T AC i =
=
.
2
2
Assim:
AD
a
a
cosc m = r + AD = r cosc m
2
2
a
Logo, AC = 2r cosc m .
2
Portanto:
a
a
a
AB $ AC =2r × 2r cosc m × cosc m = 4r2 cos2c m
2
2
2
c.q.d.
16
z
Na figura está representado, em referencial
o.n. Oxyz , um cubo [OABCDEFG] .
O vértice O do cubo coincide com a origem
do referencial.
E
D
Os vértices A , C e G pertencem aos semieixos
positivos Ox , Oy e Oz , respetivamente.
O ponto M é o ponto médio de [OC]
e N é o ponto médio de [FC] .
F
G
A
N
O
M
C
y
B
x
XM) = 8 .
Sabendo que DM $ DN = 32 , mostre que cos(ND
9
Seja x a medida da aresta do cubo. Então, as coordenadas
de D , M e N são,
u2p124h3
x
x
respetivamente, (x, 0, x) , c 0, , 0 m e c 0, x, m .
2
2
x
Assim, DM tem coordenadas c- x. , - x m e DN tem coordenadas
2
x
c- x, x, - m .
2
Tem-se que:
x
x
DM $ DN = 32 + c- x, , - x m $ c- x, x, - m = 32 +
2
2
2
2
x
x
+ x2 +
+
= 32 + x2 = 16 + x = 4
2
2
x>0
Por outro lado:
DM =
(-4)2 + 2 2 + (-4)2 = 6 e DN =
(-4)2 + 4 + (-2)2 = 6
Logo:
X ) = 32 + cos(NDM
X )= 8
DM $ DN = 32 + 6 × 6 × cos(NDM
9
161
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produto escalar de vetores
17
V
Na figura está representada uma pirâmide
quadrangular regular cuja aresta da base mede 8 cm .
O ponto O é o centro da base da pirâmide,
YV = 60° .
M é o ponto médio de [AD] e OM
Determine:
a)VO $ VM
c)CD $ AB
b)BD $ BA
d)VO $ BD
C
O
B
D
60º
M
A
MO
=8
cos 60°
4 3 #8# 3
= 48
VO $ VM = 4 3 × 8 × cos 30° =
2
u2p124h4
a)VO = MO tan 60° = 4 3 e VM =
b)BD =
BA
2
+ AD
2
=8 2
BD $ BA = 8 2 × 8 × cos 45° = 64
c)CD $ AB = 8 × 8 × cos 180° = -64
d)VO $ BD = 4 3 × 8 2 × cos 90° = 0
18
y
s
Na figura estão representados,
em referencial ortonormado,
as retas r e s e o triângulo [ABC]
retângulo em C .
r
C
Sabe-se que:
A
30º
O
• o ponto A_ 3 , 0i pertence à reta r ;
• o ponto C de interseção das retas
r e s tem abcissa 6 ;
• B é o ponto de interseção da reta s com o eixo Ox ;
• a reta r tem inclinação 30º .
B
x
18.1Determine as equações reduzidas das retas r e s .
18.2Determine a área do triângulo [ABC] .
18.1 O declive da reta r é dado por tan 30° =
u2p125h1
3
; logo, a sua equação
3
3
x + b . Substituindo na equação
3
3
as coordenadas de A , obtém-se: 0 =
× 3 + b + b = -1 .
3
3
Portanto, r: y =
x-1.
3
reduzida é da forma y =
162
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
6
Como C pertence à reta r e tem abcissa 6 , as coordenadas de C são:
e 6,
3
# 6 - 1o = ^6, 2 3 - 1h
3
Como as retas r e s são perpendiculares, o declive de s é - 3 .
Logo, a equação reduzida de s é da forma y = - 3x + b .
Substituindo as coordenadas de C na equação, obtém-se:
2 3 -1=- 3 ×6+b+b=8 3 -1
Portanto, s: y = - 3x + 8 3 - 1 .
18.2 Calcule-se a abcissa de B :
- 3x + 8 3 - 1 = 0 + x = 8 Seja h a altura de [ABC] relativa à base [AB] :
AB = 8 -
3
3
3=
3
3
24 - 4 3
e h=2 3 -1
3
Assim:
24 - 4 3
# (2 3 - 1)
AB # h
3
A[ABC] =
=
=
2
2
48 3 - 24 - 24 + 4 3
26 3
=
=
-8
3
6
19
Na figura está representado, no referencial
xOy , o triângulo [ABC] .
Sabe-se que:
• o ponto O é o ponto médio do lado
[AC] ;
• o vetor AB tem coordenadas (10, 2) ;
• o vetor BC tem coordenadas (-6, -8) .
y
B
A
19.1Determine as coordenadas
dos pontos A e C .
x
O
C
19.2Calcule:
a)AB $ AC
b)AW
BC , arredondada às décimas de grau.
19.3Diga, justificando, se OB é a mediatriz de [AC]u2p125h2
.
19.1Tem-se que AC = AB + BC tem coordenadas (4, -6) .
Como O é o ponto médio de [AC] , deduz-se que as coordenadas
de A e C são, respetivamente, (-2, 3) e (2, -3) .
163
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produto escalar de vetores
19.2a) AB $ AC = 10 × 4 + 2 × (-6) = 28
W + -AB $ BC = AB BC cos ABC
W +
b) BA $ BC = BA BC cos ABC
W +
+ -[10 × (-6) + 2 × (-8)] = 100 + 4 × 36 + 64 × cos ABC
W =
+ cos ABC
19.3Não, porque
76
W = arccos
& ABC
10 400
76
W c 41,8°
+ ABC
10 400
AB = 104 ! 10 = BC .
20
Considere, num referencial o.n. Oxyz , o vetor u(a, b, c) , com a , b e c
números reais.
20.1Prove que os vetores v(b, -a, 0) , w(0, c, -b) e t (-c, 0, a) são
perpendiculares a u .
20.2Indique dois vetores não colineares, perpendiculares ao vetor a(-5, 1, 7) .
20.3Escreva uma equação vetorial de uma reta perpendicular ao vetor
u(0, -2, 3) e que passa no ponto de coordenadas (1, -1, 6) .
20.1v $ u = ba - ab + 0c = 0 , logo, v = u .
w $ u = 0a + cb - bc = 0 , logo, w = u .
t $ u = -ca + 0b + ac = 0 , logo, t = u .
20.2Por exemplo, vetores de coordenadas (1, 5, 0) e (0, 7, 1) .
20.3Por exemplo, (x, y, z) = (1, -1, 6) + k(0, -3, -2), k ! IR .
21
y
Na figura está representado, em referencial
o.n. xOy , o triângulo [ABC] , em que
A(1, 1) , B(-1, -2) e C(-3, 4) .
Por cada um dos vértices do triângulo [ABC]
traçaram-se retas paralelas ao lado oposto,
obtendo um novo triângulo [AlBlCl] .
21.1Justifique que o triângulo [AlBlCl]
não é retângulo.
B'
C
A
A'
x
O
B
C'
21.2Determine as coordenadas de Al .
21.3Seja D o ponto de coordenadas c 0, -
1
m.
2
Identifique o conjunto dos pontos do plano, P , definidos pela equação
DP $ AB = 0 .
u2p125h3
164
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
21.1Tem-se que AB(-2, -3) , AC(-4, 3) e BC(-2, 6) .
6
Pelo teorema de Tales, o triângulo [AlBlCl] é semelhante ao triângulo [ABC] .
Se o triângulo [ABC] fosse retângulo em A , verificar-se-ia o teorema
2
2
2
de Pitágoras, mas BC ! AC + AB , pois 40 ! 38 .
Analogamente se verifica que [ABC] não é retângulo em B nem em C ,
2
2
2
2
2
2
pois AC ! AB + BC e AB ! AC + BC .
Como tal é absurdo, o triângulo [ABC] não é retângulo e, portanto,
o triângulo [AlBlCl] também não.
21.2 Al = C + AB tem coordenadas (-3, 4) + (-2, -3) = (-5, 1) .
21.3A condição define a reta que passa por D e é perpendicular a AB .
Como D é o ponto médio de [AB] , esta reta é a mediatriz de [AB] .
22
Na figura estão representadas, em referencial
o.n., uma circunferência de centro C (1, -1)
e duas retas b e d .
y
b
B
O ponto B de coordenadas (-1, 2) é a
imagem de A pela reflexão de eixo b e a reta
d é tangente à circunferência em A .
x
O
C
22.1Justifique que as retas b e d são
paralelas.
A
22.2Determine a equação reduzida da reta b .
22.3Determine as coordenadas do ponto A
d
e escreva uma equação da reta d .
22.1Como B é a imagem de A pela reflexão de eixo b , AB
é perpendicular a b .
u2p126h1
Por outro lado, d é tangente à circunferência em A ; logo, d é também
perpendicular a AB . Conclui-se que b é paralela a d .
3
22.2Como CB(-2, 3) , o declive de AB é .
2
2
2
e a equação de b é da forma y = x + a .
Então, o declive de b é
3
3
Substituindo na equação as coordenadas de C , obtém-se:
2
5
× 1 + a + a =-1 =
3
3
2
5
Assim, b: y = x .
3
3
165
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produto escalar de vetores
22.3As coordenadas de A são: A = _C - CBi(3, -4) .
A equação de d é da forma y =
2
x + a . Substituindo na equação
3
as coordenadas de A , obtém-se:
2
-4 =
× 3 + a + a = -6
3
2
Assim, d: y = x - 6 .
3
23
Considere, num referencial o.n. Oxyz , o triângulo [ABC] , em que
A(-2, 1, 0) , B(3, 2, 1) e C(-4, 5, 2) .
Seja a a amplitude do ângulo BAC .
23.1Determine sin2a .
23.2Seja T um ponto do plano xOy com a mesma abcissa que B .
Determine as coordenadas de T , sabendo que TC $ AB = -26 .
23.1Tem-se AB(5, 1, 1) e AC(-2, 4, 2) , então:
AB $ AC = AB
AC cos a +
+ -10 + 4 + 2 =
25 + 1 + 1 ×
4 + 16 + 4 × cos a +
+ -4 = 18 2 × cos a + cos a = -
2
9
Calcule-se o valor de sin2 a :
sin2 a + cos2 a = 1 + sin2 a +
2
79
= 1 + sin2 a =
81
81
23.2Seja T(3, y, 0) . Então, TC(-7, 5 - y, 2) .
Assim, TC $ AB = -26 + -35 + 5 - y + 2 = -26 + y = -2 .
Logo, T(3, -2, 0) .
24
Considere, num referencial ortonormado,
um hexágono regular.
Sabe-se que:
• C é o centro do hexágono e tem coordenadas
(6, -2) ;
• o lado [AB] do hexágono está contido
na reta r , definida pela equação
B
A
C
r
-4x + 3y + 5 = 0
Determine a área do hexágono.
166
000707 140-175 U6.indd 166
u2p126h2
01/07/16 12:09
GEOMETRIA ANALÍTICA
4
5
x.
3
3
Seja r um vetor diretor da reta r de coordenadas (3, 4) .
4
5
Seja Cld x, x - n a projeção ortogonal de C na reta r .
3
3
Tem-se que -4x + 3y + 5 = 0 + y =
UNIDADE
Domínio 2
6
Então, CCl é perpendicular a r .
Assim:
4
5
+ 2n × 4 = 0 +
CCl $ r = 0 + (x - 6) × 3 + d x 3
3
16
4
x+
= 0 + 9x - 54 + 16x + 4 = 0 + x = 2
+ 3x - 18 +
3
3
Logo, Cl(2, 1) e CC' = (2 - 6)2 + (1 + 2)2 = 5 .
CCl
5 3
W = 60° ; logo, BC' =
=
,
Como o hexágono é regular, CBA
3
tan 60°
10 3
.
donde BA =
3
10 3
Portanto:
#5
BA # CCl
3
Ahexágono = 6 × A[ABC] = 6 ×
=6×
= 50 3
2
2
25
Na figura está representado, num referencial o.n.,
o lado [AB] do retângulo [ABCD] .
Sabe-se que:
• os vértices A e B têm coordenadas (2, 5)
e (0, 1) , respetivamente;
• o vértice D pertence à reta de equação x = 6 .
Determine as coordenadas dos vértices C e D .
y
5
A
x56
D
B1
O
2
x
AD tem coordenadas (6 - 2, y - 5) = (4, y - 5) e
AB tem coordenadas (-2, -4) .
Tem-se que AD $ AB = 0 + -8 - 4y + 20 = 0 + y = 3 .
u2p126h3
Assim, D(6, 3) e C = D + AB tem de coordenadas (6, 3) +
(-2, -4) = (4, -1) .
26
Considere, num referencial o.n. Oxyz , as retas r e s definidas pelas seguintes
condições:
x =-t
r: (x, y, z) = (0, 1, -1) + k(1, 2, -5), k ! IR
e
s: * y = 1 - 2t , t ! IR
z =-1 - t
26.1 Mostre que as retas r e s são concorrentes e perpendiculares.
26.2 Sejam A o ponto de interseção das retas r e s , B o ponto de coordenadas
(2, 0, -3) e C o ponto da reta s tal que AB $ AC = 1 .
Determine as coordenadas do ponto C .
167
000707 140-175.indd 167
20/07/16 16:15
produto escalar de vetores
26.1O ponto de coordenadas (0, 1, -1) pertence a ambas as retas; logo,
r e s são concorrentes.
Considere-se r(1, 2, -5) um vetor diretor de r e s(-1, -2, -1) ,
um vetor diretor de s .
Como r $ s = -1 - 4 + 5 = 0 , as retas r e s são perpendiculares.
26.2
AB(2 - 0, 0 - 1, -3 + 1) = (2, -1, -2)
AC(-t - 0, 1 - 2t - 1, -1 - t + 1) = (-t, -2t, -t)
1
AB $ AC = 1 + -2t + 2t + 2t = 1 + t =
2
1
1
1
1
3
Cc- , 1 - 2 # , -1 - m = c- , 0, - m
2
2
2
2
2
27
No referencial o.n. da figura, estão representadas uma
circunferência de centro em C , ponto de abcissa 5 ,
e a reta r tangente à circunferência em T(3, 3) .
Tal como a figura sugere, o ponto de coordenadas
(0, -3) pertence à reta r .
Determine:
a)a equação reduzida da reta r .
y
3
O
r
T
3
C
5
x
23
b) uma equação da circunferência.
a)Como o declive de r é dado por m =
lhe pertence, r : y = 2x - 3 .
3+3
= 2 e o ponto
(0, -3)
u2p127h1
3-0
b)Seja r(1, 2) um vetor diretor de r . Como TC é perpendicular a r e C(5, y) ,
tem-se:
TC $ r = 0 + (5 - 3) × 1 + (y - 3) × 2 = 0 +
+ 2 + 2y - 6 = 0 + y = 2
Assim, C(5, 2) .
Logo, TC =
4+1=
5.
Portanto, a equação da circunferência é (x - 5)2 + (y - 2)2 = 5 .
28
Considere, num referencial o.n. xOy , a reta a e o ponto C de coordenadas (2,-3) .
Sabendo que a reta a interseta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas
(3, 0) e (0, 3) , determine uma equação da circunferência de centro C ,
tangente à reta a .
168
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Como o declive de a é dado por m =
lhe pertence, a: y = -x + 3 .
3-0
= -1 e o ponto (0, 3)
0-3
6
Sejam a(1, -1) o vetor diretor de a e Cl a projeção ortogonal de C
na reta a . Tem-se que CCl é perpendicular a a e Cl(x, -x + 3) , então:
CCl $ a = 0 + (x - 2) × 1 + (-x + 3 + 3) × (-1) = 0 +
+x-2+x-6=0+x=4
Assim, Cl(4, -1) .
Logo, CCl =
4+4 =2 2 .
Portanto, a equação da circunferência é (x - 2)2 + (y + 3)2 = 8 .
29
Na figura estão representados, em referencial o.n.
xOy , a circunferência de equação x2 + y2 = 16 ,
o ponto P(5, 0) e as retas r e t , tangentes
à circunferência e que se intersetam em P .
y
t
29.1Mostre que a equação reduzida de uma reta
não horizontal que contenha P é da forma:
y = mx - 5m , m ! IR
e determine, em função de m , as coordenadas dos
pontos de interseção de uma reta, com equação desta
forma, com a circunferência.
P
O
x
5
r
29.2Determine a equação reduzida da reta r e da reta t .
29.1Seja m o declive da reta s não horizontal que contém P . A equação
u2p127h2
da reta s é da forma y = mx + b , m, b ! IR . Como
P(5, 0) ! s ,
tem-se 0 = 5m + b + b = -5m .
Portanto, s: y = mx - 5m , m ! IR .
Tem-se que:
x2 + y2 = 16 / y = mx - 5m + x2 + (mx - 5m)2 = 16 +
+ x2 + m2 x2 - 10m2 x + 25m2 = 16 +
+ (1 + m2)x2 - 10m2 x + 25m2 - 16 = 0 +
+x=
+x=
+x=
10m 2 !
5m 2 !
100m 4 - 4 # (1 + m 2) # (25m 2 - 16)
+
2 (1 + m 2)
25m 4 - 25m 2 + 16 - 25m 4 + 16m 2
+
1 + m2
5m 2 ! 16 - 9m 2
1 + m2
169
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produto escalar de vetores
y = m
5m 2 ! 16 - 9m 2
- 5m =
1 + m2
5m + 5m 3
- 5m ! m 16 - 9m 2
5m 3 ! m 16 - 9m 2
=
2
2
1+m
1+m
1 + m2
Logo, os pontos de interseção de uma reta com equação da forma
y = mx - 5m com a circunferência x2 + y2 = 16 têm as seguintes
coordenadas:
=
f
5m 2 - 16 - 9m 2
5m + m 16 - 9m 2
p
,2
1+ m
1+ m2
e f
5m 2 + 16 - 9m 2
5m - m 16 - 9m 2
p
,2
1+ m
1+ m2
29.2Por 29.1 sabe-se que as retas r e t têm equações da forma y = mx - 5m,
m ! IR e conhecem-se as coordenadas dos pontos de tangência das retas
r e t com a circunferência. Como para cada reta existe um único ponto
4
de tangência, tem-se que 16 - 9m2 = 0 , ou seja, m = ! .
3
Portanto, como r tem declive positivo e t tem declive negativo,
as respetivas equações reduzidas são:
4
20
4
20
xe t: y = - x +
r: y =
3
3
3
3
30
No referencial ortonormado xOy da figura, estão representados duas retas,
r e s , e um ponto P de coordenadas (-2, 2) .
Sabe-se que:
• a equação reduzida da reta r
x
é y=- ;
2
• a equação reduzida da reta s
x
é y=
-2;
2
• a é a amplitude, em graus, do menor
ângulo formado pelas retas r e s .
y
P
2
r
x
O
22
a
s
Determine:
a)as coordenadas dos pontos da reta r que distam 2 unidades do ponto P .
b)um valor aproximado às décimas de a .
c)a distância do ponto P à reta s .
NOTA:
u2p127h3
distância de um ponto a uma reta é a distância desse ponto
A
ao pé da perpendicular tirada desse ponto para a reta.
170
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
a)Seja R(x, y) um ponto da reta r . Então, R c x, -
x
m.
2
6
Assim:
(x + 2)2 + c-
PR = 2 +
2
x
- 2m = 2 +
2
x2
+ 2x + 4 = 2 +
4
+
x 2 + 4x + 4 +
+
24x + 32 + 5x 2
=2+
4
24x + 32 + 5x 2 = 4 &
& 24x + 32 + 5x2 = 16 + 5x2 + 24x + 16 = 0 +
576 - 4 # 5 # 16
+
2#5
- 24 ! 16
4
+x=
+ x = -4 0 x = 10
5
+x=
- 24 !
Tem-se que:
(-4 + 2)2 + c
2
4
- 2m =
2
4+0 =2
2
4
4
f 5
p
d- + 2 n + -2 =
2
5
4
Logo, -4 e são soluções.
5
4 2
Portanto, R(-4, 2) ou R d- , n .
5 5
2
36
144
+
=2
25
25
b)r (2, -1) e s(2, 1) são vetores diretores de r e s , respetivamente.
Tem-se que:
r$s= r
s cos a +
+ 4 - 1 = 4 + 1 × 4 + 1 × cos a +
3
= cos a & a c 53,1°
+
5
c)Seja Pl a projeção ortogonal de P na reta r . Tem-se que Plc a,
a
- 2m .
2
Sabe-se que PPl é perpendicular a s(2, 1) , donde:
a
PPl $ s = 0 + (a + 2) × 2 + c - 2 - 2 m × 1 = 0 +
2
a
-4=0+a=0
+ 2a + 4 +
2
Assim, PPl =
4 + 16 = 2 5 .
171
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preparação para o teste 3
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 3
I
Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Fixada uma unidade de comprimento, o produto escalar de dois vetores,
a e b , é a $ b = -2 .
Sabe-se que, na unidade fixada, a = 4 e b = 3 .
Então, pode-se afirmar que o ângulo dos vetores a e b é:
(A) agudo.
(B) reto.
(C) obtuso.
-2 = a $ b = 12 cos_ a T b i + cos_ a T b i = A opção correta é a (C).
(D) raso.
1
<0
6
2
Na figura ao lado, está representado,
em referencial o.n. xOy , o losango [OACB]
de lado 2 . Considere que o ponto B se desloca
ao longo do arco AD , nunca coincidindo com
o ponto A nem com o ponto D .
y
D
B
A expressão que dá o produto escalar
O
r
OD $ OB em função de a ! E0, ; é:
2
(A) 2 cos a
(B) 4 cos a
(C) -4 sin a
OD $ OB = 2 × 2 × cosc
A opção correta é a (D).
r
- a m = 4 cos a
2
C
a
A
x
(D) 4 sin a
u2p128h1
3
Num referencial o.n. xOy , considere a circunferência definida por:
x2 + y2 = 13
A reta r é tangente à circunferência no ponto de coordenadas (-2, 3) .
Qual da equações seguintes define a reta r ?
(A) -2x + 3y - 5 = 0
(C) 3x + 2y = 0
(B) 2x - 3y + 13 = 0
(D) y =
3
x+6
2
Como (-2, 3) são as coordenadas de um vetor perpendicular à reta r , o declive
2
.
da reta é
3
172
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Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
2
x+b.
3
Substituindo as coordenadas do ponto de tangência na equação, obtém-se:
2
13
× (-2) + b + b =
3=
3
3
2
13
Assim, r : y = x +
+ 3y = 2x + 13 + 2x - 3y + 13 = 0 .
3
3
A opção correta é a (B).
Então, a equação de r é da forma y =
4
Na figura ao lado está representado,
num referencial o.n. xOy , um triângulo
equilátero [ABC] .
y
A
Sabe-se que :
• o ponto A tem ordenada positiva;
• os pontos B e C pertencem ao eixo Ox ;
• o ponto B tem abcissa 1 e o ponto C
tem abcissa maior do que 1 .
O
B
x
C
Qual é a equação reduzida da reta AB ?
(A) y =
2x +
2
(B) y =
2x -
2
(C) y =
3x +
3
(D) y =
3x -
3
u2p128h2
Exame Nacional do 12.º ano, 2015
Como o triângulo é equilátero, a inclinação da reta AB é 60° .
Logo, o seu declive é tan 60° =
3.
Então, a equação de AB é da forma y =
3x + b .
Substituindo na equação as coordenadas de B : 0 =
3 ×1+b+b=- 3 .
A opção correta é a (D).
5
Considere, num referencial o.n. Oxyz , os vetores u(1, a, -2) e v(3, 5, 1) .
Qual é o valor de a para o qual u $ v = 11 ?
(A) 5
(C) -2
(B) 2
(D) -1
u $ v = 11 + 3 + 5a - 2 = 11 + a = 2
A opção correta é a (B).
173
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preparação para o teste 3
II
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
1
Considere os vetores u e v tais que u = 4 , v = 3 e _u T v i = 120° .
1.1Calcule:
a) (-2u) $ v
b) (u - 3v) $ u
1.2Determine o número real m para o qual os vetores u - mv e v são
perpendiculares.
1.1 a) (-2u) $ v = -2(u $ v) = -2 u
= -2 × 12 × c-
v cos 120° =
1
m = 12
2
2
b) (u - 3v) $ u = u $ u - 3v $ u = u - 3 u
= 16 - 3 × 12 × c-
v cos 120° =
1
m = 34
2
1.2 (u - mv) $ v = 0 + u $ v - mv $ v = 0 +
+ u
v cos 120° - m v
2
+ m = 3
2
= 0 + -6 - 9m = 0 +
2
No referencial o.n. da figura xOy estão
representadas a circunferência definida pela
equação x2 + y2 = 1 e a reta, t , tangente
à circunferência no ponto P .
y
P
Seja a a inclinação da reta que contém
a
r
o segmento de reta [OP] e a ! E0, ; o .
O
2
2.1Determine o declive da reta t sabendo
2
que sin a =
.
3
2.2Determine as coordenadas do ponto P quando a inclinação da reta t
2r
é
radianos.
u2p129h1
3
1
2.3Prove que o declive da reta t é dado em função de a por tan a .
r
2.4Escreva uma equação da reta t , se a =
.
4
x
t
174
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Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
2.1Tem-se que:
1
1
=
+
2
tan a
sin 2 a
1
9
4
2 5
+ 1 +
& tan a =
=
+ tan2 a =
2
4
5 a ! F0, r <
5
tan a
sin2 a + cos2 a = 1 + 1 +
2
2 5
Logo, o declive da reta OP é
.
5
Como OP é perpendicular a t , vem que o declive de t é 2.2A circunferência é trigonométrica; logo, P(cos a, sin a) .
5
.
2
3
1
r
r
r
r
r
- = , Pccos , sin m , ou seja, Pe
, sin o .
2
3
2
3
6
6
6
2.3A reta OP é perpendicular à reta t , pois passa no ponto de tangência P .
Como o declive de OP é dado por m = tan a , então, o declive da reta t , ml ,
é tal que:
1
mml = tan a × ml = -1 + ml = - tan a
1
2.4Pela alínea anterior, o declive de t é r = -1 .
tan
4
Assim, a equação de t é da forma y = -x + b .
Como a = r -
A reta OP tem equação y = x , então, OP(x, x) .
Como OP é um raio da circunferência:
2
OP = 1 + x 2 + x 2 = 1 + 2 x = 1 + x = !
2
r
Para a =
, x toma um valor positivo; logo, as coordenadas de P são
4
2
2
o.
e
,
2
2
Substituindo as coordenadas de P na equação de t , obtém-se:
2
2
=+b+b= 2
2
2
Assim, t: y = -x + 2 .
z
Na figura ao lado está representado, num referencial
o.n. Oxyz , um cubo de aresta a .
V
S
3
M
T
Sabendo que TM = 2UM e UN = NV , prove que
a2
P
.
MN $ MQ =
9
x
2
a
Tem-se que Md a, a, a n , Nc , a, a m e Q(a, a, 0) .
3
2
a a
a
Assim, MNc- , , 0 m e MQc 0, , -a m .
2 3
3
a
a
a
×
+ 0 × (-a) =
Logo, MN $ MQ = - × 0 +
2
3
3
U
N
R
O
y
Q
u2p129h2
a2
9
.
175
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UNIDADE
7
Equações de planos
no espaço
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
Tarefa 1
Considere, num referencial o.n Oxyz do espaço, o ponto A(2, 4, 1) e a reta r
definida por:
(x, y, z) = (-1, 3, 5) + k(-1, 0 ,1), k ! IR
1.1Justifique
que o ponto A e a reta r definem um plano.
1.2Mostre
que o vetor u de coordenadas (1, 1, 1) é normal ao plano
definido pela reta r e pelo ponto A .
1.1(2, 4, 1) = (-1 - k, 3, 5 + k) é impossível; então, A " r e, assim, A e r
não definem um plano.
1.2O vetor u(1, 1, 1) é perpendicular ao vetor AB(-3, -1, 4) , sendo B
o ponto definido em 1.1, pois u $ AB = -3 - 1 + 4 = 0
e é perpendicular ao vetor diretor da reta dada, r , de coordenadas
(-1, 0, 1) , uma vez que u $ r = -1 + 0 + 1 = 0 .
Concluindo-se, assim, que o vetor u é normal ao plano definido pela reta
r e pelo ponto A .
7.1 Vetores normais a um plano
Considere, num referencial o.n. Oxyz , o plano a de equação z = -2 .
Indique:
a)dois pontos pertencentes ao plano a .
b)um vetor de norma 2 normal ao plano a .
1
a)Por exemplo, (2, 2, -2) e (1, 4, -2) .
b)Sejam A(2, 2, -2) , B(3, 3, -2) e C(4, 3, -2) três pontos pertencentes
ao plano a e seja u um vetor de norma 2 normal ao plano a .
Tem-se que AB = B - A e AC = C - A têm coordenadas, respetivamente,
(1, 1, 0) e (2, 1, 0) ; logo:
*
u $ AB = 0
*
x+y = 0
(x, y, z) $ (1, 1, 0) = 0
x=0
+ *y = 0
u $ AC = 0 + *(x, y, z) $ (2, 1, 0) = 0 + 2x + y = 0
2
2
2
2
2
2
x +y +z = 4
x + y +z =2
z =!2
u =2
176
000707 176-205 U7.indd 176
01/07/16 12:10
Por exemplo, (0, 0, 2) é um vetor de norma 2 normal a a .
UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
7
Em alternativa:
Um vetor normal ao plano a tem coordenadas (0, 0, 1) ; logo, o vetor
pretendido tem coordenadas (0, 0, 2) ou (0, 0, -2) .
Considere, num referencial o.n., os pontos A(1, 2, 0) , B(0, 1, 1) e C(-1, 0, 1) .
Mostre que:
a)os pontos A , B e C são não colineares.
b)o vetor u(1, -1, 0) é normal ao plano ABC .
2
a)Tem-se que AB = B - A tem coordenadas (-1, -1, 1) .
Uma equação vetorial da reta AB é (x, y, z) = (1, 2, 0) + k(-1, -1, 1), k ! IR .
Verifique-se que o ponto C não pertence à reta AB :
(-1, 0, 1) = (1, 2, 0) + k(-1, -1, 1)
Então:
1 - k =-1
k=2
*2 - k = 0 + *k = 2
k=1
k=1
Como 1 ! 2 , C não pertence à reta AB e, por isso, os pontos A , B e C
são não colineares.
b)Considere-se u(1, -1, 0) e os pontos A e B pertencentes ao plano ABC :
AB $ u = -1 × 1 + (-1) × (-1) + 1 × 0 = -1 + 1 + 0 = 0
BC $ u = -1 × 1 + (-1) × (-1) + 0 × 0 = 0
Logo, o vetor u é normal ao plano ABC .
7.2 Equações cartesianas de planos
Determine uma equação do plano que passa pelo ponto P0 de coordenadas
(1, 2, 3) e tem como vetor normal o vetor u de coordenadas:
a) (-2, 4, -1)
b) (0, -1, 0)
c) (1, -2, 0)
3
Sejam P0(1, 2, 3) e P(x, y, z) pontos pertencentes ao mesmo plano e u ,
um vetor normal ao plano.
a)P0P $ u = 0 + -2(x - 1) + 4(y - 2) - 1(z - 3) = 0 +
+ -2x + 2 + 4y - 8 - z + 3 = 0 + 2x - 4y + z + 3 = 0
b)P0P $ u = 0 + 0(x - 1) + (-1)(y - 2) + 0(z - 3) = 0 +
+ -y + 2 = 0 + y = 2
c)P0P $ u = 0 + 1(x - 1) + (-2)(y - 2) + 0(z - 3) = 0 +
+ x - 1 - 2y + 4 = 0 + x - 2y + 3 = 0
177
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Equações de planos no espaço
No referencial ortonormado do espaço da figura está representado um cubo
de aresta 6 cm , em que um dos seus vértices é a origem do referencial
e as suas faces são paralelas aos planos coordenados.
4
z
4.1Indique as coordenadas do ponto K
G
(centro do cubo).
4.2Determine _KF T KG i , aproximada
às unidades de grau.
E
O
4.3Determine uma equação cartesiana
do plano BCD .
F
D
x
K
A
C
B
y
4.1
K(3, 3, 3)
4.2O vetor KF = F - K tem coordenadas (-3, 3, 3) , e o vetor
KG = G - K tem coordenadas (-3, -3, 3) .
u2p133h1
Tem-se que o triângulo KFG é isósceles:
KF = KG =
Portanto:
KF $ KG = KF
(-3)2 + (-3)2 + 3 2 =
27
KG cos_KF T KG i +
27 × cos_KF T KG i +
9
1
+ cos_KF T KG i =
+ _KF T KG i c 71°
+ cos_KF T KG i =
27
3
+ 9 + (-9) + 9 =
27 ×
4.3Considere-se u um vetor normal ao plano BCD e K(3, 3, 3) , um ponto
pertencente a este plano.
u = KM = M - K , em que M(3, 6, 6) é ponto médio da aresta EF .
Então, tem-se u(0, 3, 3) .
Uma equação cartesiana do plano BCD :
0(x - 3) + 3(y - 3) + 3(z - 3) = 0 +
+ 3z - 9 + 3z - 9 = 0 + y + z - 6 = 0
Determine uma equação do plano que passa no ponto A(0, 0, -1)
e é perpendicular à reta de equação:
5
(x, y, z) = (0, -1, 0) + k(2, 1, -1), k ! IR
Se o plano passa no ponto A(0, 0, -1) e é perpendicular à reta de equação
(x, y, z) = (0, -1, 0) + k(2, 1, -1), k ! IR , então, um dos vetores normais
a esse plano pode ser u(2, 1, -1) .
Uma das equações desse plano pode ser dada por:
2(x - 0) + 1(y - 0) + (-1)(z + 1) = 0 + 2z + y - z - 1 = 0
178
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01/07/16 12:11
UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Determine uma equação do plano ABC , em que, num dado referencial
ortonormado, os pontos A , B e C têm coordenadas (2, 1, 0) , (0, 0, 3)
e (-3, 0, 0) , respetivamente.
6
7
Como A , B e C são três pontos não colineares do plano ABC , então,
um vetor u perpendicular a AB e AC é normal ao plano.
Então, o vetor u é tal que:
u $ AB = 0 / u $ AC = 0
Como AB(-2, -1, 3) e AC(-5, -1, 0) , se u tem coordenadas (a, b, c) , tem-se:
(a, b, c) $ (-2, -1, 3) = 0
- 2a - b + 3c = 0
*
+)
+
(a, b, c) $ (-5, -1, 0) = 0
- 5a - b = 0
c =- a
3a =- 3c
+(
+)
b =- 5a
b =- 5a
Fazendo a = -1 , tem-se b = 5 e c = 1 . Então, um vetor u , normal
ao plano ABC , tem coordenadas (-1, 5, 1) .
Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é -x + 5y + z + d = 0 .
Como A pertence ao plano, tem-se -2 + 5 + d = 0 + d = -3 .
Assim, uma equação do plano é dada por:
-x + 5y + z - 3 = 0 + x - 5y - z + 3 = 0
7
z
Considere, num referencial o.n. Oxyz , os pontos A ,
B e C , de coordenadas (10, 0, 0) , (0, 2, 1)
e (0, 5, 0) , respetivamente, e as retas AB e BC .
B
7.1Justifique que as retas AB e BC são
C
O
complanares.
y
A
7.2Prove que o plano definido por AB e BC
admite como equação:
x
x + 2y + 6z = 10
7.3Calcule o volume da pirâmide [OABC] .
Adaptado da Prova Modelo do 12.º ano, 1999
u2p134h2
7.1As retas AB e BC são complanares se os pontos A , B e C definirem
um plano.
Como AB(-10, 2, 1) , a reta AB pode ser definida pela equação:
(x, y, z) = (10, 0, 0) + k(-10, 2, 1), k ! IR
Verifique-se se C pertence à reta AB substituindo as coordenadas
de C na sua equação:
(0, 5, 0) = (10 - 10k, 2k, k) + 0 = 10 - 10k / 2k = 5 / k = 0
179
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Equações de planos no espaço
Como uma das condições obtidas é impossível, conclui-se que C não
pertence a AB e, então, os três pontos são não colineares (definem um plano).
Logo, as retas AB e BC são complanares.
7.2Como A , B e C são três pontos não colineares do plano ABC , então,
um vetor u perpendicular a BA e BC é normal ao plano.
Então, o vetor u é tal que u $ BA = 0 / u $ BC = 0 .
Como BA(10, -2, -1) e BC(0, 3, -1) , se u tem coordenadas (a, b, c) ,
tem-se:
10a - 2b - c = 0
(a, b, c) $ (10, -2, -1) = 0
*
+)
+
3b - c = 0
(a, b, c) $ (0, 3, -1) = 0
1
10a = 5b
a= b
2
+*
+)
c = 3b
c = 3b
Fazendo b = 2 , tem-se a = 1 e c = 6 , então, um vetor u , normal
ao plano, tem coordenadas (1, 2, 6) .
Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é x + 2y + 6z + d = 0 .
Como A pertence ao plano, tem-se 10 + d = 0 + d = -10 .
Assim, uma equação do plano é dada por x + 2y + 6z = 10 .
Em alternativa, pode-se substituir as coordenadas dos pontos (não
colineares) A , B e C na equação x + 2y + 6z = 10 e verificar que
se mantém a igualdade:
10 + 2 × 0 + 6 × 0 = 10 + 10 = 10
0 + 2 × 2 + 6 × 1 = 10 + 10 = 10
0 + 2 × 5 + 6 × 0 = 10 + 10 = 10
7.3Considere-se a base da pirâmide [OABC] como sendo o triângulo retângulo
[AOC] e a altura, h , a distância da base da pirâmide ao ponto B (paralela
ao eixo Oz ) .
10 # 5
Então:
#1
A[AOC] # h
25
2
=
=
u. v.
V[OABC] =
3
3
3
Tarefa 2
Na figura ao lado estão representados,
em referencial o.n. Oxyz do espaço,
a superfície esférica definida pela
equação
z
A
(x - 2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = 36
e o plano tangente à superfície esférica
no ponto A(-2, y, 3), y ! IR .
x
y
180
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
7
2.1Determine a ordenada do ponto A sabendo que esta é superior à do centro
da superfície esférica.
2.2Escreva uma equação do plano tangente à superfície esférica no ponto A .
2.1Substituindo x e z , respetivamente, por -2 e 3 , na equação que define
a superfície esférica, obtém-se:
(-2 - 2)2 + (y - 3)2 + (3 + 1)2 = 36 + 16 + (y - 3)2 + 16 = 36 +
+ (y - 3)2 = 4 + y - 3 = 2 0 y - 3 = -2 + y = 5 0 y = 1
Como a ordenada do centro é 3 , tem-se que a ordenada do ponto A é 5 .
2.2O centro da superfície esférica, C , tem coordenadas (2, 3, -1) .
O vetor CA(-4, 2, 4) é normal ao plano tangente à superfície esférica
no ponto A . Logo, o plano pretendido pode-se escrever na forma:
-4x + 2y + 4z + d = 0
Substituindo x , y e z pelas coordenadas do ponto A , respetivamente,
obtém-se:
-4 × (-2) + 2 × 5 + 4 × 3 + d = 0 + d = -30
e, sendo assim, o plano pode ser dado pela equação:
-4x + 2y + 4z - 30 = 0 + 2x - y - 2z + 15 = 0
8
Considere um referencial o.n. Oxyz .
Determine uma equação do plano tangente à superfície esférica de equação
x2 + y2 + (z - 1)2 = 1
na origem do referencial.
O centro da superfície esférica, C , tem coordenadas (0, 0, 1) .
O vetor CO(0, 0, -1) é normal ao plano tangente à superfície esférica
no ponto O (origem do referencial). Logo, o plano pretendido pode-se escrever
na forma -z + d = 0 .
Substituindo z pela cota do ponto O , obtém-se d = 0 e, sendo assim,
o plano pode ser dado pela equação z = 0 .
No referencial o.n. Oxyz da figura está representado
um prisma triangular reto em que:
• C tem coordenadas (4, 0, 1) ;
• a face [ABDO] está contida no plano xOy ;
• ED = 3
z
9
E
C
A
x
O
D y
B
9.1Defina por meio de uma equação cartesiana o plano mediador de [BD] .
9.2Identifique, usando letras da figura, o lugar geométrico definido pela
condição x = 4 / y + 2 2 z = 2 2 .
u2p135h3
181
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Equações de planos no espaço
9.1Determine-se as coordenadas de D :
2
2
2
2
ED = OD + OE + 32 = OD + 12 + OD = 2 2
Logo, D_0, 2 2 , 0i .
Considere-se M_2, 2 2 , 0i o ponto médio do segmento de reta [BD] .
Como BD = D - B tem coordenadas _0 - 4, 2 2 - 2 2 , 0 - 0i =
= (-4, 0, 0) , a equação cartesiana do plano é -4x + d = 0 .
O valor de d é tal que -4 × 2 + d = 0 + d = 8 ; logo, uma equação
cartesiana do plano mediador de [BD] pode ser dada por:
-4x + 8 = 0 + -x + 2 = 0
Em alternativa:
d(B, M) = d(D, M) +
+ (x-4)2+` y-2 2 j +(z-0)2 = (x-0)2+` y-2 2 j +(z-0)2 +
2
2
+ x2 - 8x + 16 + y2 - 4 2y + 8 + z2 = x2 + y2 - 4 2y + 8 + z2 +
+ -8x + 16 = 0 + -x + 2 = 0
Ou então pode-se afirmar que é x = 2 , pois se é perpendicular a [BD]
também é perpendicular a [AO] e, como passa pelo ponto médio de [AO]
de coordenadas (2, 0, 0) , tem-se x = 2 .
9.2Os pontos B_4, 2 2 , 0i e C(4, 0, 1) verificam a condição dada;
portanto, a reta BC é o lugar geométrico definido pela mesma.
7.3 Posição relativa de dois planos
10
Num referencial ortonormado Oxyz , o plano c é definido pela equação:
x - y + 3z - 5 = 0
10.1Determine as coordenadas do ponto de interseção do plano c com o eixo Ox .
10.2Escreva uma condição que defina a reta perpendicular a c e que passa
por A(0, -1, 6) .
10.3Determine uma equação cartesiana do plano paralelo a c e que passa
no ponto de coordenadas (1, 1, 1) .
10.1 Seja I o ponto de interseção do plano c com o eixo Ox , então, I(x, 0, 0)
. Substituindo na equação do plano, obtém-se:
x-0+3×0-5=0+x=5
Portanto, I(5, 0, 0) .
10.2 Pela equação que define o plano c , obtém-se o vetor normal ao plano
de coordenadas (1, -1, 3) .
Por exemplo, uma condição que define a reta perpendicular a c e que
passa por A(0, -1, 6) é:
(x, y, z) = (0, -1, 6) + k(1, -1, 3), k ! IR
182
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
7
10.3 Como o plano é paralelo a c , pode-se considerar o mesmo vetor normal
ao plano de coordenadas (1, -1, 3) .
O ponto (1, 1, 1) pertence ao plano paralelo a c ; logo:
1 - 1 + 3 × 1 + d = 0 + d = -3
Assim, uma equação cartesiana do plano paralelo a c é:
x - y + 3z - 3 = 0
Considere, num referencial ortonormado Oxyz , os planos definidos pelas
seguintes equações:
a: x + y + z = 10
d: 3x + 3y + 3z = 4
11
b: -2x - 2y - 2z = -20
n: 2x + 2y - 2z = 20
Indique, justificando, quais destes planos são paralelos e quais são coincidentes.
Considere-se a e b :
Os vetores normais a a e b têm coordenadas (1, 1, 1) e (-2, -2, -2) ,
respetivamente.
1
Como (1, 1, 1) = - (-2, -2, -2) , conclui-se que os dois vetores são
2
colineares, pelo que os planos a e b são paralelos.
Como -2x - 2y - 2z = -20 + x + y + z = 10 , a e b são coincidentes.
Considere-se a , b e d :
x + y + z = 10 + 3(x + y + z) = 3 × 10 + 3x + 3y + 3z = 30
Como 30 ! 4 , então, d é paralelo a a e a b .
No caso de n , o seu vetor normal não é colinear a nenhum dos outros vetores
normais; logo, n não é paralelo nem coincidente com nenhum dos outros
planos. Além disso, os vetores normais também não são perpendiculares.
Portanto, a e b são coincidentes e d é paralelo a a e b .
12
Considere os planos definidos, em determinado referencial o.n. do espaço,
pelas equações:
a: x + 2y + z = 10
d: -x - y + 2z = 4
b: x + y - 2z = 5
n: 2x + 2y - 4z = -8
Indique, caso seja possível, um par de planos cuja interseção seja:
a)um plano.
b) uma reta.
c) o conjunto vazio.
a)d e n , pois são planos coincidentes.
b)a e b , pois são planos concorrentes.
c)b e n , pois são planos paralelos.
183
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Equações de planos no espaço
Averigue, em cada alínea, se os planos definidos, num referencial o.n.,
pelas seguintes equações são perpendiculares:
13
a) a: 3x - 4y + z = 2
b: 4x + 3y = 3
b) a: -2x + y - 3z = 0
b: 4x + y - z = 11
a)Considere-se ua(3, -4, 1) e ub(4, 3, 0) vetores normais aos planos a e b ,
respetivamente. Os planos a e b são perpendiculares se, e só se, ua $ ub = 0 .
ua $ ub = 3 × 4 + (-4) × 3 + 1 × 0 = 0
Logo, os planos a e b são perpendiculares.
b)Considere-se ua(-2, 1, -3) e ub(4, 1, -1) vetores normais aos planos a e b ,
respetivamente. Os planos a e b são perpendiculares se, e só se, ua $ ub = 0 .
ua $ ub = -2 × 4 + 1 × 1 + (-3) × (-1) = -4 ! 0
Logo, os planos a e b não são perpendiculares.
Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , o cubo [ABCDEFGO] .
14
A face [OGCD] está contida no plano yOz e os pontos E , G e D
têm coordenadas ^ 10, 0, 0h , (0, 3, 1) e (0, -1, 3) , respetivamente.
14.1Mostre que a equação -y + 3z = 0
z
define o plano OEG .
14.2Determine uma condição que defina:
a) o plano ABC .
D
B
A
b) o plano BCF .
c) a reta FG .
C
O
x
F
G
y
E
14.1 Considere-se OD(0, -1, 3) um vetor normal ao plano OEG .
Tem-se que a equação é da forma -y + 3z + d = 0 .
Como E_ 10 , 0, 0i pertence ao plano, conclui-se queu2p138h1
d=0.
Portanto, a equação -y + 3z = 0 define o plano OEG .
14.2 a)Como o plano ABC é paralelo a OEG , tem-se que a equação
é da forma -y + 3z + d = 0 . Como D(0, -1, 3) pertence
ao plano, conclui-se que -(-1) + 3 × 3 + d = 0 + d = -10 .
Portanto, uma condição que define o plano ABC é -y + 3z - 10 = 0 .
b)Considere-se GO(0, -3, -1) um vetor normal ao plano BCF .
Tem-se que a equação é da forma -3y - z + d = 0 . Como G(0, 3, 1)
pertence ao plano, conclui-se que -3 × 3 - 1 + d = 0 + d = 10 .
Portanto, uma condição que define o plano BCF é -3y - z + 10 = 0 .
c)A reta FG é a interseção dos planos BCF e OEG ; logo, uma condição
que a define é:
-3y - z + 10 = 0 / -y + 3z = 0
184
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
7.4 Equação vetorial de um plano
7
15
Considere num referencial o.n. Oxyz os pontos A , B e C de coordenadas
(0, -1, 3) , (2, 4, 5) e (0, -1, 0) , respetivamente.
15.1 Determine as coordenadas de dois vetores, não nulos, paralelos ao plano ABC .
15.2Escreva uma equação vetorial do plano ABC .
15.1 Por exemplo, AB(2, 5, 2) e AC(0, 0, -3) .
15.2Sabe-se que AB e AC são vetores, não colineares, paralelos ao plano
ABC , e o ponto A pertence ao plano. Logo, uma equação vetorial
do plano ABC é dada por:
(x, y, z) = (0, -1, 3) + s(2, 5, 2) + t(0, 0, 3), s, t ! IR
z
Na figura ao lado está representada, em referencial
o.n. Oxyz , a pirâmide quadrangular regular
[ABCOV] cuja base [ABCO] está contida no plano
xOz e o vértice V tem coordenadas (2, 8, 2) .
Tarefa 3
3.1Determine o volume da pirâmide.
C
B
V
O
x
y
A
3.2Escreva um sistema de equações paramétricas do plano OCV .
3.3A equação x + 4y - z - 14 = 0 define o plano mediador de uma
das arestas laterais da pirâmide. Indique, justificando, qual é essa aresta.
u2p140h1
3.1O ponto V tem de abcissa 2 ; logo, o quadrado base da pirâmide
tem de lado
4 u. c. Como a ordenada do ponto V é 8 , a altura da pirâmide é 8 u. c.
O volume da pirâmide é dado por:
128
42 # 8
=
u. v.
V[ABCOV] =
3
3
3.2O ponto C tem coordenadas (0, 0, 4) .
Os vetores OC e OV têm de coordenadas, respetivamente, (0, 0, 4)
e (2, 8, 2) ; assim sendo, o plano OCV pode ser dado pelo sistema
de equações paramétricas:
x = 2t
* y = 8t , s, t ! IR
z = 4s + 2t
3.3A equação define o plano mediador de [CV] , pois o ponto médio tem
coordenadas (1, 4, 3) e verifica a equação:
1 + 4 × 4 - 3 - 14 = 0
Além disso, CV(2, 8, -2) é colinear ao vetor de coordenadas
(1, 4, -1) , normal ao plano dado, uma vez que CV = 2(1, 4, -1) .
185
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Equações de planos no espaço
Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz ,
o tetraedro regular [ABCD] .
16
z
C
Sabe-se que o plano que contém a face [ABC]
é definido pelo seguinte sistema:
x =1- s
* y =-t , s, t ! IR
z=s+t
A
D
O
B
x
y
16.1Determine a medida da aresta do poliedro.
16.2Sabendo que a reta AD é definida pelo sistema
x = 1 + 4k
, k ! IR
*y = k
z=k
determine as coordenadas do ponto D .
u2p142h1n
16.3Determine uma equação cartesiana do plano paralelo ao plano ABC
e que passa no ponto de coordenadas (3, 0, 7) .
16.1 Determine-se a abcissa x do ponto A(x, 0, 0) :
x = 1-s
x=1
*0 =-t + *t = 0
0 = s+t
s=0
Logo, A(1, 0, 0) .
Determine-se a cota z do ponto C(0, 0, z) :
0 = 1-s
s=1
*0 =-t + *t = 0
z = s+t
z=1
Logo, C(0, 0, 1) .
Então, AC =
(0 - 1)2 + 0 + (1 - 0)2 =
Logo, a aresta do poliedro tem de comprimento
2.
2 u. c.
16.2 Tem-se que:
x = 1 + 4k
, k ! IR + (x, y, z) = (1, 0, 0) + k(4, 1, 1), k ! IR
*y = k
z=k
Sabe-se que (1, 0, 0) são as coordenadas de A e u(4, 1, 1) são
as coordenadas do vetor diretor da reta AD , AD = 2 e u = 18 .
1
2
u=A! u.
Portanto, D = A !
3
18
1
1
1
Logo, D tem coordenadas d- , - , - n , pois situa-se no 1.º octante.
3
3
3
186
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
7
x =1- s
16.3 Do sistema * y =-t , s, t ! IR obtêm-se os dois vetores, s(-1, 0, 1)
z=s+t
e t (0, -1, 1) , paralelos ao plano ABC e, por sua vez, paralelos
ao plano pretendido. Então, um vetor, u , perpendicular a estes vetores,
é normal ao plano paralelo a ABC .
Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ s = 0 / u $ t = 0 :
c=a
-a + c = 0
(a, b, c) $ (-1, 0, 1) = 0
*
+)
+(
c=b
-b + c = 0
(a, b, c) $ (0, -1, 1) = 0
Fazendo c = 1 , tem-se a = 1 e b = 1 . Então, um vetor u , normal
ao plano paralelo a ABC , tem coordenadas (1, 1, 1) .
Assim, uma equação cartesiana do plano paralelo a ABC é:
x+y+z+d=0
Como (3, 0, 7) pertence ao plano, tem-se:
3 + 0 + 7 + d = 0 + d = -10
Assim, uma equação cartesiana do plano paralelo a ABC é dada por:
x + y + z - 10 = 0
No referencial ortonormado da figura está representado o prisma quadrangular
regular [ABCDEFGH] (o vértice H não está representado na figura).
17
Sabe-se que:
• o plano EFG é definido pela equação
3x - 6y + 2z + 6 = 0
• o vértice E pertence ao plano xOy ;
• a reta AE é definida pelo sistema
x = 14 + 3k
* y =-7 - 6k , k ! IR
z = 4 + 2k
• B(16, -4, 10) e D(8, -9, 7)
z
C
G
D
B
F
y
A
E
x
17.1Determine as coordenadas de A e de E .
17.2Determine uma equação da reta perpendicular ao plano ABC e que passa
por B .
u2p141h2
17.3Determine uma equação vetorial do plano mediador de [AC] .
17.1 Como E(x, y, z) pertence ao plano xOy , tem cota igual a 0 . Logo:
x = 14 + 3k
x = 14 + 3 (-2)
x=8
* y =- 7 - 6k + * y =- 7 - 6 (-2) + * y = 5
0 = 4 + 2k
k =- 2
k =- 2
Portanto, E(8, 5, 0) .
187
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Equações de planos no espaço
Em alternativa:
3(14 + 3k) - 6(-7 - 6k) + 2(4 + 2k) + 6 = 0 + k = -2
Para determinar as coordenadas de A , sabe-se que:
x = 14 + 3k
* y =- 7 - 6k + (x, y, z) = (14, -7, 4) + k(3, -6, 2), k ! IR
0 = 4 + 2k
As coordenadas de A são da forma (14 + 3k, -7 - 4k, 4 + 2k), k ! IR .
Por outro lado, sabe-se que DB(8, 5, 3) é perpendicular a
AE(-6 - 3k, 12 + 4k, -4 - 2k) ; logo:
DB $ AE = 0 + - 48 - 24k - 60 + 20k - 12 + 6k = 0 + k = 0
Portanto, A(14, -7, 4) .
17.2 A reta perpendicular ao plano ABC que passa por B é paralela
à reta AE ; logo, pode ter o mesmo vetor diretor.
Portanto, uma equação que define a reta pedida é:
(x, y, z) = (16, -4, 10) + k(3, -6, 2), k ! IR
17.3 O plano mediador de [AC] é o plano BDF .
Sabe-se que AE(-6, 12, -4) e BD(-8, -5, -3) são vetores paralelos
ao plano BDF e que o ponto B pertence ao plano.
Logo, uma equação vetorial do plano BDF é dada por:
(x, y, z) = (16, -4, 10) + s(-6, 12, -4) + t(-8, -5, -3), s, t ! IR
z
Na figura está representada, em referencial
o.n. Oxyz , a pirâmide [ABCDV] .
Tarefa 4
Sabe-se que:
• as retas AB e CD são definidas,
respetivamente, pelas equações vetoriais:
(x, y, z) = (2, 1, 1) + k(0, 1, -1), k ! IR
(x, y, z) = (0, 1, 1) + k(0, -2, 2), k ! IR
• o ponto A pertence ao plano xOz ,
B pertence ao plano xOy , C pertence
a Oy e D pertence a Oz .
V
D
A
O
x
C
y
B
4.1Mostre que as retas AB e CD definem um plano.
4.2Escreva uma equação cartesiana do plano que contém a base da pirâmide.
4.3
Justifique que o quadrilátero [ABCD] é um retângulo.
u2p142h1
4.4Admitindo que o ponto V tem coordenadas (2, 3, 2) , determine
o volume da pirâmide.
188
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
4.1Um vetor u , diretor de AB , tem coordenadas (0, 1, -1)
7
e um vetor diretor de CD tem coordenadas (0, -2, 2) .
Como (0, -2, 2) = -2(0, 1, -1) , os vetores são colineares e as retas
são paralelas. O ponto C , por exemplo, não pertence a AB ; logo,
AB e CD são paralelas e definem um plano.
4.2Sejam E e F tais que E(2, 1, 1) ! AB e F(0, 1, 1) ! CD .
Os vetores FE(2, 0, 0) e u(0, 1, -1) são não colineares e paralelos
ao plano ABC .
O vetor n(0, 1, 1) é normal a ambos os vetores; logo, é normal ao plano ABC .
O plano ABC pode ser definido por y + z + d = 0 . Substituindo
x , y e z por 2 , 1 e 1 , respetivamente, obtém-se d = -2 .
Logo, uma equação do plano ABC é y + z - 2 = 0 .
4.3Como A pertence ao plano xOz , tem-se A(x, 0, z) . Por outro lado,
A pertence à reta AB ; logo:
x=2
x=2
(x, 0, z) = (2, 1, 1) + k(0, 1, -1) + *0 = 1 + k + *k =-1
z =1- k
z=2
Portanto, A(2, 0, 2) .
Analogamente, tem-se B(2, 2, 0) , C(0, 2, 0) e D(0, 0, 2) .
Assim, AC(-2, 2, -2) , BD(-2, -2, 2) , AD(-2, 0, 0) e BC(-2, 0, 0) .
Como AC = BD = 2 3 e AD = BC , [ABCD] é um retângulo.
4.4Seja r a reta perpendicular a ABC e que passa por V . Uma equação
da reta r é dada por:
(x, y, z) = (2, 3, 2) + k(0, 1, 1), k ! IR
Considere-se M(x, y, z) a interseção da reta r com o plano ABC ; então:
*
x=2
y =3+ k
+
z=2+k
y+z-2=0
Portanto, M c 2,
*
———
k =3- y
+
k=z-2
———
3 1
, m.
2 2
*
x=2
———
———
———
1
+ z=
2
z =-1 + y
3
y -1+ y - 2 = 0
y=
2
*
3 2
, AD = 2 e AB = 2 2 ; logo,
2
o volume da pirâmide é dado por:
Tem-se que MV =
2#2 2 #
3
3 2
2
= 4 u. v.
189
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01/07/16 12:11
Equações de planos no espaço
Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular
regular [ABCDV] , cuja base está contida no plano xOy .
18
z
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto B
tem coordenadas (5, 3, 0) . O ponto V pertence
ao plano de equação z = 6 . Os planos ADV
e ABV têm equações 6x + 18y - 5z = 24
e 18x - 6y + 5z = 72 , respetivamente.
V
O
18.1
Determine o volume da pirâmide.
A
18.2Determine as coordenadas do ponto V .
18.3Seja S o ponto de coordenadas (-1, -15, 5) .
D
C
y
B
x
Seja r a reta que contém o ponto S e é perpendicular ao plano ADV .
Verifique que a reta r contém o ponto B .
Teste Intermédio do 11.º ano, 2010
18.1 A altura da pirâmide é 6 u. c. , pois V tem cota 6 .
u2p142h2
O ponto A(x, y, z) pertence ao eixo Ox ; logo, tem coordenadas (x, 0, 0) .
Como o ponto A pertence ao plano ADV , tem-se:
6x + 18 × 0 - 5 × 0 = 24 + 6x = 24 + x = 4
Portanto, A(4, 0, 0) .
Calcule-se o comprimento da aresta da base:
AB =
(5 - 4)2 + (3 - 0)2 + (0 - 0)2 = 10
_ 10 i # 6
Logo, o volume da pirâmide é igual a
= 20 u. v.
3
18.2Sabe-se que V é o ponto de interseção de três planos: o plano de equação
z = 6 , o plano ADV e o plano ABV . Portanto:
x = 9 - 3y
6x + 18y - 5z = 24
6x + 18y - 30 = 24
*18x - 6y + 5z = 72 + *18x - 6y + 30 = 72 + *18x - 6y = 42 +
———
z=6
z=6
———
x=3
+ *18 (9 - 3y) - 6y = 42 + * y = 2
———
z=6
Deste modo, tem-se V(3, 2, 6) .
18.3Através da equação do plano ADV , 6x + 18y - 5z = 24 , obtém-se
o vetor de coordenadas (6, 18, -5) , perpendicular ao plano ADV , sendo
um vetor diretor da reta r . Portanto, uma equação vetorial de r é:
(x, y, z) = (-1, -15, 5) + k(6, 18, -5), k ! IR
5 +1
3 + 15
0-5
é uma proposição verdadeira, a reta r
=
=
Como
18
6
-5
contém o ponto B(5, 3, 0) .
2
190
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
7
Na figura seguinte estão representados, num referencial o.n. Oxyz , um cubo
e um octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo.
19
Um dos vértices do cubo é a origem
do referencial e as suas faces estão contidas
nos planos coordenados.
z
E
A
O plano MNK é definido pela equação
x+y+z=2
G
D
K
U
M
J
19.1Determine a medida da aresta do cubo.
O
B
19.2Escreva uma equação vetorial do plano JUL .
19.3Seja T um ponto da aresta [GF] .
L
x
N
F
y
C
Determine as coordenadas de T de modo que
1
LJ $ LT = 2
u2p143h2
19.1 O plano de equação x + y + z = 2 tem o vetor de coordenadas
(1, 1, 1) como vetor normal.
Seja a a medida da aresta do cubo. Sabe-se que M c
a
a
, 0, m
2
2
é o ponto médio da face [ABOE] que pertence ao plano xOy ;
logo, tem ordenada nula. Substituindo as coordenadas de M na equação
a
a
do plano MNK , vem que
+
=2+a=2.
2
2
Portanto, a medida da aresta do cubo é 2 u. c.
19.2 Tem-se que as coordenadas dos pontos J , U e L são, respetivamente,
(2, 1, 1) , (1, 2, 1) e (1, 1, 2) .
Sabe-se que JL(-1, 0, 1) e JU(-1, 1, 0) são vetores paralelos
ao plano JUL e que o ponto J pertence ao plano.
Logo, uma equação vetorial do plano JUL é dada por:
(x, y, z) = (2, 1, 1) + s(-1, 0, 1) + t(-1, 1, 0), s, t ! IR
19.3 Seja T(0, 2, z) , pois pertence à aresta [GF] .
Tem-se LJ(1, 0, -1) e LT(-1, 1, z - 2) ; então:
1
1
+ 1 × (-1) + 0 × 1 + (-1) × (z - 2) = - +
2
2
1
3
+ -1 - z + 2 = - + z =
2
2
3
Portanto, T c 0, 2, m .
2
LJ $ LT = -
191
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01/07/16 12:11
Equações de planos no espaço
AVALIAR CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Considere um referencial o.n. Oxyz . Uma equação do plano que contém
o ponto P(1, 3, 4) e é perpendicular a u(2, 0, 1) é:
(A) x + 2z = 9
(B) 2x - z + 2 = 0
(C) x + 3y + 4z = 9
(D) 2x + z = 6
Tem-se 2x + z + d = 0 . Como P(1, 3, 4) pertence ao plano, conclui-se que:
2 × 1 + 4 + d = 0 + d = -6
Portanto, a condição que define o plano é 2x + z = 6 .
A opção correta é a (D).
2
Considere um referencial o.n. Oxyz . O ponto de coordenadas (-1, 3, k)
pertence ao plano definido analiticamente por -x + 3y + z = 4 , se:
(A) k = -6
(C) k = -3
(B) k = -4
(D) k = 4
-(-1) + 3 × 3 + k = 4 + k = -6
A opção correta é a (A).
z
3
E
No referencial o.n. da figura está representado
um octaedro regular.
Os vértices do octaedro pertencem aos eixos
coordenados e a sua aresta mede 2 2 .
D
A
O
Uma equação do plano que contém a face BCF é:
(A) x + y - z = 2
(B) x + y + z = 2 2
(C) x + y - z = 2 2
C
y
B
x
F
(D) x + y + z = 2
192
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u2p144h1
01/07/16 12:11
UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
7
Pelo teorema de Pitágoras, obtém-se BD = AC = _2 2 i + _2 2 i = 4 ,
logo, as coordenadas de B , C e F são, respetivamente, (2, 0, 0) , (0, 2, 0)
e (0, 0, -2) .
2
2
Seja u um vetor perpendicular a BC(-2, 2, 0) e BF(-2, 0, -2) , vetores
normais ao plano BCF .
Então, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ BA = 0 / u $ BC = 0 :
- 2a + 2b = 0
a=b
(a, b, c) $ (-2, 2, 0) = 0
*
+)
+)
- 2a - 2c = 0
a =- c
(a, b, c) $ (-2, 0, - 2) = 0
Fazendo a = 1 , tem-se b = 1 e c = -1 . Então, um vetor u , normal
ao plano, tem coordenadas (1, 1, -1) .
Assim, uma equação cartesiana do plano BCF é x + y - z + d = 0 .
Como B pertence ao plano, tem-se 2 + d = 0 + d = -2 .
Portanto, uma equação do plano é dada por x + y - z = 2 .
A opção correta é a (A).
4
z
Na figura está representado, em referencial
o.n. Oxyz , um paralelepípedo reto.
S
Sabe-se que:
T
• a origem do referencial é um dos vértices;
• os vértices P , R e S pertencem aos eixos
Ox , Oy e Oz , respetivamente;
P
• o vértice U tem coordenadas (2, 4, 2) .
Considere a reta r definida pela equação
V
U
R
O
y
Q
x
(x, y, z) = (2, 0, 2) + k(0, 0, 1), k ! IR
Qual é o ponto de interseção da reta r com o plano OUV ?
(A) O ponto P .
(B) O ponto T .
(C) O ponto Uu2p144h2
. (D) O ponto V .
Exame Nacional do 12.º ano, 2001
Pode-se afirmar pela equação da reta r que esta contém a aresta [PT] .
Logo, a interseção da reta r com o plano OUV é o ponto P .
A opção correta é a (A).
5
Num referencial o.n. Oxyz , sejam a e b os planos definidos pelas equações
a: x + y - z = 1 e b: 2x + 2y - 2z = 1
A interseção dos planos a e b é:
(A) o conjunto vazio. (B) um ponto. (C) uma reta.
(D) um plano.
Teste Intermédio do 11.º ano, 2008
193
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01/07/16 12:11
Equações de planos no espaço
Tem-se ua(1, 1, -1) perpendicular a a e ub(2, 2, -2) perpendicular a b .
Estes vetores são colineares, pelo que os dois planos são paralelos.
Como as duas equações não são equivalentes, os planos não são coincidentes.
Portanto, são estritamente paralelos.
A opção correta é a (A).
z
6
Na figura está representado, em referencial
o.n. Oxyz , um cubo.
Sabe-se que:
• a origem do referencial é um dos vértices;
• os vértices E , G e A pertencem aos eixos
Ox , Oy e Oz , respetivamente;
• H é o centro da face [OGFE] ;
• uma equação do plano DBH é x + y = 10 .
A
B
C
D
O
G
H
E
y
F
x
Qual é a medida da aresta do cubo?
(A) 5
(B) 10
(C) 5 2
(D) 10 2
u2p145h1
Exame Nacional
do 12.º ano, 2001
O ponto H pertence ao plano DBH ; logo, tem cota igual a zero e abcissa
igual à ordenada.
Portanto, x + x = 10 + x = 5 . Logo, H(5, 5, 0) e a medida da aresta
do cubo é 10 u. c.
A opção correta é a (B).
7
Considere a pirâmide quadrangular regular representada
na figura onde o ponto M é o centro da base.
Num determinado referencial o.n., as coordenadas dos
pontos V e M são (2, 3, 4) e (-1, 2, 5) , respetivamente.
Uma equação do plano ABC é:
(A) 3x + y + z = -6
(C) 3x + y - z = -6
(B) x - 3y = -7
(D) x + 3z = 14
C
D
M
B
A
V
Considere-se o vetor MV(3, 1, -1) , perpendicular ao plano ABC .
Assim, uma equação cartesiana do plano é 3x + y - z + d = 0 .
u2p145h2
Como M pertence ao plano, tem-se:
3 × (-1) + 1 × 2 - 1 × 5 + d = 0 + d = 6
Logo, uma equação cartesiana do plano é dada por 3x + y - z + 6 = 0 .
A opção correta é a (C).
194
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01/07/16 12:11
UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
8
7
Na figura, o plano a é, num referencial o.n., definido pela equação
x - 2y + 3z = 3 e é tangente à superfície esférica, de centro em C ,
no ponto A de coordenadas (-1, 1, 2) .
Uma equação da superfície esférica pode ser:
A
(A) (x + 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 3
C
(B) x2 + y2 + z2 = 6
(C) x2 + (y + 1)2 + (z - 5)2 = 6
(D) (x + 2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = 14
Substituindo as coordenadas do ponto A nas quatro hipóteses de equações,
obtêm-se como verdadeiras as opções (B) e (D).
u2p145h3
Se C(0, 0, 0) , tem-se que AC(1, -1, -2) e AC não é colinear a (1, -2, 3) .
Se C(-2, 3, -1) , tem-se que AC(-1, 2, -3) e AC é colinear a (1, -2, 3) .
A opção correta é a (D).
9
Num referencial ortonormado do espaço, o plano a é definido pela seguinte
equação vetorial:
(x, y, z) = (1, 2, 3) + s(1, 1, 2) + t(-1, 0, 2), s, t ! IR
Uma equação cartesiana do plano a é:
(A) 2x - 4y + z + 3 = 0
1
z=0
2
(D) 2x + 4y + z - 13 = 0
(C) x - 2y +
(B) -2x + 4y - z + 1 = 0
Os vetores s(1, 1, 2) e t (-1, 0, 2) são paralelos ao plano a .
Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano a .
Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ s = 0 / u $ t = 0 :
(a, b, c) $ (1, 1, 2) = 0
a + b + 2c = 0
b =- 4c
*
+)
+)
(a, b, c) $ (-1, 0, 2) = 0
- a + 2c = 0
a = 2c
Fazendo c = 1 , tem-se a = 2 e b = -4 . Então, um vetor u , normal
ao plano a , tem coordenadas (2, -4, 1) .
Assim, uma equação cartesiana do plano a é 2x - 4y + z + d = 0 .
Como (1, 2, 3) pertence ao plano, tem-se:
2×1-4×2+3+d=0+d=3
Portanto, uma equação cartesiana do plano a é dada por:
2x - 4y + z + 3 = 0
A opção correta é a (A).
195
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Equações de planos no espaço
10
Na figura estão representados o plano a e a reta r definidos,
num referencial o.n. do espaço, pelas equações x - y + z = 1
e (x, y, z) = (-1, 0, 0) + k(1, 1, -2), k ! IR , respetivamente.
Seja a o ângulo que a reta r faz com a sua projeção ortogonal sobre o plano a .
Então, a amplitude de a , em graus,
aproximada às décimas, é:
r
(A) 28,1°
a
(B) 60°
a
(C) 61,9°
(D) 118,1°
Sejam u(1, -1, 1) vetor normal ao plano a e v(1, 1, -2) vetor diretor da reta r .
Então:
u$v= u
v cos_u T v i + cos_u T v i =
1 - 1 - 2 u2p145h4
2
2
==3
3 # 6
18
Como _u T v i c 118,1° , tem-se que aU c 180 - 90 - 118,1° = 28,1° .
A opção correta é a (A).
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
11
Considere três pontos A , B e C , pertencentes aos eixos
coordenados representados no referencial Oxyz da figura.
z
4 C
Os pontos A e C têm coordenadas (3, 0, 0) e (0, 0, 4) ,
respetivamente, B pertence ao eixo Oy e AB = 13 .
11.1Determine as coordenadas do ponto B .
3
11.2Determine a amplitude, em graus, do ângulo
dos vetores CA e CB , aproximada às décimas.
O
B
y
A
x
11.3Determine uma equação cartesiana do plano ABC .
11.1 Tem-se que A(3, 0, 0) e B(0, y, 0) , então:
AB = 13 + (-3, y, 0) = 13 +
2
+ 9 + y = 13 + y = 2
u2p146h1
9 + y 2 = 13
+
9 + y2 H 0
y>0
Logo, B(0, 2, 0) .
196
000707 176-205 U7.indd 196
01/07/16 12:11
UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
11.2 CA = A - C tem coordenadas (3, 0, -4) e CB = B - C tem
7
coordenadas (0, 2, -4) .
Logo:
CA $ CB = CA CB cos_CA T CBi + cos_CA T CBi =
+ cos_CA T CBi =
16
+
5#2 5
8 5
+ CA T CB c 44,3°
25
11.3 Os dois vetores CA(3, 0, -4) e CB(0, 2, -4) são paralelos ao plano ABC .
Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano ABC .
Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ CA = 0 / u $ CB = 0 :
4
(a, b, c) $ (3, 0, -4) = 0
3a - 4c = 0
a= c
3
*
+)
+*
(a, b, c) $ (0, 2, -4) = 0
2b - 4c = 0
b = 2c
Fazendo c = 3 , tem-se a = 4 e b = 6 . Então, um vetor u , normal
ao plano ABC , tem coordenadas (4, 6, 3) .
Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é 4x + 6y + 3z + d = 0 .
Como A(3, 0, 0) pertence ao plano, tem-se 4 × 3 + d = 0 + d = -12 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano ABC é dada por:
4x + 6y + 3z - 12 = 0
z
12
Na figura está representado, em referencial
o.n. Oxyz , um triângulo [ABC] .
O
B
y
A
Relativamente ao triângulo [ABC] , sabe-se que:
• está contido no plano a de equação
C
x
20x + 15y - 12z = 60
• os pontos A , B e C pertencem aos eixos Ox , Oy e Oz , respetivamente.
12.1Determine as coordenadas dos vértices do triângulo.
12.2Classifique o triângulo quanto aos ângulos.
u2p146h2
12.3Determine uma equação cartesiana de um plano perpendicular a a
e que contém o ponto B .
12.1 Tem-se que A(x, 0, 0) , B(0, y, 0) e C(0, 0, z) , pois pertencem
aos eixos Ox , Oy e Oz , respetivamente. Então, substituindo
na equação do plano a , obtém-se:
20x = 60 + x = 3
15y = 60 + y = 4
-12z = 60 + z = -5
Logo, A(3, 0, 0) , B(0, 4, 0) e C(0, 0, -5) .
197
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01/07/16 12:11
Equações de planos no espaço
12.2Como AB(-3, 4, 0) , AC(-3, 0, -5) e BC(0, -4, -5) , então:
AB =
(-3)2 + 4 2 = 5
AC =
(-3)2 + (-5)2 =
BC =
2
34
2
(-4) + (-5) =
41
A e W
B
Aplicando o teorema de Carnot, obtêm-se os ângulos internos W
do triângulo ABC :
2
2
41 = 52 + 34 - 2 × 5 × 34 cos W
A+
59 - 41
A + cos W
A=
+
+ 41 = 59 - 10 34 cos W
10 34
9 34
+ cos W
A=
A c 72°
+W
170
2
34 = 52 +
2
41 - 2 × 5 ×
16 41
+ cos W
B=
B c 89°
+W
205
W = 180° - W
A-W
B c 19° .
Logo, C
66 - 34
B + cos W
B=
41 cos W
+
10 41
Portanto, o triângulo é acutângulo.
12.3Seja BA(3, -4, 0) , por exemplo, um vetor normal ao plano perpendicular a a .
Uma equação cartesiana do plano é 3x - 4y + d = 0 .
Como a contém o ponto B(0, 4, 0) , tem-se d = 16 .
Logo, uma equação cartesiana do plano perpendicular a a é dada por:
3x - 4y + 16 = 0
13
No referencial o.n. da figura está
representado um prisma, em que
um dos vértices é a origem do referencial,
a base [OABC] está contida no plano
xOy e o ponto F tem coordenadas
(4, 3, -2) .
13.1Calcule BG $ AD .
z
A
O
y
C
B
G
E
x
D
F
13.2Determine uma equação cartesiana do plano OBF .
13.3Calcule o valor real de p , de modo que o ponto P , de coordenadas
(2p, - p + 2, 4) , pertença ao plano mediador de [AB] .
u2p146h3
13.1 BG = G - B tem coordenadas (0 - 4, 3 - 0, -2 - 0) = (-4, 3, -2) .
AD = D - A tem coordenadas (4 - 0, 0 - 3, -2 - 0) = (4, -3, -2) .
BG $ AD = -4 × 4 + 3 × (-3) + (-2) × (-2) = -21
198
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
7
13.2Os vetores BO(-4, 0, 0) e BF(0, 3, -2) são paralelos ao plano OBF .
Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano OBF .
Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ BO = 0 / u $ BF = 0 .
a=0
- 4a = 0
(a, b, c) $ (- 4, 0, 0) = 0
*
)
+
+*
2
3b - 2c = 0
(a, b, c) $ (0, 3, -2) = 0
b= c
3
Fazendo c = 3 , tem-se b = 2 . Então, um vetor u , normal ao plano
OBF , tem coordenadas (0, 2, 3) .
Assim, uma equação cartesiana do plano OBF é 2y + 3z + d = 0 .
Como O(0, 0, 0) pertence ao plano, tem-se d = 0 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano OBF é dada por:
2y + 3z = 0
13.3Seja M o ponto médio de [AB] . Então, M c 2,
3
, 0m .
2
Sabe-se que MP $ AB = 0 , ou seja:
3
c 2p - 2, - p + 2 - , 4 m $ (4, -3, 0) = 0 +
2
9
19
+ 8p - 8 + 3p - 6 +
+0=0+p=
2
22
Em alternativa:
Plano mediador de [AB] :
d(A, M) = d(B, M) +
+ (x - 0)2 + (y - 3)2 + (z - 0)2 = (x - 4)2 + (y - 0)2 + (z - 0)2 +
+ x2 + y2 - 6y + 9 + z2 = x2 - 8x + 16 + y2 + z2 +
+ 8x - 6y - 7 = 0
Como o ponto P(2p, -p + 2, 4) pertence ao plano mediador [AB] :
19
8(2p) - 6(-p + 2) - 7 = 0 + 16p + 6p = 7 + 12 + p =
22
14
Considere as retas r e s , definidas num referencial ortonormado por:
r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(1, -1, 2), k ! IR
s: (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(3, -1, 0), k ! IR
14.1Justifique que as retas r e s definem um plano e determine
uma equação vetorial desse plano.
14.2Determine um sistema de equações paramétricas de uma reta
perpendicular a s e que passa pela origem do referencial.
14.3Determine a interseção da reta r com o plano xOz .
199
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Equações de planos no espaço
14.1 Como os vetores ur(1, -1, 2) e us(3, -1, 0) são não colineares e as retas
r e s se intersetam no ponto (1, 2, 3) , então, as retas definem um plano,
pois são concorrentes.
Uma equação vetorial desse plano é:
(x, y, z) = (1, 2, 3) + a(1, -1, 2) + b(3, -1, 0), a, b ! IR
14.2Dados dois vetores ur(1, -1, 2) e us(3, -1, 0) , paralelos ao plano que
contém r e s , obtém-se um vetor v perpendicular a estes vetores
que é normal ao plano.
Logo, o vetor v(a, b, c) é tal que v $ ur = 0 / v $ us = 0 :
(a, b, c) $ (1, -1, 2) = 0
a - b + 2c = 0
*
+)
+
(a, b, c) $ (3, -1, 0) = 0
3a - b = 0
a=c
- 2a + 2c = 0
+(
+)
b = 3a
b = 3a
Fazendo c = 1 , tem-se a = 1 e b = 3 . Então, um vetor v ,
normal ao plano, tem coordenadas (1, 3, 1) .
Assim, uma equação vetorial da reta pedida é:
(x, y, z) = (0, 0, 0) + k(1, 3, 1), k ! IR
Logo, um sistema de equações paramétricas da reta perpendicular a s
e que passa pela origem do referencial pode ser dado por:
x=k
* y = 3k , k ! IR
z=k
14.3Seja I o ponto de interseção da reta r com o plano xOz .
Então, I(x, 0, z) ! r , ou seja:
(x, 0, z) = (1, 2, 3) + k(1, -1, 2), k ! IR
Logo:
x = 1+k
x=3
*0 = 2 - k + * k = 2
z = 3 + 2k
z=7
Portanto, I(3, 0, 7) .
15
Na figura está representada, em referencial ortonormado,
uma superfície esférica centrada na origem do referencial
à qual pertencem os pontos A , B , C e D , tais que:
• os pontos A e B têm coordenadas (0, 8, 6) e (0, -8, 6) ,
respetivamente;
• o ponto D pertence ao semieixo positivo das abcissas;
• o ponto C pertence ao semieixo negativo das cotas.
z
B
A
O
y
D
x
C
200
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
15.1Escreva uma equação da superfície esférica.
7
15.2Defina analiticamente o plano ABD .
WAh .
15.3Calcule sin^BC
15.4Escreva uma equação vetorial do plano tangente à superfície esférica
no ponto B .
15.1
OA =
0 + (8 - 0)2 + (6 - 0)2 = 100 = 10
Uma equação da superfície esférica é x2 + y2 + z2 = 100 .
15.2As coordenadas de D são (10, 0, 0) , pois pertence ao semieixo positivo
das abcissas.
Os vetores AB(0, -16, 0) e AD(10, -8, -6) são paralelos ao plano ABD .
Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano.
Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ AB = 0 / u $ AD = 0 .
b=0
(a, b, c) $ (0, -16, 0) = 0
- 16b = 0
+)
+*
*
3
(a, b, c) $ (10, -8, -6) = 0
10a - 8b - 6c = 0
a= c
5
Fazendo c = 5 , tem-se a = 3 . Então, um vetor u , normal ao plano,
tem coordenadas (3, 0, 5) .
Assim, uma equação cartesiana do plano ABD é 3x + 5z + d = 0 .
Como D(10, 0, 0) pertence ao plano, tem-se:
3 × 10 + d = 0 + d = -30
Portanto, pode-se, por exemplo, definir o plano ABD por
3x + 5z - 30 = 0 .
15.3As coordenadas de C são (0, 0, -10) , pois pertence ao semieixo negativo
das cotas.
Como AB(0, -16, 0) , AC(0, -8, -16) e BC(0, 8, -16) , então:
AB =
(-16)2 = 16
AC =
(-8)2 + (-16)2 =
BC =
8 2 + (-16)2 =
320
320
Aplicando o teorema de Carnot, obtém-se:
W+
320 × 320 cos C
W + cos C
W = 640 - 256 + cos C
W= 3
+ 256 = 640 - 640 cos C
640
5
Pela fórmula fundamental da trigonometria, tem-se:
W + cos2 C
W = 1 + sin2 C
W = 1 - 9 + sin2 C
W = 16 +
sin2 C
25 sinCW > 0
25
4
16
W=
W=
+ sin C
+ sin C
25
5
162 =
2
320 +
2
320 - 2 ×
201
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Equações de planos no espaço
15.4 Seja a o plano tangente à superfície esférica no ponto B . Então, o vetor
BO(0, 8, -6) é um vetor normal a a . Considerem-se dois vetores, não
colineares entre si, perpendiculares a BO , de coordenadas, por exemplo,
(1, 0, 0) e (0, 3, 4) . Como estes dois vetores são paralelos a a e o ponto
B pertence a a , tem-se que uma equação vetorial de a é, por exemplo:
(x, y, z) = (0, -8, 6) + a(1, 0, 0) + b(0, 3, 4), a, b ! IR
16
No referencial o.n. Oxyz está
representado um octaedro, constituído
por duas pirâmides quadrangulares
regulares geometricamente iguais.
z
V
B
30º
Sabe-se que:
O
• o quadrado [ABCD] está contido A
D
no plano xOy ;
• os vértices U e V pertencem
U
x
ao eixo Oz ;
• a face ABV está contida no plano de equação
- 3y + 3z = 3 3
• o ângulo agudo que cada face das duas pirâmides forma com a base
u2p147h2
tem amplitude de 30° .
C
y
16.1Determine o volume do sólido.
16.2Determine uma equação cartesiana do plano UDC e mostre que este
é paralelo ao plano ABV .
16.3Seja r a reta perpendicular ao plano ABV que passa por D .
Calcule as coordenadas do ponto de interseção da reta r com o plano ABV .
16.1 Considere-se a pirâmide quadrangular [ABCDV] .
Como V pertence ao eixo Oz , tem abcissa e ordenada nula;
e como pertence ao plano ABV , tem-se:
Então, V _0, 0,
- 3 × 0 + 3z = 3 3 + z =
3
3 i e a altura da pirâmide [ABCDV] é de
3 u. c.
Seja E o ponto médio de [DC] .
Então:
3
=3
3
3
Logo, a aresta do quadrado [ABCD] tem de comprimento 6 u. c.
tan 30° =
3
+ OE =
OE
Portanto:
Voctaedro = 2V[ABCDV] = 2 ×
62 #
3
3
= 24 3 u. v.
202
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16.2 Tem-se que C(-3, 3, 0) , D(3, 3, 0) e U _0, 0, -
UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
3i .
7
Os vetores DC(-6, 0, 0) e DU_- 3, -3, - 3 i são paralelos ao plano
UDC . Então, um vetor u(a, b, c) perpendicular a estes vetores é normal
ao plano.
Logo:
(a, b, c) $ (-6, 0, 0) = 0
- 6a = 0
*
+)
(a, b, c) $ _-3, -3, - 3 i = 0
- 3a - 3b -
3c = 0
+
a=0
+)
c =- 3 b
Fazendo b = 1 , tem-se c = - 3 . Então, um vetor u , normal
ao plano, tem coordenadas _0, 1, - 3 i .
Assim, uma equação cartesiana do plano UDC é:
y-
3z + d = 0
Como U _0, 0, - 3 i pertence ao plano, tem-se d = -3 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano UDC é dada por:
y-
3z - 3 = 0
Os planos UDC e ABV são paralelos porque os vetores _0, 1, - 3 i
e _0, - 3 , 3i são colineares:
_0, 1, - 3 i = - 3 _0, 1, - 3 i = _0, - 3 , 3i
16.3 Uma equação que define a reta r :
(x, y, z) = (3, 3, 0) + k_0, - 3 , 3i, k ! IR
Assim, um ponto que pertença a r tem coordenadas da forma
_3, 3 - 3 k, 3k i .
Como o ponto de interseção da reta r com o plano ABV pertence
a ambos, tem-se:
- 3 _3 -
3 k i + 3(3k) = 3 3 +
+ -3 3 + 3k + 9k = 3 3 +
3
2
Portanto, o ponto tem coordenadas:
+k=
e 3, 3 -
3#
3
3
3 3 3
o = e 3, ,
o
, 3#
2
2
2
2
203
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Equações de planos no espaço
17
Considere, num referencial o.n. Oxyz , os pontos A , B e C de coordenadas
(3, 0, 0) , (0, -2, 0) e (0, 0, 4) , respetivamente.
17.1Determine uma equação cartesiana do plano:
a) ABC
b)tangente à superfície esférica, de diâmetro [AB] , no ponto A .
c)perpendicular ao plano ABC e que passa por B .
17.2Seja D um ponto de ordenada positiva pertencente à reta paralela
ao eixo Oy e que passa por C . Determine as coordenadas de D
XA = r .
sabendo que CD
6
17.3Identifique o lugar geométrico dos pontos P(x, y, z) tais que AP $ BP = 0 .
17.4Determine o volume da pirâmide triangular [OABC] .
17.5Seja r a reta perpendicular ao plano ABC e que passa pelo ponto
de coordenadas (2, 2, -1) . Determine as coordenadas do ponto
de interseção da reta r com o plano ABC .
17.1 a)Os vetores AB(-3, -2, 0) e AC(-3, 0, 4) são paralelos ao plano ABC .
Então, um vetor u(a, b, c) perpendicular a estes vetores é normal ao plano.
Logo:
(a, b, c) $ (-3, -2, 0) = 0
- 3a - 2b = 0
*
+)
+
(a, b, c) $ (-3, 0, 4) = 0
- 3a + 4c = 0
*
b =-
c=
3
a
2
3
a
4
Fazendo a = 4 , tem-se b = -6 e c = 3 . Então, um vetor u ,
normal ao plano, tem coordenadas (4, -6, 3) .
Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é 4x - 6y + 3z + d = 0 .
Como A(3, 0, 0) pertence ao plano, tem-se d = -12 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano ABC é dada por:
4x - 6y + 3z - 12 = 0
b)O vetor BA(3, 2, 0) é normal ao plano a tangente à superfície
esférica no ponto A . Logo, o plano a pode-se escrever na forma
3x + 2y + d = 0
Como A ! a , tem-se:
3 × 3 + 2 × 0 + d = 0 + d = -9
Portanto, uma equação cartesiana do plano a pode ser dada pela
equação 3x + y - 9 = 0 .
c)O vetor BA(3, 2, 0) pertence ao plano ABC ; logo, BA é um vetor
normal ao plano b perpendicular a ABC .
Logo, o plano b pode-se escrever na forma 3x + 2y + d = 0 .
204
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UNIDADE
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Como B(0, -2, 0) pertence ao plano b , tem-se:
3 × 0 + 2 × (-2) + d = 0 + d = 4
Assim, uma equação cartesiana do plano perpendicular a ABC
que passa por B pode ser: 3x + 2y + 4 = 0 .
7
17.2 Pelo enunciado, sabe-se que o ponto D tem coordenadas (0, y, 4) ,
com ordenada positiva.
Como DC(0, -y, 0) e DA(3, -y, -4) , então:
(- y)2 + y
DC =
y>0
2
3 + (- y)2 + (-4)2 =
DA =
Tem-se:
X +
DC $ DA = DC × DA × cos CDA
y 2 + 25
+ y2 = y` y 2 + 25 j
3
3
+ y = ` y 2 + 25 j
+
2 y>0
2 y>0
3
1
75
75
+ y2 - y2 = 0 + y2 =0+
4
4
4
4
+ y = !5 3 & y = 5 3
y>0
Logo, D_0, 5 3 , 4i .
17.3 É a superfície esférica de centro no ponto médio de [AB] e raio igual a
cx -
AB
:
2
3 2
13
m + (y + 1)2 + z2 =
2
4
17.4 Considere-se como base da pirâmide o triângulo [OAB] e como altura [OC] :
3#2
#4
A[OAB] # OC
2
=
= 4 u. v.
V[OABC] =
3
3
17.5 Uma equação que define a reta r :
(x, y, z) = (2, 2, -1) + k(4, -6, 3), k ! IR
Assim, um ponto que pertença a r tem coordenadas da forma:
(2 + 4k, 2 - 6k, -1 + 3k)
Como o ponto de interseção da reta r com o plano ABC pertence a ambos,
tem-se:
4(2 + 4k) - 6(2 - 6k) + 3(-1 + 3k) - 12 = 0 +
19
+ 8 + 16k - 12 + 36k - 3 + 9k - 12 = 0 + 61k = 19 + k =
61
Portanto:
19
198
x = 2+4#
x=
61
61
19
8
+ y=
y = 2-6#
61
61
19
4
z =-1 + 3 #
z =61
61
*
As coordenadas desse ponto são d
000707 176-205 U7.indd 205
*
198 8
4
n.
,
,61 61
61
205
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Avaliação global de conhecimentos
AVALIAÇÃO GLOBAL DE CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
y
Na figura está representado, num referencial
o.n. xOy , um triângulo equilátero [OPQ]
de altura 12 .
Tal como a figura sugere, o vértice O coincide
com a origem do referencial, o vértice P
pertence ao eixo das ordenadas e o vértice Q
pertence ao 3.º quadrante.
O
x
Q
P
Qual é o declive da reta OQ ?
(A)
1
3
(B)
1
6
(C)
3
3
(D)
3
6
u2p152h1
W
Como o triângulo [OPQ] é equilátero, tem-se POQ = 60° .
Logo, a inclinação da reta OQ é igual a 90° - 60° = 30º .
3
3
A opção correta é a (C).
tan 30° =
2
Considere, num referencial o.n . xOy , duas retas, r e s , perpendiculares.
Sabe-se que a reta s tem declive 3 e que as retas se intersetam no ponto
de coordenadas _ 3 , 1i .
Qual é a ordenada na origem da reta r ?
(A) 1
(B)
2
(C)
3
(D) 2
Como s e r são perpendiculares, o declive da reta r é Logo, a equação da reta r é da forma:
3
.
3
3
x+b
3
Substituindo as coordenadas do ponto de interseção, obtém-se:
y=-
1=-
3
×
3
3 +b+b=2
A opção correta é a (D).
206
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Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
3
Considere, num referencial o.n. xOy , uma reta t , de declive Sendo a a inclinação da reta t , qual é o valor de sinc
(A) -
4
5
(B) -
3
5
(C)
r
+ am ?
2
3
5
(D)
4
r
+ a m = cos a e tan a = - , com a ! 2.o Q
2
3
1
1
16
9
1 + tan2 a =
+1+
=
+ cos2 a =
9
25
cos 2 a
cos 2 a
A opção correta é a (B).
4
.
3
4
5
sinc
4
& cos a = -
a ! 2.o Q
3
5
C
Considere o triângulo [ABC] da figura, com
dois ângulos de amplitude a e em que BC = a .
Qual é a expressão que representa AC $ BC ?
(A) a2 cos(2a)
(C) -a2 sin(2a)
(B) -a2 cos(2a)
(D) a2 sin(2a)
AC $ BC = AC
A
a
a
BC cos_ AC T BC i = a2 cos(180° + 2a) = -a2 cos(2a)
B
A opção correta é a (B).
u2p152h2
5
Considere um vetor AB , em que AB = 2 .
Qual é o valor do produto escalar AB $ BA ?
(A) 4
(B) -4
(C) 0
(D) 2
AB $ BA = AB BA cos_ AB T BAi = 2 × 2 × cos 180° = -4
A opção correta é a (B).
6
Considere, num referencial o.n. xOy , para um determinado valor de k ! IR ,
o vetor u(k + 1, 3) e os pontos A(2, -1) e B(-1, 3) .
Os valores de k para os quais o ângulo de u e AB é agudo são:
(A) ]3, +3[
(B) ]-3, 3[
(C) ]-3, -3[
(D) ]-3, +3[
AB(-3, 4)
u $ AB > 0 + -3k - 3 + 12 > 0 + k < 3
A opção correta é a (B).
207
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01/07/16 12:32
Avaliação global de conhecimentos
7
Considere, num referencial o.n. do plano, o vetor u(1, sin x), x ! [0, r] .
O valor de x tal que u $ u = 2 é:
r
r
(A)
(B)
2
6
2r
3
(C)
(D) r
2
u $ u = 2 + u = 2 + 12 + sin2 x = 2 +
r
+ sin2 x = 1 + x =
2
x ! [0, r]
A opção correta é a (B).
8
Considere, no referencial o.n. xOy , os vetores a(1, 2) e b(-2, 2) .
A amplitude, em graus, do ângulo formado pelos vetores a e b é,
aproximadamente, de:
(A) 43°
(B) 58°
(C) 72°
a $ b = a b cos_ a T b i + -2 + 4 =
+ cos_ a T b i =
5×
10
& _ a T b i . 72°
10
(D) 81°
8 × cos_ a T b i +
A opção correta é a (C).
9
Considere um triângulo [ABC] retângulo em B .
Sabendo que, num referencial o.n. do plano, A e C têm coordenadas (1, 1)
e (4, 5) , respetivamente, e que B pertence ao eixo Oy , as coordenadas
de B são:
5
n
(A) (0, 2)
(B) (0, 3)
(C) d 0,
(D) (0, -3)
2
Considere-se B(0, y) ; então, BA(1, 1 - y) e BC(4, 5 - y) .
Como o triângulo [ABC] é retângulo em B , tem-se:
BA $ BC = 0 + 4 + 5 - y - 5y + y2 = 0 + y2 - 6y + 9 = 0 +
+y=
6!
36 - 4 # 1 # 9
+y=3
2
Portanto, B(0, 3) .
A opção correta é a (B).
208
000707 206-242.indd 208
01/07/16 12:32
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
10
No referencial o.n. da figura está representado um triângulo.
De acordo com os dados da figura, uma condição que define o triângulo,
incluindo a fronteira é:
y
1
3
(A) y H 2x - 2 / y G - x +
/xH0
2
2
1
3
(B) y G 2x - 2 / y G - x +
/xH0
2
2
1
3
O
(C) y H 2x - 2 / y H - x +
/xH0
1
3
2
2
22
1
3
(D) y H 2x - 2 / y G - x +
/yH0
2
2
x
Sejam r a reta que passa nos pontos (0, -2) e (1, 0) e s a reta perpendicular
a r que passa no ponto (3, 0) . Então, tem-se:
1
3 u2p153h1
r: y = 2x - 2 e s: y = - x +
2
2
A opção correta é a (A).
11
Considere, num referencial o.n. do plano, a reta r de equação x + 2y = 1 .
Qual das afirmações é falsa?
(A) A inclinação da reta r é de, aproximadamente, 153,4° .
(B)Uma equação vetorial da reta r é:
(x, y) = (3, -1) + k(-4, 2), k ! IR
(C)Uma equação da reta t , perpendicular a r , pode ser:
y = -2x + 2
(D) A reta r interseta a bissetriz dos quadrantes pares no ponto (-1, 1) .
1
x
+
2
2
(A)Verdadeira. Seja a a inclinação de r . Então:
1
1
& a . 153,4°
tan a = - + tan(180° - a) =
2
2
(B)Verdadeira. O ponto (3, -1) ! r , pois 3 + 2 × (-1) = 1 ,
2
1
e (-4, 2) é um vetor diretor de r , pois - = - .
4
2
1
(C)Falsa. Como -2 × - ! -1 , t e r não são perpendiculares.
2
(D)Verdadeira. O ponto (-1, 1) ! r , pois -1 + 2 × 1 = 1 .
x + 2y = 1 + y = -
A opção correta é a (C).
209
000707 206-242.indd 209
01/07/16 12:32
Avaliação global de conhecimentos
12
Dados dois pontos A e B do plano, o conjunto dos pontos P do plano,
tais que PA $ PB = 0 , é:
(A) uma circunferência.
(C) uma reta.
(B) um segmento de reta.
(D) um círculo.
A opção correta é a (A).
13
Considere as retas r e s definidas, num referencial o.n. xOy ,
respetivamente, por:
r: y = 2x - 1
s: (x, y) = (3, 1) + k(-3, 1), k ! IR
A amplitude do menor ângulo formado pelas retas r e s é, com aproximação
à décima de grau:
(A) 81,7°
(B) 81,8°
(C) 81,9°
(D) 82,0°
Um vetor diretor de r é r(1, 2) e de s é s(-3, 1) . Portanto:
r$s= r
s cos_ r T s i + -3 + 2 =
+ cos_ r T s i = -
A opção correta é a (C).
2
+ _ r T s i á 98,1°
10
5 10 cos_ r T s i +
14
Considere, num referencial o.n. Oxyz , o plano definido pela equação:
2x - y + 3z = 7
As coordenadas de um vetor normal ao plano podem ser:
(A) (1, -1, -1)
(B) (1, 2, 0)
(C) (-2, 1, -3)
(D) (-3, 0, 2)
A opção correta é a (C).
15
Considere, num referencial o.n. Oxyz :
• a superfície esférica E definida pela condição x2 + y2 + z2 = 25 ;
• a reta r de equação (x, y, z) = (0, 0, 4) + k(1, 0, 0), k ! IR .
A reta r interseta a superfície esférica E em dois pontos, A e B .
Qual é a amplitude, em graus, do ângulo AOB (valor arredondado às unidades)?
(A) 72°
(B) 74°
(C) 76°
(D) 78°
210
000707 206-242.indd 210
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Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Os pontos da reta r têm coordenadas da forma (k, 0, 4) .
Como A e B pertencem à superfície esférica, tem-se:
k2 + 02 + 42 = 25 + k = 3 0 k = -3
Portanto, OA(-3, 0, 4) e OB(3, 0, 4) . Assim:
W i + -9 + 0 + 16 = 25 cos_ AOB
W i+
OA $ OB = OA OB cos_ AOB
W á 74°
W i = 7 + AOB
+ cos_ AOB
25
A opção correta é a (B).
16
Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz , a pirâmide de base
quadrangular [ABCO] contida no plano xOy e com vértice V de coordenadas
(0, 0, 1) .
O ponto B tem coordenadas (1, 1, 0) .
z
V
O
A
x
C y
B
O valor de AC $ BV é:
(A)
6
(B)
3
(C)
2
(D) 0
Tem-se A(1, 0, 0) e C(0, 1, 0) ; logo:
0) $ (-1, -1, 1) = 1 - 1 + 0 = 0
AC $ BC = (-1, 1, u2p154h1
A opção correta é a (D).
17
Considere, num referencial o.n. Oxyz , os planos a e b definidos,
respetivamente, por
a: x + y - z = 0 e b: x + kz = 1, k ! IR
O valor de k de modo que a e b sejam perpendiculares é:
(A) 0
(B) 0,5
(C) 1
(D) 2
Sejam ra(1, 1, -1) e rb(1, 0, k) vetores normais aos planos a e b ,
respetivamente. Então, a e b são perpendiculares se, e só se:
(1, 1, -1) $ (1, 0, k) = 0 + 1 - k = 0 + k = 1
A opção correta é a (C).
211
000707 206-242.indd 211
01/07/16 12:32
Avaliação global de conhecimentos
18
Considere, num referencial o.n. Oxyz , o prisma
quadrangular reto [ABCDEFGH] cuja base superior
está contida no plano xOy . A origem do referencial
é o ponto médio da aresta [CD] .
z
D
A
x
Sabe-se que F tem coordenadas (2, 1, -4) .
H
O valor de m de modo que o vetor de coordenadas
(-4, 4, m) seja perpendicular a a é:
E
(A) 2
(D) 8
(B) 4
y
B
A aresta [CD] está contida no eixo Oy .
Seja a o plano perpendicular à reta CE e que passa
na origem do referencial.
C
O
(C) 6
G
F
ser colinear
CE(2, -2, -4) é perpendicular a a . Logo, (-4, 4, m) tem de
u2p155h1
a CE .
A opção correta é a (D).
19
Considere, num referencial o.n. Oxyz , o ponto A(1, 2, 3) e a reta r de equação:
(x, y, z) = k(-1, 1, 1), k ! IR
Qual dos seguintes pontos pertence ao plano perpendicular a r e que passa por A ?
(A) (-1, 1, 1)
(B) (0, 2, 2)
(C) (1, 0, 3)
(D) (2, 1, 0)
A equação cartesiana desse plano é da forma -x + y + z + d = 0 .
Substituindo as coordenadas de A : -1 + 2 + 3 + d = 0 + d = -4 .
Como 0 + 2 + 2 - 4 = 0 , o ponto de coordenadas (0, 2, 2) pertence
ao plano em questão.
A opção correta é a (B).
20
Considere, num referencial o.n. Oxyz , o plano definido pela equação:
x + 2y + 3z = 10
Para um certo número real p , a condição:
(x, y, z) = (0, 2, 0) + k(1, 1, p), k ! IR
define uma reta paralela ao referido plano.
Indique o valor de p .
(A) -2
(C) 1
(B) -1
(D) 2
212
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Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Seja u(1, 2, 3) um vetor normal ao plano e v(1, 1, p) um vetor diretor da reta.
Então, u = v e, portanto:
u $ v = 0 + (1, 2, 3) $ (1, 1, p) = 0 + 1 + 2 + 3p = 0 + p = -1
A opção correta é a (B).
21
Num dado referencial o.n. Oxyz , a reta definida por
x = 1 + 3k
* y = 2 + k , k ! IR
z =-1 + 2k
é perpendicular ao plano de equação:
(A) 3x + y + 4z = 2
(C) 3x + y + 2z = 1
(B) 3x + y - 2z = 1
(D) 3x + y = 2z
Como a reta é perpendicular ao plano, u(3, 1, 2) , vetor diretor da reta, é também
vetor normal ao plano.
Logo, uma equação do plano é da forma 3x + y + 2z + d = 0 .
A opção correta é a (C).
22
Considere o plano a definido, num dado referencial o.n Oxyz , pelo sistema
de equações paramétricas:
x =1+ s
* y = 2 + s + t , s, t ! IR
z =-1 + t
O plano a pode igualmente ser definido por:
(A) x + 2y - z = 0
(C) x - y + z + 2 = 0
(B) x - y + z = 0
(D) 2x - y = 0
1
x
+
2
2
Os vetores de coordenadas (1, 1, 0) e (0, 1, 1) são paralelos ao plano.
Ambos são perpendiculares ao vetor (1, -1, 1) , que é um vetor normal
aos planos das opções (B) e (C). No entanto, o ponto (1, 2, -1) apenas
pertence ao plano da opção (C).
x + 2y = 1 + y = -
A opção correta é a (C).
213
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Avaliação global de conhecimentos
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
23
Determine a equação reduzida das retas que passam no ponto de coordenadas
(-1, 2) e fazem com o eixo das ordenadas um ângulo de 60° .
Há duas retas nestas condições. Uma r , de inclinação 30º, e outra s ,
de inclinação 150º .
3
3
, a equação de r é da forma y =
x+b.
Como o declive de r é
3
3
Substituindo na equação de r as coordenadas do ponto dado:
2=
Logo, r: y =
6+ 3
3
× (-1) + b + b =
3
3
6+ 3
3
x+
.
3
3
Analogamente, o declive de s é -
3
e, por isso, substituindo na equação
3
3
x + b as coordenadas do ponto dado:
3
6- 3
3
× (-1) + b + b =
2=3
3
6- 3
3
Logo, s: y = x+
.
3
3
y=-
24
Na figura ao lado, estão representadas em referencial
o.n., duas retas paralelas, r e t , sendo que r
interseta os eixos coordenados nos pontos
(-2, 0) e (0, -3) .
Sabe-se ainda que t interseta o eixo
das abcissas em (3, 0) .
24.1 Mostre que a reta t tem equação:
3x + 2y - 9 = 0
y
a
O
x
t
r
24.2Seja a , o ângulo assinalado na figura ao lado, a inclinação da reta t .
Verifique que:
13
13
u2p156h1
24.3 Defina por uma condição a região colorida (incluindo a fronteira).
sin a + cos a =
214
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Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
3
. Como as retas são paralelas, t tem equação
2
3
da forma y = - x + b . Substituindo na equação de t as coordenadas
2
do ponto dado:
3
9
0=- ×3+b+b=
2
2
Assim:
3
9
+ 2y = -3x + 9 + 2y + 3x - 9 = 0
t: y=- x+
2
2
1
3
4
24.2Tem-se que tan a = e 1 + tan2 a =
+ cos2 a =
.
2
2
13
cos a
2 13
Como a ! 2.º Q , cos a = .
13
3 13
Assim, sin a = cos a × tan a =
.
13
Portanto:
3 3
2 13
13
sin a + cos a =
=
13
13
13
3
3
9
24.3
cy G 0 / x G 0 / y H - x - 3m 0 cy H 0 / x H 0 / y G - x + m
2
2
2
3
3
9
.
Ou seja, xy H 0 / y H - x - 3 / y G - x +
2
2
2
24.1 A reta r tem declive -
25
Represente a região colorida (incluindo a fronteira),
da figura ao lado por meio de uma condição,
sabendo que:
• s9t
• as retas passam por A(2, 2) ;
• a inclinação da reta t é 120° .
y
s
A
x
O
t
A reta t tem declive tan 120° = - 3 . Assim, t: y = - 3x + b .
Substituindo as coordenadas de A : 2 = - 3 × 2 + b + b = 2 + 2 3 .
u2p156h2
Portanto, t: y = - 3x + 2 + 2 3 .
Como as retas r e s são perpendiculares, s: y =
Substituindo as coordenadas de A : 2 =
3
x+b.
3
3
6-2 3
×2+b+b=
.
3
3
3
6-2 3
x+
.
3
3
Assim, a região colorida é definida por:
Portanto, s: y =
yH0/yG
3
6-2 3
x+
/ y G - 3x + 2 + 2 3
3
3
215
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01/07/16 12:32
Avaliação global de conhecimentos
26
Considere, num referencial o.n. xOy , a reta s definida por y - 2x + 1 = 0
e os pontos de coordenadas A(1, 2) e B(-2, 0) .
Determine:
a)a inclinação da reta AB , com aproximação à décima de grau.
b)a equação reduzida da reta perpendicular à reta s e que passa pelo
ponto B .
a)Como AB(-3, -2) , o declive de AB é
é arctan
2
á 33,7° .
3
2
. Logo, a sua inclinação
3
1
; logo, a reta tem equação da forma
2
1
y = - x + b . Substituindo as coordenadas de B :
2
1
0 = - × (-2) + b + b = -1
2
1
Assim, a equação reduzida da reta é y = - x - 1 .
2
b)O declive da reta pretendida é -
D
27
O quadrilátero [ABCD] da figura é um quadrado
de centro O , em que o lado mede 2 unidades.
C
O
Determine:
a) OA $ AB
a)AC =
b) AC $ BD
2
AB + BC = 2 2
OA $ AB = OA AB cos(180° - 45°) =
b) AC $ BD = AC
A
B
2
BD cos 90° = 0
2 × 2 × e-
2
o = -2
2 u2p156h3
28
O João desloca um corpo de A para B ,
aplicando uma força F representada
na figura.
Sabendo que a força é de 200 N ,
a distância entre A e B é de 8 metros
e o ângulo entre a força e o deslocamento
é de 50° , determine, aproximadamente,
o trabalho realizado pelo João.
F
A
B
W = F × d × cos 50° = 200 × 8 × cos 50° á 1028 J
216
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06/07/16 17:32
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
29
Considere os vetores u e v , tais que
u =4 e u$v=8
29.1 Calcule k , tal que u e u + kv sejam perpendiculares.
29.2 Sabendo que v faz um ângulo de 60° com o vetor u , mostre que:
v = u
29.1 u $ (u + kv) = 0 + u $ u + ku $ v = 0 + 42 + k × 8 = 0 + k = -2
29.2
u$v= u
v cos 60° + 8 = 4 × v ×
Logo, v = u .
1
+4= v
2
30
Sejam u e v vetores unitários em que:
(u + v) $ (u + 2v) = 5
2
30.1Mostre que u $ v =
.
3
30.2Calcule o ângulo de u com v , aproximado à décima de grau.
30.1 (u + v) $ (u + 2v) = 5 + u $ u + v $ u + 2u $ v + 2v $ v = 5 +
2
+ 1 + v $ u + 2u $ v + 2 × 1 = 5 + 3u $ v = 2 + u $ v =
3
2
T
T
T
_
i
_
i
_
i
30.2
= cos u v & u v á 48,2°
u $ v = u v cos u v +
3
31
D
Considere o quadrado [ABCD] representado na figura,
em que se sabe que M é o ponto médio do lado [CD]
N
e o ponto N está no lado [AD] , sendo a sua distância
1
da distância de A a D .
a D igual a
3
Utilizando dois processos distintos, determine um valor
A
aproximado de i em graus e minutos.
M
C
u
W
Sejam x a medida do lado do quadrado, a a amplitude do ângulo ABN
W
e b a amplitude do ângulo CBM .
2
1
u2p157h2
x
x
3
2
Tem-se que tan a = x & a á 33,69° e tan b = x & b á 26,57° .
Assim:
i á 90 - 33,69 - 26,57 á 29,74°
Como 0,74 × 60 = 44,4 , b á 29° 45l .
B
Em alternativa:
Seja x a medida do lado do quadrado. Considere-se um referencial o.n. em que o
ponto A coincide com a origem do referencial e o lado [AB] está contido no eixo Ox .
217
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01/07/16 12:32
Avaliação global de conhecimentos
2
1
x, x m e N d 0, x n .
3
2
1
2
Logo, BN d-x, x n e BM c- x, x m .
2
3
Então:
Assim, B(x, 0) ; M c
BN $ BM = BN
BM cos i +
1 2
2
4 2
1 2
x + x2 = x 2 +
x #
x + x 2 × cos i +
9
2
3
4
7 65
13
5
7
+ x2 =
x×
x × cos i + cos i =
& i á 29° 45l
3
2
6
65
+
32
Num referencial o.n. xOy , considere os pontos A(-2, 1) , B(2, 4) e C(5, 0) .
32.1 Determine o declive e a inclinação da reta AC .
32.2Defina, por meio de uma equação vetorial, a reta perpendicular a AB
que passa por C .
32.3 Mostre que o triângulo [ABC] é isósceles e retângulo em B .
1
0 -1
= - , e a inclinação é dada por:
7
5+ 2
1
180° + arctanc- m . 171,9º
7
32.2
AB(4, 3) ; logo, a equação da reta é (x, y) = (5, 0) + k(-3, 4), k ! IR .
32.1 O declive de AC é
32.3
AB(4, 3) , BC(3, -4) e AC(7, -1) . Tem-se que AB $ BC = 0 ;
logo, o triângulo [ABC] é retângulo em B .
Além disso, AB = 5 = BC ! AC ; logo, o triângulo [ABC] é isósceles.
33
Considere, num referencial o.n. xOy , os pontos A(2, -1) e B(0, 1) .
Determine as coordenadas de um ponto C de forma que o triângulo [ABC]
seja retângulo em B e tenha área 8 .
Sejam (x, y) as coordenadas de C . Tem-se que AB(-2, 2) e BC(x, y - 1) .
Como [ABC] é retângulo em B , tem-se:
AB $ BC = 0 + -2x + 2y - 2 = 0 + y = x + 1
Portanto, BC(x, x) . Assim:
AB # BC
=8+
2
2 2# 2 x
4 + 4 # x2 + x2
+
=8+
= 8 + x = !4
2
2
Logo, as coordenadas de C podem ser (4, 5) ou (-4, -3) .
A[ABC] = 8 +
218
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01/07/16 12:32
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
34
Considere a reta t , na figura ao lado, que passa
pelos pontos A(-2, 3) e B(2, 0) e tem inclinação a .
y
t
Determine:
a)as coordenadas de um ponto C de forma que
a
o triângulo [ABC] , de base [AB] , seja isósceles
e tenha uma altura igual ao dobro do comprimento
da base.
3r
- a m + cos(r + a) .
b) o valor exato de sinc
2
x
O
a)Considere-se C(x, y) , então, CA(-2 - x, 3 - y) e CB(2 - x, -y) .
u2p158h1
Tem-se que:
CA = CB +
(-2 - x)2 + (3 - y)2 =
(2 - x)2 + y 2 &
& 4 + 4x + x2 + 9 - 6y + y2 = 4 - 4x + x2 + y2 + y =
Seja M c 0,
8x + 9
6
3
m o ponto médio de [AB] .
2
Assim, CMc-x,
3
4x
n , donde:
- y m = d-x, 2
3
CM = 2 AB +
x2 +
16 2
x = 2 × 16 + 9 +
9
5
x = 10 + x = !6
3
Portanto, como -6 e 6 satisfazem a igualdade CM = 2 AB ,
+
as coordenadas de C podem ser c-6, -
b)sinc
13
19
m ou c 6,
m.
2
2
3r
- a m + cos(r + a) = -cos a - cos a = -2 cos a
2
3
O declive de t é - ; logo:
4
3
tan a = - , com a ! 2.º Q
4
Assim:
1
16
4
+ cos2 a =
& cos a = 1 + tan2 a =
2
25
5
cos a
Portanto:
sinc
4
3r
8
- a m + cos(r + a) = -2 cos a = -2 × d- n =
2
5
5
219
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Avaliação global de conhecimentos
35
Na figura ao lado está representado,
em referencial o.n. xOy de um plano,
o triângulo [AOB] inscrito na semicircunferência
de centro C(5, 0) e que contém o ponto A
de abcissa 8 .
y
A
O
C
B
x
O ponto B pertence ao eixo Ox .
35.1 Mostre que a ordenada de A é 4 .
WB) .
35.2 Determine o valor exato de sin(AO
u2p158h2
35.1 A equação cartesiana desta circunferência é (x - 5)2 + y2 = 25 .
Seja yl a ordenada de A . Tem-se que:
(8 - 5)2 + yl2 = 25 + yl2 = 16 + yl = !4
De acordo com a figura, a ordenada de A é positiva; logo, é 4 .
35.2Como o triângulo [AOB] está inscrito numa semicircunferência,
W h=
[AOB] é retângulo em A . Assim, sin^AOB
AB
OB
. Tem-se que
AB tem coordenadas (10, 0) - (8, 4) = (2, -4) e OB = 10 .
Logo:
W h=
sin^AOB
(10 - 8)2 + (0 - 4)2
=
10
5
5
36
Num referencial o.n., considere a reta r: (x, y) = (0, 1) + k(-2, 1), k ! IR ,
e os pontos A(-3, 2) e B(1, 4) .
36.1Escreva a equação reduzida da reta s que passa em A e é perpendicular
à reta r .
36.2Calcule, com aproximação à décima de grau, a amplitude do menor
ângulo formado pelas retas r e AB .
36.3Considere os pontos P(x, y) do plano que satisfazem a condição:
AP $ BP = 0
Identifique e caracterize por uma condição em x e y o lugar geométrico
dos pontos P .
36.1 O declive da reta pretendida é 2 . Logo, a equação dessa reta é da forma
y = 2x + b . Substituindo as coordenadas de A , obtém-se:
2 = 2 × (-3) + b + b = 8
Logo, a equação reduzida da reta pretendida é y = 2x + 8 .
220
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Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
36.2Sejam v(-2, 1) o vetor diretor da reta r e a o ângulo formado pelos
vetores v e AB(4, 2) .
Assim:
v $ AB = v
AB cos a + -8 + 2 = 4 + 1 16 + 4 cos a +
3
+ cos a = - & a á 126,9°
5
Logo, o menor ângulo formado pelas retas tem uma amplitude aproximada
de 180° - 126,9° = 53,1° .
36.3Esta condição define uma circunferência de diâmetro [AB] :
AP $ BP = 0 + (x + 3)(x - 1) + (y - 2)(y - 4) = 0 +
+ x2 + 2x - 3 + y2 - 6y + 8 = 0 +
+ x2 + 2x + 1 + y2 - 6y + 9 = 5 +
+ (x + 1)2 + (y - 3)2 = 5
37
Considere as retas r e s definidas por:
r: y = 2x - 4
s: (x, y) = (0, 2) + k(-3, 1), k ! IR
37.1Determine o declive e a inclinação da reta r .
Apresente a inclinação com valor aproximado à décima de grau.
37.2Defina, por meio de uma equação reduzida, a reta perpendicular a s
que passa pelo ponto de interseção da reta r com o eixo das abcissas.
37.3Determine um valor aproximado à unidade de grau da amplitude do
menor ângulo formado pelas retas r e s .
37.4Defina, por meio de uma condição, a circunferência que tem centro
na origem e é tangente à reta r .
37.1 A reta r tem declive 2 e inclinação de, aproximadamente, 63,4º .
37.2 O ponto de interseção de r com o eixo das abcissas tem coordenadas (2, 0) .
A equação reduzida da reta pretendida é da forma y = 3x + b .
Substituindo as coordenadas do ponto: 0 = 3 × 2 + b + b = -6 .
Assim, y = 3x - 6 .
37.3 Sejam r(1, 2) e s(-3, 1) vetores diretores das retas r e s ,
respetivamente, e a o ângulo formado pelos vetores r e s .
Tem-se que:
r$s= r
s cos a + -3 + 2 =
5 10 cos a +
2
& a á 98°
10
Logo, o menor ângulo formado pelas retas é de, aproximadamente, 82º .
+ cos a = -
221
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01/07/16 12:32
Avaliação global de conhecimentos
37.4 Seja C(x, 2x - 4) o ponto de interseção da reta r com a circunferência.
8
.
5
4 5
64
16
Logo, o raio da circunferência é igual a OC =
+
=
.
25
25
5
16
Assim, a equação da circunferência é x2 + y2 =
.
5
Então, OC $ r = 0 + x + 4x - 8 = 0 + x =
38
Considere, num referencial o.n. Oxyz , o vetor u(1, 2, -1) e os pontos
A(2, 3, 1) e B(1, -1, 2) .
38.1Defina, por meio de uma equação vetorial, a reta que passa por A e tem
u por vetor diretor e justifique que o ponto B não pertence a essa reta.
38.2Escreva uma equação cartesiana do plano que passa em A
e é perpendicular a u .
38.1(x, y, z) = (2, 3, 1) + k(1, 2, -1), k ! IR
Tem-se que:
(1, -1, 2) = (2, 3, 1) + k(1, 2, -1) +
k =-1
+ (-1, -4, 1) = (k, 2k, -k) + *k =-2
k =-1
Este sistema é impossível; logo, B não pertence à reta.
38.2O vetor u é normal ao plano; logo, a sua equação é da forma:
x + 2y - z + d = 0
Substituindo as coordenadas de A :
2 + 2 × 3 - 1 + d = 0 + d = -7
Logo, uma equação cartesiana do plano é x + 2y - z - 7 = 0 .
z
39
V
Considere, num referencial o.n. Oxyz ,
uma pirâmide regular de base quadrada, em que:
• o vértice V da pirâmide pertence ao semieixo
positivo Oz ;
• a base da pirâmide está contida no plano xOy ;
• a aresta [PQ] é paralela ao eixo Oy ;
• os pontos V e Q têm coordenadas (0, 0, 6)
e (2, 2, 0) , respetivamente.
S
O
P
222
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R
y
Q
x
u2p159h1
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Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
39.1 Determine:
a)PQ $ PR
b) PO $ QR
c)o valor exato de sin a , designando por a o ângulo formado entre
as retas PV e VR .
39.2Mostre que o vetor u(0, 3, 1) é perpendicular a VQ e a VR e utilize
esse facto para determinar uma equação cartesiana do plano VQR .
39.3Determine uma equação da superfície esférica que contém os cinco
vértices da pirâmide.
39.1 a)P(2, -2, 0) e R(-2, 2, 0) ; logo, PQ(0, 4, 0) e PR(-4, 4, 0) . Assim:
PQ $ PR = 0 × (-4) + 4 × 4 + 0 = 16
b)Tem-se PO(-2, 2, 0) e QR(-4, 0, 0) ; logo:
PO $ QR = -2 × (-4) + 4 × 0 + 0 = 8
c)Tem-se VP(2, -2, -6) e VR(-2, 2, -6) ; logo:
VP $ VR = VP VR cos a +
+ -4 - 4 + 36 =
7
+ cos a =
11
Assim:
4 + 4 + 36 ×
cos2 a + sin2 a = 1 + sin2 a =
4 + 4 + 36 cos a +
72
72
6 2
& sin a =
=
121
121
121
39.2Como VQ(2, 2, -6) e VR(-2, 2, -6) , tem-se:
u $ VQ = 0 × 2 + 3 × 2 + 1 × (-6) = 0
u $ VR = 0 × (-2) + 3 × 2 + 1 × (-6) = 0
Assim, u é um vetor normal ao plano VQR e, por isso, uma equação
cartesiana do plano VQR é 3y + z + d = 0 .
Como V(0, 0, 6) pertence ao plano, tem-se d = -6 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano VQR é dada por:
3y + z - 6 = 0
39.3 O centro C da superfície esférica terá coordenadas do tipo (0, 0, z) . Assim:
VC = PC +
(z - 6)2 =
(-2)2 + 2 2 + z 2 &
7
& z2 - 12z + 36 = 4 + 4 + z2 + -12z + 36 = 8 + z =
3
7
é a solução.
Substituindo na equação inicial, verifica-se que
3
2
7
11
Como o raio da superfície esférica é VC = c - 6 m =
;
3
3
logo, a sua equação cartesiana é:
7 2
121
x2 + y2 + c z - m =
3
9
223
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Avaliação global de conhecimentos
40
Considere, num referencial o.n. Oxyz , os pontos A(1, 2, -1) , B(1, 2, 2)
e C(2, 0, 1) .
40.1Determine a amplitude do ângulo BAC .
Apresente o resultado final arredondado à décima de grau.
40.2Determine uma equação cartesiana do plano ABC .
40.3Identifique, e defina por uma condição, o lugar geométrico dos pontos P ,
tais que:
AP 9 BP
40.1 Tem-se AB(0, 0, 3) e AC(1, -2, 2) ; logo:
W i+
AC cos_ BAC
W á 48,2°
W i + 2 = cos_ BAC
W i & BAC
+ 6 = 3 1 + 4 + 4 cos_ BAC
3
40.2Determine-se as coordenadas de um vetor n(x, y, z) , normal ao plano ABC :
AB $ AC = AB
*
3z = 0
z=0
+*
+*
x - 2y + 2z = 0
x = 2y
n $ AC = 0
n $ AB = 0
Suponha-se que y = 1 , então, n(2, 1, 0) .
Assim, a equação do plano ABC é da forma 2x + y + d = 0 .
Substituindo as coordenadas de A , obtém-se d = -4 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano ABC é 2x + y - 4 = 0 .
40.3Esta condição define uma superfície esférica de diâmetro [AB] .
Sejam (x, y, z) as coordenadas de P . Tem-se que:
AP $ BP = 0 +
+ (x - 1)(x - 1) + (y - 2)(y - 2) + (z + 1)(z - 2) = 0 +
+ (x - 1)2 + (y - 2)2 + z2 - z - 2 = 0 +
1 2
9
+ (x - 1)2 + (y - 2)2 + c z - m =
2
4
41
Considere, num referencial o.n. Oxyz em que
a unidade corresponde a 1 cm , a pirâmide triangular
de vértice V(0, 0, 6) e cuja base é um triângulo
isósceles assente no plano xOy .
z
V
Sabe-se que a pirâmide tem de volume 16 cm2 .
41.1Mostre que A tem de coordenadas (4, 0, 0) .
O
41.2Seja a o ângulo entre as retas AB e AV .
A
x
Determine o valor exato de 2 cos a - tan a .
B
y
41.3Escreva uma equação cartesiana do plano ABV .
224
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u2p159h2
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Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
41.1 Pela figura, observa-se que a abcissa x de A corresponde à medida
do lado [OA] do triângulo. Tome para base do triângulo [OAB]
o segmento [OA] , então:
x2
A[OAB] =
2
Assim:
x2
#6
A[OAB] # OV
2
= 16 +
= 16 +
V[OABV] = 16 +
3
3
+ x2 = 16 + x = !4
Como a abcissa de A é positiva, vem que as coordenadas de A são (4, 0, 0) .
41.2 Tem-se AB(-4, 4, 0) e AV(-4, 0, 6) ; logo:
AB $ AV = AB
AV cos a +
+ 16 = 16 + 16 × 16 + 36 cos a + 16 = 8 2 × 13 cos a +
26
, a ! 1.o Q
13
1
11
+ tan2 a =
& tan a =
Assim, 1 + tan2 a =
2
2
cos a
+ cos a =
Logo, 2 cos a - tan a =
2 26
13
22
.
2
22
4 26 - 13 22
.
=
2
26
41.3 Determine-se as coordenadas de um vetor n(x, y, z) , normal ao plano ABV :
*
y=x
- 4x + 4y = 0
+)
+*
2x
- 4x + 6z = 0
n $ AV = 0
z=
3
n $ AB = 0
Suponha-se que x = 1 , então, nd1, 1,
2
n.
3
2
z+d=0.
3
Substituindo as coordenadas de A , obtém-se d = -4 .
2
Portanto, uma equação cartesiana do plano ABV é x + y + z - 4 = 0 .
3
Então, a equação do plano ABV é da forma x + y +
42
Considere, num referencial o.n. do espaço, os vetores u(1, 0, 1) , v(-2, 3, 0) e
w(0, 3, 2) .
Mostre que:
a) u e v formam um ângulo obtuso.
b) u , v e w são paralelos a um mesmo plano.
225
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Avaliação global de conhecimentos
v cos_u c v i + -2 = u v cos_u c v i ; logo, cos_u c v i
é negativo, o que implica que o ângulo formado entre os dois vetores seja obtuso.
a)u $ v = u
b)Determine-se as coordenadas de um vetor n(x, y, z) , normal a u e a v :
z =- x
x+z = 0
*
+*
+*
2x
- 2x + 3y = 0
n$v = 0
y=
3
2
Suponha-se que x = 1 , então, nd1, , -1n .
3
Tem-se que n $ w = 0 + 2 - 2 = 0 ; logo, n é também perpendicular
a w , donde u , v e w são paralelos a um mesmo plano.
n$u = 0
43
Considere, no referencial o.n. do espaço Oxyz , os planos:
a: x + y + z = 3
b: 2x - y + 3z = 4
c: -x + 2y - 2z = -1
43.1 Represente por uma equação vetorial:
a)a reta perpendicular a a que passa pela origem do referencial.
b)a reta resultante da interseção dos planos a e b .
c)o plano representado por c .
43.2Supondo que um ponto A tem de coordenadas
(2 cos i, 2 - cos2 i, 1 - sin2 i), i ! [0, 2r[
e que pertence a a , determine, recorrendo a processos exclusivamente
analíticos, o(s) valor(es) exacto(s) de i .
43.1 a)(x, y, z) = k(1, 1, 1), k ! IR
x + y+ z=3
x =3- y - z
x = 5 - 4y
+*
+*
b) *
2x - y + 3z = 4
6 - 2y - 2z - y + 3z = 4
z =-2 + 3y
Para y = 0 , obtém-se o ponto de coordenadas B(5, 0, -2) ;
e para y = 1 , obtém-se C(1, 1, 1) .
Como BC(-4, 1, 3) , uma equação vetorial da reta pretendida é:
(x, y, z) = (5, 0, -2) + k(-4, 1, 3), k ! IR
c)Se x = 0 e y = 0 , obtém-se o ponto de coordenadas c 0, 0,
1
m.
2
3
Se x = 0 e y = 1 , obtém-se o ponto de coordenadas c 0, 1, m .
2
Se x = 1 e y = 0 , obtém-se o ponto de coordenadas (1, 0, 0) .
1
Assim, dois vetores do plano c têm coordenadas (0, 1, 1) e c1, 0, - m .
2
Portanto, a equação vetorial do plano c pode ser:
1
(x, y, z) = (1, 0, 0) + s(0, 1, 1) + tc1, 0, - m, s, t ! IR
2
226
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Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
43.2 2 cos i + 2 - cos2 i + 1 - sin2 i = 3 +
1
+
2
+ 2 cos i - 1 = 0 + 2 cos i - 1 = 0 + cos i =
r
r
+ 2kr 0 i = - + 2kr, k ! Z
3
3
r
5r
e
.
Como i ! [0, 2r[ , as soluções são
3
3
+ i =
z
44
E
Na figura ao lado está representada,
em referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide
quadrangular regular cuja base está contida
no plano xOy , pertencendo o vértice A
ao eixo Ox e o vértice D ao eixo Oy .
Sabe-se que uma equação do plano ADE é:
A
3x + 3y - z = 3
44.1Determine a amplitude do ângulo AED .
O
D
y
C
B
x
Apresente o resultado em graus, com aproximação à décima de grau.
44.2 Defina o plano AED por um sistema de equações paramétricas.
u2p160h1
44.1Coordenadas de A : y = 0 , z = 0 , 3x + 0 - 0 = 3 + x = 1
Logo, A(1, 0, 0) .
Coordenadas de D : x = 0 , z = 0 , 0 + 3y - 0 = 3 + y = 1
Logo, D(0, 1, 0) .
Coordenadas de E : x = 1 , y = 1 , 3 + 3 - z = 3 + z = 3
Logo, E(1, 1, 3) .
Assim, EA(0, -1, -3) e ED(-1, 0, -3) .
Tem-se que:
W +
EA $ ED = EA ED cos AED
W +
+ 9 = 1 + 9 × 1 + 9 cos AED
9
W & AED
W á 25,8°
= cos AED
+
10
44.2Desenvolvendo a equação (x, y, z) = A + sEA + tED, s, t ! IR , obtém-se:
(x, y, z) = A + sEA + tED, s, t ! IR +
+ (x, y, z) = (1, 0, 0) + s(0, -1, -3) + t(-1, 0, -3), s, t ! IR +
x =1- t
+ * y =-s
, s, t ! IR
z = -3s - 3t
Ou seja, x = 1 - t / y = -s / z = -3s - 3t, s, t ! IR .
227
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Avaliação global de conhecimentos
45
Considere a reta r de equação
(x, y, z) = (1, 0, -1) + k(-6, -2, -4), k ! IR
e o plano a definido pela equação
3x + y + 2z = 6
45.1 Indique, justificando, o valor lógico da proposição:
« r é paralela a a »
45.2Determine, se possível, as coordenadas do ponto de interseção de r com a .
45.1 Tem-se que o vetor u(3, 1, 2) é normal ao plano a e o vetor r(-6, -2, -4)
é um vetor diretor da reta r .
Como -2(3, 1, 2) = (-6, -2, -4) , u e r são colineares. Portanto,
a reta r é perpendicular ao plano a e, por isso, o valor lógico
da proposição é falsidade.
45.2 Um ponto da reta r tem coordenadas da forma (1 - 6k, -2k, -1 - 4k) .
Substituindo na equação do plano a :
3(1 - 6k) - 2k + 2(-1 - 4k) = 6 +
+ 3 - 18k - 2k - 2 - 8k = 6 + k = -
5
28
Logo, o ponto de interseção tem coordenadas:
30 10
20
29 5
2
d1 +
n=d
,
, -1 +
,
,- n
7
28 28
28
14 14
46
Considere, num referencial Oxyz , o plano a definido por x + y + 2z = 4
e os pontos A(2, 0, 1) , B(0, 2, 1) e C(2, 2, -1) .
46.1Mostre que a reta AB está contida no plano a .
46.2Escreva uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto C
e é perpendicular a a .
46.3Sendo O a origem do referencial, qual é a amplitude do ângulo AOC
aproximada à centésima de radiano?
46.4Escreva uma equação cartesiana do plano ABC .
46.5Escreva um sistema de equações paramétricas que representem o plano a .
46.1Substituindo as coordenadas de A e de B na equação do plano a , obtêm-se,
respetivamente, as igualdades 2 + 0 + 2 = 4 e 0 + 2 + 2 = 4 .
Logo, os pontos A e B pertencem a a . Assim, a reta AB está
contida em a .
46.2Como a reta é perpendicular a a , o vetor (1, 1, 2) , normal a a ,
é um vetor diretor da reta. Logo, uma equação vetorial da reta pedida é:
(x, y, z) = (2, 2, -1) + k(1, 1, 2), k ! IR
228
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01/07/16 12:32
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
46.3 OA $ OC = OA
+
W +3=
OC cos AOC
1
W & AOC
W á 1,11 rad
= cos AOC
5
5×
W +
9 cos AOC
46.4 AB(-2, 2, 0) e AC(0, 2, -2)
Determine-se as coordenadas de um vetor n(x, y, z) , normal a AB e a AC :
*
x=y
- 2x + 2y = 0
+*
+)
z=y
2y - 2z = 0
n $ AC = 0
n $ AB = 0
Suponha-se que x = 1 , então, n(1, 1, 1) .
Logo, a equação do plano ABC é da forma x + y + z + d = 0 .
Substituindo as coordenadas de A : 2 + 1 + d = 0 + d = -3 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano ABC é dada por:
x+y+z-3=0
46.5 Se x = 0 e y = 0 , obtém-se o ponto de coordenadas (0, 0, 2) .
Se x = 0 e y = 1 , obtém-se o ponto de coordenadas c 0, 1,
3
m.
2
3
Se x = 1 e y = 0 , obtém-se o ponto de coordenadas c1, 0, m .
2
1
1
Logo, dois vetores do plano a têm coordenadas c0, 1, - m e c1, 0, - m .
2
2
Assim, desenvolvendo:
1
1
(x, y, z) = (0, 0, 2) + sc0, 1, - m + tc1, 0, - m, s, t ! IR
2
2
obtém-se o seguinte sistema de equações paramétricas do plano a :
1
1
x = t / y = s / z = 2 - s - t, s, t ! IR
2
2
47
Considere, num dado referencial o.n. do espaço, os vetores u e v , tais que:
• u(-2, 2, 1)
• v = 2
• u $ v = -3
Determine o valor:
a) de k para o qual os vetores 2u + v e u + kv são perpendiculares.
b) da amplitude do ângulo entre os vetores u e v , em graus.
a) (2u + v ) $ (u + kv) = 0 + 2u $ u + 2ku $ v + u $ v + kv $ v = 0 +
+ 2(4 + 4 + 1) + 2k × (-3) - 3 + k × 4 = 0 +
15
+ 15 - 2k = 0 + k =
2
b) u $ v = u
v cos_u c v i + -3 = 3 × 2 cos_u c v i +
+ cos_u c v i = -
1
& u c v = 120°
2
229
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Avaliação global de conhecimentos
48
Considere a reta r e o plano a definidos num dado referencial o.n. do espaço,
respetivamente, por
r: (x, y, z) = (2, 1, -1) + k(1, 1, 1), k ! IR
a: x + y + z = 4
e os pontos A , B e C , resultantes da interseção de a com os eixos Ox ,
Oy e Oz , respetivamente.
48.1Mostre que as coordenadas de A , B e C são, respetivamente, (4, 0, 0) ,
(0, 4, 0) e (0, 0, 4) e que o triângulo [ABC] tem de área 8 3 .
48.2Justifique que r e a são concorrentes e indique o ponto de interseção.
48.3Seja D pertencente a Oz e a um plano b , paralelo a xOy .
Determine as coordenadas de D de forma que a secção resultante
da interseção do plano b com a pirâmide [OABC] tenha de área 4,5 .
48.1Um ponto no eixo Ox tem a ordenada e a cota iguais a 0 .
Assim, como A ! IR , tem-se x + 0 + 0 = 4 + x = 4 .
Logo, as coordenadas de A são (4, 0, 0) .
Com um raciocínio análogo, obtêm-se as coordenadas de B e C .
Tem-se que AB = (-4)2 + 4 2 + 0 = 4 2 e as coordenadas
do ponto médio de [AB] são M(2, 2, 0) . Assim, ao tomar-se para base
do triângulo o lado [AB] , a altura será [MC] . Logo:
AB # MC
4 2 # (-2)2 + (-2)2 + 4 2
=
=
2
2
4 2 #2 6
=
=8 3
2
48.2Um vetor diretor da reta r tem coordenadas (1, 1, 1) , o que coincide
com o vetor normal ao plano a . Logo, a reta é perpendicular ao plano a ,
ou seja, r e s são concorrentes.
A[ABC] =
Um ponto da reta r tem coordenadas da forma (2 + k, 1 + k, -1 + k) .
Substituindo na equação do plano a :
2
2+k+1+k-1+k=4+k=
3
Portanto, o ponto de interseção de r e a tem coordenadas:
d2 +
2
2
2
8 5
1
, 1 + , -1 + n = d , , - n
3
3
3
3 3
3
48.3O ponto D tem coordenadas da forma (0, 0, z) .
Sejam Al e Bl os pontos de interseção da pirâmide [OABC] com o plano b
e com os planos xOz e yOz , respetivamente.
A secção resultante da interseção do plano b com a pirâmide [OABC]
é um triângulo retângulo em D , semelhante ao triângulo AOB .
230
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Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Como a abcissa x de Al é igual à ordenada de Bl , tem-se Al(x, 0, z)
e Bl(0, x, z) .
DAl # DBl
Logo, a área da secção é dada por A[DAlBl] =
, em que
2
DAl = (x, 0, z) - (0, 0, z) = x2 = DBl .
Assim:
x2
= 4,5 + x2 = 9 + x = !3 & x = 3
2
x>0
O ponto Al(3, 0, z) pertence ao plano ABC , que coincide com
o plano a , pois os pontos A , B e C pertencem-lhe. Assim:
A[DAlBl] = 4,5 +
3+0+z=4+z=1
Portanto, D(0, 0, 1) .
49
No referencial ortonormado Oxyz da figura
está representada uma pirâmide quadrangular
regular de base [OACB] .
z
V
C
Sabe-se que:
• o vértice V tem coordenadas (-2, -1, 7) ;
• o ponto M é o centro da base da pirâmide;
• o plano OAC é definido pela condição:
B
M
O
x + 2y - 2z = 0
A
y
x
Determine o volume da pirâmide.
(1, 2, -2) são as coordenadas de um vetor normal ao plano OAC .
Este vetor é também um vetor diretor da reta VM .
u2p161h1
A equação vetorial de VM é: (x, y, z) = (-2, -1, 7) + k(1, 2, -2), k ! Z .
Um ponto da reta VM tem coordenadas da forma (-2 + k, -1 + 2k, 7 - 2k) .
Substituindo na equação do plano OAC , obtém-se:
-2 + k + 2(-1 + 2k) - 2(7 - 2k) = 0 +
+ -2 + k - 2 + 4k - 14 + 4k = 0 + k = 2
Portanto, o ponto M tem coordenadas:
(-2 + 2, -1 + 4, 7 - 4) = (0, 3, 3)
Tem-se que OC = 2 OM = 2 0 + 9 + 9 = 6 2 .
Pelo teorema de Pitágoras:
OC
2
2
2
2
= OA + OB + 72 = 2 OA & OA = 6
Tem-se que VM =
Assim, V[OACBV] =
4 + 16 + 16 = 6 .
A[OACB] # VM
6#6#6
=
= 72 u. v.
3
3
231
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01/07/16 12:32
preparação para o teste 4
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 4
I
Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Considere, num referencial o.n. do plano xOy , a reta t de inclinação 30° .
Sabendo que a reta s é perpendicular a t e que passa no ponto A
de coordenadas _ 12 , 1i , qual das equações seguintes define a reta s ?
(A)
3y - x = - 3
(B) y -
3x = -5
(C) y +
3x = 7
(D)
3y + x = 3 3
O declive de t é
3
e o de s é - 3 . Substituindo as coordenadas de A
3
na equação y = - 3x + b :
1 = - 3 × 12 + b + b = 7
A opção correta é a (C).
2
Considere o triângulo [ABC] equilátero de lado a e seja M o ponto médio
do lado [BC] .
Pode-se concluir que o produto escalar de AB por MC é:
(A)
a2
4
(B) 0
(C) -
a2
2
(D) -
a2
4
a
× cos 120°
2
A opção correta é a (D).
AB $ MC = a ×
3
Considere, num referencial o.n. Oxyz , os pontos A(-1, 3, 4) e B(3, 1, 0) .
Um vetor perpendicular a AB tem coordenadas:
(A) (-2, 1, 2)
(B) (0, 1, 1)
(C) (1, 0, 1)
(D) (2, -1, 2)
AB(4, -2, -4) e (4, -2, -4) $ (1, 0, 1) = 4 - 4 = 0
A opção correta é a (C).
232
000707 206-242.indd 232
01/07/16 12:32
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
4
Considere, num referencial o.n. xOy , as retas r e s , definidas,
respetivamente, por:
r: y = -2x + 1
s: x - y = 0
Qual é a amplitude, em graus, do menor ângulo formado por estas duas retas
(valor aproximado à décima de grau)?
(A) 54,2°
(B) 108,4°
(C) 65,1°
(D) 71,6°
A inclinação de s é de 45º e a de r é, aproximadamente, de 116,6º , pois
tan-1 1 = 45° e 180° + tan-1(-2) . 116,6 .
Assim, 116,6° - 45° = 71,6° .
A opção correta é a (D).
5
Considere, num referencial o.n. do espaço Oxyz , o plano a definido pelo
seguinte sistema de equações paramétricas:
x =-1 + 2s - t
, s, t ! IR
*y = s
z = 2 + 2t
O plano a pode ser definido pela seguinte equação cartesiana:
(A) x + 4y - z = 0
(C) -2x + 4y - z + 1 = 0
(B) x + 4y - z + 3 = 0
(D) 2x - 4y + z = 0
Determine-se as coordenadas de um vetor n(x, y, z) , normal ao plano:
y =-2x
2x + y = 0
)
+*
x
- x + 2z = 0
z=
2
1
Suponha-se que x = 1 , então, nc1, -2, m .
2
1
Assim, a equação do plano é da forma x - 2y + z + d = 0 .
2
Substituindo as coordenadas do ponto (-1, 0, 2) pertencente ao plano a :
1
×2+d=0+d=0
-1 +
2
Portanto, o plano a pode ser definido pela equação cartesiana:
1
x - 2y + z = 0 + 2x - 4y + z = 0
2
A opção correta é a (D).
233
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01/07/16 12:32
preparação para o teste 4
II
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara,
indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
1
Considere, num referencial do plano xOy , uma circunferência
de centro C(-2, 0) e uma reta r , tangente à circunferência no ponto T
de coordenadas (2, 2) .
1.1Mostre que a reta r é definida por y = -2x + 6 .
1.2Seja a a inclinação da reta r .
Determine o valor exato de sin a - cosc
r
+ am .
2
1.3Determine, com aproximação à décima de grau, a amplitude
do ângulo OTC .
1.1 TC(-4, -2) ; logo, um vetor diretor de r é (2, -4) , por exemplo.
4
= -2 .
2
Substituindo as coordenadas do ponto T na equação y = -2x + b :
2 = -2 × 2 + b + b = 6
Logo, r: y = -2x + 6 .
Assim, o declive de r é -
1.2 Tem-se que tan a = -2 , em que a é a amplitude de um ângulo
do 2.º quadrante.
Então:
1+
1
1
1
4
5
=
+
=
+ sin2 a =
2
2
2
4
5
tan a
sin a
sin a
Assim, sin a =
2 5
.
5
Logo:
sin a - cosc
4 5
r
+ a m = 2 sin a =
2
5
1.3 Tem-se TO(-2, -2) ; logo:
W +
TO $ TC = TO TC cos OTC
+8+4=
W =
+ cos OTC
W +
4 + 4 × 16 + 4 cos OTC
3 10
10
W G 180 , OTC
W á 18,4° .
Como 0 G OTC
234
000707 206-242.indd 234
01/07/16 12:33
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
2
Sejam u e v vetores de norma 1 , que verificam:
(u + 2v) $ (u - v) = x (x ! IR)
Determine os valores reais de x para os quais u e v formam um ângulo
agudo.
Tem-se:
(u + 2v) $ (u - v) = x +
+ u $ u - u $ v + 2v $ u - 2v $ v = x +
+1+v$u-2=x+
+v$u=x+1
Os vetores u e v formam um ângulo agudo se, e só se, o seu produto
interno for positivo; logo:
x + 1 > 0 + x > -1 + x ! ]-1, +3 [
Por outro lado, como os vetores são unitários, o seu produto interno
é necessariamente inferior a 1 ; portanto, x ! ]-1, 0[ .
3
Na figura está representado, em referencial
o.n. Oxyz , um octaedro regular [ABCDEF] .
Sabe-se que:
• o vértice A
• o vértice B
• o vértice E
• o vértice F
tem coordenadas (5, 5, 10) ;
tem coordenadas (5, 0, 5) ;
tem coordenadas (0, 5, 5) ;
pertence ao plano xOy .
z
A
E
B
3.1 Verifique que a reta r de equação
(x, y, z) = (5, 5, 5) + k(1, 1, 1), k ! IR
é perpendicular ao plano ACD e determine
uma equação cartesiana do plano ACD .
D
C
y
O
F
x
3.2Calcule o ponto de interseção da reta r com o plano ACD .
3.3Considere a superfície esférica à qual pertencem todos os vértices
do octaedro.
u2p163h1
Seja P um ponto pertencente a essa superfície esférica de coordenadas
(a, 7, 7), a ! ]5, 10[ .
Determine o valor de a .
235
000707 206-242.indd 235
01/07/16 12:33
preparação para o teste 4
3.1Tem-se C(10, 5, 5) e D(5, 10, 5) .
Logo, AC(5, 0, -5) e AD(0, 5, -5) .
O vetor u(1, 1, 1) é um vetor diretor da reta r .
Como
AC $ u = 5 + 0 - 5 = 0
AD $ u = 0 + 5 - 5 = 0 ,
u é um vetor normal ao plano.
Logo, a reta r é perpendicular ao plano ACD .
Assim, a equação cartesiana do plano ACD é da forma:
x+y+z+d=0
Substituindo as coordenadas de C :
10 + 5 + 5 + d = 0 + d = -20
Portanto:
ACD: x + y + z - 20 = 0
3.2Como
x=y=z=5+k
e a equação do plano é
x + y + z - 20 = 0 ,
tem-se:
3x = 20 + x =
20
3
Portanto, o ponto de interseção de r com ACD tem coordenadas
d
20 20 20
n.
,
,
3
3 3
3.3As coordenadas do centro da superfície esférica são (5, 5, 5) e o seu raio
é de 5 unidades; logo, a sua equação cartesiana é:
(x - 5)2 + (y - 5)2 + (z - 5)2 = 25
Substituindo as coordenadas de P na equação da superfície esférica:
(a - 5)2 + (7 - 5)2 + (7 - 5)2 = 25 +
+ (a - 5)2 = 17 + a - 5 = ! 17 +
+ a = 5 ! 17
Como a ! ]5, 10[ , vem que a = 5 + 17 .
236
000707 206-242.indd 236
01/07/16 12:33
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 5
I
Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Sejam u e v dois vetores de norma 1 e i ! [0, r] o ângulo por eles formado.
Qual dos gráficos seguintes representa a função definida por g(i) = u $ v ?
(A)
(C)
y
O
(B)
p
x
y
O
(D)
y
p
x
p
2
x
y
u2p164h1
u2p164h3
p
O
x
p
2—
2
O
—
Como u $ v = 1 , então, u × v × cos_u T v i = cos_u T v i = cos i .
A opção correta
é a (B).
u2p164h2
u2p164h4
2
2
Seja i = arctand- n a inclinação de uma reta r que passa na origem
5
do referencial.
Qual das seguintes equações representa uma reta perpendicular a r que passsa
no ponto de coordenadas (0, -2) ?
2
(A) y =
x-2
(C) 2x - 5y - 2 = 0
5
5
(B) y = - x - 2
(D) 5x - 2y - 4 = 0
2
2
5
Tem-se tan i = - ; logo, o declive da reta perpendicular a r é
.
2
5
5
Substituindo o ponto (0, -2) na equação y = x + b , obtém-se b = -2 .
2
5
Logo, y = x - 2 + 5x - 2y - 4 = 0 .
2
A opção correta é a (D).
237
000707 206-242.indd 237
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preparação para o teste 5
3
Num referencial o.n. do espaço, as equações
x - y + z + 1 = 0 e 2x + 4y + 2z + 2 = 0
definem:
(A)
dois planos paralelos.
(C)dois planos perpendiculares.
(B)duas retas perpendiculares.
(D)o mesmo plano.
Das equações de planos dadas, obtêm-se os vetores normais u(1, -1, 1)
e v(2, 4, 2) , respetivamente. Como u $ v = 2 - 4 + 2 = 0 , os vetores
são perpendiculares. Logo, os planos são perpendiculares.
A opção correta é a (C).
4
Fixada, no espaço, uma unidade de comprimento e dados dois pontos A e B ,
o plano perpendicular à reta AB em B pode ser definido por uma das seguintes
condições em P . Qual?
(A) AB $ AP = 0
(B) AP $ PB = 0
(C) AB $ BP = 0
(D) AB $ BA = -1
A opção correta é a (C).
5
Indique as soluções da equação 4 + 2 sin x = 3 no intervalo [-r, r[ .
2r
2r
(A) e
3
3
r
r
(B) e
6
6
r
5r
(C) e 6
6
r
2r
(D) e 3
3
1
4 + 2 sin x = 3 + sin x = 2
A opção correta é a (C).
238
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01/07/16 12:33
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
II
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
y
1
No referencial o.n. xOy da figura estão representados
a circunferência trigonométrica e os vetores u e v .
Sabe-se que:
• A é um ponto da circunferência e AO = v ;
• B(0, 1) e OB = u
WB = a e a ! ]0, r[
• AO
u
a
1.2Sabendo que u $ v =
x
O
A
1.1Determine as coordenadas do vetor v
em função de a .
B
v
3
r
, determine sinc- + a m - 2 tan2(r + a) .
7
2
1.1 Tem-se Ae cosc
r
r
u2p165h1
a, cos a) ,
+ a m, sin c + a mo , isto é, A(-sin
2
2
donde v = O - A tem coordenadas (sin a, -cos a) .
1.2 Tem-se que:
u × v × cos_u T v i =
3
3
+ 1 × 1 × cos(r - a) =
+
7
7
3
3
+ cos(r - a) =
+ cos a = 7
7
Pela fórmula fundamental da trigonometria, tem-se:
1
40
1
+ tan2 a =
- 1 + tan2 a =
tan2 a + 1 =
2
9
cos 2 a
3
c- m
7
Logo:
r
sinc+ a m - 2 tan2(r + a) =
2
3
40
533
= -cos a - 2 tan2 a =
-2×
=7
9
63
2
y
Na figura está representado, em referencial o.n.
xOy , um triângulo isósceles, retângulo em P .
Os pontos P e R têm coordenadas (1, -1)
e (-2, 1) , respetivamente.
2.1Determine, em graus, a inclinação da reta
PQ arredondada às unidades.
2.2Determine as coordenadas do ponto Q .
Q
R
x
O
P
239
u2p165h2
000707 206-242.indd 239
01/07/16 12:33
preparação para o teste 5
2.1 Como o triângulo é retângulo em P , os vetores PR e PQ são
perpendiculares. O vetor PR tem coordenadas (-3, 2) , e um vetor
perpendicular a este pode ser, por exemplo, (2, 3) .
3
.
Assim, a inclinação, a , da reta é tal que tan a =
2
Como 0° G a G 180° , conclui-se que a á 56° .
2.2 Como o triângulo é retângulo em P , então, PR $ PQ = 0 .
Como o triângulo é isósceles, então, PR = PQ .
Os pontos P , R e Q têm coordenadas (1, -1) , (-2, 1) e (x, y) ,
respetivamente.
PR(-3, 2) ; PQ(x - 1, y + 1) ; PR =
PQ =
(x - 1)2 + (y + 1)2 =
(- 3)2 + 2 2 = 13 ;
x 2 - 2x + y 2 + 2y + 2
Determine-se as coordenadas de Q :
*
PR $ PQ = 0
(-3, 2) $ (x - 1, y + 1) = 0
+*
+
13 = x 2 - 2x + y 2 + 2y + 2
PR = PQ
- 3x + 3 + 2y + 2 = 0
+* 2
+
x - 2x + y 2 + 2y + 2 = 13
+
*
x=
2y + 5
3
2y + 5 2
2y + 5
d
n - 2d
n + y 2 + 2y + 2 = 13
3
3
+
——————
+* 4 2
+
20
25
4
10
y +
y+
y+ y 2 + 2y + 2 = 13
9
9
9
3
3
——————
——————
+) 2
+
+ * 13 2
26
104
13y + 26y - 104 = 0
y +
y=0
9
9
9
——————
——————
+*
+) 2
- 2 ! 2 2 - 4 (1) (-8) +
y + 2y - 8 = 0
y=
2 (1)
x=3
*
+
x>0 e y>0 y = 2
Logo, Q(3, 2) .
Em alternativa:
Como PR(-3, 2) , um vetor perpendicular a PR e com a mesma norma
tem coordenadas (2, 3) ou (-2, -3) .
Assim, as coordenadas de Q são: (1, -1) + (2, 3) = (3, 2) ou
(1, -1) + (-2, -3) = (-1, -4) . Atendendo à figura, Q(3, 2) .
240
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Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
z
3
Considere, num referencial o.n. Oxyz ,
uma pirâmide [OPQV ] .
V
P
Sabe-se que:
O
• V(0, 4, 2) e P(2, 2, 2)
• o vértice Q pertence ao plano xOy ;
Q
x
• uma equação do plano OPQ é x - y = 0 ;
• uma equação do plano PQV é
(x, y, z) = (0, 4, 2) + s(1, 1, -2) + t(-3, 1, 2), s, t ! IR
3.1Mostre que o ponto Q tem coordenadas (3, 3, 0) .
3.2Determine uma equação cartesiana do plano OPV .
y
u2p165h3
3.3Mostre que o ângulo OPQ é reto .
3.4Justifique que a reta PV é perpendicular ao plano OPQ e utilize este
facto para determinar o volume da pirâmide.
Adaptado do Exame Nacional do 12.º ano, 1998
3.1 Q(x, y, 0) , porque pertence ao plano xOy .
Então:
x=y
———
x-y = 0
y = s - 3t
y = 1 - 2t
x = s - 3t
+
+
+
y = 4+s+t
y = 5 + 2t
y = 4+s+t
s = t+1
———
0 = 2 - 2s + 2t
———
———
x=3
t =- 1
5 + 2t = 1 - 2t
t =- 1
+
+
+
y=3
———
y=3
s=0
———
s=0
*
*
*
*
*
*
Logo, o ponto Q tem coordenadas (3, 3, 0) .
3.2 Os vetores OP(2, 2, 2) e OV(0, 4, 2) são paralelos ao plano OPV
e são não colineares. Então, um vetor u perpendicular a estes vetores
é normal ao plano.
Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ OP = 0 / u $ OV = 0 :
(a, b, c) $ (2, 2, 2) = 0
2a + 2b + 2c = 0
*
+)
+
(a, b, c) $ (0, 4, 2) = 0
4b + 2c = 0
2a - 2b = 0
a=b
+)
+)
c =-2b
c =-2b
Fazendo b = 1 , tem-se a = 1 e c = -2 . Então, o vetor u(1, 1, -2)
é normal ao plano OPV .
Assim, uma equação cartesiana do plano OPV é x + y - 2z + d = 0 .
Como O(0, 0, 0) pertence ao plano, tem-se d = 0 .
241
000707 206-242.indd 241
01/07/16 12:33
preparação para o teste 5
Logo, uma equação cartesiana do plano OPV é dada por:
x + y - 2z = 0
3.3 Tem-se PO(-2, -2, -2) e PQ(1, 1, -2) .
Então:
PO $ PQ = (-2, -2, -2) $ (1, 1, -2) = 2 - 2 + 4 = 0
Portanto, o ângulo OPQ é reto.
Em alternativa:
2
2
2
OQ = OP + PQ +
+ 32 + 32 = (-2)2 + (-2)2 + (-2)2 + 12 + 12 + (-2)2 +
+ 18 = 12 + 6 + 18 = 18
Proposição verdadeira; logo, o ângulo OPQ é reto.
3.4 O vetor u(1, -1, -2) é um vetor normal ao plano OPQ , e o vetor PV ,
de coordenadas (-2, 2, 0) , é um vetor diretor da reta PV .
Como (-2, 2, 0) = -2(1, -1, 0) , os vetores u e PV são colineares e,
por isso, também o vetor PV é perpendicular ao plano OPQ .
Portanto, a reta PV é perpendicular ao plano OPQ .
Assim:
A[OPQ] # PV
V[OPQV] =
=
3
=
12 #
2
6
3
#
8
=
576
= 4 u. v.
6
242
000707 206-242.indd 242
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UNIDADE
8
Generalidades
acerca de sucessões
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
8.1 Sucessões numéricas
Um grupo de amigos vai jantar a um restaurante onde as mesas existentes,
dispostas individualmente, permitem sentar confortavelmente quatro pessoas.
Tarefa 1
As figuras seguintes ilustram a disposição que as cadeiras devem ter, à volta
das mesas, juntando duas mesas, três mesas, etc., de forma a sentar o número
máximo de pessoas, confortavelmente.
1.1Qual é o número máximo de amigos que se podem sentar confortavelmente
u3p8h110 mesas? Eu3p8h2
se juntarem
20 mesas?
u3p8h3
1.2Qual é o número mínimo de mesas necessárias para sentar confortavelmente
100 amigos?
1.3Na inauguração da ponte Vasco da Gama
foi servida uma feijoada em cima
da ponte. Admitindo que foram usadas
11 000 mesas como estas, colocadas
juntas ao longo da ponte, indique
o número máximo de pessoas que
se sentaram à mesa confortavelmente.
1.4Determine o número máximo, N , de amigos que é possível sentar
confortavelmente em função do número, n , de mesas juntas.
1.1Para 10 mesas tem-se 2 × 10 + 2 = 22 pessoas e para 20 mesas
são 2 × 20 + 2 = 42 pessoas.
100 - 2
1.2 Como
= 49 , então, são necessárias 49 mesas.
2
1.3 Para 11 000 mesas tem-se 2 × 11 000 + 2 = 22 002 pessoas.
1.4
N = 2n + 2
243
000707 243-251 U8.indd 243
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Generalidades acerca de sucessões
Nas figuras seguintes estão representados o 1.o, o 2.o e o 3.o termos de uma
sucessão.
1
1
2
1.1Represente o 4.º e o 5.º termos desta sucessão.
1.2Sendou3p8h5
n a ordem da figura, indique, em função de n :
u3p8h6
a)o número de quadradinhos brancos.
b)o número total de quadradinhos.
u3p8h7
4
1.1
4.o termo
5.o termo
1.2 a) 2n(n - 1) + n = 2n2 - n
u3p184hs1
b) (2n + 1)n = 2n2 + n
u3p184hs2
2
Nas figuras seguintes estão os três primeiros termos de uma sucessão
de quadrados construídos com fósforos.
u3p9h2
u3p9h3
Supondo que o processo de construção de cada quadrado se mantém, determine:
a)o número de fósforos necessários para construir a figura de ordem 20 .
b)um termo geral da sucessão do número total de u3p9h4
fósforos.
a)Contando separadamente os fósforos verticais e horizontais, obtém-se
21 × 20 + 20 × 21 = 2 × 20 × 21 = 840 fósforos.
b)2n(n + 1) = 2n2 + 2n
244
000707 243-251 U8.indd 244
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
Indique um termo geral da sucessão cujos primeiros termos são:
3
a)0, 3, 8, 15, 24, …
b)1, 4, 7, 10, …
a)n2 - 1
b)3n - 2
8
4
Calcule o 2.o e o 10.o termos da sucessão de termo geral:
3
2n + 3
a)un =
b) vn = (-1)2n + 1
n
1- 2n
7
23
2#2+3
2 # 10 + 3
=e u10 =
=3
19
1-2#2
1 - 2 # 10
3
3
3
3
b)v2 = (-1)2 × 2 + 1
=e v10 = (-1)2 × 10 + 1
=2
2
10
10
a)u2 =
5
Averigue se -2 é termo de alguma das sucessões seguintes, e, se o for,
indique a sua ordem.
3n -1
a)an =
c)cn = n2 - 2n - 2
e)en = -6 + 2 n +1
n +3
3 + 5n
b) bn = 2
d)dn = n + 3 - 4
n -3
3n - 1
= -2 + 3n - 1 = -2n - 6 + n = -1 " IN
n+3
Logo, -2 não é termo de (an) .
3 + 5n
b) bn = -2 + 2
= -2 + 3 + 5n = -2n2 + 6 +
n -3
- 5 ! 25 - 4 # 2 # (-3)
+
+ 2n2 + 5n - 3 = 0 + n =
2#2
-5 ! 7
1
+ n = -3 0 n =
+ n=
4
2
1
" IN , -2 não é termo de (bn) .
Como -3,
2
c) cn = -2 + n2 - 2n - 2 = -2 + n(n - 2) = 0 + n = 0 0 n = 2
Como 2 ! IN , -2 é termo de (cn) , de ordem 2 .
a) an = -2 +
d) dn = -2 + qn + 3u - 4 = -2 + qn + 3u = 2 +
+ n + 3 = 2 0 n + 3 = -2 + n = -1 0 n = -5
Como -1 , -5 " IN , -2 não é termo de (dn) .
e) en = -2 + -6 + 2 n + 1 = -2 +
n+1=2&n+1=4+
+ n = 3 ! IN
Como 3 é solução da equação, pois -6 + 2 3 + 1 = -2 ,
-2 é termo de (en) de ordem 3 .
245
000707 243-251 U8.indd 245
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Generalidades acerca de sucessões
Considere a sequência de figuras seguinte.
Tarefa 2
N.º da figura
1
2
3
4
Figura
Seja (un) a sucessão que ao número de triângulos de cada figura faz corresponder
o número de segmentos
de reta
representados
na figura.u3p10h4
u3p10h1
u3p10h2
u3p10h3
2.1Justifique que um termo geral da sucessão (un) pode ser:
un = 3 + 2(n - 1)
2.2Determine o número de segmentos da 49.a figura.
2.3Averigue, justificando, se existe alguma figura com 150 segmentos.
2.1Em cada figura são adicionados 2 segmentos. Assim, a figura n
tem mais 2(n - 1) segmentos do que os 3 do triângulo inicial, ou seja:
un = 3 + 2(n - 1)
2.2 u49 = 3 + 2 × 48 = 99
2.3 3 + 2(n - 1) = 150 + n = 74,5 " IN
Portanto, não existe nenhuma figura com 150 segmentos.
8.2 Sucessões monótonas
6
Considere a sucessão de termo geral:
3n - 2
n
6.1Represente graficamente os cinco primeiros termos da sucessão.
an =
6.2Averigue se 3 é termo da sucessão.
6.3Prove que:
6n ! IN, an < 3
6.4Calcule an + 1 e a2n .
6.1Como a1 = 1 , a2 = 2 , a3 =
7
13
5
, a4 =
e a5 =
, tem-se:
3
2
5
an
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
1
2
3
4
5
n
246
000707 243-251 U8.indd 246
01/07/16 12:35
UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
3n - 2
= 3 + 3n - 2 = 3n + -2 = 0
n
Equação impossível; logo, 3 não é termo da sucessão.
8
6.2
an = 3 +
6.3Tem-se que
3n - 2
3n
2
2
= n - n =3- n .
n
2
Como n > 0, 6 n ! IN , então, an < 3 .
3 (n + 1) - 2
3n + 1
6.4 an + 1 =
=
n+1
n+1
3 (2n) - 2
3n - 1
6n - 2
=
=
a2n =
n
2n
2n
Na figura seguinte está representada uma sequência de figuras constituídas
por semicircunferências, em que o 1.o termo desta sequência é uma
semicircunferência de diâmetro igual a 2 cm , e, como sugere a figura,
cada um dos outros termos é constituído pelo dobro das semicircunferências
do termo anterior, tendo cada uma delas diâmetro igual a metade do diâmetro
de cada semicircunferência do termo anterior.
Tarefa 3
2 cm
2 cm
2 cm
Seja (cn) a sucessão dos comprimentos de cada termo.
3.1Calcule os três primeiros termos de (cn) .
u3p12h2
u3p12h3
3.2Escreva um termo geral de (cn) .
u3p12h4
3.3Como classifica (cn) quanto à monotonia?
3.1
c1 = r , c2 = 2 ×
r
r
= r e c3 = 4 ×
=r
2
4
r
n =r
3.3Sucessão monótona em sentido lato.
3.2 cn = n ×
Mostre que as sucessões seguintes são monótonas e indique o tipo de monotonia.
2n
a)un =
c)wn = n2 + 1
n +1
d)xn = 2 - sin(nr)
b)vn = 5 - 4n
7
247
000707 243-251 U8.indd 247
01/07/16 12:35
Generalidades acerca de sucessões
2 (n + 1)2 - 2n (n + 2)
2 (n + 1)
2n
a) un + 1 - un =
=
=
n+2
n+1
(n + 2) (n + 1)
2
2n 2 + 4n + 2 - 2n 2 - 4n
=
=
> 0, 6 n ! IN
(n + 2) (n + 1)
(n + 2) (n + 1)
Logo, (un) é monótona crescente.
b)vn + 1 - vn = ^5 - 4(n + 1)h - (5 - 4n) = 5 - 4n - 4 - 5 + 4n =
= -4 < 0, 6 n ! IN
Logo, (vn) é monótona decrescente.
c)wn + 1 - wn = ^(n + 1)2 + 1h - (n2 + 1) =
= n2 + 2n + 1 + 1 - n2 - 1 = 2n + 1 > 0, 6 n ! IN
Logo, (wn) é monótona crescente.
d)xn + 1 - xn = _2 - sin^(n + 1)rhi - ^2 - sin(nr)h =
= 2 - 2 = 0, 6 n ! IN
Logo, (xn) é constante.
Classifique quanto à monotonia as sucessões de termo geral:
8
a) an = 4n2 - 1
2
b) bn = (5 - n)
n-3
c) cn =
2n
d) dn = n - 6
e)en = *
2 se n par
3 se n ímpar
a)an + 1 - an = ^4(n + 1)2 - 1) - (4n2 - 1) =
= 4n2 + 8n + 4 - 1 - 4n2 + 1 = 8n + 4 > 0, 6 n ! IN
Logo, (an) é monótona crescente.
b)bn + 1 - bn = ^5 - (n + 1)h2 - (5 - n)2 =
= 16 - 8n + n2 - 25 + 10n - n2 = 2n - 9
2n - 9 > 0 para n H 5 mas 2n - 9 < 0 para n < 5 ; logo,
(bn) não é monótona.
n 2 - 2n - (n - 3) (n + 1)
(n + 1) - 3
n-3
c)cn + 1 - cn =
=
=
2n
2 (n + 1)
2n 2 + 2n
3
n 2 - 2n - n 2 - n + 3n + 3
=
> 0, 6 n ! IN
2
2
2n + 2n
2n + 2n
Logo, (cn) é monótona crescente.
=
d)dn + 1 - dn = q(n + 1) - 6u - qn - 6u = qn - 5u - qn - 6u
Para n = 1 obtém-se qn - 5u - qn - 6u = -1 e para n = 7
obtém-se qn - 5u - qn - 6u = 1 ; logo, (dn) não é monótona.
e)e1 = 3 > e2 = 2 e e2 = 2 < e3 = 3 ; logo, (en) não é monótona.
248
000707 243-251 U8.indd 248
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
Considere as sucessões de termo geral: un = kn + 2, k ! IR .
9
8
Indique os valores de k para os quais (un) é:
a)crescente.
b)decrescente em sentido lato.
c)constante.
un + 1 - un = ^k(n + 1) + 2h - (kn + 2) = kn + k + 2 - kn - 2 = k
a) (un) é crescente, se k > 0 , ou seja, se k ! ]0, +3[ .
b)(un) é decrescente em sentido lato, se k G 0 , ou seja, se k ! ]-3, 0].
c)(un) é constante, se k = 0 .
Sejam (un) e (vn) duas sucessões tais que, para todo n ! IN :
un + 1 - un = 4
vn + 1 - vn = 4 - n
10
10.1Sabendo que u1 = 5 , determine os cinco primeiros termos de (un) .
10.2 Classifique, justificando, cada uma das sucessões quanto à monotonia.
10.1 u1 = 5 ; u2 - u1 = 4 + u2 = 9 ; u3 - u2 = 4 + u3 = 13 ;
u4 - u3 = 4 + u4 = 17 e u5 - u4 = 4 + u5 = 21
10.2 Como un+1 - un = 4 > 0 , (un) é crescente.
Como para n = 1 , 4 - n = 3 e para n = 5 , 4 - n = -1 ,
(vn) não é monótona.
8.3 Sucessões limitadas
11
Considere os seguintes subconjuntos de números reais:
A = ]-3, 5]
B = ]-1, 4] , {7}
C = {0, 1}
11.1Quais dos conjuntos dados são minorados? E limitados?
11.2Indique o conjunto dos majorantes de cada um dos conjuntos apresentados.
11.1 Tem-se que 6a ! A, a G 5 mas bm ! IR: a H m .
Logo, A é apenas majorado e, por isso, não é limitado.
Tem-se que 6 b ! B, -1 G b G 7 .
Logo, B é minorado e majorado, sendo, por isso, limitado.
Tem-se que 6c ! C, 0 G c G 1 .
Logo, C é minorado e majorado, sendo, por isso, limitado.
11.2 Majorantes de A : [5, +3[
Majorantes de B : [7, +3[
Majorantes de C : [1, +3[
249
000707 243-251 U8.indd 249
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Generalidades acerca de sucessões
Dê um exemplo de um subconjunto de números reais:
12
a)limitado.
b)majorado e não limitado.
c)não limitado.
a)]2, 4[
b)]-3, 4[
c)]-3, 4[
13
Prove que são limitadas as sucessões com os termos gerais seguintes,
indicando um majorante e um minorante para cada.
5n -1
3
a) an =
b) bn = -7
c) cn =
n
2n -1
3
G 3, 6 n ! IN .
2n - 1
Assim, (an) é limitada; 0 é um minorante e 3 é um majorante.
a)Tem-se que 2n - 1 H 1 ; logo, 0 <
b)Tem-se que (bn) é constante; logo, (bn) é limitada; -7 é simultaneamente
um minorante e um majorante.
1
1
1
5n - 1
= 5 - n e 0 < n G 1 , ou seja, -1 G - n < 0 .
n
1
1
Portanto, -1 G - n < 0 + 4 G 5 - n < 5, 6 n ! IN .
Assim, (cn) é limitada; 4 é um minorante e 5 é um majorante.
c)Tem-se que
14
Uma sucessão (wn) de termos positivos é tal que, para todo o número natural
3
n, w H4.
n
Justifique que a sucessão é limitada.
Caderno de Apoio do 11.º ano
wn
3
1
3
wn H 4 + 3 G 4 + wn G 4 , 6 n ! IN
Como (wn) é uma sucessão de termos positivos, tem-se wn H 0 .
3
Logo, 0 G wn G
, ou seja, (wn) é limitada.
4
15
Considere a sucessão de termo geral:
wn = n2 - 15n
15.1Mostre que (wn) é não monótona.
15.2Indique, caso exista, o mínimo do conjunto dos termos da sucessão.
250
000707 243-251 U8.indd 250
01/07/16 12:35
15.1 wn + 1 - wn = ^(n + 1) - 15(n + 1)h - (n - 15n) =
2
UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
2
8
= n2 + 2n + 1 - 15n - 15 - n2 + 15n = 2n - 14
Para n = 1 , 2n - 14 = -12 , e, para n = 8 , 2n - 14 = 2 ;
logo, (wn) não é monótona.
15.2
n2 - 15n = 0 + n = 0 0 n = 15
Logo, se considerarmos a parábola dada por x2 - 15x , o seu vértice
tem de abcissa 7,5 . Assim, o mínimo desta sucessão será atingido
na ordem 7 ou 8 .
Como w7 = 72 - 15 × 7 = -56 e w8 = 82 - 15 × 8 = -56 ,
o mínimo é -56 .
De uma sucessão (an) sabe-se que:
16
• a1 = 1
• 6n ! IN, an + 1 > an
• 6n ! IN, an G 4
Em nenhuma das figuras seguintes estão representados graficamente os dez
primeiros termos de (an) .
Indique, para cada representação, uma razão que justifique a afirmação
anterior.
(I) y
(III) y
4
4
1
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n
(II) y
4
u3p16h1
u3p16h3
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n
Na figura (I), tem-se a1 = 4 ! 1 ; na figura (II), a sucessão não é estritamente
crescente; e, na figura (III), há termos superiores a 4 .
u3p16h2
251
000707 243-251 U8.indd 251
01/07/16 12:35
9
UNIDADE
Princípio de indução
matemática
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
9.1 Princípio de indução matemática
Se estiver vivo num dia, também estarei no dia seguinte.
1
Justifique que está garantida a vida eterna a quem formular
este pedido ao génio da lâmpada e este o conceder.
Obviamente que a pessoa está viva no dia em que faz o pedido; logo, também
estará viva no dia seguinte e no seguinte e no seguinte, e assim por diante,
nunca podendo morrer.
2
Prove, por indução matemática, que é verdadeira a seguinte propriedade:
n
6n ! IN, / (6i - 3) = 3n2
i =1
n
Considere-se a condição P(n): / (6i - 3) = 3n2 .
i =1
A proposição P(1) é 6 × 1 - 3 = 3 × 1 , que é verdade.
n
Hipótese: Para um certo n ! IN ,
2
.
i =1
n+1
Tese:
/ (6i - 3) = 3n
/ (6i - 3) = 3(n + 1)
2
i =1
Demonstração:
n+1
n
i =1
i =1
/ (6i - 3) = / (6i - 3) + ^6(n + 1) - 3h
Usando a hipótese de indução, obtém-se:
n+1
/ (6i - 3) = 3n
i =1
2
+ ^6(n + 1) - 3h = 3n2 + 6n + 3 =
= 3(n2 + 2n + 1) = 3(n + 1)2
Portanto, pelo princípio de indução matemática, a proposição
n
6 n ! IN, / (6i - 3) = 3n2
é verdadeira.
i =1
252
000707 252-267 U9.indd 252
01/07/16 12:36
UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
9
Prove, por indução matemática, que são verdadeiras as seguintes propriedades:
3
a)6n ! IN 2, 3n > 2 n + 1
n
b)6n ! IN,
c)6n ! IN, n3 + 5n é divisível por 3
/ (k + 1) =
k =1
n (n + 3)
2
d)6n ! IN4, 2 n > 3n
a)Considere-se a condição P(n): 3n > 2 n + 1 .
A proposição P(2) é 32 > 22 + 1 , que é verdade, pois 9 > 8 .
Hipótese: Para um certo n ! IN2 , 3n > 2n + 1 .
Tese: 3n + 1 > 2n + 2
Demonstração:
3n + 1 = 3n × 3
Usando a hipótese de indução, obtém-se:
3n + 1 > 2 n + 1 × 3 > 2 n + 1 × 2 = 2 n + 2
Portanto, pelo princípio de indução matemática, a proposição
6 n ! IN2, 3n > 2n + 1
é verdadeira.
n
b)Considere-se a condição P(n):
/ (k + 1) =
k =1
n (n + 3)
.
2
1 (1 + 3)
, que é verdade.
2
n
n (n + 3)
Hipótese: Para um certo n ! IN, / (k + 1) =
.
2
k =1
A proposição P(1) é 1 + 1 =
n+1
Tese:
/ (k + 1) =
k =1
(n + 1) (n + 4)
2
Demonstração:
n+1
n
k =1
k =1
/ (k + 1) = / (k + 1) + (n + 1 + 1)
Usando a hipótese de indução, obtém-se:
n+1
/ (k + 1) = n (n 2+ 3) + (n + 1 + 1) =
k =1
n (n + 3) + 2 (n + 2)
n 2 + 3n + 2n + 4
=
=
=
2
2
n (n + 4) + n + 4
(n + 1) (n + 4)
n 2 + 4n + n + 4
=
=
=
2
2
2
Portanto, pelo princípio de indução matemática, a proposição
n
6 n ! IN,
é verdadeira.
/ (k + 1) =
k =1
n (n + 3)
2
253
000707 252-267 U9.indd 253
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Princípio de indução matemática
c)Considere-se a condição P(n): « n3 + 5n é divisível por 3 » .
A proposição P(1) é « 13 + 5 é divisível por 3 » , que é verdade.
Hipótese: Para um certo n ! IN , « n3 + 5n é divisível por 3 » .
Tese: « (n + 1)3 + 5(n + 1) é divisível por 3 »
Demonstração:
(n + 1)3 + 5(n + 1) = (n + 1)(n2 + 2n + 1) + 5n + 5 =
= n3 + 2n2 + n + n2 + 2n + 1 + 5n + 5 =
= (n3 + 5n) + 3n2 + 3n + 6 = (n3 + 5n) + 3(n2 + n + 2)
Tem-se que (n + 1)3 + 5(n + 1) é a soma de dois múltiplos de 3
^ n3 + 5n que por hipótese de indução é múltiplo de 3 e 3(n2 + n + 2) h .
Logo, (n + 1)3 + 5(n + 1) é divisível por 3 .
Portanto, pelo princípio de indução matemática, a proposição
« n3 + 5n é divisível por 3 » é verdadeira.
d)Considere-se a condição P(n): 2 n > 3n .
A proposição P(4) é 24 > 3 × 4 , o que é verdade, pois 16 > 12 .
Hipótese: Para um certo n ! IN4 , 2n > 3n .
Tese: 2n + 1 > 3(n + 1)
Demonstração:
2n + 1 = 2n × 2
Usando a hipótese de indução, obtém-se:
2n + 1 > 3n × 2 > 3n + 3 = 3(n + 1)
Portanto, pelo princípio de indução matemática, a proposição
6 n ! IN4, 2n > 3n
é verdadeira.
Em alternativa:
Considere-se a condição P(n): 3n × 2 = 3n + 3n > 3n + 3 .
Como 6n > 3n + 3 + n > 1 , obtém-se uma condição universal em IN4 .
Na figura seguinte estão representados os quatro primeiros números triangulares,
construídos com seixos.
Tarefa 1
1
2
3
4
254
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
9
1.1Construa o 5.º e o 6.º números triangulares e indique o número necessário
de seixos para construir cada um deles.
1.2Indique, dado o número triangular de ordem n , o processo de obter
o número triangular de ordem n + 1 e, considerando (tn) a sucessão
dos números triangulares, escreva tn + 1 em função de tn .
1.3Prove, utilizando o princípio de indução matemática, que a sucessão
de números triangulares pode ser definida pelo termo geral:
n2+n
2
1.4Averigue se 160 é um número triangular.
tn =
1.1 O 5.º número triangular tem 15 seixos e o 6.º tem 21 .
1.2 O número triangular de ordem n + 1 obtém-se acrescentando uma fila
com n + 1 seixos ao número triangular de ordem n .
tn + 1 = tn + (n + 1), 6 n ! IN
1.3 Para n = 1 , tem-se t1 = 1 , que é verdade.
Hipótese: Para um certo n ! IN , tn =
Tese: tn + 1 =
n2 + n
.
2
(n + 1)2 + n + 1
n 2 + 3n + 2
=
2
2
Demonstração:
tn + 1 = tn + n + 1
Por hipótese, obtém-se:
tn + 1 =
n2 + n
n 2 + 3n + 2
+n+1=
2
2
Portanto, pelo princípio de indução, a proposição 6n ! IN, tn =
é verdadeira.
1.4 tn = 160 +
n2 + n
2
n2 + n
= 160 + n2 + n - 320 = 0 +
2
1 + 4 # 320
" IN
2
Logo, 160 não é um número triangular.
+ n =
-1 !
255
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01/07/16 12:36
Princípio de indução matemática
Seja P(n) a seguinte condição:
4
n
/k =
k =1
(n -1) (n + 2)
2
4.1Prove que a proposição 6n ! IN, P(n) & P(n + 1) é verdadeira.
4.2Pode-se concluir que 6n ! IN, P(n) é verdadeira? Justifique a sua resposta.
4.1 Suponha-se que P(n) se verifica, ou seja, que para n ! IN se tem:
n
/k=
k =1
n+1
Tese:
/k=
k =1
Tem-se que
(n - 1) (n + 2)
2
n (n + 3)
2
n+1
n
k =1
k =1
/ k = / k + (n + 1) ;
logo, usando a hipótese:
n+1
(n - 1) (n + 2)
(n - 1) (n + 2) + 2n + 2
+ (n + 1) =
=
2
2
k =1
n (n + 3)
n 2 + 2n - n - 2 + 2n + 2
n 2 + 3n
=
=
=
2
2
2
Portanto, P(n + 1) também se verifica.
1
(1 - 1) (1 + 2)
4.2 Não, porque P(1) é falsa: / k = 1 ! 0 =
.
2
k =1
/ k =
9.2 Sucessões definidas por recorrência
Considere a sucessão (un) definida por:
u1 = 4
*
un +1 = un - 3, 6n ! IN
5
5.1Determine os cinco primeiros termos de (un) .
5.2Prove que (un) é monótona decrescente.
5.1 u1 = 4 ; u2 = u1 - 3 = 1 ; u3 = u2 - 3 = -2 ;
u4 = u3 - 3 = -5 ; u5 = u4 - 3 = -8
5.2 un + 1 - un = un - 3 - un = -3 < 0, 6 n ! IN
Logo, a sucessão é estritamente decrescente.
6
Na figura estão representados os três primeiros
termos de uma sucessão de figuras constituídas
por quadrados.
256
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1
2
3
u3p22h2
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
6.1Indique o número de quadrados que constituem o 7.º e o 8.º termos.
9
6.2Seja (qn) a sucessão do número de quadrados em cada termo.
Defina a sucessão (qn) por recorrência.
6.3Mostre, por indução matemática, que um termo geral de (qn) é:
qn = 2n - 1
6.1 O 7.º termo tem 13 quadrados e o 8.º tem 15 quadrados, pois o número
de quadrados aumenta duas unidades de um termo para o termo seguinte.
q1 = 1
6.2 *
qn + 1 = qn + 2, 6 n ! IN
6.3 Para n = 1 , tem-se q1 = 2 - 1 = 1 , que é verdade.
Hipótese: Para um certo n ! IN , qn = 2n - 1 .
Tese: qn + 1 = 2(n + 1) - 1
Demonstração:
qn + 1 = qn + 2
Por hipótese, obtém-se:
qn + 1 = 2n - 1 + 2 = 2(n + 1) - 1
Portanto, pelo princípio de indução, a proposição 6 n ! IN , qn = 2n - 1
é verdadeira.
7
Seja (un) a sucessão definida por:
u1 = 5
*
1+ un
, 6n ! IN
2
7.1Mostre, por indução, que 6n ! IN, un > 1 .
un +1 =
7.2Deduza da alínea anterior que (un) é decrescente.
Caderno de Apoio do 11.º ano
7.1 Para n = 1 , tem-se u1 = 5 > 1 , que é verdade.
Hipótese: Para um certo n ! IN , un > 1 .
Tese: un + 1 > 1
Demonstração:
un
1 + un
1
=
+
un + 1 =
2
2
2
un
1
>
e, portanto, un + 1 > 1 .
Por hipótese, un > 1 ; logo,
2
2
Portanto, pelo princípio de indução, a proposição 6n ! IN, un > 1 é verdadeira.
1 - un
1 + un
7.2 un + 1 - un =
- un =
2
2
1 - un
Como un > 1 ,
< 0, 6n ! IN ; logo, (un) é decrescente.
2
257
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Princípio de indução matemática
Seja (an) a sucessão definida por:
1
a1 =
2
8
*
an
, 6n ! IN
an +1
an +1 =
Prove, por indução matemática, que
6n ! IN, 0 G an G 1
1
G 1 , que é verdade.
2
Hipótese: Para um certo n ! IN , 0 G an G 1 .
Para n = 1 , tem-se 0 G a1 =
Tese: 0 G an + 1 G 1
Demonstração:
an + 1 =
Por hipótese, an H 0 ; logo,
an
an + 1
an
an
H0 e
< an G 1 .
an + 1
an + 1
Portanto, pelo princípio de indução, a proposição 6n ! IN, 0 G an G 1 é verdadeira.
Seja (un) a sucessão definida por:
9
*u
u1 =-1
n +1
=
un
, 6n ! IN
1- 2un
9.1Mostre, por indução, que um termo geral de (un) é un =
9.2Mostre que (un) é monótona e limitada.
1
.
1- 2n
1
= -1 , que é verdade.
1-2
1
.
Hipótese: Para um certo n ! IN , un =
1 - 2n
1
Tese: un + 1 =
1 - 2 (n + 1)
un
Demonstração:
un + 1 =
1 - 2un
Usando a hipótese de indução, obtém-se:
1
1
1 - 2n
1
1 - 2n
1 - 2n
=
=
=
un + 1 =
1
1 - 2n - 2
(1 - 2n - 2)
1 - 2 (n + 1)
1- 2
1 - 2n
1 - 2n
1
Portanto, pelo princípio de indução, a proposição 6n ! IN, un =
1 - 2n
é verdadeira.
9.1 Para n = 1 , tem-se u1 =
258
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1
1
9.2 un + 1 - un =
=
1 - 2n
1 - 2 (n + 1)
2
1 - 2n + 1 + 2n
=
=
> 0, 6n ! IN
(-1 - 2n) (1 - 2n)
- 1 + 4n 2
Logo, (un) é crescente.
1
< 0, 6n ! IN ; logo, (un) é majorada.
Tem-se que
1 - 2n
Como (un) é crescente, tem de ser limitada.
UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
9
AVALIAR CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
1
O termo geral de uma sucessão cujos cinco primeiros termos são -1 , - ,
2
1
1
- , 0 e
pode ser:
7
5
n-3
-4n
n-4
(A) -n
(B)
(C)
(D)
2n
2n + 2
n+2
A opção (A) não pode ser, pois o 2.º termo desta sucessão é igual a -2 .
-4
.
A opção (B) não pode ser, pois o 2.º termo desta sucessão é igual a
3
-1
A opção (C) não pode ser, pois o 2.º termo desta sucessão é igual a
.
4
A opção correta é a (C).
2
Seja T1 um triângulo equilátero. Construa-se T2 unindo os pontos médios dos lados
de T1 e pintando de azul o triângulo central. Considere-se que Tn + 1 é construído
a partir de Tn aplicando o processo anterior a cada triângulo branco de Tn .
T1
T2
T3
T4
2.1 O número de triângulos brancos em T5 é:
(A) 40
(B) 54
(C) 81
(D) 243
2.2Um termo geral da sucessãou3p25h1
(An) das razões entre as áreas a branco
e a área total em cada figura pode ser:
3 n
1 n
3 n -1
(A)
An = c m (B) An = c m (C) An = c m (D) An = 3n
4
4
4
259
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Princípio de indução matemática
2.1 De um termo para o termo seguinte, cada triângulo branco é dividido
em três triângulos brancos. Como T4 tem 27 triângulos brancos,
T5 tem 27 × 3 = 81 triângulos brancos.
A opção correta é a (C).
2.2 Sejam Ab a área a branco, AT a área total e a , b e c os valores
das áreas de cada um dos triângulos em que se encontra dividido T1 ,
respetivamente, em T2 , T3 e T4 . Então:
Ab
Ab
3 2
9b
= 1 , pois Ab = AT
=
=c m
T1 :
T3 :
AT
AT
4
16b
Ab
Ab
3a
3
3 3
27c
T2 :
=
=
T4 :
=
=c m
AT
AT
4a
4
4
64c
A opção correta é a (B).
3
Considere a sucessão de termo geral vn = (-1)n $ n . Indique qual das seguintes
afirmações é verdadeira.
(A)(vn) é monótona e limitada.
(C)(vn) é limitada e não monótona.
(B)(vn) é monótona e não limitada.
(D)(vn) é não monótona e não limitada.
Se n for par, vn = n > 0 , mas se n for ímpar, vn = -n < 0 ; portanto,
(vn) não é monótona. As sucessões de termos gerais n e -n não são
limitadas; logo, vn também não é limitada.
A opção correta é a (D).
4
De uma sucessão (un) sabe-se que:
• (un) é estritamente monótona;
• 6n ! IN, un G 10
Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?
(A)Se (un) for crescente, então, é limitada.
(B)
u1 = 10
(C)
6n ! IN, u1 G un G 10
(D)Se (un) for decrescente, então, é limitada.
Contraexemplos:
(B) un = (-1)n × 10 G 10 , mas u1 = -10
10
n ; 0 < un G 10 e u1 = 10
10
(D) un =
n -n
A opção correta é a (A).
(C) un =
260
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
5
9
Seja a um número real. Considere a sucessão (un) definida por
u1 = a
)
un +1 =-3un + 2, 6n ! IN
Qual é o 3.º termo desta sucessão?
(A)6a + 4
(C)6a - 4
(B)9a - 4
(D)9a + 4
Exame Nacional do 12.º ano, 2015
u2 = -3a + 2
u3 = -3(-3a + 2) + 2 = 9a - 6 + 2 = 9a - 4
A opção correta é a (B).
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
6
Nas listagens seguintes estão os quatro primeiros termos de sucessões
de números reais. Sugira um termo geral para cada uma delas.
1
1
1
1
a)
,
,
,
, …
10 11 12 13
b)3 , 9 , 27 , 81 , …
c)3 , -9 , 27 , -81 , …
d)2 ,
3
4
5
,
,
, …
2
3
4
1
n+9
a)
c)(-1)n + 1 3n
b)3n
d)
n+1
n
7
2n + 3
Considere a sucessão (un) de termo geral un =
.
3n -1
7.1Determine u5 e u20 .
7.2Classifique, justificando, (un) quanto à monotonia.
2
.
3
7.4Justifique que (un) é limitada.
7.3Mostre que 6n ! IN, un >
7.5Mostre que existe um número real positivo L , tal que 6n ! IN, un G L .
261
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Princípio de indução matemática
13
43
2 # 20 + 3
2#5+3
=
e u20 =
=
14
3 # 20 - 1
59
3#5-1
2 (n + 1) + 3
2n + 3
2n + 3
2n + 5
7.2 un + 1 - un =
=
=
3n - 1
3n - 1
3n + 2
3 (n + 1) - 1
(2n + 5) (3n - 1) - (2n + 3) (3n + 2)
=
=
(3n + 2) (3n - 1)
- 11
6n 2 - 2n + 15n - 5 - 6n 2 - 4n - 9n - 6
=
=
(3n + 2) (3n - 1)
(3n + 2) (3n - 1)
- 11
Como (3n + 2)(3n - 1) > 0 ,
<0
(3n + 2) (3n - 1)
Logo, (un) é decrescente.
7.1 u5 =
2
2n + 3
>
+ 6n + 9 > 6n - 2 + 9 > -2 (Proposição verdadeira)
3
3n - 1
2
Logo, un > , 6n ! IN .
3
5
7.4 Como (un) é decrescente, é majorada por u1 =
. Pela alínea anterior,
2
2
é um minorante de (un) ; logo, (un) é limitada.
3
2n + 3
5
7.5 Seja L =
. Tem-se que
> 0, 6n ! IN ; logo,
3n - 1
2
5
qunu = un G
=L.
2
7.3 8
Na figura seguinte estão representados os três primeiros termos da sucessão (qn)
que conta os quadrados das figuras.
1
2
3
Tal como a figura sugere, q1 = 5 , q2 = 13 e q3 = 25 .
8.1Indique os valores de q4 e q5 .
8.2Defina a sucessão (qn) por recorrência e utilize essa definição para justificar
u3p26h1
que (qn) é monótona crescente.
8.1 q4 = 25 + 4 × 4 = 41 e q5 = 41 + 4 × 5 = 61
8.2 *
q1 = 5
qn + 1 = qn + 4n, 6n ! IN
Tem-se que qn + 1 - qn = qn + 4n - qn = 4n > 0, 6n ! IN ;
logo, (qn) é crescente.
262
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
Seja (cn) uma sucessão crescente e limitada.
9
9
Prove que:
a)(-cn) é decrescente e limitada.
b)(3cn - 4) é limitada.
a) Como (cn) é crescente, então, cn + 1 - cn > 0 . Assim:
-cn + 1 + cn = -cn + 1 - (-cn) < 0, 6n ! IN
Logo, (-cn) é decrescente.
Como (cn) é limitada, 7L > 0: 6n ! IN, cn < L .
Tem-se que -cn = cn ; logo, (-cn) é limitada.
b)Como (cn) é limitada, tem um majorante e um minorante.
Seja m um minorante de (cn) e M um majorante.
Tem-se que 3cn - 4 < 3cn < 3M (porque M é majorante de (cn) ) .
Logo, 3M é majorante de (3cn - 4) .
Do mesmo modo, 3cn - 4 > 3cn - 5 > 3m - 5 (porque m é minorante
de (cn) ) .
Logo, 3m - 5 é minorante de (3cn - 4) . Portanto, (3cn - 4) é limitada.
10
Justifique que uma sucessão decrescente (wn) de termos positivos é limitada.
Como (wn) é decrescente, tem como majorante w1 , e como é positiva,
tem como minorante o 0 . Logo, (wn) é limitada.
11
Considere as seguintes sucessões:
1
un = 1 - 4n , vn = (-1)2n , wn = 4 - n ,
2 se n é par
nr
m
e yn = n sinc
xn = * 1
2
se
n
é
ímpar
n
Indique, justificando, quais destas sucessões são:
a)monótonas e limitadas.
b)monótonas e não limitadas.
c)não monótonas e limitadas.
d)não monótonas e não limitadas.
263
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Princípio de indução matemática
un + 1 - un = ^1 - 4(n + 1)h - (1 - 4n) =
= 1 - 4n - 4 - 1 + 4n = -4 < 0, 6n ! IN
Logo, (un) é decrescente.
Seja a ! Z- . Tem-se u-a = 1 + 4a < a ; logo, (un) não tem minorantes
e, por isso, é não limitada.
vn = (-1)2n = ^(-1)2h n = 1n
Logo, (vn) é constante, pelo que é monótona e limitada.
1
1
1
1
n - c4 - m = + n =
n
n+1
n+1
1
-n + n + 1
=
=
> 0, 6n ! IN
n (n + 1)
n (n + 1)
wn + 1 - w n = d 4 -
Logo, (wn) é crescente.
1
1
Tem-se que 6n ! IN , 4 - n < 4 e 4 - n > 0 ; logo, (wn) é limitada.
1
, (xn) é não monótona.
3
Tem-se que 6n ! IN , xn G 2 e xn > 0 ; logo, (xn) é limitada.
Como x1 = 1 , x2 = 2 e x3 =
Como y1 = 1 , y2 = 0 , y3 = -3 e y4 = 0 , (yn) é não monótona.
Seja a ! IN , com a par. qya + 1u = (a + 1) sin d
logo, (yn) é não limitada.
(a + 1) r
n = qa + 1u > a ;
2
Assim:
a) (vn) e (wn)
b) (un)
c) (xn)
d) (yn)
12
Mostre, utilizando o princípio de indução matemática, que as proposições
seguintes são verdadeiras.
n
n (n +1) (2n +1)
a) 6n ! IN, / i2 =
6
i =1
b)6n ! IN5, 2 n > n2
c)6n ! IN, 2 n - (-1)n é múltiplo de 3
264
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
1 (1 + 1) (2 + 1)
, que é verdade.
6
n
n (n + 1) (2n + 1)
Hipótese: Para um certo n ! IN , / i2 =
.
6
i =1
n+1
(n + 1) (n + 2) _2 (n + 1) + 1i
Tese: / i2 =
6
i =1
Demonstração:
n+1
n
/ i2 = / i2 + (n + 1)2
9
a) Para n = 1 , tem-se 12 = 1 =
i =1
i =1
Por hipótese, obtém-se:
n (n + 1) (2n + 1) + 6 (n + 1)2
n (n + 1) (2n + 1)
+ (n + 1)2 =
=
6
6
i =1
(n + 1) 7n (2n + 1) + 6 (n + 1)A
(n + 1) [2n 2 + n + 6n + 6]
=
=
=
6
6
n+1
/
=
=
i2 =
(n + 1) [2n 2 + 3n + 4n + 6]
(n + 1) (n + 2) (2n + 3)
=
=
6
6
(n + 1) (n + 2) _2 (n + 1) + 1i
6
Portanto, pelo princípio de indução, a proposição
n
n (n + 1) (2n + 1)
é verdadeira.
6n ! IN, / i2 =
6
i =1
b) Para n = 5 , tem-se 25 = 32 > 25 = 52 , que é verdade.
Hipótese: Para um certo n ! IN5 , 2n > n2 .
Tese: 2n + 1 > (n + 1)2
Demonstração:
2n + 1 = 2n × 2
Por hipótese, obtém-se:
2n + 1 > n2 × 2 = n2 + n2 > n2 + (2n + 1) = (n + 1)2
(1)
Portanto, pelo princípio de indução, tem-se 6n ! IN5, 2n > n2 .
(1) Para n = 5 , tem-se 52 = 25 > 11 = 2 × 5 + 1 , que é verdade.
Hipótese: Para um certo n ! IN5 , n2 > 2n + 1 .
Tese: (n + 1)2 > 2(n + 1) + 1
Demonstração:
(n + 1)2 = n2 + 2n + 1
Por hipótese, obtém-se:
(n + 1)2 > (2n + 1) + 2n + 1 = 2n + 2 + 2n =
= 2(n + 1) + 2n > 2(n + 1) + 1
Pelo princípio de indução, tem-se 6n ! IN5, n2 > 2n + 1 .
265
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Princípio de indução matemática
Em alternativa, para evitar duas induções, pode-se ter a seguinte demonstração:
(n + 1)2
2
1
n 2 + 2n + 1
=
=1+ n + 2
n2
n
n2
(n +1)2
1
1
2
2
1
1
Se n > 4 , tem-se n <
e 2 < ; logo,
=1+ n + 2 <2.
2
2
2
n
n
n
Portanto, usando a hipótese de indução:
(n + 1)2 2
n = (n + 1)2
2n + 1 = 2n × 2 > 2n2 >
n2
c) Para n = 1 , tem-se 21 - (-1)1 = 3 que é múltiplo de 3 .
Hipótese: Para um certo n ! IN , 2n - (-1)n é múltiplo de 3 .
Tese: 2n + 1 - (-1)n + 1 é múltiplo de 3
Demonstração:
2n + 1 - (-1)n + 1 = 2n × 2 - (-1)n × (-1) =
= 3 × 2n - 2n - (-1)n × (-1) = 3 × 2n - ^2n - (-1)nh
^2n - (-1)nh é múltiplo de 3 por hipótese de indução e 3 × 2n também
é múltiplo de 3 ; logo, 2n + 1 - (-1)n + 1 é múltiplo de 3 .
Portanto, pelo princípio de indução, a proposição 6n ! IN, 2n - (-1)n
é múltiplo de 3 é verdadeira.
13
Considere a sucessão (pn) dos números pentagonais cujos quatro primeiros
termos estão representados na figura seguinte.
13.1Calcule p6 , p7 e p8 .
13.2Defina (pn) por recorrência.
13.3Prove, por indução matemática, que um termo geral de (pn) é:
3n 2 - n
pu3p27h1
n =
2
13.4Averigue se 477 é um número pentagonal e, em caso afirmativo,
indique a sua ordem.
13.1 p5 = 35 ; p6 = 35 + 2 × 6 + 4 = 51 ; p7 = 51 + 2 × 7 + 5 = 70 ;
p8 = 70 + 2 × 8 + 6 = 92
p1 = 1
*
+
13.2
pn + 1 = pn + 2 (n + 1) + (n - 1), 6n ! IN
+ *
p1 = 1
pn + 1 = pn + 3n + 1, 6n ! IN
266
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
9
3-1
13.3Para n = 1 , tem-se p1 =
= 1 , que é verdade.
2
3n 2 - n
.
Hipótese: Para um certo n ! IN , pn =
2
2
3 (n + 1) - (n + 1)
Tese: pn + 1 =
2
Demonstração:
pn + 1 = pn + 3n + 1
Por hipótese, obtém-se:
3n 2 - n
+ 3n + 1 =
pn + 1 =
2
3n 2 + 6n + 3 - (n + 1)
3n 2 - n + 6n + 2
=
=
=
2
2
2
2
3 (n + 2n + 1) - (n + 1)
3 (n + 1) - (n + 1)
=
=
2
2
3n 2 - n
.
Portanto, pelo princípio de indução, tem-se 6n ! IN, pn =
2
2
3n - n
13.4
pn = 477 +
= 477 + 3n2 - n - 954 = 0 +
2
1 ! 1 + 4 # 3 # 954
1 ! 107
106
+ n =
=
+ n = 18 0 n = 6
6
6
Logo, 477 é um número pentagonal de ordem 18 .
14
Considere a sucessão (an) definida por recorrência:
a1 = 1
14.1Determine a6 - a5 .
*
an +1 = an -
1
, 6n ! IN
4
14.2Mostre que (an) é monótona.
14.3Prove, por indução matemática, que um termo geral de (an) é an =
5- n
.
4
1
1
- a5 = 4
4
1
1
14.2 an + 1 - an = an - an = - < 0, 6n ! IN
4
4
Logo, (an) é decrescente.
5-1
14.3 Para n = 1 , tem-se a1 =
= 1 , que é verdade.
4
5-n
.
Hipótese: Para um certo n ! IN , an =
4
5 - (n + 1)
Tese: an + 1 =
4
1
Demonstração:
an + 1 = an 4
Por hipótese, obtém-se:
5 - (n + 1)
1
5-n
5-n-1
an + 1 =
=
=
4
4
4
4
5-n
Portanto, pelo princípio de indução, tem-se 6n ! IN, an =
.
4
14.1 a 6 - a5 = a5 -
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267
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10
UNIDADE
Progressões
aritméticas
e Progressões
geométricas
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
10.1 Progressões aritméticas
No dia em que a Joana ingressou no 10.º ano
do Ensino Secundário, em meados de setembro,
os seus pais decidiram iniciar uma poupança
destinada a juntar dinheiro para que a filha
pudesse fazer uma viagem no final do 12.º ano.
Tarefa 1
Colocaram 20 euros num mealheiro e, todos
os meses, no início de cada mês, a partir desse dia,
juntaram na poupança mais 5 euros do que
no mês anterior.
1.1Quanto dinheiro foi colocado no mealheiro no início de janeiro do ano
seguinte? E um ano depois do início da poupança?
1.2Deduza uma expressão, por recorrência, que permita saber
a quantia colocada no mealheiro num determinado mês.
1.1Os termos da sucessão são:
20 , 25 , 30 , 35 , 40 , …
No início de janeiro do ano seguinte, o valor colocado na poupança
corresponderá ao termo de ordem 5 , isto é, a 40 euros.
Um ano depois, corresponderá ao termo de ordem 13 , isto é,
a 20 + 12 × 5 = 80 euros.
1.2Representando o plano de poupança por uma sucessão (pn) ,
esta é dada por:
*
p1 = 20
pn + 1 = pn + 5, 6 n ! IN
Em que p1 representa o valor poupado no primeiro mês e 5 , o valor
(constante) a acrescentar em cada mês.
268
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01/07/16 12:38
UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
1
Considere a sucessão (vn) definida por recorrência: *
1.1Calcule os quatro primeiros termos de (vn) .
10
v1 =-2
vn +1 = vn + 3, 6n ! IN
1.2Justifique que (vn) é uma progressão aritmética.
1.3Mostre, utilizando o princípio de indução matemática, que:
vn = 3n - 5, 6n ! IN
1.4Calcule v100 .
1.1
v1 = -2 ; v2 = -2 + 3 = 1 ; v3 = 1 + 3 = 4 ; v4 = 4 + 3 = 7
1.2(vn) é uma progressão aritmética porque cada termo se obtém, a partir
do anterior, somando sempre a mesma constante ( 3 ) .
1.3Para n = 1 , tem-se v1 = 3 - 5 = -2 , que é verdade.
Hipótese: Para um certo n ! IN , vn = 3n - 5 .
Tese: vn + 1 = 3(n + 1) - 5
Demonstração:
vn + 1 = vn + 3
Por hipótese, obtém-se:
vn + 1 = 3n - 5 + 3 = 3(n + 1) - 5
Portanto, pelo princípio de indução, tem-se 6n ! IN, vn = 3n - 5 .
1.4
v100 = 3 × 100 - 5 = 295
2
Mostre que dados dois valores reais quaisquer a e b , os termos a ,
são termos consecutivos de uma progressão aritmética.
a+b
e b
2
a+b
e vp + 2 = b .
Seja (vn) a sucessão em questão, em que vp = a , vp + 1 =
2
Então, tem-se:
b-a
a+b
-a=
vp + 1 - vp =
2
2
b-a
a+b
vp + 2 - vp + 1 = b =
2
2
Como a diferença entre dois termos consecutivos é igual e constante, tem-se
b-a
que os termos dados são termos de uma progressão aritmética de razão
.
2
Em alternativa:
Considere-se a sucessão (vn) definida por recorrência:
v1 = a
*
b-a
vn + 1 = vn +
2
b-a
é constante, (vn) é uma progressão aritmética. Tem-se que:
Como
2
b-a
2a + b - a
a+b
=
=
;
v1 = a ; v2 = a +
2
2
2
b-a
2b
a+b
a+b+b-a
v3 =
+
=
=
=b
2
2
2
2
269
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01/07/16 12:39
Progressões aritméticas e Progressões geométricas
Dados c, d ! IR , justifique que (un) definida por un = cn + d
é uma progressão aritmética de razão c .
Tarefa 2
A sucessão un = cn + d é uma progressão aritmética de razão c , pois:
un + 1 - un = c(n + 1) + d - (cn + d) =
= cn + c + d - cn - d = c, 6n ! IN
3
Verifique se são progressões aritméticas as sucessões de termo geral:
1
n-5
a) an =
-5
c) cn = 1 +
2n
2
n
n
d)
d
=
2
×
(-1)
+5
n
b) bn =
-5
2
1
1
- 5m =
a) an + 1 - an = d
- 5n - c
2n
2 (n + 1)
2n - 2n - 2
1
=
=2n # 2 (n + 1)
2n (n + 1)
Não é uma progressão aritmética, pois a diferença an + 1 - an não é constante.
b)bn + 1 - bn = d
1
n+1
n
n+1-n
=
- 5n - c - 5m =
2
2
2
2
1
É uma progressão aritmética de razão
.
2
n+1-5
n-5
n - d1 +
n=
c)cn + 1 - cn = d1 +
2
2
1
n-4-n+5
=
=
2
2
1
É uma progressão aritmética de razão
.
2
d)dn + 1 - dn = ^2 × (-1)n + 1 + 5h - ^2 × (-1)n + 5) =
= 2 × (-1)n + 1 + (-1) × 2 × (-1)n = 4 × (-1)n + 1
Não é uma progressão aritmética.
4
Considere a sucessão (vn) , em que se sabe que:
5
• v1 = 2
1
• vn + 1 = vn + , 6n ! IN
2
4.1Justifique que (vn) é uma progressão aritmética e indique a sua razão.
4.2Determine v8 .
270
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
4.1(vn) é uma progressão aritmética de razão
a partir do anterior, somando
4.2
v8 = -
1
5
+7×
=1
2
2
1
.
2
10
1
porque cada termo se obtém
2
5
C
Os comprimentos dos lados de um triângulo
retângulo são três termos consecutivos de uma
progressão aritmética de razão 3 .
Determine a área desse triângulo.
A
B
Seja x = AC . Então, x + 3 = AB e x + 6 = BC .
Pelo teorema de Pitágoras:
u3p29h1
(x + 6)2 = (x + 3)2 + x2 +
+ x2 + 12x + 36 = x2 + 6x + 9 + x2 +
+ -x2 + 6x + 27 = 0 + x =
-6 !
36 + 4 # 27
+
-2
- 6 ! 12
+ x = 9 0 x = -3
-2
Logo, AC = 9 , AB = 12 e BC = 15 .
+x =
Assim, A[ABC] =
AB # AC
= 54 u. a.
2
6
Três termos consecutivos de uma progressão aritmética são dados, para um
determinado valor de x , respetivamente, por:
x - 1 , x2 e x + 5
Determine esses três termos.
Adaptado do Caderno de Apoio do 11.º ano
Seja r a razão da progressão aritmética. Então:
*
x2 = x - 1 + r
r = x2 - x + 1
r = x2 - x + 1
*
*
+
+
+
x + 5 = x2 + r
x + 5 = x2 + x2 - x + 1
2x 2 - 2x - 4 = 0
r = x2 - x + 1
r = x2 - x + 1
+*
1! 1+8 +*
x = 2 0 x =- 1
x=
2
Se x = -1 , r = 12 + 1 + 1 = 3 e os termos são: -2 , 1 e 4 .
Se x = 2 , r = 22 - 2 + 1 = 3 e os termos são: 1 , 4 e 7 .
271
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Progressões aritméticas e Progressões geométricas
Demonstre, aplicando o princípio de indução matemática, que dada uma
progressão aritmética (un) de razão r e de 1.o termo a , se tem:
Tarefa 3
un = a + (n - 1)r, 6n ! IN
Considere-se a condição P(n) dada por un = a + (n - 1)r .
A proposição P(1) é u1 = a + (1 - 1)r = a , que é verdade.
Considere-se, por hipótese, que para um certo n ! IN , un = a + (n - 1)r .
Pretende-se provar que un + 1 = a + nr .
Por definição de progressão aritmética, tem-se que un + 1 = un + r .
Por hipótese, obtém-se:
un + r = a + (n - 1)r + r = a + nr
Portanto, un + 1 = a + nr .
Conclui-se, assim, pelo princípio de indução matemática, que a proposição
un = a + (n - 1)r, 6n ! IN é verdadeira.
7
Considere a progressão aritmética (un) de razão -2 e u2 = 10 .
7.1Defina (un) por recorrência.
7.2Determine um termo geral de (un) .
7.1Tem-se u1 = u2 - (-2) = 10 + 2 = 12 ; logo, *
u1 = 12
un + 1 = un - 2
.
7.2
un = 12 - 2(n - 1) = 12 - 2n + 2 = 14 + 2n
8
Seja (un) uma progressão aritmética de razão r .
Sendo k ! IN , mostre que o termo geral de (un) pode ser dado por:
un = uk + (n - k)r
Tem-se que un = u1 + (n - 1)r e uk = u1 + (k - 1)r . Então:
un - uk = 6u1 + (n - 1)r@ - [u1 + (k - 1)r] +
+ un - uk = (n - 1)r - (k - 1)r + un - uk = (n - 1 - k + 1)r +
+ un = uk + (n - k)r
c.q.d.
9
Determine o termo geral de uma progressão aritmética (an) em que:
1
a)a1 = 2 e r = b)a1 = -4 e a9 = 20 c)a5 = 7 e a15 = 22
2
272
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
1
5
n
(n - 1) =
2
2
2
20 - (-4)
b) an = -4 +
(n - 1) = -4 + 3(n - 1) = 3n - 7
8
22 - 7
3
3
1
c) an = 7 +
(n - 5) = 7 +
(n - 5) = n 10
2
2
2
10
a) an = 2 -
10
A Sandra é uma atleta que decidiu implementar
o seguinte esquema de treino:
• correr 12 km no 1.º dia;
• correr mais 1,5 km em cada novo dia de treino.
Em que dia a Sandra corre 36 km ?
Seja (an) a sucessão do número de quilómetros que a Sandra corre em cada dia.
3
Então, an = 12 + (n - 1) ; logo:
2
3
3
an = 36 + 12 + (n - 1) = 36 + (n - 1) = 24 + n = 17
2
2
A Sandra corre 36 km ao 17.º dia.
11
Classifique quanto à monotonia e escreva um termo geral das progressões
aritméticas em que:
2
a) b1 = -1 e r =
3
b) b4 = 5 e b10 = 2
a) Como r > 0 , (bn) é monótona crescente. Um termo geral pode ser:
2
2
5
(n - 1) = n 3
3
3
b4 - b10
1
5-2
b) Como r =
=
= - < 0 , (bn) é monótona decrescente.
4 - 10
2
-6
Um termo geral pode ser (pelo exercício 8):
1
n
5 - (n - 4) = 7 2
2
bn = -1 +
12
Determine a progressão arimética de comprimento 4 , em que:
a) un = 10 - n
b) un =
5n + 2
2
273
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Progressões aritméticas e Progressões geométricas
a) u1 = 10 - 1 = 9 ; u2 = 10 - 2 = 8 ; u3 = 10 - 3 = 7 ; u4 = 10 - 4 = 6
Logo, tem-se (9, 8, 7, 6) .
5 #1 + 2
5# 2 + 2
7 2
=
; u2 =
=6 2 ;
2
2
2
5#3 + 2
5# 4 + 2
17 2
=
; u4 =
= 11 2
u3 =
2
2
2
b) u1 =
Logo, tem-se e
7 2
17 2
, 6 2,
, 11 2 o .
2
2
13
Sabendo que a soma dos três primeiros termos de uma progressão aritmética
é 15 e que o seu produto é 120 , determine a progressão arimética
de comprimento 4 .
Sejam a = u1 e r a razão desta progressão. Tem-se que:
*
a + a + r + a + 2r = 15
a = 5-r
+*
+
a (a + r) (a + 2r) = 120
(5 - r) (5 - r + r) (5 - r + 2r) = 120
a = 5-r
a = 5-r
+)
+)
2
- 5r + 5 = 0
r = 1 0 r =- 1
Se r = 1 , a = 4 e a progressão é (4, 5, 6, 7) ; se r = -1 , a = 6
e a progressão é (6, 5, 4, 3) .
14
Determine a soma dos elementos da sequência correspondente aos 100 primeiros
números naturais.
Calcule-se a soma
S = 1 + 2 + 3 + … + 97 + 98 + 99 + 100
escrevendo as parcelas de forma inversa:
1
100
101
2
99
101
3
98
101
…
…
101
98
3
101
99
2
101
100
1
101
S
S
2S
Assim:
2S = 101 × 100 + S =
10 100
= 5050
2
274
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
15
10
Demonstre, aplicando o princípio de indução matemática, que, dada uma
progressão aritmética (un) de razão r e dado N ! IN , a soma dos termos
de (un) de comprimento N , (u1, u2, …, uN) , é dada por:
N
/ ui = u1+2 uN × N
i =1
1
u1 + u1
× 1 , que é verdade.
2
i =1
N
u1 + uN
×N.
Hipótese: Para um certo N ! IN , / ui =
2
i =1
N+1
u1 + uN + 1
× (N + 1)
Tese: / ui =
2
i =1
Para N = 1 , tem-se
/u = u
1
i
=
Demonstração:
N+1
N
/ u = /u + u
i
i =1
i
N+1
i =1
Por hipótese, obtém-se:
N+1
/ ui = u1 +2 uN × N + uN + 1 = Nu1 + Nu2N + 2uN + 1
i =1
Mas, como (un) é uma progressão aritmética, uN + 1 = u1 + Nr . Logo:
N+1
/ ui = Nu1 + NuN + u2N + 1 + u1 + Nr =
i =1
(N + 1) u1 + [NuN + Nr] + uN + 1
=
=
2
(N + 1) u1 + NuN + 1 + uN + 1
=
=
2
(N + 1) u1 + (N + 1) uN + 1
u1 + uN + 1
=
=
× (N + 1)
2
2
N
u1 + uN
Portanto, pelo princípio de indução, 6N ! IN, / ui =
×N.
2
i =1
16
Calcule a soma dos 20 primeiros múltiplos de 3 .
Considere-se a sucessão dos múltiplos de 3 , de termo geral un = 3n .
Então:
S20 =
u1 + u20
3 + 60
× 20 =
× 20 = 630
2
2
275
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Progressões aritméticas e Progressões geométricas
17
Seja (un) uma progressão aritmética definida por:
2n - 5
un =
3
Determine a soma:
a)dos 15 primeiros termos de (un) .
b)do 11.º ao 34.º termo, inclusive, de (un) .
2-5
2 # 15 - 5
+
u1 + u15
3
3
a)S15 =
× 15 =
× 15 =
2
2
25
-1 +
165
3
× 15 =
= 55
=
2
3
2 #11 - 5
2 # 34 - 5
+
34
u11 + u34
3
3
b)S = / ui =
× 24 =
× 24 =
2
2
i =11
17
63
+
40
3
3
× 24 =
× 24 = 320
=
2
3
18
A Joana gosta muito de nozes e, durante 10 dias consecutivos, comeu 175 .
Sabendo que a Joana aumentou o consumo de nozes
de forma constante de dia para dia e que no último dia
comeu 31 , quantas nozes comeu no 1.º dia?
Seja (un) a sucessão do número de nozes que a Joana comeu em cada dia.
u1 + u10
u1 + 31
× 10 + 175 =
× 10 + 35 = u1 + 31 + u1 = 4
S10 =
2
2
A Joana comeu 4 nozes no 1.º dia.
19
O Ricardo é ciclista e durante uma competição
de ciclismo percorreu com a sua bicicleta 1500 km .
Sabendo que, de dia para dia, aumentava 10 km a distância a percorrer e que no 6.º dia percorreu
80 km , quantos dias demorou a competição?
Seja (un) a sucessão do número de quilómetros percorridos em cada dia
da competição. Então:
u1 + u1 + (n - 1) r
u1 + un
× n + 1500 =
×n+
Sn =
2
2
2u1 + 10 (n - 1)
+ 1500 =
×n
2
276
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
Por outro lado, u6 = u1 + 5r + 80 = u1 + 50 + u1 = 30 .
10
Logo:
2 # 30 + 10 (n - 1)
× n + 300 = 6n + (n2 - n) +
2
- 5 ! 25 + 4 # 300
+ n2 + 5n - 300 = 0 + n =
+
2
- 5 ! 35
+ n = -20 0 n = 15
+n=
2
Portanto, a competição durou 15 dias.
1500 =
Um caracol inicia uma viagem.
Tarefa 4
No 1.o minuto percorre uma determinada distância,
em centímetros, e depois, em cada minuto, percorre
sempre 1,2 cm a mais do que no minuto anterior.
Sabe-se ainda que no 10.º minuto de viagem percorreu 15,8 cm .
4.1Mostre que o caracol percorreu 5 cm no 1.º minuto.
4.2Determine a distância total percorrida pelo caracol no 15.o minuto.
4.3Sabendo que o caracol parou após ter percorrido 5,2 metros, durante
quanto tempo esteve o caracol a rastejar?
4.1Seja (dn) a distância percorrida pelo caracol no n-ésimo minuto.
Tem-se que:
d10 = d1 + 9r + 15,8 = d1 + 9 × 1,2 + d1 = 5
Conclui-se, assim, que a distância percorrida pelo caracol no 1.º minuto
foi de 5 cm .
4.2
d15 = d1 + 14r + d15 = 5 + 14 × 1,2 + d15 = 21,8
4.3A distância percorrida pelo caracol ao fim de n minutos é dada por:
d1 + dn
×n
2
Como o caracol percorreu 5,2 metros, ou seja, 520 centímetros,
tem-se que:
S=
5 + 5 + (n - 1) # 1,2
d1 + dn
× n = 520 +
× n = 520 +
2
2
8,8 + 1,2n
+
× n = 520 + 1,2n2 + 8,8n - 1040 = 0 +
2
100
+ n = 26 0 n = 3
Conclui-se, assim, que o caracol rastejou durante 26 minutos.
277
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Progressões aritméticas e Progressões geométricas
10.2 Progressões geométricas
Tarefa 5
Num lago, sem quaisquer plantas, foram colocados
três nenúfares (ano 1 ) de uma espécie em que
cada exemplar dá origem a outro exemplar a cada
ano que passa.
5.1Determine o número de nenúfares existentes no ano 5 .
5.2Defina, por um termo geral, o número de nenúfares existentes no ano n .
5.1O número de nenúfares em cada ano é dado por: 3, 6, 12, 24, 48, …
Assim sendo, no 5.º ano existem 48 nenúfares.
5.2Seja Pn o número de nenúfares existentes no n-ésimo ano.
Então:
P1 = 3 ; P2 = 3 × 2 ; P3 = 3 × 22 ; P4 = 3 × 23
Logo, Pn = 3 × 2n - 1 .
20
Considere a sucessão (an) definida por recorrência:
a1 = 6
*
an +1 = an#3, 6n ! IN
20.1Calcule os quatro primeiros termos de (an) .
20.2Justifique que (an) é uma progressão geométrica.
20.3Mostre, utilizando o princípio de indução matemática, que:
an = 2 × 3n, 6n ! IN
20.1 a1 = 6 ; a2 = 6 × 3 = 18 ; a3 = 18 × 3 = 54 ; a4 = 54 × 3 = 162
20.2(an) é uma progressão geométrica porque cada termo se obtém
multiplicando o anterior por 3 (constante).
20.3Para n = 1 , tem-se a1 = 2 × 31 = 6 , que é verdade.
Hipótese: Para um certo n ! IN , an = 2 × 3n .
Tese: an + 1 = 2 × 3n + 1
Demonstração:
an + 1 = an × 3
Por hipótese, obtém-se:
a n + 1 = 2 × 3n × 3 = 2 × 3n + 1
Portanto, pelo princípio de indução, 6n ! IN, an = 2 × 3n .
278
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
21
10
Escreva os quatro primeiros termos de uma progressão geométrica (un)
e defina-a por recorrência, sabendo que:
1
a)u1 = 64 e r =
b)u1 = -3 e r = -2 c)u1 = -2 e u2 = 4
4
a)u1 = 64 , u2 = 64 ×
u1 = 64
*
1
1
1
= 16 , u3 = 16 ×
= 4 e u4 = 4 ×
=1;
4
4
4
1
, 6n ! IN
4
b)u1 = -3 , u2 = -3 × (-2) = 6 , u3 = 6 × (-2) = -12 e
u1 =- 3
u4 = -12 × (-2) = 24 ; *
un + 1 =-2un, 6n ! IN
4
c)r =
= -2 ; u1 = -2 , u2 = 4 , u3 = 4 × (-2) = -8 e
-2
u1 =- 2
u4 = -8 × (-2) = 16 ; *
un + 1 =-2un, 6n ! IN
un + 1 = un #
22
Averigue quais das sucessões seguintes são progressões geométricas:
a) an = -3 × 2 n
b) bn =
3
2n
c) cn = 31 - 2n
d) dn = 3 - 2 n
an + 1
-3 # 2n+1
=
=2
an
-3 # 2n
an + 1
é constante.
É uma progressão geométrica, pois o quociente a
n
3
2 (n + 1)
bn + 1
n
2n
b)
=
=
=
3
bn
n+1
2 (n + 1)
2n
Não é uma progressão geométrica.
a)
cn + 1
3 1 - 2 (n + 1)
1
1
=
= 2 =
cn
9
3
3 1 - 2n
É uma progressão geométrica.
c)
d)
dn + 1
3 - 2n+1
=
dn
3 - 2n
3- 23
3- 22
= -1 ; e para n = 2 , obtém-se
=5.
3- 2
3- 22
Logo, não é uma progressão geométrica.
Para n = 1 , obtém-se
279
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Progressões aritméticas e Progressões geométricas
23
Uma cultura de bactérias aumenta 12 % a cada dia que passa.
Qual é o quociente entre o número de bactérias num determinado dia
e no dia anterior?
Seja a o número de bactérias no 1.o dia e seja b o número de bactérias no 2.o
dia. Então, b = a + 0,12a = 1,12a .
1,12a
b
Logo, a = a = 1,12 .
24
O valor comercial de uma máquina industrial é dado, em euros, em cada ano,
pela progressão geométrica (vn) . Sabendo que a sua razão é 0,96 ,
qual é a percentagem de desvalorização a cada ano que passa?
Tem-se que vn + 1 = vn × 0,96 , então:
vn + 1 - vn = vn × 0,96 - vn = -0,04vn
Portanto, a percentagem de desvalorização é de 4 % .
25
1
, x e
2
progressão geométrica (un) .
Para x ! IR- , sejam
9
os três primeiros termos de uma
8
25.1Determine o valor de x .
25.2Determine a razão e u5 .
9
3
x
9
8
= x + x2 =
& x=25.1 1
4
16 x ! IR
2
3
9
3
3
81
3
4
# c- m # c- m =
25.2
r=
=e u5 =
8
2
2
32
1
2
2
-
26
Considere as sucessões (un) e (vn) , em que se sabe que:
• (un) é uma progressão aritmética de razão r ;
• vn = r 1- un
Mostre que a sucessão (vn) é uma progressão geométrica de razão
1
.
rr
Como un + 1 = un + r , tem-se:
vn + 1
r 1 - un - r
1
= r-r = r
=
1 - un
vn
r
r
280
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
10
Demonstre, aplicando o princípio de indução matemática, que, dada uma
progressão geométrica (un) de razão r e de 1.o termo a , se tem:
Tarefa 6
un = ar n - 1, 6n ! IN
Considere-se a condição P(n) dada por un = arn - 1 .
A proposição P(1) é u1 = ar1 - 1 = a , o que é verdade.
Considere-se, por hipótese, que para um certo n ! IN , un = arn - 1 .
Pretende-se provar que un + 1 = arn .
Por definição de progressão geométrica, tem-se que un + 1 = un × r .
Por hipótese, obtém-se:
un × r = arn - 1 × r = arn
Portanto, un + 1 = arn .
Conclui-se, assim, pelo princípio de indução matemática, que a proposição
un = arn - 1, 6n ! IN é verdadeira.
27
Justifique se os números representados em cada alínea podem ser os primeiros
termos de uma progressão geométrica e, em caso afirmativo, escreva uma
expressão para o seu termo geral:
16
4
8
a)2 ,
,
,
, …
27
3
9
b) 2 ,
5,
c) 3 , 1 ,
8,
11 , …
1
3
,
, …
3
3
a)Sim, porque
8
4
16
2
9
3
27
.
=
=
=
2
4
8
3
9
3
O termo geral pode ser dado por un = 2 × d
b)Não, porque
5
!
2
c)Sim, porque
1
=
3
2
n
3
n-1
.
8
.
5
3
3
=
1
1
3
=
3
3
O termo geral pode ser dado por un = 3e
3
.
3
n
3
o .
3
281
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Progressões aritméticas e Progressões geométricas
28
Determine um termo geral da progressão geométrica (un) e o valor de u7 ,
em que se sabe:
128
a) u1 = 10 e r = 5
b) u1 = 14 e u5 = 112
c) u4 = 27 e u11 =
81
a)un = 10 × 5n - 1 e u7 = 10 × 57 - 1 = 156 250
4
112
b)u5 = 14 × r4 +
= r4 + r = ! 8
14
n-1
n-1
4
4
un = 14 × ` 8 j
ou un = 14 × `- 8 j
u7 = 14 × ` 8 j
4
7-1
= 224 2
128
7
2
128
81
c)u11 = 27 × r 7 +
= r7 + r =
+r=
3
27
10287
3
2
729
27
u4 = u1 × r3 + 27 = u1 × d n + u1 =
+ u1 =
3
8
8
27
729
2
un =
×d n
8
3
n-1
729
2
e u7 =
×d n
8
3
7-1
=
64
729
×
=8
729
8
29
A Mariana, desde o seu 15.º aniversário, recebe todos
os anos uma boneca russa (matriosca).
Em cada ano, a boneca que lhe oferecem tem um peso
20 % superior ao peso da boneca do ano anterior.
Sabendo que a boneca que lhe ofereceram quando
fez 18 anos pesava 345,6 g , determine o peso
da boneca que lhe ofereceram no 24.º aniversário.
Apresente o resultado em gramas, com aproximação às unidades.
Seja (un) a sucessão do peso das bonecas em gramas. Então, u4 = 345,6 ,
pretendendo obter-se o valor de u10 .
Portanto, u10 = u4 × 1,2010 - 4 = 345,6 × 1,206 á 1032 g .
30
Um barco foi comprado novo por 30 000
euros. Por cada ano, após a sua compra,
sofrerá uma desvalorização de 8 % .
Determine o valor do barco 15 anos após
a sua compra.
Apresente o valor em euros, arredondado à centésima.
Seja (un) a sucessão do valor, em euros, do barco.
Assim, u15 = u1 × 0,9214 á 30 000 × 0,3112 á 9335,78 €
282
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
31
10
Classifique quanto à monotonia as progressões geométricas (un) definidas por:
c) *
u1 =-5
a) rn
b) 3 × d-
un +1 = 2un, 6n ! IN
2
n
3
n
d)
2 n+2
6n
a)Monótona crescente, pois r = r > 1 e u1 > 0 .
2
<0.
3
c)Monótona decrescente, pois r = 2 > 1 e u1 = -5 < 0 .
b)Não monótona, pois r = -
1
2n+2
2n+2
4
n .
=
n
n
n =
n = 4 ×d
3
6
2 #3
3
1
4
Monótona decrescente, pois 0 < r =
< 1 e u1 =
>0.
3
3
n
d)Tem-se
32
Determine o termo geral da progressão geométrica (un) , monótona, sabendo que
1
u5 = 125 e u11 =
.
125
Caderno de Apoio do 11.º ano
1
6
1
1
125
u11 = u5 × r6 +
= r6 + r = !
+r=! .
125
5
15 625
1
.
Como a sucessão é monótona, a sua razão é positiva, ou seja, r =
5
Por outro lado:
4
1
125
u5 = u1 × r4 + 125 = u1 × d n + u1 =
+ u1 = 78 125
1
5
n-1
625
1
Assim, un = 78 125 × d n .
5
33
Determine uma expressão para o termo geral da progressão geométrica
de comprimento 3 :
a) (-18, -6, -2)
b) (-2, 4, -8)
-6
1
1
=
; logo, un = -18 × d n
-18
3
3
n-1
a)Tem-se u1 = -18 e r =
b)Tem-se u1 = -2 e r =
.
4
= -2 ; logo, un = -2 × (-2)n - 1 = (-2)n .
-2
283
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Progressões aritméticas e Progressões geométricas
34
Determine:
S = 3 + 32 + … + 38 + 39
Efetuando:
S = 3 + 32 + … + 38 + 39
-3S = -32 - … - 38 - 39 - 310
S - 3S = 3 + 0 + … + 0 + 0 - 310
Obtém-se -25 = 3 - 310 , ou seja:
S=
-3 + 3 10
+ S = 29 523
2
35
Considere a progressão geométrica (un) em que u1 = -6 e r = 3 .
Determine:
a)um termo geral de (un) .
b)a soma dos 10 primeiros termos.
a)un = -6 × 3n - 1
b)S10 = -6 ×
1 - 3 10
-59048
= -6 ×
= -177 144
1-3
-2
36
Seja (an) a sucessão definida por an = 2
1-
n
2
.
36.1Mostre que (an) é uma progressão geométrica e determine a sua razão.
36.2 Calcule o valor exato:
a)da soma dos 12 primeiros termos.
b)de a5 + a6 + … + a12 .
n+1
11
2
an + 1
2
2 , (a ) é uma progressão geométrica
36.1 Como
=
=
2
n
n
an
12
2
2
.
de razão
2
12
2
1 6
63
o
1- e
c
m
1
2
2
64
36.2 a) S12 = a1 ×
= 2×
= 2×
=
2- 2
2
2
112
2
2
= 2 ×
=
63
32 _2 - 2 i
=
63 2 _64 + 32 2 i
63 2
=
=
64 - 32 2 _64 - 32 2 i_64 + 32 2 i
63 2 _64 + 32 2 i
63 2 _2 +
=
4096 - 2048
64
2i
=
63 2 + 63
32
284
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
b) a5 + a6 + … + a12 = S12 - S4 =
10
4
=
63 2 + 63
32
2×
2
o
1- e
2
2
12
=
3
2
63 2 + 63
4
=
=
32
2- 2
2
=
=
=
=
3 2 _4 + 2 2 i
63 2 + 63
=
32
_4 - 2 2 i_4 + 2 2 i
3 2 _4 + 2 2 i
63 2 + 63
=
32
16 - 8
3 2 _4 + 2 2 i
63 2 + 63
=
32
8
63 2 + 63
48 2 + 48
15 2 + 15
=
32
32
32
37
A Andreia estacionou o seu carro num local
em que o placar informativo indica que
o estacionamento de qualquer viatura custa
na primeira hora 0,50 euros, aumentando
20 % em cada hora que passa.
Se a Andreia deixar o seu carro no local
durante 5 horas, quanto irá pagar no final?
Seja (un) a sucessão do valor, em euros, a pagar por hora. A sucessão (un)
é uma progressão geométrica de razão r = 1,20 e u1 = 0,50 .
Assim:
1 - 2,48832
1 - 1,20 5
= 0,50 ×
=
1 - 1,20
1 - 1,20
= 0,50 × 7,4416 = 3,7208
S5 = 0,50 ×
A Andreia irá pagar, aproximadamente, 3,72 € .
285
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Progressões aritméticas e Progressões geométricas
38
Determine:
1
1
1
1
+ +
+…+
4
8
1024
16
O termo geral da sucessão que tem como primeiros termos estes valores é:
un =
Tem-se que
1
1
1 n-1
1
1
× c m = 2 × n -1 = n +1
4
2
2
2
2
1
é o termo de ordem 9, pois 2n + 1 = 1024 , ou seja,
1024
2n + 1 = 210 .
Assim:
1-c
1 9
511
m
2
1
1
1
511
511
512
×
=
×
=
×
=
S9 =
4
1
4
4
1
1024
256
12
2
Tarefa 7
O Sr. Moreira é dono de uma fábrica de calçado
para exportação e necessitou de uma máquina
industrial para fazer face ao volume de encomendas
que tinha.
Optou, então, por efetuar um contrato de aluguer, com a duração máxima
de 10 anos, em que tinha de pagar no 1.º ano 15 milhares de euros e a cada
ano que passasse teria uma redução de 5 % no aluguer devido à desvalorização
da máquina.
7.1Deduza uma expressão que permita calcular, para cada ano,
o valor a pagar, em milhares de euros, pelo aluguer da máquina.
7.2Determine o valor acumulado do aluguer se o contrato permanecer
durante a sua vigência máxima.
7.1Atendendo ao contrato de aluguer, o custo da máquina, em milhares
de euros, no 1.º ano, c1 , é de 15 ; no 2.º ano, c2 , é de:
15 - 15 × 0,05 = 15 × (1 - 0,05) = 15 × 0,95 ;
no 3.º ano, c3 = 15 × 0,952 .
Tem-se, assim, que o custo da máquina, num determinado ano, é dado
por uma progressão geométrica de razão 0,95 ( cn + 1 = 0,95 × cn )
e de primeiro termo 15 e, portanto, a expressão pretendida é:
cn = 15 × 0,95n - 1
7.2O custo acumulado da máquina ao longo dos 10 anos de contrato é dado por:
1 - 0,95 10
á 120,37892
1 - 0,95
O valor máximo a pagar será de, aproximadamente, 120 378,92 euros.
S = 15 ×
286
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
AVALIAR CONHECIMENTOS
10
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
De uma progressão aritmética (un) sabe-se que a soma dos dois primeiros
termos é 7 e a razão é -3 . O 6.º termo desta sucessão é:
(A) -8
(B) -10
(C) -12
(D) -14
u2 = u1 - 3 e u2 = 7 - u1 ; logo, u1 - 3 = 7 - u1 + u1 = 5 .
Assim, u6 = 5 + 5 × (-3) .
A opção correta é a (B).
2
Num jogo de snooker, o Diogo e o Mário pagam
2 euros pelo aluguer da mesa de jogo e a cada bloco
de 15 minutos que passa pagam mais 45 cêntimos.
Num determinado dia, o jogo entre os dois prolongou-se
um pouco mais e pagaram 5 euros e 15 cêntimos.
Qual foi a duração máxima do jogo?
(A) 1 h 30 min
(B) 1 h 45 min
(C) 2 h
(D) 2 h 15 min
3,15
=7
0,45
A duração máxima foi de 7 blocos de 15 minutos, ou seja, 1 h 45 min .
5,15 - 2 = 3,15 e
A opção correta é a (B).
3
Um atleta efetuou um treino de 12 dias em que todos
os dias correu sempre mais 800 metros do que havia
corrido no dia anterior. Sabendo que nos primeiros
11 dias correu um total de 88 quilómetros, quantos
quilómetros correu no 12.º, e último, dia de treino?
(A) 10,6
(B) 11,4
(C) 12,8
(D) 14,3
u1 + u11
u1 + u1 + 10 # 800
× 11 + 88 000 =
× 11 +
2
2
+ 8000 = u1 + 4000 + u1 = 4000
S11 =
u12 = u1 + 11 × 800 = 12 800 metros
A opção correta é a (C).
287
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Progressões aritméticas e Progressões geométricas
4
Numa progressão geométrica de razão negativa, o 1.º termo é 2 e o 3.º termo
resulta da diferença entre 3 e a razão.
Nesta progressão, a razão é:
3
(A) -2
(B) 2
(C) -1
(D) -
1
2
u3 = u1 × r2 + 3 - r = 2 × r2 + 2r2 + r - 3 = 0 +
-1 ! 5
3
1+4#2#3
+r=
+r=- 0r=1
4
4
2
A opção correta é a (B).
+r=
-1 !
5
Uma bomba de vácuo retira, em cada sucção,
3 % do gás existente num certo recipiente.
Depois de 40 sucções, quanto restará do gás
inicialmente existente?
(A) 30,5 %
(C) 28,7 %
(B) 29,6 %
(D) 27,8 %
0,9740 á 0,296
A opção correta é a (B).
6
Um caracol percorre o caminho desenhado
a azul na figura ao lado.
O lado de cada quadrado representado
3
na figura mede
do lado do quadrado
4
anterior (à esquerda deste).
Se o lado do primeiro quadrado medir 16 cm , a distância percorrida pelo
caracol é, arredondada ao centímetro:
u3p40h4
(A) 167
(B) 170
(C) 173
(D) 174
1-c
3 8
58 975
m
4
176 925
65 536
S8 = u1 ×
= 16 × 3 ×
=
á 172,77
3
1
1024
14
4
A opção correta é a (C).
288
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RESPOSTA ABERTA
UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
10
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
7
Num hipermercado, colocou-se em exposição uma
pilha com um determinado número de embalagens.
Na primeira camada, colocaram-se 52 embalagens
e, em cada camada seguinte, menos duas
embalagens do que na anterior.
7.1
Calcule o número de embalagens na 18.a camada.
7.2Sabendo que existem 24 camadas, determine o número total de embalagens
existentes na pilha.
7.1Seja (un) a sucessão do número de embalagens em cada camada.
u18 = 52 + 17 × (-2) = 18 embalagens
52 + 52 + 23 # (-2)
u1 + u24
7.2
S24 =
× 24 =
× 24 = 696 embalagens
2
2
8
Considere a progressão aritmética (an) , em que a2 + a4 = 15 e a5 + a6 = 25 .
8.1Determine a razão da progressão e escreva o termo geral de (an) .
8.2Sabendo que a soma dos n primeiros termos é 975 , calcule o valor de n .
8.1Tem-se que:
15 - 4r
2
25 - 9r
a5 + a6 = 25 + a1 + 4r + a1 + 5r = 25 + a1 =
2
Logo:
7
15 - 4r
25 - 9r
25 - 9r
=
+ r = 2 e a1 =
=
2
2
2
2
7
3
+ 2(n - 1) = 2n +
.
Portanto, o termo geral da sucessão é an =
2
2
7
3
+ 2n +
u1 + un
2
2
8.2
Sn =
× n + 975 =
×n+
2
2
+ 1950 = (5 + 2n) × n + 5n + 2n2 - 1950 = 0 +
a2 + a4 = 15 + a1 + r + a1 + 3r = 15 + a1 =
- 5 ! 125
25 + 4 # 2 # 1950
+n=
+
4
4
65
+ n = 30 0 n = 2
O valor de n é 30 .
+ n =
-5 !
289
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Progressões aritméticas e Progressões geométricas
9
A soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica (bn) é dada
por Sn = 3n + 1 - 3 .
9.1Determine o 1.o termo desta sucessão.
9.2Justifique que uma expressão do termo geral da progressão é:
bn = 6 × 3n - 1
9.1
b1 = S1 = 32 - 3 = 6
9.2
S2 = 33 - 3 = 24 e b2 = 24 - 6 = 18 .
b2
18
=
=3.
6
b1
Logo, a expressão do termo geral é dada por:
Assim, r =
bn = b1 × rn - 1 = 6 × 3n - 1
10
A espiral representada ao lado é constituída por
semicircunferências.
A semicircunferência maior tem 3 cm de diâmetro
e o diâmetro de cada semicircunferência seguinte
mede menos 10 % do que o da anterior.
10.1Determine o comprimento da 6.a semicircunferência, aproximado
às centésimas.
u3p41h2
10.2 Determine uma expressão em função do número n de semicircunferências
que represente o comprimento da espiral.
10.1 Seja (un) a sucessão do diâmetro, em centímetros, de cada
semicircunferência.
Tem-se:
u6 = 3 × 0,905 á 1,77 cm
Então, o comprimento da 6.a semicircunferência é igual a:
1,77r
á 2,78 cm
2
10.2 Seja (vn) a sucessão do comprimento, em centímetros, de cada
semicircunferência.
vn =
un # r
u1 # 0,90 n - 1 # r
=
= 1,5r × 0,90n - 1
2
2
1 - 0,90 n
1 - 0,90 n
= 1,5r ×
= 15r(1 - 0,9n)
Assim, S = v1 ×
1 - 0,90
1 - 0,90
290
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
11
10
Considere as sucessões (an) e (bn) definidas por:
a1 = 3
*
e bn = 2 × 3n - 1
an +1 = an + 5, 6n ! IN
11.1Mostre que (an) é uma progressão aritmética e determine uma expressão
do termo geral.
11.2Determine n ! IN tal que bn + 2 = a98 .
11.3Calcule a soma:
a) dos primeiros 10 termos de cada uma das sucessões (an) e (bn) .
b)dos 8 termos de cada uma das sucessões (an) e (bn) a partir do 5.º,
inclusive.
11.1 an + 1 - an = an + 5 - an = 5 ; logo, (an) é uma progressão aritmética.
O termo geral é an = 3 + (n - 1) × 5 = 5n - 2 .
11.2 bn + 2 = a98 + bn + 2 = 5 × 98 - 2 + 2 × 3n - 1 = 486 +
+ 3n - 1 = 243
Como 35 = 243 , n = 6 .
11.3 a) Para (an) :
S10 =
a1 + a10
3 + 48
× 10 =
× 10 = 255
2
2
Para (bn) :
1 - 3 10
1 - 3 10
=2×
= 59 048
1-3
-2
a5 + a8 + 4
5 # 5 - 2 + 5 #12 - 2
b) Sa =
×8=
× 8 = 324
2
2
8
8
1-3
1-3
Sb = b5 ×
= 2 × 34 ×
= 531 360
1-3
-2
S10 = b1 ×
12
Considere a sucessão (vn) definida por *
v1 = 2
vn + 1 = 2vn - 1, 6n ! IN
.
12.1Seja (wn) a sucessão definida por wn = vn - 1 . Mostre que (wn) é uma
progressão geométrica de razão 2 e determine o termo geral de (wn) .
12.2Mostre, utilizando o principio de indução matemática, que a soma dos n
primeiros termos de (vn) é dada por S = 2n + n - 1, 6n ! IN .
2 (vn - 1)
wn + 1
vn + 1 - 1
2vn - 1 - 1
=
=2
wn = vn - 1 =
vn - 1
vn - 1
Logo, (wn) é uma progressão geométrica de razão 2 e de 1.o termo
w1 = v1 - 1 = 2 - 1 = 1 . Portanto, o termo geral é:
wn = 1 × 2n - 1 = 2n - 1
12.1
291
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preparação para o teste 6
12.2 Para n = 1 , tem-se S1 = 21 + 1 - 1 = 2 , que é verdade.
Hipótese: Para um certo n ! IN , Sn = 2n + n - 1 .
Tese: Sn + 1 = 2n + 1 + n
Demonstração:
S n + 1 = S n + vn + 1
Por hipótese, obtém-se:
Sn + 1 = 2n + n - 1 + vn + 1 = 2n + n - 1 + 2vn - 1 =
= 2n - 2 + 2vn + n
Tem-se que wn = vn - 1 + vn = wn + 1 + vn = 2n - 1 + 1 .
Assim:
Sn + 1 = 2n - 2 + 2(2n - 1 + 1) + n =
= 2n - 2 + 2n + 2 + n = 2 × 2n + n = 2n + 1 + n
Portanto, pelo princípio de indução, 6n ! IN, Sn = 2n + n - 1 .
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 6
I
Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Considere a sucessão (un) definida pelo termo geral:
1
un = arcsin c- n m
Indique a afirmação falsa:
(A)(un) é crescente.
(C) sin(u1) = -1
(B)(un) é limitada.
(D) cos(u2) = -
u2 = arcsinc-
1
r
r
m= e cosc- m =
2
6
6
A opção correta é a (D).
3
2
3
2
2
As figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão.
O número de círculos necessários
para representar os 10 primeiros
termos da sucessão é:
(A)41
(C) 230
(B) 210
(D) 300
u1 + u10
5+5+9#4
× 10 =
× 10 = 230
2
2
A opção correta é a (C).
S10 =
292
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u3p42h1
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Domínio 3 SUCESSÕES
3
Considere a sucessão (vn) definida pelo termo geral:
n
vn = 3 × 4 2
-1
Sabendo que (vn) é uma progressão geométrica, qual é a sua razão?
1
1
(A)
(B)
(C) 2
(D) 4
4
2
n+1
-1
1
vn + 1
3#4 2
2 = 2
=
4
=
n
vn
-1
3#42
A opção correta é a (C).
4
O número de abelhas numa determinada
colmeia diminui a um ritmo mensal de 3 % .
Sabendo que existiam cerca de 2000 abelhas
no início de janeiro deste ano, qual o número
aproximado de abelhas se prevê que existam
no fim do mês de dezembro do corrente ano?
(A)1475
(B) 1431
(C) 1388
(D) 1346
v12 = v1 × 0,9711 = 2000 × 0,9711 . 1431
A opção correta é a (B).
5
Para cada valor de n ! IN , considere, num referencial o.n. Oxyz , o ponto A
de coordenadas (n + 2, 3, 1 - n) .
Sabendo que o ponto A pertence ao plano que passa pela origem do referencial
e é perpendicular à reta r de equação:
(x, y, z) = (1, 2, -1) + k(-2, 1, -3) , k ! IR
Qual o valor de n ?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
A equação do plano é -2x + y - 3z = 0 .
Assim:
-2(n + 2) + 3 - 3(1 - n) = 0 +
+ -2n - 4 + 3 - 3 + 3n = 0 + n = 4
A opção correta é a (C).
293
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01/07/16 12:40
preparação para o teste 6
II
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
1
Considere as sucessões (un) , (vn) e (wn) definidas, respetivamente, por:
v1 = 3
2n +1
e wn = 3vn-2
; *
n+2
vn +1 = vn - 2, 6n ! IN
un =
1.1Prove que (un) é monótona e limitada.
1.2Determine um termo geral de (vn) .
1.3Calcule v5 + v6 + … + v20 .
1.4Mostre que (wn) é uma progressão geométrica decrescente.
2 (n + 1) + 1
2n + 1
=
n+3
n+2
(2n + 3) (n + 2) - (2n + 1) (n + 3)
=
=
(n + 3) (n + 2)
1.1
un + 1 - un =
=
2n 2 + 7n + 6 - (2n 2 + 7n + 3)
3
=
>0
(n + 3) (n + 2)
(n + 3) (n + 2)
Logo, (un) é crescente.
2+1
= 1 é um minorante de (un) .
Assim, u1 =
1+2
2 (n + 2)
2n + 1
2n + 4
Além disso, tem-se que
=2.
1
=
n+2
n+2
n+2
Logo, 2 é um majorante de (un) e, portanto, (un) é limitada.
1.2(vn) é uma progressão aritmética de razão -2 e de primeiro termo 3 .
Logo, vn = 3 - 2(n - 1) = 5 - 2n .
v5 + v20
× 16 =
2
5 - 2 # 5 + 5 - 2 # 20
=
× 16 =
2
-5 - 35
=
× 16 = -320
2
1.3
v5 + v6 + … + v20 =
wn + 1
3v -2
=
= 3v
wn
3v -2
1.4
n+1
n+1
n
- vn
= 3-2 =
1
9
1
e de primeiro
Logo, (wn) é uma progressão geométrica de razão
9
termo w1 = 3 v - 2 = 33 - 2 = 3 .
1
Assim, como a razão é inferior a 1 e o primeiro termo é positivo,
(wn) é decrescente.
294
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01/07/16 12:40
Domínio 3 SUCESSÕES
2
O Sr. Madureira comprou uma televisão LED Smart TV 3D 55m a prestações.
O primeiro pagamento, um mês após a compra,
foi de 120 euros; o segundo, dois meses após a compra,
foi de 140 euros; o terceiro foi de 160 euros; e assim
sucessivamente até pagar a totalidade do valor da televisão.
2.1Determine qual foi a prestação a pagar no 10.o mês.
2.2Sabendo que o Sr. Madureira pagou a televisão
em 12 meses, determine o valor total pago.
2.3No momento em que o Sr. Madureira efetuou o crédito, foi-lhe proposto
comprar outro modelo de televisão, no valor de 2550 euros, a qual seria
paga da seguinte forma: 10 euros na 1.a prestação; 20 euros na 2.a; 40
euros na 3.a; e assim sucessivamente até perfazer o valor total a pagar.
Nesta modalidade, quantos meses levaria a livrar-se das suas obrigações?
2.1Seja (vn) a sucessão do valor, em euros, de cada prestação. Então,
(vn) é uma progressão aritmética de razão 20 e de primeiro termo 120 .
Assim, v10 = 120 + (10 - 1) × 20 = 300 € .
120 + 120 + (12 - 1) 20
v1 + v12
2.2
S=
× 12 =
× 12 = 2760€
2
2
2.3Seja (un) a sucessão do valor, em euros, de cada prestação. Então,
(un) é uma progressão geométrica de razão 2 e de primeiro termo 10 .
Assim:
1 - rn
1 - 2n
= 2550 + 10 ×
= 2550 +
1-r
1-2
+ 1 - 2n = -255 + 2n = 256
Como 28 = 256 , n = 8 . Logo, levaria 8 meses a pagar a televisão.
S = 2550 + u1 ×
3
No referencial o.n. xOy da figura estão representadas
a circunferência de centro C(3, -4) , e que passa pela origem
do referencial, e a reta t tangente à circunferência em O .
3.1Mostre que a reta t pode ser definida por 3x - 4y = 0 .
t
y
O
x
C(3, 24)
3.2Defina por uma condição a zona colorida, incluindo a fronteira.
3.1Tem-se que o vetor OC(3, -4) é perpendicular à reta t ; logo, (4, 3)
é um vetor diretor da reta. Como t passa na origem do referencial, a sua
ordenada na origem é nula. Assim, a sua equação reduzida é dou3p43h2
tipo
3
y = mx . Neste caso, obtém-se y = x + 4y = 3x + 3x - 4y = 0 .
4
Em alternativa:
P é ponto da reta se, e só se, OP for perpendicular a OC . Portanto:
t: (x, y) $ (3, -4) = 0 + 3x - 4y = 0
3
3.20 G y G
x / (x - 3)2 + (y + 4)2 H 25
4
295
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01/07/16 12:40
11
UNIDADE
Limites
de sucessões
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
11.1 Definição de limite
1
Relativamente ao exemplo 1, determine uma ordem p ! IN , a partir da qual
a área do triângulo [BCP] é inferior a:
b) 10-5
a) 0,001
a) Se a área do triângulo [BCP] for inferior a 0,001 , tem-se:
1
< 0,001 + 2n + 2 > 1000 + n > 499
2n + 2
Portanto, basta escolher uma ordem superior a 499 , por exemplo 500 ,
uma vez que, para todo o natural n , n H 500 & qan - 1u < 0,001 .
b) Se a área do triângulo [BCP] for inferior a 10-5 , tem-se:
1
< 0,00001 + 2n + 2 > 100 000 + n > 49 999
2n + 2
Portanto, basta escolher uma ordem superior a 49 999 , por exemplo 50 000 ,
uma vez que, para todo o natural n , n H 50 000 & qan - 1u < 10-5 .
2
Considere a sucessão de termo geral:
2.1Calcule u1 , u10 , u500
1
un = n
e u10 000 .
2.2Determine uma ordem a partir da qual:
a) un < 0,0001
b) un < 0,00003
2.3Prove que un " 0 .
1
1
1
; u500 =
; u10 000 =
10 000
10
500
1
1
2.2 a) un < 0,0001 +
n < 0,0001 + n < 0,0001 + n > 10 000
A partir da ordem 10 000 , exclusive, ou 10 001 , inclusive.
1
1
b) un < 0,00003 +
n < 0,00003 + n < 0,00003 + n > 33 333,(3)
A partir da ordem 33 334 , inclusive.
2.1 u1 = 1 ; u10 =
296
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
11
2.3Por definição un " 0 se, e somente se, para todo o d > 0 , existe uma
ordem p ! IN , tal que
6n ! IN, n H p & un - 0 < d
Considerando um número real d > 0 , a condição
un < d
é equivalente a
1
1
n <d+n> d
Conclui-se, então, que a condição un < d é possível em IN e tem como
conjunto solução
1
S = IN + F , +3<
d
Assim, considerando p = min S , tem-se:
6n ! IN, n H p & un < d
Fica, assim, provado, por definição, que un " 0 .
3
Considere a sucessão (un) definida por:
3n +1
un =
n
3.1Determine uma ordem, p ! IN , a partir da qual todos os termos
da sucessão (un) verificam a condição:
un - 3 < 0,001
3.2Prove, utilizando a definição, que un " 3 .
3.3Determine o conjunto solução da condição qun - 3,1u < 0,001 e conclua
que 3,1 não é limite de (un) .
3.1Tem-se que:
3n + 1
1
-3 = n
n
1
Como n < 0,001 + n > 1000 , basta escolher uma ordem superior
a 1000 , por exemplo, 1001 , para que isso aconteça, uma vez que,
para todo o natural n , n H 1001 & qun - 3u < 0,001 .
3.2Por definição, un " 3 se, e somente se, para todo o d > 0 existe uma
ordem p ! IN , tal que 6n ! IN, n H p & qun - 3u < d .
Considerando um número real d > 0 , a condição qun - 3u < d
1
é equivalente a n < d , para todo o n ! IN .
1
1
.
Tem-se que n < d + n >
d
297
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Limites de sucessões
Conclui-se, então, que a condição qun - 3u < d é possível em IN
e tem como conjunto solução S = IN + F
1
, +3< .
d
Assim, considerando p = min S , tem-se:
6 n ! IN, n H p & qun - 3u < d
Fica, assim, provado, por definição, que un " 3 .
1 - 0,1n
3n + 1
3.3un - 3,1 < 0,001 +
,
<
0,001
+
< 0,001 +
3
1
n
n
+ 1 - 0,1n < 0,001n + -0,001n < 1 - 0,1n / 1 - 0,1n < 0,001n +
+ -0,001n + 0,1n < 1 / -0,1n - 0,001n < -1 +
+ 0,099n < 1 / -0,011n < -1 + n < 10,101 / n > 90,91 (Impossível)
Conclui-se, assim, que não existe nenhuma ordem para a qual
un - 3,1 < 0,001 e, portanto, 3,1 não é limite da sucessão considerada.
4
Prove, por definição, que as sucessões definidas pelos termos gerais seguintes
tendem para -2 .
2
1- 2n
a) an = -2 b) bn =
n
n
a)Por definição, an " -2 se, e somente se, para todo o d > 0 , existe
uma ordem p ! IN , tal que 6n ! IN, n H p & qan + 2u < d .
Considerando um número real d > 0 , a condição qan + 2u < d
2
é equivalente a - n < d , para todo o n ! IN .
2
2
.
Tem-se que n < d + n >
d
Conclui-se, então, que a condição qan + 2u < d é possível em IN e tem
como conjunto solução S = IN + F
2
, +3< .
d
Assim, considerando p = min S , tem-se:
6n ! IN, n H p & qan + 2u < d
Fica, assim, provado, por definição, que an " -2 .
b)Por definição, bn " -2 se, e somente se, para todo o d > 0 ,
existe uma ordem p ! IN , tal que 6n ! IN, n H p & qbn + 2u < d .
Considerando um número real d > 0 , a condição qbn + 2u < d
1
é equivalente a n < d , para todo o n ! IN .
1
1
Tem-se que n < d + n >
.
d
298
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
11
Conclui-se, então, que a condição qbn + 2u < d é possível em IN e tem
como conjunto solução S = IN + F
1
, +3< .
d
Assim, considerando p = min S , tem-se:
6n ! IN, n H p & qbn + 2u < d
Fica, assim, provado, por definição, que bn " -2 .
11.2 Convergência e limitação
5
Considere a sucessão (un) de termo geral:
5 + 6n
un =
2n
5.1Mostre que un " 3 .
5.2Determine quantos termos de (un) não pertencem à vizinhança 0,2 de 3 .
5.3Indique um majorante e um minorante de (un) .
5.1Por definição, un " 3 se, e somente se, para todo o d > 0 ,
existe uma ordem p ! IN , tal que 6n ! IN, n H p & qun - 3u < d .
Considerando um número real d > 0 , a condição qun - 3u < d
5
< d , para todo o n ! IN .
é equivalente a
2n
5
5
Tem-se que
<d+n>
.
2n
2d
Conclui-se, então, que a condição qun - 3u < d é possível em IN
5
, +3< .
e tem como conjunto solução S = IN + F
2d
Assim, considerando p = min S , tem-se:
6n ! IN, n H p & qun - 3u < d
Fica, assim, provado, por definição, que un " 3 .
5 + 6n
5
H 0,2 +
- 3 H 0,2 +
2n
2n
5
5
H 0,2 + + n G
+ n G 12,5
+
2n
0,4
Então, existem 12 termos de (un) que não pertencem à vizinhança 0,2 de 3 .
5 + 6n
5
5.3Tem-se que
=3+
, 6n ! IN .
2n
2n
Então:
11
5
5
5
6n ! IN, 0 <
G
+ 6n ! IN, 3 < 3 +
G
2
2
2n
2n
Conjunto dos minorantes: ]-3, 3]
11
Conjunto dos majorantes: ; , +3;
2
11
Logo, por exemplo, 3 é um minorante de (un) e
é um majorante de (un) .
2
5.2
qun - 3u H 0,2 +
299
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Limites de sucessões
6
Mostre que a sucessão de termo geral
un = 3 +
(-1)n
n
converge para 3 e não é monótona.
Por definição, un " 3 se, e somente se, para todo o d > 0 , existe uma ordem
p ! IN , tal que 6n ! IN, n H p & qun - 3u < d .
Considerando um número real d > 0 , a condição qun - 3u < d
(-1)n
< d , para todo o n ! IN .
é equivalente a
n
(-1)n
1
1
Para todos os termos, tem-se que
<d+ n <d+n>
.
n
d
Conclui-se, então, que a condição qun - 3u < d é possível em IN e tem como
conjunto solução S = IN + F
1
, +3< .
d
Assim, considerando p = min S , tem-se:
6n ! IN, n H p & qun - 3u < d
Fica, assim, provado, por definição, que un " 3 .
Monotonia:
u1 = 3 +
(-1)2
(-1)1
(-1)3
7
8
= 2 ; u2 = 3 +
=
; u3 = 3 +
=
2
3
2
1
3
Como u1 < u2 e u2 > u3 , a sucessão não é monótona.
7
Considere uma sucessão (un) convergente e monótona, de limite l ! IR .
Mostre que (un) é limitada, exibindo um majorante e um minorante dessa sucessão.
Caderno de Apoio do 11.º ano
Dada uma sucessão (un) convergente de limite l , por definição, dado um
número real d > 0 , existe um número finito, p - 1 , de termos que não
pertencem à vizinhança d de l , ou seja, que não pertencem ao intervalo
]l - d, l + d[ .
Então, sendo m e M , o mínimo e o máximo, respetivamente, do conjunto
{u1, u2, …, up - 1, l - d, l + d} , tem-se 6n ! IN, m G un G M , ou seja,
a sucessão (un) é limitada.
Se (un) for monótona crescente, então, u1 é um minorante e l é um majorante.
Se (un) for monótona decrescente, então, l é um minorante e u1 é um
majorante.
300
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
8
Justifique que a sucessão (an) definida por an =
Como
11
2-n
é convergente.
3 + 2n
2 - (n + 1)
2-n
7
=
< 0, 6n ! IN
(2n + 5) (2n + 3)
3 + 2 (n + 1)
3 + 2n
an + 1 - an =
1
é majorante.
5
(an) é monótona decrescente e, como tal, a1 =
2-n
-n + 2
=
=
3 + 2n
2n + 3
-
Como an = -
1
+
2
-n + 2
=
3
2cn + m
2
1
n+1
2
1
3
n+
2
4
7
4
7
4
n+
-
3
2
1
2
, tem-se:
3
n+
2
6n ! IN,
1
n+1
2
3
n+
2
-
7
4
3
n+
2
> 0 + 6n ! IN, an > -
1
2
1
é minorante de (an) .
2
Portanto, pelo teorema sobre sucessões monótonas e limitadas e convergência,
(an) é convergente.
Logo, -
9
Considere as sucessões definidas por:
un =
5
n +3
vn = cos2(n + 1)
9.1Mostre que un " 0 .
9.2Indique, justificando, lim(unvn) .
301
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Limites de sucessões
9.1Por definição, un " 0 se, e somente se, para todo o d > 0 , existe uma
ordem p ! IN , tal que 6n ! IN, n H p & qun - 0u < d .
Considerando um número real d > 0 , a condição qun - 0u < d
5
< d , para todo o n ! IN .
é equivalente a
n+3
5 - 3d
5
Tem-se que
<d+n>
.
n+3
d
Conclui-se, então, que a condição qun - 0u < d é possível em IN e tem
como conjunto solução S = IN + F
5 - 3d
, +3< .
d
Assim, considerando p = min S , tem-se:
6n ! IN, n H p & qun - 0u < d
Fica, assim, provado, por definição, que un " 0 .
9.2lim(un vn) = 0 , porque é o limite do produto de uma sucessão que tende
para zero, (un) , por uma sucessão limitada, (vn) .
Tarefa 1
Justifique o seguinte resultado:
Dadas duas sucessões, (un) e (vn) , convergentes, tais que lim un = a
e lim vn = 0 , então, lim(unvn) = 0 .
Atendendo a que (un) é convergente, então, é também limitada.
Como lim vn = 0 , tem-se, por teorema, que lim(unvn) = 0 .
11.3 Limites infinitos
10
Considere a sucessão de termo geral:
an = 3n + 1
10.1Determine a ordem a partir da qual todos os termos da sucessão são
maiores do que:
a) 100
b) 5000
10.2 Justifique que lim an = +3 .
10.1 a)Como 3n + 1 > 100 + 3n > 99 + n > 33 , basta escolher uma ordem
superior a 33 , uma vez que, para todo o natural n , n H 34 & an > 100 .
4999
, basta escolher uma ordem
b)Como 3n + 1 > 5000 + n >
3
4999
superior a
= 1666,(3) . Assim, para todo o natural n ,
3
n H 1667 & an > 5000 .
302
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
11
10.2Provar que lim(3n + 1) = +3 é o mesmo que provar que, para
qualquer número real L > 0 , existe uma ordem p ! IN , tal que
6n ! IN, n H p & 3n + 1 > L
Como
L-1
,
3
basta, para cada L > 0 , considerar p igual ou superior ao menor
L-1
, para que a proposição
natural que verifica a condição n >
3
6n ! IN, n H p & 3n + 1 > L seja verdadeira.
3n + 1 > L + n >
Portanto, lim(3n + 1) = +3 .
Prove que un = 2n + (-1)nn é não monótona e que lim un = +3 .
Tarefa 2
Calculando os três primeiros termos, tem-se que u1 = 1 , u2 = 6 e u3 = 3 ;
logo, u1 < u2 e u2 > u3 e, sendo assim, (un) é não monótona.
Por definição, un " +3 se, e somente se, para todo o L > 0 existe uma
ordem p ! IN , tal que 6n ! IN, n H p & un > L .
Considerando um número real L > 0 , a condição un > L é equivalente a:
• para n ímpar, n > L ;
L
• para n par, 3n > L + n >
.
3
Conclui-se, então, que a condição un > L é possível em IN e tem como
conjunto solução:
L
S = IN + ]L, +3[ + E , +3;
3
Assim, considerando p = min S , tem-se:
6n ! IN, n H p & un > L
Fica, assim, provado, por definição, que un " +3 , isto é, lim un = +3 .
11
Prove, usando a definição, que:
a) lim(5n2) = +3
b) lim_- n i = -3
a)Para qualquer L > 0 , como qualquer natural é positivo, tem-se
L
5
Então, considerando p igual ao menor natural superior a
5n2 > L + n >
para todo o natural n , n H p & 5n2 > L .
L
, tem-se,
5
Como L > 0 pode ser qualquer, tem-se que lim 5n2 = +3 .
303
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Limites de sucessões
n > L + n > L2 ,
basta, para cada L > 0 , escolher p como sendo o menor natural
superior a L2 para que a proposição 6n ! IN, n H p & - n < -L
seja verdadeira.
Portanto, lim_- n i = -3 .
b)Analogamente à alínea a), como - n < -L +
12
Considere a sucessão de termo geral:
n + 3 se n é par
un = *
3n
se n é ímpar
12.1Estude a monotonia de (un) .
12.2Mostre que:
un " +3
12.1 Calculando o 8.º , o 9.º e o 10.º termos da sucessão, tem-se que
u8 = 11 , u9 = 27 e u10 = 13 ; logo, u8 < u9 e u9 > u10 e,
sendo assim, (un) é não monótona.
11.2Provar que lim(un) = +3 é o mesmo que provar que para
qualquer número real L > 0 existe uma ordem p ! IN ,
tal que 6n ! IN, n H p & un > L .
Para n par:
n+3>L+n>L-3
Para n ímpar:
L
3
Portanto, basta, para cada L > 0 , considerar p igual ou superior
ao menor natural que verifica simultaneamente as condições
L
, que se sabe existir, para que a proposição
n > L - 3 e n >
3
6n ! IN, n H p & un > L seja verdadeira.
3n > L + n >
Fica, assim, provado, por definição, que un " +3 , isto é,
lim un = +3 .
304
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
11
11.4 Limites de sucessões que diferem num número finito de termos
13
Considere as sucessões (an) e (bn) definidas, respetivamente, por:
an =
2n
n +1
e
2n
se n G 20
bn = * n +1
4n
se n 2 20
13.1Mostre que:
a) lim an = 2
b) lim bn = +3
13.2As sucessões (an) e (bn) têm termos em comum. Explique por que razão
o resultado de 13.1 não contradiz a seguinte propriedade:
Duas sucessões (un) e (vn) que diferem apenas num número finito
de termos têm o mesmo limite (real ou infinito) ou não têm limite.
13.1 a) Dado um número real d > 0 :
2
2n
2n - 2n - 2
2
-2 < d +
<d+
<d+n>
-1
n +1
n +1
n +1
d
2
Então, escolhendo p ! IN igual ou superior a
- 1 , tem-se,
d
2n
-2 < d .
para todo o natural n , n H p ,
n +1
E, como d > 0 é qualquer, conclui-se o pretendido, ou seja,
lim an = 2 .
b)Provar que lim bn = +3 é o mesmo que provar que, para qualquer
número real L > 0 , existe uma ordem p ! IN , tal que:
6n ! IN, n H p & bn > L
Tome-se p1 igual ou superior ao menor natural que verifica a condição
L
n>
.
4
Para n H 21 , bn = 4n ; então, para todo o L > 0 , basta escolher
uma ordem p igual ou superior ao máximo entre 21 e p1
para que a proposição 6n ! IN, n H p & bn > L seja verdadeira.
Portanto, lim bn = +3 .
13.2Porque estas sucessões diferem uma da outra num número infinito
de termos.
305
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Limites de sucessões
Considere uma sucessão (un) convergente, com limite l , e um número
real d > 0 .
Tarefa 3
3.1Justifique que existe p1 ! IN , tal que n H p1 & qun - lu < d .
3.2Seja (vn) uma sucessão tal que vn = un , qualquer que seja n H p2
(isto é, (un) e (vn) diferem apenas num número finito de termos).
Conclua que, sendo p3 o máximo entre p1 e p2 , 6n ! IN, n H p3 &
& qvn - lu < d , ou seja, lim vn = lim un = l .
3.1Por definição de limite, existe p1 ! IN: n H p1 & qun - lu < d .
3.2Se diferem apenas num número finito de termos, existe
p3 ! IN: n H p3 & vn ! ]l - d, l + d[ , ou seja, lim vn = l .
11.5 Aplicação da definição de limite a casos particulares
14
Indique o limite das sucessões definidas por:
a) an = 5 + 3n
b) bn =
4- n
3
a)lim an = +3 , pois 3 > 0
b)lim bn = lim
4
1
n
= -3 , pois - < 0
3
3
3
15
Considere uma progressão aritmética crescente (an) . Indique, justificando,
o seu limite.
Como (an) é crescente, então, tem razão positiva, ou seja, an = an + b ,
com a > 0 , e, como consequência, o seu limite é +3 .
16
Utilize a definição de limite para provar que:
a)lim 2 = 2
b)lim
-5
=0
n +10
c)lim
6n + 7
= -2
-3n +1
306
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
a)Seja un = 2 . Tem-se, para qualquer real d > 0 e para qualquer
11
n ! IN , n H p & qun - 2u = q2 - 2u = 0 < d .
Donde, lim 2 = 2 .
b)Dado um número real d > 0 e n ! IN :
-5
5
5
5
<d+
< d + n + 10 >
+n>
- 10
n + 10
n + 10
d
d
5
Então, escolhendo p ! IN , tal que p >
- 10 , tem-se para todo
d
o natural n :
-5
<d
nHp&
n + 10
Como d > 0 é qualquer, conclui-se o pretendido, ou seja, lim
-5
=0.
n + 10
c)Dado um número real d > 0 e n ! IN :
6n + 7
6n + 7 - 6n + 2
9
<d+
<d+
+2 <d+
- 3n + 1
- 3n + 1
- 3n + 1
9
1
3
+
<d+n>
+
3n - 1
3
d
1
3
Então, escolhendo p ! IN superior a
+
, tem-se, para todo
3
d
o natural n , n H p :
6n + 7
+2 <d
- 3n + 1
Como d > 0 é qualquer, conclui-se o pretendido, ou seja,
6n + 7
= -2 .
lim
-3n + 1
Tarefa 4
Prove que, dados os números reais a , b , c e d , se
a
an + b
c ! 0 e 6n ! IN , cn + d ! 0 , então, lim
= c .
cn + d
a
bc - ad
Seja d > 0 qualquer. Então, un - c < d + 2
< d e, a partir
c n + dc
de certa ordem, tem-se c2 n + dc > 0 , e a condição anterior verifica-se para
n>
bc - ad
2
d
- c .
c d
Assim, considerando p igual ao menor natural que verifica as condições,
tem-se o pretendido.
307
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Limites de sucessões
11.6 Álgebra de limites de sucessões convergentes
17
Indique:
a) lim n3
d) lim
2
n
3- n
1+ 2n
e) lim
1
n2
b) lim
c) lim 4
a)lim n3 = +3 , pois r = 3 > 0 .
b)lim
2
n =0
c)lim 4 = 4
1
3-n
=2
1 + 2n
1
e)lim 2 = lim n-2 = 0 , pois r = -2 < 0 .
n
d)lim
18
Considere duas sucessões (un) e (vn) convergentes, tais que:
lim un = -1 e lim vn = 4
Calcule:
a) lim(un + vn)
b) lim(un - 2vn)
c) lim^un2h
d) lim e
un
1
o
+
vn
n
a)lim(un + vn) = lim un + lim vn = -1 + 4 = 3
b)lim(un - 2vn) = lim un + lim(-2vn) = lim un - 2 lim vn =
= -1 - 2 × 4 = -9
c)lim(un2) = lim(un × un) = lim un × lim un = (lim un)2 = (-1)2 = 1
un
1
1
1
1
o = limc v m + lime
o = - + limf 1 p =
4
n
n
n
n2
1
1
1
1
= - + liman 2 k = - + 0 = 4
4
4
d)lime
un
vn +
308
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
11.7 Álgebra de limites infinitos e indeterminações
11
19
Calcule:
a) lim c 2 +
3
m
n
a)limc 2 +
3
3
m
n = lim 2 + lim n = 2 + 0 = 2
b) lim c
n -1
n
n
+ 3 - n-1m c) lim d 3 +
3n
n +1
3
b)limc
n
n
m + lim 3 + lim(-n-1) =
+ 3 - n-1m = limc
n+1
n+1
=1+3-0=4
c)limd 3 +
3
10n - 1
1000
n-1
10
n = f lim d
n =
np = d
3n
27
3n
3
3
3
20
Calcule:
a) lim c n 2 +
a)limc n 2 +
1
m
n
b) lim d 3+
5n -1
- nn
n+2
1
m = lim n2 + lim 1 = lim n2 + lim n-1 = +3 + 0 = +3
n
n
b)limd 3 +
5n - 1
5n - 1
n=
- n n = limd 3 - n +
n+2
n+2
5n - 1
n = -3 + 5 = -3
= lim(3 - n) + lim d
n+2
21
Considere a sucessão de termo geral:
un = 2n2 - 3
Indique um termo geral de uma sucessão (vn) com limite -3 , tal que:
a) lim(un + vn) = 0
b) lim(un + vn) = +3
c) lim(un + vn) = -3
d) lim(un + vn) = 2
a)Por exemplo, vn = 3 - 2n2 .
c)Por exemplo, vn = -3n2 .
b)Por exemplo, vn = -n2 .
d)Por exemplo, vn = 5 - 2n2 .
309
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Limites de sucessões
22
Considere as sucessões (un) , (vn) e (wn) , em que:
lim un = -3
lim vn = +3
lim wn = -3
Indique, se possível:
a) lim(unvn)
d) lim(wn - vn)
b) lim(unwn)
e) lim(2un - 3vn)
c) lim(un + vn)
a)lim(unvn) = lim un × lim vn = -3 × (+3) = -3
b)lim(unwn) = lim un × lim wn = -3 × (-3) = +3
c)lim(un + vn) = lim un + lim vn = -3 + (+3) = +3
d)lim(wn - vn) = lim wn - lim vn = lim wn + lim (-vn) =
= -3 + (-3) = -3
e)lim(2un - 3vn) = lim(2un) + lim(-3vn) = 2 × (-3) + (-3) × +3 =
= -6 + (-3) = -3
23
Considere as sucessões (un) , (vn) e (wn) , em que:
lim un = 2
lim vn = +3
lim wn = -3
Indique, se possível:
a) lim(wnvn)
c) lim(un + wn)
b) lim(unwn)
d) lim(wn)2
a)lim(wnvn) = -3 × (+3) = -3
b)lim(unwn) = 2 × (-3) = -3
c)lim(un + wn) = 2 + (-3) = -3
d)lim(wn)2 = -3 × (-3) = +3
24
Considere as sucessões (un) e (vn) tais que:
• 6n ! IN, un > 0
• lim un = +3
• lim vn = -3
Determine:
a) lim(un3 vn)
c) lim un
b) lim(unvn)3
d) limbu n2 v n l
5
5
310
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
3
n n
3
n
a)lim(u v ) = lim u × lim vn = +3 × (-3) = -3
11
b)lim(unvn)3 = ^lim(unvn)h3 = ^+3 × (-3)h3 = -3
1
1
c)lim un = lim u n2 = (lim un) 2 = +3
d)limbu n2 v n l = limbu n2 l × lim(v n) = (lim un) 2 × (lim vn)5 =
5
5
5
5
5
= +3 × (-3) = -3
25
5
.
n2
Dê exemplo de uma sucessão (vn) , tal que lim vn = +3 , e:
Considere a sucessão (un) de termo geral un =
a) lim(unvn) = 0
b) lim(unvn) = +3
c) lim(unvn) = 1
a)Por exemplo, vn = n .
b)Por exemplo, vn = n3 .
c)Por exemplo, vn =
n2
.
5
26
Seja (un) uma progressão aritmética de razão e termos não nulos.
Justifique que:
1
lim u = 0
n
Tem-se que lim un = -3 ou lim un = +3 .
1
Pelo teorema da inversa de uma sucessão de limite infinito, lim u = 0 .
n
27
Justifique que
lim
começando por calcular
n3
= +3
n+6
lim
n+6
n3
1
n+6
n+6
1
n+6
= lime 2 # c n m o = lim 2 × lim n
=
3
n
n
n
n+6
= 0 × 1 = 0+ (pois tem todos os termos positivos)
= lim n-2 × lim n
n3
1
n+6
+
=
0
,
então,
lim
= lim
= +3 ,
Como lim
3
n+6
n+6
n
1
n3
pois + = +3 .
0
lim
311
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Limites de sucessões
28
Calcule:
a) lim>3#d
2 H
n
3
n
b)lim vn , em que (vn) é definida por
c) lim^2n + 3-nh
*
v1 = 2
vn +1 =
.
5
vn, 6n ! IN
2
2
2
a)lim>3 # d n H = lim 3 × limd n = 3 × 0 = 0
3
3
n
n
f Como 2 1 1 , d 2 n " 0 p
3
3
n
b)vn é uma progressão geométrica de razão
pode ser dado por vn = 2 × d
Então, lim vn = lim>2 # d
= +3 ×
4
= +3
5
5
n
2
n-1
5
n
2
5
e, sendo assim, o termo geral
2
.
H = lim 2 × limd 5 n × limd 5 n =
2
2
n-1
n
-1
f Como 5 2 1 , d 5 n " +3 p
2
2
n
1
1
n
-n
n
n
d
n
c)lim(2 + 3 ) = lim 2 + lim n = lim 2 + lim
=
3
3
= +3 + 0 = +3
n
f Como 1 1 1 e 2 2 1 , d 1 n " 0 e 2 n " +3 p
3
3
n
Considere as sucessões (un) , (vn) , (wn) e (zn) de termos gerais,
respetivamente:
un = n2 + n , vn = -2n , wn = n + 1 e zn = n3
Tarefa 5
5.1 Justifique que lim un = +3 e que:
un
a) lim vn = -3 e lim v = -3
n
un
b) lim wn = +3 e lim w = +3
n
un
c) lim zn = +3 e lim z = 0
n
312
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
11
5.2Considere as sucessões (an) , (bn) e (cn) de termos gerais, respetivamente:
1
1
1
a n = v , bn = w e cn = z
n
n
n
5.2.1 Justifique que lim an = lim bn = lim cn = 0 .
5.2.2 Calcule:
an
a) lim c
n
b) lim
cn
bn
c) lim
an
bn
5.1lim un = lim(n2 + n) = lim n2 + lim n = +3 + (+3 ) = +3
a) lim vn = lim(-2n) = -2 × (+3) = -3
un
n
1
- m = -3
lim v = limc2
2
n
b) lim wn = lim(n + 1) = +3 + 1 = -3
n (n + 1)
un
= lim n = +3
lim w = lim
n+1
n
c) lim zn = lim n3 = (+3)3 = +3
un
1
1
lim z = limd n + 2 n = 0
n
n
5.2 5.2.1As sucessões (an) , (bn) e (cn) são inversas de sucessões de limite
infinito; logo, têm todas limite zero.
an
n2
n = -3
5.2.2 a) lim c = limd2
n
cn
n+1
1
1
n = limd 2 + 3 n = 0
= limd
3
bn
n
n
n
an
1
n+1
= lim
= c) lim
2
- 2n
bn
b) lim
29
A figura apresenta os primeiros termos de uma
sucessão de triângulos equiláteros, alternadamente
brancos e azuis, em que os vértices de cada triângulo
são os pontos médios dos lados do triângulo anterior.
O 1.o termo desta sucessão tem área
3.
29.1Seja (an) a sucessão das áreas dos triângulos.
Mostre que an =
3
.
4 n -1
29.2Determine lim an .
u3p66h1
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313
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Limites de sucessões
29.1 A sucessão (an) é uma progressão geométrica de razão c
1 2
1
m =
, pois
2
4
1
;
a razão de semelhança entre os lados de dois triângulos consecutivos é
2
1 2
logo, a razão de semelhança entre as áreas dos mesmos triângulos é c m .
2
Então, o termo geral de (an) pode ser dado por:
3 ×c
an =
3
29.2 lim
n-1
1 n
1 n-1
1 -1
m = lim 3 × limc m × limc m =
4
4
4
= lim 3 × c
4
= 4 3 × 0 = 0
e Como
1 n-1
3
m = n-1
4
4
1
1 n
1 1 , c m " 0o
4
4
11.8 Levantamento algébrico de indeterminações
30
Considere as sucessões definidas por un = n3 e vn = n2 .
30.1 Complete a tabela:
n
un
vn
2
?
?
un - vn
?
10
?
?
?
10
2
?
?
105
?
?
9,9 × 105
?
30.2Mostre que lim(un - vn) .
30.1
n
un
vn
2
8
4
10
10
2
105
1000
10
6
1015
100
10
4
1010
un - vn
4
900
9,9 × 105
9,9999 × 1014
30.2lim(un - vn) = lim(n3 - n2) = lim =n 3c1 -
1
mG
n =
1
= lim n3 × limc1 - n m = +3 × 1 = +3
314
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
31
Determine:
a) lim^-2n3 + n4h
11
c) lim^5n - r n + 3h
b) lim(n5 - 4n)
d) lim_n -
n 2 +1i
a)lim(-2n3 + n4) = lim =n 4 c-
2
mG
n + 1 = +3 × (0 + 1) = +3
b)lim(n5 - 4n) = lim f n 5d1 -
4
n p = +3 × (1 - 0) = +3
n4
c)lim(5n - rn + 3) = lim >5 n d1 -
= lim 5n × lim e1 - c
d)lim_n -
= lim
r n
m # r 3 o = +3 × (1 - 0 × r3) = +3
5
n 2 + 1i = lim
n 2 - (n 2 + 1)
n+
2
n +1
rn+3
nH =
5n
_n -
= lim
n 2 + 1i_n +
n+
n2 + 1
-1
n+
2
n +1
=
n 2 + 1i
=
-1
=0
+3
32
Determine:
n 3 + 2n - 3
a) lim
n 2 + 5n
b)lim
n 3 + 2n - 3
a)lim
= lim
n 2 + 5n
=
c)lim
4n - 2n
n3+3
n 3d1 +
2
3
2
3
n d1 + 2 - 3 n
- 3n
n2
n
n
n
= lim
=
5
5
2c
1+ n
n 1+ n m
+3 # (1 + 0 - 0)
= +3
1+0
2
b)lim
- 3n 2 + n + 5
n - 2n 2
- 3n + n + 5
= lim
n - 2n 2
3 d1 -
- 3n 2 d1 -
1
5
n
3n
3n 2
=
1
- 2n 2 c+ 1m
2n
1
5
- 2n
3n
3 (1 - 0 - 0)
3n
3
= lim
=
=
2
2 (0 + 1)
1
+ 1m
2 c2n
4
4
nc n - 2m
-2
4n - 2n
n -2
c)lim
=
lim
=
lim
=
=0
3
+3
n +3
3
3
3
2
n d1 + 3 n
n d1 + 3 n
n
n
315
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Limites de sucessões
33
Seja (an) uma sucessão de termo geral:
an = 2n3 + n2 - 10
Dê exemplo de uma sucessão (bn) tal que lim bn = -3 , em que:
an
an
an
1
a) lim
= -3
b) lim
=0
c) lim
=3
bn
bn
bn
a)Por exemplo, bn = -2n2 + 1 .
b)Por exemplo, bn = -n4 .
c)Por exemplo, bn = -6n3 + 1 .
34
Determine:
b) lim >d
n
a) lim
4 +1
4 n+2 + 3
n
4 +1
a)lim n + 2
= lim
4 +3
b)lim >d
4 n d1 +
2
n (3 n -1)H
5
n
1
n
4n
c) lim
1
n
3
n+2
1
1
1+0
4n
= lim
=
=
3
16
16
+
0
3
42 + n
4 nd 4 2 + n n
4
4
1+
2
6
2
n (3 n -1)H = lim >d n - d n H = +3 - 0 = +3
5
5
5
c)lim
n
n
1
n
= lim
3
n+2
= lim
n+2
= lim
3 n
n
2
1+ n
=
3 n
n #
2
1+ n
1
=
3
3
11.9 Limite de
n
a , com a > 0
35
Prove, utilizando o princípio de indução matemática, que a proposição
6n ! IN, (1 + h)n H 1 + nh (h > 0)
é verdadeira.
316
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
1
Para n = 1 , tem-se (1 + h) H 1 + h , que é verdade.
11
Hipótese: Para um certo n ! IN, (1 + h)n H 1 + nh .
Tese: (1 + h)n + 1 H 1 + (n + 1)h
Demonstração:
(1 + h)n + 1 H (1 + h)n(1 + h)
Por hipótese, obtém-se:
(1 + h)n H 1 + nh & (1 + h)n(1 + h) H (1 + nh)(1 + h) +
+ (1 + h)n + 1 H 1 + nh + h + nh2 H 1 + nh + h = 1 + (n + 1)h
nh 2 H 0
Portanto, pelo princípio de indução, 6n ! IN, (1 + h)n H 1 + nh é verdadeira.
36
Calcule:
n
2n -1
n
a)lim d 2 +
3n + 2
n
b)lim
7
n+2
2n c1 -
1
m
2n
n
n
2n -1
n = lim 2 + lim
a)lim d 2 +
=
3n + 2
2
n
3n d1 +
3n
1
m
2 c1 2 (1 - 0)
2n
5
= 1 + lim
=1+
=
3
3
(
1
+
0
)
2
n
3 d1 +
3n
n
b)lim
7
= lim
n+2
n
n
7
2
1+ n
=
1
=0
+3 # (1 + 0)
37
Considere a sucessão de triângulos retângulos
(a azul) em que o primeiro triângulo é obtido
1
,
2
e assim sucessivamente, como é sugerido na figura.
a partir da diagonal de um quadrado de lado
37.1Justifique que a sucessão das áreas dos
triângulos é uma progressão geométrica
e determine um termo geral desta sucessão.
37.2Determine o limite, quando n tende para +3 , da soma das áreas
dos n triângulos e interprete esse resultado geometricamente.
u3p71h1 317
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Limites de sucessões
37.1 Dois triângulos sucessivos são semelhantes. A razão de semelhança
1
e, como tal, a razão de semelhança entre as áreas
2
1
1
1 n-1
. Logo, o termo geral pode ser dado por An =
×c m
é de
4
8
4
1 2n + 1
ou An = c m
.
2
entre os lados é de
37.2 A soma dos primeiros n triângulos sucessivos é dada por:
1-c
1 n
m
4
1
S=
×
1
8
14
1
1
1
×
=
.
Assim, lim S =
8
1
6
14
Geometricamente, tal significa que, à medida que o número de triângulos
2
assim formados tende para +3 , os triângulos preenchem
da área
3
do quadrado inicial.
Seja (un) a sucessão definida por recorrência:
Tarefa 6
u1 = 3
*
un +1 = 2un -1, 6n ! IN
6.1Prove, utilizando o princípio de indução matemática, que 6n ! IN, un > 1
e conclua que:
• (un) está bem definida;
• (un) é monótona decrescente.
6.2Justifique que (un) é convergente e calcule o seu limite.
Adaptado do Caderno de Apoio do 11.º ano
6.1Para n = 1 , u1 = 3 e 3 > 1 .
Hipótese: Para um certo n ! IN, un > 1 .
Tese: un + 1 > 1
Demonstração:
Como un + 1 =
2un - 1 , por hipótese de indução, tem-se:
un > 1 & 2 un > 2 & 2un - 1 > 1 &
2un - 1 > 1
Fica, assim, provado que 6n ! IN, un > 1 .
318
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
11
• C
omo 2 un > 2 & 2un - 1 > 1, 6n ! IN, 2un - 1 tem significado
para todo o n ! IN .
2un - 1 - (un)2
=
• un + 1 - un = 2un - 1 - un =
2un - 1 + un
(un - 1)2
< 0, 6n ! IN
= 2un - 1 + un
Portanto, (un) é monótona decrescente.
6.2Por 6.1 sabe-se que (un) é monótona decrescente e, como 6n ! IN, un > 1 ,
(un) é minorada. Logo, (un) é convergente.
Seja lim un = a . Logo, lim un + 1 = a . Assim:
lim un + 1 = lim 2un - 1 + a =
Como 1 =
2a - 1 & a2 = 2a - 1 + a = 1
2 - 1 , lim un = 1 .
AVALIAR CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
2
Considere a sucessão (an) de termo geral an = 1 + n .
Indique o número de termos da sucessão que não pertencem à vizinhança
V0,1(1) .
(A) 19
(B) 20
(C) 21
(D) 22
2
(an - 1) H 0,1 + n H 0,1 + n G 20
A opção correta é a (B).
2
Selecione a afirmação verdadeira:
(A) Uma sucessão convergente é monótona.
(B) Uma sucessão limitada é convergente.
(C) Uma sucessão convergente é limitada.
(D) Uma sucessão divergente não é limitada.
A opção correta é a (C).
319
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Limites de sucessões
3
Considere a sucessão (un) definida por:
u1 =-3
*
un +1 = un + 3, 6n ! IN
Então:
(A) (un) é limitada.
(B) (un) é crescente e majorada.
(C) lim un = +3
(D) lim un = -3
A opção correta é a (C).
4
Seja (bn) a sucessão de termo geral bn = 4 × 3-n .
Então:
(A) lim bn = +3
(B) lim bn = -3
(C) lim bn = 0
(D) lim bn = 4
1
lim bn = limf 4 # d n p = 4 × 0 = 0
3
n
A opção correta é a (C).
5
Considere a sucessão (un) de termo geral un = n3 + 4n .
Qual dos termos gerais seguintes define uma sucessão (vn) tal que
lim(un + vn) = -3 ?
(A) vn = -n3 - n
(B) vn = -n3 - 4n + 3
(C) vn = -n2 - 5n
(D) vn = -n5 + 10n
lim(n3 + 4n - n5 + 10n) = lim(-n5 + n3 + 14n) =
= lim >-n 5d1 -
1
14
- 4 nH = -3
2
n
n
A opção correta é a (D).
320
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
6
11
Seja (an) uma sucessão de termos positivos em que lim an = 0 .
Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?
(A) lim
1
an = -3
(B) lim(n2 an) = 0
(C) limc
an
m= 0
2-n
1
(D) lim
an = +3
A opção correta é a (D).
7
Considere a sucessão das
semicircunferências em que a primeira
semicircunferência tem de diâmetro 16 ,
a segunda semicircunferência resulta
u3p72h1
2
, e assim sucessivamente.
3
Admitindo que o processo de construção desta linha não tem fim,
o seu comprimento é:
de uma redução da primeira com razão igual a
(A) 12r
(C) 24r
(B) 18r
(D) 27r
Seja (un) a sucessão do comprimento de cada semicircunferência.
Tem-se que un = 8r × d
2
n
3
n-1
.
A sucessão (un) é uma progressão geométrica; logo:
Sn = 8r ×
1-d
2
n
3
2
13
n
Assim:
f
lim Sn = lim 8r #
1-d
2
n
3
2
13
n
p=
8r
1-
2
3
lim f1 - d
2 p
n =
3
n
= 24r(1 - 0) = 24r
A opção correta é a (C).
321
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Limites de sucessões
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
8
Considere a sucessão (un) definida por un =
8.1Mostre que (un) é monótona.
1- 2n
.
n +3
8.2Determine um majorante e um minorante de (un) e conclua que (un)
é limitada.
8.3Determine quantos termos de (un) pertencem a V0,01(-2) .
8.4Prove, recorrendo à definição de limite, que un " -2 .
8.1
un + 1 - un =
1 - 2 (n + 1)
1 - 2n
=
n+4
n+3
=
(- 2n - 1) (n + 3) - (1 - 2n) (n + 4)
=
(n + 4) (n + 3)
=
- 2n 2 - 6n - n - 3 - (n + 4 - 2n 2 - 8n)
=
(n + 4) (n + 3)
=
-7
< 0, 6n ! IN
(n + 4) (n + 3)
Logo, (un) é decrescente.
8.2Como (un) é decrescente, tem-se que
u1 =
é um majorante de (un) .
Como
un =
1
1-2
=4
1+3
-2 (n + 3) + 7
1 - 2n
7
-2n + 1
=
=
= -2 +
,
n+3
n+3
n+3
n+3
>
20
tem-se 6n ! IN, un > -2 , ou seja, -2 é um minorante de (un) .
Portanto, tem-se
6n ! IN, -2 < un G ou seja, (un) é limitada.
8.3
qun + 2u < 0,01 +
+
1
,
4
1 - 2n
+ 2 < 0,01 +
n+3
1 - 2n + 2n + 6
7
< 0,01 +
< 0,01 +
n+3
n+3
+ 7 < 0,01(n + 3) + 700 < n + 3 + n > 697
Logo, há infinitos termos de (un) que pertencem a esta vizinhança.
322
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
8.4 Dado d > 0 , qun + 2u < d +
1 - 2n
+2 <d+
n+3
11
1 - 2n + 2n + 6
7
<d+
< d + 7 < d(n + 3) +
n+3
n+3
7
7
+ < n + 3 + n > - 3
d
d
7
- 3 , e tem-se que
Assim, basta tomar o primeiro natural superior a
d
todos os termos seguintes pertencem à vizinhança de -2 de raio d .
+
Conclui-se, assim, que un " -2 .
9
Recorrendo à definição de limite, prove que:
a)
1+ n 2
"1
n2
b)
3n -1
3
- "0
2
2n +1
c)
n-n2
+1"0
n2
1
1 + n2
1 + n2 - n2
<d+ 2 <d+
-1 <d+
2
2
n
n
n
1
< n2 .
+ 1 < dn2 +
d
1
. Assim, basta tomar o primeiro
Como n é positivo, obtém-se n >
d
1
e tem-se que todos os termos seguintes pertencem
natural superior a
d
1+ n 2
"1.
à vizinhança de 1 de raio d . Conclui-se, assim, que
n2
3n - 1
3
6n - 2 - 6n - 3
b) Dado d > 0 ,
-0 <d+
<d+
2
2n + 1
4n + 2
5
5 - 2d
-5
+
< d + 5 < d(4n + 2) +
< 4n + 2 + n >
.
4n + 2
d
4d
5 - 2d
Assim, basta tomar o primeiro natural superior a
, e tem-se que
4d
todos os termos seguintes pertencem à vizinhança de 0 de raio d .
3n - 1
3
"0.
Conclui-se, assim, que
2
2n + 1
a) Dado d > 0 ,
n - n2
n - n2 + n2
1
0
<
d
+
<d+
+
n2
n2
1
n
1
+ 2 < d + n < d + 1 < dn + n > . Assim, basta tomar o primeiro
d
n
1
, e tem-se que todos os termos seguintes pertencem
natural superior a
d
n - n2
+1"0.
à vizinhança de 0 de raio d . Conclui-se, assim, que
n2
c) Dado d > 0 ,
323
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Limites de sucessões
10
Seja (vn) uma sucessão, com todos os termos positivos, em que se sabe que:
vn +1
vn < 1, 6n ! IN
Justifique que:
a) (vn) é convergente.
b) wn " 0 , sendo (wn) definida por wn =
vn
n .
vn + 1
vn + 1 < vn + vn + 1 - vn < 0, 6n ! IN
vn < 1 v+
20
a)
n
Logo, (vn) é decrescente. Então, como (vn) é uma sucessão com todos
os termos positivos, 0 é um minorante de (vn) . Como toda a sucessão
decrescente e minorada é convergente, (vn) é convergente.
1
b)A sucessão (wn) é o produto de uma sucessão que tende para zero,
n ,
por uma sucessão limitada, (vn) ; logo, wn " 0 .
Alternativamente:
vn
vn
vn
Dado d > 0 , qwnu < d + n < d + n < d + vn < nd + n >
.
d
Como v1 é um majorante de (vn) , v1 > vn, 6n ! IN . Assim, basta tomar
v1
, e tem-se que todos os termos seguintes
o primeiro natural superior a
d
pertencem à vizinhança de 0 de raio d . Conclui-se, assim, que wn " 0 .
11
Considere as sucessões (an) e (bn) definidas, respetivamente, por:
a n = n 2 - 4 e bn = 2 - n
11.1Determine a menor ordem p ! IN , tal que n H p & an > bn + 24 .
11.2Prove, recorrendo à definição de limite, que:
a)an " +3
b)
bn
an " 0
11.1an > bn + 24 + n2 - 4 > 2 - n + 24 + n2 + n - 30 > 0
n2 + n - 30 = 0 + n =
+ n =
-1 !
1 + 4 # 30
+
2
-1 ! 11
+ n = -6 0 n = 5
2
Logo:
n2 + n - 30 > 0 + n < -6 0 n > 5 + n > 5
Assim, p = 6 .
n ! IN
324
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
2
2
11
11.2 a) Seja L > 0 . Então, an > L + n - 4 > L + n > L + 4 .
Assim, basta considerar p = 7 L + 4 A + 1 , e tem-se todos os termos
seguintes superiores a L . Conclui-se, assim, que an " +3 .
b) Seja d > 0 . Então:
bn
2-n
2-n
an < d + n 2 - 4 < d + (n - 2) (n + 2) < d +
1
-1
< d + 1 < d(n + 2) + n >
-2
n+2
d
1
- 2 e tem-se que
Assim, basta tomar o primeiro natural superior a
d
todos os termos seguintes pertencem à vizinhança de 0 de raio d .
bn
Conclui-se, assim, que a " 0 .
n
+
12
Considere três sucessões (un) , (vn) e (wn) tais que:
• lim un = -1
• lim vn = +3
• lim wn = 0Determine:
a) lim(3un - wn)
b) lim(unvn)
c) lim
wn
vn
a)lim(3un - wn) = 3 lim un - lim wn = -3 - 0- = -3
b)lim(unvn) = lim un × lim vn = -1 × (+3) = -3
c)lim
lim wn
wn
0=
=
= 0vn
lim vn
+3
13
Calcule o limite das sucessões cujo termo geral se indica, identificando
as indeterminações encontradas:
a)an =
n+2
3n +1
d)dn =
b)bn =
n2+2
3+ n
e)en =
c)cn =
1- 4n
4
n +5
n+2 -
n
2 n +1 +1
3- 2 n
f)
fn = (3n - 4) × 2-2n
325
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Limites de sucessões
a) lim an = lim
1
n+2
=
aIndeterminação 3
3 k
3
3n + 1
n2 + 2
b) lim bn = lim
= lim
3+ n
n 2 d1 +
aIndeterminação 3
3 k
c) lim cn = lim
1- 4n
n 4+5
1
n -4
5
1+ 4
n
aIndeterminação 3
3 k
>
5
1+ 4
n
2
H = +3
=
n i = lim
_ n + 2 - n i_ n + 2 + n i
n+2 + n
=
n+2-n
2
=
=0
+3
n+2 + n
n +1
2 +1
e) lim en = lim
= lim
3- 2n
2
= -2
-1
2 nd 2 +
2 nd
aIndeterminação 3
3 k
3 n d1 4n
4
n
3n
1
n
2n
3
- 1n
2n
f) lim f n = lim^(3n - 4) × 2-2nh = lim
= lim
1+
H=0
^Indeterminação +3 + (-3) h
=
>
1
nc n - 4m
n
d) lim dn = lim_ n + 2 -
= lim
2
n2
= lim n
3
3
1+ n
n c n + 1m
= lim
1
= lim n #
2
n
n2
= lim
1
2n
3
-1
2n
=
3n - 4
3n - 4
=
lim
=
4n
2 2n
> 3 n 1= lim c m #
4
2+
1
4
3n
H=0
aIndeterminação 3 × 0 k
326
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UNIDADE
Domínio 3 SUCESSÕES
14
11
Dada a sucessão (vn) , definida por:
*
v1 = 2
vn +1 =
1+ vn
, 6n ! IN
2
14.1Prove, recorrendo ao princípio de indução matemática, que (vn) é monótona
decrescente.
14.2
Justifique que todos os termos de (vn) são positivos e conclua que (vn)
é convergente.
14.3Determine lim vn .
14.1 Pretende-se provar que:
6n ! IN, vn + 1 < vn
1 + v1
3
Para n = 1 , tem-se v2 =
=
< 2 = v1 , que é verdade.
2
2
Hipótese: Para um certo n ! IN, vn + 1 < vn .
Tese: vn + 2 < vn + 1
Demonstração:
vn + 2 =
1 + vn + 1
2
Por hipótese, obtém-se:
1 + vn
= vn + 1
2
Assim, pelo princípio de indução matemática, 6n ! IN, vn + 1 < vn ,
ou seja, (vn) é decrescente.
vn + 2 <
14.2Cada termo de (vn) obtém-se a partir do anterior somando uma constante
positiva e dividindo por uma constante positiva.
Assim, como o primeiro termo de (vn) é positivo, todos os termos
de (vn) serão positivos. Então, 0 é um minorante de (vn) .
Como (vn) é decrescente e minorada, é também convergente.
14.3lim vn = lim
1 + vn - 1
1 + lim vn - 1
=
2
2
Mas lim vn = lim vn - 1 , que existe por 14.2.
Logo:
lim vn =
1 + lim vn
+ 2 lim vn = 1 + lim vn + lim vn = 1
2
327
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Avaliação global de conhecimentos
AVALIAÇÃO GLOBAL DE CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Considere a sucessão (un) em que se sabe os cinco primeiros termos:
3, 10, 17, 24, 31, …
Sabendo que se mantém a lei de formação, qual é o valor de u20 ?
(A) 129
(B) 136
(C) 139
(D) 143
un = 3 + 7(n - 1) e u20 = 3 + 19 × 7 = 136
A opção correta é a (B).
2
Considere as sucessões (an) , (bn) , (cn) e (dn) definidas, respetivamente, por:
(-1)n
1 n
n-3
; bn = n2 - 5n + 5 ; cn =
e dn = -4 × c m
an =
2
2n - 9
2n - 3
2.1Indique qual das sucessões não tem -1 como termo.
(A) (an)
(B) (bn)
(C) (cn)
(D) (dn)
(C) (cn)
(D) (dn)
2.2 Qual das sucessões é monótona?
(A) (an)
(B) (bn)
(-1)n
= -1 + (-1)n = -2n + 3
2n - 3
Se n for par, obtém-se 1 = -2n + 3 + n = 1 , que é um absurdo.
2.1
Se n for ímpar, obtém-se -1 = -2n + 3 + n = 2 , que é um absurdo.
A opção correta é a (C).
2.2A opção correta é a (D).
3
Seja (xn) a sucessão em que se sabe que:
6n ! IN, xn + 1 - xn = (-1)n
O termo geral da sucessão (xn) pode ser dado por:
(A) n + 1
(B) -n + 2
(-1)n +1
(C)
+1
2
(-1)n
(D)
+2
2
(-1)n + 2
(-1)n + 2 + (-1)n + 2
(-1)n + 1
+1-=
= (-1)n
+ 1G =
2
2
2
A opção correta é a (C).
328
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01/07/16 13:41
Domínio 3 SUCESSÕES
4
Considere a sucessão (vn) definida por:
3n +1 se n par
vn = *
3n - 2 se n ímpar
Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira.
(A) (vn) é monótona e limitada.
(B) (vn) é monótona e não limitada.
(C) (vn) é limitada e não monótona.
(D) (vn) é não monótona e não limitada.
A sucessão (vn) não é limitada, pois lim(3n + 1) = +3 e lim(3n - 2) = -3 .
Para verificar a monotonia:
• Se n for par, então, vn + 1 - vn = 3(n + 1) - 2 - (3n + 1) = 0 .
• Se n for ímpar, então, vn + 1 - vn = 3(n + 1) + 1 - (3n - 2) = 6 < 0 .
Portanto, (vn) é monótona crescente em sentido lato.
A opção correta é a (B).
5
A pilha de cartas da figura ao lado tem três andares.
Indique o número de cartas da base de uma pilha e o
número total de cartas utilizado na construção da pilha,
supondo que tem 6 andares e se mantém o mesmo
processo de empilhamento, respetivamente:
(A) 12 e 60
(C) 12 e 57
(B) 18 e 63
(D) 15 e 45
A sucessão do número de cartas da base tem termo geral an = 2n ,
em que n representa o número de cartas da pilha.
Assim, a6 = 12 é o número de cartas da base e o total de cartas é igual a
3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 12 = 57 .
A opção correta é a (C).
6
Considere um triângulo em que os comprimentos dos seus lados estão
em progressão aritmética de razão 2 . Sabendo que o cosseno do maior
1
ângulo do triângulo é - , qual é o perímetro desse triângulo?
4
(A) 12
(B) 15
(C) 18
(D) 21
329
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01/07/16 13:41
Avaliação global de conhecimentos
Sabe-se que o maior ângulo é oposto ao maior lado. Seja x o comprimento
de menor lado.
Pelo teorema de Carnot:
W+
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
+ (x + 4)2 = (x + 2)2 + x2 - 2(x + 2)x c-
1
m+
4
x 2 + 2x
+ x2 + 8x + 16 = x2 + 4x + 4 + x2 +
+
2
+ 8x + 24 = 2x2 + x2 + 2x + -3x2 + 6x + 24 = 0 +
36 + 4 # 3 # 24
-6 ! 18
+x=
+
-6
-6
+ x = 4 0 x = -2 + x = 4
+x=
-6 !
x20
Assim, P9 = x + x + 2 + x + 4 = 18 .
A opção correta é a (C).
7
Numa ilha isolada do Pacífico sul, foi efetuado
o registo parcial das distâncias percorridas por
uma tartaruga.
Verificou-se que esta percorreu 40 metros no
1.º dia de registo e a cada dia que passava percorria
mais 5 metros do que no dia anterior.
Ficou igualmente registado que a tartaruga percorreu 13 quilómetros durante
todo o tempo da experiência.
Quantos dias decorreram entre o 1.o dia e o último dia de registo?
(A) 55
(B) 60
(C) 65
(D) 70
Seja (an) a sucessão que representa o número de metros percorridos no n-ésimo
dia. Então, (an) é uma progressão aritmética de razão 5 e de primeiro termo
40 e, por isso, o seu termo geral pode ser an = 40 + 5(n - 1) = 5n + 35 .
Assim:
a1 + an
40 + 5n + 35
× n + 13 000 =
×n+
2
2
+ 26 000 = 5n2 + 75n + 5n2 + 75n - 26 000 = 0 +
Sn =
+ n2 + 15n - 5200 = 0 + n =
+n=
-15 !
21 025
2
-15 !
225 + 4 # 5200
+
2
+ n = 65
n ! IN
A opção correta é a (C).
330
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01/07/16 13:41
Domínio 3 SUCESSÕES
8
Seja (vn) a sucessão das áreas dos
quadrados representados na figura.
O primeiro quadrado tem lado 3
e o lado de cada quadrado seguinte é
metade do lado do quadrado anterior.
8.1 O termo geral da sucessão é:
9
9
3
9
(B)
(C)
(D)
n
2n
2 2n - 2
2 n-2
u3p77h2
8.2 A soma das áreas dos dez primeiros quadrados é:
9
9
3
3
(A)
(B) 6 - 9
(C) 12 - 9
(D) 18 - 9
9
2
4
2
4
(A)
8.1A sucessão (vn) é uma progressão geométrica com v1 = 9 e razão
logo, vn = 9 × c
1 n -1
9
9
9
m = n - 1 = 2 n - 1 = 2n - 2 .
4
2
4
(2 )
A opção correta é a (C).
1
;
4
1 10
1- c m
4
1 10
1 10
1 9
8.2S10 = 9 ×
= 12 × e1 - c m o = 12 - 12c m = 12 - 3c m
4
4
4
1
14
A opção correta é a (C).
9
Considere as sucessões (an) e (bn) definidas, respetivamente, por:
2n +1
n-2
e bn =
an =
1- 2n
n+2
Sabendo que A = lim an e B = lim bn , tem-se que:
(A) A = 2B
(B) A = B
(C) A = -B
(D) A = B + 1
(C) -1
(D) +3
A = -1 e B = 1
A opção correta é a (C).
10
O valor de lim
n
(A) 0
cos n
é:
n2
(B) 1
A sucessão cos n é limitada e lim
A opção correta é a (A).
1
cos n
= 0 ; logo, lim
=0.
2
n
n
n2
331
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Avaliação global de conhecimentos
11
Dada uma sucessão (un) em que lim(un) = +3 , indique qual das seguintes
n
afirmações é necessariamente verdadeira.
(A) (un) é monótona.
(B) (un) é limitada inferiormente.
(C) (un) é limitada superiormente.
(D) (un) tem todos os termos positivos.
Por definição, existe p ! IN , tal que un H 1 sempre que n H p .
Então, un é limitada inferiormente pelo mínimo de {u1, …, up - 1, 1} .
A opção correta é a (B).
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
12
3n -1
.
n+2
12.1Verifique se 2,8 é termo da sucessão (un) .
Considere a sucessão de termo geral un =
12.2Mostre que (un) é monótona.
12.3Mostre que (un) é limitada e indique um minorante e um majorante
do conjunto dos seus termos.
12.4 Justifique que (un) é convergente.
12.5 Mostre, recorrendo à definição de sucessão convergente, que lim un = 3 .
n
3n - 1
= 2,8 + 3n - 1 = 2,8n + 5,6 +
n+2
+ 0,2n = 6,6 + n = 33 ! IN
12.1 un = 2,8 +
Logo, 2,8 é termo da sucessão (un) .
3 (n + 1) - 1
3n - 1
=
n+3
n+2
(3n + 2) (n + 2) - (3n - 1) (n + 3)
=
=
(n + 3) (n + 2)
12.2
un + 1 - un =
=
3n 2 + 6n + 2n + 4 - (3n 2 + 9n - n - 3)
=
(n + 3) (n + 2)
=
7
> 0, 6 n ! IN
(n + 3) (n + 2)
Logo, (un) é monótona.
332
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Domínio 3 SUCESSÕES
12.3Tem-se que 3n - 1 > 0, 6n ! IN ; logo, un > 0, 6n ! IN e, assim,
0 é um minorante de (un) . Tem-se, também, que:
3 (n + 2)
3n - 1
3n + 6
= 3, 6n ! IN
1
=
n+2
n+2
n+2
Logo, 3 é um majorante de (un) e, portanto, (un) é limitada.
12.4Pelas alíneas anteriores, (un) é monótona e limitada; logo, é também
convergente.
12.5 Dado d > 0 , tem-se:
3n - 1
3n - 1 - 3n - 6
<d+
-3 <d+
n+2
n+2
-7
7
7
+
< d + 7 < d(n + 2) +
<n+2+n>
-2
n+2
d
d
7
-2,
Assim, basta tomar para ordem p o primeiro natural superior a
d
e tem-se que, para n H p , un pertence à vizinhança de 3 de raio d .
Conclui-se, assim, que lim un = 3 .
qun - 3| < d +
13
Um auditório tem 14 cadeiras na primeira
fila, 18 na segunda, 22 na terceira,
e assim sucessivamente.
13.1Calcule o número de cadeiras
na décima segunda fila.
13.2O auditório tem 15 filas. Determine a sua lotação máxima.
13.1 Seja (un) a sucessão do número de cadeiras em cada fila. A sucessão
(un) é uma progressão aritmética de termo geral un = u1 + r(n - 1) ,
em que u1 = 4 e r = 4 . Logo, u12 = 14 + 4 × (12 - 1) = 58 cadeiras.
u1 + u15
14 + 14 + 4 # 14
13.2
S15 =
× 15 =
= 630 lugares
2
2
14
Calcule a soma dos 25 primeiros termos de uma progressão aritmética (wn)
sabendo que w2 + w4 = 28 e w5 + w7 = 52 .
Sabe-se que wn = w1 + r(n - 1) . Então:
w2 + w4 = 28
w1 + r + w1 + 3r = 28
w1 = 14 - 2r
*
+*
+)
+
w5 + w7 = 52
w1 + 4r + w1 + 6r = 52
28 - 4r + 10r = 52
w1 = 14 - 2r
w1 = 6
+)
+)
r=4
r=4
w1 + w15
6 + 6 + 4 # 24
× 25 =
× 25 = 1350 .
Assim, S25 =
2
2
333
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Avaliação global de conhecimentos
15
Um carpinteiro pretende construir uma estante para livros
como a representada na figura ao lado.
Os comprimentos das prateleiras são decrescentes e estão
em progressão aritmética.
A primeira prateleira mede 1 metro e a última mede 60 cm .
Determine o número de prateleiras da estante sabendo que o carpinteiro gastou
exatamente 5,6 metros lineares de madeira nas prateleiras.
Seja (un) a sucessão do comprimento, em centímetros, de cada prateleira. Então:
u1 + un
100 + 60
560
× n + 560 =
×n+
= n + n = 7 prateleiras
Sn =
2
2
80
16
Prove que a soma de duas progressões aritméticas é ainda uma progressão
aritmética de razão igual à soma das razões das progressões iniciais.
Caderno de Apoio do 11.º ano
Sejam (un) e (vn) duas progressões aritméticas de razão r e r' , respetivamente.
Tem-se que:
un + vn = ^u1 + (n - 1)rh + ^v1 + (n - 1)r'h = (u1 + v1) + (n - 1)(r + r') ,
que é o termo geral de uma progressão aritmética de razão r + r' e de primeiro
termo u1 + v1 .
17
O número de sócios de um clube de ténis,
fundado em 2001, pode ser modelado por
uma progressão geométrica.
Devido a um problema no programa informático
que registava o número de sócios, perderam-se
os registos relativos aos anos iniciais do clube.
No entanto, sabe-se o número de sócios
relativamente aos anos de 2013, 2014 e 2015,
os quais constam na tabela ao lado.
Ano
N.o de sócios
2013
500
17.1Determine qual o valor da razão da progressão
2014
600
2015
720
geométrica que determina o número de sócios
existentes em cada ano e conclua que o número
de sócios aumenta 20 % a cada ano que passa.
17.2Determine:
a)quantos sócios fundaram o clube.
b)qual é o número de sócios previstos para o ano 2025.
334
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01/07/16 13:41
Domínio 3 SUCESSÕES
17.1 Seja (un) a progressão geométrica do número de sócios do clube
em cada ano, com razão r . Então:
u14
600
= 1,2
r= u =
500
13
Logo, o número de sócios em cada ano é mais 20 % do que no ano anterior.
17.2 a) u13 = u1 × 1,212 + 500 = u1 × 1,212 + u1 á 56,0783
O clube foi fundado por 57 sócios.
b) Utilizando o valor de u13 , dado no enunciado:
u25 = u13 × 1,212 á 4458,0502
No ano de 2025, prevê-se ter 4459 sócios.
18
Os três primeiros termos de uma progressão geométrica são dados, para um
determinado valor de x , respetivamente, por x - 2 , x + 1 e x + 7 .
Determine o termo geral dessa sucessão.
Adaptado do Caderno de Apoio do 11.º ano
x+7
x+1
+ (x + 7)(x - 2) = (x + 1)2 +
=
x-2
x+1
+ x2 - 2x + 7x - 14 = x2 + 2x + 1 + 3x - 15 = 0 + x = 5
5+7
= 2 e o primeiro termo é 5 - 2 = 3 .
Assim, a razão da sucessão é
5+1
Logo, um termo geral dessa sucessão será un = 3 × 2n - 1 .
19
Seja (un) uma sucessão monótona crescente e de termos todos positivos.
1
Considere a sucessão (vn) definida por vn = u .
n
19.1Justifique que (vn) é convergente.
19.2Sabendo que lim(un) = 2 , determine o valor de:
a) lim vn
b) lim[vn × (vn - 2)]
c) lim
1
un - 2
1
1
un + 1 1 un = vn, 6 n ! IN porque un + 1 > un .
Logo, (vn) é decrescente. Como (un) é positiva, (vn) também é positiva.
Assim, 0 é um minorante de (vn) . Como (vn) é decrescente e minorada,
é também convergente.
19.1 Tem-se que vn + 1 =
335
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Avaliação global de conhecimentos
19.2 a) lim vn = lim
1
1
1
un = lim un = 2
b) lim6vn × (vn - 2)@ = lim vn × lim(vn - 2) =
1
1
3
× c - 2m = 2
2
4
1
1
1
c) lim
=
= - = -3
un - 2
lim (un - 2)
0
=
Observe-se que (un) é crescente; logo:
un < 2 & un - 2 < 0 e un " 2
20
Considere as sucessões:
2n -1
4
; vn = 2n3 - 10 ; wn =
e xn = 4 un =
3
1+ n
3n - 2
20.1Prove, utilizando a definição de limite, que:
a) un " 2
b) vn " +3
c) wn " 0
n +3
d) xn " -3
20.2Determine a ordem p a partir da qual se tem:
a) un - 2 < 0,01
b) wn ! V0,1(0)
20.3Calcule:
a) lim(unwn)
b) lim(vnwn)
c) lim
xn
n
20.1 a) Dado d > 0 , tem-se:
qun - 2u < d +
2n - 1
-2 <d+
1+n
2n - 1 - 2 - 2n
-3
<d+
< d + 3 < d(1 + n) +
1+n
1+n
3
3
+
<1+n+n>
-1
d
d
3
-1,
Assim, basta tomar para p ! IN o primeiro natural superior a
d
e tem-se que, para n H p , un pertence à vizinhança de 2 de raio d .
Conclui-se, assim, que un " 2 .
+
b) Dado L > 0 , tem-se:
3
L + 10
L + 10
+n>
2
2
Assim, basta tomar para p ! IN o primeiro natural superior
vn > L + 2n3 - 10 > L + n3 >
L + 10
, e tem-se todos os termos seguintes superiores a L .
2
Conclui-se, assim, que vn " +3 .
a
3
336
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Domínio 3 SUCESSÕES
c) Dado d > 0 , tem-se:
4
4
<d+
<d+
qwnu < d +
3
3
3n - 2
3n - 2
2
4
4
+ 4 < d(3n3 - 2) +
< 3n3 - 2 +
+
< n3 +
3
d
3d
3
4
2
+n>
+
3
3d
Assim, basta tomar para p ! IN o primeiro natural superior
4
2
e tem-se que, para n H p , wn pertence à vizinhança
+
3
3d
d de 0 .
a
3
Conclui-se, assim, que wn " 0 .
d) Dado L > 0 , tem-se:
xn < -L + -xn > L + -4 +
2
n+3>L+
n+3>L+4&
2
& n + 3 > L + 8L + 16 + n > L + 8L + 13
Assim, basta tomar para p ! IN o primeiro natural superior a
L2 + 8L + 13 , e tem-se todos os termos seguintes menores que -L .
Conclui-se, assim, que xn " -3 .
-3
2n - 1
- 2 < 0,01 +
< 0,01 +
1+n
1+n
2,99
< n + n > 299
+ 3 < 0,01 + 0,01n +
0,01
Logo, p = 300 .
4
< 0,1 + 4 < 0,3n3 - 0,2 +
b) wn ! V0,1(0) + qwnu < 0,1 +
3
3n - 2
4,2
3
+
< n3 + 14 < n
0,3
Logo, p = 3 .
20.2 a) qun - 2u < 0,01 +
20.3 a) lim(unwn) = 2 × 0 = 0
b) lim(vnwn) = lim<(2n 3 - 10)
4
8n 3 - 40
F
=
lim
=
3n 3 - 2
3n 3 - 2
n 3d 8 -
40
40
n
8- 3
n3
8
n
= lim
= lim
=
2
3
2
3- 3
n 3d 3 - 3 n
n
n
c) lim
xn
n
= lim
4-
4
n+3
= limf
n
n
3
1 + n p = -1
337
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Avaliação global de conhecimentos
21
Considere a sucessão definida por:
1- 4n
2
21.1Mostre que (an) é uma progressão aritmética e indique a razão.
an = 5 -
21.2A sucessão é limitada? Justifique a sua resposta.
21.3Prove, usando a definição de limite, que an " +3 .
21.4Calcule o valor de a20 + a21 + … + a30 .
21.5Determine:
a) lim(an)2
b) lim
a2 n - an
n
1 - 4 (n + 1)
1 - 4n
m=
- c5 2
2
1 - 4n - 4
1 - 4n
= +
=2
2
2
Logo, (an) é uma progressão aritmética de razão 2 .
21.1 an + 1 - an = 5 -
21.2 A sucessão não é limitada porque é uma progressão aritmética de razão
diferente de zero.
21.3 Dado L > 0 , tem-se:
1 - 4n
1 - 4n
>L+
< -L + 5 +
2
2
2L - 9
+ -4n < -2L + 9 + n >
4
Assim, basta tomar para p ! IN o primeiro natural superior
2L - 9
, e tem-se todos os termos seguintes superiores a L .
a
4
Conclui-se, assim, que an " +3 .
an > L + 5 -
a20 + a30
× 11 =
2
1 - 4 # 20
1 - 4 # 30
5+52
2
× 11 =
=
2
79
119
79
119
10 +
+
10 +
+
2
2
2
2
× 11 =
× 11 = 599,5
=
2
2
21.4 a20 + a21 + … + a30 =
21.5 a) lim(an)2 = (+3)2 = +3
a2n - an
b) lim
= lim
n
= lim
5-
1 - 8n
1 - 4n
m
- c5 2
2
=
n
4n
- 1 + 8n + 1 - 4n
= lim
=2
2n
2n
338
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Domínio 3 SUCESSÕES
22
Considere a sucessão:
bn = (-1)n - n
22.1Justifique que a sucessão (bn) é não monótona.
22.2Prove, utilizando a definição de limite, que bn " - 3 .
22.3Calcule:
a) lim(bn)2
b) lim
bn +1
bn
22.1 Tem-se que b1 = -2 , b2 = -1 e b3 = -4 . Logo, b1 < b2
e b2 > b3 . Portanto, (bn) é não monótona.
22.2Tem-se que (-1)n - n G 1 - n . Assim, dado L > 0 , 1 - n < -L +
+ n > L + 1 . Logo, tomando p H L + 1 natural, vem n H p & un < -L .
Portanto, bn " -3 .
22.3 a) lim(bn)2 = (-3)2 = +3
(- 1)n + 1 + n + 1
bn + 1
b) lim
= lim
=
bn
(- 1)n + n
= lim
nd
(-1)n + 1
1
+1+ n n
n
nd
(-1)
+ 1n
n
n
=
0+1+0
=1
0+1
23
Calcule o limite das sucessões cujo termo geral se indica, identificando
as indeterminações encontradas:
3n - 1
a) an =
g) gn = n 2 + 2 - n
1 - 2n
b) bn =
n2 + 2
3+ n
h) hn =
c) cn =
n 3 + 2n
n2 + n +1
i) in = 3n - 4 × 22n
d) dn =
e) en =
f) f n =
4n + 1
2+n
1 - 4n
2
n +5
n+3
n+
n2 +1
j) jn =
3n - 4
1 - 3 n +1
n - sin n
n2 + 2
k) kn = 4-n(3n - 2)
2
cos n
n + n2
l) ln =
2
3
- n
2
n
339
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Avaliação global de conhecimentos
1
n c3 - n m
3n - 1
3
a) lim an = lim
= lim
=aIndeterminação 3
3 k
1 - 2n
2
1
nc n - 2m
2
b) lim bn = lim
n +2
= lim
3+ n
aIndeterminação 3
3 k
n 2 d1 +
2
n
n2
= lim
3
n c n + 1m
>
1+
2
n2
3
n +1
H = lim n = +3
2
n
n2
n + 2n
n3
c) lim cn = lim 2
= lim
= lim 2 = lim n = +3
n + n +1
n
1
1
n 2 d1 + n + 2 n
n
k
aIndeterminação 3
3
1
nc 4 + n m
4
4n + 1
d) lim dn = lim
= lim
=
=2
1
2+n
2
n c n + 1m
3
aIndeterminação 3 k
1
nc n - 4m
-4
1 - 4n
e) lim en = lim
= lim
=
= -4
2
5
1
n +5
n 1+ 2
n
3
aIndeterminação 3 k
1
n c1 + n m
n+3
f) lim f n = lim
= lim
=
1
1
n + n2 + 1
o
ne
n + 1 + n2
1
=
= 1 aIndeterminação 3
3 k
0 + 1+0
_ n + 2 - n i_ n + 2 + n i
g) lim gn = lim_ n + 2 - n i = lim
=
n+2 + n
n+2-n
2
=
= 0 ^Indeterminação +3 + (-3) h
= lim
+
3
+3
n+2 + n
3
n
h) lim hn = lim
3 -4
= lim
1 - 3n+1
aIndeterminação 3
3 k
n 3d1 +
3 n d1 3 nd
4
n
3n
1
- 3n
3n
=
1
1
=-3
3
i) lim in = lim(3n - 4 × 22n) = lim(3n - 4n + 1) = lim >4 n e c
= +3(0 - 4) = -3 ^Indeterminação +3 + (-3) h
3 n
m - 4 oH =
4
340
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01/07/16 13:42
Domínio 3 SUCESSÕES
n - sin n
n
sin n
n=
- 2
= lim d 2
2
n +2
n +2
n +2
j) lim jn = lim
= lim
f
1
n
2
1+ 2
n
- sin n #
1
n
Tem-se que lim
2
1+ 2
n
=
1
n +2
2
p
1
0
= 0 , lim 2
= 0 e sin n é limitada.
1
n +2
Logo:
lim
1
n
f
2
n2
1+
- sin n #
aIndeterminação 3
3 k
k) lim kn = lim^4-n(3n - 2)h = lim
= lim =c
p
1
=0-0=0
n +2
2
3n
2
3n - 2
= lim d n - n n =
n
4
4
4
3 n
2
2
m - nG=0= 0 (Indeterminação 0 × 3)
4
4
+3
2
cos n
2n + cos n
n + n2
n2
l) lim ln = lim
= lim
=
2
3
2 - 3n
n
n2
n2
= lim
= lim
2n
cos n
2n + cos n
n=
= lim d
+
2 - 3n
2 - 3n
2 - 3n
f 2
2
+ cos n #
n -3
Tem-se que lim
2
2
n -3
1
2 - 3n
=-
p
2
1
, lim
= 0 e cos n é limitada.
3
2 - 3n
Logo:
f 2
lim
2
+ cos n #
n -3
aIndeterminação
2
2
1
=- +0=3
3
2 - 3n p
0
k
0
341
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Avaliação global de conhecimentos
24
Considere a sucessão (un) cujos primeiros termos são:
2, 20, 200, …
24.1Escreva o termo geral de (un) admitindo que se trata de uma progressão
geométrica.
24.2Justifique que un " +3 .
24.3Determine a soma:
20 000 + 200 000 + … + 20 000 000 000
200
= 10 , (un) é uma progressão geométrica de razão 10
20
e de 1.o termo 2 . Portanto, tem-se un = 2 × 10n - 1 .
24.1 Como
24.2 Como (un) é uma progressão geométrica de primeiro termo positivo
e de razão maior do que 1 , un " +3 .
24.3 2 × 104 + 2 × 105 + … + 2 × 1010 = u5 + u6 + … + u11 =
= 2 × 104 ×
1 - 10 7
= 22 222 220 000
1 - 10
25
Em janeiro de 2010 o André decidiu começar
uma poupança, depositando no banco
1000 euros. No mês seguinte pôs menos
10 % do que tinha posto no mês anterior
e assim sucessivamente.
25.1Justifique que o dinheiro que o André
deposita no banco, em cada mês,
é dado pela sucessão (bn) definida por:
*
b1 =1000
bn +1 = 0,9#bn, 6n ! IN
25.2Determine um termo geral de (bn) e indique o dinheiro que foi colocado
no banco em março de 2012.
25.3Para p ! IN , determine uma expressão algébrica para a soma Sp
dos p primeiros termos desta sucessão.
25.4Determine lim Sn e interprete o valor obtido no contexto da situação
apresentada.
342
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Domínio 3 SUCESSÕES
25.1 O primeiro depósito é de 1000 € ; logo, b1 = 1000 .
Como em cada mês o André deposita menos 10 % do que no mês
anterior, significa que deposita 90 % do que depositou no mês anterior.
Portanto:
bn + 1 = 0,9 × bn, 6 n ! IN
25.2A sucessão (bn) é uma progressão geométrica de razão 0,90
e de 1.o termo 1000 .
Logo, bn = 1000 × 0,9n - 1 . Assim, em março de 2012, o 27.o mês,
depositou:
b27 = 1000 × 0,926 á 64,61 €
1 - 0,9 p
= 10 000 × (1 - 0,9p)
1 - 0,9
25.3
Sp = 1000 ×
25.4lim Sn = lim^10 000 × (1 - 0,9n)h = 10 000 × (1 - 0) = 10 000
Como (Sn) é crescente, é majorada por 10 000 . Qualquer que seja
a duração da poupança do André, o valor acumulado nunca ultrapassará
os 10 000 € .
26
A soma, Sn , dos n primeiros termos da sucessão (vn) é dada por:
Sn = 2n2, 6n ! IN
26.1Justifique que (vn) é uma progressão aritmética de razão 4 .
26.2Determine um termo geral de vn .
26.3Calcule lim
Sn
.
(vn)2
26.1 Tem-se que 6n ! IN :
vn = Sn - Sn - 1 = 2n2 - 2(n - 1)2 =
= 2n2 - 2n2 + 4n - 2 = 4n - 2
que é uma progressão aritmética de razão 4 .
26.2
vn = 4n - 2
26.3lim
Sn
2n 2
2n 2
= lim
= lim
=
2
2
2
(4n - 2)
16n - 16n + 4
(vn)
= lim
2n 2
2
n 2c 4 - n m
2
=
1
2
=
8
16
343
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Avaliação global de conhecimentos
27
Considere a sucessão de triângulos isósceles, de altura h , em que a base
do primeiro triângulo mede 8 , a do segundo mede 4 , a do terceiro 2 ,
e assim sucessivamente.
8
4
2
1 0,5
27.1Prove que a sucessão das áreas dos triângulos (an) tem de termo geral:
an = h × 23 - n
u3p78h2
13
27.2Determine h se a8 =
.
80
27.3Sabendo que h = 16 , determine a soma de todas as áreas dos triângulos,
ou seja, lim Sn , em que Sn é a soma das áreas dos n primeiros triângulos.
27.1 O comprimento de cada base é uma progressão geométrica (bn)
1
. Assim:
2
de primeiro termo 8 e razão
an =
h # bn
=
2
1-n
= h × 4 × 2
27.2 a8 =
h#8#c
2
1 n-1
m
2
=h×4×c
1 n-1
m =
2
= h × 23 - n
416
13
13
+ h × 23 - 8 =
+h=
+ h = 5,2
80
80
80
27.3 Por 27.1, tem-se que an = 16 × 23 - n , progressão geométrica
de razão
Então:
1
e de primeiro termo 64 . Logo:
2
1 n
1-c m
2
1 n
= 128 × e1 - c m o
Sn = 64 ×
2
1
12
lim Sn = lim >128 # e1 - c
1 n
1 n
m oH = 128 lim =1 - c m G =
2
2
= 128 × 1 = 128
344
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Domínio 3 SUCESSÕES
28
Considere a sucessão (un) definida por:
u1 = 2
*
3 + un
, 6n ! IN
2
28.1Recorrendo ao princípio de indução matemática, justifique que todos
os termos de (un) são positivos e prove que (un) é monótona decrescente.
un + 1 =
28.2Justifique que (un) é convergente.
28.3Determine lim un .
28.1 Pretende-se provar que 6n ! IN, un + 1 < un .
3+ 2
5
=
< 2 = u1 , que é verdade.
2
2
Hipótese: Para um certo n ! IN , un + 1 < un .
Para n = 1 , tem-se u2 =
Tese: un + 2 < un + 1
Demonstração:
3 + un + 1
2
un + 2 =
Por hipótese, obtém-se:
3 + un
= un + 1
2
Portanto, pelo princípio de indução, 6n ! IN, un + 1 < un .
un + 2 <
3 + u1
> 0 . Facilmente se observa que,
2
usando o princípio de indução, se obtém todos os termos de (un) positivos.
Assim, 0 é um minorante de (un) . Como (un) é decrescente e minorada,
implica que é também convergente.
28.2Como u1 > 0 , tem-se que
3 + un
2
Como lim un + 1 = lim un , vem:
28.3lim un + 1 = lim
lim un = lim
3 + un
+ 2 lim un = lim 3 + un +
2
+ 2 lim un =
3 + lim un & 4(lim un)2 = 3 + lim un +
+ 4(lim un)2 - lim un - 3 = 0 + lim un =
1!
1+4#4#3
+
8
1!7
3
+ lim un = 1 0 lim un = 8
4
Verificando as soluções:
+ lim un =
• 2 × 1 =
3 + 1 ; logo, 1 é solução da equação inicial.
3
3
• 2 × c- m = - !
4
2
3-
3
3
; logo, - não é solução da equação.
4
4
345
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preparação para o teste 7
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 7
I
Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Considere a sucessão (un) definida pelo termo geral:
un = 10 - q3 - nu
Indique a afirmação verdadeira:
(A) un " +3
(B) (un) tem exatamente 13 termos positivos.
(C) (un) é monótona.
(D) 10 é um majorante de (un) .
7 + n se n 1 3
Pode-se escrever un = )
. Então:
13 - n se n H 3
(A)Falsa. Para n H 3 , lim un = -3 ; e para n < 3 , lim un = +3 .
(B)Falsa.
7 + n > 0 / n < 3 + -7 < n < 3 + n ! {1, 2}
13 - n > 0 / n H 3 + 3 G n < 13 + n ! {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Assim, (un) tem exatamente 12 termos positivos.
(C)Falsa. Para n < 3 , (un) é crescente, mas para n H 3 , (un) é decrescente;
logo, (un) não é monótona.
(D)Verdadeira. Tem-se un = 10 - 3 - n
majorante de (un) .
1
3- n 20
10 ; logo, 10 é um
A opção correta é a (D).
2
O limite da sucessão de termo geral vn =
(A) -3
(B) -2
n+1
lim
2-3
= lim
3n - 1
3 nd
(C)
2
- 3n
3n
3 n d1 -
1
n
3n
=-
2 - 3 n +1
é:
3 n -1
2
3
(D) 3
3
= -3
1
A opção correta é a (A).
346
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Domínio 3 SUCESSÕES
3
Nas figuras seguintes, estão representados os três termos de uma sucessão.
D
C
D
C
D
C
A
B
A
B
A
B
O 1.o termo é um quadrado azul com 1 cm de lado. Em cada termo seguinte
cada quadrado é dividido em quatro
quadrados congruentes, com dois deles
u3p82h1
coloridos de azul.
Considere a sucessão das áreas dos quadrados azuis em cada figura.
A área total de todos os quadrados azuis nesta sucessão é:
3
3
(A) 1
(B)
(C)
(D) 2
2
4
Seja (an) a sucessão das áreas dos quadrados azuis em cada figura.
Então, tem-se que an = 1 × c
1 n-1
m . Logo:
2
1-c
1 n
m
2
1 n
Sn = 1 ×
= 2 × e1 - c m o
2
1
12
Assim:
lim Sn = lim >2 # e1 - c
1 n
1 n
m oH = 2 lim =1 - c m G = 2
2
2
A opção correta é a (D).
4
Para p ! IR , considere, num referencial o.n. Oxyz :
• o plano a definido pela equação x + y + z = 20 ;
• a reta r de equação (x, y, z) = (1, 0, -4) + k(2, 2, p), k ! IR .
O valor de p para o qual a reta r é paralela ao plano a é:
(A) -4
(C) 1
(B) -2
(D) 2
(1, 1, 1) $ (2, 2, p) = 0 + 4 + p = 0 + p = -4
A opção correta é a (A).
347
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preparação para o teste 7
5
Considere o triângulo [ABC]
representado na figura.
B
2
Sabe-se que:
• AB = 2
WB = 30°
• AC
WC .
Seja a = BA
A
h
a
30º
C
Qual das expressões seguintes representa BC em função de a ?
(A) 4 sin a
(C) 4 cos a u3p82h2
(B) 6 sin a
(D) 6 cos a
Teste Intermédio do 11.o ano, 2012
h = 2 sin a e sin 30° =
A opção correta é a (A).
2 sin a
h
+ BC =
= 4 sin a
1
BC
2
II
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
1
Considere as sucessões (un) e (vn) definidas, respetivamente, por:
v1 = 2
1- 3n
e *
un =
1
2n -11
vn +1 =1+ v , 6n ! IN
n
1.1 Prove que (un) não é monótona.
3
1.2 Prove, usando a definição de limite, que lim un = e justifique que
2
(un) é limitada.
1.3 A figura ao lado é ilustrativa
dos termos da sucessão (vn) .
241
342
Sabendo que (vn) é monótona
e limitada, calcule o valor para o qual tende
o quociente entre o lado maior e o lado menor
dos retângulos assim formados.
543
845
5
1- 3
2
1 - 3# 2
=
, u2 =
=
e
7
2 - 11
9
2 # 2 - 11
u3p83h1
1 - 3# 6
u6 =
= -17 , tem-se que u1 < u2 mas u2 > u6 .
2 # 6 - 11
Logo, (un) não é monótona.
1.1 Como u1 =
348
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Domínio 3 SUCESSÕES
1.2 Dado d > 0 , sempre que 4n - 22 > 0 , tem-se que:
3
1 - 3n
3
<d+
<d+
+
2
2n - 11
2
2 - 6n + 6n - 33
- 31
+
<d+
< d + 31 < d(4n - 22) +
4n - 22
4n - 22
nH6
11
31
31
+
< 4n - 22 + n >
+
2
d
4d
Assim, basta tomar para ordem p o primeiro natural superior a
11
31
+
e a 6 e, assim, tem-se que todos os termos seguintes, un ,
2
4d
3
e de raio d .
com n H p , pertencem à vizinhança de 2
3
Conclui-se que un " - .
2
Como toda a sucessão convergente é limitada, (un) é limitada.
un +
1.3 Como (vn) é monótona e limitada, existe lim vn e é finito.
1
Tem-se que lim vn + 1 = limd1 + v n . Como lim vn + 1 = lim vn , vem:
n
1
1
lim vn = limd1 + v n + lim vn = 1 +
+
lim
vn
n
+ (lim vn)2 = lim vn + 1 + (lim vn)2 - lim vn - 1 = 0 +
1! 5
1+4
+ lim vn =
2
2
1+ 5
(número de ouro).
Como (vn) é positiva, lim vn =
2
+ lim vn =
1!
2
Dada uma progressão aritmética (wn) , sabe-se que w6 = 5 e w14 = 9 .
2.1Determine uma expressão simplificada do termo geral de (wn) .
2.2Calcule a soma de todos os 30 termos consecutivos a partir do 10.o
termo, inclusive.
2.3Calcule:
a) lim
wn +1
wn
2.1 w14 = w6 + 8r + 9 = 5 + 8r + r =
b) lim `
w2n - wn j
1
2
1
5
5
+ 5 = w1 + + w1 =
2
2
2
1
5
n
Logo, wn = + (n - 1) × =
+2.
2
2
2
10
29
+ 2#
+2
w10 + w29
2
2
2.2 S =
× 30 =
× 30 = 352,5
2
2
w6 = w1 + 5 ×
349
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preparação para o teste 7
wn + 1
2.3 a) lim
wn = lim
b) lim ` w2n -
n +1
+2
n+5
2
= lim
= lim
n
n+4
+2
2
wn j =
= lim d n + 2 -
= lim
f
n
+ 2 n = lim
2
n
2
n+2 +
n
+2
2
5
n +1
=1
4
1
+
n
n+2-c
n
- 2m
2
n
n+2 +
+2
2
f
p=
1
2
p = limf
1
2
n + n2 +
1
2
+ 2
2n
n
p=
1
2
= + = +3
0
3
O Sr. Silva possui 10 depósitos para armazenar
água. Sabe-se que o depósito com menor
capacidade permite armazenar 1000 litros
de água, o segundo 1500 litros, o terceiro
2250 litros, e assim sucessivamente.
Determine qual é a capacidade máxima de água que o Sr. Silva consegue
armazenar nos seus depósitos.
Apresente o resultado arredondado à unidade de litro.
Seja (un) a sucessão da capacidade, em litros, de cada depósito.
Tem-se que (un) é uma progressão geométrica de razão 1,5 e de 1.o termo 1000 .
Logo, un = 1000 × 1,5n - 1 e S10 = 1000 ×
1 - 1,5 10
á 113 330 L .
1 - 1,5
4
Para x ! IR\{0} , considere, num referencial o.n. xOy , os vetores u(1, 1)
e v^x, x2h .
r
4.1Supondo que _u T v i =
, determine o valor exato de x .
3
4.2Prove, usando o método de indução, que 6x ! IN , u $ v é par.
350
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Domínio 3 SUCESSÕES
v cos_u T v i + x + x2 =
4.1 u $ v = u
r
+
3
2x 2 + 2x 4 & 4x2 + 8x3 + 4x4 = 2x2 + 2x4 +
+ 2x + 2x2 =
2 x 2 + x 4 cos
+ 2x2 + 8x3 + 2x4 = 0 + 2x2(1 + 4x + x2) = 0 +
-4 !
+ 2x2 = 0 0 1 + 4x + x2 = 0 + x = 0 0 x =
+
x ! IR\{0}
x = 0 0 x = -2 +
3 0 x = -2 -
16 - 4
+
2
3
Verificação:
Para x = -2 +
2_-2 +
3 , tem-se:
3 i + 2_-2 +
3i =
2
2 _-2 +
+ -4 + 2 3 + 2_4 - 4 3 + 3i =
=
3 i + 2 _-2 +
2
3i +
4
2 _4 - 4 3 + 3i + 2 _4 - 4 3 + 3i_4 - 4 3 + 3i +
+ 10 - 6 3 = 14 - 8 3 + 2 _49 - 56 3 + 48i +
+ 10 - 6 3 =
208 - 120 3
Proposição falsa. Logo, -2 +
Para x = -2 2_-2 -
3 não é solução da equação inicial.
3 , tem-se:
3 i + 2_-2 -
3i =
2
2 _-2 -
+ -4 - 2 3 + 2_4 + 4 3 + 3i =
=
3 i + 2 _-2 2
3i +
4
2 _4 + 4 3 + 3i + 2 _4 + 4 3 + 3i_4 + 4 3 + 3i +
+ 10 + 6 3 = 14 + 8 3 + 2 _49 + 56 3 + 48i +
+ 10 + 6 3 =
208 + 120 3
+ 100 + 120 3 + 108 = 208 + 120 3 +
+ 100 + 108 = 208
Logo, -2 -
3 é o valor de x .
4.2 Para x = 1 , tem-se u $ v = 1 + 1 = 2 , que é verdade.
Hipótese: Para um certo x ! IN , x + x2 é par.
Tese: x + 1 + (x + 1)2 é par
Demonstração:
x + 1 + (x + 1)2 = x + 1 + x2 + 2x + 1 = (x + x2) + 2x + 2
Por hipótese, x + x2 é par; logo, x + 1 + (x + 1)2 é par porque
é a soma de números pares.
Portanto, pelo princípio de indução, 6x ! IN, x + x2 é par, ou seja,
6x ! IN, u $ v é par.
351
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12
UNIDADE
LIMITES DE FUNÇÕES
REAIS DE VARIÁVEL REAL
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
12.1 Limites segundo Heine de funções reais de variável real
1
Indique o conjunto dos pontos aderentes aos seguintes conjuntos:
a) A = IR\{1}
b) B = {1, 2, 3}
c)Z (conjunto dos números inteiros relativos)
d) C = 'un: un =
2n + 1
1
n , n ! IN
e) IR\ Z
a)IR
b){1, 2, 3}
c)Z
1
n " 2 , tem-se que o conjunto dos pontos aderentes
é o conjunto dos termos (un) e o ponto 2 , ou seja, C , {2} .
d)Como 2 +
e)IR
2
Considere f , a função real de variável real, definida por:
f(x) = -3x2
Utilize a definição de limite de uma função para calcular os seguintes limites:
a) lim f(x)
x"5
b) lim
x"0
1
f (x)
a)Seja (xn) uma sucessão de termos diferentes de 5 , convergente para 5 .
Então:
lim f(xn) = lim (-3xn2) = -3 × lim (xn)2 = -3 × 52 = -75
x"5
x"5
x"5
Portanto, como (xn) pode ser qualquer, tem-se lim f(x) = -75 .
x"5
352
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
12
b)Seja (xn) uma sucessão de termos diferentes de 0 , convergente para 0 .
Então:
1
1
1
1
= lim
=
= - = -3
2
2
f (x)
0
x " 0 -3xn
-3 # lim (xn)
lim
x"0
x"0
Portanto, como (xn) pode ser qualquer, tem-se lim
x"0
1
= -3 .
f (x)
12.2 Limites laterais
3
Considere g a função real de variável real definida por:
5x - 1 se x H 0
g(x) = * 2
se x 1 0
x
Determine lim g(x) e lim g(x) e conclua se existe lim g(x) .
x"0
+
x " 0-
x"0
lim g(x) = lim (5x - 1) = 5 × 0 - 1 = -1
x"0
+
x"0
+
2
2
lim g(x) = lim x = - = -3
0
x"0
x"0
-
-
Como -1 ! -3 , não existe lim g(x) .
x"0
4
Sejam f uma função real de variável real e a ! IR um ponto aderente a Df .
Justifique que:
Se lim f(x) ! lim f(x) , então, não existe lim f(x)
x " a+
x " a-
x"a
Basta aplicar o contrarrecíproco. Se existir limite, então, este é único
e os limites laterais são iguais.
5
Considere a função g de domínio IR\{2} definida por g(x) =
4x
.
x-2
Averigue se existe lim g(x) .
x"2
lim g(x) = lim
x"2
-
x"2
-
4x
8
= - = -3
x-2
0
4x
8
= + = +3
x-2
x"2
x"2
0
Como -3 ! +3 , não existe lim g(x) .
lim g(x) = lim
+
+
x"2
353
000707 352-377 U12.indd 353
01/07/16 13:43
LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
6
y
5
Na figura está representada em referencial
cartesiano parte do gráfico da função real
de variável real f definida por:
f
2x - 1 se x 1 3
f(x) = )
8 - x se x 2 3
O
6.1Prove que lim f(x) = 5 .
3
x
x"3
6.2Considere agora um número real k e a função g de domínio IR definida por:
f (x) se x ! 3
g(x) = )
k
se x = 3
u4p91h1
Indique, justificando, o valor de k para o qual existe lim g(x) .
x"3
6.1lim- f(x) = lim-(2x - 1) = 2 × 3 - 1 = 5
x"3
x"3
lim f(x) = lim (8 - x) = 8 - 3 = 5
x"3
+
x"3
+
Como lim f(x) = lim f(x) = 5 , lim f(x) = 5 .
x"3
-
x"3
+
x"3
6.2
k terá de assumir o valor 5 , de modo que:
lim g(x) = lim f(x) = lim f(x)
x"3
x"3
-
x"3
+
7
Considere uma função real de variável real f tal que:
lim f(x) = b
x " a-
Indique, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente
verdadeiras.
a)Se Df = ]-3, a[ , então, lim f(x) = b .
x"a
b)Se Df = ]-3, a] , então, lim f(x) = b .
x"a
c)Se lim f(x) = b existe, então, lim f|]a, +3[ (x) = b .
x"a
x"a
a)As alíneas a) e c) são necessariamente verdadeiras.
Para a alínea a):
Tem-se lim f(x) = lim f |]-3, a[ (x) = b . Como Df = ]-3, a[ ,
x " a-
x"a
lim f|]-3, a[ (x) = lim f(x) = b .
x"a
x"a
Para a alínea c):
Tem-se lim f(x) = b e lim f(x) = b , então, isto só acontece se
x " a-
x"a
lim f(x) = b , ou seja, se lim f |]a, +3[ (x) = b .
x " a+
x"a
354
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
12.3 Limites no infinito
12
8
Considere a função f definida por:
2x - 1
x2
8.1Determine lim f(x) e lim f(x) .
f(x) =
x " +3
x " -3
8.2Justifique que existe lim f(x) .
x"0
8.1
lim f(x) = lim
x " +3
x " +3
2x - 1
= lim
x " +3
x2
2-0
=0
+3
=
2x - 1
lim f(x) = lim
= lim
x " -3
x " -3
x " -3
x2
2-0
= -3 = 0
8.2 limx"0
1
1
xc2 - x m
2- x
= lim
=
x
x " +3
x2
1
1
xc2 - x m
2- x
= lim
=
x
x " -3
x2
2x - 1
2x - 1
0-1
0-1
=
= -3 e lim
=
= -3
2
2
+
x
"
0
x
x
0
0+
+
Como lim f(x) = lim f(x) , existe limite de f(x) quando x tende para 0 .
x " 0-
x"0
+
9
Na figura está representada parte do gráfico de uma função g de domínio IR ,
cuja restrição a [-2, +3[ é uma função quadrática.
9.1De acordo com os dados da figura, indique:
y
a) lim g(x)
x "- 3
b) lim g(x)
3
1
x " +3
9.2Justifique que não existe lim g(x) .
x "- 2
23 22
O
9.3Dê exemplo de uma sucessão (un) tal que:
a) lim g(un) = -5
3 x
25
29
b) lim g(un) = 0
9.1 a) lim g(x) = 3
x "- 3
u4p92h2
b) lim g(x) = +3
x " +3
9.2 Como
lim g(x) = 1 ! -5 = lim g(x) , não existe lim g(x) .
x "- 2-
x "- 2+
x "- 2
1
9.3 a)Por exemplo, un = -2 +
n , pois lim un = -2 e g(-2) = -5 .
1
b)Por exemplo, un = 3 + 2 , pois lim un = 3 e g(3) = 0 .
n
355
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LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
12.4 Álgebra de limites de uma função
10
Determine:
a) lim (2x4 - 3x + 10)
b) lim
x"2
x "- 1
4x 3 - 3x
-x4 + 3
c) lim
x"0
x2 + 1
(x + 1)2
a) lim (2x4 - 3x + 10) = lim (2x4) + lim (-3x) + lim 10 =
x"2
x"2
x"2
x"2
= 2 ` lim x j - 3 lim x + 10 = 2 - 3 × 2 + 10 = 36
4
5
x"2
x"2
4 ` lim x j - 3 lim x
lim (4x 3 - 3x)
4x 3 - 3x
x "-1
x "-1
x "-1
b) lim
=
=
=
4
4
x "- 1 - x 4 + 3
lim (- x + 3)
-` lim x j + lim 3
x "-1
3
x "-1
4 # (-1) - 3 # (-1)
1
==
2
- (1) + 3
1
1
2
2
x "-1
lim (x 2 + 1) 2
(x + 1)
x2 + 1
x"0
= lim
=
=
2
2
x"0
lim (x + 1)2
(x + 1)
(x + 1)
x"0
c) lim
x"0
1
:` lim x j + lim 1D 2
2
=
x"0
1
3
(0 + 1) 2
2 = 1
1
=
=
(0 + 1)2
x"0
x + lim 1k
a lim
x"0
x"0
2
11
Determine:
3 - 4x
a) lim
x"0
x2
x+1
b) lim
x-2
x"2
4
3
x
x"3
- 2x
d) lim
x "- 3
x2 - 9
c) lim+
x"0
1
3 - 4x
= lim d 2 n × lim (3 - 4x) = +3 × 3 = +3
x"0 x
x"0
x2
b) limx"2
c) lim+
x"3
lim x + lim 1
3
x+1
x"2
x"2
=
= - = -3
x-2
lim x - lim 2
0
x "- 3
-
-
x " 2-
x " 2-
lim 4
4
4
x"3
= - = -3
=
3-x
3 - lim x
0
d) lim -
+
x " 3+
- 2 lim x
- 2x
6
x "-3
=
= + = +3
2
x2 - 9
0
x j - lim 9
` x "lim
-3
x "-3
-
-
e) lim
x " -3
-1
x
-
-
a) lim
e) lim
x " -3
-
-1
-1
-1
x = lim x = -3 = 0
356
000707 352-377 U12.indd 356
x " -3
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
12
12
y
Na figura ao lado estão representadas partes
dos gráficos de duas funções polinomiais,
f e g , de graus 4 e 1 , respetivamente.
f
A função f tem dois zeros, -2 e 2 , e g tem
um único zero, 0 .
Sabe-se ainda que:
1
O 1
22
x
2
g
f(1) = g(1) = 1
Determine, caso existam, os limites seguintes:
a) lim
f (x)
g (x)
d) lim _ f (x) + g (xu4p94h1
)i
b) lim
g (x)
f (x)
e) lim _ f (x) # g (x)i
c) lim
g (x)
f (x)
f) lim
a) lim
lim f (x)
f (x)
1
x"1
=
= =1
g (x)
1
lim g (x)
x"1
x"0
x"2
x"1
b) lim
x"0
c) lim
x"2
x " +3
x " -3
x"0
f (x)
g (x)
x"1
lim g (x)
g (x)
0
x"0
=
= a = 0 , com a ! IR+
f (x)
lim f (x)
x"0
lim g (x)
g (x)
2
x"2
=
= + = +3
f (x)
lim f (x)
0
x"2
d) lim _ f (x) + g (x)i = lim f(x) + lim g(x) =
x " +3
x " +3
x " +3
= +3 + (+3) = +3
e) lim _ f (x) # g (x)i = lim f(x) × lim g(x) =
x " -3
x " -3
x " -3
= +3 × (-3) = -3
f) lim
x"0
lim f (x)
f (x)
a
x"0
=
, com a ! IR+
=
g (x)
0
lim g (x)
x"0
Como lim
x"0
+
f (x)
f (x)
f (x)
= +3 ! -3 = lim
, não existe lim
.
g (x)
x " 0 g (x)
x " 0 g (x)
-
357
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01/07/16 13:43
LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Considere um conjunto D , as funções f: D " IR e g: D " IR , um ponto a
aderente a D e uma sucessão (xn) , qualquer, de elementos de D , convergente
para a .
Tarefa 1
Admita que:
• lim f(x) = 0
x"a
• existem A, B ! IR tais que 6x ! D, A G g(x) G B .
1.1 Justifique que:
a) a sucessão de termo geral f(xn) tem limite 0 .
b) a sucessão de termo geral g(xn) é limitada.
c) lim[ f(xn) ◊ g(xn)] = 0
1.2 Conclua que lim [ f(x) ◊ g(x)] = 0 .
x"a
1.1 a) Como xn " a e lim f(x) = 0 , por definição, lim f(xn) = 0 .
x"a
b) 6 n ! IN, A G g(xn) G B , então, g(x) é limitada.
c) lim[ f (xn) ◊ g(xn)] = 0 , pois lim f(xn) = 0 e g(xn) é limitada.
1.2 Como (xn) é qualquer, tem-se por definição de limite o pretendido.
Tarefa 2
Considere as funções f e g , reais de variável real, definidas, respetivamente, por:
x + 1 se x H 1
f(x) = x2 - x e g(x) = )
1 + 2x se x 1 1
2.1
Calcule lim f(x) .
2.2
Calcule lim g(x) e lim g(x) .
2.3
Conclua que não existe lim g(x) .
2.4
Justifique que lim[ f(x) ◊ g(x)] = 0 .
x"1
x " 1-
x " 1+
x"1
x"1
2.1 lim f(x) = 0
x"1
2.2 lim- g(x) = 3 e lim+ g(x) = 2
x"1
x"1
2.3 Não existe lim g(x) porque os limites laterais são diferentes.
x"1
2.4 lim- [ f(x)
x"1
◊ g(x)] = 0 × 3 = 0
lim [ f (x) ◊ g(x)] = 0 × 2 = 0
x " 1+
Como f(1) ◊ g(1) = 0 e os limites laterais são iguais a 0 ,
lim [ f(x) ◊ g(x)] = 0 .
x"1
358
000707 352-377 U12.indd 358
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
13
12
Considere as funções f e g de domínio [1, 5] , representadas graficamente
nas figuras seguintes, e a função h de domínio IR definida por h(x) = x2 - 9 .
y
8
7
6
y
8
f
g
4
4
O
1
5 x
O
1
3
5 x
Determine, justificando:
a) lim [ f(x) ◊ h(x)]
x"3
u4p95h2
u4p95h1
b) lim [g(x) ◊ h(x)]
x"3
a) lim [ f(x) × h(x)] = a × 0 = 0 , com a ! IR+
x"3
f(3) × h(3) = a × 0 = 0
Então, lim [ f (x) × h(x)] = 0 .
x"3
b) lim- [g(x) × h(x)] = 6 × 0 = 0
x"3
lim [g(x) × h(x)] = 7 × 0 = 0
x " 3+
g(3) × h(3) = 6 × 0 = 0
Então, lim [g(x) × h(x)] = 0 .
x"3
12.5 Limite da função composta
14
Considere as funções f e g definidas, respetivamente, por:
f(x) = x2 + 5
g(x) =
2
x-9
Determine:
a) Dg % f
b) lim (g % f )(x)
x"4
c) lim (g % f )(x)
x"2
359
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LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
a) Dg % f = {x ! Df : f (x) ! Dg} = "x ! IR: f (x) ! IR\{9}, =
= {x ! IR: x2 + 5 ! 9} = {x ! IR: x2 ! 4} = IR\{-2, 2}
b) Como lim f(x) = lim (x2 + 5) = 21 , então:
x"4
x"4
lim g(x) = lim d
x " 21
x " 21
2
1
n=
x-9
6
1
.
6
c) lim f(x) = lim (x2 + 5) = 9- e lim f(x) = lim (x2 + 5) = 9+
Portanto, lim (g % f )(x) =
x"4
x " 2-
x " 2-
x " 2+
x " 2+
Por outro lado:
lim g(x) = lim d
2
2
n = - = -3
x-9
0
2
2
n = + = +3
lim g(x) = lim d
x-9
x"9
x"9
0
Como lim g(x) = +3 ! -3 = lim g(x) , não existe lim (g % f )(x) .
x " 9-
x " 9-
+
+
x " 9+
x " 9-
x"2
15
Considere as funções f e g de domínio IR tais que:
• f(x) = 3x - 5
• lim g(x) = 4
• lim g(x) = 3
x"1
x "-2
Determine:
a) lim(f % g)(x)
x"1
b) lim(g % f)(x)
x"1
a) Como lim g(x) = 4 e lim f (x) = lim (3x - 5) = 3 × 4 - 5 = 7 ,
x"1
x"4
x"4
tem-se que lim (f % g)(x) = 7 .
x"1
b) Como lim f(x) = lim(3x - 5) = 3 × 1 - 5 = -2 e lim g(x) = 3 ,
x"1
x"1
x "-2
tem-se que lim (g % f)(x) = 3 .
x"1
16
Sejam f e g duas funções reais de variável real de domínio IR .
Sabe-se que:
• lim f(x) = 1
• lim f(x) = -1
x " 2+
• g(x) = |x| + 2
x " 2-
Determine lim (g % f)(x) .
x"2
Tem-se que lim f (x) = -1 e lim g(x) = lim ^|x| + 2h = |-1| + 2 = 3 .
x " 2-
x "-1
x "-1
Por outro lado, lim f(x) = 1 e lim g(x) = lim^|x| + 2h = |1| + 2 = 3 .
x " 2+
x"1
x"1
Portanto, lim (g % f)(x) = 3 .
x"2
360
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
12.6 Levantamento algébrico de indeterminações
12
17
Determine:
a) lim (3x4 - x2 + 1)
x"2
b) lim
x "-1
2x - 3
x2 - 5
a) lim (3x4 - x2 + 1) = 3 × 24 - 22 + 1 = 48 - 4 + 1 = 45
x"2
2 # (-1) - 3
2x - 3
-5
5
=
=
=
2
2
4
4
x "-1 x - 5
(-1) - 5
b) lim
18
Determine:
a) lim (x3 - 3x2)
x " +3
b) lim (1 - 3x3 + 5x2 - 6x)
x " +3
c) lim (6x5 - x)
x " -3
3
=x 3c1 - mG = +3 × 1 = +3
x
x " +3
a) lim (x3 - 3x2) = lim
x " +3
b) lim (1 - 3x3 + 5x2 - 6x) = lim >x 3d
x " +3
x " +3
5
6
1
- 3 + x - 2 nH =
3
x
x
= +3 × (-3) = -3
c) lim (6x5 - x) = lim >x 5d 6 x " -3
x " -3
1
nH = -3 × 6 = -3
x4
19
Seja f uma função real de variável real do tipo
f(x) = ax3 + 3x2 - 5x ,
com a ! IR\{0} .
Indique os valores de a para os quais:
a) lim f(x) = -3
x " +3
b) lim f(x) = -3
x " -3
lim f(x) = lim (ax3) = !3 × a
x "!3
x "!3
a) a ! ]-3, 0[
b) a ! ]0, +3[
361
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01/07/16 13:43
LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
20
Determine:
a) lim _ x 2 + 4 - x 2 - 3 i
c) lim+d
1
2
- 2n
x
x"0
x
3
x
n
d) lim d
- 2
x-3
x"3
x -9
x " +3
b) lim _
x 2 + 6 - xi
x " +3
-
a) lim _ x 2 + 4 - x 2 - 3 i =
x " +3
= lim
_ x2 + 4 -
= lim
_ x2 + 4 i - _ x2 - 3i
x " +3
2
x " +3
x 2 - 3 i_ x 2 + 4 +
_ x2 + 4 +
x2 + 4 +
x2 - 3
2
x2 - 3i
x2 - 3i
= lim
(1) x " +3
=
x2 + 4 - x2 + 3
x2 + 4 +
x2 - 3
=
7
=0
+3
2
2
(1) Para x > 3 , _ x 2 + 4 i = x2 + 4 e _ x 2 - 3 i = x2 - 3 .
=
b) lim _
x 2 + 6 - x i = lim
x " +3
x " +3
= lim
x " +3
c) lim+d
x"0
x2 + 6 - x2
x2 + 6 + x
=
_ x 2 + 6 - x i_ x 2 + 6 + x i
x2 + 6 + x
=
6
=0
+3
x-2
1
2
-2
n
= + = -3
2
x - x 2 = xlim
"0
x
0
+
x (x + 3) - 3
3
x
o=
n = lim e
- 2
x-3
x"3
x"3
x2 - 9
x -9
x 2 + 3x - 3
15
= - = -3
= lim
0
x"3
x2 - 9
d) lim-d
-
-
21
Determine:
3
2x - 1
3x + 1
b) lim
x " +3 x - 4
5x 3 - 2
c) lim
x " -3
x4
a) lim
x " +3
7x 4 - 5x + 3
x " -3 3x 2 + 2x + 1
d) lim
362
000707 352-377 U12.indd 362
01/07/16 13:43
a) lim
x " +3
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
3
3
=
=0
2x - 1
+3
12
1
1
x c3 + x m
3+ x
= lim
=3
4
x " +3
4
1
c
m
x 1- x
x
2
2
n
n
5 d1 5x 3d1 3
3
5x 3
5x
5x - 2
c) lim
= lim
= lim
=
x
x " -3
x " -3
x " -3
x4
x4
5 (1 - 0)
= -3 = 0
3x + 1
b) lim
= lim
x " +3 x - 4
x " +3
d) lim
x " -3
7x 4 - 5x + 3
7 2
7
= lim
x =
× (+3) = +3
2
3
x " -3 3
3x + 2x + 1
22
Considere a função
h(x) =
ax 2 + 2x - 1
,
bx 2 + x + 3
com a, b ! IR .
Determine, em cada caso, os valores de a e b que verificam a condição:
a) lim h(x) = 0
x " +3
b) lim h(x) = -3
x " +3
c) lim h(x) = 2
x " -3
a) a = 0 e b ! IR\{0}
b) a ! IR- e b = 0
c) a = b = 0 ou a = 2b e b ! IR\{0}
23
Determine:
a) lim
x2 + 1
3x - 1
b) lim
x2 + 1
3x - 1
x " +3
x " -3
c) lim
x " +3
2x + 3 - x - 1
3x + 2
363
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LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
x 2 d1 +
2
a) lim
x " +3
x +1
= lim
3x - 1
x " +3
3x - 1
1
x2
=
1
c
m
x 3- x
1+
x
= lim
x " +3
x " -3
x +1
= lim
3x - 1
x " -3
-x
= lim
x " +3
1
x2
1
x c3 - x m
x " -3
c) lim
1+
x
= lim
x " +3
_ 2x + 3 -
1
x2
3x - 1
x " +3
x 2 d1 +
1
n
x2
3x - 1
=
x
= lim
x " -3
=
1+
1
x2
3x - 1
=
1
- 1
=3
3
2x + 3 - x - 1
=
3x + 2
= lim
1+
1
1
=
3
3
2
b) lim
1
n
x2
x - 1i_ 2x + 3 +
(3x + 2) _ 2x + 3 +
x - 1i
x - 1i
=
2x + 3 - x + 1
=
x " +3 (3x + 2) _ 2x + 3 +
x - 1i
1
1
x+4
× lim
=
×0=0
= lim
3
x " +3 3x + 2
x " +3 _ 2x + 3 +
x - 1i
= lim
24
Determine:
5x - 20
a) lim
x " 4 16 - x 2
c) lim
x3 - x2 - x + 1
x 2 - 2x + 1
d) lim-
2x 2 - 2x
x4
x"1
2
3x + 5x + 2
x "-1
x2 - 1
b) lim
a) lim
x"4
x"0
5 (x - 4)
5x - 20
5
-5
= lim
= lim
=2
8
x " 4 (4 - x) (4 + x)
x"4 4 + x
16 - x
(x + 1) (3x + 2)
1
3x + 2
-1
3x 2 + 5x + 2
= lim
= lim
=
=
2
2
x
1
2
(1) x "-1 (x - 1) (x + 1)
x "-1
x "-1
x -1
b) lim
(1) Cálculos auxiliares:
3
-3
3
5
2
-3
-2
2
0
3x2 + 5x + 2 = (x + 1)(3x + 2)
364
000707 352-377 U12.indd 364
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3
c) No cálculo de lim
x"1
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
2
12
0
x -x -x+1
obtém-se a indeterminação
.
2
0
x - 2x + 1
Como o numerador e o denominador são divisíveis por x - 1 ,
aplicando a regra de Ruffini:
1
-1
-1
1
1
0
0
-1
-1
0
1
1
1
1
1
1
1
-2
-1
-1
0
Logo:
(x - 1) (x 2 - 1)
x3 - x2 - x + 1
lim
= lim
=
x " 1 (x - 1) (x - 1)
x"1
x 2 - 2x + 1
(x - 1) (x + 1)
= lim(x + 1) = 2
= lim
x-1
x"1
x"1
2
(
)
x
2
x
2
-2
2x - 2
2x - 2x
= - = +3
d) lim
= lim
= lim
0
x"0
x"0
x"0
x3
x4
x4
-
-
-
25
Calcule para que valores de k o seguinte limite é um número real:
lim
x "- 2
x 2 + kx + 2
x2 - 4
Como -2 é um zero do denominador, pretende-se que também o numerador
se anule em -2 . Então:
(-2)2 - 2k + 2 = 0 + k = 3
Logo:
(x + 2) (x + 1)
x 2 + 3x + 2
= lim
=
x "- 2 (x - 2) (x + 2)
x "- 2 (x - 2) (x + 2)
lim
= lim
x "- 2
x +1
-1
1
=
= ! IR
x-2
-4
4
26
Determine:
a) lim
x"0
b) limx"2
x
x2
x2 - 4
x+2
c) lim
x"1
d) lim
x"2
5-
26 - x
x-1
x+2 - 6-x
x-2
365
000707 352-377 U12.indd 365
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LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
a) limx"0
lim
x"0
+
x
2
= lim
-1
-x
-1
= lim x = - = +3
2
0
x
"
0
x
2
= lim
x
1
1
= lim x = + = +3
2
x"0
x
0
x
x
x
x " 0-
x"0
Portanto, lim
+
x
x2
Em alternativa:
x"0
-
+
= +3 .
lim
x"0
b) limx"2
c) lim
x
x
2
= lim
x"0
x
x
2
= lim
x"0
1
= +3
x
x2 - 4
0
=
=0
4
x+2
5-
x"1
= lim
x"1
_5 - 26 - x i_5 + 26 - x i
26 - x
= lim
=
x-1
x"1
(x - 1) _5 + 26 - x i
x -1
(x - 1) _5 + 26 - x i
= lim
x"1
1
=
5 + 26 - x
1
1
=
10
5 + 25
=
d) lim
x"2
= lim
x"2
= lim
x"2
x+2 - 6-x
=
x-2
_ x+2 -
6 - x i_ x + 2 +
(x - 2) _ x + 2 +
2x - 4
(x - 2) _ x + 2 + 6 - x i
6 - xi
= lim
x"2
2
2
1
=
=
2
x+2 + 6- x
2 4
= lim
x"2
6 - xi
=
2 (x - 2)
(x - 2) _ x + 2 + 6 - x i
=
27
Determine, caso exista:
a) lim d
x "- 5
1
# (x 2 - 25) n
x+5
b) lim ^|x|x-1h
x"0
a) lim d
x "- 5
(x - 5) (x + 5)
1
=
# (x 2 - 25) n = lim
x+5
x+5
x "- 5
= lim (x - 5) = -10
x "- 5
366
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
b) lim-^|x|x-1h = lim-c (- x) #
x"0
x"0
1
m
x = -1
12
1
lim ^|x|x-1h = lim c x # x m = 1
x"0
x"0
+
+
Como os limites laterais são diferentes, não existe lim ^|x|x-1h .
x"0
28
Considere a função real de variável real de domínio IR+ definida por:
*
x -1
x- x
se 0 1 x 1 1
se x = 1
f(x) = 2
3
-6x + 6x
se x 2 1
x 2 + 4x - 5
Determine, caso exista:
a) lim+ f(x)
b) lim f(x)
x"0
c) lim f(x)
x"1
a) lim+ f(x) = lim+
x"0
x"0
b) lim- f(x) = limx"1
x"1
x " +3
x-1
-1
= - = +3
0
x- x
(x - 1) _ x + x i
x-1
= lim
=
x " 1 _x x- x
x i_ x + x i
-
(x - 1) _ x + x i
x+ x
= lim
=2
x
x (x - 1)
x"1
x"1
6x (1 - x 2)
6x - 6x 3
lim f(x) = lim
= lim
=
x"1
x " 1 - x 2 - 4x + 5
x " 1 - x 2 - 4x + 5
6x (1 - x) (1 + x)
= lim
x"1
- x 2 - 4x + 5
Aplicando a regra de Ruffini:
= lim
-
-
+
+
+
+
-1
1
-1
Logo:
-4
5
-1
-5
0
-5
-x2 - 4x + 5 = (x - 1)(-x - 5)
6x (1 - x) (1 + x)
- 6x (x - 1) (x + 1)
= lim
=
2
(x - 1) (- x - 5)
x"1
x"1
- x - 4x + 5
- 6x (x + 1)
-6 # 2
=
=2
= lim
-1 - 5
-x - 5
x"1
lim
+
+
+
Como lim f(x) = lim f(x) = f(1) = 2 , lim f(x) = 2 .
x " 1+
x " 1-
x"1
367
000707 352-377 U12.indd 367
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LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
6x 3d
1
- 1n
2
x
6x - 6x
c) lim f(x) = lim
= lim
=
x " +3
x " +3 - x 2 - 4x + 5
x " +3
4
5
2
- x d1 + x - 2 n
x
1
6x d 2 - 1n
6 # (+3) # (-1)
x
= lim
=
= 6 × (+3) = +3
-1
x " +3
4
5
- d1 + x - 2 n
x
3
AVALIAR CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
y
Na figura ao lado, está parte da representação
gráfica de uma função f de domínio IR ,
tal que lim f(x) = -3 .
3
2
x " 0-
Considere a sucessão (an) de termo geral:
1
an = - n
Indique o valor de lim f(an) .
(B) 0
(A) -3
x
O
(C) 2
(D)u4p106h1
3
Como (an) tende para zero por valores negativos, tem-se, pelo gráfico de f ,
que lim f(an) = -3 .
A opção correta é a (A).
y
2
Na figura ao lado, está representada parte
do gráfico de uma função h , de domínio IR .
Seja (un) a sucessão de termo geral:
un = h c 4 -
1000
m
n
h
3
2
1
4
O
x
Qual é o valor de lim(un) ?
(A) -3
(B) 1
(C) 2
(D) 3
Testeu4p106h2
Intermédio do 12.º ano, 2010
lim un = 4A opção correta é a (B).
368
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
3
Na figura ao lado, está representada parte do gráfico
de uma função h , de domínio IR , cuja restrição
a [-3, +3[ é uma função quadrática.
12
y
7
Seja (xn) uma sucessão tal que lim h(xn) = 5 .
5
Qual das expressões seguintes pode ser o termo geral
da sucessão (xn) ?
-3n - 1
(A) -3 + 2-n
(C)
n
2
(B) 5 +
(D) 5 - 2-n
n
23
3 x
O
Como lim h(xn) = 5 , a sucessão xn terá de tender para -3 por valores
u4p106h3
maiores do que -3 .
A opção correta é a (A).
4
Na figura ao lado, está representada parte
do gráfico de uma função g de domínio:
y
]-3, 1],{2},[3, +3[
3
Sabe-se que g(1) = g(2) = g(3) = 3 .
x
O 1 2 3
Qual das seguintes afirmações é falsa?
(A) Para qualquer a ! Dg , existe lim g(x) .
(C) lim g(x) = g(2)
(B) lim g(x) = 3
(D) Não existe lim g(x) .
x"a
x"2
x"1
x"2
u4p106h4
A opção correta é a (D).
5
Na figura ao lado, está representada parte do gráfico
de uma função f real de variável real.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
1
1
1
(A) lim
=0
(C) lim
=
2
x " 3 f (x)
x " 3 f (x)
1
1
1
(B) lim
=(D) Não existe lim
.
2
x " 3 f (x)
x " 3 f (x)
y
3
x
O
Exame Nacional do 12.º ano, 2007
u4p107h1
lim f(x) ! lim f(x)
x " 3+
x " 3-
A opção correta é a (D).
369
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01/07/16 13:44
LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
6
Considere a função real de variável real definida por
x2 - 4
se x ! -2
f(x) = * x + 2
a
se x =-2
em que a é um número real.
O valor de a para que exista lim f(x) é:
x "- 2
(A) -4
(B) -2
lim f(x) = lim
x "-2
x "-2
(C) 0
(D) 2
(x - 2) (x + 2)
x2 - 4
= lim
= lim (x - 2) = -4
(x + 2)
x+2
x "-2
x "-2
Logo, para existir lim f(x) , a imagem de -2 pela função f tem de ser igual
x "-2
a -4 . Como f(-2) = a , a = -4 .
A opção correta é a (A).
7
O valor de lim
x "- 3
+
2
é:
9 - x2
(B) 0
(A) -3
(C) 2
(D) +3
2
2
= + = +3
9 - x2
0
A opção correta é a (D).
lim =
x "-3+
y
8
Na figura ao lado, estão representadas partes dos gráficos
de duas funções reais de variável real, f e g .
Tal como a figura sugere, 2 é zero da função f .
f (x)
.
Indique o valor de lim
x " 2 g (x)
-
(A) -3
(C) 2
(B) 0
(D) +3
lim =
x " 2-
f (x)
0
= a = 0 , com a ! IR+
g (x)
f
g
O
2
x
u4p107h2
A opção correta é a (B).
370
000707 352-377 U12.indd 370
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
9
12
Selecione a opção correta.
x
= -1
x"0 x
x
(B) lim
=0
x"0 x
(A) lim
(C) lim
x"0
x
x =1
x
x .
(D) Não existe lim
x"0
x
x
-x
x
lim = x = x = -1 ! lim = x = x = 1
x"0
x"0
-
+
A opção correta é a (D).
10
y
Na figura ao lado, estão representadas partes
dos gráficos de duas funções f e g ,
polinomiais de graus 1 e 2 , respetivamente.
4
De acordo com os dados da figura, selecione
a afirmação falsa.
(A) lim ( f % g)(x) = ( f % g)(2)
2
O
2
4
x
x"2
(B) lim ( f % g)(x) = f(4)
x"2
(C) lim ( f % g)(x) = f(2)
x"2
(D) lim ( f % g)(x) = 0
u4p107h3
x"2
lim ( f % g)(x) = lim f ^g (x)h = lim f (y) = 0
x"2
x"2
y = g (x) y " 4
9
4
A opção correta é a (C).
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
11
Considere a função racional f definida por:
x-1
f(x) =
2x
Utilize a definição de limite segundo Heine para provar que:
a) lim f(x) = 0
x"1
b) lim f(x) =
x " -3
1
2
371
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01/07/16 13:44
LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
a) Seja (xn) uma sucessão de elementos do domínio de f com limite 1 . Então:
lim f(xn) = lim
xn - 1
1-1
=
=0
2xn
2
b)Seja (yn) uma sucessão de elementos do domínio de f com limite -3 .
Então:
1
1
yn d1 - y n
1- y
yn - 1
n
n
= lim
= lim
=
lim f(yn) = lim
2yn
2yn
2
1
1 - -3
1
1+0
=
=
=
2
2
2
y
12
f
Na figura está representada parte do gráfico
de uma função f , de domínio IR .
3
12.1 Justifique que não existe lim f(x) .
x"2
12.2Considere as sucessões (an) e (bn)
de termos gerais:
2 - 2n
e bn = -n2 + 3n - 5
an =
n
1
O
22
2
x
21
De acordo com os dados da figura, indique:
a) lim f(an)
b) lim f(bn)
12.3 Dê exemplo de uma sucessão (xn) tal que:
u4p108h1
a) lim f(xn) = 3
b) xn " -2 / lim f(xn) = 1
c) xn " 2 / lim f(xn) = 1
12.4 Considere a função racional g definida por g(x) =
Determine lim (g % f)(x) .
x3 - x
.
x 3 - 3x - 2
x"0
1
n e yn = 2 . Ambas são sucessões de termos
pertencentes ao domínio de f com limite 2 ; no entanto,
lim f(xn) = 3 ! 1 = lim f (yn) . Logo, não existe lim f (x) .
12.1 Sejam xn = 2 -
12.2 a) Tem-se:
x"2
2 - 2n
2
= limc n - 2 m = -2+
n
Então, lim f(an) = 3 .
lim an = lim
b) Tem-se:
3
5
lim bn = lim(-n2 + 3n - 5) = lim f n 2 d-1 + n - 2 n p = -3
n
Então, lim f (bn) = -3 .
372
000707 352-377 U12.indd 372
01/07/16 13:44
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
1
12.3 a) Por exemplo, xn = 2 n .
1
b) Por exemplo, xn = -2 - n .
c) Por exemplo, xn = 2 .
lim (g % f)(x) = lim g^f(x)h = lim g(x) = lim
12.4
x"0
x "-1
x"0
x "-1
12
x3 - x
=
x 3 - 3x - 2
x (x 2 - x)
x (x - 1)(x + 1)
= lim
3
x "-1 x - 3x - 2
x "-1
x 3 - 3x - 2
Aplicando a regra de Ruffini:
= lim
1
0
-3
-2
-1
1
1 -1
-2
2
0
-1
Logo:
x3 - 3x - 2 = (x + 1)(x2 - x - 2)
x (x - 1) (x + 1)
x3 - x
= lim
=
3
x "-1 x - 3x - 2
x "-1 (x + 1) (x 2 - x - 2)
x (x - 1)
2
1
lim
=
= lim
3 x "-1 x + 1
x "-1 (x - 2) (x + 1)
lim
Este limite não existe, uma vez que é igual a -3 à direita e é igual
a +3 à esquerda.
13
Considere a função g , de domínio IR , definida analiticamente por:
6
se x 1 - 4
x+4
g(x) = 5 - 3x
se - 4 G x G 1
x-1
se x 2 1
x -1
13.1 Averigue se existe lim g(x) e lim g(x) .
*
x"1
13.2 Determine
x "- 4
lim g(x) .
x " +3
13.3 Justifique que
lim [g(x) ◊ (2 cos x)] = 0 .
x " -3
(x - 1) _ x + 1i
x-1
= lim
=
x"1
x"1
x"1 _
x -1
x - 1i_ x + 1i
(x - 1) _ x + 1i
= lim
=2
x-1
x"1
lim g(x) = lim (5 - 3x) = 2 = g(1)
13.1 lim+ g(x) = lim+
+
+
x " 1-
x " 1-
Logo, existe lim g(x) .
x"1
373
000707 352-377 U12.indd 373
01/07/16 13:44
LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
lim g(x) = lim (5 - 3x) = 17
x "-4+
x "-4+
6
= -3
x+4
Logo, não existe lim g(x) .
lim g(x) = lim
x "-4-
x "-4-
x "-4
13.2lim g(x) = lim
x " +3
x " +3
1
1- x
= lim
x-1
= lim
x " +3
x -1
xd
=
1
1
x e1 - x o
13.3 Tem-se que
1
1
n
x - x
=
1
= +3
0+
lim g(x) = lim
x " -3
1
x c1 - x m
x " -3
6
= 0 . Como 2 cos x é limitada,
x+4
lim [g(x) × (2 cos x)] = 0 .
x " -3
14
Seja h a função real de variável real de domínio IR , definida por
ax 2 + x se x G 1
x3 - 1
se 1 1 x 1 2
h(x) =
x2 - 1
1 - bx se x H 2
*
em que a e b designam números reais.
Determine:
a) o valor de a de modo que exista lim h(x) .
x"1
b) o valor de b de modo que exista lim h(x) .
x"2
3
x -1
x2 - 1
Aplicando a regra de Ruffini:
a) lim+ h(x) = lim+
x"1
x"1
1
1
1
lim
x " 1+
0
0
-1
1
1
1
1
1
0
x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)
(x - 1) (x 2 + x + 1)
x3 - 1
3
lim
=
=
2
2
(x - 1) (x + 1)
x"1
x -1
+
lim h(x) = lim (ax2 + x) = a + 1 = h(1)
x " 1-
x " 1-
Para existir limite em x = 1 :
lim h(x) = lim h(x) = h(1) +
x " 1+
x " 1-
3
1
=a+1+a=
2
2
374
000707 352-377 U12.indd 374
01/07/16 13:44
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
b) lim+ h(x) = lim+(1 - bx) = 1 - 2b
x"2
12
x"2
x3 - 1
8-1
7
=
=
2
4
1
3
x"2
x"2 x - 1
Para existir limite em x = 2 :
lim h(x) = lim
-
-
lim h(x) = lim h(x) = h(2) + 1 - 2b =
x " 2+
x " 2-
15
Seja f uma função racional tal que f(x) =
15.1 Indique o grau de p de modo que:
a) lim f(x) = 0
x " +3
7
2
+ b =3
3
p (x)
, em que p é um polinómio.
2x 2 - 2
b) lim f(x) não seja um número real.
x " +3
15.2Dê exemplo de um polinómio p , que não seja do tipo k(2x2 - 2) ,
com k real, de modo que:
3
a) lim h(x) =
2
x " -3
b) lim f(x) = -4
x"1
15.1 a) Grau 0 ou 1 .
b) Grau maior ou igual a 3 .
15.2 a) 3x2 + x + 5
b) -x + 1
16
Determine:
a) lim (x2 + 5x - 20)
x " +3
j) limx"2
3
x - 2x
lim
x 4 - 2x + 4
x2 + x
lim
x2 - 4
2x + 1
3
b) lim (x - 2x)
k)
x " -3
4x 2 - 5
c) lim
x " -3 5x 2 - 2
x-4
d) lim 2
x " 4 x - 7x + 12
2x 2 + 2
5x - 1
e) lim
3
g)
h)
i)
x " +3
x " +3
6x 2 + 3
x " -3
2x 4
m) lim
5+x - 5
x
x"0
x + 2x - a - 2a
lim
(a
!
IR)
2
x"a
(x - a)2
x
o) lim
5
5
x " +3
# (x 2 + 1)F
lim <
x " -3 2x
x+1
x+2
p) lim _ 2x + 1 - x - 1 i
lim
x " +3
x " -3
x2 + 1
x-1
q) lim 2
x 2 - 2x
x"1 x - 1
lim
x"0 x x
2x - 1
r) lim
1
2x 2 - 5x + 2
x"
2
x " +3
f)
l)
2
3
n) lim
-
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375
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LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
a) lim (x2 + 5x - 20) = +3
x " +3
b) lim (x3 - 2x) = -3
x " -3
x 2d 4 -
5
n
x2
4x - 5
4
=
c) lim
= lim
5
x " -3 5x 2 - 2
x " -3
2
x 2d 5 - 2 n
x
2
d) lim
x"4
x-4
x-4
= lim
=1
(
x
4) (x - 3)
x
"
4
x - 7x + 12
2
2
e) lim
x " +3
f) limx"a
2x + 2
= lim
5x - 1
x " +3
x
x 3 + 2x - a 3 - 2a
(x - a)2
2
x2
=
1
xc5 - x m
2+
2
5
Aplicando a regra de Ruffini:
1
a
1
0
2
-a3 + 2a
a
a2
a3 + 2 a
a
a2 + 2
0
x3 + 2x - a3 - 2a = (x - a)(x2 + ax + a2 + 2)
Logo:
lim
x " a-
(x - a) (x 2 + ax + a 2 + 2)
x 3 + 2x - a 3 - 2a
lim
=
=
x"a
(x - a)2
(x - a)2
-
x 2 + ax - a 2 + 2
a2 + a2 + a2 + 2
=
= -3
x-a
0x"a
5
x 2d 5 + 2 n
2
x
5
5x + 5
# (x 2 + 1)F = lim
g) lim <
= lim
=
2
2x
x " -3 2x
x " -3
x " -3
x2 # x
5
= - = -3
0
2
x c1 + x m
x+2
h) lim
= lim
= -1
x " -3
x " -3
1
x2 + 1
-x 1 + 2
x
= lim
-
i) lim
x"0
x (x - 2)
x 2 - 2x
-2
= lim
=
=0
1- 3
x"0
1
x- x
n
x d1 x
376
000707 352-377 U12.indd 376
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
3
3
j) lim 2
= - = -3
0
x " 2 x - 2x
12
-
x 4 d1 -
2
4
+ 4n
3
x
x
x - 2x + 4
1
k) lim
= lim
= + = +3
x " +3
x " +3
x2 + x
0
1
1
x 4d 2 + 3 n
x
x
4
x 2 d1 - 2 n
2
x2 - 4
x
1
x -4
= + = +3
l) lim
= lim
= lim
x " +3 2x + 1
x " +3 2x + 1
x " +3
0
2
1
x 2d x + 2 n
x
6
3
x 4d 2 + 4 n
2
x
x
0
6x + 3
=
m) lim
= lim
=0
4
4
2
x " -3
x
"
3
2x
2x
4
5+x x
n) lim
x"0
5
= lim
x"0
5+x-5
= lim
x_ 5 + x +
x"0
5i
_ 5+x -
x_ 5 + x +
= lim
x"0
x " +3
p) lim _ 2x + 1 x " +3
= lim
x " +3
= lim
x " +3
x - 1i =
_ 2x + 1 -
x - 1i_ 2x + 1 +
_ 2x + 1 +
=
5
10
xe
+
2x - 1
2x 2 - 5x + 2
1
2
+
= lim
(1)
x"
1
2
-
=
2
x c1 + x m
2
1
x + x2 +
x -1
x -1
= lim
= lim
x " 1 (x - 1) (x + 1)
x"1
x 2 -1
r) lim
x"
5
=
x - 1i
x - 1i
2x + 1 - x + 1
= lim
x " +3
2x + 1 + x - 1
1
= + = +3
0
x"1
1
5+x +
5i
5i
2
2
xc2 + x m
2x + 2
2
x
= lim
= lim
=
5
5x
5x
5
x " +3
x " +3
x+1
o) lim
q) lim
5 i_ 5 + x +
1
1
o
x - x2
=
1
1
= + = +3
0
x - 1 (x + 1)
- 2x + 1
=
(2x - 1) (x - 2)
(-2x + 1) (2x - 1)(x - 2)
- (2x - 1)(x - 2)
0
= lim
=
=0
1
(
2
x
1
)(
x
2
)
2
3
x
1
x"
x"
2
2
2
-
= lim
-
-
(1) x "
1
2
porque 2x2 - 5x + 2 H 0 + x G
1
0xH2
2
377
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UNIDADE
13
FUNÇÕES contínuas
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
13.1 Função contínua num ponto do seu domínio
1
Averigue se as funções seguintes são contínuas em x = 2 .
4x - 1
a) f(x) =
3x + 2
b) g(x) = 4x3 - 5x + 1
x-2
se x 2 2
2
c) h(x) = * x - 4
2x - 2 se x G 2
7
7
4x - 1
4#2-1
=
=
e f(2) =
8
8
3x + 2
3#2+2
7
Então, lim f(x) = f(2) , ou seja, lim f(x) = , pelo que f é contínua em 2 .
8
x"2
x"2
a)lim f(x) = lim
x"2
x"2
b)lim g(x) = lim (4x3 - 5x + 1) = 4 × 23 - 5 × 2 + 1 = 23 e g(2) = 23
x"2
x"2
Então, lim g(x) = g(2) , ou seja, lim g(x) = 23 , pelo que g é contínua em 2 .
x"2
x"2
x-2
1
x-2
1
c)lim h(x) = lim 2
= lim
= lim
=
;
4
x"2
x"2 x - 4
x " 2 (x - 2) (x + 2)
x"2 x + 2
lim h(x) = lim (2x - 2) = 2 × 2 - 2 = 2 e h(2) = 2 .
-
-
x " 2+
x " 2+
-
-
Então, lim h(x) ! lim h(x) = h(2) , ou seja, não existe lim h(x) , pelo que
x " 2-
x " 2+
h não é contínua em 2 .
x"2
Tarefa 1
Considere as funções reais de variável real f: Df " IR e g: Dg " IR contínuas
num ponto a ! Df + Dg .
1.1 Justifique que:
lim ( f + g)(x) = ( f + g)(a) ; lim (f - g)(x) = (f - g)(a) ;
x"a
x"a
f
f
lim (fg)(x) = (fg)(a) ; e, se g(a) ! 0, lim g (x) = g (a) .
x"a
x"a
1.2 Conclua que f + g , f - g e f ◊ g são contínuas em a e, se
f
g(a) ! 0 , a função g é contínua em a .
378
000707 378-385 U13.indd 378
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
13
1.1 lim ( f + g)(x) = lim f (x) + lim g(x) = f(a) + g(a) = (f + g)(a)
x"a
x"a
x"a
lim (f - g)(x) = lim f(x) - lim g(x) = f(a) - g(a) = (f - g)(a)
x"a
x"a
x"a
lim (fg)(x) = lim f (x) × lim g(x) = f(a) × g(a) = (fg)(a)
x"a
x"a
x"a
lim f (x)
f (a)
f
f
x"a
=
= g (a)
lim g (x) =
g (a)
lim g (x)
x"a
x"a
1.2 As funções são contínuas em a porque existe limite nesse ponto.
2
Estude a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:
2x 2 - 3x
a)f(x) =
, em x = 1
x2 + 1
x -2
se x 2 4
b) g(x) = * x - 4
, em x = 4
se x G 4
x+2
c)h(x) =
*
x
x
1
se x ! 0
, em x = 0
se x = 0
2x 2 - 3x
1
1
2#1-3#1
=
=e f(1) = 2
2
2
1+1
x"1
x"1
x +1
1
Então, lim f (x) = f(1) , ou seja, lim f(x) = - , pelo que f é contínua
2
x"1
x"1
em 1 .
a)lim f(x) = lim
b)lim- g(x) = lim-(x + 2) = 4 + 2 = 6
x"4
x"4
lim g(x) = lim
x"4
x"4
+
= lim
x"4
+
+
_ x - 2i_ x + 2i
x -2
= lim
=
x-4
x"4
(x - 4) _ x + 2i
+
1
=
x +2
x-4
= lim
x"4
(x - 4) _ x + 2i
+
1
1
=
4
4 +2
g(4) = 6
Então, lim g(x) ! lim g(x) = g(4) , ou seja, não existe lim g(x) , pelo
x " 4+
x " 4-
x"4
que g não é contínua em 4 .
c)lim- h(x) = limx"0
x"0
-x
x
h(x) = lim x = 1 e h(0) = 1
x = -1 ; xlim
"0
x"0
+
+
Então, lim h(x) ! lim h(x) = h(0) , ou seja, não existe lim h(x) ,
x " 0-
x"0
+
x"0
pelo que h não é contínua em 0 .
379
000707 378-385 U13.indd 379
01/07/16 13:50
FUNÇÕES CONTÍNUAS
3
Considere a função real de variável real definida por:
5x 2 + k se x G 2
f(x) = * 2
x - 4 se x 2 2
Determine o valor de k para o qual a função é contínua.
lim f(x) = lim
x " 2+
x " 2+
x2 - 4 =
22 - 4 = 0
Para que a função f seja contínua, lim f (x) = lim f (x) = f (2) , ou seja:
2
x " 2+
2
x " 2-
lim 5x + k = 5 × 2 + k = 0
x " 2-
Portanto, k = -20 .
4
Considere a função de domínio [1, 8] definida por:
-4x + 3 se x ! [1, 5 [
f(x) = * 2x
se x ! [5, 8]
x+2
4.1Estude a continuidade de f .
4.2Justifique que a restrição de f ao intervalo [5, 8] é contínua.
4.1 lim- f(x) = lim-(-4x + 3) = -17 ; lim+ f (x) = lim+
x"5
x"5
x"5
x"5
2x
10
=
7
x+2
10
2#5
=
7
5+2
Então, lim f(x) ! lim f (x) = f(5) , ou seja, não existe lim f (x) , pelo
f (5) =
x " 5-
x " 5+
x"5
que f não é contínua em x = 5 e, portanto, f é contínua em Df \{5} .
4.2 Como existe lim f(x), 6a ! [5, 8] , f é contínua em [5, 8] .
x"a
Considere as funções reais de variável real definidas por:
Tarefa 2
f(x) = 2x2 + 3x + 1 e g(x) = x - 5
2.1 Justifique que f e g são funções contínuas.
2.2 Justifique que também as funções
f
g
g e f são contínuas.
2.1 Seja a ! IR . Tem-se lim f (x) = f(a) e lim g(x) = g(a) .
x"a
x"a
Então, f e g são contínuas.
Em alternativa, como f e g são funções polinomiais, logo, são contínuas.
f
2.2 g é contínua em a ! D gf porque é o quociente de funções contínuas em a .
g
é contínua.
Analogamente,
f
380
000707 378-385 U13.indd 380
01/07/16 13:50
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
5
13
Estude a continuidade das seguintes funções:
se x 2 0
x2
se x = 0
a) f(x) = 0
2
x -x
se x 1 0
x
*
-2
se x H 2
x
b) g(x) = 2
x - 2x - 3
se x 1 2
x 2 - 5x + 6
*
a)lim+ f(x) = lim+ x2 = 0
x"0
x"0
lim f(x) = lim
x " 0-
x " 0-
x (x - 1)
x2 - x
= lim
= lim (x - 1) = -1
x
x
x"0
x"0
-
-
f(0) = 0
Então, lim f(x) ! lim f(x) = f(0) , ou seja, não existe lim f (x) , pelo que
x " 0-
x"0
+
x"0
f não é contínua em IR .
A restrição de f em ]-3, 0[ é uma função polinomial e a restrição de f
em ]0, +3[ é uma função racional; logo, ambas são funções contínuas.
Portanto, f é contínua em IR\{0} .
b)lim- g(x) = limx"2
x"2
-2
x = -1
lim g(x) = lim
x " 2+
x " 2+
x 2 - 2x - 3
22 - 2 # 2 - 3
-3
=
= + = -3
2
2
x - 5x + 6
2 -5#2+6
0
g(2) = -1
Então, lim g(x) ! lim g(x) = g(2) , ou seja, não existe lim g(x) , pelo
x " 2+
x " 2-
x"2
que g não é contínua no seu domínio IR\{2} .
As restrições de g em ]-3, 2[ e ]2, +3[ são funções racionais,
que são contínuas no seu domínio; logo, g é contínua em IR\{2} .
6
Para cada uma das funções reais de variável real seguintes, determine
o seu domínio e os seus zeros e justifique que é contínua.
a) a(x) = sin x + cos x
b) b(x) =
cos x
1 - sin x
c) c(x) =
x - x2
tan x
381
000707 378-385 U13.indd 381
01/07/16 13:50
FUNÇÕES CONTÍNUAS
a)Da = IR
3r
+ kr, k ! Z
4
A função é contínua, pois é a soma de duas funções contínuas.
r
b)Db = {x: 1 - sin x ! 0} = &x: x !
+ 2kr, k ! Z0
2
3r
cos x
=0 + x=
+ 2kr, k ! Z
Zeros:
2
1 - sin x
x!D
A função é contínua, pois é o quociente de duas funções contínuas.
r
r
c)Dc = &x: x !
+ kr, k ! Z / tan x ! 00 = &x: x ! k , k ! Z0
2
2
2
x-x
Zeros: tan x = 0 + x = 1
x!D
Zeros: sin x + cos x = 0 + x =
b
c
A função é contínua, pois é o quociente de duas funções contínuas.
7
Estude a continuidade da função:
x
se x 2 0
x
f(x) =
0
se x = 0
sin x se x 1 0
*
lim f(x) = lim sin x = 0
x " 0-
x " 0-
lim f(x) = lim
x"0
+
x"0
+
x x
x
= lim x = lim
x
"
0
x"0
x
+
+
x =0
f (0) = 0
Então, lim f(x) = lim f(x) = f(0) , ou seja, existe lim f (x) , pelo que f
x"0
+
x " 0-
x"0
é contínua em x = 0 . Como o quociente de duas funções contínuas
e a função seno são funções contínuas, f é contínua.
8
Para um certo número real a , considere a função g definida por:
2 cos x se x G 0
g(x) = )
-x + a se x 2 0
Determine o valor de a para o qual a função g é contínua.
lim g(x) = lim 2 cos x = 2 cos 0 = 2
x " 0-
x " 0-
Para que a função g seja contínua, lim g(x) = lim g(x) = g(0) ,
x"0
ou seja, lim (-x + a) = 0 + a = 2 .
x"0
+
x " 0-
+
Portanto, a = 2 .
382
000707 378-385 U13.indd 382
01/07/16 13:50
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
9
13
Mostre que a função h definida por
1
sin x sin x se x ! 0
h(x) = *
0
se x = 0
é contínua.
Adaptado do Caderno de Apoio do 11.º ano
1
A função h é contínua em 0 , pois, como sin x é limitada e sin x " 0 ,
tem-se:
1
lim h(x) = lim csin x sin x m = 0 = h(0)
x"0
x"0
A função h é contínua em IR\{0} , pois é definida pelo produto de duas
funções contínuas.
Portanto, h é contínua em IR .
10
Estude a continuidade da função:
1- 1- x2
se x ! ] 0, 1]
x2
f(x) = *
1 - cos x
se x G 0
lim f(x) = lim (1 - cos x) = 0 ; f(0) = 0
x " 0-
x " 0-
lim f(x) = lim
x"0
+
x"0
= lim
x"0
+
1-
+
x _1 +
2
_1 - 1 - x 2 i_1 + 1 - x 2 i
1 - x2
= lim
=
x"0
x2
x 2_1 + 1 - x 2 i
+
x2
1-x i
2
= lim
x"0
+
1
1+
1-x
2
=
1
2
1 - x2
= 1 = f(1)
x"1
x"1
x2
Então, lim f(x) ! lim f(x) = f(0) , ou seja, não existe lim f (x) , pelo que
lim f(x) = lim
-
1-
-
x"0
+
x " 0-
x"0
f não é contínua em x = 0 .
No entanto, é contínua em x = 1 , pois lim f (x) = f (1) .
Assim, f não é contínua em ]-3, 1[ .
x " 1-
A restrição de f a ]0, 1] é o quociente de duas funções contínuas e a restrição
a ]-3, 0[ é a diferença de funções contínuas; logo, são funções contínuas.
Portanto, f é contínua em ]-3, 1]\{0}.
383
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FUNÇÕES CONTÍNUAS
Considere as funções reais de variável real f e g definidas por
Tarefa 3
x2 - 4
2x - 3 se x 1 - 2
se x 1 - 2
e g(x) = * x + 2
,
f(x) = )
4
se x H - 2
p
se x H - 2
em que p designa um número real.
3.1 Justifique que a função f não é contínua.
3.2 Determine p de modo que:
a) a função f ◊ g seja contínua.
b) a função f + g seja contínua.
c) a função h(x) = cos(g(x)) seja contínua.
3.1 lim - f(x) = lim -(2x - 3) = -7 ;
x "-2
x "-2
lim f (x) = 4 e f(-2) = 4
x "-2+
Então, lim f (x) ! lim f(x) = f(-2) , ou seja, não existe lim f (x) ,
x "-2-
x "-2+
x "-2
pelo que f não é contínua em x = -2 .
E, sendo assim, f não é contínua.
3.2 a) (f × g)(x) =
(2x - 3) d
*
4p
+ (f × g)(x) = *
x2 - 4
n se x 1 - 2
x+2
+
se x H - 2
(2x - 3)(x - 2)(x + 2)
se x 1-2
x+2
4p
se x H-2
lim (f × g)(x) = lim d
x "-2-
x "-2-
(2x - 3)(x - 2)(x + 2)
n=
x+2
= lim (2x - 3)(x - 2) = [(2 × (-2) -3)(-2 - 2)] = 28
x "-2-
Logo, para a função ser contínua, 4p = 28 , ou seja, p terá de ser
igual a 7 .
x2 - 4
2x - 3 +
se x 1 - 2
x+2
+
b) (f + g)(x) = *
se x H - 2
4+p
+ (f + g)(x) = *
(x + 2)(2x - 3) + (x + 2)(x - 2)
se x 1-2
x+2
se x H-2
4+ p
(x + 2)(2x - 3 + x - 2)
lim (f + g)(x) = lim
=
x+2
x "-2
x "-2
(x + 2) (3x - 5)
= lim
= lim (3x - 5) = 3 × (-2) - 5 = -11
x+2
x "-2
x "-2
Logo, para a função ser contínua, 4 + p = -11 , ou seja, p terá
de ser igual a -15 .
-
-
-
-
384
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
cos d
x2 - 4
n se x 1-2
x+2
c) h(x) = *
cos p
se x H-2
lim h(x) = lim cosd
x "-2
x "-2
-
-
13
x2 - 4
n = lim cos(x - 2) = cos(-4) =
x+2
x "-2
-
= cos 4
Logo, para a função ser contínua, cos p = cos 4 , ou seja,
p poderá tomar qualquer valor no conjunto {4 + 2kr, k ! Z+
0} .
11
Considere a função f , de domínio IR , definida por:
f(x) = *
x2
se x 1 1
x - 1 se x H 1
Seja g uma outra função de domínio IR . Sabe-se que a função f ◊ g
é contínua no ponto 1 .
Indique, justificando, em qual das opções seguintes pode estar representada
parte do gráfico da função g .
(I)
(II)
y
(III)
y
y
1
1
1
O
21
x
1
O
21
x
1
O
21
1
x
Adaptado do Teste Intermédio do 12.º ano, 2013
lim f(x) = lim x2 = 1 ; lim f(x) = lim (x - 1) = 0 e f (1) = 0
x " 1-
x " 1-
x " 1+
u4p117h2
x"1
u4p117h3
+
Para qualquer uma das funções representadas graficamente, tem-se que
o limite lateral à direita no ponto 1 é um número real.u4p117h4
Portanto:
lim (f × g)(x) = lim f(x) × lim g(x) = 0 × lim g(x) = 0
x " 1+
x " 1+
x " 1+
x " 1+
Então, como lim f(x) = 1 , para que a função f × g seja contínua no ponto 1 ,
x " 1-
é necessário que lim g(x) = 0 . Mas isto só acontece na primeira opção.
x " 1-
No entanto, verifique-se se (f × g)(1) = 0 :
(f × g)(1) = f(1) × g(1) = 0 × 1 = 0
Logo, parte do gráfico da função g só pode estar representada na opção (I).
385
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14
UNIDADE
assíntotas ao gráfico
de uma função
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
14.1 Assíntotas verticais ao gráfico de uma função
O coeficiente de ampliação A de uma certa lupa é dado,
em função da distância d (em decímetros) da lupa ao objeto, por:
5
A(d) =
5-d
1.1Determine o coeficiente de ampliação quando a lupa se encontra a uma
distância do objeto de:
a) 0 dm
b) 4,5 dm
c) 4,9 dm
d) 4,99 dm
Tarefa 1
1.2Determine o domínio da função A , atendendo ao contexto da situação.
1.3Determine o valor de lim- A(d) e interprete o resultado obtido.
d"5
1.1 a) 1
b) 10
c) 50
d) 500
1.2 [0, 5[
1.3 lim- A(d) = +3 ; significa que quando a distância da lupa ao objeto
x"5
tende para 5 , o coeficiente de ampliação A da lupa tende para +3 ,
tornando irreconhecível o objeto que se pretende ampliar.
1
Determine, caso existam, equações das assíntotas verticais aos gráficos
das seguintes funções:
2
x-3
1-x
a) f(x) =
b) g(x) = 2
c) h(x) = 2
x-2
x -1
x -9
a)Esta função é contínua, uma vez que é racional e o único ponto aderente
ao seu domínio, IR\{2} , que não lhe pertence, é o ponto 2 .
Calculem-se os limites laterais:
1-x
-1
lim f (x) = lim
= - = +3
x
2
0
x"2
x"2
1-x
-1
lim f (x) = lim
= + = -3
x"2
x"2 x - 2
0
Assim, tem-se que a reta de equação x = 2 é assíntota vertical ao gráfico
da função f .
-
-
+
+
386
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
14
b)Esta função é contínua, uma vez que é racional e os únicos pontos aderentes
ao seu domínio, IR\{-1, 1} , que não lhe pertencem, são os pontos -1 e 1 .
Calculem-se os limites laterais:
2
2
= + = +3
x "-1
x "-1 x - 1
0
2
2
lim g(x) = lim 2
= - = -3
0
x "-1
x "-1 x - 1
2
2
lim g(x) = lim 2
= - = -3
0
x"1
x"1 x - 1
2
2
lim g(x) = lim 2
= + = +3
x"1
x"1 x - 1
0
Assim, tem-se que as retas de equação x = -1 e x = 1 são assíntotas
verticais ao gráfico da função g .
lim g(x) = lim
-
-
+
+
-
-
+
+
2
c)Esta função é contínua, uma vez que é racional e os únicos pontos aderentes
ao seu domínio, IR\{-3, 3} , que não lhe pertencem, são os pontos -3 e 3 .
Calculem-se os seguintes limites:
x-3
lim h(x) = lim 2
=
x "-3
x "-3 x - 9
x-3
lim h(x) = lim 2
=
x "-3
x "-3 x - 9
x-3
lim h(x) = lim 2
= lim
x"3
x"3 x - 9
x"3
-
-
+
+
-6
= -3
0+
-6
= +3
0x-3
1
1
= lim
=
6
(x - 3) (x + 3)
x"3 x + 3
Assim, tem-se que a reta de equação x = -3 é assíntota vertical
ao gráfico da função h .
2
Determine, caso existam, as equações das assíntotas verticais aos gráficos
das seguintes funções:
a) f(x) =
-1 +
b) g(x) =
x-1
x
x-2
x -2
3
- x se x 2 0
c) h(x) = *
x2
se x G 0
387
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assíntotas ao gráfico de uma função
a)Df = [1, +3[
Como a função f é contínua no seu domínio, não tem assíntotas verticais.
b)Dg = IR\{-2, 2}
Calculem-se os seguintes limites:
x-2
-4
= + = -3
-x - 2
0
x-2
-4
lim g(x) = lim
= - = +3
0
x "-2
x "-2 - x - 2
lim g(x) = lim
x "-2-
x "-2-
+
+
x-2
=1
x"2
x"2 x - 2
Assim, tem-se que a reta de equação x = -2 é assíntota vertical
ao gráfico da função g .
lim g(x) = lim
c)Dh = IR
Calculem-se os limites laterais no ponto x = 0 :
lim h(x) = lim x2 = 0
x " 0-
x " 0-
3
-3
lim h(x) = lim c- x m = + = -3
x"0
0
Portanto, a reta de equação x = 0 é assíntota vertical ao gráfico
da função h .
x"0
+
+
Como a função é contínua em IR\{0} , não existem mais assíntotas verticais.
3
Considere-se a função f , real de variável real, de domínio IR , contínua,
em que 1 é o único zero.
Seja g , definida por:
g(x) =
x
f (x)
2
Justifique que:
3.1 Dg = IR+
0 \{1}
3.2 g é contínua.
3.3a reta de equação x = 1 é assíntota vertical ao gráfico de g .
3.1 Dg = {x ! IR: x H 0 / f 2(x) ! 0} = [0, +3[ + {1} = IR+
0 \{1}
3.2 g é contínua porque é o quociente de duas funções contínuas.
x
1
= + = +3 , então, a reta de equação
f 2 (x)
0
x = 1 é assíntota vertical ao gráfico de g .
3.3 Como lim g(x) = lim
x"1
x"1
388
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
14.2 Assíntotas não verticais ao gráfico de uma função
14
4
y
6
4
2
Considere a função g , de domínio IR\{-1, 1} ,
representada na figura ao lado.
As retas de equação x = -1 , x = 1
e y = -2 são assíntotas ao gráfico de g .
Indique as equações das assíntotas aos gráficos
das funções definidas por:
2524232221 O 1 2 3 x
22
24
26
a) a(x) = g(x - 1)
c) c(x) = 1 - g(x)
b) b(x) = g(x) + 3
d) d(x) = -1 + g(x + 2)
a)As retas de equação x = 0 , x = 2 e y = -2 são assíntotas ao gráfico de a .
b)As retas de equação x = -1 , x = 1 e y = 1 são assíntotas u4p120h3
ao gráfico de b .
c)As retas de equação x = -1 , x = 1 e y = 3 são assíntotas ao gráfico de c .
d)As retas de equação x = -3 , x = -1 e y = -3 são assíntotas
ao gráfico de d .
5
Considere as funções definidas analiticamente por:
2 - x2
3x + 2
e g(x) = 2
f(x) =
x+1
x -1
Determine o domínio de cada uma e estude a existência de assíntotas horizontais
ao gráfico de cada uma das funções.
Função f :
Df = IR\{-1}
Calculem-se os limites em -3 e em +3 :
3x
3x + 2
lim f (x) = lim
= lim x = 3
x " -3
x " -3 x + 1
x " -3
3x
3x + 2
lim f (x) = lim
= lim x = 3
x " +3
x " +3 x + 1
x " +3
Tem-se que a reta de equação y = 3 é assíntota horizontal ao gráfico da função f .
Função g :
Dg = IR\{-1, 1}
Calculem-se os limites em -3 e em +3 :
2 - x2
-x2
lim g(x) = lim 2
= lim
= -1
x " -3
x " -3 x - 1
x " -3 x 2
2 - x2
-x2
lim g(x) = lim 2
= lim
= -1
x " +3
x " +3 x - 1
x " +3 x 2
Tem-se que a reta de equação y = -1 é assíntota horizontal ao gráfico da função g .
389
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assíntotas ao gráfico de uma função
6
Estude cada função seguinte quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico,
paralelas aos eixos coordenados:
1
1
a) a(x) = 2 +
e) e(x) = x
x-3
2
x-1
2-x
c) c(x) =
x-4
x-2
d) d(x) = 2
x -4
b) b(x) =
f) f(x) =
g) g(x) =
x2 + 1
x
2x
x -1
a) Da = IR\{0}
Calculem-se os limites laterais no ponto x = 0 :
1
lim a(x) = lim c 2 + x m = 2 + (-3) = -3
x"0
x"0
-
-
1
lim a(x) = lim c 2 + x m = 2 + (+3) = +3
x"0
x"0
+
+
Calculem-se os limites em -3 e em +3 :
1
lim a(x) = lim c 2 + x m = 2 + 0 = 2
x " -3
x " -3
1
lim a(x) = lim c 2 + x m = 2 + 0 = 2
x " +3
x " +3
Tem-se que a reta de equação x = 0 é assíntota vertical e a reta de equação
y = 2 é assíntota horizontal ao gráfico da função a .
Como a função é contínua em IR\{0} , não existem mais assíntotas verticais.
b) Db = IR\{1}
Calculem-se os limites laterais no ponto x = 1 :
2
2
lim b(x) = lim
= - = -3
0
x"1
x"1 x - 1
2
2
lim b(x) = lim
= + = +3
x"1
x"1 x - 1
0
Calculem-se os limites em -3 e em +3 :
2
2
lim b(x) = lim
= -3 = 0
x " -3
x " -3 x - 1
2
2
lim b(x) = lim
=
=0
+3
x " +3
x " +3 x - 1
Tem-se que a reta de equação x = 1 é assíntota vertical e a reta de equação
y = 0 é assíntota horizontal ao gráfico da função b .
-
-
+
+
Como a função é contínua em IR\{1} , não existem mais assíntotas verticais.
390
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
c) Dc = IR\{4}
14
Calculem-se os limites laterais no ponto x = 4 :
2-x
-2
lim c(x) = lim
= - = +3
0
x"4
x"4 x - 4
2-x
-2
lim c(x) = lim
= + = -3
x"4
x"4 x - 4
0
Calculem-se os limites em -3 e em +3 :
-x
2-x
lim c(x) = lim
= lim x = -1
x " -3
x " -3 x - 4
x " -3
-x
2-x
lim c(x) = lim
= lim x = -1
x " +3
x " +3 x - 4
x " +3
-
-
+
+
Tem-se que a reta de equação x = 4 é assíntota vertical e a reta de equação
y = -1 é assíntota horizontal ao gráfico da função c .
Como a função é contínua em IR\{4} , não existem mais assíntotas verticais.
d) Dd = IR\{-2, 2}
Calculem-se os limites nos pontos x = -2 e x = 2 :
x-2
-4
lim d(x) = lim 2
= + = -3
x "-2
x "-2 x - 4
0
x-2
-4
lim d(x) = lim 2
= - = +3
0
x "-2
x "-2 x - 4
x-2
1
1
lim d(x) = lim 2
= lim
=
4
x"2
x"2 x - 4
x"2 x + 2
Calculem-se os limites em -3 e em +3 :
x
x-2
1
1
lim d(x) = lim 2
= lim 2 = lim x = -3 = 0
x " -3
x " -3 x - 4
x " -3 x
x " -3
x
x-2
1
1
lim d(x) = lim 2
= lim 2 = lim x =
=0
+3
x " +3
x " +3 x - 4
x " +3 x
x " +3
Tem-se que a reta de equação x = -2 é assíntota vertical e a reta
de equação y = 0 é assíntota horizontal ao gráfico da função d .
-
-
+
+
Como a função é contínua em IR\{-2, 2} , não existem mais assíntotas
verticais.
e) De = [3, +3[
Calcule-se o limite lateral no ponto x = 3 :
1
-1
lim e(x) = lim = + = -3
x"3
x"3
0
x-3
Basta calcular o limite à direita de 3 porque a função não está definida
para valores inferiores a 3 .
+
+
Calcule-se o limite em +3 :
lim e(x) = lim e-
x " +3
x " +3
1
o=0
x-3
391
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assíntotas ao gráfico de uma função
Tem-se que a reta de equação x = 3 é assíntota vertical e a reta de equação
y = 0 é assíntota horizontal ao gráfico da função e .
Como a função é contínua em ]3, +3[ , não existem mais assíntotas
verticais.
f) Df = IR\{0}
Calculem-se os limites laterais no ponto x = 0 :
x2 + 1
1
= - = -3
x
0
x"0
x"0
2
x +1
1
lim f(x) = lim
= + = +3
x
x"0
x"0
0
Calculem-se os limites em -3 e em +3 :
lim f (x) = lim
-
-
+
+
2
lim f(x) = lim
x " -3
x " -3
x +1
= lim
x
x " -3
- xe
1
o
x2
x
xe
2
1+
1+
= -1
1
o
x2
x +1
= lim
=1
x
x
x " +3
Tem-se que a reta de equação x = 0 é assíntota vertical e as retas de equações
y = -1 e y = 1 são assíntotas horizontais ao gráfico da função f .
lim f(x) = lim
x " +3
x " +3
Como a função é contínua em IR\{0} , não existem mais assíntotas verticais.
g) Dg = IR\{-1, 1}
Calculem-se os limites laterais nos pontos x = -1 e x = 1 :
-2
2x
lim g(x) = lim
= + = -3
x "-1
x "-1
0
x -1
2x
-2
lim g(x) = lim
= - = +3
0
x "-1
x "-1
x -1
2x
2
lim g(x) = lim
= - = -3
0
x"1
x"1
x -1
2x
2
lim g(x) = lim
= + = +3
x"1
x"1
0
x -1
Calculem-se os limites em -3 e em +3 :
2x
2x
2x
lim g(x) = lim
= lim
= lim - x = -2
x " -3
x " -3 x - 1
x " -3 - x - 1
x " -3
2x
2x
2x
lim g(x) = lim
= lim
= lim x = 2
x " +3
x " -3 x - 1
x " -3 x - 1
x " -3
Tem-se que as retas de equações x = -1 e x = 1 são assíntotas verticais
e as retas de equações y = -2 e y = 2 são assíntotas horizontais
ao gráfico da função g .
-
-
+
+
-
-
+
+
Como a função é contínua em IR\{-1, 1} , não existem mais assíntotas verticais.
392
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Considere o ponto B , que, em determinado
referencial o.n. do plano xOy , tem coordenadas
(1, 2) .
Tarefa 2
Sejam C e D os pontos de coordenadas
(x, 0) , x > 1 , e (0, y) , tais que B , C e D
são colineares.
2.1 Escreva y em função de x .
14
y
D
B
O
x
C
2.2Mostre que a área A do triângulo [OCD]
é dada em função de x por:
1
, x > 1 u4p122h1
x-1
2.3Com o auxílio da calculadora gráfica, represente o gráfico de A e indique
para que valor de x a área do triângulo é mínima.
A(x) = x + 1 +
2.1 BC é colinear com BD .
BC = (C - B)(x - 1, -2)
BD = (D - B)(-1, y - 2)
Como são colineares, tem-se:
2x
x-1
-2
=
+y=
y-2
x-1
-1
2x
x#
x#y
x2
x-1
2.2 A área é dada por
, então, A(x) =
=
.
2
2
x-1
Utilizando o algoritmo da divisão, tem-se que:
x2 = (x + 1)(x - 1) + 1
Logo:
(x + 1) (x - 1) + 1
(x + 1) (x - 1)
x2
1
=
=
=
+
x-1
x-1
x-1
x-1
1
= x + 1 +
x-1
2.3 y
4
O
2
x
A área é mínima para x = 2 .
u4p122h3_LP
393
000707 386-405 U14.indd 393
01/07/16 13:51
assíntotas ao gráfico de uma função
7
Considere a função real de variável real definida por:
2x 2 + 3x - 1
f(x) =
x+1
7.1Determine o domínio de f .
7.2Escreva f(x) na forma:
ax + b +
k
x+1
7.1 Df = {x ! IR: x + 1 ! 0} = IR\{-1}
7.2 Aplicando a regra de Ruffini:
2
3
-1
2
-2
1
-1
-2
-1
2x2 + 3x - 1 = (x + 1)(2x + 1) - 2
Então:
(x + 1) (2x + 1) - 2
2x 2 + 3x - 1
=
=
x+1
x+1
(x + 1) (2x + 1)
-2
-2
=
+
= 2x + 1 +
x+1
x+1
x+1
f (x) =
8
Considere uma função g , de domínio IR\{1} , contínua, tal que:
• lim g(x) = -3
x"1
• lim g(x) = 2
x " -3
• lim (g(x) - x) = 0
x " +3
Esboce a representação gráfica de uma função que cumpra as condições indicadas.
Por exemplo:
y
4
3
2
1
24 23 22 21 0
21
1
2
3
4 x
22
23
24
394
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
9
14
Prove que a reta de equação y = x + 2 é assíntota, em +3 e em -3 ,
ao gráfico da função f , definida por:
x2
f(x) =
x-2
Para provar que a reta de equação y = x - 2 é assíntota não vertical
ao gráfico de f em +3 e em -3 , basta mostrar que:
lim ^f (x) - (x + 2)h = 0 e lim ^f (x) - (x + 2)h = 0
x " +3
x " -3
Tem-se que:
lim ^f(x) - x - 2) = lim d
x2
- x - 2n =
x " +3
x " +3 x - 2
x 2 - x 2 + 2x - 2x + 4
4
4
n = lim
= lim d
=
=0
x-2
+3
x " +3
x " +3 x - 2
De igual modo:
lim ^f(x) - x - 2) = lim d
x2
- x - 2n =
x " -3
x " -3 x - 2
x 2 - x 2 + 2x - 2x + 4
4
4
n = lim
= lim d
= -3 = 0
x-2
x " -3
x " -3 x - 2
c.q.d.
10
Considere uma função f , de domínio IR+ , em que se sabe que:
• f é contínua e estritamente crescente e f(1) = 0 ;
• o eixo Oy é assíntota ao gráfico de f ;
• o gráfico de f tem uma assíntota não vertical, paralela à bissetriz dos
quadrantes ímpares e que passa pelo ponto de coordenadas (1, 0) .
Indique:
a) lim f(x)
x " +3
b) lim f(x)
x"0
x
x " 1 f (x)
f (x)
d) lim
x " +3 x
c) lim-
e) lim ^f(x) - xh
x " +3
a) lim f(x) = +3
x " +3
b) lim f(x) = -3
x"0
x
1
= - = -3
0
x " 1 f (x)
f (x)
d) lim
=1
x " +3 x
c) lim-
e) lim ^f(x) - xh = -1
x " +3
395
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assíntotas ao gráfico de uma função
11
Determine as assíntotas aos gráficos das seguintes funções:
x3
(x - 1)2
x2
d) i(x) =
2- x
2x 2
x2 - 1
x 2 - 2x
b) g(x) =
x+3
a) f(x) =
c) h(x) =
a) Df = IR\{-1, 1}
Assíntotas verticais:
lim f(x) = lim
2x 2
2
= + = +3
2
x -1
0
lim f (x) = lim
2x 2
2
= - = -3
2
0
x -1
x "-1-
x "-1-
x "-1+
x "-1+
lim f (x) = lim
2x 2
2
= - = -3
2
0
x -1
lim f (x) = lim
2
2x 2
= + = +3
2
x -1
0
x " 1-
x " 1-
x " 1+
x " 1+
As retas de equações x = -1 e x = 1 são assíntotas verticais ao gráfico de f .
Como a função é contínua em IR\{-1, 1} , não existem mais assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais:
2x 2
2x 2
2x 2
x2 - 1
lim
lim
=
=
=
x
x " +3 x 3 - x
x " +3 x 3
f (x)
lim
x = x"
+3
2
= lim x = 0
x " +3
Logo, não tem assíntotas oblíquas.
lim
x " +3
No entanto:
2x 2
2x 2
= lim
=2
x " -3
x " -3 x - 1
x " -3 x 2
2x 2
2x 2
lim f(x) = lim 2
= lim
=2
x " +3
x " +3 x - 1
x " +3 x 2
Logo, tem-se que a reta de equação y = 2 é assíntota horizontal ao gráfico
da função f .
lim f(x) = lim
2
b) Dg = IR\{-3}
Assíntotas verticais:
x 2 - 2x
15
= - = -3
x+3
0
x "-3
x "-3
2
15
x - 2x
lim g(x) = lim
= + = +3
x+3
x "-3
x "-3
0
A reta de equação x = -3 é assíntota vertical ao gráfico de g .
lim g(x) = lim
-
-
+
+
396
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01/07/16 13:51
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
14
Como a função é contínua em IR\{-3} , não existem mais assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais:
lim
x " +3
x 2 - 2x
x 2 - 2x
x2
x+3
lim
lim
=
=
=1
2
x
x " +3 x + 3x
x " +3 x 2
g (x)
lim
x = x"
+3
lim ^g(x) - x) = lim d
x " +3
x " +3
x 2 - 2x
- 5x
= -5
- x n = lim
x+3
x " +3 x + 3
Tem-se, assim, que a reta de equação y = x - 5 é assíntota oblíqua
ao gráfico de g em +3 e em -3 (pois, efetuando cálculos análogos
para -3 , conclui-se que a reta é igualmente assíntota ao gráfico
de g em -3 ) .
c) Dh = IR\{1}
Assíntotas verticais:
x3
1
= + = +3
x"1
x " 1 (x - 1)2
0
A reta de equação x = 1 é assíntota vertical ao gráfico de h .
lim h(x) = lim
Como a função é contínua em IR\{1} , não existem mais assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais:
lim
x " +3
h (x)
lim
x = x"
+3
x3
(x - 1)2
x3
x3
lim
lim
=
=
=1
x
x " +3 x 3 - 2x 2 + x
x " +3 x 3
lim ^h(x) - x) = lim e
x " +3
x " +3
x3
2x 2 - x
o
x
lim
=
=
x " +3 x 2 - 2x + 1
x 2 - 2x + 1
2x 2
= lim
=2
x " +3 x 2
Tem-se, assim, que a reta de equação y = x + 2 é assíntota oblíqua
ao gráfico de h em +3 e em -3 (pois, efetuando cálculos análogos
para -3 , conclui-se que a reta é igualmente assíntota ao gráfico
de h em -3 ) .
d) Di = IR\{-2, 2}
Assíntotas verticais:
lim i(x) = lim
x2
4
= - = -3
0
2- x
lim i(x) = lim
4
x2
= + = +3
0
2- x
x "-2-
x "-2+
x "-2-
x "-2+
lim i(x) = lim
4
x2
= + = +3
0
2- x
lim i(x) = lim
x2
4
= - = -3
0
2- x
x " 2-
x " 2+
x " 2-
x " 2+
397
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assíntotas ao gráfico de uma função
As retas de equações x = -2 e x = 2 são assíntotas verticais
ao gráfico de i .
Como a função é contínua em IR\{-2, 2} , não existem mais assíntotas
verticais.
Assíntotas não verticais:
lim
x " +3
i (x)
lim
x = x"
+3
x2
2- x
x
lim ^i(x) + xh = lim d
x " +3
lim
x " -3
x " +3
i (x)
lim
x = x"
-3
x " +3
x " -3
x2
x2
lim
=
= -1
x " +3 - x 2
2x - x 2
2x
x2
2x
= lim - x = -2
+ x n = lim
2- x
x " +3 2 - x
x " +3
x2
2- x
x
lim ^i(x) - xh = lim d
x " -3
= lim
= lim
x " -3
x2
x2
= lim 2 = 1
2
x " -3 x
2x + x
- 2x
x2
- 2x
- x n = lim
= lim
x = -2
2+ x
x " -3 2 + x
x " -3
Tem-se, assim, que a reta de equação y = -x - 2 é assíntota oblíqua
ao gráfico de i em +3 e a reta de equação y = x - 2 é assíntota
oblíqua ao gráfico de i em -3 .
Considere a função real de variável real g , definida por:
Tarefa 3
x2
se x H 2
2 - x2
g(x) =
x2 + x
se x 1 2
x-2
*
3.1Mostre que a reta de equação x = 2 é a única assíntota vertical
ao gráfico de f .
3.2Estude a função g quanto à existência de assíntotas não verticais
ao seu gráfico e, caso existam, indique a sua equação reduzida.
3.1As restrições de g aos intervalos ]-3, 2[ e [2, +3[ são funções
contínuas por serem racionais. Logo, para procurar assíntotas verticais,
apenas faz sentido calcular:
lim g(x) = lim
x " 2-
x " 2-
3x
x2 + x
6
n = 2 + - = -3
= lim d x +
x
2
x-2
0
x"2
-
Donde se conclui que a reta de equação x = 2 é a única assíntota vertical
ao gráfico de g .
398
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
3.2Para x " +3 :
lim g(x) = lim
x " +3
x " +3
14
x2
x2
= lim
= -1
2
x " +3 - x 2
2-x
Conclui-se que a reta de equação y = -1 é assíntota horizontal
ao gráfico de g em +3 .
Para x " -3 , vem:
x2 + x
g (x)
x2 + x
x2
x-2
lim
lim
=
=
=1
m = lim x = lim
x
x " -3
x " -3
x " -3 x 2 - 2x
x " -3 x 2
x2 + x
3x
b = lim ^g(x) - mxh = lim d
=
- x n = lim
x-2
x " -3
x " -3
x " -3 x - 2
3x
= lim x = 3
x " -3
Portanto, a reta de equação y = x + 3 é assíntota oblíqua ao gráfico
de g em -3 .
12
Considere a função h , real de variável real, definida por:
h(x) =
*
1
x-2
se x 2 0 , x ! 2
x
se x G 0 , x ! 1
x -1
a)Estude a continuidade de h .
b)Determine, caso existam, as assíntotas paralelas aos eixos coordenados
ao gráfico de h .
a)As restrições de h a ]-3, 0]\{-1} e a ]0, +3[\{2} são funções
contínuas, pois são o quociente de funções contínuas.
x
lim h(x) = lim
=0
x"0
x"0
x -1
-
-
lim h(x) = lim
x"0
+
x"0
+
1
1
=x-2
2
h(0) = 0
Então, lim g(x) ! lim g(x) = h(0) , ou seja, não existe lim h(x) ,
x"0
+
x " 0-
x"0
pelo que h não é contínua em 0 .
A função é contínua em IR\{-1, 0, 2} .
399
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01/07/16 13:52
assíntotas ao gráfico de uma função
b) Calculem-se os limites laterais nos pontos x = -1 e x = 2 :
x
-1
= + = -3
0
x -1
x
-1
lim h(x) = lim
= - = +3
0
x "-1
x "-1
x -1
1
1
lim h(x) = lim
= - = -3
0
x"2
x"2 x - 2
1
1
lim h(x) = lim
= + = +3
x"2
x"2 x - 2
0
Calculem-se os limites em -3 e em +3 :
x
x
lim h(x) = lim
= lim
= -1
x " -3
x " -3 x - 1
x " -3 - x - 1
1
lim h(x) = lim
=0
x " +3
x " +3 x - 2
Tem-se que as retas de equações x = -1 e x = 2 são assíntotas verticais
e as retas de equações y = -1 e y = 0 são assíntotas horizontais ao gráfico
da função h .
lim h(x) = lim
x "-1-
x "-1-
+
+
-
-
+
+
Como a função é contínua em IR\{-1, 0, 2} , não existem mais assíntotas
verticais.
13
Estude a função g , real de variável real, definida por
2x 2 + 1
se x 1 0
x
g(x) = 4x
se 0 G x 1 2
1- x
se x H 2
x2
quanto à existência de assíntotas do seu gráfico.
*
Dg = IR
Assíntotas verticais:
2x 2 + 1
1
= - = -3
x
0
x"0
x"0
lim g(x) = lim 4x = 0
lim g(x) = lim
-
x"0
+
-
x"0
+
lim g(x) = lim 4x = 8
x " 2-
x " 2-
1-x
1
-1
=
=2
4
4
x"2
x"2
x
Tem-se que a reta de equação x = 0 é assíntota vertical ao gráfico da função g .
lim g(x) = lim
+
+
Como a função é contínua em IR\{0, 2} , não existem mais assíntotas verticais.
400
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
14
Assíntotas não verticais:
1- x
g (x)
-x
-1
1- x
x2
lim x = lim
= lim
= lim
= lim
=0
3
3
x
x " +3
x " +3
x " +3
x " +3 x
x " +3 x 2
x
Logo, não existe assíntota oblíqua ao gráfico de g em +3 .
-1
1-x
-x
lim g(x) = lim
= lim
= lim x = 0
2
2
x " +3
x " +3
x " +3 x
x " +3
x
Por outro lado:
2x 2 + 1
g (x)
2x 2 + 1
2x 2
x
lim
lim
lim
lim
=
=
=
=2
2
x
x
x " -3
x " -3
x " -3
x " -3 x 2
x
lim ^g(x) - 2xh = lim e
x " -3
x " -3
1
2x 2 + 1
- 2x o = lim 2 = 0
2
x " -3 x
x
Tem-se, assim, que a reta de equação y = 0 é assíntota horizontal ao gráfico
de g em +3 e a reta de equação y = 2x é assíntota oblíqua ao gráfico
de g em -3 .
14
Estude as funções seguintes quanto à existência de assíntotas:
4x 2 + 4x e g(x) =
f(x) =
x4 + x2 + 1
x2
Função f :
Assíntotas verticais:
A função f tem domínio ]-3, -1] , [0, +3[ e é contínua em todo o seu
domínio; sendo assim, o gráfico da função f não possui assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais:
lim
x " +3
f (x)
lim
x = x"
+3
4x 2 + 4x
= lim
x
x " +3
4
4- x =2
lim ^f(x) - 2xh = lim _ 4x 2 + 4x - 2x i =
x " +3
x " +3
= lim
x " +3
= lim
x " +3
lim
x " -3
_ 4x 2 + 4x - 2x i_ 4x 2 + 4x + 2x i
_ 4x 2 + 4x + 2x i
4x
2
4x + 4x + 2x
f (x)
lim
x = x"
-3
= lim
x " +3
xd
=
4x
4
4 - x + 2n
4x 2 + 4x
= lim dx
x " -3
=
4
=1
4
4
4 - x n = -2
401
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assíntotas ao gráfico de uma função
^f (x) + 2xh = lim _ 4x 2 + 4x + 2x i =
x " -3
= lim
x " -3
_ 4x 2 + 4x + 2x i_ 4x 2 + 4x - 2x i
= lim
x " -3
_ 4x 2 + 4x - 2x i
4x
2
4x + 4x - 2x
= lim
x " -3
=
4x
- xd
4
4 - x + 2n
=
4
= -1
-4
Tem-se, assim, que a reta de equação y = 2x + 1 é assíntota oblíqua ao gráfico
de f em +3 e a reta de equação y = -2x - 1 é assíntota oblíqua
ao gráfico de f em -3 .
Função g :
Assíntotas verticais:
Dg = IR\{0}
x4 + x2 + 1
1
= + = +3
2
x"0
x"0
x
0
A reta de equação x = 0 é assíntota vertical ao gráfico de g .
lim g(x) = lim
Assíntotas não verticais:
x4 + x2 + 1
x2
= lim
x
x " +3
g (x)
lim
lim
x = x"
x " +3
+3
x
= lim
x " +3
1+
1
1
+ 4
2
x
x
= lim
x
x " +3
lim ^f(x) - x) = lim f
x " +3
x " +3
= lim
e
1
- x oe
x2
x2 + 1 +
1
1
+ 4 =1
x2
x
x2 + 1 +
1
x +1+ 2 +x
x
1
+ xo
x2
=
2
1+
x " +3
=
1
- xo =
x2
x2 + 1 +
x " +3
= lim
x
1
x2
x4 + x2 + 1
- xp =
x2
x " +3
= lim e
1+
x2 + 1 +
1
x2
x2 + 1 +
1
+x
x2
=
1
=0
+3
402
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01/07/16 13:52
x4 + x2 + 1
x2
= lim
x
x " -3
g (x)
lim
lim
x = x"
x " -3
-3
1+
-x
= lim
x
x " -3
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
1
1
+ 4
x2
x
= lim ex " -3
1+
lim ^f(x) + xh = 0 `análogo ao lim ^f(x) - xhj
x " -3
14
x2 + 1 +
x
1
x2
=
1
1
+ 4 o = -1
2
x
x
x " +3
Tem-se, assim, que a reta de equação y = x é assíntota oblíqua ao gráfico de g
em +3 e a reta de equação y = -x é assíntota oblíqua ao gráfico de g
em -3 .
NOTA:
m vez de se fazer os cálculos para -3 , pode-se argumentar que
E
a função g é par e, portanto, a reta simétrica a y = x em relação
ao eixo das ordenadas tem de ser assíntota oblíqua em -3 .
15
Dada uma função f , de domínio IR+ , sabe-se que:
• f é contínua;
• as retas de equação x = 0 e y - 2x = 1 são assíntotas ao gráfico de f .
15.1 Indique o valor de:
a) lim ^f(x) - 2x)
x " +3
f (x) - 3x - 1
x
x " +3
15.2Determine as assíntotas da função g definida por g(x) = 3 - 2f(x) .
b) lim
15.1 a) lim ^f(x) - 2xh = 1
x " +3
b) lim
x " +3
f (x) - 3x - 1
f (x)
1
= lim d x - 3 - x n = 2 - 3 - 0 = -1
x
x " +3
15.2 Assíntotas verticais:
lim g(x) = lim ^3 - 2f (x)h = 3 - 2 × 3 = 3
x"0
+
x"0
+
A reta de equação x = 0 é assíntota vertical ao gráfico de g .
Assíntotas não verticais:
3 - 2f (x)
f (x)
g (x)
3
lim
lim
lim
lim
=
=
2
x
x
x =
x " +3
x " +3
x " +3 x
x " +3
= 0 - 2 × 2 = -4
lim ^g(x) + 4xh = lim ^3 - 2f (x) + 4xh =
x " +3
x " +3
= 3 - 2 lim ^f(x) - 2xh = 3 - 2 = 1
x " +3
A reta de equação y = -4x + 1 é assíntota ao gráfico de g .
403
000707 386-405 U14.indd 403
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assíntotas ao gráfico de uma função
16
De uma função f , de domínio IR+ , sabe-se que a bissetriz dos quadrantes
ímpares é uma assíntota ao seu gráfico.
Seja g a função de domínio IR+ , definida por:
f (x)
g(x) = 2
x
Prove que o eixo Ox é assíntota ao gráfico de g .
Tem-se:
f (x)
f (x)
1
= lim x × lim x = 1 × 0 = 0
2
x " +3
x " +3 x
x " +3
x " +3
Portanto, a reta de equação y = 0 , ou seja, o eixo Ox , é assíntota
horizontal ao gráfico de g .
lim g(x) = lim
17
Considere uma função g de domínio IR\{0} , em que se sabe que:
• g é contínua;
• g é par;
• lim (g(x) - 3x) = 1
x " +3
• o gráfico de g tem uma assíntota vertical;
• g não tem zeros.
Seja h a função de domínio IR\{0} , definida por:
g (x)
h(x) =
2x
Mostre que o gráfico de h admite uma assíntota vertical e duas assíntotas
horizontais.
Assíntotas verticais:
g (x)
+3
= + = +3
x"0
x " 0 2x
0
A reta de equação x = 0 é assíntota vertical ao gráfico de h .
lim h(x) = lim
Assíntotas horizontais:
lim h(x) = lim
g (x)
g (x)
1
1
3
lim
=
=
×3=
2x
2 x " +3 x
2
2
lim h(x) = lim
g (x)
g (x)
1
1
3
lim
=
=
× (-3) = x
2x
2 x " +3
2
2
x " +3
x " -3
x " +3
x " -3
3
3
As retas de equações y =
e y=são assíntotas horizontais
2
2
ao gráfico de h .
404
000707 386-405 U14.indd 404
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Considere uma função f , de domínio IR+ , tal que:
Tarefa 4
14
(I) f é contínua;
(II)o gráfico de f tem duas assíntotas, uma vertical e outra oblíqua;
f (x)
= -2
x " +3 x
Nenhum dos gráficos a seguir apresentados é o gráfico da função f .
(III)
lim
(A)
(B) y
y
0
2
0
x
(C)
y
x
0
x
Elabore uma composição na qual apresente, para cada um dos gráficos,
u4p127h2
um tópico
pelo qual esse gráfico não pode ser o gráfico da função f .
u4p127h1
u4p127h3
NOTA: Só pode utilizar cada tópico, (I), (II) e (III), em cada gráfico.
O gráfico (A) não representa a função f , pois o gráfico apresentado não tem
uma assíntota oblíqua mas sim uma assíntota horizontal (isto é, o declive
da assíntota apresentada é 0 e não -2 ) .
O gráfico (B) não representa igualmente a função f , uma vez que o gráfico
apresentado não representa uma função contínua em IR+ .
Por fim, o gráfico (C) não representa a função f , visto que o gráfico
apresentado tem uma assíntota oblíqua de declive positivo e o declive
da assíntota oblíqua ao gráfico da função f é -2 .
405
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UNIDADE
15
funções racionais
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
15.1 Domínio, zeros e sinal
1
Para cada uma das funções seguintes indique o domínio e, caso existam,
determine os zeros.
2-x
2x - 6
a) a(x) =
c) c(x) =
2
x-4
x+1
b) b(x) = x -
1
x
d) d(x) =
x 2 - 5x + 4
x 2 - 16
a) Da = IR\{-1}
2x - 6
=0+
x+1
+ 2x - 6 = 0 / x + 1 ! 0 + x = 3 / x ! -1
a(x) = 0 +
Zero: 3
b) Db = IR\{0}
1
b(x) = 0 + x - x = 0 + x2 - 1 = 0 / x ! 0 +
+ (x = -1 0 x = 1) / x ! 0
Zeros: -1 e 1
c) Dc = IR\{2}
2-x
= 0 + 2 - x = 0 / 2x - 4 ! 0 +
2x - 4
+x=2/x!2
c(x) = 0 +
Não tem zeros.
d) Dd = IR\{-4, 4}
x 2 - 5x + 4
= 0 + x2 - 5x + 4 = 0 + x2 - 16 ! 0 +
x 2 - 16
+ (x = 1 0 x = 4) / (x ! -4 / x ! 4)
d(x) = 0 +
Zero: 1
406
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
2
Resolva, em IR :
3x - 1
a)
=2
x+1
a)
b)
2
=3
1 - x2
c)
15
x+2
1
=4
x2 - 4
3x - 1
3x - 1 - 2x - 2
x-3
=2+
=0+
=0+
x+1
x+1
x+1
+ x - 3 = 0 / x + 1 ! 0 + x = 3 / x ! -1
C.S. = {3}
b)
c)
2
2 - 3 + 3x 2
- 1 + 3x 2
=
3
+
=
0
+
=0+
1 - x2
1 - x2
1 - x2
+ -1 + 3x2 = 0 / 1 - x2 ! 0 +
+ e x =-
3
0x =
3
C.S. = )-
3
,
3
3
o / x ! -1 / x ! 1
3
3
3
3
x+2
4x + 8 + x 2 - 4
4x + 4 + x 2
1
=
+
=
0
+
=0+
4
x2 - 4
4x 2 - 16
4x 2 - 16
+ 4x + 4 + x2 = 0 / 4x2 - 16 ! 0 +
16 - 4 # 4
/ x ! -2 / x ! 2 +
2
+ x = -2 / x ! -2 / x ! 2
+x=
-4 !
C.S. = { }
Tarefa 1
Num teste efetuado a uma nova câmara
frigorífica de conservação de um minimercado,
concluiu-se que a temperatura T no interior
da mesma, a partir do instante em que a câmara
foi ligada e durante as duas primeiras horas,
era bem aproximada, em função do tempo t ,
em minutos, pela função:
10 - 4t
,tH0
T(t) =
0,8t + 2
Responda a cada uma das questões seguintes utilizando processos analíticos.
1.1Determine o zero da função T e interprete o instante obtido no contexto
do problema.
1.2Determine o instante em que a temperatura na câmara é inferior em 8 °C
à temperatura do início da experiência.
407
000707 406-445 U15.indd 407
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funções racionais
1.1 Para t H 0 :
10 - 4t
= 0 + 10 - 4t = 0 / 0,8t + 2 ! -2,5 +
0,8t + 2
+ t = 2,5 / t ! -2,5 + t = 2,5
T(t) = 0 +
Atingiu a temperatura de 0 °C ao fim de 2,5 minutos.
1.2 Tem-se que T(0) = 5 e para t H 0 :
10 - 4t
10 - 4t
=5-8+
+3=0+
0,8t + 2
0,8t + 2
10 - 4t + 2,4t + 6
+
= 0 + -1,6t + 16 = 0 / 0,8t + 2 ! 0 +
0,8t + 2
+ t = 10 / t ! -2,5 + t = 10
3
Estude o sinal das funções f e g , reais de variável real, definidas por:
2x - x 2
1-x
e g(x) =
f(x) =
3x - 1
2x + 1
Para a função f :
1
2
1 - x = 0 + x = 1 e 2x + 1 = 0 + x = Assim:
x
-3
1-x
2x + 1
f(x)
+
-
f é positiva em E-
-
1
2
+
0
n.d.
1
+
+
+
+3
0
+
-
+
0
1
1
, 1; e é negativa em E-3 , - ; , ]1, +3[ .
2
2
Para a função g :
2x - x2 = 0 + x = 0 0 x = 2 e 3x - 1 = 0 + x =
Assim:
x
2x - x2
3x - 1
g(x)
-3
+
1
3
0
0
0
g é positiva em ]-3, 0[ , F
+
-
+
0
n.d.
1
3
2
+
+
+
0
+
0
+3
+
-
1
1
, 2< e é negativa em F0, < , ]2, +3[ .
3
3
408
000707 406-445 U15.indd 408
01/07/16 13:53
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
4
Resolva, em IR :
1-x
a)
G0
x+1
b)
2x + 1
>5
x-1
c)
15
7
H -1
x -9
2
a) Tem-se que:
Assim:
x
1-x
x+1
1-x
x+1
Portanto:
b)
-3
+
-
-1
+
0
-
n.d.
+
+
1
0
+
+3
+
+
0
-
1-x
G 0 + x ! ]-3, -1[ , [1, +3[
x+1
2x + 1
2x + 1 - 5x + 5
- 3x + 6
>5+
>0+
>0
x-1
x-1
x-1
Tem-se que:
-3x + 6 = 0 + x = 2 e x - 1 = 0 + x = 1
Assim:
x
-3x + 6
x-1
- 3x + 6
x-1
Portanto:
c)
1 - x = 0 + x = 1 e x + 1 = 0 + x = -1
-3
+
-
1
+
0
-
n.d.
+
+
2
0
+
+3
+
+
0
-
- 3x + 6
> 0 + x ! ]1, 2[
x-1
7
7 + x2 - 9
x2 - 2
H
-1
+
H
0
+
H0
x2 - 9
x2 - 9
x2 - 9
Tem-se que:
x2 - 2 = 0 + x = 2 + x = - 2 e x2 - 9 + x = 3 0 x = -3
Assim:
x
3
-3 -3
- 2
2
0
0
x -2
+
+
+
+
+
2
0
0
x -9
+
x2 - 2
0
0
+ n.d. +
- n.d.
x2 - 9
Portanto:
x2 - 2
H 0 + x ! ]-3, -3[ , 7- 2 , 2 A , ]3, +3[
x2 - 9
2
000707 406-445 U15.indd 409
+3
+
+
+
409
01/07/16 13:53
funções racionais
5
Vários amigos criaram um grupo numa rede
social na Internet. Admita que, t dias após
a sua criação, o número de membros desse grupo,
em dezenas, é dado, aproximadamente, por:
300t + 5
,tH0
N(t) =
t + 10
5.1Quantos amigos criaram o grupo?
5.2Determine ao fim de quantos dias o grupo atingiu os 1500 membros.
5.3O objetivo dos fundadores era ultrapassar os 2500 membros.
Ao fim de quantos dias é que isso aconteceu?
5.4A rede social oferece um prémio aos criadores de grupos com pelo menos
3500 membros.
Quando receberão o prémio?
1
5
=
= 0,5 dezenas
2
10
Logo, 5 amigos criaram o grupo.
5.1N(0) =
5.2N(t) = 150 +
+
300t + 5
300t + 5 - 150t - 1500
= 150 +
=0+
t + 10
t + 10
150t - 1495
= 0 + 150t - 1495 = 0 / t + 10 ! 0 +
t + 10
299
. 9,967 / t ! -10
30
O grupo atingiu os 1500 membros ao fim de 9 dias.
+ t =
5.3N(t) = 250 +
300t + 5
300t + 5 - 250t - 2500
= 250 +
=0+
t + 10
t + 10
50t - 2495
= 0 + 50t - 2495 = 0 / t + 10 ! 0 +
t + 10
499
+ t =
= 49,9 / t ! -10
10
Ao fim de 49 dias.
+
5.4N(t) = 350 +
+
300t + 5
300t + 5 - 350t - 3500
= 350 +
=0+
t + 10
t + 10
- 50t - 3495
= 0 + -50t - 3495 = 0 / t + 10 ! 0 +
t + 10
699
= -69,9 / t ! -10
10
Nunca vão atingir os 3500 membros; logo, nunca receberão o prémio.
+ t = -
410
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01/07/16 13:53
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
15
Considere os números reais a , b , c , d , com b e c não nulos e a função
definida por:
a
b
ax + b
, com c !
f(x) =
d
cx + d
Tarefa 2
a
d
Justifique que as retas de equação x = - c e y = c são as únicas assíntotas
ao gráfico de f .
d
Df = {x ! IR: cx + d ! 0} = IR\'- c 1
Assíntotas verticais:
Como a função f é racional, é contínua.
Assim, porque o único ponto aderente do domínio de f que não lhe pertence
d
d
é o - c , a reta de equação x = - c é a única que poderá ser assíntota
vertical ao gráfico de f .
d
a c- c m + b
ax + b
ax + b
limd
= lim
=
=3
d
0
cx + d
cx + d
x " d- n
x " d- n
-
+
c
c
d
A reta de equação x = - c é a única assíntota vertical ao gráfico de f .
Assíntotas horizontais:
lim f(x) = lim
x " -3
(x " +3)
x " -3
(x " +3)
ax
a
ax + b
= lim cx =
c'
cx + d
x " -3
(x " +3)
a
Então, a reta de equação y = c é assíntota ao gráfico da função f em -3
e em +3 .
6
Considere a função real de variável real definida por:
k
,k!0
f(x) = -1 +
x-2
6.1Indique as equações das assíntotas ao gráfico de f .
6.2Determine o valor de k , sabendo que (1, 1) pertence ao gráfico de f .
6.1Assíntota horizontal: y = -1
Assíntota vertical: x = 2
6.2f(1) = 1 + -1 +
k
k
=1+
= 2 + k = -2
1-2
1-2
411
000707 406-445 U15.indd 411
01/07/16 13:53
funções racionais
7
Escreva
5x - 2
na forma:
2x + 1
a+
k
(a, b, k ! IR)
x-b
Fazendo a divisão de polinómios, obtém-se:
5x - 2
5
-5x 2
9
2
Logo:
2x + 1
5
2
9
5
5
5x - 2
2
=
+
=
+
2
2
2x + 1
2x + 1
-
9
4
x - c-
1
m
2
8
Escreva uma expressão analítica de uma função homográfica f ,
em que o seu gráfico admita as assíntotas de equação x = 0 e y = 4
e tal que f(-1) = 0 .
k
A expressão da função é da forma f(x) = 4 + x .
Substituindo na expressão as coordenadas do ponto (-1, 0) :
k
+k=4
0=4+
-1
4
Logo, a expressão analítica é, por exemplo, f (x) = 4 + x .
15.2 Operações com funções racionais.
Equações e inequações fracionárias
9
Seja h a função de domínio ]-1, +3[ , tal que h(x) =
e r a função racional definida por r(x) =
x-2
x+1
x 2 - 4x + 4
.
1 - x2
h
Caracterize as funções h + r e r .
412
000707 406-445 U15.indd 412
01/07/16 13:53
x-2
x 2 - 4x + 4
(h + r)(x) =
=
+
x+1
1 - x2
-x + 2
- x 2 + 3x - 2
x 2 - 4x + 4
=
+
=
2
2
1 - x2
1-x
1-x
Dh + r = Dh + Dr = ]-1, +3[\{1}
x-2
(x - 2) (1 - x 2)
h
1-x
x+1
(x)
=
=
=
r
x-2
(x + 1) (x 2 - 4x + 4)
x 2 - 4x + 4
2
1-x
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
15
D h = Dh + Dr\{x ! IR: r(x) = 0} = Dh + Dr\{x ! IR: x2 - 4x + 4 = 0} =
r
= ]-1, +3[\{1, 2}
10
Caracterize, em cada uma das alíneas seguintes, f % g e g % f e, em cada caso,
diga se f e g são permutáveis.
1
x
2x
1- x
a)f(x) =
b)f(x) =
e g(x) =
x e g(x) = x + 1
x-2
x -1
a) (f % g)(x) = f^g(x)h = f d
x+1
1
1-x
n=
=
1-x
1-x
x+1
x+1
1-x
! 02 = IR\{-1, 1}
Df % g = {x ! Dg: g(x) ! Df} = (x ! IR\{-1}:
x+1
1
x-1
1- x
1
x-1
x
=
=
(g % f )(x) = g^f (x)h = gc x m =
1
1+x
1+x
x +1
x
1
Dg % f = {x ! Df : f (x) ! Dg} = %x ! IR\{0}: x ! -1/ = IR\{-1, 0}
Portanto, as funções f e g não são permutáveis.
2x
2x
x
x-2
x-2
m=
b) (f % g)(x) = f^g(x)h = f c
=
=x
x
x-2
x-x+2
-1
x-2
x-2
x
Df % g = {x ! Dg: g(x) ! Df} = %x ! IR\{2}:
! 1/ = IR\{2}
x-2
2x
2x
2x
x-1
x-1
n=
=
=x
(g % f)(x) = g^f(x)h = gd
x-1
2x
2x - 2x + 2
-2
x-1
x-1
2x
! 12 = IR\{-1, 1}
Dg % f = {x ! Df : f (x) ! Dg} = 'x ! IR\{1}:
x-1
Tem-se que as expressões analíticas de (f % g) e (g % f ) são iguais,
mas Df % g ! Dg % f ; logo, as funções não são permutáveis.
413
000707 406-445 U15.indd 413
01/07/16 13:53
funções racionais
11
Três torneiras podem ser utilizadas para encher determinado recipiente.
Com uma delas consegue-se encher o recipiente em 8 horas, com a segunda
em 4 horas e com a terceira em t horas.
Se as três torneiras funcionarem simultaneamente, prove que a expressão
do número de horas, h , necessárias para que o recipiente fique cheio
é dada por:
h(t) =
8t
,t>0
3t + 8
Caderno de Apoio do 11.º ano
1
1
do recipiente por hora; a segunda enche
8
4
1
por hora; e a terceira enche t .
A primeira torneira enche
Assim, as três torneiras em simultâneo enchem a seguinte fração do recipiente:
1
1
1
t + 2t + 8
3t + 8
+
+ t =
=
8
4
8t
8t
Logo, o número de horas necessárias para encher o recipiente é dado por:
h(t) =
1
8t
=
3t + 8
3t + 8
8t
12
Determine os zeros e estude o sinal de cada função cuja expressão analítica
se indica:
12.1 f(x) =
2
3
+5
x -1
x +1
12.2 g(x) =
1
4
+ 2
1- x
x -1
12.3 h(x) =
x 2 + 3x + 2
2- x
◊
x-3
x +1
12.4 i(x) =
x 3 + 6x 2 + 9x
4 - x2
12.1
2x + 2 - 3x + 3 + 5x 2 - 5
2
3
+5=
=
x-1
x+1
x2 - 1
=
- x + 5x 2
x2 - 1
414
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Tem-se que:
15
1
5
x2 - 1 = 0 + x = -1 0 x = 1
-x + 5x2 = 0 + x = 0 0 x =
x
-3
-1
-x + 5x2
+
+
+
0
+
-
+
n.d.
-
2
x -1
- x + 5x 2
x2 - 1
Zeros: 0 e
1
5
Positiva em ]-3, -1[ , F0,
e negativa em ]-1, 0[ , F
12.2
1
5
0
0
0
-
-
-
+
-
0
+
0
-
1
+3
+
0
+
+
n.d.
+
1
< , ]1, +3[
5
1
, 1< .
5
1
4
-1
4
=
+
=
+ 2
1-x
x -1
(x - 1) (x + 1)
x -1
=
-x - 1 + 4
-x + 3
= 2
2
x -1
x -1
Tem-se que:
-x + 3 = 0 + x = 3
x2 - 1 = 0 + x = -1 0 x = 1
Assim:
x
-x + 3
2
x -1
-x + 3
x2 - 1
1
3
0
-3
+
+
-1
+
0
+
-
+
0
+
+
+
+3
+
+
n.d.
-
n.d.
+
0
-
Zeros: 3
Positiva em ]-3, -1[ , ]1, 3[ e negativa em ]-1, 1[ , ]3, +3[ .
415
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funções racionais
(x + 1) (x + 2)
x 2 + 3x + 2
4 - x2
2-x
2- x
◊
=
◊
=
x-3
x-3
x-3
x+1
x +1
Tem-se que:
12.3
4 - x2 = 0 + x = 2 0 x = -2
x - 3 = 0 + x = 3
x + 1 = 0 + x = -1
Assim:
x
4 - x2
x-3
-3
-
-2
0
+
4-x
x-3
2
-
+
-
-1
+
-
+
-
0
-
n.d.
-
2
0
3
-
-
0
+3
+
0
+
n.d.
-
Zeros: -2 e 2
Positiva em ]-3, -2[ , ]2, 3[
e negativa em ]-2, -1[ , ]-1, 2[ , ]3, +3[ .
12.4 Tem-se que:
x3 + 6x2 + 9x = 0 + x(x2 + 6x + 9) = 0 +
+ x = 0 0 x = -3
4 - x2 = 0 + x = -2 0 x = 2
Assim:
x
x
-3 -3
- 2
0
x + 6x + 9
+
3
2
0
x + 6x + 9x 2
4-x
- 3
2
x + 6x + 9x
4 - x2
+
0
0
0
+
-
-2
+
0
+
+
+
0
+
n.d.
-
2
+
+
+
+
+
+3
+ +
+ +
+ +
0
-
0
+
n.d.
-
Zeros: -3 e 0
Positiva em ]-3, -3[ , ]-3, -2[ , ]0, 2[
e negativa em ]-2, 0[ , ]2, +3[ .
416
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
AVALIAR CONHECIMENTOS
15
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Para um certo valor de a real, considere a função f , de domínio IR , definida por:
5x + a se x H 1
f(x) = )
2ax 2 + 1 se x 1 1
O valor de a para que f seja contínua é:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
lim f(x) = 2a + 1 e lim f (x) = 5 + a = f (1)
x " 1-
x " 1+
A opção correta é a (D).
2
Considere as funções f e g , reais de variável real, definidas por:
x 2 + 2x
se x 1 0
1-x
2
f(x) =
e g(x) = * 2x - x
x+1
2 - x se x H 0
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) f e g não são contínuas em 0 .
(B) f é contínua em 0 e g não é contínua em 0 .
(C) f não é contínua em 0 e g é contínua em 0 .
(D) f e g são contínuas em 0 .
1- 0
= 1 = f(0)
0 +1
Logo, é contínua em 0 .
lim f(x) =
x"0
lim g(x) = lim
x " 0-
x " 0-
x (x + 2)
2
=
= -2
-1
x (2x - 1)
lim g(x) = 2 - 0 = 2
x " 0+
Como lim g(x) ! lim g(x) , g não é contínua em 0 .
x " 0-
x " 0+
A opção correta é a (B).
417
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funções racionais
3
Qual das funções seguintes tem domínio IR , é contínua e é injetiva?
1
(A) f(x) = x2
(B) f(x) = sin x
(C) f(x) =
(D) f(x) =
x
3
x
(A) f(x) = x2 não é injetiva, pois, por exemplo, f(-1) = f(1) .
(B) f(x) = sin x não é injetiva, pois, por exemplo, sin
(C) Df = IR\{0}
r
2r
= sin
.
3
3
A opção correta é a (D).
4
2x - 1
.
1-x
Qual das opções seguintes tem duas equações que definem as assíntotas
ao gráfico de f ?
Considere a função f , real de variável real, definida por f(x) =
(A) x = -1 e y = 2
(C) x = 1 e y = 2
(B) x = -1 e y = -2
(D) x = 1 e y = -2
Tem-se:
2x - 1 -x + 1
-2x + 2 -2
1
Logo:
f(x) = -2 +
1
1- x
A opção correta é a (D).
5
De uma função g , de domínio IR+ , sabe-se que:
lim g(x) = -3 e lim ^g(x) - x) = 0
x"0
x " +3
Em cada uma das alternativas apresentadas abaixo, está representado,
em referencial o.n. xOy , o gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota
desse gráfico.
Em qual das alternativas pode estar representado o gráfico de g ?
O
(D) y
(C) y
(B) y
(A) y
x
O
x
O
O
x
x
Teste Intermédio do 12.º ano, 2009
418
u4p133h1
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u4p133h2
u4p133h4
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
15
Como lim g(x) = -3 e lim ^g(x) - x)h = 0 , sabe-se que x = 0
x " +3
x"0
é uma assíntota vertical ao gráfico de g e que y = x é uma assíntota oblíqua.
Logo, as opções (A) e (B) não correspondem ao gráfico de g .
Como na opção (C) se tem lim g(x) = +3 , só pode ser a opção (D).
A opção correta é a (D).
x"0
6
y
Na figura está representada parte do gráfico
da função f , de domínio IR+ .
A reta s , que contém os pontos de coordenadas
(2, 0) e (0, 1) , é assíntota ao gráfico de f .
x + f (x)
.
Indique o valor de lim
x
x " +3
(A) 0,5
(B) 1
(C) 1,5
s
1
O
2
x
(D) 3
x + f (x)
f (x)
x
= lim x + x = 1 + m , em que m é o declive
x
x " +3
x " +3
u4p134h1
da assíntota oblíqua ao gráfico de f .
x + f (x)
1- 0
1
1
=1+
=1=
Então, lim
x
0-2
2
2
x " +3
A opção correta é a (A).
lim
7
A regra de Young é utilizada, nas áreas da saúde,
para calcular a dose de um medicamento a administrar
a uma criança, da qual se sabe apenas a idade,
a partir da dose do mesmo medicamento prescrita
para um adulto.
Se k for a dose recomendada para um adulto, em miligramas, e t ,
a idade da criança em anos completos, então, a dose para a criança é dada por:
kt
D(t) =
t + 12
Uma enfermeira aplicou uma dose de 43 mg de um medicamento a uma criança.
A dose para adulto desse fármaco era de 100 mg .
Indique a idade da criança.
(A) 4
(B) 5
(C) 9
(D) 12
516
100t
+ 43t + 516 = 100t + 57t = 516 + t =
. 9,053
57
t + 12
A opção correta é a (C).
43 =
419
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funções racionais
8
y
1
Seja f uma função real de variável real, cujo
gráfico está representado na figura ao lado, e h ,
1
.
a função definida por h(x) =
f (x)
O domínio de h é:
(A) IR\{1}
(C) IR
(B) IR\{0, 2}
(D) IR\{0, 1, 2}
O
1
2
x
u4p134h3
Dh = {x ! Df : f(x) ! 0} = {x ! IR\{1}: x ! 0 / x ! 2} = IR\{0, 1, 2}
A opção correta é a (D).
9
Considere as funções f e g , ambas quadráticas,
representadas graficamente na figura.
f
9.1 Quantos zeros tem a função
g ?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
y
f
(D) 3
g
23
21
O1
x
9.2Qual dos seguintes conjuntos pode ser o conjunto
solução da inequação
g (x)
G0?
f (x)
u4p134h4
(A) ]-3, -1],[0, +3[
(C) [-1, 0[
(B) ]-3, -3[,]-1, +3[
(D) ]-3, -3[,]-3, -1],]0, +3[
9.1
f
g (x) = 0 + f(x) = 0 / g(x) ! 0 +
+ (x = -3 0 x = 0) / (x ! -3 / x ! -1)
C.S. = {0}
A opção correta é a (B).
9.2 g(x) = 0 + x = -3 0 x = -1
f(x) = 0 + x = -3 0 x = 0
x
g(x)
f(x)
g (x)
f (x)
-3
+
-3
0
0
+
-
-
n.d.
-
-1
0
0
-
-
0
+3
+
0
+
n.d.
-
C.S. = [-3, -3[ , ]-3, -1] , ]0, +3[
A opção correta é a (D).
420
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
RESPOSTA ABERTA
15
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
10
Considere a função f , real de variável real, definida por:
x
se x 1 0 , x ! -1
2
x +x
f(x) = 1
se x = 0
*
3x - 1
se x 2 0 , x ! -1
x -1
10.1 Determine os zeros de f .
10.2
Calcule lim f(x) , se existir. O que pode concluir sobre a continuidade
x"0
de f em x = 0 ?
x
= 0 + x = 0 / x2 + x ! 0 + x = 0 / x ! 0 + x ! { }
x +x
10.1 2
3x - 1
1
= 0 + 3x - 1 = 0 / x - 1 ! 0 + x =
/x!1+
x-1
3
1
+ x ! ( 2
3
1
1
Como
> 0 , o único zero de f é
.
3
3
x
1
= lim
=1
x
+
1
x
"
0
x +x
3x - 1
=1
lim f(x) = lim
x-1
x"0
x"0
10.2 lim- f(x) = limx"0
x"0
+
2
-
+
Como lim f (x) = f(0) = 1 , f é contínua em x = 0 .
x"0
11
x 2 + 1 se x H k
*
Seja k real. Considere a função g , definida por g(x) =
.
1 - x se x 1 k
Determine para que valores de k a função g é contínua.
lim g(x) = lim (1 - x) = 1 - k
x " k-
x " k-
lim g(x) = lim (x2 + 1) = k2 + 1 = g(k)
x " k+
x " k+
Para que a função seja contínua:
1 - k = k2 + 1 + k2 + k = 0 + k = 0 0 k = -1
421
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01/07/16 13:53
funções racionais
12
Considere as funções f e g , ambas de domínio IR , definidas por:
1
x
se x 2 0
se x 2 0
x
1
+
e g(x) = *
f(x) = *
2 + sin x se x G 0
4x 2 - 1 se x G 0
12.1 Mostre que as funções f e g são descontínuas em x = 0 .
12.2 Defina a função f + g e verifique que é contínua em IR .
1
= 1 e lim f(x) = lim (4x2 - 1) = -1 = f(0)
x"0
x"0
x"0
x"0 x + 1
Logo, não existe lim f(x) e, portanto, f não é contínua em x = 0 .
12.1 lim+ f(x) = lim+
-
-
x"0
lim g(x) = lim (2 + sin x) = 2 = g(0) e lim g(x) = lim
x " 0-
x " 0-
x"0
+
x"0
+
x =0
Logo, não existe lim g(x) e, portanto, g não é contínua em x = 0 .
x"0
1
+ x
se x > 0
12.2(f + g)(x) = * x + 1
4x 2 + 1 + sin x se x G 0
lim (f + g)(x) = lim d
x"0
+
x"0
+
1
+
x+1
xn= 1
lim (f + g)(x) = = lim (4x2 + 1 + sin x) = 1 = (f + g)(0)
x " 0-
x " 0-
Logo, lim (f + g)(x) = 1 e, portanto, f + g é contínua em x = 0 .
x"0
A função f + g também é contínua em IR\{0} , uma vez que é a soma de
funções contínuas nos domínios considerados. Sendo assim, é contínua em IR .
13
Estude as seguintes funções quanto à existência de assíntotas paralelas aos eixos
coordenados:
x2 + 4
3
1 + 3x
4 + 2x
a) f(x) =
b) g(x) =
c) h(x) = 2
d) i(x) =
x-2
5-x
x -1
2- x
a)Assíntotas horizontais:
1 + 3x
lim f(x) = lim
= lim
x " +3
x " +3 x - 2
x " +3
1
x c x + 3m
=3
2
c
m
x 1- x
1
x c x + 3m
=3
2
c
m
x 1- x
Logo, a reta de equação y = 3 é uma assíntota horizontal ao gráfico de f .
1 + 3x
lim f(x) = lim
= lim
x " -3
x " -3 x - 2
x " -3
422
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01/07/16 13:53
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
15
Assíntotas verticais:
Df = IR\{2} , sendo f contínua nesse conjunto.
1 + 3x
7
lim f(x) = lim
= - = -3
x
2
0
x"2
x"2
Logo, a reta de equação x = 2 é assíntota vertical ao gráfico de f .
-
-
b)Assíntotas horizontais:
3
3
= -3 = 0
5-x
3
3
lim g(x) = lim
=
=0
+3
x " -3
x " -3 5 - x
Logo, a reta de equação y = 0 é uma assíntota horizontal ao gráfico de g .
lim g(x) = lim
x " +3
x " +3
Assíntotas verticais:
Dg = IR\{5} , sendo g contínua nesse conjunto.
3
3
lim g(x) = lim
= + = +3
x"5
x"5 5 - x
0
Logo, a reta de equação x = 5 é assíntota vertical ao gráfico de g .
-
-
c)Assíntotas horizontais:
4
n
2
x
x +4
lim h(x) = lim 2
= lim
=1
x " +3
x " +3 x - 1
x " +3
1
2
x d1 - 2 n
x
4
x 2 d1 + 2 n
2
x
x +4
lim h(x) = lim 2
= lim
=1
x " -3
x " -3 x - 1
x " -3
1
x 2 d1 - 2 n
x
Logo, a reta de equação y = 1 é uma assíntota horizontal ao gráfico de h .
2
x 2 d1 +
Assíntotas verticais:
Dh = IR\{-1, 1} , sendo h contínua nesse conjunto.
x2 + 4
5
= + = +3
x "-1
x "-1 x 2 - 1
0
x2 + 4
5
lim h(x) = lim 2
= - = -3
0
x"1
x"1 x - 1
Logo, as retas de equações x = -1 e x = 1 são assíntotas verticais
ao gráfico de h .
lim h(x) = lim
-
-
-
-
d)Assíntotas horizontais:
2x
4 + 2x
= lim - x = -2
x
"
+
3
2- x
2x
4 + 2x
lim i(x) = lim
= lim x = 2
x " -3
x " -3 2 - x
x " -3
Logo, as retas de equação y = -2 e y = 2 são assíntotas horizontais
ao gráfico de i .
lim i(x) = lim
x " +3
x " +3
423
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funções racionais
Assíntotas verticais:
Di = IR\{-2, 2} , sendo i contínua nesse conjunto.
8
4 + 2x
lim i(x) = lim
= + = +3
x"2
x"2 2 - x
0
-
-
lim i(x) = lim
x " 2+
x " 2+
4 + 2x
8
= - = -3
0
2- x
lim i(x) = lim
x "-2
x "-2
-
-
2 (2 + x)
4 + 2x
4 + 2x
= lim
= lim
=2
2+ x
2+ x
x "-2
x "-2
2- x
-
-
4 + 2x
4 + 2x
= lim
=2
2+ x
x "-2
x "-2 2 - x
x "-2
Logo, a reta de equação x = 2 é uma assíntota vertical ao gráfico de i .
lim i(x) = lim
+
+
+
14
Acerca de uma função f , real de variável real, sabe-se que é contínua
no seu domínio e que:
• Df = IR\{-2, 1}
• lim f(x) = -3 e lim f(x) = lim f(x)
• lim f(x) = 1
• lim ^f(x) - 2xh = 1
x "- 2
x " -3
x"1
x"3
x " +3
Indique as assíntotas ao gráfico de f .
Caderno de Apoio do 11.º ano
Como lim f(x) = -3 , a reta de equação x = -2 é assíntota vertical
x "-2
ao gráfico de f . Como lim f(x) = lim f(x) e f é contínua no seu domínio,
x"1
x"3
IR\{-2, 1} , então, lim f(x) ! 3 .
x"1
Como lim f(x) = 1 , a reta de equação y = 1 é assíntota horizontal.
x " -3
Por fim, como lim ^f(x) - 2xh = 1 , a reta de equação y = 2x + 1
x " +3
é assíntota oblíqua ao gráfico de f .
15
Estude as funções seguintes quanto à existência de assíntotas.
a) f(x) =
b) g(x) =
6 + 3x 2
2-x
x-1
x2 + 1
c) h(x) =
d) i(x) =
x 2 + 4x - x
x 2 - 2x + 1
x -1
424
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01/07/16 13:53
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
a)Assíntotas verticais:
15
Df = IR\{2} , sendo f contínua no seu domínio.
6 + 3x 2
18
= + = +3
2-x
x"2
x"2
0
Logo, a reta de equação x = 2 é assíntota vertical ao gráfico de f .
lim f(x) = lim
-
-
Assíntotas não verticais:
f (x)
6 + 3x
lim
= lim
x = x"
+3 2 - x
x " +3
2
lim
x " +3
x 2d
6
+ 3n
x2
= -3
2c 2
m
x x -1
lim ^f(x) + 3xh = lim d
6 + 3x 2
+ 3x n =
2-x
x " +3
x " +3
6
xc x + 6m
2
2
6 + 3x + 6x - 3x
= lim
= -6
= lim
2-x
x " +3
x " +3
2
x c x - 1m
6
x 2 d 2 + 3n
f (x)
x
lim x = lim
= -3
x " -3
x " -3
2
x 2 c x - 1m
6
xc x + 6m
lim ^f (x) + 3xh = lim
= -6
x " -3
x " -3
2
c
m
x x -1
Logo, a reta de equação y = -3x - 6 é assíntota oblíqua ao gráfico de f
em +3 e em -3 .
b)Assíntotas verticais:
Dg = IR
g não tem assíntotas verticais, pois é uma função contínua no seu domínio.
Assíntotas não verticais:
1
x c1 - x m
g (x)
x-1
lim
lim
= lim
=0
x = x"
x " +3
+3 x
x " +3 x
x2 + 1
x2 + 1
lim g(x) = lim
x " +3
x " +3
x-1
x2 + 1
1
x c1 - x m
= lim
x " +3
x
1
1+ 2
x
=1
1
x c1 - x m
lim g(x) = lim
= -1
x " -3
x " -3
1
-x 1 + 2
x
Logo, as retas de equação y = -1 e y = 1 são assíntotas horizontais
ao gráfico de g .
425
000707 406-445 U15.indd 425
01/07/16 13:53
funções racionais
c)Assíntotas verticais:
Dh = ]-3, -4] , [0, +3[
lim h(x) = lim _ x 2 + 4x - x i = 0
x"0
+
x"0
+
lim h(x) = lim _ x 2 + 4x - x i = 4
x "-4-
x "-4-
h não tem assíntotas verticais, pois é uma função contínua no seu domínio.
Assíntotas não verticais:
lim
x " +3
h (x)
lim
x = x"
+3
x 2 + 4x - x
= lim d
x
x " +3
lim h(x) = lim _ x 2 + 4x - x i =
x " +3
x " +3
= lim
x " +3
= lim
x " +3
lim
x " -3
4
1 + x - 1n = 0
_ x 2 + 4x - x i_ x 2 + 4x + x i
x 2 + 4x + x
x 2 + 4x - x 2
2
x + 4x + x
h (x)
lim
x = x"
-3
= lim
x " -3
= lim
x " -3
x " +3
4x
xd
4
1 + x + 1n
x 2 + 4x - x
= lim dx
x " -3
lim ^h(x) + 2xh = lim
x " -3
= lim
x " -3
x 2 + 4x - x
4x
x + 4x - x
=2
4
1 + x - 1n = -2
x 2 + 4x + x =
_ x 2 + 4x + x i_ x 2 + 4x - x i
2
=
4
= lim
x " -3
=
4
1+ x -1
-
= -2
Logo, a reta de equação y = 2 é assíntota horizontal e y = -2x - 2
é assíntota oblíqua ao gráfico de f .
d)Assíntotas verticais:
Di = IR\{-1, 1} , sendo i contínua no seu domínio.
lim i(x) = lim
x "-1-
x "-1-
4
x 2 - 2x + 1
= + = +3
0
x -1
(x - 1)2
x 2 - 2x + 1
lim i(x) = lim
= lim
=0
x-1
x"1
x"1
x"1
x -1
-
-
-
Logo, a reta de equação x = -1 é assíntota vertical ao gráfico de i .
426
000707 406-445 U15.indd 426
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Assíntotas não verticais:
15
2
1
x 2 d1 - x + 2 n
i (x)
x
x - 2x + 1
lim x = lim
= lim
=1
2
x " +3
x " +3
x " +3
x -x
1
2c
m
x 1- x
2
lim ^i(x) - xh = lim f
x " +3
= lim
x " +3
x " +3
x 2 - 2x + 1
- xp =
x -1
-x + 1
x 2 - 2x + 1 - x 2 + x
= lim
= -1
x-1
x " +3 x - 1
i (x)
lim x = lim
x " -3
x " -3
2
1
x 2 d1 - x + 2 n
x
= -1
1
x 2 c- 1 - x m
lim ^i(x) + xh = lim f
x " -3
x " -3
x 2 - 2x + 1
+ xp =
x -1
1
x c- 3 + x m
- 3x +1
x - 2x +1- x - x
= lim
= lim
=3
= lim
- x -1
x " -3
x " -3 - x -1
x " -3
1
x c- 1- x m
Logo, as retas de equação y = x - 1 e y = -x + 3 são assíntotas
oblíquas ao gráfico de i .
2
2
16
De uma função f , de domínio IR- e contínua, sabe-se que:
lim ^ f(x) - 2x) = 1
x " -3
Seja g a função de domínio IR- , definida por g(x) = x - f(x) .
Mostre que o gráfico da função g admite uma assíntota não vertical
e determine a sua equação reduzida.
Como lim ^f(x) - 2xh = 1 , tem-se que y = 2x + 1 é assíntota oblíqua de f .
x " -3
Assim:
lim
x " -3
x - f (x)
f (x)
g (x)
d1 n=
lim
lim
=
=
x
x
x
x " -3
x " -3
= 1 - lim
x " -3
f (x)
x = 1 - 2 = -1
lim ^g(x) + xh = lim ^x - f(x) + xh = lim ^-f(x) + 2xh =
x " -3
x " -3
= - lim ^f(x) - 2xh = -1
x " -3
x " -3
Logo, o gráfico de g admite uma assíntota oblíqua de equação y = -x - 1 .
427
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funções racionais
17
A água oxigenada é uma mistura de água e peróxido de
hidrogénio. Na indústria, o peróxido de hidrogénio é usado
em concentrações elevadas para clarear tecidos.
Numa fábrica juntaram-se x litros de peróxido de
hidrogénio a dois litros de água oxigenada com uma
concentração de 3 % .
17.1
Escreva a expressão analítica da função C , que dá
a concentração de peróxido de hidrogénio em função
do número de litros, x , adicionados.
17.2
Indique o contradomínio de C e interprete o seu significado no contexto
da situação descrita.
17.3
Quantos litros de peróxido de hidrogénio devem juntar à solução para
obter uma concentração de 25 % ? Apresente o resultado aproximado
às centésimas.
17.1 C(x) =
17.2 lim
x " +3
x + 0,03 # 2
x + 0,06
=
x+2
x+2
x + 0,06
= lim
x+2
x " +3
x d1 +
0,06
n
x
2
x c1 + x m
=1
1,94
; logo, é uma função crescente. Assim,
x+2
como no contexto do problema x H 0 , C(0) = 0,03 e lim C(x) = 1 ;
Tem-se que C(x) = 1 -
x " +3
então, DlC = [0,03; 1[ .
Significa que a concentração de peróxido de hidrogénio será sempre
maior ou igual a 3 % , aproximando-se de 100 % , à medida que se
acrescenta mais peróxido de hidrogénio à mistura.
0,44
x + 0,06
+ 0,25x + 0,5 = x + 0,06 + x =
+
0,75
x+2
+ x á 0,59 L
17.3 0,25 =
18
Considere a função f , real de variável real, definida por f(x) =
a) Determine o domínio e os zeros de f .
b) Estude o sinal de f .
c) Calcule os objetos cuja imagem por meio de f é
d) Estude a existência de assíntotas ao gráfico de f .
x 2 - 3x + 2
.
3-x
3
.
2
428
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
a)Df = IR\{3}
f(x) = 0 +
+x=
15
x 2 - 3x + 2
= 0 + x2 - 3x + 2 = 0 / x ! 3 +
3-x
3!
9-4#2
/ x ! 3 + (x = 1 0 x = 2) / x ! 3
2
Zeros: {1, 2}
b)
x
x2 - 3x + 2
3-x
f(x)
-3
+
+
+
1
0
+
0
+
-
2
0
3
+
0
+
+
+
+
0
n.d.
+3
+
-
f é positiva em ]-3, 1[ , ]2, 3[ e negativa em ]1, 2[ , ]3, +3[ .
3
3
x 2 - 3x + 2
+
=
2
2
3-x
c)f (x) =
+ 2x2 - 3x - 5 = 0 + x =
+x=
+
x ! IR\{3}
2x2 - 6x + 4 = 9 - 3x +
3 ! 49
3 ! 9 + 4#2#5
+x=
+
4
4
5
0 x = -1
2
d)Assíntotas verticais:
x 2 - 3x + 2
2
= + = +3
3-x
x"3
x"3
0
Logo, a reta de equação x = 3 é assíntota vertical ao gráfico de f .
lim f(x) = lim
-
-
Como a função é contínua em IR\{3} , não há outras assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais:
lim
x " +3
f (x)
x 2 - 3x + 2
lim
=
= lim
x
x " +3
x " +3
3x - x 2
lim ^f(x) + xh = lim d
x " +3
x " +3
= lim
x " +3
lim
x " -3
3
2
x 2 d1 - x + 2 n
x
= -1
2c 3
x x - 1m
x 2 - 3x + 2
+ xn =
3-x
2
x 2 - 3x + 2 + 3x - x 2
= lim
=0
3-x
x " +3 3 - x
f (x)
lim
x = x"
-3
3
2
x 2 d1 - x + 2 n
x
= -1
2c 3
x x - 1m
lim ^f(x) + xh = lim
2
=0
3-x
Logo, a reta de equação y = -x é uma assíntota oblíqua ao gráfico de f .
x " -3
x " -3
429
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funções racionais
19
Escreva uma expressão analítica de uma função homográfica f em que o seu
gráfico admita as assíntotas de equação x = 1 e y = -2 e passe na origem
do referencial.
k
.
x-1
Substituindo na expressão de f as coordenadas do ponto (0, 0) :
k
+ k = -2
0 = -2 +
0-1
2
.
Logo, a expressão da função é, por exemplo, f (x) = -2 x-1
A expressão da função é da forma f(x) = -2 +
20
Seja f a função real de variável real, definida por:
y
b
20 - 10x
A
f(x) =
O
x-3
Na figura estão representados, em referencial
B
o.n. xOy :
a
C
D
• parte do gráfico da função f ;
• as retas a e b , assíntotas ao gráfico de f ;
• os pontos A e B , que resultam da interseção do gráfico da função f
u4p136h2
com os eixos coordenados;
• o ponto D , interseção das assíntotas a e b ;
• o ponto C , interseção da reta a com o eixo Oy ;
• o quadrilátero [ABCD] .
x
Determine a área do quadrilátero [ABCD] .
20
20
n.
, as coordenadas de B são d 0, 3
3
20 - 10x
f (x) = 0 +
= 0 + 20 - 10x = 0 / x ! 3 + x = 2 / x ! 3
x-3
Portanto, as coordenadas de A são (2, 0) .
Como f (0) = -
Fazendo a divisão de polinómios:
-10x + 20
x-3
10x - 30
-10
-10
10
Assim, f(x) = -10 . Logo, a reta a tem equação y = -10
x-3
e a reta b , x = 3 .
Então, as coordenadas de C e D são, respetivamente, (0, -10) e (2, -10) .
430
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Seja F a interseção da reta b com o eixo Ox .
15
Tem-se que:
A[ABCD] = A[OCDF] - (A[OAB] + A[ADF]) =
20
f 2 # 3 + 1 # 10 p = 30 - 35 = 55 u. a.
= 3 × 10 2
2
3
3
21
Considere a função h , de domínio IR\{-1, 1} , definida por:
h(x) =
x 3 - 2x + 1
x2 - 1
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, resolva os três itens seguintes.
21.1
Verifique se h é a restrição de uma função contínua cujo domínio é IR\{-1} .
21.2
Estude a existência de assíntotas ao gráfico de h .
21.3
Resolva, em IR , h(x) G 0 .
21.1 h é contínua no seu domínio, uma vez que é o quociente de duas funções
polinomiais.
Aplicando a regra de Ruffini:
1
0
1
-2
1
1
1
-1
1
1
-1
0
x3 - 2x + 1 = (x - 1)(x2 + x - 1)
lim h(x) = lim
x"1
x"1
(x - 1) (x 2 + x - 1)
x 3 - 2x + 1
lim
=
=
(x - 1) (x + 1)
x"1
x2 - 1
2
= lim
x"1
1
x +x-1
=
2
x+1
Logo, h é prolongável por continuidade a IR\{-1} ; sendo p tal função,
x 3 - 2x + 1
x2 - 1
tem-se p(x) =
1
2
*
se x ! 1
.
se x = 1
21.2 Assíntotas verticais:
lim h(x) = lim
x "-1
-
x "-1
-
x 3 - 2x + 1
2
= + = +3
x2 - 1
0
Logo, a reta de equação x = -1 é assíntota vertical ao gráfico de h .
431
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funções racionais
Assíntotas não verticais:
h (x)
x 3 - 2x + 1
x3
lim
lim
lim
=
=
=1
x
x " +3
x " +3
x " +3 x 3
x3 - x
lim ^h(x) - xh = lim e
x " +3
x " +3
x 3 - 2x + 1
- xo =
x2 - 1
-x + 1
x 3 - 2x + 1 - x 3 + x
= lim
=
x " +3
x " +3 x 2 - 1
x2 - 1
x
1
= lim - 2 = lim - x = 0
x " +3
x
"
+
3
x
= lim
lim
x " -3
h (x)
x 3 - 2x + 1
x3
lim
lim
=
=
=1
3
x
x " -3
x " -3 x 3
x -x
lim ^h(x) - xh = lim
x
-x + 1
= lim - 2 = 0
2
x " -3
x " -3 x - 1
x " -3
x
Logo, a reta de equação y = x é assíntota oblíqua ao gráfico de h .
21.3 x3 - 2x + 1 = 0 + (x - 1)(x2 + x - 1) = 0 +
+ x = 1 0 x2 + x - 1 = 0 +
+ x = 1 0 x =
-1 !
1+4
2
+x=10x=
-1 !
2
5
5
1 +3
x2 - 1 = 0 + x = -1 0 x = 1
x
-3
x3 - 2x + 1 x2 - 1
+
h(x)
C.S. = G-3,
- 12
0
5
- 1+
2
0
+
+ +
+ 0 + n.d. -
+
0
-1 2
-1
5
G , G- 1,
-1 +
2
0
5
- 0 +
- 0 +
+ n.d. +
G
22
Uma empresa produz pratos decorativos pintados
à mão. O custo, em euros, de produção de x pratos
é dado por p(x) = 1800 + 10x .
22.1
A empresa terminou a produção de um lote
de 50 pratos. Determine o custo médio por
prato desse lote.
22.2
Justifique que o custo médio, C , da produção de x pratos é dado
por C(x) =
1800 +10x
.
x
432
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
22.3
Determine a assíntota horizontal do gráfico de C e interprete
15
o seu significado neste contexto.
22.4
Considere a função real de variável real, definida por f(x) = C(x) .
Resolva, em IR :
a) f(x) = 70
b) f(x) > 19x
22.1 p(50) = 1800 + 500 = 2300
Assim, o custo médio é de
2300
= 46 € .
50
22.2O custo médio de produção é dado pelo quociente entre o custo
de produção dos pratos ^ p(x) h e o número de pratos, logo:
p (x)
1800 + 10x
C(x) = x =
x
10x
1800 + 10x
= lim x = 10
x
x " +3
x " +3
22.3lim C(x) = lim
x " +3
Logo, a reta de equação y = 10 é assíntota horizontal ao gráfico de C ,
ou seja, à medida que a empresa produz mais pratos, o custo médio
por prato aproxima-se dos 10 € .
1800 + 10x
= 70 + 60x = 1800 / x ! 0 +
x
+ x = 30 / x ! 0
22.4 a) f(x) = 70 +
C.S. = {30}
b) f(x) > 19x +
1800 + 10x
- 19x 2 + 10x + 1800
>
19x
+
>0
x
x
-19x2 + 10x + 1800 = 0 + x =
+ x =
-10 ! 100 + 4 #19 #1800
+
- 38
- 10 ! 370
180
+ x = 10 0 x = - 38
19
Assim:
180
-3 - 19
0
-19x2 + 10x + 1800 x
2
- 19x + 10x + 1800
0
+
x
x
C.S. = F-3, -
0
+
-
+
0
10 +3
0
+
+
+
+
- n.d. +
0
-
180
< , ]0, 10[
19
433
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funções racionais
23
Na figura estão representados dois retângulos.
Sabe-se que o retângulo [ABCD] tem de área
1 dm2 ; BD = 3AE e AF = AB - 0,2 dm .
C
23.1
Prove que a área do retângulo [AEFG]
E
D
G
y
F
é dada em função de x , em dm2 , por:
A
B
x
10x - 2
1
, x ! F , +3 <
A(x) =
30x
5
23.2
Determine as dimensões do retângulo [ABDC] , deu4p137h2
modo que a área
2
do retângulo [AFGE] não seja superior a 20 cm .
23.1 AF = AB - 0,2 = x - 0,2
1
y
BD
1
x
AE =
=
=
=
3
3
3
3x
Assim:
1
=
A(x) = (x - 0,2) ×
3x
x-
2
10
3x
=
10x - 2
30x
Como A(x) > 0 , tem-se que x > 0,2 ; logo, x ! F
1
, +3< .
5
10x - 2
G 0,2 +
30x
10x - 2 - 6x
2x - 1
+
G0+
G0
30x
15x
23.2 A(x) G 0,2 +
Assim:
1
5
x
2x - 1
15x
2x - 1
15x
1
2
0
+3
+
+
+
+
+
-
-
0
+
Logo, para x ! DA ,
Portanto, AB ! F
2x - 1
1 1
G 0 + x !F , F .
5 2
15x
1 1
, F.
5 2
Como A[ABCD] = AB × BD = 1 , BD =
BD ! [2, 5[ .
1
, e, portanto,
AB
434
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
24
Na figura está representada parte do gráfico de uma
função f definida analiticamente por uma expressão
k
.
do tipo f(x) = 2 +
cx + 2
24.1
Determine os valores de k e de c .
24.2
Indique as equações das assíntotas da função :
15
y
5
2
21
O
x
g(x) = 2 - f(x - 1)
24.1 Tem-se que a reta de equação x = -1 é assíntota vertical ao gráfico
de f ; logo, c × (-1) + 2 = 0 + c = 2 .
u4p97h3
Como o ponto (0, 5) pertence a f , substituindo as suas coordenadas
na expressão de f :
k
k
5=2+
+
=3+k=6
2
0+2
24.2 x = 0 e y = 0
25
Considere as funções f e g , reais de variável real, definidas, respetivamente, por:
x2 - x - 2
x-2
e g(x) =
f(x) =
2
2x + 1
1 - 4x
25.1
Mostre que e
f
1 1
x+1
o
'
1
g (x) = 1 - 2x , 6 x ! IR\ - 2 , 2 , 2 .
1
25.2
Resolva, em IR , (f + g)(x) G
.
3
25.1 1 - 4x2 = 0 + 1 - 2x = 0 0 1 + 2x = 0 + x =
1
2
1 1
1
Logo, Df = IR\'- , 1 e Dg = IR\'- 1 .
2 2
2
Tem-se que:
1
1
0 x =2
2
2x + 1 = 0 + x = -
D f = Df + Dg\{x ! IR: g(x) = 0} =
g
= IR\'-
1 1
1 1
1
, 1 + dIR\'- 1n\{2} = IR\'- , , 21
2 2
2 2
2
x2 - x - 2
f
(x 2 - x - 2) (2x + 1)
1 - 4x 2
e g o(x) =
=
=
x-2
(1 - 4x 2) (x - 2)
2x + 1
(x - 2) (x + 1) (2x + 1)
x+1
=
=
1 - 2x
(1 - 2x) (1 + 2x) (x - 2)
435
000707 406-445 U15.indd 435
01/07/16 13:54
funções racionais
25.2 (f + g)(x) G
1
1
x2 - x - 2
x-2
+
G
+
+
2
3
3
2x + 1
1 - 4x
+
1
x 2 - x - 2 + x - 2 - 2x 2 + 4 x
G
+
3
1 - 4x 2
+
1
- 4 - x 2 + 4x
- 12 - 3x 2 + 12x - 1 + 4x 2
G
0
+
G0+
3
1 - 4x 2
3 - 12x 2
+
- 13 + 12x + x 2
G0
1 - 4x 2
-13 + 12x + x2 = 0 + x =
+ x =
- 12 ! 144 + 4 #13
+
2
- 12 ! 14
+ x = 1 0 x = -13
2
Assim:
x
-3 -13
-13 + 12x + x2
1 - 4x2
- 13 + 12x + x 2
1 - 4x 2
+
-
0
-
1
2
1
2
0
+
0
1
+3
0
-
-
-
-
+
-
0
+ n.d. - n.d. +
0
-
Logo:
- 13 + 12x + x 2
1 1
G 0 + x ! ]-3, -13] , E- , ; , [1, +3[
2 2
1 - 4x 2
26
Resolva, em IR , as condições seguintes:
a)
3x + 1
=1
1-x
f)
2x + 1
G1
4 - x2
b)
2
x
=5
x
x-2
g)
1
1
>2
x-1
x+1
c)
x+2
2x
1
+ x = 2
x+1
x +x
h)
3x
2x - 1
H
x+1
x +x
d)
1
8
x+2
=
2
x
x-2
2x - x
i)
1
5x
3
<
+
2
x-3
x+3
9-x
e)
x 2 + 3x
>0
1-x
j)
1- x+5
G0
x2 - 4
2
436
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
15
3x + 1
3x + 1 - 1 + x
=1+
= 0 + 4x = 0 / 1 - x ! 0 +
1-x
1-x
a)
+x=0/x!1
C.S. = {0}
2
x
2x - 4 - x 2
=
5
+
=5+
x
x-2
x 2 - 2x
b)
2x - 4 - x 2 - 5x 2 + 10x
=0+
x 2 - 2x
+ -4 - 6x2 + 12x = 0 / x2 - 2x ! 0 +
+
+x=
- 12 !
144 - 4 # (-4) # (-6)
/x!0/x!2+
- 12
+x=
- 12 ! 48
/x!0/x!2+
- 12
+x=
12 ! 4 3
/x!0/x!2
12
C.S. = )
3- 3 3+ 3
3
,
3
3
x+2
x+2
2x 2 + x + 1
2x
1
+ x = 2
+
= 2
+
2
x+1
x +x
x +x
x +x
c)
+
2x 2 + x + 1 - x - 2
= 0 + 2x2 - 1 = 0 / x2 + x ! 0 +
x2 + x
+ x =!
1
/ x ! 0 / x ! -1
2
C.S. = )-
2
,
2
d)
2
3
2
1
8
2-x-8
x+2
x+2
x - 2x - x 2 = x - 2 + 2x - x 2 - x - 2 = 0 +
+
2 - x - 8 + x 2 + 2x
= 0 + x2 + x - 6 = 0 / 2x - x2 ! 0 +
2x - x 2
+x=
-1 !
1+4#6
/x!0/x!2+
2
-1 ! 5
/x!0/x!2+
2
+ (x = -3 0 x = 2) / x ! 0 / x ! 2
+x=
C.S. = {-3}
437
000707 406-445 U15.indd 437
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funções racionais
x 2 + 3x
>0
1-x
e)
x2 + 3x = 0 + x = 0 0 x = -3 e 1 - x = 0 + x = 1
Assim:
x
x + 3x
1-x
x 2 + 3x
1-x
2
-3
+
+
-3
0
+
+
+
0
-
0
0
1
+
+
+
+
0
+3
+
-
0
+
n.d.
-
C.S. = ]-3, -3[ , ]0, 1[
f)
2x + 1
2x + 1 - 4 + x 2
2x - 3 + x 2
G
1
+
G
0
+
G0
4 - x2
4 - x2
4 - x2
2x - 3 + x2 = 0 + x =
+x=
-2 !
4+4#3
+
2
-2 ! 4
+ x = -3 0 x = 1 e 4 - x2 = 0 + x = 2 0 x = -2
2
Assim:
x
-3
2
2x - 3 + x
+
2
4-x
2
2x - 3 + x
4 - x2
-3
0
1
0
-2
-
-
0
+
0
+
n.d.
-
2
+
+
+
+
0
+3
+
-
0
+
n.d.
-
C.S. = ]-3, -3] , ]-2, 1] , ]2, +3[
g)
x-1-x-1
1
1
>2+
>2+
x
1
x+1
x2 - 1
+
- 2 - 2x 2 + 2
- 2x 2
>0+ 2
>0
2
x -1
x -1
-2x2 = 0 + x = 0 e x2 - 1 = 0 + x = -1 0 x = 1
Assim:
x
-2x2
x2 - 1
- 2x 2
x2 - 1
-3
+
-1
0
-
-
n.d.
+
0
0
1
-
-
0
+3
+
0
+
n.d.
-
C.S. = ]-1, 0[ , ]0, 1[
438
000707 406-445 U15.indd 438
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Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
3x
3x - 2x 2 + x
4x - 2x 2
2x - 1
H
+
H0+
H0
2
x+1
x +x
x +x
x2 + x
4x - 2x2 = 0 + x = 0 0 x = 2 e x2 + x = 0 + x = 0 + x = -1
h)
2
Assim:
x
-3
2
4x - 2x
2
x +x
+
2
4x - 2x
x2 + x
0
-
0
0
0
n.d.
+
n.d.
-1
2
0
+
+
+
+3
+
+
0
-
C.S. = ]-1, 2]\{0}
- x - 3 + 5x
1
5x
3
3
<
+
<
+
+
2
2
x-3
x
+
3
x
+
3
9-x
9-x
- 3 + 4x - 9 + 3x
- 12 + 7x
<0+
<0
+
9 - x2
9 - x2
12
-12 + 7x = 0 + x =
e 9 - x2 = 0 + x = -3 0 x = 3
7
Assim:
i)
x
-3
-3
-12 + 7x
9 - x2
- 12 + 7x
9 - x2
-
0
+
+
n.d.
-
C.S. = E- 3,
12
7
0
3
+3
+
+
+
+
0
+
-
0
+
n.d.
-
12
; , ]3, +3[
7
1- x+5
G0
x2 - 4
j)
1 -
x+5 =0+
x+5 =1
2
x - 4 = 0 + x = -2 0 x = 2
+
x ! [-5, +3 [
x + 5 = 1 + x = -4
Assim:
x
-5
1- x+5
x2 - 4
+
+
+
+
1- x+5
x2 - 4
+
+
-4
0
2
-2
+
+
0
-
0
+3
+
0
-
n.d.
+
n.d.
-
C.S. = [-4, -2[ , ]2, +3[
439
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preparação para o teste 8
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 8
I
Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Considere, num referencial o.n. xOy , a circunferência definida pela equação:
(x - 2)2 + y2 = 5
Esta circunferência interseta o eixo Oy em dois pontos A e B de ordenadas
negativa e positiva, respetivamente.
Qual é a equação da reta tangente à circunferência no ponto A ?
(A) y =
1
x-1
2
(B) y = -2x + 1
(C) y =
1
x+1
2
(D) y = -2x - 1
(0 - 2)2 + y2 = 5 + y = -1 0 y = 1
O ponto C(2, 0) é o centro da circunferência.
Então, CA(-2, -1) ; logo, o declive da reta tangente é -2 .
Portanto, y = -2x + b . Como b = -1 , y = -2x - 1 .
A opção correta é a (D).
2
Qual das expressões seguintes é termo geral de uma sucessão monótona
e limitada?
1
(A) (-1)n
(B) (-1)n n
(C) (D) 1 + n2
n
Exame Nacional do 12.º ano, 2015
A opção correta é a (C).
3
Considere a função real de variável real, f , ímpar e contínua em IR ,
1
e a sucessão (xn) de termo geral xn = 3 - n . Sabe-se que lim f(xn) = -5 .
Qual das seguintes afirmações é falsa?
(A) lim+ f(x) = -5
(C)
(B) f(3) = -5
(D) lim f(x) = 5
x"3
lim f(x) = -5
x "- 3+
x "- 3
440
000707 406-445 U15.indd 440
01/07/16 13:54
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Como lim xn = 3 , lim f(xn) = -5 .
x"3
A função f é ímpar, ou seja:
6x ! Df , -x ! Df e f(-x) = -f(x)
Assim, lim f(x) = lim f(x) = 5 .
x "-3+
x "-3-
A opção correta é a (C).
4
De uma função g de domínio IR+ sabe-se que a reta de equação y = 2x + 3
é assíntota ao seu gráfico.
1
x cos c- x m
?
Qual é o valor de lim
g (x)
x " +3
1
1
(A) (B) 0
(C)
(D) 2
2
2
g(x)
Tem-se que lim x = 2 , logo:
x " +3
1
1
1
x cosc- x m
cosc- x m
cosc -3 m
1
cos 0
lim
= lim
=
=
=
g(x)
g(x)
2
2
2
x " +3
x " +3
x
A opção correta é a (C).
5
Na figura ao lado está representada, em referencial
ortogonal xOy , parte do gráfico de uma função f .
Sabe-se que:
• lim f(x) = 6
y
f
6
x " 2+
• lim f(x) = -2
x " 2-
• f|[2, +3 [ é contínua.
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) A função f é contínua em [2, 3] .
O
22
2
x
(B) lim f(x) = f(2)
x"2
(C) A função g = f |[2, 3] é contínua.
(D) f(2) = -2
u4p138h1
(A) lim+ f(x) ! lim- f(x) ; logo, f não é contínua em x = 2 .
x"2
x"2
(B) Não existe lim f(x) .
x"2
(C) Pelo gráfico, observa-se que f(2) = 6 (bola fechada) .
A opção correta é a (C).
441
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preparação para o teste 8
II
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
1
Para um determinado valor de k ! IR , considere a função f , de domínio
IR\{2} , definida por
x 2 + kx + 6
f(x) =
x-2
n
e a sucessão de termo geral un = 0,5 .
1.1 Considerando k = 1 calcule os seguintes limites:
a) lim f(un)
n
/u .
b) lim f(sn) , em que sn =
i
i=1
1.2Determine o valor de k de modo que a reta de equação y = x + 3
seja assíntota ao gráfico de f .
1.3Sabendo que f é a restrição da função g , contínua em IR , determine
o valor de g(2) .
1.4 Considere k = 5 e determine os valores de x para os quais f(x) G 0 .
1.1 a)Tem-se que lim un = lim 0,5n = 0 .
un2 + un + 6
= -3 .
un - 2
b)Tem-se que (un) é uma progressão geométrica de razão 0,5 ; logo:
n
1 - 0,5 n
= 1 - 0,5n
sn = / un = 0,5 ×
1 - 0,5
i =1
Logo, lim f(un) = lim
Assim, lim sn = lim(1 - 0,5n) = 1 .
Portanto:
lim f (sn) = lim
1.2
lim
x " +3
sn2 + sn + 6
8
=
= -8
sn - 2
-1
f (x)
x 2 + kx + 6
x2
lim
lim
=
=
=1
x
x " +3
x " +3 x 2
x 2 - 2x
lim ^f(x) - xh = lim d
x " +3
x " +3
x 2 + kx + 6
- xn =
x-2
= lim
(k + 2) x + 6
x 2 + kx + 6 - x 2 + 2x
= lim
=
x-2
x-2
x " +3
= lim
(k + 2) x
=k+2
x
x " +3
x " +3
Então, f tem assíntota oblíqua de equação y = x + k + 2 ;
logo, tem-se k + 2 = 3 , ou seja, k = 1 .
442
000707 406-445 U15.indd 442
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Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
1.3 Para g ser contínua em IR , x2 + kx + 6 tem de ser divisível por x - 2 .
Assim:
x2 + kx + 6 = (x - 2)(x - a) +
+ x2 + kx + 6 = x2 - ax - 2x + 2a +
+ -a - 2 = k / 2a = 6 + a = 3 / k = -5
g(2) = lim f (x) = lim
x"2
x"2
(x - 2) (x - 3)
x 2 - 5x + 6
= lim
= -1
x-2
x-2
x"2
x 2 + 5x + 6
G0
x-2
-5 !
x2 + 5x + 6 = 0 + x =
1.4 f(x) =
25 - 4 # 6
+
2
+ x = -3 0 x = -2
x - 2 = 0 + x = 2
Assim:
x
+3
2
x + 5x + 6
+
x-2
2
x + 5x + 6
x-2
-3
0
-
-
0
+
-2
0
2
-
+
-
+
0
+3
+
+
0
-
n.d.
+
C.S. = ]-3, -3] , [-2, 2[
2
Uma mola helicoidal tem 20 cm de comprimento
em repouso.
Quando comprimida por uma força exercida pelo
peso de um corpo de massa m , o seu comprimento,
em centímetros, é dado em função da massa do corpo,
em quilogramas, por:
10m
c(m) = 20 100 + m
2.1Qual é o comprimento da mola, com aproximação às décimas, quando
a massa do corpo é igual a 10 kg ?
2.2Determine os valores de m para os quais o comprimento da mola
é igual a 15 cm .
2.3Determine lim c(m) e diga qual o seu significado no contexto
x " +3
do problema.
443
000707 406-445 U15.indd 443
01/07/16 13:54
preparação para o teste 8
2200 - 100
210
10 # 10
=
=
á 19,1
110
11
100 + 10
O comprimento da mola nesta situação é de, aproximadamente, 19,1 cm .
2.1 c(10) = 20 -
10m
= 15 +
100 + m
2.2 c(m) = 15 + 20 -
+
2000 + 20m - 10m
= 15 +
100 + m
+
2000 + 10m - 1500 - 15m
=0+
100 + m
+
500 - 5m
=0+
100 + m
+ 500 - 5m = 0 / 100 + m ! 0 +
+ m = 100 / m ! -100
C.S. = {100}
2.3 lim c(m) = lim
m " +3
m " +3
10m
2000 + 10m
= lim m = 10
100 + m
m " +3
Este valor significa que se se aumentar indefinidamente a massa do corpo,
o comprimento da mola aproxima-se de 10 cm .
3
Na figura ao lado estão representados,
em referencial o.n xOy , uma circunferência
definida pela equação x2 + y2 = 1
e um triângulo isósceles [OPR] .
y
O ponto P é um ponto da circunferência
do 1.o quadrante e o ponto R é um ponto
do eixo Ox .
O
P
a
R x
3.1Prove que a área de [OPR] é dada
em função de a por:
A(a) = sin a cos a
u4p139h2
sin(2a)
3.2Mostre, utilizando a lei dos senos, que OR =
e conclua que
sin a
sin(2a) = 2 sin a cos a .
SUGESTÃO: R
epare
W = r - 2a .
que OPR
3.3 Determine os valores de a para os quais a área de [OPR] é igual a
1
.
4
444
000707 406-445 U15.indd 444
01/07/16 13:54
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
3.1 Tem-se que as coordenadas de P são (cos a, sin a) .
Assim, a base [OR] mede 2 cos a e a altura mede sin a .
Logo:
A[OPR] =
base # altura
2 cos a # sin a
=
= sin a cos a
2
2
W = a e OPR
W = r - 2a .
3.2 Como [OPR] é isósceles, PRO
Pela lei dos senos:
OP
OR
PR
+
=
=
WO
WR
WR
sin PR
sin OP
sin PO
+
sin (r - 2a)
1
OR
=
+ OR =
+
sin a
sin a
sin (r - 2a)
+ OR =
sin (2a)
sin a
Por outro lado, como o triângulo [OPR] é isósceles, OP = PR e,
por isso, OR = 2 cos a .
Logo, 2 cos a =
sin(2a)
, pelo que sin(2a) = 2 sin a cos a .
sin a
sin (2a)
1
1
1
+
=
+ sin(2a) =
+
4
4
2
2
r
5r
+ 2a =
+ 2kr 0 2a =
+ 2kr, k ! Z +
6
6
r
5r
+ a =
+ kr 0 a =
+ kr, k ! Z
12
12
r
r
5r
Como a ! E0, ; , as soluções são
e
.
2
12
12
3.3 A(a) =
445
000707 406-445 U15.indd 445
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16
UNIDADE
derivadas de funções
reais de variável real
e aplicações
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
16.1 Taxa média de variação
Um comboio sai do Porto (Estação de Campanhã) em direção a Lisboa
(Estação do Oriente) e efetua apenas duas paragens, uma em Aveiro e outra
em Coimbra B.
Tarefa 1
O gráfico seguinte descreve a distância percorrida, d , em quilómetros,
em função do tempo, t , em horas. A distância é medida em relação ao ponto
de partida e o início da viagem corresponde ao instante inicial.
d
310
118
70
0
0,48 0,53
1 1,1
2,3 t
1.1Qual foi a velocidade média da viagem?
1.2Determine a distância, pela linha de caminho de ferro, entre Aveiro
e Coimbra B.
d (2,3) - d (1,1)
?
2,3 -1,1
1.4Determine a velocidade média entre Porto e Aveiro, Aveiro e Coimbra B,
e Coimbra B e Lisboa.
1.3Qual é o significado de d(2,3)
- d(1,1) ? E de
u4p140h1
1.1 A viagem demorou 2,3 horas.
Logo, a velocidade média é igual a
310
á 135 km/h.
2,3
1.2 118 - 70 = 48 km
1.3 d(2,3) - d(1,1) é a distância entre Coimbra B e Lisboa. Assim,
d (2,3) - d (1,1)
é a velocidade média durante esse percurso.
2,3 -1,1
446
000707 446-479 U16.indd 446
04/07/16 11:43
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
d (0,48) - d (0)
70
=
á 146 km/h
0,48 - 0
0,48
d (1) - d (0,53)
Aveiro e Coimbra B:
á 102 km/h
1 - 0,53
d (2,3) - d (1,1)
Coimbra B e Lisboa:
= 160 km/h
2,3 - 1,1
16
1.4 Porto e Aveiro:
1
Uma pequena esfera é lançada do cimo de um plano
inclinado. A tabela ao lado indica algumas distâncias
percorridas pela esfera, em centímetros, nos primeiros
4 segundos, em função do tempo, em segundos:
1.1Qual é a distância percorrida pela esfera ao fim
de dois segundos?
1.2Determine a distância percorrida pela esfera durante
o 4.º segundo (entre o 3.º e o 4.º segundos).
t (s)
d (cm)
0
0
1
20
2
80
3
180
4
320
1.3A velocidade média da esfera foi maior no 1.º segundo ou no 3.º?
1.1 80 cm
1.2 320 - 180 = 140 cm
20 - 0
180 - 80
= 20 cm/s e
= 100 cm/s .
1-0
3-2
Logo, a velocidade média foi maior no 3.o segundo.
1.3 Tem-se
2
Calcule a taxa média de variação, no intervalo [-1, 3] , das funções reais
de variável real definidas por:
a) f(x) = 3x - 1
b) f(x) = x2 - 2x
c) f(x) =
a)
2
x+5
f (3) - f (-1)
8+4
=
=3
3 - (-1)
4
f (3) - f (-1)
3-3
=
=0
3 - (-1)
4
2
2
1
f (3) - f (-1)
1
8
4
4
=
=c)
=
4
3 - (-1)
4
16
b)
447
000707 446-479 U16.indd 447
04/07/16 11:43
derivadas de funções reais de variável real e aplicações
3
Considere a função g , real de variável real, definida por:
g(x) = x3 - x
Sabe-se que os pontos A e B pertencem ao gráfico de g e têm abcissas
-2 e 1 , respetivamente.
3.1Determine a equação reduzida da reta AB .
3.2A reta AB interseta o gráfico de g em mais algum ponto? Justifique.
3.1 Seja m o declive da reta AB .
Então, m =
g (1) - g (-2)
0+6
=
=2.
1 - (-2)
3
Logo, a equação da reta AB é do tipo y = 2x + b .
Substituindo as coordenadas de B , por exemplo, obtém-se:
0 = 2 + b + b = -2
Portanto, a equação reduzida de AB é y = 2x - 2 .
3.2 x3 - x = 2x - 2 + x3 - 3x + 2 = 0
Aplicando a regra de Ruffini:
1
1
1
-2
1
0
1
1
-2
-1
-3
1
-2
2
0
2
-2
0
x3 - 3x + 2 = 0 + (x - 1)(x + 2)(x - 1) = 0 +
+ x = 1 0 x = -2 0 x = 1
Portanto, a reta AB só interseta o gráfico de g nos pontos A e B .
4
Considere a função f , de domínio [-3, 2] , definida por:
f(x) = -2x2 + 1
4.1Efetue um esboço do gráfico de f .
4.2Indique um intervalo em que a taxa média de variação seja:
a) positiva.
b) negativa.
c) nula.
448
000707 446-479 U16.indd 448
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4.1 y
23
22
1
21
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
2
16
3
x
0
24
28
27
212
216
4.2 a) [-3, -1]
217
b) [1, 2]
c) [-2, 2]
u4p332h1
16.2 Derivada
de uma função num ponto
5
Indique, justificando, o valor lógico das afirmações seguintes.
a)Uma função crescente num intervalo [a, b] tem taxa média de variação positiva.
b)Uma função com taxa média de variação positiva num intervalo [a, b]
é crescente nesse intervalo.
f (b) - f (a)
>0.
b-a
b)Falsa. Por exemplo, f (x) = x3 - x tem taxa média de variação positiva
em [-1, 2] , no entanto, a função não é crescente neste intervalo, uma vez
1
que f c m < f (-1) .
2
a) Verdadeira, uma vez que f (b) > f (a) ; logo,
6
Seja a um número real e considere f a função real de variável real, definida por:
f(x) = x2 + ax - 1
Determine a de modo que a taxa média de variação de f no intervalo [0, 2]
seja 1 .
f (2) - f (0)
2 2 + 2a - 1 + 1
=1+
=1+
t.m.v.[0, 2] = 1 +
2-0
2
+ 2 + a = 1 + a = -1
7
Mostre que a taxa média de variação de uma função afim é igual ao declive
da reta representativa do gráfico da função.
Seja f uma função afim. Então, f (x) = mx + k . Assim:
f (b) - f (a)
mb + k - (ma + k)
=
=
b-a
b-a
m (b - a)
mb - ma
mb + k - ma - k
=
=
=
=m
b-a
b-a
b-a
t.m.v.[a, b] =
c.q.d.
449
000707 446-479 U16.indd 449
04/07/16 11:43
derivadas de funções reais de variável real e aplicações
8
Calcule a derivada em x = 1 das funções reais de variável real, definidas por:
2
a) f(x) = 1 - 2x
c) f(x) =
x
b) f(x) = 2x2 + x
x
d) f(x) =
f (1 + h) - f (1)
1 - 2 (1 + h) + 1
= lim
=
h
h
h"0
h"0
2 - 2 - 2h
= lim
= -2
h
h"0
a) fl(1) = lim
f (1 + h) - f (1)
2 (1 + h)2 + (1 + h) - 3
= lim
=
h
h
h"0
h"0
2 + 4h + 2h 2 + 1 + h - 3
5h + 2h 2
= lim
= lim
= lim (5 + 2h) = 5
h
h
h"0
h"0
h"0
b) fl(1) = lim
2
2 - 2 - 2h
-2
f (1 + h) - f (1)
1+h
1+h
c) fl(1) = lim
= lim
= lim
=
h
h
h
h"0
h"0
h"0
-2
= lim
= -2
h"0 1 + h
d) fl(1) = lim
h"0
= lim
h"0
= lim
h"0
f (1 + h) - f (1)
= lim
h
h"0
_ 1 + h - 1i_ 1 + h + 1i
h _ 1 + h + 1i
1
1
=
2
1+h +1
1+h -1
=
h
= lim
h"0
1+h-1
h _ 1 + h + 1i
=
9
Seja k um número real e considere f a função real de variável real, definida por:
f(x) = 2 - kx2
Determine k de modo que a derivada de f em x = -1 seja 4 .
f (-1 + h) - f (-1)
=4+
h
h"0
2 - k (-1 + h)2 - (2 - k)
=4+
+ lim
h
h"0
fl(-1) = 4 + lim
2 - k + 2kh - kh 2 - 2 + k
=4+
h
h"0
+ lim (2k - kh) = 4 + 2k = 4 + k = 2
+ lim
h"0
450
000707 446-479 U16.indd 450
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
10
16
Considere uma função f real de variável real, definida por:
f(x) = 2x2 + 3x - 1
Determine:
a)o declive da reta secante ao gráfico de f nos pontos A e B de abcissa,
respetivamente, -1 e 2 .
b)o declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto C de abcissa -2 .
f (2) - f (-1)
2 # 4 + 3# 2 - 1 - (2 - 3 - 1)
=
=5
2 +1
2+1
O declive de AB é 5 .
f (-2 + h) - f (-2)
b)f l(-2) = lim
=
h
h"0
2 (-2 + h)2 + 3 (-2 + h) - 1 - (2 # 4 - 3 # 2 - 1)
= lim
=
h
h"0
- 5h + 2h 2
8 - 8h + 2h 2 - 6 + 3h - 1 - 1
= lim
= lim
=
h
h
h"0
h"0
= lim (-5 + 2h) = -5
a)t.m.v.[-1, 2] =
h"0
O declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto C é -5 .
11
Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto
de abcissa -1 , sendo f a função r. v. r. definida por:
a) f(x) = 3x + 2
b) f(x) = -x2 + 2x
f (-1 + h) - f (-1)
3(-1 + h) + 2 + 1
3h
= lim
= lim = 3
h
h
h"0
h"0
h"0 h
Logo, a equação da reta é do tipo y = 3x + b .
a) fl(-1) = lim
Tem-se que f (-1) = -1 . Substituindo, vem -1 = -3 + b + b = 2 .
Portanto, a equação reduzida da reta é y = 3x + 2 .
f (-1 + h) - f (-1)
=
h
h"0
- (-1 + h)2 + 2 (-1 + h) + 1 + 2
=
= lim
h
h"0
- 1 + 2h - h 2 - 2 + 2h + 1 + 2
- h 2 + 4h
= lim
= lim
=
h
h
h"0
h"0
= lim (-h + 4) = 4
b) fl(-1) = lim
h"0
Logo, a equação da reta é do tipo y = 4x + b .
Tem-se que f(-1) = -3 . Logo, a equação reduzida da reta é y = 4x + 1 .
451
000707 446-479 U16.indd 451
04/07/16 11:44
derivadas de funções reais de variável real e aplicações
12
Na figura ao lado estão representados, em referencial
o.n. xOy , parte do gráfico da função f , definida por
f(x) = x2 - 4x + 5 ; a reta r , tangente ao gráfico
de f no ponto de abcissa 1 ; e o triângulo [OBA] ,
sendo A e B os pontos de interseção de r com
os eixos Ox e Oy , respetivamente.
Calcule a área do triângulo [OBA] .
fl(1) = lim
h"0
y
f
B
O
1 A
x
f (1 + h) - f (1)
(1 + h)2 - 4 (1 + h) + 5 - 2
= lim
=
h
h
h"0
u4p143h3
- 2h + h 2
1 + 2h + h 2 - 4 - 4h + 5 - 2
= lim
=
= lim
h
h
h"0
h"0
= lim (-2 + h) = -2
h"0
Logo, a equação da reta é do tipo y = -2x + b .
Tem-se que f (1) = 2 . Substituindo, vem: 2 = -2 + b + b = 4 .
Portanto, a equação reduzida da reta é y = -2x + 4 .
Assim, tem-se B(0, 4) e A(2, 0) .
Então, A[OBA] =
2#4
OA # OB
=
= 4 u. a.
2
2
16.3 Aplicação da noção de derivada à cinemática do ponto
13
Um ponto P move-se numa reta numérica de tal forma que, em cada instante t ,
em segundos, a distância d , em metros, à origem O é dada pela expressão:
d(t) = 3t2 + 2
13.1Determine a velocidade média atingida pelo ponto P nos primeiros
2 segundos.
13.2Determine a velocidade instantânea no instante t = 2 .
13.1 t.m.v.[0, 2] =
d (2) - d (0)
3#4+2-2
=
= 6 m/s
2
2-0
13.2
dl(2) = lim
3 (2 + h)2 + 2 - 14
d (2 + h) - d (2)
= lim
=
h
h
h"0
h"0
= lim
h"0
12 + 12h + 3h 2 - 12
= lim (12 + 3h) = 12 m/s
h
h"0
452
000707 446-479 U16.indd 452
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
14
16
Seja s: [0, 5] " IR , tal que s(t) = 3t2 , a função
que dá o espaço percorrido por um automóvel
em metros, em função do tempo t , em segundos.
14.1Determine a velocidade média do automóvel
nos primeiros 3 segundos.
14.2Determine a velocidade do automóvel,
em km/h , aos 3 segundos .
14.1 t.m.v.[0, 3] =
s (3) - s (0)
3#9-0
=
= 9 m/s
3-0
3
14.2
sl(3) = lim
3 (3 + h)2 - s (3)
s (3 + h) - s (3)
= lim
=
h
h
h"0
h"0
27 + 18h + 3h 2 - 27
= lim (18 + 3h) = 18 m/s
h
h"0
h"0
18
x
=
+ x = 64 800 m/h = 64,8 km/h
1
3600
= lim
16.4 Função derivada
15
15.1Utilizando a definição de derivada num ponto, determine a expressão
da função derivada das funções seguintes, indicando o respetivo domínio.
a) f(x) = 3x + 2
x-3
2x
b) f(x) = 2 - x2
d) f(x) =
x-1
15.2Recorrendo às expressões deduzidas em 15.1, calcule fl(4) para cada
uma das funções.
15.1 a)f l(x0) = lim
h"0
c) f(x) =
f (x0 + h) - f (x0)
3 (x0 + h) + 2 - 3x0 - 2
= lim
=
h
h
h"0
3x0 + 3h - 3x0
3h
= lim
=3
h
h"0
h"0 h
Logo, fl(x) = 3 e Dfl = IR .
= lim
b)f l(x0) = lim
h"0
= lim
h"0
f (x0 + h) - f (x0)
2 - (x0 + h)2 - 2 + x02
= lim
=
h
h
h"0
2 - x02 - 2x0h - h 2 - 2 + x02
-2x0h - h 2
= lim
=
h
h
h"0
= lim (-2x0 - h) = -2x0
h"0
Logo, fl(x) = -2x e Dfl = IR .
453
000707 446-479 U16.indd 453
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derivadas de funções reais de variável real e aplicações
c)f l(x0) = lim
h"0
= lim
h"0
= lim
h"0
f (x0 + h) - f (x0)
= lim
h
h"0
` (x0 + h) - 3 -
x0 - 3 j` (x0 + h) - 3 +
h ` (x0 + h) - 3 +
x0 + h - 3 - x0 + 3
h ` (x0 + h) - 3 +
(x0 + h) - 3 h
x0 - 3 j
x0 - 3 j
x0 - 3
x0 - 3 j
=
=
=
1
1
=
=
x0 - 3 + x0 - 3
(x0 + h) - 3 + x0 - 3
1
=
, com x0 ! 3
2 x0 - 3
1
e Dfl = ]3, -3[ .
Logo, fl(x) =
2 x-3
2 (x0 + h)
2x0
f (x0 + h) - f (x0)
x0 - 1
x0 + h - 1
d)f l(x0) = lim
= lim
=
h
h
h"0
h"0
(2x0 + 2h) (x0 - 1) - 2x0 (x0 + h - 1)
= lim
=
h (x0 + h - 1) (x0 - 1)
h"0
2x02 - 2x0 + 2hx0 - 2h - 2x02 - 2hx0 + 2x0
= lim
=
h (x0 + h - 1) (x0 - 1)
h"0
-2
-2
= lim
=
, com x0 ! 1
h " 0 (x0 + h - 1) (x0 - 1)
(x0 - 1)2
-2
Logo, fl(x) =
e Dfl = IR\{1} .
(x - 1)2
15.2 a)f l(4) = 3
= lim
h"0
b)f l(4) = -2 × 4 = -8
1
1
=
c)f l(4) =
2
2 4-3
2
-2
d)f l(4) =
=2
9
(4 - 1)
16
Considere a função f , de domínio IR+ , e a sua derivada, fl , definida por:
1
fl(x) =
x-2
Indique, justificando, o valor lógico da afirmação seguinte:
« f é diferenciável em 0 . »
Falsidade, porque 0 não pertence ao domínio de f e o domínio de fl ,
derivada de f , está contido no domínio de f .
454
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Tarefa 2
Mostre que:
a) (k)l = 0 , k constante
c) (x3)l = 3x2, 6 x ! IR
b) (x)l = 1, 6 x ! IR
d) c
a)Seja f(x) = k , com k constante.
16
1
1 l
m
x = - x 2 , 6 x ! IR\{0}
f (x) - f (x0)
k-k
0
= lim x - x = lim x - x = 0
x
x
x"x
x"x
x"x
0
0
0
Assim, (k)l = 0 .
fl(x0) = lim
0
0
0
b)Seja f(x) = x .
f (x) - f (x0)
x - x0
= lim x - x = lim 1 = 1
x - x0
x"x
x"x
x"x
0
Assim, (x)l = 1, 6 x ! IR .
fl(x0) = lim
0
0
0
c)Seja f(x) = x3 .
fl(x0) = lim
x " x0
f (x) - f (x0)
x 3 - x03
lim
=
x - x0
x - x0 =
x"x
0
2
2
0
(x - x0) (x + x0x + x )
= lim (x2 + x0x + x02) = 3x02
x - x0
x"x
x"x
Assim, (x3)l = 3x2, 6 x ! IR .
1
d)Seja f(x) =
x .
1
1
f (x) - f (x0)
- (x - x0)
x
x0
fl(x0) = lim
= lim x - x
= lim
=
x - x0
x"x
x"x
x " x x0x (x - x0)
0
1
-1
= lim x x = - 2 , x ! 0
x"x
0
x0
1
1 l
Assim, c x m = - 2 , 6 x ! IR\{0} .
x
= lim
0
0
0
0
0
0
17
Considere a função f real de variável real, definida por:
f(x) = 5x - x2
Determine a abcissa do ponto do gráfico de f em que a reta tangente é paralela
à bissetriz dos quadrantes pares.
Pretende-se que a reta tangente tenha declive -1 .
Determine-se a expressão da função fl .
f (x) - f (x0)
5x - x 2 - 5x0 + x02
= lim
=
fl(x0) = lim
x - x0
x - x0
x"x
x"x
5 (x - x0) + x02 - x 2
5 (x - x0) - (x - x0) (x + x0)
= lim
= lim
=
x
x
x - x0
x"x
x"x
0
= lim (5 - x - x0) = 5 - 2x0
0
0
0
0
x " x0
Logo, fl(x) = 5 - 2x . Assim, fl(x) = -1 + 5 - 2x = -1 + x = 3 .
455
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04/07/16 11:44
derivadas de funções reais de variável real e aplicações
18
Seja k um número real e considere a função real de variável real g ,
definida por:
g(x) = x2 + kx + 2
Defina gl(x) por meio de uma expressão analítica e determine k de forma
que gl(-1) = 1 .
gl(x0) = lim
h"0
= lim
h"0
g (x0 + h) - g (x0)
=
h
(x0 + h)2 + k (x0 + h) + 2 - x02 - kx0 - 2
=
h
x02 + 2x0h + h 2 + kx0 + kh + 2 - x02 - kx0 - 2
=
= lim
h
h"0
= lim
h"0
2x0h + h 2 + kh
= lim(2x0 + h + k) = 2x0 + k
h
h"0
Logo, gl(x) = 2x + k . Assim, gl(-1) = 1 + -2 + k = 1 + k = 3 .
19
Considere a função f , de domínio IR , definida por:
f(x) = x2 - 2x
19.1Mostre que:
fl(x) = 2x - 2, 6 x ! IR
19.2Calcule fl(0) e conclua que f não é crescente em IR .
19.1 f l(x0) = lim
h"0
f (x0 + h) - f (x0)
=
h
= lim
(x0 + h)2 - 2 (x0 + h) - x02 + 2x0
=
h
= lim
x02 + 2x0h + h 2 - 2x0 - 2h - x02 + 2x0
=
h
= lim
2x0h + h 2 - 2h
= lim(2x0 + h - 2) = 2x0 - 2
h
h"0
h"0
h"0
h"0
Logo, fl(x) = 2x - 2 e Dfl = IR .
19.2 f l(0) = -2 < 0 ; portanto, não é crescente em IR .
456
000707 446-479 U16.indd 456
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
20
16
Dada uma função g real de variável real, de domínio IR , em que se sabe que
a derivada de g é dada por:
gl(x) = 1 - x2, 6 x ! IR
20.1Justifique que g é contínua em 2 .
20.2Sabe-se que g(2) = 1 . Determine a equação reduzida da reta normal
(perpendicular) à reta tangente a g em 2 .
20.1 Como Dg = Dl
g = IR , a função é diferenciável em x = 2 e, portanto,
é contínua em x = 2 .
20.2 Tem-se gl(2) = 1 - 4 = -3 ; logo, o declive da reta normal é
Substituindo as coordenadas do ponto (2, 1) :
1
.
3
1
1
×2+b+b=
3
3
1
1
Logo, a equação reduzida da reta é y = x + .
3
3
1=
21
Seja f a função real de variável real, definida por:
f(x) = *
x2
se x H 0
x + 1 se x 1 0
Justifique que f não é contínua em 0 . O que conclui acerca da diferenciabilidade
em 0 ?
lim f(x) = lim x2 = 0 e lim f (x) = lim (x + 1) = 1
x"0
+
x"0
+
x " 0-
x " 0-
Como lim f(x) ! lim f(x) , não existe lim f(x) e, sendo assim, f não é contínua
x"0
+
x " 0-
x"0
em x = 0 .
Pode-se, então, concluir que f também não é diferenciável em x = 0 ,
por implicação contrarrecíproca.
22
Considere a função f real de variável real, definida por:
3x - 2 se x H 1
f(x) = ) 3
x
se x 1 1
Averigue se f é diferenciável em 1 .
457
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derivadas de funções reais de variável real e aplicações
f (1 + h) - f (1)
3 (1 + h) - 2 - 1
3 + 3h - 3
= lim
= lim
=3
h
h
h
h"0
h"0
h"0
f (1 + h) - f (1)
(1 + h)3 - 1
lim
= lim
=
h
h
h"0
h"0
1 + 3h + 3h 2 + h 3 - 1
= lim
= lim (3 + 3h + h2) = 3
h
h"0
h"0
Como os limites laterais são iguais, fl(1) existe e é igual a 3 .
Portanto, f é diferenciável em x = 1 .
lim
+
+
-
-
+
-
-
16.5 Operar com derivadas
23
A função f real de variável real, definida por f(x) = 2|x - 3| ,
não é diferenciável num ponto do seu domínio. Qual?
2x - 6
se x H 3
, logo:
Tem-se que f (x) = )
-2x + 6 se x 1 3
f (x) - f (3)
-2x + 6
lim
= lim
= -2
x
3
x-3
x"3
x"3
-
lim
x"3
Portanto, lim
x"3
+
-
f (x) - f (3)
2x - 6
= lim
=2
x-3
x-3
x"3
+
f (x) - f (0)
não existe e, por isso, f não é diferenciável em x = 3 .
x-0
24
Sejam a e b reais e considere a função f definida por:
x 2 + 4ax se x G 1
f(x) = * b
se x 2 1
x
Determine os valores de a e de b de forma que f seja diferenciável em 1 .
lim f(x) = lim (x2 + 4ax) = 1 + 4a = f(1)
x " 1-
x " 1-
+
+
b
lim f(x) = lim x = b
x"1
x"1
Como f é diferenciável em x = 1 , tem-se que f é contínua em x = 1
e, sendo assim, b = 1 + 4a .
f (1 + h) - f (1)
(1 + h)2 + 4a (1 + h) - 1 - 4a
= lim
=
h
h
x"0
x"0
h 2 + 2h + 4ah
= lim
= lim (h + 2 + 4a) = 2 + 4a
h
x"0
x"0
lim
-
-
-
-
458
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
16
b
- 1 - 4a
f (1 + h) - f (1)
1+h
lim
= lim
=
h
h
x"0
x"0
b - 1 - h - 4a - 4ah
1 + 4a - 1 - h - 4a - 4ah
= lim
= lim
=
h (1 + h)
h (1 + h)
x"0
x"0
-h (1 + 4a)
= lim
= -1 - 4a
h (1 + h)
x"0
+
+
+
+
+
Então:
2 + 4a =-1 - 4a
)
+
1 + 4a = b
*
a =-
3
8
1
2
3
1
Logo, os valores de a e de b são, respetivamente, e - .
8
2
b =-
25
Caracterize as funções derivadas das funções seguintes e para cada função
derivada determine os seus zeros, se existirem.
a)f(x) = -4 + x
b)f(x) = x3 + x2 -
c)f(x) = x +
x
x + 5 se x H 1
d)f(x) = ) 2
x
se x 1 1
1
2
a)f l(x) = (-4)l + (x)l = 0 + 1 = 1 ; Dfl = IR
fl não tem zeros.
b)f l(x) = (x3)l + (x2)l + c-
1 l
m = 3x2 + 2x + 0 = 3x2 + 2x ; Dfl = IR
2
2
3x2 + 2x = 0 + x(3x + 2) = 0 + x = 0 0 x = 3
2
Os zeros de fl são 0 e - .
3
1
l
c)f l(x) = (x)l + _ x i = 1 +
; Dfl = IR+
2 x
1
> 0, 6 x ! IR+
1+
2 x
fl não tem zeros.
d)f l(x) = )
1 se x > 1
2x se x < 1
f (x) - f (1)
f (x) - f (1)
! lim
:
Não existe fl(1) , pois lim
x
1
x-1
x"1
x"1
f (x) - f (1)
x-1
x+5-6
lim
= lim
= lim
=1
x-1
x-1
x"1
x"1
x"1 x - 1
f (x) - f (1)
x2 - 6
-5
lim
= lim
= - = +3
x-1
x-1
0
x"1
x"1
O zero de fl é o 0 .
+
-
+
+
-
-
+
459
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derivadas de funções reais de variável real e aplicações
26
Seja g a função real de variável real, definida por:
1
g(x) = x + x
a)Caracterize a função gl.
b)Determine gl(2) e escreva a equação reduzida da reta tangente ao gráfico
de g em x = 2 .
c)Resolva, em IR , gl(x) G 0 .
a)gl(x) = (x)l + c
Tarefa 2
1
1 l
m
x = 1 - x 2 ; Dgl = IR\{0}
1
3
=
2
4
2
Equação reduzida da reta tangente ao gráfico de g em x = 2 :
b)gl(2) = 1 -
3
3
5
(x - 2) +
+y= x+1
4
4
2
1
x2 - 1
c)gl(x) G 0 + 1 - 2 G 0 +
G0+
x
x2
y = gl(2)(x - 2) + g(2) + y =
+ x2 - 1 = 0 + x = -1 0 x = 1
x2 = 0 + x = 0
x
2
x -1
x2
-3
+
+
x2 - 1
x2
-1
0
0
1
0
+
+
0
+
+
+3
+
+
0
-
n.d.
-
0
+
+
C.S. = [-1, 1]\{0}
27
Seja f uma função diferenciável em 1 , tal que fl(1) = -2 e f(1) = 3 .
27.1 Calcule gl(1) sendo:
a) g(x) = f(x) +
x
b) g(x) =
27.2 Determine:
lim
x"1
27.1 a) gl(x) = fl(x) +
1
x + f(x)
f (x) - 3
f (x) # (1 - x)
1
2 x
1
1
3
gl(1) = fl(1) +
= -2 +
=2
2
2 1
460
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
1
+ fl(x)
x2
1
gl(1) = - 2 + fl(1) = -1 - 2 = -3
1
f (x) - 3
f (x) - f (1)
-1
27.2 lim
= lim
× lim
=
x-1
x " 1 f (x) # (1 - x)
x"1
x " 1 f (x)
-1
2
-1
= fl(1) ×
= -2 ×
=
3
3
f (1)
16
b) gl(x) = -
28
Considere as funções f e g reais de variável real, definidas por:
f(x) = x3 e g(x) =
x +2
Caracterize:
a) (f + g)l
b) (fg)l
c) (2f - g)l
1
a)(f + g)l(x) = fl(x) + gl(x) = 3x2 +
2 x
; D( f + g)l = IR+
b)(fg)l(x) = fl(x) × g(x) + f(x) × gl(x) = 3x2 _
x + 2i +
1
2 x
× x3 =
5
1 25
7
7 5
x 5 + 6x2
x + 3x 2 + 6x2 = x 2 + 6x2 =
2
2
2
D( fg)l = IR+0
1
c)(2f - g)l(x) = 2fl(x) - gl(x) = 6x2 ; D(2f - g)l = IR+
2 x
=
29
Obtenha uma expressão designatória de:
b) d-
a) (2x2)l
x 3 - 4x l
n
3
a)(2x2)l = 2(x2)l = 4x
b)d-
1
1
4
x 3 - 4x l
n = - (x3 - 4x)l = - (3x3 - 4) = -x2 +
3
3
3
3
30
Calcule fl(1) , sabendo que:
a) f(x) = 2x3 - 4x2 + x - 2
b) f(x) =
3
x
x - 3
c) f(x) = 3(x - 2)2 - 2x2
d) f(x) = 2
x -
1 3
x
2
461
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derivadas de funções reais de variável real e aplicações
a)f l(x) = 3 × 2x2 - 2 × 4x + 1 = 6x2 - 8x + 1
fl(1) = 6 - 8 + 1 = -1
3
1
1
10
b)f l(x) = - 2 ; fl(1) = -3 =3
3
3
x
c)f l(x) = (3x2 - 12x + 12 - 2x2)l = 2x - 12 ; fl(1) = 2 - 12 = -10
1
3
3
1
- x2 ; fl(1) = 1 =2
2
2
x
d)f l(x) =
31
Seja k um número real.
Considere a função g real de variável real, definida por:
g(x) = kx3 + 6x2 - kx - 18
Determine o valor de k , sabendo que as retas tangentes ao gráfico de g
nos pontos de abcissas 1 e 2 são paralelas.
gl(x) = 3kx2 + 12x - k
gl(1) = 2k + 12 e gl(2) = 11k + 24
Como as retas tangentes são paralelas, então:
2k + 12 = 11k + 24 + 9k = -12 + k = -
4
3
32
Caracterize a função derivada de cada uma das funções seguintes e calcule
os zeros de fl, se existirem:
a) f(x) = (2x - 1)
b) f(x) = cx c) f(x) =
x
1
2
m
x (1 - x )
x2 + 4
x
a)f l(x) = (2x - 1)l ×
= 2 x + (2x - 1)
Dfl = IR+
x + (2x - 1) × _ x il =
1
2 x
=2 x +
6x - 1
2x - 1
=
2 x
2 x
6x - 1
= 0 + 6x - 1 = 0 / 2 x ! 0 +
2 x
1
1
+x=
/x!0+x=
6
6
1
Zero de fl :
6
fl(x) = 0 +
462
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b)f l(x) = c- x 3 + 2x -
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
16
3x - 2x - 1
1
1 l
2
m
x = -3x + 2 + x 2 = x2
4
2
Alternativa:
1
1 l
fl(x) = cx - x m (1 - x2) + cx - x m(1 - x2)l=
1
1
1
= d1 + 2 n(1 - x2) + cx - x m(-2x) = 1 - x2 + 2 -1 - 2x2 + 2 =
x
x
1
2
= -3x + 2 + 2
x
Dfl = IR\{0}
3x 4 - 2x 2 - 1
= 0 + -3x4 + 2x2 + 1 = 0 / x ! 0 +
fl(x) = 0 + x =y
x2
1
2
+ -3y + 2y + 1 = 0 / y ! 0 + y = 1 0 y = - +
3
1
+ x2 = 1 0 x2 = - + x = -1 0 x = 1
3
Zeros de fl : -1 e 1
2
l
x2 + 4 l
4
n = c x + 4 m = 1 - 42 = x c)f l(x) = d
; Dfl = IR\{0}
2
x
x
x
x
2
x2 - 4
= 0 + x2 - 4 = 0 + x = -2 0 x = 2
x2
Zeros de fl : -2 e 2
fl(x) = 0 +
Considere uma função real de variável real f , diferenciável num ponto a ! Df ,
com f(a) ! 0 .
f l(a)
1 l
1
Mostre que a função
é diferenciável em a e e o (a) = .
2
f
f
7 f (a)A
Tarefa 3
f é contínua em a ; logo, f(x) ! 0 para x próximo de a , e:
f (a) - f (x)
1
1
f (a) - f (x)
f (x) f (a)
f (x)
f (a)
lim
lim
=
=
=
lim
x-a
x-a
x " a f (x) f (a) (x - a)
x"a
x"a
= lim =
x"a
=-
f (a) - f (x)
f (x) - f (a)
1
G = - 1 2 lim
#
=
x-a
(x - a)
f (x) f (a)
[f (a)] x " a
f l(a)
[f (a)]2
33
Caracterize fl, sendo:
1
a) f(x) = 2
x +3
b) f(x) =
1
3 x
463
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derivadas de funções reais de variável real e aplicações
a)f l(x) = Tarefa 3
b)f l(x) = -
(x 2 + 3)'
2x
=- 4
; Dfl = IR
2
2
(x + 3)
x + 6x 2 + 9
3
_3 x i'
=-
_3 x i
2
2 x
9x
=-
3
1
=; Dfl = IR+
0
18x x
6x x
34
Obtenha uma expressão designatória de:
l
2x - 1 l
x
2x 3 l
n
n
a) d
b) d
c) d
n
1-x
x+2
1- x
d) e
l
3x
o
2
(2 - x)
a)d
(2x - 1)' (1 - x) - (2x - 1) (1 - x)'
2x - 1 l
n =
=
1-x
(1 - x)2
1
2 - 2x + 2x - 1
=
=
(1 - x)2
(1 - x)2
(2x 3)' (x + 2) - (2x 3) (x + 2)'
6x 3 + 12x 2 - 2x 3
2x 3 l
d
n
b)
=
=
=
2
x+2
(x + 2)2
(x + 2)
4x 3 + 12x 2
=
(x + 2)2
x
1- x +
l
l
(x)l_1 - x i - (x) _1 - x i
x
2 x
c)d
=
=
n =
2
2
1- x
_1 - x i
_1 - x i
=
2 x - 2x + x
2 x _1 -
xi
2
=
-x + 2 x
2 x _1 -
xi
2
l
(3x)l(2 - x)2 - (3x) _(2 - x)2il
3x
o =
d)e
=
2
(2 - x)2
7(2 - x)2A
3 (2 - x)2 + (3x) # 2 # (2 - x)
(2 - x) (6 - 3x + 6x)
=
=
4
(2 - x)
(2 - x)4
6 + 3x
=
(2 - x)3
=
35
Considere a função g real de variável real, definida por:
3x - 1
g(x) =
x-1
Determine as coordenadas de um ponto no 1.º quadrante em que a reta
tangente ao gráfico de g , que passe por esse ponto, seja:
a)paralela à bissetriz dos quadrantes pares.
b)perpendicular à reta de equação y = 2x + 1 .
464
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
16
(3x - 1)' (x - 1) - (3x - 1) (x - 1)'
2
gl(x) =
=2
(x - 1)2
(x - 1)
a)Se é paralela à bissetriz dos quadrantes pares, então, tem declive -1 .
Tem-se que:
-
2
= -1 + (x - 1)2 = 2 +
(x - 1)2
+x-1=! 2 +x=1-
2 0x=1+
2
Como o ponto pertence ao 1.º quadrante, a sua abcissa é positiva; então,
as suas coordenadas são a1 +
2 , g _1 +
2 ik , isto é, _1 +
2 + 3i .
2,
b)Se é perpendicular à reta de equação y = 2x + 1 , então, tem declive -
Tem-se que:
-
1
.
2
2
1
= - + (x - 1)2 = 4 + x - 1 = ! 4 +
2
(x - 1)2
+ x = -1 0 x = 3
Como o ponto pertence ao 1.º quadrante, então, x = 3 . Substituindo em g ,
obtém-se:
3#3-1
=4
g(3) =
3-1
As coordenadas do ponto são (3, 4) .
36
A figura reproduz a reta que representa graficamente a função f .
1-x
.
Seja g a função definida por g(x) =
x3
f l
Determine e g o (2) .
y
0 2
24
f
x
Calcule-se a função derivada de g em x = 2 :
3
3
3
- x 3 - 3x 2 + 3xu4p151h1
1 - x l (1 - x)'x - (1 - x) (x )'
2x - 3
n
=
=
=
gl(x) = d
x3
x6
(x 3)2
x4
2#2-3
1
gl(2) =
=
4
16
2
Por observação do gráfico, tem-se que f (2) = 0 .
-4 - 0
= 2 , fl(2) = 2 .
Como o declive de f é
0-2
1
1
2 # d- n - 0 #
f l
f l(2) g(2) - f (2) gl(2)
8
16
e o (2) =
=
= -16
2
2
g
1
7g(2)A
d- n
8
465
000707 446-479 U16.indd 465
04/07/16 11:44
derivadas de funções reais de variável real e aplicações
37
Sejam f e g duas funções reais de variável real, definidas por:
1+x
f(x) = x e g(x) =
1-x
37.1
Caracterize a função g % f .
37.2
Obtenha a expressão analítica de (g % f)l usando dois processos distintos:
a)derivada do quociente.
b)derivada da função composta.
1+ x
; Dfl = IR+
0 \{1}
1- x
1+ x l
37.2 a) (g % f)l(x) = f
p =
1- x
37.1 (g % f)(x) = g^f (x)h =
=
=
_1 +
x il_1 -
x i - _1 +
_1 -
1- x
1+ x
+
2 x
2 x
b) gl(x) = d
_1 -
xi
2
xi
2
=
1+x l
2
n =
1-x
(1 - x)2
(g % f)l(x) = fl(x) × gl6f(x)@ =
=
1
2 x
×
2
_1 -
xi
2
x i_1 -
=
1
x _1 -
1
2 x
1
x il
=
xi
2
× gl_ x i =
x _1 -
xi
2
38
Sejam f e g funções reais de variável real, em que se sabe que:
• fl(2) = -3
3x
• g(x) =
x-1
Determine (f % g)l(-2) .
gl(x) = d
3x l (3x)' (x - 1) - (3x) (x - 1)'
3
n=
=x-1
(x - 1)2
(x - 1)2
(f % g)l(-2) = gl(-2) × fl6g(-2)@ = 1
= - × fl(2) = 1
3
3
_(-2) - 1i
2
× fld
3 (-2)
n=
-2 - 1
466
000707 446-479 U16.indd 466
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
39
16
Caracterize a função derivada das funções seguintes, utilizando a derivada
da função composta.
a) f(x) = (x2 - x)3
1-
b) f(x) =
c) f(x) = x
x
6
a)f l(x) = 6(x2 - x)3]l = 3(x2 - x)2 × (x2 - x)l =
= (3x4 - 6x3 + 3x2)(2x - 1) = 3(x2 - x)2(2x - 1)
Dfl = IR
b)f l(x) = 8 1 -
=
1
×
2
1
x Bl =
×
2
1
1-
x
× e-
1
11
2 x
x
o =-
Dfl = ]0, 1[ (pois tem-se x > 0 e 1 -
× _1 -
x il =
1
4 x-x x
x >0)
c)f l(x) = 6(x ) @l = 3(x ) × (x )l = 3x × 2x = 6x5 ; Df’ = IR
2 3
2 2
2
4
40
Considere as funções f e g reais de variável real, definidas por:
x4
x +1
40.1Caracterize a função derivada das funções f e g .
f(x) = 3x5 - 5x3 - 2 e g(x) =
3
40.2Determine os zeros de fl e de gl .
40.1 f l(x) = (3x5 - 5x3 - 2)l = 15x4 - 15x2 ; Dfl = IR
l
(x 4)' (x 3 + 1) - x 4 (x 3 + 1)'
x4
o =
gl(x) = e 3
=
(x 3 + 1)2
x +1
=
4x 3 (x 3 + 1) - x 4 (3x 2)
x 6 + 4x 3
=
; Dgl = IR\{-1}
(x 3 + 1)2
(x 3 + 1)2
40.2
f l(x) = 0 + 15x4 - 15x2 = 0 + 15x2(x2 - 1) = 0 +
+ 15x2 = 0 0 x2 - 1 = 0 + x = 0 0 x = -1 0 x = 1
Os zeros de fl são -1 , 0 e 1 .
gl(x) = 0 +
x 6 + 4x 3
= 0 + x6 + 4x3 = 0 / (x3 + 1)2 ! 0 +
(x 3 + 1)2
+ x3(x3 + 4) = 0 / x3 + 1 ! 0 + _x = 0 0 x = - 4 i / x ! -1
3
3
Os zeros de gl são 0 e - 4 .
467
000707 446-479 U16.indd 467
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derivadas de funções reais de variável real e aplicações
41
Seja h a função real de variável real, definida por h(x) = d
2x
n .
x+1
64x 3
Aplicando a derivada da função composta, mostre que hl(x) =
.
(x + 1)5
2x
Seja f (x) =
e g(x) = x4 . Então, h(x) = (g % f)(x) , logo:
x+1
3
2 (x + 1) - 2x
2x
d
n
×
4
=
hl(x) = (g % f)l(x) = fl(x) × gl6f(x)@ =
x+1
(x + 1)2
3
3
2
32x
64x
#
=
=
2
3
(x + 1)
(x + 1)
(x + 1)5
4
42
Considere a função f , definida em IR , por:
f(x) = x5 - 5x
42.1Sejam A e B os pontos do gráfico de f de abcissas -1 e 2 ,
respetivamente. Determine o declive da reta secante ao gráfico de f
nos pontos A e B .
42.2Verifique a existência de, pelo menos, um ponto C do gráfico de f ,
com abcissa compreendida entre -1 e 2 , em que a reta tangente
tem declive igual ao da reta AB e determine a abcissa de C .
42.1Como os pontos A e B pertencem ao gráfico de f , tem-se:
f (-1) = (-1)5 - 5 × (-1) = -1 + 5 = 4
f (2) = 25 - 5 × 2 = 32 - 10 = 22
Então, as coordenadas de A e B são, respetivamente, (-1, 4) e (2, 22) .
22 - 4
Logo, o declive da reta AB é igual a
=6.
2 - (-1)
4 11
11
42.2
f l(x) = 6 + (x5 - 5x)l= 6 + 5x4 - 5 = 6 + x4 =
+ x =!
5
5
Como a abcissa de C tem de pertencer ao intervalo ]-1, 2[ , tem-se
4 11
4
4
4
, pois 11 < 5 < 2 5 .
x =
5
4
4
4 11
1375
11# 5 3
=
=
.
Portanto, a abcissa do ponto C é x =
5
5
5
43
Derive:
a) a(x) = 2x-5
b) b(x) = -
5
2x 7
a)al(x) = (2x-5)l = 2 × (-5) × x-6 = -10x-6 = b)bl(x) = d-
10
x6
5 -7 l
5
35 -8
5 l
35
d
n
=
x n = d- n × (-7) × x-8 =
x =
7
2
2
2
2x
2x 8
468
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Tarefa 4
Seja f(x) =
n
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
16
x , prove que:
n
1 1 -1
l
fl(x) = _ x i = n x n =
1
n
n-1
n x
SUGESTÃO: Determine, utilizando a definição de derivada, fl(a) , a ! Df ,
fazendo x = yn e a = bn .
Pode começar por provar, usando o princípio de indução matemática, que:
6 n ! IN, yn - bn = (y - b)(yn - 1 + byn - 2 + … + bn - 2y + bn - 1)
Para n = 1 , tem-se y - b = (y - b)(1) , verdade.
Hipótese:
Para um certo n ! IN, yn - bn = (y - b)(yn - 1 + byn - 2 + … + bn - 2y + bn - 1)
Tese: yn + 1 - bn + 1 = (y - b)(yn + byn - 1 + … + bn - 1y + bn)
Demonstração:
yn + 1 - bn + 1 = y × yn - b × bn = y × yn - y × bn + y × bn - b × bn =
= y × (yn - bn) + (y - b) × bn
=
hipótese de indução
= y × (y - b)(yn - 1 + byn - 2 + … + bn - 2y + bn - 1 + (y - b) × bn =
= (y - b)(yn + byn - 1 + … + bn - 2 y2 + bn - 1y + bn)
Prove-se que fl(x) =
1
n
n xn+1
f (x) - f (a)
fl(a) = lim
= lim
x-a
x"a
x"a
= lim
y"b
=
b
(y - b) (y
n-1
+ bb
n-1
n-1
1 1 -1
= n x n , com x = yn e a = bn :
n
c.q.d.
n
y-b
x - a
= lim n
n =
x-a
y"b y - b
y-b
=
+ by
+ … + b n - 2 y + b n - 1)
n-2
1 1
1
1
1
=
=
= n a n -1
n
n-2
n-1
n-1 b= a
+…+ b b + b
nb
n an-1
Tem-se, assim, que fl(x) =
n
1
n
n xn-1
1 1 -1
= nxn .
44
Considere a função f , real de variável real, definida por:
3
1
f(x) = 2 x - x 6 + 1
44.1 Caracterize fl.
44.2Determine a abcissa do ponto do gráfico de f , em que a reta tangente
é paralela ao eixo das abcissas.
469
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04/07/16 11:44
derivadas de funções reais de variável real e aplicações
44.1
f l(x) = b 2
3
1
l
x - x 6 + 1l = 2 ×
1
3
3 x2
-
1 - 65
=
x
6
1
2
=
-
3
3 x2
Dfl = IR+
1
6
6 x5
=
4
6x
2
3
x6
#
x
1
6
1
-
1
5
6x
=
4x 6 - 1
5
6x 6
6
44.2Se a reta tangente é paralela ao eixo das abcissas, então, o seu declive é 0 .
Para x > 0 , tem-se:
1
fl(x) = 0 +
4x 6 - 1
5
1
1
= 0 + 4x 6 - 1 = 0 + x 6 =
6x 6
1
1 6
+x=c m
4
4
45
Determine a expressão da função derivada das funções reais de variável real
definidas por:
2x 4 - 1
2x + 1
a) f(x) =
b) g(x) =
2
1-x
x
(2x 4 - 1)'x 2 - (2x 4 - 1) (x 2)'
2x 4 - 1 l
o
=
=
x2
(x 2)2
a)f l(x) = e
=
4x 4 + 2
8x 5 - 4x 5 + 2x
=
x3
x4
b)gl(x) = e
=
2
=
2x + 1 l
o =
1-x
2
1
2x + 1 l
n =
#d
1-x
2x + 1
1-x
2 (1 - x) - (2x + 1) (-1)
1
3
=
=
#
2
x
(
1
)
2x + 1
2x + 1
2
2 (1 - x)
1- x
1- x
3 1- x
2
2 (1 - x) 2x + 1
46
Aplicando a regra de derivação 7^f(x)h pAl = p^f(x)h p - 1 fl(x), p ! Q
I ,
determine fl(x) , sendo:
3
2x 2
n
a) f(x) = (4x3 - 2x + 1)4
b) f(x) = d
x-1
a)f l(x) = 6(4x3 - 2x + 1)4@l = 4(4x3 - 2x + 1)3(4x3 - 2x + 1)l =
= 4(12x2 - 2)(4x3 - 2x + 1)3
470
000707 446-479 U16.indd 470
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b) fl(x) = >d
= 3f
=
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
2
3
2x 2 l
2x 2 Hl
2x 2
n =
n = 3d
n d
x-1
x-1
x-1
16
4x (x - 1) - 2x 2
4x 4
12x 4
2x 2 - 4x
>
H
p
=
×
=
(x - 1)2
(x - 1)2
(x - 1)2
(x - 1)2
24x 5 (x - 2)
(x - 1)4
47
n
Aplicando a regra de derivação ` f (x) jl =
sendo:
a) f(x) =
3
a)f l(x) = `
4x - 1
3
4x - 1 jl =
f l(x)
n _ f (x)i
n-1
n
b) f(x) =
(4x - 1)'
3
=
2
3 (4x - 1)
4
l
b)f l(x) = ` (x 2 - 3)3 j =
7(x 2 - 3)3Al
4
2
9
4 (x - 3)
4
, determine fl(x) ,
(x 2 - 3)3
4
3
3 (4x - 1)2
=
6x (x 2 - 3)2
4
2
9
4 (x - 3)
48
b
Na figura estão representados:
=
3x
2 x2 - 3
y
C
t
• p arte do gráfico da função f de domínio
A
B
a
]-3, +3[\{3} , tal que:
T 0
2x 2 - 1
f(x) = 2
f
c
x -9
• a reta t , tangente ao gráfico de f no ponto T de abcissa x = -2 ;
• as retas a , b e c , assíntotas do gráfico de f ;
x
u4p157h2
• o s pontos A e C , pontos de interseção de t com as retas a e c ,
respetivamente;
• o ponto B , ponto de interseção das retas a e c .
Determine a área do triângulo [ABC] .
Tem-se fl(x) = e
34x
2x 2 - 1 l
o =- 2
.
2
(x - 9)2
x -9
Uma equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f em x = -2 :
2 (-2)2 - 1
(x + 2) +
+
y = fl(-2)(x + 2) + f(2) + y = f2 p
(-2)2 - 9
_(-2)2 - 9i
34 (-2)
+y=
68
68
7
101
(x + 2) +y=
x+
25
25
5
25
471
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derivadas de funções reais de variável real e aplicações
Assíntotas do gráfico de f :
Df = ]-3, +3[
As retas de equação x = -3 e x = -3 são assíntotas verticais ao gráfico
da função f .
Calcule-se o limite em +3 :
2x 2 - 1
=2
x " +3
x " +3 x 2 - 9
Logo, a reta de equação y = 2 é assíntota horizontal ao gráfico da função f .
lim f(x) = lim
Coordenadas de A :
68
101
68
101
3
y=
x+
x+
=2
x =4
25
25 + * 25
25
+*
*
y=2
y=2
y=2
3
Então, Ac- , 2 m .
4
O ponto B é a interseção das assíntotas a e c ; logo, B(3, 2) .
Coordenadas de C :
68
101
68
101
61
y=
x+
y=
#3+
y=
25
25
5
25 + *
25 + *
*
x=3
x=3
x=3
61
n.
Então, C d 3,
5
A área do triângulo retângulo [ABC] é:
e 3 - c-
3
61
mo # d
- 2n
4
5
=
2
AB # BC
=
2
15
51
#
765
153
4
5
=
=
u. a.
=
2
40
8
A[ABC] =
AVALIAR CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Considere a função f real de variável real, definida por:
4-x
f(x) =
x+2
A taxa média de variação de f entre -1 e 0 é:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
472
000707 446-479 U16.indd 472
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
f (0) - f (-1)
2-5
=
= -3
0 - (-1)
1
16
A opção correta é a (A).
2
Sabendo que fl(2) = -4 e que f(2) = 3 , o valor de lim
x"2
(A) -2
(C) 1
(B) -1
f (x) - 3
é:
x2 - 4
(D) 2
f (x) - 3
f (x) - 3
1
1 n
= limd
= -4 ×
= -1
#
2
x-2
4
x+2
x"2 x - 4
x"2
A opção correta é a (B).
lim
3
Considere a função f , de domínio IR , definida por:
x 2 + 2x se x H 1
f(x) = *
4
7 - x se x 1 1, x ! 0
Das afirmações seguintes, qual é verdadeira?
(A) f não é contínua nem diferenciável em x = 1 .
(B) f não é contínua e é diferenciável em x = 1 .
(C) f é contínua e não é diferenciável em x = 1 .
(D) f é contínua e diferenciável em x = 1 .
lim f(x) = lim (x2 + 2x) = 3
x " 1+
x " 1+
4
lim f(x) = lim c 7 - x m = 3
x"1
f(1) = 3
x " 1-
-
É contínua em x = 1 , pois lim f (x) = 3 = f (1) .
x"1
4
7- x -3
f (x) - f (1)
4
4x - 4
lim
= lim
= lim
= lim x = 4
x-1
x-1
x"1
x"1
x " 1 x (x - 1)
x"1
-
lim
x " 1+
-
-
-
f (x) - f (1)
(x - 1) (x + 3)
x 2 + 2x - 3
= lim
= lim
=
x-1
(x - 1)
x-1
x"1
x"1
+
+
= lim (x + 3) = 4
x " 1+
É diferenciável em x = 1 .
A opção correta é a (D).
473
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derivadas de funções reais de variável real e aplicações
4
Um projétil é lançado verticalmente de baixo para cima.
Admita que a sua altitude h , em metros, t segundos após ter sido lançado,
é dada por:
h(t) = 60t - 5t2
Qual é a velocidade, em metros por segundo, do projétil, 3 segundos após
o lançamento?
(A) 20
(B) 25
(C) 30
(D) 35
hl(t) = (60t - 5t2)l = 60 - 10t e hl(3) = 60 - 10 × 3 = 30
A opção correta é a (C).
5
A reta de equação y = 2x + 1 é tangente ao gráfico de f num ponto do seu
domínio.
Das seguintes expressões, indique a que pode definir a função f .
(A) f(x) = x2 + x
(C) f(x) = x2 + x + 1
(B) f(x) = x2 + 2x
(D) f(x) = 2x2 + 2x + 1
Seja a a abcissa do ponto de tangência. Pela equação da reta, sabe-se que
tem declive igual a 2 ; logo, fl(a) = 2 . Por outro lado, o ponto de tangência
pertence a f e à reta tangente, ou seja, f(a) = 2a + 1 .
1
(A) fl(x) = 2 + 2x + 1 = 2 + x =
2
1
1
3
f c m =
!2×
+1
2
2
4
(B) fl(x) = 2 + 2x + 2 = 2 + x = 0
f(0) = 0 ! 2 × 0 + 1
(C) fl(x) = 2 + 2x + 1 = 2 + x =
f c
1
2
1
7
1
m=
!2×
+1
2
4
2
(D) fl(x) = 2 + 4x + 2 = 2 + x = 0
f(0) = 1 = 2 × 0 + 1
A opção correta é a (D).
6
Considere a função f , de domínio IR\{1} , definida por f(x) =
O valor de x tal que fl(x) + f(x) = 2 é:
(A) -1
(B) 0
(C) 2
2x
.
x-1
(D) 3
474
000707 446-479 U16.indd 474
04/07/16 11:45
fl(x) + f(x) = 2 +
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
2
16
2x - 2 - 2x
2x
2x - 2x - 2
+
=2+
=2+
x-1
(x - 1)2
(x - 1)2
2x 2 - 4x + 2
2x 2 - 2x - 2
=
2
(x - 1)
(x - 1)2
Logo:
+
2x2 - 2x - 2 = 2x2 - 4x + 2 + x = 2 e (x - 1)2 ! 0 + x ! 1
A opção correta é a (C).
7
y
Na figura ao lado estão representadas em referencial
o.n. partes do gráfico da função quadrática g e da reta r
tangente ao gráfico de g no ponto A . Tem-se gl(6) = -11 .
A
A reta r tem como equação reduzida y = x + 6 .
g
O valor de (g % g)l(0) é:
(A) -15
(B) -13
(C) -11
r
0
(D) -9
x
(g % g)l(0) = gl(0) × gl^g(0)h
Como A pertence à reta r e a g , tem-se g(0) = 0 + 6 = 6 .
Como a reta r tem declive 1 , gl(0) = 1 .
u4p158h1
Assim:
(g % g)l(0) = 1 × gl(6) = -11
A opção correta é a (C).
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
8
Considere a função f real de variável real, definida por f(x) = 2x2 + 4x .
8.1 Calcule a taxa média de variação de f entre -1 e 2 .
8.2 Recorrendo à definição de derivada num ponto, calcule fl(1) .
8.3Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f em x = 1 .
8.1
f (2) - f (-1)
16 - (-2)
=
=6
2 - (-1)
2+1
f (1 + h) - f (1)
2 (1 + 2h + h 2) + 4 (1 + h) - 6
= lim
=
h
h
h"0
h"0
2h 2 + 8h
= lim
=8
h
h"0
8.3 y = fl(1)(x - 1) + f(1) + y = 8(x - 1) + 6 + y = 8x - 2
8.2 fl(1) = lim
475
000707 446-479 U16.indd 475
04/07/16 11:45
derivadas de funções reais de variável real e aplicações
9
Dois pontos movem-se numa reta. Em cada instante, t , em segundos,
as suas posições (abcissas) respetivas são dadas, em metros, por:
f(t) = 3t e g(t) = t + 2t2
Em que instante têm os pontos a mesma velocidade? E em que instantes têm
a mesma posição?
fl(t) = gl(t) + 3 = 1 + 4t + t = 0,5
f(t) = g(t) + 3t = t + 2t2 + 2t2 - 2t = 0 + t(2t - 2) = 0 + t = 0 0 t = 1
Têm a mesma velocidade aos 0,5 segundos e têm a mesma posição
no instante inicial e no instante t = 1 s .
4
+ 2x se x 1 - 1
Considere a função f , definida em IR , por f(x) = * x
.
2
x
x
x
5
se
H
1
10.1 Justifique que f é contínua.
10
10.2 Averigue se existe fl(-1) .
10.3 Determine fl(-2) .
10.1
lim f(x) = lim (5x - x2) = -6
x "-1+
x "-1+
-
-
4
lim f(x) = lim c x + 2x m = -6
x "-1
x "-1
f(-1) = -6
Existe lim f(x) , pelo que f é contínua em x = -1 .
x "-1
Como a restrição de f em ]-3, 1[ é racional e a restrição de f em ]1, +3[
é polinomial, são funções contínuas. Portanto, f é contínua em IR .
f (-1 + h) - f (-1)
5 (-1 + h) - (-1 + h)2 - (-6)
10.2 lim
= lim
=
h
h
h"0
h"0
7h - h 2
= lim
=7
h
h"0
4
+ 2 (-1 + h) - (-6)
f (-1 + h) - f (-1)
(-1 + h)
= lim
=
lim
h
h
h"0
h"0
4 + 2 (-1 + h)2 + 6 (-1 + h)
(-1 + h)
= lim
=
h
h"0
2h 2 + 2h
4 + 2 - 4h + 2h 2 - 6 + 6h
= lim
lim
=
=
h"0
h"0
h2 - h
h2 - h
2h + 2
= lim
= -2
h-1
h"0
Logo, não existe fl(-1) .
+
+
+
-
-
-
-
-
-
476
000707 446-479 U16.indd 476
04/07/16 11:45
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
16
4
x + 2x .
l
4
4
Logo, a sua derivada é dada pela expressão c x + 2x m = - 2 + 2 .
x
4
+ 2 = -1 + 2 = 1 .
Então, fl(-2) = (-2)2
10.3 Como x = -2 , considere-se o ramo definido pela expressão
11
x 2 + 2a se x H 1
Para a e b reais, considere a função f definida por f(x) = *
.
1 - bx se x 1 1
Determine os valores de a e de b de modo que f seja diferenciável em x = 1 .
lim f(x) = lim (x2 + 2a) = 1 + 2a = f (1)
x"1
+
x"1
+
lim f(x) = 2 + lim (1 - bx) = 1 - b
x"1
-
x"1
-
1 - b = 1 + 2a + b = -2a
f (1 + h) - f (1)
(1 + h)2 + 2a - (1 + 2a)
h 2 + 2h
lim
= lim
= lim
=2
h
h
h
x"0
x"0
x"0
f (1 + h) - f (1)
1 - b (1 + h) - (1 + 2a)
lim
= lim
=
h
h
x"0
x"0
b = -2a
1 + 2a (1 + h) - (1 + 2a)
2ah
= lim
= lim
= 2a
h
h
x"0
x"0
Então, 2a = 2 + a = 1 e b = -2 × 1 = -2 .
+
+
-
-
-
+
-
12
Recorrendo às regras de derivação, caracterize a função derivada de cada uma
das funções seguintes e determine os seus zeros, se existirem.
1
5x
a) a(x) =
+1
f) f(x) = 4x +
x
2
2
1
2x
b) b(x) = x - 3x2
g) g(x) =
3
x-1
2
1 - 2x
n
c) c(x) = 3x3 - x + 2
h) h(x) = d
x+2
d) d(x) = (1 - 2x)(x2 + 7x)
i) i(x) =
e) e(x) = (x + 1)2 - 2(1 - x)2
j) j(x) =
x 2 - 2x
3
x3 - x
a)al(x) = d
l
5x
5
; Dal = IR
+ 1n =
2
2
al não tem zeros.
l
1
1
b)bl(x) = d x - 3x 2 n =
- 6x ; Dbl = IR
3
3
1
1
1
- 6x = 0 + x =
; o zero de bl é
.
3
18
18
477
000707 446-479 U16.indd 477
04/07/16 11:45
derivadas de funções reais de variável real e aplicações
c)cl(x) = (3x3 - x + 2)l = 9x2 - 1 ; Dcl = IR
1
1
1
1
1
+ x = - 0 x = ; os zeros de cl são - e .
9
3
3
3
3
d)dl(x) = 6(1 - 2x)(x2 + 7x)@l = (1 - 2x)l(x2 + 7x) + (1 - 2x)(x2 + 7x)l =
= -2(x2 + 7x) + (1 - 2x)(2x + 7) = -6x2 - 26x + 7
Ddl = IR
- (- 26) ! (- 26)2 - 4 (- 6) (7)
2
+
-6x - 26x + 7 = 0 + x =
2 (- 6)
26 ! 844
26 ! 2 211
13 ! 211
+x=
+x=
+x=
+
- 12
- 12
-6
13 + 211
13 - 211
+ x =0 x =6
6
13 + 211
13 - 211
Os zeros de dl são e.
6
6
e)el(x) = 6(x + 1)2 - 2(1 - x)2@l = 6(x + 1)2@l - 62(1 - x)2@l =
= 2(x + 1) × 1 - [4(1 - x) × (-1)] = 2x + 2 + 4 - 4x = -2x + 6
Del = IR
-2x + 6 = 0 + x = 3 ; o zero de el é 3 .
1
1 l
m
f) fl(x) = c 4x +
x = 4 - x 2 ; Dfl = IR\{0}
1
4 - 2 = 0 / x ! 0 + 4x2 - 1 = 0 / x ! 0 +
x
1
1
1
2
0x = m/ x ! 0
/ x ! 0 + c x =+x =
2
2
4
1
1
e
.
Os zeros de fl são 2
2
4x (x - 1) - 2x 2 # 1
2x 2 - 4x
2x 2 l
d
n
=
g)gl(x) =
; Dgl = IR\{1}
=
2
x-1
(x - 1)
(x - 1)2
2x2 - 4x = 0 / x ! 1 + x(2x - 4) = 0 / x ! 1 +
+ (x = 0 0 x = 2) / x ! 1
Os zeros de gl são 0 e 2 .
2
1 - 2x l
1 - 2x
1 - 2x l
n H = 2d
n×d
n=
h)hl(x) = >d
x+2
x+2
x+2
9x2 - 1 = 0 + x2 =
=
(1 - 2x)l(x + 2) - (1 - 2x) (x + 2)l
2 - 4x
H=
×>
x+2
(x + 2)2
=
-2(x + 2) - 1 + 2x
-2x - 4 - 1 + 2x
2 - 4x
2 - 4x
×
=
×
=
2
x+2
x+2
(x + 2)2
(x + 2)
=
-5
2 - 4x
20x - 10
×
=
2
x+2
(x + 2)
(x + 2)3
Dhl = IR\{-2}
1
1
/ x ! -2 ; o zero de hl é
.
20x - 10 = 0 / x ! -2 + x =
2
2
478
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04/07/16 11:45
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
i)
il(x) = _
x 2 - 2x il =
1
× (x2 - 2x)l =
2
x-1
2 x - 2x
x 2 - 2x
Dil = ]-3, 0[ , ]2, +3[
x - 1 = 0 / x2 - 2x ! 0 + x = 1 / x ! 0 / x ! 2 ; il não tem zeros.
3
1
j)
jl(x) = ` x 3 - x jl = 3 3
× (x3 - x)l =
2
3 (x - x)
1
3x 2 - 1
2
×
(3x
1)
=
= 3 3
3
3 (x - x)2
3 (x 3 - x)2
Djl = IR\{-1, 0, 1}
3x2 - 1 = 0 / 3 (x 3 - x)2 ! 0 + e x =3
Os zeros de jl são -
3
e
3
3
3
o / x ! IR\{-1, 0, 1}
0x=
3
3
3
.
3
13
Na figura ao lado está representada
parte do gráfico da função fl ,
derivada da função f , de domínio IR .
13.1Tendo por base a figura apresentada,
justifique que f não é decrescente
em ]1, 3[ .
y
1
O
1
2
x
3
13.2Sabendo que f(2) = -3 , determine a abcissa do ponto de interseção
da reta normal ao gráfico de f em x = 2 com o eixo das abcissas.
13.3Considere a e b dois números reais positivos e u4p159h1
suponha que:
f(x) = x2(a - x) - bx
Determine os valores de a e de b de forma que a expressão de f
apresentada seja compatível com o gráfico de fl .
13.1 Tem-se que fl(x) > 0, 6x ! ]1, 3[ ; logo, a função f não é decrescente,
pois, se fosse decrescente, teria-se fl(x) < 0, 6x ! ]1, 3[ , o que é absurdo.
13.2
f l(2) = 1 ; logo, a reta normal ao gráfico de f em x = 2 é dada por:
1
(x - 2) + f(2) = -(x - 2) + f(2) = -x - 1
f l(2)
Sendo assim, o ponto de interseção com Ox tem de coordenadas (-1, 0) .
y=-
13.3
f l(x) = [x2(a - x) - bx]l = (ax2 - x3 - bx)l = 2ax - 3x2 - b
Por observação do gráfico, tem-se que:
f l(1) = 0
2a - 3 - b = 0
b = 2a - 3
*
+)
+)
+
f l(3) = 0
6a - 27 - b = 0
6a - 27 - 2a + 3 = 0
——
b=9
(
+)
4a = 24
a=6
479
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17
UNIDADE
derivada e estudo
de funções
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
17.1 Teorema de Lagrange
1
Considere a função real de variável real definida por:
f(x) = 2x2 - 8x + 3
1.1Determine a abcissa, xV , do vértice da parábola que representa
graficamente a função f .
1.2Mostre que fl(xV) = 0 .
1.1 xV =
- (-8)
-b
=2
=
2a
2#2
1.2 Tem-se que fl(x) = 4x - 8 ; logo, fl(xV) = fl(2) = 4 × 2 - 8 = 0 .
2
Justifique que a função real de variável real definida por
l(x) = x5 + x
não admite extremos relativos.
Se l tivesse um extremo relativo em x0 , então, ll(x0) = 0 .
Ora, ll(x) = 5x4 + 1 nunca se anula; logo, l não admite extremos.
3
Sobre uma função f , real de variável real, diferenciável em ]-1, 3[ ,
sabe-se que f(0) = 2 e f(2) = 2 .
Utilize o teorema de Lagrange para justificar que a função fl, derivada de f ,
tem, pelo menos, um zero pertencente ao intervalo ]0, 2[ .
Como f é diferenciável em ]-1, 3[ , é contínua em [0, 2] e diferenciável
em ]0, 2[ . Então, pelo teorema de Lagrange, existe c ! ]-1, 3[ :
f (2) - f (0)
+ fl(c) = 0
2-0
Portanto, fl admite pelo menos um zero em ]0, 2[ .
fl(c) =
480
000707 480-501 U17.indd 480
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
4
17
Seja g uma função diferenciável em [2, 5] .
Sabe-se que a reta de equação y = 2x + 3 interseta o gráfico de g nos pontos
A(2, 7) e B^5, g(5)h .
4.1 Determine g(5) .
4.2 Justifique que:
a) g é contínua em [2, 5] .
b)a equação gl(x) = 2 é possível em ]2, 5[ .
4.1 Como o ponto B^5, g(5)h pertence à reta, tem-se g(5) = 2 × 5 + 3 = 13 .
4.2a)Como g é uma função diferenciável em [2, 5] , é contínua em [2, 5] .
b)Como g é diferenciável e contínua em [2, 5] , pelo teorema
de Lagrange, existe c ! ]2, 5[ , tal que:
g (5) - g (2)
13 - 7
+ gl(c) =
+ gl(c) = 2
gl(c) =
5-2
5-2
Logo, a equação gl(x) = 2 é possível em ]2, 5[ .
17.2 Derivada. Monotonia e extremos de funções
5
Justifique que a função definida por f(x) = x2 - 3x é estritamente crescente
no intervalo ]2, 4[ .
6x ! ]2, 4[, fl(x) = 2x - 3 > 0 ( 6x ! ]2, 4[, fl(x) H 1 ) , então, f
é estritamente crescente em ]2, 4[ .
6
A partir do estudo do sinal da derivada, indique os intervalos de monotonia
das seguintes funções reais de variável real:
a) f(x) = x2 + x
b) g(x) =
x
c) h(x) = x3 + x
a)f l(x) = 2x + 1 ; Dfl = IR
1
2
1
2x + 1 H 0 + x H 2
1
1
A função f é decrescente em E-3, - E e crescente em ;- , +3; .
2
2
1
+
b)gl(x) =
; Dgl = IR
2 x
1
Como
> 0, 6x ! IR+ , a função g é crescente em [0, +3[ .
2 x
c)hl(x) = 3x2 + 1 ; Dhl = IR
Como 3x2 + 1 > 0, 6x ! IR , então, a função h é crescente em IR .
2x + 1 G 0 + x G -
481
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derivada e estudo de funções
7
Na figura ao lado está representada, em referencial
o.n. xOy , parte do gráfico de uma função
quadrática h , com zeros -3 e 1 .
y
h
7.1Sendo h a derivada de uma função f , indique
os intervalos de monotonia de f .
O
23
7.2Justifique que f(-3) é o máximo das funções
1
x
f|]-4, -3] e f|[-3, -2[
e conclua que é um máximo relativo de f .
7.3Determine o conjunto solução da condição
h(x) ◊ hl(x) H 0
7.1
x
h(x)
f
-3
+
3
-3
0
Máx.
4
u4p163h1
+3
+
3
1
0
Mín.
Assim, a função f é crescente nos intervalos ]-3, -3] e [1, +3[
e decrescente no intervalo [-3, 1] .
7.2 Como f é crescente em ]-3, -3] e decrescente em [-3, 1] ,
assume em -3 um máximo relativo.
-3 + 1
= -1 , então, a abcissa do vértice da parábola que
2
representa h é igual a -1 . Portanto, o gráfico de hl é uma reta de zero
em x = -1 e de declive positivo (por observação da monotonia de h ) .
7.3 Como
Assim:
x
-3
h(x)
+
hl(x)
h(x) × hl(x)
-
-3
0
0
+
-1
0
0
+
-
1
0
+
0
+3
+
+
+
C.S. = [-3, -1] , [1, +3[
8
A partir do estudo do sinal da derivada, indique os intervalos de monotonia e,
caso existam, os extremos relativos e absolutos das funções reais de variável
real, definidas por:
a) f(x) = x3 - 6x
1
x-2
x -x
b) g(x) = -x +
c) h(x) =
d) i(x) =
e) j(x) =
x2 + 4
4
x2 + 2
482
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
2
a)f l(x) = 3x - 6 ; Dfl = IR
3x2 - 6 = 0 + x2 = 2 + x = - 2 0 x =
x
fl(x)
f
-3
+
3
- 2
0
Máx.
4
17
2
+3
+
3
2
0
Mín.
Crescente em A-3 , - 2 A e em 7 2 , +37 ; e decrescente em 7- 2 ,
Máximo relativo em x = - 2 : f _- 2 i = 4 2
2A .
Mínimo relativo em x = 2 : f _ 2 i = -4 2
l
1
1
n = -1 b)gl(x) = d- x +
< 0, 6 x ! IR
x-2
(x - 2)2
Dgl = IR\{2}
x
gl(x)
g
-3
4
2
n.d.
n.d.
+3
4
Decrescente em ]-3, 2[ e em ]2, +3[ ; logo, não admite extremos relativos.
1
c)hl(x) = _ x - x il =
- 1 ; Dhl = IR+
2 x
1
1
1
+ x=
-1=0+2 x =1+ x =
2
4
x
!
IR
2 x
+
x
0
hl(x)
h
n.d.
0
1
4
0
Máx.
+
3
+3
4
Crescente em ;0,
1
1
E e decrescente em ; , +3; .
4
4
1
1
1
Máximo absoluto em x =
: hc m =
4
4
4
Mínimo relativo em x = 0 : h(0) = 0 (Não há mínimo absoluto,
pois lim h(x) = -3 ) .
x "+3
d)il(x) = _
x 2 + 4 il =
2x
2 x2 + 4
il(x) = 0 + x = 0 , pois
x
il(x)
i
-3
4
=
x
x2 + 4
; Dfl = IR
x 2 + 4 > 0, 6 x ! IR
0
0
Mín.
+3
+
3
Crescente em [0, +3[ e decrescente em ]-3, 0] .
Mínimo absoluto em x = 0 : i(0) = 2
483
000707 480-501 U17.indd 483
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derivada e estudo de funções
e)jl(x) = d
l
4
8x
n = 2
; Djl = IR
x +2
(x + 2)2
2
jl(x) = 0 + x = 0 , pois (x2 + 2)2 > 0, 6 x ! IR
x
0
0
Máx.
-3
+
3
jl(x)
j
+3
4
Crescente em ]-3, 0] e decrescente em [0, +3[ .
Máximo absoluto em x = 0 : j(0) = 2
9
Determine os extremos relativos e absolutos da restrição da função definida por:
a)f(x) = -x2 + 6x ao intervalo [0, 4]
b)f(x) = x4 - 8x + 3 ao intervalo [-1, 5]
c)f(x) = x + 2 +
1
ao intervalo ]-5, 10[
x-1
a) fl(x) = -2x + 6 ; Dfl = [0, 4]
-2x + 6 = 0 + x = 3
x
0
fl(x) +
f
Mín.
3
0
Máx.
+
3
4
4
Mín.
Máximo absoluto em x = 3 : f (3) = 9
Mínimo relativo em x = 4 : f (4) = 8
Mínimo absoluto em x = 0 : f (0) = 0
b) fl(x) = 4x3 - 8 ; Dfl = [-1, 5]
4x3 - 8 = 0 + x =
x
2
3
-1
fl(x) f
Mín.
3
4
5
2
0
Mín.
Mínimo absoluto em x =
3
+
3
+
Máx.
2 : f ` 2j = 3 - 6 2
3
3
Máximo relativo em x = -1 : f (-1) = 12
Máximo absoluto em x = 5 : f (5) = 588
x 2 - 2x
1
=
; Dfl = ]-5, 1[ , ]1, 10[
(x - 1)2
(x - 1)2
x2 - 2x = 0 / (x - 1)2 ! 0 + x = 0 0 x = 2 / x ! 1
c) fl(x) = 1 -
484
000707 480-501 U17.indd 484
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x
fl(x)
f
-5
n.d.
n.d.
0
0
Máx.
+
3
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
4
1
n.d.
n.d.
4
2
0
Mín.
17
10
n.d.
n.d.
+
3
Máximo relativo em x = 0 : f (0) = 1
Mínimo relativo em x = 2 : f (2) = 5
10
Considere a função de domínio IR , definida por
f(x) = x3 + ax + b ,
com a e b reais.
Determine, em cada alínea, os valores de a e b sabendo que:
a)a função f assume o mínimo relativo 5 em x = 1 .
b)a função f é crescente.
c)1 é máximo relativo de f em x = -2 .
a) fl(x) = 3x2 + a e fl(1) = 0 + 3 + a = 0 + a = -3
f (1) = 5 + 1 + a + b = 5 + 1 - 3 + b = 5 + b = 7
Então, a = -3 e b = 7 .
b) Atendendo à derivada, a H 0 e b qualquer.
c) fl(-2) = 0 + 12 + a = 0 + a = -12
f(-2) = 1 + -8 - 2a + b = 1 + -8 + 24 + b = 1 + b = -15
Então, a = -12 e b = -15 .
11
Na figura está representada, em referencial ortogonal, parte do gráfico
da derivada de uma função f de domínio IR .
Refira, justificando, qual é o valor lógico
das seguintes proposições:
y
fl
a) f(-3) é um máximo relativo de f .
b)A função f é decrescente em ]-3, 4[ .
c)A função f admite um extremo relativo em 4 .
23
O
4
x
d)Se f(5) = 7 , então, f(6) > 7 .
Por observação do gráfico de fl , tem-se:
x
fl(x)
f
-3
4
-3
0
Mín.
+
3
4
0
f (4)
+3
+
3
u4p165h1
485
000707 480-501 U17.indd 485
04/07/16 11:50
derivada e estudo de funções
a) Falsidade, porque f (-3) é um mínimo relativo de f .
b) Falsidade, porque fl(x) > 0 em ]-3, 4[ ; logo, f é crescente neste intervalo.
c) Falsidade, porque a função f é crescente em ]-3, +3[ .
d)Verdade, porque f é crescente em [-3, +3[ ; logo, f (6) > f (5) ,
ou seja, f (6) > 7 .
17.3 Problemas de otimização
Pretende-se vedar 200 m2 de terreno na margem de um rio, como mostra
a figura, utilizando o mínimo de rede possível e de modo a formar um retângulo.
Tarefa 1
O terreno será vedado por uma rede cujo custo é de 2,5 euros por metro.
Determine quais devem ser as dimensões do terreno e qual será o preço da rede.
200
x .
Se x for a medida, em metros, dos lados perpendiculares ao rio, o comprimento
da rede em função de x é:
2x 2 + 200
C(x) = (2x + y) =
x
Assim:
(2x 2 + 200)l x - (2x 2 + 200) (x)l
2x 2 + 200 l
n =
=
Cl(x) = d
x
x2
4x 2 - 2x 2 - 200
2x 2 - 200
=
=
x2
x2
Cl(x) = 0 + x = 10
Sejam x e y as dimensões do terreno. Então, y =
x>0
Então:
x
Cl(x)
C
0
n.d.
n.d.
4
10
0
Mín.
+3
+
3
Logo, as dimensões devem ser x = 10 m e y =
O preço da rede será 40 × 2,5 = 100 € .
NOTA:
200
= 20 m .
10
sinal de Cl(x) apenas depende do sinal do numerador, pois
O
x2 > 0, 6 x ! IR+ .
486
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
12
17
De todos os retângulos de área 24 cm2 , determine as dimensões do que tem
perímetro mínimo.
Considere-se x > 0 e y > 0 as medidas dos lados, em centímetros,
de um retângulo de área 24 cm2 . Tem-se que:
24
x × y = 24 + y = x
Então, o perímetro do retângulo é dado em função de x por:
48
48 + 2x 2
f (x) = x + 2x =
, com x ! IR+
x
Então, neste contexto, Df = IR+ .
Calcule-se a derivada de f :
(48 + 2x 2)lx - (48 + 2x 2) (x)l
4x 2 - 48 - 2x 2
2x 2 - 48
fl(x) =
=
=
x2
x2
x2
Calcule-se os zeros de fl :
fl(x) = 0 + x = 24 = 2 6
Assim:
x
fl(x)
f
0
n.d.
n.d.
4
2 6
0
Mín.
+3
+
3
Pode-se concluir que f assume um mínimo relativo em x = 2 6 ,
que é o mínimo absoluto de f .
24
12
=
= 2 6 . Logo, as dimensões
Então, para x = 2 6 , y =
2 6
6
do retângulo com perímetro mínimo são 2 6 cm por 2 6 cm , isto é,
é um quadrado de lado 2 6 cm .
13
A partir de uma cartolina retangular com
30 cm de comprimento e 20 cm de largura
pretende-se construir uma caixa sem tampa,
cortando nos quatro cantos um quadrado
de lado x cm , como ilustra a figura ao lado.
x
x
x
x
x
x
x
x
De todas as caixas que é possível construir, nas condições referidas,
determine as dimensões da que tem maior volume.
u4p166h2
Tem-se que:
3
2
Vcaixa (x) = x(30 - 2x)(20 - 2x) = 4x - 100x + 600x , com x ! ]0, 10[
Então, neste contexto, DV = ]0, 10[ .
487
000707 480-501 U17.indd 487
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derivada e estudo de funções
Calcule-se a derivada de V :
Vl(x) = 12x2 - 200x + 600
Calculando os zeros de Vl :
Vl(x) = 0 + 12x2 - 200x + 600 = 0 +
+x=
+x=
200 !
(-200)2 - 4 # 12 # 600
+
2 # 12
x>0
200 ! 40 7
25 ! 5 7
=
24
3
Assim:
x
0
Vl(x)
V
n.d.
n.d.
+
3
25 - 5 7
3
0
Máx.
10
4
n.d.
n.d.
25 - 5 7
.
3
Portanto, as dimensões da caixa devem ser:
Logo, o volume é máximo para x =
Altura:
25 - 5 7
cm
3
40 + 10 7
cm
3
10 + 7
Largura: 20 - 2x =
cm
3
Comprimento: 30 - 2x =
14
Uma empresa de fabrico de embalagens para conservas
recebeu uma encomenda de latas cilíndricas, sem tampa,
com capacidade para 250 mililitros, em folha de Flandres.
Determine as dimensões de cada lata de forma a minimizar
a quantidade de folha de Flandres utilizada.
NOTA: 1
litro equivale a 1 decímetro cúbico.
Considere-se x > 0 e y > 0 como as medidas do raio da base e da altura
da lata, respetivamente, em decímetros.
Tem-se que a área da lata é dada por rx2 + 2rxy .
Como 250 mL equivalem a 0,25 L , tem-se:
V(x) = rx2 × y + rx2 × y = 0,25 + y =
0,25
rx 2
0,25
1
= rx2 +
, que dá a área
Obtém-se, assim, A(x) = rx2 + 2rx
2
2x
rx
da lata em função de x .
488
000707 480-501 U17.indd 488
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Então, neste contexto, DA = IR .
+
17
Calcule-se a derivada de A :
Al(x) = 2rx -
4rx 3 - 1
1
=
2x 2
2x 2
Calcule-se os zeros de Al :
4rx3 - 1 = 0 / 2x2 ! 0 + x =
1
+x=
4r
3
1
3
Assim:
1
x
0
Al(x)
A
n.d.
n.d.
3
4
4r
/x!0
+3
4r
0
+
3
Mín.
Logo, a área da lata é mínima para x =
1
3
4r
.
Portanto, as dimensões da lata devem ser:
Raio da base:
Altura:
1
3
4r
rf
3
4r
` 3 4r j
=
á 0,43 dm
4r
2
0,25
1
á 0,43 dm
2
p
=
4r f
1
1
3
4r
2
p
15
O Sr. António pretende construir, na sua
quinta, um curral retangular dividido
ao meio por uma rede paralela a um dos lados.
Para vedar o curral e dividi-lo, dispõe de
15 metros de rede.
Determine as dimensões do curral de forma que este tenha a maior área possível.
Considere-se x > 0 e y > 0 como as medidas de comprimento do curral,
em metros.
Tem-se que a área do curral é dada por xy .
Para vedar o curral são necessários 2x + 3y metros de rede.
Tem-se:
2
15 - 2x
+y=- x+5
3
3
Assim, a área do curral é dada em função de x por:
2
A(x) = - x2 + 5x
3
2x + 3y = 15 + y =
489
000707 480-501 U17.indd 489
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derivada e estudo de funções
Neste contexto, DA = ]0; 7,5[ .
Calcule-se a derivada de A :
Al(x) = -
4
x+5
3
Calcule-se os zeros de Al :
4
15
x+5=0+x=
3
4
Al(x) = 0 + Assim:
x
0
Al(x)
A
n.d.
n.d.
+
3
15
4
0
7,5
n.d.
n.d.
4
Máx.
Logo, a área do curral é máxima para x =
15
= 3,75 .
4
Portanto, o comprimento deve ser igual a 3,75 m e a largura igual a
2
- × 3,75 + 5 = 2,5 m .
3
AVALIAR CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Num referencial o.n. xOy , o gráfico de uma função q é uma parábola
com a concavidade voltada para baixo cujo vértice tem coordenadas (2, 3) .
Seja ql a função derivada de q .
Dos valores seguintes indique o positivo.
(A) ql(1)
(B) ql(2)
(C) ql(4)
(D) ql(5)
Como q é uma função quadrática:
x
q(x)
ql(x)
-3
3
+
2
3
0
+3
4
-
A opção correta é a (A).
490
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
2
17
Na figura seguinte está representada, num referencial ortogonal xOy ,
parte do gráfico de uma função polinomial f , de grau 3 , de domínio IR .
Sabe-se que:
• -2 , 2 e 5 são zeros de f ;
• fl representa a função derivada de f .
Qual das afirmações seguintes é
verdadeira?
y
O
22
(A) fl(0) $ fl(6) = 0
2
x
5
(B) fl(-3) $ fl(6) < 0
(C) fl(-3) $ fl(0) > 0
(D) fl(0) $ fl(6) < 0
u4p168h1
Exame
Nacional do 12.º ano, 2011
Como fl(x) é igual ao declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto
de abcissa x , observando o gráfico, tem-se que fl(0) < 0 e fl(6) > 0 .
Logo, fl(0) × fl(6) < 0 .
A opção correta é a (D).
3
Em qual das seguintes figuras estão representadas partes dos gráficos de uma
função e da respetiva derivada?
(A)
(C)
y
O
(B)
(D)
u4p168h2
u4p168h3
O
x
y
O
y
x
y
u4p168h4
x
O
x
u4p168h5
491
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derivada e estudo de funções
Se a função for afim, o gráfico da respetiva derivada é uma reta horizontal,
pois a derivada de uma função afim é uma função constante. Logo, está excluída
a opção (D).
Não pode ser a opção (C) porque, neste caso, a função derivada é uma constante
negativa, mas o declive da reta que representa graficamente a função é positivo.
A opção (A) não é a correta, pois a parábola tem concavidade voltada para baixo,
ou seja, é crescente no intervalo ]-3, x[ , sendo x a abcissa do seu vértice,
mas a sua derivada é negativa nesse mesmo intervalo.
A opção correta é a (B).
4
Seja f uma função de domínio IR , diferenciável em todos os pontos do seu
domínio.
Na figura encontra-se parte do gráfico de fl , função derivada de f .
y
f'
O
3
x
Sabe-se ainda que f(0) = 2 .
Qual pode ser o valor de f(3)u4p168h6
?
(A) 1
(B) 2
(C) 5
(D) 7
Adaptado do Exame Nacional do 12.º ano, 2004
A função f é decrescente [0, 3] . Logo, f(3) < 2 .
A opção correta é a (A).
5
De uma função f real de variável real, sabe-se que:
• f é diferenciável no ponto 1 ;
• f(1) = 3 é máximo relativo de f .
f (x) - 3
é:
O valor de lim
x-1
x"1
(A) -1
(B) 0
(C) 1
f (x) - 3
f (x) - f (1)
lim
= lim
= fl(1) = 0
x-1
x-1
x"1
x"1
(D) 3
A opção correta é a (B).
492
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
y
6
17
Na figura ao lado está representada, em referencial o.n.,
parte do gráfico de uma função de domínio IR\{0} .
Qual das figuras seguintes pode representar a função
derivada dessa função?
y
(A)
y
(C)
x
O
u4p169h1
x
O
(B)
(D)
y
y
u4p169h2
O
x
O
x
O
u4p169h4
x
Seja f a função representada no gráfico dado. Por observação do gráfico,
tem-se que f é decrescente em ]-3, 0[ e crescente em ]0, +3[ .
u4p169h5
u4p169h3
Portanto, fl(x) < 0, 6 x ! IR- e fl(x) > 0, 6 x ! IR+ .
A opção correta é a (A).
7
Uma certa função f , real de variável real, de domínio IR , é diferenciável
e a sua derivada é definida por fl(x) = x2 - 4x .
Qual dos gráficos seguintes pode representar a função f ?
(A)
(B)
(C)
y
O
y
y
O
x
(D)
x
y
O
x
fl(x) = 0 + x2 - 4x = 0 + x = 0 0 x = 4
u4p169h8
Assim:
u4p169h7
u4p169h6
x
fl(x)
f
-3
+
3
0
0
Máx.
4
x
O
4
0
Mín.
+3
+
3
u4p169h9
A opção correta é a (C).
493
000707 480-501 U17.indd 493
04/07/16 11:50
derivada e estudo de funções
8
Seja g uma função de domínio IR . Sabe-se que a sua derivada, gl ,
é definida em IR por:
gl(x) = 5 - x
Relativamente à função g , qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) g é decrescente em IR .
(B) g é crescente em IR .
(C) g(5) é mínimo relativo de g .
(D) g(5) é máximo relativo de g .
x
5
0
Máx.
-3
+
3
gl(x)
g
+3
4
A opção correta é a (D).
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
9
Determine os intervalos de monotonia das seguintes funções e indique
os extremos relativos e absolutos, caso existam.
x
a) f(x) = x4 - 2x2
c) h(x) =
(x + 2)2
b) g(x) = x3 - 6x2 + 9x - 2
d) r(x) =
3
x2
a)f l(x) = 4x3 - 4x ; Dfl = IR
4x3 - 4x = 0 + x(4x2 - 4) = 0 + x = 0 0 x = -1 0 x = 1
x
fl(x)
f
-3
4
-1
0
Mín.
+
3
0
0
Máx.
4
1
0
Mín.
+3
+
3
Crescente em [-1, 0] e [1, +3[ e decrescente em ]-3, -1] e [0, 1] .
Máximo relativo em x = 0 : f (0) = 0 .
Mínimos absolutos em x = -1 e em x = 1 : f(-1) = f (1) = -1 .
Não há máximos absolutos, pois lim f(x) = +3 .
x "!3
494
000707 480-501 U17.indd 494
04/07/16 11:50
UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
2
b)gl(x) = 3x - 12x + 9 ; Dgl = IR
17
-(-12) ! (-12)2 - 4 # 3 # 9
+
3x - 12x + 9 = 0 + x =
2#3
12 ! 6
+x=10x=3
+x=
6
2
x
1
0
Máx.
-3
gl(x)
g
+
3
4
3
0
Mín.
+3
+
3
Crescente em ]-3, 1] e [3, +3[ e decrescente em [1, 3] .
Máximo relativo em x = 1 : g(1) = 2
Mínimo relativo em x = 3 : g(3) = -2
Não há extremos absolutos, pois lim g(x) = 3 .
x "!3
2
c)hl(x) =
(x + 2) - (2x + 4) x
(x + 2) (x + 2 - 2x)
2-x
=
=
4
(x + 2)
(x + 2)3
(x + 2)4
Dhl = IR\{-2}
2 - x = 0 / (x + 2)3 ! 0 + x = 2 / x ! -2
x
-3
-2
+
4
+
0
n.d.
n.d.
2-x
(x + 2)3
hl(x)
h
+
+
+
3
2
0
+
0
Máx.
+3
+
4
Crescente em ]-2, 2] e decrescente em ]-3, -2[ e [2, +3[ .
1
Máximo absoluto ` lim h(x) = 0 j em x = 2 : h(2) =
8
x "-3
Não há mínimos absolutos, pois lim h(x) = -3 .
3
2x
x"2
2 x
3x
2
e Drl = IR\{0}
3 x
3
2 x 2 = 0 / 3x ! 0 + x = 0 / x ! 0
d)rl(x) =
x
rl(x)
r
3
4
=
-3
4
0
n.d.
Mín.
+3
+
3
Crescente em [0, +3[ e decrescente em ]-3, 0] .
Mínimo absoluto em x = 0 : r(0) = 0
Não há máximos relativos.
495
000707 480-501 U17.indd 495
04/07/16 11:50
derivada e estudo de funções
10
Uma partícula move-se em linha reta, sendo a sua posição, relativamente
a um ponto fixo tomado como origem, dada pela função:
s(t) = t3 - 4t2 + 4t, com t ! [0, 3] em segundos
Determine o instante em que a partícula:
a) passa pela origem.
b) muda de sentido.
a)s(t) = 0 + t3 - 4t2 + 4t = 0 + t(t2 - 4t + 4) = 0 + t(t - 2)2 = 0 +
+t=00t=2
Portanto, a partícula passa na origem no instante 0 s e no instante 2 s .
b)sl(x) = 3t2 - 8t + 4 ; Dsl = [0, 3]
3t2 - 8t + 4 = 0 + x = 2 0 x =
x
0
sl(x)
s
+
Mín.
2
3
0
+
Máx.
3
2
3
2
4
0
+
Mín. 3
Logo, a partícula muda de sentido no instante
3
+
Máx.
2
s e no instante 2 s .
3
11
Na figura está representada uma função afim, derivada
de uma função f de domínio IR .
Tal como a figura sugere, a reta passa pelos pontos
de coordenadas (0, -4) e (2, 0) .
11.1Estude a monotonia e a existência de extremos
y
fl
O 2
24
x
relativos de f .
11.2Sabendo que f(0) = 1 , determine uma equação da reta tangente
ao gráfico de f no ponto de abcissa 0 .
11.1
x
fl(x)
f
-3
4
2
0
Mín.
u4p170h1
+3
+
3
Crescente em [2, +3[ e decrescente em ]-3, 2] .
Mínimo relativo em x = 2 .
11.2 y = f(0)(x - 0) + f (0) + y = -4x + 1
496
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
12
17
De uma função f , de domínio IR , sabe-se que:
• f é diferenciável em todos os pontos de IR ;
• f(0) = -1
• f é estritamente crescente em IR- e é estritamente decrescente em IR+ .
Seja g a função, de domínio IR , definida por g(x) = [f(x)]2 .
Prove que 1 é o mínimo da função g .
Exame Nacional do 12.º ano, 2005
gl(x) = 2f(x) fl(x)
Como f (0) = -1 , f é contínua, f é estritamente crescente em IR- e é
estritamente decrescente em IR+ , tem-se que f é negativa em todo o seu domínio.
Além disso, fl(x) H 0 em IR- e fl(x) G 0 em IR+ .
Assim:
x
fl(x)
f(x)
gl(x)
g(x)
-3
+
4
0
0
-1
0
1
+3
+
3
Obtém-se, assim, 1 como mínimo de g .
13
O custo por quilómetro de um cabo elétrico é dado por
12
c(x) = x + 60x ,
em que x representa a área da sua secção em cm2 .
Determine a área da secção para a qual o preço do quilómetro do cabo é mínima.
12
60x 2 - 12
+ 60 =
e o domínio de cl no contexto
2
x
x2
do problema é ]0, +3[ .
1
5
5
60x2 - 12 = 0 / x2 ! 0 + x2 =
+x=0x=
5
5
5
cl(x) = -
x
0
cl(x)
c(x)
n.d.
n.d.
4
5
5
0
Mín.
+3
+
3
Logo, a área da secção para a qual o preço do quilómetro do cabo é mínima é
5
cm2 .
5
497
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derivada e estudo de funções
14
Num jogo de computador, dois carros circulam
à mesma velocidade em estradas perpendiculares,
aproximando-se de um cruzamento. Num dado
instante, um dos carros encontra-se a 1 quilómetro
do cruzamento e o outro a 2 quilómetros.
14.1Sendo x a distância percorrida, em quilómetros, a partir desse instante
por cada um dos carros, justifique que a distância entre os dois carros,
à medida que se aproximam do cruzamento, é dada em função de x por:
d(x) =
2
2
(1 - x) + (2 - x) , x H 0
u4p171h1
14.2Calcule o valor de x para o qual a distância entre os carros é a menor
possível e indique, para esse valor de x , a posição de cada carro
em relação ao cruzamento.
14.1 Considere-se um referencial ortonormado com origem no cruzamento
destas duas estradas e cujos eixos Ox e Oy coincidem com o primeiro
carro e com o segundo carro, respetivamente.
Então, a posição dos carros neste referencial é dada por (0, 1 - x)
e (2 - x, 0) .
Logo:
(2 - x - 0)2 + (0 - 1 + x)2 =
d(x) =
=
(1 - x)2 + (2 - x)2 , 6 H 0
(1 - x)2 + (2 - x)2 =
14.2
d(x) =
=
2x - 3
1
2
2 2x - 6x + 5
=
4x - 6
2 2x 2 - 6x + 5
=
2
2x - 6x + 5
2x - 3 = 0 /
x 2 - 2x + 1 + x 2 - 4x + 4 =
2x 2 - 6x + 5 , x H 0
dl(x) = (2x2 - 6x + 5)l ×
=
(2 - x)2 + (-1 + x)2 =
x
dl(x)
d
2x 2 - 6x + 5 ! 0 + x =
0
4
3
2
0
Mín.
3
2
+3
+
3
d c
3
3 2
3
1
2
m = 2c m - 6c m + 5 =
=
á 0,71 km
2
2
2
2
2
Portanto, a distância é menor quando x = 1,5 km . Ambos os carros
se encontram a 0,5 km de distância do cruzamento (um deles já passou
o cruzamento em 0,5 km e o outro está a 0,5 km do cruzamento).
498
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
15
Na figura ao lado está representada, em referencial
o.n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular
de base [ABCD] contida no plano xOy e centrada
na origem do referencial.
Admita que:
• o vértice E , pertencente ao semieixo positivo
Oz , tem coordenadas (0, 0, c) , 0 < c < 6 ;
• o vértice A tem abcissa igual à ordenada;
• sendo x a abcissa de A e c a cota de E ,
tem-se x + c = 6 .
17
z
E(0, 0, c)
C
B
O
y
A(x, x, 0)
x
15.1Mostre que, em função de x , 0 < x < 6 , o volume da pirâmide é dado por:
4 3
u4p171h2
x
3
15.2Determine o valor de x para o qual o volume da pirâmide é máximo
e determine o valor desse volume.
v(x) = 8x2 -
15.3Admita agora que x = 1 . Indique para este caso as coordenadas dos
pontos A , B e E e determine uma equação cartesiana do plano ABE .
Adaptado do Teste Intermédio do 11.º ano, 2008
15.1 A base da pirâmide é um quadrado de lado 2x e a altura da pirâmide
é a cota c do ponto E .
Uma vez que x + c = 6 , vem que c = 6 - x .
Logo:
v(x) =
4x 2 # (6 - x)
Abase # c
4
24x 2 - 4x 3
=
= 8x2 - x3
=
3
3
3
3
Dv = {x ! IR: 6 - x > 0 / x > 0} = {x ! IR: 0 < x < 6} = ]0, 6[
15.2
vl(x) = 16x - 4x2
vl(x) = 0 + 16x - 4x2 = 0 + x(16 - 4x) = 0 + x = 0 0 x = 4
Como 0 < x < 6 , tem-se que:
x
vl(x)
v
0
n.d.
n.d.
+
3
4
0
Máx.
4
6
n.d.
n.d.
4
128
× 43 =
3
3
Portanto, o volume da pirâmide é máximo quando x = 4 ,
128
u. v.
sendo esse volume igual a
3
v(4) = 8 × 42 -
499
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derivada e estudo de funções
15.3Tem-se que A(1, 1, 0) , B(-1, 1, 0) e E(0, 0, 5) .
Um vetor perpendicular ao plano ABE é um vetor perpendicular a dois
vetores não colineares do plano, como, por exemplo,
AB(-2, 0, 0) e AE(-1, -1, 5) .
Seja u(a, b, c) um vetor perpendicular a estes dois vetores, então:
*
(a, b, c) $ (-2, 0, 0) = 0
+*
+
(a, b, c) $ (-1, -1, 5) = 0
u $ AE = 0
u $ AB = 0
-2a = 0
a=0
+)
+)
b = 5c
-a - b + 5c = 0
Fazendo, por exemplo, c = 1 , vem u(0, 5, 1) .
Assim, uma equação de um plano perpendicular a u é da forma:
5y + z + d = 0
Como o plano ABE contém o ponto A(1, 1, 0) , obtém-se d = -5 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano ABE é 5y + z - 5 = 0 .
16
O arco de parábola é definido,
num referencial o.n. xOy , pela equação
y = 2x - 0,05x2 . Seja h a ordenada
do ponto mais alto da parábola.
y
(0, h)
Recorrendo à calculadora gráfica, determine:
a)o valor de h .
b)o ponto P da parábola que fica mais
x
próximo do ponto de coordenadas (0, h) .
a)x =
-b
-2
=
= 20
2a
2 (-0,05)
u4p171h3
2
y = 2 × 20 - 0,05 × 20 = 20
Logo, h é igual a 20 .
b)Tem-se ^x, f(x)h = (x; 2x - 0,05x2) e (0, h) = (0, 20) , então:
d(x) =
dl(x) =
=
(0 - x)2 + (20 - 2x + 0,05x 2)2 =
x 2 + (20 - 2x + 0,05x 2)2
2x + 2 (20 - 2x + 0,05x 2) (20 - 2x + 0,05x 2)'
2 x 2 + (20 - 2x + 0,05x 2)2
0,01x 3 - 0,6x 2 + 14x - 80
2 x 2 + (20 - 2x + 0,05x 2)2
=
=
0,005x 3 - 0,3x 2 + 7x - 40
x 2 + (20 - 2x + 0,05x 2)2
500
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UNIDADE
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Neste contexto, Ddl = [0, 20] .
17
dl(x) = 0 + x á 8,2
x
0
dl(x)
d
-2
20
4
8,2
0
Mín.
+
3
20
1
20
y = 2 × 8,2 - 0,05 × 0,822 = 13,038 á 13,04
Portanto, o ponto P(8,2; 13,04) da parábola é o que fica mais próximo
do ponto de coordenadas (0, h) .
17
O ponto P(0, 6) pertence ao gráfico da função polinomial definida
por f(x) = x3 + x2 + ax + b , em que a e b designam números reais.
Sabe-se que f tem um extremo em x = 0 .
17.1 Determine os valores de a e de b .
17.2 Calcule os outros extremos da função.
17.1 f l(x) = 3x2 + 2x + a
fl(0) = 0 + a = 0
f(0) = 6 + b = 6
Portanto, a = 0 e b = 6 .
17.2 Pela alínea anterior, sabe-se que f (x) = x3 + x2 + 6 .
Logo, fl(x) = 3x2 + 2x , com Dfl = IR .
fl(x) = 0 + 3x2 + 2x = 0 + x(3x + 2) = 0 + x = 0 0 x = x
fl(x)
f
-3
+
3
2
3
0
0
-
Máx.
Máximo relativo em x = Não há extremos absolutos.
4
0
Mín.
2
3
+3
+
3
2
166
2
: f d- n =
3
27
3
501
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Avaliação global de conhecimentos
AVALIAÇÃO GLOBAL DE CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
2x - 1
Sejam f uma função real de variável real definida por f(x) =
x+2
1
e (xn) uma sucessão tal que lim f(xn) = - .
2
O termo geral da sucessão (xn) pode ser dado por:
1
2
(A) 2n - 1
(B) -n + 2
(C) -2 +
(D) n
n
1
; logo, se xn " 0 , obtém-se o resultado.
2
Tem-se que lim f (x) = x"0
A opção correta é a (D).
2
Na figura está representada parte do gráfico de uma função f , de domínio IR .
y
O
x
4
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) lim- f(x) = f(4) e lim+ f(x) = f(4)
x"4
x"4
u4p176h1
(B) lim- f(x) = f(4) e lim+ f(x) ! f(4)
x"4
x"4
(C) lim- f(x) ! f(4) e lim+ f(x) = f(4)
x"4
x"4
(D) lim- f(x) ! f(4) e lim+ f(x) ! f(4)
x"4
x"4
Exame Nacional do 12.º ano, 2000
Por observação do gráfico, tem-se:
lim f(x) = f(4) ! lim f(x)
x " 4-
x " 4+
A opção correta é a (B).
502
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Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
3
Considere a função f , definida em IR , por
f(x) = 2x + 1 , e a função g representada
graficamente na figura ao lado.
Qual das seguintes afirmações é necessariamente
verdadeira?
y
g
2
1
2221 O
x
(A) lim 6f(x) + g(x)@ = -2
x "- 2
(B)
(C)
(D)
lim 6f(x) × g(x)@ = +3
x " -3
lim
x "- 1
lim
x "- 1
f (x)
= +3
g (x)
-
u4p176h2
f (x)
= +3
g (x)
+
(A) b lim g(x) , pois
x "-2
lim g(x) ! g(-2)
x "-2-
(B) lim [f(x) × g(x)] = -3 × (+3) = -3
x " -3
(C)
lim
x "-1
-
(D) lim +
x "-1
f (x)
-1
= + = -3
g (x)
0
f (x)
-1
= - = +3
g (x)
0
A opção correta é a (D).
4
Seja h uma função de domínio IR , definida por:
kx + 3 se x 2 1
h(x) = *2
se x = 1
2
2
x + k se x 1 1
A função h é contínua se:
(A) k = -1 0 k = 1
(B) k = -1
(C) k = 1
(D) k = 2
k + 3 = 2 + k = -1 e k = -1 & 1 + k2 = 2
A opção correta é a (B).
503
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Avaliação global de conhecimentos
5
A reta de equação y = -x + 2 é assíntota ao gráfico de uma função f ,
de domínio IR+ .
x
_ f (x) + x iF é:
O valor de lim <
x " +3 f (x)
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
lim <
x
1
_ f (x) + x iF = lim
× ^f(x) + xh = -1 × 2 = -2
f (x)
f (x)
x " +3
x " +3
x
A opção correta é a (A).
6
A função g , real de variável real, tem duas assíntotas verticais e uma assíntota
não vertical ao gráfico de g .
Qual das expressões seguintes poderá representar a função g ?
(A)
x -1
2
x -1
(B)
x+1
x-1
(C)
x3
x2 - 1
(D)
x
x-1
A opção correta é a (C).
7
2x + a
Seja f: IR\{3} " IR a função definida por f(x) =
, em que a designa
3-x
um certo número real.
O gráfico de f interseta o eixo Oy no ponto de ordenada 4 . O zero de f é:
(A) -6
(B) -3
(C) 3
(D) 6
2x + 12
a
+ a = 12 ; logo, f (x) = 0 +
= 0 + x = -6 / x ! 3
3-x
3
A opção correta é a (A).
4=
8
Considere duas funções f e g , de domínio IR\{1} e IR , respetivamente,
definidas analiticamente por:
2-x
e g(x) = 3x - 1
f(x) =
x-1
Qual é o valor de (g % f)(2) + g-1(2) ?
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
2 +1
=1
3
(g % f)(2) + g-1(2) = g^f (2)h + g-1(2) = -1 + 1 = 0
f(2) = 0 ; g(0) = -1 e g-1(2) =
A opção correta é a (B).
504
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Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
y
9
Na figura está representada, em referencial
o.n. Oxy , parte do gráfico de uma função f .
1
Relativamente a esta função pode-se afirmar que:
(A) fl(1) = 1
(C) fl(1) = 0
(B) fl(1) não existe.
(D) lim
x"1
O
x
1
f (x) - f (1)
= +3
x -1
A opção correta é a (B).
u4p177h1
10
Seja f uma função de domínio IR . Sabe-se que fl(2) = 6 .
f (x) - f (2)
?
x"2
x 2 - 2x
(B) 4
(C) 5
Qual é o valor de lim
(A) 3
(D) 6
Exame Nacional do 12.º ano, 2015
f (x) - f (2)
f (x) - f (2)
1
n= 1 ×6=3
= lim d x #
2
x
2
2
x
"
2
x - 2x
A opção correta é a (A).
lim
x"2
y
11
Na figura estão representadas, em referencial o.n.,
parte do gráfico da função g e a reta t tangente
ao gráfico da função g no ponto de abcissa 1 .
Sabe-se que a inclinação da reta t é de 120º .
t
120º
O
Indique o valor de gl(1) .
(A) -
3
(B) -
3
3
(C) -1
1
(D)
x
g
1
3
u4p177h2
gl(1) = tan 120° = - 3
A opção correta é a (A).
12
Seja g uma função real de variável real, definida por g(x) = ax2 + x, a ! IR .
Sabendo que g tem no ponto de abcissa 1 uma reta tangente com declive 5 ,
qual é o valor de a ?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
gl(x) = 2ax + 1 e gl(1) = 5 + 2a + 1 = 5 + a = 2
A opção correta é a (B).
505
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Avaliação global de conhecimentos
13
A reta de equação y + x = 0 é tangente ao gráfico de uma certa função h ,
no ponto de abcissa -1 . Qual das seguintes expressões pode definir a
função h ?
1
(A) 2 +
(C) x3 + 2
x
(B) x2 + x
(D) 3 - x
Tem-se que y + x = 0 é equivalente a y = -x . Logo, a derivada da função
h no ponto de abcissa -1 é igual a -1 .
1 l
m = - 12 ; hl(-1) = - 1 2 = -1
(A) hl(x) = c 2 +
x
x
(-1)
(B) hl(x) = (x2 + x)l = 2x + 1 ; hl(-1) = 2 × (-1) + 1 = -1
(C) hl(x) = (x3 + 2)l = 3x2 ; hl(-1) = 3 × (-1)2 = 3
(D) hl(x) = (3 - x)l = -1 ; hl(-1) = -1
As funções das opções (A), (B) e (C) têm uma reta tangente de declive -1
no ponto de abcissa -1 . Como o ponto de coordenadas (-1, 1) pertence
1
a h , tem-se que h(-1) = 1 , o que só acontece para h(x) = 2 + x .
A opção correta é a (A).
14
1
Sejam f e g funções reais tais que f(x) = x - x e g(x) = 3 + 2x .
O conjunto solução da condição fl(x) H gl(x) é:
(A) IR\[-1, 1]
(C) IR\{0}
(B) [-1, 1]\{0}
(D) [-1, 1]
1
e gl(x) = 2
x2
1
x 2 + 1 - 2x 2
1 - x2
1+ 2 H2+
H
0
+
H0
x
x2
x2
1- x2
depende apenas do numerador
Como x2 H 0, 6n ! IR , o sinal de
x2
1 - x2 , que graficamente é uma parábola de concavidade virada para baixo
e de zeros -1 e 1 . Logo, 1 - x2 H 0 no intervalo [-1, 1] .
fl(x) = 1 +
1- x2
H 0 + x ! [-1, 1]\{0} .
x2
A opção correta é a (B).
Como 0 " Dfl ,
506
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Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
15
De duas funções f e g , de domínio [0, 1] , sabe-se que:
fl(x) = gl(x), 6x ! [0, 1]
Em qual das figuras seguintes podem estar representados os gráficos de f
e de g ?
(A)
(B)
(C)
(D)
y
y
y
y
1
1
x
O
x
O
O
1
x
O
1
x
Exame Nacional do 12.º Ano
Au4p178h1
opção correta é a (C).
u4p178h2
u4p178h3
u4p178h4
16
Sejam f e g duas funções diferenciáveis em IR . Sabe-se que f(1) = fl(1) = 2
f (x)
e g(x) = 2 , para x ! IR\{0} . Qual é o valor de gl(1) ?
x
(A) -2
(B) 1
(C) 0
(D) 1
gl(x) =
f' (x) x 2 - 2xf (x)
4
x
A opção correta é a (A).
; logo, gl(1) =
f' (1) - 2f (1)
= 2 - 4 = -2
1
17
Sejam g e h duas funções reais de variável real tais que g(x) =
h(2) = 4 e hl(2) = -2 .
Então, pode-se afirmar que (g % h)l(2) é igual a:
1
1
(A) -1
(B) (C) 2
4
Tem-se gl(x) =
1
2 x
(D) 1
; logo:
(g % h)l(2) = gl^h(2)h × hl(2) = gl(4) × (-2) = A opção correta é a (B).
x,
1
1
=2
4
507
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Avaliação global de conhecimentos
18
Relativamente à função h , sabe-se que h(x) ◊ hl(x) < 0 , para x ! IR .
Então, uma representação gráfica de h pode ser:
(A)
(B)
y
(C)
y
(D)
y
y
0
x
0
0
x
0
x
x
Como h(x) × hl(x) < 0 , então, h(x) e hl(x) têm sinais diferentes.
Seu4p178h5
hl(x) < 0 , então,
h(x) > 0 e h(x) é decrescente.
u4p178h7
u4p178h6
Se hl(x) > 0 , então, h(x) < 0 e h(x) é crescente.
u4p178h8
A opção correta é a (B).
19
Seja f uma função real de variável real tal que a sua derivada, fl, é tal que:
f l(x) = x2, 6x ! IR
Relativamente à função f , qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) f tem um máximo relativo em x = 0 .
(B) f tem um mínimo relativo em x = 0 .
(C) f é decrescente em IR .
(D) f é crescente em IR .
f l(x) = x2 H 0, 6x ! IR
A opção correta é a (D).
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
20
Considere a função f , real de variável real, definida por
a-x
se x 2 0
,
f(x) = * x + 1
2
x + ax + 3 se x G 0
em que a designa um número real.
508
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Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
20.1Determine o valor de a de forma que exista lim f(x) .
x"0
20.2 Seja a = 0 .
a) Utilizando a definição de limite segundo Heine, prove que:
1
2
b) Dê exemplo de uma sucessão (un) tal que lim f(un) = 4 .
lim f(x) = x"1
a-x
=a
x+1
lim f(x) = lim (x2 + ax + 3) = 3 = f (0)
20.1 lim+ f(x) = lim+
x"0
x"0
x " 0-
x " 0-
Logo, para que o limite exista, a = 3 .
20.2 a) Seja (xn) uma sucessão de pontos do domínio de f tal que lim xn = 1 .
Então, lim f(xn) = lim d-
xn
1
n =- .
2
xn + 1
1
b) un = -1 + n
21
Calcule os limites seguintes:
a) lim (2x3 + 5x2 - 4)
x " -3
f) lim d
x"1
1
2
n
- 2
x-1
x -1
3
b) lim
x " -3
2-x
x + 3x 2
g) lim
x"2
4 - x2
c) lim 2
x " 2 x - 5x + 6
d) lim
x"1
1- x-1
x2 - 4
h) lim
x "- 1
3 - 3x
x - 3x 2 + 3x - 1
x+ x+2
1 - x2
3
e) lim
x " -3
x
3 + 2x
i)
lim
x " +3
x 2 + 2x
x+1
a) lim (2x3 + 5x2 - 4) = -3
x " -3
b) lim
x " -3
c)lim
x"2
2 - x3
-x 3
-x
lim
=
= lim
= +3
2
2
x " -3 3x
x " -3 3
x + 3x
(2 - x) (2 + x)
4 - x2
-2 - x
= lim
= lim
=4
2
x-3
x " 2 (x - 2) (x - 3)
x"2
x - 5x + 6
509
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Avaliação global de conhecimentos
3 - 3x
x 3 - 3x 2 + 3x - 1
d)lim
x"1
Aplicando a regra de Ruffini:
1
-3
3
-1
1
1
-2
-2
1
1
0
1
3 (1 - x)
3 - 3x
= lim
=
2
x " 1 (x - 1) (x 2 - 2x + 1)
x - 3x + 3x - 1
lim
3
x"1
= lim
x"1
-3
-3
-3
= = lim
= + = -3
x " 1 (x - 1)2
x 2 - 2x + 1
0
x
-x
1
-x
= lim
= lim
=2
3 + 2x
x " -3 3 + 2x
x " -3 2x
e)lim
x " -3
limd
f)
x+1-2
1
2
x -1
n = lim
= lim
=
- 2
2
x"1 x - 1
x"1
x " 1 (x - 1) (x + 1)
x -1
x -1
1
1
= lim
=
2
x"1 x + 1
g)lim
x"2
_1 - x - 1i_1 + x - 1i
1- x-1
lim
=
=
x"2
x2 - 4
(x 2 - 4) _1 + x - 1i
= lim
x"2
h)lim
x "-1
-1
1-x+1
= lim
x
"
2
(x + 2) _1 +
(x - 4) _1 + x - 1i
2
x - 1i
=-
1
8
_ x + x + 2 i_ x - x + 2 i
x+ x+2
lim
=
=
x "-1
1 - x2
(1 - x 2) _ x - x + 2 i
= lim
x "-1
= lim
x "-1
i)lim
x " +3
(x - 2) (x + 1)
x2 - x + 2
= lim
=
2
x "-1 (1 - x) (1 + x) _ x x + 2i
(1 - x ) _ x - x + 2 i
-3
3
x-2
=
=
2
#
(
1
1
)
4
(1 - x) _ x - x + 2 i
2
x 1+ x
x 2 + 2x
= lim
=1
x+1
x " +3
1
x c1 + x m
22
Determine o valor de lim
x"1
a) f(x) = x
b) f(x) =
3
2x
f (x) - f (1)
para cada uma das funções seguintes:
x-1
2x - 1
c) f(x) =
x+1
n
d) f(x) = x + 1, n ! IN
510
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Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
f (x) - f (1)
x3 - 1
= lim
x-1
x"1 x - 1
a) lim
x"1
Aplicando a regra de Ruffini:
1
0
0
-1
1
1
1
1
1
1
0
1
lim
x"1
(x - 1) (x 2 + x + 1)
x3 - 1
= lim
=3
x-1
x-1
x"1
b) lim
x"1
f (x) - f (1)
= lim
x-1
x"1
= lim
x"1
_ 2x - 2 i_ 2x + 2 i
2x - 2
= lim
=
x -1
x"1
(x - 1) _ 2x + 2 i
2
2x +
2x - 2
= lim
x"1
(x - 1) _ 2x + 2 i
2
=
2
2 2
=
2
2
2x - 1
1
4x - 2 - x - 1
f (x) - f (1)
2
x+1
2x + 2
c) lim
= lim
= lim
=
x-1
x-1
x-1
x"1
x"1
x"1
3x - 3
3
3
2x + 2
= lim
= lim
=
x-1
4
x"1
x " 1 2x + 2
d) lim
x"1
f (x) - f (1)
xn + 1 - 2
xn - 1
= lim
= lim
=
x-1
x-1
x"1
x"1 x - 1
= lim
x"1
(x - 1) (x n - 1 + x n - 2 + … + x + 1)
=
x-1
= lim (xn - 1 + xn - 2 + … + x + 1) = n
x"1
23
Seja g a função de domínio IR , definida por g(x) = x2 - x .
Para cada uma das alíneas seguintes, defina uma função f que satisfaça
a condição dada, que não seja constante, nem da forma kg , k constante real.
a) lim ^f(x) + g(x)h = -3
x " +3
b) lim
x"1
f (x)
= -1
g (x)
c) lim
x"1
f (x)
= -3
g (x)
Por exemplo:
a) f(x) = -x3
b) f(x) = -x + 1
c) f(x) = -
1
x-1
511
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Avaliação global de conhecimentos
24
Considere a função f , de domínio IR , definida por:
1-x
se x 2 1
f(x) = * x - 1
1 - 3x 2 se x G 1
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, averigue se a função f
é contínua em x = 1 .
lim f(x) = lim (1 - 3x2) = -2
x " 1-
x " 1-
lim f(x) = lim
x"1
x"1
+
+
(1 - x) _ x + 1i
1-x
= lim
=
x"1 _
x -1
x - 1i_ x + 1i
+
(1 - x) _ x + 1i
= -2
x-1
x"1
Logo, existe limite em x = 1 e coincide com a imagem de -1 .
Portanto, f é contínua em x = 1 .
= lim
+
25
Estude cada uma das funções seguintes quanto à existência de assíntotas paralelas
aos eixos (verticais e horizontais) e escreva uma equação para cada uma delas.
x
x +4
x 2 + 2x
b) f(x) =
4 - x2
a) f(x) =
c) f(x) =
2
d) f(x) =
x +2
x -1
2x
x2 -1
a) Df = IR ; logo, f não tem assíntotas verticais.
x
x
1
= lim 4 = lim 3 = 0
x " +3
x " +3 x + 4
x " +3 x
x " +3 x
x
x
1
lim f(x) = lim 2
= lim 4 = lim 3 = 0
x " -3
x " -3 x + 4
x " -3 x
x " -3 x
lim f(x) = lim
2
Logo, a reta de equação y = 0 é assíntota horizontal ao gráfico de f .
b) Df = IR\{-2, 2}
x (x + 2)
x 2 + 2x
= lim
=
2
x "-2
x "-2
x "-2 (2 - x) (2 + x)
4-x
x
1
-2
= lim
=
=
2
4
x "-2 2 - x
2
x + 2x
8
lim f(x) = lim
= - = -3
0
x"2
x"2
4 - x2
lim f(x) = lim
+
+
+
+
+
+
Logo, a reta de equação x = -2 e x = 2 é assíntota vertical ao gráfico de f .
512
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Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
lim f(x) = lim
x " +3
x " +3
x 2 + 2x
x2
lim
=
= -1
x " +3 -x 2
4 - x2
x 2 + 2x
x2
lim
=
= -1
x " -3
x " -3 4 - x 2
x " -3 -x 2
Logo, a reta de equação y = -1 é assíntota horizontal ao gráfico de f .
lim f(x) = lim
c) Df = IR\{1}
x +2
3
= + = +3
x-1
x"1
x"1
0
Logo, a reta de equação x = 1 é assíntota vertical ao gráfico de f .
lim f(x) = lim
+
+
lim f(x) = lim
x " +3
x " +3
x +2
x
x+2
= lim
= lim x = 1
x-1
x " +3 x - 1
x " +3
x +2
-x
-x + 2
= lim
= lim x = -1
x -1
x " -3
x " -3 x - 1
x " -3
x " -3
Logo, as retas de equações y = -1 e y = 1 são assíntotas horizontais
ao gráfico de f .
lim f(x) = lim
d) Df = ]-3, -1] , [1, +3[
lim f(x) = lim
x "-1
-
x "-1
lim f(x) = lim
x " 1+
x " 1+
2x
2
x -1
-
2x
2
x -1
=
=
-2
= -3
0+
2
= +3
0+
Logo, as retas de equação x = -1 e x = 1 são assíntotas verticais
ao gráfico de f .
2x
2x
lim f(x) = lim
= lim
=2
2
x " +3
x " +3
x
"
+
3
1
x -1
x 1- 2
x
2x
2x
lim f(x) = lim
= lim
= -2
2
x " -3
x " -3
x
"
3
1
x -1
-x 1 - 2
x
Logo, as retas de equações y = 2 e y = -2 são assíntotas horizontais
ao gráfico de f .
26
Escreva equações das assíntotas ao gráfico da função f , que resultam
da existência dos seguintes limites:
a) lim f(x) = -3
b) lim ^f(x) + 2x - 1h = 0
c) lim ^f(x) - xh = 2
a) x = 1
b) y = -2x + 1
c) y = x + 2
x"1
x " +3
x " -3
513
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Avaliação global de conhecimentos
27
Determine equações das assíntotas aos gráficos das funções (verticais e não
verticais) definidas por:
a) f(x) = x -
1
x+1
c) f(x) =
2
x -1
2x + 1
b) f(x) =
d) f(x) =
xx
x-1
2x 2 + 1
se x 1 0
x
* x +1
1- x
se x H 0 , x ! 1
a) Assíntotas verticais:
Df = IR\{-1}
lim f(x) = lim d x -
x "-1-
x "-1-
x2 + x - 1
1
1
n = lim
= - = -3
x+1
0
x+1
x "-1
-
Logo, a reta de equação x = -1 é assíntota vertical ao gráfico de f .
Assíntotas não verticais:
f (x)
x2 + x - 1
x2
lim x = lim
lim
=
=1
x " +3
x " +3
x " +3 x 2
x2 + x
lim ^f(x) - xh = lim d x -
x " +3
x " +3
1
1
=0
- x n = lim x+1
x+1
x " +3
f (x)
x2
lim
=
=1
x
x " -3 x 2
lim
x " -3
lim ^f(x) - xh = lim -
1
=0
x+1
x " -3
x " -3
Logo, a reta de equação y = x é assíntota oblíqua ao gráfico de f .
b) Assíntotas verticais:
Df = IR\'-
1
1
2
lim1 f(x) = lim1
-
x "-
x "-
2
2
-
x2 - 1
=
2x + 1
Logo, a reta de equação x = Assíntotas não verticais:
lim
x " +3
-
3
4
0-
= +3
1
é assíntota vertical ao gráfico de f .
2
f (x)
x2 -1
x2
1
lim
lim
=
=
=
2
2
x
2
x " +3 2x + x
x " +3 2x
lim c f (x) -
x " +3
= lim
x " +3
1
1
x2 - 1
x m = lim d
- xn =
2
2
x " +3 2x + 1
-x
1
-2 - x
2x 2 - 2 - 2 x 2 - x
= lim
= lim
=4
4x + 2
x " +3 4x + 2
x " +3 4x
514
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Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
lim
x " -3
f (x)
x2
1
lim
=
=
2
x
2
x " -3 2x
lim c f (x) -
x " -3
1
-x
1
x m = lim
=2
4
x " -3 4x
Logo, a reta de equação y =
1
1
xé assíntota oblíqua ao gráfico de f .
2
4
c) Assíntotas verticais:
Df = IR\{1}
xx
1
= - = -3
x
1
0
x"1
x"1
Logo, a reta de equação x = 1 é assíntota vertical ao gráfico de f .
lim f(x) = lim
-
-
Assíntotas não verticais:
lim
x " +3
xx
f (x)
x2
x2
lim
lim
lim
=
=
=
=1
x
x " +3 x 2 - x
x " +3 x 2 - x
x " +3 x 2
lim ^f(x) - xh = lim f
x " +3
x " +3
= lim
x " +3
lim
x " -3
xx
x2 - x2 + x
=
- x p = lim
x-1
x-1
x " +3
x
x
= lim x = 1
x-1
x " +3
xx
f (x)
-x 2
-x 2
lim
lim
lim
=
=
=
= -1
x
x " -3 x 2 - x
x " -3 x 2 - x
x " -3 x 2
lim ^f(x) + xh = lim f
x " -3
= lim
x " -3
x " -3
xx
-x2 + x2 - x
=
+ x p = lim
x-1
x-1
x " -3
-x
x = -1
Logo, as retas de equações y = x + 1 e y = -x - 1 são assíntotas
oblíquas ao gráfico de f .
d) Assíntotas verticais:
Df = IR\{1}
lim f(x) = lim
x+1
2
= + = +3
1-x
0
lim f(x) = lim
2x 2 + 1
1
= - = -3
x
0
x " 1-
x " 0-
x " 1-
x " 0-
Logo, as retas de equações x = 0 e x = 1 são assíntotas verticais
ao gráfico de f .
515
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04/07/16 13:08
Avaliação global de conhecimentos
Assíntotas não verticais:
f (x)
x
1
x+1
lim x = lim
= lim
= lim -x = 0
x " +3
x " +3 x - x 2
x " +3 -x 2
x " +3
lim f(x) = lim
x " +3
lim
x " -3
x " +3
x
x+1
= lim -x = -1
1-x
x " +3
f (x)
2x 2 + 1
2x 2
lim
lim
=
=
=2
2
x
x " -3
x " -3 x 2
x
lim ^f(x) - 2xh = lim d
x " -3
x " -3
2
2
2x 2 + 1
n = lim 2x + 1 - 2x = 0
2
x
x
x
x " -3
Logo, a reta de equação y = -1 é assíntota horizontal e a reta de equação
y = 2x é assíntota oblíqua do gráfico de f .
28
Considere uma função f , de domínio IR+
0 , contínua e positiva em todo o seu
domínio.
Sabe-se que a reta de equação y = 2x + 3 é assíntota ao seu gráfico.
Estude a existência de assíntotas não verticais ao gráfico das seguintes funções:
a) g: IR+
0 " IR definida por g(x) = x - f(x) .
b) g: IR+
0 " IR definida por g(x) =
2x 2
.
f (x)
Como y = 2x + 3 é assíntota ao gráfico de f , tem-se:
f (x)
lim x = 2 e lim ^f (x) - 2xh = 3
x " +3
x " +3
x - f (x)
f (x)
g (x)
lim
a) lim
= lim d1 - x n = 1 - 2 = -1
x = x"
x
x " +3
+3
x " +3
lim ^g(x) + xh = lim ^x - f(x) + xh = lim 2x - f(x) = -3
x " +3
x " +3
x " +3
Como não há assíntotas verticais, a reta de equação y = -x - 3
é assíntota oblíqua do gráfico de g e é única.
g (x)
x
2x
1
2x 2
# x o=
lim
b) lim
=
= lim e
×2=1
x
2
x " +3
x " +3 xf (x)
x " +3 f (x)
lim ^g(x) - xh = lim e
x " +3
x " +3
2x 2 - xf (x)
2x 2
- x o = lim
=
f (x)
f (x)
x " +3
1
x
_ f (x) - 2x i =
^2x - f(x)h = lim f (x)
f (x)
x " +3 >
H
x
1
3
=- ×3=2
2
3
Assim, a reta de equação y = x é assíntota oblíqua ao gráfico de g .
2
= lim
x " +3
516
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Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
29
Elabore o esboço de um possível gráfico de uma função f , de domínio IR , tal que:
a) lim- f(x) = 1 , lim+ f(x) = -3 e f(0) = 2 .
x"0
x"0
lim f(x) = -1 , lim ^ f(x) - xh = 1 e f(-1) = 0 .
b) f é contínua,
a)
x " -3
x " +3
b)
y
y
2
1
0
x
1
21
0
21
x
30
1
Considere a função f , de domínio IR\{0} , definida por f(x) = 2 + x ,
k
, a, b, k ! IR,
e a funçãou4p384h1s
g , definida por uma expressão do tipo a +
x-b
k ! 0 , de contradomínio IR\{-1} . O quadro seguinte traduz a variação
u4p384h2s
do sinal da função g .
x
Sinal de g(x)
-3
1
-
0
2
+
n.d.
+3
-
x-1
e resolva a equação g(a) = 2 .
2-x
30.2Represente graficamente a função g , indicando equações das assíntotas
e os pontos de interseção com os eixos coordenados.
30.1 Mostre que g(x) =
30.3 Caracterize a função g % f .
30.4Determine, usando processos analíticos, o conjunto solução de:
f(x) + g(x) G 3
30.1 Como o contradomínio de g é IR\{-1} , a = -1 ; e como o domínio
é IR\{2} , b = 2 . Pelo quadro de sinais, tem-se que o ponto (1, 0)
pertence ao gráfico de g , logo:
k
+ k = -1
0 = -1 +
1-2
Assim:
-1
1
-2 + x + 1
x-1
g(x) = -1 +
= -1 +
=
=
x-2
2-x
2-x
2-x
517
000707 502-542.indd 517
04/07/16 13:08
Avaliação global de conhecimentos
Portanto:
a-1
a - 1 - 4 + 2a
- 5 + 3a
=2+
=0+
=0+
2-a
2-a
2-a
5
+ -5 + 3a = 0 / 2 - a ! 0 + a =
/a!2
3
5
C.S. = ( 2
3
30.2 As equações das assíntotas são: y = -1 e x = 2 .
g(a) = 2 +
y
3
2
1
0 (1, 0)
23 22 21
1 2 3
21 (0, 20,5)
4
5
6
7 x
22
23
1
1
2+ x -1
1+ x
30.3 (g % f)(x) = g^f (x)h =
= -x - 1
=
1
1
c
m
2- 2+ x
x
u4p385h1
1
Dg % f = {x ! Df : f (x) ! Dg} = ' x ! 0: 2 + x ! 21 =
1
= ' x ! 0: x ! 01 = IR\{0}
1
x-1
30.4 f(x) + g(x) G 3 + 2 +
x + 2-x G3+
+
4x - 2x 2 + 2 - x + x 2 - x
2x - x 2 + 2
G3+
G3+
2
2x - x
2x - x 2
+
2x - x 2 + 2 - 6x + 3x 2
2 - 4x + 2x 2
G
0
+
G0
2x - x 2
2x - x 2
2 - 4x + 2x2 = 0 + x =
4!
16 - 4 # 2 # 2
+x=1
2#2
2x - x2 = 0 + x = 0 0 x = 2
Assim:
x
2
2 - 4x + 2x
-3
0
+
+
0
+
+
+
+
0
2x - x
-
+
0
2 - 4x + 2x 2
2x - x 2
-
n.d.
2
1
2
+3
+
+
+
0
+
n.d.
-
-
C.S. = ]-3, 0[ , {1} , ]2, +3[
518
000707 502-542.indd 518
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Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
31
Considere as seguintes funções:
f(x) = x2 - 2x , g(x) =
Determine, para cada uma das funções:
x+1
e h(x) =
x
2x
a) a taxa média de variação entre 1 e 3 .
b)o valor da taxa de variação em x = 2 , recorrendo à definição de derivada
de uma função num ponto.
f (3) - f (1)
3+1
=
=2
3-1
2
4
2
g (3) - g (1)
1
3
1
=
=t.m.v.g[1, 3] =
3-1
2
3
a) t.m.v. f [1, 3] =
t.m.v.h[1, 3] =
b) fl(2) = lim
h"0
= lim
h"0
h (3) - h (1)
=
3-1
6 2
f (2 + h) - f (2)
(2 + h)2 - 2 (2 + h) - 0
= lim
=
h
h
h"0
4 + 4h + h 2 - 4 - 2h
h 2 + 2h
= lim
= lim (h + 2) = 2
h
h
h"0
h"0
g (2 + h) - g (2)
gl(2) = lim
= lim
h
h"0
h"0
= lim
h"0
m"0
m"0
= lim
m"0
2+h+1
3
2
2+h
=
h
-h
6 + 2h - 6 - 3h
1
-1
= lim
= lim
=2
2
4
4
+
2
h
h
"
0
h
"
0
4h + 2h
4h + 2h
hl(2) = lim
= lim
2
h (2 + m) - h (2)
= lim
m
m"0
_ 4 + 2m - 2i_ 4 + 2m + 2i
m _ 4 + 2m + 2i
2
1
=
2
4 + 2m + 2
2 (2 + m) - 2
=
m
= lim
m"0
4 + 2m - 4
m _ 4 + 2m + 2i
=
32
Sabendo que f(-1) = 3 e fl(-1) = -2 , determine:
f (x) - 3
a)o valor de lim
.
x "- 1 1 - x 2
b)as equações reduzidas da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f
no ponto de abcissa -1 .
519
000707 502-542.indd 519
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Avaliação global de conhecimentos
f (x) - 3
f (x) - 3
= lim
= lim d
2
x "-1 1 - x
x "-1 (1 - x) (1 + x)
x "-1
f (x) - f (1)
1
× lim
= fl(-1) ×
= lim
x+1
x "-1
x "-1 1 - x
a) lim
f (x) - 3
1 n
=
#
1-x
x+1
1
1
= -2 ×
= -1
2
2
b)A equação da reta tangente é da forma y = -2x + b .
Substituindo as coordenadas do ponto (-1, 3) : 3 = 2 + b + b = 1 .
Logo, a equação da reta tangente é y = -2x + 1 .
1
A equação da reta normal é da forma y = x + b .
2
1
7
.
Substituindo as coordenadas do ponto (-1, 3) : 3 = - + b + b =
2
2
1
7
.
Logo, a equação da reta tangente é y = x +
2
2
33
Sejam f e g duas funções, de domínio IR , definidas, respetivamente, por:
f(x) = x3 - x + 2 e g(x) = x2 + 1
Mostre que os gráficos de f e de g são tangentes em x = 1 e que se intersetam
num segundo ponto. Serão igualmente tangentes nesse segundo ponto? Justifique.
f(x) = g(x) + x3 - x + 2 = x2 + 1 + x3 - x2 - x + 1 = 0
Aplicando a regra de Ruffini:
1
-1
-1
1
1
1
0
0
-1
-1
0
1
x3 - x2 - x + 1 = 0 = (x - 1)(x2 - 1) = (x - 1)(x - 1)(x + 1) =
=(x - 1)2(x + 1)
Logo, f e g intersetam-se em x = 1 e em x = -1 .
Tem-se que fl(x) = 3x2 - 1 , fl(1) = 2 e gl(x) = 2x , gl(1) = 2 ; logo, a reta
tangente ao ponto de abcissa 1 no gráfico de f tem declive 2, e a reta tangente
ao ponto de abcissa 1 no gráfico de g também. Como f (1) = g(1) , então,
as retas tangentes são coincidentes, pelo que f é tangente a g neste ponto.
Por outro lado, fl(-1) = 2 e gl(-1) = -2 ; logo, as funções não são
tangentes no ponto de abcissa -1 .
34
Considere a função f , de domínio [0, 4] , definida por f(x) = 4x2 - x3.
a)Sem usar a calculadora, determine as equações reduzidas das retas
tangentes ao gráfico de f , paralelas à reta de equação y = 5x .
520
000707 502-542.indd 520
04/07/16 13:08
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
b)No domínio indicado determine, recorrendo às capacidades gráficas da sua
calculadora, um valor aproximado às décimas da área do triângulo [ABC] ,
em que:
• A é o ponto do gráfico da função f cuja ordenada é máxima;
• B e C são os pontos de interseção do gráfico da função f com a reta
de equação y = 2 .
Reproduza, no seu caderno, o gráfico, ou gráficos, visualizado(s)
na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial.
Desenhe o triângulo [ABC] , assinalando os pontos que representam
os seus vértices.
NOTA: N
as
coordenadas dos vértices em que for necessário fazer
arredondamentos, utilize duas casas decimais.
a) Tem-se que fl(x) = 8x - 3x2 .
Assim:
fl(x) = 5 + 8x - 3x2 = 5 +-3x2 + 8x - 5 = 0 +
5
- 8 ! 64 - 4 # 3 # 5
-8 ! 4
+x=
+x=10x=
+x=
3
-6
-6
f(1) = 3
3
2
5
5
175
5
f d n = 4d n - d n =
3
3
27
3
A equação da reta tangente no ponto (1, 3) é da forma y = 5x - b , logo:
3 = 5 × 1 + b + b = -2
Portanto, y = 5x - 2 .
5 175
n é da forma y = 5x - b ;
A equação da reta tangente no ponto d ,
3 27
logo:
175
5
50
=5×
+b+b=27
3
27
50
Portanto, y = 5x .
27
b) y
12
A(2,67; 9,48)
10
8
6
4
2
O
A[ABC] .
C(3,87; 2)
B(0,79; 2)
2
4
x
(3,87 - 0,79) # (9,48 - 2)
. 11,5 u. a.
2
521
000707 502-542.indd 521
u4p388h1s
04/07/16 13:10
Avaliação global de conhecimentos
35
Determine uma expressão da função derivada das funções reais de variável real
definidas por:
3
a) f(x) = 4x2 x+5
e) j(x) = x x
4
x+7
b) g(x) = (x2 + 5)(-1 - 2x)
f) k(x) =
2x + 1
5x - 3
c) h(x) =
x-2
4x + 2
g) l(x) =
x+1
d) i(x) = 5x + 3
3
h) m(x) = (x - 7x)4
3
3
a) fl(x) = 2 × 4x = 8x 4
4
b) gl(x) = (x2 + 5)l (-1 - 2x) + (x2 + 5)(-1 - 2x)l =
= 2x(-1 - 2x) - 2(x2 + 5) = -2x2 - 6x - 10
(5x - 3)' (4x + 2) - (5x - 3) (4x + 2)'
=
(4x + 2)2
5 (4x + 2) - 4 (5x - 3)
22
=
=
(4x + 2)2
(4x + 2)2
1
5
d) il(x) =
× (5x + 3)l =
2 5x + 3
2 5x + 3
1
e) jl(x) = xl x + x_ x il = x +
x= x +
2 x
c) hl(x) =
f) kl(x) =
=
_ x + 7 i' (2x + 1) - _ x + 7 i (2x + 1)'
1
2 x+7
(2x + 1)2
(x + 7)' (2x + 1) - 2 x + 7
(2x + 1)2
x
3 x
=
2
2
=
=
2x + 1
-2 x+7
- 2x - 27
2 x+7
=
=
2
(2x + 1)
2 x + 7 (2x + 1)2
1
x-2 l
n =
g) ll(x) =
#d
x+1
x-2
2
x+1
(x - 2)' (x + 1) - (x - 2) (x + 1)'
1
=
#
=
(x + 1)2
x-2
2
x+1
1
3
3
3 x +1
=
#
=
=
(x + 1)2
x-2
x
2
2(x + 1)2 x - 2
2
2 (x + 1)2
x +1
x +1
h) ml(x) = 4(x3 - 7x)3 (x3 - 7x)l = 4(3x2 - 7)(x3 - 7x)3
522
000707 502-542.indd 522
04/07/16 13:10
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
36
Relativamente a uma função f ,
de domínio IR , tem-se a informação
apresentada na tabela ao lado.
36.1 Determine a taxa média
x
0
2
4
6
f(x)
1
-2
0
fl(x)
3
-1
-3
0
2
de variação de f em [0, 4] .
Pode concluir que f é decrescente em [0, 4] ?
36.2
Determine as coordenadas do ponto de interseção das retas tangentes a f
em x = 2 e x = 6 .
36.3
Determine o valor de cada uma das expressões seguintes, sabendo que
g(x) = x2 + 2x .
a) (f + g)l(2)
f l
c) e g o (6)
b) (fg)l(0)
d) (f 2)l(2)
f (4) - f (0)
-3 - 1
=
= -1
4-0
4
Não se pode concluir que f é decrescente neste intervalo, apenas
se sabe que houve uma variação negativa entre estes dois pontos.
36.1 t.m.v.[0, 4] =
36.2Em x = 2 , a reta tangente ao gráfico de f tem declive -1 e o ponto
de tangência tem coordenadas (2, -2) .
Assim, -2 = -1 × 2 + b + b = 0 ; logo, a equação desta reta é:
y = -x
Em x = 6 , a reta tangente ao gráfico de f tem declive 2 , e o ponto
de tangência tem coordenadas (6, 0) .
Assim, 0 = 2 × 6 + b + b = -12 , logo, a equação desta reta é:
y = 2x - 12
As coordenadas do ponto de interseção são tais que:
*
y = 2x - 12
- 3x =- 12
x=4
+*
+*
y =- x
y =- x
y =- 4
Portanto, o ponto de interseção tem coordenadas (4, -4) .
36.3 a) gl(x) = 2x + 2
(f + g)l(2) = fl(2) + gl(2) = -1 + 6 = 5
b) (fg)l(0) = fl(0)g(0) + f (0) gl(0) = 3 × 0 + 1 × 2 = 2
f l
f l(6)g(6) - f (6)gl(6)
96
2 # 48 - 0 #14
1
=
=
=
c) e g o(6) =
2304
2304
24
g 2 (6)
d) (f 2)l(2) = 2f (2) fl(2) = 2 × (-2) × (-1) = 4
523
000707 502-542.indd 523
04/07/16 13:10
Avaliação global de conhecimentos
37
Um ponto P move-se numa reta de tal forma que
O
P
a sua abcissa x , em metros, é dada em cada
instante t , em segundos, pela expressão:
t2
(t H 0)
x(t) =
2t + 1
Resolva as alíneas seguintes sem recorrer à calculadora, a nãou4p182h1
ser para efetuar
eventuais cálculos numéricos.
37.1 Determine:
a) a velocidade média do ponto nos primeiros 3 segundos.
Apresente o valor arredondado às centésimas.
b) a velocidade no instante t = 1 s .
Apresente os valores arredondados às décimas.
37.2
Nos primeiros 2 segundos, haverá algum instante em que a velocidade
seja nula? Justifique.
32
-0
x (3) - x (0)
3
6+1
37.1 a) vm = t.m.v.[0, 3] =
=
=
á 0,43 m/s
7
3
3-0
b) xl(t) =
=
2t (2t + 1) - 2t 2
(t 2)' (2t + 1) - (t 2) (2t + 1)'
=
=
(2t + 1)2
(2t + 1)2
4t 2 + 2t - 2t 2
2t 2 + 2t
=
(2t + 1)2
(2t + 1)2
4
á 0,4 m/s
9
2t 2 + 2t
37.2 xl(t) = 0 +
= 0 + 2t2 + 2t = 0 / (2t + 1)2 ! 0 +
(2t + 1)2
1
+ (t = 0 0 t = -1) / t ! 2
xl(1) =
O único instante em que a velocidade é nula é o instante t = 0 s .
38
Considere as funções f e g , de domínio IR\{0} e IR , respetivamente,
definidas por:
6
1
f(x) = 3 + x e g(x) = x3 - 3x2 + 8x - 3
3
Resolva os três primeiros itens seguintes, usando exclusivamente métodos
analíticos.
524
000707 502-542.indd 524
04/07/16 13:10
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
38.1 Determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação
f(x) G 5 .
Apresente a sua resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.
38.2Seja P o ponto do gráfico da função f que tem abcissa igual a 2 .
Seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto P .
Determine a equação reduzida da reta r .
38.3Na figura ao lado, está representada,
y
A
num referencial o.n. xOy , parte do gráfico
B
da função g .
Os pontos A e B pertencem ao gráfico
da função g , sendo as suas ordenadas,
O
respetivamente, o máximo relativo
D
C
e o mínimo relativo desta função.
Os pontos C e D pertencem ao eixo Ox .
A abcissa do ponto C é igual à do ponto B e a abcissa do ponto D
u4p182h2
é igual à do ponto A .
Determine a área do triângulo [OAC] .
x
38.4A equação f(x) = g(x) tem exatamente duas soluções, sendo uma delas
positiva e a outra negativa.
Determine a solução positiva, utilizando as capacidades gráficas da sua
calculadora. Apresente essa solução arredondada às centésimas.
Apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o ponto
relevante para a resolução do problema.
Teste Intermédio do 11.º ano, 2010
38.1 f(x) G 5 + 3 +
x
-2x + 6
x
- 2x + 6
x
6
- 2x + 6
G0
x G5+
x
-3
0
3
+
+
0
-
-
+
0
+
+
+
-
n.d.
+
0
-
+3
C.S. = ]-3, 0[ , [3, +3[
38.2 Como f (2) = 6 , P(2, 6) .
6'x - 6x'
6
6
3
= - 2 e fl(2) = - = 2
4
2
x
x
3
Assim, 6 = - × 2 + b + b = 9 ; logo, a equação reduzida de r é:
2
3
y=- x+9
2
fl(x) =
525
000707 502-542.indd 525
04/07/16 13:10
Avaliação global de conhecimentos
38.3 gl(x) = x2 - 6x + 8
gl(x) = 0 + x2 - 6x + 8 = 0 +
6!2
36 - 4 # 8
+x=
+x=40x=2
2
2
8
11
- 12 + 16 - 3 =
g(2) =
3
3
64
64
7
57
g(4) =
- 48 + 32 - 3 =
=
3
3
3
3
Assim:
6!
+ x =
x
g'(x)
-3
+
g(x)
3
Tem-se que Ad 2,
2
0
Máx.
11
3
4
11
n e C(4, 0) ; logo:
3
OC # DA
=
A[OAC] =
2
38.4
y
10
f
4
0
Mín.
7
3
4#
2
11
3
+3
+
3
=
22
3
g
8
6
(5,15; 4,16)
4
2
0
2
4
6
8
10
12
14 x
A solução positiva é x á 5,15 .
39
u4p391h1s
A figura representa o gráfico da função derivada de uma função g .
39.1 Justifique que g é contínua em x = 2 .
y
39.2 Estude a monotonia de g .
39.3Sabendo que g(0) = -3 , determine
a equação reduzida da reta tangente
ao gráfico de g no ponto de abcissa zero.
39.4Indique o domínio da função h , definida
2
22 O
2
4
x
por h(x) = -2 + gl(x) .
526
000707 502-542.indd 526
u4p182h3
04/07/16 13:10
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
39.1 Como g tem derivada em x = 2 , g é contínua em x = 2 .
39.2 g é crescente em ]-3, 1] e em [2, +3[ ; e é decrescente em [1, 2] .
39.3 Como gl(0) = 2 , tem-se que o declive da reta tangente ao gráfico
no ponto de abcissa 0 é igual a 2 . Logo, a equação é y = 2x - 3 .
39.4 Dh = {x ! IR: -2 + gl(x) H 0} = {x ! IR: gl(x) H 2} =
= ]-3, 0] , [3, +3[
40
Considere a família de funções definida por f(x) = ax3 + bx + 18, a, b ! IR ,
em que:
• 3 é zero de f ;
• a reta tangente ao gráfico de f em x = 1 é paralela à reta de equação:
y + 18x = 24
40.1Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as duas alíneas
seguintes.
40.1.1 Mostre que a = 2 e b = -24 .
40.1.2 Estude f quanto à monotonia e existência de extremos.
40.2O conjunto solução da condição f(x) G 1 -
do tipo [c, d] .
x2
/ x > 0 é um intervalo
2
Utilizando a calculadora, determine valores aproximados para c e d
(apresente o resultado arredondado às centésimas).
Explique como procedeu, apresentando o gráfico, ou os gráficos,
obtido(s) na calculadora.
40.1 40.1.1 fl(x) = 3ax2 + b
*
f (3) = 0
27a + 3b + 18 = 0
+)
+
f' (1) =- 18
3a + b =- 18
27a - 9a - 54 + 18 = 0
18a - 36 = 0
+ )
+)
+
b =- 3a - 18
b =- 3a - 18
+ )
a=2
b =- 24
40.1.2 fl(x) = 0 + 6x2 - 24 = 0 + x2 = 4 + x = -2 0 x = 2
f(-2) = 2 × (-8) - 24 × (-2) + 18 =
= -16 + 48 + 18 = 50
f (2) = 2 × 8 - 24 × 2 + 18 = 16 - 48 + 18 = -14
527
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Avaliação global de conhecimentos
Assim:
x
f'(x)
-3
+
f(x)
3
-2
0
Máx.
50
4
2
0
Mín.
-14
+3
+
3
f é crescente em ]-3, -2] e [2, +3[ ; e é decrescente em [-2, 2] .
O máximo relativo é 50 e o mínimo relativo é -14 .
40.2Coloca-se na calculadora gráfica
y
a expressão da função f e a expressão
x2
.
1 2
Ajusta-se a janela para mostrar valores
positivos de x .
Determinam-se os pontos de interseção
entre as duas curvas obtidas. Assim:
20
10
(0,76; 0,71)
0
210
2
4
6
(2,89; 3,17)
8
x
220
c á 0,76 e d á 2,89
41
O espaço, s , percorrido, em metros, por
u4p393h1s
um carro de fórmula 1 numa passagem pela
reta da meta, desde que entra na mesma até
que a termina, é dado em função de t ,
em segundos, por:
1
s(t) = 40t + 10t2 - t3, 0 G t G 12
6
Determine em km/h :
a) a velocidade do carro quando entra na reta da meta.
b)a velocidade máxima atingida pelo carro nessa passagem pela reta da meta
(arredondada às unidades).
1 2
t
2
sl(0) = 40 m/s = 144 km/h
a) sl(t) = 40 + 20t -
b) A função sl(t) dá a velocidade, ou seja, v(t) = 40 + 20t -
vl(t) = 20 - t
vl(t) = 0 + t = 20 e 20 " [0, 12]
Assim:
h
v'(h)
v(h)
0
20
40
+
3
1 2
t .
2
12
0
208
208 m/s = 748,8 km/h
A velocidade máxima atingida pelo carro nessa passagem pela meta é de,
aproximadamente, 749 km/h .
528
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06/07/16 17:35
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
42
x 2 - 3x
.
x-4
Sem recorrer à calculadora, determine: os pontos de interseção do gráfico
de f com os eixos coordenados, equações das assíntotas ao gráfico de f ,
e os intervalos de monotonia; e estude a existência de extremos relativos
da função f .
Considere a função f , de domínio IR\{4} , definida por f(x) =
Interseção com o eixo Oy :
f (0) = 0 , logo, a interseção é no ponto de coordenadas (0, 0) .
Interseção com o eixo Ox :
x 2 - 3x
= 0 + (x = 0 0 x = 3) / x ! 4
f(x) = 0 +
x-4
A interseção é nos pontos de coordenadas (0, 0) e (3, 0) .
Assíntotas verticais:
x 2 - 3x
4
= - = -3
x-4
0
x"4
x"4
Logo, a reta de equação x = 4 é uma assíntota vertical ao gráfico de f
e é única.
lim f(x) = lim
-
-
Assíntotas não verticais:
lim
x " -3
f (x)
x 2 - 3x
x2
lim
lim
=
=
=1
x
x " -3 x 2 - 4x
x " -3 x 2
lim ^f(x) - xh = lim d
x " -3
= lim
x " -3
x " -3
x 2 - 3x
x 2 - 3x - x 2 + 4x
=
- x n = lim
x-4
x-4
x " -3
x
x
= lim x = 1
x-4
x " -3
f (x)
x2
lim
=
=1
x
x " +3
x " -3 x 2
x
lim ^f(x) - xh = lim x = 1
x " -3
x " -3
lim
Logo, a reta de equação y = x + 1 é assíntota oblíqua ao gráfico de f .
Monotonia e extremos:
fl(x) =
(x 2 - 3x)' (x - 4) - (x 2 - 3x) (x - 4)'
=
(x - 4)2
=
(2x - 3) (x - 4) - (x 2 - 3x)
2x 2 - 8x - 3x + 12 - x 2 + 3x
=
=
(x - 4)2
(x - 4)2
=
x 2 - 8x + 12
(x - 4)2
529
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Avaliação global de conhecimentos
x 2 - 8x + 12
= 0 + x2 - 8x + 12 = 0 / x ! 4 +
(x - 4)2
fl(x) = 0 +
8 ! 16
64 - 4 # 12
/x!4+x=
/x!4+
2
2
+ (x = 2 0 x = 6) / x ! 4
+x=
f (2) =
8!
4-6
36 - 18
18
=
= 1 e f(6) =
=9
2-4
2
6-4
Assim:
x
-3
2
x - 8x + 12
+
0
-
(x - 4)2
f'(x)
+
+
+
0
f (x)
3
2
Máx.
1
4
6
+3
-
0
+
+
0
+
+
-
n.d.
-
+
0
4
n.d.
4
+
Mín.
9
3
f é crescente em ]-3, 2] e em [6, +3[ ; e é decrescente em [2, 4[
e em ]4, 6] .
O máximo relativo é 1 e o mínimo relativo é 9 .
43
Considere um cilindro reto inscrito numa esfera de raio R = 3 cm .
43.1
Prove que, sendo h a altura do cilindro e r o raio
da sua base,
36 - h 2
4
43.2
Prove que o volume do cilindro é dado, em função
de h , por:
rh 3
V(h) = 9rh 4
43.3 Determine a altura do cilindro de volume máximo.
r2 =
h
R
r
u4p183h2
43.1 Tendo em conta o triângulo desenhado na figura, tem-se:
32 = d
36 - h 2
h2
h2
h
n + r2 + 9 =
+ r2 + r2 = 9 + r2 =
4
4
4
2
2
rh 3
36 - h 2
rh = 9rh 4
4
2
3rh
3rh 2
43.3 Vl(h) = 9r , logo Vl(h) = 0 + 9r =0+
4
4
+ 3rh2 = 36r + h2 = 12 + h = 2 3 0 h = -2 3
43.2 V(h) = Ab × h = rr 2 h =
530
000707 502-542.indd 530
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Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Assim ( 0 < h < 6 ) :
h
0
V'(h)
n.d.
+
0
-
n.d.
V(h)
n.d.
3
Máx.
4
n.d.
6
2 3
O volume máximo é atingido para h = 2 3 cm .
44
Pretende-se construir uma piscina retangular
num terreno com 72 m2 de área.
2
A piscina vai ser rodeada por um relvado nos
topos com 2 m de largura e nas partes laterais
com 1 m de largura.
Piscina
1
1
2
Determine quais devem ser as dimensões
da piscina para que a área da mesma seja máxima.
72
Sejam c e l as dimensões do terreno. Tem-se que l = c ; logo, a área
u4p183h3
da piscina é dada por:
144
144
72
A(c) = (c - 2)c c - 4 m = 72 - 4c - c + 8 = 80 - 4c - c
144
, tem-se:
c2
144
Al(c) = 0 + -4 + 2 = 0 +
c
- 4c 2 + 144
+
= 0 + -4c2 + 144 = 0 / c ! 0 +
c2
+ c2 = 36 / c ! 0 + (c = 6 0 c = -6) / c ! 0
Como Al(c) = -4 +
Assim:
c
0
A'(c)
n.d.
A
n.d.
6
+3
+
0
-
3
Máx.
4
A piscina deve ter de comprimento c - 2 = 6 - 2 = 4 m e de largura
72
- 4 = 12 - 4 = 8 m .
l-4=
6
531
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04/07/16 13:10
preparação para o teste 9
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 9
I
Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Seja f uma função real de variável real tal que fl(2) = 4 .
f (x) - f (2)
é:
4 - 2x
x"2
(B) 2
(C) 0
Então, o valor de lim
(A) 4
lim
x"2
(D) -2
f (x) - f (2)
f (x) - f (2)
1
= lim
= - × 4 = -2
4 - 2x
2
x " 2 - 2 (x - 2)
A opção correta é a (D).
2
Na figura estão representadas, num referencial o.n.,
parte do gráfico de uma função g de domínio ]-3, +3[
e a reta r , assíntota do gráfico de g , que passa
nos pontos de coordenadas (0, -4) e (2, 0) .
(B)
(C)
(D)
y
0
2
x
24
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A)
g
lim 6g(x) - 2x - 4@ = 0
x " +3
lim 6g(x) + 2x - 4@ = 0
x " +3
u4p184h1
g (x) - 2x
=0
x
x " +3
lim
lim 6g(x) - 2x@ = 0
x " +3
A assíntota ao gráfico de g tem equação da forma:
0+4
x + b = 2x + b
y=
2-0
Como o ponto (2, 0) pertence à assíntota, y = 2x - 4 .
Portanto, lim [g(x) - (2x - 4)] = 0 , isto é, lim [g(x) - 2x + 4] = 0 .
x " +3
x " +3
Assim, estão excluídas as opções (A) e (B).
A opção (D) está errada, pois lim [g(x) - 2x] = -4 .
x " +3
Na opção (C) tem-se lim
x " +3
g (x)
g (x) - 2x
= lim d x - 2 n = 2 - 2 = 0 .
x
x " +3
A opção correta é a (C).
532
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04/07/16 13:10
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
3
Sejam f e h duas funções reais de variável real diferenciáveis em IR .
Sabe-se que f tem o máximo relativo f(a) = b , h(b) = 3 e hl(b) = -2 .
Qual é o valor de (h % f)l(a) ?
(A) -6
(B) -2b + 3
(D) 0
(C) -2b
(h % f)l(a) = hl^f(a)h × fl(a) = hl(b) × 0 = 0
A opção correta é a (D).
4
Considere a função real de variável real f definida por f(x) = 1 +
Relativamente à função f , qual das seguintes afirmações é falsa?
2
.
x+2
(A) Dlf = IR\{1}
(B) As retas de equação x = -2 e y = 1 são assíntotas ao gráfico de f .
(C) f é decrescente em IR .
(D) 6 x ! IR\{-2}, fl(x) < 0
A opção correta é a (C).
5
De duas funções, f e g , sabe-se que:
• o gráfico de f é uma reta cuja ordenada na origem é igual a 2 ;
• o gráfico de g é uma hipérbole.
Nas figuras seguintes estão representadas parte dessa reta e parte dessa hipérbole.
y
y
2
O
x
O
1
A reta de equação x = 1 é assíntota do gráfico de g .
f (x)
u4p184h3
lim
.
Indique o valor de u4p184h2
x " 1 g (x)
(A) 0
(B) 2
(C) +3
x
+
(D) -3
Exame Nacional do 12.º ano, 2006
lim
x"1
+
f (x)
a
= -3 = 0 , com a ! IR+
g (x)
A opção correta é a (A).
533
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04/07/16 13:10
preparação para o teste 9
II
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
s y
1
t
Na figura estão representadas, num
referencial o.n. xOy , parte do gráfico
de uma função f , definida por uma
k
,
expressão do tipo a +
x-b
e as retas r , s e t .
B
P
A
4
O
23
r
x
Sabe-se que:
• as retas r e s são as assíntotas ao gráfico de f , intersetando-se no ponto
de coordenadas (-1, 2) ;
• a reta t é tangente ao gráfico de f no ponto P de coordenadas (-3, 4)
e interseta o eixo Ox no ponto A e o eixo Oy no ponto B .
u4p185h1
2x - 2
1.1 Mostre que f(x) =
.
x+1
1.2
Determine o conjunto dos números reais que são solução da condição:
f(x) > 1
Apresente a sua resposta na forma de intervalo ou união de intervalos
de números reais.
1.3 Determine o perímetro do triângulo [AOB] .
1.1 a)Tem-se que r: y = 2 e s: x = -1 ; logo, a = 2 e b = -1 .
Substituindo as coordenadas de P :
k
k
+2=
+ k = -4
4=2+
-2
-3 + 1
Logo, a equação de f é:
4
2x - 2
2x + 2 - 4
=
=
f (x) = 2 x+1
x+1
x+1
1.2 f(x) > 1 +
2x - 2
2x - 2 - x - 1
x-3
>1+
>0+
>0
x+1
x+1
x+1
Assim:
x
x-3
x+1
x-3
x+1
3
0
-3
-
-1
0
+
+
+3
+
+
+
n.d.
-
0
+
C.S. = ]-3, -1[ , ]3, +3[
534
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Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
1.3 fl(x) =
(2x - 2)' (x + 1) - (2x - 2) (x + 1)'
=
(x + 1)2
2 (x + 1) - (2x - 2)
4
2x + 2 - 2x + 2
=
=
(x + 1)2
(x + 1)2
(x + 1)2
4
= 1 . Assim, o declive de t é 1 .
Logo, fl(-3) =
(-3 + 1)2
=
Substituindo as coordenadas de P :
4 = 1 × (-3) + b + b = 7
Logo, a equação de t é y = x + 7 .
Assim, as coordenadas de B são (0, 7) e as de A são (-7, 0) .
2
2
AB = 72 + 72 + AB = 98 + AB = 7 2
AB > 0
P[AOB] = AO + AB + OB = 7 + 7 2 + 7 = 14 + 7 2
2
Considere a função g , real de variável real, definida por:
(x - 1)2
g(x) =
x
2.1 Determine, caso existam, equações das assíntotas ao gráfico de g .
2.2 Estude a função g quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.
2.3
Determine as equações reduzidas das retas tangentes ao gráfico de g
no ponto de ordenada -
9
.
2
2.1 Assíntotas verticais:
Dg = IR\{0}
(x - 1)2
1
= - = -3
lim g(x) = lim
x
0
x"0
x"0
Logo, a reta de equação x = 0 é assíntota vertical ao gráfico de g .
-
-
Assíntotas não verticais:
(x - 1)2
1
x 2 - 2x + 1
=
=x-2+ x
x
x
1
1
Como lim x = 0 = lim x , tem-se que a reta de equação
x "+3
x "-3
y = x - 2 é assíntota oblíqua ao gráfico de g .
535
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04/07/16 13:10
preparação para o teste 9
2.2 gl(x) =
=
_(x - 1)2i'x - (x - 1)2x'
x2
=
2 (x - 1) (x - 1)'x - (x - 1)2
=
x2
2x (x - 1) - (x - 1)2
2x 2 - 2x - x 2 + 2x - 1
x2 - 1
=
=
x2
x2
x2
Em alternativa:
g(x) =
1
x 2 - 2x + 1
=
x
2
+
x
x
gl(x) = 1 gl(x) = 0 +
1
x2 - 1
=
x2
x2
x2 - 1
= 0 + (x = 1 0 x = -1) / x ! 0
x2
g(-1) = -4 e g(1) = 0
Assim:
x
-3
g'(x)
+
g
3
0
-1
0
Máx.
-4
1
-
n.d.
-
4
n.d.
4
0
Mín.
0
+3
+
3
g é crescente em ]-3, -1] e [1, +3[ ; e é decrescente em [-1, 0[
e em ]0, 1] .
O máximo relativo é -4 e o mínimo relativo é 0 .
(x - 1)2
2 (x - 1)2 + 9x
9
9
+
=
+
=0+
x
2
2
2x
+ 2x2 - 4x + 2 + 9x = 0 / x ! 0 + 2x2 + 5x + 2 = 0 / x ! 0 +
2.3 g(x) = -
+ x =
+ x =
-5 !
25 - 4 # 2 # 2
/x!0+
2#2
-5 !
4
9
/ x ! 0 + c x =- 2 0 x =-
1
m/ x ! 0
2
1
-1
1
4-1
3
4
=
e glc- m =
= -3
gl(-2) =
2
1
4
4
4
Equação da reta tangente no ponto c- 2, -
9
3
=
× (-2) + b + b = -3
2
4
Logo, a equação reduzida desta reta é y =
9
m:
2
3
x-3.
4
536
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Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Equação da reta tangente no ponto c-
1
9
,- m :
2
2
1
9
= -3 × c- m + b + b = -6
2
2
Logo, a equação reduzida desta reta é y = -3x - 6 .
-
3
Na figura está representada, em referencial o.n.,
parte do gráfico de uma função f de domínio IR+
0 .
Sabe-se que:
• f é diferenciável, estritamente crescente
e tem a como único zero;
• o gráfico de f tem duas assíntotas definidas
pelas equações x = 0 e y = b, b > 0 .
Prove que:
y
y 5b
0
a
x
f
1
tem exatamente duas assíntotas.
f
1
u4p185h2
b) a função
é estritamente decrescente em qualquer intervalo
do seu domínio.
f
a) o gráfico da função
a) Tem-se que D 1 = IR+\{a} .
f
Assíntotas verticais:
1
1
lim
= -3 = 0
f (x)
x"0
+
Logo, não há assíntota em x = 0 .
1
1
lim
= + = +3
f (x)
x"a
0
Logo, a reta de equação x = a é assíntota vertical ao gráfico de g .
+
Assíntotas não verticais:
1
1
lim
=
b
x " +3 f (x)
Logo, a reta de equação y =
b) e
1
é assíntota horizontal ao gráfico de g .
b
- f' (x)
1 l
o = 2
f (x)
f (x)
Como f é crescente em todo o seu domínio, fl(x) > 0 ; logo, -fl(x) < 0 e
- f' (x)
< 0, 6 x ! D 1 .
f 2 (x)
f
1
é estritamente decrescente em qualquer intervalo do seu domínio.
Então,
f
537
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04/07/16 13:11
preparação para o teste 10
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 10
I
Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Considere, num referencial o.n. Oxyz , os pontos A(sin a, cos b, 1) e B(1, 1, sin i) .
r
3r
e a + i = 5r .
Sabe-se que a ! E 0, ; ; a + b =
4
2
Qual é o valor de OA $ OB ?
(A) 0
(B) sin a
(C) cos a - 2 sin a
OA $ OB = sin a + cos b + sin i = sin a + cosc
= sin a + (-sin a) + sin a
(D) -2 sin a
3r
- a m + sin(5r - a) =
2
A opção correta é a (B).
2
De uma progressão aritmética (an) sabe-se que 3 e 12 são o 3.º e 5.º termos,
respetivamente.
10
Qual é o valor de
/a
n
?
n=1
(A) 142,5
(B) 210
(C) 230,5
a5 = a3 + 2r + 12 = 3 + 2r + r =
(D) 300
9
2
9
+ 3 = a1 + 9 + a1 = -6
2
9
-6 - 6 + 9 #
a1 + a10
285
2
S10 =
× 10 =
× 10 =
= 142,5
2
2
2
A opção correta é a (A).
a3 = a1 + 2 ×
3
y
g
Na figura está parte da representação gráfica de uma
função g de domínio IR e contínua em IR\{1} .
Considere a sucessão de termo geral un =
n+2
.
n
Qual é o valor de lim g(un) ?
(A) -3
(B) 0
(C) 1
(D) 2
1
O
1
x
A opção correta é a (C).
538
000707 502-542.indd 538
u4p186h1
04/07/16 13:11
Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
x2 - 4
se x 1-2
Considere a função s de domínio IR definida por s(x) = * x + 2
.
2x - b se x H-2
Qual é o valor de b para o qual s é contínua?
4
(B) 0
(A) -4
lim s(x) = lim
x "-2
-
x "-2
-
(C) 4
(D) 8
(x - 2) (x + 2)
x2 - 4
= lim
= -4
x+2
x+2
x "-2
-
lim s(x) = lim (2x - b) = -4 - b
x "-2+
x "-2+
-4 - b = -4 + b = 0
A opção correta é a (B).
5
1
Sabe-se que a reta de equação y = - x + 2 é tangente ao gráfico de uma
3
função f no ponto de abcissa 6 .
f (x)
F?
Qual é o valor do limite lim < f (x) +
x-6
x"6
1
5
(B) 0
(C)
(D) 2
3
3
1
y = - × 6 + 2 = 0 ; logo, f (6) = 0 .
3
f (x)
f (x) - f (6)
F = lim < f (x) +
F = f (6) + fl(6) =
lim < f (x) +
x-6
x-6
x"6
x"6
(A) -
= 0 + d-
1
1
n=3
3
A opção correta é a (A).
II
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
1
z
Na figura está representada, num referencial o.n. Oxyz ,
a interseção do plano ABC com o 1.º octante.
C
O plano ABC é definido pela equação:
6x + 3y + 4z = 12
1.1
Determine uma equação vetorial da reta
perpendicular a ABC que passa no ponto A .
O
A
B
y
x
1.2 Seja a a amplitude em radianos do ângulo ABC .
Determine o valor exato de sind
000707 502-542.indd 539
5r
.
- a n + tan(a - r)u4p187h2
2
539
04/07/16 13:11
preparação para o teste 10
1.1 Para y = 0 e z = 0 , tem-se 6x = 12 + x = 2 ; logo, A(2, 0, 0) .
Assim, a equação vetorial da reta pedida é:
(x, y, z) = (2, 0, 0) + k(6, 3, 4), k ! IR
1.2 Para x = 0 e z = 0 , tem-se 3y = 12 + y = 4 ; logo, B(0, 4, 0) .
Para x = 0 e y = 0 , tem-se 4z = 12 + z = 3 ; logo, C(0, 0, 3) .
Assim, BA(2, -4, 0) e BC(0, -4, 3) , então:
BA $ BC = BA BC cos a + 0 + 16 + 0 =
4 + 16 16 + 9 cos a +
8 5
+ 16 = 10 5 cos a + cos a =
25
Tem-se que:
5r
+ a n + tan(a - r) = cos a + tan a
sind
2
Assim:
1
+
cos2 a + sin2 a = 1 + 1 + tan2 a =
cos 2 a
1
125
+ tan2 a =
-1+
+ 1 + tan2 a =
2
64
8 5
e
o
25
61
61
+ tan a =
+ tan2 a =
8
64
8 5
61
Portanto, cos a + tan a =
+
.
8
25
2
Considere a função definida por:
2x 2 + 5x - 3
se x 2 1
x+1
f(x) = *
x2 + 3
se x G 1
2.1 Estude f quanto à existência de assíntotas verticais ao seu gráfico.
2.2
Determine, caso existam, as equações reduzidas das assíntotas não verticais
ao gráfico de f .
2.3
Indique os intervalos de monotonia e os extremos relativos e absolutos,
caso existam, da restrição de f ao intervalo ]-3, 1] .
2.4
Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto
de abcissa -1 .
2.1 Df = IR ; logo, para procurar assíntotas verticais, faz sentido calcular:
lim f (x) = lim
x " 1+
x " 1+
lim f(x) = lim
x " 1-
x " 1+
2x 2 + 5x - 3
4
=2
=
2
x+1
x2 + 3 =
4 =2
Então, x = 1 não é assíntota vertical ao gráfico de f .
Como f é contínua em IR , não existem assíntotas verticais.
540
000707 502-542.indd 540
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Domínio 4 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
2.2
f (x)
lim
x = x"
-3
lim
x " -3
2
x +3
= lim
x
x " -3
-x
1+
lim ^f(x) + xh = lim _ x 2 + 3 + x i =
x " -3
lim
x " -3
x
3
x2
= -1
x " -3
_ x 2 + 3 + x i_ x 2 + 3 - x i
x2 + 3 - x
3
lim
=
2
= lim
x " -3
x2 + 3 - x2
x2 + 3 - x
=
3
=0
+3
x +3 -x
Logo, y = -x é assíntota ao gráfico de f .
x " -3
f (x)
2x 2 + 5x - 3
2x 2
lim
lim
=
=
=2
x
x " +3
x " +3 x 2
x2 + x
lim
x " +3
lim ^f(x) - 2xh = lim d
x " +3
x " -3
2x 2 + 5x - 3
- 2x n =
x-1
2
3x - 3
2x + 5x - 3 - 2x 2 - 2x
= lim
=
x+1
x " -3
x " -3 x + 1
3x
= lim x = 3
x " -3
= lim
Portanto, a reta de equação y = 2x + 3 é assíntota ao gráfico de f .
2.3 Seja g(x) = f ]-3, 1](x) .
gl(x) = _ x 2 + 3 il=
x
x2 +3
f (0) =
1
2
2 x +3
=0+x=0
0+3 =
× (x2 + 3)l=
x
2
x +3
3
Assim:
x
g'(x)
g
-3
4
0
0
Mín.
3
1
+
3
+
Máx.
2
A restrição de f a ]-3, 1] é crescente em ]0, 1[ e decrescente em ]-3, 0[ .
Esta função tem como máximo relativo 2 e como mínimo relativo 3 .
-1
1
1
2.4 fl(-1) =
= - ; logo, o declive da reta tangente é - .
2
2
1+3
Tem-se que f(-1) = 1 + 3 = 2 . Substituindo as coordenadas do ponto:
1
3
2 = - × (-1) + b + b =
2
2
1
3
Logo, a equação da reta tangente é y = - x +
.
2
2
541
000707 502-542.indd 541
04/07/16 13:11
preparação para o teste 10
3
Numa pirâmide quadrangular regular é inscrito um prisma
quadrangular de modo que uma das faces do prisma esteja
contida na base da pirâmide e cada vértice da face oposta
pertença a uma das arestas da pirâmide, como mostra
a figura ao lado.
Sabe-se que a pirâmide tem 6 metros de altura e a aresta da base, 2 metros.
Seja x , 0 < x < 2 , a medida da aresta da base do prisma.
u4p187h3
3.1 Justifique que o volume do prisma é dado em função de x por:
v(x) = x2(6 - 3x)
3.2
Determine as dimensões do prisma quadrangular de maior volume que
se pode inscrever na pirâmide.
3.1 Seja h a altura do prisma, então, v(x) = Abase × h = x2 × h .
Na figura, observa-se uma pirâmide mais pequena, semelhante à pirâmide
inicial, cuja base é a face do topo do prisma. Então, sendo a a altura
desta pirâmide, tem-se:
a
6
x = 2 + a = 3x
Assim, h = 6 - 3x e, portanto:
v(x) = x2(6 - 3x)
3.2 vl(x) = (x2)l (6 - 3x) + x2(6 - 3x)l = 2x(6 - 3x) - 3x2 =
= 12x - 6x2 - 3x2 = 12x - 9x2
Em alternativa:
v(x) = 6x2 - 3x3
vl(x) = 12x - 9x2
Tem-se que:
vl(x) = 0 + 12x - 9x2 = 0 + x(4 - 3x) = 0 + x = 0 0 x =
4
3
Assim:
x
0
v'(x)
0
v
Mín.
+
4
3
0
-
0
3
Máx.
4
Mín.
2
Logo, as dimensões do prisma quadrangular de maior volume são
x =
4
m e h=2m.
3
542
000707 502-542.indd 542
04/07/16 13:11
UNIDADE
18
AMOSTRAS BIVARIADAS.
RETA DE MÍNIMOS
QUADRADOS
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
1
Relativamente às situações apresentadas em seguida, identifique se existe
alguma relação estatística e, caso essa resposta seja afirmativa, justifique
a sua tendência.
a)Consumo de combustível de uma viatura e distância percorrida.
b)Temperatura de um determinado local e o número de animais de estimação.
c)Notas de um aluno nas disciplinas de Matemática A e de Física
e Química A.
d)Consumo de sal de uma pessoa e a sua pressão arterial.
a)Sim, pois à medida que a distância percorrida aumenta, há um maior
consumo de combustível.
b)Não há relação estatística.
c)Sim, pois, na generalidade dos alunos, verifica-se uma associação entre
as classificações na disciplina de Física e Química A e as classificações
na disciplina de Matemática A. Por exemplo, quando a classificação de uma
tende a ser mais alta, a outra é igualmente alta; e quando uma é mais baixa,
a outra tende a ser baixa.
d)Sim, pois o aumento da pressão arterial está associado a um aumento
do consumo de sal.
Representando, num referencial o.n., os pontos cujas coordenadas são
os elementos da amostra (x, y) , deduza em qual das alíneas seguintes
+
existe uma correlação positiva entre as variáveis x e y .
2
a)((13, 4), (15, 9), (14, 6), (16, 8))
b)((22, 8), (26, 8), (20, 9), (24, 6))
c)((40, 3), (50, 1), (60, 4), (70, 2))
543
000707 543-575 U18.indd 543
04/07/16 15:17
AMOSTRAS BIVARIADAS. RETA DOS MÍNIMOS QUADRADOS
a) y
10
8
6
4
2
0
10 12 14 16 18 20
c)
y
10
5
0
35 40 45 50 55 60 65 70 x
x
Há uma correlação positiva.
Não há uma correlação positiva.
b) y
10
8
u5p404h1s
6
4
2
0
18 20 22 24 26 28 x
u5p405h2s
Não há uma correlação positiva.
3
u5p405h1s
As despesas mensais com alimentação, obviamente, dependem de vários
fatores, tais como a dimensão do agregado familiar, os gastos dos elementos
do agregado, além do rendimento. Recolheu-se informação sobre oito famílias,
tendo-se obtido os resultados seguintes.
Rendimento/€
(x)
Despesas/€
(y)
1700
430
2250
500
950
200
2800
550
750
170
1400
410
2600
540
3000
600
3.1Represente os dados num referencial ortonormado e deduza se se trata
ou não de uma correlação positiva.
3.2Qual das duas variáveis é a variável resposta e qual é a variável
explicativa? Justifique.
544
000707 543-575 U18.indd 544
04/07/16 15:17
UNIDADE
Domínio 5 ESTATÍSTICA
18
3.3Calcule a média e o desvio-padrão de cada variável e compare a dispersão
3.1
Despesas/€
das duas.
1000
500
0
1000
2000 3000
Rendimento/€
Pode-se deduzir que há uma correlação positiva entre as duas variáveis.
3.2A variável explicativa é o rendimento, e a variável resposta são as
despesas,u5p405h3s
uma vez que quanto maior for o rendimento familiar maior será,
naturalmente, o valor das despesas associadas, pois a família terá maior
poder de compra e assim comprará mais serviços ou produtos.
1700 + 2250 + 950 + 2800 + 750 + 1400 + 2600 + 3000
=
8
= 1931,25
3.3 x =
430 + 500 + 200 + 550 + 170 + 410 + 540 + 600
= 425
8
y =
(xi - x)2
yi
(yi - y )2
xi
xi - x
1700
-231,25
53 476,6
430
5
25
2250
318,75
101 601,6
500
75
5625
950
-981,25
962 851,6
200
-225
50 625
2800
868,75
754 726,6
550
125
15 625
750
-1181,25
1 395 351,6
170
-255
65 025
1400
-531,25
282 226,6
410
-15
225
2600
668,75
447 226,6
540
115
13 225
3000
1068,75
1 142 226,6
600
175
30 625
yi - y
Então:
SSx á 5 139 688 e Sx á
5 139 688
á 856,879
7
181 000
á 160,802
7
A dispersão do rendimento familiar é superior à dispersão das despesas.
SSy = 181 000 e Sy =
545
000707 543-575 U18.indd 545
04/07/16 15:17
AMOSTRAS BIVARIADAS. RETA DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Considere os pontos A(1; 3,1) , B(2, 4) e C(6; 7,6) e a reta s de equação:
4
y = 0,8x + 2,5
4.1Determine o desvio vertical de cada um dos pontos em relação à reta s .
4.2Determine a soma dos:
a) desvios.
b)quadrados dos desvios.
4.3Mostre que o valor médio das abcissas dos três pontos apresentados
é 3 e, tendo por base a propriedade apresentada ao lado, deduza o valor
da média das ordenadas dos três pontos.
4.1 eA = yA - ax A - b = 3,1 - 0,8 × 1 - 2,5 = -0,2
eB = yB - axB - b = 4 - 0,8 × 2 - 2,5 = -0,1
eC = yC - axC - b = 7,6 - 0,8 × 6 - 2,5 = 0,3
O desvio vertical de cada um dos pontos em relação à reta s é,
respetivamente, -0,2 , -0,1 e 0,3 .
4.2 a) eA + eB + eC = -0,2 + (-0,1) + 0,3 = 0
b) eA2 + eB2 + eC2 = (-0,2)2 + (-0,1)2 + (0,3)2 = 0,14
n
/x
i
1+2+6
=3
n =
3
y = ax + b = 0,8 × 3 + 2,5 = 4,9
4.3 x =
i =1
5
Considere a amostra (x, y) definida por:
+
^(3, 5), (8, 0), (5, 2), (4, 5)h
Represente os dados da amostra num referencial ortogonal e deduza a equação
reduzida da reta que minimiza a soma dos quadrados dos desvios verticais
e tal que a soma dos desvios verticais em relação à reta seja zero.
y
5
4
3
2
1
0
546
000707 543-575 U18.indd 546
1
2 3
4 5 6
7
8 x
u5p407h1s
06/07/16 17:36
UNIDADE
Domínio 5 ESTATÍSTICA
18
3+8+5+4
5+0+2+5
=5 e y=
= 3 , então,
4
4
a função que permite calcular a soma dos quadrados dos desvios em função
de a é:
f(a) = ^5 - 3 - a(3 - 5)h2 + ^0 - 3 - a(8 - 5)h2 +
Como x =
+ ^2 - 3 - a(5 - 5)h2 + ^5 - 3 - a(4 - 5)h2 =
= (2 + 2a)2 + (-3 - 3a)2 + (-1)2 + (2 + a)2 =
= 4 + 8a + 4a2 + 9 + 18a + 9a2 + 1 + 4 + 4a + a2 =
= 14a2 + 30a + 18
Como a função f é quadrática e o coeficiente do termo de maior grau
é positivo, sabe-se que tem um mínimo absoluto e, porque f é diferenciável,
esse mínimo é atingido no ponto a tal que f'(a) = 0 .
15
.
Como f'(a) = 28a + 30 , tem-se f'(a) = 0 + a = 14
Então, a soma dos quadrados dos desvios verticais é mínima quando
15
a=14
15
117
n=
Assim, como b = 3 - 5a , tem-se b = 3 - 5 × d.
14
14
Portanto, a equação reduzida da reta que minimiza a soma dos quadrados
dos desvios verticais e tal que a soma dos desvios verticais em relação à reta
seja zero é:
y=-
117
15
x+
14
14
Tarefa 1
Justifique que a expressão da derivada da função real de variável real definida por
/ `y
n
f(a) =
i
i=1
é
- y - a (xi - x )j
2
fl(a) = -2e / `(yi - y ) (xi - x )j - a / (xi - x )2 o
n
n
i=1
i=1
n
/ xy
i i
Conclua que f atinge um mínimo absoluto em a =
n
/y
i
x=
n
i
, y=
i=1
n
n
e SSx
, em que:
SSx
n
/x
i=1
- nx y
i=1
= /x
2
i
- nx
2
i=1
547
000707 543-575 U18.indd 547
04/07/16 15:17
AMOSTRAS BIVARIADAS. RETA DOS MÍNIMOS QUADRADOS
n
2 '
f'(a) = e / ` yi - y - a (xi - x )j o =
i=1
n
= / 6-2^yi - y - a(xi - x)h(xi - x)@ =
i =1
n
= / 6-2^(yi - y)(xi - x) - a(xi - x)2h@ =
i =1
n
n
= -2f/ 6(yi - y)(xi - x)@ - a/ (xi - x)2p
i =1
i =1
/ 7(y
n
i
i =1
f'(a) = 0 + a =
- y) (xi - x)A
n
/ (x
i
/ 8x y
n
i i
=
i =1
=
- x)2
i =1
- xi y - yi x + x yB
/_ x
- xi
n
2
i
i =1
=
n
/xy
- nx y - nx y + nx y
i i
=
i =1
/_ x
n
i
i =1
=
- xi
2
n
/ xy
i i
=
- nx y
i =1
SSx
a é um minimizante, pois f'(a) < 0
n
H i =1
em
/ xy
i i
- nx y
SSx
H
em -3 ,
n
/ xy
i i
- nx y
i =1
SSx
>e
f'(a) > 0
>
, +3 .
6
Utilizando os dados do exercício 3, da página 544, deduza a equação reduzida
da reta de mínimos quadrados dos desvios verticais.
Para estimar os parâmetros da reta de mínimos quadrados ajustada à nuvem
de pontos que representa a amostra de dados bivariados relativa ao rendimento
familiar e às despesas com alimentação, pode-se construir a seguinte tabela:
548
000707 543-575 U18.indd 548
04/07/16 15:17
UNIDADE
Domínio 5 ESTATÍSTICA
18
i
xi
yi
xi yi
x i2
1
1700
430
731 000
2 890 000
2
2250
950
500
1 125 000
190 000
5 062 500
902 500
7 840 000
562 500
3
4
200
550
5
2800
750
170
1 540 000
127 500
6
1400
410
574 000
1 960 000
7
2600
540
1 404 000
6 760 000
8
3000
600
1 800 000
9 000 000
/
15 450
3400
7 491 500
34 977 500
Obtém-se, então:
8
/x
i
x=
=
15 450
= 1931,25
8
=
3400
= 425
8
i =1
8
8
/y
i
y=
i =1
n
8
/ xy
i i
a=
- nx y
i =1
n
/x
2
i
=
- nx
2
7 491 500 - 8 # 1931,25 # 425
á 0,18
34 977 500 - 8 # 1931,25 2
i =1
b á 425 - 0,18 × 1931,25 = 77,375
Portanto, a equação reduzida da reta de mínimos quadrados é:
y = 0,18x + 77,375
Um psicólogo escolar perguntou a cinco alunos, aleatoriamente, quanto tempo
tinham dormido na noite anterior a fazerem um teste de perceção de 10 diferenças
entre duas figuras aparentemente iguais.
7
Tempo de dormida (em horas)
Número de diferenças detetadas
5
5
9
10
6
7
8
8
8
9
549
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AMOSTRAS BIVARIADAS. RETA DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Considerando o número de diferenças detetadas como variável resposta,
resolva as questões seguintes.
a)Obtenha a equação reduzida da reta de mínimos quadrados. Utilize valores
aproximados às milésimas.
b)Qual deverá ser o número de diferenças detetadas para um aluno que durma
7 horas?
c)Justifique que o modelo obtido na alínea a) não pode ser utilizado para
predizer o número de diferenças detetadas por um aluno que durma
4 horas.
a)Tem-se o número de diferenças detetadas como variável resposta, então,
obtém-se a seguinte amostra:
(x, y) = ^(5, 5), (9, 10), (6, 7), (8, 8), (8, 9)h
+
Assim:
n
/x
i
2
= 52 + 92 + 62 + 82 + 82 = 270
i =1
n
/ xy
i i
a=
i =1
n
/x
2
i
i =1
=
- nx y
=
- nx
2
39
36
#
5
5
=
2
36
n
270 - 5 # d
5
293 - 5 #
293 - 5 # 7,8 # 7,2
á 1,1296
270 - 5 # 51,84
b á 7,8 - 1,1296 × 7,2 á -0,3331
Pelo que a equação reduzida da reta de mínimos quadrados, utilizando
valores aproximados às milésimas, é y = 1,130x - 0,333 .
b) y = 1,130 × 7 - 0,333 = 7,577 á 8 diferenças
c)O ajustamento da reta foi feito tendo como base valores da variável
explicativa pertencentes ao intervalo [5, 8] . Para valores fora deste
intervalo não há evidência de que a relação entre as variáveis seja linear.
É, portanto, arriscado utilizar a equação da reta de mínimos quadrados
da alínea a) para predizer o número de diferenças detetadas por um aluno
que durma 4 horas (pois este valor está fora deste intervalo).
Numa zona agrícola com um determinado
declive foi realizado um estudo acerca
da influência da taxa do fluxo das águas (L/s)
na erosão do solos através da quantidade
de massa de solo transportado (kg).
8
550
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UNIDADE
Domínio 5 ESTATÍSTICA
Foram feitas cinco medições
das quais resultaram os dados
da tabela ao lado.
18
Taxa de fluxo
Solo erodido
0,31
0,82
8.1Represente a nuvem de pontos
0,85
1,95
num referencial ortonormado.
1,26
2,18
2,47
3,01
3,75
6,07
8.2Utilizando uma calculadora
gráfica e considerando a taxa
de fluxo como variável resposta:
a)determine a equação reduzida da reta de mínimos quadrados que se
ajusta a esta nuvem de pontos.
b)estime, utilizando o modelo deduzido na alínea 8.2. a), um valor
possível para a taxa de fluxo, sabendo que o solo erodido é de
4,5 kg .
Apresente os resultados aproximados às centésimas.
8.1
Solo erodido
Adaptado do Caderno de Apoio do 11.º ano
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4 Taxa de fluxo
8.2 a)Recorrendo à calculadora gráfica, obtém-se y = 0,67x - 0,16
NOTA: Na introdução de dados, deve-se colocar na lista 1 (List 1)
u5p410h1s
os valores do solo erodido e na lista 2 (List 2) a taxa de fluxo.
b)y = 0,67 × 4,5 - 0,16 á 2,86
9
Considere as classificações obtidas
por quatro alunos nas disciplinas
de Matemática e de Físico e Química,
no final do 2.º período.
Utilizando a calculadora gráfica,
determine, com aproximação
às centésimas, o coeficiente
de correlação linear.
Classificação
obtida
a Matemática
Classificação
obtida a Física
e Química
8
9
12
10
15
17
13
12
551
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AMOSTRAS BIVARIADAS. RETA DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Introdução de dados
Escolher o menu STAT e na lista 1 (List 1) introduzir os valores de xi
(Classificação Mat.) e os de yi (Classificação F. Q.) na lista 2 (List 2).
Estimar o coeficiente de correlação
Pressionar CALC, seguida de LinReg(ax+b).
Se não obtiver o valor de r , deve proceder do seguinte modo:
Pressionar a tecla 2ND , seguida da tecla 0 (acede ao catálogo);
deslocar o cursor para baixo até selecionar DiagnostiicOn e, por fim,
pressionar ENTER duas vezes.
Repetindo agora os procedimentos para obter os parâmetros da equação.
Assim, recorrendo à calculadora gráfica, obtém-se o seguinte valor para
o coeficiente de regressão linear: r = 0,85898443 á 0,86 .
NOTA: Neste exercício apresenta-se a resolução com recurso a apenas
um modelo de calculadora, a título de exemplo.
Justifique que o coeficiente de correlação linear de uma amostra de dados
quantitativos (x, y) é dada pela fórmula
+
vx
r=a v ,
y
em que vx e vy são os desvios-padrão das amostras x e y .
+ +
NOTA: Dada uma amostra x de dimensão n ! IN ,
+
SSx
vx =
n-1
10
Tem-se:
n
/ xy
i i
Assim:
- nx y
i =1
a=
SSx
n
+ / xi yi - nx y = aSSx
i =1
n
/ (x
i
r=
=a
- x) (yi - y)
i =1
SSxSSy
=
aSSx
SSxSSy
=
a SSx2
SSxSSy
=
SSx
vx
vx n - 1
=a
=av
SSy
y
vy n - 1
Numa determinada amostra bivariada (x, y) sabe-se que:
+
• x=3 e y=5
• SSx = 0,8 e SSy = 0,2
• a = 0,47
11
552
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UNIDADE
Domínio 5 ESTATÍSTICA
a) Determine a equação reduzida da reta de mínimos quadrados.
18
b) Determine o coeficiente de correlação linear e justifique se a associação
linear entre as variáveis é forte ou fraca.
a) Pelo enunciado, a = 0,47, então, b = y - a × x = 5 - 0,47 × 3 = 3,59 .
Assim, a equação reduzida da reta de mínimos quadrados é:
y = 0,47x + 3,59
SSx
0,8
b) r = a
= 0,47
= 0,94
SSy
0,2
A associação linear entre as variáveis é forte, pois o coeficiente
de correlação está próximo de 1 .
Será que as alturas entre os dois elementos
de um mesmo casal são semelhantes?
12
Considere a tabela ao lado, que mostra as alturas,
em centímetros, de mulheres e homens de seis
casais diferentes, escolhidos, aleatoriamente,
de entre casais da cidade de Santarém.
12.1Represente os dados num referencial
ortonormado e refira se é razoável
a existência de uma relação linear entre
estas duas variáveis.
12.2Determine, recorrendo à calculadora
gráfica, o coeficiente de correlação linear
aproximado às centésimas.
12.3Se todas as mulheres escolhessem um homem
Mulher
Homem
165
168
171
186
167
165
165
177
161
170
170
181
12.1
Altura homem
mais alto do que elas 5 cm , qual seria o coeficiente de correlação linear?
180
160
140
120
140 160 180 Altura mulher
Embora não seja muito forte, é razoável a existência de uma relação
linear entre estas duas variáveis.
12.2 Recorrendo à calculadora gráfica, obtém-se o seguinte valor para
o coeficiente de regressão linear:
r á 0,6698325628 á 0,67
u5p413h1s
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553
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AMOSTRAS BIVARIADAS. RETA DOS MÍNIMOS QUADRADOS
12.3Seja x a variável associada aos homens, e y a variável associada
às mulheres.
Então, yi - y = xi - x e SSx = SSy . Daqui conclui-se que:
6
/ (x - x) (y - y)
i
i
i =1
SSx
=1
SSx SSy
SSx2
Assim, se todas as mulheres escolhessem um homem mais alto do que
elas 5 cm , o coeficiente de correlação linear seria igual a 1 .
r=
=
AVALIAÇÃO GLOBAL DE CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Uma amostra de dados bivariados (x, y) , em que x = 1 e y = 2 , tem
+
coeficiente de correlação r = -0,9 .
Qual das equações seguintes pode definir a reta de mínimos quadrados?
(A)y = -x + 2
(B)3x - y = 4
(C) 2x + y = 4
(D)y = x + 1
b = y - ax + b = 2 - a e r < 0 ; logo, a < 0 .
Na opção (C), tem-se a = -2 < 0 e b = 4 = 2 - (-2) .
A opção correta é a (C).
2
Na figura seguinte estão representadas duas nuvens de pontos, A e B.
A
y
B
45
y
200
40
150
35
30
100
25
20
O
100
300 x
50
O 20 30 40 50 60 70 x
Considere as seguintes afirmações:
I. As nuvens A e B correspondem a correlações lineares do mesmo tipo.
II. A correlação é mais forte em A do que em B.
u5p205h1
u5p205h2
554
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UNIDADE
Domínio 5 ESTATÍSTICA
Pode-se, então, afirmar que:
18
(A)As afirmações I e II são verdadeiras.
(B)A afirmação I é verdadeira e a II é falsa.
(C)As afirmações I e II são falsas.
(D) A afirmaão II é verdadeira e a I é falsa.
A nuvem A corresponde a uma correlação linear negativa, e a nuvem B, a uma
correlação positiva.
A opção correta é a (C).
3
Uma amostra de dados bivariados (x, y) é tal que SSx = 182 e
+
SSY = 2777,6923 .
Sabendo que a reta de mínimos quadrados é definida pela equação
y = 3,8571x + 5,7033 , indique o valor aproximado do coeficiente
de correlação linear.
(A)-0,7321
(B) 0,256
(C)0,5027
(D)0,9873
r=a
SSx
= 3,8571
SSy
182
á 0,9873
2777,6923
A opção correta é a (D).
4
Relativamente à nuvem de pontos representada, qual dos números seguintes
pode ser o coeficiente de correlação linear das duas variáveis?
y
O
(A)-0,4
(B)-0,9
x
(C)0,6
(D) 0,95
A opção correta é a (C).
u5p205h3
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555
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Avaliação global de conhecimentos
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
5
Os coeficientes de correlação linear correspondentes a cada uma
das distribuições representadas são -0,01 , -0,86 e 0,89 .
I
II
III
Faça corresponder a cada nuvem de pontos o seu coeficiente de correlação.
u5p206h1
Justifique
a sua resposta.
u5p206h2
u5p206h3
O coeficiente de correlação -0,01 corresponde à distribuição representada
em (II), uma vez que não tem uma correlação aparente e, por isso, o seu
coeficiente está muito próximo de 0 .
O coeficiente de correlação -0,86 corresponde à distribuição representada
em (III), uma vez que há claramente uma correlação negativa entre
as variáveis.
O coeficiente de correlação 0,89 corresponde à distribuição representada
em (I), uma vez que há claramente uma correlação positiva entre as variáveis.
6
Na tabela seguinte encontram-se alguns dados sobre o campeonato da
Primeira Liga de Futebol na época 2014-2015. Os dados apresentados dizem
respeito à pontuação obtida ( P ) , aos golos marcados ( GM ) e aos golos
sofridos ( GS ) por cada equipa.
Equipa
Benfica
P GM GS
Equipa
P GM GS
Equipa
47 45 46 Boavista
Sporting
85 86 16 Nacional
Paços
82 74 13
Ferreira
76 67 29 Marítimo
SC Braga
58 55 28 Rio Ave
43 38 42 Arouca
FC Porto
P GM GS
34 27 50
47 40 45 V. Setúbal 29 24 56
44 46 45 Académica 29 26 46
28 26 50
V. Guimarães 55 50 35 Moreirense 43 33 42 Gil Vicente 23 25 60
Estoril
Belenenses
48 34 35
40 38 56 Penafiel
22 29 69
Praia
556
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04/07/16 15:17
Domínio 5 ESTATÍSTICA
6.1Nas figuras seguintes estão representadas duas nuvens, I e II, relativas
aos dados da tabela.
Ambas têm como variável explicativa P ; numa a variável resposta é GM ;
na outra, GS .
Indique, justificando, a variável resposta em cada uma das nuvens dadas.
I
II
y
80
y
80
60
60
40
40
20
20
O
10 20 30 40 50 60 70 80 x
O
10 20 30 40 50 60 70 80 x
6.2Determine com o auxílio da calculadora gráfica o coeficiente de
correlação linear para cada uma das amostras (P, GM) e (P, GS) .
+
+
6.1A variável resposta na figura I é GS , uma vez queu5p206h5
quanto maior for
a pontuação menor
é o número de golos sofridos.
u5p206h4
A variável resposta na figura II é GM , uma vez que quanto maior for
a pontuação maior é o número de golos marcados.
6.2Na amostra (P, GS) tem-se r á -0,932 e na amostra (P, GM) tem-se
r á 0,965 .
+
+
7
O Sr. Silva aquece a sua casa com gás natural.
A quantidade de gás utilizada depende da
temperatura exterior e o Sr. Silva pretende fazer
um estudo dos gastos durante os 9 meses em que
se observam menores temperaturas e estabelecer,
assim, uma previsão para os gastos em função
da temperatura exterior. Na tabela seguinte estão registadas as temperaturas
médias observadas em cada um dos meses (em graus Celsius) e o respetivo
volume de gás despendido pelo Sr. Silva (em metros cúbicos).
Mês
Out. Nov. Dez. Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun.
Temperatura (°C)
16,1 12,4 10,3 8,9 10,1 12,8 13,2 15,9 16,4
Volume do gás (m3) 0,01 0,10 0,24 0,26 0,19 0,09 0,05 0,03 0,01
7.1Qual deve ser a variável explicativa e a variável resposta?
557
000707 543-575 U18.indd 557
04/07/16 15:17
Avaliação global de conhecimentos
7.2Utilize uma folha de cálculo ou uma calculadora gráfica para responder
às seguintes questões:
7.2.1Represente os dados num referencial ortonormado e diga se
é razoável a existência de uma relação linear entre estas duas
variáveis.
7.2.2Determine a média dos valores de cada uma das amostras
representadas. Apresente os resultados com arredondamento
às centésimas.
7.2.3Determine o declive da reta de mínimos quadrados que se ajusta
a esta nuvem de pontos. Apresente o resultado com arredondamento
às centésimas.
7.2.4Determine a equação reduzida da reta de mínimos quadrados,
arredondando os parâmetros às centésimas.
7.2.5Utilizando a equação obtida em 7.2.4, determine qual o consumo
esperado para um mês em que a temperatura média seja de 10 ºC .
Adaptado do Caderno de Apoio do 11.º ano
7.1A variável explicativa é a temperatura exterior e a variável resposta é o
volume do gás utilizado, uma vez que se pretende estudar o volume de gás
gasto em função da temperatura.
7.2 7.2.1
As duas variáveis parecem ter uma relação linear negativa.
7.2.2 Seja x a variável temperatura e y , a variável volume de gás:
u5p417h1
x = 12,9 e y . 0,11
7.2.3 a = -0,03
7.2.4 y = -0,03x + 0,54
7.2.5 y = -0,03 × 10 + 0,54 = 0,24
O consumo esperado será de 0,24 m3 de gás natural.
558
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04/07/16 15:17
Domínio 5 ESTATÍSTICA
8
Um professor de Matemática perguntou a 10 alunos quanto tempo estudaram
para um determinado teste e estabeleceu uma correspondência entre o número
de horas de estudo e as classificações, em percentagem, obtidas no referido
teste.
Os dados encontram-se resumidos na tabela apresentada.
N.º de horas
6
7
7
8
9
10
10
12
12
15
de estudo
Classificação
45,3 52,0 48,1 56,6 64,9 59,8 80,3 75,3 60,5 92,6
(%)
8.1Determine sem recorrer à calculadora, exceto para eventuais cálculos
numéricos, a equação reduzida da reta de mínimos quadrados para esta
amostra e o coeficiente de correlação linear. Utilize valores aproximados
às milésimas.
8.2Qual deverá ser a classificação esperada para um aluno que tenha
estudado 13 horas?
8.1Seja x a variável que representa o número de horas estudadas e y ,
a variável que representa a classificação obtida. Tem-se:
6 + 7 + 7 + 8 + 9 + 10 + 10 + 12 + 12 + 15
= 9,6
10
45,3+52+48,1+56,6+64,9+59,8+80,3+75,3+60,5+92,6
y =
=
10
= 63,54
x =
xi
xi - x
(xi - x)2
yi
yi - y
(yi - y )2
xi yi
6
-3,6
12,96
45,3
-18,24 332,6976
271,8
7
-2,6
6,76
52,0
-11,54 133,1716
364
7
-2,6
6,76
48,1
-15,44 238,3936
336,7
8
-1,6
2,56
56,6
-6,94
48,1636
452,8
9
-0,6
0,36
64,9
1,36
1,8496
584,1
10
0,4
0,16
59,8
-3,74
13,9876
598
10
0,4
0,16
80,3
16,76 280,8976
803
12
2,4
5,76
75,3
11,76 138,2976
903,6
12
2,4
5,76
60,5
9,2416
726
15
5,4
29,16
92,6
29,06 844,4836
1389
-3,04
Assim, SSx = 70,4 e SSy = 2041,184 .
559
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04/07/16 15:17
Avaliação global de conhecimentos
Logo:
n
/ xy
i i
a=
- nx y
i =1
SSx
=
6429 - 10 # 9,6 # 63,54
á 4,676
70,4
b = y - ax á 63,54 - 4,6756 × 9,6 á 18,654
Assim, a equação da reta de mínimos quadrados é y = 4,6756x + 18,654
e r = a
SSx
= 4,676
SSy
70,4
á 0,868
2041,184
8.2 y = 4,676 × 13 + 18,654 á 79,4
A classificação esperada é de 79,4 % .
9
Para realizar um trabalho, o Diogo
consultou os registos referentes
à esperança média de vida à nascença
para homens e mulheres de alguns
países da União Europeia.
Organizou esses registos numa tabela
na qual x designa o número médio
de anos de vida esperados à nascença
para as mulheres e y designa
o número médio de anos de vida
esperados à nascença para os homens.
9.1O Diogo não registou na tabela
os valores referentes a alguns
países da União Europeia,
como, por exemplo, a Áustria.
Esperança média de vida à
nascença para homens e mulheres
Mulheres Homens
Países
(x)
(y)
Portugal
81,7
75,5
Espanha
85,0
78,9
França
84,3
77,5
Irlanda
81,6
76,8
Reino Unido
81,7
77,6
Bélgica
83,5
77,5
Holanda
82,3
78,3
Alemanha
82,4
77,2
Itália
84,1
78,8
Fontes: INE e Eurostat
Admita que os valores
da esperança média de vida à nascença para homens e mulheres referentes
à Áustria seguem o modelo de regressão linear obtido a partir dos dados
da tabela.
Estime, utilizando as capacidades gráficas da calculadora, o valor
da esperança média de vida à nascença de um homem austríaco, sabendo
que a esperança média de vida à nascença de uma mulher austríaca
é 83,0 anos.
Apresente os valores dos parâmetros da equação da reta de mínimos
quadrados com, pelo menos, seis casas decimais. Apresente o resultado
final arredondado às décimas.
560
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Domínio 5 ESTATÍSTICA
9.2Ao saber que a esperança média de vida à nascença de um homem grego
é 77,5 anos, o Diogo, usando a equação obtida na alínea anterior,
concluiu que a esperança média de vida de uma mulher grega à nascença
seria, aproximadamente, 82,8 anos.
No entanto, a professora disse-lhe que o seu raciocínio não estava correto.
Determine o valor correto explicando como procedeu.
Adaptado do Exame Nacional de Matemática B, 2010
9.1A equação da reta de mínimos quadrados é y = 0,549958x + 31,9445704 ;
logo:
y = 0,549958 × 83,0 + 31,9445704 á 77,6
Assim, espera-se que um homem austríaco viva, em média, 77,6 anos.
9.2Ao trocar a variável explicativa com a variável resposta, tem de se
determinar uma nova reta de mínimos quadrados. Assim, obtém-se
y = 0,828808x + 18,667647
Logo:
y = 0,828808 × 77,5 + 18,667647 á 82,9
A resposta correta seria 82,9 anos.
10
Realizou-se uma experiência para analisar
a associação entre o índice de octano da gasolina
e a adição de um novo aditivo.
Para isso, foram realizados ensaios com diferentes
valores percentuais de aditivos, obtendo-se a equação
y = 0,886x + 79,7
para a reta de mínimos quadrados, em que a variável
explicativa é a percentagem de aditivo e a variável
resposta, o índice de octano.
Admita que após o cálculo do declive e ordenada
na origem da reta de mínimos quadrados se perdeu um dos valores do índice
de octano, ficando-se com a seguinte amostra:
(x, y) = ^(1; 80,5), (2; 81,6), (3; 82,1), (4; ?), (5; 83,9), (6; 85,0)h
+
10.1 Estime o valor perdido.
10.2 Determine o valor perdido.
561
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Avaliação global de conhecimentos
10.1 y = 0,886 × 4 + 79,7 á 83,2
x=
10.2 1+2+3+4+5+6
= 3,5
6
b = y - ax + 79,7 = y - 0,886 × 3,5 + y = 82,801 +
80,5 + 81,6 + 82,1 + y4 + 83,9 + 85
= 82,801 +
+
6
+ y4 + 413,1 = 496,806 + y4 á 83,7
11
Efetuou-se um estudo sobre a fluidez
de tráfego num túnel rodoviário.
Foram feitas dez observações para
recolher dados sobre o número
de veículos por quilómetro, variável x ,
e a velocidade de circulação dos veículos
em km/h , variável y .
y
60
50
40
30
20
10
0
5
15
25
35
45
55 x
Na figura ao lado, estão representados os dados obtidos e a reta de mínimos
quadrados cuja equação reduzida é y = -0,8847x + 69,372 .
11.1À entrada do túnel existe informação sobre o número de veículos por
quilómetro. O Francisco, ao entrar no túnel, reparou que existiam
35 veículos por quilómetro. Sabendo que o túnel tem 2,3 km
de comprimento, faça uma previsão do tempo, em minutos,
que
u5p209h1
o Francisco demorará a atravessar o túnel.
11.2Determine o coeficiente de correlação linear sabendo que Sx = 9,015
e Sy = 8,36 .
Apresente o resultado arredondado às centésimas. Sempre que
nos cálculos intermédios proceder a arredondamentos conserve quatro
casas decimais.
11.1 y = -0,8847 × 35 + 69,372 = 38,4075 km/h
2,3
á 0,0599 h á 3,59 min .
38,4075
SSx
SSx
Sx2
9
11.2 r=a
=a
=a
=
SSy
SSy
Sy2
9
Sx
9,015
= a
= -0,8847 ×
á -0,95
Sy
8,36
Assim,
562
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Domínio 5 ESTATÍSTICA
12
Número de lugares por vender
O diagrama da figura mostra uma forte associação negativa entre o número
de sócios do Grupo Desportivo de Altivo (GDA) no final de alguns anos
e o número de lugares por vender nos jogos de futebol.
70 000
60 000
50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
0
10 000 20 000 30 000 40 000 50 000
Número de sócios do GDA
Relativamente à figura, apenas uma das opções seguintes está correta.
Opção I
r = -0,987
a = 1,744
b = 10 354,123
Opção
II
u5p209h2
r = -0,987
a = -0,558
b = 65 346,152
Opção III
r = -0,087
a = -1,744
b = 65 346,152
Em cada uma das opções, r representa o coeficiente de correlação linear
e a e b representam os parâmetros da reta de regressão linear y = ax + b .
12.1Identifique a opção correta e apresente uma razão para rejeitar cada uma
das restantes opções.
12.2Estime o número de lugares para vender nos jogos de futebol quando
o número de sócios atingiu os 50 000 .
Adaptado do Exame Nacional de MACS, 2015
12.1 A opção correta é a II.
A opção I não é a correta porque o coeficiente de correlação linear e o
parâmetro a têm sempre o mesmo sinal; e a opção III não está correta
porque r = -0,087 é representativo de uma correlação fraca e a que
se tem na figura é forte.
12.2 y = -0,558 × 50 000 + 65 346,152 á 37 446
Ficarão por vender, aproximadamente, 37 446 lugares .
563
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PREPARAÇÃO PARA O TESTE 11
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 11
I
Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
Num referencial o.n. Oxyz , considere o ponto P de abcissa 1 e cota -1 .
Considere também o vetor u de coordenadas ^ 2 , 2,
2h .
Sabe-se que o ângulo entre os vetores OP e u é de 60° .
Qual é a ordenada do ponto P ?
(A) 0
(B) 1
(C)
2
(D) 2
OP $ u = OP u cos 60° +
+ (1, y, -1) $ _ 2 , 2,
+
2 + 2y -
2=
2 i = 1 + y2 + 1 ×
2 + y2 × 2 2 ×
2y
2+4+2 ×
1
+
2
1
+
2
= 2 + y 2 & 2y2 = 2 + y2 + y2 = 2
2
A opção correta é a (C).
+
2
As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado são termos
consecutivos de uma progressão geométrica.
Então, a área do quadrado é igual a:
(A) 16
(B) 64
(C) 144
(D) 256
4l
l2
= 4 ; logo, a razão é 4 . Assim,
= 4 + l = 16 .
l
4l
A opção correta é a (D).
3
De uma função h de domínio IR- sabe-se que a reta de equação y = -1
é uma assíntota ao seu gráfico.
2x + h (x)
?
Qual é o valor de lim
x
x " -3
(A) -3
(B) -1
(C) 1
(D) 2
h (x)
2x + h (x)
= lim 2 + x = 2 + 0 = 2
x
x " -3
x " -3
A opção correta é a (D).
lim
564
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Domínio 5 ESTATÍSTICA
4
Considere a função f real de variável real definida analiticamente por
f(x) = x2 + x
e a reta tangente ao gráfico de f paralela à reta de equação
y+x=0
As coordenadas do ponto de tangência são:
(A) (2, 6)
(C) (0, 0)
(B) (1, 2)
(D) (-1, 0)
O declive da reta tangente é -1 ; logo:
f'(x) = -1 + 2x + 1 = -1 + x = -1
A opção correta é a (D).
5
A antiguidade ( x ) de seis automóveis, em anos, e o número de quilómetros
( y ) , em milhares, estão resumidos na tabela seguinte:
x
1
2
4
5
6
7
y
15
15
40
50
65
70
Considerando a variável y como variável resposta, o coeficiente de correlação
linear entre as variáveis x e y é, aproximadamente, de:
(A) 0,99
(C) 0,95
(B) 0,97
(D) 0,93
A opção correta é a (A).
II
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
1
Na figura estão representados, em referencial o.n. Oxyz ,
um prisma quadrangular e uma pirâmide com a mesma
base e com altura igual a metade de BE . A base dos
sólidos [ABCO] pertence ao plano xOy e o volume da
pirâmide é igual a 36 cm3 .
z
F
D
E
V
C
O
1.1 Considere BE = 24 cm .
1.1.1Determine a equação cartesiana do plano ABV .
G
x
A
y
B
565
u5p211h1
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PREPARAÇÃO PARA O TESTE 11
1.1.2Determine um sistema de equações paramétricas da reta
perpendicular ao plano ABV e que passa pela origem do referencial.
1.2 Seja x a abcissa do ponto B .
1.2.1Prove que a área total do prisma é dada, em função de x , por:
864
x ,x>0
1.2.2Determine analiticamente o valor de x para o qual a área total
do prisma é mínima.
A(x) = 2x2 +
1.1 1.1.1 Seja a a medida da aresta da base e h , a altura da pirâmide.
a#a#h
a 2 # 12
+ 36 =
+ a2 = 9 & a = 3
3
3
Assim, A(3, 0, 0) , B(3, 3, 0) e V(1,5; 1,5; 12) .
Vpirâmide =
Logo, AV(-1,5; 1,5; 12) e AB(0; 3; 0) .
Seja n(x, y, z) um vetor normal ao plano ABV . Então:
(- 1,5; 1,5; 12) $ (x, y, z) = 0
- 1,5x + 1,5y + 12z = 0
*
+*
+
(0, 3, 0) $ (x, y, z) = 0
3y = 0
12z
x = 8z
1,5 + *
+ *
y=0
y=0
Para z = 1 , obtém-se o vetor n(8, 0, 1) , então, a equação
cartesiana do plano é do tipo:
x=
8x + z + d = 0
Substituindo as coordenadas de A , obtém-se:
24 + d = 0 + d = -24
Portanto, a equação cartesiana do plano ABV é 8x + z - 24 = 0 .
x = 8t
1.1.2 * y = 0 , t ! IR
z=t
108
a#a#h
x2 # h
+ 36 =
+h= 2
3
3
x
216
hprisma = 2 × h = 2
x
216
864
Atotal prisma = 2Ab + 4Al = 2x2 + 4x × 2 = 2x2 + x , x > 0
x
864
1.2.2 A'(x) = 4x - 2
x
864
4x 3 - 864
A'(x) = 0 + 4x - 2 = 0 +
=0+
x
x2
+ x3 = 216 / x ! 0 + x = 6 / x ! 0
1.2 1.2.1 Vpirâmide =
566
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Domínio 5 ESTATÍSTICA
Assim:
x
0
4x3 - 864
x2
A'(x)
A
0
n.d.
n.d.
+
4
6
0
+
0
Mín.
+3
+
+
+
3
A área do prisma é mínima para x = 6 .
2
2x
.
1-x
2.1Indique o domínio de f e determine equações das assíntotas ao seu
gráfico.
Considere a função f definida por f(x) =
2.2 Resolva, em IR , f(x) G -1 .
2.3 Recorrendo à definição de derivada, mostre que fl(0) = 2 .
2.4 Seja a a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em x = 0 .
Determine o valor exato de cosc
3r
- am .
2
2.1 D = IR\{1}
Assíntotas verticais:
2x
2
= + = +3
x"1
x"1 1 - x
0
Logo, a reta de equação x = 1 é a única assíntota vertical ao gráfico de f .
lim f(x) = lim
-
-
Assíntotas não verticais:
f (x)
2
2x
2x
= lim
= lim - x =
lim x = lim
x " +3
x " +3 x - x 2
x " +3 - x 2
x " +3
f (x)
= 0 = lim x
x " -3
2x
2
2x
lim f(x) = lim
= lim - x =
= -2
-1
x " +3
x " +3 1 - x
x " +3
2x
lim f(x) = lim - x = -2
x " -3
x " -3
Logo, a reta de equação y = -2 é a única assíntota horizontal ao gráfico
de f .
2.2 f(x) G -1 +
2x
2x + 1 - x
x+1
G -1 +
G0+
G0
1-x
1-x
1-x
567
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PREPARAÇÃO PARA O TESTE 11
x + 1 = 0 + x = -1 e 1 - x = 0 + x = 1
Assim:
x
x+1
1-x
f(x)
-1
-3
+
-
0
+
0
1
+
+
+
+
0
n.d.
+3
+
-
C.S. = ]-3, -1] , ]1, +3[
2x
-0
f (x) - f (0)
2
1-x
2.3 f'(0) = lim
= lim
= lim
=2
x
x-0
x"0
x"0
x"0 1 - x
2.4 O declive da reta tangente em x = 0 é 2 ; logo, tan a = 2 . Tem-se que:
cosc
3r
- a m = -sin a
2
Assim:
1
1
+1=
+
2
tan a
sin 2 a
1
4
1
+
+1=
+ sin2 a =
4
5
sin 2 a
cos2 a + sin2 a = 1 +
Como a ! [0, r[ , sin a =
2
2 5
2 5
=
, ou seja, -sin a = .
5
5
5
3
A tabela seguinte mostra as temperaturas médias registadas numa cidade
durante um semestre:
Mês
Jan.
Fev.
Mar.
Abr. Maio
Jun.
Temperatura máxima/ ºC (x)
16
17
19
19
21
25
Temperatura/ ºC (y)
7
10
12
13
15
19
3.1Represente os dados num referencial ortonormado e diga se existe uma
relação linear entre estas duas variáveis.
3.2Considerando a temperatura mínima como variável resposta e utilizando
a calculadora gráfica, determine a equação reduzida da reta de mínimos
quadrados e estime um valor para a temperatura mínima se a temperatura
máxima for de 20 ºC .
568
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Domínio 5 ESTATÍSTICA
3.1
y
20
15
10
5
0
5
10 15 20 25 30 x
Verifica-se a existência de uma relação linear positiva entre as variáveis.
3.2 A equação da reta de mínimos quadrados é y = 1,2621x - 11,9450 .
Para x =
20 , tem-se:
u5p425h1s
y = 1,2621 × 20 - 11,9450 = 13,297
Assim, o valor previsto para a temperatura mínima seria de 13,297 °C .
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 12
I
Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre
as alternativas que lhe são apresentadas.
1
No referencial o.n. xOy da figura estão representados a circunferência
definida pela equação x2 + y2 = 4 , dois pontos A e B da circunferência
e o ângulo AOB de amplitude a .
y
A
O
a
x
B
Sabe-se que a ! E
r
, r ; e sin a = 0,6 .
2
Indique o valor de OA × OB .
(A) -12,8
(B) -3,2
(C) 3,2
u5p212h1
(D) 12,8
cos2 a + sin2 a = 1 + cos2 a + 0,36 = 1 + cos2 a = 0,64
r
Como a ! E , r; , cos a = -0,8 .
2
OA $ OB = OA OB cos a = 2 × 2 × -0,8 = -3,2
A opção correta é a (B).
569
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PREPARAÇÃO PARA O TESTE 12
2
Qual é o valor da expressão
tan =arcsin c(A) -
3
tan =arcsin c-
(B) -
3
3
1
m + arccos (- 1)G ?
2
(C)
3
3
(D)
3
1
3
r
r
m + arccos (-1)G = tanc+ r m = tanc- m = 2
3
6
6
A opção correta é a (B).
3
A reta de equação y = 3x + 4 é tangente ao gráfico de uma função f ,
no ponto de abcissa -1 .
Qual é o valor do limite lim f(x)?
x "-1
(A) 3
(B) -1
(C) 1
(D) 0
lim f(x) = f(-1)
x "-1
Como o ponto de tangência pertence à reta e a f :
f(-1) = 3 × (-1) + 4 = 1
A opção correta é a (C).
4
Na figura ao lado está representada parte
do gráfico de uma função racional f
de domínio IR\{1} .
1
A reta r , de equação y = x + 1 ,
2
é assíntota oblíqua bilateral ao gráfico de f .
Seja g a função definida por
x
g(x) =
f (x)
Qual é o valor de lim g(x) ?
(A) -3
(B) -2
x " -3
y
O
x
(C) 2
(D) +3
x
-x
1
1 u5p212h2
= lim
= - lim
== -2
1
x " -3 f (x)
x " -3 f (x)
x " -3 f (x)
2
x
A opção correta é a (B).
lim
570
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Domínio 5 ESTATÍSTICA
5
Analisaram-se vários modelos de automóvel
no que diz respeito à velocidade máxima
em km/h ( x ) e ao consumo médio em litros
por 100 km ( y ) .
Sabe-se que o centro de gravidade desta amostra, (x, y) , é (183,125; 8,05)
e que a ordenada na origem da reta de mínimos quadrados é b = 1,0347 .
Qual é o consumo médio estimado, arredondado às décimas, de um automóvel
cuja velocidade máxima é de 195 km/h ?
(A) 10,7
(B) 8,5
(C) 6,4
(D) 5,5
y = ax + b + 8,05 = a × 183,125 + 1,0347 + a á 0,0383
y = 0,0383 × 195 + 1,0347 á 8,5
A opção correta é a (B).
II
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
1
Fixado um referencial o.n. Oxyz no espaço, considere os pontos A(2, 2, 2) ,
B(1, 0, -2) e C(0, 2, -5) .
1.1 Determine um sistema de equações paramétricas da reta AC .
1.2Prove que os pontos A , B e C são não colineares e determine uma
equação cartesiana do plano b por estes definido.
1.1 Tem-se que AC = C - A tem coordenadas (-2, 0, -7) .
Uma equação vetorial da reta AC :
(x, y, z) = (2, 2, 2) + k(-2, 0, -7), k ! IR
Logo, um sistema de equações paramétricas da reta AC é:
x = 2 - 2k
, k ! IR
*y = 2
z = 2 - 7k
1.2 Verifique-se que o ponto B não pertence à reta AC .
1
k=
2
1 = 2 - 2k
*0 = 2
+ 0=2
4
- 2 = 2 - 7k
k=
7
*
571
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PREPARAÇÃO PARA O TESTE 12
4
1
!
, então, os pontos A , B e C são três pontos não
7
2
colineares do plano b .
Como
Então, um vetor u perpendicular a AB(-1, -2, -4) e AC(-2, 0, -7)
é normal ao plano.
Assim, o vetor u é tal que u $ AB = 0 / u $ AC = 0 .
Seja u(a, b, c) , então:
- a - 2b - 4c = 0
(a, b, c) $ (-1, -2, -4) = 0
*
+)
+
- 2a - 7c = 0
(a, b, c) $ (-2, 0, -7) = 0
*
2b =- a +
+
2
c =- a
7
8
a
7
1
a
14
+
2
c =- a
7
*
b=
2
1
2
1
,- m .
/ c = - ; logo, u c1,
7
7
14
14
2
1
Assim, uma equação cartesiana do plano b é x +
y- z+d=0.
7
14
2
11
Como B pertence ao plano, tem-se 1 - (-2) + d = 0 + d = .
7
7
Portanto, uma equação do plano é dada por:
Fazendo a = 1 , tem-se b =
x+
2
11
1
y- z= 0 + 14x + y - 4z - 22 = 0
7
7
14
2
Considere as sucessões (un) e (vn) definidas por:
un =
2n - 1
e
3n + 1
*
v1 =
1
5
vn + 1 =
1
v , 6n ! IN
4 n
2.1Mostre que (un) é uma sucessão crescente.
2.2Justifique que (vn) é uma progressão geométrica e, dado p ! IN ,
determine uma expressão algébrica para a soma Sp dos p primeiros
termos de (vn) .
2.3Calcule os seguintes limites:
a) lim un
b) lim Sp
p " +3
c) lim^vn × cos nh e justifique.
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Domínio 5 ESTATÍSTICA
2.1 un + 1 - un =
2 (n + 1) - 1
2n - 1
2n - 1
2n + 1
=
=
3n + 1
3n + 1
3n + 4
3 (n + 1) + 1
6n 2 + 5n + 1 - 6n 2 - 5n + 4
5
=
> 0, 6 n ! IN
2
2
9n + 15n + 4
9n + 15n + 4
Logo, (un) é uma sucessão crescente.
vn + 1
1
1
2.2 Como vn + 1 =
v , v =
, pelo que (vn) é uma progressão
4 n
4
n
geométrica.
1 - rp
Tem-se que Sp = v1 ×
.
1-r
1
1
Como r =
e v1 =
, tem-se:
4
5
1 p
1-c m
4
1 p
1
4
×
=
× e1 - c m o
Sp =
4
1
5
15
14
2n
2
2n - 1
2.3 a) lim un = lim
= lim
=
3n
3
3n + 1
=
b) lim Sp = lim >
p " +3
p " +3
4
4
1 p
# e1 - c m oH =
4
15
15
c)A sucessão (vn) é decrescente e é limitada, 0 G vn G
é convergente. Então:
lim vn + 1 =
1
; logo,
5
1
1
lim vn + lim vn = lim vn +
4
4
3
lim vn = 0 + lim vn = 0
4
Como cos n é limitada, lim^vn × cos nh = 0 .
+
3
Na figura estão representadas parte do gráfico
x2 - 2
da função f definida por f(x) =
x-1
1
5
e a reta r , de equação y = x ,
4
4
tangente ao gráfico de f no ponto A .
Recorrendo a processos exclusivamente analíticos,
determine:
y
r
f
A
O
x
a) as equações das assíntotas ao gráfico de f , caso existam.
b) as coordenadas do ponto A .
u5p213h1
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PREPARAÇÃO PARA O TESTE 12
a) Df = IR\{1}
Assíntotas verticais:
x2 - 2
-1
= - = +3
x-1
0
x"1
x"1
2
-1
x -2
lim f(x) = lim
= + = -3
x
1
x"1
x"1
0
Logo, a reta de equação x = 1 é a única assíntota vertical ao gráfico de f .
lim f(x) = lim
-
-
+
+
Assíntotas não verticais:
f (x)
x2 - 2
x2
lim x = lim 2
= lim 2 = 1
x " +3
x " +3 x - x
x " +3 x
2
x -2
x2 - 2 - x2 + x
lim ^f(x) - xh = lim d
=
- x n = lim
x-1
x-1
x " +3
x " +3
x " +3
x
x-2
= lim
= lim x = 1
x " +3 x - 1
x " +3
Logo, a reta de equação
f (x)
x2
lim x = lim 2
x " -3
x " +3 x
lim ^f(x) - xh = lim
x " -3
y = x + 1 é assíntota oblíqua ao gráfico de f .
x " -3
=1
x
x =1
Então, não existem outras assíntotas não verticais.
(x 2 - 2)' (x - 1) - (x 2 - 2) (x - 1)'
b) f'(x) =
=
(x - 1)2
2x (x - 1) - (x 2 - 2)
2x 2 - 2x - x 2 + 2
x 2 - 2x + 2
=
=
=
2
2
(x - 1)
(x - 1)
(x - 1)2
f'(x) =
+
x 2 - 2x + 2
4x 2 - 8x + 8 - 5x 2 + 10x - 5
5
5
+
= +
=0+
2
4
4
(x - 1)
(x - 1)2
- x 2 + 2x + 3
= 0 + -x2 + 2x + 3 = 0 / x ! 1 +
(x - 1)2
+x=
-2 !
-2 ! 4
4+4#3
/x!1+x=
/x!1+
-2
-2
+ (x = 3 0 x = -1) / x ! 1
Por observação do gráfico, A tem abcissa positiva; logo, x = 3 .
1
7
5
×3=
y=
4
2
4
7
Portanto, Ac3, m .
3
574
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Domínio 5 ESTATÍSTICA
4
De uma distribuição de dados bivariados (x, y) sabe-se que:
+
1
x = 2 ; y = 3 ; vx = 1 ; vy =
e r = 0,8
2
Determine a equação reduzida da reta de mínimos quadrados que se ajusta
à representação gráfica desta amostra.
SSx
vx
1
= a v + 0,8 = a
+ a = 0,4
SSy
1
y
2
b = y - ax + b = 3 - 0,4 × 2 + b = 2,2
r=a
Logo, a equação reduzida da reta de mínimos quadrados é y = 0,4x + 2,2 .
575
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O Projeto Dimensões de Matemática A destinado ao 11.o ano
CONSULTORES CIENTÍFICOS
de escolaridade, do Ensino Secundário, é uma obra coletiva,
Pedro J. Freitas — Professor Auxiliar
concebida e criada pelo Departamento de Investigações e Edições
do Departamento de Matemática da Faculdade
Educativas da Santillana, sob a direção de Sílvia Vasconcelos.
de Ciências da Universidade de Lisboa.
EQUIPA TÉCNICA
Chefe de Equipa Técnica: Patrícia Boleto
Modelo Gráfico e Capa: Carla Julião
Ilustrações: Ana Mesquita e Jorge Macedo@In Folio Design
Paginação: Célia Neves, Leonor Ferreira e Tiago Boleto
Documentalista: Paulo Ferreira
Revisão: Ana Abranches
Doutorado em Matemática pela Universidade
de Illinois. Para além do trabalho de regência
de cadeiras e investigação em Matemática,
fundamentalmente em áreas de álgebra, dedica-se
também a assuntos de divulgação e ensino.
Hugo Tavares — Investigador Auxiliar no CAMGSD,
Instituto Superior Técnico. Doutorado em Matemática
pela Universidade de Lisboa, com título
EDITORA
de doutoramento europeu após estágio
Dúnia Pontes
na Universidade de Milão-Bicocca. Lecionou várias
A autoria dos enunciados de todos os exercícios pertence
à equipa de autores do manual «Dimensões» do 11.o ano:
Cristina Negra, Emanuel Martinho e Helder Martins.
unidades curriculares a diversos ciclos de ensino
na Faculdade de Ciências da Universidade
de Lisboa, na Faculdade de Ciências e Tecnologia
da Universidade Nova de Lisboa e no Politécnico
de Milão. Recebeu em 2007 o prémio Gulbenkian
«Estímulo à Investigação».
© 2016
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2734-502 Barcarena, Portugal
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ISBN: 978-989-708-791-2
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Os prejudicados somos todos nós.
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