Sujet de mathématiques niveau
BAC
Exercice 1 (5 points) :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, u
⃗ ,v
⃗)
3
Soit θ ∈ ]0, π[ et l’equation (E) : z 2 − (3eiθ )z + eIn(4)+2iθ = 0
1) Résoudre dans ℂ l’équation (E)
2) Montrer que ∀X(x, 0); Y(−x, 0), d(X, Y) = 2|x| où d(X, Y) est la distance (X, Y)
3) En déduire la distance entre les points I et F d’affixes respectives [−z + z − z + z −
z + z … + z] et (
3eiθ2
2
)
4) Soit ζ un cercle de centre I et de rayon [IF]. Exprimer sa surface en fonction de θ.
5) Est-ce possible pour la valeur de la surface f(θ) d’être égale à la valeur du périmètre
de ζ? Si oui, trouver θ, si non, justifier.
Exercice 2 (5 points) :
⃗⃗⃗⃗ , OJ
⃗⃗⃗⃗ )
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, OI
Soit ∫ √f(x + 1) = 1 − x 2 + C, x ∈ ℝ, C = 0
1) Montrer que f(0) = 1 et en déduire f(x)
2) En déduire le domaine de f(x)
3) Trouver lim f(x) et montrer que (x − 1)4 = −(x − 1)2 n’a pas de solution dans ℝ.
x→0
4) En déduire que f(x) = 0 ∄
1
5) Soit les trois points A, B, C de coordonnées respectives (0,1) ; (1, ) ;(2,1).
2
a) Montrer que ABC est isocèle en B puis calculer son aire.
b) Montrer que ABC n’est pas rectangle.
Exercice 3 (4 points) :
Soit la suite numérique U dans ℕ telle que {
1) Trouver
Un +√x
n−x
1
U0 = 1
Un+x =
n+x
3n
√n + x + n+x
où x est un réel
Ne rien écrire ici
2) Soit U(n) la fonction représentante la suite numérique précédente
a) Tracer sa courbe (C) dans un repère orthonormé (O, ⃗⃗⃗⃗
OI, ⃗⃗⃗⃗
OJ) .
b) Déterminer le domaine de cette fonction
c) Déterminer la valeur maximale naturel de U(n).
Exercice 4 (6 points) :
1) Soit g(r) une fonction définie sur ℂ, par g(r)= x r + er où x n’est pas -e et X est un
réel qui dépend de la valeur de r.
i a
a) Montrer que X =
b) Trouver X si
d
dx
g(r)
b
√ √(−X)
eπ
e
er = ie2 .
2) Soit f(x) = Rx + ex la fonction définie sur ℂ et R est un réel.
i a
a) Montrer que R=
i a
b) Calculer
πφ + 1 − φ =
eπ
e
g(r)
b
)
√ √(−x
eπ
e
f(x)
b
√ √(−R)
i a
−
et en déduire R si
d
dx
ex = ie2 .
f(x)
b
−r
√ √(eπ
)
e
et en déduire dans les solutions de l’équation (E) :
R±X+1
g(r) + f(x) + 1
c) Si φ = log R 𝑋 = 7i. Ecrire (E) en fonction de X.
2