CHEKIR KOUSSAY
S E R I E D E R E V I S I O N N°02
4éme MATH
Exercice 1 :
Partie I
Soit 𝑝 un entier premier tel que 𝑝 ≥ 5.
1. Montrer que 𝑝2 ≡ 1 [3].
2.
(a) Montrer que 𝑝2 ≡ 1 [8].
(b) En déduire que 𝑝2 ≡ 1 [24].
3.
Soit 𝑎 un entier naturel tel que 𝑎 ∧ 24 = 1.
(a) Montrer que 𝑎2 ≡ 1 [24]. (On pourra utiliser les deux cas où 𝑝 est premier et où 𝑝 est non
premier).
(b)
Déterminer le reste de la division de 883 par 24.
(c)Existe-t-il des entiers naturels 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3;…. 𝑎23 tels que : ∀𝑘 ∈ {1; 2; 3......23} ; �搹𝑘 ∧ 24 =1
et
4.
(a) Montrer que 883 est un nombre premier.
(b) Décomposer 882 en produit de facteurs premiers .
5. Soit le couple (𝑥; 𝑦) 𝑑𝑒 ℕ∗ × ℕ∗ solution de l’équation (𝐸) ∶ 𝑝𝑥 + 𝑦𝑝−1 = 883.
(a) Montrer que 𝑝 < 883.
(b) Montrer que 𝑝 ne divise pas 𝑦.
(c)
Montrer que 𝑦𝑝−1 ≡ 1 [𝑝] ; puis en déduire que 𝑝 divise 882.
(d)
Montrer que 𝑝 = 7.
(e) Déterminer alors les couples (𝑥; 𝑦) de ℕ∗ × ℕ∗ qui vérifient l’équation (𝐸) ∶ 𝑝𝑥 + 𝑦𝑝−1 = 883.
Exercice 2 :
Un groupe de 20 personnes décide d’aller au cinéma deux samedis de suite pour avoir deux
films A et B.
a)Le premier samedi 8 personnes vont avoir le film A et les autres vont voir le film B.
b)Le deuxième samedi 2 personnes décident de revoir le film A, 4 personnes décident de revoir le film B
et les autres vont voir le film qu’elles n’ont pas vu la semaine précédente .
Après la deuxième semaine on interroge au hasard une personne de ce groupe .
1) a) Calculer la probabilité des évènements suivants :
A1 « La personne interrogée a vu le film A le premier samedi »
A2 « La personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi »
b) Calculer P( A1/ A2 ) .
2) Le prix d’un billet pour le film A est de 3 dinars et celui du film B est de 2 dinars. On appelle X l’aléanumérique égale au coût total pour la personne interrogée des deux séances de cinéma .
a) Déterminer la loi de probabilité de X .
;
b) Déterminer E( X ) .
3) Un sondage auprès de n groupes identiques (de 20 personnes) avec
s’intéresse à l’évènement S
« la personne interrogée a vu les deux films A et B durant les deux samedis » On arrête le sondage dès
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que S soit réalisé . Soit Y l’aléa-numérique qui prend pour valeur 0 si S n’est pas réalisé dans chacun de n
groupes si non il sera défini par le rang k où le sondage s’arrête avec
.
a) Montrer que pour tout entier
.
b) On pose f(x) =1+x + x2+…..+xn .pour tout x
. Vérifier que f ’(x) =
En déduire que
.
.
Exercice 3 :
A/ 1- montrer que
2-Soit m un paramètre réel de ] 1
et gm la fonction sur
IR
.
a- Déterminer
.
b- Etudier les variations de
.
c- Montrer que l’équation g
admet exactement deux solution 1 et
.
d- Vérifier que 4
.
B/ On considère la fonction définie sur
.
1-a- Calculer
.
b- Vérifier que f est continue en 1 puis étudier la dérivabilité de f en 1 .
2-a- Montrer que
b-Montrer que f (
.
et donner le tableau de variation de f
c-Tracer (C ) la courbe représentative de f ( on prendra
C/ On considère les deux fonctions F et G définies sur
1-Montrer que
2-On suppose que
D/ Pour tout entier
= 4,9).
par :
et calculer
.
un nombre finie , montrer que 0
on considère les fonctions Fn et Gn définies sur
.
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par :
1-Montrer que n
2-Montrer que Gn
.
) puis déduire lim
3-Montrer que
4-On pose
.
.
montrer que l- Un = 2
5-Montrer que li
Exercice 4 :
Partie I
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = ln(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥) et 𝐶𝑓 sa courbe représentative
dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖;⃗ 𝑗)⃗ .
(a) Vérifier que la fonction 𝑓 est paire et calculer
(b) Vérifier que : ∀𝑥 ∈ ℝ ; 𝑓(𝑥) = 𝑥 + ln(1 + 𝑒−2𝑥).
(c) En déduire que la droite (Δ) ∶ 𝑦 = 𝑥 est l’asymptote oblique de la courbe 𝐶𝑓 au vois de +∞.
Donner le tableau de variations de la fonction 𝑓 sur ℝ+.
2. Tracer la courbe 𝐶𝑓 .
1.
Partie II
Soit 𝐹 la fonction définie sur ℝ+ par : 𝐹 (𝑥) =
1.
En utilisant 𝐼.1.𝑏 ; donner une interprétation géométrique du nombre 𝐹 (𝑎) où 𝑎 ∈ ℝ∗+.
2.
Étudier les variations de la fonction 𝐹 sur ℝ+.
(a) Montrer que
(b) En déduire que : ∀𝑥 ∈ ℝ+ ;
(c ) On admet que la fonction 𝐹 admet une limite finie 𝐿 en +∞ . Montrer
(d ) Tracer la courbe 𝐶𝐹 en précisant la demi-tangente à 𝐶𝐹 au point d’abscisse 0.
Partie III
Pour tout 𝑛 de ℕ ; on pose
.
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Montrer
1.
Pour tout 𝑛 de ℕ ; on pose : 𝑆𝑛 =
2.
(a) Montrer que : ∀𝑛 ∈ ℕ ; 𝑆𝑛 = 𝐹 (𝑛 + 1)
(b) En déduire que la suite (𝑢)𝑛 est croissante et majorée.
(c)
Calculer la limite de la suite (𝑆𝑛).
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Exercice 4 :
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