2
2
Les Suites Numériques
) ‫ نقط‬4.5 ( ‫ د ع‬2022 ‫باك‬
2023 2022
3
4
2
3
3.a) montrer que pour tout n de  : un1  un   (un  )
3
4
3.b) en déduire ‫بالتوفيق‬que (un ) est une suite croissante
2) montrer par récurrence que pour tout n de  : un  
soit (un ) n la suite numérique définie par :
1
8
u0  3 et un1  un  pour tout n de 
5
5
1) calculer ‫ بالتوفيق‬u1 et u2
2) montrer par récurrence que pour tout n de  : un  2
4) déduire de ce qui précède que (un ) est une suite‫ بالتوفيق‬convergente
3
4
4
3.a) montrer que pour tout n de  : un1  un  (2  un )
5
3.b) en déduire ‫بالتوفيق‬que (un ) est une suite décroissante
5) on pose pour tout n de  : vn  un 
4) déduire de ce qui précède que (un ) est une suite‫ بالتوفيق‬convergente
5.b) montrer que (vn ) est une suite géométrique de raison
5.a) calculer v0
5) on pose pour tout n de  : vn  un  2
5.c) donner vn en ‫ بالتوفيق‬fonction de n
5.a) calculer v0
1
5.b) montrer que (vn ) est une suite géométrique de raison
5
5.c) donner vn en ‫ بالتوفيق‬fonction de n
n

1  1 
5.d) en déduire que pour tout n de  : un       3 

4   3 

6) calculer lim un
n 
n
1
6.a) en déduire que pour tout n de  : un     2
5
6.b) calculer lim un
) ‫ نقط‬5.5 ( ‫ د س‬2021 ‫باك‬
soit (un ) n la suite numérique définie par :
1
u0  4 et un1  un  4 pour tout n de 
4
1) calculer ‫ بالتوفيق‬u1 et u2
n 
) ‫ نقط‬4.5 ( ‫ د س‬2022 ‫باك‬
soit (un ) n la suite numérique définie par :
u0 
2.َa) montrer par récurrence que pour tout n de  : un  0
2.َb) montrer par récurrence que pour tout n de  : un  1
2u (1  un )
3.a) montrer que pour tout n de  : un1  un  n
2un  1
‫بالتوفيق‬
16
 un
3
4.a) montrer que (vn ) est une suite géométrique de raison
3.c) déduire de ce qui précède que (un ) est une suite convergente
1
1
un
1
4
4.b) calculer v0 et exprimer vn en fonction de n
n
4  1  16
4.c) montrer que pour tout n de  : un      
3 4
3
4.a) calculer v0
4.b) montrer que (vn ) est une suite géométrique de raison
4.c) donner vn en ‫ بالتوفيق‬fonction de n
1
3
4.d) calculer lim un
n 
) ‫ نقط‬6 ( ‫ د ع‬2020 ‫باك‬
soit (un ) n la suite numérique définie par :
1
5.a) montrer que pour tout n de  : un 
vn  1
5.b) en déduire que pour tout n de  : un 
3.c) déduire de ce qui précède que (un ) est une suite convergente
4) on pose pour tout n de  : vn  
que (un ) est une suite croissante
4) on pose pour tout n de  : vn 
16
3
3
16
3.a) vérifier que pour tout n de  : un1  un   (un  )
4
3
3.b) en déduire que (un ) est une ‫ بالتوفيق‬suite croissante
2) montrer par récurrence que pour tout n de  : un 
3un
1
et un1 
pour tout n de 
2un  1
2
1) calculer ‫ بالتوفيق‬u1 et u2
3.b) en déduire
1
3
1
n
1
  1
3
5.c) calculer lim un
n 
) ‫ نقط‬5 ( ‫ د ع‬2021 ‫باك‬
soit (un ) n la suite numérique définie par :
1
1
u0  1 et un1  un  pour tout n de 
3
2
1) calculer ‫ بالتوفيق‬u1 et u2
1
9
u0  0 et un1  un  pour tout n de 
4
2
1) calculer ‫ بالتوفيق‬u1 et u2
2.a) montrer par récurrence que pour tout n de  : un  6
3
2.b) montrer que pour tout n de  : un1  un   (un  6)
4
2.c) en déduire que (un ) est une suite décroissante
3) montrer que (un ) est une suite‫ بالتوفيق‬convergente
1
4) on pose pour tout n de  : vn  un  2
3
4.a) calculer v0
4.b) montrer que (vn ) est une suite géométrique de raison
) ‫ نقطة‬4.5 ( ‫ د س‬2019 ‫باك‬
1
4
Soit (un ) n la suite numérique définie par :
4.c) donner vn en fonction de n , pour‫ بالتوفيق‬tout n de 
u0  1 et un 1 
5.a) vérifier que pour tout n de  : un  3(vn  2)
5.b) en déduire que pour tout‫بالتوفيق‬
  1 n 
n de  : un  6     1
 4 



1) calculer u1 et‫ بالتوفيق‬u2
2) montrer par récurrence que pour tout n de  : un  3
5.c) calculer lim un
3.a) vérifier que pour tout n de  : un1  un 
n 
) ‫ نقط‬6 ( ‫ د س‬2020 ‫باك‬
4) en déduire que la suite (un ) n est convergente
4un  9
pour tout n de 
un  2
5) on pose pour tout n de  : vn 
1) calculer u1 et‫ بالتوفيق‬u2
2un  4
un  3
5. a) vérifier que v0  1
2.a) montrer par récurrence que pour tout n de  : un  3
2.b) vérifier qu‫ بالتوفيق‬e pour tout n de  : un1  un  
(un  3) 2
5  un
3.b) montrer que (un ) n est une ‫ بالتوفيق‬suite croissante
Soit (un ) n la suite numérique définie par :
u0  5 et un1 
un  9
pour tout n de 
un  5
(un  3) 2
un  2
5. b) montrer que vn1 
un  1
un  3
2.c) montrer que (un ) n est une ‫ بالتوفيق‬suite décroissante
5 .c) en déduire que (vn ) est une suite arithmétique de raison 1
3) montrer que la suite (un ) n est convergente
6) montrer que pour tout n
4) on pose pour tout n de  : vn 
1
un  3
‫بالتوفيق‬
de  un 
7) en déduire que pour tout n de  : un 
4. a) calculer v0
4. b) calculer vn1  vn et en déduire que‫ بالتوفيق‬la suite (vn ) n est
arithmétique de raison 1
1
4.c) montrer que vn   n pour tout n de 
2
3v  1
5.a) vérifier que pour tout n ‫ بالتوفيق‬de  un  n
vn
) ‫ نقطة‬4.5 ( ‫ د ع‬2018 ‫باك‬
2
soit (un ) n définie par : u0  3 et un1  un  5 pour tout n de 
3
1) calculer u1 et u2
1
2.b) montrer que pour tout n de  : un1  un   un  5
3
1
2.c) vérifier que pour tout ‫ بالتوفيق‬n de  :  un  5  0
3
2.d) en déduire que (un ) est croissante et qu’elle est convergente
n 
) ‫ نقطة‬4.5 ( ‫ د ع‬2019 ‫باك‬
3) on pose pour tout n de  : vn  un  15
soit (un ) n la suite numérique définie par :
2
3.a) montrer que pour ‫ بالتوفيق‬tout n de  : vn1  vn
3
1
1
u0  2 et un1  un  pour tout n de 
2
7
1) calculer ‫ بالتوفيق‬u1 et u2
2.a) montrer par récurrence que pour tout n de  : un 
2
0
7
1
2
2.b) vérifier que pour tout n de  : un1  un    un  
2
7
2
3.b) calculer v0 et montrer que pour tout n de  : vn  (12)   
3
4) calculer un en fonction de n puis calculer lim un
n 
) ‫ نقطة‬4.5 ( ‫ د س‬2018 ‫باك‬
soit la suite (un ) : u0  2 et un1 
et en déduire que (un ) n est ‫ بالتوفيق‬une suite décroissante
3) montrer que la suite (un ) n est convergente
2un  9
pour tout n de 
un  4
1) calculer ‫ بالتوفيق‬u1 et u2
2
7
2.a) montrer par récurrence que pour tout n de  : 3  un  0
4.a) calculer v0
4.b) montrer que (vn ) n est une suite géométrique de raison
1
2
2.b) montrer que pour tout n de  : un1  un 
2.c) en déduire que (un )
‫بالتوفيق‬
 12  1  2
4.c) en déduire que pour tout‫ بالتوفيق‬n de  : un     
 7  2  7
5) calculer lim un
2.d) montrer que (un ) est convergente
3.a) on pose vn 
(un  3) 2
4  un
est croissante
n
n 
3n  1
et calculer lim un
n 
n 1
2.a) montrer par récurrence ‫ بالتوفيق‬que pour tout n de  : un  15
6n  5
5.b) en déduire ‫ بالتوفيق‬que pour tout n de  : un 
2n  1
5.c) calculer lim un
4) on pose pour tout n de  : vn  un 
3vn  4
vn  2
‫بالتوفــيــق‬
1
pour tout n de  ; calculer v0
un  3
n
3.b) montrer que pour tout n de  : vn 
4  un
un  3
2) montrer par ‫ بالتوفيق‬récurrence que pour tout n de  : un 
3.c) vérifier que pour tout n de  : vn1  vn  1 et en déduire
que vn  1  n pour tout ‫ بالتوفيق‬n de 
4) montrer que pour tout n de  : un 
pour tout n de  : un 
1  3vn
et en déduire que
vn
3n  2
puis calculer ‫ بالتوفيق‬lim un
n 
n 1
5
3
3
5
3.a) montrer que n   : un1  un   (un  )
5
3
b) en déduire la monotonie de (un ) et que (un ) est convergente
4) a) on pose pour tout ‫ بالتوفيق‬n de  : vn  un 
5
; calculer v0
3
b) montrer que (vn ) n est une suite géométrique de raison q 
‫ د ع‬2017 ‫باك‬
1
2
On considère la suite: u0  6 et un1  un  pour tout n de 
5
5
1.a) calculer u1 ‫ بالتوفيق‬et u2
1.b) montrer par récurrence ‫ بالتوفيق‬que pour tout n de  : un 
1
2
5 2
5
c) calculer vn en fct de n et déduire que : n   : un   ( ) n 
3 5
3
d) calculer‫ بالتوفيق‬lim un
n 
‫ د س‬2016 ‫باك‬
Soit (un ) n définie par : u0  0 et un 1 
un  1
pour tout n de 
un  3
4 1
1.c) vérifier que pour tout n de‫ بالتوفيق‬ : un1  un  (  un )
5 2
1.d) en déduire que (un ) est décroissante et qu’elle est convergente
1) calculer ‫ بالتوفيق‬u1 et u2
1
2) on pose pour tout n de  :‫ بالتوفيق‬vn  un 
2
2.a) m que (vn ) est une suite géométrique en précisant sa raison
2.b) montrer par récurrence que pour tout n de  : un  1
b) calculer son premier terme v0 et calculer vn en fonction de n
n

1 1
c) en déduire que : n   : un  11   1 et calculer lim un

n 
2   5 

3) on pose Sn  u0  u1  ...  un1 montrer que Sn 
55   1 
1   
8   5 
n
 n
 
 2
‫ د س‬2017 ‫باك‬
On considère (un ) n : u0  2 et un 1 
3un  2
pour tout n de 
2un  3
1.a) calculer ‫ بالتوفيق‬u1 et u2
b) vérifier que un1  1 
un  1
et montrer que : n   : un  1
2un  3
 1  un 2 
c) montrer que pour tout n de  : un 1  un  2 

 2un  3 
d) en déduire que (un ) est décroissante et qu’elle est convergente
2) on pose vn 
un  1
pour ‫ بالتوفيق‬tout n de 
un  1
a) vérifier que pour tout n de  : vn  1 puis calculer v0
1
b) montrer que (vn ) n est une suite géométrique de raison
5
c) calculer vn en fonction ‫ بالتوفيق‬de n
1 1
1  ( )n
1  vn
3 5
3) montrer que : n   : un 
et que n   : un 
1 1 n
1  vn
1 ( )
3 5
4) calculer‫ بالتوفيق‬lim un
n 
‫ د ع‬2016 ‫باك‬
2
On considère (un ) n : u0  0 et un1  un  1 pour tout n de 
5
1) calculer u1 et u2
2
5
2.a) vérifier que n   : un1  1 
2(un  1)
un  3
2.c) vérifier que pour ‫ بالتوفيق‬tout n de  : un1  un  
(un  1) 2
un  3
2.d) en déduire que (un ) est décroissante et qu’elle est convergente
3.a) on pose pour tout n de  : vn 
b) montrer que n   : vn1 
un  2
, calculer v0
un  1
3un  5
2(un  1)
1
et écrire vn en fct de n
2
v  2
n
4) vérifier que n   : un  n
puis que : n   : un 
n2
vn  1
c) m que (vn ) est arithmétique de raison
5) calculer‫ بالتوفيق‬lim un
n 
‫ د ع‬2015 ‫باك‬
1
On considère (un ) n : u0  1 et un1  un  1 pour tout n de 
5
1) calculer ‫ بالتوفيق‬u1 et u2
2) montrer par récurrence que pour tout n de  : un 
5
4
4
5
3.a) montrer que‫ بالتوفيق‬n   : un1  un   (un  )
5
4
b) en déduire que (un ) est croissante et qu’elle est convergente
4) a) on pose pour tout n de ‫ بالتوفيق‬ : vn  un 
b) m que (vn ) géométrique de raison q 
5
; calculer v0
4
1
et calculer vn en fct de n
5
1
1
c) et déduire que : n   : un  (5  ( ) n ) puis calculer lim un
n 
4
5
‫ د س‬2015 ‫باك‬
1
On considère (un ) n : u0  8 et un1  un  3 pour tout n de 
4
1) calculer u1 et‫ بالتوفيق‬u2
2) montrer par récurrence que pour tout n de  : un  4
3
3.a) montrer que ‫ بالتوفيق‬n   : un1  un   (un  4)
4
b) en déduire que (un ) est décroissante et qu’elle est convergente
4) a) on pose pour tout n
‫بالتوفيق‬
de  : vn  un  4 ; calculer v0
1
b) m que (vn ) géométrique de raison q  et calculer vn en fct de n
4
1
c) et déduire que : n   : un  4( ) n  4 puis calculer lim un
n 
4
‫ د ع‬2014 ‫باك‬
1
1
On considère (un ) n : u0  1 et un1  un  pour tout n de 
2
4
1) calculer u1 ‫ بالتوفيق‬et u2
2) montrer par récurrence que pour tout n de  : un 
1
2
1
1
3.a) montrer que n   : un1  un   (un  )
2
2
b) en déduire que (un ) est décroissante et qu’elle est convergente
4) a) on pose pour tout n ‫ بالتوفيق‬de  : vn  un 
1
; calculer v0
2
1
b) m que (vn ) géométrique de raison q  et calculer vn en fct de n
2
1
1 n
c) et déduire que : n   : un  (1  ( ) ) puis calculer lim un
n 
2
2
un  4
pour tout n de 
un  3
1) calculer‫ بالتوفيق‬u1 et u2
2.a) montrer que‫بالتوفيق‬
3.a) vérifier que pour tout ‫ بالتوفيق‬n de  : un1  un 
(un  2) 2
3  un
b) en déduire que (un ) est croissante et qu’elle est convergente
1
calculer vn1  vn puis
2  un
en déduire que (vn ) est une suite arithmétique de raison 1
b) calculer v0 et écrire vn en ‫ بالتوفيق‬fonction de n
2n  1
1
et n   : un 
calculer lim un
n 
n 1
vn
‫ د ع‬2013 ‫باك‬
1
On considère (un ) n : u0  0 et un1  un  2 pour tout n de 
4
1) calculer u1 ‫ بالتوفيق‬et u2
2) a) on pose pour tout n de  :‫ بالتوفيق‬vn  un 
b) m que (vn ) géométrique de raison q 
2.a) on pose vn 
un  2
pour tout n de  ; calculer‫ بالتوفيق‬v0
un  4
1
et calculer vn en fct de n
2
1
4( ) n  2
4vn  2
3) montrer que : n   : un 
et que n   : un  2
1
vn  1
( )n  1
2
4) calculer ‫ بالتوفيق‬lim un
b) m que (vn ) géométrique de raison q 
n 
‫ د ع‬2012 ‫باك‬
1
3
On considère (un ) n : u0  0 et un1  un  pour tout n de 
4
4
1) calculer u1 et u2
2) montrer par récurrence que n   : 0  un et que n   : un  1
3
3.a) montrer que‫ بالتوفيق‬n   : un1  un  (1  un )
4
b) en déduire que (un ) est croissante et qu’elle est convergente
4) a) on pose pour tout n de  : vn  un  1 ; calculer v0
1
et calculer vn en fct de n
4
c) déterminer un en fonction de n puis calculer lim un
n 
‫ د س‬2012 ‫باك‬
1
la suite: u0  0 et un1 
pour tout ‫ بالتوفيق‬n de 
2  un
1) montrer par récurrence que pour tout n de  : un  1
b) montrer par récurrence que pour tout n de  : un  2
5) m que n   : un  2 
8
pour tout n de 
un  6
1) calculer u1 ‫ بالتوفيق‬et u2
Soit (un ) n
u 2
n   : un1  2  n
3  un
4.a) on pose pour tout n de  : vn 
On considère (un ) n : u0  3 et un1 
b) m que (vn ) géométrique de raison q 
‫ د س‬2014 ‫باك‬
Soit (un ) n la suite: u0  1 et un 1 
‫ د س‬2013 ‫باك‬
8
; calculer v0
3
1
et calculer vn en fct de n
4
8
1
c) et déduire que : n   : un  (1  ( ) n ) puis calculer lim un
n 
3
4
2.a) vérifier que pour tout n de ‫ بالتوفيق‬ : un1  un 
(un  1) 2
2  un
b) en déduire que (un ) est croissante et qu’elle est convergente
3) on pose pour tout n de  : vn 
un  2
calculer vn1  vn puis
un  1
en déduire que (vn ) est une suite arithmétique de raison r  1
4) écrire un en fonction de vn puis déduire que n   : un 
n
n 1
5) calculer‫ بالتوفيق‬lim un
n 
‫ د ع‬2011 ‫باك‬
Soit la fonction h( x)  x  ln x définie sur [1 , e]
1.a) calculer h / ( x) puis étudier son signe‫ بالتوفيق‬et déduire que h est
croissante sur [1 , e]
b) donner le tableau de variation de h sur [1 , e] et vérifier que :
h([1 , e])  [1 , e]
2) soit la suite : u0  e et un1  un  ln(un ) pour tout n de 
a) montrer‫ بالتوفيق‬par récurrence que pour tout n de  : 1  un  e
b) montrer que (un ) est décroissante et qu’elle est convergente
c) en déduire des questions précédentes que lim un  1
n 
La machine de type 2 produit vn tonnes si elle marche n heures
‫ د س‬2011 ‫باك‬
On considère (un ) n : u0  2 et un 1 
3un  4
pour tout n de 
un  6
1.a) calculer u1 et u2
b) montrer par récurrence‫ بالتوفيق‬que : n   : un  1
c) en déduire que (un ) est décroissante et qu’elle est convergente
2) on pose vn 
Sachant que le directeur de l’usine veut 100 heures de marches par
semaine, déterminer avec justification qu’elle type de machine est
la plus ‫ بالتوفيق‬productrice
‫ د س‬2009 ‫باك‬
Le tableau ci-dessous est le tableau de variations de la fonction :
un  4
pour tout n de 
un  1
f ( x) 
a) calculer vn  1 en fonction de un et déduire que n   : vn  1
b) montrer que‫بالتوفيق‬
x
v 4
n   : un  n
vn  1
n 
‫ د ع‬2010 ‫باك‬

0


2

0
 


2
f ( x)






6
5


 


1
2) soit la suite (un ) n : u0  2 et un1  f (un ) pour tout n de 
u 2
3) on pose: vn  n
; montrer que (vn ) est une suite arithmétique
un  1
i) montrer par récurrence que n   :1  un et n   : un  2
ii) montrer par récurrence que (un ) n est‫ بالتوفيق‬décroissante
iii) en déduire que (un ) n est convergente puis calculer lim un
n 
en précisant‫ بالتوفيق‬la raison.
‫ د ع‬2008 ‫باك‬
v 2
4) écrire vn en fonction de n et montrer que : n   : un  n
vn  1
1
On considère la suite: u0  30 et un1  un  20 pour tout n de 
5
on pose pour ‫ بالتوفيق‬tout n de  : vn  un  25
n2
puis calculer‫ بالتوفيق‬lim un
n 
n 1
‫ د س‬2010 ‫باك‬
5
1
On considère la suite: u0  2 et un1  un  pour tout n de 
6
6
1) montrer par‫ بالتوفيق‬récurrence que pour tout n de  : un  1
2) montrer que (un ) est décroissante et qu’elle est convergente
2) on pose pour tout‫ بالتوفيق‬n de  : vn  un  1
1
5
b) déterminer son premier terme v0 et écrire vn en fonction de n
1) a) montrer que (vn ) est une suite géométrique de raison k 
1
2) déduire que un  25  5( ) n pour tout n de  et calculer lim un
n 
5
3) on suppose que un est le montant du coût d’un produit d’une
entreprise de l’année (2007  n) en millions de dhs
a) m que (vn ) est une suite géométrique en précisant sa raison
A partir de qu’elle année sera le ‫ بالتوفيق‬cout inferieur strictement à
25.0016 millions de dhs ?
5
b) vérifier que vn  ( ) n déduire un en fct de n et calculer lim un
n 
6
‫ د س‬2008 ‫باك‬
‫ د ع‬2009 ‫باك‬
On considère (un ) n : u0  0 et un1 
(un ) n* est une suite géométrique
tel que : u1  100 et‫ بالتوفيق‬sa raison k  1,08
(vn ) n* est la suite tq : v1  1 et vn1  1,08 vn  8 pour tout n de *
1) vérifier que : un  100  (1,08) n1 pour tout n de *
2) soit la suite ( wn ) n* définie par : wn  vn  100 pour tout n  
*
a) montrer que ( wn ) n* est ‫ بالتوفيق‬géométrique en précisant sa raison
3) un expert propose au directeur‫ بالتوفيق‬d’une usine deux types de
machines de production :
La machine de type 1 produit un tonnes si elle marche n heures

1
iii) vérifier ‫ بالتوفيق‬que : f ([1 , 2]) [1 , 2]
(u  1) 2
n de  : un1  un   n
un
b) en déduire que vn  101 (1,08) n1  100 pour tout n de *
1
2
1
2
ii) déterminer le signe de la fonction f
b) en déduire que (un ) est décroissante et qu’elle est convergente
4) déduire que n   : un 
avec x  
1) en utilisant le tableau :
i) déterminer les extremums de f
1
pour tout n de 
un
1) montrer par récurrence que pour tout n de  : un  1
2.a) vérifier que pour tout ‫بالتوفيق‬
‫بالتوفيق‬

2

f / ( x)
7
c) m que (vn ) est géométrique de raison et calculer vn en fct de n
2
3) en déduire un en fonction ‫ بالتوفيق‬de n puis calculer lim un
Soit (un ) n la suite: u0  2 et un1  2 

x2  2
2x  1
on pose vn 
5un  4
pour tout n de 
un  2
un  4
pour tout n de 
un  1
1) montrer que (vn ) est ‫ بالتوفيق‬géométrique de raison k 
1
6
2) calculer v0 et écrire vn en fonction de n
1
4(1  ( ) n )
4  vn
6
3) m que n   : un 
déduire que n   : un 
1
1  vn
1  4( ) n
6
4) calculer‫ بالتوفيق‬lim un
n 
‫ د ع‬2007 ‫باك‬
(un ) n est une suite arithmétique de raison r  ln(2) et u0  1
1) calculer u1 et u2
2) calculer en fonction‫ بالتوفيق‬de n la somme Sn  u0  u1  ...  un1
3) i) soit vn  e  un , montrer que (vn ) est géométrique de raison
1
2
ii) déterminer vn en ‫ بالتوفيق‬fonction de n
4) on pose Sn '  v0  v1  ...  vn1 , calculer S n ' en fonction de n
et déduire‫ بالتوفيق‬lim Sn '
n 
‫ د س‬2007 ‫باك‬
(vn ) est une suite géométrique de raison k 
1
et v0  1
2
n
, Sn  u0  u1  ...  un1 et Sn '  v0  v1  ...  vn1
2
1) calculer S n ' en‫ بالتوفيق‬fonction de n
On pose un  vn 
1
n(n  1)
2) m que‫ بالتوفيق‬Sn  2[1  ( ) n ] 
puis calculer lim Sn
n 
2
4
‫ د ع‬2006 ‫باك اقتصاد‬
1
1
On considère la suite: u0  2 et un1  un  pour tout n de 
4
4
on pose‫ بالتوفيق‬pour tout n de  : vn  3un  1
2.a) m que (vn ) est une suite géométrique en précisant sa raison
b) calculer son premier terme v0 et calculer vn en fonction de n
n

1  1 
c) en déduire que : n   : un   7    1 et calculer lim un

n 
3   4 

3) a) on pose Sn  v0  v1  ...  vn1 calculer Sn en fonction de n
b) En déduire
‫بالتوفيق‬
c) calculer lim Sn '
n 
Sn '  u0  u1  ...  un1 en fonction de n