Sumário
Expansão de Taylor...............................................................................................................................2
Expansão de Legendre..........................................................................................................................5
Polinômio de Newton...........................................................................................................................7
Expansão em Série de Fourier..............................................................................................................9
Expansão de Taylor
Parte 1: Contexto Histórico
A expansão de Taylor recebe seu nome em
homenagem ao matemático britânico Brook
Taylor, que viveu de 1685 a 1731. Taylor é
conhecido por suas contribuições em várias
áreas da matemática, incluindo cálculo e
álgebra. Ele desenvolveu o conceito de
expansão de Taylor no século XVIII como
uma ferramenta para aproximar funções
complicadas por meio de polinômios.
Taylor estava interessado em encontrar
maneiras de representar funções de maneira
mais simples e aproximada. Ele observou
que muitas funções poderiam ser expressas
como uma soma infinita de termos
polinomiais, tornando mais fácil realizar
cálculos e obter resultados aproximados.
Assim, a expansão de Taylor foi
desenvolvida como uma técnica poderosa
para aproximar funções complexas por meio
de polinômios simples.
Parte 2: Definição
A expansão de Taylor é uma técnica
matemática que permite representar uma
função em torno de um ponto específico
como uma soma infinita de termos
polinomiais. Essa representação é obtida por
meio da expansão da função em uma série
de potências, onde cada termo da série é
derivado da função original.
A expansão de Taylor de uma função f(x)
em torno de um ponto x = a é dada pela
fórmula geral:
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a)/1! + f''(a)(x - a)²/2! +
f'''(a)(x - a)³/3! + ...
Nessa fórmula, f(a) representa o valor da
função no ponto a, f'(a) representa a
primeira derivada da função em relação a x
avaliada no ponto a, f''(a) representa a
segunda derivada, e assim por diante. O
termo (x - a) representa a diferença entre o
valor de x e o ponto em torno do qual a
expansão está sendo realizada.
Parte 3: Aplicação
A expansão de Taylor é uma ferramenta
amplamente utilizada em várias áreas da
matemática, física e engenharia. Algumas
das aplicações mais comuns incluem:
Aproximação de funções: A expansão de
Taylor
permite
aproximar
funções
complicadas por meio de polinômios mais
simples, facilitando os cálculos e a
compreensão dos comportamentos das
funções em torno de um ponto específico.
Isso é especialmente útil quando a função
original é difícil de ser avaliada diretamente.
Cálculo de limites: A expansão de Taylor
pode ser usada para calcular limites de
funções à medida que x se aproxima de um
determinado valor. Ao expandir a função em
uma série de Taylor, é possível obter uma
representação polinomial que facilita a
avaliação do limite.
Análise de propriedades de funções: A
expansão de Taylor permite analisar as
propriedades de uma função em torno de um
ponto específico. Ao considerar os termos da
série de Taylor, é possível determinar
informações sobre a taxa de variação,
concavidade e comportamento geral da
função.
Essas são apenas algumas das muitas
aplicações da expansão de Taylor. A técnica
é amplamente utilizada em diversas áreas da
matemática aplicada, ciências naturais e
engenharia, desempenhando um papel
fundamental
na
simplificação
e
compreensão de funções complexas.
Parte 4: Exemplo Simples
Vamos considerar a função f(x) = sin(x) e
expandi-la utilizando a série de Taylor em
torno do ponto x₀ = 0. A expansão de Taylor
da função f(x) é dada por:
f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)/1! + f''(x₀)(x x₀)²/2! + f'''(x₀)(x - x₀)³/3! + ...
No nosso exemplo, f(x) = sin(x), e x₀ = 0.
Vamos calcular os primeiros termos dessa
expansão.
Passo 1: Calcular as derivadas da função
f(x)
f'(x) = cos(x)
f''(x) = -sin(x)
f'''(x) = -cos(x)
...
Passo 2: Calcular os termos da expansão de
Taylor
Vamos calcular os termos até a terceira
ordem.
Termo de ordem zero:
f(x₀) = sin(0) = 0
Termo de primeira ordem:
f'(x₀)(x - x₀)/1! = cos(0)(x - 0) = x
Termo de segunda ordem:
f''(x₀)(x - x₀)²/2! = -sin(0)(x - 0)²/2! = 0
Termo de terceira ordem:
f'''(x₀)(x - x₀)³/3! = -cos(0)(x - 0)³/3! = -x³/6
Portanto, a expansão de Taylor da função
f(x) = sin(x) até a terceira ordem é dada por:
f(x) ≈ 0 + x + 0 - x³/6 = x - x³/6
Este é um exemplo simples da expansão de
Taylor. A expansão de Taylor é uma
ferramenta poderosa para aproximar funções
complexas utilizando polinômios. É
amplamente utilizada em diversas áreas da
matemática, física e engenharia para
aproximar funções em torno de um ponto
específico, facilitando a análise e o cálculo
de propriedades das funções.
Expansão de Legendre
f(x) = a₀P₀(x) + a₁P₁(x) + a₂P₂(x) + ...
Parte 1: Contexto Histórico
onde P₀(x), P₁(x), P₂(x), ... são os
polinômios de Legendre e a₀, a₁, a₂, ... são
os coeficientes ponderados.
A expansão de Legendre recebe esse nome
em homenagem ao matemático francês
Adrien-Marie Legendre, que viveu de 1752
a 1833. Legendre fez importantes
contribuições para diversos ramos da
matemática, incluindo a teoria dos números,
a teoria das funções elípticas e a geometria.
Ele também trabalhou extensivamente com
equações diferenciais e séries de potências,
o que levou ao desenvolvimento da
expansão de Legendre.
No início do século XIX, Legendre estudou
as propriedades dos polinômios que agora
levam seu nome, os polinômios de
Legendre. Esses polinômios surgem
naturalmente na solução de problemas com
simetria axial ou polar, e Legendre percebeu
seu potencial para a representação de
funções em tais sistemas. Assim, a expansão
de Legendre foi desenvolvida como uma
técnica para expressar funções em um
intervalo limitado (-1 a 1) em termos desses
polinômios.
Parte 2: Definição
A expansão de Legendre é uma técnica
matemática que permite representar uma
função em um intervalo limitado (-1 a 1)
como uma soma ponderada de polinômios
de Legendre. Os polinômios de Legendre
são uma família de polinômios ortogonais
que
satisfazem
uma
relação
de
ortogonalidade específica. Essa propriedade
é fundamental para a construção da
expansão de Legendre.
A expansão de uma função f(x) em uma
série de Legendre é dada por:
Os polinômios de Legendre podem ser
calculados usando fórmulas de recorrência
ou através de uma relação com polinômios
de Hermite ou polinômios de Chebyshev.
Essa expansão permite representar funções
em um intervalo limitado em termos de uma
base
de
polinômios
ortogonais,
simplificando a análise e o cálculo dessas
funções.
Parte 3: Aplicação
A expansão de Legendre tem uma ampla
gama de aplicações em diversas áreas da
física, matemática e engenharia. Alguns
exemplos de suas aplicações incluem:
Eletrodinâmica: A expansão de Legendre é
usada para descrever campos elétricos e
magnéticos em sistemas com simetria axial,
como cilindros. Essa técnica é fundamental
para resolver problemas envolvendo
eletrostática,
eletrodinâmica
e
eletromagnetismo
em
coordenadas
cilíndricas.
Mecânica Quântica: A expansão de
Legendre é aplicada na resolução de
equações de onda para partículas em
potenciais radiais. Ela permite descrever os
estados estacionários e calcular as energias
associadas aos sistemas quânticos com
simetria esférica ou axial.
Análise de Dados: A expansão de Legendre
é utilizada na análise de dados e no ajuste de
curvas. Ela pode ser usada para aproximar
funções a partir de um conjunto de pontos
experimentais,
fornecendo
uma
representação polinomial otimizada para
esses dados.
Vamos calcular os primeiros polinômios de
Legendre.
Essas são apenas algumas das muitas
aplicações da expansão de Legendre. A
técnica é extremamente versátil e está
presente em vários campos da ciência e
engenharia onde a descrição e a solução de
problemas com simetrias especiais são
necessárias.
P₀(x) = 1
P₁(x) = x
P₂(x) = (3x² - 1) / 2
P₃(x) = (5x³ - 3x) / 2
Parte 4: Exemplo Simples
Vamos considerar a função f(x) = x³ e
expandi-la utilizando a série de Legendre. A
expansão em série de Legendre da função
f(x) é dada por:
f(x) = Σ(aₙPₙ(x))
Onde Pₙ(x) é o polinômio de Legendre de
grau n.
Vamos calcular os primeiros termos dessa
expansão.
Passo 1: Calcular os coeficientes aₙ
Para encontrar os coeficientes aₙ, utilizamos
a fórmula de integração dos produtos de
funções:
aₙ = (2n + 1) / 2 ∫[ -1, 1 ] f(x)Pₙ(x) dx
No nosso exemplo, f(x) = x³, portanto:
aₙ = (2n + 1) / 2 ∫[ -1, 1 ] x³Pₙ(x) dx
Passo 2: Calcular os polinômios de
Legendre
Os polinômios de Legendre podem ser
encontrados utilizando a fórmula de
recursão:
P₀(x) = 1
P₁(x) = x
Pₙ(x) = ( (2n - 1)xPₙ₋₁(x) - (n - 1)Pₙ₋₂(x) ) / n
Passo 3: Calcular os coeficientes aₙ
Vamos calcular os coeficientes aₙ utilizando
a fórmula mencionada no Passo 1.
a₀ = (2(0) + 1) / 2 ∫[ -1, 1 ] x³P₀(x) dx
= (1/2) ∫[ -1, 1 ] x³ dx
= (1/2) * [ (x⁴/4) ] [ -1, 1 ]
=0
a₁ = (2(1) + 1) / 2 ∫[ -1, 1 ] x³P₁(x) dx
= (3/2) ∫[ -1, 1 ] x⁴ dx
= (3/2) * [ (x⁵/5) ] [ -1, 1 ]
=0
a₂ = (2(2) + 1) / 2 ∫[ -1, 1 ] x³P₂(x) dx
= (5/2) ∫[ -1, 1 ] x³(3x² - 1)/2 dx
= (5/4) ∫[ -1, 1 ] (3x⁵ - x³) dx
= (5/4) * [ (x⁶/6 - x⁴/4) ] [ -1, 1 ]
=0
a₃ = (2(3) + 1) / 2 ∫[ -1, 1 ] x³P₃(x) dx
= (7/2) ∫[ -1, 1 ] x³(5x³ - 3x)/2 dx
= (35/8) ∫[ -1, 1 ] (5x⁶ - 3x⁴) dx
= (35/8) * [ (x⁷/7 - x⁵/5) ] [ -1, 1 ]
=0
Portanto, todos os coeficientes aₙ são iguais
a zero, o que indica que a expansão de
Legendre da função f(x) = x³ será nula.
Este é um exemplo simples da expansão de
Legendre. No entanto, é importante destacar
que a expansão de Legendre é amplamente
utilizada em diversas áreas da física e
matemática, especialmente na solução de
problemas de valor de contorno, equações
diferenciais parciais e na análise de campos
elétricos e magnéticos.
Polinômio de Newton
Parte 1: Contexto Histórico
O polinômio de Newton, também conhecido
como polinômio interpolador de Newton, é
uma técnica desenvolvida pelos matemáticos
britânicos Isaac Newton e John Gregory no
século XVII. Ambos contribuíram para o
desenvolvimento da teoria de interpolação,
que busca encontrar uma função que passe
por um conjunto de pontos específicos. Essa
técnica foi um avanço significativo no
campo da matemática e trouxe contribuições
importantes para o cálculo numérico.
Parte 2: Definição
Parte 3: Aplicação
O polinômio de Newton é amplamente
aplicado em problemas de interpolação
numérica. Ele é utilizado para aproximar
funções complexas por meio de um
polinômio de grau igual ou menor que o
número de pontos interpolados. Essa técnica
é muito útil quando se deseja estimar o valor
de uma função em um ponto não dado, com
base em pontos conhecidos.
Além disso, o polinômio de Newton também
é utilizado em outras áreas da matemática,
como análise numérica e cálculo
aproximado de funções. Ele fornece uma
representação simplificada de uma função
complexa, facilitando os cálculos e a
manipulação matemática.
O polinômio de Newton é um polinômio
utilizado para aproximar uma função a partir
de um conjunto de pontos interpolados. Ele
é construído utilizando as diferenças
divididas, que são coeficientes calculados a
partir dos pontos e das respectivas
diferenças entre eles. O polinômio é
formado pela soma de termos que envolvem
essas diferenças divididas, juntamente com
os produtos das diferenças entre o ponto a
ser interpolado e os pontos dados.
Parte 4: Exemplo Simples
A forma geral do polinômio de Newton é
dada por:
f[x₀, x₁] = (f(x₁) - f(x₀))/(x₁ - x₀) = (4 - 3)/(2
- 1) = 1
P(x) = f[x₀] + f[x₀, x₁](x - x₀) + f[x₀, x₁, x₂]
(x - x₀)(x - x₁) + ...
f[x₁, x₂] = (f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁) = (7 - 4)/(3
- 2) = 3
onde f[x₀] representa o valor da função f no
ponto x₀, f[x₀, x₁] representa a diferença
dividida de primeira ordem entre os pontos
x₀ e x₁, f[x₀, x₁, x₂] representa a diferença
dividida de segunda ordem entre os pontos
x₀, x₁ e x₂, e assim por diante.
Agora, podemos construir o polinômio de
Newton interpolador:
Considere o seguinte conjunto de pontos:
x₀ = 1, f(x₀) = 3
x₁ = 2, f(x₁) = 4
x₂ = 3, f(x₂) = 7
A partir desses pontos, podemos calcular as
diferenças divididas:
P(x) = f[x₀] + f[x₀, x₁](x - x₀) + f[x₀, x₁, x₂]
(x - x₀)(x - x₁)
Substituindo os valores das diferenças
divididas e dos pontos:
P(x) = 3 + 1(x - 1) + 3(x - 1)(x - 2)
Simplificando, obtemos:
P(x) = 3 + (x - 1) + 3(x - 1)(x - 2)
P(x) = 3 + x - 1 + 3x² - 9x + 6
P(x) = 3x² - 8x + 8
Portanto, o polinômio de Newton
interpolador para os pontos dados é P(x) =
3x² - 8x + 8. Esse polinômio é uma
aproximação da função original f(x) com
base nos pontos interpolados.
Expansão em Série de Fourier
Parte 1: Contexto Histórico
A expansão em série de Fourier recebe seu
nome em homenagem ao matemático
francês Jean-Baptiste Joseph Fourier, que
viveu de 1768 a 1830. Fourier foi um dos
pioneiros na aplicação da análise
matemática ao estudo do calor e das
equações diferenciais. Em seu trabalho
revolucionário, "Théorie Analytique de la
Chaleur" (Teoria Analítica do Calor),
publicado em 1822, Fourier introduziu o
conceito de séries trigonométricas que ficou
conhecido como série de Fourier.
Fourier estava interessado em entender a
propagação de calor em objetos sólidos e
fluidos. Ele percebeu que funções periódicas
poderiam ser representadas como uma soma
infinita de senos e cossenos, com diferentes
frequências e amplitudes. Essa descoberta
teve um impacto significativo na matemática
e na física, e a expansão em série de Fourier
foi desenvolvida como uma ferramenta
poderosa para analisar e descrever
fenômenos periódicos.
Parte 2: Definição
A expansão em série de Fourier é uma
técnica matemática que permite representar
uma função periódica como uma soma
infinita de senos e cossenos (ou
exponenciais complexas) com diferentes
frequências. Essa representação é obtida
através do desdobramento da função em
uma série de termos harmônicos.
Para uma função periódica f(x) com período
T, a expansão em série de Fourier é dada
por:
f(x) = a₀/2 + Σ(aₙcos(nω₀x) + bₙsin(nω₀x))
onde a₀/2 é o termo médio da função, aₙ e bₙ
são os coeficientes que representam as
amplitudes dos senos e cossenos,
respectivamente, ω₀ é a frequência
fundamental (2π/T) e n é um número inteiro.
Os coeficientes aₙ e bₙ são calculados
usando integração, levando em consideração
a função f(x) e seus produtos com senos e
cossenos correspondentes.
Parte 3: Aplicação
A expansão em série de Fourier é
amplamente aplicada em várias áreas da
matemática, física e engenharia. Algumas
das principais aplicações incluem:
Análise de sinais e sistemas: A expansão de
Fourier permite decompor um sinal em suas
componentes de frequência, fornecendo
informações valiosas sobre as características
do sinal. Isso é essencial em áreas como
processamento de sinais, telecomunicações,
análise de dados e reconhecimento de
padrões.
Processamento de imagens: A expansão de
Fourier é utilizada em técnicas de
processamento de imagens, como a
transformada de Fourier, que mapeia a
imagem do domínio espacial para o domínio
de frequência. Essa transformação permite
análises e manipulações eficientes de
imagens, como remoção de ruído, filtragem
e compressão de dados.
Física e engenharia: A expansão de Fourier é
aplicada em várias áreas da física e
engenharia,
como
acústica,
óptica,
eletromagnetismo e mecânica quântica. Ela
permite descrever e analisar fenômenos
periódicos, como ondas sonoras, campos
eletromagnéticos, vibrações mecânicas e
propagação de partículas quânticas.
Essas são apenas algumas das muitas
aplicações da expansão em série de Fourier.
A técnica é amplamente utilizada em
diversas áreas onde a análise de fenômenos
periódicos é necessária, fornecendo uma
ferramenta poderosa para descrever e
compreender esses fenômenos complexos.
Parte 4: Exemplo Simples
Vamos considerar a função f(x) definida no
intervalo [-π, π] dada por:
f(x) = x
Vamos encontrar a expansão em série de
Fourier dessa função.
Passo 1: Determinar os coeficientes da série
de Fourier
Os coeficientes da série de Fourier podem
ser encontrados utilizando as fórmulas:
a₀ = (1/π) ∫[-π, π] f(x) dx
aₙ = (1/π) ∫[-π, π] f(x) cos(nx) dx
bₙ = (1/π) ∫[-π, π] f(x) sin(nx) dx
No nosso exemplo, temos f(x) = x. Portanto:
a₀ = (1/π) ∫[-π, π] x dx
= (1/π) * [ (x²/2) ] [-π, π]
=0
aₙ = (1/π) ∫[-π, π] x cos(nx) dx
= (1/π) * [ (x sin(nx))/n ] [-π, π]
=0
bₙ = (1/π) ∫[-π, π] x sin(nx) dx
= (1/π) * [ (-x cos(nx))/n² + (sin(nx))/n³ ] [π, π]
=0
Portanto, todos os coeficientes a₀, aₙ e bₙ são
iguais a zero, o que indica que a expansão da
série de Fourier da função f(x) = x será nula.
No entanto, é importante destacar que a
expansão em série de Fourier é amplamente
utilizada em diversas áreas da física e
matemática para representar funções
periódicas de forma eficiente. A escolha de
uma função diferente de f(x) = x levará a
coeficientes não nulos e uma série de
Fourier não nula.