1
Análisis de potencia instantánea
En sistemas eléctricos la potencia instantánea se calcula como la multiplicación
de voltaje por corriente
p(t) = v(t)i(t)
(1)
Es posible calcular la misma potencia en sistemas trifásicos utilizando variable
svectoriales y el producto punto
p(t) = vT (t)i(t)
(2)
con


va (t)
v(t) =  vb (t)  ,
vc (t)


ia (t)
i(t) =  ib (t) 
ic (t)
(3)
resultando
p(t) = va (t)ia (t) + vb (t)ib (t) + vc (t)ic (t)
(4)
Si se aplica cualquier transformación lineal M al sistema trifásico se puede
expresar el sistema en nuevas coordenadas xyz,
vxyz (t) = Mv(t),
ixyz (t) = Mi(t)
(5)
Las variables transformada se pueden expresar en función de las variables originales utilizando la transformada inversa
v(t) = M−1 vxyz (t),
i(t) = M−1 ixyz (t)
(6)
por lo tanto la potencia queda definida como
p(t) =vT (t)i(t)
−1
=(M
(7)
T
−1
ixyz (t)
(8)
T
=vxyz
(t)(M−1 )T M−1 ixyz (t)
vxyz (t)) M
(9)
Si la transformada es ortogonal se tiene M−1 = MT , resultando
T
p(t) =vxyz
(t)ixyz (t)
(10)
y por lo tanto la potencia en este nuevo eje coordenado tiene la misma expresión
que en los ejes trifásicos originales
p(t) = vx (t)ix (t) + vy (t)iy (t) + vz (t)iz (t)
(11)
Las transformadas αβ0 y dq0 cumplen con la propiedad de ser ortogonales. Las
transformadas αβ y dq son pseudo-ortogonales pues, aunque la matriz no tiene
inversa, la transformada inversa se obtiene con la matriz transpuesta.
1
2
Potencia reactiva instantánea
Para calcular la potencia reactiva es necesario aplicar un operador al voltaje
que permita generar una señal ortogonal.
q(t) = v⊥ (t)i(t)
(12)
En el caso trifásico este operador está dado por
v⊥ (t) = J⊥ v(t)
(13)
Con

0
1 
1
J⊥ = √
3 −1

−1
1
0 −1 
1
0
(14)
Ası́ la potencia queda como
q(t) =(v⊥ (t))T i(t)
T
=(J⊥ v(t)) i(t)
=v
T
(t)JT⊥ i(t)
(15)
(16)
(17)
La potencia reactiva, en variable trifásicas queda como
q(t) =
vc (t) − vb (t)
va (t) − vc (t)
vb (t) − va (t)
√
√
√
ia +
ib +
ic
3
3
3
(18)
Si se utiliza una transfromación lineal se tiene
q(t) =vT (t)JT⊥ i(t)
−1
(19)
=(M vxyz (t)) JT⊥ M−1 ixyz (t)
T
=vxyz
(t)(M−1 )T JT⊥ M−1 ixyz (t)
T
(20)
(21)
Considerando una transformada ortogonal se llega a
T
q(t) =vxyz
(t)MJT⊥ MT ixyz (t)
T
=vxyz
(t)Jixyz (t)
(22)
(23)
con


−1 0
0 0 
0 0
0
J= 1
0
(24)
Por lo tanto en la potencia en ejes αβ0, dq0 y no aparece la potencia en eje cero
y son equivalentes a los ejes αβ y dq y está dado por
q(t) = − vx iy + vy ix
2
(25)