CAPITULO 5
FUNCIONES
5.1 Concepto de función
Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A un único
elemento de un conjunto B.
f:A→B
“f es una función de A en B”
A es el DOMINIO o CONJUNTO DE PARTIDA
B es el CODOMINIO o CONJUNTO DE LLEGADA
x
f
f(x)
5.1 Concepto de función
y = f (x)
Variable dependiente
(depende del valor que tome x)
Variable independiente
5.1 Concepto de una función
Para que sea función, debe cumplir dos condiciones:
• EXISTENCIA
y = 𝑥 2 es función
• UNICIDAD DE IMAGEN
“Para cada valor de x en el dominio DEBE EXISTIR un
ÚNICO valor en el conjunto de llegada que sea imagen de x”
y = ± 𝑥 NO es función
5.1 Concepto de función
• DOMINIO Dom (f ) → todos los valores x tales que f (x) está definida en los reales
• IMAGEN Img (f ) → todos los posibles resultados al efectuar f (x)
Imagen
f (x)
x
f:A→B
Dominio A
y = f (x)
Codominio B
El dominio son todos los valores que puede tomar x, la imagen son todos los valores que puede tomar y
5.1 Concepto de función
Casos especiales de dominio:
• Caso 1: función polinómica
Dom (f ) = ℝ
• Caso 2 : función racional
El denominador debe ser  0
• Caso 2 : función radical de índice par
El radicando debe ser ≥ 0
5.1 Concepto de función
Casos especiales de dominio:
• Caso 4: función exponencial
Dom (f ) = ℝ
• Caso 5: función logarítmica
El argumento debe ser ˃ 0
5.1 Concepto de función
RAÍZ de una función: todo valor que pertenece al dominio que
hace a la función cero.
f (x) = 0
Son los puntos donde la gráfica de la función corta al eje x.
Para determinarlas analíticamente, hay que factorizar la
función.
Los puntos A y B son las raíces
Ejercicios 5.1
5.2 Función afín
f (x) = ax + b
a es la PENDIENTE
𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ
b es la ORDENADA AL ORIGEN
Su gráfica es una RECTA.
Para graficarla, necesitamos dos puntos o un punto y la pendiente.
Para saber si un punto pertenece a una recta, el punto debe satisfacer la ecuación de la recta.
Es decir, para saber si el punto P(x,y) pertenece a y = ax+b, tengo que reemplazar las
coordenadas (x,y) del punto en la ecuación de la función y fijarme si verifica.
Si verifica, pertenece a la recta, sino no.
5.2 Función afín
• Rectas PARALELAS: son las que tienen la misma pendiente.
a debe ser igual para ambas rectas
• Rectas PERPENDICULARES: son las cuales el producto de su pendiente es igual a -1.
una recta tiene pendiente a y la otra −
1
𝑎
• Rectas HORIZONTALES: tienen la forma y = b, porque a = 0.
• Rectas VERTICALES: tienen la forma x = c, NO SON FUNCIÓN.
5.2 Función afín
Ecuación punto – pendiente
𝑦 − 𝑦1 = 𝑎 (𝑥 − 𝑥1 )
Ecuación de la pendiente
𝑦2 − 𝑦1
𝑎=
𝑥2 − 𝑥1
Para determinar la ecuación de la función afín, puedo hacerlo sabiendo un punto y la
pendiente, o dos puntos que pertenecen a la recta.
Ejercicios 5.2
5.3 Sistemas de Ecuaciones Lineales: gráfica
Intersección en un punto
Sistema Compatible
Determinado
El punto donde se cortan
es la única solución
Coincidentes
Paralelas
Sistema Compatible
Indeterminado
Sistema Incompatible
Se cortan en infinitos puntos
→ infinitas soluciones
No se cortan en ningún punto
→ no hay solución
Ejercicios 5.3
5.4 Función cuadrática
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
a es el COEFICIENTE CUADRÁTICO
𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ , 𝑎 ≠ 0
c es el TÉRMINO INDEPENDIENTE
b es el COEFICIENTE LINEAL
Su gráfica es una PARÁBOLA.
Los puntos más importantes de la parábola son:
• las raíces
• la intersección con el eje y
• el vértice
• el eje de simetría
5.4 Función cuadrática
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 4
𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ , 𝑎 ≠ 0
Si a ˃ 0 → la parábola abre hacia arriba
Si a < 0 → la parábola abre hacia abajo
Si a = 0 → es una recta
1
𝑓 𝑥 = 𝑥2
8
El término c traslada verticalmente la gráfica.
Por ejemplo, si c = 2, el vértice de la gráfica estará
en el punto (x,2)
El coeficiente b traslada horizontalmente la gráfica.
ℎ 𝑥 = −2𝑥 2 − 1
5.4 Función cuadrática
𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 +𝑘
Forma canónica de la función cuadrática:
• El vértice es el punto V(h,k) donde:
• El eje de simetría es la recta:
ℎ=−
𝑏
2𝑎
;
𝑏2
k=𝑐−
4𝑎
𝑥=ℎ
• El valor máximo o mínimo se alcanza en:
𝑏
x=
2𝑎
Si a ˃ 0 → es el mínimo alcanzado por f
Si a < 0 → es el máximo alcanzado por f
5.4 Función cuadrática
Para hallar las raíces:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
y aplico resolvente.
Pueden ocurrir tres casos:
• Que haya DOS soluciones: la gráfica corta al eje x en dos puntos.
• Que haya UNA solución: el vértice de la parábola está sobre el eje x, es decir, V(h,0)
• Que no haya solución: la parábola esta completamente por encima o por debajo del eje x.
El polinomio factorizado tendrá la forma: 𝑝 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )
5.4 Función cuadrática
ℎ 𝑥 = 𝑥2 +
3
2
• La función f tiene dos raíces, los puntos A y B
A(-2,0) y B(2,0)
• La función g tiene una única raíz, el punto E
E(0,0) es el vértice
• La función h no tiene raíces
𝑔 𝑥 = 𝑥2
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4
Ejercicios 5.4