Función
Una función es una relación entre dos conjuntos X y Y, en la que a
todo elemento del conjunto X le corresponde un único elemento del
conjunto Y.
Así, una función definida del conjunto X en el conjunto Y se
simboliza f: X Y, donde X se denomina conjunto de partida y Y,
conjunto de llegada.
Las funciones se pueden representar mediante diagrama sagital,
tabla de valores, expresión algebraica o gráficamente. Por ejemplo,
la función que asigna a cada número natural su triple, tiene como
expresión algebraica f(x) 3x, donde x
. Esta función también
se puede representar de las siguientes formas.
Los valores que tienen los puntos de la tabla se refieren a los puntos
que se localizan en un plano cartesiano.
Además, si los elementos a y b se relacionan mediante la función f,
de modo que a X y b Y, entonces, b es la imagen de a y se
escribe f(a) b que se lee “f de a igual a b”.
Los elementos de una función son:
Dominio: es el conjunto de partida de la función, se escribe Dom f.
Codominio: es el conjunto de llegada de la función, se escribe Cod
f.
Rango: es el conjunto formado por los elementos del codominio que
son imagen de los elementos del dominio, se escribe Ran f.
En algunas situaciones el codominio de la función coincide con su
rango.
Representación de funciones
Ejemplos resueltos en clase
1. Determinar cuáles de las siguientes relaciones son
funciones.
a. Para que una relación sea función se debe cumplir que a cada
elemento del dominio le corresponda un único elemento del
codominio. Así, en la relación y f(x), al elemento c del
conjunto X le corresponden los elementos 2 y 3 del
conjunto Y. Por esto, la relación f: X
Y no es una función.
2. Representar cada función según se indica. Luego, indicar el
dominio y el rango.
a. En un diagrama sagital, una función que asigne a cada una de las
primeras cinco letras del abecedario, uno de los primeros cinco
números naturales.
b. En una gráfica, la función que asigna a cada número real el
número 2.
b. En la relación y g(x), se tiene que a cada número real x tal
que x
[0, 5], le corresponde un único número real y tal
que y
[2, 4]. Por esto, la relación g: X Y es una función.
En este caso, el dominio y el rango de la función son los
intervalos [0, 5] y [2, 4], respectivamente.
3. Un cliente de una empresa de telefonía celular paga $30.000 de
cuota mensual más $250 el minuto adicional.
Variables dependientes e independientes
Cuando se establece una función entre dos magnitudes, se puede
observar que una de ellas depende de los valores que se le asignen a
la otra. Así, en una función existen dos tipos de variables: la variable
dependiente y la variable independiente.
Por ejemplo, en la función C(x) 17.000x, donde C(x) es el costo de
producción de x artículos, se tiene que x es la variable independiente
y C(x) la variable dependiente, ya que el costo depende de la
cantidad de artículos que se produzcan.
Función lineal y función afín
Una función lineal es una función de la forma f(x)
un número real.
Ejemplos resueltos en clase
mx, donde m es
Una función afín es una función de la forma f(x)
y b son números reales diferentes de cero.
mx
b, donde m
Por ejemplo, la función f(x) 2x es una función lineal y la función
g(x)
2x 1 es una función afín. Gráficamente, la función lineal y
la función afín se diferencian en que la función lineal pasa por el
punto de origen (0, 0), mientras que la función afín no pasa por ese
punto, como se muestra en las siguientes gráficas.
Ejemplos
6. Establecer la expresión algebraica que corresponde a la función
que se representa en la
​siguiente tabla de valores. Luego, clasificar la función y realizar
la gráfica.
7. Una nevera descompuesta tiene una temperatura inicial de 5 °C,
la cual disminuye 0,1 °C por minuto hasta los 0 °C.
La recta
Si P1 es un punto de coordenadas (x1, y1) y P2 es un punto de
coordenadas (x2, y2), se define la pendiente de una recta como m
.
Por tanto, la pendiente indica la razón entre la variación vertical y la
variación horizontal. Gráficamente, la variación vertical corresponde
a la diferencia entre las ordenadas de ambos puntos (y1 y y2) y la
variación horizontal es la diferencia entre las abscisas de ambos
puntos (x1 y x2). Además, si a medida que aumentan los valores de x
también aumentan los correspondientes valores de y, entonces, la
pendiente de la recta es positiva. En cambio, si a medida que
aumentan los valores de x los correspondientes valores de y
disminuyen, entonces, la pendiente es negativa.
Ejemplos
8. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 2, 3)
y (1, 0).
Clasificación de las rectas según su
pendiente
Las rectas se clasifican en crecientes, decrecientes, horizontales y
verticales de acuerdo con su
​ pendiente m.