La superficie cónica esta generada por
el giro de una pendiente llamada
generatriz (g) alrededor de un eje (e)
con el cuál se corta en un punto llamado
vértice (V).
Se le llama sección cónica al lugar
geométrico de los puntos, cuya relación
de distancias a un punto y una recta es
constante,
El punto fijo se llama foco de la cónica.
La recta fija directriz
La relación constante excentricidad (e)
Las secciones cónicas se clasifican de acuerdo a tres categorías de
acuerdo a forma y propiedades, establecidas según los valores de
excentricidad:
 si 𝑒 < 1, la cónica es una elipse
 Si 𝑒 = 1, la cónica es una parábola
 Si 𝑒 > 1, la cónica se llama hipérbola
PARÁBOLA
Dados en un plano una recta (llamada
directriz) y un punto fijo (llamado foco), se
denomina parábola al lugar geométrico
de los puntos del plano que equidistan
del foco y de la directriz
La ecuación de una parábola es:
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐
Esta ecuación es de la parábola con eje vertical y cuyo vértice es:
(𝑥0 , 𝑦0 )
EC. CANÓNICAS DE LA PARÁBOLA
Primer caso:
Consideramos que el foco se
encuentra
sobre
el
eje
de
abscisas a una distancia “p” del
origen,
y
la
directriz
es
perpendicular al eje de abscisas y
se encuentra a una distancia “p”
del origen.
Los datos que podemos obtener son:
(𝑥 + 𝑝)2 = (𝑥 − 𝑝)2 +𝑦 2 →
𝐹 (𝑝, 0)
𝑥 2 + 2𝑝𝑥 + 𝑝2 = 𝑥 2 − 2𝑝𝑥 + 𝑝2 + 𝑦 2
Directriz:
𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 x=−p
𝑃 𝑥, 𝑦 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑔𝑒𝑛é𝑟𝑖𝑐𝑜
Incógnita:
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎
𝑃 𝑥, 𝑦 𝜖 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒:
𝑑 𝑃, 𝑟 = 𝑑(𝑃, 𝐹)
𝑃 𝑥, 𝑦 𝜖 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 ⟺ 𝑥 + 𝑝 =
(𝑥 − 𝑝)2 +𝑦 2
Al despejar obtendremos:
𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙
Eje focal coincidente con el eje de las
abscisas.
Consideraciones de la ecuación de la parábola
Sea G la gráfica de la parábola
CASO 1
1) Intersección con los ejes:
𝐺 ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑥 ⇒ 𝑦 = 0 ⇒ 4𝑝𝑥 = 𝑥 = 0 ⇒ 𝑉(0,0)
𝐺 ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑦 ⇒ 𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 2 = 0 ⇒ 𝑦 = 0 ⇒ 𝑉(0,0)
La parábola pasa por el origen de coordenadas (0,0) a ese punto se lo
llama vértice de la parábola.
2) Simetrías
a) respecto al eje de abscisas: 𝑦 → −𝑦
(−𝑦)2 = 4𝑝𝑥 ⇒ 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 ∴ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎
b) respecto al eje de ordenadas: 𝑥 → −𝑥
𝑦 2 = 4𝑝 −𝑥 ⇒ 𝑦 2 = −4𝑝𝑥 ∴ 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡í𝑎
c) respecto al origen: 𝑥 → −𝑥 ∧ 𝑦 → −𝑦
(−𝑦)2 = 4𝑝 −𝑥 ⇒ 𝑦 2 = −4𝑝𝑥 ∴ 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎
Caso 2
Consideramos que el foco se encuentra sobre el
eje de las ordenadas a una distancia p del
origen, la directriz es perpendicular al eje de las
ordenadas y se encuentra a una distancia p del
origen.
Los datos que podemos obtener son:
𝐹 (0, 𝑝)
Directriz:
𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 y=−p
Los datos que podemos obtener son:
Al igual que en el caso
𝐹 (𝑝, 0)
anterior, si se resuelve la raíz
Directriz:
𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 x=−p
nos dará como resultado:
𝑃 𝑥, 𝑦 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑔𝑒𝑛é𝑟𝑖𝑐𝑜
Incógnita:
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎
𝑃 𝑥, 𝑦 𝜖 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 ⇔ 𝑑 𝑃, 𝑟 = 𝑑(𝑃, 𝐹)
𝑑 𝑃, 𝑟 = 𝑑(𝑃, 𝐹)
𝑃 𝑥, 𝑦 𝜖 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 ⟺
𝑦−𝑝
2
+ 𝑥2 = 𝑥 + 𝑝
𝒙𝟐 = 𝟒𝑷𝒚
(𝑦 − 𝑦𝑜 )2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑥0 )
𝑥 − 𝑥0 − 𝑝 = 0
𝐹 𝑥0 + 𝑝, 𝑦0
(𝑦 − 𝑦𝑜 )2 = −4𝑝(𝑥 − 𝑥0 )
𝑥 − 𝑥0 + 𝑝 = 0
𝐹 𝑥0 − 𝑝, 𝑦0
(𝑥 − 𝑥𝑜 )2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑦0 )
y − 𝑦0 − 𝑝 = 0
𝐹 𝑥0 , 𝑦0 + 𝑝
(𝑥 − 𝑥𝑜 )2 = −4𝑝(𝑦 − 𝑦0 )
y − 𝑦0 + 𝑝 = 0
𝐹 𝑥0 , 𝑦0 − 𝑝
Escribe la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco (0,4)
𝑥 2 = 4𝑝𝑦
𝑥2 = 4 ∗ 4 ∗ 𝑦
→ 𝒙𝟐 = 𝟏𝟔𝒚
En la capucha de un foco reflector de forma parabólica
se coloca al centro la resistencia. Si el foco, tiene un
diámetro de 48 cm y la profundidad es de 16 cm. ¿a
qué distancia del vértice se encuentra la resistencia?
𝑥 2 = 4𝑝𝑦
Coordenadas: (24,16)
2
24
576
2
24 = 4𝑝16 → 𝑝 =
=
=9
4 ∗ 16
64
Encuentra la ecuación de la parábola que tiene vértice en el origen y su
eje a lo largo “x” pasa por la coordenada (-3,6).
𝑦 2 = 4𝑝𝑥 → 𝑦 2 = 4𝑝 −3 = 𝑦 2 = −12𝑝
La ecuación de una parábola está dada por 𝑥 2 = −6𝑦, encuentra las
coordenadas del foco, ecuación de la directriz y longitud del LR.
𝑥 2 = 4𝑝𝑦
𝑥 2 = −6𝑦
6
3
4𝑝 = −6 → 𝑝 = − = −
4
2
(𝑥 − 2)2 = 4(𝑦 + 3)
Abre: y positivo
Vértice:
𝑥0 , 𝑦0 → (2, −3)
4
4𝑝 = 4 → 𝑝 = = 1
4
Foco: (2, -2)
(𝑥 − 𝑥0 )2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑦0 )
(𝑦 + 5)2 = −12(𝑥 − 1)
(𝑥 − 𝑥0 )2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑦0 )
Escribe la ecuación de la parábola con vértice
en el origen y F(4,0)
𝑦 2 = 4𝑝𝑥
𝑝=4
𝑝 = 16
𝑦 = −4
(𝑦 − 𝑦0 )2 = 4𝑝 𝑥 − 𝑥0
(𝑦 − 0)2 = 4𝑝 𝑥 − 0
 Encuentra la ecuación de la parábola sabiendo que el foco (2,0) y
directriz Y=2
 Halle la ecuación de la parábola cuyo foco es (−2, 2) y su directriz la
recta x − 4 = 0.
LA ECUACIÓN GENERAL DE LA
PARÁBOLA
La ecuación general es:
𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 = 𝐹
Debe ser: 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0
Sin embargo, 𝑨 𝒚 𝑪 𝒏𝒐 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆𝒏 ser nulos
al mismo tiempo
Grafica y encuentra F, V y D. con la ecuación canónica de la parábola a partir
de la ecuación general.
𝑦 2 − 12𝑥 − 10𝑦 + 13 = 0
Paso 1 separar las variables y el término independiente
𝑦 2 − 10𝑦
= 12𝑥 − 13
Paso 2 Encontrar el TCP (dividir el término lineal entre 2 y elevar al cuadrado)
𝑦 2 − 10𝑦
= 12𝑥 − 13 →
𝑦 2 − 5𝑦 + 𝟐𝟓 = 12𝑥 − 𝟏𝟑 + 𝟐𝟓
Entonces: ( Y -5 )(Y - 5)= (y-5)^2
(𝒚 − 𝟓)𝟐 = 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟐
Paso 3 factorizar “x” para que coincida con la ecuación canónica de la
parábola
(𝑦 − 𝑦0 )2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑥0 )
(𝒚 − 𝟓)𝟐 = 𝟏𝟐(𝒙 + 𝟏)
Ahora solo falta resolver para encontrar todas las partes respectivas de
la parábola
Encuentra F, V, D, LR y hacia donde abra la gráfica de la función
𝑦 2 − 7𝑥 − 8𝑦 − 5 = 0
𝑦 2 − 8𝑦 = 7𝑥 + 5
𝑦 2 − 4𝑦 + 16 = 7𝑥 + 5 + 16
𝑦 − 4
𝑦 − 4 = (𝑦 − 4)2
(𝑦 − 4)2 = 7𝑥 + 21
(𝑦 − 4)2 = 7(𝑥 + 3)
Encuentra F, V, D, LR y hacia donde abra la gráfica de la función
𝑥 2 − 6𝑥 − 8𝑦 − 7 = 0
𝑥 2 − 6𝑥 = 8𝑦 + 7
𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 8𝑦 + 7 + 9
𝑥 − 3 𝑥 − 3 → (𝑥 − 3)2
HIPÉRBOLA
Dados dos puntos 𝐹1 𝑦 𝐹2 conjunto de puntos del plano tales que el
valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es
constante.
𝑐>𝑎>0
𝑐 2 > 𝑎2
𝑐 2 − 𝑏2 = 𝑎2
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2
Elementos de la hipérbola:
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario
Es la mediatriz del segmento 𝐹𝐹´
Centro
Es el punto de intersección de los ejes
Vértices
Los puntos 𝐴 𝑦 𝐴' son de intersección de la hipérbola con
el eje principal o real.
Los puntos 𝐵 𝑦 𝐵′ se obtienen como intersección del eje
imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno
de los vértices y de radio c
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la
hipérbola a los focos: 𝑷𝑭 𝒚 𝑷𝑭′
Distancia focal
Es el segmento 𝐹𝐹´ de longitud 2𝑐
Eje mayor
Es el 𝐴𝐴´ de una distancia 2a
Eje menor
Es el segmento 𝐵𝐵´ de longitud 2b
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario
Asíntotas
Son las rectas de ecuaciones 𝑦 = −
𝑏
𝑎
Relación entre los semiejes
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝑥
;𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥
F
F
2a
2C
Identificar la ecuación de la
hipérbola:
−2𝑥 2 + 𝑦 2 = 0
𝑥 2 − 3𝑦 2 + 2𝑥 − 5𝑦 − 5 = 0
5𝑥 2 + 𝑦 = 3
𝑥2
+3=7
𝑦 − 3 − 5 = 20y
5𝑥 2 𝑦 2
−
=0
9
25
−4𝑥 2 + 5𝑦 2 − 5𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
4𝑥 2 + 6𝑦 2 − 9𝑥 + 3 = 0
𝑥−𝑦 =9
(𝑥 − 2)2 (𝑦 + 1)2
−
=0
16
25
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA:
Eje principal, paralelo a 𝑥
𝑥2 𝑦2
− 2=1
2
𝑎
𝑏
Eje principal, paralelo a 𝑦
𝑦2 𝑥2
− 2=1
2
𝑎
𝑏
Encuentra la gráfica, los focos y la ecuación de las asíntotas de la siguiente
función:
𝒙𝟐 𝒚𝟐
−
= 𝟏)
𝟒
𝟗
𝑎2 = 9 → 𝑎 = 3; 𝑏 2 = 4 𝑏 = 2
𝑐=
𝑎2 + 𝑏2 →
𝑥1 = 3.6
9 + 4 → ± 13
𝑥2 = −3.6
Esos resultados obtenidos son consideran los focos de la hipérbola
Para obtener lado recto:
𝟐𝒃𝟐
2∗4
𝑳𝑹 =
→ ±
= 2.6, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 1.3
𝒂
3
Para obtener el centro partimos de la ecuación canónica:
𝑥2 𝑦2
−
=1
4
9
Para identificar el centro de una manera general se aplica el siguiente criterio:
(𝑥 − ℎ)2
𝑦−𝑘
−
2
𝑎
𝑏2
2
(𝑥 − 0)2
𝑦−0
=1 →
−
4
9
2
=1
Encuentra la gráfica, focos, lado recto, centro y vértices de la siguiente función
(𝑦 − 5)2
𝑥+2
−
16
4
2
=1
Para identificar el eje mayor, se compara contra las siguientes ecuaciones:
(𝑥 − ℎ)2
𝑦−𝑘
−
2
𝑎
𝑏2
2
(𝑦 − 𝑘)2
𝑥−ℎ
−
2
𝑎
𝑏2
2
=1
=1
Para localizar el centro:
Se identifica que en la fórmula es 𝒙 − 𝒉 , es decir, el valor de – 𝒉 = 𝟐 y
para que se encuentre el valor positivo de la función será:
𝒉 = −𝟐, de igual manera con el valor de 𝒌, es decir, 𝒚 − 𝒌 , por lo que
– 𝒌 = −𝟓, por lo que aplicando el criterio anterior se convertirá en 𝒌 = 𝟓
Por lo que las coordenadas del centro de la función son:
ℎ, 𝑘
→ (−2, 5)
(𝑦 − 5)2
𝑥+2
−
16
4
𝑎2 = 16
2
=1
→ 𝑎 = 16 = ±4
𝑏 2 = 4 → 𝑏 = 4 = ±2
𝑐 2 = 16 + 4 → 𝑐 = 20 = 4.47
𝟐𝒃𝟐 𝟐 ∗ 𝟒
𝑳𝑹 =
=
=𝟐
𝒂
𝟒
Encuentra los elementos de la hipérbola:
𝑥2
16
−
𝑦2
9
=1
𝐶(0,0)
𝑎2 = 16
→ 𝑎 = ±4
𝑏 2 = 9 → 𝑏 = ±3
𝑐 2 = 25 → 𝑐 = ±5
2𝑏 2 2 ∗ 9 18
𝐿𝑅 =
=
=
= 4.5
𝑎
4
4
→ 2.25
Realiza la gráfica, encuentra los focos, vértice, LR y las
ecuaciones de las asíntotas:
4𝑦 2 − 2𝑥 2 = 1
𝑦 2 𝑥2
1 −1 =1
1
1
4
2
𝑎2
1
=
4
𝑏2
1
=
2
→𝑎=
→𝑏=
1 1
=
4 2
1
2
1
2
2
𝐿𝑅 =
=2
1
2
(𝑥 + 3)2
𝑦−1
−
16
9
(𝑥 + 3)2
𝑦−1
−
16
9
𝑥+3
16
2
2
=1
2
𝑥+3
16
=0 →
𝑦−1
=
9
2
→
𝑥+3
16
2
=
2
𝑦−1
=
9
𝑦−1
9
(𝑥 + 3) (𝑦 − 1)
=
→ 3 𝑥 + 3 = 4(𝑦 − 1)
4
3
3𝑥 + 9 = 4𝑦 − 4
2
2
3𝑥 + 9 = 4𝑦 − 4
3𝑥 + 9 + 4 = 4𝑦
3
13
𝑥+
=𝑦
4
4
(𝑥 − 5)2
𝑦+2
−
25
16
2
=1
Éncuentra la ecuación canónica de la hipérbola
4𝑥 2 − 9𝑦 2 − 36 = 0 → 4𝑥 2 − 9𝑦 2 = 36 →
Encuentra todos los elementos de las
siguientes hipérbolas:

𝑥2
30
−
(𝑦−6)2
18

𝑦2
34
−
𝑥2
22

(𝑥−9)2
14
=1
=1
−
(𝑦−11)2
19
=1
Pasar a la ecuación general las
siguientes funciones hiperbólicas y
encuentra todos sus elementos:

𝑥2
16

2
𝑥
𝑦2 −
12

 6𝑥 2 − 3𝑦 2 − 18 = 0
 Escriba aquí la ecuación.

−
𝑦2
10
𝑦2
25
−
=1
𝑥2
14
(𝑥−3)2
6
−
=1
=1
𝑦+5 2
9
=1
ELIPSE
Dados 𝐹1 y 𝐹2 , se denomina elipse al conjunto de puntos del plano
tales que la suma de sus distancias a ambos focos es constante; la
cual es 2𝑎
buenas
• Buenas
• Lo hizo el crick, no lo hizo tu tio
• Arriba venados
Las características son:
 Tiene variable 𝑥 𝑒 𝑦, ambas deben estar elevadas al cuadrado
 En la forma general deben estar igualadas a cero, teniendo como máximo
exponente el cuadrado
 Una de las variables debe tener coeficiente y si ambos tienen, uno debe ser
diferente
 En la ecuación canónica siempre debe ser suma e igual a 1
..
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
𝑦2 𝑥2
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
ó
(𝑥 − 01 )2 (𝑦 − 02 )2
+
2
𝑎
𝑏2
ó
(𝑦 − 02 )2 (𝑥 − 01 )2
+
2
𝑎
𝑏2
𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
(𝒙 − 𝟓)𝟐 (𝒚 + 𝟒)𝟐
+
=𝟏
𝟑𝟔
𝟗
𝑥2 𝑦2
+
=1
25 36
𝐶(0,0)
𝑎2 = 36 → 𝑎 = 6
𝑏 2 = 25 → 𝑏 = 5
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 → 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 = 36 − 25 =
2𝑏 2 50
𝐿𝑅 =
=
= 8.3 → 4.1
𝑎
6
11 = 3.3
(𝒙 − 𝟑)𝟐 (𝒚 + 𝟓)𝟐
+
=𝟏
𝟏𝟐
𝟕
𝐶(3, −5)
𝑎2 = 12 → 𝑎 = 3.5
𝑏 2 = 7 → 𝑏 = 2.6
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 → 𝑐 2 = 12 − 7 = 2.2
2𝑏 2 14
𝐿𝑅 =
=
=4 →2
𝑎
3.5
𝑥2 𝑦2
+
=1
4
9
(𝑥 − 3)2 (𝑦 + 1)2
+
=1
16
4
(𝑥 − 2)2 (𝑦 − 3)2
+
=1
25
9
(𝑥 + 4)2 (𝑦 − 2)2
+
=1
6
16