UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL NORTE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
CÁLCULO MULTIVARIABLE (DAMA 00306)
TALLER # 1, martes 30/03/2022
Ejercicios
1. Determine las ecuaciones paramétricas de las rectas:
a) La recta que pasa por el punto P (3, −4, −1) y es paralela al vector i + j + k
Rspta: x = 3 + t, y = −4 + t, z = −1 + t , t ∈ R.
b) La recta que pasa por los puntos P (−2, 0, 3) y Q (3, 5, −2).
Rspta: x = −2 + 5t, y = 5t, z = 3 − 5t , t ∈ R.
c) La recta que pasa por P (0, −7, 0) y es perpendicular al plano Π : x + 2y + 2z = 13.
Rspta: x = t, y = −7 + 2t, z = 2t , t ∈ R.
2. Encuentre la ecuación general de los siguientes planos:
a) El plano que pasa por los puntos (2, 4, 5), (1, 5, 7) y (−1, 6, 8).
Rspta: x + 3y − z = 9
b) Determine el punto de intersección de las rectas
L1 : x = 2t + 1, y = 3t + 2, z = 4t + 3 L2 : x = s + 2, y = 2s + 4, z = −4s − 1
Encuentre el plano que determinan estas rectas.
Rspta: A(1, 2, 3), Π : −20x + 12y + z = 7.
3. Calcule la distancia entre los puntos, planos y rectas que se indican:
a) P (3, −1,
4); L : x = 4 − t, y = 3 + 2t, z = −5 + 3t , t ∈ R.
√
9 42
Rspta: 7
b) Q(2, −3, 4), Π : x + 2y + 2z = 13
Rspta: 3
4. Considere los puntos A(1, 2, 0) y B(3, −1, 4) y la recta L que pasa por los puntos A y B.
a) Analice si el punto C(2, −1, 0) pertenece a la recta L, en caso de no pertenecer, halle la
distancia de C a L.
b) Encuentre un punto D, distinto de A y B que pertenezca a L y halle la ecuación del plano
que pasa por los puntos A, C y D.
1
5. Halle la ecuación general del plano que:
a) Contiene a los puntos A(0, 1, 0), B(1, 2, 3) y C(−2, 3, 3).
b) Contiene a las rectas
L1 :
x−1
=y−4=z
−2
y
L2 :
x−2
y−1
z−2
=
.
=
−3
4
−1
c) Pasa por P (2, 3, 5) y es perpendicular a las rectas
L3 : x = 2 + t;
y = 3 − 2t;
z = 5 + 5t L4 : x = 2 − t;
y = 3;
z = 5 + 2t.
d) Pasa por Q(2, 2, 1) y contiene a la recta
L5 :
x
y−4
=
= z.
2
−1
6. Analice si los siguientes pares de planos son paralelos, perpendiculares o si se cortan. En
caso de ser paralelos, hallar la distancia entre ellos, si se cortan encuentre la medida del ángulo
que forman.
a) E1 : 5x − 3y + z = 4; E2 : x + 4y + 7z = 1.
b) E2 : 3x + y − 4z = 3; E3 : −9x − 3y + 12z = 4.
c) E4 : x − 3y + 6z = 2; E5 : 5x + y − z = 0.
7. Clasificar las siguientes superficies cuádricas. Esbozar la gráfica de la superficie.
a) x2 + y 2 + 2y + z 2 = 4
b) z + x2 − 2x + 4y 2 = 4
c) x2 − z 2 − 16y 2 − 4y = 4
8. Considere la superficie S en el espacio definida a través de la ecuación z = 4 − y 2 .
a) Dibuje la superficie correspondiente. Rspsta: La superficie es una superficie cilíndrica con
forma parabólica que se extiende en dirección del vector ⃗i = (1, 0, 0).
b) Calcule la distancia entre los dos puntos de intersección entre la superficie S y la recta que
pasa por el punto (0, 0, 2) con vector dirección d⃗ = (1, 1, 0). Rspsta: La distancia es 4.
Ejercicios complementarios para estudio independiente
LIBRO: ”Cálculo 2 de varias variables”, Novena edición
AUTORES: Ron Larson y Bruce H. Edwards
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES
CAPITULO 11: Vectores y la geometría del espacio
SECCIÓN: 11.5. Rectas y planos en el espacio
PAGINAS: 807 - 811
RESOLVER EJERCICIOS:
1 al 34; 39, 41 al 78; 83, 86, 91, 93, 94, 97, 101, 103, 105, 106, 109, 110.
SECCIÓN: 11.6. Superficies en el espacio.
PAGINAS: 820-821
RESOLVER EJERCICIOS:
7 al 16. 19 a 32.
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