Exercı́cios de
Análise Matemática II-C
Normas, produtos internos e métricas
1. Seja
f : Rn −→ R
(x1 , · · · , xn ) −→ |x1 |+ · · · + |xn |.
Mostre que f é uma norma.
2. No espaço das funções contı́nuas C ([a, b]) mostre que a função g definida por
g (f ) = maxt∈[a,b] |f (t)|,
é uma norma.
3. Considere o espaço vetorial real P2 dos polinómios reais p de grau menor ou igual a 2 com as
operações usuais da adição de polinómios e multiplicação de um polinómio por um número real.
Mostre que fica definida uma norma em P2 fazendo
g (p) = max(|p(0)|, |p(1)|, |p(2)|), p ∈ P2 .
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4. Considerando as normas da soma, do máximo e euclidiana em R2 represente as bolas
centradas em 0 e de raio 1.
5. No espaço das funções contı́nuas C ([0, 1]) mostre que a aplicação definida por
p : C ([0, 1]) × C ([0, 1]) −→ R
Z 1
(f , g ) −→ f |g =
f (x)g (x) dx
0
é um produto interno. Justifique que fica definida uma norma em C ([0, 1]) fazendo
s
Z 1
(f (x))2 dx.
ρ(f ) =
0
6. Seja (. | .) um produto interno em Rn e considere a norma induzida por este produto interno.
Mostre que:
(a) x | y =
1
(kx + y k2 − kx − y k2 ),
4
(b) kx + y k2 + kx − y k2 = 2(kxk2 + ky k2 ).
(c) x | y = 0 se e só se kx + y k2 = kxk2 + ky k2 .
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7. Verifique que a função d definida em Rn × Rn por
(
1, se x 6= y
d(x, y ) =
0, se x = y ,
é uma métrica. Mostre que fazendo d(x, y ) = kx − y k não fica definida uma norma em Rn .
Rectas, planos, cónicas e quádricas
1. Represente geometricamente em R, em R2 e em R3 o conjunto dos pontos que verificam:
(a) a condição x = 2,
(b) a condição |x| ≤ 3.
2. Represente geometricamente em R2 e em R3 o conjunto dos pontos que verificam cada uma
das seguintes condições:
(a) y = x,
(b) x 2 + y 2 = 4,
(c) max{|x|, |y |} ≤ 2.
3. Represente graficamente, em R2 , as cónicas de equação:
(a)
x2
(x − 1)2
+ y 2 = 16 e
+ (y − 2)2 = 16,
9
9
(b) x 2 − y 2 = 1 e x 2 − y 2 − 4x − 2y + 2 = 0,
(c) y = −x 2 e y = −x 2 + 6x − 8.
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4. Seja S o conjunto dos pontos (x, y ) do plano satisfazendo as desigualdades seguintes. Faça
um esboço gráfico do conjunto S. Determine int(S), fr (S) e S 0 . Diga, justificando se S é aberto,
limitado e compacto:
(a) 3x 2 + 2y 2 ≤ 6,
(b) y > x 2 e |x| < 2,
(c) (x 2 + y 2 − 1)(4 − x 2 − y 2 ) > 0.
5. Represente graficamente os seguintes conjuntos. Determine o interior, a fronteira e o conjunto
derivado de cada um dos conjuntos indicados. Diga, em cada caso, se o conjunto é aberto,
limitado e compacto:
(a) A = {(x, y ) ∈ R2 : 1 < x 2 + y 2 ≤ 4} ∪ {(0, 0)},
1
, n ∈ N ∧ y = 0},
n
(c) C = {(x, y ) ∈ R2 : −1 ≤ x < 1 ∧ y = 0},
(b) B = {(x, y ) ∈ R2 : x =
(d) D = {(x, y ) ∈ R2 : | arcsin(x 2 + y )| > 0}.
6. Seja S o conjunto dos pontos (x, y , z) de R3 satisfazendo as desigualdades seguintes. Faça um
esboço gráfico do conjunto S. Determine int(S), fr (S) e S 0 . Diga, justificando se S é aberto e
compacto:
(a) |x| < 1 e |y | ≤ 2 e |z − 1| < 3,
(b) x + y + z ≤ 1,
(c) x 2 + 4y 2 + 4z 2 − 2x + 16y + 40z + 113 < 0,
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7. Determine a intersecção de cada uma das superfı́cie de equações z = x 2 + y 2 e z 2 = x 2 + y 2
com:
(a) cada um dos planos coordenados,
(b) os planos de equação z = a, a > 0,
(c) os planos de equação z = a, a < 0.
(d) Esboce o gráfico da superfı́cie dada.
8. Esboce em R3 as superfı́cies quádricas:
(a) x 2 + z 2 = 9,
(b) z = x 2 + y 2 − 6,
(c) x 2 − y 2 − z 2 = 9,
(d) x 2 + y 2 − z 2 = 9,
(e) x 2 + 2y 2 + z 2 = 1,
(f) x 2 + y 2 = z 2 ,
(g) z = x 2 − y 2 .
9. Esboce em R3 os domı́nios definidos pelas condições:
(a) x 2 + 2y 2 + z 2 ≤ 1 ∧ z ≥ 0,
(b) x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ∧ x 2 + y 2 ≤ 9 ∧ 0 ≤ z ≤ 3,
(c) x 2 + y 2 ≥ z 2
∧ x 2 + y 2 ≤ 16,
√
(d) −2 ≤ y ≤ 3 − x 2 + z 2 ,
p
p
(e) z − 1 ≤ − x 2 + y 2 ∧ z ≥ x 2 + y 2 ,
(f) z ≥ x 2 + y 2
∧ x ≥ y,
(g) z ≥ x 2 − y 2
∧ x 2 + y 2 ≤ 9 ∧ −1 ≤ z ≤ 4,
(h) x 2 − y 2 − z 2 ≥ 1 ∧ 1 ≤ x ≤ 2.
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Funções de várias variáveis. Limites e continuidade
1. Considere a função real de duas variáveis definida por
p
f (x, y ) = 1 − x 2 − y 2 .
(a) Determine o domı́nio de f e represente-o geometricamente.
(b) Faça um esboço do gráfico da função f .
(c) Designe por C a curva de nı́vel de valor
1
da função f . Represente C geometricamente.
2
2. Seja f : R2 −→ R2 definida por
p
f (x, y ) =
log(x 2 + y 2 )
x
, p
y
4 − y2
!
.
Determine o domı́nio de f , represente-o graficamente e indique a sua fronteira.
3. Seja f : R2 −→ R2 definida por
f (x, y ) =
q
1
sin2 x − y 2 , p
π2 − x 2 − y 2
!
.
Determine o domı́nio D de f e represente-o graficamente. Indique os pontos interiores, fronteiros
e de acumulação de D. Indique se D é aberto ou fechado.
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4. Esboce as curvas de nı́vel das seguintes funções para os valores c indicados:
(a) f (x, y ) = −1 − x − y , c = −1, 0, 1,
(b) f (x, y ) = x 2 − y 2 , c = −1, 0, 1,
(c) f (x, y ) = x 2 + 4, c = 0, 4, 20, 85.
5. Considere a função definida por
g (x, y ) = 2xy
x2 − y2
x2 + y2
, Dg = R2 \ {(0, 0)}.
(a) Mostre que
2|xy | ≤ x 2 + y 2 .
Sug: Comece por mostrar que 4x 2 y 2 ≤ (x 2 + y 2 )2 .
(b) Utilize a alı́nea anterior para mostrar que se (x, y ) ∈ D então |g (x, y )| < x 2 + y 2 .
(c) Dado δ > 0 indique ε > 0 tal que se (x, y ) ∈ D e ||(x, y )|| < ε então |g (x, y )| < δ.
(d) Diga, justificando, qual o valor de lim(x,y )→(0,0) g (x, y ).
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6. Utilizando a definição de limite de uma função num ponto, mostre que:
(a)
xy 2
= 0,
+ y2
lim
(x,y )→(0,0) x 2
(c)
lim
(x,y )→(0,0)
(e)
lim
(x,y )→(0,0)
xy
p
= 0,
x2 + y2
p
x |y |
p
= 0,
x2 + y2
(b)
lim
(x,y )→(0,0)
(d)
lim
(x,y )→(0,0)
(f)
lim
(x,y )→(0,0)
2x 2 − 4xy + y 2
p
= 0,
x2 + y2
2x 2 + 2y 2 + x 3
= 2,
x2 + y2
x 2 sin y
= 0.
x2 + y2
7. Determine, caso existam, os seguintes limites:
(a) lim(x,y )→(0,0)
3 − 2x 2
x2 + y2 + 1
(b) lim(x,y )→(0,0)
(c) lim(x,y )→(0,0)
x sin y
x2 + y2
(Sugestão: considere limites direcionais)
(d) lim(x,y )→(0,0)
(f) lim(x,y )→(1,1)
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x2
y6
+ y6
sin(x + y − 2)
x +y −2
3x + 2y
5x − 3y
x 3y
+ y2
1
(g) lim(x,y )→(0,0) x cos
xy
(e) lim(x,y )→(0,0)
2x 6
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(h) lim(x,y )→(0,0)
(i) lim(x,y )→(0,0)
(k) lim(x,y )→(0,0)
(l) lim(x,y )→(0,0)
x3 + y3
x −y
(Sug.: considere o limite relativo ao conjunto
A = {(x, y ) ∈ R2 : y = x − x 3 })
y3
+y
(j) lim(x,y )→(0,0)
x2
y3
x2 − y2
xy
|x| + |y |
xy
x +y
(Sug.: considere o limite relativo ao conjunto
B = {(x, y ) ∈ R2 : y = x + x 2 }.)
(m) lim(x,y )→(0,0)
xy
|x| − |y |
8. Determine o limite
lim
(x,y )→(0,1)
1 − cos(x 3 (y − 1))
.
x 2 + (y − 1)2
Sugestão: comece por mostrar que 1 − cos t ≤
9. Determine o limite
lim
(x,y )→(0,0)
Sugestão: comece por mostrar que
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1 2
t .
2
1 − cos(x 2 + y 2 )
.
x 2 y 2 (x 2 + y 2 )
1 − cos(x 2 + y 2 )
1 − cos(x 2 + y 2 )
≤
.
(x 2 + y 2 )3
x 2 y 2 (x 2 + y 2 )
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10. Determine o limite
lim
(x,y )→(0,0)
x4 + y4
,
x2 + y2
(a) Utilizando a definição de limite de uma função num ponto.
(b) Utilizando coordenadas polares.
11. Utilizando coordenadas polares determine o limite
lim
(x,y )→(0,0)
x 2y
.
x2 + y2
12. Mostre que a utilização de coordenadas polares no cálculo do limite
lim
x 2y
,
+ y2
(x,y )→(0,0) x 4
é inconclusiva. Mostre que não existe o limite considerado.
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13. Considere a função g (x, y ) definida por
g (x, y ) =
2x 3 − 2y 3
.
x2 + y2
(a) Indique o seu domı́nio D. É um conjunto fechado? Justifique.
(b) Justifique que para todo o par (x, y ) ∈ D se tem que
p
|g (x, y )| ≤ 4 x 2 + y 2 .
(c) Dado δ > 0 indique ε > 0 tal que para todo o par (x, y ) ∈ D satisfazendo
p
x 2 + y 2 < ε se tenha |g (x, y )| < δ.
(d) Indique c ∈ R de forma a que a função

 2x 3 − 2y 3
,
2
2
G (x, y ) =
 x +y
c,
se (x, y ) 6= (0, 0)
se (x, y ) = (0, 0),
seja contı́nua.
14. Considere a função f definida no conjunto D = {(x, y ) ∈ R2 : y 6= x} por
sin x − sin y
.
x −y
Prolongue f por continuidade a R2 .
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15. Estude a continuidade das seguintes

1

 (x 2 + y 2 ) sin
,
x2 + y2
(a) f (x, y ) =


1,

x
 sin , se y 6= 0
y
(b) f (x, y ) =

1,
se y = 0,

2
x y2


, se
2
2
x y + (x − y )2
(c) f (x, y ) =


1,
se
funções:
se (x, y ) 6= (0, 0)
se (x, y ) = (0, 0),
(x, y ) 6= (0, 0)
(x, y ) = (0, 0),
16. Considere a função f = (f1 , f2 ) : R2 −→ R2 , com

3
 x
, se (x, y ) 6= (0, 0)
f1 (x, y ) = x 2 + y 2

0,
se (x, y ) = (0, 0),

2 cos(2x 2 + π)

 2y p
,
f2 (x, y ) =
x2 + y2

0,
se (x, y ) 6= (0, 0)
se (x, y ) = (0, 0).
Mostre que f é contı́nua no ponto (0, 0).
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17. Seja f : R3 −→ R uma função linear tal que
|f (x)| ≤ M||x||, ∀x ∈ R3 ,
onde M é uma constante real positiva.
(a) Prove que f é contı́nua na origem.
(b) Utilizando a linearidade de f e a alı́nea anterior prove que f é contı́nua em qualquer
ponto de R3 .
(c) Mostre que, qualquer que seja a função linear f : R3 −→ R, existe uma constante
real positiva M tal que |f (x)| ≤ M||x||, ∀x ∈ R3 .
(c) Que conclusões é possı́vel tirar a partir das alı́neas anteriores?
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Derivadas parciais, diferenciabilidade
1. Considere a função
f (x, y ) = e x sin y + cos(x − 3y ).
(a) Calcule as funções derivadas parciais de primeira ordem de f .
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (1, 0, f (1, 0))
(c) Calcule o gradiente de f num ponto genérico (x, y ).
1
1
(d) Seja ~v = √ , √ . Determine a derivada direcional D~v f (1, 0).
2
2
2. Considere a função
 3
3
x − y ,
g (x, y ) = x 2 + y 2

0,
se (x, y ) 6= (0, 0)
se (x, y ) = (0, 0).
(a) Determine os limites
lim
h→0
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g (h, 0) − g (0, 0)
e
h
lim
h→0
g (0, h) − g (0, 0)
.
h
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(b) Mostre que g não é diferenciável em (0, 0).
Sugestão: mostre que se g fosse diferenciável em (0, 0) poder-se-ia escrever
q
h13 − h23
= h1 − h2 + (h1 , h2 ) h12 + h22 ,
2
2
h1 + h2
com
lim
(h1 ,h2 )→(0,0)
(h1 , h2 ) = 0.
3. Considere a função
 2
 3x sin y ,
f (x, y ) =
x2 + y2

0,
se (x, y ) 6= (0, 0)
se (x, y ) = (0, 0).
(a) Estude f quanto à continuidade no ponto (0, 0).
(b) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂f
(0, 0) e
(0, 0).
∂x
∂y
(c) Estude a existência da derivada direccional D √1
5
, √2
f (0, 0).
Será f diferenciável
5
em (0, 0)? Justifique a resposta.
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4. Seja a função definida em R2 por
(
f (x, y ) =
(a) Calcule as derivadas parciais
(b) Calcule D √1
2
, √1
f (0, 0).
x + y,
0,
se xy > 0
se xy ≤ 0.
∂f
∂f
(0, 0) e
(0, 0).
∂x
∂y
Que pode concluir quanto à diferenciabilidade de f no
2
ponto (0, 0)?
5. Mostre que, no ponto (0, 0),
(a) a função
 3
2
 x − y , se (x, y ) 6= (0, 0)
2
f (x, y ) = x + y 2

0,
se (x, y ) = (0, 0).
não é contı́nua e não tem uma derivada parcial. O que pode dizer acerca da
diferenciabilidade em (0, 0)?
(b) a função
f (x, y ) =
xy
,
x2 + y2
0,


se (x, y ) 6= (0, 0)
se (x, y ) = (0, 0).
não é contı́nua mas tem derivadas parciais. O que pode dizer acerca da
diferenciabilidade em (0, 0)?
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(c) a função
f (x, y ) =
xy 2
,
x2 + y2

0,


se (x, y ) 6= (0, 0)
se (x, y ) = (0, 0).
é contı́nua, tem derivadas parciais, mas não é diferenciável.
(d) a função
 2 2
 x y ,
f (x, y ) = x 2 + y 2

0,
se (x, y ) 6= (0, 0)
se (x, y ) = (0, 0).
é diferenciável. O que pode dizer acerca da continuidade em (0, 0)?
6. Considere a função

x 2 arctg y − y 2 arctg x ,
f (x, y ) =
x
y

0,
(a) Calcule
se
xy 6= 0
se
xy = 0.
∂f
∂f
(0, y ) e
(x, 0).
∂x
∂y
(b) Mostre que
∂2f
∂2f
(0, 0) 6=
(0, 0).
∂x∂y
∂y ∂x
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7. Considere a função

2
 2x y tg (px 2 + y 2 ),
f (x, y ) = x 2 + y 2

0,
π
se (x, y ) ∈ B (0, 0),
\ {(0, 0)}
2
se (x, y ) = (0, 0).
(a) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função f em (0, 0).
(b) Estude a função f quanto a diferenciabilidade no ponto (0, 0).
8. Considere a função
f (x, y ) =
xy 2
,
x2 + y2

0,


se (x, y ) 6= (0, 0)
se (x, y ) = (0, 0).
(a) Estude a continuidade de f .
(b) Mostre que f (tx, ty ) = tf (x, y ), ∀(x, y ) ∈ R2 , ∀t ∈ R.
(c) Utilize (b) para mostrar que f~u0 (0, 0) = f (u), ∀~u ∈ R2 .
(d) Utilize (c) para mostrar que
∂f
∂f
(0, 0) =
(0, 0) = 0.
∂x
∂y
(e) Estude a diferenciabilidade de f em (0, 0).
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Derivação da função composta, funções definidas implicitamente,
função inversa
1. Seja f ∈ C 2 (R), z = f (r ), com r =
p
x 2 + y 2 , r 6= 0.
Mostre que se z verifica a Equação de Laplace, isto é
∂2z
∂2z
+
= 0,
∂x 2
∂y 2
então
1 df
d 2f
+
= 0.
dr 2
r dr
2. Seja u : R2 −→ R, com u ∈ C 2 (R2 ). Considere a mudança de variáveis
(
x =s +t
y = s2 − t2.
Mostre que
se
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∂2u
∂2u
=
∂s 2
∂t 2
então
x
∂2u
∂2u
∂u
+y 2 +
= 0.
∂x∂y
∂y
∂y
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3. Sejam g e h duas funções reais e de classe C 1 em R. Considere a função
f : R3 −→ R2 definida por
x
f (x, y , z) = xg (yz), h
.
y
Determine a matriz jacobiana de f no ponto (1, 1, 0) em função das derivadas de g e de h.
4. Seja f : R2 −→ R uma função real de classe C 2 e g : R2 −→ R2 a função definida por
(u, v ) = g (x, y ) = (g1 (x, y ), g2 (x, y )) = (sin(xy ), cos(x 2 + y 2 )). Sabendo que
∇f (u, v ) = (1 − uv 2 , 3u 3 + v 2 ),
calcule
∇(f ◦ g )
√
π,
√ π
.
2
5. Seja g : R2 −→ R3 uma funçãode classe C 1 em R2 tal que g (0, 1) = (1, 1, 0) e cuja matriz
1 2
jacobiana no ponto (0, 1) é 3 4 . Seja f : R3 −→ R3 definida por
5 6
f (x, y , z) = (e xyz , x 2 + y 2 + z 2 , xy 2 z 3 ).
Determine a matriz jacobiana de (f ◦ g ) em (0, 1).
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6. Sendo θ uma constante real considere a aplicação de R2 em R2 , definida por
(
x = u sin(θ) + v cos(θ)
y = u cos(θ) − v sin(θ).
Seja f : R2 → R diferenciável e g (u, v ) = f (x, y ). Mostre que se tem
∂f 2
∂x
+
∂f 2
∂y
=
∂g 2
∂u
+
∂g 2
∂v
.
7. Considere a função f : R2 → R2 definida por
f (x, y ) = (e x−y , e x+y )
e g : R2 → R uma função continuamente diferenciável. Seja ainda
h = g ◦ f : R2 → R.
Mostre que, em qualquer ponto P0 = (x0 , y0 ) do seu domı́nio, se têm as igualdades
∂h
∂h
∂g
+
=2
e x0 +y0 ,
∂x P0
∂y P0
∂v f (P0 )
∂h
∂h
∂g
−
=2
e x0 −y0 .
∂x P0
∂y P0
∂u f (P0 )
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8. Mostre que a equação
x + sin(y + z) = 0
define numa vizinhança de (0, 0, 0) uma função y = φ(x, z). Utilizando o teorema da função
∂2φ
∂2φ
implı́cita calcule
(0, 0). Explicite a função φ e calcule de novo
(0, 0).
2
∂x
∂x 2
9. Mostre que a equação
x+
p
x 2 + y 2 + z 2 − cos y = 0
define x como função de y e de z numa vizinhança do ponto (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 1). Para essa
∂x
função, determine
no ponto em que y0 = 0 e z0 = 1.
∂z
10. Mostre que a equação
e xy + x cos z + y − 1 = 0
define y como função de x e de z numa vizinhança do ponto P0 = (0, 0, π). Calcule
(0, π).
AM II-C
∂y
no ponto
∂x
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11. Mostre que o sistema
(
e xu − 2y + log(v + u) + 1 = 0
2x 3 − y 2 + u + v 2 = 0
define, numa vizinhança do ponto (0, 1, 0, 1), uma função φ : (x, y ) → (u, v ) e calcule
12. Considere o sistema de equações
(
∂φ
(0, 1).
∂x
log(xu 2 ) + y + v = 0
xe v − yv 2 − u = 0.
Mostre que o sistema define u e v como funções de x e y numa vizinhança do ponto
∂v
P0 = (x0 , y0 , u0 , v0 ) = (1, 0, 1, 0) e determine
(1, 0).
∂x
13. Considere o sistema
(
xz + y − x 2 + 1 = 0
yz 2 + xz = 0.
Mostre que o sistema define y e z como funções de x numa vizinhança do ponto
∂y
∂z
(x0 , y0 , z0 ) = (−1, 1, 1). Determine
(−1) e
(−1).
∂x
∂x
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14. Considere a função f : R2 → R2 definida pela expressão
f (x, y ) = (2x + y 2 , x 2 + 3y ).
(a) Estude a invertibilidade de f numa vizinhança do ponto (1, −1).
(b) Calcule Jf −1 (3, −2).
15. Considere a função F : R2 \{(0, 0)} → R2 definida por
F (x, y ) = (x 2 − y 2 , 2xy ).
Mostre que:
(a) F ∈ C 1 (R2 \{(0, 0)}).
(b) (Det F 0 )(a,b) 6= 0, ∀(a, b) ∈ R2 \{(0, 0)}, mas F não é invertı́vel em R2 \{(0, 0)}.
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16. Considere a função de classe C 1 , f : R2 → R2 , definida por
(
f1 (x1 , x2 ) = y1
f2 (x1 , x2 ) = y2 .
Supondo que J = Det(f 0 (a1 , a2 )) 6= 0, mostre que, sendo φ = (φ1 , φ2 ) a função inversa, definida
em alguma vizinhança de (b1 , b2 ) = (f1 (a1 , a2 ), f2 (a1 , a2 )), se tem que
∂φ1
1 ∂f2
∂φ2
1 ∂f2
(b1 , b2 ) =
(a1 , a2 ) e
(b1 , b2 ) = −
(a1 , a2 ).
∂y1
J ∂x2
∂y1
J ∂x1
17. Considere a aplicação f (x, y ) = (u, v ) de R2 em R2 , definida por
(
u =x +y
v = ye x .
Justifique que f é localmente invertı́vel numa vizinhança de (0, 0) e determine
AM II-C
∂x
(0, 0).
∂v
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Extremos, extremos condicionados
1. Sem recorrer ao cálculo de derivadas, identifique os extremos das seguintes funções:
p
(a) f (x, y ) = (x − 1)2 + (y − 3)2 ,
(b) f (x, y ) = x 2 + y 2 + 1,
(c) f (x, y ) = 3x 2 + 2y 2 − 6x − 4y + 16,
p
(e) f (x, y ) = x − x 2 + y 2 ,
(d) f (x, y ) = 4 − |x| − |y |,
(f) f (x, y ) = x 2 + y 2 − |xy |,
(g) f (x, y ) = |1 − (x 2 + y 2 )|.
2. Determine os pontos de estacionaridade das seguintes funções:
(a) f (x, y ) = 4xy − 2x 2 − y 4 ,
(b) f (x, y ) = x 3 + 3xy 2 − 3x 2 − 3y 2 − 4,
(c) f (x, y ) = x 3 + y 3 ,
(d) f (x, y ) = x 3 + y 3 ,
(e) f (x, y ) = |x| + |y |,
(f) f (x, y , z) = x 2 + y 2 − z 2 + 4y − 2x + 1.
2
2
3. Estude as seguintes funções quanto à existência de extremos locais.
(a) f (x, y ) = 2y 3 + 2x 2 + 2xy ,
(c) f (x, y ) =
x4
−
2x 2 y 2
+
(e) f (x, y ) = (x 2 + y 2 )e −x
2
2
2
y4
(b) f (x, y ) = 2(x − y )2 − 2(x 4 + y 4 ),
+ 2,
−y 2
2
,
(g) f (x, y , z) = 2x + y + 4z ,
AM II-C
(d) f (x, y ) = x 4 + 2x 2 (y 2 − 4) + (y 2 − 4)2 ,
(f) f (x, y ) = x 2 + 2xy 2 + y 4 − y 5 ,
(h) f (x, y , z) = x 4 + y 4 + z 4 − 4xyz.
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4. Estude a existência de extremos da função quadrática
g (x, y ) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 , AC − B 2 6= 0.
Considere, em separado, os casos A 6= 0 e A = 0.
Sugestão: no caso A 6= 0 use a seguinte expressão da função quadrática
2 AC − B 2
B
+
g (x, y ) = A x + y
y 2.
A
A
5. Determine o paralelipı́pedo de área mı́nima entre os de volume constante C .
6. Considere no plano XOY a reta de equação Ax + By + C = 0, com A e B não
simultaneamente nulos. Determine a distância da reta considerada à origem. Determine ainda a
distância da reta ao ponto P0 = (x0 , y0 ) não pertencente à reta.
7. Determine três números reais positivos cuja soma seja 1000 e cujo produto seja máximo.
8. Determine o ponto da reta interseção dos planos de equações x + y + z = 1 e x − y − z = 3
que está à menor distância do ponto (0, 0, 0).
9. Determine o máximo da função f (x, y , z) = x 2 y 2 z 2 na superfı́cie esférica de equação
x 2 + y 2 + z 2 = c 2 e conclua que a média geométrica de três números positivos nunca excede a
sua média aritmética.
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Cálculo de integrais duplos e triplos
1. Calcule o valor dos seguintes integrais repetidos:
!
Z a Z √a2 −x 2
Z 2
(a)
(x + y ) dy dx, a > 0 (b)
0
0
π
Z
1
a(1+cos θ)
Z
(c)
0
!
2
Z
ye xy dy
dx
1/x
!
r 2 senθ dr
dθ, onde a é constante.
0
π
Z
π
Z
cos(x + y ) dy
(d)
0
1
Z
dx
Z
1
(e)
0
0
y
sin x
dx
x
dy .
2. Inverta a ordem de integração nos seguintes integrais repetidos:
Z b Z x
Z 2 Z x
f (x, y ) dy dx
(b)
f (x, y ) dy dx
(a)
1
Z
0
8
(c)
−6
Z
a
a
x+6
7
√
3x
!
xy dy
AM II-C
Z
dx,
3π
Z
cos x
(d)
f (x, y ) dy
−3π
dx.
−1
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3. Calcule o valor dos seguintes integrais duplos:
ZZ
(a)
(x 2 + y 2 ) dσ, onde A é o domı́nio triangular de vertı́ces (−a, 0), (a, 0), (0, a), a > 0.
A
Calcule o integral utilizando a ordem de integração inversa da utilizada.
ZZ
x2
y2
(b)
dσ, onde A é o domı́nio limitado pela elipse de equação 2 + 2 = 1.
a
b
A
ZZ
(c)
y dx dy , onde A é o domı́nio limitado pelas curvas
A
x ≥ y2
∧ x − 3 + 2y ≤ 0 ∧ y ≥ 0.
4. Calcule as áreas dos domı́nios limitados pelas curvas:
(a) x 2 + y 2 − 2x = 0 ∧ x 2 + y 2 − 2y = 0,
(b) y 2 = 2x
(c) y 2 = 4ax + 4a2
(d) x + y = 5 ∧ xy = 6.
∧ y 2 = −4bx + 4b 2 , com a, b > 0,
∧ 2x − y = 2,
5. Determine o volume dos seguintes domı́nios:
(a) Limitado pela superfı́cie parabólica z = 2 + (x 2 + y 2 ), pelo plano z = 0 e compreendido
entre as superfı́cies cilı́ndricas x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 2.
(b) Fechado, limitado pela superfı́cie parabólica z = −a(x 2 + y 2 ) e pela superfı́cie cónica
z 2 = x 2 + y 2 (z ≤ 0), com a constante positiva.
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(c) Fechado, limitado superiormente pela superfı́cie parabólica z = 5 − (x 2 + y 2 ) (z ≥ 0) e
inferiormente pela superfı́cie esférica x 2 + y 2 + z 2 = 11 (z ≥ 0).
(d) Limitado superiormente pela superfı́cie x 2 + y 2 +
superfı́cie x 2 + y 2 + z 2 = 1 (z ≥ 0).
(e) Limitado superiormente pela superfı́cie
x2
y2
z2
+ 2 − 2 = 0.
2
a
b
c
(f) Limitado pelo parabolóide z = 1 −
z2
7
= (z ≥ 0) e inferiormente pela
2
8
x2
y2
z2
+ 2 + 2 = 1 e inferiormente pela superfı́cie
2
a
b
c
y2
x2
−
e o plano z = 0.
4
9
x
y
z
+ + = 1 e pelos planos coordenados.
2
3
4
p
(h) Limitado inferiormente pela superfı́cie z = 3(x 2 + y 2 ) e superiormente pela superfı́cie
2
2
2
x + y + z = 1.
(g) Limitado por
(i) Limitado superiormente pela superfı́cie parabólica z = x 2 + y 2 , inferiormente pelo plano z =
e lateralmente pela superfı́cie cilı́ndrica x 2 + y 2 = 1.
(j) Limitado pelo plano z = 3 e pela superfı́cie parabólica z = 1 + x 2 +
AM II-C
1
4
y2
.
4
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(k) Limitado superiormente pela superfı́cie parabólica z = 4 −
2
x
y2
porção da superfı́cie cónica z 2 = 2
+
, z ≥ 0.
2
8
(l) Limitado superiormente pelo plano z =
x 2 + y 2 + (z − 2)2 = 1.
x2
y2
+
2
8
e inferiormente pela
3
e inferiormente pela superfı́cie esférica
2
(m) Limitado pelo parabolóide z = x 2 + y 2 − 1 e compreendido entre os planos z = −
ZZ
1
e z = 0.
2
e xy dx dy , em que A é a região do primeiro quadrante,
6. Considere o integral duplo
A
1
2
x
e y = x e pelas hipérboles y =
ey = .
2
x
x
(a) Exprima o integral duplo considerado num integral repetido.
ZZ
(b) Calcule o integral duplo
e xy dx dy , efectuando a mudança de variáveis
limitada pelas rectas y =
A
(
u = y /x
v = xy .
Observação: note que
AM II-C
∂(x, y )
=
∂(u, v )
∂(u, v )
∂(x, y )
−1
.
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Regularidade da representação paramétrica de linhas
1. Estude a regularidade das seguintes representações paramétricas de linhas planas:
(
(a)
(
(c)
(
(e)
x = 2(t − sin t)
y = 2(1 − cos t)
x = t + t2
y = t − t2
x =0
y = t |t|
AM II-C
(
, 0 ≤ t ≤ 6π.
(b)
x = cos t + t sin t
y = sin t + 13 cos t
(
,t ∈ R
,t∈R
(d)
x =0
y = |t|
, 0 ≤ t ≤ 2π.
,t ∈ R
(
x = cos (e t )
(f)
y = sin (e t )
,t ∈ R
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Integrais curvilı́neos; teorema de Green no plano
Z
1. Calcule
x(x + 2y ) dx, de A = (0, 0) a B = (2, 1), sendo L:
L
(a) a recta de equação y =
x
,
2
2. Calcule
(b) a parábola de equação y =
x2
.
4
Z
z dx + x dy + y dz,
L
ao longo do arco de hélice


x = a cos t,
y = a sin t,


z = kt,
0 ≤ t ≤ 2π
a, k > 0
percorrido no sentido crescente do parâmetro.
3. Calcule o valor do integral
Z
x dx + x 3 dy ,
L+
ao longo do caminho descrito na figura, e confirme o resultado através de um integral duplo.
AM II-C
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33 / 53
4. Use a fórmula de Riemann para calcular por meio de um integral duplo o valor do integral
Z
(x + y )dx + 3xdy
L+
ao longo da elipse x 2 +
AM II-C
y2
4
= 1.
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34 / 53
5. Determine o valor de
Z
x 2 dy − y 2 dx,
C+
sendo C o contorno indicado na figura.
Confirme o resultado por aplicação da fórmula de Riemann-Green.
AM II-C
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6. (a) Determine
Z
xydy ,
C+
sendo C o contorno indicado na figura.
(b) Determine o valor do integral referido em (a) através de um integral duplo, utilizando
coordenadas polares.
AM II-C
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7. Determine o valor do integral
Z
y 3 dx + ydy ,
C
sendo C o contorno indicado na figura, através de um integral duplo.
Sugestão: utilize uma conveniente mudança de variáveis.
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Integrais triplos
1. Calcule
ZZZ
(x 2 + z 2 ) dv ,
D
sendo D a esfera de centro na origem e raio 1.
2. Determine
ZZZ
ZZZ
I1 =
dv e I2 =
D
xdv ,
D
sendo D o domı́nio do primeiro octante limitado pelo plano XOY , o cilindro x 2 + y 2 − 2ax = 0, o
parabolóide x 2 + y 2 = az e o plano XOZ (a > 0).
3. Considere o integral triplo
ZZZ
x 2 dxdydz,
D
sendo D o domı́nio fechado limitado superiormente pelo elipsóide
inferiormente pelo parabolóide z =
AM II-C
x2
+ y 2.
9
x2
+ y2 + z2 = 2 e
9
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ZZZ
x 2 dxdydz pode ser calculado a partir do seguinte integral repetido
(a) O integral triplo
D
Z
a
−a
f (x)
Z
−f (x)
Z
g2 (x,y )
x 2 dz dy dx.
g1 (x,y )
Determine a, f (x), g1 (x, y ) e g2 (x, y ).
(b) Utilizando as coordenadas (ρ, θ, z) definidas por


x = 3ρ cos θ
y = ρ sin θ


z=z
o integral triplo considerado pode ser calculado através da soma dos seguintes integrais
2π Z f1 (z)
Z b Z
0
0
Z c Z
h(ρ, θ, z)dρ dθ dz +
0
b
2π Z f2 (z)
0
h(ρ, θ, z)dρ dθ dz.
0
Determine b, c, f1 (z), f2 (z) e h(ρ, θ, z).
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4. Seja D o domı́nio limitado superiormente pelo parabolóide
de equação z = 2 − (x 2 + y 2 ) e
p
inferiormente pela superfı́ce cónica de equação z = x 2 + y 2 .
(a) Calcule o volume do domı́nio D, utilizando um integral triplo.
(b) Calcule
ZZZ
(x 2 + y 2 )dv .
D
5. Determine o volume do domı́nio que se obtém por rotação de 2π radianos em torno do eixo
dos ZZ da linha do plano YOZ
√
p
3
y = 1 − z 2,
≤ y ≤ 1.
2
6. Considere o integral
√
ZZZ
Z
f (x, y , z)dv =
D
2

2
q
Z
Z √1−(x 2 +y 2 )
√

0
1 −x 2
2
0
!
f (x, y , z)dz
x 2 +y 2

dy  dx.
(a) Identifique o domı́nio D.
(b) Escreva o integral triplo começando por projectar o domı́nio D no plano YOZ .
(c) Calcule o valor do integral utilizando coordenadas cilı́ndricas e sendo f (x, y , z) = 2z.
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Superfı́cies
1. Seja S uma superfı́cie que admite as equações paramétricas


x = ϕ(u, v )
A = y = ψ(u, v )


z = θ(u, v )
e seja P0 = (x0 , y0 , z0 ) um ponto regular, correspondente ao valor dos parâmetros (u0 , v0 ).
(a) Mostre que a equação do plano tangente à superfı́cie S no ponto P0 = (x0 , y0 , z0 ) pode
escrever-se na forma
∂(y , z)
∂(z, x)
∂(x, y )
(x − x0 ) +
(y − y0 ) +
(z − z0 ) = 0.
∂(u, v )
∂(u, v )
∂(u, v )
(b) Determine uma equação cartesiana do plano tangente à superfı́cie de equações paramétricas


x = uv
y =u+v


z = u − v,
no ponto correspondente ao valor dos parâmetros (u0 , v0 ) = (1, 2).
(c) Indique, justificando, uma equação da recta normal à superfı́cie no ponto considerado.
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41 / 53
2. Considere a superfı́cie cónica
x 2 + y 2 − z 2 = 0.
Determine as equações do plano tangente e da normal à superfı́cie no ponto (3, 4, 5).
3. Determine a área da porção da superfı́cie parabólica
z = 2 + x2 + y2
limitada pelos planos z = 3 e z = 6.
4. (a) Mostre que a representação paramétrica da superfı́cie S gerada pela rotação de 2π
radianos da linha do plano YOZ ,
p
y = 1 − z 2, 0 ≤ z ≤ 1
em torno do eixo dos ZZ , pode ser dada por:

√
2

x = √1 − u sin v ,
y = 1 − u 2 cos v ,


z=u
0≤u≤1
0 ≤ v ≤ 2π
(b) Calcule o valor da área de S.
(c) A superfı́cie S é parte de uma superfı́cie quádrica. Identifique essa superfı́cie e faça um
esboço do gráfico de S.
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Campos vectoriais e campos escalares
1. Considere o campo escalar definido pela função f (x, y , z). Mostre que se tem
grad(f n ) = nf n−1 grad(f ).
2. Seja ~r = x~i + y~j + z ~k e r = k~r k .
(a) Mostre que o campo vectorial r p~r é irrotacional mas só é solenoidal se p = −3.
(b) Seja ~a um vector constante. Determine uma expressão tão simples quanto possı́vel de
∇ · (r p (~a × ~r )).
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3. Seja
~u = u1 (x, y , z)~i + u2 (x, y , z)~j + u3 (x, y , z)~k
um campo vectorial, e f uma função, ambos continuamente deriváveis. Mostre que:
(a) ∇ × (f ~u ) = f (∇ × ~u ) + ∇f × ~u ,
~ , tal que se tenha rot w
~ = ∇g × ∇h, com
(b) Determine, caso exista, um campo w
g (x, y , z) = e x − y + z
4. Considere o campo escalar f (x, y , z) =
contém a origem.
e
h(x, y , z) = x 2 + sin y + z 2 .
p
x 2 + y 2 + z 2 definido num aberto D ⊂ R3 que não
(a) Mostre que f ∇2 f = 2 k∇f k2 .
(b) Seja g (x, y , z) um campo escalar não identicamente nulo, definido e admitindo derivadas
parciais contı́nuas até à segunda ordem num subconjunto aberto A de R3 . Determine ∇ · ∇g 2
em função de g , k∇g k e ∇2 g .
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Integrais curvilı́neos de campos vectoriais
1. Calcule a circulação do campo vectorial
~v (x, y , z) =
√ ~
y i + 2x~j + 3y ~k
ao longo da linha definida por


x = t
y = t2


z = t3
2. Calcule
Z
, 1 ≤ t ≤ 2.
y dx − y (x − 1) dy + y 2 z dz,
L
sendo L a parte do primeiro octante da linha definida por
(
x2 + y2 + z2 = 4
(x − 1)2 + y 2 = 1,
desde A = (2, 0, 0) até B = (0, 0, 2).
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3. Determine as funções primitivas da diferencial exacta
2xz dx + z 2 dy + (x 2 + 2yz) dz
por dois processos.
4. Determine a função potencial do campo vectorial
~ (x, y ) = −2xe −y~i + x 2 e −y~j
w
Z
~ dP, sendo L uma linha regular percorrida de
que se anula no ponto (1, 0) e calcule
w
L
A = (1, 0) para B = (0, 1).
5. Utilizando o facto do campo
~u (x, y , z) = (2xe x
2
+y 2 +z
)~i + (2ye x
2
+y 2 +z
+ z)~j + (e x
2
+y 2 +z
+ y ) ~k
ser conservativo, determine uma função potencial f e determine ainda
Z
Z
~u dP =
u1 dx + u2 dy + u3 dz,
C
AM II-C
C
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46 / 53
sendo C a linha definida por


x = cos t
y = sin t


z = log(1 + t),
com 0 ≤ t ≤ π e percorrida no sentido crescente do parâmetro t.
6. Considere o campo vectorial
~ = w1 (x, y , z)~i + w2 (x, y , z)~j + w3 (x, y , z) ~k
w
=
x 3 + xy 2 − y ~ x + x 2 + y 2 ~
i+
j + z 2 cos z ~k.
x2 + y2
x2 + y2
definido em D = {(x, y , z) ∈ R3 :
1
9
< x 2 + y 2 < 9}.
~ = ~0.
(a) Mostre que rot w
(b) Determine
Z
Z
~ dP =
w
C
w1 (x, y , z)dx + w2 (x, y , z)dy + w3 (x, y , z)dz,
C
sendo C a linha definida pela intersecção das superfı́cies x 2 + y 2 = 1 e z = 0.
~ é um campo conservativo.
Diga, justificando, se w
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Integrais de superfı́cie
1. Considere o campo vectorial definido por
~ = x~i + y ~k
w
e determine o seu fluxo através da face exterior da porção da superfı́cie cilı́ndrica, de equações
paramétricas


x = cos u, 0 ≤ u ≤ 2π
y = sin u, 0 ≤ z ≤ 1


z = z.
2. Calcule o fluxo de
~ = (xy + y 2 ) ~k,
w
através do hemisfério z ≥ 0 da superfı́cie esférica x 2 + y 2 + z 2 = 4.
Sugestão: parametrize a superfı́cie fixando convenientemente a variável r nas coordenadas
esféricas.
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3. Determine o valor de
ZZ
~ · ~n dS,
w
S
~ = x~i − y~j + z 2~k, sendo S a superfı́cie total que limita o domı́nio fechado, limitado
com w
superiormente pela superfı́cie parabólica z = 3 − (x 2 + y 2 ), interior à superfı́cie cilı́ndrica
x 2 + y 2 = 1 e acima do plano z = 0.
4. Calcule o integral de superfı́cie
ZZ
S
1
(yz dydz + zx dzdx + xy dxdy )
xyz
através da face exterior do elipsóide
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x2
y2
z2
+ 2 + 2 = 1.
a2
b
c
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Teorema de Stokes e teorema da divergência
1. (a) Calcule directamente o valor do fluxo
ZZ
(∇ × ~u ) · ~ndS, com ~u = (x + z)~j − 3xy 2~k,
S
sendo S a face da porção de superfı́cie z = 2 −
cos(~n, ~k) > 0.
p
x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 2, em que se tem
(b) Determine o valor do integral referido por aplicação do teorema de Stokes.
2. Determine o fluxo do rotacional do campo ~a = y~i + z~j na face exterior da superfı́cie
y2
x2 +
+ z 2 = 1, com z ≥ 12 , a partir do cálculo de um integral de linha.
4
~ = −x ~k, na porção da
3. (a) Determine directamente o valor do fluxo do rotacional do campo w
superfı́cie esférica x 2 + y 2 + z 2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0 e na face em que cos α ≥ 0 e cos β ≥ 0 (α e β
são os ângulos que a normal à superfı́cie considerada faz com o eixo OX e OY , respectivamente).
(b) Determine o valor do fluxo referido na alı́nea anterior através do cálculo de um integral
curvilı́neo.
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~ = ~i + z ~k, através da face exterior da
4. (a) Calcule directamente o valor do fluxo do campo w
superfı́cie S definida por
(
√ )
2
3
2
2
2
(x, y , z) ∈ R : x + y − z = 0, 0 ≤ z ≤
∪
2
(
√ )
1
2
(x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 ≤ , z =
.
2
2
(b) Calcule o valor do fluxo da alı́nea anterior utilizando um integral triplo.
−→
~ = c1~i + c2~j + c3~k, um vector constante, e
5. Seja OP = x~i + y~j + z ~k, C
→
~ ×−
~u (x, y , z) = u1 (x, y , z)~i + u2 (x, y , z)~j + u3 (x, y , z)~k = C
OP.
Mostre que se L é uma linha regular que limita uma superfı́cie S definida por uma representação
paramétrica biunı́voca e regular e se ~n é uma seminormal convenientemente escolhida então
Z
ZZ
~ · ~n dS,
u1 (x, y , z)dx + u2 (x, y , z)dy + u3 (x, y , z)dz = k
C
L
S
sendo k uma constante a determinar.
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~ = ~i + z ~k através da face exterior da
6. (a) Determine directamente o fluxo do campo w
y2
superfı́cie limitada inferiormente pela superfı́cie parabólica z = 4 x 2 +
e superiormente
4
2
2
y
z
pelo elipsóide x 2 +
+
= 1.
4
8
(b) Resolva o exercı́cio anterior utilizando o teorema da divergência.
~ = z 2~k através da face exterior da superfı́cie S que limita
7. Calcule o valor do fluxo do campo w
o domı́nio fechado limitado pelas superfı́cies esféricas
(
x 2 + y 2 + z 2 = a2
x 2 + y 2 + z 2 = b 2 , z ≥ 0, a < b.
por dois processos.
8. (a) Determine directamente o valor do fluxo do campo
~ = x~i + z 2~k
w
através da face exterior da superfı́cie S que limita o domı́nio fechado determinado pelas superfı́cies
(
z = −1 + x 2 + y 2
z = −5 + 3(x 2 + y 2 )
(b) Calcule o integral anterior utilizando o teorema da divergência.
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9. Determine o valor do fluxo do campo
~ = y~j + ~k,
w
através da face exterior da superfı́cie (total) S que limita o domı́nio fechado limitado
3
superiormente pelo plano z = e inferiormente pela superfı́cie esférica
2
x 2 + y 2 + (z − 1)2 = 1.
10. Sendo ~r o vector de posição relativamente a uma superfı́cie S fechada e ~n a normal exterior a
essa superfı́cie num ponto genérico, mostre que
ZZ
ZZZ
1
dv
p
cos (~r , ~n)dS =
,
2
x2 + y2 + z2
S
D
sendo D o domı́nio limitado por S.
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