UNIVERSIDADE FEDERAL DE
UBERLÂNDIA
(a) (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
e
λ(x, y) = (x, λy).
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Exercı́cios de Álgebra Linear - Lista 3
(b) (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 , y1 )
e
λ(x, y) = (λx, λy).
Espaços vetoriais
1. Seja F(R) o conjunto de todas as funções f :
R → R. Dadas as funções f, g ∈ F(R) e λ ∈ R,
defina f + g : R → R e λf : R → R pelas
fórmulas
6. Seja V como no exercı́cio anterior e defina
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (2x1 − 2y1 , −x1 + y1 )
λ(x, y) = (3λy, −λx).
Com estas operações V é um espaço vetorial?
(f + g)(t) = f (t) + g(t)
7. Seja {(x, y); x, y ∈ C}. Mostre que V é um
espaço vetorial sobre R onde as operações são
definidas por
e
(λf )(t) = λf (t), ∀t ∈ R.
Mostre que com estas operações F(R) é um
espaço vetorial sobre R.
(x1 , y1 ) + (x2 + y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
2. Sejam U e V espaços vetoriais sobre R . Mostre
que o produto cartesiano
λ(x1 , y1 ) = (λx1 , λy1 ),
onde (xi , yi ) ∈ V e λ ∈ R.
U × V = {(u, v); u ∈ U e v ∈ V }
8. Mostre que todo espaço vetorial sobre C é
também espaço vetorial sobre R.
é um espaço vetorial em relação ao seguinte par
de operações:
9. Mostre que:
(u1 , v1 ) + (u2 , v2 ) = (u1 + u2 , v1 + v2 )
(a) O vetor nulo de um espaço vetorial é
único.
λ(u1 , v1 ) = (λu1 , λv1 ),
(b) Para cada vetor v no espaço vetorial V
existe um único vetor oposto.
onde u1 , u2 ∈ U , v1 , v2 ∈ V e λ ∈ R.
3. No conjunto V = {(x, y); x, y ∈ R} defina a
adição pela fórmula
(c) Para cada v ∈ V tem-se −(−v) = v.
(d) Se u, v ∈ V então existe um único vetor
w ∈ V tal que u + w = v.
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , 0)
e a multiplicação por escalar por
10. No espaço P3 (R), dos polinômios de grau ≤ 3,
considere os vetores f (t) = t3 − 1, g(t) = t2 +
t − 1 e h(t) = t + 2.
λ(x, y) = (λx, λy).
Pergunta-se: com estas operações, V é um
espaço vetorial sobre R?
(a) Calcule 2f (t) + 3g(t) − 4h(t).
(b) Existe k ∈ R tal que f (t) + kf (t) = h(t)?
4. No exercı́cio anterior defina a adição da maneira usual (como fazemos em R2 ) e defina a
multiplicação por escalar pela fórmula
(c) Existem k1 , k2 ∈ R tais que f (t) =
k1 g(t) + k2 h(t)?
λ(x, y) = (λx, 0).
Subespaços, combinações lineares, base e dimensão
V é um espaço vetorial sobre R?
5. Seja V o conjunto dos pares ordenados de
números reais. V não é um espaço vetorial
em relação a nenhum dos seguintes pares de
operações sobre V . Diga quais dos 8 axiomas
da definição de espaço vetorial não se verificam
em cada caso.
11. Mostre que o conjunto W = {(x, y) ∈ R2 ; y =
0} é um subespaço vetorial de R2 .
12. Seja Mn (R) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n.
1
(a) Mostre que o conjunto U = {A ∈
Mn (R); A = At } (conjunto das matrizes
simétricas) é um subespaço vetorial de
Mn (R).
(d) Mostre que F(R) = U ⊕ V .
16. Seja I um intervalo da reta real e seja C(I) o
espaço vetorial das funções f : I → R que são
contı́nuas. Mostre que o conjunto
(b) Mostre que o conjunto V = {A ∈
Mn (R); A = −At } (conjunto das matrizes
anti-simétricas) é um subespaço vetorial
de Mn (R).
W = {f ∈ C(I); f é derivável}
é um subespaço vetorial de C(I).
(c) Seja B ∈ Mn (r) uma matriz (fixa).
Mostre que o conjunto W = {A ∈
Mn (R); AB = BA} (conjunto das matrizes que comutam com a matriz B) é um
subespaço vetorial de Mn (R).
17. Seja I o intervalo fechado [0, 1]. Verifique se
são subespaços de C(I):
13. Quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços de R3 ? Verifique todos os axiomas e,
caso não seja subespaço, aponte quais axiomas
não se veirficam.
18. Sejam U, V, W os subespaços de R3 dados por
(a) W = {f ∈ C(I); f (0) = 0};
(b) W = {f ∈ C(I); f (0) = f (1)};
U = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = z}
V = {x, y, z) ∈ R3 ; x = y = 0}
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0}
W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 0}.
(b) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x ∈ Z}
Verifique que U + V = R3 , U + W = R3 e
V + W = R3 . Em algum dos casos a soma é
direta?
(c) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; y é irracional}
(d) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − 3z = 0}
(e) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; ax + by + cz = 0},
onde a, b, c ∈ R
19. Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o
subconjunto S do espaço vetorial V é l.i. ou
l.d..
3
(f) W = {(x, y, z) ∈ R ; x = 1}
(g) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y + z = 0}
(h) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x ≤ y ≤ z}
(a) S = {(1, 2), (3, 10}, V = R2 ;
(i) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y ∈ Q}
(b) S = {1 + t − t2 , 2 + 5t − 9t2 }, V = P2 (R);
−1 1
2 0
(c) S =
,
, V =
0 0
−1 0
M2 (R);
14. Quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços do espaço P (R) de todos os polinômios?
(a) W = {f (t) ∈ P (R); f (t) tem grau maior que 3}
(d) S = {(1, 2, 2, −3), (−1, 4, −2, 0)}, V =
R4 ;
(b) W = {f (t) ∈ P (R); f (0) = 2f (1)}
(e)
(c) W = {f (t) ∈ P (R); f (t) > 0, ∀t ∈ R}
(d) W = {f (t) ∈ P (R); f (t) + f 0 (t) = 0}

1

S=  3

0
1
0
0
 
−1
0
1 , 0
2
1
−1
0
1
 
−1
0
0  ,  10
1
−1
V = M3 (R).
(f) S = {(1, 2, 1), (2, −1, 0), (8, −1, 2)}, V =
R3 ;
15. Seja F(R) o conjunto de todas as funções f :
R → R (ver exercı́cio 1).
(g) S = {(1, 2), (1, −1), (0, 1)}, V = R2 .
(a) Seja C(R) o conjunto das funções f : R →
R que são contı́nuas. Mostre que C(R) é
um subespaço vetorial de F(R).
20. Seja S = {u, v, w} um conjunto linearmente
independente do espaço vetorial V . Verifique
se os conjuntos abaixo são l.i. ou l.d.
(b) Seja
U = {f ∈ F(R); f (t) = f (−t), ∀t ∈ R}
(a) S1 = {u, u + v, u + v + w};
o conjunto das funções pares. Mostre que
U é um subespaço de F(R).
(b) S2 = {u − v, v − w, w − u};
(c) S3 = {u + v, u + v + w, w}.
(c) Seja
21. Dados os subespaços vetoriais de R3 e R4
abaixo, faça o que se pede:
V = {f ∈ F(R); f (t) = −f (−t), ∀t ∈ R}
• Determine um sistema de geradores para
cada um deles;
o conjunto das funções ı́mpares. Mostre
que V é um subespaço de F(R).
2
0
5
0

0

7  ,

1
• Determine uma base para cada um deles;
29. Considere no espaço P2 (R) (polinômios de grau
≤ 2) os vetores p − 1 = t2 − t + 1, p − 2 = t + 2
e p − 3 = 2t2 − t.
• Determine a dimensão de cada um dos subespaços dados.
(a) Escreva o vetor p = 5t2 − 5t + 7 como
combinação linear de p1 , p2 e p3 .
(a) U = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x − y − z + t = 0}
(b) V = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x − y = z + t}
(b) Escreva o vetor p = 5t2 − 5t + 7 como
combinação linear de p1 e p2 .
(c) W = {x, y, z) ∈ R3 ; x − 2y = 0}
(c) Determine uma condição sobre a, b, c para
que o vetor at2 + bt + c seja combinação
linear de p2 e p3 .
(d) S = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ = 0 e x − 2y = 0}
(e) T = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 2y − 3z = 0}
(f) W ∩ S
30. Determine os subespaços de R3 gerados pelos
vetores:
(g) S + T
22. Mostre que os polinômios 1, 1 − t, (1 − t)2 e
(1 − t)3 geram P3 (R) e são l.i., ou seja, formam
uma base de P3 (R).
(a) (2, 1, −3)
(b) (−1, 3, 2), (2, −2, 1);
(c) (1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0);
23. Mostre
que
os
dois
conjuntos
{(1, −1, 2), (3, 0, 1)} e {(−1, −2, 3), (3, 3, −4)}
geram o mesmo subespaço de R3 .
(d) (1, 2, −1), (−1, 1, 0), (0, 0, 2), (−2, 1, 0).
31. O mesmo para os vetores abaixo:
(a) p1 = 2x+2, p2 = −x2 +x+3, p3 = x2 +2x,
em P2 (R);
24. Considere os seguintes vetores de R3 :
(−1, 1, 0) e (3, 4, −2).
Determine um sistema de equações homogêneas para o qual o
espaço solução seja exatamente o subespaço
gerado por esses vetores.
25. Faça
o
mesmo
com
(1, 0, 1, 2), (0, 0, 1, 0) do R4 .
os
(b) (2, −1, 1, 4), (3, 3, −3, 6), (0, 4, −4, 0)
R4
em
(c) p1 = x3 + 2x2 − x + 3, p2 = −2x3 − x2 +
3x + 2, em P3 (R);
vetores
32. Sejam U = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x − y + t + z = 0}
e V = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y − t + z = 0}.
Encontre uma base e a dimensão dos seguintes
subespaços vetoriais:
26. Dados os subespaços U e W de um espaço vetorial V , dizemos que W é suplementar de U
(ou que U é suplementar de W ) se V = U ⊕W .
(a) U ;
(a) Determine um espaço suplementar para o
seguinte subespaço do R3 : {(x, y, z); x −
y = 0}.
(b) V ;
(c) U ∩ V ;
(b) Faça o mesmo para o subespaço
{(x, y, z, t) ∈ R4 ; x − y = z − t = 0}
do R4 .
(d) U + V .
33. Seja V = Mn R o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Sejam U = {A ∈
Mn (R); A = At } e W = {A ∈ Mn (R); A =
−At }.
27. Mostre que os dois conjuntos geram o mesmo
subespaço do espaço vetorial C(R) (funções
conı́nuas de R em R):
{sen2 t, cos2 t, sent · cos t} e {1, sen(2t), cos(2t)}.
(a) Mostre que U e W são subespaços vetoriais de Mn (R).
28. Considere os vetores u = (2, −3, 2) e v =
(−1, 2, 4) em R3 .
(b) Determine a dimensão de U e a dimensão
de W .
(c) Mostre que Mn (R) = U ⊕ W .
(a) Escreva o vetor w = (7, −11, 2) como
combinação linear de u e v.
(b) Para que valor de k o vetor (−8, 14, k) é
combinação linear de u e v?
(c) Determine uma condição sobre x, y, z para
que o vetor (x, y, z) seja combinação linear
de u e v.
3