OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
AULA 00
Operações Básicas
Parceiro. Andrew Logan
www.estrategiamilitares.com.br
Parceiro. Andrew Logan
Sumário
Apresentação do Parceiro
3
Metodologia Do Curso
3
Cronograma De Aulas
4
1.0 Introdução
5
2.0 Notação Matemática
6
Exercícios Nível 1
9
Exercícios Nível 2
10
Exercícios Nível 3
12
Gabarito Nível 1
12
Gabarito Nível 2
13
Gabarito Nível 3
13
3.0 Considerações Finais
14
Siga minhas redes sociais!
Matemática em Evidência
Matemática em Evidência
AULA 00 – OPEÇÕES BÁSICAS E EXPRESSÕES NUMÉRICAS
@loganvrumvrum
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Parceiro. Andrew Logan
Apresentação do Professor
Olá, querido aluno! Me chamo Andrew Logan, sou parceiro da equipe do Estratégia Militares e o
rapaz responsável por fazer você gabaritar a matemática do seu concurso dos sonhos, rs.
Tenho 17 anos, nasci e fui criado na Baixada Fluminense (RJ). Comecei a minha trajetória nos
estudos aos 13 anos quando vi que não era capaz de fazer nenhuma questão de matemática do Colégio
Naval (CN), após o acontecido me dediquei ao máximo e passei 1 ano estudando a tal matéria... Acabei
não fazendo o (CN), apenas a (Epcar) onde fui aprovado mas não classificado e o (CEFET-RJ) onde passei
e cursei mecânica, mas em menos de 6 meses eu larguei a federal para focar no militarismo. Foquei
mesmo? Não! Fiquei meu E.M todo parado (Acredito que muitos de vocês tenham passado pela mesma
situação) e com o término dele eu percebi que tinha que fazer algo da vida, voltei a estudar em fevereiro
de 2021 com o material do estratégia, sozinho em casa e na minha primeira tentativa de EsPCEx tirei
notas como 19/20 em Matemática, 10/12 em Física e 11/12 em Inglês.
Nesse mesmo ano comecei a postar vídeos no canal Matemática em Evidência onde tive grande
visibilidade por conta da minha didática e por conta do meu estilo de vídeo, o canal cresceu tanto em tão
pouco tempo que a coruja me abraçou logo de cara, proporcionando esse projeto lindo para vocês!
Apesar de estar dando aula eu sou um mero aluno e já passei por todos os "perrengues" que você
também passou ou passará, cresceremos juntos aqui e a missão é conquistar nossos sonhos... E missão
dada é missão cumprida!
Metodologia Do Curso
Olá, Seja bem-vindo ao curso Matemática (Evidência), do Estratégia Militares. Nesse primeiro
momento, vamos conversar sobre a metodologia do nosso curso. Isso se faz muito importante pois, só
assim, poderemos extrair a melhor preparação para você!
A matemática do seu edital foi dividida, didaticamente, da seguinte forma: ÁLGEBRA, ARITMÉTICA e
GEOMETRIA. Essa divisão irá facilitar seus estudos, no sentido de crescer de forma equitativa (equilibrada)
em cada uma das frentes, não deixando nenhuma delas por último.
Dentro desta divisão, o seu edital foi particionado de forma que os tópicos (aulas) dentro de cada uma das
três frentes sejam dependentes entre si. Ou seja, deve ser estudada na forma cronológica proposta, ou
seja, estude a aula 01 somente depois de já ter passado pela 00. A organização é 70% do seu concurso. Não
dê mole! OK?
Saiba que cada tópico do seu edital será repassado por meio de listas de exercícios + videoaulas, que estão
sob minha responsabilidade. Vale ressaltar que, antes de iniciarmos os pontos efetivos referentes ao edital,
decidi por bem dar uma revisada na Matemática Básica, para que você possa relembrar pontos muito
importantes para o bom desempenho do nosso curso. Confie em mim! Tudo fará diferença na sua
aprovação. Relembre cada detalhe! Não irá se arrepender.
AULA 00 – OPEÇÕES BÁSICAS E EXPRESSÕES NUMÉRICAS
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Além das aulas teóricas gravadas, farei também correção de questões de provas anteriores bem como de
alguns desafios, para que fique um nível acima da prova. Tentarei esgotar, ao máximo, questões do seu
certame, no entanto, utilizarei questões de fixação (modelo) e questões de outros concursos militares, para
que tenha uma quantidade razoável de exercícios de cada tópico
Cronograma De Aulas (ÁLGEBRA)
Aula 0
Números Inteiros: O Ínicio da Álgebra, Operações com números inteiros, Expressões com
números inteiros, Raiz quadrada e cúbica de números inteiros
Aula 1
Números Racionais: Revisão de Frações, Dízima, Número misto, Fração Própria e Imprópria,
MMC, Simplificação, Potência de números racionais, Raízes de números racionais,
Expressões com número racionais, Números Irracionais e Reais
Aula 2
Expressões Algébricas: Termos e Expressões, Classificação de expressões algébricas,
Operações com monômios, Operações com polinômios, Divisão de polinômios, Potências
de um polinômio
Aula 3
Produtos Notáveis: Quadrado da Soma e da Subtração, Soma tripla ao quadrado, Produto
da soma pela diferença, Produto de Stevin, Cubos da Soma e da Diferença, Soma e
Diferenças de Cubos + Bizus
Aula 4
Fatoração: Fatoração por evidência, Fatoração por agrupamento, Fatoração por Produtos
Notáveis, Trinômio do segundo grau, Fatoração po “Mágica” + Bizus
Aula 5
MMC e MDC: MMC e redução ao mesmo denominador, MDC e simplificação de frações
algébrica, MDC e MMC de expressões algébricas, Fatores numéricos e algébricos
Aula 6
Frações Algébricas: Simplificação de frações algébricas, Multiplicação de frações algébricas,
Divisão de frações Algébricas, Adição e Subtração de frações algébricas
Aula 7
Equações do Primeiro Grau: Método de resolução, Discussão de uma equação do primeiro
grau, Inequação, Equação fracionária, Equação modular
Aula 8
Aula 9
Aula 10
Aula 11
Sistemas de Equações do Primeiro Grau: Método da substituição, Método da adição,
Método da comparação, Método dos determinantes, Sistemas com 3 equações e 3
incógnitas, Sistemas possíveis, Indeterminados, Determinados e Impossíveis
Problemas do Primeiro Grau : Interpretação, Problemas envolvendo idades (Torneira, Juros,
Espaço, Tempo, Velocidade, Misturas...)
Conjuntos e Tópicos sobre Análise: Conjuntos, pertinência, Conjunto vazio, Representações,
Pertence ou está Contido?, Conjunto Universo, Operação com Conjuntos, Subconjunto,
Complementar, Diagrama de Venn... Intervalos, Médias, Plano Cartesiano, Relações e
funções, Função Linear e Afim
Inequeções do Primeiro Grau: Inequações Fracionárias, Sistemas de Inequações, Equações
com Módulo, Inequações com Módulos, Inequações “Indeterminadas” e Impossíveis,
Módulo
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Aula 12
Equações do Segundo Grau: Formas Incompletas, Forma fatorada, Resolução por Soma e
Produto, Fórmula Geral, Discussão pelo Driscriminante, Gráfico, Relação entre coeficiente e
raízes, Resolvendo de Cabeça
Cáculo de Radicais: Operações básicas, Racionalização de denominadores, Radicais duplos...
Aula 13
Aula 14
Equações Redutíveis ao Segundo Grau: Equações Biquadradas, Equações Irracionais, Outras
Equações Redutíveis
Sistemas do Segundo Grau: Sistemas não Lineares, É Álgebra ou Aritmética?
Aula 15
Aula 16
Inequações do Segundo Grau: Inequação com Trinômio do Segundo Grau, Inequação
Fracionária, Inequações com Módulo e Exponencial
Problemas do Segundo Grau: Aritmética Avançada (Nem sempre as equações se resolvem)
Aula 17
Aula 18
Funções: Domínio, Função Composta, Função Afim, Função Injetiva ou Injetora, Translação
de Eixos, Função Par e Função Ímpar, Função Identidade, Função Inversa
Trinômio do Segundo Grau: O último tópico, O Gráfico...
Aula 19
Aula 20
Polinômios: Polinômios Identicamente iguais, Separação em frações, Divisibilidade entre
Polinômios, Teorema do Resto, Teorema das raízes racionais, Teorema de Bolzano,
Relações de Girard
2.0 Notação Matemática
2.1 Introdução
Na Matemática, a Simbologia tem um papel fundamental. Em diversas questões, por exemplo, se
você não tiver um bom domínio da linguagem matemática, a feitura das mesmas torna-se praticamente
impossível. Costumo dizer que essas notações são uma extensão do nosso alfabeto.
Veremos a seguir algumas das principais notações. Ressalto que não faz sentido trazer todas as
existentes, por fugir do intuito do seu curso. Não se preocupe em decorar todas num primeiro momento.
Este aprendizado vem com o decorrer do curso, alinhado a muita prática de exercícios. Beleza?
Caso, durante o nosso curso, apareça algum não mencionado na tabela abaixo, fique tranquilo,
pois farei o comentário necessário. Ok?
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Vamos entender a dinâmica da tabela? Simbora!
2.2 Principais Notações
A tabela abaixo conta com as principais notações da nossa querida matemática. Vale ressaltar que
a mesma foi dividida em três colunas, a saber:
1ª Coluna - preocupei-me em apresentar a forma simbólica.
2ª Coluna - preocupei-me em descrever o nome da respectiva notação e as possíveis variações.
3ª Coluna – preocupei-me em citar em qual tópico da matemática você terá um possível contato.
Veremos agora um esquematizado! Preparado? Vamos nessa, guerreiro!
SÍMBOLO
NOMENCLATURA
UTILIDADE
≠
Desigual ou Diferente
Condições de
fracionárias.
=
Igual
Operações algébricas.
+
Adição
Operações algébricas.
-
Subtração
Operações algébricas.
×
Multiplicação
Operações algébricas.
÷
Divisão
Operações algébricas.
>
Maior que
Inequações.
<
Menor que
Inequações.
≥
Maior que ou igual a
Inequações.
≤
Menor que ou igual a
Inequações.
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existência
de
equações
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∪
União
Teoria dos Conjuntos
∩
Interseção
Teoria dos Conjuntos
≡
Equivalente ou congruente
Operações algébricas.
≅
Aproximadamente
Operações algébricas.
∧
Operador lógico “e”
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
∨
Operador lógico “ou”
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
!
Fatorial
Análise Combinatória e Binômio de Newton.
∀
Qualquer, ou para todo
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
∈
Pertence
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
∉
Não pertence
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
∃
Existe pelo menos um
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
∃I
Existe um único
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
∄
Não existe
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
⊃
Contém
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
⊂
Está contido
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
⊅
Não contém
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
⊄
Não está contido
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
⟶
Operador lógico: Se então
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
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⟹
Implicação
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
⟷
Operador lógico
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
Se e somente se
∴
Portanto
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
∵
Porque
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
∑
Somatório
Somas Telescópicas
∕
Tal que
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
¬
Negação
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
∨
Operador lógico: Ou ... ou
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
⊆
Está contido ou igual
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
⊇
Contém ou igual
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
( )
Parênteses
Operações Algébricas.
{ }
Chaves
Operações Algébricas.
[ ]
Colchetes
Operações Algébricas.
∅
Vazio
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico.
∞
Infinito
Intervalos Reais.
∆
Delta ou discriminante
Equações Polinomiais.
Função ou Aplicação de A
em B
Função.
f: A⟶B
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𝑨𝒙𝑩
Produto cartesiano
Teoria dos Conjuntos e Função.
Diferença de Conjuntos
Teoria dos Conjuntos e Inequações
Complementar de B em A
Teoria dos Conjuntos
̅ = 𝑨’ = 𝑨𝑪 = ~𝑨
𝑨
Complementar em relação
ao universo
Teoria dos Conjuntos
𝒏(𝑨)𝒐𝒖 #(𝑨)
Nº de elementos ou
Cardinalidade do conjunto A
Teoria dos Conjuntos
Conjunto das Partes de A
Teoria dos Conjuntos
𝑨– 𝑩= 𝑨∖𝑩
𝑪𝑩
𝑨 =A–B
𝑷(𝑨)
Ufa! Quanta coisa! Como disse anteriormente: não se preocupe em gravar, neste primeiro
momento. Atenha-se apenas em saber que existe! Ok?
Agora, Let's que Let's!
________________________________________________________________________________
Exercícios Nível 1
1) Resolva as seguintes operações:
A) (-3)+(+6) B) (-3)+(-6) C) (3)-(-6) D) -(-3)-(+6) E) 15 -7 +(5) F) -(-3)-(-(-12))
G) +(-3)-(-(-(-2))) F) +(-(-(+(-4)))) + (+(-(-(+4))))
2) Coloque em ordem crescente a seguinte sequência dos números:
-2, 3, -7, -5, 11, -17, -19, -13, 23, 29, -31
3) Complete as sentenças com os símbolos < ou >
A) 11_13 B) 13_11 C) -23_-29 D) 51_-5 E) -32_-31
4) Resolva as seguintes operações:
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A) (+48) ÷ (+6) B) (−32) ÷ (−8) C) (−32) ÷ (8) D) (+3). (+4) E) (−4). (−5)
F) (−4). (+5)
5) Resolva as seguintes operações:
A) (+4 − 5). −1 + 10 ÷ 2(3 + 2) B) 33 ÷ 11. (5 + 4) ÷ 27 C) (5 + 5 + 5 ÷ 5). 5 ÷ 55
D) 12 ÷ 3 ÷ 4. (1 − 3). 5 E) 5. (−10 + 6 ÷ 2 × 3) + 5
6) Resolva as seguintes expressões:
A) [−28 − 4. (−5)]. [−36 − 4. (−8)] B) [(−1)(−3) + (−8) ÷ 2][4 − (−2)(−3)]
C) {(8.8 − 4) ÷ (−6) + (−21) ÷ (7)ൣ−2൫2(−5) − 3. (−6)൯൧} ÷ (−2)
D) ൛[(8.4 + 3) ÷ 7 + (3 + 15 ÷ 5). 3]. 2 − (19 − 7) ÷ 6ൟ. 2 + 12
________________________________________________________________________________
Exercícios Nível 2
1) O simétrico de um número inteiro pode ser positivo?
2) O produto de dois números inteiros é um número negativo, e a soma desses dois números também é
um valor negativo. Então podemos dizer certamente que:
A) Os dois números são negativos
B) Um número é positivo e outro é negativo, porém o negativo é maior
C) Os dois números são simétricos
D) Os números têm sinais contrários, porém o negativo é o de maior módulo
E) Impossível
3) Quantos anos foram transcorridos entre 520 AC e 450 AC?
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4) O isolamento térmico de um avião permite suportar diferenças de temperatura de até 60 graus celsius
entre seu interior e seu exterior. Mantendo a temperatura interna do avião em 18 graus celsius, qual é a
mínima temperatura externa suportada?
5) Um avião levantou vôo de uma cidade A que está a 50 metros acima do nível do mar. Subiu 300 mestros,
depois desceu 40 metros, subiu mais 80 metros, desceu até metade da altura que estava, em relação ao
nível do mar, então subiu mais 100 metros. Quanto precisará agora descer para chegar ao chão na cidade
B, localizada a 30 metros acima do nível do mar?
6) Uma pessoa tinha que dividir o número N por 3, mas enganou-se, multiplicando-o por 3 e encontrou a
mais 104 unidades do que deveria. Ache N.
7) Dividindo-se certo número por 6, ficam faltando 115 unidades ao quociente para se obter o dividendo.
Determine-o
8) Subtraindo-se de 552 certo número, obtém-se o quociente desse número por 7. Calcule esse número.
9) Em uma divisão, a soma do divisor com o quociente é igual a 24 e o resto é o maior possível. Calcule o
dividendo, sabendo que o divisor é o triplo do quociente.
10) Por quanto devemos multiplicar 18, para que o produto seja o quíntuplo de 198?
11) Uma pessoa ao multiplicar um número por 82, por engano, multiplicou por 28 e obteve, assim, um
produto inferior de 11.016 unidades ao verdadeiro produto. Calcule o número que foi multiplicado por
28
12) Somando-se três unidades ao multiplicador, o produto aumenta de 135 unidades. determine o
multiplicando.
________________________________________________________________________________
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Exercícios Nível 3
1) Seja 𝑆 = 9 + 99 + 999 + ⋯ + 999 … 99. Determine a soma dos dígitos de S sabendo que o último
termo possui 99 noves
2) Seja 𝑆 = 1 + 11 + 101 + 1001 + 10001 + ⋯ + 1000 … 0001. Calcule a soma dos dígitos de S
sabendo que o último termo possui 50 zeros
3) Seja a multiplicação 56x24. Aumentando-se o multiplicador de uma unidade, em quanto devemos
aumentar o multiplicando, para que o novo produto exceda o primitivo de 456 unidades?
4) Suponha A e B números inteiros e positivos. A soma dos dígitos de A é 19 e a soma dos dígitos de B é
99. Qual é o menor valor da soma dos dígitos gerados por A+B?
A) 1 B) 18 C) 19 D) 20 E)118
5) (CN) Quantos devem ser os números naturais k, de modo que a divisão de 113k + 7 por k + 1 seja exata?
6) (CN) Simplificando a expressão:
6×12×18×…×300
(2×6×10×14×…×98)(4×8×12×16×…×100)
,
obtemos: A) 2300 B) 1 C) 350 D) 3 E) 50
________________________________________________________________________________
Gabarito Nível 1
1. A) 3 B) -9 C) +9 D) -3 E) 13 F) -9 G) -1 F) 0
2. -31, -19, -17, -13, -7, -5, -2, 3, 11, 23, 29
3. A) < B) > C) > D) > E) <
4. A) 8 B) 4 C) -4 D) 12 E) 20 F) -20
5. A) 26 B) 1
C) 1 D) -10 E) 0
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6. A) 32 B) 2 C) -104 D) 100
________________________________________________________________________________
Gabarito Nível 2
1. Sim! O simétrico de um número negativo é um positivo
2. Pelo enunciado dá a entender que os números possuem sinais opostos e que o número negativo
tem o módulo maior que o do positivo, visto que a soma gera um número negativo
3. 70
4. 42
5. 265
𝑁
6. Se dividirmos N por 3 teremos um valor X como resultado: = 𝑥. Porém trocando a operação por
3
uma multiplicação teremos que 3𝑁 = 𝑥 + 104 de acordo com o enunciado, substituindo o valor de x na
𝑁
segunda equação achamos que 3𝑁 = 3 + 104. Quando resolvemos uma equação tentamos sempre deixá-la
sem denominadores, portanto irei multiplicar por 3 dos dois lados 9𝑁 = 𝑁 + 312 → 8𝑁 = 312 ∴ 𝑁 = 39
7. 138
8. 7. (𝑥 − 552) = 𝑥 → 7𝑥 − 3864 = 𝑥 → 6𝑥 = 3864 ∴ 𝑥 = 644
9. 𝐷 + 𝑄 = 24, porém D = 3Q → 4𝑄 = 24 ∴ 𝑄 = 6 → 𝐷 = 18, o maior resto possível se dá quando
ele é uma unidade menor que o divisor, portanto R = 17. Relação fundamental 𝐷. 𝑄 + 𝑅 = 𝑁 → 18.6 + 17 =
125
10. 55
11. 204
12. 45
________________________________________________________________________________
Gabarito Nível 3
1. S = 10 - 1 + 100 - 1 + 1000 - 1 +... , Perceba que para as três primeiras parcelas temos 1110 -3
Com três números 1, um número 0 e três -1's resultando assim em -3. Seguindo esse racícionio teremos
que a soma resultará em 111111...11110 -99 com noventa e nove números 1, podemos reescrever o número
99 como 100 - 1, resultando em 111111...11110 - (100 - 1) = 11111...11110 - 100 + 1 = 11111...11010 +1 =
1111...11011 com noventa e nove números 1, portando a soma dos algarismo será 99.
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2. Siga o mesmo raciocíonio da questão 3 e encontre o valor 58 para S
3. Do enunciado temos que 56.24 = 1344 e que (56 + x).25 = 1344 + 456. Resolvendo a equação
encontraremos x = 16
4. Para ser a menor soma teremos que manipulá-la de tal forma que apareça a maior quantidade de
zeros possíveis, pois eles não afetaram na soma dos dígitos.
E para isso teremos que escolher primeiro um número repleto de noves, depois somar um número
com terminação em 1 para a mágica acontecer.
Um possível valor para B é 99 999 999 999, pois a soma dos algarismos vale 11.9 = 99
Agora tire um tempo para encontrar o valor de A que termina em 1 tal que a soma dos seus algarismos
resulte em 19 e que a sua soma final com B resulte em 10 000 000 000 000, concluindo assim que soma mínima
dos algarismos será 1.
5. Nesse tipo de questão buscamos separar o numerador em duas parcelas de tal forma que uma
delas seja com certeza divisível pelo denominador e outra que teremos que analisar os possíveis valores,
reescrevendo a fração temos
113𝑘+7
𝑘+1
=
106𝑘+7𝑘+7
𝑘+1
=
106𝑘
𝑘+1
+
7𝑘+7
𝑘+1
=
106𝑘
𝑘+1
+ 7 , agora iremos calcular os
possíveis valores para K a partir da primeira fração. Perceba que k+1 não divide k, portanto 106 tem que ser
necessariamente divisível por k+1 e o números que dividem 106 são: 1, 2, 53, 106.
Ou seja, os possíveis valores para k + 1 são esses que citei, igualando a eles encontraremos 4 valores
para k visto que achamos 4 divisores distintos
6. Essa parece ser díficil mas é bem fácil, é do tipo que só assusta! Perceba que no numerador temos
um sequência de múltiplos de 3 e podemos reescrevê-lo da seguinte forma: 6 × 12 × 18 × … × 300 =
(3 × 2)(3 × 4)(3 × 6) × … × (3.100), a partir disso é notório que os termos 2, 4, 6, ..., 100 irão cortar com
os do denominador, sobrando assim apenas 3 × 3 × 3 × … × 3 no numerador, o qual aparece 50 vezes.
Gabarito C)
________________________________________________________________________________
3.0. Considerações Finais
É isso, meu querido! Finalizamos a nossa lista. Espero que tenha gostado!
Mantenha a pegada, a sua aprovação está mais perto que imagina!
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Qualquer crítica, sugestão ou elogio, só mandar mensagem no DISCORD!
É praticamente impossível responder todos, mas sempre me esforço para dar a devida atenção!
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