FABRÍCIO MARIANO
Raciocínio
Lógico para
Concursos
SÉRIE PROVAS
& CONCURSOS
5ª Edição
Revista e Atualizada
Teoria e Questões
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FABRÍCIO MARIANO
Raciocínio
Lógico
para Concursos
SÉRIE PROVAS
& CONCURSOS
5ª Edição
© 2012, Elsevier Editora Ltda.
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quaisquer outros.
Revisão: Wilton Fernandes Palha Neto
Editoração Eletrônica: SBNigri Artes e Textos Ltda.
Coordenador da Série: Sylvio Motta
Elsevier Editora Ltda.
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ISBN 978-85-352-6137-0 (recurso eletrônico)
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2.ed.
Mariano, Fabrício
Raciocínio lógico para concursos [recurso eletrônico] / Fabrício Mariano. - 2.ed. - Rio de Janeiro : Elsevier, 2012.
recurso digital
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Inclui bibliografia
ISBN 978-85-352-6137-0 (recurso eletrônico)
1. Lógica simbólica e matemática. 2. Lógica simbólica e matemática Problemas, questões, exercícios. 3. Serviço público - Brasil - Concursos.
4. Livros eletrônicos. I. Título.
12-1944.
CDD: 511.3
CDU: 510.6
_________________________________________________________________________
Dedicatória
À minha namorada, Marinéa, pelo amor, incentivo, presença e compreensão de
sempre. Aos meus pais, Salete (in memoriam) e Geraldo, pela educação, exemplo e
incentivo ao estudo, que foi a base para me tornar a pessoa que sou. À irmã, Cristiani,
pelo amor, companheirismo e amizade que me acompanham.
“Observa o teu culto à família e cumpre teus deveres para com teu
pai, tua mãe e todos os teus parentes. Educa as crianças e não
precisarás castigar os homens.” (Pitágoras)
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Agradecimentos
À minha namorada, Marinéa, pelo auxílio e compreensão de sempre. Ao
professor Sylvio Motta e aos colaboradores da Editora Campus/Elsevier, por estarmos
juntos mais uma vez e pela presteza e atenção dispensadas. A todos os alunos e
leitores da primeira edição pela aceitação da obra, que me incentivou a uma tão
rápida atualização.
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O Autor
Fabrício José Teixeira Mariano
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Mestrando em Economia pela Wisconsin International University.
Pós-graduado em Finanças e Gestão Corporativa pela UCAM – Universidade
Candido Mendes.
Graduado em Física pela Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ.
•
Cursos de aperfeiçoamento nas áreas de:
– Finanças Empresariais (Fundação Getulio Vargas – FGV);
– Gestão do Serviço Público (Fundação Getulio Vargas – FGV);
– Atendimento ao Público (Interlegis);
– Lei de Responsabilidade Fiscal (Unilegis);
– Estatística I e II (Cecierj – UERJ);
– Análise Combinatória I e II (Cecierj – UERJ);
– Educação Matemática (Instituto de Matemática – UFRJ);
– Magnetismo Experimental (CBPF – Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas);
– Física Moderna e Contemporânea (UFF – Universidade Federal Fluminense).
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Professor da Academia do Concurso Público;
Professor da Fabec (Faculdade da Academia Brasileira de Educação e Cultura);
Professor do Curso Companhia dos Módulos;
Professor do Curso Debret;
Ex-professor do União Concursos;
Ex-professor do Degrau Concursos.
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Apresentação
Ao elaborar esta obra, visei à objetividade no ensino e aprendizado de Raciocínio
Lógico. A divisão dos capítulos foi feita de forma simples e direta, abordando
princípios gerais de Raciocínio Lógico utilizados na resolução de diversas questões
de concursos, de diversas bancas.
Dividi os capítulos em teoria, exercícios resolvidos e exercícios propostos. Estas
etapas são fundamentais para o aprendizado do aluno: teoria necessária para o
entendimento, exercícios resolvidos para visualizar a aplicabilidade do princípio e
exercícios propostos para fixar o conhecimento.
Incluí nesta obra também dois capítulos que considero de grande utilidade para
os concursandos: um capítulo com mais de quarenta provas anteriores, de diversos
cargos e bancas, e outro com questões resolvidas.
Finalizando, meu principal objetivo foi desmistificar o Raciocínio Lógico,
apresentando para os candidatos princípios gerais, auxiliando-os a reconhecer e
aplicar estes princípios na resolução das mais diversas questões.
Mesmo as noites totalmente sem estrelas podem anunciar a aurora de uma grande
realização. (Martin Luther King)
O autor
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Sumário
Capítulo 1
Princípio da Regressão ou Reversão................................................ 1
1.1. Fundamento da Regressão......................................................... 1
1.2. Exercícios Resolvidos.................................................................. 2
1.3. Exercícios Propostos................................................................... 5
Capítulo 2
O Princípio do Pombal.................................................................... 7
2.1. Definição..................................................................................... 7
2.2. Exercícios Resolvidos.................................................................. 8
2.3. Exercícios Propostos................................................................. 10
Capítulo 3
Leis de Formação.......................................................................... 12
3.1. Quadrados e Retângulos.......................................................... 13
3.2. Exercícios Resolvidos................................................................ 13
3.3. Exercícios Propostos................................................................. 18
Capítulo 4
Mudança de Base........................................................................... 24
4.1. Representação na Base b.......................................................... 24
4.2. Conversão entre Bases Numéricas........................................... 25
4.3. Exercícios Resolvidos................................................................ 26
4.4. Exercícios Propostos................................................................. 28
4.5. Utilização da Base 7: sequências de pedras de dominó.......... 29
4.6. Exercício Resolvido................................................................... 30
4.7. Exercícios Propostos................................................................. 31
Capítulo 5
Sequências Lógicas Envolvendo Números...................................... 33
5.1. Exercícios Resolvidos................................................................ 33
5.2. Exercícios Propostos................................................................. 34
Capítulo 6
Sequências Lógicas Envolvendo Figuras......................................... 40
6.1. Exercícios Resolvidos................................................................ 40
6.2. Exercícios Propostos................................................................. 45
Capítulo 7
Sequências Lógicas Envolvendo Letras.......................................... 57
7.1. Exercícios Resolvidos................................................................ 57
7.2. Exercícios Propostos................................................................. 60
Capítulo 8
Lógica Dedutiva............................................................................. 63
8.1. Exercícios Resolvidos................................................................ 63
8.2. Exercícios Propostos................................................................. 69
Capítulo 9
Problemas com Dados................................................................... 75
9.1. Dados não viciados e Dados viciados....................................... 75
9.2. Exercícios Resolvidos................................................................ 75
9.3. Exercícios Propostos................................................................. 78
Capítulo 10
Sudoku.......................................................................................... 83
10.1. Como Jogar................................................................................ 83
10.2. Exercícios Propostos................................................................. 85
Capítulo 11
Lógica Quantitativa........................................................................ 87
11.1. Exercícios Resolvidos................................................................ 87
11.2. Exercícios Propostos................................................................. 89
Capítulo 12
Lógica Argumentativa.................................................................... 93
12.1. Exercícios Resolvidos................................................................ 93
12.1.1. Verdade ou Mentira.................................................... 93
12.1.2. Encontrando o Culpado............................................. 95
12.1.3. Correlação de informações........................................ 96
12.2. Exercícios Propostos............................................................... 101
Capítulo 13
Lógica e Problemas com Diagramas de Euler-Venn.......................111
13.1. Conjuntos................................................................................ 111
13.2. Representação Lógica com Diagramas de Euler-Venn......... 112
13.3. Argumento Bem Construído.................................................. 112
13.4. Problemas com Dois Conjuntos............................................. 113
13.5. Propriedades de Conjuntos.................................................... 113
13.6. Exercícios Resolvidos.............................................................. 113
13.7. Exercícios Propostos............................................................... 121
Capítulo 14
Ramificações Lógicas e Portas Mágicas.........................................125
14.1. Exercício Resolvido................................................................. 125
14.2. Exercícios Propostos............................................................... 125
14.3. Portas Mágicas......................................................................... 126
14.3.1. Hipóteses do Modelo................................................ 127
14.4. Exercício Resolvido................................................................. 127
14.5. Exercícios Propostos............................................................... 128
Capítulo 15
Calendários e Torre de Hanói.......................................................130
15.1. Ano bissexto............................................................................ 130
15.1.1. Cálculo do ano bissexto............................................ 130
15.2. Exercícios Resolvidos.............................................................. 130
15.3. Exercícios Propostos............................................................... 133
15.4. Torre de Hanói........................................................................ 134
15.5. Exercícios Propostos............................................................... 135
Capítulo 16
Palitos de Fósforo e Quadrado Latino..........................................136
16.1. Considerações Importantes.................................................... 136
16.2. Exercícios Resolvidos.............................................................. 136
16.3. Exercícios Propostos............................................................... 137
16.4. Quadrado Latino.................................................................... 140
16.5. Exercícios Resolvidos.............................................................. 140
Capítulo 17
Blocos...........................................................................................145
17.1. Porcentagem........................................................................... 145
17.2. Blocos....................................................................................... 146
17.3. Razão........................................................................................ 148
17.4. Proporção................................................................................ 148
17.5. Exercícios Propostos............................................................... 152
Capítulo 18
Lógica Matemática Qualitativa......................................................155
18.1. Proposições.............................................................................. 155
18.1.1. Regra do Terceiro Excluído..................................... 155
18.2. Exercícios Resolvidos.............................................................. 155
18.3. Operadores Lógicos................................................................ 155
18.3.1. Proposição Composta............................................... 156
18.3.2. Modificador............................................................... 156
18.4. Fórmulas Proposicionais......................................................... 156
18.5. Tabela Verdade........................................................................ 156
18.6. Construção da Tabela Verdade.............................................. 157
18.7. Tautologia................................................................................ 157
18.8. Contradição............................................................................. 157
18.9. Argumento.............................................................................. 158
18.10. Validade de um Argumento................................................... 158
18.11. Circuitos Lógicos..................................................................... 158
18.12. Exercícios Resolvidos.............................................................. 159
18.13. Equivalência Lógica................................................................ 168
18.14. Álgebra da Proposição............................................................ 168
18.15. Negação de Equivalências Lógicas......................................... 168
18.15.1. Relação entre as tabelas-verdade e os diagramas
de Venn-Euler........................................................... 169
18.16. Exercícios Propostos............................................................... 170
18.17. Quantificadores....................................................................... 174
18.17.1. Função Proposicional............................................... 174
18.17.2. Análise dos Quantificadores..................................... 175
18.18. Exercícios Propostos............................................................... 176
Capítulo 19
Análise Combinatória e Probabilidade..........................................181
19.1. Princípio Fundamental da Contagem................................... 181
19.1.1. Exercícios Resolvidos................................................ 181
19.2. Fatorial..................................................................................... 182
19.3. Análise Combinatória............................................................. 183
19.3.1. Grupos Combinatórios............................................. 183
19.3.1.1. Arranjo...................................................... 183
19.3.1.2. Permutação............................................... 184
19.3.1.3. Combinação.............................................. 185
19.4. Exercícios Resolvidos.............................................................. 186
19.5. Exercícios Propostos............................................................... 197
19.6. Probabilidade.......................................................................... 201
19.7. Espaço Amostral...................................................................... 201
19.8. Evento...................................................................................... 201
19.9. Experiência Aleatória............................................................. 201
19.10. Probabilidade.......................................................................... 201
19.11. Axiomas da Medida de Probabilidade................................... 202
19.12. Axiomas Fundamentais........................................................... 202
19.13. Exercícios Resolvidos.............................................................. 203
19.14. Independência de dois Eventos............................................. 210
19.15. Exercícios Propostos............................................................... 211
Capítulo 20
Ganhando ou Perdendo................................................................221
20.1. Exercícios Resolvidos.............................................................. 221
20.1.1. Gastos Distribuídos na Média................................... 221
20.1.2. Proporcionalidade entre Dinheiro e Tempo.......... 222
20.1.3. Ganhando ou Perdendo no Jogo............................. 222
20.1.4. Erros ou Acertos........................................................ 223
20.1.5. Jogos com Vitórias e Derrotas.................................. 223
20.1.6. Média aritmética....................................................... 224
20.1.7. Problemas de áreas e perímetros............................. 224
20.2. Exercícios Propostos............................................................... 225
Capítulo 21
Razões Especiais e Problemas Envolvendo Parentesco..................227
21.1. Velocidade............................................................................... 227
21.2. Transformação de Velocidade................................................ 227
21.3. Exercícios Resolvidos.............................................................. 227
21.4. Dízimas Periódicas.................................................................. 228
21.4.1. Geratriz de uma Dízima........................................... 228
21.5. Exercícios Resolvidos.............................................................. 229
21.6. Exercícios Propostos............................................................... 230
21.7. Parentesco............................................................................... 234
21.8. Exercício Resolvido ................................................................ 234
Capítulo 22
Numeração...................................................................................241
22.1. Classe de um Número............................................................. 241
22.2. Exercícios Resolvidos.............................................................. 242
22.3. Exercícios Propostos............................................................... 243
Capítulo 23
Geometria e Trigonometria...........................................................246
23.1. Geometria Plana..................................................................... 246
23.1.1. Ângulo Geométrico.................................................. 246
23.1.2. Ângulo Raso.............................................................. 247
23.1.3. Ângulo de uma Volta ou Nulo................................. 247
23.1.4. Ângulo plano e arco................................................. 247
23.2. Circunferência........................................................................ 247
23.3. Triângulos................................................................................ 248
23.3.1. Condição de Existência de um Triângulo............... 248
23.3.2. Classificação do Triângulo........................................ 248
23.3.3. Teorema..................................................................... 249
23.3.4. Teorema de Pitágoras............................................... 250
23.4. Congruência de Triângulos.................................................... 250
23.5. Semelhança de Triângulos..................................................... 250
23.6. Área do Setor Circular............................................................ 251
23.7. Áreas e Volumes...................................................................... 251
23.8. Polígonos................................................................................. 252
23.8.1. Diagonais de um Polígono....................................... 252
23.8.2. Ângulos Internos e Externos ................................... 253
23.8.3. A Matemática das Abelhas........................................ 253
23.9. Noções de Trigonometria....................................................... 254
23.9.1. Relações trigonométricas básicas............................. 254
23.10. Exercícios Resolvidos.............................................................. 255
23.11. Exercícios Propostos............................................................... 261
Capítulo 24
Progressões Aritmética, Geométrica e Funções.............................275
24.1. Progressão Aritmética............................................................. 275
24.1.1. Fórmula do Termo Geral de uma Progressão
Aritmética.................................................................. 275
24.1.2. Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética.... 275
24.1.3. Classificação das Progressões Aritméticas............... 276
24.2. Progressão Geométrica........................................................... 277
24.2.1. Classificação das Progressões Geométricas............. 277
24.2.2. Fórmula do Termo Geral de uma Progressão
Geométrica Finita..................................................... 277
24.2.3. Soma dos Termos de uma P.G. Finita...................... 277
24.2.4. Soma dos Termos de uma P.G. Infinita................... 277
24.2.5. Correlação entre PA/PG e Função do 1o e
segundo grau............................................................. 278
24.3. Exercícios Resolvidos.............................................................. 278
24.4. Exercícios Propostos............................................................... 281
Capítulo 25
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares................................291
25.1. Matrizes.................................................................................... 291
25.2. Elemento genérico de uma matriz........................................ 291
25.3. Tipos de Matrizes.................................................................... 292
25.3.1. Matriz Linha.............................................................. 292
25.3.2. Matriz Coluna............................................................ 292
25.3.3. Matriz Diagonal......................................................... 292
25.3.4. Matriz Escalar............................................................ 292
25.3.5. Matriz Identidade ou Unidade................................ 292
25.4. Operações com Matrizes........................................................ 293
25.4.1. Adição........................................................................ 293
25.4.2. Subtração................................................................... 293
25.4.3. Multiplicação de uma matriz por outra matriz....... 293
25.4.4. Multiplicação de um número real por uma matriz.... 294
25.5. Determinante.......................................................................... 294
25.5.1. Representação do determinante da matriz 2×2...... 294
25.5.2. Representação do determinante da matriz 3×3...... 294
25.5.3. Cálculo do ∆ pela Regra de Sarrus.......................... 294
25.6. Propriedades de determinantes de uma matriz do tipo Am,m... 295
25.7. Sistemas Lineares.................................................................... 296
25.7.1. Caso 1: Sistema possível e determinado.................. 296
25.7.2. Caso 2: Sistema possível e indeterminado .............. 297
25.7.3. Caso 3: Sistema impossível....................................... 298
25.8. Exercícios Resolvidos.............................................................. 298
25.9. Exercícios Propostos............................................................... 301
Capítulo 26
Provas...........................................................................................304
26.1. FCC/TRT-MT/Analista Judiciário/2004............................... 304
26.2. FCC/TRT-MT/Técnico Judiciário/2004............................... 305
26.3. FCC/Ipea/2004...................................................................... 307
26.4. FCC/TCE/Piauí/2005............................................................ 308
26.5. Esaf/Técnico de Controle Interno/Rio de Janeiro/1999..... 310
26.6. FCC/TRT/Paraná/2004......................................................... 311
26.7. FCC/TRT/Paraná/2004......................................................... 313
26.8. CEAL/Alagoas/2005.............................................................. 315
26.9. FCC/TRF/Técnico/Rio Grande do Sul/2004...................... 317
26.10. FCC/TRF/Analista/Rio Grande do Sul/2004...................... 318
26.11. FCC/TRT/Paraná/2004......................................................... 319
26.12. Bacen/1994............................................................................. 322
26.13. FCC/TCE-SP/Agente de Fiscalização Financeira/2005....... 326
26.14. FCC/TCE-SP/Agente de Fiscalização Financeira/2005....... 327
26.15. FCC/Bacen/Técnico/2005.................................................... 329
26.16. NCE-UFRJ/Eletronorte/2006................................................ 332
26.17. NCE-UFRJ/Ministério das Cidades/2005............................. 333
26.18. NCE-UFRJ/Eletronorte/2006................................................ 335
26.19. NCE-UFRJ/Eletronorte/2005................................................ 336
26.20. NCE-UFRJ/IBGE/2005.......................................................... 338
26.21. NCE-UFRJ/Radiobrás/2004................................................... 342
26.22. NCE-UFRJ/Agência Nacional de Águas/2001...................... 344
26.23. Cespe/Banco do Brasil/Escriturário/2007........................... 349
26.24. Cespe/TCE-AC/Auxiliar de Controle Externo/2006.......... 349
26.25. Cespe/Polícia Federal/Agente/2004.................................... 351
26.26. Cespe/TRT-10a Região/2004................................................. 351
26.27. Cespe/TRT-16a Região/2005................................................. 352
26.28. Cespe/Polícia Civil/Delegado/2007..................................... 353
26.29. Cesgranrio/IBGE/2006.......................................................... 354
26.30. Cesgranrio/Prominp/2007.................................................... 357
26.31. Cespe/Serpro/2004................................................................ 359
26.32. Esaf/CGU/2006...................................................................... 360
26.33. Esaf/Assistente de Chancelaria/2002.................................... 363
26.34. Esaf/MPU/2004...................................................................... 365
26.35. Esaf/Aneel/2004..................................................................... 366
26.36. NCE/Ministério da Agricultura/2004................................... 367
26.37. NCE-UFRJ/Eletronorte/Engenharia/Técnico/2006.......... 370
26.38. NCE-UFRJ/Eletronorte/2006................................................ 371
26.39. FCC/Fiscal de Rendas/São Paulo/2006............................... 373
26.40. FCC/TCE-PB/Agente de Protocolo/2006............................ 377
26.41. FCC/MPE-PE/Analista/2006................................................. 381
26.42. NCE-UFRJ/Cepel/Assistente Administrativo e
Financeiro/2006..................................................................... 383
26.43. UFRJ/ANTT/Técnico/2005.................................................. 384
26.44. MPE-AM/Agente Administrativo/Cespe/2008.................... 387
26.45. TCE-AC/Analista/Cespe/2008 ............................................. 389
26.46. CGU/AFC/Esaf/2008 ........................................................... 391
26.47. MPOG/Analista de Planejamento e Orçamento/Esaf/2008... 392
26.48. Prefeitura de Várzea Paulista/Analista/UFRJ/NCE/2008...... 394
26.49. TRT – 1a Região/Analista/Cespe/2008 ................................ 397
26.50. TRT – 1a Região/Técnico/Cespe/2008 ............................... 400
26.51. Ministério do Trabalho e Emprego (MTE)/Fiscal
do Trabalho/Esaf/2006 ......................................................... 402
26.52. TRF – 3a Região/Analista/FCC/2007 ................................... 404
26.53. TJ-PE/Oficial de Justiça/FCC/2007...................................... 405
26.54. Analista/ANA/Esaf/2009....................................................... 407
26.55. Contador/Detran/Acre/Cesgranrio/2009........................... 408
26.56. Agente Administrativo/Funasa/Cesgranrio/2009............... 411
26.57. Agente Censitário Supervisor/IBGE/Cesgranrio/2009.......... 412
26.58. Analista/TermoMacaé/Cesgranrio/2009 ............................ 414
26.59. Analista/Bacen/Cesgranrio/2010......................................... 417
26.60. Técnico/Bacen/Cesgranrio/2010 ........................................ 421
26.61. Auditor Fiscal do Trabalho/MTE/Esaf/2010....................... 425
26.62. Técnico Científico/BASA/Cespe/2010................................ 426
26.63. Vunesp/Professor III Matemática/Pref. São Carlos............. 426
26.64. Agente de Fiscalização de Trânsito/Vunesp/2007............... 430
26.65. Agente de Fiscalização/Vunesp/2007 .................................. 431
26.66. TRT-19a Região/2011/Técnico Judiciário/TI...................... 433
26.67. TRF-1a Região/2011/Técnico Judiciário/
Area Administrativa................................................................ 434
26.68. TRT-24a Região/2011/Técnico Judiciário/Administrativo...... 435
26.69. TRT-8a Região/2010/Técnico Judiciário Administrativo..... 438
26.70. Bahia Gás/2010/FCC/Técnico Em Processos
Organizacionais....................................................................... 438
26.71. NCE-UFRJ/INPI/2004/Técnico I......................................... 440
26.72. NCE-UFRJ/INPI/2009/Técnico em Propriedade
Industrial................................................................................. 445
26.73. SEDU-ES/2008/Cespe Prof. de Matemática......................... 445
26.74. Prefeitura/PI/Cespe/2008/Professor de Matemática ........ 448
26.75. SAEB-BA/Cespe/2011/Matemática e suas Tecnologias
Advise-PB/2010/Prof. de Matemática .................................. 450
26.76. Advise-AL/2011/Prof. de Matemática................................... 451
26.77. SEEC-RN/2011/Prof. de Matemática.................................... 452
26.78. Analista Judiciário/TRT-8a Região/2010/FCC..................... 454
26.79. Ceperj/SEE-RJ/2007.............................................................. 455
26.80. Cperj/2007/Prof. de Matemática/Pref. S. Gonçalo............. 456
26.81. Ceperj/2007/Pref. Resende Prof. de Matemática................ 458
26.82. Administrador de Dados/FGV/2009 .................................... 459
26.83. Arquiteto de Sistemas FGV – MEC 2009................................ 462
26.84. Professor de Matemática/2008/FGV/Pref. de Campinas.... 465
26.85. Ceperj/Assistente Previdenciário.......................................... 470
26.86. Analista de Finanças e Controle/SFC-Esaf/2000.................. 472
Gabaritos............................................................................................................474
Bibliografia Consultada.......................................................................................487
Capítulo 1
Princípio da Regressão
ou Reversão
Este princípio tem como objetivo resolver determinados problemas de forma
não algébrica, mas utilizando uma técnica baseada em raciocínio lógico conhecida
como princípio da regressão ou reversão.
Essa técnica consiste em determinar um valor inicial pedido pelo problema a
partir de um valor final dado. Para resolução dos problemas, utilizam-se as operações
matemáticas básicas com suas respectivas reversões.
Soma  a regressão é feita pela subtração.
Subtração  a regressão é feita pela soma.
Multiplicação  a regressão é feita pela divisão.
Divisão  a regressão é feita pela multiplicação.
1.1. Fundamento da Regressão
Utilizando as quatro operações fundamentais, podemos obter uma construção
quantitativa lógica fundamentada no princípio da regressão, cujo objetivo é obter
o valor inicial do problema proposto pela operação inversa.
Veja o seguinte exemplo:
1) Uma pessoa gasta metade do seu capital mais R$ 10,00, ficando sem capital
algum. Quanto ela possuía inicialmente?
Solução:
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Nesse problema, a pessoa gastou em dinheiro (– R$ 10,00), ou seja, houve uma
perda. Pelo princípio da regressão, vamos supor que ela recuperará o dinheiro, para
que possamos chegar à situação inicial (+ R$ 10,00). Posteriormente, ela gasta metade do seu capital (÷2). Para voltarmos à situação inicial, devemos multiplicar por
2 o valor em dinheiro que ela possuía. Logo, 2 × R$ 10,00 = R$ 20,00.
1.2. Exercícios Resolvidos
1)
Um indivíduo fez uma promessa a São Sebastião: se este dobrar o seu dinheiro, ele doará R$ 20,00 para a igreja. No final da terceira dobra, nada mais lhe
restará. Quanto possuía o indivíduo inicialmente?
a) 14,50.
d) 17,50.
b) 15,50.
e) 18,50.
c) 16,50.
Solução:
a) Solução algébrica
Valor que possuía inicialmente: x
Primeira dobra: 2x – 20
Segunda dobra: 2(2x – 20) – 20
Terceira dobra: 2[2(2x – 20) – 20] – 20 = 0
Resolvendo a equação, temos:
2[2(2x – 20) – 20] – 20 = 0
2[4x – 40 – 20] – 20 = 0
2[4x – 60] – 20 = 0
8x – 120 – 20 = 0
8x – 140 = 0
8x = 140
x = 140/8
Encontramos x = 17,50
Resposta: Inicialmente o indivíduo possuía R$ 17,50.
b) Solução pelo método da regressão
Pelo método da regressão, vamos abordar o problema do final para o início, ou
seja, partiremos do passo IV até o passo I.
2
Capítulo 1 I Princípio da Regressão ou Reversão
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
IV) Se no final restou 0, significa que todo o dinheiro foi doado.
III) No terceiro passo, ele dobrou o capital que tinha e deu 20 reais para a igreja.
Fazendo a regressão, podemos dizer se ele deu 20 reais para a igreja (representar – 20); então, ele possuía inicialmente 20 (representar +20). Como ele
dobrou o capital, temos agora que reduzi-lo à metade (20 ÷ 2) = 10. Conclusão:
na terceira etapa ele possuía 10 reais, que dobrados originaram 20 reais. Como
doou esta quantia, ficou com nada no quarto passo.
II) No segundo passo, ele já possuía 10 reais, mas doou 20 para a igreja (-20), e,
ao recuperá-lo, ficou com 10 + 20 = 30. Como dobrou o capital, temos agora
de reduzi-lo à metade (30 ÷ 2) = 15. Conclusão: na segunda etapa ele possuía
15 reais, que dobrados originaram 30 reais. Como doou 20 reais, ficou com 10
no terceiro passo.
I)
Inicialmente, ele possuía os 15 reais mais 20 reais que serão recuperados, ou
seja, 35 reais, e reduziu o capital pela metade (35 ÷ 2) = 17,50.
Resposta: Inicialmente, possuía R$ 17,50.
Gabarito: D.
2)
João gasta 1/3 do que possui mais R$ 20,00 em uma loja, ficando com R$ 10,00.
Quanto ele possuía inicialmente?
a) 40.
d) 55.
b) 45.
e) 60.
c) 50.
Solução:
Pelo método da regressão, temos:
I)
II)
10 + 20 = 30
(30 × 3) ÷ 2 = 45
Concluímos que inicialmente ele possuía R$ 45,00.
Gabarito: B.
3)
(Banco do Brasil/Escriturário/Cespe/2007) Considere a seguinte situação hipotética. Fagundes saiu de casa com determinada quantia em reais e foi a quatro
instituições financeiras diferentes procurar opções para investimentos. Em cada
uma das instituições, ele investiu em poupança metade do que possuía e ainda
fez um CDB no valor de R$ 2.000,00. Ao final, ele ainda possuía R$ 6.000,00.
Nessa situação, é correto afirmar que Fagundes saiu de casa com mais de R$
160.000,00. ( )
3
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Solução:
Pelo método da regressão:
×1 ÷ 2 – 2000
×1 ÷ 2 – 2000
×1 ÷ 2 – 2000
156.000
76.000
36.000
×1 ÷ 2 – 2000
16.000
6.000
Concluímos que ele saiu de casa com R$ 156.000,00.
Gabarito: Errado.
4)
Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou
1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto o homem tinha
ao entrar na primeira loja?
a) 10.
d) 16.
b) 12.
e) 18.
c) 14.
Solução:
Pelo método da Regressão (Reversão) fazemos:
÷2 – 1
÷2 – 1
÷2 – 1
14
6
2
(6 + 1) × 2
(2 + 1) × 2
+1 × 2
0
Inicialmente, ele possuía 14 reais.
Gabarito: C.
5)
4
(TermoMacaé/Técnico de Contabilidade/Cesgranrio/2009) Gabriel possuía
certa quantidade de dinheiro. Saiu de casa e pegou um ônibus para ir à escola,
gastando, com isso, R$ 2,00. Depois da aula, resolveu almoçar em um restaurante próximo e, para tal, acabou gastando a metade do que possuía. Depois do
almoço, resolveu gastar R$ 3,00 comprando um sorvete e, em seguida, tomou
um ônibus de volta para casa, gastando mais R$ 2,00. Não tendo feito mais
nenhum gasto, ao voltar para casa, Gabriel possuía R$ 4,00. Conclui-se que
Gabriel:
a) saiu de casa com R$ 16,00.
b) saiu de casa com R$ 22,00.
c) chegou à escola com R$ 18,00.
d) chegou à escola com R$ 24,00.
e) possuía R$ 11,00 quando, após o almoço, resolveu comprar o sorvete.
Capítulo 1 I Princípio da Regressão ou Reversão
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução:
Pelo método da Regressão, temos:
–2
÷2
–3
–2
I
II
III
IV
20
18
9
6
R$
4,00
IV) Como no passo IV ele gastou R$ 2,00, iremos somar estes R$ 2,00 aos R$ 4,00
que ele possuía no final, estando assim com R$ 6,00 antes de pagar a passagem
na volta para casa.
III) Como ele gastou nesse passo R$ 3,00, iremos somar estes R$ 3,00 aos R$ 6,00
obtidos no passo anterior, estando assim com R$ 9,00 antes de comprar o sorvete.
II) Nesse passo ele gastou metade do que tinha. Como no passo anterior ele tinha
R$ 9,00, concluímos que ele tinha R$ 18,00 antes de almoçar.
I)
Nesse passo ele gastou R$ 2,00 de passagem para ir a escola. Somando estes
R$ 2,00 aos R$ 18,00 obtidos no passo anterior, concluímos que ele tinha inicialmente R$ 20,00 quando saiu de casa.
Baseando-se nas alternativas apresentadas para a questão, observamos que a única
correta é a alternativa C, que diz que ele chegou a escola com R$ 18,00.
Gabarito: C.
1.3. Exercícios Propostos
1)
A Princesa Alice foi colher maçãs em um jardim encantado. Quando regressava ao palácio,
já com cesto cheio, um duende mal-encarado disse-lhe:
— Só vai seguir o seu caminho se deixar comigo a metade das maçãs que carrega
mais uma.
A princesa, com medo, atendeu ao pedido e seguiu viagem. Mais adiante, levou outro
susto, quando um segundo duende a interpelou e disse:
— Só vai seguir o seu caminho se deixar comigo a metade das maçãs que carrega
mais uma.
Novamente Alice atendeu ao pedido e seguiu.
Ao chegar à entrada do palácio, encontrou um guarda que fez a mesma solicitação: metade
das maçãs e mais uma para que ela entrasse. Não tendo alternativa, ela voltou a atender
e ficou apenas com duas maçãs.
Quantas maçãs a princesa Alice colheu?
a) 10.
d) 40.
b) 20.
e) 50.
c) 30.
2)
Joana entrou em quatro lojas e gastou em cada uma delas metade do que tinha ao entrar
e mais 10 reais. Determine quanto Joana tinha inicialmente sabendo que ao sair da última
loja estava sem dinheiro.
a) 100.
d) 400.
b) 200.
e) 500.
c) 300.
5
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
6
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
3)
Em certa ocasião, um ladrão de galinhas conseguiu roubar apenas ovos. E quando na fuga chutou
o cachorro, deixou cair metade do furto mais meio ovo. Depois, tropeçou no porco e derrubou
metade do que restara mais meio ovo.
Finalmente, ao pular a cerca, perdeu metade do que havia nas mãos mais meio ovo. Naquela
noite, comeu o único ovo que restou. Quantos ovos ele roubou?
a) 12.
d) 15.
b) 13.
e) 16.
c) 14.
4)
(TRF/1996) João saiu de casa com uma certa importância no bolso. Gastou 1/3 do que
possuía e mais 20 reais no almoço; mais tarde gastou em um lanche 1/5 do que restava
e ainda ficou com 80 reais. Nessas condições, ao sair de casa, ele tinha no bolso:
a) 150;
d) 240;
b) 180;
e) 270.
c) 210;
5)
(TRF/1996) Um comerciante distribuiu 1/4 das balinhas que possuía e, em seguida, recebeu de presente três balinhas; na segunda vez, distribuiu 1/3 das balinhas que possuía
então e ganhou de presente duas balinhas; na terceira vez, distribuiu 1/7 do que possuía
então, ficando com 36 balinhas. Quantas possuía, a princípio?
a) 76.
d) 106.
b) 86.
e) 116.
c) 135.
6)
Um feirante vendeu 1/3 das frutas que possuía mais duas. A seguir, vendeu 4/5 das
restantes mais uma, ficando, assim, com três frutas. Se n é o número inicial de frutas,
então:
a) n > 100;
d) 50 < n < 70;
b) 90 < n < 100;
e) 30 < n < 50.
c) 70 < n < 90;
7)
(Analista de Sistemas/2011/Copergás/FCC) Leonardo doou a seus 4 filhos todos os
livros raros de sua biblioteca. Ao mais velho, doou 1/4 do total desses livros e mais a
quarta parte de um desses livros; ao segundo, 1/3 do número de livros restantes e mais
a terça parte de um desses livros; ao terceiro, doou 1/2 do novo resto e mais a metade
de um desses livros; ao último, igualmente, doou 1/2 da nova sobra e mais a metade de
um desses livros, ficando então sem nenhum livro raro. Quantos livros raros Leonardo
possuía em sua biblioteca? (Como livros raros são valiosos e é evidente que nenhum
deles foi partido, essa redação expressa uma equivalência.)
a) 11.
d) 5.
b) 9.
e) 3.
c) 7.
Capítulo 2
O Princípio do Pombal
2.1. Definição
O Princípio do Pombal, também conhecido como o Princípio das Gavetas de
Dirichlet, pode ser aplicado em alguns problemas de matemática elementar, geometria, teoria dos números, combinatórias na teoria de grafos.
A definição de função utilizada normalmente hoje em dia foi dada por Dirichlet em
1837. Embora mais conhecido por seus trabalhos em análise e equações diferenciais, foi
também um dos mais importantes matemáticos na área de teoria dos números do século
XIX. O Princípio do Pombal é devido a Dirichlet.
Veja o seguinte exemplo:
Imagine que estamos em um parque e à nossa volta há 21 pombos.
De repente, há uma explosão que os afugenta. Todos fogem para um pombal
próximo com 20 buracos.
Hipóteses do modelo:
I)
Vamos considerar que cada pombo ocupe um buraco, ou seja, eles se espalham
na média. Logo, se tivéssemos 20 pombos e 20 buracos, cada pombo teria seu
buraco.
II) Como temos 21 pombos, aquele que sobrou ocupará um dos 20 buracos possíveis, já ocupados por um outro pombo.
Conclusão: Pelo menos dois pombos entrarão no mesmo buraco.
Suponha que n pombos sejam distribuídos em (n – 1) buracos. Então, pelo
menos um deles conterá dois pombos. Em geral, n pombos são distribuídos em k
buracos, onde n > k.
Então, pelo menos um buraco conterá [(n – 1)/k] + 1 pombos.
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
2.2. Exercícios Resolvidos
1)
Se estivermos 100 pessoas em um auditório, quantas pessoas, pelo menos, fazem
aniversário no mesmo mês?
a) 6.
d) 9.
b) 7.
e) 10.
c) 8.
Solução:
As pessoas representarão os pombos, e cada um dos 12 meses do ano
representarão os buracos do pombal. Se houvesse em cada mês (buraco) 8 pessoas
ou menos, então o número total de pessoas no auditório seria no máximo 8 × 12
= 96. Mas como temos 100 pessoas, podemos dizer que pelo menos em um dos
meses (buracos) há mais de 8 pessoas, ou seja, existem pelo menos 9 pessoas que
aniversariam exatamente no mesmo mês.
Gabarito: D.
2)
(Anpad/2003) Para se garantir que, em uma sala de aula, haja pelo menos 6
pessoas que aniversariam no mesmo mês, é necessário que existam, no mínimo:
a) 18 pessoas;
d) 66 pessoas;
b) 36 pessoas;
e) 72 pessoas.
c) 61 pessoas;
Solução:
Como o ano tem 12 meses, havendo 13 pessoas na sala, com certeza pelo menos
2 aniversariam no mesmo mês. Então, havendo 60 pessoas, pode ocorrer que existam,
com certeza, 5 aniversariando no mesmo mês.
Como queremos pelo menos 6 pessoas no mesmo mês, temos então 61 pessoas.
Regra geral:
Número de mínimo de pessoas = 12 x 5 + 1.
3)
Quantos convidados estão em uma festa, dado que existem pelo menos 2 pessoas
que aniversariam no mesmo mês?
a) 12.
d) 15.
b) 13.
e) 16.
c) 14.
Solução:
Regra geral: n = 12 x 1 + 1 = 13 pessoas.
4)
8
Em uma reunião com n pessoas, existem duas que conhecem exatamente o
mesmo número de participantes.
Capítulo 2 I O Princípio do Pombal
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução 3:
Admitindo “conhecer” como uma relação simétrica, ou seja, se a conhece b, então
b conhece a. Assim, as pessoas serão os pombos e em cada buraco estarão agrupadas
as pessoas que possuem o mesmo número “conhecem a mesma quantidade de conhecidos”.
Assim, as possíveis quantidades de conhecidos são 0, 1, 2, 3, ..., (n – 1).
A princípio, temos n buracos com n pombos, o que não torna possível
utilizarmos o Princípio do Pombal. No entanto, observe que os buracos 0 e
(n – 1) não podem ocorrer simultaneamente, pois caso exista uma pessoa que
conheça todos os participantes, então não é possível que exista uma pessoa que
não conheça nenhum deles. Assim, o buraco 0 ou (n – 1) permanece desocupado
e os n pombos devem ser, portanto, distribuídos em (n – 1) buracos.
Logo, pelo Princípio, um dos buracos será ocupado pelo menos por dois pombos,
ou seja, há duas pessoas que conhecem exatamente o mesmo número de participantes.
5)
(Analista/Funasa/Cesgranrio/2009) Em uma urna há 5 bolas pretas, 4 bolas
brancas e 3 bolas verdes. Deseja-se retirar, aleatoriamente, certa quantidade de
bolas dessa urna. O número mínimo de bolas que devem ser retiradas para que
se tenha certeza de que entre elas haverá 2 de mesma cor é:
a) 8;
d) 4;
b) 7;
e) 3.
c) 5;
Solução:
As cores das bolas são:
•
5 bolas pretas;
•
4 bolas brancas;
•
3 bolas verdes.
Para que eu retire duas bolas da mesma cor, devemos retirar no mínimo 4 bolas,
pois temos 3 cores. Se, ao retirarmos, cada vez sair uma bola de cada cor, a quarta
bola com certeza será de uma das cores já retiradas.
Por exemplo, se fossem duas cores, seria necessário retirar três bolas.
Gabarito: D.
6)
(Contador/Detran-Acre/Cesgranrio/2009) Em uma urna há 7 bolas: 3 brancas,
2 pretas, 1 verde e 1 azul. É correto afirmar que, se dessa urna forem retiradas:
a) 6 bolas, necessariamente haverá uma bola branca.
b) 5 bolas, necessariamente haverá bolas de três cores diferentes.
c) 4 bolas, necessariamente todas terão cores diferentes.
d) 3 bolas, necessariamente todas serão brancas.
e) 2 bolas, necessariamente ambas terão cores iguais.
9
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Solução:
Temos 7 bolas, nas cores:
•
3 brancas
•
2 pretas
•
1 verde
•
1 azul
Analisando as alternativas:
a) 6 bolas, necessariamente haverá uma bola branca.
Correta. Considerando o pior caso possível (a bola branca ser tirada por último),
para eu tirar 1 bola branca eu tenho que tirar 5 bolas. Logo, se eu tirar 6 bolas,
com certeza haverá uma branca.
b) 5 bolas, necessariamente haverá bolas de três cores diferentes.
Incorreta, pois para que se retire pelo menos 3 bolas de cada cor, a quantidade
de bolas a ser retirada são todas as bolas das duas cores mais numerosas (no
caso todas as 3 brancas mais as 2 pretas), ou seja, 5 bolas, mais 1 bola (que com
certeza será de cor diferente), sendo um total de 6 bolas. Se eu tirar 5 bolas,
haverá no mínimo 2 cores diferentes.
c) 4 bolas, necessariamente todas terão cores diferentes.
Incorreta, com 4 bolas haverá no mínimo 2 cores diferentes.
d) 3 bolas, necessariamente todas serão brancas.
Incorreta, pelo explicado acima.
e) 2 bolas, necessariamente ambas terão cores iguais.
Incorreta, pelo explicado acima.
Gabarito: A.
2.3. Exercícios Propostos
10
1)
Qual o número mínimo de pessoas em um grupo de modo que possamos garantir que
duas delas, pelo menos, nasceram no mesmo mês?
a) 37.
b) 25.
c) 40.
d) 13.
e) 16.
2)
Quantas pessoas, no mínimo, deve haver em um grupo a fim de que possamos garantir
que cinco delas tenham nascido no mesmo dia da semana?
a) 29.
b) 36.
c) 22.
d) 45.
e) 50.
Capítulo 2 I O Princípio do Pombal
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
3)
Sílvio tem na sua gaveta 17 gravatas azuis, 11 gravatas amarelas, nove gravatas alaranjadas,
34 gravatas verdes e duas gravatas roxas. As gravatas estão todas misturadas. Silvio pega
em algumas, às escuras, sem ver sua cor.
Quantas gravatas ele deve pegar para ter a certeza de conseguir, pelo menos, duas da
mesma cor?
a) 5.
d) 9.
b) 18.
e) 3.
c) 6.
4)
(Esaf/MPU/Técnico de Controle Interno/2004) Ana guarda suas blusas em uma única
gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta,
três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas
blusas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado
ao menos duas blusas da mesma cor é:
a) 6;
d) 8;
b) 4;
e) 10.
c) 2;
5)
(Auxiliar censitário/IBGE/Cesgranrio/2006) Em uma urna há 3 bolas amarelas e 2 verdes.
Qual o número mínimo de bolas que precisam ser retiradas para que se possa garantir
que duas delas têm cores diferentes?
a) 2.
d) 5.
b) 3.
e) 6.
c) 4.
6)
(Prominp/Técnico/Cesgranrio/2009) Uma urna tem 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. N
bolas serão retiradas simultaneamente dessa urna. Qual o menor valor de N para que
se possa garantir que, entre as esferas retiradas, haverá 2 com cores diferentes?
a) 8.
d) 4.
b) 6.
e) 3.
c) 5.
7)
(FGV/2010/Analista Financeiro) Mariano distribuiu 3 lápis, 2 borrachas e 1 caneta pelas 3
gavetas de sua cômoda. Adriana, sua esposa, abriu uma das gavetas e encontrou, dentro
dela, 2 lápis e 1 caneta. Sabendo-se que nenhuma das 3 gavetas está vazia, analise as
afirmativas a seguir:
I.
É possível garantir que, abrindo-se qualquer outra gaveta, encontra-se pelo menos
uma borracha.
II. É possível garantir que, abrindo-se qualquer outra gaveta, encontra-se um único lápis.
III. É possível encontrar, em uma das gavetas, mais de uma borracha.
Assinale:
a) se somente a afirmativa I estiver correta.
b) se somente a afirmativa II estiver correta.
c) se somente a afirmativa III estiver correta.
d) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
11
Capítulo 3
Leis de Formação
Este capítulo aborda a obtenção de leis de formação gerais, ou seja, a descoberta de um padrão através do problema original ou trabalhando com hipóteses
do modelo apresentado pela questão. Geralmente, o padrão é descoberto a partir
da terceira hipótese, em que é possível obter uma conclusão definitiva do modelo,
encontrando-se, assim, o padrão desejado, seja para sequências numéricas ou figuras,
frases, palavras etc. que possam ser associadas a sequências numéricas.
REGRA GERAL: Para obter o padrão desejado deve-se seguir algumas regras
bem simples
I–
Hipótese I;
II – Hipótese II;
III – hipótese III;
IV – Conclusão (é a busca do padrão desejado);
V – Caso haja números envolvidos com potências, começar por potências baixas;
VI – sempre comece pelo caso mais simples do problema, como, por exemplo, 1, 2, 3 ...;
VII – A partir de duas hipóteses já se pode chegar a uma conclusão, mas adotaremos
três hipóteses, pois assim o padrão se tornará mais evidente;
VIII – Atenção ao enunciado e sublinhe o que a questão realmente deseja.
Veja o exemplo a seguir:
10117 – 1
Qual a soma dos algarismos que compõem o número obtido de
?
3
a) 351.
d) 391.
b) 347.
e) 511.
c) 371.
Solução:
Para a resolução de questões deste tipo, em que a potência à qual o número é
elevado é muito grande, devemos descobrir um padrão (lei de formação) partindo da
menor potência (primeira hipótese). Na terceira hipótese é possível encontrar a solução.
•
(Primeira hipótese) Começar pela menor potência: (101 – 1)/3 = 3
•
(Segunda hipótese) Aumentar a potência de uma unidade: (102 – 1)/3 = 33
•
(Terceira hipótese) Aumentar a potência de mais uma unidade: (103 – 1)/3 = 333
Resposta: Neste caso, quando a potência é 1, o resultado possui apenas um algarismo,
o 3. Quando a potência é 2, o resultado possui dois algarismos 3. Quando a potência
Capítulo 3 I Leis de Formação
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
é 3, o resultado possui três algarismos 3. Logo, para a potência 117, o algarismo 3
aparece 117 vezes. A soma desses valores é obtida por 3 × 117 = 351.
Gabarito: A.
3.1. Quadrados e Retângulos
Veja a seguir alguns exemplos da análise de estruturas que envolvem quadrados
e retângulos, com o objetivo de encontrar uma lei de formação geral.
Exemplo 1: Quantos quadrados existem na seguinte figura?
Solução: 12 + 22 = 5
Exemplo 2: Quantos retângulos existem nesta figura?
Solução: 13 + 23 = 9
3.2. Exercícios Resolvidos
Se n ∈ IN e é ímpar, então, n2 – 1 é obrigatoriamente divisível por:
a) 3;
d) 8;
b) 5;
e) 13.
c) 7;
Solução:
Se um número é par, este pode ser representado por 2k:
•
2k = 2 × 1 = 2 (k = 1)
•
2k = 2 × 2 = 4 (k = 2)
•
2k = 2 × 3 = 6 (k = 3)
1)
Se um número é ímpar, este pode ser representado por 2k + 1:
•
2k + 1 = 2 × 1 + 1 = 3 (k = 1)
•
2k + 1 = 2 × 2 + 1 = 5 (k = 2)
•
2k + 1 = 2 × 3 + 1 = 7 (k = 3)
De acordo com o problema, n – 1 é ímpar, então:
n = 2k + 1
13
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Substituindo n no problema:
(2k + 1)2 – 1 = 4k2 + 4k + 1 – 1 = 4k2 + 4k
Fatorando: 4k(k + 1).
Para k = 1, temos 4 × 1 (1 + 1) = 8, logo, divisível por 8.
Para k = 2, temos 4 × 2 (2 + 1) = 24, logo, divisível por 24.
Resposta: Este número possui vários divisores, pelas alternativas apresentadas,
concluímos que ele é obrigatoriamente divisível por 8.
Gabarito: D.
2)
Um torneio é disputado por dez equipes em turno e returno. Cada equipe joga
duas vezes com uma das demais. O número total de jogos desse torneio é igual a:
a) 70;
d) 100;
b) 80;
e) 110.
c) 90;
Solução:
Hipóteses:
1) Para três equipes:
Equipe 1 jogará com as equipes 2 e 3;
Equipe 2 jogará com as equipes 1 e 3;
Equipe 3 jogará com as equipes 1 e 2.
Conclusão: Para três equipes, todas jogam duas vezes entre si. Então, o número total
de jogos é n(n – 1) = 3 × 2 = 6 jogos.
Para dez equipes, temos:
n = 10
n(n – 1) = 10 × 9 = 90 jogos.
Gabarito: C.
3)
14
(UFRJ/2002) Cem fileiras de pontos são formadas de modo que a primeira linha
tenha apenas um ponto e cada linha subsequente contenha um ponto a mais do
que a anterior. Todos os pontos são unidos por segmentos de comprimento 1, de
acordo com a lei de formação indicada, para as cinco primeiras filas na figura.
Capítulo 3 I Leis de Formação
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Determine o número total de segmentos unitários obtidos com essa construção.
Solução:
Lei de formação:
Primeira linha: 1 ponto e 0 (nenhum) segmento de reta.
Segunda linha: 2 pontos e 1 segmento de reta.
Terceira linha: 3 pontos e 2 segmentos de reta.
Resposta: O número de segmento de reta é a soma dos pontos subtraído de 1 unidade.
Soma dos pontos: (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100)
101 × 50 = 5.050 (a soma dos extremos vale sempre 101, e de 1 a 100 temos 50
pares)
Número de segmento de retas: 5.050 – 1 = 5.049
4) Mostre que, se n é ímpar, então n2 – 1 é divisível por 8.
Solução:
Lei de formação:
Número par = 2k
Número ímpar = 2k + 1
n2 – 1 = (2k + 1)2 – 1 = 4k2 + 4k + 1 – 1 = 4k2 + 4k = 4k(k + 1)
Se k = 1 então o número é divisível por oito (4 × 2 = 8)
5)
(TRF-4a Região/Técnico Judiciário/FCC/2007) Observe a seguinte sucessão
de multiplicações:
5 × 5 = 25
35 × 35 = 1.225
335 × 335 = 112.225
3.335 × 3.335 = 11.122.225
A análise dos produtos obtidos em cada linha permite que se conclua corretamente que, efetuando 33.333.335 × 33.333.335, obtém-se um número cuja soma
dos algarismos é igual a:
a) 28;
d) 34;
b) 29;
e) 35.
c) 31;
Solução:
5 × 5 = 25________________________o 5 aparece 1 vez
35 × 35 = 1.225____________________o 5 aparece 1 vez, o 2 aparece 2 vezes e o
1 aparece 1 vez;
335 × 335 = 112.225_______________o 5 aparece 1 vez, o 2 aparece 3 vezes e o
1 aparece 2 vezes;
3.335 × 3.335 = 11.122.225__________o 5 aparece 1 vez, o 2 aparece 4 vezes e o
1 aparece 3 vezes;
15
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(...)
33.333.335 × 33.333.335____________o 5 aparece 1 vez, o 2 aparece 8 vezes e o
1 aparece 7 vezes.
Somando os dígitos, temos: 5 + 2 × 8 + 7 × 1 = 28.
Podemos verificar que na multiplicação 35 × 35 o padrão de repetição já começa
a aparecer. Como temos uma multiplicação de 2 dígitos, o número 2 aparece 2 vezes
e o número 1 aparece 1 vez; na multiplicação com 3 dígitos, o número 2 aparece 3
vezes e o número 1 aparece 1 vez. O número 5 aparece sempre 1 única vez.
Gabarito: A.
6)
(Técnico/Petrobras Distribuidora/Cesgranrio/2008) Considere a sequência
numérica:
1,2,1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1,2, ...
Nessa sequência, qual a posição ocupada pelo número 50 quando este aparece
pela primeira vez?
a) 2.352a.
d) 2.436a.
a
b) 2.388 .
e) 2.450a.
a
c) 2.402 .
Solução:
1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5
P1 P2
P5 = 1 × 2 + 3
P10 = 2 × 3 + 4
A posição de cada algarismo quando aparece pela primeira vez na sequência é
a multiplicação dos dois anteriores mais a soma do próprio algarismo. Sendo assim,
a posição do algarismo 4 quando aparece pela primeira vez é a multiplicação dos
dois anteriores (2 × 3 = 6) somados ao próprio 4 (6 + 4 = 10).
Quando o 50 aparece pela primeira vez sua posição será: P50 = 49 × 48 + 50 = 2402
Gabarito: C.
7)
16
(Agente judiciário TJ/RO 2009) Em uma sequência de números, o primeiro
termo é 61 e todos os outros termos correspondem à soma dos quadrados dos
algarismos do termo anterior. O número que ocupa a 81a posição desta sequên­
cia é:
a) 4;
b) 16;
c) 37;
d) 42;
e) 61.
Capítulo 3 I Leis de Formação
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução:
Devemos resolver as primeiras posições e observar quando aparecerá um padrão,
nesse caso, o padrão aparecerá no a10. Como 81 é múltiplo de 9, ele terá o mesmo
padrão que a9. Logo, a81 será 16.
a1 = 61
a2 = 62 + 12 = 37
a3 = 32 + 72 = 58
a4 = 52 + 82 = 89
a5 = 82 + 92 = 145
a6 = 12 + 42 + 52 = 42
a7 = 42 + 22 = 20
a8 = 22 + 02 = 4
a9 = 42 = 16
a10 = 12 + 62 = 37
a11 = 32 + 72 = 58
Gabarito: B.
8)
(IBGE – Analista – Cesgranrio – 2010) Um fabricante de leite estabelece a
seguinte promoção: 3 caixas vazias do leite podem ser trocadas por uma caixa
cheia desse mesmo produto. Cada caixa contém 1 litro. Comprando-se 11 caixas
desse leite, a quantidade máxima, em litros, que pode ser consumida é:
a) 13;
b) 14;
c) 15;
d) 16;
e) 17.
Solução:
A cada 3 caixas vazias ganha-se 1, sendo assim, comprando 11 caixas, temos:
Caixa comprada 1
Caixa comprada 2
Caixa comprada 3
Caixa grátis 1
Caixa grátis 1
Caixa comprada 4
Caixa comprada 5
Caixa grátis 2
Caixa grátis 2
Caixa comprada 6
Caixa comprada 7
Caixa grátis 3
17
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Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
Caixa grátis 3
Caixa comprada 8
Caixa comprada 9
Caixa grátis 4
Caixa grátis 4
Caixa comprada 10
Caixa comprada 11
Caixa grátis 5
11 caixas compradas + 5 caixas grátis = 16 caixas
Gabarito: D.
3.3. Exercícios Propostos
1)
(FCC/2004) Quantos quadrados existem na figura a seguir?
a) 20.
b) 25.
c) 30.
2)
(FCC/2004) Quantos retângulos tem a seguinte figura?
a) 90.
b) 100.
c) 120.
3)
d) 130.
e) 150.
Complete o quadro a seguir logicamente:
a) 34;
b) 56;
c) 67;
18
d) 40.
e) 45.
d) 63;
e) 49.
ELSEVIER
Capítulo 3 I Leis de Formação
4)
Seja n um número inteiro positivo. Um quadrado mágico de ordem n é um quadrado com
n linhas e n colunas, no qual a soma dos elementos em cada linha e em cada coluna é
constante e igual à soma dos elementos de cada uma das duas diagonais. O maior inteiro
que será colocado no quadrado mágico a seguir quando este for completo é:
a) 9;
b) 10;
c) 11;
5)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
d) 15;
e) 18.
Para construir uma janela ornamentada, um operário precisa de pedaços triangulares
de vidro. Ele pretende aproveitar um vidro retangular defeituoso, com 10 bolhas de ar,
sendo que não há três bolhas alinhadas entre si, nem duas delas alinhadas com algum
vértice do retângulo, ou uma delas alinhada com dois vértices do retângulo.
Para evitar bolhas de ar no seu projeto final, ele decidiu cortar os pedaços triangulares
com os vértices coincidindo ou com uma bolha de ar ou com um dos cantos do vidro
original. Quantos pedaços triangulares ele cortou?
a) 22.
d) 30.
b) 25.
e) 35.
c) 28.
6)
(NCE/ANTT/Técnico/2005) Num campeonato de futebol, a vitória numa partida vale 3
pontos para o vencedor e nenhum ponto para o perdedor; em caso de empate, cada equipe
ganha 1 ponto. Um campeonato foi disputado por oito equipes, em turno e returno, de
modo que cada equipe jogou duas vezes com cada uma das demais. Das partidas jogadas,
exatamente 22 terminaram empatadas. Nesse caso, se somarmos os totais de pontos
obtidos por cada equipe, obteremos:
a) 130;
d) 190;
b) 146;
e) 222.
c) 168;
7)
(FCC/TRF-4a Região/Técnico Judiciário/2010) Com frequência, as operações que observam certos padrões conduzem a resultados curiosos:
1x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
19
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Calculando 111111111 x 111111111 obtém-se um número cuja soma dos algarismos
está compreendida entre:
a) 115 e 130;
d) 70 e 85;
b) 100 e 115;
e) 55 e 70.
c) 85 e 100;
8)
(FCC/ICMS-SP/2009) Os alunos de uma faculdade de História criaram a Espiral do
Tempo num dos pátios da escola. Na espiral do Tempo, todos os anos da era Cristã são
representados segundo a lógica da figura a seguir, na qual só foram mostrados os anos
de 1 a 9.
A espiral é atualizada anualmente, representando-se o ano que se inicia seguindo a
mesma lógica dos anteriores. Se a soma de todos os números que compõem a Espiral
do Tempo em 2009 é igual a S, então, em 2010, essa soma passará a ser igual a:
a) S+4038090;
b) S+4036081;
c) S+2010;
d) S+2009;
e) S+4040100.
9)
20
(Professor/Prefeitura de Teresina/FCC/2009) Vários pacotes de papel sulfite foram
empilhados como mostra a figura.
Capítulo 3 I Leis de Formação
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Para saber quantos pacotes tem esse empilhamento podemos proceder do seguinte
modo:
a) 5 × 3 + 2 × 1.
b) (5 × 4) + (3 × 3) + (2 × 2) + 3.
c) (5 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 2).
d) (5 + 4) + (3 + 3) + 2 + 2) + 3.
e) (5 × 4) + (3 × 4) + (2 × 4) + 3.
10)
(FCC/2009/TRT-15a Região/Analista) Um criptograma aritmético é um esquema operatório codificado, em que cada letra corresponde a um único algarismo do sistema decimal de numeração. Considere que o segredo de um cofre é um número formado pelas
letras que compõem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o seguinte
criptograma: (IN)2=MOON
Sabendo que o tal segredo é um número maior que 5000 então a soma M+O+O+N é igual a:
a) 16;
d) 18;
b) 19;
e) 31.
c) 25;
11)
(FGV/2010/Analista Financeiro) Em uma fila, denominamos extremos o primeiro e o último elementos e equidistantes os elementos que estão à mesma distância dos extremos.
A distância entre dois elementos consecutivos dessa fila é sempre a mesma, quaisquer
que sejam esses dois elementos. Sabendo que essa fila é formada por 52 elementos, o
8o elemento é equidistante ao:
a) 44o elemento;
d) 47o elemento;
o
b) 45 elemento;
e) 48o elemento.
o
c) 46 elemento;
12)
(Cremesp/SP/2011/Administrador de Banco de Dados) Analise a sequência a seguir
formada por figuras compostas por quadradinhos claros e escuros.
Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se concluir que a figura que ocupará a 37a posição dessa sequência terá um número de
quadradinhos escuros igual a:
a) 35;
d) 18;
b) 27;
e) 16.
c) 19;
21
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
13)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(Vunesp/Analista Administrativo/Fundação Casa/2010) Observe o padrão descrito nas
quatro primeiras etapas de uma sequência.
Mantido o mesmo padrão, o número total de quadradinhos escuros na etapa 50 será:
a) 229;
b) 234;
c) 239;
d) 244;
e) 249.
14)
(TRT/2011-24a Região/Técnico Judiciário-Administrativo) Na sequência de operações
seguinte, os produtos obtidos obedecem a determinado padrão.
1×1=1
11 × 11 = 121
111 × 111 = 12 321
1 111 × 1 111 = 1 234 321
11 111 × 11 111 = 123 454 321
•
•
•
Assim sendo, é correto afirmar que, ao se efetuar 111 111 111 × 111 111 111, obtém-se um
número cuja soma dos algarismos está compreendida entre:
a) 85 e 100;
b) 70 e 85;
c) 55 e 70;
d) 40 e 55;
e) 25 e 40.
15)
(Analista Judiciário/TRT/2010/FCC-8a Região) Observe o padrão da sequência de contas:
Conta 1:
Conta 2:
Conta 3:
Conta 4:
22
1111...1111 – 1111...11111
1000 algarismos 1
999 algarismos 1
1111...1111 – 1111...11111 + 1111...1111
1000 algarismos 1
999 algarismos 1
998 algarismos 1
1111...1111 – 1111...11111 + 1111...1111 – 1111...1111
1000 algarismos 1
999 algarismos 1
998 algarismos 1
997 algarismos 1
1111...1111 – 1111...11111 + 1111...1111 – 1111...1111 + 1111...1111
1000 algarismos 1
999 algarismos 1
998 algarismos 1
997 algarismos 1
996 algarismos 1
Capítulo 3 I Leis de Formação
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Mantido o mesmo padrão, o número de algarismos 1 da conta 100 é
a) 1;
b) 50;
c) 99;
d) 100;
e) 950.
16)
(Analista de Sistemas/2011/Copergás/FCC) Um relógio faz coincidir os ponteiros de minuto e hora,exatamente um sobre o outro, a cada 65 minutos. Reflita sobre essa situação
e assinale a opção correta.
a) Tal relógio é regulado, isto é, marca as horas e minutos acertadamente.
b) Tal relógio atrasa, mas faltam dados para se determinar o atraso.
c) Tal relógio adianta, mas faltam dados para se determinar o quanto.
d) É um relógio que atrasa e com a informação dada é possível calcular o atraso.
e) É um relógio que adianta e com a informação dada é possível calcular o quanto.
17)
(Analista de Sistemas/2011/Copergás/FCC) Aldo, Bia e Carlota foram passear num belo
parque gramado e logo notaram que o caminho a ser percorrido era composto de lajotas
espaçadas entre si e numeradas sucessivamente por 1, 2, 3, ... Considere as seguintes
declarações, que cada um deles fez:
Aldo: − Todas as segundas lajotas, contadas a partir daquelas marcadas com um múltiplo
de 3 possuem uma faixa vermelha.
Bia: − Isso é curioso, pois se observarmos todas as segundas lajotas, contadas a partir
daquelas marcadas com um múltiplo de 5, veremos que possuem uma faixa preta.
Carlota: − Já as que possuem uma faixa branca são todas as quintas lajotas que sucedem
aquelas marcadas com um múltiplo de 7.
Com base nessas declarações, é correto concluir que as três primeiras lajotas tricolores
são as de números:
a) 45, 150 e 255;
b) 47, 152 e 257;
c) 49, 154 e 259;
d) 51, 156 e 261;
e) 53, 158 e 263.
23
Capítulo 4
Mudança de Base
Consideramos, simplificadamente, que base numérica é um conjunto de
símbolos (algarismos) com o qual é possível representar determinada quantidade
ou número.
O nosso sistema de numeração é decimal (base 10), composto por dez algarismos
distintos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
Na base 10, o algarismo de maior valor numérico é o 9. Para representar um
número maior que 9, adiciona-se mais um dígito ao número original, sendo que
esse dígito deve ter peso igual ao peso do número representado até então mais 1.
Considerando a base decimal, se o último número representado é 9, para
representar um valor maior (adicionar mais uma unidade) será necessária a adição
de mais um dígito ao número: 9 + 1 = 10, resultando em:
10
11
12
13
14
…
96
97
98
99
No caso do número 99, todos os seus dois dígitos já representam o maior valor
numérico possível. Novamente, será necessária a adição de mais um dígito no
número: 99 + 1 = 100, resultando em:
100
101
102
103
104
…
996
997
998
999
A sequência se repete indefinidamente, gerando o padrão de representação
dos números na base decimal.
4.1. Representação na Base b
Em uma base b, os dígitos utilizados para representar cada algarismo vão de 0
a (b – 1); por exemplo, se considerarmos b = 10, os dígitos vão de 0 a 9.
Capítulo 4 I Mudança de Base
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Base 2 {0, 1}
Base 3 {0, 1, 2}
Base 4 {0, 1, 2, 3}
Base 5 {0, 1, 2, 3, 4}
Base 6 {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Base 7 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Base 8 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Base 9 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Base 10 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Para a base decimal, deduzimos então que o peso de um dígito qualquer N,
sendo N a posição do dígito da direita para a esquerda iniciando pelo dígito zero,
é igual a 10N, ou, de forma mais genérica, base N.
Dígito
4
Valor posicional 10000 = 104
3
1000 = 103
2
100 = 102
1
10 = 101
0
1 = 100
Com base nessa dedução, é possível exprimir números em qualquer outra base
numérica e obter a sua correspondência para um número em base decimal (que é o
que faz mais sentido, em se tratando de seres humanos). Por exemplo, um número na
base cinco possui dígitos que podem assumir o valor de qualquer um desses algarismos:
0
1
2
3
4
Assim, uma sequência de contagem na base cinco seria representada da seguinte
forma:
0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, …
Percebe-se que, ao atingir o algarismo de maior valor no primeiro dígito (no
caso, o algarismo 4), é necessário adicionar um dígito extra à esquerda do número,
fazendo com que a contagem passe do número 4 para o número 10, e do número
14 para o número 20.
Observação: Na representação das bases, note que o índice subscrito refere-se à base
do número, exemplo 28 (base octal); para números na base decimal, esse índice
quase sempre é omitido.
4.2. Conversão entre Bases Numéricas
Para encontrar a correspondência entre um número de base cinco e um número
na base decimal, calcula-se o somatório do valor posicional de cada um dos algarismos
em relação à base 10. Por exemplo, para o número 345:
Dígito com valor posicional 0 = 4
25
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Dígito com valor posicional 1 = 3
Calculando: 3 × 5 + 4 × 50 = 15 + 4 = 19
Observação: Quando convertemos da base 10 para uma base b qualquer (base 2, 3,
4 etc.) e queremos reconverter dessa base b, sempre reconvertemos para a base 10.
A conversão de um número de base decimal para outro em uma base qualquer
pode ser feita utilizando uma operação de divisão inteira com resto. Para um número
qualquer N na base decimal temos:
N = An.Bn + ... A3.B3 + A2.B2 + A1.B1 + A0.B0
Onde A0…n representam os algarismos do número na base para a qual se deseja
converter o número (note-se que aqui o número subscrito representa efetivamente um
índice) e B representa essa base. Se dividirmos toda a expressão pelo valor de B, temos:
N
= An.Bn–1 + ... A2.B1 + A1.B0 + A0.B–1
B
Onde A0. B-1 representa a parte não inteira da divisão (já que B é inteiro e maior
do que 1 e A0…n também são inteiros e menores do que B); se for multiplicada por
B, essa parte torna-se o resto da divisão inteira, ou seja:
resto = A0.B-1. B = A0
O que significa que o algarismo menos significativo do número na “base-alvo” é
o resto da divisão inteira. Os outros algarismos podem ser obtidos da mesma forma,
por divisões sucessivas do quociente até que este resulte em zero.
Exemplo: Para converter o número 87 decimal para a base cinco:
Passo
Operação Quociente
Resto
1
87/5
17
2 = A0
2
17/5
3
2 = A1
3
3/5
0
3 = A2
O número resultante é A2A1A0 = 3225
4.3. Exercícios Resolvidos
1)
26
(TCE-RO/Analista/Cesgranrio/2007) No sistema binário de numeração, só se
utilizam os algarismos 0 e 1. Os números naturais, normalmente representados
na base decimal, podem ser também escritos na base binária como mostrado:
Capítulo 4 I Mudança de Base
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
DECIMAL BINÁRIO
0
0
1
1
2
10
3
11
4
100
5
101
6
110
7
111
De acordo com esse padrão lógico, o número 15 na base decimal, ao ser
representado na base binária, corresponderá a:
a) 1000;
d) 1111;
b) 1010;
e) 10000.
c) 1100;
Solução:
Para converter um número para uma base b qualquer, basta dividir o número por
esta base, no caso da questão, divide-se 15 por 2. O quociente inteiro dessa divisão (7) deve ser novamente dividido por 2, obtendo-se o quociente 3. Este deve ser dividido
novamente por 2, obtendo-se o quociente 1. Ou seja, após dividir o número que se
quer converter por 2, devem ser feitas divisões sucessivas dos quocientes obtidos até
que este resulte em zero. Para formar o número binário resultante, utilizam-se os
restos “de trás para frente”. Assim:
Passo
Operação
Quociente
Resto
1
15/2
7
1 = A0
2
7/2
3
1 = A1
3
3/2
1
1 = A2
4
1/2
0
1 = A3
O número resultante é A3A2A1A0 = 1111
(15)2 = 1111
Dica: Esta questão é facilmente resolvida, pois os números ímpares na base 2
terminam sempre com 1. A alternativa D é a única que atende esta condição.
Gabarito: D.
27
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
4.4. Exercícios Propostos
1)
Um marciano veio à Terra e trouxe uma caixa com 443 bolinhas. Um humano contou as
bolinhas e escreveu 123 na caixa. Quantos dedos tem o marciano?
a) 2.
d) 5.
b) 3.
e) 6.
c) 4.
2)
(TTN/1997) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da sequência que
representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de uma potência da
base, em que o valor do expoente depende da posição do dígito na sequência. Entre tais
sistemas, um dos mais importantes é o binário (base 2), que utiliza apenas os dígitos 0
e 1 na notação dos números. Por exemplo, o número 11 é indicado por 1011 no sistema
binário, pois 11 decimal é igual a: (1.2) + (0.2) + (1.2) + (1.20).
Assim, o resultado expresso da adição dos números binários 1011 e 101 será igual a:
a) 16;
d) 12;
b) 13;
e) 15.
c) 14;
3)
(FCC/TCE-SP/Auxiliar de Fiscalização Financeira/2005) A divisão do número hexadecimal
168 pelo número binário 100100 resultará no número decimal:
a) 2;
d) 10;
b) 4;
e) 13.
c) 8;
4)
(FCC/TRF/Técnico Judiciário/2007) Dizer que a base de um sistema decimal de numeração
é 10 significa dizer que, por exemplo, 2.609 = 2.10 + 6.10 + 0.10 + 9. No sistema binário
de numeração, isto é, em um sistema de base 2, os cinco primeiros números inteiros
positivos são 1, 10, 11, 100 e 101. Com base nas informações dadas, é correto afirmar
que o número 11011, do sistema binário, é escrito no sistema decimal como:
a) 270;
d) 39;
b) 149;
e) 27.
c) 87;
5)
(Prominp/Analista/Cesgranrio/2009) No sistema de numeração na base 3, só se utilizam os algarismos 0, 1 e 2. Os números naturais, normalmente representados na base
decimal, podem ser também escritos na base 3, como mostrado a seguir.
DECIMAL
0
1
2
3
4
5
6
7
28
BASE 3
0
1
2
10
11
12
20
21
Capítulo 4 I Mudança de Base
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
De acordo com esse padrão lógico, o número 123 na base 3, ao ser representado na base
decimal, corresponderá a:
a) 13;
d) 34;
b) 18;
e) 36.
c) 23;
6)
(Analista de sistema/2011/Copergás/FCC) No País dos Números, onde todos os habitantes
pertencem apenas ao sistema decimal de numeração, dois algarismos não nulos, “a” e
“b”, passeavam a uma velocidade constante. Às 16h 01min, já haviam percorrido “ab”
metros; às 16h 43min, “ba” metros e às 17h 01min, “a0b” metros” (note que o algarismo
das dezenas é zero). Com base nessas informações, é correto afirmar que tal passeio
iniciou-se às:
a) 15 horas e 49 minutos.
d) 15 horas e 37 minutos.
b) 15 horas e 13 minutos.
e) 15 horas e 25 minutos.
c) 15 horas e 55 minutos.
7)
(Técnico Administrativo/BNDES/2008) Considere a sequência de figuras apresentada a
seguir.
Essa sequência de figuras segue o padrão lógico de um sistema de numeração. De acordo
com esse padrão, a próxima figura será:
a)
d)
b)
e)
c)
4.5. Utilização da Base 7: sequências de pedras de dominó
A numeração das pedras de dominó vai de (0, 0) a (6, 6), caracterizando, desse
modo, a base 7. Na resolução de sequências de pedras de dominó, faremos uma
correspondência entre os algarismos utilizados para representar números na base
7 (de 0 a 6) e os algarismos da base 10 (0 a 9).
Utilizaremos a tabela a seguir, que representa a correspondência entre a base
7 e a base 10, para achar a lei de formação da sequência de pedras de dominó, que
acompanham o padrão da tabela:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
...
29
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
A primeira linha da tabela representa os números escritos nas pedras (tanto
na parte de cima quanto na parte de baixo). Da segunda linha em diante, temos os
números que podem estar sendo representados na base 7.
Observe a pedra a seguir:
no escrito na pedra: 4
possível representação: 11, 18, 25, 32 etc.
no escrito na pedra: 2
possível representação: 9, 16, 23, 30 etc.
4.6. Exercício Resolvido
1)
Complete esta sequência:
a)
b)
c)
d)
e)
Solução:
Parte superior das pedras:
•
Sequência da parte superior – escrita: 1, 3, 5, 0.
•
Sequência da parte superior – correspondente com a base 7: 1, 3, 5, 7. Logo, o
número que segue a sequência vale 9. Como não existe 9 nas pedras, buscaremos
a correspondência na base 7, que corresponde a pedra de valor 2.
•
Sequência da parte inferior – escrita: 3, 5, 0, 2.
•
Sequência da parte inferior – correspondente com a base 7: 3, 5, 7, 9. Logo,
o número que segue a sequência vale 11. Como não existe 11 nas pedras,
buscaremos a correspondência na base 7, que corresponde a pedra de valor 4.
Logo, a única opção possível é a alternativa E.
30
Capítulo 4 I Mudança de Base
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
4.7. Exercícios Propostos
Escolha a alternativa que completa corretamente cada uma destas sequências:
1)
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
2)
3)
(FCC/TCE-SP/Agente de Fiscalização Financeira/2005) As seguintes pedras de dominó
foram, sucessivamente, colocadas da esquerda para a direita de modo que tanto a sua parte
superior como a inferior seguem determinados padrões.
a)
A pedra de dominó que substitui a que tem os pontos de interrogação é:
b)
c)
d)
e)
31
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
4)
ELSEVIER
(FCC/Analista/Bacen/2006) As pedras de dominó mostradas a seguir foram dispostas,
sucessivamente e no sentido horário, de modo que os pontos marcados obedeçam a um
determinado critério.
a)
32
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
Com base nesse critério, a pedra de dominó que completa corretamente a sucessão é:
b)
c)
d)
e)
Capítulo 5
Sequências Lógicas Envolvendo
Números
Este tipo de sucessão numérica obedece a certa lógica quantitativa, podendo
ser de qualquer tipo, como, por exemplo: números primos, ímpares, quadrados
perfeitos, cubos perfeitos, produtos, somas etc.
REGRA GERAL: Para obter o padrão desejado deve-se seguir algumas regras
bem simples:
I – Obter um padrão utilizando as operações matemáticas básicas (+, -, x, :).
II – O padrão pode vir a ser uma sequência em ordem crescente ou decrescente.
III – Caso sejam círculos com números, o padrão pode vir alternado ou não.
IV – Saber a definição de números primos.
V – Caso haja números envolvidos com potências, começar por potências baixas.
VI – A partir de duas hipóteses já se pode chegar a uma conclusão, mas adotaremos
3 hipóteses, pois assim o padrão se tornará claro.
VII – Atenção ao enunciado e sublinhe o que a questão realmente deseja.
Exemplo: 0, 4, 16, 36, 64, 100, x.
Essa é uma sucessão formada pelos quadrados dos não ímpares. Logo, x = 144.
5.1. Exercícios Resolvidos
1)
Por qual valor podem ser substituídas as interrogações?
a)
b)
c)
d)
e)
73 e 73.
70 e 61.
61 e 61.
73 e 61.
74 e 73.
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Solução:
1) Em cada canto do retângulo, comparando-se o primeiro com o segundo, os
números nas posições correspondentes aparecem permutados.
Exemplo: 29 = 92 e 13 = 31.
Concluímos, então, que: 16 = 61 e 73 = 37.
Gabarito: D.
2)
Calcule o valor das interrogações a seguir.
a) 24 e 2.
d) 60 e 8.
b) 36 e 5.
e) 12 e 1.
c) 48 e 6.
Solução:
O menor número de cada círculo é multiplicado por 3, gerando o seguinte.
Este, por sua vez, também é multiplicado por 3.
Logo:
4 × 3 = 12 e 12 × 3 = 36
5 × 3 = 15 e 15 × 3 = 45.
Gabarito: B.
5.2. Exercícios Propostos
1)
Considerando a seguinte sucessão, determine a lógica de formação e obtenha o valor de x.
a) 120.
b) 60.
c) 45.
34
d) 2.
e) 1.
Capítulo 5 I Sequências Lógicas Envolvendo Números
2)
Complete o quadro:
a) 9;
b) 36;
c) 42;
3)
d) 48;
e) 64.
Complete esta sequência:
a) 52;
b) 60;
c) 62;
4)
d) 66;
e) 68.
Complete a sequência:
a) 5;
b) 6;
c) 7;
5)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
d) 8;
e) 9.
Os números inteiros positivos são dispostos em “quadrados” da seguinte maneira:
1
2
3
10
11
12
19
...
...
4
5
6
13
14
15
...
...
...
7
8
9
16
17
18
...
...
...
O número 500 se encontra em um desses “quadrados”. A “linha” e a “coluna” em que o
número 500 se encontra, no quadrado em questão, são, respectivamente:
a) 2 e 2;
d) 3 e 2;
b) 3 e 3;
e) 3 e 1.
c) 2 e 3;
35
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
6)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
(Bacen/1994) Complete esta sequência determinando o valor de “x”:
2
10
26
50
5
17
37
X
a) 81;
b) 65;
c) 67;
7)
ELSEVIER
d) 101;
e) 39.
Dada a sequência abaixo:
Determine o número de pontos em T20.
a) 150.
b) 180.
c) 210.
8)
Na figura A temos 9 pontos. Dada a sequência, quantos pontos tem ao todo a figura C?
a) 60.
b) 64.
c) 70.
36
d) 240.
e) 270.
d) 75.
e) 80.
9)
Qual o próximo número da sequência: 0, 2, 4, 6, 10, ... ?
a) 12.
b) 13.
c) 14.
d) 15.
e) 16.
10)
Qual o próximo número da sequência: 6, 3, 5, 2, 4, ... ?
a) 7.
b) 5.
c) 3.
d) 1.
e) 0.
Capítulo 5 I Sequências Lógicas Envolvendo Números
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Instrução: do exercício 11 ao 18, escolha a alternativa que melhor completa cada sequência.
11)
a) 6.
b) 15.
c) 16.
d) 8.
e) 17.
a) 286.
b) 829.
c) 528.
d) 584.
e) 251.
a) 40.
b) 59.
c) 31.
d) 18.
e) 36.
a) 14.
b) 5.
c) 9.
d) 11.
e) 8.
12)
13)
14)
37
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
15)
a) 123.
b) 54.
c) 260.
d) 87.
e) 98.
a) 65.
b) 72.
c) 57.
d) 81.
e) 94.
a) 21.
b) 80.
c) 58.
d) 74.
e) 43.
a) 12.
b) 5.
c) 16.
d) 18.
e) 9.
16)
17)
18)
38
ELSEVIER
Capítulo 5 I Sequências Lógicas Envolvendo Números
19)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(FCC/Prefeitura Municipal de Santos/Advogado/2005) Na sucessão de triângulos, o número
no interior de cada um é resultado de operações efetuadas com os números que se encontram
em sua parte externa.
Se a sequência de operações é a mesma para os números dos três triângulos, então o
número X é:
a) 13;
d) 7;
b) 10;
e) 6.
c) 9;
20)
(FCC/Bacen/Analista/2006) No quadriculado seguinte, os números foram colocados nas
células obedecendo a um determinado padrão.
16
13
29
34
19
15
27
28
55
x
42
66
Seguindo esse padrão, o número X deve ser tal que:
a) X > 100;
b) 90 < X <100;
c) 80 < X < 90;
d) 70 < X < 80;
e) X < 70.
21)
(Técnico da Fazenda Estadual/2010/Sefaz/SP) Os termos da sequência de números inteiros (−5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .) são sucessivamente obtidos segundo determinado
critério. Se x e y são, respectivamente, o décimo segundo e o décimo quarto termos
dessa sequência, então, y − x é um número:
a) quadrado perfeito;
b) ímpar;
c) divisível por 6;
d) múltiplo de 5.
39
Capítulo 6
Sequências Lógicas Envolvendo
Figuras
Este tipo de sucessão contribui para a formação de um pensamento lógico que
desenvolverá o raciocínio e a estrutura mental.
Para cada sequência de figuras obteremos um padrão específico, que pode estar
associado a movimentos, contagens, polígonos, entre outros.
REGRA GERAL: Para obter o padrão desejado deve-se seguir algumas regras
bem simples:
I – Obter um padrão utilizando caso envolva rotação e translação de figuras.
II – Caso envolva catracas, cuidado quanto menor o raio da catraca mais giro se
obtém.
III – No Caso de planificação de figuras, pinte uma face para servir de referência e
planifique a figura.
IV – problemas de geometria que envolva áreas geralmente são fáceis, pois não se
trata de uma solução onde se deseja um geômetra.
V – No caso de letras dificilmente aparece correlação entre a letra e o número, a
não ser que seja dito no problema.
VI – Atenção a problemas de contagem espacial, geralmente parte do todo e retire
a parte que falta.
VII – Atenção ao enunciado e sublinhe o que a questão realmente deseja.
6.1. Exercícios Resolvidos
1)
Na figura seguinte, os círculos da fila superior foram pintados aleatoriamente.
A partir da segunda fila, de cima para baixo, há uma regra única que determina
a cor de cada círculo (preto ou branco). Determine as cores dos três círculos
inferiores, da esquerda para a direita.
Capítulo 6 I Sequências Lógicas Envolvendo Figuras
a)
d)
b)
e)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
c)
Solução:
Para cada linha, a partir da segunda, o número de bolas pretas diminui (4, 3,
2, 1). Ou, se analisarmos as bolas brancas, verificamos que cada linha possui duas
bolas brancas, sendo possível somente a alternativa E.
Gabarito: E.
2)
a)
d)
b)
e)
c)
Solução:
Observa-se que a resposta é uma figura igual à figura inscrita (dentro) do círculo,
com a cor oposta. Logo, a alternativa correta é a alternativa A.
Gabarito: A.
3)
Qual destas catracas gira mais rapidamente?
41
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
ELSEVIER
a) A.
d) D.
b) B.
e) E.
c) C.
Solução:
A menor catraca é a que gira com maior velocidade, pois possui o menor raio.
Logo, a alternativa correta é a D.
Gabarito: D.
4)
a)
(Capes/Analista/Cesgranrio/2008) A figura abaixo ilustra um sólido fechado.
Sua planificação é:
b)
c)
d)
Solução:
Observe a planificação do sólido detalhadamente:
Gabarito: A.
5)
42
(Capes/Analista/Cesgranrio/2008) A figura
ilustra um tabuleiro do jogo RESTA UM.
Começa-se o jogo com peças em todas as casas,
exceto em uma, que está inicialmente vazia
(Figura 1). Nesse jogo, todas as peças podem
ser movimentadas. No entanto, cada casa
comporta, no máximo, uma peça.
Nesse jogo, a única jogada possível consiste
em: dadas três casas consecutivas em linha, na
horizontal ou na vertical, se uma das casas, que
não a central, estiver vazia e as outras duas,
ocupadas, uma das peças salta a outra, adjacente,
retirando-se do jogo a que foi pulada. Se não for
possível realizar a jogada, o jogo acaba.
e)
Capítulo 6 I Sequências Lógicas Envolvendo Figuras
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Na Figura 2, vê-se a casa A vazia e as casas B e C ocupadas. A peça que está
em C pula a que está em B e passa a ocupar a casa A. A peça da casa B, que foi
pulada, é retirada do jogo (Figura 3).
Abaixo, está representada uma situação de jogo no Resta Um.
Na situação apresentada, o jogo acaba com, no mínimo, um número de peças
igual a:
a) 1;
b) 2;
c) 3;
d) 4;
e) 5.
Solução:
Posição inicial:
Jogada 1:
43
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
Jogada 2:
Jogada 3:
Jogada 4:
Final do jogo:
Gabarito: B.
44
ELSEVIER
Capítulo 6 I Sequências Lógicas Envolvendo Figuras
6)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(TRT-24a Região/Auxiliar Judiciário/FCC/2006) Observe a figura abaixo.
Qual dos desenhos seguintes pode ser encontrado no interior da figura dada?
a)
b)
c)
d)
e)
Solução:
Observamos que a figura da alternativa A pode ser identificada no desenho:
Gabarito: A.
6.2. Exercícios Propostos
1)
(Vunesp/ICMS-SP/1997) Observe a figura a seguir e verifique que a faixa é formada
por três linhas de quadradinhos, em que a primeira e a terceira são formadas por
quadradinhos brancos. A segunda linha alterna quadradinhos brancos com quadradinhos
pretos.
45
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
O número de quadradinhos brancos necessários para formar uma faixa completa, de
acordo com a figura, mas contendo 60 quadradinhos pretos é:
a) 292;
d) 303;
b) 297;
e) 480.
c) 300;
2)
(Vunesp/ICMS-SP/1997) Continuando a sequência de figuras:
Temos:
3)
46
a)
b)
d)
e)
c)
A figura a seguir mostra uma engrenagem formada por quatro rodas
dentadas iguais (de mesmo raio). Cada roda tem uma seta indicadora
de posição. A roda dentada de cima girou menos de uma volta e parou
na posição da seta. Indique a opção que dá o posicionamento correto
em que pararam as setas das outras três engrenagens.
a)
b)
d)
e)
c)
Capítulo 6 I Sequências Lógicas Envolvendo Figuras
4)
ABCD é um retângulo de área R. P é um ponto qualquer da diagonal AC. Os segmentos
QU e ST pertencem às retas paralelas aos lados do retângulo, passando por P. Se A1 e
A2 forem, respectivamente, as áreas do retângulo QPTD e SPUB, então:
R
a) A1 + A2 =
;
2
b) A1 = A2 ;
c) A1 < A2 ;
5)
6)
7)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
d) A1 > A2 ;
R
e) A1 – A2 =
.
2
Complete a sequência:
a)
b)
d)
e)
c)
Marque a alternativa que não corresponde a um padrão entre as figuras.
a)
b)
d)
e)
c)
(FCC/TCE-PB/Técnico) Observe que há uma relação entre as duas primeiras figuras
representadas abaixo. A mesma relação deve existir entre a terceira figura e a quarta,
que está faltando.
47
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
A quarta figura é:
a)
d)
b)
e)
c)
(FCC/TCE-PB/Técnico) Nas questões 8 e 9 é dada uma sucessão de figuras que tem um
padrão de formação. Você deve descobrir em qual das alternativas se encontra a figura
que, seguindo o mesmo padrão, substitui o ponto de interrogação:
8)
a)
d)
b)
e)
c)
9)
a)
10)
48
b)
c)
d)
(TJ-PE/Técnico/2007) Considere a sequência de figuras abaixo:
e)
Capítulo 6 I Sequências Lógicas Envolvendo Figuras
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
A figura que substitui corretamente a interrogação é:
a)
11)
b)
c)
d)
e)
(TRF-4a Região/Técnico Judiciário/FCC/2007) A figura abaixo mostra duas jogadas
assinaladas em uma grade do “Jogo da Velha”.
A alternativa em que as duas jogadas assinaladas NÃO são equivalentes às que são
mostradas na grade dada é:
a)
d)
b)
e)
c)
12)
(FCC/Bacen/Analista/2006) Observe com atenção a figura a seguir:
Dos desenhos seguintes, aquele que pode ser encontrado na figura dada é:
a)
b)
d)
e)
c)
49
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
13)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(FCC/Bacen/Analista/2006) Em cada linha do quadro a seguir, as figuras foram
desenhadas obedecendo a um mesmo padrão de construção.
Segundo esse padrão, a figura que deverá substituir corretamente o ponto de interrogação é:
a)
b)
c)
d)
e)
14)
(Professor/Prefeitura de Teresina/FCC/2009) Ao observar uma configuração formada por
cubos idênticos, Marli desenhou numa folha as vistas frontal, superior e lateral dessa
configuração.
Vista superior
Vista lateral
Vista frontal
Uma configuração possível observada por Marli é:
Vista superior
Vista lateral
a)
50
Vista frontal
Capítulo 6 I Sequências Lógicas Envolvendo Figuras
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Vista superior
Vista lateral
Vista frontal
b)
Vista superior
Vista lateral
c)
Vista frontal
Vista superior
Vista lateral
Vista frontal
d)
Vista superior
Vista lateral
e)
15)
Vista frontal
(Técnico Administrativo/Denatran/Cesgranrio/2009) Um quebra-cabeça consiste em
um conjunto de 3 peças planas que, ao serem reunidas, formam um quadrado como o
ilustrado abaixo.
51
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
O conjunto de 3 peças desse quebra-cabeça pode ser:
a)
b)
c)
d)
e)
16)
(Técnico Administrativo/TRF-1a Região/FCC/2007) Considerando as relações horizontais
e verticais entre as figuras, assinale a alternativa que substitui a interrogação.
a)
d)
b)
e)
c)
52
Capítulo 6 I Sequências Lógicas Envolvendo Figuras
17)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(Técnico em Administração e Controle Júnior/Cesgranrio/2010) Um relógio de ponteiros
redondo marca 3 horas. Esse relógio é colocado de cabeça para baixo, mas ainda com
seu mostrador voltado para os observadores. Quem olha para esse relógio vê os seus
ponteiros na posição:
a)
d)
b)
e)
c)
18)
(Técnico da Fazenda Estadual/FCC/Sefaz/SP) Dada a sequência de figuras abaixo, descubra a regra pela qual a primeira se transforma na segunda.
De acordo com essa regra, a figura, que tem com a terceira figura, a mesma relação que
a primeira tem com a segunda é:
a)
b)
c)
d)
53
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
19)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(Técnico da Fazenda Estadual/FCC/Sefaz/SP) A sequência de figuras seguinte foi escrita
obedecendo a determinado padrão.
Segundo esse padrão a figura que completa a série dada é:
20)
a)
c)
b)
d)
(SEEC-RN/2011/Prof. de Matemática) A figura mostra a fotografia da sala de estar de
uma casa, parcialmente decorada, e, ao lado, sua planta, na qual está destacado um
objeto, representado pela letra A. A sala possui dois pisos, um inferior e outro superior.
Analisando a foto que foi tirada e os objetos que nela estão dispostos, aquele que, mais
provavelmente, está localizado sobre o ponto A é um(a):
a) quadro no piso superior;
b) sofá no piso inferior;
c) vaso de plantas no piso superior;
d) poltrona no piso superior;
e) porta no piso inferior.
54
Capítulo 6 I Sequências Lógicas Envolvendo Figuras
21)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(SAEB-BA/Cespe/2011/Matemática e suas Tecnologias) Maurits Cornelis Escher (18981972) foi um artista holandês que construiu grande parte de sua obra a partir do fascínio
que alguns objetos e conceitos matemáticos exerceram sobre ele. Escher não tinha
formação em matemática e ele próprio dizia não ser um matemático, mas seus trabalhos mostram a ideia do infinito, os movimentos de translação e rotação, as simetrias,
os poliedros platônicos etc. A figura a seguir ilustra um dos mosaicos de Escher obtido
com dois peixes iguais, sendo um claro e outro escuro.
Nesse mosaico de Escher, tendo-se como referência o ponto P, verifica-se que o peixe
claro identificado como Y é a imagem do peixe claro identificado como X, por meio de
um movimento de:
a) reflexão em torno de uma reta oblíqua e equidistante dos peixes marcados por X e Y;
b) rotação, no sentido horário, superior a 90º, mas inferior a 150º;
c) translação de tamanho igual a 1/3 da medida do lado do quadrado;
d) rotação de 90º, no sentido horário, seguida de um movimento de translação igual a
1/4 do lado do quadrado.
22)
(SAEB-BA/Cespe/2011/Matemática e suas Tecnologias) Na primeira fase de um concurso para a escolha de logotipos, foram selecionados cinco finalistas, entre os quais o
ilustrado na figura acima. Em uma segunda fase, decidiu-se classificar apenas aqueles
que apresentavam algum tipo de simetria. Sob essa condição, esse logotipo deve ser:
a)
b)
c)
d)
classificado, porque possui dois eixos de simetria;
classificado, porque possui cinco eixos de simetria;
desclassificado, porque não possui eixo de simetria;
classificado, porque tem infinitos eixos de simetria.
55
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
23)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(SAEB-BA/Cespe/2011/Matemática e suas Tecnologias)
Para ladrilhar um piso, um pedreiro coloca um nível sobre um plano horizontal, conforme
ilustrado na figura acima. Ele verifica a horizontalidade para assegurar-se de que os
ladrilhos, encostados no nível, fiquem no plano horizontal. Ao realizar esse trabalho, o
pedreiro aplica uma propriedade característica do plano, de acordo com a qual,
a) dois planos são coincidentes quando todos os seus infinitos pontos e planos pertencem
ao outro.
b) se uma reta possui dois pontos em um plano, ela é paralela a esse plano.
c) se uma reta passa por dois pontos em um plano, ela está toda contida nesse plano.
d) dois planos são secantes quando forem distintos e a intersecção entre eles formar
uma reta.
24)
(SAEB-BA/Cespe/2011/Matemática e suas Tecnologias)
A partir da forma inicial apresentada na figura I acima, foi construída uma faixa decorativa, da qual uma parte é mostrada na figura II.
Nessa situação, as quatro simetrias do plano que foram aplicadas na figura I de modo
sucessivo, para formar o padrão básico da faixa da figura II, são:
a) reflexão em um eixo vertical, rotação de 90º para direita, reflexão em eixo vertical e
rotação de 90º para esquerda;
b) reflexão em eixo horizontal, deslizamento inclinado para baixo, reflexão em eixo horizontal e deslizamento inclinado para cima;
c) rotação de 180º, reflexão em eixo inclinado, rotação de 180º e reflexão em eixo inclinado;
d) reflexão em eixo vertical, deslizamento inclinado para baixo, reflexão em eixo vertical
e deslizamento inclinado para cima.
56
Capítulo 7
Sequências Lógicas Envolvendo
Letras
Este tipo de sucessão obedece a certa lógica alfabética, podendo ser de qualquer
tipo, como, por exemplo: valor posicional das letras, palavras, frases, sequência
alfabética etc.
REGRA GERAL: Para obter o padrão desejado deve-se seguir algumas regras:
I – Dias da semana (S, T, Q, Q, S, S, D).
II – Inicias dos meses do Ano: (J, F, M, A, M, J, J, A, S, O, N, D).
III – O número de vogal aparecendo em ordem crescente em uma palavra, como:
Rã, Faca, Chapada, e assim sucessivamente.
IV – Um padrão difícil de ver é nenhuma vogal se repete, ou consoante.
V – No caso de letras dificilmente aparece correlação entre a letra e o número, a
não ser que seja dito no problema.
VI – No caso de círculos pode ter um padrão geral ou ser alternado.
VII – Atenção ao enunciado e sublinhe o que a questão realmente deseja.
7.1. Exercícios Resolvidos
1)
(FCC/Ipea/Assessor/2005) A sucessão seguinte de palavras obedece a uma
ordem lógica. Escolha a alternativa que substitui X corretamente:
RÃ, LUÍS, MEIO, PARABELO, “X”.
a) calçado;
d) sibipiruna;
b) pente;
e) soteropolitano.
c) lógica;
Solução:
Cada palavra da sequência apresenta um número crescente de vogais:
rã – uma vogal;
Luís – duas vogais;
meio – três vogais;
parabelo – quatro vogais.
A alternativa que possui uma palavra com cinco vogais é a letra D.
Gabarito: D.
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
2)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Leve em consideração a figura a seguir e determine a letra que deve ser posta
no lugar da interrogação:
a) T;
b) L;
c) C;
d) O;
e) P.
Solução:
Em sequências alfabéticas, geralmente quando aparecem
letras repetidas, devemos procurar palavras ou pequenas frases
como lei de formação. Estas podem estar escritas diretas ou
alternadas, no sentido horário ou anti-horário.
Nessa sequência, por exemplo, lendo no sentido horário,
iniciando na letra F, alternadamente, temos a frase FINAL FELIZ.
Logo, a letra que completa corretamente a sequência é a letra L.
Gabarito: B.
3)
(FCC/Bacen/Analista/2006) Na figura a seguir, as letras foram dispostas em
forma de um triângulo segundo determinado critério.
Considerando que as letras K, W e Y não fazem parte do alfabeto oficial, então,
de acordo com o critério estabelecido, a letra que deve substituir o ponto de
interrogação é:
P
P Q
PRS
Q R S T
Q R – – ?
a) P;
d) S;
b) Q;
e) T.
c) R;
Solução:
Observe que, contando as letras na diagonal indicada pela seta, cada letra ocorre
três vezes; logo, concluímos que a letra que substitui a interrogação é o T.
P
P Q
PRS
Q R S T
Gabarito: E.
58
Q R ST T
Capítulo 7 I Sequências Lógicas Envolvendo Letras
4)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(TRT-24a Região/Auxiliar Judiciário/FCC/2006) Observe que, quatro das
figuras seguintes têm uma característica comum.
A única figura que NÃO tem a característica das demais é:
a)
d)
b)
e)
c)
Solução:
Nesta questão, deve-se procurar no grupo a figura diferente das demais, ou seja,
procurar “um estranho no ninho”. No caso, a alternativa A é a única que possui 3
consoantes. As demais possuem 2 consoantes e 1 vogal.
Gabarito: A.
5)
(TJ-PE/Analista Judiciário/FCC/2007) Assinale a alternativa que completa a
série seguinte: J J A S O N D ?
a) J;
d) N;
b) L;
e) O.
c) M;
Solução:
Cada letra da sequência representa um mês do ano:
JJASOND
J: junho
J: julho
A: agosto
(...)
D: dezembro
A próxima da sequência é J: janeiro.
Gabarito: A.
59
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
7.2. Exercícios Propostos
1)
(FCC/ICE-SP/Auxiliar Fiscal Financeiro/2005) O seguinte triângulo é composto de letras
do alfabeto dispostas segundo determinado critério.
?
___ N
MLJ
I ___ ___ ___
E D C___ A
Considerando que no alfabeto usado não entram as letras K, W e Y, então, segundo o
critério utilizado na disposição das letras do triângulo, a letra que deverá ser colocada
no lugar do ponto de interrogação é:
a) C;
d) P;
b) I;
e) R.
c) O;
2)
(Bacen/1994) Complete a série: B D G L Q ____
a) R;
d) X;
b) T;
e) Z.
c) V;
3)
(Bacen/1994) A D F I : C F H ____
a) I;
b) J;
c) L;
4)
(Bacen/1994) A G E C : G N L I
D J H F _______
a) MSOQ;
b) JMOQ;
c) JQPL;
d) N;
e) P.
d) JQOM;
e) GOMJ.
5)
a) EO;
b) IA;
c) AO;
6)
60
d) EA;
e) NA.
Capítulo 7 I Sequências Lógicas Envolvendo Letras
a) carneiro;
b) camelo;
c) cabra;
d) cabrito;
e) cria.
a) ME;
b) II;
c) ER;
d) ST;
e) SI.
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
7)
8)
(Técnico da Fazenda Estadual/Sefaz/SP/FCC/2010) Observe a característica comum
apresentada por todas as palavras do conjunto seguinte: {CIRCO, CURARE, DOIDA,
PENEDO, XUXA, VOO, MITIGAR, ...} De acordo com essa característica, das palavras que
seguem, a única que poderia pertencer ao conjunto dado é:
a) COSER.
b) DONZELA.
c) VIA.
d) PAPEL.
9)
(Técnico da Fazenda Estadual/Sefaz/SP/FCC/2010) Três letras devem preencher o esquema abaixo de modo a formar uma palavra. Para tal, use as informações que o seguem.
–
–
a palavra SOM não tem qualquer letra em comum com a palavra procurada;
a palavra USO tem uma única letra em comum com a palavra procurada mas não
em sua devida posição;
–
a palavra RUM tem apenas uma letra em comum com a palavra procurada, na devida
posição em que ela deve ocupar;
–
a palavra ARO tem uma única letra em comum com a palavra procurada mas não
na sua devida posição;
–
a palavra ATO tem exatamente duas letras em comum com a palavra procurada.
De acordo com as informações dadas, é correto concluir que a palavra que deve preencher
o esquema:
a) tem duas consoantes na sua composição;
b) termina por uma consoante;
c) é um pronome possessivo;
d) é um adjetivo.
61
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
10)
62
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(Analista judiciário Estatístico/TRT/2010) 16. Considere o conjunto:
X = {trem, subtropical, findar, fim, preguiça, enxoval, chaveiro, ...}, em que todos os
elementos têm uma característica comum. Das palavras seguintes, a única que poderia
pertencer a X é:
a) PELICANO;
b) FORMOSURA;
c) SOBRENATURAL;
d) OVO;
e) ARREBOL.
Capítulo 8
Lógica Dedutiva
Lógica dedutiva bivalente, ou lógica binária, é o ramo da lógica em que o
raciocínio se exprime por um encadeamento de proposições (sentenças que afirmam
ou negam), que são verdadeiras ou são falsas, não se admitindo a simultaneidade
dos dois valores lógicos verdade ou falsidade.
Neste capítulo abordaremos a lógica dedutiva do ponto de vista de algumas
figuras planificadas e figuras com algumas leis de formação intrínseca à própria
estrutura.
REGRA GERAL: Para obter o padrão desejado deve-se seguir algumas regras
bem simples:
I – Obter um padrão utilizando as operações matemáticas básicas (+, -, x , :) e
verifique se a lei de formação obedece a uma sequência em especial.
II – O padrão pode vir a ser uma sequência em ordem crescente ou decrescente.
III – Caso sejam círculos com números, o padrão pode vir alternado ou não.
IV – A partir de duas hipóteses já se pode chegar a uma conclusão, mas adotaremos
3 hipóteses, pois assim o padrão se tornará claro.
V – Atenção ao enunciado e sublinhe o que a questão realmente deseja.
8.1. Exercícios Resolvidos
1)
(FCC/TRF/Técnico Judiciário/2007) A seguinte figura
representa um certo corpo sólido vazado.
O número de faces desse sólido é:
a) 24;
b) 26;
c) 28;
d) 30;
e) 32.
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Solução:
Logo, somando-se todas as faces obtidas: 24 + 4 + 2 = 30 faces.
Gabarito: D.
2)
(FCC/TRF/Técnico Judiciário/2007) Observe atentamente a disposição das
cartas em cada linha do esquema seguinte.
A carta que está oculta é:
a)
b)
64
c)
d)
e)
Capítulo 8 I Lógica Dedutiva
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução:
Em cada linha, o valor da terceira carta é a diferença da primeira pela segunda.
A carta pedida possui o valor 3, ou seja, as únicas alternativas possíveis são a A e a E.
Observamos também que não há naipes repetidos em cada linha. Logo, a letra E pode
ser descartada por apresentar um naipe que já existe na terceira linha.
Gabarito: A.
3)
(FCC/TCE-SP/Agente de Fiscalização Financeira/2005)
Considere que o cubo mostrado na figura foi montado a
partir de pequenos cubos avulsos, todos de mesmo tamanho.
O número de cubos que podem ser visualizados nessa
figura é:
a) 9;
d) 36;
b) 18;
e) 48.
c) 27;
Solução:
Quando resolver questões de lógica, tenha atenção e observe com cuidado o que
é pedido exatamente. Observe que na questão foi perguntado o número de cubos
(todos) existentes na figura, portanto, cuidado para não contar apenas os cubinhos
menores. Veja a solução a seguir.
Na figura anterior, podem ser visualizados os seguintes cubos:
•
27 cubinhos pequenos que compõem a figura;
•
oito cubos maiores (cada um deles formado a partir de quatro cubinhos
menores);­
•
um cubo grande formado com os 27 cubinhos.
Somando todos os cubos, visualizamos 27 + 8 + 1 = 36 cubos.
Gabarito: D.
4)
(TCE-RO/Técnico/Cesgranrio/2007) O mostrador de um relógio digital
apresenta quatro dígitos. Cada dígito é formado por sete lâmpadas retangulares.
Esse relógio não atrasa e nem adianta. No entanto, o 3o dígito (da esquerda para
a direita) do mostrador está com um certo defeito: algumas das lâmpadas que
o formam não estão acendendo. Em um certo momento, o tempo que faltava
para dar 16h era menor do que o tempo transcorrido desde as 15h. A figura
ilustra a aparência do mostrador do relógio nesse momento.
65
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
No momento citado, se não houvesse defeito, o 3o dígito mostraria o algarismo:
a) 0;
b) 2;
c) 3;
d) 4;
e) 5.
Solução:
O texto da questão afirma que cada dígito é formado por sete lâmpadas. Em
um relógio digital, estas lâmpadas ficam acesas ou apagadas de acordo com dígito
que se deseja mostrar. Observe abaixo a figura que exemplifica o funcionamento
das lâmpadas de um relógio digital:
Supondo que o relógio marque 12:30, então as lâmpadas ficarão do seguinte
modo:
Voltando ao relógio da questão, o 3o dígito está defeituoso, e afirma-se no texto
que “o tempo que faltava para dar 16h era menor do que o tempo transcorrido desde
as 15h”, ou seja, já passou das 15:30h.
Como o último dígito é 2, temos que o relógio pode estar marcando 15:32,
15:42 ou 15:52. De acordo com a figura acima, com lâmpadas que estão acesas no
3o dígito só é possível que seja o número 3, ou seja, são 15:32h.
Gabarito: C.
66
Capítulo 8 I Lógica Dedutiva
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
5)
(TRT-24a Região/Auxiliar Judiciário/FCC/2006) A sentença seguinte é seguida
de um número entre parênteses, que corresponde ao número de letras de uma
palavra que se aplica à definição dada.
“Tudo aquilo que não é cópia ou imitação.” (8)
A alternativa onde se encontra a letra inicial de tal palavra é:
a) A;
b) O;
c) P;
d) Q;
e) R.
Solução:
Na questão acima é pedida a letra inicial de uma palavra de 8 letras que se aplica
à definição dada, ou seja, uma palavra de 8 letras que signifique “Tudo aquilo que
não é cópia ou imitação”. A palavra que se aplica perfeitamente é “ORIGINAL”,
sendo “O” sua letra inicial.
Gabarito: B.
6)
(Técnico/Bacen/Cesgranrio/2010) André organizou 25 cartas de baralho como
ilustra a Figura 1.
67
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Luiza escolheu uma das cartas, mas não disse a André qual foi a escolhida.
Disse-lhe apenas que a carta escolhida está na terceira linha.
André retirou todas as cartas e as reorganizou, como ilustrado na Figura 2.
Em seguida, André perguntou a Luiza em que linha, nessa nova arrumação, estava a carta escolhida. Luiza respondeu que, desta vez, a carta estava na quarta
linha. Qual foi a carta escolhida por Luiza?
a) 6 de copas.
b) 7 de copas.
c) Ás de espadas.
d) Rei de espadas.
e) 2 de espadas.
Solução:
Considerando que a carta está na terceira linha (figura 1), Luiza pode ter
escolhido:
• Rei de espadas;
• 2 de espadas;
68
Capítulo 8 I Lógica Dedutiva
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
• 7 de copas;
• Ás de espadas;
• 6 de copas.
Olhando a quarta linha da figura 2, vemos que a única carta que se repete é o
6 de copas, sendo então a única carta que pode ter sido escolhida por Luiza.
Gabarito: A.
8.2. Exercícios Propostos
1)
A mãe de Eunice tem cinco filhos: Dadá, Dedé, Didi, Dodó. Qual é o nome do quinto filho?
a) Dudu.
d) Dadu.
b) Dade.
e) Eunice.
c) Eulália.
2)
(FCC/Prefeitura Municipal de Santos/Advogado/2005) Uma
pessoa pretende montar uma caixa de papelão, totalmente
fechada, como a mostrada na figura a seguir:
Qual das seguintes planificações lhe permitirá montar essa
caixa?
3)
a)
b)
d)
e)
c)
(FCC/Prefeitura Municipal de Santos/Advogado/2005) Considere que esta sequência de
figuras foi construída obedecendo a uma lei de formação.
Segundo essa lei, a figura que completa a sucessão, substituindo o ponto de interrogação, é:
a)
b)
c)
d)
e)
69
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
4)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(FCC/TCE-SP/Agente de Fiscalização Financeira/2005) Cada linha da figura segue o mesmo
padrão. Qual é o desenho que melhor completa o esquema a seguir?
________________
_______ _______
________________
_______ _______
_______ _______
________________
________________
________________
________________
_______ _______
________________
_______ _______
________________
________________
_______ _______
_______ _______
_______ _______
_______ _______
________________
________________
________________
_______ _______
________________
________________
?
a) ________________
b) ________________
c) ________________
_______ _______ ________________ ________________
________________ ________________ _______ _______
d) _______ _______
e) _______ _______
_______ _______ _______ _______
_______ _______ ________________
5)
(FCC/TCE-SP/Auxiliar de Fiscalização Financeira/2005) Observe que esta sequência de
figuras está incompleta. A figura que está faltando, à direita, deve ter com aquela que a
antecede a mesma relação que a segunda tem com a primeira. Assim,
a)
6)
b)
c)
d)
e)
(FCC/TCE-PB/Agente de Reprodução de Documentos/2006) Considere que uma mesa
quadrada acomoda apenas quatro pessoas; juntando duas mesas desse mesmo tipo,
acomodam-se apenas seis pessoas. Juntando-se três dessas mesas acomodam-se apenas
oito pessoas e, assim, sucessivamente, como é mostrado na figura a seguir.
Nas mesmas condições, juntando 16 dessas mesas, o número de pessoas que poderão
ser acomodadas é:
a) 32;
d) 38;
b) 34;
e) 40.
c) 36;
70
Capítulo 8 I Lógica Dedutiva
7)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(FCC/Polícia Militar/Soldado/2007) Observe que as figuras a seguir foram dispostas,
linha a linha, segundo determinado padrão.
Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de
interrogação é:
a)
8)
b)
c)
d)
e)
(FCC/TJ/Analista Judiciário/2007) Considere esta sequência de figuras.
A figura que substitui corretamente a interrogação é:
a)
9)
b)
c)
d)
e)
(FCC/TJ/Técnico Judiciário/2007) Considere esta sequência de figuras.
71
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
A figura que substitui corretamente a interrogação é:
a)
d)
b)
e)
c)
10)
(FCC) O bloco representado na figura a seguir foi montado colando-se 12 cubos de
madeira, exatamente iguais. Considere que esse bloco pode ser partido de diferentes
modos, em partes compostas de quatro cubos, conforme é exemplificado pelas figuras
seguintes, em que são mostrados cinco possíveis cortes.
Quais três desses cortes mostrados podem ser reunidos de modo a compor o bloco
original?
a) 1, 2 e 4.
b) 1, 3 e 4.
c) 1, 4 e 5.
d) 2, 3 e 4.
e) 2, 4 e 5.
11)
72
(TRT-8a Região/2010/Técnico Judiciário Administrativo) Na superfície de uma caixa
cúbica de aresta 10 cm foram marcados três quadrados com vértices nos pontos médios
das arestas do cubo, conforme indica a figura:
Capítulo 8 I Lógica Dedutiva
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Duas formigas (F e G) estão localizadas em vértices da caixa, conforme indica a figura,
e iniciam deslocamento simultaneamente com a mesma velocidade. Sabe-se ainda que
os deslocamentos ocorrem apenas sobre as arestas do cubo ou sobre os lados dos três
quadrados marcados, e que as formigas não passam duas vezes pelo mesmo lugar. Após
iniciado movimento, as formigas F e G se deslocam, respectivamente, 30 cm e 40 cm.
Com relação a posição final das formigas é correto afirmar que:
a) necessariamente será em um vértice do cubo;
b) pode ser idêntica à posição inicial de cada uma;
c) pode se dar em um mesmo ponto para as duas formigas;
d) não pode se dar em um ponto de intersecção dos quadrados marcados no cubo;
e) pode se dar em pontos que não os vértices do cubo nem os pontos de intersecção dos
quadrados marcados no cubo.
12)
(Eng. Manutenção/Mecânica/2011/Petroquímica/Suape) Na Inglaterra do século IX, as
pessoas utilizavam como dinheiro o xelim e o penny, cujo plural é pence. O valor do penny
era muito menor que o do xelim. Naquela época, o rei Alfredo cunhou moedas de ouro,
de valor muito maior que o xelim. O escritor B. Cornwell contou em um de seus livros
que, em um casamento naquela época, o pai da noiva exigiu do noivo o pagamento de 33
xelins, quantia equivalente a 396 pence, para que o casamento fosse realizado. O noivo
pagou então ao pai da noiva a mesma quantia na forma de uma moeda de ouro mais 36
pence, e o casamento foi realizado. Nesse sistema monetário, uma moeda de ouro era
equivalentea quantos xelins?
a) 10.
d) 25.
b) 15.
e) 30.
c) 20.
13)
Observe os cinco primeiros termos de uma sequência de figuras.
Nessa sucessão, cada termo é composto pela figura anterior acrescida de um segmento
de reta, conforme ilustrado acima. A figura apresentada abaixo é uma das figuras dessa
sequência.
73
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Verifica-se que, na sequência, tal figura é a:
a) 8a;
b) 9a;
c) 10a;
d) 11a;
e) 12a.
74
14)
(Analista Judiciário Estatístico/TRT/2010/9a Região) Em um ambulatório há um armário
fechado com um cadeado cujo segredo é um número composto de 6 dígitos. Necessitando
abrir tal armário, um funcionário não conseguia lembrar a sequência de dígitos que o
abriria; lembrava apenas que a soma dos dígitos que ocupavam as posições pares era
igual à soma dos dígitos nas posições ímpares. As alternativas que seguem apresentam
sequências de seis dígitos, em cada uma das quais estão faltando dois dígitos. A única
dessas sequências que pode ser completada de modo a resultar em um possível segredo
para o cadeado é:
a) 9 2 _ _ 6 2;
b) 7 _ 7 _ 7 1;
c) 6 _ 9 0 _ 5;
d) 4 8 _ 9 _ 7;
e) 2 6 4 _ 8 _.
15)
(Técnico Bancário Administrativo/Caixa/2008/Cesgranrio) Em uma urna há 5 bolas
verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas, numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a
primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par?
a) 15.
b) 20.
c) 23.
d) 25.
e) 27.
Capítulo 9
Problemas com Dados
Este capítulo aborda problemas de lógica envolvendo dados, seja através de
planificações, sequências numéricas, alfabéticas ou de figuras.
REGRA GERAL: Para obter a solução de problemas utilizando dados, lembre-se:
I – A soma das faces opostas é sempre 7 (dado não viciado), tente buscar um padrão
utilizando esta informação.
II – Ao planificar um dado pinte uma das faces e a utilize como referência na planificação.
III – Na planificação, faces intercaladas geram faces opostas, ou seja, caso se tenha
as faces 1, 3, 6 alinhadas (visto que houve a planificação) pode-se dizer que 1
e 6 são opostas.
IV – Atenção a rotação no sentido horário e anti-horário.
V – Atenção ao enunciado e sublinhe o que a questão realmente deseja.
9.1. Dados não viciados e Dados viciados
Em um dado não viciado, a soma das faces opostas é sempre 7.
Em um dado viciado, esse princípio não é válido. A figura ao lado
mostra um dado não viciado.
9.2. Exercícios Resolvidos
1)
O dado ao lado é um dado não viciado (honesto). Então, a face
oposta à 6 é:
a) 5;
b) 4;
c) 3;
d) 2;
e) 1.
Solução:
Como a soma das faces opostas é 7, então a face oposta à 6 é a 1.
Gabarito: E.
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
2)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(OMRJ – Olimpíada de Matemática/Rio de Janeiro) As faces opostas de um
dado bem construído somam sempre sete pontos. Um dado percorre um circuito
como ilustrado nos dois movimentos feitos.
Inicialmente, a face superior é três pontos. Qual será a face superior ao final
de percorrer o circuito?
a) 2.
d) 5.
b) 3.
e) 6.
c) 4.
Solução:
Como as faces opostas sempre somam 7, temos que:
•
1 é oposto a 6;
•
2 é oposto a 5;
•
3 é oposto a 4.
O circuito é percorrido conforme esta figura:
Concluímos, portanto, que a face superior ao final do circuito será a face 6.
Gabarito: E.
3)
76
Se os três cubos a seguir são idênticos, qual a letra da face inferior do cubo do
meio?
Capítulo 9 I Problemas com Dados
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
a) A.
d) D.
b) B.
e) E.
c) C.
Solução:
Para a resolução deste tipo de questão, é bastante útil fazer a planificação do
dado. Como os dados são iguais, podemos montar o dado completo a partir da
observação dos três combinadamente. Veja na figura a seguir a planificação:
Concluímos que a face oposta à face D é a face B.
Gabarito: B.
4)
(TRT-24a Região/Auxiliar Judiciário/FCC/2006) Considere o dado mostrado
na figura abaixo:
Sabendo que os pontos marcados em faces opostas somam 7 unidades, o total
de pontos assinalados nas faces não visíveis desse dado é igual a:
a) 15;
d) 12;
b) 14;
e) 1.
c) 13;
Solução:
As faces ocultas são 6 + 5 + 3 = 14.
Gabarito: B.
5)
(Técnico de Contabilidade/CESG/2010) Certo jogo de tabuleiro utiliza um
“dado” especial que vem impresso, planificado, em uma folha de papel cartão.
A figura abaixo mostra a planificação do “dado”, antes de ser montado.
77
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Depois de montado, quais letras ficarão em faces opostas?
a) A e B.
b) B e E.
c) D e A.
d) E e F.
e) F e C.
Solução:
Pelo exposto na regra geral tem-se: A oposto a C; B oposto a D; E oposto a F.
Gabarito: D.
9.3. Exercícios Propostos
1)
A qual alternativa a seguinte figura corresponde?
a) 9 e 9.
b) 12 e 12.
c) 9 e 11.
d) 9 e 12.
e) 12 e 9.
2)
Na figura a seguir observamos o mesmo dado
planificado e montado. Qual alternativa substitui
corretamente a interrogação?
a) M.
d) 8.
b) 5.
e) F.
c) A.
3)
Girando o dado a seguir 90º para a esquerda, qual das alternativas melhor
o representa?
a)
d)
b)
e)
c)
4)
Girando o seguinte dado 90º para a direita, qual das alternativas melhor o
representa?
a)
d)
b)
e)
c)
78
Capítulo 9 I Problemas com Dados
5)
Na figura a seguir observamos o mesmo dado planificado
e montado. Qual alternativa substitui corretamente a
interrogação?
a) V.
d) 2.
b) R.
e) 9.
c) 7.
6)
A qual alternativa a figura a seguir corresponde?
a) O primeiro 8.
b) Iguais.
c) O segundo 7.
7)
d) Primeiro + segundo = 19.
e) Diferentes.
Quantos graus girou a seguinte figura?
a) 45º.
b) 180º.
c) 360º.
9)
d) Diferentes.
e) O primeiro e o segundo 17.
A qual alternativa a figura a seguir corresponde?
a) Face superior do primeiro 2.
b) Face superior do segundo 1.
c) Iguais.
8)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
d) 90º.
e) 270º.
(FCC/TRT/Auxiliar Judiciário/2004) Em um dado convencional os pontos que
correspondem aos números 1 a 6 são colocados nas faces de um cubo, de tal maneira que
a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre igual a 7. Considere
que a figura seguinte indica dois dados convencionais, e que suas faces em contato não
possuem quantidades de pontos iguais. A soma dos pontos que estão
nas faces em contato dos dois dados é:
a) 7;
d) 10;
b) 8;
e) 11.
c) 9;
79
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
10)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(OBM/2000) A figura a seguir foi desenhada em cartolina e dobrada de modo a formar um
cubo.
Qual das alternativas mostra o cubo assim formado?
a)
d)
b)
e)
c)
11)
(Bacen/1994) Três dados idênticos, com as faces numeradas de 1 a 6, são
sobrepostos de modo que as faces unidas tenham o mesmo número, como
ilustrado a seguir. Dessa forma, a soma dos números contidos nas faces
traseiras dos dados é igual a:
a) 4;
d) 10;
b) 5;
e) 12.
c) 7;
12)
(FCC/TCE-SP/Agente de Fiscalização Financeira/2005) O desenho seguinte mostra a
planificação de um cubo que apresenta um número pintado em cada face, como é mostrado
nesta figura:
A partir dessa planificação, qual dos seguintes cubos pode ser montado?
a)
13)
80
b)
c)
d)
e)
Duas pessoas estão sentadas frente a frente e entre elas há um dado. Cada uma vê três
faces do dado. Uma pessoa vê nove pontos, a outra 15 pontos. Quantos pontos tem a face
na qual está apoiado o dado?
a) 1.
d) 45.
b) 2.
e) 54.
c) 3.
Capítulo 9 I Problemas com Dados
14)
(OBM/2000) Três dados idênticos, nos quais a soma das faces opostas é 7, são colocados
em uma mesa, conforme a figura a seguir, de modo que cada par de faces coladas tenha
o mesmo número. Sabendo-se que a soma das faces visíveis é 43, qual a soma das faces,
não visíveis, que estão em contato com a mesa?
a) 6.
b) 8.
c) 13.
15)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
d) 15.
e) 21.
(Vunesp/ICMS-SP/1997) As cinco alternativas representam planificações de um cubo.
Levando-se em conta que em um dado a soma dos pontos marcados nas faces opostas
é 7, a única alternativa que representa a planificação do dado é:
a)
d)
b)
e)
c)
16)
(Agente de Fiscalização Financeira/TCE-SP/FCC/2008) Sabe-se que, em um dado, a soma
dos pontos de faces opostas é sempre igual a 7. Um dado é colocado sobre a superfície
plana de uma mesa com a face “1” voltada para o leste, a “6” para o oeste, a “3” para o
sul, a “4” para o norte, a “2” para cima e a “5” para baixo, da forma como é mostrado na
figura seguinte.
81
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Considere que esse dado é submetido a quatro movimentos sucessivos, cada um dos quais
consiste de uma rotação de 90° em torno de uma aresta que se apóia sobre a mesa. Se após
cada movimento as faces “1”, “3”, “5” e “6” passam a ficar, sucessivamente, voltadas para
baixo, então, ao fim do quarto movimento, a face “1” estará voltada para:
a) baixo.
d) o sul.
b) cima.
e) o oeste.
c) o norte.
82
17)
(FGV/2010/Analista Financeiro) Um dado é dito “comum” quando faces opostas somam
sete. Deste modo, num dado comum, o 1 opõe-se ao 6, o 2 opõe-se ao 5 e o 3 opõe-se ao
4. Lançando-se duas vezes seguidas um mesmo dado comum, os resultados obtidos são
descritos por um par ordenado (a,b), em que a é o resultado obtido no 1o lançamento e b,
o resultado obtido no 2o lançamento. Assinale a alternativa que indique, corretamente,
quantos pares ordenados diferentes podem ser obtidos de modo que a soma dos resultados seja sempre igual a 8.
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
18)
(Administrador de Dados/FGV/2009) Um dado é dito “comum” quando faces opostas
somam sete. Deste modo, num dado comum, o 1 opõe-se ao 6, o 2 opõe-se ao 5 e o 3
opõe-se ao 4. Um dado comum é colocado sobre uma mesa. Um segundo dado, idêntico,
é colocado sobre o anterior. Desta forma, no dado que está embaixo, ficam visíveis apenas as 4 faces laterais. No dado que está em cima, todas as faces ficam visíveis, exceto
aquela que está em contato com o dado de baixo. Sabendo-se que a soma de todas as 9
faces visíveis é 32, o número da face superior do dado que está em cima é:
a) 1;
b) 2;
c) 3;
d) 4;
e) 5.
Capítulo 10
Sudoku
O nome Sudoku é uma abreviação para a frase japonesa “os dígitos devem
permanecer únicos” (números sozinhos). É um jogo de lógica muito simples, baseado
na colocação lógica de números. A resolução de um Sudoku não exige conhecimentos
fortes de matemática, mas apenas um pouco de tempo e algum raciocínio lógico.
A Revista do Professor de Matemática 59, na página 16, indica que esse jogo foi
supostamente inventado por Euler (1707-1783) e encontrado em 1997 numa revista
japonesa pelo neozelandês Wayne Gould, que se apaixonou pelo quebra-cabeça e
criou um software que gera milhares de sudokus, com diferentes graus de dificuldade,
porém cada um tem uma única solução.
10.1. Como Jogar
O jogo é constituído de 81 células em uma grade de 9×9, sendo que cada grade
está subdividida em 9 grades menores de 3×3.
O objetivo do jogo é preencher os espaços em branco com números inteiros
de 1 a 9, de modo que cada número apareça apenas uma vez na linha, como, por
exemplo, a primeira linha: (7, 2, 4), (1, 9, 5), (8, 6, 3).
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Na coluna, o procedimento é o mesmo. Nenhum número pode ser repetido,
e todos os algarismos de 1 a 9 devem estar presentes. Observe como fica a primeira
coluna: (7, 5, 9), (1, 2, 4), (6, 8, 3).
Também para as grades menores 3×3, a regra é a mesma: devem ser preenchidas
com os números de 1 a 9, também sem repetição. Observe como fica a segunda grade
mais à esquerda, que deve ter os números (1, 8, 9), (2, 5, 6), (4, 7, 3).
•
•
•
•
84
Regras do jogo:
Para terminar mais rápido, localize o número que aparece mais vezes na grade
e procure os espaços em branco onde ele pode ser colocado, de acordo com as
regras do jogo.
Cruze linhas com colunas, buscando identificar que posição em uma linha ou
coluna pode conter um determinado número por um processo de eliminação.
Tente começar pelas linhas e colunas que tenham a maior quantidade de
números pré-marcados.
Evite tentativa e erro, marque os números que tiver mais certeza, deixando os
duvidosos mais para o final, pois, caso marque um errado, será difícil identificar
exatamente a partir de onde o jogo está errado.
Capítulo 10 I Sudoku
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
10.2. Exercícios Propostos
1)
Complete o mini Sudoku que segue as mesmas regras, mas os números vão de 1 a 6.
2)
Complete o sudoku a seguir:
3)
(FCC/MPU/2007) O mini Sudoku é um divertido passatempo de raciocínio lógico. É
composto de 36 quadradinhos em uma grade 6 × 6, subdividida em seis grades menores
de 2 × 3. O objetivo do jogo é preencher os espaços em branco com os números de 1 a 6,
de modo que os números colocados não se repitam nas linhas, nem nas colunas, nem
nas grades 2 × 3 e tampouco na grade 6 × 6, conforme é mostrado no exemplo que segue.
Observe que no esquema de jogo a seguir, três das casas em branco aparecem
sombreadas. Você deve completar o esquema de acordo com as regras do jogo, para
descobrir quais números deverão ser colocados nessas casas.
A soma dos números que corretamente deverão preencher as casas sombreadas é:
a) 7;
d) 13;
b) 9;
e) 15.
c) 11;
85
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
4)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(Analista de Controle Interno/SAD-PE/Cespe-UnB/2010) A tabela a seguir deve ter
todas as linhas e todas as colunas preenchidas com os algarismos de 1 a 6 de modo que
nenhum desses números ocorra repetido em uma mesma linha ou coluna.
Respeitando-se os algarismos já posicionados na tabela, assinale a opção que exibe
uma sequência numérica que, quando colocada na sexta linha, permite o preenchimento
logicamente correto de toda a tabela.
a) 2 4 6 5 1 3.
b) 3 5 6 2 1 4.
c) 5 2 6 4 1 3.
d) 4 3 6 5 1 2.
e) 2 4 6 3 1 5.
86
Capítulo 11
Lógica Quantitativa
Este capítulo envolve questões de lógica em que são necessários conhecimentos
básicos de equação do primeiro grau, regra de três simples e operações com números
reais.
REGRA GERAL: Para obter a solução de problemas utilizando dados, lembre-se:
I – A solução pode vir a ser um conjunto de equações.
II – A solução pode via a ser a solução de sistemas com 2 ou 3 variáveis.
III – A solução pode envolver critérios de divisibilidade.
IV – A solução pode envolver grandezas inversamente ou diretamente proporcionais.
V – Atenção ao enunciado e sublinhe o que a questão realmente deseja.
11.1. Exercícios Resolvidos
1)
Determine o valor numérico que representa a operação a seguir:
a)
d)
b)
e)
c)
Solução:
Podemos representar esses valores como:
2x3
+ 21 = 23.
3
Gabarito: D.
2)
Quando 1094 – 94 é desenvolvido, a soma dos seus algarismos é igual a:
a) 94;
d) 834;
b) 100;
e) 835.
c) 833;
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Solução:
1094 – 94 = 1000...0 – 94 = 999...906
94 vezes
92 vezes
Obtemos, desse modo, a lei de formação geral: 9 × 92 + 6 = 834.
Gabarito: D.
3)
(Bacen/1994) Se considerarmos que cada valor expresso
nos círculos representa a soma dos números que estão
nos dois vértices que delimitam o respectivo lado do
triângulo, a soma dos valores correspondentes aos
vértices desse triângulo será igual a:
a) 21;
d) 35;
b) 25;
e) 40.
c) 30;
Solução:
x + y = 14
x + z = 12
y + z = 16
2x + 2y + 2z = 42
Dividindo por 2, temos:
x + y + z = 21
Gabarito: A.
4)
(UFRJ/1995) Na pirâmide a seguir, para as camadas acima da base, o número
colocado em cada tijolo é a soma dos números dos dois tijolos nos quais ele se
apóia e que estão imediatamente abaixo dele.
Calcule x + y.
a) 5.
b) 9.
c) 10.
88
d) 14.
e) 18.
Capítulo 11 I Lógica Quantitativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução:
Resolvendo os sistemas obtidos a partir da lei de formação:
3x + y + 20 = 44
x + 3y + 28 = 60
3x + y = 24
x + 3y = 32
x=5
y=9
x + y = 14
Gabarito: D.
11.2. Exercícios Propostos
1)
A balança que se segue está em equilíbrio.
Sabendo-se que  = , é correto afirmar que essa balança está marcando:
a) 12 unidades de massa;
d) 21 unidades de massa;
b) 15 unidades de massa;
e) 23 unidades de massa.
c) 18 unidades de massa;
2)
Consideremos:
89
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
A quantidade:
É igual a:
a) 0,234;
b) 2,0304;
c) 2,34;
d) 23,4;
e) 234.
3)
(NCE/Agência Nacional de Águas/2001) Suponha que A, B, C
e D sejam engrenagens acopladas com 5, 30, 6 e 10 dentes,
respectivamente.
Se A faz 12 voltas por minuto, então o número de voltas por minuto
para D é:
a) 3;
b) 4;
c) 6;
d) 12;
e) 24.
4)
(Vunesp/Prefeitura de São Paulo/2005) Analise a sequência:
Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se
afirmar que a figura que ocuparia a 778a posição dessa sequência corresponde a:
a) segunda figura;
b) terceira figura;
c) quarta figura;
d) quinta figura;
e) sexta figura.
5)
90
Um caracol subindo um muro, partindo do chão, sobe 8 metros por dia. À noite, o caracol
escorrega 6 metros. Ao anoitecer do 20o dia, a subida teve fim. Qual a altura do muro?
a) 40 metros.
d) 46 metros.
b) 42 metros.
e) 48 metros.
c) 44 metros.
Capítulo 11 I Lógica Quantitativa
6)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(FCC/TRT/Auxiliar Judiciário/2006) No quadro seguinte, as letras A e B substituem as operações
que devem ser efetuadas em cada linha a fim de obter-se o correspondente resultado que se
encontra na coluna da extrema direita.
2
A
4
B
1
=
5
4
A
5
B
6
=
3
7
A
8
B
9
=
?
Para que o resultado da terceira linha seja correto, o ponto de interrogação deverá ser
substituído pelo número:
a) 10;
b) 9;
c) 8;
d) 7;
e) 6.
7)
(TRT/2011/19a Região/Técnico judiciário) A, B, C e D são números distintos. Considere
as igualdades:
A+C=D
AXB=C
C−B=B
4X A = D
Podemos concluir que:
a) A + D = 10;
b) D − C = 6;
c) AX B = 8;
d) D − A = 4;
e) C / B = 3.
8)
(TRT/2011/24a Região/Técnico judiciário) O esquema abaixo apresenta o algoritmo da
subtração de dois números naturais, em que alguns algarismos foram substituídos pelas
letras A, B, C, D e E.
A90B2
–78C9D
2E178
Os correspondentes algarismos representados por A, B, C, D e E, que tornam a diferença
correta, devem ser tais que (A − B + C − D + E)2 é igual a:
a) 9;
b) 16;
c) 25;
d) 36;
e) 49.
91
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
9)
92
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(Bahia Gás/2010/FCC/Técnico em Processos Organizacionais) Observe a sequência que
foi criada com uma lógica matemática:
7; 29; quarenta;
8; 11; vinte;
3; 31; trinta;
5; 73; oitenta;
6; 52; .......
A palavra que completa o espaço é:
a) dez;
b) vinte;
c) trinta;
d) sessenta;
e) noventa.
Capítulo 12
Lógica Argumentativa
Neste capítulo o objetivo é estabelecer uma lei de formação geral e utilizar tabelas que auxiliem na resolução das questões. Analisaremos problemas que envolvam
pessoas falando a verdade ou mentindo, descoberta do culpado em uma determinada
situação dada, entre outros problemas com raciocínios similares.
REGRA GERAL: Para obter a solução de problemas deve-se ficar atento a:
I – Deve-se fazer uma tabela de correlação associando as pessoas com tarefas, veículos, características etc.
II – trabalhar com a ideia de linha coluna e quando uma informação for verdadeira, trabalhar com a ideia de “batalha naval” (eliminar linha e coluna caso uma
informação seja verdadeira).
III – Em problemas de verdade ou mentira, na prática deve-se testar todas as hipóteses,
mas comece sempre por “A sempre diz a verdade, ou “B” sempre diz mentira”.
IV – Atenção ao enunciado e sublinhe o que a questão realmente deseja.
12.1. Exercícios Resolvidos
12.1.1. Verdade ou Mentira
1)
(Esaf/AFTN/1996) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a
lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade
e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: “Tânia é
quem está sentada no meio.” A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete.”
Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no
meio.” As que estão sentadas à esquerda, no meio e à direita são, respectivamente:
a) Janete, Tânia e Angélica;
d) Angélica, Tânia e Janete;
b) Janete, Angélica e Tânia;
e) Tânia, Angélica e Janete.
c) Angélica, Janete e Tânia;
Solução:
Faremos uma tabela com a qual analisaremos as hipóteses possíveis. A resposta
correta será aquela que não apresentar contradição. Essas tabelas devem ser construídas em função da pessoa que sempre fala a verdade.
Hipóteses:
I) Tânia está à esquerda:
•
A da esquerda diz: Tânia está no meio.
•
Já encontramos uma contradição, pois se Tânia está à esquerda e sempre
fala a verdade, ela não diria que está no meio. Marcaremos um “x”, eliminando a hipótese “Tânia à esquerda”:
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
Esquerda
Tânia (V)
Meio
ELSEVIER
Direita
x
Janete (V/F)
Angélica (F)
II) Tânia está no meio:
•
A que está no meio diz: Eu sou Janete.
•
Já encontramos novamente uma contradição, pois se Tânia está no meio
e sempre fala a verdade, ela não diria que se chama Janete. Marcaremos
um “x”, eliminando a hipótese “Tânia no meio”.
Tânia (V)
Esquerda
Meio
Direita
x
x
ok
Janete (V/F)
Angélica (F)
•
•
Concluímos, então, se Tânia não está à esquerda nem no meio, ela está à
direita.
Tânia está à direita e diz que “Angélica está no meio”. Como ela sempre fala
a verdade, realmente Angélica está no meio. Preenchendo a tabela, temos:
Tânia (V)
Esquerda
Meio
Direita
x
x
ok
Janete (V/F)
Angélica (F)
•
ok
Sendo assim, Janete está à esquerda. Preenchendo toda a tabela, temos:
Esquerda
Meio
Direita
Tânia (V)
x
x
ok
Janete (V/F)
ok
x
x
Angélica (F)
x
ok
x
Gabarito: B.
2)
94
(Capes/Analista/Cesgranrio/2008) Alberto, Bruno e Cláudio são três irmãos e
fazem as seguintes declarações: Alberto: eu sou o mais velho dos três irmãos.
Bruno: eu não sou o mais velho dos três irmãos. Cláudio: eu não sou o mais
novo dos três irmãos. Sabendo-se que apenas uma das declarações é verdadeira,
conclui-se que:
a) Alberto é mais velho do que Bruno;
b) Alberto é mais velho do que Cláudio;
Capítulo 12 I Lógica Argumentativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
c) Bruno é mais velho do que Cláudio;
d) Cláudio é mais velho do que Bruno;
e) as informações são insuficientes para que se conclua quem é o mais velho.
Solução:
Em regra, teremos que testar as hipóteses que o exercício apresenta: a que não
apresentar contradição será verdadeira, apresentando contradição será falsa. Neste
tipo de questão é útil montar uma tabela para melhor organizar o raciocínio. Veja
solução a seguir.
Resolvendo a questão acima:
Hipóteses:
I) A mente, B mente e C fala a verdade:
•
se A mente: na verdade ele não é o mais velho (marcamos um “x” na
hipótese excluída):
•
se B mente: na verdade ele é o mais velho (marcamos um “ok” na hipótese
verdadeira e “x” nas falsas);
A
B
Novo
x
Meio
x
Velho
x
ok
C
x
Considerando que C fala a verdade, completaremos a tabela:
•
se C fala a verdade: ele realmente não é o mais novo, podendo ser o mais
novo ou o do meio velho (marcamos um “x” na hipótese excluída; com
isso, percebe-se que aparecem duas possibilidades a serem preenchidas
com “ok”: C é o do meio e A é o mais novo).
A
B
C
Novo
ok
x
x
Meio
x
x
ok
Velho
x
ok
x
Gabarito: C.
12.1.2. Encontrando o Culpado
1)
Três irmãos, João, Eduardo e Ricardo, jogavam futebol quando, em dado
momento, quebraram a vidraça da sala de sua mãe. Furiosa, a mãe perguntou
quem foi o responsável.
– Foi Ricardo, disse João.
– Fui eu, disse Eduardo.
– Foi Eduardo, disse Ricardo.
Somente um dos três garotos dizia a verdade, e a mãe sabia que Eduardo estava
mentindo. Então:
95
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
a) Ricardo, além de mentir, quebrou a vidraça;
b) João mentiu, mas não quebrou a vidraça;
c) Ricardo disse a verdade;
d) não foi Ricardo que quebrou a vidraça;
e) quem quebrou a vidraça foi Eduardo ou João.
Solução:
Informação 1: Eduardo sempre mente.
Hipótese 1: Como somente um diz a verdade, arbitraremos que João diz a
verdade e Ricardo mente. Se não houver contradição, a hipótese será verdadeira.
João
Verdadeiro
Falso
Eduardo
ok
Ricardo
Quebrou a vidraça
ok (sempre mente)
Ricardo mentiu sobre Eduardo
Falso
Gabarito: A.
12.1.3. Correlação de informações
1)
(TSE/Técnico Judiciário – Área Administrativa/Cespe/2007) Três amigos – Ari,
Beto e Carlos – se encontram todos os fins de semana na feira de carros antigos.
Um deles tem um Gordini, outro tem um Sinca e o terceiro, um Fusca. Os três
moram em bairros diferentes (Buritis, Praia Grande e Cruzeiro) e têm idades
diferentes (45, 50 e 55 anos). Além disso, sabe-se que:
I. Ari não tem um Gordini e mora em Buritis;
II. Beto não mora em Praia Grande e é 5 anos mais novo que o dono do Fusca;
III. O dono do Gordini não mora em Cruzeiro e é o mais velho do grupo.
A partir das informações acima, é correto afirmar que:
a) Ari mora em Buritis, tem 45 anos de idade e é proprietário do Sinca.
b) Beto mora em Cruzeiro, tem 50 anos de idade e é proprietário do Gordini.
c) Carlos mora em Praia Grande, tem 50 anos de idade e é proprietário do
Gordini.
d) Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e é proprietário do Fusca.
Solução 1:
Para resolver este tipo de problema, construiremos 2 tabelas: a primeira é a tabela
de correlacionamento, onde devem ser cruzados todos os dados do problema. No
exercício acima, os dados a serem correlacionados são: nome, carro, bairro e idade.
Na construção da tabela de correlacionamento, as duas últimas informações
(bairros e idades) deverão ser repetidas alternadamente, de acordo com a figura
abaixo. E para cada informação, iremos completar a tabela, marcando “ok” para
informação verdadeira em relação a carro, bairro e idade e marcando “x” caso a
informação seja falsa. Preenche-se também com “x” as outras casas da mesma coluna
e linha onde tivermos escrito “ok”.
96
Capítulo 12 I Lógica Argumentativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
1a Informação: Ari não tem um Gordini e mora em Buritis.
Gordini
Sinca
Fusca
x
Ari
Buritis
Praia
Grande
Cruzeiro
ok
x
x
Beto
x
Carlos
x
45
50
55
45
50
55
Buritis
Praia
Grande
Cruzeiro
x
2a Informação: Beto não mora em Praia Grande e é 5 anos mais novo que o
dono do fusca.
•
Subentende-se que Beto não é o mais velho e não é dono do Fusca.
•
O dono do Fusca não é o mais novo.
•
O dono do Fusca só pode ser o do meio (tem 50 anos).
Gordini
Sinca
Fusca
x
Ari
Beto
x
Carlos
Buritis
Praia
Grande
ok
x
x
x
x
ok
x
ok
x
Cruzeiro
45
50
55
x
x
45
50
x
55
x
ok
x
Buritis
Praia
Grande
Cruzeiro
x
3a Informação: O dono do Gordini não mora em Cruzeiro e é o mais velho do grupo.
•
Subentende-se que Ari não é o mais velho do grupo, já que de acordo com
a primeira informação ele não é dono do Gordini.
•
Subtende-se também que Beto não é dono do Gordini, já que ele mora em
Cruzeiro.
•
De acordo com a segunda dica, Beto é mais novo que o dono do Fusca
(que tem 50 anos); logo, Beto só pode ser o mais novo.
97
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Ari
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Gordini
Sinca
Fusca
Buritis
Praia
Grande
Cruzeiro
45
50
55
x
x
ok
ok
x
x
x
ok
x
Beto
x
ok
x
x
x
ok
ok
x
x
Carlos
ok
x
x
x
ok
x
x
x
ok
45
x
ok
x
50
x
x
ok
55
ok
x
x
Buritis
Praia
Grande
Cruzeiro
x
x
x
ok
x
x
Construiremos uma tabela final que conterá as informações correlacionadas acima:
Nome
Ari
Beto
Carlos
Carro
Fusca
Sinca
Gordini
Bairro
Buritis
Cruzeiro
Praia Grande
Idade
50
45
55
Gabarito: D.
Solução 2:
Nesta solução são utilizadas também 2 tabelas, sendo a primeira tabela a principal
e a segunda de controle, seguindo o mesmo princípio de completar a tabela 1, marcando “ok” para informação verdadeira e “x” caso a informação seja falsa. Preenche-se também com “x” as outras casas da mesma coluna e linha onde tivermos escrito
“ok”. A diferença deste método para o acima será que a tabela 1 será mais resumida.
Analisando as dicas, completaremos a tabela:
1a Informação: Ari não tem um Gordini e mora em Buritis.
Gordini
Ari
Fusca
x
Buritis
Praia
Grande
Cruzeiro
ok
x
x
Beto
x
Carlos
x
Nome
Ari
Beto
Carlos
98
Sinca
Carro
Bairro
Buritis
45
50
55
Idade
Capítulo 12 I Lógica Argumentativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
2a Informação: Beto não mora em Praia Grande e é 5 anos mais novo que o
dono do Fusca.
•
Subentende-se que Beto não é o mais velho e não é dono do Fusca.
•
O dono do Fusca não é o mais novo.
•
O dono do Fusca só pode ser o do meio (tem 50 anos).
Gordini
Sinca
Fusca
x
Ari
x
Beto
Carlos
Nome
Ari
Beto
Carlos
ok
Praia
Grande
x
x
x
ok
x
ok
x
Buritis
Carro
Cruzeiro
45
50
55
x
x
Bairro
Buritis
Cruzeiro
Praia Grande
Idade
3a Informação: O dono do Gordini não mora em Cruzeiro e é o mais velho do
grupo.
•
Subentende-se que Ari não é o mais velho do grupo, já que de acordo com
a primeira informação ele não é dono do Gordini.
•
Subentende-se também que Beto não é dono do Gordini, já que ele mora
em Cruzeiro.
•
De acordo com a segunda dica, Beto é mais novo que o dono do Fusca
(que tem 50 anos); logo, Beto só pode ser o mais novo.
Gordini
Sinca
Fusca
Buritis
x
x
ok
ok
Praia
Grande
x
Beto
x
ok
x
x
Carlos
ok
x
x
x
Ari
Nome
Ari
Beto
Carlos
2)
Carro
Fusca
Sinca
Gordini
Cruzeiro
45
50
55
x
x
ok
x
x
ok
ok
x
x
ok
x
x
x
ok
Bairro
Buritis
Cruzeiro
Praia Grande
Idade
50
45
55
(CGU/Analista de Finanças e Controle/Esaf/2006) Três meninos estão andando
de bicicleta. A bicicleta de um deles é azul, a do outro é preta, a do outro é
branca. Eles vestem bermudas destas mesmas três cores, mas somente Artur está
com bermuda de mesma cor que sua bicicleta. Nem a bermuda nem a bicicleta
de Júlio são brancas. Marcos está com bermuda azul. Desse modo:
99
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
a) a bicicleta de Júlio é azul e a de Artur é preta;
b) a bicicleta de Marcos é branca e sua bermuda é preta;
c) a bermuda de Júlio é preta e a bicicleta de Artur é branca;
d) a bermuda de Artur é preta e a bicicleta de Marcos é branca;
e) a bicicleta de Artur é preta e a bermuda de Marcos é azul.
Solução:
Construindo a tabela, relacionando os dados e fazendo a tabela de controle:
Informações:
•
Artur é o único que está com bermuda de mesma cor que sua bicicleta;
•
Nem a bermuda nem a bicicleta de Júlio são brancas;
•
Marcos está com bermuda azul.
Considerando as dicas acima, a melhor para iniciar a tabela é a informação
sobre Marcos, pois é uma afirmação.
1a Informação: Marcos está com bermuda azul.
•
Subtende-se que sua bicicleta não é azul, pois as cores de bermuda e
bicicleta, para Marcos, são diferentes.
Bicicleta
Azul
Bicicleta
Preta
Bicicleta
Branca
Arthur
Bermuda
azul
Bermuda
preta
Bermuda
branca
x
x
x
Julio
x
Marcos
ok
x
Nome
Bicicleta
Bermuda
Arthur
Julio
Marcos
Azul
2a Informação: Nem a bermuda nem a bicicleta de Júlio são brancas.
Bicicleta
Azul
x
Bicicleta
Preta
Bicicleta
Branca
Julio
ok
x
x
Marcos
x
Arthur
Nome
Arthur
Julio
Marcos
100
Bicicleta
Azul
Bermuda
azul
x
Bermuda
preta
x
Bermuda
branca
ok
x
ok
x
ok
x
x
Bermuda
Branca
Preta
Azul
Capítulo 12 I Lógica Argumentativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
3a Informação: Artur é o único que está com bermuda de mesma cor que sua
bicicleta.
•
Como já sabemos que a bermuda do Arthur é branca, sua bicicleta também
é branca.
Bicicleta
Azul
Bicicleta
Preta
Bicicleta
Branca
Bermuda
azul
Bermuda
preta
Bermuda
branca
Arthur
x
x
ok
x
x
ok
Julio
ok
x
x
x
ok
x
Marcos
x
ok
x
ok
x
x
Nome
Arthur
Julio
Marcos
Gabarito: C.
Bicicleta
Branca
Azul
Preta
Bermuda
Branca
Preta
Azul
12.2. Exercícios Propostos
1)
(FCC/Auditor/2006) Três amigos têm o hábito de almoçar em um certo restaurante no
período de segunda a sexta-feira. Em cada um desses dias, pelo menos um deles almoça
nesse local. Consultados sobre tal hábito, eles fizeram as seguintes afirmações:
–
Antônio: “Não é verdade que vou às terças, quartas ou quintas-feiras.”
–
Bento: “Não é verdade que vou às quartas ou sextas-feiras.”
–
Carlos: “Não é verdade que vou às segundas ou terças-feiras.”
Se somente um deles está mentindo, então o dia da semana em que os três costumam
almoçar nesse restaurante é:
a) sexta-feira;
d) terça-feira;
b) quinta-feira;
e) segunda-feira.
c) quarta-feira;
2)
(FGV/FNDE/Especialista/2007) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de
uma delas é azul, o de outra é preto e o da outra é branco. Elas calçam sapatos dessas
mesmas cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos da mesma cor. Nem o vestido
nem o sapato de Júlia são brancos, e Márcia está com os sapatos azuis. Desse modo:
a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto;
b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos;
c) os sapatos de Júlia são pretos e o vestido de Márcia é branco;
d) o vestido de Márcia é preto e os sapatos de Ana são brancos;
e) o vestido de Ana é azul e os sapatos de Júlia são brancos.
3)
(FCC/TRF – 4a Região/2007) Certo dia, três técnicos judiciários, Abel, Benjamim e Caim,
foram incumbidos de prestar atendimento ao público, arquivar um lote de documentos
e organizar a expedição de correspondências, não respectivamente. Considere que cada
um deverá executar um único tipo de tarefa, e que, arguidos sobre qual tipo de tarefa
deveriam cumprir, deram as seguintes respostas:
101
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
–
–
–
aquele que irá atender ao público disse que Abel fará o arquivamento de documentos;
o encarregado do arquivamento de documentos disse que seu nome era Abel;
o encarregado da expedição de correspondências afirmou que Caim deverá fazer
o arquivamento de documentos.
Se Abel é o único que sempre diz a verdade, então as respectivas tarefas de Abel,
Benjamim e Caim são:
a) atendimento ao público, arquivamento de documentos e expedição de correspondências;
b) atendimento ao público, expedição de correspondências e arquivamento de documentos;
c) arquivamento de documentos, atendimento ao público e expedição de correspondências;
d) expedição de correspondências, atendimento ao público e arquivamento de documentos;
e) expedição de correspondências, arquivamento de documentos e atendimento ao público.
4)
Três amigos, Ricardo, Roberto e Renato, estão sentados, lado a lado, em um banco de
jardim. Ricardo sempre fala a verdade; Roberto às vezes fala a verdade; Renato nunca fala
a verdade. O que está sentado à esquerda do banco diz: “Ricardo é quem está no meio.” O
que está sentado no meio diz: “Eu sou Roberto.” Finalmente, o que está sentado à direita
do banco diz: “Renato é quem está sentado no meio.” Quem está sentado à esquerda do
banco, no meio e à direita respectivamente?
a) Roberto, Ricardo e Renato.
d) Renato, Ricardo e Roberto.
b) Roberto, Renato e Ricardo.
e) Ricardo, Renato e Roberto.
c) Renato, Roberto e Ricardo.
5)
(FCC/TCE-PB/Agente de Protocolo e Tramitação/2006) Sobre a mesa de um agente de
protocolo há três caixas, cada qual pintada com uma das três cores: branca, preta e
vermelha. Diariamente, ele usa uma das caixas para colocar apenas os documentos
que recebe, outra para colocar apenas os documentos que deve protocolar, e a terceira
apenas para os que deve encaminhar a outras seções do Tribunal. Certo dia, para brincar
com os seus colegas, rotulou as três caixas desta forma:
Se somente um dos rótulos dizia a verdade, então, em tal dia, os documentos recebidos,
os que deveriam ser protocolados e os que deveriam encaminhar poderiam estar,
respectivamente, nas caixas:
a) vermelha, preta e branca;
d) branca, vermelha e preta;
b) vermelha, branca e preta;
e) preta, branca e vermelha.
c) branca, preta e vermelha;
6)
102
(Esaf/AFTN/1996) Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta
ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, outro é verde e o
outro é azul. O carro de Artur é cinza, o carro de César é o Santana, o carro de Bernardo não
é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente:
a) cinza, verde, azul;
d) cinza, azul, verde;
b) azul, cinza, verde;
e) verde, azul, cinza.
c) azul, verde, cinza;
Capítulo 12 I Lógica Argumentativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
7)
Ana, Beto, Carlos e Diva moram nos bairros: Tijuca, Barra, Copacabana e Leblon (não
necessariamente nessa ordem, um em cada bairro).
Sabemos que:
•
Beto não é morador de Copacabana e Ana é amiga do(a) morador(a) da Tijuca;
•
Diva mora na Tijuca e Beto é irmão do(a) morador(a) do Leblon;
•
Carlos visita regularmente a pessoa que mora no Leblon.
Onde mora Ana?
a) Tijuca.
d) Leblon.
b) Barra.
e) Nada se pode afirmar.
c) Copacabana.
8)
(OBM/2002) Tenho três bolas: A, B e C. Pintei uma de vermelho, uma de branco e outra
de azul, não necessariamente nessa ordem. Somente uma das seguintes afirmações é
verdadeira:
–
A é vermelha;
–
B não é vermelha;
–
C não é azul.
Então:
a) A é azul, B é branca, C é vermelha;
b) A é azul, B é vermelha, C é branca;
c) A é branca, b é azul, C é vermelha;
d) A é branca, B é vermelha, C é azul;
e) A é vermelha, B é azul, C é branca.
9)
(Anpad/2003) Os carros de André, Beto e Carlos, são, não necessariamente nesta ordem,
um Gol, um Pálio e um Corsa. Um dos carros é prata, outro é branco e o outro é verde. O
carro de André é branco; o carro de Beto é o Pálio; o carro de Carlos não é verde e não
é o Gol. Então, as cores do Gol, do Pálio e do Corsa são, respectivamente:
a) branca, verde e prata;
d) verde, prata e branca;
b) prata, branca e verde;
e) verde, branca e prata.
c) prata, verde e branca;
10)
(Esaf/AFTN/1998) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo.
Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que
podem ter agido individualmente ou não.
Sabe-se ainda que:
•
se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada;
•
ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois;
•
o mordomo não é inocente.
Logo:
a) a governanta e o mordomo são culpados;
b) o cozinheiro e o mordomo são os culpados;
c) somente a governanta é culpada;
d) somente o cozinheiro é inocente;
e) somente o mordomo é culpado.
103
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
104
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
11)
(Esaf/TTN/1997) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os quatro
primeiros lugares de um concurso da oratória, julgado por uma comissão de três juízes.
Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas declarações, sendo uma
verdadeira e outra falsa:
Juiz 1 – André foi o primeiro; Beto o segundo.
Juiz 2 – André foi o segundo, Dênis foi o terceiro.
Juiz 3 – Caio foi o segundo, Dênis foi o quarto.
Sabendo que não houve empate, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados
foram, respectivamente:
a) André, Caio, Beto, Dênis;
d) André, Caio, Dênis, Beto;
b) Beto, André, Caio, Dênis;
e) Caio, Beto, Dênis, André.
c) Beto, André, Dênis, Caio;
12)
(Esaf/AFC/1998) Três irmãs, Ana, Maria e Cláudia, foram a uma festa com vestidos
diferentes. Uma vestia azul, a outra branco e a terceira, preto.
Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas:
A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco.”
A de branco falou: “Eu sou Maria.”
E a de preto disse: “Cláudia é quem está de branco.”
Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria às vezes diz a verdade
e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era
cada pessoa. As cores do vestido de Ana, Maria e Cláudia foram:
a) preto, branco, azul;
d) azul, branco, preto;
b) preto, azul, branco;
e) branco, azul, preto.
c) azul, preto, branco;
13)
(FGV/FNDE/Especialista/2007) Quatro irmãos, André, Bernardo, Carlos e Daniel, reparam
que seu pai, quando chegou em casa, colocou em cima da mesa da sala quatro bombons.
Logo ao retornar à sala, o pai viu que um dos bombons tinha desaparecido e perguntou às
crianças quem tinha sido o autor do delito.
André disse: – Não fui eu.
Bernardo disse: – Foi Carlos quem pegou o bombom.
Carlos: – Daniel é o ladrão do bombom.
Daniel: – Bernardo não tem razão.
Sabe-se que apenas um deles mentiu. Então:
a) André pegou o bombom;
b) Bernardo pegou o bombom;
c) Carlos pegou o bombom;
d) Daniel pegou o bombom;
e) não é possível saber quem pegou o bombom.
14)
Angélica, Letícia, Heloísa e Denise apostaram uma corrida.
Ângela disse: “Heloisa chegou em segundo e Denise em terceiro.”
Letícia disse: “Heloísa ganhou e eu cheguei em segundo.”
Heloísa disse: “Denise foi a última e Ângela a segunda.”
Capítulo 12 I Lógica Argumentativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Sabendo que em cada afirmação há uma verdade e uma mentira, quem chegou em último
lugar?
a) Angélica.
d) Denise.
b) Letícia.
e) Não é possível saber.
c) Heloísa.
15)
(Esaf/Fiscal do Trabalho/1998) Um crime foi cometido por uma, e apenas uma, pessoa de um
grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso.
Perguntamos sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:
Armando: “Sou inocente.”
Celso: “Edu é o culpado.”
Juarez: “Armando disse a verdade.”
Tarso: “Celso mentiu.”
Edu: “Tarso é culpado.”
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a
verdade, pode-se concluir que o culpado é:
a) Armando;
d) Juarez;
b) Celso;
e) Tarso.
c) Edu;
16)
(Esaf/Fiscal do Trabalho/1998) Três amigos, Luís, Marcos e Nestor, são casados com Teresa,
Regina e Sandra (não necessariamente nessa ordem).
Perguntamos sobre os nomes das respectivas esposas, e os três fizeram as seguintes
declarações:
Nestor: “Marcos é casado com Teresa.”
Luís: “Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina.”
Marcos: “Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra.”
Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade,
segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente:
a) Sandra, Teresa, Regina;
d) Teresa, Regina, Sandra;
b) Sandra, Regina, Teresa;
e) Teresa, Sandra, Regina.
c) Regina, Sandra, Teresa;
17)
Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C, que é
condição suficiente para a ocorrência de D.
Sabe-se também que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a
ocorrência de A. Assim, quando C ocorre:
a) D ocorre e B não ocorre;
b) D não ocorre ou A não ocorre;
c) B e A ocorrem;
d) nem B nem D ocorrem;
e) B não ocorre ou A ocorre.
105
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
106
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
18)
(FGV) Na residência assaltada, Sherlock encontrou os seguintes vestígios deixados pelos
assaltantes, que julgou serem dois, pelas marcas de sapatos deixadas no carpete:
–
um toco de cigarro;
–
cinzas de charuto;
–
um pedaço de goma de mascar;
–
um fio de cabelo moreno.
As suspeitas recaíram sobre cinco antigos empregados, dos quais se sabia o seguinte:
–
Indivíduo M: só fuma cigarro com filtro, tem cabelo moreno, não mastiga goma;
–
Indivíduo N: só fuma cigarro sem filtro e charuto, tem cabelo louro, não mastiga
goma;
–
Indivíduo O: não fuma, é ruivo, mastiga goma;
–
Indivíduo P: só fuma charuto, tem cabelo moreno, não mastiga goma;
–
Indivíduo Q: só fuma cigarro com filtro, é careca, mastiga goma.
Sherlock concluirá que o par de meliantes é:
a) M e Q;
b) N e P;
c) M e O;
d) P e Q;
e) M e P.
19)
(FGV) Os habitantes de certo país podem ser classificados em políticos e não políticos.
Todos os políticos sempre mentem, e todos os não políticos sempre falam a verdade.
Um estrangeiro, em visita ao referido país, encontra-se com três nativos, I, II e III.
Perguntando ao nativo I se ele é político, o estrangeiro recebe uma resposta que não
consegue ouvir direito. O nativo II informa, então, que I negou ser um político. Mas o
nativo III afirma que I é realmente um político.
Quantos dos três nativos são políticos?
a) Zero.
b) Um.
c) Dois.
d) Três.
e) Quatro.
20)
(Esaf/Auditor Fiscal do Trabalho/2006) Ana encontra-se à frente de três salas cujas
portas estão pintadas de verde, azul e rosa. Em cada uma das três salas encontra-se
uma, e somente uma, pessoa: em uma delas encontra-se Luís; em outra está Carla; em
outra, encontra-se Diana. Na porta de cada uma das salas existe uma inscrição, a saber:
Sala verde: “Luís está na sala de porta rosa.”
Sala azul: “Carla está na sala de porta verde.”
Sala rosa: “Luís está aqui.”
Ana sabe que a inscrição na porta da sala onde Luís se encontra pode ser verdadeira ou
falsa. Sabe, ainda, que a inscrição na porta da sala onde Carla se encontra é falsa, e que a
inscrição na porta da sala em que Diana se encontra é verdadeira. Com tais informações,
Ana conclui corretamente que nas salas de portas verde, azul e rosa encontram-se,
respectivamente:
Capítulo 12 I Lógica Argumentativa
a)
b)
c)
d)
e)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Diana, Luís, Carla;
Luís, Diana, Carla;
Diana, Carla, Luís;
Carla, Diana, Luís;
Luís, Carla, Diana.
21)
(FCC/Bacen/Analista/2006) Distinguir pensamentos, emoções e reações é um
instrumento importante para avaliar a inteligência pessoal de um indivíduo e permitir
que ele tenha uma consciência desenvolvida e eficaz de si mesmo. Considerando os
pensamentos como processos cognitivos, as emoções como resultados psicológicos e
as reações como respostas físicas, analise o seguinte fato.
Você acaba de assumir um novo trabalho e um de seus colegas está querendo deixá-lo
mal perante o chefe. O que você faria?
1 – Sentiria-se muito incomodado pela atitude de seu colega.
2 – Procuraria o chefe para uma conversa em particular.
3 – Questionaria-se se representa uma ameaça para ele.
As opções de respostas 1, 2 e 3 são respectivamente caracterizadas como:
a) pensamento, emoção e reação;
b) pensamento, reação e emoção;
c) emoção, pensamento e reação;
d) emoção, reação e pensamento;
e) reação, pensamento e emoção.
22)
(OBM/2001) Cinco animais, A, B, C, D e E, são cães ou são lobos. Cães sempre contam a
verdade e lobos sempre mentem. A diz que B é um cão. B diz que C é um lobo. C diz que
D é um lobo. D diz que B e E são animais de espécies diferentes. E diz que A é um cão.
Quantos lobos há entre os cinco animais?
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
23)
(FCC/Soldado da PM/2007) Durante a perícia feita em uma residência assaltada, foram
encontrados os seguintes vestígios que, com certeza, haviam sido deixados pelos assaltantes:
–
uma lata vazia de refrigerante;
–
uma lata vazia de cerveja;
–
um fio de cabelo loiro;
–
um toco de cigarro.
Após a realização da perícia, a polícia concluiu que os assaltantes eram apenas dois
e que eles se encontravam entre cinco suspeitos – Alceste, Boni, Calunga, Dorival e
Eufrásio – cujas características são as seguintes:
–
Alceste: só bebe refrigerante, tem cabelos loiros e não fuma;
–
Boni: bebe cerveja e refrigerante, tem cabelos pretos e não fuma;
–
Calunga: não bebe refrigerante e nem cerveja, é ruivo e fuma cigarros;
–
Dorival: só bebe cerveja, tem cabelos loiros e não fuma;
–
Eufrásio: só bebe refrigerante, é totalmente careca e fuma cigarros.
107
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Com base nas informações dadas, é correto afirmar que os assaltantes eram:
a) Alceste e Boni;
b) Dorival e Eufrásio;
c) Boni e Calunga;
d) Calunga e Dorival;
e) Alceste e Eufrásio.
108
24)
(Esaf/Sepro/Técnico/2001) Depois de um assalto a um banco, quatro testemunhas deram quatro
diferentes descrições do assaltante segundo quatro características, a saber: estatura, cor de
olhos, tipo de cabelos e usar ou não bigode.
Testemunha 1: “Ele é alto, olhos verdes, cabelos crespos e usa bigode.”
Testemunha 2: “Ele é baixo, olhos azuis, cabelos crespos e usa bigode.”
Testemunha 3: “Ele é de estatura mediana, olhos castanhos, cabelos lisos e usa bigode.”
Testemunha 4: “Ele é alto, olhos negros, cabelos crespos e não usa bigode.”
Cada testemunha descreveu corretamente uma, e apenas uma, das características
do assaltante, sendo que cada característica foi corretamente descrita por uma das
testemunhas. Assim, o assaltante é:
a) baixo, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode;
b) alto, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode;
c) baixo, olhos verdes, cabelos lisos e não usa bigode;
d) estatura mediana, olhos verdes, cabelos crespos e não usa bigode;
e) estatura mediana, olhos negros, cabelos crespos e não usa bigode.
25)
(FGV/2010/Analista Financeiro) Certo dia, três amigos fizeram, cada um deles, uma
afirmação:
Aluísio: – Hoje não é terça-feira.
Benedito: – Ontem foi domingo.
Camilo: – Amanhã será quarta-feira.
Sabe-se que um deles mentiu e que os outros dois falaram a verdade. Assinale a alternativa que indique corretamente o dia em que eles fizeram essas afirmações.
a) sábado.
b) domingo.
c) segunda-feira.
d) terça-feira.
e) quarta-feira.
26)
(Cremesp/SP/2011/Administrador de Banco de Dados) Em um hospital, os médicos
André, Ciro e Paulo ocupam as funções de cirurgião geral, ortopedista e pediatra, não
necessariamente nesta ordem. O ortopedista, que é filho único, é o mais novo dos três.
Ciro, que se casou com a irmã de André, é mais velho que o cirurgião geral. Pode-se
concluir que:
a) Paulo é o ortopedista;
b) Paulo é o cirurgião geral;
c) Ciro é o cirurgião geral;
d) Ciro é o ortopedista;
e) André é o pediatra.
Capítulo 12 I Lógica Argumentativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
27)
(Cremesp/SP/2011/Administrador de Banco de Dados) Existem quatro cartões em uma
mesa, colocados um ao lado do outro. Cada cartão tem a fotografia de uma pessoa em
uma das faces e a foto de um animal na outra. André disse: “se uma face de um cartão
tem a foto de uma mulher, então no verso há uma foto de um mamífero”. A face voltada
para cima do cartão 1 mostra a foto de uma mulher. O cartão 2 mostra a foto de um pavão, ao passo que os cartões 3 e 4 mostram respectivamente as fotos de um homem e
de uma ovelha. Para verificar a veracidade da afirmação de André é necessário apenas
que se olhe o verso dos cartões:
a) 1, 3 e 4;
d) 1 e 3;
b) 1, 2 e 3;
e) 1 e 2.
c) 1 e 4;
28)
(IPT/SP2011/Analista de Sistemas) Dados sobre um viajante excêntrico, sua bicicleta
motorizada e sua viagem.
•
A viagem é realizada em uma estrada na qual se encontram abrigos a cada 50 km.
•
Os abrigos servem exclusivamente para o viajante hospedar-se e guardar combustível.
•
O viajante percorre sempre 50 km por dia, não importando o sentido para onde vai.
•
O viajante consegue carregar, no máximo, 3 litros de combustível além do único
litro que o tanque de combustível suporta.
•
A bicicleta percorre 50 km com um único litro de combustível.
Durante a viagem, por alguma razão, o viajante quer estocar 12 litros de combustível
no abrigo que está a 100 km do seu abrigo atual. A partir desses dados, a quantidade
mínima de litros de combustível que o viajante necessitará para realizar seu intento é
a) um número múltiplo de 10 e de 3;
b) um número divisível por 2 e por 11;
c) um número primo maior que 20 e menor que 30;
d) um número maior que 50;
e) um número múltiplo de 3 e de 7.
29)
(Cremesp/SP/2011/Administrador de Banco de Dados) Sobre uma linha reta, perfeitamente alinhada com a direção Norte-Sul, um caminhante marca um ponto inicial e inicia
sua jornada rumo Norte. Caminha 1 km e inverte o sentido da caminhada. Segue dessa
maneira o dobro da distância anterior. Indeciso, inverte o sentido e novamente caminha
o dobro da etapa imediatamente anterior. Segue dessa maneira, invertendo o sentido e
caminhando o dobro da distância da etapa anterior até ter caminhado pela terceira vez no
sentido Norte. Desta feita, o caminhante inverte o sentido, como sempre, mas cansado,
caminha apenas a metade da distância da etapa imediatamente anterior. Mantém esse
novo procedimento até realizar a caminhada de 1 km, sentido Norte e para. A distância
do ponto em que o caminhante parou até o ponto inicial e o sentido em o ponto de parada
se localiza em relação ao ponto inicial são, respectivamente:
a) 6 km; Norte;
b) 8 km; Sul;
c) 12 km; Sul;
d) 12 km; Norte;
e) 16 km; Norte.
109
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
110
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
30)
(Cremesp/SP/2011/Administrador de Banco de Dados) Entre 1305 leitores dos jornais
A Manhã, A Tarde e A Noite, impressos em uma localidade, verificaram-se as seguintes
situações: entre os leitores que liam apenas um jornal, a ordem crescente de preferência
era A Noite, A Tarde e A Manhã, com a diferença de 10 leitores entre as preferências,
em um total de 480 leitores; entre os leitores que liam dois e apenas dois dos jornais, a
ordem crescente da preferência era A Manhã e A Tarde, A Manhã e A Noite e, por fim, A
Tarde e A Noite, com a diferença de 2 leitores entre as preferências, em um total de 375
leitores. A ordem crescente de preferência desses jornais, levando-se em conta todos
os leitores, é:
a) A Tarde; A Noite; A Manhã;
b) A Noite; A Manhã; A Tarde;
c) A Tarde; A Manhã; A Noite;
d) A Noite; A Tarde; A Manhã;
e) A Manhã; A Tarde; A Noite.
31)
(TRT/2011/19a Região/Técnico Judiciário) Ricardo, Mateus e Lucas são três amigos que
cursam faculdades de medicina, engenharia e direito. Cada um dos três usa um meio
diferente de transporte para chegar à faculdade: ônibus, automóvel e bicicleta. Para
descobrir o que cada um cursa e o meio de transporte que utilizam, temos o seguinte:
−
Mateus anda de bicicleta;
−
Quem anda de ônibus não faz medicina;
−
Ricardo não cursa engenharia e Lucas estuda direito.
Considerando as conclusões:
I.
Lucas vai de ônibus para a faculdade de direito.
II. Mateus estuda medicina.
III. Ricardo vai de automóvel para a faculdade.
Está correto o que consta em:
a) I, apenas;
b) III, apenas;
c) II e III, apenas;
d) I e III, apenas;
e) I, II e III.
Capítulo 13
Lógica e Problemas com Diagramas
de Euler-Venn
Quem primeiro utilizou os diagramas para estudar a validade das proposições
foi o matemático Leonhard Euler (1707-1783), procurando explicar o significado
das proposições básicas da classificação de Aristóteles. John Venn (1834-1923)
aperfeiçoou a ideia, utilizando os círculos para representar os conjuntos e
simplificando a representação, por isso, os diagramas foram denominados diagramas
de Euler-Venn.
13.1. Conjuntos
Um conjunto é uma coleção de elementos que possuem uma característica,
uma propriedade que os distingue.
Exemplo:
Conjunto dos automóveis (A).
O Fusca (a) pertence ao conjunto A.
Observe o conjunto a seguir:
–
o retângulo representa todos os meios de transporte;
–
o círculo representa todos os automóveis.
–
–
–
–
o elemento a ∈ A, ou seja, um Fusca pertence ao conjunto de automóveis;
o elemento b ∉ A, ou seja, é um meio de transporte, mas não é um automóvel;
o conjunto A é o conjunto de todos os meios de transporte que são
automóveis;
o conjunto ~A é o conjunto de todos os meios de transporte que não são
automóveis.
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
13.2. Representação Lógica com Diagramas de Euler-Venn
13.3. Argumento Bem Construído
Um argumento bem construído com três elementos é aquele em que a terceira
proposição é uma consequência inevitável das duas primeiras.
•
Todo A é B.
•
Todo B é C.
•
Logo, todo A é C.
Exemplo:
Todos os parisienses são franceses.
Todos os franceses são europeus.
Logo, todos os parisienses são europeus.
112
Capítulo 13 I Lógica e Problemas com Diagramas de Euler-Venn
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
13.4. Problemas com Dois Conjuntos
A quantidade de elementos da União desses dois conjuntos será igual ao número
de elementos de (A – B) + número de elementos de (B – A) + número de elementos
de (A ∩ B).
13.5. Propriedades de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, temos a relação geral:
I) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B);
II) se n(A ∩ B) = 0, então n(A ∪ B) = n(A) + n(B). Nesse caso os conjuntos são
ditos disjuntos;
III) o conjunto universo U pode ser igual ou diferente de n(A ∪ B).
13.6. Exercícios Resolvidos
1)
Houve um certo mês de abril em que pudemos verificar os seguintes fatos:
•
ocorreram 14 dias sem sol;
•
ocorreram 20 dias sem chuva;
•
ocorreram dois dias com sol e chuva.
Com base nas informações dadas, em quantos dias não houve sol e também
não choveu?
Solução:
– Abril = 30 dias
Logo, x + y + z + 2 = 30
x + y + z = 28
– 14 dias sem sol
x + y + z = 28
y + z = 14
x = 14
y + z = 20
14 + z = 20
z=6
Resposta: 6 dias.
113
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
2)
Em uma turma de 60 alunos, 40 gostam de Coca-Cola, 30 gostam de Pepsi e 20
gostam dos dois refrigerantes. Determine:
a) Quantos alunos só gostam de Coca-Cola?
b) Quantos alunos só gostam de Pepsi?
c) Quantos alunos gostam de Coca-Cola ou Pepsi?
d) Quantos alunos não gostam desses refrigerantes?
Solução:
a) Os que só gostam de Coca-Cola pertencem à região A – 8 e são 20 alunos.
b) Os que só gostam de Pepsi pertencem à região B – A e são 10 alunos.
c) Os que gostam de Coca-Cola ou Pepsi pertencem à União dos conjuntos, e
sabemos que será a soma de 20 + 20 + 10 = 50 alunos.
d) Os que não gostam desses refrigerantes são os que faltam para 50 (união dos
dois conjuntos) completar a turma toda (60), ou seja, 10 alunos.
Devemos, sempre que possível, começar a preencher o diagrama pela interseção
dos conjuntos, e, em seguida, subtraindo os elementos já computados, completar o
diagrama pouco a pouco.
Esse raciocínio vale também para quando forem três ou mais conjuntos, só que
o diagrama geral será:
3)
114
Em uma turma houve as seguintes reprovações no final de um ano letivo: 12
reprovados em matemática, cinco em física, oito em química, dois em matemática e
física, seis em matemática e química, três em física e química e um em matemática,
física e química. Quantos foram os alunos reprovados nessa turma?
a) 12.
d) 15.
b) 14.
e) 13.
c) 16.
Capítulo 13 I Lógica e Problemas com Diagramas de Euler-Venn
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução:
Quantidade total de reprovados:
5 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 5 = 15 alunos.
Gabarito: D.
4)
(TCE-RO/Analista/Cesgranrio/2007) Considere verdadeira a declaração: “Toda
criança gosta de brincar”.
Com relação a essa declaração, assinale a opção que corresponde a uma
argumentação correta.
a) Como Marcelo não é criança, não gosta de brincar.
b) Como Marcelo não é criança, gosta de brincar.
c) Como João não gosta de brincar, então não é criança.
d) Como João gosta de brincar, então é criança.
e) Como João gosta de brincar, então não é criança.
Solução:
Resolvendo pelo diagrama de Euler-Venn, vemos que os diagramas estão
correlacionados da seguinte forma:
A: Conjunto das crianças;
B: Conjunto de quem gosta de brincar;
C: Conjunto de quem não gosta de brincar.
Com isso, correlacionamos que “João não gosta de brincar, então não é criança”.
Gabarito: C.
5)
(TRT – 9a Região/FCC/2004) Observe a construção de um argumento:
Premissas: Todos os cachorros têm asas.
Todos os animais de asas são aquáticos.
Existem gatos que são cachorros.
Conclusão: Existem gatos que são aquáticos.
115
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que:
a) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro.
b) A não é válido, P e C são falsos.
c) A é válido, P e C são falsos.
d) A é válido, P ou C são verdadeiros.
e) A é válido se P é verdadeiro e C é falso.
Solução:
Construindo os diagramas das premissas:
aquáticos
Com asas
Cachorros
gatos
Gabarito: C.
6)
(Esaf/TCU/1999) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo
artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e
não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente:
a) todo responsável é artista;
b) todo responsável é filósofo ou poeta;
c) todo artista é responsável;
d) algum filósofo é poeta;
e) algum trabalhador é filósofo.
Solução:
Responsáveis
Artistas
Trabalhadores
Artistas
Filósofos
Gabarito: C.
116
Artistas
Poetas
Capítulo 13 I Lógica e Problemas com Diagramas de Euler-Venn
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
7)
(Esaf/MPOG/2002) Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade
de colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os
amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos
de Hélcio:
a) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram
ao casamento de Hélio;
b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio;
c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao
casamento de Hélio;
d) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao
casamento de Hélio;
e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao
casamento de Hélio.
Solução:
Construiremos um diagrama correspondente a cada premissa:
p1: Todos os que foram à formatura foram ao casamento.
casamento
formatura
p2: Nem todos os amigos foram ao casamento.
casamento
amigo
formatura
amigo
Conclusão: pelos diagramas acima podemos verificar que a alternativa correta é a B.
Gabarito: B.
117
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
8)
(CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa,
do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a) pelo menos um economista não é médico;
b) nenhum economista é médico;
c) nenhum médico é economista;
d) pelo menos um médico não é economista;
e) todos os não médicos são não economistas.
Solução:
Esta questão pode ser solucionada de 2 maneiras:
I) Pelo Quantificador Universal:
Negação de todos = pelo menos um, algum.
II) Pelo Diagrama de Euler-Venn:
Economistas
Médicos
Observamos que pelo menos um economista não é médico.
Observação: A doutrina mais típica para este tipo de questão é a solução I, pois ele
diz que a afirmativa é falsa e pede a verdadeira (negação). Nesta questão, as duas
doutrinas se equivalem, o que nem sempre ocorre.
Gabarito: A.
9)
(Serpro/Esaf/2001) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de
inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de
português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática
são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno
de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:
a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês;
b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história;
c) nenhum aluno de português é aluno de matemática;
d) todos os alunos de informática são alunos de matemática;
e) todos os alunos de informática são alunos de português.
Solução:
Pelos diagramas de Euler-Venn:
118
Capítulo 13 I Lógica e Problemas com Diagramas de Euler-Venn
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Inglês
Informática
História
Matemática
Português
Gabarito: C.
10) (REFAP AS/Analista Júnior/Cesgranrio/2007) Considere verdadeiras as afirmativas a seguir.
I – Alguns homens gostam de futebol.
II – Quem gosta de futebol vai aos estádios.
Com base nas afirmativas acima, é correto concluir que:
a) Todos os homens vão aos estádios.
b) Apenas homens vão aos estádios.
c) Há homens que não vão aos estádios.
d) Se um homem não vai a estádio algum, então ele não gosta de futebol.
e) Nenhuma mulher vai aos estádios.
Solução:
Este tipo de questão deve ser resolvida pelo diagrama de Euler-Venn. As afirmações feitas são:
Alguns homens gostam de futebol.
Quem gosta de futebol vai aos estádios.
De acordo com as afirmações acima, podemos observar que pode haver dois
diagramas diferentes possíveis para a questão:
O conjunto dos homens pode não estar todo contido no conjunto estádio.
(Diagrama 1);
O conjunto dos homens pode estar todo contido no conjunto estádio. (Diagrama 2),
estádio
futebol
Diagrama 1
estádio
homens
futebol
homens
Diagrama 2
119
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Analisando as alternativas apresentadas pela questão juntamente com os diagramas, temos que:
a) Todos os homens vão aos estádios.
Incorreta, não é possível afirmar, pois, de acordo com o diagrama 1, pode haver
homens que não vão ao estádio.
b) Apenas homens vão aos estádios.
Incorreta, pois não podemos obter esta conclusão.
c) Há homens que não vão aos estádios.
Incorreta, pois não podemos afirmar isto com certeza, já que pelo diagrama 2
o conjunto dos homens pode estar todo contido no conjunto estádio.
d) Se um homem não vai a estádio algum, então ele não gosta de futebol.
Correta, esta alternativa pode ser afirmada com certeza, pois o conjunto futebol
está todo contido no conjunto estádio, ou seja, nos dois diagramas não é possível
que se intercepte o conjunto futebol sem interceptar o conjunto estádio. Logo,
se alguém não vai a estádio algum, certamente não gosta de futebol.
e) Nenhuma mulher vai aos estádios.
Incorreta, pois não podemos obter esta conclusão.
Gabarito: D.
11) (Agente Censitário Supervisor/IBGE/Cesgranrio/2009) Admita como verdadeiras as seguintes declarações:
•
todo matemático sabe física;
•
há médicos que não sabem física.
Com base nestas declarações, é correto concluir que há:
a) médicos que não são matemáticos;
b) médicos que são matemáticos;
c) médicos que sabem física;
d) físicos que são matemáticos;
e) físicos que são médicos.
Solução:
Desenhando os diagramas, percebemos que o conjunto de médicos pode estar
de 3 modos diferentes:
1) Pode estar totalmente fora do conjunto de matemáticos:
matemático
Física
120
médicos
Capítulo 13 I Lógica e Problemas com Diagramas de Euler-Venn
2)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Pode estar interceptando o conjunto de matemáticos, sem atingir o conjunto
de física:
matemático
Física
3)
médicos
Pode estar interceptando o conjunto de matemáticos, atingindo o conjunto de
física:
matemático
Física
médicos
Analisando os diagramas em conjunto com as alternativas, percebemos que a
única que pode ser afirmada em todos os 3 diagramas desenhados é a alternativa A,
que diz que há médicos que não são matemáticos.
Gabarito: A.
13.7. Exercícios Propostos
1)
(FCC/Auditor/2006) Sobre os 26 turistas que se encontram em um catamarã, sabe-se que:
–
75% dos brasileiros sabem nadar;
–
20% dos estrangeiros não sabem nadar;
–
apenas oito estrangeiros sabem nadar.
Nessas condições, do total de turistas a bordo, somente:
a) 10 brasileiros sabem nadar;
d) 18 são brasileiros;
b) 6 brasileiros não sabem nadar;
e) 6 não sabem nadar.
c) 12 são estrangeiros;
2)
(TRT – 24a Região/2003) Em uma papelaria, o preço de certo tipo de caneta é o triplo do
preço de certo tipo de lapiseira. Uma pessoa comprou seis dessas canetas e algumas
dessas lapiseiras e, ao receber a conta para pagar, verificou que os números de canetas
e lapiseiras pedidos haviam sido trocados, acarretando com isso um aumento de 50%
sobre o valor a ser pago. O número de lapiseiras compradas era:
a) 6;
d) 12;
b) 8;
e) 14.
c) 10;
121
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
122
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
3)
(NCE/Ministério das Cidades/2005) Em futebol, se um jogo tem um vencedor, este ganha
3 pontos e o perdedor não ganha ponto algum. Se há empate, cada time ganha 1 ponto.
Um torneio de futebol foi disputado por N times em turno e returno, ou seja, cada time
jogou duas vezes com cada um dos outros. Ao final do campeonato, constatou-se que 25%
das partidas terminaram empatadas. Assinale o item que não indica um valor possível
para N, o número de times do campeonato.
a) 4.
d) 9.
b) 5.
e) 10.
c) 8.
4)
(NCE/Eletronorte/2005) De cada 1.000 habitantes de uma vila, 60 são canhotos. Nessa
vila, quatro de cada dez habitantes são do sexo feminino. Na vila, há um total de 125
pessoas canhotas do sexo feminino e 169 do sexo masculino. O número total de pessoas
do sexo masculino que não são canhotas, nessa vila, é igual a:
a) 1.769;
d) 2.654;
b) 1.956;
e) 2.771.
c) 2.003;
5)
(Cesgranrio/2005) Entre os funcionários de uma empresa, há 200 mulheres e 180 homens.
O presidente dessa empresa resolveu aumentar o número de mulheres em 5% e diminuir
o número de homens em 10%. Depois dessa alteração, o total de funcionários será:
a) 354;
d) 369;
b) 362;
e) 372.
c) 366;
6)
(Cesgranrio/ANP/2005) Uma refinaria vende 20% de sua produção de gasolina para
distribuidoras do estado de São Paulo. Do restante da produção, 60% são vendidos para
distribuidoras da Região Sul. O que sobra é comprado por distribuidoras da Região
Centro-Oeste. O percentual da produção de gasolina dessa refinaria destinado à Região
Centro-Oeste é de:
a) 24%;
d) 40%;
b) 32%;
e) 44%.
c) 36%;
7)
(Anpad/2003) O peso de Ana é o dobro do peso de Bia. Bia pesa 70% do peso de Cléo.
Deise pesa 60% do peso de Eli. Eli pesa 150% do peso de Ana. Quem pesa menos é:
a) Ana;
d) Deise;
b) Bia;
e) Eli.
c) Cléo;
8)
Em um colégio, verificou-se que 120 alunos não têm pai professor, 130 alunos não têm
mãe professora e 5 alunos têm pai e mãe professores. Qual o número de alunos do
colégio, sabendo que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e que não
existem alunos irmãos?
a) 140;
d) 155;
b) 145;
e) 235.
c) 135;
Capítulo 13 I Lógica e Problemas com Diagramas de Euler-Venn
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
9)
(NCE-UFRJ/Anac/2007) Se nem todo Sclok é Ploc; todo Ploc é Splash, mas há Splash que
não é Ploc. Então:
a) todo Splash é Ploc;
d) quem não é Splash não é Sclok;
b) nem todo Sclok é Splash;
e) quem não é Ploc não é Splash.
c) todo Sclok que é Ploc é Splash;
10)
(Técnico/TCE/RO/Cesgranrio/2007) Considere verdadeira a declaração: “Todo rondoniense conhece a cidade de Porto Velho”. Com base nessa declaração, assinale a opção
que corresponde a uma argumentação correta.
a) Ana não conhece Porto Velho, portanto não é rondoniense.
b) Bruna conhece Porto Velho, portanto não é rondoniense.
c) Cláudia conhece Porto Velho, portanto é rondoniense.
d) Dora não é rondoniense, portanto não conhece Porto Velho.
e) Elisa não é rondoniense, portanto conhece Porto Velho.
11)
(TRT-8a Região/2010/Técnico Judiciário) Em certo planeta, todos os Aleves são Bleves,
todos os Cleves são Bleves, todos os Dleves são Aleves, e todos os Cleves são Dleves.
Sobre os habitantes desse planeta, é correto afirmar que:
a) Todos os Dleves são Bleves e são Cleves;
b) Todos os Bleves são Cleves e são Dleves;
c) Todos os Aleves são Cleves e são Dleves;
d) Todos os Cleves são Aleves e são Bleves;
e) Todos os Aleves são Dleves e alguns Aleves podem não ser Cleves.
12)
(IPT/SP/2011/Analista de Sistemas) Em uma cidade, há 4 clubes. Em relação ao número
de sócios, dois dos clubes são maiores: o clube X e o clube Y. Os clubes menores, em
relação ao número de sócios, são os clubes Z e W. Todos os sócios dos clubes Z e W são
também e, respectivamente, sócios dos clubes X e Y. Há pessoas que são sócias dos dois
clubes menores ao mesmo tempo e outras, que não, sendo sócias de Z e não de W, sendo
também sócias de W e não de Z. A maioria dos sócios do clube X é apenas deste clube.
O mesmo ocorre em relação à maioria dos sócios do clube Y. Há apenas uma pessoa
que faz parte dos dois últimos grupos definidos. A representação, por diagramas, que
satisfaz essas condições é:
a)
d)
b)
e)
c)
123
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
13)
(IPT-SP/2011/Analista de Sistemas) Existem momentos na vida em que eu grito e não
choro. Do ponto de vista lógico, a negação da frase anterior é:
a) Existem momentos na vida em que eu não grito e choro.
b) Em qualquer momento na vida eu não grito ou choro.
c) Em todos os momentos na vida eu grito ou não choro.
d) Em alguns momentos na vida eu não grito e não choro.
e) Em todos momentos na vida eu não grito e não choro.
14)
(IPT-SP/2011/Analista de Sistemas) Observe os exemplos das relações que esta representação admite. Ser um TRAL é pertencer à região indicada por esse nome. Um
elemento pode ser TRAL e TROL, simultaneamente. Muitos TROL são TREL.
A frase que é falsa por não ter suporte na representação é:
a) Todo TRIL que é TREL, é TROL também;
b) Existe TRIL que é TRAL e que não é TROL;
c) Há TROL que é TREL e TRIL;
d) Algum TREL é TRIL e não é TROL;
e) Todo TRIL que é TRAL não é TROL.
15)
124
(INPI/2009/NCE/Técnico em Propriedade Industrial) Num país fictício, sabe-se que nenhum
policial é corrupto e que alguns deputados são corruptos. Baseado nestes dados, pode-se
afirmar que neste país ocorre, necessariamente, que:
a) Pelo menos um deputado é policial;
b) Nenhum deputado é policial;
c) Pelo menos um policial é deputado;
d) Nenhum policial é deputado;
e) Pelo menos um deputado não é policial.
Capítulo 14
Ramificações Lógicas e Portas
Mágicas
É muito comum a aplicação deste princípio em probabilidade. No caso de lógica
matemática, vamos aplicar esse princípio na vertical, que em geral apresenta um
modo mais fácil de verificar a solução do problema.
14.1. Exercício Resolvido
Um homem tem três filhas, cada filha tem dois gatos, e cada gato tem dois
gatinhos. Quantos animais têm ao todo?
Solução:
Pela representação dessa ramificação, analisa-se o número de elementos linha
a linha.
•
Linha 1 – 1 homem;
•
Linha 2 – 3 filhas;
•
Linha 3 – 2 × 3 = 6 gatos;
•
Linha 4 – 3 × 2 × 2 = 12 gatinhos.
Somando-se gatos e gatinhos, temos 18 animais.
14.2. Exercícios Propostos
1)
(NCE/Ministério das Cidades/2005) Se cada gato tem sete vidas e, em nossa vila, para
cada gato há quatro cachorros, cada um dos quais só vive uma vez, então se há sete gatos
na vila, qual é a quantidade total de vidas de gatos e cachorros na vila?
a) 34;
d) 77;
b) 49;
e) 196.
c) 58;
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
2)
(Olimpíada de Matemática/Rio Preto/2005) “Quando ia a Santo Ives, encontrei um homem
com sete mulheres, cada mulher tinha sete sacos, cada saco tinha sete gatos, cada gato
tinha sete gatinhos.”
Gatinhos, gatos, sacos e mulheres, quantos iam a Santo Ives?
a) 74+73+72+7+2.
b) 73+72+7+7).
c) (74+73+72).7.
d) (74+73+72+7).7.
e) 74+73+72+7.
3)
Se todos foram a Santo Ives, quantos foram?
a) 74+73+72+7+2.
b) 73+72+7+7).
c) (74+73+72).7.
d) (74+73+72+7).7.
e) 74+73+72+7.
14.3. Portas Mágicas
Neste modelo vamos considerar que todas as portas estão inicialmente abertas
e temos uma fileira com k portas.
Exemplo:
fila 1 – uma porta
fila 2 – duas portas
fila 3 – três portas
(...)
fila k – k portas
126
Capítulo 14 I Ramificações Lógicas e Portas Mágicas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
14.3.1. Hipóteses do Modelo
•
•
•
•
Inicialmente, todas as portas estão fechadas.
Ao passar por cada fila, reverte-se o estado (aberta/fechada) da porta em função
de seus múltiplos, ou seja, na fila 2 com 10 portas, reverte-se o estado das portas
pares; na fila 3 com 10 portas, reverte-se o estado das portas múltiplos de 3.
Este modelo tem como objetivo descobrir o número de portas abertas ao se
passar pela última fila com k portas.
Regra geral: se inicialmente as portas estão fechadas e pede-se o número de
portas abertas, de acordo com o modelo acima, podemos obter a relação geral:
o total de portas abertas (k) no processo está relacionado com o total de portas
na fila (k2). Veja a tabela abaixo:
Total de portas: k2
12
22
32
42
52
Portas abertas: k
1
2
3
4
5
k2
k
Exemplificando, no caso da fila ter 16 portas, o número de portas abertas será
4. Caso a fila tenha 40 portas, devido a não ser da forma k2, o número de portas
abertas é menor quadrado perfeito menor que ele. Sendo assim, no caso de 40 portas, o menor quadrado perfeito antes dele é o 36, ou seja, teremos 6 portas abertas.
14.4. Exercício Resolvido
1)
Em uma escola, ao longo de um corredor estão enfileiradas quatro portas
numeradas de 1 a 4. O aluno número 1 passa pelo corredor e abre todas as
portas; em seguida, o aluno número 2 passa e fecha todas as portas de número
par; depois passa o aluno número 3 e inverte a posição das portas múltiplas
de 3, isto é, ele as fecha se estiverem abertas e as abre se estiverem fechadas.
Depois, é a vez do aluno de número 4, o último, que inverte a posição das portas
múltiplas de 4. Pergunta-se: quantas portas ficaram abertas?
Solução:
Início: todas fechadas.
Aluno 1: abre todas as portas.
Aluno 2: reverte as pares (as portas abertas são fechadas).
127
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Aluno 3: reverte os múltiplos de 3 (as portas abertas ficam fechadas e vice-versa).
Aluno 4: reverte os múltiplos de 4.
Conclusão: 2 portas abertas.
14.5. Exercícios Propostos
1)
Numa escola, ao longo de um corredor comprido, estão enfileirados 1.000 armários
numerados consecutivamente de 1 a 1.000 com as suas portas fechadas. 1.000 alunos da
escola, também numerados de 1 a 1.000, resolveram fazer a seguinte brincadeira:
O aluno número 1 passa pelo corredor e abre todos os armários; em seguida, o aluno
número 2 passa e fecha todos os armários de número par; depois passa o aluno número 3
e inverte a posição das portas de todos os armários múltiplos de 3, isto é, ele os fecha se
estiverem abertos e os abre se estiverem fechados. Depois, é a vez do aluno de número
4, e assim sucessivamente.
Após a passagem dos 1.000 alunos, considere as afirmativas:
(I – O número de armários que ficarão abertos é 31.
(I – Os alunos cujos números são primos fecharão apenas 1 porta.
(II – Os alunos cujos números são quadrados perfeitos abrirão apenas 1 porta.
(III – O número do último armário que ficará aberto é 961.
Então:
a) todas estão corretas;
b) apenas 1 é falsa;
c) duas são falsas;
d) apenas 1 é correta;
e) todas são falsas.
128
Capítulo 14 I Ramificações Lógicas e Portas Mágicas
2)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(FCC/TRF/Analista/2004) Em um corredor há 30 armários, numerados de 1 a 30,
inicialmente todos fechados. Suponha que 30 pessoas, numeradas de 1 a 30 passem
sucessivamente por esse corredor, comportando-se da seguinte maneira:
A pessoa de número k reverte o estado de todos os armários cujos números são múltiplos
de k. Por exemplo, a de número 3 reverte o estado dos armários de números 3, 6, 9, 12,
..., 30, abrindo os que encontra fechados e fechando os que encontra abertos. Nessas
condições, após todas as pessoas passarem uma única vez pelo corredor, o total de
armários que estarão abertos é:
a) 4;
b) 5;
c) 6;
d) 7;
e) 8.
129
Capítulo 15
Calendários e Torre de Hanói
Este capítulo tem como objetivo a resolução de problemas envolvendo datas
diversas, anos bissextos, questões do tipo “em que dia da semana caiu o Natal de
determinado ano”, entre outros.
15.1. Ano bissexto
Ano bissexto é o ano em que o mês de fevereiro tem 29 dias, em vez de 28. Isto
ocorre porque cada ano tem 365 dias e 6 horas. Estas 6 horas acumuladas ao longo
de 4 anos somam 24 horas, ou seja, 1 dia a mais que é acrescentado em fevereiro.
15.1.1. Cálculo do ano bissexto
I)
Os anos que terminam em 00 são bissextos caso sejam divisíveis por 400.
Exemplo:
1600 ÷ 400 = 4 (é divisível por 400, logo, é bissexto)
1800 ÷ 400 = a divisão não é exata, logo, não é bissexto.
II)
Os anos que não terminam em 00 são bissextos caso sejam divisíveis por 4.
Exemplos: 2008 (é bissexto), 2010 (não é bissexto).
Obs.: Um número é divisível por 4 se a sua dezena é divisível por 4. Exemplo: 2012 –
dezena 12. 12 é divisível por 4.
15.2. Exercícios Resolvidos
1)
(Agente Censitário Supervisor/IBGE/Cesgranrio/2009) Os anos bissextos têm
366 dias, um a mais do que aqueles que não são bissextos. Esse dia a mais é colocado sempre no final do mês de fevereiro, que, nesses casos, passa a terminar
no dia 29. Certo ano bissexto começou em uma segunda-feira. O primeiro dia
do mês de março foi um(a):
a) domingo.
d) quinta-feira.
b) sábado.
e) quarta-feira.
c) sexta-feira.
Capítulo 15 I Calendários e Torre de Hanói
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução:
Para determinarmos o dia da semana que caiu determinado dia do mês, devemos:
I)
dividir o número de dias do mês pelo número de dias da semana, guardando o
resto da divisão. Na questão, o total de dias dos meses de janeiro e fevereiro de
um ano bissexto é 31 + 29 = 60. Dividindo este total por 7, temos 60 ÷ 7 = 8, com
resto 4. O resto obtido dessa divisão representa quantos dias terão de diferença
entre o dia que começou o mês e o dia que terminou.
II) pegamos agora o dia da semana considerado como o início da questão (no caso
01/01 foi segunda-feira) e somamos o resto ao dia da semana. Na questão, temos
segunda-feira mais o resto 4, chegamos a sexta-feira. Podemos então afirmar
que na questão proposta, o dia 01/03 caiu em uma sexta-feira.
Gabarito: C.
2)
(TermoMacaé/Técnico de Contabilidade/Cesgranrio/2009) O ano de 2009
começou em uma quinta-feira. Se durante este ano não existissem domingos, as
semanas teriam apenas 6 dias. Nesse caso, se janeiro continuasse a ter 31 dias,
o dia 1o de fevereiro de 2009 não teria caído em um domingo e sim em uma:
a) segunda-feira;
b) terça-feira;
c) quarta-feira;
d) quinta-feira;
e) sexta-feira.
Solução:
A questão acima considerou uma semana de 6 dias (pois excluiu o domingo)
e um mês de 31 dias.
Para determinarmos o dia da semana que caiu determinado dia do mês, devemos:
I)
dividir o número de dias do mês pelo número de dias da semana, guardando o
resto da divisão. Na questão, temos 31 ÷ 6 = 5, com resto 1. O resto obtido dessa
divisão representa quantos dias terão de diferença entre o dia que começou o
mês e o dia que terminou.
II) pegamos agora o dia da semana considerado como o início da questão (no caso
01/01/2009 foi quinta-feira) e somamos o resto ao dia da semana. Na questão,
temos quinta-feira mais o resto 1, chegamos a sexta-feira. Podemos então afirmar
que na questão proposta, o dia 01/01/2009 caiu em uma sexta-feira.
Se a questão considerasse a semana com 7 dias, teríamos: 31 ÷ 7 = 4, resto 3.
Sendo assim, considerando que o mês começou na quinta-feira, somando os 3
dias de resto, chegamos a domingo. Podemos então afirmar que nesse caso, o dia
01/01/2009 caiu no domingo.
Gabarito: E.
131
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
3)
(Analista/Bacen/Cesgranrio/2010) O mês de fevereiro de um ano bissexto só
terá cinco sábados se começar em um(a):
a) sábado;
d) quinta-feira;
b) domingo;
e) sexta-feira.
c) quarta-feira;
Solução:
O número de semanas completas que fevereiro terá pode ser obtido dividindo
o número de dias (29) pelo número de dias da semana (7):
29 ÷ 7 = 4 com resto 1. Sendo assim, fevereiro de um ano bissexto tem 4 semanas e 1 dia.
Para termos 5 sábados neste mês, é necessário que o dia a mais seja sábado.
Logo, o mês deve começar no sábado.
Gabarito: A.
4)
(Prominp/Técnico/Cesgranrio/2009) A figura ilustra o calendário do mês de
outubro de um certo ano bissexto.
Dom Seg
Ter Qua Qui
Sex
4
11
18
25
7
14
21
28
Sáb
1
2
9
16
23
3
10
17
24
30
31
5
12
19
26
6
13
20
27
8
15
22
29
É correto afirmar que o primeiro dia desse ano caiu em uma:
a) quarta-feira;
d) sábado;
b) quinta-feira;
e) domingo.
c) sexta-feira;
Solução:
Outubro: 31 dias
Novembro: 30 dias
Dezembro: 31 dias
Total: 92 dias
Dividindo o total por 7, temos:
92 ÷ 7 = 13 com resto 1
Isso significa que se 01/10 do ano em questão caiu no sábado, 01/01 do ano
subsequente cairá no domingo. Entretanto, a questão pergunta que dia caiu 01/01
do ano em questão. Como este ano é bissexto, devemos voltar 2 dias. Logo, será
sexta-feira.
Gabarito: C.
132
Capítulo 15 I Calendários e Torre de Hanói
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
15.3. Exercícios Propostos
1)
(Analista/Capes/Cesgranrio/2008) Observando o calendário de um certo ano, Gabriel
percebeu que havia dois meses consecutivos que totalizavam 60 dias. Se esse ano começa
em uma segunda-feira, então termina em uma:
a) segunda-feira;
b) terça-feira;
c) quarta-feira;
d) quinta-feira;
e) sexta-feira.
2)
(Analista/Funasa/Cesgranrio/2009) Certo ano, houve uma sexta-feira 13 no mês de abril.
A sexta-feira 13 seguinte, nesse ano, ocorreu no mês de:
a) maio;
d) agosto;
b) junho;
e) setembro.
c) julho;
3)
(Refap S.A./Analista Júnior/Cesgranrio/2007) Os anos bissextos têm, ao contrário dos
outros anos, 366 dias. Esse dia a mais é colocado sempre no final do mês de fevereiro,
que, nesses casos, passa a terminar no dia 29. O primeiro dia de 2007 caiu em uma
segunda-feira. Sabendo que 2007 não é ano bissexto, mas 2008 será, em que dia da
semana começará o ano de 2009?
a) Terça-feira.
b) Quarta-feira.
c) Quinta-feira.
d) Sexta-feira.
e) Sábado.
4)
(Agente Fiscal de Rendas/Sefaz-SP/FCC/2009) No período de 2010 a 2050, os anos
bissextos (isto é, aqueles com 366 dias) são todos aqueles divisíveis por 4. Sabendo que
2010 terá 53 sextas-feiras, o primeiro ano desse período em que o dia 1o de janeiro cairá
numa segunda-feira será:
a) 2013;
d) 2018;
b) 2014;
e) 2019.
c) 2016;
5)
(Analista/TermoMacaé/Cesgranrio/2009) Como o ano de 2009 não é bissexto, ou seja, tem 365
dias, houve um dia que caiu exatamente no “meio” do ano. Assim, as quantidades de dias do
ano de 2009 antes e depois dessa data são iguais. Esse data foi:
a) 30 de junho;
b) 1 de julho;
c) 2 de julho;
d) 3 de julho;
e) 4 de julho.
133
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
6)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(FCC/2010/TCE-SP/Agente da Fiscalização Financeira) Sabe-se que, no ano de 2004 o
mês de fevereiro teve 5 domingos. Isso acontecerá novamente no ano de:
a) 2018;
d) 2032;
b) 2020;
e) 2036.
c) 2024;
15.4. Torre de Hanói
A Torre de Hanói é um dos quebra-cabeças matemáticos mais populares) As
peças são discos de tamanhos diferentes e todos com um furo em seu centro e três
pinos onde são colocados os discos. Inicialmente os discos formam uma torre onde
todos são colocados em um dos pinos em ordem decrescente de tamanho.
Deve-se transferir toda a torre para um dos outros pinos de modo que cada
movimento é feito somente com um disco, nunca havendo um disco maior sobre
um disco menor. A dificuldade do jogo aumenta à medida que a quantidade de
discos aumenta. Como exemplo, observe que, se a quantidade de discos for igual
a 1, basta somente um movimento para transferir o disco de um pino para outro.
Agora, se a quantidade de discos for igual a dois, é preciso fazer, no mínimo,
três movimentos. Observe:
Para n = 3 discos tem-se 7 movimentos.
134
Capítulo 15 I Calendários e Torre de Hanói
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Regra geral: O mínimo de movimentos para resolver o problema da torre de
Hanói com n discos é representada por:
Tn = 2n – 1
Assim:
N = 4 discos tem-se 15 movimentos, pois T4 = 24 –1 = 15
N = 5 discos tem-se 31 movimentos, pois T5 = 25 –1 = 31
15.5. Exercícios Propostos
1)
(Ceperj/2011/Prof. de Matemática/Itaboraí) A Torre de Hanói é um dos quebra-cabeças
matemáticos mais populares. As peças são discos de tamanhos diferentes e todos com
um furo em seu centro e três pinos onde são colocados os discos. Inicialmente os discos
formam uma torre onde todos são colocados em um dos pinos em ordem decrescente
de tamanho.
Deve-se transferir toda a torre para um dos outros pinos de modo que cada movimento
é feito somente com um disco, nunca havendo um disco maior sobre um disco menor. A
dificuldade do jogo aumenta à medida que a quantidade de discos aumenta. Como exemplo, observe que, se a quantidade de discos for igual a 1, basta somente um movimento
para transferir o disco de um pino para outro.
Agora, se a quantidade de discos for igual a dois, é preciso fazer, no mínimo, três movimentos. Observe:
A quantidade mínima de movimentos para o caso de 4 discos é:
a) 7;
b) 9;
c) 11;
d) 13;
e) 15.
135
Capítulo 16
Palitos de Fósforo e Quadrado Latino
Milenarmente, quebra-cabeças envolvendo palitos de fósforo fazem parte da
cultura popular chinesa. Esses jogos são conhecidos também com o nome inglês
de puzzles.
16.1. Considerações Importantes
•
•
Deslocar um palito de fósforo significa mudá-lo de posição sem alterar o número
de palitos.
Retirar ou acrescentar um palito de fósforo significa que o arranjo terá (n – 1)
ou (n + 1) palitos, respectivamente.
16.2. Exercícios Resolvidos
1)
Observe a figura abaixo, composta de 12 palitos.
Qual é o mínimo de palitos que se deve mover para obtermos 3 quadrados?
a) 1.
d) 4.
b) 2.
e) 5.
c) 3.
Solução:
Observe os palitos que devem ser movidos:
Gabarito: C.
Capítulo 16 I Palitos de Fósforo e Quadrado Latino
2)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Observe a figura abaixo, composta de 12 palitos.
Qual é o mínimo de palitos que se deve mover para obtermos 3 quadrados?
a) 1.
d) 4.
b) 2.
e) 5.
c) 3.
Solução:
Gabarito: E.
3)
Observe a figura abaixo, composta de 15 palitos.
Qual é o mínimo de palitos que se deve mover para obtermos 5 quadrados?
a) 1.
d) 4.
b) 2.
e) 5.
c) 3.
Solução:
Gabarito: B.
16.3. Exercícios Propostos
1)
(FCC/TRF/Analista/2004) Uma pessoa distrai-se usando palitos para construir hexágonos
regulares, na sequência mostrada nesta figura:
137
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Se ela dispõe de uma caixa com 190 palitos e usa a maior quantidade possível deles para
construir os hexágonos, quantos palitos restarão na caixa?
a) 2.
d) 16.
b) 4.
e) 31.
c) 8.
2)
(FCC/TRF/Técnico Administrativo/2004) Movendo alguns palitos de fósforo da Figura I,
é possível transformá-la na Figura II:
O menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é:
a) 3;
d) 6;
b) 4;
e) 7.
c) 5;
3)
Qual é o menor número de palitos que devemos mover para tornar a igualdade
verdadeira?
a) 1.
b) 2.
c) 3.
4)
d) 4.
e) 5.
Movendo alguns palitos de fósforo da figura, é possível transformá-la em uma afirmação
verdadeira:
O menor número de palitos de fósforo que devem ser movidos para fazer tal transformação é:
a) 1;
d) 4;
b) 2;
e) 5.
c) 3;
138
Capítulo 16 I Palitos de Fósforo e Quadrado Latino
5)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguinte sucessão de
figuras compostas por triângulos:
Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura composta de 25
triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados é:
a) 45;
d) 57;
b) 49;
e) 61.
c) 51;
6)
(OBM/2004) O arranjo a seguir, composto por 32 hexágonos, foi montado com varetas,
todas com comprimento igual ao lado do hexágono. Quantas varetas, no mínimo, são
necessárias para montar o arranjo?
a) 113.
b) 123.
c) 122.
7)
d) 132.
e) 152.
(FCC/TRT–8a Região/Analista Judiciário/2010) Um triângulo equilátero grande será
construído com palitos a partir de pequenos triângulos equiláteros congruentes e dispostos em linhas. Por exemplo, a figura descreve um triângulo equilátero grande (ABC)
construído com quatro linhas de pequenos triângulos equiláteros congruentes (a linha
da base do triângulo ABC possui 7 pequenos triângulos equiláteros congruentes).
139
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Conforme o processo descrito, para que seja construído um triângulo grande com linha
da base contendo 1001 pequenos triângulos congruentes são necessários um total de
palitos igual a:
a) 377253;
b) 296553;
c) 278837;
d) 259317;
e) 219373.
Gabarito: A.
8)
(Administrador Júnior/2008/Transpetro) O esquema abaixo ilustra as 4 primeiras linhas
de um mosaico triangular, formadas por 32 triângulos pequenos, todos iguais
O mosaico triangular completo será construído com até 500 peças. O número de linhas
do maior mosaico possível é:
a) 15;
d) 58;
b) 16;
e) 450.
c) 21;
Gabarito: A.
16.4. Quadrado Latino
Um quadrado latino de ordem n é um arranjo de n letras em n colunas e n
linhas, de tal forma que cada letra apareça uma só vez em cada coluna e em cada
linha. O valor de n é a ordem do quadrado.
No entanto, para resolver certas questões não e necessário termos o conhecimento da teoria de quadrados latinos. A questão será resolvida utilizando o Princípio
Fundamental da Contagem. Como as letras não podem se repetir na mesma linha
nem na mesma coluna, tem-se uma lei de formação da forma n!
16.5. Exercícios Resolvidos
Analista de Saneamento – Empresa de Saneamento da Bahia (EMBASA) – 2010
Texto para as questões 1 e 2: Uma empresa promotora de eventos cinematográficos confeccionou fôlderes ilustrados cada um com uma tabela de seis linhas e seis
colunas contendo anagramas da palavra CINEMA, como a mostrada na figura abaixo.
140
Capítulo 16 I Palitos de Fósforo e Quadrado Latino
C
A
M
E
N
I
I
C
A
M
E
N
N
I
C
A
M
E
E
N
I
C
A
M
M
E
N
I
C
A
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
A
M
E
N
I
C
A respeito desses fôlderes, julgue os itens a seguir.
1)
Considere que cada 6 anagramas distintos da palavra CINEMA, usados para
formar as linhas das tabelas incluídas nos fôlderes, dêem origem a um tipo de
fôlder. Nesse caso, se todos os anagramas da palavra CINEMA forem usados e
se cada anagrama for usado apenas uma vez, será possível confeccionar menos
de 150 tipos diferentes de fôlderes.
Solução:
Um anagrama é uma palavra formada de outra a partir da transposição das letras,
não importando se tem sentido ou não. Para calcular quantos anagramas são formados a partir da palavra CINEMA, basta permutar todas as 6 letras pelas 6 posições.
P6 = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 anagramas
De acordo com a questão, são necessários 6 anagramas por folder. Como temos
720 anagramas, calcularemos o número de fôlderes formados dividindo o número
total de anagramas (720) pelo número de anagramas necessários em cada fôlder (6):
Total de folderes = 720 ÷ 6 = 120
A questão afirma que será possível confeccionar menos de 150 tipos diferentes
de fôlderes, logo, o item está correto.
Gabarito: Certo.
2)
A quantidade de tabelas diferentes que é possível construir, como a ilustrada
acima, de modo que não haja ocorrência da mesma letra em uma linha ou coluna, é superior a 24 milhões.
Solução:
Esta questão traz o conceito de quadrado latino. Um quadrado latino de ordem n
é um arranjo de n letras em n colunas e n linhas, de tal forma que cada letra apareça
uma só vez em cada coluna e em cada linha. O valor de n é a ordem do quadrado.
No caso da questão apresentada, temos um quadrado latino de ordem 6.
No entanto, para resolver a questão não e necessário termos o conhecimento
da teoria de quadrados latinos. A questão será resolvida utilizando o Princípio Fundamental da Contagem. Como as letras não podem se repetir na mesma linha nem
na mesma coluna, preencheremos da seguinte forma:
141
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
I)
Para o 1o quadrado da 1a linha, são 6 possibilidades de letras. Para o segundo
quadrado, como não podemos repetir letras, são 5 possibilidades. Assim sucessivamente, até o 6o quadrado da primeira linha.
6
5
4
3
2
1
II)
O 1o quadrado da 1a coluna já está preenchido, são 6 possibilidades de letras.
Para o segundo quadrado, como não podemos repetir letras, são 5 possibilidades. Assim sucessivamente, até o 6o quadrado da primeira coluna.
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
III) O 1o quadrado da 2a linha já está preenchido, são 5 possibilidades de letras. Para
o 2a quadrado da 2a linha, não podemos repetir letras já usadas no quadrado
acima dele nem no quadrado ao lado dele, restando 4 possibilidades. No 3o
quadrado não podemos usar a mesma letra do quadrado acima dele nem a dos
dois quadrados da mesma linha, sobrando 3 opções. No 4o quadrado não podemos usar a mesma letra do quadrado acima dele nem a dos três quadrados da
mesma linha, sobrando 2 opções. No 5o quadrado não podemos usar a mesma
letra do quadrado acima dele nem a dos quatro quadrados da mesma linha,
sobrando 1 opção. No 6o quadrado só temos 1 opção, já que foram usadas as 5
letras e restou apenas uma.
Para preencher a coluna, o raciocínio será o mesmo utilizado para preencher
a linha.
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
1
4
3
3
2
2
1
1
1
142
Capítulo 16 I Palitos de Fósforo e Quadrado Latino
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
IV) O 1o e o 2o quadrado da 3a linha já estão preenchidos. No 3o quadrado não
podemos usar a mesma letra dos dois quadrados acima dele nem a dos dois
quadrados da mesma linha, sobrando 2 opções. No 4o quadrado não podemos
usar a mesma letra dos dois quadrados acima dele nem a dos três quadrados da
mesma linha, sobrando 1 opção. No 5o quadrado não podemos usar a mesma
letra dos dois quadrados acima dele nem a dos quatro quadrados da mesma
linha, sobrando 1 opção. No 6o quadrado só temos 1 opção, já que foram usadas
as 5 letras e restou apenas uma.
Para preencher a coluna, o raciocínio será o mesmo utilizado para preencher
a linha.
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
1
4
3
2
1
1
1
3
2
1
2
1
1
1
1
1
V)
O 1o, o 2o e o 3o quadrado da 4a linha já estão preenchidos. No 4o quadrado
não podemos usar a mesma letra dos três quadrados acima dele nem a dos três
quadrados da mesma linha, sobrando 1 opção. No 4o quadrado não podemos
usar a mesma letra dos três quadrados acima dele nem a dos três quadrados da
mesma linha, sobrando 1 opção. No 5o quadrado não podemos usar a mesma
letra dos dois quadrados acima dele nem a dos quatro quadrados da mesma
linha, sobrando também 1 opção. No 6o quadrado só temos 1 opção, já que
foram usadas as 5 letras e restou apenas uma.
Para preencher a coluna, o raciocínio será o mesmo utilizado para preencher
a linha.
A 5a e 6a linha e coluna serão preenchidas apenas com o número 1, pois usando
o mesmo raciocínio acima, percebe-se que só há 1 opção de letra para cada quadrado.
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
1
4
3
2
1
1
1
3
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
Para encontrar o número de tabelas diferentes, devemos multiplicar todos os
quadrados entre si.
143
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
1
4
3
2
1
1
1
3
2
1
1
1
1
ELSEVIER
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Se observarmos a tabela atentamente, percebemos que:
a 1a linha é representada por 6!
a 2a linha é representada por 5!
a 3a linha é representada por 4!
a 4a linha é representada por 3!
a 5a linha é representada por 2!
a 6a linha é representada por 1!
A quantidade de tabelas diferentes sem repetir letras nas linhas ou colunas,
para o caso de 6 letras, pode ser expressa por 6! × 5! × 4! × 3! × 2! × 1! = 24.883.200,
ou seja, maior que 24 milhões.
Gabarito: Certo.
144
Capítulo 17
Blocos
Este capítulo fará uma abordagem de assuntos como porcentagem, razão e
proporção utilizando a ideia de blocos para melhor solucionar os problemas.
17.1. Porcentagem
Utilizamos o cálculo de porcentagem para exprimir uma grandeza dividida
em 100 partes. Verificaremos em outros exemplos que uma fração exprime um
percentual.
Exemplos:
1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma
mercadoria custa R$ 120,00, quanto a mercadoria passará a custar?
a) R$ 106,00.
d) R$ 112,00.
b) R$ 108,00.
e) R$ 114,00.
c) R$ 110,00.
Solução:
10
= 12
O desconto será de 10% do valor de R$ 120,00. Logo: 120 ×
100
Retiramos R$ 12,00 de R$ 120,00: 120 – 12 = 108. Passaremos a pagar, com a
promoção, R$ 108,00.
Gabarito: B.
2)
Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a
quantidade de meninas e de meninos, respectivamente?
a) 40 e 60.
d) 60 e 80.
b) 30 e 20.
e) 80 e 100.
c) 40 e 80.
Solução:
40
= 40
A quantidade de meninas será: 100 ×
100
A quantidade de meninos será: 100 – 40 = 60.
Gabarito: A.
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
17.2. Blocos
Muitos exercícios de álgebra e aritmética podem ser feitos por um esquema
representativo da situação, constituída de blocos que nos levam a estabelecer relações
importantes para a solução de problemas.
Exemplos:
1) Em uma promoção do tipo “Leve 5, pague 3”, está sendo oferecido um desconto
de:
a) 10%;
d) 40%;
b) 20%;
e) 50%.
c) 30%;
Solução tradicional:
5 – 100%
3–x
x = 60% (pago), logo, desconto = 40%
Solução por blocos:
Cinco partes = 100%, logo, cada parte vale 20%
Resposta: O desconto foi de 40% (dois blocos de 20% cada).
Gabarito: D.
2)
Em certo mês, os preços aumentaram 30%, e o salário, 56%. De quanto aumentou
o poder de compra nesse período?
a) 26%;
d) 20%;
b) 24%;
e) 18%.
c) 22%;
Solução tradicional:
Inicialmente, é preciso arbitrar um valor para salário e um preço como referência
(R$ 100,00).
Preços: de R$ 100,00 passa a R$ 130,00.
Salário: de R$ 100,00 passa a R$ 156,00.
Ganho real em dinheiro: R$ 26,00, mas o valor de compra será comparado com
R$ 130,00, que é o novo preço com aumento.
R$ 130,00 – 100%
R$ 26,00 – x
x = 20%
146
Capítulo 17 I Blocos
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução por blocos:
Inicialmente, consideramos o preço e o salário com o mesmo valor: R$ 100,00.
Podemos então dizer que dez blocos valem R$ 100,00, ou seja, cada bloco valerá
R$ 10,00.
Como os preços aumentaram 30%, o valor do salário passaria então a R$ 130,00 e
o salário a R$ 156,00.
Conclusão:
R$ 130,00 equivale a dez blocos. Veja a representação da equivalência entre
porcentagem e dinheiro:
Houve um ganho salarial de R$ 26,00, equivalendo a dois blocos de 10% cada
um. Logo, o meu poder de compra aumentou em 20%.
Gabarito: D.
3)
(TRF/Técnico Judiciário/1999) Em uma universidade, são consumidos 2.000 litros
de combustível por semana. Se o preço do combustível sofrer um aumento de 4% e
a administração decidir gastar a mesma quantia de antes do aumento, deverá então
determinar uma redução no consumo semanal de aproximadamente:
a) 77 litros;
d) 121 litros;
b) 85 litros;
e) 139 litros.
c) 103 litros;
Solução por equação:
P = preço
P × 2000 = 1.04 × P × (2000 – X)
Resolvendo a equação:
X = 77 litros aproximadamente
Gabarito: A.
4)
Em uma cidade, 25% das pessoas são amarelas, 35% negras, 30% brancas. Se
há 50 índios nessa cidade, então a população total tem ........ habitantes.
a) 400;
d) 700;
b) 500;
e) 800.
c) 600;
Solução:
Relação entre percentual e valores numéricos:
Somando os percentuais temos: 90%
Logo, os índios equivalem a 10% da população.
População: X habitantes
10X
= 50
100
147
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
X = 500 habitantes
Gabarito: B.
17.3. Razão
É a divisão de duas medidas. Na verdade, o que deve ficar bem claro é que
uma razão compara duas medidas e informa o quanto uma é múltipla da outra ou
parte dela.
Exemplo:
1) Qual a razão entre a idade de João e Pedro?
João: 50 anos
Pedro: 10 anos
Solução:
J/P = 50/10 = 5 (Logo, a idade de João é cinco vezes a idade de Pedro).
17.4. Proporção
A proporção corresponde a duas razões com a mesma constante de
proporcionalidade.
Exemplos:
1) Qual a constante de proporcionalidade entre as seguintes idades?
João: 50 anos
Pedro: 10 anos
Maria: 20 anos
Cássia: 100 anos
Solução:
J/P = 50/10 = 5
C/M = 100/20 = 5
Observa-se que as duas razões têm a mesma constante k de proporcionalidade,
nesse caso, k = 5. Generalizando, podemos dizer que as quatro grandezas nessa
ordem são proporcionais.
J/P = C/M = k
2)
A soma de dois números é 80, e a razão entre o menor e o maior é 2/3. Qual é
o valor desses números?
a = menor
b = maior
a+b
2+3
a
2
⇒
=
=
a
2
b
3
a + b = 80
80 5
=
a
2
148
Capítulo 17 I Blocos
a=
80 × 2
5
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
= 32
Conclusão: se o menor vale a = 32, o maior então será 80 – 32 = 48.
3)
André, Ricardo e Thiago têm, juntos, R$ 280,00. André possui o dobro do que
possui Ricardo, que, por sua vez, possui o dobro que Thiago. Quanto cada um
possui?
Solução por blocos:
7
= 280
= 40
Conclusão:
Thiago = 1
Ricardo = 2
André = 4
= R$ 40,00;
= R$ 80,00;
= R$ 160,00.
4)
A soma da idade de João e Maria vale 50. Suas idades estão divididas na razão
de 3 para 2 e nessa ordem. Quanto vale a idade de cada um?
Solução:
João = Maria =
Soma = 5
= 50
Logo, 1
= 10
Conclusão:
Idade de João: 3
Idade de Maria: 2
5)
= 3 × 10 = 30.
= 2 × 10 = 20.
(TRF) Um auxiliar administrativo dispõe de seis pastas de dois tipos diferentes
para guardar 800 formulários. Sabe-se que nas pastas do tipo I são guardadas
ao todo 500 desses formulários. Já nas pastas do tipo II, cuja capacidade é 1/5
maior do que as do tipo I, serão guardados os formulários restantes. Se todas
as pastas serão integralmente utilizadas, as pastas do tipo I e II são iguais a,
respectivamente:
a) 5 e 1;
d) 2 e 4;
b) 4 e 2;
e) 1 e 5.
c) 3 e 3;
149
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Solução:
Quantidade de folhas em cada pasta:
500
+ 300 = 6
X
6x
5
Resolvendo a equação:
X = 150 folhas
Determinando a quantidade de pastas:
Tipo I:
Tipo II:
500
125
=4
1500
6 × 125
=4
Gabarito: B.
6)
Um pescador agarrou um peixe cuja cauda pesava 2 kg. A cabeça tanto quanto
a cauda e a metade do corpo e o corpo tanto quanto a cauda e a cabeça. Qual
é o peso do peixe?
a) 4 kg.
d) 12 kg.
b) 6 kg.
e) 16 kg.
c) 8 kg.
Solução:
cauda:
2 kg
corpo:
x
cabeça:
2 + x/2
corpo = cabeça + cauda
x = 2 + 2 + x/2
Resolvendo: x = 8.
Conclusão:
O peso total do peixe vale: 2 + 8 + 6 = 16 kg.
Gabarito: E.
150
Capítulo 17 I Blocos
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
7)
(Anpad/2003) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem um número de irmãos
igual ao número de irmãs. Cada filha tem o numero de irmãos igual ao dobro
do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal?
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
Solução:
H1
M1
H2
M2
H3
M3
H4
H1
3H
4H
M1
3M
3M
Total: 4 homens + 3 mulheres = 7 filhos.
Gabarito: E.
8)
Um criador de cavalos deseja adquirir um total de 100 cavalos das raças Pangaré,
Manga-larga e Puro-sangue e, cujos custos são R$ 1,00, R$ 10,00 e R$ 20,00. O
total a ser gasto com a compra foi de R$ 200,00. Quantos mangas-largas há?
a) 90.
b) 9.
c) 1.
d) 12.
e) 80.
Solução:
x + y + z = 100
x + 10 y + 20 z = 200
Como (x, y, z) tem um dígito (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
X=1
Y = 9 (manga-larga)
Z = 90
Gabarito: B.
151
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
17.5. Exercícios Propostos
152
1)
(Cesgranrio/SMS/2004) Uma ripa de madeira com 28 cm foi dividida em dois pedaços na
razão de 3 para 4. O comprimento do pedaço maior, em centímetros, é:
a) 12;
b) 13;
c) 15;
d) 16;
e) 18.
2)
(FCC/TRF – 5a Região/2003) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão
entre si assim como 3 está para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do
salário de B é igual a R$ 6.800,00, qual é a diferença positiva entre os salários dos dois?
a) R$ 200,00.
b) R$ 250,00.
c) R$ 300,00.
d) R$ 350,00.
e) R$ 400,00.
3)
(FCC/TRF – 4a Região/2004) Em um dado momento, no almoxarifado de certa empresa,
havia dois tipos de impressos: A e B. Após a retirada de 80 unidades de A, observou-se
que o número de impressos B estava para o de A na proporção de 9 para 5. Em seguida,
foram retiradas 100 unidades de B, e a proporção passou a ser de 7 de B para cada 5 de
A. Inicialmente, o total de impressos dos dois tipos era:
a) 780;
b) 800;
c) 840;
d) 860;
e) 920.
4)
(Cesgranrio/SMS/2005) Um prêmio de R$ 3.600,00 foi oferecido em um concurso para a
escolha das melhores fotos das belezas da cidade de Manaus. O prêmio seria dividido
entre os dois primeiros colocados, em partes diretamente proporcionais aos pontos
obtidos. Sabendo-se que o fotógrafo classificado em primeiro lugar obteve 10 pontos e
o segundo 8, qual é o prêmio, em reais, do segundo colocado?
a) R$ 1.800,00.
b) R$ 1.700,00.
c) R$ 1.600,00.
d) R$ 1.500,00.
e) R$ 1.400,00.
Capítulo 17 I Blocos
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
5)
(Agente de Fiscalização Financeira/FCC/TCE-SP/2009) O texto seguinte é um extrato do
testamento do senhor Astolfo:
”Deixo 1/3 da quantia que tenho no Banco à minha única filha, Minerva, e o restante à
criança que ela está esperando, caso seja do sexo feminino; entretanto, se a criança que
ela espera for do sexo masculino, tal quantia deverá ser igualmente dividida entre os
dois.”
Considerando que, 1 mês após o falecimento de Astolfo, Minerva teve um casal de gêmeos,
então, para que o testamento de Astolfo fosse atendido, as frações da quantia existente
no Banco, recebidas por Minerva, seu filho e sua filha foram, respectivamente:
a) 1/6, 1/6 e 1/3;
b) 1/6, 2/3 e 1/6;
c) 2/5, 1/5 e 2/5;
d) 1/4, 1/4 e 1/2;
e) 1/4, 1/2 e 1/4.
6)
(FCC) Uma torneira enche um tanque em 12 minutos. Enquanto uma segunda torneira
gasta 18 minutos para encher o mesmo tanque. Com o tanque inicialmente vazio,
abre-se a primeira torneira durante x minutos; ao fim desse tempo, fecha-se essa
torneira e abre-se a segunda, a qual termina de encher o tanque em x + 3 minutos.
Calcule o tempo gasto para encher o tanque.
a) 10 minutos.
b) 15 minutos.
c) 20 minutos.
d) 25 minutos.
e) 30 minutos.
7)
(FCC/TRT-15a Região/Analista/2009) Do total de projetos que estavam em um arquivo,
sabe-se que: 2/5 deveriam ser analisados e 4/7 referiam-se ao atendimento ao público
interno. Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse
arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre:
a) 10 e 50;
b) 60 e 100;
c) 110 e 160;
d) 150 e 170;
e) 180 e 220.
8)
(FCC/2010/TCE-SP/Agente da Fiscalização Financeira) Certo dia, o preço de 1 grama de
ouro era 24 dólares. Se a partir de então houve um aumento de 15% no preço do dólar e
de 20% no preço do grama de ouro, a razão entre as cotações do ouro e do dólar, nessa
ordem, passou a ser de 1 para:
a) 20;
b) 21;
c) 23;
d) 25;
e) 27.
153
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
154
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
9)
(CRF-SP/2009/Agente Administrativo) Uma torneira enche completamente um tanque
em 4 horas. Há um registro de saída no fundo do tanque e, quando aberto, esvazia esse
tanque em 8 horas. Se a torneira for totalmente aberta com o tanque vazio, e o registro
estiver totalmente aberto, o tanque estará completamente cheio em:
a) 12 horas;
b) 10 horas;
c) 8 horas;
d) 6 horas;
e) 5 horas.
10)
(CRF-SP/2009/Agente Administrativo) Um motorista abasteceu seu automóvel com 24
litros de gasolina a R$ 2,50 por litro e 16 litros de álcool a R$ 1,80 por litro. O preço do
litro da mistura colocada custou:
a) R$ 2,96;
b) R$ 2,22;
c) R$ 2,15;
d) R$ 2,12;
e) R$ 1,97.
Capítulo 18
Lógica Matemática Qualitativa
18.1. Proposições
Toda proposição tem um valor de julgamento, ou é verdadeira ou é falsa.
Exemplo:
4 > 2 (verdadeiro)
5 > 9 (falso)
Conclusão: a proposição p ou é V ou é F.
18.1.1. Regra do Terceiro Excluído
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Exemplo: x > 7
•
se x = 9 (V);
•
se x = 4 (F).
Conclusão: Temos uma sentença aberta, ou seja, toda sentença aberta pode ser
verdadeira ou falsa.
18.2. Exercícios Resolvidos
1)
Julgue o item a seguir como certo ou errado:
( ) Na frase “..........”, ela é verdadeira; temos então uma proposição.
Gabarito: Errado. Há uma sentença aberta, pois o conteúdo da frase definiria
o seu valor de julgamento.
2)
( ) Em 4 > 2, temos uma proposição, sendo esta verdadeira.
Gabarito: Correto, pois há um valor de julgamento e este é verdadeiro.
18.3. Operadores Lógicos
É a tradução dos conectivos para a simbologia da matemática. Nas operações
lógicas, os conectivos usuais são “não”, “não é verdade que...”, “e”, “ou”, “ou... ou...”,
“se... então...” e “se somente se”, cujas respectivas nomenclaturas são negação,
conjunção, disjunção inclusiva e exclusiva, condicional e bicondicional.
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
18.3.1. Proposição Composta
Uma proposição é dita composta quando formada por duas ou mais proposições
simples ligadas por conectivos.
Exemplo:
P1: O leão é carnívoro.
P2: O coelho é herbívoro.
Conectivo: ∧ (lê-se: “e”).
Proposição composta: O leão é carnívoro e o coelho é herbívoro.
18.3.2. Modificador
Uma proposição pode ser formada a partir de outra pelo uso do modificador “não”.
Ao acrescentar o modificador “não” a uma proposição, obtemos sua negação.
p: o cachorro é um animal. (V)
~p: o cachorro não é um animal. (F)
Tabela verdade:
p
~p
V
F
F
V
18.4. Fórmulas Proposicionais
Duas ou mais proposições podem ser manipuladas por meio da utilização dos
conectivos, formando diferentes fórmulas proposicionais, diferindo seu sentido e seu
resultado simbolicamente.
Exemplo:
p: Maria é magra.
q: Paulo é gordo.
a) Maria é magra e Paulo é gordo.
p∧q
b) Maria é magra ou Paulo é gordo.
p∨q
c) Se Paulo é magro, então há um leão feroz na sala.
p→q
d) Paulo vai à praia se, somente se, fizer sol.
p↔q
18.5. Tabela Verdade
A solução da tabela verdade é atribuída pelo valor lógico representado às
proposições com suas associações de operadores. Dada a matemática lógica
das proposições, estas podem assumir apenas dois valores, nunca um terceiro,
156
Capítulo 18 I Lógica Matemática Qualitativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
funcionando com uma estrutura binária de 0 com a nomenclatura de falso (F) e 1
com a nomenclatura de verdadeiro (V).
Tabela verdade dos conectivos
Disjunção
Conjunção
Condicional Bicondicional
p
q
p∨q
p∧q
p→q
p↔q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
18.6. Construção da Tabela Verdade
Para as proposições de apenas duas condições, assumindo valores verdadeiros
(V) ou falsos (F), o número de linhas será o resultado de 2 com a potência do número
de proposições consideradas; logo, em uma analogia de três proposições (p, q, r),
temos 2, em que a Tabela Verdade terá oito linhas.
Número de linhas = 2n (n = número de premissas)
p
q
r
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
18.7. Tautologia
Denomina-se tautologia a proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a integram.
p ~p p ∨ (~p)
V
F
F
V
V
V
18.8. Contradição
Denomina-se contradição a proposição que é sempre falsa, independentemente
dos valores lógicos das proposições simples que a integram.
p
~p
P ∧ (~p)
V
F
F
V
F
F
157
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
18.9. Argumento
Consiste em uma sequência finita de premissas que tem como resultado uma
conclusão. Representação gráfica:
p1, p2, p3, ..., pn |— C
Quando temos duas premissas e uma conclusão, esse argumento é chamado
silogismo.
18.10. Validade de um Argumento
Um argumento é válido caso satisfaça duas condições:
I – A premissa 1, a premissa 2 e a conclusão (p1, p2, C), têm pelo menos uma linha
verdadeira quando construída a sua tabela verdade.
II – (p1 ∧ p2) → C é tautológica, caso contrário, temos um sofisma.
Exemplo:
Verifique se o argumento (silogismo) a seguir é válido:
Premissa 1 (P1): p ∨ q
Premissa 2 (P2): ~q
Conclusão (C): p
Condição I: P1, P2 e C devem ter pelo menos uma linha da tabela verdade toda
verdadeira.
P 1: p ∨ q
P2: ~q
C: p
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
Condição II: (p1 ∧ p2) → C deve ser tautológica
(p ∨ q) ∧ ~q
→
p
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
Resposta: O argumento é válido, pois satisfaz as duas condições.
18.11. Circuitos Lógicos
Faremos uma analogia entre circuitos elétricos e o estudo da lógica proposicional.
Como dito anteriormente, uma proposição p possui um valor de julgamento,
podendo assumir o valor lógico V (verdadeiro) ou F (falso). Analogamente, em um
158
Capítulo 18 I Lógica Matemática Qualitativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
circuito também são possíveis somente duas situações: ou o circuito está desligado
(ausência de corrente elétrica) ou o circuito está ligado (presença de corrente
elétrica). Para um circuito desligado, consideramos o valor lógico 0; para um
circuito ligado, consideramos o valor lógico 1.
Exemplo: associação em paralelo:
18.12. Exercícios Resolvidos
1)
Verifique se os seguintes argumentos são válidos:
( ) p1: hoje é sábado ou domingo.
p2: hoje não é sábado.
C: hoje é domingo.
159
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
Solução:
Construindo a tabela, temos:
p 1: p ∨ q
p2: ~p
V
V
V
F
F
F
V
V
ELSEVIER
C: q
V
F
V
F
De acordo com a tabela, podemos garantir que o argumento é válido, pois existe
pelo menos uma linha toda verdadeira (V, V, V) e a verdade das premissas (V, V)
garante a verdade da conclusão (V).
Gabarito: V, pois o argumento é válido.
(
) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições
seguintes:
Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um bom emprego.
Ela conseguiu um bom emprego.
Portanto, Célia tem um bom currículo.
Solução:
p 1: p → q
p 2: q
C: p
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
Neste caso, a primeira condição é satisfeita, ou seja, temos uma linha toda
verdadeira (V, V, V). No entanto, a verdade das premissas, além de garantir a verdade
da conclusão, também garantiu a sua falsidade, havendo assim uma contradição
(também conhecido como princípio do terceiro excluído).
Exemplo:
p1
p2
C
V
V
V
V
V
F
A conclusão não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, logo o argumento
não é válido.
Gabarito: F.
2)
(TSE/Técnico Judiciário – Área Administrativa/Cespe/2007) Um dos instrumentos
mais importantes na avaliação da validade ou não de um argumento é a tabela verdade.
p
q
(p → q) ∧ (p ∨ q)
V
V
F
F
160
V
F
V
F
Capítulo 18 I Lógica Matemática Qualitativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Considere que P e Q sejam proposições e que “∧”, “∨” e “→” sejam os
conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou” e o “conector
condicional”. Então, o preenchimento correto da última coluna da tabela
verdade acima é:
a) V, V, F, F;
b) V, F, F, V;
c) V, F, V, F;
d) F, V, F, V.
Solução:
Preenchendo a Tabela Verdade, temos:
(p → q)
(p ∨ q)
(p → q) ∧ (p ∨ q)
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
De acordo com a última coluna da tabela final:
p
q
(p → q) ∧ (p ∨ q)
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
Gabarito: C.
3)
(TSE/Técnico Judiciário – Área Administrativa/Cespe/2007) Assinale a opção
que apresenta um argumento válido.
a) Quando chove, as árvores ficam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo
choveu.
b) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto.
Ontem estudei e não me senti disposto, logo obterei boas notas mas não me
alimentei bem.
c) Se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu
e hoje fez frio. Logo estamos em junho.
d) Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo
segunda-feira não será feriado.
Solução:
Na alternativa A:
p1: Quando chove, as árvores ficam verdinhas: p → q
p2: As árvores estão verdinhas: q
C: choveu : p
161
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
p 1: p → q
p 2: q
ELSEVIER
C: p
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
Neste caso, a primeira condição é satisfeita, ou seja, temos uma linha toda
verdadeira (V, V, V). No entanto, a verdade das premissas, além de garantir a verdade
da conclusão, também garantiu a sua falsidade, havendo assim uma contradição.
Regra geral: caso o argumento seja válido, a estrutura deve ter uma linha
verdadeira, e todas as premissas e conclusão devem ser verdadeiras, ou seja, só temos
V na estrutura lógica
Na alternativa C, podemos verificar que o argumento será válido, pois a estrutura
lógica será composta somente por verdades, não podendo ocorrer contradição ou
valores lógicos falsos.
p1: Se estudo, obtenho boas notas: p → q ————————————— (V)
p2: Se me alimento bem, me sinto disposto: r → s ————————— (V)
p3: Ontem estudei e não me senti disposto: p ∧ ~s ———————— (V)
C: logo obterei boas notas mas não me alimentei bem: q ~r ————— (V)
p
q
p→q
V
V
r
F
V
p
V
V
p ∧ ~s
~s
V
q
r→s
s
F
V
~r
q ∧~r
V
V
V
Esta estrutura é possível e não apresenta contradição e todos os seus valores
lógicos trazem somente verdades, satisfazendo assim a validade do argumento.
Gabarito: B.
4)
162
(TSE/Técnico Judiciário – Área Administrativa/Cespe/2007) Na análise de
um argumento, pode-se evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita
das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P,
Q, R e S sejam proposições e que “∧”, “∨”, “¬” e “→” sejam os conectores
lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conector
condicional”. Considere também a proposição a seguir.
Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva
e também dinheiro trocado.
Capítulo 18 I Lógica Matemática Qualitativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem
da lógica formal, assumindo que P = “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”, Q
= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”, R = “ele sempre leva um guarda-chuva”
e S = “ele sempre leva dinheiro trocado”.
a) P → (Q ∨ R).
c) P ∨ Q) → (R ∧ S).
b) (P → Q) ∨ R.
d) P ∨ (Q → (R ∧ S)).
Solução:
P1: Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô: (P ∨ Q).
P2: leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado: (R ∧ S).
Utilizando o conectivo “→”: P1 → P2: (P ∨ Q) → (R ∧ S).
Gabarito: C.
5)
(Gefaz/2005) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então
Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação:
a) É verdade que “Pedro está em Roma e Paulo está em Paris”.
b) Não é verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris”.
c) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris”.
d) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”.
e) É verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris”.
Solução:
Por equivalência lógica:
(p → q)  p ∧ ~q  (~p ∨ q)
Conclusão:
Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris (devemos
retirar o “se ... então” porque o novo conectivo é o “ou”).
Gabarito: D.
6)
(Analista/Capes/Cesgranrio/2008) O silogismo é uma forma de raciocínio
dedutivo. Na sua forma padronizada, é constituído por três proposições: as
duas primeiras denominam-se premissas e a terceira, conclusão. As premissas
são juízos que precedem a conclusão. Em um silogismo, a conclusão é conseqüência necessária das premissas. Assinale a alternativa que corresponde a um
silogismo.
a) Premissa 1: Marcelo é matemático.
Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física.
Conclusão: Marcelo gosta de física.
163
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
b) Premissa 1: Marcelo é matemático.
Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física.
Conclusão: Marcelo não gosta de física.
c) Premissa 1: Mário gosta de física.
Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física.
Conclusão: Mário é matemático.
d) Premissa 1: Mário gosta de física.
Premissa 2: Todos os matemáticos gostam de física.
Conclusão: Mário é matemático.
e) Premissa 1: Mário gosta de física.
Premissa 2: Nenhum matemático gosta de física.
Conclusão: Mário não é matemático.
Solução:
Para termos silogismo, a verdade das premissas deve garantir a verdade da
conclusão. No silogismo, temos 2 premissas e uma conclusão.
Analisando os conjuntos de premissas, temos que:
a) Premissa 1: Marcelo é matemático.
Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física.
Conclusão: Marcelo gosta de física.
Marcelo pode estar inserido (Diagrama 1) ou não (Diagrama 2) no conjunto
de Física. Observe os diagramas abaixo:
matemáticos
Física
Marcelo
Diagrama 1
matemáticos
Física
Marcelo
Diagrama 2
Sendo assim, a alternativa A não é um silogismo, estando incorreta.
b)
Premissa 1: Marcelo é matemático.
Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física.
Conclusão: Marcelo não gosta de física.
Marcelo pode estar inserido (Diagrama 1) ou não (Diagrama 2) no conjunto
de Física. Observe os diagramas a seguir:
164
Capítulo 18 I Lógica Matemática Qualitativa
Física
matemáticos
Marcelo
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Física
matemáticos
Marcelo
Diagrama 1
Diagrama 2
Sendo assim, a alternativa B não é um silogismo, estando incorreta.
c)
Premissa 1: Mário gosta de física.
Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física.
Conclusão: Mário é matemático.
Mário pode estar inserido (Diagrama 1) ou não (Diagrama 2) no conjunto de
Matemática. Observe os diagramas abaixo:
matemáticos
Física
matemáticos
Física
Mário
Diagrama 1
Mário
Diagrama 2
Sendo assim, a alternativa C não é um silogismo, estando incorreta.
d)
Premissa 1: Mário gosta de física.
Premissa 2: Todos os matemáticos gostam de física.
Conclusão: Mário é matemático.
Mário pode estar inserido (Diagrama 1) ou não (Diagrama 2) no conjunto de
Matemática. Observe os diagramas abaixo:
Física
Física
Mário
matemáticos
matemáticos
Mário
Diagrama 1
Diagrama 2
Sendo assim, a alternativa D não é um silogismo, estando incorreta.
165
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
e)
Premissa 1: Mário gosta de física.
Premissa 2: Nenhum matemático gosta de física.
Conclusão: Mário não é matemático.
Neste caso, de acordo com o diagrama, é possível garantir que Mário não é
matemático
Física
matemáticos
Mário
Sendo assim, a alternativa E é um silogismo, estando correta.
Gabarito: E.
7)
(Agente Judiciário/TJ/RO/Cesgranrio/2009) O silogismo é uma forma de
raciocínio dedutivo. Na sua forma padronizada, é constituído por três proposições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira, conclusão. As
premissas são juízos que precedem a conclusão. Em um silogismo, a conclusão
é consequência necessária das premissas.
São dados 3 conjuntos formados por 2 premissas verdadeiras e 1 conclusão não
necessariamente verdadeira.
(I) Premissa 1: Júlio gosta de basquetebol.
Premissa 2: Todo brasileiro gosta de basquetebol.
Conclusão: Júlio é brasileiro.
(II) Premissa 1: Paulo é brasileiro.
Premissa 2: Alguns brasileiros gostam de voleibol.
Conclusão: Paulo gosta de voleibol.
(III) Premissa 1: Marcos é brasileiro.
Premissa 2: Todo brasileiro gosta de atletismo.
Conclusão: Marcos gosta de atletismo.
São silogismos:
a) I, somente.
b) II, somente.
c) III, somente.
d) I e III, somente.
e) II e III, somente.
166
Capítulo 18 I Lógica Matemática Qualitativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução:
Para termos silogismo, a verdade das premissas deve garantir a verdade da
conclusão. No silogismo, temos 2 premissas e uma conclusão.
Analisando os conjuntos de premissas, temos que:
(I) Premissa 1: Júlio gosta de basquetebol.
Premissa 2: Todo brasileiro gosta de basquetebol.
Conclusão: Júlio é brasileiro.
Júlio pode estar inserido (Diagrama 1) ou não (Diagrama 2) no conjunto de
brasileiros. Observe os diagramas abaixo:
basquetebol
basquetebol
brasileiros
brasileiros
Júlio
Júlio
Diagrama 1
Diagrama 2
Sendo assim, o conjunto de premissas I não é um silogismo, estando incorreto.
(II) Premissa 1: Paulo é brasileiro.
Premissa 2: Alguns brasileiros gostam de voleibol.
Conclusão: Paulo gosta de voleibol.
Paulo pode estar inserido (Diagrama 1) ou não (Diagrama 2) no conjunto de
voleibol. Observe os diagramas abaixo:
brasileiros
brasileiros
voleibol
Paulo
Diagrama 1
voleibol
Paulo
Diagrama 2
Sendo assim, o conjunto de premissas II não é um silogismo, estando incorreto.
(III) Premissa 1: Marcos é brasileiro.
Premissa 2: Todo brasileiro gosta de atletismo.
Conclusão: Marcos gosta de atletismo.
Neste caso, de acordo com o diagrama, é possível garantir que Marcos gosta
de atletismo.
167
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
atletismo
brasileiros
Marcos
Sendo assim, o conjunto de premissas III é um silogismo, estando correto.
Gabarito: C.
18.13. Equivalência Lógica
Duas premissas são equivalentes se P (p, q, r, ...) ⇔ Q (p, q, r, ...); então temos
a mesma valoração para p e q.
Exemplo:
1) Julgue se há equivalência lógica a seguir:
( ) (p → q) ∧ (q → p) ⇔ p ↔ q
( ) ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q
Gabarito: V, V.
18.14. Álgebra da Proposição
I)
II)
III)
IV)
V)
VI)
VII)
Idempotente: p ∧ p ⇔ p
Comutativa: p ∧ q ⇔ q ∧ p; p ∨ q ⇔ q ∨ p
Associativa: (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r); (p ∨ q) ∨ r; p ∨ (q ∨ r)
Distributiva: p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ (p ∨ r)
Absorção: p ∧ (p ∧ q) ⇔ p; p ∨ (p ∧ q) ⇔ p
Leis de Morgan: ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q; ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q
Contrapositiva: (p → q) ⇔ ~q → ~p
18.15. Negação de Equivalências Lógicas
168
Afirmação
Negação
p∧q
~p ∨ ~q
p∨q
~p ∧ ~q
p→q
p ∧ ~q
Capítulo 18 I Lógica Matemática Qualitativa
Afirmação
Negação
p↔q
(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
Todo
Existe / ao menos um p que não é q
Algum
Nenhum p é q
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
18.15.1. Relação entre as tabelas-verdade e os diagramas de Venn-Euler
De acordo com a tabela de negação de equivalências lógicas, a afirmação “todo
e algum” e sua respectiva negação é apresentada apenas de caráter formal, visto que
sua aplicabilidade está associada a um princípio mais geral, que é a relação entre a
tabela-verdade e os diagramas de Venn-Euler.
Deve ficar claro que a negação da palavra “algum” é relacionada com a tabela-verdade, não cabendo nenhuma interpretação linguística, ou seja, não se pode
dizer que a negação de “algum” é “nenhum”, pois a palavra “nenhum” é uma das
possíveis negações.
A negação dos diagramas de Venn-Euler terá como base as proposições categóricas, que são: todos; nenhum; algum.
Caso 1: Algum ator é charmoso.
A negação desta proposição está associada à tabela-verdade, pois existe uma
relação geral entre os diagramas de Venn-Euler e a estrutura lógica das proposições
compostas. Podemos verificar que quando falamos que algum ator é charmoso o
“algum” equivale ao “e (conjunção)”. Através do diagrama, algum ator (A) é charmoso (C) pode ser representado por:
A
C
Ou seja, dizemos que esta estrutura é equivalente ao “e” porque ele é ator e
charmoso também. Para a estrutura ser verdadeira, as duas informações devem ser
verdadeiras, pois é o único caso onde a conjunção (e) é verdadeira. A negação de
“algum” está associada aos valores lógicos onde temos a “falsidade” da tabela-verdade,
ou seja, VF, FV, . O diagrama abaixo representa a negação lógica do “algum”.
A
C
Com isto, poderemos observar facilmente que a negação da estrutura acima
pode ser respondida de 3 formas:
Existe algum ator que não é charmoso.
Existe algum charmoso que não é ator.
169
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Nenhum ator é charmoso.
Na verdade, é um equívoco dizer que a negação de “algum” é “nenhum”, visto
que esta é apenas uma das possibilidades. A estrutura também pode ser representada
por outras frases, como:
Existe pelo menos um ator que não é charmoso.
Existe pelo menos um charmoso que não é ator.
Caso 2: Todo animal é ser vivo.
A negação desta proposição está associada à tabela-verdade, pois existe uma
relação geral entre os diagramas de Venn-Euler e a estrutura lógica das proposições
compostas. Podemos verificar que quando falamos que “todo animal é ser vivo” o
“todo” equivale a condicional (se p então q) ou a bicondicional (se somente se).
Através do diagrama, “todo animal (A) é ser vivo (V)” pode ser representado por:
V
A
Observa-se que a premissa pode ser reescrita na forma: “Se é animal, então é
ser vivo”. A sua negação é uma extensão natural do diagrama de Venn-Euler, pois
existem seres vivos que não são animais. Concluindo, “todo animal é ser vivo”, a
negação é: “existe animal que não é ser vivo”.
Observação: não podemos afirmar que a negação de todo é apenas: nenhum, pelo
menos um, entre outros. O que deve ser discutido é se a negação cabe no diagrama.
18.16. Exercícios Propostos
170
1)
(Anpad/2002) Considere as seguintes proposições simples:
p: José é estudante;
q: Maria é professora.
A proposição composta ~(~p ∨ q), em linguagem corrente, é:
a) José não é estudante ou Maria é professora;
b) José é estudante ou Maria não é professora;
c) José não é estudante ou Maria não é professora;
d) José é estudante e Maria é professora;
e) José é estudante e Maria não é professora.
2)
Considere a sentença: “Se é feriado, os bancos estão fechados.” A contrapo­sitiva dessa
sentença é:
a) se os bancos não estão fechados, não é feriado;
b) se os bancos estão fechados, não é feriado;
c) se não é feriado, os bancos estão fechados;
d) se os bancos estão fechados, é feriado;
e) se é feriado, os bancos estão fechados.
Capítulo 18 I Lógica Matemática Qualitativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
3)
Considere as seguintes proposições simples:
p: pardais adoram frutas;
q: fazendeiros detestam pardais.
A proposição composta ~(p ∧ ~q), em linguagem corrente, é:
a) é falso que pardais adoram frutas e que fazendeiros detestam pardais;
b) fazendeiros detestam pardais ou pardais não adoram frutas;
c) é falso que pardais adoram frutas ou que fazendeiros detestam pardais;
d) fazendeiros detestam pardais e pardais adoram frutas;
e) fazendeiros detestam pardais ou pardais adoram frutas.
4)
Considere as seguintes proposições simples:
p: Luisa é bancária;
q: Luisa é fumante.
A proposição composta ~(q ∨ ~p), em linguagem corrente, é:
a) Luísa não é bancária e não é fumante;
b) Luísa é bancária e não é fumante;
c) Luísa é fumante, mas não é bancária;
d) Luísa não é bancária ou é fumante;
e) Luísa é bancária ou fumante.
5)
(Vunesp/ICMS-SP/1997) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo:
a) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu;
b) Rodrigo é culpado;
c) se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado;
d) Rodrigo mentiu;
e) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.
6)
(Vunesp/ICMS-SP/1997) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo:
a) seu esforço é condição suficiente para vencer;
b) seu esforço é condição necessária para vencer;
c) se você não se esforçar, então não irá vencer;
d) você vencerá só se se esforçar;
e) mesmo que você se esforce, você não vencerá.
7)
(Analista/ANA/Esaf/2009) Determinado rio passa pelas cidades A, B e C. Se chove em A,
o rio transborda. Se chove em B, o rio transborda e, se chove em C, o rio não transborda.
Se o rio transbordou, pode-se afirmar que:
a) choveu em A e choveu em B;
b) não choveu em C;
c) choveu em A ou choveu em B;
d) choveu em C;
e) choveu em A.
171
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
172
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
8)
(AFRF/Esaf/2009) Se α = 3 e , então β = 3 e . Se α = e3, então β ou δ são iguais a 3 e . Se δ = e3,
então β = e3. Se δ = 3 e , então α = 3 e . Considerando que as afirmações são verdadeiras,
segue-se, portanto, que:
a) α = β = δ = e3
b) α = β = e3, mas δ = 3 e
c) α = 3 e , mas β = δ = e3
d) α = β = δ = 3 e
e) α = β = δ = 3 e , mas β = e3
9)
(AFRF/Esaf/2009) Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica
molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que:
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou;
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou;
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou;
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou;
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
10)
(FGV/Analista de Tecnologia da Informação/2006) Considere verdadeira a proposição “o
jogo só será realizado se não chover”. Podemos concluir que:
a) se o jogo é realizado, o tempo é bom.
b) se o jogo não é realizado, então chove.
c) se chove, o jogo poderá ser realizado.
d) se não chove, o jogo será certamente realizado.
e) se não chove, o jogo não é realizado.
11)
(FGV/Analista de Tecnologia da Informação/2006) Se chove, fico em casa. Se fico em casa,
vejo televisão. Se vejo televisão, aborreço-me com as notícias. Podemos afirmar que:
a) se vejo televisão, fico em casa;
b) fico em casa somente se chove;
c) é necessário ficar em casa para ver televisão;
d) se não me aborreço com as notícias, não chove;
e) se fico em casa, então chove.
12)
(Cesgranrio/Analista de Sistemas Júnior/Transpetro/2011) Negar a afirmação “o leão
não é feroz e a girafa não gorjeia” equivale a afirmar que:
a) se o leão não é feroz, então a girafa gorjeia;
b) se a girafa não gorjeia, então o leão não é feroz;
c) o leão é feroz, e a girafa gorjeia;
d) o leão não é feroz ou a girafa gorjeia;
e) o leão é feroz ou a girafa não gorjeia.
13)
(Cesgranrio/Analista de Sistemas Júnior/Transpetro/2011) A contrapositiva de uma
proposição condicional é uma tautologia. PORQUE A tabela verdade de uma proposição
condicional é idêntica à de sua contrapositiva. Analisando-se as afirmações acima,
conclui-se que:
Capítulo 18 I Lógica Matemática Qualitativa
a)
b)
c)
d)
e)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
as duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira;
as duas afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira;
a primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa;
a primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira;
as duas afirmações são falsas.
14)
(IPT-SP/2011/Analista de Sistemas) Se o índice da bolsa sobe, então o dólar cai e o
exportador não gosta. Do ponto de vista lógico, a negação da frase anterior é:
a) Se o índice da bolsa não sobe, então o dólar não cai e o exportador não gosta;
b) O índice da bolsa não sobe e o dólar cai ou o exportador gosta;
c) Se o exportador gosta, então o dólar cai e o índice da bolsa não sobe;
d) O índice da bolsa sobe e o dólar não cai ou o exportador gosta;
e) O dólar cai, ou o exportador não gosta ou o índice da bolsa não sobe.
15)
(IPT-SP/2011/Analista de Sistemas) Se senti dor, então, eu caí. Não caí ou me cortei.
Acontece que não me cortei. Assim, do ponto de vista lógico,
a) Senti dor e caí.
b) Não posso determinar se senti dor.
c) Não me cortei e caí.
d) Não posso determinar se caí.
e) Não senti dor e não caí.
16)
(IPT-SP/2011/Analista de Sistemas) A partir das expressões,
P
R
5 + 3 = 8,
5 + 3 = 9,
Q
S
7 x 2 = 14,
7 x 2 = 15,
determine o valor lógico Verdadeiro (V) ou Falso (F) das proposições:
I.
(P ou S) e Q
II. (P ou Q) e R
III. (Q ou P) e S
IV. (Q ou S) e P
A sequência correta dos valores lógicos das proposições, de cima para baixo, é:
a) V, V, F, V;
b) F, V, V, F;
c) V, F, F, V;
d) V, F, F, F;
e) V, V, V, F.
17)
(IPT-SP/2011/Analista de Sistemas) Do ponto de vista lógico, uma frase equivalente à
frase: Se eu corro, então fico cansado e não falo, é:
a) Se eu fico cansado, então eu não falo ou não corro;
b) Se eu falo, então não fico cansado ou não corro;
c) Se eu falo, então não fico cansado e não corro;
d) Se eu não falo e não fico cansado, então eu não corro;
e) Se eu falo ou não fico cansado, então eu não corro.
173
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
18)
(INPI/NCE/2009/Técnico em Propriedade Industrial) A sentença “Duda é bonita ou Hélio
não é magro” é logicamente equivalente a:
a) se Duda é bonita, então Hélio é magro;
b) se Duda é bonita, então Hélio não é magro;
c) se Duda não é bonita, então Hélio não é magro;
d) se Duda não é bonita, então Hélio é magro;
e) se Hélio não é magro, então Duda não é bonita.
19)
(Cesgranrio/Eng. Manutenção Pleno/2011) Considere a afirmação abaixo.
Se uma lâmpada está queimada então não acende. Uma afirmação logicamente equivalente à apresentada acima é:
a) Se uma lâmpada acende então não está queimada;
b) Se uma lâmpada não acende então está queimada;
c) Se uma lâmpada não está queimada então acende;
d) Existe uma lâmpada que está queimada e acende;
e) Existe uma lâmpada que acende e não está queimada.
18.17. Quantificadores
18.17.1. Função Proposicional
I)
Se p(a) é verdadeira, então a satisfaz a p(x).
II) Conjunto verdade ou conjunto solução
É o conjunto de todos os elementos a ∈ A que satisfazem p(x).
Vp = {x/x ∈ A e p(x) é verdadeira}
Exemplo: p(x): x + 1 > 8
Vp = {8, 9, 10, ...}
174
ELSEVIER
Capítulo 18 I Lógica Matemática Qualitativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
18.17.2. Análise dos Quantificadores
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Caso 1: Quantificador universal
Para todo (x, p(x))
Para todo ou qualquer que seja
(∀ x ∈ A) p(x) ⇔ Vp = A
~((x ∈ A) p(x)) ⇔ ∃ x ∈ A ~p(x)
Exemplo: Todas as garças são brancas.
Negação: Existem garças que não são brancas.
Caso 2: Quantificador existencial
Existe ao menos um x ∈ A tal que p(x) é uma proposição verdadeira
Para algum (x, p(x))
Ao menos um (x, p(x))
∃ x p(x)
(∃ x ∈ A) p(x) ⇔ vp ≠ 0
Caso 3: Espaço topológico
Envolve o conceito de conjunto-conjunto. É utilizado o conceito de contém (⊃) e
está contido (⊂).
Exemplo: Considere a definição: uma função f: A → B é sobrejetora se e só se
∀y ∈ B, ∃x ∈ A, f(x) = y. Sua negação se expressa por: f: A → B é não sobrejetora
se e só se ocorrer:
a) ∀y ∈ B, ∃x ∈ A, f(x) ≠ y
b) ∃y ∈ B, ∀x ∈ A, f(x) ≠ y
c) ∃y ∈ B, ∀x ∈ A, f(x) = y
d) ∀y ∈ B, ∀x ∈ A, f(x) = y
e) ∃y ∈ B, ∃x ∈ A, f(x) ≠ y
Solução:
∀y ∈ B, ∃x ∈ A, f(x) = y
Negação:
∀→∃
∃→∀
=→≠
Logo:
∃y ∈ B, ∀x ∈ A, f(x) ≠ y
Gabarito: B.
175
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ELSEVIER
18.18. Exercícios Propostos
176
1)
(Anpad/2002) A negação da sentença “todos os triângulos são equiláteros” é:
a) todos os triângulos não são equiláteros;
b) existe triângulo que não é equilátero;
c) existe triângulo que é equilátero;
d) nenhum triângulo é equilátero;
e) todos os triângulos são isósceles.
2)
(Anpad/2002) “Todos os animais são seres vivos”, assim:
a) o conjunto dos animais contém o conjunto dos seres vivos;
b) o conjunto dos seres vivos contém o conjunto dos animais;
c) todos os seres vivos são animais;
d) alguns animais são seres vivos;
e) nenhum animal é ser vivo.
3)
(Vunesp/ICMS-SP/1997) “Todo cavalo é um animal”, logo:
a) toda cabeça de animal é cabeça de cavalo;
b) toda cabeça de cavalo é cabeça de animal;
c) todo animal é cavalo;
d) nem todo cavalo é animal;
e) nenhum animal é cavalo.
4)
(Ipad/Polícia Civil/2007) Se é verdade que “Nenhum artista é atleta”, então também será
verdade que:
a) todos não artistas são não atletas;
b) nenhum atleta é não artista;
c) nenhum artista é não atleta;
d) pelo menos um não atleta é artista;
e) nenhum não atleta é artista.
5)
Considere a declaração:
“Se eu for ao cinema, então não irei ao teatro, mas tomarei sorvete.” Se essa declaração
é verdadeira, então afirmamos que:
a) “eu não fui ao cinema”;
b) “eu fui ao cinema, mas não tomei sorvete”;
c) “eu fui ao cinema e tomei sorvete”;
d) “eu fui ao cinema e ao teatro”;
e) “eu fui ao cinema e não ao teatro”.
6)
(Bacen/Analista/1998) “Se Pedro gosta de pimenta, então ele é falante.” Portanto:
a) se Pedro não é falante, então ele não gosta de pimenta;
b) se Pedro é falante, então ele gosta de pimenta;
c) se Pedro é falante, então não gosta de pimenta;
d) se Pedro não gosta de pimenta, então ele não é falante;
e) se Pedro gosta de pimenta, então ele não é falante.
Capítulo 18 I Lógica Matemática Qualitativa
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7)
(Vunesp/ICMS-SP/1997) O paciente não pode estar bem e ainda ter febre. O paciente
está bem. Logo, o paciente:
a) tem febre e não está bem;
b) tem febre ou não está bem;
c) não tem febre e está bem;
d) não tem febre;
e) não está bem.
8)
Todo cavalo é um animal. Logo:
a) toda cabeça de animal é cabeça de cavalo;
b) nenhum animal é cavalo;
c) todo animal é cavalo;
d) nem todo cavalo é animal;
e) toda cabeça de cavalo é cabeça de animal.
9)
A negação da sentença “Todos os homens são honestos” é:
a) Nenhum homem é honesto;
b) Todos os homens são desonestos;
c) Algum homem é desonesto;
d) Nenhum homem é desonesto;
e) Alguns homens são honestos.
10)
(Esaf/AFC/1998) Se Beto briga com Glória, então ela vai ao cinema. Se Glória vai ao
cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla.
Ora, Raul não briga com Carla, logo:
a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória;
b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema;
c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema;
d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória;
e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.
11)
(Esaf/AFTN/1996) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu,
Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não
há um leão feroz nesta sala, logo:
a) Nestor e Júlia disseram a verdade;
b) Nestor e Lauro mentiram;
c) Raul e Lauro mentiram;
d) Raul e Júlia mentiram;
e) Nestor e Raul mentiram.
12)
(Esaf/AFTN/1998) Considere as afirmações:
I – se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade;
II – se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga;
III – se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga.
177
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que:
a) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga;
b) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga;
c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma boa amiga;
d) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer não;
e) são inconsistentes entre si.
178
13)
(Vunesp/ICMS-SP/1997) Todo A é B, todo C não é B, portanto:
a) algum A é C;
d) algum B é C;
b) nenhum A é C;
e) nenhum B é A.
c) nenhum A é B;
14)
(Vunesp/ICMS-SP/1997) Se Raul mentiu, então ele é culpado. Logo:
a) se Raul não é culpado, então ele não mentiu;
b) Raul é culpado;
c) se Raul não mentiu, então ele não é culpado;
d) Raul mentiu;
e) se Raul é culpado, então ele mentiu.
15)
(Esaf/Fiscal do Trabalho/1998) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se
também que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que:
a) todo C é B;
b) todo C é A;
c) algum A é C;
d) nada que não seja C é A;
e) algum A não é C.
16)
(Bacen/Analista/1998) Considere as seguintes premissas (onde x, y, z e p são conjuntos
não vazios):
Premissa 1: X está contido em y e em z, ou X está contido em p.
Premissa 2: X não está contido em P.
Pode-se concluir que, necessariamente:
a) Y está contido em z;
b) X está contido em z;
c) Y está contido em z ou em p;
d) X não está contido nem em P nem em y;
e) X não está contido nem em y e nem em z.
17)
(Anpad/1998) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o
passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:
a) o jardim é florido e o gato mia;
b) o jardim é florido e o gato não mia;
c) o jardim não é florido e o gato mia;
d) o jardim não é florido e o gato não mia;
e) se o passarinho canta, então o gato não mia.
Capítulo 18 I Lógica Matemática Qualitativa
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
18)
(Engenheiro do Trabalho/1998) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é,
do ponto de vista lógico, o mesmo que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista;
b) se Paulo é Paulista, então Pedro é pedreiro;
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista;
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista;
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.
19)
Chama-se tautologia toda proposição que é sempre verdadeira, independente da verdade
dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo;
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo;
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo;
d) se João é alto e Guilherme é gordo, então, João é alto e Guilherme é gordo;
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.
20)
(Vunesp/ICMS-SP/1997) Assinale a única alternativa que apresenta uma contradição:
a) todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião;
b) todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião;
c) nenhum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano;
d) algum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano;
e) todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano.
21)
(Vunesp/ICMS-SP/1997) Valter tem inveja de quem é mais rico do que ele. Geraldo não
é mais rico do que quem o inveja. Logo:
a) quem não é mais rico do que Valter é mais pobre do que Valter;
b) Geraldo é mais rico do que Valter;
c) Valter não tem inveja de quem não é mais rico do que ele;
d) Valter inveja só quem é mais rico do que ele;
e) Geraldo não é mais rico do que Valter.
22)
Considere as seguintes sentenças:
1 – nenhum estudante é preguiçoso;
2 – Rodrigo é metaleiro;
3 – todos os metaleiros são preguiçosos.
Supondo que essas três sentenças sejam verdadeiras, verifique qual das afirmações a
seguir é certamente verdadeira:
a) todos os preguiçosos são metaleiros;
b) algum estudante é metaleiro;
c) alguns metaleiros são estudantes;
d) Rodrigo é estudante;
e) Rodrigo é preguiçoso.
179
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
180
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
23)
(Vunesp/ICMS-SP/1997) Cinco ciclistas apostaram uma corrida:
–
A chegou depois de B;
–
C e E chegaram ao mesmo tempo;
–
D chegou antes de B;
–
quem ganhou chegou sozinho.
Quem ganhou a corrida foi:
a) A;
b) B;
c) C;
d) D;
e) E.
24)
(FCC/TJ/Analista Judiciário/2007) Se Rasputin não tivesse existido, Lenin também não
existiria. Lenin existiu. Logo:
a) Lenin e Rasputin não existiram;
b) Lenin não existiu;
c) Rasputin existiu;
d) Rasputin não existiu;
e) Lenin existiu.
25)
(FCC/TJ/Técnico Judiciário/2007) Todas as estrelas são dotadas de luz própria. Nenhum
planeta brilha com luz própria. Logo:
a) todos os planetas são estrelas;
b) nenhum planeta é estrela;
c) todas as estrelas são planetas;
d) todos os planetas são planetas;
e) todas as estrelas são estrelas.
26)
(FCC/TJ/Técnico Judiciário/2007) Aquele policial cometeu homicídio. Mas centenas de
outros policiais cometeram homicídios, se aquele policial cometeu. Logo:
a) centenas de outros policiais não cometeram homicídios;
b) aquele policial não cometeu homicídio;
c) aquele policial cometeu homicídio;
d) nenhum policial cometeu homicídio;
e) centenas de outros policiais cometeram homicídios.
Capítulo 19
Análise Combinatória e Probabilidade
19.1. Princípio Fundamental da Contagem
É toda relação m × n × p × ... × k. Na verdade, o princípio fundamental da
contagem busca leis de formação para obter todas as possibilidades dentro do
modelo proposto.
Exemplo:
De quantas maneiras você pode ir a uma festa com três blusas e duas calças?
Solução:
Podemos verificar que cada elemento B é ligado a dois elementos C.
Total: 3 × 2 = 6 possibilidades.
19.1.1. Exercícios Resolvidos
1)
Uma caixa contém n etiquetas numeradas de 1 até n. De quantos modos podemos
retirar 2 etiquetas com números consecutivos?
a) n2.
b) n + 1.
c) n(n + 1).
d) n(n – 1).
e) 3n.
Solução:
Os pares de etiquetas com números consecutivos podem ser representados por:
1, 2
2, 3
3, 4
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(...)
n – 1, n
Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: (n – 1) × n
Gabarito: D.
2)
De quantos modos podemos pintar os quadrantes do plano se dispomos de 4
cores e quadrantes adjacentes não devem ter a mesma cor?
a) 36.
d) 28.
b) 38.
e) 45.
c) 26.
Solução:
Disposição de possibilidades nos quadrantes:
3
1
4
3
Pelo princípio fundamental da contagem: 4 × 3 × 3 × 1 = 36
Gabarito: A.
3)
Quantas funções podemos formar de A formado pelos elementos {1, 2} em B
formado pelos elementos {a, b, c}?
a ) 3.
d ) 6.
b ) 7.
e ) 9.
c ) 5.
Solução:
Para termos uma função, todos os elementos do conjunto A tem que estar ligado
a pelo menos um elemento do conjunto B.
1
2
a
1
b
c
2
a
b
c
Lei de formação: 32 = 9 possibilidades
Gabarito: E.
19.2. Fatorial
É todo número n ∈ N.
Representação: n!
0! = 1
1! = 1
2! = 2.1
182
...
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
3! = 3.2.1
4! = 4.3.2.1
5! = 5.4.3.2.1
Exemplo: Calcule o valor de:
6!
6 × 5 × 4!
=
= 6 × 5 = 30
4!
4!
19.3. Análise Combinatória
A Análise Combinatória é uma área da Matemática que estuda os métodos de
contagem. Surgiu com a finalidade de calcular possibilidades nos jogos de azar.
Podemos dizer que a Análise Combinatória é o conjunto de preceitos que permitem
formar grupos distintos constituídos por um número finito de objetos denominados
elementos, colocando-os ao lado uns dos outros sob condições estipuladas, e calcular
o número desses grupos formados.
19.3.1. Grupos Combinatórios
Os grupos combinatórios definem uma taxa de agrupamento com elementos
que participam de cada grupo. Os tipos de grupos combinatórios são: Arranjo,
Permutação e Combinação.
19.3.1.1. Arranjo
A ordem dos elementos deve ser considerada, por exemplo, 23 e 32 são números
diferentes.
Fórmula:
n!
(n - p)!
{
Exemplo 1: De 12 atletas de uma competição esportiva, 4 são europeus, 4 são
americanos e 4 são asiáticos. De quantas maneiras podemos fazer a premiação para
os cinco primeiros colocados se um único europeu é classificado em 1o lugar?
Solução:
Esquematizando o problema, temos:
1o
2o
3o
4o
5o
4
4 × A 8,4 = 6720
A8,4
Exemplo 2: O conjunto A é formado pelos números 6, 8 e 9. Quantos números
de 2 algarismos podemos formar com estes elementos?
183
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Solução:
Como no enunciado não há a informação que são números distintos, os números
podem ser repetidos.
Possíveis números:
66
68 69
86
88 89
96
98 99
Concluímos então que existem 9 possibilidades de formar números de 2 dígitos.
Podemos observar que temos um arranjo com repetição, que pode ser escrito da
forma ARn,p = np
AR3,2 = 32
Exemplo 3: Quantos números de 3 algarismos podem ser formados com os
algarismos 0, 1, 2, 3, 4?
Solução I:
Iremos calcular todas as possibilidades de números com 3 algarismos com os
cinco dígitos possíveis:
AR5,3 = 53 = 125
Devemos agora calcular os agrupamentos que começam por zero, depois excluílos do total de agrupamentos:
0
____ ____
AR 5,2 = 52 = 25
AR 5,3 – AR 5,2 = 100
Solução II:
Pelo Princípio Fundamental da Contagem:
4
5
5
4 × 5 × 5 = 100
19.3.1.2. Permutação
É o arranjo onde n = p.
Representação: P!
Exemplo 1: Considerando a palavra VESTIBULAR, determine a quantidade de
anagramas que podemos formar de modo que “BULA” apareça junto e nesta ordem.
Solução:
V E S T I BULA R
Nesse caso, “BULA” equivale a 1 letra. Então:
P7! = 7!
184
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Exemplo 2: Em quantos anagramas da palavra BRASÍLIA, as letras I aparecem
juntas; determine também o caso em que as letras I não aparecem juntas.
Solução:
No primeiro caso, temos uma permutação com repetição, que pode ser escrita
pela fórmula Pn(±, ², ...), onde (±, ², ...), representam as letras que se repetem. No
primeiro caso, como as letras I aparecem juntas, podemos escrever:
B R A S L II A
P7(2) = 7! / 2! = 2.520
No segundo caso, as letras I não aparecem juntas. Sendo assim, podemos escrever:
P8(2,2) – P7(2) = 7.560
P8(2,2): neste caso, temos todos os anagramas possíveis da palavra Brasília, onde
as letras I e A se repetem.
P7(2) = neste caso, o grupo “I I” está junto.
Concluindo, ao subtrairmos P8(2,2) – P7(2) , obtemos I I separados.
19.3.1.3. Combinação
É um grupo combinatório em que não importa a ordem dos elementos, por
exemplo, se em 2 cadeiras estão sentadas João e Maria, não importa a numeração
das cadeiras, mas sim as pessoas presentes na cadeira, independente da ordem que
estejam sentadas.
Representação:
n!
p!(n - p)!
Exemplo 1: Em uma festa há 10 pessoas. Se todas se cumprimentam uma única
vez, pergunta-se: quantos apertos de mão foram trocados na festa?
Solução:
n = 10 (número de pessoas na festa)
p = 2 (pares que se cumprimentam)
Cn,p =
C10,2 =
n!
p!(n - p)!
10!
10!(10 - 2)!
= 45
Na festa foram trocados 45 apertos de mão (dizer que A cumprimenta B é a
mesma coisa que B cumprimenta A, ou seja, conta-se apenas 1 vez).
Exemplo 2: Com 7 cardiologistas e 6 neurologistas que trabalham em um
hospital deseja-se formar uma junta médica de 5 elementos. Quantas juntas podem
ser formadas se devem participar 3 cardiologistas e 2 neurologistas?
185
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução:
cardiologista
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
cardiologista
neurologista
neurologista
C6,2
{
{
C7,3
cardiologista
ELSEVIER
Total = C7,3 × C6,2 = 525
Exemplo 3: O conjunto A é formado pelos elementos a e b. Quantas combinações
de 4 elementos podem ser formadas?
Solução:
Combinações possíveis com 4 elementos:
a a a a
a a a b
a a b b
a b b b
b b b b
Neste caso, temos uma combinação com repetição, pois temos 5 possibilidades de
acordo com a listagem acima. Esta questão também pode ser resolvida pela fórmula
abaixo, da combinação com repetição.
Fórmula: CRn,p = Cn + p – 1, p
Aplicando no problema acima, temos:
CR2,4 = C2 + 4 – 1, 4 = C5,4 = 5
Exemplo 4: De quantos modos uma criança pode comprar 5 balas, tendo como
escolha 3 sabores?
Solução:
Neste caso, temos uma combinação com repetição, pois a criança pode comprar
todas as balas de um único sabor.
Fórmula: CRn,p = Cn + p – 1, p
Aplicando no problema acima, temos:
CRn,p = Cn + p – 1, p
CR3,5 = C3 + 5 – 1, 5 = C7,5 = 21
19.4. Exercícios Resolvidos
1)
186
Dispõe-se de 15 jogadores de voleibol, sendo um deles André. O número de
duplas diferentes que podem ser formadas, nas quais não apareça o jogador
André, é:
a) 29;
d) 105;
b) 91;
e) 182.
c) 104;
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução:
Total: 15 jogadores.
Tirando André, restam 14 jogadores.
14!
14.13
=
C14,2 =
2!12!
2
C14,2 = 91
Gabarito: B.
2)
Para fabricar placas de automóveis, constituídas de duas letras iniciais seguidas de
quatro algarismos, um determinado município está autorizado a utilizar somente
as letras A, B, C, D e E e os algarismos 0, 1 e 2. Nessas condições, o número
máximo de automóveis que o município poderá emplacar é:
a) 120;
d) 2.048;
b) 1.620;
e) 2.592.
c) 2.025;
Solução:
25 × 81 = 2.025
Gabarito: C.
3)
(Cefetec/2002) Um jogo conhecido como Quina da Felicidade é composto
de uma cartela numerada de 1 a 50 (01, 02, ..., 50). É considerado vencedor o
apostador que conseguir acertar a quina (coleção de cinco números) sorteada
entre os 50 números. João faz apenas um jogo com 10 dezenas, e Pedro faz 50
jogos distintos de cinco dezenas. As probabilidades de João e Pedro ganharem
na Quina da Felicidade são, respectivamente:
10!45!
10!
5!45!
5!
a)
e
c)
e
5!50!
50!
49!
50!
b)
10!
50!
e
5
49!
d)
10!
50!
e
50!
50!
P = casos possíveis / casos favoráveis
10!
C10,5
10!45!
5!5!
=
=
João:
C50,5
5!50!
50!
5!45!
187
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Pedro:
50
C50,5
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
=
50
50!
5!45!
=
5.50!45!
50.49!
=
ELSEVIER
5!45!
49!
Gabarito: A.
4)
(UFRJ/2000) Em todos os 53 finais de semana do ano 2000, Júlia irá convidar
duas de suas amigas para a sua casa em Teresópolis, sendo que nunca o mesmo
par de amigas se repetirá durante o ano.
I) Determine o maior número possível de amigas que Júlia poderá convidar.
II) Determine o menor número possível de amigas que ela poderá convidar.
Solução:
I) Convidar no máximo: 2 × 53 = 106;
II) Se Júlia faz uma lista das “n” amigas (2 a 2), podemos escrever:
Cn,2 < 53 Júlia não poderá levar as amigas em todos os finais de semana sem
repetir os pares, logo Cn,2 ≥ 53
Resolvendo:
n(n - 1)
≥ 53
2
n ≥ 11
Resposta: No mínimo 11 amigas.
5)
Em 1.000! o fator 10 aparece 10 k vezes. O número de zeros que aparece em
1.000! é:
a) 245;
b) 247;
c) 249;
d) 251;
e) 253.
Solução:
Para aparecer o fator 10, temos de ter 2 × (5k). Devemos obter a lei de formação
associada aos múltiplos de 5 que satisfazem a condição inicial:
I) Fator 5 aparecendo pela primeira vez:
5, 10, 15, 20, ..., 1.000
1.000 ÷ 5 = 200 vezes
II) Fator 5 aparecendo pela segunda vez:
25, 50, 75, ..., 1.000
1.000 ÷ 25 = 40 vezes
188
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
III) Fator 5 aparecendo pela terceira vez:
125, 250, 375, ...
1.000 ÷ 125 = 8 vezes
IV) Fator 5 aparecendo pela quarta vez:
625, ..., 1.000
1 vez
Total: 249 zeros.
Gabarito: C.
6)
(TSE/Técnico Judiciário – Área Administrativa/Cespe/2007) Para aumentar
a segurança no interior do prédio do TSE, foram distribuídas senhas secretas
para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se
obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por uma sequência de três
letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma sequência de três
algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem
ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a
repetição de algarismos, é igual a:
a) 26³ × 10 × 9 × 8;
b) 26³ × 10³;
c) 26 × 25 × 24 × 10 × 9 × 8;
d) 26 × 25 × 24 × 10³.
Solução:
A senha terá seis dígitos no total, sendo que os três primeiros serão letras não
repetidas e os três últimos números de 0 a 9 que podem ser repetidos. Logo:
26 × 25 × 24 × 10 × 10 × 10 = 26 × 25 × 24 × 10³
Gabarito: D.
7)
(BR Distribuidora/Téc. Administração e Controle/Cesgranrio/2008) Um
armário tem 5 cadeados denominados A, B, C, D e E. Dez pessoas têm chaves
desses cadeados da seguinte forma:
– todos têm chaves de exatamente três cadeados;
– duas pessoas nunca têm as mesmas três chaves.
Qual o número mínimo de pessoas desse grupo que é necessário para que se
possa ter certeza de que o cadeado A poderá ser aberto?
a) 10.
d) 5.
b) 7.
e) 4.
c) 6.
Solução:
Considerando que temos 5 cadeados e 3 chaves, então temos:
C5,3 = 10
189
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
}
Com isso obtemos que, como já dito pelo enunciado, cada uma das pessoas tem
3 chaves não repetidas.
Considerando que o enunciado pede para abrirmos o cadeado A, só nos
interessará as pessoas que possuem uma combinação de chaves na qual esteja presente
a chave A, não importando a ordem. Combinando os outros 4 tipos de chaves que
restam (B, C, D e E) com as 2 possibilidades, temos:
A __ __
C4,2 = 6
Verificamos que existem 6 pessoas que possuem a chave para o cadeado A.
Aplicando o Princípio do Pombal (Veja Capítulo 2), vemos que das 10 pessoas, 4
não têm a chave A. O enunciado pede o número mínimo de pessoas do grupo de
10 que é necessário para ter certeza que o cadeado A será aberto.
Considerando que existem 4 pessoas que não têm a chave A, caso estas sejam
as primeiras a serem escolhidas, o cadeado A não será aberto. Como sabemos que
no grupo temos 6 pessoas que têm a chave, com certeza, em um grupo de 5 pessoas,
uma delas terá a chave A.
Gabarito: D.
8)
Dois indivíduos A e B vão disputar um torneio de tênis. O primeiro a vencer
2 jogos vencerá o torneio. De quantas maneiras esse torneio pode acontecer e
qual o número máximo de partidas a serem jogadas?
a) 6 e 3.
b) 6 e 4.
c) 5 e 3.
d) 5 e 4.
e) 6 e 1.
Solução:
Utilizando o diagrama de árvore, podemos definir os modos de acontecer o jogo:
A------------------------------------------------AA
A
A-------------------------ABA
B
B-------------------------ABB
A-------------------------BAA
A
B
B-------------------------BAB
B------------------------------------------------ BB
Com isso, temos 6 possibilidades de acontecer o jogo.
O número máximo de partidas a serem realizadas é o número de jogos necessário
para vencer o jogo acrescido de uma unidade, ou seja, n + 1. Logo, o número máximo
de partidas é 3.
Gabarito: A.
190
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
9)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(Fuvest-SP/1993) A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade onde
estão assinaladas as casas de João (A), de Maria (B), a escola (C) e um possível
caminho que João percorre para, passando pela casa de Maria, chegar à escola.
Qual o número total de caminhos distintos que João poderá percorrer,
caminhando somente para norte ou leste, para ir de sua casa à escola passando
pela casa de Maria?
Solução:
De acordo com o Principio Fundamental da Contagem, devemos calcular os
caminhos distintos de A até B e o de B até C.
De A até B, temos:
João andará:
•
2 passos para o Norte (‘!);
•
4 passos para o Leste (’!).
Exemplos: N-N-L-L-L-L; L-N-L-N-L-L; ...
Neste caso, temos permutações com repetição.
Caminhos distintos de A até B:
6!
Caminho 1 = P6(2,4) =
= 15
2!4!
De B até C, temos:
João andará:
•
3 passos para o Norte (N);
•
2 passos para o Leste (L).
Exemplos: N-N-N-L-L; L-N-L-N-N; ...
Neste caso, temos também permutações com repetição.
Caminhos distintos de B até C:
5!
Caminho 2 = P5(3,2) =
= 10
3!2!
De A até C, temos o total:
Total = 15 × 10 = 150 possibilidades.
10) Formam-se todos os números de 7 algarismos que podem ser obtidos, permutando-se os algarismos 1, 4, 4, 7, 7, 7 e 8 (por exemplo: 7144778, 1774874,
4478771, ...). Desse total, existem m que são pares e n que são ímpares. Logo,
(n – m) corresponde a:
191
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
a) 60;
b) 66;
c) 72;
ELSEVIER
d) 74;
e) 80.
Solução:
1, 4, 4, 7, 7, 7, 8
ímpar _ _ _ _ _ _ I
n = P62,2 = 6! / 2!2! = 6.5.4.3.2.1 / 2.1.2.1 = 180
pares _ _ _ _ _ _ P
m = P63 = 6! / 3! = 6.5.4.3.2.1 / 3.2.1 = 120
n – m = 180 – 120 = 60
Gabarito: A.
Texto para a questão 11: A Polícia Federal brasileira identificou pelo menos 17
cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 6 dessas cidades estão
na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai. Internet: <www.estadao.
com.br> (com adaptações).
Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item.
11) (Agente de Polícia Federal/Cespe/2009) Se uma organização criminosa escolher
6 das 17 cidades citadas no texto, com exceção daquelas da fronteira do MS
com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização
terá mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha.
Solução:
Total de cidades utilizadas: 17
Cidades na fronteira MS com Paraguai: 6
Cidades que não estão na fronteira MS com Paraguai: 11
Cidades que a organização criminosa poderá escolher: das 11 cidades que não
estão na fronteira MS com Paraguai, de acordo com a questão, serão escolhidas 6.
n!
Cn,p =
(n – p)!p!
C11,6 =
11!
(11 – 6)!6!
= 462
Gabarito: Errado.
12) (Técnico de Finanças e Controle/CGU/Esaf/2008) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana
só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras
diferentes Ana pode escolher as questões?
192
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
a) 3003.
b) 2980.
c) 2800.
d) 3006.
e) 3005.
Solução:
Cn,p =
n!
(n – p)!p!
C15,10 =
15!
(15 – 10)!10!
= 3003
Gabarito: A.
13) (Técnico de Finanças e Controle/CGU/Esaf/2008) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico cliente. Ele – o cliente – exige que uma
das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma sequência de 5 listras
horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se
que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então o número de diferentes
maneiras que a parede pode ser pintada é igual a:
a) 56;
b) 5760;
c) 6720;
d) 3600;
e) 4320.
Solução:
Aplicando a fórmula de Arranjo, podemos escrever:
An,p =
n!
(n – p)!
Uma maneira mais fácil de aplicar a fórmula acima é a partir de n voltarmos p
posições em ordem decrescente, multiplicando-as. No caso da questão, a partir do
8 voltamos 5 posições, multiplicando-as.
A8,5 = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 6720
Gabarito: C.
14) (AFC/STN/Esaf/2005) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresentações de dança no
exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de
apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que, nas apresentações do programa
de danças, devem participar pelo menos duas meninas, o número de diferentes
maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas é igual a:
193
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
a) 286;
d) 371;
b) 756;
e) 752.
c) 468;
Solução:
Como o enunciado pede que o grupo tenha “pelo menos 2 meninas”, podemos
afirmar que no grupo teremos 2, 3 ou 4 meninas. Sendo assim, as formas possíveis
para o grupo são:
I)
2 meninas e 4 meninos
C4,2 × C7,4 = 6 × 35 = 210
II) 3 meninas e 3 meninos
C4,3 × C7,3 = 4 × 35 = 140
III) 4 meninas e 2 meninos
C4,4 × C7,2 = 1 × 21 = 21
Somando todas as maneiras possíveis, temos: 210 + 140 + 21 = 371
Gabarito: D.
15) (Técnico/Petrobras/Cesgranrio/2008) Em uma fábrica de bijuterias são produzidos colares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado
a lado, como mostra a figura.
As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De quantos modos distintos é
possível escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a última
contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas devem ser da
mesma cor e duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes?
a) 336.
d) 556.
b) 392.
e) 612.
c) 448.
Solução:
Para facilitar a resolução da questão, iremos marcar os cinco espaços das contas:
__ __ __ __ __
Como temos 8 cores de contas disponíveis, a primeira conta pode ser qualquer
uma das 8 cores. A quinta conta deve ser da mesma cor da primeira. Dado que já
escolhemos uma das 8 cores, para a quinta conta só temos uma opção a escolher.
Os espaços ficam preenchidos assim:
8 __ __ __ 1
194
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Para escolher a segunda conta, não podemos repetir a cor da primeira. Sendo
assim, temos 7 opções de cores. Como a quarta conta deve ser da mesma cor da
segunda, só temos 1 opção a escolher. Os espaços ficam preenchidos assim:
8 7 __ 1 1
Como não podemos repetir cores consecutivamente, para a terceira conta não
podemos repetir a cor da segunda conta, no entanto, podemos repetir a cor da
primeira conta. Como temos 8 cores, temos 7 possibilidades para a terceira conta.
Os espaços ficam preenchidos assim:
87711
Pelo princípio fundamental da contagem, podemos escrever que o número de
combinações possíveis é: 8 × 7 × 7 × 1 × 1 = 392
Gabarito: B.
16) (Analista Administrativo/Anac/2009) O número de rotas aéreas possíveis
partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza,
Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala
em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12.
Solução:
Cidades de partida: 3
Cidades de destino: 7
Escala: 4
Pelo princípio fundamental da contagem: 3 × 7 × 4 = 48 (que é múltiplo de 12)
Gabarito: Certo.
17) (Analista Administrativo/Anac/2009) Considerando que: um anagrama de uma
palavra é uma permutação das letras dessa palavra, tendo ou não significado na
linguagem comum, α seja a quantidade de anagramas possíveis de se formar
com a palavra AEROPORTO, β seja a quantidade de anagramas começando
por consoante e terminando por vogal possíveis de se formar com a palavra
TURBINA; e sabendo que 9! = 362.880 e 5! = 120, então α = 21β.
Solução:
362.880
9!
α = anagramas de AEROPORTO:
=
12
2! × 3!
β = anagramas começando por consoante e terminando por vogal com a palavra
TURBINA:
4
×
consoante
5
×
4
×
3
×
2
×
1
×
3
vogal
β = 4 × 3 × 5! = 12 × 120
195
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Escrevendo α em função de β, α = kβ. Verificaremos se k = 21
362.880
12
k=
= k × (12 × 120)
362.880
12 × 12 × 120
= 21
Gabarito: Certo.
18) (Analista Administrativo/Anac/2009) O número de comissões constituídas por
4 pessoas que é possível obter de um grupo de 5 pilotos e 6 copilotos, incluindo,
pelo menos, 2 pilotos, é superior a 210.
Solução:
Comissões com 2 pilotos: C5,2 × C6,2
Comissões com 3 pilotos: C5,3 × C6,1
Comissões com 4 pilotos: C5,4
Total de comissões = C5,2 × C6,2 + C5,3 × C6,1 + C5,4
Total de comissões = 10 × 15 + 10 × 6 + 5
Total de comissões = 150 + 60 + 5 = 215
Gabarito: Certo.
19) (Escriturário/Banco de Brasília/2010) Considere que as senhas de banco de
Sérgio e de Carla sejam compostas de uma primeira parte numérica de 6 algarismos que assumem valores de 0 a 9 e uma segunda parte constituída de três
letras entre as 26 letras do alfabeto. Considere ainda que as partes alfabéticas
das senhas de Sérgio e Carla sejam, respectivamente, TMW e SLZ, e que não
sejam permitidas senhas numéricas com todos os números iguais. Nessa situação, o número total de senhas possíveis nesse banco cuja parte alfabética não
contenha nenhuma das letras existentes na senha de Sérgio ou na de Carla é
menor que 8 bilhões.
Solução:
Parte numérica: 6 algarismos (não podem ser todos iguais):
Parte alfabética: 20 letras (não pode utilizar as letras T, M, W, S, L e Z)
Pelo princípio fundamental da contagem, temos:
Total de senhas = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 9 × 20 × 20 × 20 = 7.200.000.000
Gabarito: Certo.
20) (Escriturário/Banco de Brasília/2010) Considerando-se que, no banco de dados
dos clientes do banco BRB, existam pelo menos 35 contas-correntes cujos códigos de três letras usam apenas as letras B e R, que apenas um correntista use
196
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
o código BBB e que, no máximo, três correntistas usem o código BRB, então
existem pelo menos cinco correntistas do BRB com o mesmo código de três
letras, usando apenas as letras B e R.
Solução:
Como são pelo menos 35 contas-correntes com códigos que usam apenas B e R,
temos que são 35 contas ou mais que possuem o código com essas letras.
O número de códigos possíveis com as letras B e R, pelo princípio fundamental
da contagem, é 2 × 2 × 2 = 8 códigos.
Assim, temos 35 ou mais contas que possuem estes 8 códigos, ou seja, temos
contas com códigos repetidos.
Dado que apenas 1 pessoa possui o código BBB, restarão 34 contas ou mais que
possuem 7 códigos.
Dado também que no máximo 3 correntistas usam o código BRB, podemos
afirmar que existem 3, 2, ou 1 correntista com esse código. Nesse caso, restarão 6
códigos para 31 contas ou mais.
Como temos pelo menos 31 contas para 6 códigos, se dividirmos 31 por 6 vemos
que pelo menos 5 pessoas terão os códigos repetidos.
Gabarito: Certo.
19.5. Exercícios Propostos
1)
De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode ir a uma festa com dois sapatos, três
calças e três blusas?
a) 18.
d) 24.
b) 20.
e) 26.
c) 22.
2)
Em uma corrida com dez participantes, de quantas maneiras pode-se obter os três
primeiros lugares?
a) 700.
d) 730.
b) 710.
e) 740.
c) 720.
3)
De uma cidade A para uma cidade B há três caminhos. De quantas maneiras podemos ir
de A até C e voltar sem passar pelo mesmo caminho de ida?
a) 23.
d) 132.
b) 32.
e) 140.
c) 130.
4)
Dados oito pontos não colineares, quantos segmentos de reta podemos formar?
a) 56.
d) 28.
b) 50.
e) 22.
c) 20.
197
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
5)
6)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
Quantas diagonais têm um decágono?
a) 45.
b) 40.
c) 35.
ELSEVIER
d) 30.
e) 25.
Considerando a palavra “capítulo”:
a) Quantos anagramas podemos formar?
b) Quantos anagramas podemos formar começados e terminados por consoantes?
c) Quantos anagramas podemos formar com vogal e consoantes intercalados?
d) Quantos anagramas podemos formar com as letras CAP juntas e nessa ordem?
e) Quantos anagramas podemos formar com C em 1o e A em 2o?
f) Quantos anagramas podemos formar com C em 1o ou A em 2o?
(UnB) Texto sobre o Filme “O Cubo”:
Medo... paranoia... desespero... não procure uma razão... procure uma saída...
“... Seis pessoas comuns, totalmente estranhas entre si, acordaram presas num labirinto. Nele
existem salas interligadas em forma de cubos e preparadas com armadilhas mortais. Sem
comida e água, suas vidas estão com os dias contados.
Nenhum deles sabe como ou por que estão presos, mas logo descobrem que cada um tem uma
habilidade especial que poderá contribuir para a fuga.”
198
7)
Julgue os itens a seguir como certo (C) ou errado (E) de acordo com o texto.
( ) Se, no labirinto, cujo formato é um cubo e cada face tem uma cor, podemos ter 720
cubos diferentes de acordo com o texto.
( ) Cada face de um dado admite quatro posições.
( ) Podemos ter 30 dados diferentes com faces indistinguíveis.
8)
(UnB) “Em um certo país, dez cientistas trabalham num projeto sigiloso. Para preservar
o sigilo, os planos são guardados em um armário protegido por muitos cadeados, de
modo que só é possível abri-los todos havendo o mínimo de cinco cientistas presentes.”
Julgue os itens a seguir.
( ) O número mínimo de cadeados que pode haver é 210.
( ) Cada cientista deve ter mais de 126 chaves.
9)
Uma sorveteria nos oferece dez sabores, quero comprar três sorvetes, logo tenho C12,3
maneiras de comprar o sorvete.
( ) Certo.
( ) Errado.
10)
O número de soluções inteiras não negativas de X + Y + Z + W = 6 vale 84.
( ) Certo.
( ) Errado.
11)
Sobre uma reta R temos seis pontos, e sobre uma reta S temos três pontos. Quantos
triângulos podemos formar com esses pontos?
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
12)
Um baralho tem 52 cartas. De quantas formas posso tirar quatro cartas de forma que a
primeira seja A?
13)
Um baralho tem 52 cartas. De quantas formas posso tirar quatro cartas de forma que
pelo menos duas sejam iguais?
14)
Com os números 1, 2, 3, 4, 5 a posição ocupada pelo número 51.423 (sem repetição) é
acima de 58.
( ) Certo.
( ) Errado.
15)
Quantos anagramas podemos formar com a palavra “batata”?
16)
A partir de um conjunto de 19 atletas formam-se 57 times de quatro atletas cada. Todos
os atletas participaram de um mesmo número de times, e cada par de atleta fica junto
num mesmo time o mesmo número X vezes. Julgue como certo ou errado.
( ) Cada atleta participa de 12 equipes.
( ) Neste caso x = 2.
17)
Com os algarismos de 1 até 5 quantos números pares podemos formar?
18)
O número de diagonais de um polígono pode ser escrito pela fórmula n(n – 3)/2?
( ) Certo.
( ) Errado.
19)
Em uma fila de 3 homens e 4 mulheres:
a) De quantas maneiras eles podem se alternar?
b) De quantas maneiras eles podem se alternar, em que o grupo de homens fique sempre
junto?
c) De quantas maneiras eles podem se alternar de modo que tenhamos 2 grupos (um só
de homens e um só de mulheres) sempre juntos?
20)
Com a palavra “papiloscopista” podemos formar 108 anagramas.
( ) Certo.
( ) Errado.
21)
Uma senha bancária é formada por quatro dígitos, não podendo dígitos consecutivos serem
iguais. Assim, por exemplo, 0303 é uma senha válida, mas 1447 não é uma senha válida.
Quantas senhas válidas podem ser formadas?
a) 7.250.
d) 7.310.
b) 7.270.
e) 7.330.
c) 7.290.
22)
De quantos modos podemos pintar os quadrantes do plano se dispomos de quatro cores,
e quadrantes adjacentes não devem ter a mesma cor?
a) 34.
d) 40.
b) 36.
e) 42.
c) 38.
199
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
200
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
23)
Um time de basquete tem dez jogadores. Quantos times diferentes de cinco jogadores
podemos formar?
( ) Abaixo de 250 times.
( ) Exatamente 252 times.
24)
De quantos modos podemos dividir 12 objetos em três grupos de quatro? Esse valor é
acima de 1.000?
( ) Sim.
( ) Não.
25)
A quantidade de modos de dividir 20 objetos em dois grupos de cinco e cinco grupos de
dois é acima de 104?
( ) Sim.
( ) Não.
3n!
26)
é um número inteiro.
2n.3n
( ) Certo.
( ) Errado.
27)
As maneiras possíveis de selecionar os jogos da primeira rodada com 12 times disputando
é acima de 200.
( ) Certo.
( ) Errado.
28)
(FCC/Bacen/Analista/2006) Uma cafeteira automática aceita apenas moedas de 5, 10 ou
25 centavos e não devolve troco. Se cada cafezinho feito nessa máquina custa 50 centavos,
de quantos modos podem ser usadas essas moedas para pagá-lo?
a) 13.
b) 12.
c) 11.
d) 10.
e) 9.
29)
(Fuvest/2002) Se o mês de dezembro só tiver quatro domingos, o dia de Natal não poderá
ser:
a) quarta-feira;
d) sábado;
b) quinta-feira;
e) domingo.
c) sexta-feira;
30)
(FCC/TRT/Auxiliar Judiciário/2006) Uma pessoa tem apenas uma nota de 10 reais para
pagar a quantia de R$ 9,35 gasta em uma padaria. Se o caixa dessa padaria só dispõe
de moedas de 25, 10 e 5 centavos, de quantas maneiras poderá ser dado o troco a tal
pessoa?
a) 12.
d) 15.
b) 13.
e) 16.
c) 14.
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
31)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(NCE/ANTT/Técnico/2002) De cada vértice de um hexágono regular
saem três diagonais, como mostra a figura:
O número total de diagonais de um hexágono é então igual a:
a) 18;
d) 9;
b) 16;
e) 6.
c) 12;
19.6. Probabilidade
É bom definir a diferença entre a ciência da probabilidade e da estatística.
Ambos os casos pressupõem a existência de um modelo, mas, no caso da ciência da
probabilidade, os parâmetros são conhecidos, e a probabilidade de eventos pode
ser conhecida diretamente.
Ao contrário, na ciência da estatística, os parâmetros do modelo são
desconhecidos e devem ser estimados a partir dos dados obtidos de uma amostra.
Logo, na estatística, pretendemos aprender algo sobre um modelo matemático como
resultado de alguma experiência.
É claro que a estatística não pode responder qual será o resultado da experiência.
Entretanto, todos temos uma ideia intuitiva de probabilidades, e esta tenta quantificar
o nosso conhecimento sobre algum tipo de experiência de interesse cujo resultado
ainda não foi observado.
19.7. Espaço Amostral
É o conjunto de todos os possíveis resultados de uma experiência aleatória.
Representação: Ω
19.8. Evento
Um evento é um subconjunto qualquer de Ω.
Representação: E.
19.9. Experiência Aleatória
Ocorre quando não temos como definir deterministicamente, mas temos, nesses
casos, os mecanismos de sorte e azar que estão envolvidos (jogo de dado, moeda etc.).
19.10. Probabilidade
É a razão entre o número de eventos sobre o espaço amostral.
n(E)
P=
n(Ω)
1)
Exemplos:
No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair um número par?
201
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
Solução:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {2, 4, 6}
P(E) = 3/6 = 1/2
2)
ELSEVIER
n(Ω) = 6 (lê-se: quantidade de elementos do espaço
amostral)
n(E) = 3 (lê-se: quantidade de elementos do evento par)
No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de sair o evento cuja soma
dos valores vale 7?
Ω = 6 × 6 = 36
n(Ω) = 36
n(E) = 6
p = 1/6
Veja a tabela do espaço amostral:
19.11. Axiomas da Medida de Probabilidade
Definição: P: A → R é uma função definida na T álgebra A com valores reais
(em R), satisfazendo:
•
P (Ω) = 1
•
P (A) ≥ 0
•
Se A1, A2, ... são mutuamente exclusivos, Ai ∩ Aj = Ø, vi ≠ j, então: P(∪ Ai) = ΣP(Ai)
19.12. Axiomas Fundamentais
202
1)
P(A ∪ Ac) = 1
P(A) + P(Ac) = 1
P(Ac) = 1 – P(A)
2)
Se B ⊂ A, então:
P(A|B) = P(A) – P(B) ou:
P(A) = P(A|B) + P(B)
3)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
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19.13. Exercícios Resolvidos
1)
Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de observarmos a face cara
é três vezes maior do que observarmos a face coroa. Calcule a probabilidade
de sair cara em um lançamento dessa moeda:
a) 35%;
d) 65%;
b) 45%;
e) 75%.
c) 55%;
Solução:
P (A) + P (A) = 1
P (|c) = 3 P (c)
4 Pc = 1
Pc = ¼ = 0,25 × 100 = 25%
Logo Pk = 75%
Gabarito: E.
2)
(UFPE/1999) Ao entrar em uma casa de amigos, cinco pessoas deixam seus
guarda-chuvas com a dona da casa. Quatro pessoas resolvem pedi-los de volta
para sair, a dona da casa constata que todos eles são aparentemente iguais e
resolve distribuí-los ao acaso. Qual a probabilidade de exatamente três pessoas
receberem cada uma o seu próprio guarda-chuva?
a) 1/5;
d) 1/12;
b) 3/5;
e) 1/36.
c) 7/12;
Solução:
n (Ω) = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
60
A5,3
n (E) =
=
= 10
6
3!
1
10
Logo, P(E) =
=
12
120
Gabarito: D.
3)
Uma moeda honesta é arremessada seis vezes. Qual a probabilidade de obter
exatamente três caras?
a) 3/16.
d) 9/16.
b) 5/16.
e) 11/16.
c) 7/16.
Solução:
Cara (C) = ½
Coroa (K) = ½ = 26
203
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
C6,3 = 20
5
20
Logo, P =
=
16
64
Gabarito: B.
4)
(UFRJ) Fernando e Cláudio foram pescar num lago onde só existem trutas e
carpas. Fernando pescou no total o triplo da quantidade pescada por Cláudio.
Fernando pescou duas vezes mais trutas que carpas, enquanto Cláudio pescou
quantidades iguais de carpas e trutas. Os peixes foram todos jogados num balaio,
e uma truta foi escolhida ao acaso desse balaio. Determine a probabilidade de
que essa truta tenha sido escolhida ao acaso desse balaio.
Solução:
Cláudio pescou: N (peixes), N/2 trutas.
Fernando: 3N (peixes), 2N trutas e N carpas.
Calculando a probabilidade:
2N
4
=
P=
5
N
2N +
2
5)
(UFRJ/1998) Duzentas bolas pretas e duzentas bolas brancas são distribuídas
em duas urnas, de modo que cada uma delas contenha 100 bolas pretas e 100
brancas. Uma pessoa retira ao acaso uma bola de cada urna. Determine a
probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam de cores distintas.
Solução:
100
P=
= 50%
200
O enunciado a seguir refere-se às questões de nos 6 e 7.
Em um jogo, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo,
estando representadas em cada uma delas as letras T, C e E. As fichas
encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar
as fichas, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TCE.
Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta, ganhará um
prêmio de R$ 500,00.
6)
204
(TCE-RO/Analista/Cesgranrio/2007) A probabilidade de o participante não
ganhar qualquer prêmio é igual a:
a) 0;
d) 1/3;
b) 1/6;
e) 1/2.
c) 1/4;
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução:
I) Acertar as 3 posições: n = 3
T C E
Fazendo-se a permutação dessas 3 letras, temos: 3! = 6 possibilidades de montar
a sigla.
A probabilidade de acertar a posição das 3 letras e obter a sigla TCE é de 1 em
6 possibilidades, logo temos P = 1/6.
II) Acertar 2 posições: n = 2
Caso 2 letras estejam nas posições corretas, como temos apenas 3 letras, com
certeza a 3a também estará na posição correta; sendo assim, estamos diante do caso
I, acertar as 3 letras; logo, P = 1/6.
III) Acertar 1 posição: n = 1
A probabilidade de acerto de 1 letra é 1 em 3, ou seja, P = 1/3.
Probabilidade total de acertar:
1/6 + 1/6 + 1/3 = 4/6
Probabilidade de não ganhar:
1 – 4/6 = 1/3
Gabarito: D.
7)
(TCE-RO/Analista/Cesgranrio/2007) A probabilidade de o participante ganhar
exatamente o valor de R$ 1.000,00 é igual a:
a) 3/4;
d) 1/6;
b) 2/3;
e) 0.
c) 1/2;
Solução:
Para o participante ganhar exatamente R$ 1.000,00, ele deve acertar exatamente
2 letras. Observando o caso II do exercício 6, onde n = 2, vimos que sempre que o
participante acertar 2 letras a terceira também estará correta, ou seja, n = 3 e ele
ganhará R$ 1.500,00. É impossível que o participante acerte apenas 2 letras, sendo
impossível que ganhe apenas R$ 1.000,00, sendo esta probabilidade igual a zero.
Gabarito: E.
8)
(TCE-RO/Analista/Cesgranrio/2007) Considerando-se 240 processos divididos
em dois grupos de 120 processos cada, qual a probabilidade de dois desses
processos ficarem no mesmo grupo?
a) 119/239.
d) 120/240.
b) 129/242.
e) 128/248.
c) 117/221.
205
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução:
240
I
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
120
II
120
Como os processos devem estar no mesmo grupo, podemos escrever :
119
P=1×
339
Gabarito: A.
9)
(TCE-RO/Analista/Cesgranrio/2007) Sara tem três cartões magnéticos de
Bancos diferentes, A, B e C. Na última semana ela usou os três cartões para
retirar dinheiro em caixas eletrônicos (o mesmo valor e a mesma quantidade de
notas), e descobriu que uma das notas sacadas durante esse período era falsa. O
banco A diz que a probabilidade de uma nota ser falsa, dado que o dinheiro foi
retirado de um de seus caixas eletrônicos, é 0,2%. Já os Bancos B e C afirmam
que essas probabilidades para os seus caixas eletrônicos são, respectivamente,
0,1% e 0,05%. Sara recebeu uma nota falsa. Qual é a probabilidade dessa nota
ter vindo do Banco A?
a) 0,47.
d) 0,77.
b) 0,57.
e) 0,87.
c) 0,67.
Solução:
A: 0,20
B: 0,10
C: 0,05
Total: 0,35
P(Falsa /bancoA) = 0,20 /0,35 = 0,57
Gabarito: B.
10) Observe a figura abaixo:
0
1
1
2
3
2
206
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Esta figura sugere uma roleta de um programa de televisão. Gira-se o ponteiro
e anota-se o número que ele aponta ao parar; repete-se a operação. A probabilidade de que o produto dos números obtidos seja igual a 6, é:
a) 1/9;
d) 1/3;
b) 1/6.
e) 1/2.
c) 1/4;
Solução:
Casos possíveis
1o giro
6 possibilidades
2 giro
6 possibilidades
o
Total: 6 × 6 = 36 possibilidades
Casos favoráveis
Casos possíveis
1 giro
2o giro
3
2
3
2
2
3
2
3
o
4 possibilidades
P = favoráveis / possíveis
P = 4 / 36 = 1 / 9
Gabarito: A.
11) Num setor em que trabalham 6 homens e 4 mulheres, será escolhida, por sorteio, uma comissão de 2 representantes desse setor. A probabilidade de que a
comissão venha a ser formada somente por homens é de:
a) 1/2;
d) 1/5;
b) 1/3;
e) 1/6.
c) 1/4;
Solução:
Homens – 6
Mulheres – 4
Casos possíveis: C10,2
Casos favoráveis: C6,2
P = favoráveis / possíveis
6!
2!4!
P = C10,2 / C6,2 =
= 6 × 5 / 10 × 9
10!
P = 1/3
2!8!
Gabarito: B.
207
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Texto para a questão 12: De acordo com o jornal espanhol El País, em 2009 o
contrabando de armas disparou nos países da América Latina, tendo crescido 16%
nos últimos 12 anos. O crime é apontado como o principal problema desses países,
provocando uma grande quantidade de mortes. O índice de homicídios por 100.000
habitantes na América Latina é alarmante, sendo, por exemplo, 28 no Brasil, 45 em
El Salvador, 65 na Colômbia, 50 na Guatemala.
Tendo como referência as informações apresentados no texto acima, julgue o
item que se segue.
12) (Agente de Polícia Federal/CESPE/2009) Se, em cada grupo de 100.000
habitantes da Europa, a probabilidade de que um cidadão desse grupo seja
assassinado é 30 vezes menor que essa mesma probabilidade para habitantes
de El Salvador ou da Guatemala, então, em cada 100.000 habitantes da Europa,
a probabilidade referida é inferior a 10– 5.
Solução:
P(E) =
casos favoráveis
casos possíveis
Para habitantes de El Salvador ou Guatemala, de acordo com o texto, a probabilidade de assassinato pode ser escrita como:
P(E) =
45 + 50
100000
=
95
100000
= 95 × 10–5
Como a probabilidade de assassinato na Europa é 30 vezes menor, devemos
dividir o resultado acima por 30. Sendo assim, podemos escrever:
P(E) =
95 × 10–5
30
= 3,16 × 10–5
Como 3,16 × 10– 5 é maior que 10– 5, o item está incorreto.
Gabarito: Errado.
13) (Analista/Finep/Cespe-UnB/2009) Segundo o sítio www.finep.gov.br, são 16
os Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia e há um Comitê de Coordenação
dos Fundos Setoriais. Suponha que esses fundos sejam numerados de 1 a 16 e
que esse comitê promoveu ações formando conjuntos de 4 fundos e entre esses
selecionou 4 conjuntos de fundos para financiar as primeiras ações. Nesse caso,
a probabilidade de que esses 4 conjuntos de fundos selecionados coincidam
com os conjuntos formados pelos fundos {1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7, 8}, {9, 10, 11, 12},
{13, 14, 15, 16} é:
a) inferior a 0,001;
b) superior a 0,001 e inferior a 0,003;
208
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
c) superior a 0,003 e inferior a 0,063;
d) superior a 0,063 e inferior a 0,230;
e) superior a 0,230.
Solução:
Temos 16 fundos setoriais, queremos formar conjuntos de 4 fundos e obter
dentre esses conjuntos 4 conjuntos de fundos.
Aplicando a fórmula de combinação, temos:
n!
Cn,p =
(n – p)!p!
C16,4 =
16!
(16 – 4)4!
= 1820
Obtemos então 1820 possibilidades. Escolhendo 4 fundos dos 1820, tem-se:
P(E) =
4
1820
= 0,002
Gabarito: B.
14) (Administrador/Agência Nacional de Águas/Esaf/2009)Uma urna possui 5
bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3
bolas, qual o valor mais próximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da
mesma cor?
a) 11,53%.
d) 5,15%.
b) 4,24%.
e) 3,96%.
c) 4,50%.
Solução:
P(E) =
casos favoráveis
casos possíveis
Probabilidade de tirar 3 bolas azuis:
P(E) =
5
15
×
4
14
×
3
13
=
60
2730
Probabilidade de tirar 3 bolas vermelhas:
P(E) =
4
15
×
3
14
×
2
13
=
24
2730
Probabilidade de tirar 3 bolas amarelas:
P(E) =
4
15
×
3
14
×
2
13
=
24
2730
209
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Probabilidade de tirar 3 bolas verdes: não é possível retirar 3 bolas verdes, dado
que existem apenas 2 bolas verdes. Nesse caso, a probabilidade é zero.
Probabilidade de tirar 3 bolas da mesma cor: é obtida pela soma das probabilidades das cores acima:
P(E) =
60 + 24 + 24
2730
=
108
2730
= 0,0395 ≅ 3,96%
Gabarito: E.
15) (Técnico de Finanças e Controle/CGU/Esaf/2008) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele
encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos,
Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar
Ricardo ou Fernando é igual a:
a) 0,04.
b) 0,40.
c) 0,50.
d) 0,45.
e) 0,95.
Solução:
Probabilidade da união de dois eventos é escrita por:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A ∪ B) =0,40 + 0,10 – 0,05
P(A ∪ B) =0,5 – 0,05
P(A ∪ B) =0,45
Gabarito: D.
19.14. Independência de dois Eventos
A ocorrência de A não melhora nossa posição para predizer a ocorrência de
B. Essa ideia é formalizada dizendo que a probabilidade condicional de B dado A
é igual à probabilidade de B.
P(B/A) = P(B)
P(B ∩ A)
= P(B)
P(A)
P(B ∩ A) = P(B) × P(A)
Definição: Dois eventos A e B são chamados independentes se:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
210
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Exemplo:
13 cartas são escolhidas de um baralho comum de 52 cartas. Seja o evento “A”
um Às de copas (está entre as 13 cartas) e o evento “B” o fato de as 13 cartas serem
do mesmo naipe. Provar que A e B são independentes.
P(A) =
P(B) =
C51,12
C52,13
1
C52,13
Logo, P(A B) =
=
1
4
×4
1
4
×
1
C52,13
×4=
1
C52,13
19.15. Exercícios Propostos
1)
(Esaf/MPU/Técnico/2004) Quando Lígia para em um posto de gasolina, a probabilidade
de ela pedir para verificar o nível do óleo é de 0,28, a pressão dos pneus, 0,11, e ambos,
0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir para
verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a:
a) 0,25;
d) 0,15;
b) 0,35;
e) 0,65.
c) 0,45;
2)
(NCE/IBGE/Tecnologista/2001) Numa população muito grande de trabalhadores, 64% das
pessoas usam transportes coletivos em seus deslocamentos diários para o trabalho. Se
quatro trabalhadores forem aleatoriamente escolhidos nessa população, a probabilidade de
que apenas um use transporte coletivo é:
a) 12%;
d) 28%;
b) 16%;
e) 36%.
c) 20%;
3)
Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez pessoas dessa cidade
são escolhidas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de que exatamente sete das
pessoas selecionadas possuam carro importado é:
a) (0,1)7 ( 0,9)3;
d) 120.(0,l)7 (0,9);
b) (0,1)3 (0,9)7;
e) 120.(0,1).(0,9)7.
c) 120.(0,1)7 (0,9)3;
4)
(Esaf/Susep/Analista/2002) Considere n repetições independentes de um ensaio no qual
se observa a ocorrência ou não de um evento E. Suponha que E ocorra com probabilidade
0,5. Assinale a opção que corresponde ao valor de n que permite garantir que E vai ocorrer
no mínimo uma vez com probabilidade 0,99. Aproxime n para o inteiro imediatamente
superior:
a) 5;
d) 7;
b) 4;
e) 9.
c) 6;
211
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
212
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
5)
(NCE/IBGE/Tecnologista/2001) Dois eventos A e B são independentes, P[A] = 0,16 e
P[B] = 0,5. A probabilidade de que ocorra A ou B é igual a:
a) 36%;
d) 58%;
b) 42%;
e) 66%.
c) 50%;
6)
(NCE/IBGE/Tecnologista/2001) Alfredo e Bernardo disputarão o seguinte jogo: eles vão
jogar cara ou coroa até que alguém vença três rodadas consecutivas. A probabilidade de
que o jogo termine na quinta rodada é igual a:
a) 0,5;
d) 0,125;
b) 0,375;
e) 0,05.
c) 0,25;
7)
(NCE/ANTT/Técnico/2002) Jessé trabalha no setor administrativo de uma empresa
e precisou consultar, em um certo dia, três processos diferentes. Cada um desses
processos estava numa gaveta diferente de um pequeno arquivo que continha quatro
gavetas. No final do dia, Jessé deveria devolver cada processo à sua respectiva gaveta.
Ele, entretanto, resolveu escolher ao acaso uma gaveta para guardar um dos processos;
uma segunda gaveta, diferente da primeira, para guardar o segundo; e uma terceira
gaveta, das duas que sobraram, para guardar o terceiro processo. A probabilidade de
que Jessé tenha conseguido devolver cada processo à sua gaveta original é de:
a) 1/48;
d) 1/6;
b) 1/24;
e) 1/3.
c) 1/12;
8)
Numa urna são colocados números maiores que 2.500, formados com os algarismos
1, 2, 3, 4 e 5, sem repetição. A probabilidade de se retirar dessa urna um número com
apenas quatro algarismos é:
a) 0,33...
b) 0,34...
c) 0,37...
d) 0,39...
e) 0,41...
9)
(TSE/Técnico Judiciário/Cespe/2007) Para se ter uma ideia do perfil dos candidatos ao
cargo de Técnico Judiciário, 300 estudantes que iriam prestar o concurso foram selecionados ao acaso e entrevistados, sendo que, entre esses, 130 eram homens. Como
resultado da pesquisa, descobriu-se que 70 desses homens e 50 das mulheres entrevistadas estavam cursando o ensino superior. Se uma dessas 300 fichas for selecionada ao
acaso, a probabilidade de que ela seja de uma mulher que, no momento da entrevista,
não estava cursando o ensino superior é igual a:
a) 0,40;
b) 0,42;
c) 0,44;
d) 0,46.
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
10)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(Petrobras/Técnico/Cesgranrio/2008) Pedro está jogando com seu irmão e vai lançar
dois dados perfeitos. Qual a probabilidade de que Pedro obtenha pelo menos 9 pontos
ao lançar esses dois dados?
a) 1/9.
d) 5/18.
b) 1/4.
e) 7/36.
c) 5/9.
Texto para as questões de 11 a 13:
(Banco do Brasil/Escriturário/Cespe/2003) Dica de segurança: saiba mais sobre o código
de acesso.
O código de acesso consiste em uma sequência de três letras distintas do alfabeto, gerada
automaticamente pelo sistema e informada ao cliente. Para efetuar transações a partir
de um terminal de autoatendimento, esse código de acesso é exigido do cliente pessoa
física, conforme explicado a seguir.
É apresentada ao cliente uma tela em que as 24 primeiras letras do alfabeto estão agrupadas em 6 conjuntos disjuntos de 4 letras cada. Para entrar com a primeira letra do seu
código de acesso, o cliente deve selecionar na tela apresentada o único conjunto de letras
que a contém. Após essa escolha, um novo agrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto
em 6 novos conjuntos é mostrado ao cliente, que deve então selecionar o único conjunto que
inclui a segunda letra do seu código. Esse processo é repetido para a entrada da terceira
letra do código de acesso do cliente. A figura a seguir ilustra um exemplo de uma tela com
um possível agrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto em 6 conjuntos.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
11)
(
)
Suponha que uma pessoa observe atentamente um cliente do BB enquanto
este digita o seu código de acesso. Suponha ainda que ela observe que os três
conjuntos de letras em que aparecem o código do cliente são disjuntos e, tendo
memorizado esses três conjuntos de letras, na ordem em que foram escolhidos,
faça um palpite de qual seria o código de acesso do cliente. Nessas condições, a
probabilidade de que o palpite esteja certo é inferior a 0,02.
12)
(
)
Para um cliente do BB chamado Carlos, a probabilidade de que todas as letras
do seu código de acesso estejam incluídas no conjunto das letras que formam o
seu nome é inferior a 0,01.
13)
(
)
Para um cliente do BB chamado Carlos, a probabilidade de que todas as letras
do seu código de acesso sejam diferentes das letras que compõem o seu nome
é inferior a 0,5.
213
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
214
)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
14)
(
(TRT-9 a Região/Analista/Cespe/2007) Julgue como certo ou errado: De 100
processos guardados em um armário, verificou-se que 10 correspondiam a
processos com sentenças anuladas, 20 estavam solucionados sem mérito e 30
estavam pendentes, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente.
Nessa situação, a probabilidade de se retirar desse armário um processo que
esteja com sentença anulada, ou que seja um processo solucionado sem mérito,
ou que seja um processo pendente, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do
prazo vigente, é igual a 3/5.
15)
(Aneel/Técnico/Esaf/2004) Ana é enfermeira de um grande hospital e aguarda com ansiedade o nascimento de três bebês. Ela sabe que a probabilidade de nascer um menino
é igual à probabilidade de nascer uma menina. Além disso, Ana sabe que os eventos
“nascimento de menino” e “nascimento de menina” são eventos independentes. Deste
modo, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é igual a:
a) 2/3;
d) 1/4;
b) 1/8;
e) 3/4.
c) 1/2;
16)
(Aneel/Técnico/Esaf/2004) Todos os alunos de uma escola estão matriculados no curso
de Matemática e no curso de História. Do total dos alunos da escola, 6% têm sérias
dificuldades em Matemática e 4% têm sérias dificuldades em História. Ainda com referência ao total dos alunos da escola, 1% tem sérias dificuldades em Matemática e em
História. Você conhece, ao acaso, um dos alunos desta escola, que lhe diz estar tendo
sérias dificuldades em História. Então, a probabilidade de que este aluno esteja tendo
sérias dificuldades também em Matemática é, em termos percentuais, igual a:
a) 50%;
d) 33%;
b) 25%;
e) 20%.
c) 1%;
17)
(BNDES/Profissional Básico/NCE/2005) A integridade de um sistema a contra-ataques
externos pode ser definida como o complemento de sua fragilidade. A fragilidade, por
sua vez, é diretamente proporcional ao produto da probabilidade de transação conter
um ataque (Pa) pela probabilidade do ataque ser repelido (Pr).
Sabendo que Pa = 0,99, Pr = 0,99 , e que um sítio recebe 100.000 transações por dia, o
item que contém o número mais próximo ao valor esperado do número de ataques que
causarão algum dano é:
a) 2.000;
d) 98.000;
b) 10.000;
e) 99.000.
c) 50.000;
18)
(FGV/Analista de Tecnologia da Informação/2006) Uma urna contém quatro bolas de cores
diferentes. Sacam-se, com reposição, quatro bolas dessa urna. Qual é a probabilidade
de que sejam sacadas, em qualquer ordem, duas bolas de uma cor e duas de outra cor?
a) 3/64;
d) 15/64;
b) 9/64;
e) 21/64.
c) 11/64;
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
19)
(CESG/Administrador Júnior/2011) O gerente de um projeto quer dividir sua equipe, que
é composta de 12 pessoas, em três grupos de quatro pessoas cada um. Entretanto, duas
dessas pessoas, João e Maria, por questões de perfil profissional, serão colocadas em
grupos diferentes. O número de maneiras distintas que esse gerente tem para dividir
sua equipe segundo a forma descrita é:
a) 930;
b) 3.720;
c) 4.200;
d) 8.640;
e) 12.661.
20)
(Cesgranrio/Analista de Sistemas Júnior/2001/Transpetro) Deseja-se identificar cinco
vagas de um estacionamento para uso da diretoria de uma empresa, cada uma com uma
cor. Entretanto, há restrições: as vagas estão dispostas linearmente e são adjacentes,
só há três cores diferentes no almoxarifado e duas vagas consecutivas não podem ter a
mesma cor. De quantas maneiras essa identificação é possível?
a) 15;
b) 32;
c) 48;
d) 125;
e) 243.
21)
(Cremesp-SP/2011/Administrador de Banco de Dados) O técnico de uma seleção de
basquete precisa convocar mais 4 jogadores para compor sua equipe. Ele decidiu que
esses jogadores serão convocados considerando-se apenas atletas pré-selecionados
de duas equipes: A e B. Da equipe A serão convocados 2 atletas dentro de um total de
3 pré-selecionados. Da equipe B serão convocados 2 atletas dentro de um total de 4
pré-selecionados. Se todos os atletas têm igual potencial de jogo, o número de grupos
diferentes de 4 jogadores convocados que poderão ser formados é:
a) 72;
b) 18;
c) 15;
d) 9;
e) 5.
ROBÔ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
215
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
22)
A palavra ROBÔ, escrita no retângulo de número 0, indica a posição inicial de um robô
que está em uma superfície formada por retângulos. Esse robô pode se movimentar
de forma paralela aos lados dos retângulos, sempre para um retângulo com número
maior do que aquele que ele ocupa. Por exemplo, a partir do retângulo número 0, ele
pode se deslocar para o retângulo número 1, ou para o retângulo com o número 4. Ainda
como exemplo, do retângulo número 4, o robô poderá acessar o retângulo número 5 ou
o retângulo número 8. Define-se como CAMINHO a sequência de números que mostram
os retângulos pelos quais o robô passou. Saindo da posição em que está, o número de
caminhos diferentes que o robô pode percorrer para se deslocar até o retângulo número 15, passando pelo retângulo número10 e o número de caminhos diferentes para se
deslocar até o retângulo número 15, não passando por este retângulo número 10, são,
respectivamente:
a) 9 e 5;
b) 12 e 8;
c) 15 e 4;
d) 20 e 8;
e) 25 e 10.
23)
(IPT-SP/2011/Analista de Sistemas) Os números fracionários impressos na cartela apresentada são recortados, um a um, e colocados em uma urna adequada para sorteios. O
sorteio apresenta probabilidade igual para qualquer um desses números. Três números
são retirados da urna, em sequência e sem reposição.
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
A probabilidade de que dois desses números sorteados sejam números maiores que 1
e menores que 2 e de que o outro número sorteado seja menor que 1 é um valor situado
entre:
a) 1,0% e 1,5%;
b) 1,5% e 2,0%;
c) 2,0% e 2,5%;
d) 2,5% e 3,0%;
e) 3,0% e 3,5%.
216
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
24)
(IPT-SP/2011/Analista de Sistemas) Em uma pequena vila situada em uma ilhota, foi
instituído um sistema de identificação das motocicletas que havia no local. A placa de identificação era formada por uma dentre as letras A, B, C, D seguida por dois dentre, apenas,
os algarismos 1 e 2, podendo existir a repetição de algarismos. Sabe-se que o número
de motocicletas emplacadas do local foi suficiente para esgotar todas as possibilidades
que o sistema de identificação possibilitava. Certo dia, ocorreu um acidente envolvendo
3 motocicletas dessa vila. O número de formações possíveis dos trios de motocicletas
envolvidas no acidente e a probabilidade (em porcentagem aproximada para a unidade)
desse trio possuir placas com a mesma formação numérica são, respectivamente:
a) 128; 5%;
b) 128; 7%;
c) 256; 5%;
d) 360; 3%;
e) 560; 3%.
25)
(Vunesp/Professor de Matemática/2011) Suponha que você coordene três salas de aula:
uma com 20 alunos, outra com 25 e a terceira com 22 alunos. Suponha, também, que
você precise escolher um aluno de cada turma para formar um trio que representará
essas salas de aula em uma reunião. Se k for o número de maneiras diferentes para
você formar esse trio, implica que:
a) 1 < k < 100;
b) 100 < k < 1 000;
c) 1 000 < k < 10 000;
d) 10 000 < k < 100 000;
e) 100 000 < k < 1 000 000.
26)
(Vunesp/Professor de Matemática/2011) Lançam-se, ao mesmo tempo, um dado verde
com formato de cubo, um dado amarelo com formato de dodecaedro regular e uma moeda com duas faces diferentes: cara e coroa. Sabe-se que os dois dados possuem suas
faces enumeradas com números naturais: o dado verde conforme a sequência 1, 2, …, n
e o dado amarelo conforme a sequêcia 1, 2, …, m. Considere o seguinte evento: as faces
superiores mostrarem, após o lançamento, número par no dado verde, número ímpar no
dado amarelo e coroa na moeda. A probabilidade de ocorrer tal evento é representada
pela fração:
a) 1/144;
b) 1/72;
c) 1/20;
d) 1/16;
e) 1/8.
27)
(Ceperj/SEEDUC/2011/RJ) As letras B, R, A, S, I, L devem ser escritas nas faces de um
cubo, com uma letra em cada face. O número de maneiras diferentes em que essas letras
podem ser colocadas nas faces do cubo é:
a) 18;
d) 60;
b) 24;
e) 72.
c) 30;
217
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
28)
(Ceperj/2007/Pref. Resende/Prof. de Matemática) Ao arrumar seus livros em uma estante,
Marcelo percebeu que, tentando colocar 30 livros em cada prateleira, a penúltima ficava
com apenas 10 livros, e a última ficava vazia. Ele percebeu ainda que, tentando colocar
27 livros em cada prateleira, a última ficava só com 10 livros. O número total de livros
de Marcelo é:
a) 260;
b) 270;
c) 280;
d) 290;
e) 300.
29)
(Ceperj/2007/Pref. Resende/Prof. de Matemática) Observe a bandeira abaixo.
Considerando que se dispõe de quatro cores para pintá-la, que duas regiões vizinhas não
podem ter a mesma cor e que não é obrigatório usar sempre todas as cores, o número
de maneiras diferentes de pintar essa bandeira é:
a) 24;
b) 36;
c) 48;
d) 64;
e) 96.
30)
(Ceperj/2007/Pref. Resende/Prof. de Matemática) No retângulo quadriculado abaixo,
deseja-se ir do ponto A ao ponto B andando sobre as linhas do desenho, somente para
a direita ou para cima.
B
A
Desse modo, o número de caminhos possíveis que partem de A e chegam a B é:
a) 180;
b) 210;
c) 240;
d) 270;
e) 320.
218
Capítulo 19 I Análise Combinatória e Probabilidade
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
31)
(Cesgranrio/Administrador Júnior/2011/Transpetro) Em um site de compras coletivas,
foi anunciada uma oferta para um jantar em um restaurante de luxo. As regras para
utilização dos cupons eram as seguintes:
•
Limite de uso de 1 cupom por pessoa, gasto em uma única visita.
•
Não é válido para entrega ou viagem.
•
Validade: de segunda a sexta-feira, dentro de uma determinada semana.
Sabendo-se que foram vendidos N cupons e que, na semana destinada à utilização da
oferta, metade dos compradores compareceram ao restaurante na segunda-feira; um
terço do restante foi na terça-feira; na quarta-feira, a quarta parte do que faltava; na
quinta-feira, a quinta parte do restante; e que, na sexta-feira, último dia da oferta, restavam menos de 20 clientes para utilizar o cupom. Se todos os compradores utilizaram
o cupom, o número de compradores que foram atendidos na sexta-feira foi:
a) 10;
b) 12;
c) 14;
d) 16;
e) 18.
32)
(Cesgranrio/Administrador Júnior/2011/Transpetro) Qual é o número de anagramas da
palavra TRANSPETRO em que as letras PETRO ficam juntas e nessa ordem?
6!
2! ⋅ 2!
b) 6!
c) 6! ⋅ 5!
a)
d)
10!
2! ⋅ 2!
e) 10!
33)
(Cesgranrio/Administrador Júnior/2011/Transpetro) Ônibus saem dos terminais A ou
B e, sem passar duas vezes pela mesma cidade, x, y e z, chegam ao terminal C, como
mostra a figura a seguir.
Considere que:
•
19 ônibus passaram pelas cidades x, y e z;
•
25 ônibus passaram pelas cidades x e z;
•
30 ônibus passaram pelas cidades y e z.
219
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
O número mínimo de ônibus que saíram do terminal B é:
a) 6;
b) 11;
c) 19;
d) 24;
e) 30.
220
34)
(Cesgranrio/Administrador Júnior/2011/Transpetro) Dez caixas idênticas precisam ser
embarcadas em três navios com capacidades para 2, 4 e 5 dessas caixas, respectivamente.
O embarque pode ser feito de quantas maneiras diferentes?
a) 3.
b) 11.
c) 40.
d) 253.
e) 720.
35)
(Cesgranrio/Eng. Manutenção Pleno/Mecânica/2011) A figura acima mostra uma ficha
quadrada dividida em 5 regiões: um quadrado central e quatro trapézios iguais.
Essa ficha será pintada de forma que duas regiões vizinhas não tenham a mesma cor.
Escolhidas as cores das regiões, giros na ficha não a tornam diferente. Se 4 cores estão
disponíveis, de quantos modos distintos essa ficha pode ser pintada?
a) 6.
b) 12.
c) 24.
d) 36.
e) 48.
Capítulo 20
Ganhando ou Perdendo
Muitos problemas envolvem perda e ganho (de dinheiro, por exemplo), divisão
de uma quantidade em função do número de pessoas, assim como a saída destas,
acarretando maior pagamento para as pessoas envolvidas. O objetivo deste capítulo
é obter a lei de formação para a resolução desse tipo de problema.
REGRA GERAL: Para obter a solução de problemas que envolvem equação,
proporção, sistemas, etc., devem-se seguir algumas regras bem simples.
I – Proporção: quando se fala que foi feito “algo em 1 ano (12 meses) e após 3 meses... tem-se uma proporção envolvida pois 3 meses equivale a 3/12 do ano.
II – Problemas envolvendo pagamento em um restaurante, calcule sempre quanto
cada um pagaria e depois equacione caso entrem ou saiam pessoas deste grupo.
III – Equação: geralmente problemas de acertar o alvo ganha-se X reais e errando
perde-se Y reais, a solução deve gerar equações.
IV – Problemas de idade: construir uma tabela (ontem, hoje, amanhã) como referência.
V – Problemas podem envolver o conceito de média aritmética, onde μ = Σ Xi / n.
VI – Atenção ao enunciado e sublinhe o que a questão realmente deseja.
20.1. Exercícios Resolvidos
20.1.1. Gastos Distribuídos na Média
1)
Em uma churrascaria, foi gasto um total de R$ 660,00, divididos por 12 pessoas,
entre homens e mulheres. Os homens resolveram pagar sozinhos a despesa, e
a quantia de cada um ficou aumentada em R$ 77,00. Quantos homens foram à
churrascaria?
a) 4.
d) 7.
b) 5.
e) 8.
c) 6.
Solução:
Gasto médio de cada pessoa: 660 ÷ 12 = R$ 55,00.
Número de homens: XH
Homens pagaram toda a despesa: (55 + 77)XH = 660
XH = 660/132 = 5 homens.
Gabarito: B.
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Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
20.1.2. Proporcionalidade entre Dinheiro e Tempo
1)
Um fazendeiro promete ao seu pastor R$ 14.000,00 e quatro ovelhas por ano
como ordenado. Após quatro meses, o pastor é despedido, recebe três ovelhas
e R$ 500,00. Qual é o valor de cada ovelha?
a) R$ 500,00.
d) R$ 2.000,00.
b) R$ 1.000,00.
e) R$ 2.500,00.
c) R$ 1.500,00.
Solução:
1 ano
4 meses
Tempo
12 meses
4 meses
Dinheiro (R$)
14.000
500
Ovelhas
4 ovelhas
3 ovelhas
Preço da ovelha: x
Verificando o valor recebido proporcionalmente ao tempo, podemos escrever:
500 + 3x
14.000 + 4x
=
4
12
Resolvendo essa equação:
x = 2.500
Gabarito: E.
20.1.3. Ganhando ou Perdendo no Jogo
1)
Alberto e Bruno jogam R$ 2.000,00 a partida. Antes de iniciar o jogo, Alberto
tinha R$ 56.000,00 e Bruno, R$ 29.000,00. No fim do jogo, Alberto possuía o
quádruplo do que possuía Bruno. Quantas partidas Alberto ganhou a mais que
Bruno?
a) 6.
d) 3.
b) 5.
e) 2.
c) 4.
Solução:
Valor de cada partida: R$ 2.000,00
Número de partidas: x
Partida vencida: 2.000x
Partida perdida: – 2.000x
Valor final de Alberto = 4 vezes o valor final de Bruno
Alberto: 56.000 + 2.000x
Bruno: 4(29.000 – 2.000x)
222
Capítulo 20 I Ganhando ou Perdendo
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Igualando:
56.000 + 2.000x = 4(29.000 – 2.000x)
Resolvendo:
x = 6 partidas
Gabarito: A.
20.1.4. Erros ou Acertos
1)
Um aluno ganha R$ 5,00 por exercício que acerta e perde R$ 3,00 por exercício
que erra. Ao fim de 50 exercícios, o aluno ganhou R$ 130,00. Quantos exercícios
ele acertou?
a) 15.
d) 45.
b) 25.
e) 55.
c) 35.
Solução:
{
Acerto
Erro
Total
Exercícios
x
-y
50
Dinheiro (R$)
5x
- 3y
130
Resolvendo o sistema:
x – y = 50
5x – 3y = 130
x = 35
Gabarito: C.
20.1.5. Jogos com Vitórias e Derrotas
1)
(UFRJ/2002) Dois jogadores de futebol de botão disputam um desafio em 75
partidas. Nas 35 partidas iniciais, o vencedor ganha 3 pontos, e, nas 40 partidas
restantes, o vencedor ganha 1 ponto. O perdedor não ganha ponto, e nenhuma
partida pode terminar empatada.
Um dos jogadores ganhou 19 partidas das 35 iniciais. Calcule o número mínimo
de partidas que esse jogador ainda deve ganhar para ser o campeão do desafio.
Solução:
I) Das 35 partidas iniciais: A ganhou 19 × 3 pontos e B ganhou 16 × 3 pontos
II) Das 40 partidas finais: A deve ganhar X , fazendo X × 1 pontos e B deve ganhar
(40 – X) × 1 pontos
III) No final de 75 partidas:
A: 19 × 3 + X = 57 + X pontos
B: 16 × 3 + ( 40 – X ) × 1 pontos
223
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
IV) Condição para que A termine vencedor
57 + X > 88 – X
X > 15,5
O número deve ser o maior inteiro depois de 15, logo, A deve ganhar no mínimo
16 partidas.
20.1.6. Média aritmética
1)
A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. Se a
média aritmética das idades das mulheres é de 35 anos e a dos homens é de 50
anos, qual o número de pessoas de cada sexo?
a) 80 e 40.
b) 80 e 70.
c) 60 e 40.
d) 30 e 50.
e) 50 e 90.
Solução:
Número de mulheres: n.
Número de homens: 120 - n.
Assim:
35n + 50(120 – n)
= 40
120
Resolvendo a equação tem-se N = 80 (mulheres) e 40 homens.
Gabarito: A.
20.1.7. Problemas de áreas e perímetros
1)
224
O filho de um matemático pega uma caixa de fósforos e começa a brincar
com eles. Encosta a ponta de um palito em outro e forma o contorno de um
quadrado, usando 4 palitos. depois forma um retângulo formando 6 palitos.
E assim vai brincando. quando forma um retângulo usando 18 palitos, o pai
“coruja” exclama: Que interessante, montou um retângulo cuja área é numericamente igual ao perímetro! O maior lado do retângulo formado pela criança
tem ------- palitos:
a) 4;
b) 5;
c) 6;
d) 7;
e) 8.
Capítulo 20 I Ganhando ou Perdendo
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Solução:
Perímetro = área, assim: 2(a + b) = 18
Área: a x b = 18
Resolvendo o sistema de equações, tem-se a = 6 e b = 3, logo o maior lado do
retângulo vale 6 unidades.
Gabarito: C
20.2. Exercícios Propostos
1)
Carlos tem 5q + 1 moedas de 25 centavos e Ricardo q + 5 dessas moedas. A diferença de
dinheiro entre ambos calculada em moedas de 10 centavos é:
a) 10(q – 1);
b) 10(q – 2);
c) 10q – 1;
d) 30q – 1;
e) 25q – 1.
2)
Um feirante compra uma certa quantidade de laranjas à base de 3 por 10 centavos, e
igual quantidade à base de 5 por 20 centavos. Para não ter lucro nem prejuízo, ele deve
vender à base de:
a) 7 centavos;
b) 8 centavos;
c) 9 centavos;
d) 10 centavos;
e) 11 centavos.
3)
(UFMG/2002) Pai e filho com 100 fichas cada um começam o jogo. O pai passava 6 fichas ao
filho quando perdia e recebia 4 fichas quando ganhava. Depois de 20 partidas, o número
de fichas do filho era três vezes o do pai. Quantas partidas o filho ganhou?
a) 10.
b) 11.
c) 12.
d) 13.
e) 14.
4)
Mário contratou um porteiro para trabalhar. No contrato ficou estipulado que no primeiro
mês ele receberia como ordenado R$ 1.600,00 e um uniforme. No final de 25 dias, o
trabalhador deixou o emprego e recebeu R$ 1.225,00 e o uniforme. Qual o valor do
uniforme?
a) R$ 550,00.
b) R$ 650,00.
c) R$ 750,00.
d) R$ 850,00.
e) R$ 950,00.
225
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226
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
5)
(FCC/Banco do Brasil/2010) Três pessoas formaram, na data de hoje, uma sociedade com
a soma dos capitais investidos igual a R$ 100 000,00. Após um ano, o lucro auferido de
R$ 7.500,00 é dividido entre os sócios em partes diretamente proporcionais aos capitais
iniciais investidos. Sabendo-se que o valor da parte do lucro que coube ao sócio que recebeu
o menor valor é igual ao módulo da diferença entre os valores que receberam os outros
dois, tem-se que o valor do capital inicial do sócio que entrou com maior valor é:
a) R$ 75.000,00;
b) R$ 60.000,00;
c) R$ 50.000,00;
d) R$ 40.000,00;
e) R$ 37.500,00.
6)
(FGV/2010/Analista Financeiro) Daqui a 15 dias, Márcia fará aniversário. Paula fez aniversário há 8 dias. Júlia fará aniversário 6 dias antes de Márcia. Se Paula faz aniversário
no dia 25 de abril, é correto concluir que:
a) hoje é dia 02 de maio;
b) hoje é dia 05 de maio;
c) Júlia fará aniversário no dia 09 de maio;
d) Júlia fará aniversário no dia 12 de maio;
e) Márcia fará aniversário no dia 15 de maio.
7)
(Vunesp/Analista de Sistema/2008) Paulo tinha uma mesma quantidade de brinquedos
guardados em cada uma das 3 caixas de sapato, quando ganhou outros 2 brinquedos.
Então, resolveu redistribuir seus brinquedos igualmente entre 4 caixas de sapato, ficando, cada uma delas, com 2 brinquedos a menos do que anteriormente. A quantidade
de brinquedos que Paulo tem agora é:
a) 40;
b) 32;
c) 20;
d) 15;
e) 5.
8)
(Professor de Matemática-PB/EDUCA/2008) Um cavalo e um burro caminhavam juntos
levando no lombo sacos muito pesados, todos com o mesmo peso. Lamentava-se o cavalo
da sua pesada carga quando o burro lhe disse: “De que te queixas? Se eu levasse um dos
teus sacos a minha carga seria o dobro da tua. E se eu te desse um dos meus sacos a tua
carga seria igual à minha.” Quantos sacos transportavam juntos o cavalo e o burro?
a) 10.
b) 12.
c) 13.
d) 14.
e) 15.
Capítulo 21
Razões Especiais e Problemas
Envolvendo Parentesco
21.1. Velocidade
A velocidade de um móvel é a rapidez
com que este percorre uma distância em um
certo tempo. Por definição, podemos dizer
que a velocidade de um móvel (v) é a razão
entre o seu deslocamento (d) pela variação
do intervalo de tempo (t) para percorrê-lo.
Veja o esquema ao lado:
21.2. Transformação de Velocidade
Para transformar as seguintes velocidades de km/h para m/s:
21.3. Exercícios Resolvidos
1) Transforme a velocidade de 72 km/h para m/s.
Solução:
v = 72 ÷ 3,6 = 20 m/s
2) Transforme a velocidade 30 m/s para km/h.
Solução:
v = 30 × 3,6 = 108 km/h
3)
Um ciclista está a uma velocidade de 10 m/s e percorre uma distância em 20
segundos. A distância percorrida é de:
Solução:
d = v × t = 10 × 20 = 200 m
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Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
4)
Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo Horizonte, de 729 km,
em 7 horas e 30 minutos. Qual a sua velocidade média?
a) 97,2 km/h.
d) 110 km/h.
b) 98 km/h.
e) 972 m/s.
c) 100 km/h.
Solução:
Distância: d = 729 km
Tempo: t = 7 horas + ½ hora = 15/2 hora
Velocidade: v = d/t = 729 ÷ 15/2 = 729 × 2 ÷ 15 = 97,2 km/h
Gabarito: A.
21.4. Dízimas Periódicas
Toda dízima periódica possui um período (parte que se repete), ou seja, toda
dízima tem uma geratriz, que nada mais é do que a fração que a gerou.
Veja os exemplos a seguir:
Dízima
0,333...
Geratriz
1
3
0,4545...
45
99
0,345345...
345
999
As dízimas periódicas classificam-se em simples e compostas.
Exemplos:
1 = 0,333... (período simples: 3)
3
45
= 0,4545... (período composto: 45)
99
345
= 0,345345... (período composto: 345)
999
21.4.1. Geratriz de uma Dízima
Objetivo: Dada uma dízima, obter a sua geratriz (a fração que a originou).
Regra geral: Andar com a vírgula até chegar à parte periódica (e contar o número
de casas decimais) e depois andar com ela até chegar à parte não periódica (e contar
o número de casas decimais). Por fim, subtraia os resultados para obter a fração.
228
Capítulo 21 I Razões Especiais e Problemas Envolvendo Parentesco
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Exemplo 1:
0,455...
45,5...
100
4,5...
10
41
90
Geratriz: 41/90
Exemplo 2:
0,23434...
234,34...
1000
2,34...
10
232
990
Geratriz: 232/990
21.5. Exercícios Resolvidos
1)
Determine a geratriz de 0,233...
a) 7/30;
b) 9/7;
c) 3/10;
Solução:
23,3...
100
2,3...
10
21
90
Geratriz: 21/90 = 7/30
Gabarito: A.
d) 1/8;
e) 17/30.
2)
Determine a geratriz de 0,2345345...:
a) 2339/9900;
d) 2337/9900;
b) 2343/9990;
e) 2335/9999.
c) 2300/9999;
Solução:
2345,345... 10000
2,345...
10
2343
9990
Geratriz: 2343/9990
Gabarito: B.
229
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
3)
O valor da soma 0,4545... + 0, 5454... vale:
a) 1;
d) 1,5;
b) 1,2;
e) 2.
c) 0,99;
Solução:
0,4545... = 45/99
0,5454... = 54/99
Somando:
45/99 + 54/99 = 99/99 =1
Gabarito: A.
4)
As dízimas periódicas simples formadas por apenas um algarismo equivalem a
frações ordinárias, conforme exemplificado a seguir:
0,111... = 1/9;
0,222... = 2/9;
0,333... = 3/9;
0,444... = 4/9 etc.
Portanto, o valor de (0,666...) × ( 0,666...) + (0,333...) × (0,333...) é igual a:
a) 0,111...
d) 0,444...
b) 0,222...
e) 0,555...
c) 0,333...
Solução:
0,666... = 6/9
0,333... = 3/9
Então: (6/9) × (6/9) + (3/9) × (3/9) = 5/9 = 0,55...
Gabarito: E.
21.6. Exercícios Propostos
230
1)
A distância entre Rio de Janeiro e Niterói é de 33 minutos. A que horas a barca que sai de
Niterói às 12 horas e 48 minutos cruza com a que saiu do Rio às 13 horas e 1 minuto?
a) 13h 10min.
d) 13h 13min.
b) 13h 11min.
e) 13h 14min.
c) 13h 12min.
2)
(NCE/Agência Nacional de Águas/2001) Dois mísseis são lançados diretamente um contra o
outro, o primeiro a 18.000 km/h e o segundo a 12.000 km/h. Sabendo-se que no instante do
lançamento eles se encontravam a 4.768 km de distância um do outro, a distância entre eles,
a 1 minuto da colisão, é em km:
a) 500;
d) 1.500;
b) 750;
e) 2.384.
c) 1.000;
Capítulo 21 I Razões Especiais e Problemas Envolvendo Parentesco
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3)
Para construir um muro de tijolos, um empreiteiro contratou dois pedreiros que,
trabalhando isoladamente, gastam respectivamente 9 e 10 horas. Trabalhando juntos,
o rendimento conjunto cai 10 tijolos por hora e mesmo assim eles levam 5 horas para
construir o muro. Quantos tijolos possui o muro?
a) 500.
d) 950.
b) 550.
e) 960.
c) 900.
4)
(PUCCamp-SP) Em uma corrida de carros supõe-se que o vencedor gastou 1h 30min para
completar o circuito, desenvolvendo velocidade média de 240 Km/h. O outro móvel tem
velocidade de 236 km/h. Se a pista tem 30 km, quantas voltas o carro vencedor chegou
à frente do segundo colocado?
a) 0,6.
d) 0,3.
b) 0,5.
e) 0,2.
c) 0,4.
5)
(Esaf/MPU/Técnico/2004) Em um aeroporto, Ana caminhava à razão de um metro por
segundo. Ao utilizar uma esteira rolante de 210 metros, que se movimentava no mesmo
sentido em que ela caminhava, continuou andando no mesmo passo. Ao chegar ao final da
esteira, Ana verificou ter levado exatamente 1 minuto para percorrer toda a extensão da
esteira. Se Ana não tivesse continuado a caminhar quando estava sobre a esteira, o tempo
que levaria para ser transportada do início ao fim da esteira seria igual a:
a) 1 min e 20 s;
d) 1 min e 40 s;
b) 1 min e 24 s;
e) 2 min.
c) 1 min e 30 s;
6)
Dois carros estão em rota de colisão, viajando um em direção ao outro, cada um a 60
km/h. Inicialmente estavam afastados a uma distância de 60 km, quando uma mosca
frenética voa a 120 km/h entre os carros sem parar, de forma que, encostando em um
carro, inverta o sentido do voo. Qual a distância efetivamente percorrida pela mosca até
o momento da colisão?
a) 30 km/h.
d) 60 km/h.
b) 40 km/h.
e) 70 km/h.
c) 50 km/h.
7)
(Esaf/Auditor Fiscal do Trabalho/2003) Um professor de Lógica percorre uma estrada
que liga, em linha reta, as vilas Alfa, Beta e Gama. Em Alfa, ele avista dois sinais com as
seguintes indicações: “Beta a 5 km” e “Gama a 7 km”. Depois, já em Beta, encontra dois
sinais com as indicações: “Alfa a 4 km” e “Gama a 6 km”. Ao chegar a Gama, encontra
mais dois sinais: “Alfa a 7 km” e “Beta a 3 km”. Soube, então, que em uma das três
vilas todos os sinais têm indicações erradas; em outra, todos os sinais têm indicações
corretas; e na outra um sinal tem indicação correta e outro tem indicação errada (não
necessariamente nessa ordem). O professor de Lógica pode concluir, portanto, que as
verdadeiras distâncias, em quilômetros, entre Alfa e Beta, e entre Beta e Gama, são,
respectivamente:
a) 5 e 3;
d) 4 e 3;
b) 5 e 6;
e) 5 e 2.
c) 4 e 6;
231
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Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
8)
(NCE/ANTT/Técnico) A cada 1.200 metros rodados em viagem, o automóvel de Pascoal
gasta 0,09 litro de combustível. Em uma viagem, Pascoal gastou 54,9 litros de combustível.
O percurso teve, então, a seguinte quantidade de quilômetros:
a) 776;
d) 654;
b) 732;
e) 586.
c) 688;
9)
(NCE/ANTT/Técnico) Ao fazer uma divisão entre dois números inteiros, numa calculadora,
Josimar obteve, no visor, como resultado, 0,1234123412341234. Assinale o item que
pode indicar a divisão feita por Josimar:
a) 1234/999;
d) 12341234/9000000;
b) 1234/1000;
e) 1234/9999.
c) 12/34;
10)
(AFRF/Esaf/2009) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano
horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha
reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900 km/h, a que
altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos
após o lançamento?
a) 0,333 km;
b) 0,625 km;
c) 0,5 km;
d) 1,3 km;
e) 1 km.
11)
(Professor/SED-SP/FCC/2009) Observe a seguinte placa de estrada:
Nos próximos 2 km depois dessa placa o limite de velocidade da estrada é 80 km/h e,
posteriormente, passa para 90 km/h nos quilômetros seguintes. Se as informações da
placa estiverem em conformidade com os limites de velocidade da estrada, a distância
entre a placa e o restaurante Paladar é de, no mínimo,
a) 9 km e 250 m.
b) 11 km e 750 m.
c) 12 km e 500 m.
d) 12 km e 750 m.
e) 13 km e 250 m.
232
Capítulo 21 I Razões Especiais e Problemas Envolvendo Parentesco
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
12)
(Analista/DNOCS/FCC/2010) Certo dia em que faltou luz em uma cidade, duas velas de
mesma altura e mesma forma foram acesas num mesmo instante. Relativamente a essas
duas velas, sabe-se que: suas chamas se mantiveram acesas até que fossem totalmente
consumidas; ambas queimaram em velocidades constantes; uma delas foi totalmente
consumida em 4 horas, enquanto que a outra o foi em 3 horas. Assim sendo, a partir do
instante em que as velas foram acesas, quanto tempo foi decorrido até que a medida da
altura de uma das velas ficou igual ao triplo da medida da altura da outra?
a) 2 horas.
b) 2 horas e 15 minutos.
c) 2 horas e 40 minutos.
d) 3 horas.
e) 3 horas e 20 minutos.
13)
(FCC) Certo dia em que faltou luz em uma cidade, duas velas de mesma altura e mesma
forma foram acesas num mesmo instante. Relativamente a essas duas velas, sabe-se
que: suas chamas se mantiveram acesas até que fossem totalmente consumidas; ambas
queimaram em velocidades constantes; uma delas foi totalmente consumida em 4 horas,
enquanto que a outra o foi em 3 horas. Assim sendo, a partir do instante em que as velas
foram acesas, quanto tempo foi decorrido até que a medida da altura de uma das velas
ficou igual ao triplo da medida da altura da outra?
a) 2 horas.
b) 2 horas e 15 minutos.
c) 2 horas e 40 minutos.
d) 3 horas.
e) 3 horas e 20 minutos.
14)
(FGV/2010/Analista Financeiro) Ao caminhar, Márcia e Paula dão sempre passos uniformes. O passo de Márcia tem o mesmo tamanho do de Paula. Mas, enquanto Paula dá
cinco passos, Márcia, no mesmo tempo, dá três passos. No início da caminhada, Márcia
estava 20 passos à frente de Paula. Se elas caminharem sem parar, Paula, para alcançar
Márcia, deverá dar o seguinte número de passos:
a) 20;
b) 25;
c) 30;
d) 40;
e) 50.
15)
(FCC/2010/TCE-SP/Agente da Fiscalização Financeira) Diariamente, Cacá vai de sua
casa ao trabalho em seu automóvel fazendo sempre o mesmo percurso. Ao optar por
fazer um itinerário 20% mais longo, ele observou que poderia ganhar tempo, pois, por
ser o tráfego melhor, poderia aumentar a velocidade média de seu carro em 26%. Assim
sendo, a opção pelo itinerário mais longo diminuiria o tempo de viagem de Cacá em:
a) 5%;
b) 6%;
c) 7%;
d) 8%;
e) 9%.
233
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
16)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(Cesgranrio/Téc. Adm./Transpetro/2011) A tabela abaixo apresenta o preço da “bandeirada” (taxa fixa paga pelo passageiro) e do quilômetro rodado em quatro capitais
brasileiras.
Capital
Boa Vista
Vitória
Natal
Rio de Janeiro
Bandeirada (R$)
2,50
3,40
3,88
4,40
Km rodado (R$)
2,86
1,85
2,02
1,60
A quantia gasta por um passageiro, em Boa Vista, ao percorrer 10 km de táxi, permite
pagar, no Rio de Janeiro, uma corrida máxima de X quilômetros. O valor de X está entre:
a) 13 e 14;
b) 14 e 15;
c) 15 e 16;
d) 16 e 17;
e) 17 e 18.
17)
(Téc. Explor. Petróleo Júnior/2011) Considere que a distância da Terra ao Sol seja, em
certo dia, de 150 milhões de quilômetros. Sabendo que a velocidade da luz no vácuo é de
300 mil quilômetros por segundo, o tempo que a luz emitida do Sol demora para chegar
ao nosso planeta é de:
a) 8 minutos e 20 segundos;
b) 9 minutos;
c) 12 minutos e 40 segundos;
d) 15 minutos e 30 segundos;
e) 20 minutos.
21.7. Parentesco
Nesta abordagem será resolvida algumas questões que envolvam grau de parentesco, relação de alturas entre as partes envolvidas, entre outros.
21.8. Exercício Resolvido
1)
234
(Cesgranrio/TermoMacaé/Téc. Contabilidade/2009) Maria é mãe de Júlio e
irmã de Márcia que, por sua vez, é mãe de Jorge. Conclui-se que:
a) Jorge é irmão de Júlio.
b) Júlio é primo de Jorge.
c) Márcia é irmã de Júlio.
d) Maria é prima de Jorge.
e) Maria é irmã de Jorge.
Capítulo 21 I Razões Especiais e Problemas Envolvendo Parentesco
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução:
I) Maria é mãe de Júlio;
II) Maria é irmã de Márcia;
III) Márcia é Mãe de Jorge.
Esquematizando, temos:
IV) Conclusão: Júlio é primo de Jorge.
Gabarito: B
2)
(Cesgranrio/TCE-RO/Analista de Informática/2007) Considere uma pergunta
e duas informações, as quais assumiremos como verdadeiras.
Pergunta: João é mais alto do que Nuno?
Informação 1: João é mais alto do que Luís.
Informação 2: Nuno é mais alto do que Luís.
A partir desses dados, conclui-se que:
a) a primeira informação, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente à pergunta, e a segunda, insuficiente;
b) a segunda informação, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente à pergunta, e a primeira, insuficiente;
c) as duas informações, em conjunto, são suficientes para que se responda
corretamente à pergunta, e cada uma delas, sozinha, é insuficiente;
d) as duas informações, em conjunto, são insuficientes para que se responda
corretamente à pergunta;
e) cada uma das informações, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente à pergunta.
Solução:
Para resolver esta questão devemos fazer uma escala de altura e posicionamos
cada um deles nesta escala de acordo com as informações. Depois disso, vemos se é
possível responder a pergunta, no caso, “João é mais alto do que Nuno?”
Informação 1: João é mais alto do que Luís.
Informação 2: Nuno é mais alto do que Luís.
235
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
+ alto
ELSEVIER
Nuno pode estar aqui
João
Nuno pode estar aqui
Luís
– alto
De acordo com a escala, Nuno é com certeza mais alto que Luís, mas não
podemos afirmar se ele é mais baixo ou mais alto que João. Sendo assim, com as
duas informações não é possível dizer com certeza quem é o mais alto, ou seja, não
podemos responder a pergunta apresentada.
Gabarito: B.
3)
(Cesgranrio/Analista/Funasa/2009) Considere a pergunta e as três informações
apresentadas a seguir.
Pergunta: Duílio é mais alto do que Alberto?
1a informação: Alberto é mais alto que Bruno.
2a informação: Alberto é mais alto que Carlos.
3a informação: Duílio é mais alto que Bruno.
A partir desses dados, conclui-se que:
a) a primeira informação e a segunda informação, em conjunto, são suficientes
para que se responda corretamente à pergunta;
b) a primeira informação e a terceira informação, em conjunto, são suficientes
para que se responda corretamente à pergunta;
c) a segunda informação e a terceira informação, em conjunto, são suficientes
para que se responda corretamente à pergunta;
d) as três informações, em conjunto, são suficientes para que se responda corretamente à pergunta;
e) as três informações, em conjunto, são insuficientes para que se responda
corretamente à pergunta.
Solução:
Para resolver esta questão devemos fazer uma escala de altura e posicionamos
cada um deles nesta escala de acordo com as informações. Depois disso, vemos se é
possível responder a pergunta, no caso, “Dúlio é mais alto que Alberto?”
1a informação: Alberto é mais alto que Bruno.
2a informação: Alberto é mais alto que Carlos.
3a informação: Duílio é mais alto que Bruno.
236
Capítulo 21 I Razões Especiais e Problemas Envolvendo Parentesco
+ alto
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Duílio pode estar aqui
Alberto
Duílio pode estar aqui
Carlos pode estar aqui
Duílio pode estar aqui
Bruno
Carlos pode estar aqui
– alto
De acordo com a escala não podemos afirmar nada sobre as alturas.
Gabarito: E.
4)
(Cesgranrio/Auxiliar Censitário/IBGE/2006) André tem a mesma idade de
Bernardo e é mais velho que Carlos. Bernardo é mais novo que Davi. Logo:
a) Davi é mais velho que Carlos;
b) Davi é mais novo que Carlos;
c) André é mais velho que Davi;
d) Bernardo é mais novo que Carlos;
e) Carlos e Davi têm a mesma idade.
Solução:
Para resolver esta questão devemos fazer uma escala das idades e posicionamos
cada um deles nesta escala de acordo com as informações.
+ velho
Davi
André e Bernardo
Carlos
+novo
De acordo com a escala, concluímos que a única alternativa correta é a A.
Gabarito: A.
5)
(Cesgranrio/Agente Judiciário/TJ/RO/2009) Considere uma pergunta e duas
informações as quais assumiremos como verdadeiras:
Pergunta: Entre Ana, Beatriz e Camila, quem é a mais velha?
Informação 1: Beatriz é mais velha do que Camila.
Informação 2: Camila é mais nova do que Ana.
237
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Conclui-se, então, que:
a) a primeira informação, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente à pergunta, e a segunda, insuficiente;
b) a segunda informação, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente à pergunta, e a primeira, insuficiente;
c) as duas informações, em conjunto, são suficientes para que se responda
corretamente à pergunta, e cada uma delas, sozinha, é insuficiente;
d) as duas informações, em conjunto, são insuficientes para que se responda
corretamente à pergunta;
e) cada uma das informações, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente à pergunta.
Solução:
Para resolver esta questão devemos fazer uma escala de altura e posicionamos
cada um deles nesta escala de acordo com as informações. Depois disso, vemos se
é possível responder a pergunta, no caso, “Entre Ana, Beatriz e Camila, quem é a
mais velha?”
Informação 1: Beatriz é mais velha do que Camila.
Informação 2: Camila é mais nova do que Ana.
+ velha
Ana pode estar aqui
Beatriz
Ana pode estar aqui
Camila
+nova
De acordo com a escala, Beatriz é com certeza mais velha que Camila, mas não
podemos afirmar se Beatriz é mais velha ou mais nova que Ana. Sendo assim, com
as duas informações não é possível dizer com certeza quem é a mais velha, ou seja,
não podemos responder a pergunta apresentada.
Gabarito: D.
6)
238
(Cesgranrio/Analista/Termomacaé/2009) Dulce é mãe de Paulo e Dirce é filha
única e é mãe de Pedro. Pedro é filho de José e primo de Paulo. João é pai de
Paulo e é filho único. Conclui-se que:
a) Dulce é irmã de José;
b) Dirce é irmã de José;
c) José é primo de Paulo;
d) Paulo não tem irmãos;
e) Pedro é filho de Dulce.
Capítulo 21 I Razões Especiais e Problemas Envolvendo Parentesco
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução:
I) Dulce é mãe de Paulo;
II) Dirce é filha única e é mãe de Pedro;
III) Pedro é filho de José e primo de Paulo;
IV) João é pai de Paulo e é filho único.
Esquematizando, temos:
V) Conclusão: Dulce é irmã de José.
Gabarito: A.
7)
(Cesgranrio/Analista/Termomacaé/2009) Ana, Bruna, Cecília, Dora e Elisa são
cinco meninas. Na tabela abaixo, os sinais de “+”, “–” e “=” significam que a
menina indicada na linha é, respectivamente, maior, menor ou da mesma altura
que a menina indicada na coluna.
Ana
Bruna
Cecília
Dora
Elisa
Ana
=
+
+
–
=
Bruna
–
=
+
–
–
Cecília
–
–
=
–
–
Dora
+
+
+
=
+
Elisa
=
+
+
–
=
Ao analisar a tabela, conclui-se que:
a) Bruna é a mais alta;
b) Elisa é a mais alta;
c) Dora é a mais baixa;
d) Cecília é a mais baixa;
e) Ana tem a mesma altura de Dora.
Solução:
Como a linha de Dora só tem “+”, podemos afirmar que ela é a mais alta;
Como a linha de Cecília só tem “–”, podemos afirmar que ela é a mais baixa.
239
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Com estas informações, faremos uma escala de alturas de acordo com a tabela:
+ alto
Dora
Ana / Elisa
Bruna
Cecília
+ baixa
Gabarito: D.
8)
(Cesgranrio/Assistente/Capes/2008) Alberto, Bruno e Cláudio são três irmãos.
Alberto é mais alto do que Bruno e Cláudio não é o mais baixo dos três. A partir
dessas informações é correto afirmar que:
a) Alberto é o mais alto;
b) Bruno é o mais baixo;
c) Cláudio é o mais alto;
d) Cláudio não é o mais alto;
e) as informações são insuficientes para que se conclua quem é o mais baixo.
Solução:
Para resolver esta questão devemos fazer uma escala de altura e posicionamos
cada um deles nesta escala de acordo com as informações.
+ alto
Cláudio pode estar aqui
Alberto
Cláudio pode estar aqui
Bruno
– alto
De acordo com a escala, não é possível dizer com certeza quem é o mais alto,
mas é possível afirmar que Bruno é o mais baixo, que é a alternativa B.
Gabarito: B.
240
Capítulo 22
Numeração
Um número é representado em função de suas classes, que podem ser completas
ou não. Cada classe completa possui unidade, dezena e centena. A primeira classe
completa é dita uma classe ímpar, a segunda, uma ordem par, ou seja, está associada
ao seu valor posicional.
Exemplo:
No número 23.456:
•
Primeira classe completa: 456 = 6 unidades + 5 dezenas + 4 centenas;
•
Segunda classe incompleta: 23 = 3 unidades de milhar + 2 dezenas de milhar.
REGRA GERAL: Para obter a solução de problemas que envolve números deve-se saber alguns procedimentos, como:
I – Classes de um número – a classe completa envolve a unidade (U), dezena(D)
e centena(C), e lembre-se C =100 D = 10 e U = 1.
II – O número 245 pode ser escrito: 2 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1.
III – O número 245 pode ser escrito: 2 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1, assim 200 é o valor
relativo do algarismo 2 e 2 é o seu valor absoluto.
IV – Quando escrevemos de 1 até 5 utilizamos 5 algarismos, ou seja: (5 – 1) + 1.
V – de 1 até 120 temos a seguinte quantidade de algarismos:
Unidade: (9 –1) + 1
Dezena: (99 – 10) + 1 o resultado multiplica por 2, assim 90 x 2 = 180.
Centena: 100 até 120: (120 – 100) + 1, o resultado multiplica por 3, assim 21 x 3 = 63.
Assim o total de algarismos escrito vale: 9 + 180 + 63.
VI – o número XYZ, é escrito: 100X + 10Y + Z (Respeitar as classes).
VII – Deve-se em alguns casos ter conhecimento de critérios de divisibilidade e o
resto desejado na operação, por exemplo, na divisão 361: 2 tem-se resto 1 pois
o último algarismo é ímpar.
22.1. Classe de um Número
Quando um número tem uma classe completa, possui unidade, dezena e
centena. Veja o exemplo a seguir:
234 = 4 unidades + 3 dezenas + 2 centenas.
Representação:
234 = 4 × 1 + 3 × 10 + 2 × 100
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
Valor absoluto e valor relativo:
Número Classe
4
Unidade
3
Dezena
2
Centena
Valor absoluto
4
3
2
ELSEVIER
Valor relativo
4
30
200
22.2. Exercícios Resolvidos
1)
Um número é composto de dois algarismos, a soma dos valores absolutos deles
é 10. Se desse número subtrairmos 72, obteremos o número, porém escrito na
ordem inversa. Qual é o número?
Solução:
Valor absoluto: unidade (u) + dezena (d) = 10
u + d = 10
Como o valor da unidade é desconhecido, atribuiremos:
u=x
u = 10 – x
– 72
d = 10 – x
d=x
{
{
Resolvendo a equação em função de suas classes e valor posicional, obtemos:
x + 10(10 – x) – 72 = 10 – x + 10(x)
x + 100 – 10x – 72 = 10 – x + 10x
18x = 18
x=1
Como:
u=x=1
d = 10 – x = 10 – 1 = 9
número = d u = 91
Resposta: O número pedido será representado por N = 91
2) Quantos algarismos escrevo de 1 até 15?
Solução:
Unidade – de 1 até 9 ⇒ 9 – 1 + 1 = 9 algarismos
Dezena – de 10 até 15 ⇒ 15 – 10 + 1 = 6 algarismos x 2 = 12 algarismos
Total: 21 algarismos.
3)
242
(Agente Censitário/IBGE/2009) Na conta de somar armada abaixo, A, B e C
são algarismos distintos entre si. Um resultado possível para essa soma é:
AB
BC
+ CA
Capítulo 22 I Numeração
a)
b)
c)
d)
e)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
55;
56;
65;
67;
77.
Solução:
Representando os números abaixo, de acordo com as suas classes (dezenas e
unidades), temos:
A + 10C
C + 10B
B + 10A
Somando, temos:
10A + A + 10B + B + 10C + C =
11(A + B + C)
Sendo assim, verificamos que a soma (A + B + C) tem que ser múltiplo de 11.
Com isso, ficamos com a alternativa A)55 ou E)77, ou seja, 11(A + B + C) = 55 ou
11(A + B + C) = 77.
No primeiro caso, A + B + C = 5, então, podemos ter como opções para A,
B e C os algarismos 1, 2, 2. Esta resposta não serve, pois os números devem ser
distintos.
No segundo caso, A + B + C = 7, então, podemos ter como opções para A, B e
C os algarismos 1, 2, 4. Esta resposta é a correta.
Gabarito: E
22.3. Exercícios Propostos
1)
Quantas vezes aparece o algarismo 5 ao escrever de 1 até 555?
a) 165.
b) 166.
c) 167.
d) 168.
e) 169.
2)
Quantas vezes aparece o algarismo 1 ao escrever de 1 até 1.994?
a) 1.591.
b) 1.592.
c) 1.593.
d) 1.594.
e) 1.595.
243
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
3)
Determine o produto de X × X × A, sendo: XY + YY = XXA:
a) 119;
b) 118;
c) 117;
d) 112;
e) 110.
4)
(OBM) Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx,
cuja soma é o número zxz. Quanto vale a soma de x + y + z?
a) 11.
b) 12.
c) 13.
d) 14.
e) 15.
5)
Se x ∆ y = (x + y) + (x × y) + y, então (5 ∆ 7) ∆ 3 é igual a:
a) 111;
b) 222;
c) 333;
d) 444;
e) 555.
6)
(Colégio Naval) Se multiplicarmos um número natural N por outro número natural de
dois algarismos e invertermos a ordem dos algarismos desse segundo número, o produto
fica aumentado em 207 unidades. Determine a soma dos algarismos que constituem o
número N:
a) 5;
b) 6;
c) 7;
d) 8;
e) 9.
7)
(EDUCA-PB/2010/Prof. de Matemática) Observe abaixo a representação de um número
natural de seis algarismos:
ABABAB
Tomando como base a numeração decimal, o número acima será sempre divisível por
cada um dos valores abaixo, exceto por:
a) 3;
b) 7;
c) 11;
d) 13;
e) 37.
244
Capítulo 22 I Numeração
8)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(SEEC-RN/2011/Prof. de Matemática) A figura mostra a execução do algoritmo tradicional
da multiplicação entre dois números dados, para o cálculo do produto. Vários algarismos
foram escondidos, ao serem substituídos por pontos de interrogação.
Após determinar todos os algarismos que estão escondidos, verifica-se que a diferença
entre o multiplicando e o multiplicador é igual a:
a) 128;
b) 228;
c) 238;
d) 258;
e) 328.
9)
(Cesgranrio/Técnico Bancário Administrativo/Caixa/2008) Escrevendo-se todos os
números inteiros de 1 a 1111, quantas vezes o algarismo 1 é escrito?
a) 481;
b) 448;
c) 420;
d) 300;
e) 289.
245
Capítulo 23
Geometria e Trigonometria
A origem da geometria (do grego geo = terra + metria = medida, ou seja, “medir
terra”) está intimamente ligada à necessidade de melhorar o sistema de arrecadação
de impostos de áreas rurais, e foram os antigos egípcios que deram os primeiros
passos para o desenvolvimento da disciplina.
A geometria é um ramo da matemática que estuda as formas, planas e espaciais,
com as suas propriedades.
23.1. Geometria Plana
A geometria euclidiana é a geometria sobre planos ou em três dimensões
baseada nos postulados de Euclides de Alexandria. A geometria euclidiana consiste
em assumir um pequeno conjunto de axiomas intuitivos, e então provar várias outras
proposições (teoremas) a partir desses axiomas.
23.1.1. Ângulo Geométrico
Duas retas concorrentes definem um ângulo geométrico:
Consequência da definição: temos um ângulo agudo (θ < 90º) e um obtuso
(90º < θ < 180º)
Capítulo 23 I Geometria e Trigonometria
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
23.1.2. Ângulo Raso
Se duas retas forem opostas, então diremos que o
ângulo compreendido por elas é raso.
23.1.3. Ângulo de uma Volta ou Nulo
Se duas semirretas forem coincidentes, então diremos que ficam compreendidos
por elas um ângulo de uma volta e um ângulo nulo.
23.1.4. Ângulo plano e arco
Ângulo plano é a reunião de duas semirretas de mesma origem não contidas
numa mesma reta. A origem comum das semirretas é o vértice do ângulo e as duas
semirretas são seus lados.
Esses lados irão determinar o arco AB (representado por S), onde o comprimento do arco é determinado por: S = θR (o ângulo θ deve estar em radianos).
A
R
S
B
23.2. Circunferência
É o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo,
ou seja, a distância do centro a qualquer ponto da circunferência é o raio.
247
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
23.3. Triângulos
É a figura constituída por uma linha poligonal fechada
formada por três segmentos.
23.3.1. Condição de Existência de um Triângulo
O maior lado de um triângulo está compreendido entre a soma e a diferença
dos dois menores. Caso isso não aconteça, não é possível formar um triângulo, e
teremos uma linha poligonal aberta.
Exemplo 1:
L1 = 10 cm
L2 = 4 cm
L3 = 3 cm
(4 – 3) < 10 < (4 + 3)
1 < 10 < 7 (falso)
Exemplo 2:
L1 = 5 cm
L2 = 4 cm
L3 = 3 cm
(4 – 3) < 5 < (4 + 3)
1 < 5 < 7 (verdadeiro)
23.3.2. Classificação do Triângulo
1)
248
Quanto aos lados
•
Equilátero: o triângulo possui três lados iguais.
•
Isósceles: o triângulo possui dois lados iguais e um diferente.
•
Escaleno: o triângulo possui três lados diferentes.
Capítulo 23 I Geometria e Trigonometria
2)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Quanto aos ângulos
•
Agudo:
Todos os ângulos do triângulo são menores que 90º.
•
Obtuso:
Um dos ângulos está entre 90º e 180º.
•
Reto:
Um ângulo vale 90º.
23.3.3. Teorema
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
Exemplo:
(UFRJ/2004) Na figura a seguir, cada um dos sete quadros contém a
medida de um ângulo expressa em graus. Em quaisquer três quadros
consecutivos temos os três ângulos internos de um triângulo.
Determine o valor de X.
Solução:
100 + a + X = 180º (I)
249
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
a + X + b = 180º (II)
b + X + 65 = 180º (III)
de I e II temos:
b = 100
Substituindo em III:
X = 15
23.3.4. Teorema de Pitágoras
Em um triângulo retângulo (um ângulo tem 90º), o quadrado da hipotenusa é
igual à soma dos quadrados dos catetos.
a2 = b2 + c2
Exemplo: determine X no seguinte triângulo retângulo
a2 = 62 + 82
a = 10
23.4. Congruência de Triângulos
Dois triângulos são ditos congruentes
quando suas figuras coincidem ou uma figura
cobre a outra.
23.5. Semelhança de Triângulos
Se dois triângulos são semelhantes, seus lados são respectivamente proporcionais.
Conclusão:
AB
=K
A’B’
AC
A’C’
BC
B’C’
250
=K
=K
Capítulo 23 I Geometria e Trigonometria
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Exemplo: Determine a constante K de
proporcionalidade entre os triângulos a seguir:
10/5 = 2
8/4 = 2
6/3 = 2
A constante de proporcionalidade entre esses triângulos é 2. Isso significa que
os lados do triângulo maior são o dobro do menor.
23.6. Área do Setor Circular
Objetivo: Determinar a área de um setor circular de ângulo
em função do círculo.
360º-------------------πr2
θ-------------------------A
A = πr² θ/360º
Exemplo: Determine a área do setor circular de 30º de um círculo de raio r =
2 cm.
A = π22 30º/360º
A = π/3 cm2
23.7. Áreas e Volumes
251
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
23.8. Polígonos
Sejam n os pontos do plano: A1, A2, A3, ..., An e tracemos
os segmentos A1A2, A2A3, ..., AnA1 . Se dois segmentos vizinhos
não estão contidos na mesma reta, a figura formada é um
polígono de Gênero n. Cada um dos n pontos é um vértice,
e cada um dos n segmentos é um lado.
O número de lados define o gênero de um polígono:
Polígono
Número de lados (n)
Triângulo
3
Quadrado
4
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
7
Octógono
8
Eneágono
9
Decágono
10
23.8.1. Diagonais de um Polígono
Diagonal: Dois vértices não consecutivos de um polígono
definem uma diagonal.
Número de diagonais de um polígono:
n(n – 3)
d(n) =
2
Lei de formação para quantidade de diagonais:
Número de lados (n) 3
4
5
6
7
8
9
Diagonais (d)
0
2
5
9
14
20
27
n=
d=
Padrão:
11
44
12
54
34 56789101112
0 2 5 9142027 354454
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Lei de formação:
dn+1 = dn + n – 1
Exemplo: quantas diagonais tem um hexágono?
a) 8.
b) 9.
c) 7.
d) 10.
e) 11.
252
10
35
Capítulo 23 I Geometria e Trigonometria
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução pela fórmula do número de diagonais:
n = 6 (Hexágono)
6(6 – 3)
=9
2
d = 9 diagonais
d(n) =
Solução pela lei de formação das diagonais:
dn+1 = dn + n – 1
d6 = 5 + 4
d6 = 9
Gabarito: B.
23.8.2. Ângulos Internos e Externos
I)
A soma dos ângulos externos de um polígono vale 360º, assim o ângulo externo
360º
(Ln é o gênero do polígono)
Ln
II) A soma dos ângulos internos de um polígono vale Si = 180º (n – 2)
vale: Ae =
23.8.3. A Matemática das Abelhas
Sabendo-se que para preservar o mel das abelhas nas colmeias estas constroem
alvéolos com forma de um prisma reto hexagonal fechado numa das extremidades
e que o volume é máximo.
Pode-se concluir que In é o ângulo interno de um polígono regular, assim, n
só pode 3, 4 ou 6 .
Provando:
I)
Ae =
360º
Ln
II) se Si = 180° (n – 2), então Ln =
180º(n – 2)
n
253
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
4
, que é um inteiro positivo se e somente
n–2
se (n - 2) é um divisor de 4, então n só pode ser: 3, 4 ou 6.
Substituindo II em I, tem-se: 2 +
23.9. Noções de Trigonometria
Trigonometria é um ramo da matemática que estuda os triângulos, em especial
triângulos em um plano onde um dos ângulos do triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo).
O cálculo das funções trigonométricas seno, cosseno, tangente é encontrado
levando em consideração um triângulo retângulo que possui uma hipotenusa e dois
catetos, assim:
a
b
x
c
a = hipotenusa
b = cateto oposto ao ângulo x
c = cateto adjacente ao ângulo x
Sen x =
cateto oposto ao ângulo x b
=
hipotenusa
a
Cos x =
cateto adjacente ao ângulo x c
=
hipotenusa
a
Tg x =
cateto oposto ao ângulo x
b
=
cateto adjacente ao ângulo x c
23.9.1. Relações trigonométricas básicas
Dado um arco trigonométrico x, temos as seguintes relações:
254
Capítulo 23 I Geometria e Trigonometria
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
1)
Relações Fundamentais da Trigonometria.
I) sen2 x + cos2 x = 1
II) tg2 x + 1 = sec2x
III) cotg2 x + 1 = cosec2x
De acordo com esta fórmula, estamos considerando que o círculo trigonométrico
tem raio igual a 1 unidade de comprimento.
2)
Tangente
sen x
tg x =
cos x
3)
Cotangente
cos x
cotg x =
sen x
4)
Secante
sec x =
5)
1
cos x
Cossecante
1
cosec x =
sen x
23.10. Exercícios Resolvidos
1)
(Magistério) Considere esta figura:
Sabendo que FC = FE, pode-se afirmar que o valor de
2α em função de β e γ, (β < γ), é:
γ+β
β–γ
a)
d) 90º –
2
2
b)
γ–β
2
e)
90º –
γ–β
2
β–γ
2
Solução:
x = α + β externo ABC
c)
x + 180º – γ + α = 180º
α+β–γ+α=0
2α = (γ – β)/2
Gabarito: B.
255
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
2)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
(Magistério) Considere um pedaço de papel retangular (ABCD), de medidas 2
cm × 3 cm. Em seguida, dobra-se o papel de modo a fazer coincidir os vértices
opostos B e D, conforme a figura:
Logo, a área do triângulo BEF é igual a:
a) 3 cm;
d) 13/3 cm;
b) 4 cm;
e) 13/6 cm.
c) 10/3 cm;
Solução:
(3 – x)2 = 4 + x
9 – 6x + x2 = 4 + x
5 = 6x
x = 5/6
SBEF = (3 – x) × 2/2
SBEF = 3 – x
SBEF = 3 – 5/6 = 13/6
Gabarito: E.
3)
(Magistério) Na figura a seguir, todos os círculos possuem o
mesmo raio R.
A área da região pontilhada mede:
a) R2 (4 + 4π);
b) R2 (3π + 4);
c) R2 (5π – 4);
d) R2 (4π – 4);
e) 4πR2.
Solução:
AS= 4AC + (AQ – AC)
AS = 4AC + AQ – AC
AS = 3AC + AQ
AS = 3πR2 + (2R)2
AS = 3πR2 + 4R2
AS = R(3π + 4)
Gabarito: B.
256
ELSEVIER
Capítulo 23 I Geometria e Trigonometria
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
4)
(Magistério) Seja V1 o volume de uma esfera e V2 o volume
do menor cilindro circular reto que pode contê-la. A razão
V1/V2 é igual a:
a) 1/4;
d) 2/3;
b) 1/3;
e) 3/4.
c) 1/2;
Solução:
V1 = 4πR3/3
V2 = πR² × 2R
4πR3
3
V1/V2 =
= 4πR3/3 × 1/2πR3 = 4/6 = 2/3
2πR3
Gabarito: D.
5)
(Magistério) Observe a figura a seguir:
Sabendo-se que BÂE = 90º, DE = 8 cm, AE = 15 cm e AC
= 4 cm, pode-se concluir que a medida (AB + BC), em
centímetros, é:
a) 14;
b) 16;
c) 18;
d) 20;
e) 22.
Solução:
AD2 = 82 + 152
AD2 = 64 + 225
AD2 = √289
AD = 17
AE
EC
AD
=
=
BC
AC
AB
15
17
=
=2
BC
AB
AB + BC 1
=
2
17 + 15
AB + BC = 32/2 = 16
Gabarito: B.
6)
(Magistério) Observe esta figura:
Nela, ABCD é um quadrado e ABE e BCF são triângulos equiláteros. Sendo BEF
= β e CEF = α, o valor de β – α, em graus, é:
257
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
a) 10º;
b) 15º;
c) 20º;
Solução:
β + 60º – α = 90º
β – α = 30º
Gabarito: E.
ELSEVIER
d) 25º;
e) 30º.
7)
(Magistério) O polígono convexo que possui 54 diagonais é o:
a) eneágono;
d) dodecágono;
b) decágono;
e) pentadecágono.
c) icoságono;
Solução:
n(n – 3)
D = 2
n2 – 3n
2
2
n – 3n – 108 = 0
(n – 12)(n + 9) = 0
n = 12 ou n = – 9 (não serve)
Dodecágono
Gabarito: D.
54 =
8)
(Esaf/Auditor Fiscal do Trabalho/2006) Sabendo-se que 3 cos x + sen x = – 1,
então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a:
a) – 4/3;
d) – 5/3;
b) 4/3;
e) 1/7.
c) 5/3;
Solução:
3 cos x + sen x = –1
Elevando-se ambos os lados da igualdade ao quadrado e aplicando o teorema
de Pitágoras no lado esquerdo, temos:
9(cosx)2 + 6cosx.senx + (senx)2 = 1
8(cosx)2 + [(cosx)2 + (senx)2] = – 6cosx.senx + 1
8(cosx)2 + 1 = – 6cosx.senx + 1
8cosx = – 6senx
(senx/cosx) = – 8/6
tgx = – 4/3
Gabarito: A.
258
Capítulo 23 I Geometria e Trigonometria
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
9)
(Funrio/2008) Para se azulejar o piso de uma sala retangular, de dimensões 6
metros por 4 metros, utilizaram-se peças cerâmicas especiais na forma de um
triângulo isósceles, de base e altura iguais a 50 centímetros. As peças foram
colocadas de forma justaposta, tendo sido necessário cortar algumas delas para
o completo cobrimento do piso. Sabendo-se que as peças foram colocadas de
forma a se cortar o menor número delas para realizar a tarefa, o número de
peças cerâmicas que tiveram que ser cortadas para se realizar a cobertura de
todo o piso da sala foi:
a) 4;
d) 16;
b) 8;
e) 18.
c) 12;
Solução:
Para azulejar a sala de modo que sejam cortadas o mínimos de peças, devemos
começar a encaixar as peças pelo maior lado, pois desse modo sobrarão menos áreas
para serem preenchidas por azulejos cortados.
6 m de comprimento
4 m de largura
Medida do azulejo:
Altura: 50 cm
50 cm
Azulejando o chão, temos que na 1a fileira caberão 12 azulejos, pois são 6 metros
divididos por 50 centímetros:
Na 2a fileira, temos:
259
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Na 3a fileira, temos:
Na 4a fileira, temos:
Nesse momento, percebemos que foi preenchido 1 metro da largura. Utilizamos
para isso 4 fileiras de azulejos. Considerando que a largura é de 4 metros, esse processo
aparece mais 3 vezes, ou seja, repete-se 4 vezes. Concluímos então que serão utilizadas 4
fileiras por metro. Como temos 4 metros, são 16 fileiras com 12 azulejos inteiros cada.
Agora, calculam-se quantos azulejos são necessários serem cortados para cobrir
a parte que falta.
Utilizando a primeira fileira como exemplo, temos que será utilizado 1 azulejo
para cobrir cada canto vazio. Veja o modelo abaixo para o corte do azulejo e preenchimento de um canto vazio:
Como temos 8 cantos vazios (2 em cada lado de cada fileira) são necessários 8
azulejos.
Gabarito: B.
260
Capítulo 23 I Geometria e Trigonometria
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
23.11. Exercícios Propostos
1)
Três goiabas perfeitamente esféricas de centros C1,
C2 e C3 e raios 2 cm, 8 cm e 2 cm estão sobre uma
mesa tangenciando-se como sugere a figura:
Um bichinho, que está no centro da primeira goiaba,
quer se dirigir para o centro da terceira goiaba
pelo caminho mais curto. Quantos centímetros ele
percorrerá?
a) 15,8 cm.
d) 18,8 cm.
b) 16,8 cm.
e) 19,8 cm.
c) 17,8 cm.
2)
Considere um decágono regular convexo inscrito em uma
circunferência de raio R. Sabendo-se que BC é bissetriz do
ângulo ABO, então, o lado do decágono em função do raio vale:
a) (√5 – 1).R/2;
b) (√5 – 1);
c)
3)
√5 + 1;
e) (√5 + 1).R.
d)
√5 ;
Na figura a seguir, a circunferência de centro O tem raio 10 cm
e a de centro C tem raio r. Se AO é perpendicular a OB, então
o valor de r é:
a) 10(√2 – 1);
d) (√2 + 1);
b) 10 √2 ;
e) (√2 – 1).
c) 10(√2 + 1);
4)
A figura a seguir é formada por 4 triângulos de mesmo tamanho,
alguns dos quais estão subdivididos em 9 triangulozinhos de
mesmo tamanho. A que fração do total corresponde a parte
sombreada na figura?
a) 11/12.
d) 1/2.
b) 7/9.
e) 4/9.
c) 2/3.
5)
Uma pizza circular de raio 30 cm foi dividida em seis
partes iguais para seis pessoas. Contudo, uma das
pessoas resolveu repartir ao meio o seu pedaço,
conforme mostra a figura a seguir. O valor de x é:
3π
a) 10
√
2π
;
3
d) 10
√
√3
b) 10√
3π
;
3
e) 10
√
√3
c) 10
√
π
;
√3
5π
;
.
261
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
ELSEVIER
6)
Calcule o valor de: y = cos1o + cos2o + cos3o + ... + cos179o + cos180o.
a) –1.
d) 2.
b) 0.
e) 3.
c) 1.
7)
(Esaf/Auditor/1998) O valor de y para que (cosx + senx)2 + y senx cosx – 1 = 0, representa uma identidade é:
a) 2;
d) –2;
b) 0;
e) 1.
c) –1;
8)
(SPTRANS/Agente de Monitoramento/2007) Os ângulos internos de um triângulo são
diretamente proporcionais aos números 3 , 4 e 5. Então podemos afirmar que:
a) o triângulo é retângulo;
b) um dos ângulos mede 45º e um outro 75º;
c) o triângulo é isóceles;
d) um dos ângulos tem medida maior que 90º.
9)
(Funrio/Auxiliar/2008) A área do terreno, cuja planta é apresentada na figura abaixo,
em m2 vale:
a) 6;
b) 6,5;
c) 8;
262
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
d) 8,5;
e) 9.
10)
(Funrio/Auxiliar/2008) O perímetro do quadrado maior é igual
ao dobro do perímetro do quadrado menor. Sabendo que a área
do quadrado menor é igual a 25 m2, a área delimitada pelos
dois quadrados, e que se encontra destacada na figura abaixo,
expressa em m2, vale:
a) 25;
d) 100;
b) 50;
e) 125.
c) 75;
11)
(Funrio) Deseja-se construir uma piscina com 1 metro de profundidade e 2,5 metros de
comprimento. Como a capacidade da piscina deve ser de 8000 litros, a medida de sua
largura deverá ser:
a) 3,5 m;
d) 3,2 m;
b) 3,6 m;
e) 3,8 m.
c) 3,7 m;
Capítulo 23 I Geometria e Trigonometria
12)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(Professor/SED-SP/FCC/2010) Um pequeno cálice tem a forma de cone circular reto,
com diâmetro do bocal medindo 4 cm e altura 6 cm, de acordo com a figura abaixo.
h
Sabendo que um líquido ocupa 50% da capacidade do cálice, é correto dizer que a altura
h do cone formado pelo líquido, em centímetros, é:
a) 2 3 3 ;
d) 3 3 5 ;
b) 2 3 4 ;
e) 3 3 6 .
c) 3 4 ;
3
13)
(Professor/SED-SP/FCC/2010) Desprezando alguns segundos de grau, podemos considerar que as cidades de Curitiba e Goiânia têm a mesma longitude (49ºOeste) e se
localizam sobre o mesmo meridiano. Da mesma forma, suas latitudes diferem de 9º,
sendo respectivamente 26º Sul e 17º Sul, como mostrado na figura abaixo.
Polo Norte
Greenwich
Norte
Equador
Goiânia
9º
Oeste
Leste
Sul
Curitiba
Polo Sul
Considerando a Terra como uma esfera perfeita, na qual todas as circunferências máximas (circunferências sobre a superfície que têm centro no centro da Terra) medem
40000 km, conclui-se que a menor distância entre Curitiba e Goiânia, caminhando sobre
a superfície da Terra, é:
a) 950 km;
d) 1.100 km;
b) 1.000 km;
e) 1.150 km.
c) 1.050 km;
14)
(Professor/SED-SP/FCC/2010) Na ilustração abaixo, a circunferência maior está inscrita
em um quadrado. A circunferência menor circunscreve um quadrado, é tangente à maior
e contém seu centro.
263
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Nessas condições, a razão entre o lado do quadrado maior e o do menor, nessa ordem, é:
15)
a)
3
2;
2
d) 3 2 ;
b)
2;
e) 2 2 .
c)
5
2;
2
(Professor/Prefeitura de Teresina/FCC/2009) O instrumento indicado serve para medir
o comprimento de uma linha e funciona conforme descrito ao lado da figura.
Passando o mecanismo ao longo da linha, o ponteiro indicado no mostrador circular
gira em sentido horário. Cada giro completo desse ponteiro corresponde a 10 cm de
comprimento da linha. O mostrador está dividido em 25 partes iguais. Usando esse
instrumento para medir o comprimento de uma linha, constatou-se que o ponteiro deu
3 voltas completas mais 8 partes do mostrador circular, o que indica que o comprimento
da linha é, em cm:
a) 34,15;
d) 33,80;
b) 31,25;
e) 33,20.
c) 30,20;
16)
264
(Professor/Prefeitura de Teresina/FCC/2009) A figura indica um piso plano formado pelo
encaixe de ladrilhos pentagonais idênticos.
Capítulo 23 I Geometria e Trigonometria
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Neste caso, x tem que ser:
a) 80º;
b) 70º;
c) 100º;
d) 90º;
e) 60º.
17)
(Professor/Prefeitura de Teresina/FCC/2009) A caixa indicada na figura 1 possui base
quadrada e foi feita a partir da colagem de cinco pedaços, que foram obtidos recortando-se uma cartolina retangular, como indica a figura 2.
figura 1
figura 2
Se a altura da caixa é 2 cm e seu volume 128 cm3, então, o perímetro da cartolina que
deu origem a caixa, em cm, é:
a) 24;
d) 56;
b) 36;
e) 48.
c) 64;
18)
(Professor/Prefeitura de Teresina/FCC/2009) O painel abaixo é formado por 12 ladrilhos
quadrados com 20 cm de lado em cada ladrilho. Cada triângulo de interior cinzento desse
painel tem um vértice no centro de cada ladrilho e outros dois vértices coincidindo com
2 vértices do ladrilho. A área da parte branca desse painel é, em cm2, de:
a) 4800;
b) 3600;
c) 2800;
19)
d) 2400;
e) 1200.
(Professor/Prefeitura de Teresina/FCC/2009) Numa parede de 2 m de comprimento, por
2 m de altura e 0,3 m de espessura foi feito um buraco, como mostra a figura a seguir.
Tanto a parede quanto o furo têm a forma de paralelepípedo reto retângulo. Se o espaço
ocupado pelo furo representa 20% do espaço total da parede (parede sem o furo), podemos afirmar que x mede, em m, aproximadamente:
265
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
a) 1,2.
b) 0,9.
c) 1,0.
20)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
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d) 0,8.
e) 1,5.
(Professor/Prefeitura de Teresina/FCC/2009) Numa história de terror, um homem foi
condenado a encher de água um aquário, com a forma de paralelepípedo reto retângulo,
com um conta-gotas.
O aquário tinha dimensões de 52 cm por 25 cm por 30 cm e paredes de espessura desprezível. Se a capacidade total do conta-gotas era de 5 mL, o menor número de vezes
que ele teve de encher o conta-gotas para encher o aquário foi:
a) 7;
d) 78;
b) 78000;
e) 780.
c) 7800;
21)
266
(Ajudante de mecânico/Metrô-SP/FCC/2010) As pontas da estrela mostrada na figura
abaixo são as interseções dos prolongamentos dos lados de um pentágono regular.
Capítulo 23 I Geometria e Trigonometria
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Assim sendo, a soma das medidas dos ângulos assinalados é igual a:
a) 150º;
b) 160º;
c) 170º;
d) 180º;
e) 190º.
22)
(Vunesp/Oficial Administrativo/SAP/2011) Os produtos de uma empresa são embalados
em caixas cúbicas, com 20 cm de aresta. Para transporte, essas embalagens são agrupadas, formando um bloco retangular, conforme mostrado na figura. Sabe-se que 60
desses blocos preenchem totalmente o compartimento de carga do veículo utilizado para
o seu transporte. Pode-se concluir, então, que o volume máximo, em metros cúbicos,
transportado por esse veículo é:
a)
b)
c)
d)
e)
23)
4,96;
5,76;
7,25;
8,76;
9,60.
(Vunesp/Oficial Administrativo/SAP/2011) Em um jardim, um canteiro retangular, cujos
lados medem 6 m e 10 m, foi cercado por uma calçada com largura constante de 1,2 m,
conforme mostra a figura. Nessa calçada foram assentadas 276 placas quadradas iguais
de certo piso, sem haver espaços entre elas. Conclui-se, então, que a medida do lado de
cada placa é:
a)
b)
c)
d)
e)
20 cm;
25 cm;
30 cm;
40 cm;
60 cm.
267
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
24)
(Vunesp/Professor de Matemática/2011) Uma atividade foi proposta aos alunos com o
objetivo de levá-los a encontrar uma regularidade para o número de diagonais existentes
em polígonos convexos. Após algumas tentativas e erros, um grupo de alunos apresentou
a seguinte conclusão: Se o polígono for um quadrilátero, então ele terá (4 – 3) + (4 – 3)
+ (4 – 4) diagonais; se for um pentágono, então ele terá (5 – 3) + (5 – 3) + (5 – 4) + (5 – 5)
diagonais; se for um hexágono, então terá (6 – 3) + (6 – 3) + (6 – 4) + (6 – 5) + (6 – 6) diagonais; e assim por diante. Logo, o número de diagonais pode ser dado pela seguinte
soma: 2 × (o número de lados menos 3) + (o número de lados menos 4) + (o número de
lados menos 5) + … + 0. Com relação ao que o grupo de alunos apresentou, avalie as
proposições:
I.
A conclusão é válida para um quadrado.
II. A ideia apresentada pode ser utilizada em triângulos, com sucesso.
III. A conclusão sobre um hexágono é válida.
Sobre as proposições, é correto afirmar que:
a) apenas I é verdadeira;
b) apenas II é verdadeira;
c) apenas III é verdadeira;
d) existem apenas duas verdadeiras;
e) I, II e III são verdadeiras
25)
(Vunesp/Professor de Matemática/2011) Os pontos A, B, C e D são os vértices de um
quadrado. Os pontos E, F, G e H são os pontos médios dos lados do quadrado ABCD.
Sabendo-se que a área da região escura é 100 centímetros quadrados, uma equação
que permite obter, corretamente, a medida x do lado AB é:
a) 2x2 – x – 200 = 0;
x
b) 2x2 –
– 200 = 0;
2
c) x2 – 100 = 0;
d)
x2
– 100 = 0;
2
e) 2x2 – x – 200 = 0.
268
ELSEVIER
Capítulo 23 I Geometria e Trigonometria
26)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(Vunesp/Analista Administrativo/Fundação Casa/2010) A figura indica um estacionamento
retangular de veículos ABCD, sendo que EFGH representa um galpão retangular dentro
do estacionamento.
Sabendo-se que a área do estacionamento que não é ocupada pelo galpão é 5.050 m2, o
valor de x, em metros, pode ser obtido através da solução positiva da equação:
a) 9x2 + 1 150x – 5 050 = 0;
b) 6x2 – 1 150x + 5 050 = 0;
c) 6x2 + 1 150x – 5 050 = 0;
d) 3x2 – 575x – 5 050 = 0;
e) 3x2 + 475x – 5 050 = 0.
27)
(Vunesp/Analista Administrativo/Fundação Casa/2010) Uma caixa d´água na forma de
paralelepípedo reto retângulo tem base quadrada de área 4 m² e altura desconhecida.
Triplicando a aresta da base e reduzindo sua altura à terça parte, é correto afirmar que
o volume da caixa d´água irá:
a) dividir por 3;
b) dividir por 2;
c) dobrar;
d) triplicar;
e) sextuplicar.
28)
(CRF-SP/2009/Agente Administrativo) Na figura, as áreas dos quadrados A e B são,
respectivamente, 225 cm2 e 289 cm2.
269
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Desse modo, o perímetro do triângulo sombreado EFG é igual a:
a) 24 cm;
d) 36 cm;
b) 30 cm;
e) 40 cm.
c) 32 cm;
29)
(CRF/SP/2009/Agente Administrativo) Uma caixa cúbica maciça confeccionada com certo
material tem as dimensões indicadas na figura. Sabe-se que 1,6 dm3 de volume desse
material tem uma massa correspondente a 2/5 de um quilograma
Desse modo, essa caixa tem uma massa total de:
a) 2.000 g;
d) 400 g;
b) 1.200 g;
e) 320 g.
c) 500 g;
270
30)
(Vunesp/Analista de Sistema/2008) As dimensões da caixa estão expressas em centímetros. O menor número de cubos de madeira que podem preencher totalmente essa
caixa é:
a) 30;
b) 24;
c) 20;
d) 12;
e) 9.
31)
(Vunesp/Analista de Sistema/2008) No quadriculado seguinte, foi representado o caminho, de A a B, percorrido por uma pessoa, no sentido indicado pelas flechas.
Capítulo 23 I Geometria e Trigonometria
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Essa pessoa fez um giro maior do que 90º no ponto:
a) P;
b) Q;
c) R;
d) S;
e) T.
32)
(Vunesp/Assistente Administrativo/UFSCAR/2008) Em um dado instante, um portão de
1,2 m de altura projeta uma sombra de 2 metros. Nesse mesmo instante, um poste de
iluminação tem uma sombra de 23 metros. A altura desse poste de iluminação é de:
a) 13,8 m;
b) 13,2 m;
c) 12,5 m;
d) 12,1 m;
e) 11,7 m.
33)
(Professor de Matemática/CONSULTEX/2011/Pref. Boqueirão) Para levar sua mulher até
o alto do pedestal, ou trazê-la até o chão, o vicking usa uma escada medindo 2,4 m. Os
degraus da escada têm 6 cm de altura e estão igualmente espaçados 18 cm um do outro.
Nem todos os degraus estão representados na figura. O degrau mais baixo equidista do
chão e do segundo degrau. O degrau mais alto apoia-se no plano superior do pedestal.
A escada faz um ângulo θ com o chão e sabe-se que:
sen θ = 4/5
cos θ = 3/5
tg θ = 4/3
Qual a altura h do pedestal?
a) 5,95 m.
b) 4,94 m.
c) 3,93 m.
d) 1,92 m.
e) 2,91 m.
271
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
34)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(Professor de Matemática/EDUCA/2008/PB) Arrumaram-se três esferas iguais dentro
de uma caixa cilíndrica (figura 1) como se pode observar no esquema (figura 2).
•
A altura da caixa é igual ao triplo do diâmetro de uma esfera.
•
O raio da base do cilindro é igual ao de uma esfera.
Podemos afirmar que:
a) O volume da caixa que não é ocupado pelas esferas é a metade do volume das três
esferas.
b) O volume da caixa que não é ocupado pelas esferas é igual do volume das três esferas.
c) O volume da caixa que não é ocupado pelas esferas é terça parte do volume das três
esferas.
d) O volume da caixa que não é ocupado pelas esferas é o dobro do volume das três
esferas.
e) O volume da caixa que não é ocupado pelas esferas é 25% do volume das três esferas.
35)
(Tec. Informática Júnior/2011/CESG) Na figura abaixo, temos o triângulo equilátero MAR,
de área S, e o retângulo ABCH, de área 11S/ 6.
Observe que o segmento AH é uma das alturas do triângulo MAR. A área do trapézio
ABCR é:
a) 2S/3;
b) 3S/5;
c) 7S/4;
d) 5S/2;
e) 4S/3.
272
Capítulo 23 I Geometria e Trigonometria
36)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(Cesgranrio/Téc. de Inspeção e Biocombustível/BR/2010)
No modelo acima, estão representadas três caixas iguais (paralelepípedos reto-retângulos), de dimensões a, a e h. Se o conjunto ocupa 162 cm3, qual é, em cm2, a área total
de cada caixa?
a) 54.
d) 108.
b) 72.
e) 144.
c) 90.
37)
(Cesgranrio/Técnico em Manutenção Júnior/BR) Vinte caixas iguais, em forma de paralelepípedo, estão empilhadas, como mostra a figura.
Se a pilha de caixas tem 50 cm de altura, 60 cm de comprimento e 40 cm de largura,
quais são, em cm, as dimensões de cada caixa?
a) 4, 5 e 6.
d) 6, 6 e 10.
b) 5, 10 e 20.
e) 10, 20 e 30.
c) 5, 20 e 30.
38)
(Faetec/Técnico em Concomitância/2010/Dom Cintra) Observe o polígono convexo abaixo:
273
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Este polígono é o dodecágono (12 lados). Se o número d de diagonais de um polígono
n(n – 3)
convexo de n lados é obtido pela fórmula d =
, o número de diagonais de um
2
dodecágono convexo é:
a) 46;
d) 54;
b) 48;
e) 56.
c) 52;
(Faetec/Técnico em Concomitância/2010/Dom Cintra) Leia a informação abaixo e responda às questões 39 e 40.
Um terreno retangular de x metros de largura e y metros de comprimento possui 360 m2
de área.
39)
A lei de correspondência que expressa o valor do comprimento y em função da largura
x é:
a) x + 360
b) 360 = x
c) 360x
x
d)
360
e)
360
x
40)
Se o comprimento desse terreno tem 18 m a mais que a largura, o seu perímetro corresponde, em metros, a:
a) 80;
d) 92;
b) 84;
e) 96.
c) 88;
41)
(Faetec/Técnico em Concomitância/2010/Dom Cintra) Considere a malha quadriculada
abaixo e o par de polígonos semelhantes destacados.
A razão entre a área do menor e a área do maior é:
274
a)
1
2
d)
1
4
b)
1
9
e)
1
3
c)
1
6
Capítulo 24
Progressões Aritmética, Geométrica
e Funções
24.1. Progressão Aritmética
Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo,
a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante. Esse
número é chamado de razão da progressão aritmética, representado pelo “r”, de resto.
Exemplos:
•
(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, ...), onde r = 3
•
(–2, –4, –6, –8, –10, –12, ...), onde r = –2
•
(3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), onde r = 0
24.1.1. Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Aritmética
A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte
forma:
an = a1 + (n – 1).r
Onde:
an = n-ésimo termo
a1 = 1o termo
n = número de termos
r = razão
24.1.2. Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética
A soma de todos os termos de uma progressão aritmética, a partir do primeiro,
é calculada pela seguinte fórmula:
n(a1 + an)
Sn =
2
Prova da fórmula por indução:
A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles.
Veja o exemplo:
A soma de 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 + 100 é igual a:
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Solução:
A soma dos extremos vale sempre 101, observe:
1 + 100 = 101;
2 + 99 = 101;
3 + 98 = 101;
4 + 97 = 101.
...
De 1 a 100 temos 50 pares, logo, a soma total vale 101 × 50 = 5.050.
Na verdade, essa indução é a fórmula da soma da P.A. de razão 1.
n(a1 + an)
Sn =
2
Sn =
100(1 + 100)
= 5.050
2
24.1.3. Classificação das Progressões Aritméticas
1)
Progressão aritmética constante
Uma progressão aritmética constante é toda progressão aritmética em que todos
os termos são iguais, sendo que, para isso, a razão r tem de ser sempre igual a zero.
Exemplos:
(8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, ...) – razão r = 0
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) – razão r = 0
2)
Progressão aritmética crescente
Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada
termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que, para
isso, a razão r tem de ser sempre positiva e diferente de zero.
Exemplos:
(2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) – razão r = 2
(3, 6, 9, 12, 15, 18, ...) – razão r = 3
3)
Progressão aritmética decrescente
Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que
cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que,
para isso, a razão r tem de ser sempre negativa e diferente de zero.
Exemplos:
(6, 4, 2, 0, –2, –4, –6, ...) – razão r = –2
(6, 3, 0, –3, –6, –9, ...) – razão r = –3
276
Capítulo 24 I Progressões Aritmética, Geométrica e Funções
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
24.2. Progressão Geométrica
Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a
partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q. O número
q é chamado de razão da progressão geométrica, e é representado pelo “q”, de quociente.
Exemplos:
•
(2, 4, 8, 16, 32, ...), onde q = 2
•
(3, –9, 27, –81, ...), onde q = –3
•
•
1 1 1
, ,
, ...), onde q = ½
3 9 27
(5, 5, 5, 5, 5, 5, ...), onde q = 1
(1,
24.2.1. Classificação das Progressões Geométricas
•
•
•
•
Oscilante: q < 0
Crescente: q > 1
Decrescente: 1 > q > 0
Constante: q = 1
24.2.2. Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Geométrica Finita
A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é expressa da seguinte
forma, onde a1 é o primeiro termo, e n é o número de termos:
an = a1.qn – 1
24.2.3. Soma dos Termos de uma P.G. Finita
A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é dada por:
a1(qn – 1)
Sn =
q–1
24.2.4. Soma dos Termos de uma P.G. Infinita
Em uma P.G. infinita, a razão da P.G. deve estar entre 0 e 1, ou seja, 0 < q < 1.
Sua fórmula é dada por:
a1
Sn =
1–q
Exemplo:
Determine a soma da sequência: (1,
1 1
, , ...).
2 4
Solução:
Sn =
a1
1–q
277
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Sn =
1
1–
1
2
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
=2
24.2.5. Correlação entre PA/PG e Função do 1o e segundo grau
Neste caso verifica-se uma relação direta entre a função do primeiro grau com
a PA no que se refere à relação Domínio e Imagem.
Caso 1: Função do Primeiro Grau Incompleta: y = 2x
Domínio Imagem
X=1
y=2
X=2
y=4
X=3
y=6
Conclusão: A Imagem gera uma PA (2, 4, 6) de razão 2.
Caso 2: Função do Primeiro Grau completa: y = 2x + 3
Domínio Imagem
X=1
y=5
X=2
y=7
X=3
y=9
Conclusão: A Imagem gera uma PA (5, 7, 9) de razão 2.
Caso 3: Função do Segundo Grau, onde y = ax2 + bx + c
Seja a função: Y = X2 + 2, atribuindo valores para X, tem-se a Imagem Y.
Domínio Imagem
Diferença das imagens
X=1
3
PA: (3, 5, 7)
X=2
6
X=3
11
X=4
18
24.3. Exercícios Resolvidos
1)
278
Um coronel dispõe seu regimento em forma de um triângulo, onde ele coloca 1
homem na primeira fila, 2 na segunda, 3 na terceira, e assim por diante. Forma-se, assim, um triângulo com 171 homens. Quantas filas tem esse regimento?
a) 15.
b) 16.
c) 17.
d) 18.
e) 19.
Capítulo 24 I Progressões Aritmética, Geométrica e Funções
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução:
n(a1 + an)
2
n(1 + n)
171 =
2
Sn =
Resolvendo a equação:
n² + n – 342 = 0
n = 18
Gabarito: D.
2)
Sendo 32 o primeiro termo de uma PG e 2 é a sua razão, calcule o termo de
ordem 8.
a) 2096.
b) 3096.
c) 4096.
d) 5096.
e) 6096.
Solução:
a1 = 32
q=2
a8 =?
n=8
Usando a fórmula do termo geral:
an = a1 × qn-1
a8 = a1 × q8-1
a8 = 32 × 27
a8 = 32 × 128
a8 = 4096
Gabarito: C.
3)
Se x e y são positivos e se 3xy, 9x, xy estão, nesta ordem, em progressão geométrica, o valor de y é:
a) 1/9.
d) 3 3.
b) 1/3.
e) 9 3.
c) 3.
Solução:
(3xy, 9x, xy) sequência – (P.G.)
Propriedade do termo central
“o termo central ao quadrado vale o produto dos extremos”
279
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
ELSEVIER
(9x)² = 3xy × xy
81x² = 3x²y²
3y² = 81
y² = 27
y = 27
y=3 3
Gabarito: D.
4)
O primeiro termo e a razão de uma progressão geométrica valem 1 e 10, respectivamente. O produto dos 20 primeiros termos dessa progressão corresponde a:
a) 10170.
d) 10200.
b) 10180.
e) 10210.
190
c) 10 .
Solução:
a1 = 1, q = 10, n = 20
n (n −1)
p = a 1n × q
2
20( 20 −1)
p = 120 × 10
p = 1010.19
p = 10190
Gabarito: C.
2
5)
A sucessão (a, b, 84) é uma progressão aritmética, e a sucessão (3, a, b) é uma
progressão geométrica crescente. O valor de b é:
a) 36.
d) 52.
b) 40.
e) 54.
c) 48.
Solução:
(a, b, 84) P.A.
(3, a, b) P.G.
84 – b = b – a
2b = 84 + a
a² = 3b
4b² = 7056 + 168a + 3b
4b² – 339b + 7056 = 0
280
Capítulo 24 I Progressões Aritmética, Geométrica e Funções
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
339 ± 2025 339 ± 45
=
8
8
339 + 45
= 48
b’ =
8
339 − 45 294
=
b” =
8
8
Gabarito: C.
b=
6)
O fichário da clínica médica de um Hospital possui 10.000 clientes cadastrados
em fichas numeradas de 1 a 10.000. Um médico pesquisador desejoso de saber
a incidência de hipertensão arterial entre pessoas que procuravam o setor, fez
um levantamento, analisando as fichas que tinham números múltiplos de 15.
Quantas fichas NÃO foram analisadas?
a) 666.
b) 1500.
c) 1666.
d) 8334.
e) 9334.
Solução:
PA para os múltiplos de 15 (fichas analisadas):
an = a1 + r (n – 1)
9990 = 15 + 15 (n – 1)
n = 666
Assim as Fichas não analisadas: 10.000 – 666 = 9334
Gabarito: E.
24.4. Exercícios Propostos
1)
Uma criança arruma um conjunto de 100 peças, sempre na mesma ordem, como se
segue:
Nessa sequência, a peça que ocupa a 70a posição é:
a) retângulo;
d) triângulo;
b) círculo;
e) trapézio.
c) quadrado;
281
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
282
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
2)
Uma bola de borracha, cada vez que bate no chão, pula 2/3 da altura de onde caiu. Tendo-se
deixado cair da altura de 8,1 metros, que distância terá percorrido ao cair no chão pela
quinta vez?
a) 34,1.
b) 37,2.
c) 40.
d) 45.
e) 50.
3)
Os frutos de uma árvore, atacados por uma moléstia, foram apodrecendo dia após dia,
segundo os termos de uma progressão geométrica de primeiro termo 1 e razão 3, isto é,
no primeiro dia apodreceu 1 fruto, no segundo dia três outros e assim sucessivamente.
Se, no 7o dia apodreceram os últimos frutos, então o número de frutos atacados pela
moléstia foi de:
a) 263;
b) 364;
c) 729;
d) 1092;
e) 1093.
4)
Uma alga cresce de modo que a cada dia ela cobre uma superfície de área igual ao dobro da coberta do dia anterior. Se esta alga cobre a superfície de um lago em 100 dias,
assinale a alternativa correspondente ao número de dias necessários para que as duas
algas da mesma espécie da anterior cubram a superfície do mesmo lago:
a) 50;
b) 25;
c) 98;
d) 99;
e) 43.
5)
(Mackenzie) Se f(n), n ∈ N, é uma sequência definida por:
f (0) = 1
f (n + 1) = f (n +3), então, f (200) é:
a) 597.
b) 600.
c) 601.
d) 604.
e) 607.
6)
Uma pessoa A chega às 14 horas para um encontro que havia marcado com uma pessoa
B. Como B não chegara ainda, A resolveu esperar um tempo T’ igual a meia hora e, após
isso, um tempo T” = ½ T’ e assim por diante. Se B não veio ao encontro, quanto tempo A
esperou até ir embora?
a) 1h.
b) 2h.
c) 3h.
d) 4h.
e) 5h.
Capítulo 24 I Progressões Aritmética, Geométrica e Funções
7)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(Técnico Administrativo/TRF-2a Região/FCC/2007) Considere que a sucessão de figuras
abaixo obedece a uma lei de formação.
O número de circunferências que compõem a 100a figura dessa sucessão é:
a) 5 151;
b) 5 050;
c) 4 950;
d) 3 725;
e) 100.
8)
(Administrador Júnior/CESG/2011) Considere uma sequência infinita de retângulos,
cada um deles com base medindo 1 cm e tais que o primeiro tem altura 1 m e, a partir
do segundo, a altura de cada retângulo mede um décimo da altura do anterior. Seja Sn a
soma das áreas dos n primeiros retângulos dessa sequência, expressa em cm2. Pode-se
afirmar que:
a) S3 = 110;
b) S7 < 111;
c) existe n natural tal que Sn é um número irracional;
d) existe n natural tal que Sn = 111,1111111;
e) Sn < 111,01 para todo natural não nulo n 47.
9)
(Administrador Júnior/CESG/2011)
Acima, tem-se o gráfico da função polinomial f(x) = a(x – b)(x – c)(x – d).
O valor de a + b + c + d é:
a) 2;
b) 4;
c) 1/3;
d) 4/3;
e) 7/3.
283
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
10)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(Vunesp/Oficial Administrativo/SAP/2011) A função ƒ: R → R dada por ƒ (x) = x intercepta
a função g: R → R dada por g (x) = (x – 2)2 em dois pontos distintos A e B de coordenadas
(a,a) e (b,b), respectivamente, com a < b. Se considerarmos os pontos C de coordenadas
(b,0) e D de coordenadas (a,0), obteremos o trapézio ABCD, conforme ilustra a figura
apresentada a seguir.
A área da região plana determinada pelo trapézio de vértices ABCD, em unidades de
área, é:
a) 7/2;
b) 9/2;
c) 11/2;
d) 13/2;
e) 15/2.
11)
284
(Vunesp/Analista Administrativo/Fundação Casa/2010) Uma empresa de telefonia cobra
21 centavos por minuto de ligação local. Caso a ligação local atinja ou exceda 10 minutos,
a empresa dá um desconto fixo de 1 real. Um gráfico que pode representar a relação
entre o preço da ligação, em reais, e o total de minutos de uma ligação é:
a)
Capítulo 24 I Progressões Aritmética, Geométrica e Funções
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
b)
c)
d)
e)
285
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
12)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
(Vunesp/Analista de Sistema/2008) O gráfico seguinte mostra a variação de velocidade
de dois veículos, A e B, que foram observados ao mesmo tempo, durante 20 s, numa
mesma pista.
É possível concluir que:
a) no 10o segundo, a partir do início da observação, A e B colidiram;
b) durante os 20 segundos em que foram observados, A e B não apresentaram a mesma
velocidade;
c) A e B caminharam na mesma pista, porém em sentidos contrários;
d) no início da observação, a velocidade de B era 75% maior do que a de A;
e) antes dos 10 primeiros segundos em que foram observados, a velocidade de B era 30
km/h maior do que a de A.
13)
(Vunesp/Assistente Administrativo/UFSCAR/2008) Em certa cidade, ao longo dos anos,
a área destinada ao plantio de produtos transgênicos tem crescido, conforme dados
apresentados no gráfico:
Seguindo essa tendência, em 2009, a área, em hectares, destinada ao plantio de produtos
transgênicos será de:
a) 4 914;
d) 4 920;
b) 4 916;
e) 4 922.
c) 4 918;
286
Capítulo 24 I Progressões Aritmética, Geométrica e Funções
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
14)
(Vunesp/Assistente Administrativo/UFSCAR/2008) Ao organizar a tabela de jogos de
futebol de seu bairro, Maurício observou que havia uma relação entre o número de
times participantes e o número de partidas que deveriam ser disputadas. Essa relação
foi escrita sob a forma de uma função: F(t) = t2 – t, onde t é o número de times participantes e F(t) representa o total de partidas em função de t. Em 2007, o total de partidas
disputadas em um só campeonato chegou a 156. Ou seja, em 2007 estavam envolvidos
no campeonato um total de:
a) 12 times;
b) 13 times;
c) 14 times;
d) 15 times;
e) 16 times.
15)
(Vunesp/Agente de Fiscalização/2007) O gráfico mostra o vazamento (em mL) em uma
garrafa plástica com água, ao longo de um determinado período de tempo.
Se a perda de água se mantiver constante, essa garrafa ficará totalmente vazia após:
a) 6 horas;
b) 7 horas;
c) 8 horas;
d) 9 horas;
e) 10 horas.
16)
(Ceperj/2011/Prof. de Matemática/Pref. Itaboraí) A quantia de R$ 700,00 foi dividida em
três parcelas. Sabe-se que essas três parcelas formam uma PG (Progressão Geométrica)
e que a menor parcela assim distribuída é de R$ 100,00. Dessa forma, o valor da maior
parcela é:
a) R$ 200,00;
b) R$ 300,00;
c) R$ 400,00;
d) R$ 500,00;
e) R$ 350,00.
287
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Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
17)
(Administrador de Dados/FGV/2009) Uma sequência numérica (a1, a2, a3, a4,...) é construída
de modo que, a partir do 3o termo, cada um dos termos corresponde à média aritmética
dos termos anteriores. Sabendo-se que a1 = 2 e que a9 = 10, o valor do 2o termo é:
a) 18;
b) 10;
c) 6 ;
d) 5;
e) 3.
18)
(Cesgranrio/Téc. de Inspeção e Equipamento Júnior/2010/Biocombustível) O gráfico
abaixo apresenta a capacidade de processamento de oleaginosas de uma máquina extratora de óleos vegetais, em função do tempo t.
Em quanto tempo essa máquina processa 800 kg de oleaginosas?
a) 6 horas e 20 minutos.
b) 6 horas e 30 minutos.
c) 6 horas e 40 minutos.
d) 7 horas e 20 minutos.
e) 7 horas e 40 minutos.
19)
288
(Cesgranrio/Técnico em Manutenção Júnior/BR/2008) O Gráfico I apresenta a variação
na cotação do barril tipo leve americano, durante cinco dias do mês de julho.
Capítulo 24 I Progressões Aritmética, Geométrica e Funções
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Observe, agora, o Gráfico II, no qual a variação na cotação do barril tipo leve americano,
no mesmo período, é considerada linear, constituindo uma função de 1o grau.
Se a variação na cotação do barril tipo leve americano tivesse ocorrido como apresentado
no Gráfico II, o preço do barril no dia 16/7 seria x dólares mais alto. Pode-se concluir
que x é igual a:
a) 1,98;
b) 2,08;
c) 2,28;
d) 2,48;
e) 2,68.
20)
21)
“O Brasil é o país onde mais caem raios no mundo. Na última década, a cada três dias,
em média, uma pessoa foi fulminada por um raio” Revista Veja, 10 fev. 2010. Seja f(x)
uma função polinomial que represente o numero de pessoas fulminadas por um raio no
Brasil ao longo da última década, onde x representa o número de dias. Considerando as
informações apresentadas na reportagem acima, conclui-se que:
a) f(x) = 3x
b) f(x) = x + 3
c) f(x) = x – 3
d) f(x) =
x
3
e) f(x) =
3–x
3
(Cesgranrio/Técnico Bancário Administrativo/Caixa/2008)
289
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Em um caminho retilíneo há um canteiro formado por 51 roseiras, todas enfileiradas
ao longo do caminho, como ilustrado. A distância entre quaisquer duas roseiras consecutivas é 1,5 m. Nesse caminho, há ainda uma torneira a 10,0 m da primeira roseira.
Gabriel decide molhar todas as roseiras desse caminho. Para isso, utiliza um regador
que, quando cheio, tem capacidade para molhar 3 roseiras. Dessa forma, Gabriel enche o
regador na torneira, encaminha-se para a 1o roseira, molha-a, caminha até a 2o roseira,
molha-a e, a seguir, caminha até a 3o roseira, molhando-a também, esvaziando o regador.
Cada vez que o regador fica vazio, Gabriel volta à torneira, enche o regador e repete a
rotina anterior para as três roseiras seguintes. No momento em que acabar de regar a
última das roseiras, quantos metros Gabriel terá percorrido ao todo desde que encheu
o regador pela primeira vez?
a) 1666,0.
b) 1581,0.
c) 1496,0.
d) 833,0.
e) 748,0.
290
Capítulo 25
Matrizes, Determinantes
e Sistemas Lineares
25.1. Matrizes
Denomina-se matriz à tabela formada por m linhas e n colunas.
Exemplos:
2 3 4 
5 7 9 

 2×3
7 2 
3 4 


5 1  3×2
7 3 2 
4 1 5 


6 1 8  3×3
Convenientemente os elementos da matriz devem ficar entre colchetes, ou
entre parênteses ou entre barras duplas. Em nosso estudo daremos preferência ao
uso dos colchetes.
Quando numa matriz o número de linhas é diferente do número de colunas
tem-se uma matriz retangular. As duas primeiras matrizes acima são retangulares. A
primeira é dita 2x3 (lê-se: 2 por 3) e a Segunda 3x2 (Lê-se: 3 por 2).
Quando numa matriz o número de linhas é igual ao número de colunas, tem-se
uma matriz quadrada.
A terceira acima é quadrada 3x3 (lê-se: 3 por 3) ou, simplesmente, matriz quadrada de ordem 3.
25.2. Elemento genérico de uma matriz
Uma matriz A, m × n pode genericamente ser representada do seguinte modo:
...
a12 a13 ... a 1n 
a 22 a 23 ... a 2n 
a32 a 33 ... a 3n  ou simultaneamente:
...
...
 a11
 a21
A =  a31


am1
am2 am3 amm



A = a ijm×m 
m × n (m linhas por n colunas), onde i = 1, 2, 3, ..., m e j = 1, 2, 3, ..., n.
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25.3. Tipos de Matrizes
25.3.1. Matriz Linha
Denomina-se matriz linha a matriz A = [aij]1xn e tem, portanto, apenas uma linha.
Exemplo: A = [2 7 9]1x3
25.3.2. Matriz Coluna
Denomina-se matriz coluna a matriz B = [bij]mx1 que tem, portanto, apenas uma
coluna.
Exemplo:
1 
B =  3
7 
 
25.3.3. Matriz Diagonal
Denomina-se matriz diagonal a matriz quadrada cujos elementos são zeros, com
exceção daqueles pertencentes à diagonal principal.
Exemplo:
9 0 0 
C = 0 4 0 
0 0 7 


25.3.4. Matriz Escalar
Denomina-se matriz escalar a matriz diagonal em que todos os elementos da
diagonal principal são iguais.
Exemplo:
4 0 0 
3 0 
A = 0 4 0 , B = 
0 3 


0 0 4 
25.3.5. Matriz Identidade ou Unidade
Denomina-se matriz identidade a matriz diagonal cujos elementos da diagonal
principal são todos iguais a 1.
Exemplos:
1 0 0 0 
1 0 0 
0 1 0 0 
0 1 0  , I 2 = 1 0 
=
I4 = 
,
I
0 1 
0 0 1 0 3 



0 0 1 
0
0
0
1


292
Capítulo 25 I Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
25.4. Operações com Matrizes
25.4.1. Adição
Para obtermos a adição de matrizes de mesma ordem, adicionamos os elementos
que ocupam as mesmas posições nas matrizes dadas.
3 − 4 1  B =  2 5 −3 
A=
 −4 −6 2  2×3
2 8 −2  2×3
 3 + 2 −4 + 5 1 − 3  =
2 − 4 8 − 6 −2 + 2 2×3
A+B = 
 5 1 −2 
 − 2 2 0  2×3
25.4.2. Subtração
A subtração de uma matriz é realizada somando a segunda matriz com o seu
sinal trocado com a primeira (somar com sinal trocado).
1 2  , B =  0 −2 
A=
 1 2 
3 4 
1 + 0 2 +2  = 1 4 
A-B = 
 3 −1 4 −2  2 2 
25.4.3. Multiplicação de uma matriz por outra matriz
Dada uma matriz A = [aij]mxn e uma matriz B = [bij]nxp, o produto da matriz A pela
matriz B é a matriz AB = [Cij]mxp tal que o elemento Cij é calculado multiplicando-se
ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j,
da matriz B e somando-se os produtos obtidos.
Observação importante:
O produto de duas matrizes só é possível quando o número de colunas da
primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz produto
terá o número de linhas igual ao número de linhas da primeira matriz e o número
de colunas igual ao número de colunas da segunda matriz.
1 3 
2 5 1 
2 4  =
×
 4 2 3  2×3
5 1 
  3×2
2
10
5
6
20 +1 
+
+
+

 4 + 4 + 15 12 + 8 + 3  2×2
 2 ×1 + 5 × 2 +1 × 5 2 × 3 +5 × 4 + 1 × 1 
4 ×1 + 2 × 2 + 3 × 5 4 × 3 + 2 ×4 + 3 ×1  2×2
17 27 
= 
23 23  2×2
Observe que a multiplicação foi possível porque o número de colunas da primeira matriz foi igual ao número de linhas da segunda matriz. Veja, ainda, que a matriz
produto tem o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de
colunas da segunda matriz.
293
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Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
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25.4.4. Multiplicação de um número real por uma matriz
Dado um número real k e uma matriz A, podemos obter a matriz kA, multiplicando por k todos os elementos da matriz A.
 2 7 8  =  3 × 2 3 × 7 3 × 8  =  6 21 24 
3× 
 4 −2 0 
 3 × 4 3 × (–2) 3 × 0  12 −6 0 
25.5. Determinante
O determinante (∆) de uma matriz é representado pela diferença da sua diagonal principal subtraída de sua diagonal secundária. Na matriz 2×2, a aplicação
é imediata. Para uma matriz de outra ordem, vários métodos devem ser utilizados
para obtê-lo.
25.5.1. Representação do determinante da matriz 2×2
a b  = ∆ = (a × d)−(b × c)
 c d 
25.5.2. Representação do determinante da matriz 3×3
 a11 a12 a13 
 a21 a 22 a 23  = ∆ = é calculado pela Regra de Sarrus
a a a 
 31 32 33 
25.5.3. Cálculo do ∆ pela Regra de Sarrus
Para obtermos o determinante de uma matriz de ordem 3, repetem-se as duas primeiras colunas à direita da matriz original e multiplicam-se os elementos como abaixo:
1) Considere a matriz original:
1 2 3 
0 1 1 
2 1 0 


2)
Repetem-se as 2 colunas à direita e subtrai-se a diagonal principal da secundária:
1 2 3 1 2 
0 1 1 0 1 
2 1 0 2 1 


Diagonal
secundária
Diagonal
principal
Diagonal principal = (1 × 1 × 0) + (2 × 1 × 2) + (3 × 0 × 1) = 4
Diagonal secundária = (3 × 1 × 2) + (1 × 1 × 1) + (2 × 0 × 0) = 7
∆=4–7=–3
294
Capítulo 25 I Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
25.6. Propriedades de determinantes de uma matriz do tipo Am,m
I)
Uma matriz do tipo Am,m é uma matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas. Caso duas linhas ou duas colunas de uma determinada matriz
sejam iguais, o determinante será nulo.
Exemplos:
11
∆ =   = 0
2 2 
1 1 4 
∆ = 2 2 5  = 0


3 3 6 
II) Somando-se uma linha a outra linha da matriz de mesma ordem obtém-se uma
nova matriz. Aplicando-se a propriedade de multiplicação e divisão na linha que
foi modificada, caso se obtenha duas linhas iguais, o determinante será nulo. A
mesma propriedade é válida para a coluna.
Exemplo: determine o determinante da matriz abaixo:
1 a b + c 
∆ = 1 b c + a 


1 c a + b 
Somando a segunda coluna com a terceira, temos:
1 a a + b + c 
∆ = 1 b a + b +c 


1 c a + b +c 
Dividindo a terceira coluna por (a + b + c), obtemos a matriz:
1 a 1
∆ = (a + b + c ) 1 b 1


1 c 1
Através da propriedade acima, obtemos 2 colunas iguais. Dessa forma, o determinante é nulo:
1 a 1 
∆ = (a + b + c ) 1 b 1  = 0


 1 c 1
III) Se dividirmos uma das linhas ou uma das colunas por k, o determinante da nova
matriz será o determinante da matriz original dividido por k. O mesmo vale para
a multiplicação.
295
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Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
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Exemplo:
1 2
= 4 − 6 = −2
∆ = 
3 4 
Dividindo-se a segunda coluna por 2, o determinante da nova matriz será:
1 1
= 2 − 3 = −1
∆’ = 
3 2 
Conclusão: o determinante da nova matriz equivale ao determinante da original
dividido por 2. Logo, Δ’ = Δ ÷ 2 = – 2 ÷ 2 = – 1
25.7. Sistemas Lineares
Neste caso estamos interessados na solução de duas equações com duas variáveis,
x e y. As duas equações estudadas em conjunto nos fornecem um sistema formado
por duas equações que na verdade são retas posicionadas no plano x, y.
25.7.1. Caso 1: Sistema possível e determinado
Quando dizemos que o sistema tem solução, ou seja, é possível e determinado,
na verdade estamos determinando duas retas que se encontram no ponto P(x, y)
do plano cartesiano.
Exemplo: Resolva o sistema de equações:
 x + y = 10

x − y = 4
Somando as duas equações, podemos escrever:
2x = 14
x=7
Substituindo x por 7 na primeira equação, encontramos y:
x + y = 10
7 + y = 10
y=3
Conclusão: o par ordenado P(7,3) nada mais é do que o ponto em que as duas
retas determinadas pelo sistema se encontram. Veja abaixo:
Reta I: y = 10 – x
Reta II: y = x – 4
296
Capítulo 25 I Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Representação gráfica:
y
10
Reta II
P (7,3)
3
4
7
10
4
x
Reta I
Sistema possível e determinado:
 x + y = 10
seja representado de maneira
x − y = 4
Caso o sistema de equações acima 
ax + by = 10
, podemos verificar que a = 1, b = 1, a’ = 1 e b’ = – 1.
a ' x − b ' y = 4
geral por 
Neste caso, se a ≠ b , o sistema é dito possível e determinado.
a’ b ’
Nota: o resultado também pode ser obtido através do determinante da matriz,
pois o sistema de equação pode ser escrito como:
1 1   x  = 10 
1 –1   y   4 
Calculando o determinante, temos:
Δ=–1–1=–2≠0
Quando o determinante é diferente de zero, o sistema é possível e determinado.
25.7.2. Caso 2: Sistema possível e indeterminado
Neste caso, temos duas retas paralelas e coincidentes.
Exemplo:
 x + y = 10

2x − 2y = 20
O sistema acima representa duas equações iguais, pois se dividirmos a segunda
equação por 2, obteremos uma equação idêntica à primeira. Podemos escrever:
ax + by = c

a’ x − b ’y = c ’
297
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
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a b c
= = .
a’ b ’ c ’
Nota: o resultado também pode ser obtido através do determinante da matriz,
pois o sistema de equação pode ser escrito como:
1 1   x  = 10 
2 2   y   20
O sistema de equações será possível e indeterminado se
Calculando o determinante, temos:
Δ = 0 (pois temos 2 colunas iguais)
Quando o determinante é igual a zero, o sistema é possível e indeterminado ou
impossível. Para ser possível e indeterminado, o termo c deve ser igual a c’ (c = c’).
25.7.3. Caso 3: Sistema impossível
Neste caso temos duas retas paralelas distintas, ou seja, estas retas nunca se
encontrarão em um ponto.
Exemplo:
 x + y = 10

 x + y = 20
Representação geral:
ax + by = c

a’ x + b ’y = c ’
Nota: o resultado também pode ser obtido através do determinante da matriz,
pois o sistema de equação pode ser escrito como:
1 1   x  = 10 
1 1   y   20
Calculando o determinante, temos:
Δ = 0 (pois temos 2 colunas iguais)
Quando o determinante é igual a zero, o sistema é possível e indeterminado ou
impossível. Para ser impossível, o termo c deve ser diferente de c’ (c ≠ c’).
25.8. Exercícios Resolvidos
1)
298
Representar genericamente as seguintes matrizes:
a) A = [aij]2x3
b) B = [bij]3x3
Capítulo 25 I Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Solução:
a a a
a) A =  11 12 13 
 a21 a22 a 23 
 a11 a12 a13 
b) B =  a21 a 22 a 23 


a31 a 32 a 33 
2) Construir a matriz A = [aij]3x2 sabendo que aij = 2i + 3j.
Solução:
 a11 a12 
A=[a ij]3×2 ⇒ A =  a 21 a 22
a a 
 31 32 
a11 = 2 × 1 + 3 × 1 = 2 + 3 = 5
a12 = 2 × 1 + 3 × 2 = 2 + 6 = 8
a21 = 2 × 2 + 3 × 1 = 4 + 3 = 7
a22 = 2 × 2 + 3 × 2 = 4 + 6 = 10
a31 = 2 × 3 + 3 × 1 = 6 + 3 = 9
a32 = 2 × 3 + 3 × 2 = 6 + 6 = 12
5 8 
Logo: A = 7 10 


9 12 
3)
(CGU/Esaf/Analista de Finanças e Controle/2004) Genericamente, qualquer
elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde “i” representa
a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de
terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij).
Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i – j)2, então o produto dos elementos x31 e
x13 é igual a:
a) 16;
b) 18;
c) 26;
d) 65;
e) 169.
Solução:
x31=a31+b31=32 + (3 – 1)2 = 13
x13=a13+b13 = 12 + (1 – 3)2 = 5
x31 × x13 = 65
Gabarito: D.
299
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
4)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
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(Esaf/2004) Considere as matrizes,
1 2 3 
a 2 3 
X =  2 4 6  ; Y = 2 b 6 




5 3 7 
5 3 c 
onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o
determinante do produto das matrizes X e Y é igual a:
a) 0;
b) a;
c) a+b+c;
d) a+b;
e) a+c.
Solução:
Det (X.Y) = Det (X) . Det (Y), aplicando- se a regra “de quem vai volta trocando
o sinal” percebemos que o determinante da matriz X é zero, logo o produto das
matrizes será zero também .
Gabarito: A.
5)
(Técnico/MPU/Esaf/2004) A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e
que bij = ij, então a razão entre os elementos s22 e s12 determinante da matriz S
é igual a:
a) 1;
b) 3;
c) 4;
d) 2;
e) 6.
Solução:
aij = i2 + j2
a22 = 4 + 4 = 8
a12 = 1 + 4 = 5
bij = i j
b22 = 4
b12 = 1
S=A+B
S22 = a22 + b22 = 8 + 4 = 12
S 12 = a12 + b12 = 5 + 1 = 6
S22 / S12 = 12/6 = 2
Gabarito: E.
300
Capítulo 25 I Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
6)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(AFT/MTE/Esaf/2009) Seja y um ângulo medido em graus tal que 0º ≤ y ≤
180º com y ≠ 90º. Ao multiplicarmos a matriz abaixo por α, sendo α ≠ 0, qual
o determinante da matriz resultante?
tgy
1 
 1
 α
tgy
1 
cos y seny cos y 


a) α cos y.
b) α2 tg y.
c) α sen y.
d) 0.
e) – α sen y.
Solução:
Multiplicando a primeira linha por cos y, a primeira linha ficará idêntica à
terceira linha:
tg y
1  cos y cos y × tg y cos y  cos y sen y cos y 
 1
 α
1 = α
1 = α
1 
tg y
tg y
tg y
  cos y sen y cos y 
cos y sen y cos y  cos y
sen
y
cos
y

 
 

Como temos 2 linhas iguais, o determinante é nulo.
Gabarito: D.
25.9. Exercícios Propostos
1)
(Esaf/2004) O determinante da matriz
2
0
X=
0

0
2
–a
0
0
b 0
a –a
5 b

0 6
onde a e b são inteiros positivos tais que a >1 e b >1, é igual a:
a) – 60a;
b) 0;
c) 60a;
d) 20ba2;
e) a(b-60).
301
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
2)
(Esaf/2002) Considere as matrizes:
A= (aij), 4x7, definida por aij = i – j;
B = (bij), 7x9, definida por bij = i;
C = (cij), C = A x B .
O elemento C63 vale:
a) – 112.
b) 18.
c) -9.
d) 112.
e) não existe.
3)
(Técnico de Finanças e Controle/CGU/Esaf/2008) Genericamente, qualquer elemento de
uma matriz Z pode ser representado por zij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna
em que esse elemento se localiza. Uma matriz A = (aij), de terceira ordem, é a matriz
resultante da soma das matrizes X = (xij) e Y=(yij).Sabendo-se que (xij) = i1/2 e que yij =
(i – j)2, então a potência dada por (a22)a12 e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a:
a) 2 e 2;
b) 2 e 0;
c) – 2 e 1;
d) 2 e 0;
e) – 2 e 0.
4)
(Técnico de Finanças e Controle/CGU/Esaf/2008) Considerando o sistema de equações
lineares, pode-se corretamente afirmar que:
x1 − x2 = 2

2x1 + px2 = q
a)
b)
c)
d)
e)
5)
302
ELSEVIER
se p = – 2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível;
se p ≠ – 2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado;
se p = – 2, então o sistema é possível e determinado;
se p = – 2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado;
se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível.
(Analista/Agência Nacional de Águas/Esaf/2009) O determinante da matriz é:
1
0
 `2
B =  a
b c 
4 + a 2 + b c 
a) 2bc + c – a;
b) 2b – c;
c) a + b + c;
d) 6 + a + b + c;
e) 0.
Capítulo 25 I Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
6)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
(CESG/Téc. em Administração/2011) A Tabela I apresenta as quantidades médias de
combustível, em litros, vendidas semanalmente em três postos de abastecimento de
uma mesma rede. O preço praticado em um dos postos é o mesmo praticado pelos outros dois. Esses preços, por litro, em duas semanas consecutivas, estão apresentados
na Tabela II.
Etanol
Gasolina
Diesel
Tabela I
Posta 1
Posto 2
20.200
22.000
32.000
33.600
18.000
23.000
Posto 3
21.000
35.000
24.500
Etanol
Gasolina
Diesel
Tabela II
Semana 1
R$ 2,48
R$ 2,69
R$ 1,98
Semana 2
R$ 2,52
R$ 2,71
R$ 2,02
Com os dados das Tabelas I e II são montadas as matrizes A e B a seguir.
A=
20.200
32.000
18.000
22.000
33.600
23.000
21.000
35.000
24.500
B=
2,48
2,69
1,98
2,52
2,71
2,02
Seja C2x3 a matriz que apresenta os valores médios arrecadados em cada um dos três
postos, por semana, com a venda de combustíveis. Identificando-se At e Bt como as matrizes transpostas de A e de B, respectivamente, a matriz C é definida pela operação:
a) A . B;
b) At . Bt;
c) B . A;
d) Bt . A;
e) Bt . At.
7)
(Cesgranrio/Téc. de inspeção e Biocombustível/BR/2010) Considere três fazendas (f1, f2
e f3) que produzem os mesmos tipos de grãos (g1, g2 e g3). A matriz M = (mij)3x3 apresenta
as quantidades de cada tipo de grão, em toneladas, produzidas pelas três fazendas em
2009. Cada elemento mij indica a quantidade de grãos gi produzida pela fazenda fj.
M3x3 =
269
122
187
184
167
145
201
189
174
Analisando os dados da tabela, conclui-se que, em 2009, a:
a) produção total de grãos da fazenda f1 foi maior do que a da fazenda f3;
b) produção do grão g1 da fazenda f3 foi menor do que nas demais;
c) produção do grão g3 foi maior do que a do grão g2 na fazenda f2;
d) fazenda f3 produziu 31 toneladas a mais do grão g2 do que a fazenda f2;
e) fazenda f2 produziu, ao todo, 478 toneladas de grãos.
303
Capítulo 26
Provas
26.1. FCC/TRT-MT/Analista Judiciário/2004
1)
A figura indica três símbolos, dispostos em um quadrado
de três linhas e três colunas, sendo que cada símbolo
representa um número inteiro. Ao lado das linhas
e colunas do quadrado, são indicadas as somas dos
correspondentes números de cada linha ou coluna,
algumas delas representadas pelas letras X, Y e Z.
Nas condições dadas, X + Y + Z é igual a:
a) 17;
d) 20;
b) 18;
e) 21.
c) 19;
2)
A figura mostra a localização dos apartamentos de um edifício de três pavimentos que
tem apenas alguns deles ocupados:
Sabe-se que:
–
Maria não tem vizinhos no seu andar, e seu
apartamento localiza-se o mais a leste possível;
–
Taís mora no mesmo andar de Renato, e dois
apartamentos a separam do dele;
–
Renato mora em um apartamento no segundo
andar exatamente abaixo do de Maria;
–
Paulo e Guilherme moram no andar mais baixo,
não são vizinhos e não moram abaixo de um
apartamento ocupado;
–
no segundo andar estão ocupados apenas dois apartamentos.
Se Guilherme mora a sudoeste de Taís, o apartamento de Paulo pode ser:
a) 1 ou 3;
d) 3 ou 5;
b) 1 ou 4;
e) 4 ou 5.
c) 3 ou 4;
3)
Em relação a um código de cinco letras, sabe-se que:
–
“trevo” e “glero” não têm letras em comum com ele;
–
“prelo” tem uma letra em comum, que está na posição correta;
–
“parvo”, “conto” e “senal” têm, cada um, duas letras comuns com o código, uma
que se encontra na mesma posição, a outra não;
–
“munca” tem com ele três letras comuns, que se encontram na mesma posição;
–
“tirol” tem uma letra em comum, que está na posição correta.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
O código a que se refere o enunciado da questão é:
a) mieca;
d) panci;
b) punci;
e) pinca.
c) pinai;
26.2. FCC/TRT-MT/Técnico Judiciário/2004
1)
Em um dia de trabalho no escritório, em relação aos funcionários Ana, Cláudia, Luís,
Paula e João, sabe-se que:
–
Ana chegou antes de Paula e Luís;
–
Paula chegou antes de João;
–
Cláudia chegou antes de Ana;
–
João não foi o último a chegar.
Nesse dia, o terceiro a chegar ao escritório para o trabalho foi:
a) Ana;
d) Luís;
b) Cláudia;
e) Paula.
c) João;
2)
O diagrama indica percursos que interligam as cidades
A, B, C, D e E, com as distâncias dadas em quilômetros:
Partindo-se de A e passando por E, C e D, nessa ordem, a
menor distância que poderá ser percorrida para chegar
a B é, em quilômetros:
a) 68;
d) 71;
b) 69;
e) 72.
c) 70;
3)
Esta sequência de palavras segue uma lógica:
–
Pá
–
Xale
–
Japeri
Uma quarta palavra que daria continuidade lógica à sequência poderia ser:
a) casa;
d) café;
b) anseio;
e) sua.
c) urubu;
4)
A tabela indica os plantões de funcionários de uma repartição pública em três sábados
consecutivos:
11/setembro
Cristina
Beatriz
Julia
18/setembro
Ricardo
Cristina
Fernanda
25/setembro
Silvia
Beatriz
Ricardo
Dos seis funcionários indicados na tabela, dois são da área administrativa e quatro da
área de informática. Sabe-se que, para cada plantão de sábado, são convocados dois
funcionários da área de informática, um da área administrativa e que Fernanda é da
área de informática. Um funcionário que necessariamente é da área de informática é:
a) Beatriz;
d) Ricardo;
b) Cristina;
e) Silvia.
c) Julia;
305
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
5)
306
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
A figura indica um quadrado de três linhas e três
colunas contendo três símbolos diferentes:
Sabe-se que:
–
cada símbolo representa um número;
–
a soma dos correspondentes números
representados na primeira linha é 16;
–
a soma dos correspondentes números
representados na terceira coluna é 18;
–
a soma de todos os correspondentes
números no quadrado é 39.
Nas condições dadas, o valor numérico do símbolo
a) 8;
b) 6;
c) 5;
d) 3;
e) 2.
ELSEVIER
é:
6)
Em uma repartição pública que funciona de segunda a sexta feira, 11 novos funcionários
foram contratados. Em relação aos contratados, é necessariamente verdade que:
a) todos fazem aniversário em meses diferentes;
b) ao menos dois fazem aniversário no mesmo mês;
c) ao menos dois começaram a trabalhar no mesmo dia do mês;
d) ao menos três começaram a trabalhar no mesmo dia da semana;
e) algum começou a trabalhar em uma segunda-feira.
7)
Comparando-se uma sigla de três letras com as siglas MÊS, SIM, BOI, BOL e ASO, sabe-se
que:
–
MÊS não tem letras em comum com ela;
–
SIM tem uma letra em comum com ela, mas que não está na mesma posição;
–
BOI tem uma única letra em comum com ela, que está na mesma posição;
–
BOL tem uma letra em comum com ela, que não está na mesma posição;
–
ASO tem uma letra em comum com ela, que está na mesma posição.
A sigla a que se refere o enunciado desta questão é:
a) BIL;
d) OLI;
b) ALI;
e) ABI.
c) LAS;
8)
Em um mês, Laura despachou dois processos a mais que o triplo dos processos
despachados por Paulo. Nesse mesmo mês, Paulo despachou um processo a mais que
Rita. Em relação ao total de processos despachados nesse mês pelos três juntos é correto
dizer que é um número da sequência:
a) 1, 6, 11, 16, ...
d) 4, 9, 14, 19, ...
b) 2, 7, 12, 17, ...
e) 5, 10, 15, 20, ...
c) 3, 8, 13, 18, ...
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
9)
Em uma eleição para a qual concorrem os candidatos A, B e C, cada eleitor receberá
uma cédula com o nome de cada candidato e deverá atribuir o número 1 à sua primeira
escolha, o número 2 à sua segunda escolha e o número 3 à terceira escolha. Ao final da
eleição, sabe-se que todos os eleitores votaram corretamente e que a soma dos números
atribuídos a cada candidato foi:
–
22 para A;
–
18 para B;
–
20 para C.
Em tais condições, o número de pessoas que votou nessa eleição é igual a:
a) 6;
d) 12;
b) 8;
e) 15.
c) 10;
10)
Em uma estante, a prateleira B é reservada para os livros de literatura brasileira e a
prateleira E para os de literatura estrangeira. Sabe-se que:
1.
ambas as prateleiras têm, de início, o mesmo número de livros;
2.
retiram-se 25 livros da prateleira B, colocando-os na prateleira E;
3.
após a etapa anterior, retiram-se 25 livros, ao acaso, da prateleira E, colocando-os
na prateleira B.
Após a etapa 3, é correto afirmar que o número de livros de literatura brasileira em:
a) B é o dobro que em E;
b) B é menor que em E;
c) B é igual ao de E;
d) E é igual ao de literatura estrangeira em B;
e) E é a terça parte que em B.
26.3. FCC/Ipea/2004
1)
Encontram-se sentados em torno de uma mesa quadrada quatro juristas. Miranda, o mais
antigo entre eles, é alagoano. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Ferraz
está sentado à direita de Miranda. Mendes, à direita do paulista. Por sua vez, Barbosa,
que não é carioca, encontra-se à frente de Ferraz. Assim:
a) Ferraz é carioca e Barbosa é baiano;
b) Mendes é baiano e Barbosa é paulista;
c) Mendes é carioca e Barbosa é paulista;
d) Ferraz é baiano e Barbosa é paulista;
e) Ferraz é paulista e Barbosa é baiano.
2)
Atente para os vocábulos que formam a sucessão lógica, escolhendo a alternativa que
substitui “X” corretamente: LEIS, TEATRO, POIS, “X”.
a) camarão;
d) zeugma;
b) casa;
e) eclipse.
c) Homero;
307
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
3)
Quando não vejo Lucia, não passeio ou fico deprimido. Quando chove, não passeio e fico deprimido.
Quando não faz calor e passeio, não vejo Lucia. Quando não chove e estou deprimido, não passeio.
Hoje, passeio. Portanto, hoje:
a) vejo Lucia, e não estou deprimido, e não chove, e faz calor;
b) não vejo Lucia, e estou deprimido, e chove, e faz calor;
c) não vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove, e não faz calor;
d) vejo Lucia, e não estou deprimido, e chove, e faz calor;
e) vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove, e faz calor.
4)
Considerando “toda prova de Lógica é difícil” uma proposição verdadeira, é correto inferir
que:
a) “nenhuma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira;
b) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira;
c) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa;
d) “alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira;
e) “alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa.
26.4. FCC/TCE/Piauí/2005
308
1)
Um departamento de uma empresa de consultoria é composto por dois gerentes e três
consultores. Todo cliente desse departamento necessariamente é atendido por uma
equipe formada por um gerente e dois consultores. As equipes escaladas para atender
três diferentes clientes são mostradas a seguir:
cliente 1: André, Bruno e Cecília.
cliente 2: Cecília, Débora e Evandro.
cliente 3: André, Bruno e Evandro.
A partir dessas informações, pode-se concluir que:
a) André é consultor;
d) Débora é consultora;
b) Bruno é gerente;
e) Evandro é consultor.
c) Cecília é gerente;
2)
O manual de garantia da qualidade de uma empresa diz que, se um cliente faz uma
reclamação formal, então é aberto um processo interno e o departamento de qualidade
é acionado. De acordo com essa afirmação, é correto concluir que:
a) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição necessária para
que o departamento de qualidade seja acionado;
b) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente para
que o departamento de qualidade seja acionado;
c) a abertura de um processo Interno é uma condição necessária e suficiente para que
o departamento de qualidade seja acionado;
d) se um processo interno foi aberto, então um cliente fez uma reclamação formal;
e) não existindo qualquer reclamação formal feita por um cliente, nenhum processo
interno poderá ser aberto.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
3)
Juntam-se 64 cubos de madeira idênticos de aresta 1 cm, formando um cubo maior,
de aresta 4 cm. Em seguida, cada uma das seis faces do cubo maior é pintada. Após a
secagem da tinta, separam-se novamente os 64 cubos menores e n deles são escolhidos,
de maneira aleatória. O menor valor de n para que se possa afirmar, com certeza, que
pelo menos um dos cubos sorteados não teve nenhuma de suas faces pintadas é:
a) 57;
d) 48;
b) 56;
e) 9.
c) 49;
4)
Michael, Rubinho e Ralf decidiram organizar um desafio para definir qual deles era o
melhor nadador. Seriam realizadas n provas (n > 1), sendo atribuídos, em cada prova,
x pontos para o primeiro colocado, y para o segundo e z para o terceiro, não havendo
possibilidade de empate em qualquer colocação. Ao final do desafio, Michael acumulou 25
pontos, Rubinho, 21 pontos e Ralf, 9 pontos. Sendo x, y e z números inteiros e positivos,
o valor de n é:
a) 3;
d) 9;
b) 5;
e) 11.
c) 7;
5)
No diagrama a seguir, o retângulo maior representa o conjunto de todos os alunos do
primeiro ano de Engenharia de uma faculdade e as outras três figuras representam os
conjuntos desses alunos que foram aprovados nas disciplinas de Cálculo 1, Cálculo 2 e
Álgebra linear.
Cálculo 1 é pré-requisito para Cálculo 2, ou seja, um aluno só pode cursar Cálculo 2
se tiver sido aprovado em Cálculo 1. Além disso, sabe-se que nenhum aluno do 1o ano
conseguiu ser aprovado ao mesmo tempo em Cálculo 2 e Álgebra linear. A tabela a seguir
mostra a situação de três alunos nessas três disciplinas:
Aluno
Cálculo 1
Cálculo 2
Álgebra linear
Paulo
aprovado
aprovado
não aprovado
Marcos
não aprovado
não aprovado
aprovado
Jorge
aprovado
não aprovado
aprovado
Associando cada um desses alunos à região do diagrama mais apropriada para
representá-los, temos:
a) Paulo – V, Marcos – III, Jorge – I;
b) Paulo – V, Marcos – II, Jorge – V;
c) Paulo – IV, Marcos – V, Jorge – I;
d) Paulo – IV, Marcos – II, Jorge – III;
e) Paulo – IV, Marcos – V, Jorge – III.
309
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
26.5. Esaf/Técnico de Controle Interno/Rio de Janeiro/1999
1)
Dadas as proposições compostas:
I – 3 + 4 = 7 ↔ 53 = 125
II – 3 + 2 = 6 → 4 + 4 = 9
√3 > 1 ∪ π não é um número real
IV – √2 > 1 → 20 = 2
III –
V – –2 > 0 ↔ π2 < 0
A que tem valor lógico falso é a:
a) I;
b) II;
c) III;
2)
Dada a proposição: “É falso que existem pelicanos que não comem peixe”, uma forma
equivalente é:
a) “não existem pelicanos que comem peixe”;
b) “todos os pelicanos comem peixe”;
c) “existem pelicanos que não comem peixe”;
d) “algum pelicano não come peixe”;
e) “todos os pelicanos não comem peixe”.
3)
Dadas as proposições:
I – ~ (1 + 1 = 2 ↔ 3 + 4 = 5)
II – ~ (2 + 2 ≠ 4 ∧ 3 + 5 = 8
III – 43 ≠ 64 ↔ (3 + 3 = 7 ↔ 1 + 1 = 2)
IV – (23 ≠ 8 42 ≠ 43)
V – 34 = 81 ↔ ~ (2 + 1 = 3 ∧ 5 × 0 = 0)
A que tem valor lógico falso é a:
a) IV;
b) V;
c) III;
4)
310
d) V;
e) IV.
d) II;
e) I.
Duas pessoas que sabiam lógica, um estudante e um garçom, tiveram o seguinte diálogo
numa lanchonete:
Garçom: O que deseja?
Estudante: Se eu comer um sanduíche então não comerei salada, mas tomarei sorvete.
A situação que torna a declaração do estudante falsa é:
a) o estudante não comeu salada, mas tomou sorvete;
b) o estudante comeu sanduíche, não comeu salada e tomou sorvete;
c) o estudante não comeu sanduíche;
d) o estudante comeu sanduíche, mas não tomou sorvete;
e) o estudante não comeu sanduíche, mas comeu salada.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
26.6. FCC/TRT/Paraná/2004
1)
Denota-se respectivamente por A e B os conjuntos de todos os atletas da delegação
olímpica argentina e brasileira em Atenas, e por M o conjunto de todos os atletas que
irão ganhar medalhas nessas Olimpíadas. O diagrama mais adequado para representar
possibilidades de intersecção entre os três conjuntos é:
a)
d)
b)
e)
c)
2)
Uma empresa divide-se unicamente nos departamentos A e B. Sabe-se que 19
funcionários trabalham em A, 13 trabalham em B e existem 4 funcionários que trabalham
em ambos os departamentos. O total de trabalhadores dessa empresa é:
a) 36;
d) 28;
b) 32;
e) 24.
c) 30;
3)
Em um dia de trabalho, certo funcionário de um fórum arquivou 31 processos trabalhistas,
35 processos criminais e alguns processos cíveis. Sabe-se que o serviço completo foi
realizado de acordo com o seguinte cronograma:
Horário
8h às 10h
10h às 12h
13h às 17h
Processos arquivados
18 trabalhistas e 11 criminais
8 trabalhistas, 4 criminais e 10 cíveis
16 cíveis, X trabalhistas e Y criminais
Em relação aos processos arquivados pelo funcionário nesse dia, é correto afirmar que:
a) o total de cíveis é maior que o total de trabalhistas;
b) o total de cíveis é maior do que X + Y;
c) o total de cíveis é menor que X;
d) o total de cíveis é menor que Y;
e) X é maior que Y.
4)
Leia atentamente as proposições P e Q:
P: o computador é uma máquina.
Q: compete ao cargo de técnico judiciário a construção de computadores.
Em relação às duas proposições, é correto afirmar que:
a) a proposição composta “P ou Q” é verdadeira;
b) a proposição composta “P e Q” é verdadeira;
311
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
c) a negação de P é equivalente à negação de Q;
d) P é equivalente a Q;
e) P implica Q.
5)
Leia atentamente as proposições simples P e Q:
P: João foi aprovado no concurso do Tribunal.
Q: João foi aprovado em um concurso.
Do ponto de vista lógico, uma proposição condicional correta em relação a P e Q é:
a) se não Q, então P;
d) se Q, então P;
b) se não P, então não Q;
e) se P, então não Q.
c) se P, então Q;
6)
O resultado de uma pesquisa com os funcionários de uma empresa sobre a disponibilidade
para um dia de jornada extra no sábado e/ou no domingo é mostrado na tabela a seguir:
Disponibilidade
Apenas no sábado
No sábado
No domingo
Número de funcionários
25
32
37
Entre os funcionários pesquisados, o total que manifestou disponibilidade para a jornada
extra “apenas no domingo’” é igual a:
a) 7;
d) 30;
b) 14;
e) 37.
c) 27;
312
7)
Após zerar e acionar um cronômetro que marca minutos e segundos, João inicia a subida
de um morro, que é concluída quando o cronômetro marca 36 minutos e 15 segundos. No
início do percurso de descida, realizado pela mesma trilha da subida, João também zera
e aciona o cronômetro. Ao final da descida, João nota que, curiosamente, o cronômetro
marcou novamente 36 minutos e 15 segundos. Apenas com base nessas informações, é
correto afirmar que:
a) em algum ponto da trilha, o cronômetro de João acusou exatamente a mesma marcação
de tempo na subida e na descida;
b) em algum ponto da descida João parou para descansar;
c) João não parou para descansar ao longo da subida e da descida;
d) João fez o trajeto todo em um tempo superior a 1 hora e 1/4 de hora;
e) a trilha percorrida por João é pouco íngreme.
8)
Em uma urna contendo 2 bolas brancas, 1 bola preta, 3 bolas cinzas, acrescenta-se 1 bola,
que pode ser branca, preta ou cinza. Em seguida, retira-se dessa urna, sem reposição,
um total de 5 bolas. Sabe-se que apenas 2 das bolas retiradas eram brancas e que não
restaram bolas pretas na urna após a retirada. Em relação às bolas que restaram na
urna, é correto afirmar que:
a) ao menos uma é branca;
b) necessariamente uma é branca;
c) ao menos uma é cinza;
d) exatamente uma é cinza;
e) todas são cinzas.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
9)
Um dado é feito com pontos colocados nas
faces de um cubo, em correspon­dência com
os números de 1 a 6, de tal maneira que a
soma dos pontos que ficam em cada par de
faces opostas é sempre sete. Entre as três
planificações indicadas, a(s) única(s) que
permite(m) formar, apenas com dobras, um
dado com as características descritas é(são):
a) I;
b) I e II;
c) I e III;
d) II e III;
e) I, II, III.
10)
Considere a seguinte proposição: “Na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito
ou não será eleito.” Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza:
a) um silogismo;
d) uma contingência;
b) uma tautologia;
e) uma contradição.
c) uma equivalência;
26.7. FCC/TRT/Paraná/2004
1)
Se Cauê tem o triplo da sexta parte da idade de Peri, e Peri tem o dobro da idade de Ceci,
então Cauê:
a) é mais velho que Peri;
b) é mais novo que Ceci;
c) tem a mesma idade que Ceci;
d) tem a mesma idade que Peri;
e) tem a terça parte da idade de Peri.
2)
Quando somamos um número da tabuada do 4 com um número da tabuada do 6,
necessariamente obtemos um número da tabuada do:
a) 2;
d) 10;
b) 6;
e) 12.
c) 8;
3)
Sabe-se que:
I.
Rifa tem 6 anos a mais que Ana e 13 anos a mais que Bia.
II. Paula tem 6 anos a mais que Bia.
Então, com relação às quatro pessoas citadas, é correto dizer que:
a) Rifa não é a mais velha;
b) Ana é a mais nova;
c) Paula é mais nova que Ana;
d) Paula e Ana têm a mesma idade;
e) Rifa e Paula têm a mesma idade.
313
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
314
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
4)
Movendo-se palito(s) de fósforo na figura I, é
possível transformá-la na figura II. O menor número
de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer
tal transformação é:
a) 1;
b) 2;
c) 3;
d) 4;
e) 5.
5)
Para fazer pesagens, um comerciante dispõe de
uma balança de pratos, um peso de ½ kg, um de
2 kg e um de 3 kg.
Com os instrumentos disponíveis, o comerciante
conseguiu medir o peso de um pacote de açúcar.
O total de possibilidades diferentes para o peso
desse pacote de açúcar é:
a) 6;
d) 9;
b) 7;
e) 10.
c) 8;
6)
O avesso de uma blusa preta é branco. O avesso de uma calça preta é azul. O avesso de
uma bermuda preta é branco. O avesso do avesso das três peças de roupa é:
a) branco e azul;
d) azul;
b) branco ou azul;
e) preto.
c) branco;
7)
Em um concurso, João, Pedro e Lígia tentam adivinhar um número selecionado entre os
números naturais de 1 a 9. Ganha o concurso aquele que mais se aproximar do número
sorteado. Se João escolheu o número 4 e Pedro o número 7, a melhor escolha que Lígia
pode fazer para maximizar sua chance de vitória é o número:
a) 2;
d) 6;
b) 3;
e) 8.
c) 5;
8)
Em um dado convencional, os pontos que correspondem aos
números de 1 a 6 são colocados nas faces de um cubo de tal
maneira que a soma dos pontos que ficam em cada par de faces
opostas é sempre igual a sete. Considere que a figura seguinte
indica dois dados convencionais, e que suas faces em contato não
possuem quantidades de pontos iguais.
A soma dos pontos que estão nas faces em contato dos dois dados é:
a) 7;
d) 11;
b) 8;
e) 12.
c) 9;
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
9)
Com relação a três funcionários do Tribunal, sabe-se que:
I.
João é mais alto que o recepcionista;
II. Mário é escrivão;
III. Luís não é o mais baixo dos três;
IV. Um deles é escrivão, o outro recepcionista e o outro segurança.
Sendo verdadeiras as quatro afirmações, é correto dizer que:
a) João é mais baixo que Mário;
b) Luís é segurança;
c) Luís é o mais alto dos três;
d) João é o mais alto dos três;
e) Mário é mais alto que Luís.
10)
Observe atentamente a tabela:
De acordo com o padrão estabelecido, o espaço em branco na última coluna da tabela
deve ser preenchido com o número:
um
2
dois
4
três
4
quatro
6
a) 2;
b) 3;
c) 4;
cinco
5
seis
4
sete
4
oito
4
nove
4
dez
d) 5;
e) 6.
26.8. CEAL/Alagoas/2005
1)
São dados três grupos de 4 letras cada um:
(MNAB) : (MODC) : (EFRS) :
Se a ordem alfabética adotada exclui as letras K, W e Y, então o grupo de quatro letras
que deve ser colocado à direita do terceiro grupo e que preserva a relação que o segundo
tem com o primeiro é:
a) (EHUV);
d) (EHUT);
b) (EGUT);
e) (EHVU).
c) (EGVU);
2)
A figura a seguir mostra um triângulo composto por algumas letras do alfabeto e por
alguns espaços vazios, nos quais algumas letras deixaram de ser colocadas.
Z
P X
–QV
– N R U
_ ?MS T
Considerando que a ordem alfabética adotada exclui as letras K, W e Y, então, se as letras
foram dispostas obedecendo a determinado critério, a letra que deveria estar no lugar
do ponto de interrogação é:
a) H;
d) U;
b) L;
e) Z.
c) J;
315
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
3)
Os termos da sequência (77, 74, 37, 34, 17, 14, ...) são obtidos sucessivamente através
de uma lei de formação. A soma do sétimo e oitavo termos dessa sequência, obtidos
segundo essa lei é:
a) 21;
d) 13;
b) 19;
e) 11.
c) 16;
4)
Considere o desenho seguinte:
A alternativa que apresenta uma figura semelhante à outra que pode ser encontrada no
interior do desenho dado é:
a)
d)
b)
e)
c)
Instruções: Para responder à próxima questão, considere os seguintes dados:
Em certo teatro há uma fila com seis poltronas que estão uma ao lado da outra e são numeradas
de 1 a 6, da esquerda para a direita. Cinco pessoas – Alan, Brito, Camila, Décio e Efraim – devem
ocupar cinco dessas poltronas, de modo que:
–
Camila não ocupe as poltronas assinaladas com números ímpares;
–
Efraim seja a terceira pessoa sentada, contando-se da esquerda para a direita;
–
Alan acomode-se na poltrona imediatamente à esquerda de Brito.
316
5)
Para que essas condições sejam satisfeitas, a poltrona que nunca poderá ficar desocupada
é a de número:
a) 2;
d) 5;
b) 3;
e) 6.
c) 4;
6)
Considere a sequência de igualdades seguintes:
13 = 12 – 02
23 = 32 – 12
33 = 62 – 32
43 = 102 – 62
É correto afirmar que a soma 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 8³ é igual a:
a) 482;
d) 382;
2
b) 46 ;
e) 362.
c) 422;
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
26.9. FCC/TRF/Técnico/Rio Grande do Sul/2004
1)
Considere os seguintes pares de números: (3, 10); (1, 8); (5, 12); (2, 9); (4, 10). Observe que
quatro desses pares têm uma característica comum. O único par que não apresenta tal
característica é:
a) (3, 10);
d) (2, 9);
b) (1, 8);
e) (4, 10).
c) (5, 12);
2)
Observe a figura seguinte:
Qual figura é igual àquela representada?
Instruções: Para responder à próxima questão, observe o exemplo a seguir, no qual são dados
três conjuntos de números, seguidos de cinco alternativas:
a)
10
b)
12
c)
13
d)
15
e)
18
O objetivo da questão é determinar o número x que aparece abaixo do traço no terceiro conjunto.
No primeiro conjunto, acima do traço, têm-se os números 3 e 4 e, abaixo, o número 12. Note que
o número 12 é resultado de duas operações sucessivas: a adição dos números acima do traço
(3 + 4 = 7), seguida da adição de 5 à soma obtida (7 + 5 = 12).
Da mesma forma, foi obtido o número 11 do segundo conjunto: 1 + 5 = 6; 6 + 5 = 11.
Repetindo-se a sequência de operações efetuadas nos conjuntos anteriores com os números
do terceiro conjunto, obtém-se o número x, ou seja, 2 + 8 = 10; 10 + 5 = x. Assim, x = 15.
A resposta é a alternativa D.
Atenção: Em questões desse tipo, podem ser usadas outras operações, diferentes das usadas
no exemplo dado.
3)
Considere os conjuntos de números:
Mantendo para os números do terceiro conjunto a sequência das duas operações
efetuadas nos conjuntos anteriores para se obter o número abaixo do traço, é correto
afirmar que o número x é:
a) 9;
d) 36;
b) 16;
e) 40.
c) 20;
317
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
4)
Seis rapazes (Álvaro, Bruno, Carlos, Danilo, Elson e Fábio) conheceram-se certo dia em
um bar. Considere as opiniões de cada um deles em relação aos demais membros do
grupo:
–
Álvaro gostou de todos os rapazes do grupo;
–
Bruno não gostou de ninguém; entretanto, todos gostaram dele;
–
Carlos gostou apenas de dois rapazes, sendo que Danilo é um deles;
–
Danilo gostou de três rapazes, excluindo-se Carlos e Fábio;
–
Elson e Fábio gostaram somente de um dos rapazes.
Nessas condições, quantos grupos de dois ou mais rapazes gostaram uns dos outros?
a) 1.
d) 4.
b) 2.
e) 5.
c) 3.
5)
Sabe-se que um número inteiro e positivo N é composto de três algarismos. Se o produto
de N por 9 termina à direita por 824, a soma dos algarismos de N é:
a) 11;
d) 16;
b) 13;
e) 18.
c) 14;
26.10. FCC/TRF/Analista/Rio Grande do Sul/2004
1)
Certo dia, no início do expediente de uma repartição pública, dois funcionários X e Y
receberam, cada um, uma dada quantidade de impressos. Então, X cedeu a Y tantos impressos
quanto Y tinha e, logo em seguida, Y cedeu a X tantos impressos quanto X tinha. Se, após
as duas transações, ambos ficaram com 32 impressos, então, inicialmente, o número de
impressos de X era:
a) 24;
d) 48;
b) 32;
e) 52.
c) 40;
2)
A tabela seguinte é a de uma operação definida sobre o conjunto E = {a, b, c, d, e}.
Assim, por exemplo, temos: (b ∆ d) ∆ c = e ∆ c = b
Nessas condições, se x ∈ E e d ∆ x = c ∆ (b ∆ e), então x é igual a:
a) a;
d) d;
b) b;
e) e.
c) c;
318
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
26.11. FCC/TRT/Paraná/2004
1)
Em uma urna temos três bolas azuis, cada uma com 5 cm de volume, três cubos pretos,
cada um com 2 cm de volume e um cubo azul de 3 cm de volume. Retirando-se quatro
objetos da urna, sem reposição, necessariamente um deles:
a) terá volume menor do que 3 cm;
d) será azul;
b) terá volume maior do que 3 cm;
e) será preto.
c) será uma bola;
2)
Um certo número de dados de seis faces formam uma pilha única sobre uma mesa.
Sabe-se que:
– os pontos de duas faces opostas de um dado sempre totalizam 7;
– a face do dado da pilha que está em contato com a mesa é a do número 6;
– os pontos das faces em contato de dois dados da pilha são sempre iguais.
Sendo verdadeiras essas três afirmações, na pilha, a face do dado da pilha mais afastada
da mesa:
a) necessariamente tem um número de pontos ímpar;
b) tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for par;
c) tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for ímpar;
d) tem 1 ponto, se o número de dados da pilha for par;
e) necessariamente tem um número par de pontos.
3)
Admita que, a cada semana, um processo seja arquivado em um fórum. Uma proposição
aberta, com x sendo um número natural, equivalente à sentença interrogativa “em
quantas semanas são arquivados mais de 210 processos nesse fórum?” é:
a) 210x > 7;
d) 7x = 210;
b) 210x = 7;
e) 7x > 210.
c) 7 + x = 210;
4)
No retângulo a seguir, cada um dos quatro símbolos diferentes representa um número
natural. Os números indicados fora do retângulo representam as respectivas somas dos
símbolos na linha 2 e nas colunas 2 e 4:
A partir das informações, conclui-se que o símbolo X representa o número:
a) 3;
b) 5;
c) 7;
d) 8;
e) 9.
319
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
320
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
5)
Observe a construção de um argumento:
Premissas: Todos os cachorros têm asas.
Todos os animais de asas são aquáticos.
Existem gatos que são cachorros.
Conclusão: Existem gatos que são aquáticos.
Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que:
a) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro;
b) A não é válido, P e C são falsos;
c) A é válido, P e C são falsos;
d) A é válido, P ou C são verdadeiros;
e) A é válido se P é verdadeiro e C é falso.
6)
Em uma declaração ao tribunal, o acusado de um crime diz: “No dia do crime, não fui a
lugar nenhum. Quando ouvi a campainha e percebi que era o vendedor, eu disse a ele:
– Hoje não compro nada. Isso posto, não tenho nada a declarar sobre o crime.”
Embora a dupla negação seja utilizada com certa frequência na língua portuguesa como
reforço da negação, do ponto de vista puramente lógico, ela equivale a uma afirmação.
Então, do ponto de vista lógico, o acusado afirmou, em relação ao dia do crime, que:
a) não foi a lugar algum, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a
declarar sobre o crime;
b) não foi a lugar algum, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre
o crime;
c) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre
o crime;
d) foi a algum lugar, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar
sobre o crime;
e) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e não tem coisas a declarar
sobre o crime.
7)
Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos. Admitindo-se
verdadeira a frase “Todos os corruptos são desonestos”, é correto concluir que:
a) quem não é corrupto é honesto;
b) existem corruptos honestos;
c) alguns honestos podem ser corruptos;
d) existem mais corruptos do que desonestos;
e) existem desonestos que são corruptos.
8)
Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: “Se os juros bancários
são altos, então a inflação é baixa.”
Uma proposição logicamente equivalente à do economista é:
a) se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos;
b) se a inflação é alta, então os juros bancários são altos;
c) se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa;
d) os juros bancários são baixos e a inflação é baixa;
e) ou os juros bancários ou a inflação é baixa.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
9)
A correta negação da proposição “Todos os cargos deste concurso são de analista
judiciário” é:
a) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário;
b) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário;
c) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário;
d) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário;
e) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário.
10)
Admitindo que certo Tribunal tenha 1.800 processos para serem lidos e que cada processo
não possui mais do que 200 páginas, é correto afirmar que:
a) não existem 2 processos com o mesmo número de páginas;
b) não existe processo com exatamente 9 páginas;
c) cada processo tem, em média, 9 páginas;
d) existem pelo menos 9 processos com o mesmo número de páginas;
e) mais de 100.000 páginas serão lidas na realização do serviço.
11)
Uma pesquisa sobre intenção de votos dos três únicos candidatos à prefeitura de uma
cidade revela que:
– 50 eleitores preferem A a C, e C a B;
– 40 eleitores preferem B a C, e C a A;
– 30 eleitores preferem C a B, e B a A.
Sabe-se que um dos candidatos desistiu da candidatura, ficando a disputa apenas entre os
outros dois. Admitindo-se que a retirada da candidatura não tenha afetado a transitividade
dos resultados verificados, a pesquisa indica que:
a) sendo A o candidato desistente, então B será eleito;
b) sendo C o candidato desistente, então A será eleito;
c) não sendo A o candidato desistente, então ele será o eleito;
d) não sendo B o candidato desistente, então ele será o eleito;
e) não sendo C o candidato desistente, então ele será o eleito.
12)
Seja A o conjunto de todas as pessoas com mais de 1,80 m de altura, B o conjunto de todas
as pessoas com mais de 80 kg de massa, e C o conjunto de todas as pessoas com mais de
30 anos de idade. Tânia diz que Lucas tem menos de 1,80 m e mais de 80 kg. Irene diz que
Lucas tem mais de 80 kg e mais de 30 anos de idade. Sabendo que a afirmação de Tânia
é verdadeira e a de Irene falsa, um diagrama cuja parte sombreada indica corretamente
o conjunto ao qual Lucas pertence é:
a)
d)
b)
e)
c)
321
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
13)
Considere as proposições a seguir:
I – Entre estas seis proposições, apenas três são falsas.
II – 2 + 2 = 4
III – 3 × 6 = 17
IV – 8 ÷ 4 = 2
V – 13 – 6 = 5
VI – Apenas as proposições 2 e 4 são verdadeiras.
Do ponto de vista lógico, para que haja contradição entre as frases, são verdadeiras
apenas:
a) II, IV e VI;
d) I, II e IV;
b) II, IV e V;
e) I, II, IV e VI.
c) II e IV;
14)
Um funcionário executa uma tarefa a cada quatro dias de trabalho. A primeira vez que fez
essa tarefa foi em uma quinta-feira, a segunda vez foi em uma quarta-feira, a terceira, em
uma terça-feira, a quarta, em um sábado, e assim por diante. Sabendo-se que não houve
feriados no período indicado e que o funcionário folga sempre no(s) mesmo(s) dia(s) da
semana, é correto afirmar que sua(s) folga(s) ocorre(m) apenas:
a) segunda-feira;
d) domingo e sexta-feira;
b) sexta-feira;
e) domingo e segunda-feira.
c) domingo;
15)
Em relação aos países A, B, C, D e E que irão participar das Olimpíadas de Atenas neste ano,
quatro pessoas fizeram os seguintes prognósticos de classificação:
João
Luís
Teresa
Célia
O país melhor colocado será B
O país melhor colocado será B ou D
O país melhor colocado não será D e nem C
O país E não será o melhor colocado
Se após as Olimpíadas for verificado que apenas duas pessoas acertaram seu próprio
prognóstico, conclui-se que o melhor colocado, entre os cinco países foi:
a) A;
d) D;
b) B;
e) E.
c) C;
26.12. Bacen/1994
Atenção: Nas questões desta prova que envolvem sequências de letras, utilize o alfabeto oficial,
que não inclui as letras K, W e Y.
1)
2)
322
Complete a série: B D G L Q ...
a) R;
b) T;
c) V;
d) X;
e) Z.
A D F I : C F H ...
a) I;
b) J;
c) L;
d) N;
e) P.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
3)
Relacione as séries que possuem a mesma sequência lógica e assinale a opção que
contém a numeração correta.
(1 – A F B E
( ) HNLJ
(2 – B G E D
( ) LPNL
(3 – L H E B
( ) HNIM
(4 – G L I G
( ) UROL
a) 2 4 1 3;
d) 1 4 3 2;
b) 2 1 4 3;
e) 1 4 2 3.
c) 2 4 3 1;
4)
Complete a sequência:
AGEC : GNLI
D J H F .............
a) M S O Q;
b) J M O Q;
c) J Q P L;
5)
d) J Q O M;
e) G O M J.
Complete:
a) 9;
b) 36;
c) 42;
d) 48;
e) 64.
a) TEC;
b) ELT;
c) TL;
d) LE;
e) TLE.
6)
7)
Complete a sequência:
a)
b)
c)
d)
e)
82/90;
81/100;
100/72;
99/72;
100/81.
323
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
8)
a)
d)
b)
e)
c)
9)
Considerando as afirmativas a seguir, marque a única opção logicamente possível:
I – Assinale a letra A, se E estiver certa.
II – Assinale a letra C, se B for incorreta.
III – A letra E será o gabarito, se D for a opção verdadeira.
IV – Se D estiver correto, B também estará.
a) A.
d) D.
b) B.
e) E.
c) C.
10)
Complete a sequência:
a)
d)
b)
e)
c)
324
ELSEVIER
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
11)
Três dados idênticos, com as faces numeradas de 1 a 6, são sobrepostos
de modo que as faces unidas tenham o mesmo número, como ilustrado a
seguir. Dessa forma, a soma dos números contidos nas faces traseiras dos
dados é igual a:
a) 4;
d) 10;
b) 5;
e) 12.
c) 7;
12)
Complete a sequência:
a) 5;
b) 6;
c) 7;
13)
Determine o produto:
a) 160;
b) 135;
c) 120;
14)
d) 8;
e) 9.
d) 108;
e) 100.
Complete a sequência:
a) 19 T;
b) 20 U;
c) 21 V;
d) 22 X;
e) 23 Z.
325
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
26.13. FCC/TCE-SP/Agente de Fiscalização Financeira/2005
326
1)
Distinguir pensamentos, emoções e reações é um instrumento importante para avaliar
a inteligência pessoal de um indivíduo e permitir que ele tenha uma consciência
desenvolvida e eficaz de si mesmo.
Considerando os pensamentos como processos cognitivos, as emoções como resultados
psicológicos e as reações como respostas físicas, analise o seguinte fato.
Você gasta mais de uma hora escolhendo o que vestir para ir a uma festa na empresa onde
trabalha, pois pretende impressionar o seu chefe. Entretanto, ele deixa de cumprimentála por seu aspecto. O que você faria?
1.
Gostaria de fazer algum comentário.
2.
Questionaria-o sobre sua indumentária.
3.
Sentiria-se deprimida por não sentir que seu esforço foi reconhecido.
As opções de respostas, 1, 2 e 3 são, respectivamente, caracterizadas como:
a) pensamento, emoção e reação;
b) pensamento, reação e emoção;
c) emoção, pensamento e reação;
d) emoção, reação e pensamento;
e) reação, emoção e pensamento.
2)
Um fato curioso ocorreu com meu pai em 22 de outubro de 1932. Nessa data, dia de seu
aniversário, ele comentou com seu avô que sua idade era igual ao número formado pelos
dois últimos algarismos do ano de seu nascimento. Ficou, então, muito surpreso quando
seu avô, que igualmente fazia aniversário na mesma data, observou que o mesmo ocorria
com a sua idade. Nessas condições, é correto afirmar que a diferença positiva entre as
idades de meu pai e bisavô, em anos, é:
a) 40;
b) 42;
c) 45;
d) 47;
e) 50.
3)
Ernesto é chefe de uma seção do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo, na qual
trabalham outros quatro funcionários: Alicia, Benedito, Cíntia e Décio. Ele deve preparar
uma escala de plantões que devem ser cumpridos por todos, ele inclusive, de segunda
à sexta-feira. Para tal, ele anotou a disponibilidade de cada um, com suas respectivas
restrições:
– Alicia não pode cumprir plantões na segunda ou na quinta-feira, enquanto Benedito
não pode cumpri-los na quarta-feira;
– Décio não dispõe da segunda ou da quinta-feira para fazer plantões;
– Cíntia está disponível para fazer plantões em qualquer dia da semana;
– Ernesto não pode fazer plantões pela manhã, enquanto Alicia só pode cumpri-los à
noite;
– Ernesto não fará seu plantão na quarta-feira, se Cíntia fizer o dela na quinta-feira, e
reciprocamente.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Nessas condições, Alicia, Benedito e Décio poderão cumprir seus plantões
simultaneamente em uma:
a) terça-feira à noite;
b) terça-feira pela manhã;
c) quarta-feira à noite;
d) quarta-feira pela manhã;
e) sexta-feira pela manhã.
26.14. FCC/TCE-SP/Agente de Fiscalização Financeira/2005
1)
O desenho seguinte mostra a planificação de um cubo que apresenta um número pintado
em cada face, como é mostrado nesta figura:
A partir dessa planificação, qual dos seguintes cubos pode ser montado?
a)
d)
b)
e)
c)
2)
Em cada linha do quadro a seguir, as figuras foram desenhadas obedecendo a um mesmo
padrão de construção.
327
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Segundo esse padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é:
328
3)
Distinguir pensamentos, emoções e reações é um instrumento importante para avaliar
a inteligência pessoal de um indivíduo e permitir que ele tenha uma consciência
desenvolvida e eficaz de si mesmo.
Considerando os pensamentos como processos cognitivos, as emoções como resultados
psicológicos e as reações como respostas físicas, analise o seguinte fato.
No último minuto, teu melhor amigo deixa de ir a um jogo de futebol contigo porque foi
a um churrasco com outras pessoas. O que você faz?
1.
Sente-se incomodado.
2.
Acredita que ele não soube ser leal a quem merecia.
3.
Não liga e busca outra alternativa de programa.
As opções de respostas 1, 2 e 3 são, respectivamente, caracterizadas como:
a) pensamento, emoção e reação;
b) pensamento, reação e emoção;
c) emoção, pensamento e reação;
d) emoção, reação e pensamento;
e) reação, emoção e pensamento.
4)
As afirmações de três funcionários de uma empresa são registradas a seguir:
– Augusto: Beatriz e Carlos não faltaram ao serviço ontem.
– Beatriz: Se Carlos faltou ao serviço ontem, então Augusto também faltou.
– Carlos: Eu não faltei ao serviço ontem, mas Augusto ou Beatriz faltaram.
Se as três afirmações são verdadeiras, é correto afirmar que, ontem, apenas:
a) Augusto faltou ao serviço;
b) Beatriz faltou ao serviço;
c) Carlos faltou ao serviço;
d) Augusto e Beatriz faltaram ao serviço;
e) Beatriz e Carlos faltaram ao serviço.
5)
Cinco amigos, que estudaram juntos no colégio, estão reunidos num jantar. São eles:
Almir, Branco, Caio, Danilo e Edílson. Atualmente, eles moram nas cidades de Atibaia,
Batatais, Catanduva, Dracena e Embu, onde exercem as seguintes profissões: advogado,
bibliotecário, contabilista, dentista e engenheiro. Considere que:
– nenhum deles vive na cidade que tem a mesma letra inicial de seu nome, nem o nome
de sua ocupação tem a mesma inicial de seu nome nem da cidade em que vive;
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
– Almir não reside em Batatais, e Edílson, que não é bibliotecário e nem dentista, tampouco aí vive;
– Branco, que não é contabilista e nem dentista, não mora em Catanduva e nem em
Dracena;
– Danilo vive em Embu, não é bibliotecário e nem advogado;
– o bibliotecário não mora em Catanduva.
Nessas condições, é verdade que:
a) Almir é contabilista e reside em Dracena;
b) Branco é advogado e reside em Atibaia;
c) Caio é dentista e reside em Catanduva;
d) Danilo é dentista e reside em Embu;
e) Edílson é advogado e reside em Catanduva.
26.15. FCC/Bacen/Técnico/2005
1)
Uma pessoa tem 7 bolas de mesmo peso e, para calcular o peso de cada uma, colocou 5 bolas
em um dos pratos de uma balança e o restante junto com uma barra de ferro de 546 gramas,
no outro prato. Com isso, os pratos da balança ficaram totalmente equilibrados. O peso de
cada bola, em gramas, é um número:
a) maior que 190;
d) entre 165 e 180;
b) entre 185 e 192;
e) menor que 170.
c) entre 178 e 188;
2)
Para um grupo de funcionários, uma empresa oferece cursos para somente dois idiomas
estrangeiros: inglês e espanhol. Há 105 funcionários que pretendem estudar inglês, 118
que preferem espanhol e 37 que pretendem estudar simultaneamente os dois idiomas.
Se 1/7 do total de funcionários desse grupo não pretende estudar qualquer idioma
estrangeiro, então o número de elementos do grupo é:
a) 245;
d) 224;
b) 238;
e) 217.
c) 231;
3)
Suponha que, num banco de investimento, o grupo responsável pela venda de títulos é
composto de três elementos. Se, num determinado período, cada um dos elementos do
grupo vendeu 4 ou 7 títulos, o total de títulos vendidos pelo grupo é sempre um número
múltiplo de:
a) 3;
d) 6;
b) 4;
e) 7.
c) 5;
4)
Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha pessoal de quatro
algarismos distintos entre 1.000 e 9.999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença
positiva entre o primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a:
a) 936;
d) 768;
b) 896;
e) 728.
c) 784;
329
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
5)
ELSEVIER
Na sequência de quadriculados a seguir, as células pretas foram colocadas obedecendo
a um determinado padrão.
Mantendo esse padrão, o número de células brancas na Figura V será:
a)
b)
c)
d)
e)
330
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
101;
99;
97;
83;
81.
6)
Três técnicos: Amanda, Beatriz e Cássio trabalham no banco – um deles no complexo
computacional, outro na administração e outro na segurança do Sistema Financeiro, não
respectivamente. A praça de lotação de cada um deles é: São Paulo, Rio de Janeiro ou
Porto Alegre.
Sabe-se que:
– Cássio trabalha na segurança do Sistema Financeiro;
– quem está lotado em São Paulo trabalha na administração;
– Amanda não está lotada em Porto Alegre e não trabalha na administração.
É verdade que, quem está lotado em São Paulo e quem trabalha no complexo
computacional são, respectivamente:
a) Cássio e Beatriz;
d) Beatriz e Amanda;
b) Beatriz e Cássio;
e) Amanda e Cássio.
c) Cássio e Amanda;
7)
Das cinco figuras abaixo, quatro delas
têm uma característica geomé­trica em
comum, enquanto uma delas não tem
essa característica.
A figura que não tem essa característica
é a:
a) I;
b) II;
c) III;
d) IV;
e) V.
Capítulo 26 I Provas
8)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Na figura a seguir, há um conjunto de ruas paralelas às direções I e II indicadas.
Sabe-se que 64 pessoas partem de P: metade delas na direção I, a outra metade na
direção II. Continuam a caminhada e, em cada cruzamento, todos os que chegam se
dividem, prosseguindo metade na direção I e metade na direção II. O número de pessoas
que chegarão aos cruzamentos A e B são, respectivamente:
a) 15 e 20;
d) 1 e 15;
b) 6 e 20;
e) 1 e 6.
c) 6 e 15;
9)
Considere a figura a seguir.
Supondo que as figuras apresentadas nas alternativas possam apenas ser deslizadas
sobre o papel, aquela que coincidirá com a figura dada é:
a)
d)
b)
e)
c)
10)
Analise a figura a seguir.
O maior número de triângulos distintos que podem ser
vistos nessa figura é:
a) 20;
d) 14;
b) 18;
e) 12.
c) 16;
331
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
26.16. NCE-UFRJ/Eletronorte/2006
332
1)
Um torneio é disputado por 18 equipes em turno e returno, ou seja, cada equipe joga
duas vezes com cada uma das demais. O número total de jogos desse torneio é igual a:
a) 212;
d) 306;
b) 264;
e) 612.
c) 294;
2)
Se a cada elemento X corresponde ao menos um elemento Y então:
a) há mais elementos Y do que X;
b) há menos elementos Y do que X;
c) pode haver tantos elementos Y quanto há elementos X;
d) o número de elementos Y é no mínimo o dobro do de elementos X;
e) o número de elementos Y é no máximo o dobro do de elementos X.
3)
Observe a sequência:
2187, 729, 243, 81, ...
O próximo termo é:
a) 9;
b) 18;
c) 21;
d) 27;
e) 33.
4)
Uma “capicua” é um número que lido de trás para diante é igual ao número original.
Por exemplo, 1881 é uma “capicua”, 134 não é “capicua”. Usando apenas os algarismos
1, 2 e 3 , além de 11111, 22222 e 33333, há a seguinte quantidade de números de cinco
algarismos que são “capicuas”:
a) 6;
d) 20;
b) 12;
e) 24.
c) 16;
5)
A sentença “Salta está para Atlas assim como 25.435 está para ...” é melhor completada
pelo seguinte número:
a) 53.452;
d) 43.525;
b) 23.455;
e) 53.542.
c) 34.552;
6)
Roberto Carlos inventou o jogo da roca. Nesse jogo, cada “roca” que um jogador faz pode
valer 1, 2 ou 5 pontos. Em uma famosa partida, Cafuringa fez um total de 11 pontos.
Nesse caso, avalie as quatro afirmativas a seguir:
I – Cafuringa com certeza fez ao menos uma “roca” de 1 ponto.
II – Cafuringa fez no mínimo 3 “rocas”.
III – Cafuringa fez no máximo 11 “rocas”.
IV – Cafuringa fez no máximo uma “roca” de 2 pontos.
Estão corretas somente as afirmativas:
a) I e II;
d) II e IV;
b) I e III;
e) III e IV.
c) II e III;
Capítulo 26 I Provas
7)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Nas palavras codificadas a seguir há um algarismo omitido (substituído por um ponto
de interrogação).
MACRO – A2C3M1O5R4
BALIDO – A2B1D5I4L3O6
FUNDO – D4F1N?O5U2
O algarismo omitido é o:
a) 1;
b) 2;
c) 3;
d) 4;
e) 5.
26.17. NCE-UFRJ/Ministério das Cidades/2005
1)
a
aa
aaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaa
...
...
A décima linha dessa configuração terá a seguinte quantidade de “a”:
a) 64;
d) 512;
b) 128;
e) 1.024.
c) 256;
2)
Se “por trás de todo lobo há sempre uma grande raposa, e toda grande raposa está por
trás de algum lobo” então:
a) se a raposa não é grande, então ela não está por trás de algum lobo;
b) se há raposas que não são grandes, então há mais raposas do que lobos;
c) há lobos sem raposas por trás;
d) todo grande lobo tem sempre uma pequena raposa por trás;
e) a raposa pode ser pequena, mas o lobo à frente dela é grande.
3)
Vamos escrever os números inteiros positivos em sequência, mas todo número múltiplo
de 3 ou terminado em 3 será convertido em X:
1 2 X 4 5 X 7 8 X 10 11 X X 14 X
Dos próximos dez números da sequência, a quantidade que será convertida em X é
igual a:
a) 3;
d) 6;
b) 4;
e) 7.
c) 5;
333
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
334
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
4)
Se cada gato tem sete vidas e, em nossa vila, para cada gato há quatro cachorros, cada
um dos quais só vive uma vez, então, se há sete gatos na vila, é a seguinte quantidade
total de vidas de gatos e cachorros na vila:
a) 34;
d) 77;
b) 49;
e) 196.
c) 58;
5)
Para cada moeda que tenho num certo dia, ponho mais duas no dia seguinte. Se hoje,
domingo, tenho 21 moedas, então na próxima quinta-feira terei a seguinte quantidade
de moedas:
a) 105;
d) 3.780;
b) 336;
e) 9.321.
c) 1.701;
6)
As casas do lado par de minha rua são numeradas de 2 em 2, mas começam no número
6, ou seja, tem a casa no 6, a no 8, a no 10, e assim sucessivamente. A última casa do lado
par de minha rua é a de número 124. O número de casas desse lado de minha rua é então
igual a:
a) 60;
d) 63;
b) 61;
e) 64.
c) 62;
7)
Uma sequência de números inteiros positivos é formada do seguinte modo: primeiro, dois
números inteiros distintos são escolhidos e são os dois primeiros termos da sequência. O
terceiro termo é a média aritmética dos dois anteriores, e assim sucessivamente, cada novo
termo é a média aritmética dos dois anteriores. Um exemplo: 3, 5, 4, 4,5, 4,25, 4,375, ....
Quaisquer que sejam os dois números iniciais, é correto afirmar que, exceto:
a) nunca ocorrerá de um termo ser maior que os dois termos que o antecedem;
b) nenhum termo será maior nem menor que os dois números escolhidos que dão início
à sequência;
c) a partir do quarto termo, todo termo da sequência é sempre maior que a média dos
dois primeiros;
d) o valor absoluto da diferença entre dois termos consecutivos quaisquer diminui à
medida que sua posição na sequência aumenta;
e) um termo qualquer da sequência pode ser menor que seus dois termos vizinhos na
sequência.
8)
Em futebol, se um jogo tem um vencedor, este ganha 3 pontos e o perdedor não ganha
nenhum ponto. Se há empate, cada time ganha 1 ponto. Um torneio de futebol foi
disputado por N times em turno e returno, ou seja, cada time jogou duas vezes com cada
um dos outros. Ao final do campeonato constatou-se que 25% das partidas terminaram
empatadas. Assinale o item que não indica um valor possível para N, o número de times
no campeonato:
a) 4;
d) 9;
b) 5;
e) 10.
c) 8;
Capítulo 26 I Provas
9)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Uma matriz de 1.731 linhas e 329 colunas será composta apenas pelos elementos A e B,
alternadamente.
A primeira linha será: A B A B A B A B A B A ...,
A segunda linha será: B A B A B A B A B A B ...,
A terceira linha será: A B A B A B A B A B A ...,
e assim por diante. Ao final, teremos então um total de 1.731 x 329 elementos. Se N é o
número total de vezes em que o elemento A aparece na matriz e se M é o número total de
vezes em que o elemento B aparece, então:
a) N – M = 1;
b) N – M = 0;
c) N – M = –1;
d) N – M = 329;
e) N – M = 1.731.
26.18. NCE-UFRJ/Eletronorte/2006
1)
“Eu vim da Bahia,
Mas algum dia
Eu volto pra lá.”
Se, numa certa cidade X da Bahia, esses famosos versos são verdadeiros, ou seja, toda
pessoa que vai “tentar a sorte” em outros estados algum dia volta para o estado da Bahia,
então:
a) quem vai para outra cidade da Bahia não volta para a cidade X;
b) quem não volta para a cidade X é porque não saiu do estado da Bahia;
c) se uma pessoa vem para alguma cidade do estado da Bahia é porque saiu da cidade X;
d) a metade das pessoas que saem da cidade X vão para algum estado que não a Bahia;
e) quem sai da cidade X para outra cidade baiana pode não voltar para X.
2)
Hoje é dia 1o de maio. Adamastor nasceu no dia 5 de abril, há 34 anos. Baltazar fará
40 anos no dia 6 de agosto de 2011. Capistrano completou a metade da idade atual de
Adamastor no dia 31 de setembro de 1988. Derval completou 2 anos de idade três dias
antes de Adamastor completar 1 ano. Daqui a cinco anos, a soma das idades de Adamastor,
Baltazar, Capistrano e Derval será igual a:
a) 134;
b) 147;
c) 155;
d) 160;
e) 173.
3)
No jogo de basquete, cada cesta pode valer 1, 2 ou 3 pontos. A tabela a seguir indica a
quantidade de cestas de 1, 2 e 3 pontos que cada um dos sete jogadores de uma certa
equipe, que atuaram num determinado jogo, marcou.
335
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
Jogador
João Mágico
Marcelinho
Dênis “Mão Santa”
Zé Cumbuca
Biro Giro
Malaquias
Pedro “Paredão”
ELSEVIER
cestas de
1
3
4
6
2
0
1
2
2
5
3
12
2
1
1
1
3
3
0
6
1
0
1
0
Por exemplo, João Mágico fez três cestas de 1 ponto, cinco de 2 pontos e três de 3 pontos.
Nessa partida, a equipe obteve então o seguinte total de pontos:
a) 74;
d) 101;
b) 88;
e) 113.
c) 96;
4)
Se “cada macaco fica no seu galho”, então:
a) tem mais macaco do que galho;
b) pode haver galho sem macaco;
c) dois macacos dividem um galho;
d) cada macaco fica em dois galhos;
e) dois galhos dividem um macaco.
5)
Cada “estação” é composta de cinco “subestações”; cada “subestação” tem quarenta
“eixos principais”; cada “eixo principal” tem doze “componentes”. Se há seis “estações”,
então há o seguinte número de “componentes”:
a) 14.400;
b) 6.000;
c) 1.024;
d) 892;
e) 342.
26.19. NCE-UFRJ/Eletronorte/2005
1)
336
No diagrama a seguir, todo indivíduo que possui a característica A estará representado
dentro do círculo A e quem não tem a característica estará fora do círculo A. Analogamente,
estarão dentro do círculo B todos os que têm a característica B e estarão dentro de C
todos os que têm a característica C.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Nesse caso, a região sombreada indicará todos os indivíduos que:
a) não têm nenhuma das três características;
b) têm pelo menos uma das três características;
c) têm apenas uma das três características;
d) têm duas das três características;
e) têm as três características.
2)
Estou enchendo um tanque, com um certo líquido, do seguinte modo: no primeiro dia, pus
uma certa quantidade de litros de líquido; no dia seguinte, pus o dobro da quantidade de
litros de líquido que havia posto na véspera; no dia seguinte, dobrei novamente a quantidade
total de líquido que já havia posto e assim por diante. Com a quantidade que pus hoje (o
dobro de tudo o que pus anteriormente), consegui preencher 1/9 da capacidade total do
tanque. Nesse caso, conseguirei encher completamente o tanque na seguinte data:
a) depois de amanhã;
b) daqui a três dias;
c) daqui a quatro dias;
d) daqui a sete dias;
e) daqui a oito dias.
3)
Uma festa reúne 410 pessoas, 201 das quais do sexo feminino e as restantes do
sexo masculino. Há, nessa festa, 116 homens casados, todos acompanhados de suas
respectivas esposas. Não há outros homens casados na festa. Em relação a essa festa,
leia as afirmativas a seguir:
I – pode haver mais de 120 mulheres casadas;
II – há 93 homens solteiros;
III – com certeza há nessa festa duas pessoas que aniversariam no mesmo dia.
Assinale a opção correta:
a) apenas a afirmativa I é verdadeira;
b) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras;
c) apenas as afirmativas I e III são verdadeiras;
d) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras;
e) todas as afirmativas são verdadeiras.
4)
Observe a sequência de figuras a seguir:
Na sequência, cada figura incorpora, à figura anterior, mais um segmento de reta à
direita. Assinale o item que pode representar a sexta figura dessa sequência.
a)
d)
b)
e)
c)
337
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
5)
Na caixa I havia 566 bolas brancas, na caixa II havia 566 bolas pretas. Transferi 168 bolas
da caixa I para a caixa II. Em seguida, misturei bem todas as bolas da caixa II e, sem olhar,
peguei 168 bolas dessa caixa e as coloquei na caixa I. Notei então que 39 bolas pretas
foram transferidas para a caixa I. Nesse caso, podemos afirmar que o número de bolas
brancas que ficaram na caixa II é:
a) maior que 39;
b) igual a 39;
c) menor que 39;
d) impossível de ser determinado, pois as bolas foram escolhidas ao acaso;
e) igual a 129.
6)
De cada 1.000 habitantes de uma vila, 60 são canhotos; nessa vila, quatro de cada dez
habitantes são do sexo feminino. Na vila, há um total de 125 pessoas canhotas do sexo
feminino e 169 canhotas do sexo masculino. O número total de pessoas do sexo masculino
que não são canhotas, nessa vila, é igual a:
a) 1.769;
b) 1.956;
c) 2.003;
d) 2.654;
e) 2.771.
7)
Cinco pessoas devem ser acomodadas em três quartos diferentes. Os quartos 1 e 2
acomodam no máximo duas pessoas; o quarto 3 só pode receber uma pessoa. O número
de maneiras distintas de acomodarmos as cinco pessoas é igual a:
a) 6;
b) 20;
c) 30;
d) 45;
e) 60.
26.20. NCE-UFRJ/IBGE/2005
338
1)
Três de cada oito moradores de um edifício são do sexo feminino; se, nesse edifício, há
doze moradores do sexo feminino, então o número de moradores do sexo masculino é
igual a:
a) 12;
d) 30;
b) 16;
e) 36.
c) 20;
2)
Em uma fábrica, quatro máquinas idênticas são capazes de produzir 20 peças em dez
horas. Se apenas duas dessas máquinas forem utilizadas, dez peças serão produzidas
na seguinte quantidade de horas:
a) 4;
d) 16;
b) 8;
e) 20.
c) 10;
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
3)
Um torneio de tênis será disputado por 32 jogadores; cada partida é disputada por dois
jogadores, sendo o perdedor eliminado do torneio. O número total de jogos desse torneio
será de:
a) 16;
d) 31;
b) 21;
e) 64.
c) 27;
4)
Observe a sequência:
A próxima figura é:
a)
d)
b)
e)
c)
5)
Observe a sequência: 2 , -4 , 6, -8, 10, -12, ... O 33o termo dessa sequência é:
a) -36;
d) 32;
b) -18;
e) 66.
c) -2;
6)
Abelardo completará 31 anos de idade no dia 14 de junho de 2006; Bernardino fez 28
anos no dia 2 de janeiro de 2004; Constantino, Demétrio e Eleutério nasceram em 1975;
Eleutério nasceu em julho, três meses antes de Demétrio e quatro meses depois de
Constantino. Entre os cinco, o mais velho é:
a) Abelardo;
d) Demétrio;
b) Bernardino;
e) Eleutério.
c) Constantino;
7)
Um pequeno circuito de “luzes de Natal” é composto por cinco lâmpadas que acendem e
apagam a intervalos regulares. A primeira lâmpada permanece dez segundos acesa e
dez apagada, reacendendo em seguida; a segunda fica 20 segundos acesa e depois 20
apagada; a terceira, 30 segundos acesa e 30 apagada; a quarta, 40 segundos acesa e 40
apagada; a quinta fica 50 segundos acesa e 50 apagada. Quando o circuito é ligado, todas
as lâmpadas acendem e o ciclo se inicia: passados dez segundos, a primeira lâmpada
apaga e as demais permanecem acesas, e assim por diante. Desse modo, entre o 50o e
o 60o segundos estará acesa a seguinte quantidade de lâmpadas:
a) 1;
d) 4;
b) 2;
e) 5.
c) 3;
339
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
8)
Um pesquisador deve fazer entrevistas com os moradores de todas as edificações de uma
certa rua. A rua tem numeração ímpar do lado direito e par do lado esquerdo, sempre
de dois em dois. Por exemplo, o primeiro prédio do lado esquerdo é o de número 2 e o
seguinte é o 4. A rua tem quatro quadras, e o pesquisador recebeu uma planilha com a
seguinte numeração dos prédios de cada quadra:
Quadra 1:
Lado direito: prédios com numeração de 1 a 33.
Lado esquerdo: prédios com numeração de 2 a 24.
Quadra 2:
Lado direito: prédios com numeração de 35 a 53.
Lado esquerdo: prédios com numeração de 26 a 48.
Quadra 3:
Lado direito: prédios com numeração de 55 a 77.
Lado esquerdo: prédios com numeração de 50 a 72.
Quadra 4:
Lado direito: prédios com numeração de 79 a 103.
Lado esquerdo: prédios com numeração de 74 a 88.
O número total das edificações dessa rua é então igual a:
a) 85;
d) 99;
b) 88;
e) 103.
c) 96;
9)
Um pesquisador fez entrevistas com todas as famílias de uma vila; os dados referentes ao
número de filhos dos casais da vila pesquisados estão representados na tabela a seguir:
no de filhos
no de casais
0
21
1
32
2
40
3
10
4
2
5
2
7
1
8
2
A tabela mostra, por exemplo, que, na vila, há dois casais que têm cinco filhos. Nenhuma
pessoa foi contada duas vezes. O número total de pessoas pesquisadas na vila foi então de:
a) 464;
d) 320;
b) 403;
e) 268.
c) 366;
10)
340
Se, numa vila, todo torcedor do Arranca-toco é homem, mas nem todo homem é torcedor
do Arranca-toco, e todo torcedor do Tira-canela é mulher, mas nem toda mulher é
torcedora do Tira-canela, então, nessa vila:
a) existem homens que torcem pelo Tira-canela;
b) há mais de um homem que não torce pelo Arranca-toco;
c) existe pelo menos uma mulher que torce pelo Arranca-toco;
d) ninguém torce por outro time;
e) há pelo menos duas pessoas que não torcem nem pelo Arranca-toco, nem pelo
Tira-canela.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
11)
Zé Canhota, artilheiro famoso, só não marcou gols em duas partidas no último campeonato
de futebol de sua cidade. O campeonato foi disputado por 16 times em turno e returno, de
modo que cada time jogou duas vezes com cada adversário. Em cinco partidas, Zé Canhota
marcou dois gols; em quatro, fez três gols. Em nenhuma partida Zé Canhota conseguiu fazer
mais de três gols. O número de gols marcado por Zé Canhota nesse campeonato foi de:
a) 29;
d) 41;
b) 34;
e) 48.
c) 38;
12)
A figura a seguir representa as quadras de um
bairro planejado, composto por ruas paralelas
e avenidas perpendiculares. Um pesquisador
tem de ir do ponto A, localizado na esquina da
Rua 3 com a Avenida 2, até o ponto B, que fica na
esquina da Rua 8 com a Avenida 10.
Um dos caminhos possíveis está assinalado
em destaque; para percorrê-lo, o pesquisador
terá de caminhar por 13 quadras. O número de
outros caminhos, também com 13 quadras, que
o pesquisador pode escolher é:
a) igual a zero;
b) igual a um;
c) igual a dois;
d) maior que três;
e) menor que cinco.
13)
Usando apenas “cubinhos” idênticos, de aresta 1, Abigail
está montando um cubo de aresta 5. No momento, Abigail
já fez a seguinte montagem:
Para completar o cubo, Abigail ainda precisa da seguinte
quantidade de “cubinhos”:
a) 14;
d) 26;
b) 18;
e) 30.
c) 22;
14)
Há seis modos distintos de guardar dois cadernos iguais em três gavetas:
1 – guardar os dois na primeira gaveta
2 – guardar os dois na segunda gaveta
3 – guardar os dois na terceira gaveta
4 – guardar um na primeira gaveta e o outro na segunda
5 – guardar um na primeira gaveta e o outro na terceira
6 – guardar um na segunda gaveta e o outro na terceira
O número de modos distintos de se guardar três cadernos iguais em três gavetas é igual a:
a) 10;
d) 21;
b) 12;
e) 30.
c) 15;
341
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
15)
Em uma pesquisa realizada em um conjunto habitacional, as porcentagens de respostas a
duas perguntas estão apresentadas a seguir:
Pergunta 1:
Seu estado civil é:
Solteiro: 36%
Casado: 48%
Viúvo: 3%
Outro: 13%
Pergunta 2:
Você tem filhos?
Não: 42%
Sim, um: 23%
Sim, dois: 28%
Sim, três: 7%
Todos os entrevistados responderam às perguntas. Nesse caso, podemos concluir que,
entre os entrevistados:
a) o número de casados é menor que o de solteiros;
b) há pessoas que não são casadas e têm filhos;
c) quem é casado tem filho;
d) o número de casados é maior que o número de filhos;
e) quem tem três filhos é viúvo.
26.21. NCE-UFRJ/Radiobrás/2004
342
1)
Um campeonato de futebol será disputado por dezessete equipes, sendo que cada uma
enfrentará cada uma das demais exatamente uma vez. O campeonato terá, no total, o
seguinte número de jogos:
a) 20;
d) 272;
b) 68;
e) 544.
c) 136;
2)
Um torneio de tênis será disputado por 227 jogadores. Em cada partida, dois jogadores
se enfrentam; o vencedor passa à rodada seguinte, e o perdedor é eliminado do torneio.
O torneio terá, no total, o seguinte número de partidas:
a) 144;
d) 226;
b) 168;
e) 438.
c) 202;
3)
Se digo que todas as mulheres são boas, então, em particular, estou dizendo que:
I – Maria é boa.
II – Joana não é má e João é mau.
III – José não é mau.
Assinale:
a) se apenas a afirmativa I está correta;
b) se apenas as afirmativas I e II estão corretas;
c) se apenas as afirmativas I e III estão corretas;
d) se apenas as afirmativas II e III estão corretas;
e) se as afirmativas I, II e III estão corretas.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
4)
O diagrama mostra um circuito elétrico ligando a entrada à saída. Nele, há seis chaves, A, B, C,
D, E e F, que, fechadas, permitem a passagem da corrente e, abertas, cortam a corrente entre
seus terminais. Num determinado momento, todas as chaves estão fechadas. Queremos
interromper a passagem da corrente de a para b. Uma maneira de fazer isso é simplesmente
abrir a chave F. Se a chave F for mantida fechada, para interromper a passagem da corrente
de a para b, teremos de abrir, no mínimo, o seguinte número de chaves:
a) 1;
d) 4;
b) 2;
e) 5.
c) 3;
5)
Se não é verdade que todas as pessoas que consomem sal terão hipertensão, então:
a) as pessoas que consomem sal não terão hipertensão;
b) as pessoas que não consomem sal terão hipertensão;
c) há pelo menos uma pessoa que consome sal e não terá hipertensão;
d) há pessoas que consomem sal e terão hipertensão;
e) as pessoas que não consomem sal não terão hipertensão.
6)
Uma pesquisa de audiência relativa aos programas A, B e C de uma emissora de rádio
constatou, num universo de 248 ouvintes pesquisados, que:
– 57 ouvem tanto o programa A como o B;
– o programa A é ouvido por um total de 68 dos pesquisados;
– 93 dos pesquisados ouvem apenas o programa C;
– 28 dos pesquisados não ouvem nenhum dos três programas.
Então, dos 248 pesquisados, o número de ouvintes do programa B é:
a) 61;
d) 59;
b) 132;
e) 87.
c) 116;
7)
Seis é múltiplo de 6; 12 também é múltiplo de 6, assim como 18 e 24. Dos números inteiros
de 1 a 10.000, a quantidade de múltiplos de 6 é:
a) 826;
d) 1.820;
b) 1.000;
e) 2.000.
c) 1.666;
8)
Três candidatos a presidente, nos Estados Unidos, estão visitando 50 estados daquele
país. O primeiro já esteve em 22 estados e o segundo, em 19. O terceiro só esteve em
estados que não foram visitados por nenhum dos outros dois e já visitou 13 estados.
O número de estados que já foram visitados tanto pelo primeiro quanto pelo segundo
candidato é:
343
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
a) no máximo 10;
b) no mínimo 0 e no máximo 4;
c) igual a 4;
9)
ELSEVIER
d) no mínimo 37;
e) no mínimo 4 e no máximo 19.
Em um cubo de 1 m de lado cabe, no máximo, a seguinte quantidade de cubos de 2 cm
de lado:
a) 2.500;
d) 100.000;
b) 20.000;
e) 125.000.
c) 25.000;
10)
Figura A
Figura B
A Figura A é dividida em três partes, A1, A2 e A3, que são remontadas de forma a se
obter a Figura B (composta pelas mesmas partes, A1, A2 e A3).
Então, é correto afirmar que:
a) A tem área menor do que B e perímetro igual a B;
b) B tem área menor do que A e perímetro maior que A;
c) A e B têm a mesma área e o mesmo perímetro;
d) A e B têm a mesma área, mas o perímetro de A é maior que o de B;
e) A e B têm a mesma área, mas o perímetro de B é maior que o de A.
26.22. NCE-UFRJ/Agência Nacional de Águas/2001
344
1)
Dois mísseis são lançados diretamente um contra o outro, o primeiro a 18.000 km/
hora e o segundo a 12.000 km/hora. Sabendo que no instante do lançamento eles se
encontravam a 4.768 quilômetros de distância um do outro, a distância entre eles, a um
minuto da colisão é, em quilômetros:
a) 500;
d) 1.500;
b) 750;
e) 2.384.
c) 1.000;
2)
É feito um furo cilíndrico de 6 cm de comprimento, que passa pelo centro de uma esfera
e a atravessa completamente. O volume restante na esfera, em centímetros cúbicos, é
de:
a) 6 π;
d) 25 π;
b) 14 π;
e) 36 π.
c) 16 π;
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
3)
Na soma de três parcelas mostrada a seguir, cada letra representa um dígito numérico
distinto:
ABC
DEF
GHI
JJJ
Sabendo-se que A, D e G são diferentes de zero, o valor de J é:
a) 5;
d) 8;
b) 6;
e) 9.
c) 7;
4)
A figura a seguir mostra três visões de um mesmo cubo. Sabendo-se que cada letra
significa uma cor diferente, a cor da face oposta à da face marcada com A, na vista 1, é:
a)
b)
c)
d)
e)
A;
B;
C;
D;
E.
5)
Antonio, Bruno, César, Dario e Ernesto jogam uma moeda idônea 11, 12, 13, 14 e 15 vezes,
respectivamente. Apresenta a menor chance de conseguir mais caras do que coroas:
a) Antonio;
b) Bruno;
c) César;
d) Dario;
e) Ernesto.
6)
A República da Algebraica criou um novo sistema de numeração que acrescenta três
novos símbolos à nossa escala decimal. Dessa forma, seu sistema de numeração fica:
Nosso
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Deles
1
2
3
X
4
5
Y
6
7
8
Z
9
10
Sabendo que o nosso número 20 é representado por 1Y e o número 100 é representado
por 77, o valor do quadrado de 1 X na notação da Algebraica é:
a) 1X4;
b) 15Y;
c) 173;
d) 1Z4;
e) WYZ.
345
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
7)
Um baralho padrão de 52 cartas é cortado em duas porções distintas, aqui denominadas A
e B. Se uma carta for retirada ao acaso de A, a chance de ser uma carta vermelha é de 2:1.
Se uma carta vermelha for agora transferida de B para A, as chances de retirar uma carta
preta de B se tornam 2:1. A quantidade inicial de cartas em A e em B, respectivamente,
é:
a) 24, 28;
d) 27, 25;
b) 25, 27;
e) 28, 24.
c) 26, 26;
8)
Maria não come nem peixe nem espinafre. Sarita não come nem peixe nem feijão verde.
Estevão não come camarões nem batatas. Alice não come carne nem tomate. João não
come peixe nem tomate. Você vai dar uma festa para essas pessoas. Entre os pratos:
1 – feijão verde
2 – peixe frito
3 – carne assada
4 – galinha assada
5 – alface
6 – aipo
Aqueles que podem ser servidos no jantar de forma a agradar a todos os convidados
são:
a) 1, 2, 3;
d) 3, 5 ,6;
b) 2, 3, 4;
e) 4, 5, 6.
c) 1, 3, 5;
9)
Considere esta sequência:
BBB
XBX
BBB
BXB
XBX
BXB
XXB
XBX
BXX
O padrão que completa a sequência é:
10)
346
a)
XXX
XXX
XXX
d)
XXX
XBX
XXX
b)
XXB
XBX
BXX
e)
XXX
XBX
BXX
c)
XXX
XXX
XXB
Se 40 doceiras fazem 20 tortas em 2 horas, o número de horas necessárias para 2 doceiras
fazerem 10 tortas é:
a) 5;
d) 20;
b) 10;
e) 40.
c) 15;
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
11)
Seja O um conjunto de objetos e P, Q, R, S propriedades sobre esses objetos. Sabendo-se
que para todo objeto x em O:
1 – P(x) se verifica;
2 – Q(x) se verifica;
3 – Se P(x), Q(x) e R(x) se verificam então S(x) se verifica.
Pode-se concluir, para todo x em O, que:
a) se R(x) se verifica então S(x) se verifica;
b) S(x) e R(x) se verificam;
c) se S(x) se verifica então R(x) se verifica;
d) se P(x) e Q(x) se verificam então R(x) se verifica;
e) se S(x) e Q(x) se verificam então P(x) e R(x) se verificam.
12)
Considere a tabela verdade a seguir, em que as colunas representam os valores lógicos
para as fórmulas A, B e A ∨ B, sendo que o símbolo ∨ denota o conector, ou V denota
verdadeira e F denota falsa.
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
A∨B
Os valores lógicos que completam a última coluna da tabela, de cima para baixo, são:
a) V, F, V, V;
d) V, V, V, F;
b) V, F, F, V;
e) F, F, V, V.
c) F, V, F, V;
13)
Suponha que A, B, C e D sejam engrenagens acopladas, com 5, 30,
6 e 10 dentes, respectivamente.
Se A faz 12 voltas por minuto, então o número de voltas por minuto
para D é:
a) 3;
d) 12;
b) 4;
e) 24.
c) 6;
14)
Observe as Figuras I e II:
A Figura I contém três triângulos. O número de
triângulos na figura II é:
a) 6;
b) 7;
c) 8;
d) 10;
e) 12.
347
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
348
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
15)
Sabendo-se que o símbolo ¬ denota negação e que o símbolo ∨ denota o conector lógico
ou, a fórmula A → B, que é lida “se A então B”, pode ser reescrita como:
a) A ∨ B;
d) ¬A ∨ ¬B;
b) ¬A ∨ B;
e) ¬(A ∨ B).
c) A ∨ ¬B;
16)
Ao final de um torneio de tênis com 64 participantes, no qual todas as partidas são
eliminatórias, o campeão terá jogado:
a) 4 vezes;
b) 5 vezes;
c) 6 vezes;
d) 7 vezes;
e) 8 vezes.
17)
O número de duplas que podem ser formadas a partir de seis jogadores de tênis é:
a) 12;
d) 30;
b) 15;
e) 36.
c) 27;
18)
Numa cidade de clima frio, a temperatura dos últimos cinco dias, ao meio-dia, foi
diferente a cada dia, sendo 12 o produto das mesmas. Sabendo-se que por duas vezes
as temperaturas foram iguais aos seus simétricos negativos, (ti = -tj, ti ≠ 0), e que não
houve mudanças bruscas no clima, a maior temperatura desses dias foi:
a) 2;
d) 5;
b) 3;
e) 6.
c) 4;
19)
João tem três primos distantes cujas idades, assim como a sua, são números primos
(note que o número 1 não é primo). Somando-se as quatro idades, o resultado é 50. Ao
saber disso, Maria, que sabia a idade de João, disse que assim poderia dizer a idade dos
primos de João. As idades dos primos de João são:
a) 2, 2, 3;
b) 3, 5, 11;
c) 3, 3, 13;
d) 5, 11, 11;
e) 3, 5, 19.
20)
Na série de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos
precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definição, são 0 e 1, o sexto
termo da série é:
a) 2;
b) 3;
c) 4;
d) 5;
e) 6.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
26.23. Cespe/Banco do Brasil/Escriturário/2007
Texto para as questões 1 a 4.
Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não
como ambas. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto,
como, por exemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela preposição “e”,
simbolizada usualmente por ∧, então se obtém a forma P ∧ Q, lida como “P e Q” e avaliada como
V se P e Q forem V, caso contrário, é F. Se a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada
usualmente por ∨, então obtém-se a forma P ∨ Q, lida como “P ou Q” e avaliada como F se P e
Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é simbolizada por ¬P, e avaliada
como V, se P for F, e como F, se P for V.
Um argumento é uma sequência de proposições P1, P2, ..., Pn, chamadas premissas, e uma
proposição Q, chamada conclusão. Um argumento é válido se Q é V sempre que P1, P2, ..., Pn
forem V, caso contrário, não é argumento válido.
A partir desses conceitos, julgue os próximos itens.
1)
O quadro a seguir pode ser completamente preenchido com algarismos de 1 a 6, de modo
que cada linha e cada coluna tenham sempre algarismos diferentes.
2)
Há três proposições no seguinte conjunto de sentenças:
I – O BB foi criado em 1980.
II – Faça seu trabalho corretamente.
III – Manuela tem mais de 40 anos de idade.
3)
Considere as seguintes proposições:
P: “Mara trabalha” e
Q: “Mara ganha dinheiro”
Nessa situação, é válido o argumento em que as premissas são “Mara não trabalha ou
Mara ganha dinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é “Mara não ganha dinheiro”.
4)
A proposição simbólica (P ∧ Q) ∨ R possui, no máximo, 4 avaliações V.
26.24. Cespe/TCE-AC/Auxiliar de Controle Externo/2006
Texto para as questões 1 a 8.
Uma proposição é uma frase que pode ser avaliada como verdadeira (V) ou falsa (F). A frase
“O Estado do Acre fica na região Norte do Brasil”, por exemplo, é uma proposição V, mas a
frase “Qual é a cor do mar?” não é uma proposição, porque não pode ser avaliada nem como
V nem como F. Na lógica das proposições, a lógica proposicional, as proposições básicas são
representadas por letras maiúsculas do alfabeto, tais como A, B, C etc. Os símbolos lógicos ¬,
349
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
∧, ∨ são usados, respectivamente, para negar uma proposição, para realizar uma conjunção de
proposições (e), para realizar uma disjunção de proposições (ou) e para realizar uma implicação
entre proposições, gerando proposições compostas.
Desse modo, ¬A (lê-se: não A) é F se A for V e é V se A for F; A ∧ B (lê-se A e B) é V se A e B forem
V, caso contrário, é F; A ∨ B (lê-se: A ou B) é F se ambas as proposições, A e B, forem F, caso
contrário, é V; e, finalmente, A → B (lê-se: se A então B) é F se A for V e B for F, caso contrário, é V.
Diz-se que duas proposições compostas são equivalentes quando têm, para todas as valorações
possíveis de suas proposições básicas, as mesmas avaliações V ou F.
A partir das definições contidas no texto anterior, julgue os itens subsequentes.
1)
Na lista de frases a seguir, há exatamente duas proposições.
I.
Esta frase é falsa.
II. O TCE/AC tem como função fiscalizar o orçamento do estado do Acre.
III. Quantos são os conselheiros do TCE/AC?
2)
As proposições ¬(A ∧ B) e (¬A ∧ ¬B) são equivalentes.
Na tabela a seguir, são representadas duas avaliações para as proposições básicas A
e B, e para a proposição composta Q, na qual ocorrem apenas A e B como proposições
básicas.
3)
350
linha
A
B
Q
1
V
F
V
2
F
F
V
Considerando as definições do texto anterior e os dados dessa tabela, julgue os itens a
seguir.
Se a proposição Q é V somente nas situações apresentadas nas duas linhas da tabela,
então a proposição (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ ¬B) é equivalente à proposição Q.
4)
Para as valorações de A e B apresentadas na linha 1, a proposição ¬(A → B) é F.
5)
De acordo com as valorações da linha 2, a proposição (¬B ∨ A) ∧ Q é V.
6)
Proposições das formas A → B, ¬A ∨ B e ¬B → ¬A são sempre equivalentes. A partir
dessa informação e das definições incluídas no texto, julgue os itens a seguir.
As proposições “Se Hélio é conselheiro do TCE/AC, então Hélio é formado em Contabilidade” e “Hélio não é conselheiro do TCE/AC ou Hélio é formado em Contabilidade” são
equivalentes.
7)
Considere a seguinte proposição: “Se Antônio resolver corretamente esta prova, então ele
passará no concurso.” Nessa situação, é correto concluir que “Se Antônio não resolver
corretamente esta prova, então ele não passará no concurso”.
8)
Considere a seguinte proposição: “Alice não foi ao cinema ou Bernardo foi jogar futebol.”
Dessa proposição, é correto concluir que “Se Bernardo não foi jogar futebol, então Alice
não foi ao cinema”.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
26.25. Cespe/Polícia Federal/Agente/2004
Texto para as questões 1 a 8:
Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ∧ , ∨ e →
sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então,
respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valorverdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.
Com base nas informações apresentadas nesse texto, julgue os itens a seguir.
1)
Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬P) ∨ (¬Q) também
é verdadeira.
2)
Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬T) é
falsa.
3)
Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P
∧ R) → (¬Q) é verdadeira.
Considere as sentenças a seguir.
I – Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.
II – Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.
III – Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.
IV – Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então
fumar deve ser proibido.
V – Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser
proibido; consequentemente, muitos europeus fumam.
Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.
P
Fumar deve ser proibido.
Q
Fumar deve ser encorajado.
R
Fumar não faz bem à saúde.
T
Muitos europeus fumam.
4)
Com base nessas informações e considerando a notação introduzida no texto, julgue os
itens seguintes.
A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬T).
5)
A sentença II pode ser corretamente representada por (¬P) ∧ (¬R).
6)
A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.
7)
A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬T)) → P.
8)
A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬R) ∧ (¬P)).
26.26. Cespe/TRT-10a Região/2004
Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos ¬, ∧
e ∨ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ou
respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor
(valor-verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.
351
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
1)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes.
¬ P ∨ Q é verdadeira.
¬ [(¬ P ∨ Q) ∨ (¬ R ∨ S)] é verdadeira.
[P ∧ ( Q ∨ S)] ∧ (¬ [(R ∧ Q) ∨ (P ∧ S)] é verdadeira.
(P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ (¬R)) é verdadeira.
Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos,
sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, escolhidos entre os
de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem sempre as duas primeiras posições, julgue os
itens que se seguem.
O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior a 650.000.
2)
O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras
iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000.
3)
O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em
cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é superior a 470.000.
26.27. Cespe/TRT-16a Região/2005
Considere a proposição: “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no
carro.” Simbolizando por P o trecho “meu cliente fosse culpado” e simbolizando por Q o
trecho “a arma estaria no carro”, obtém-se uma proposição implicativa, ou simplesmente
uma implicação, que é lida: se P então Q, e simbolizada por P → Q. Uma tautologia é uma
proposição que é sempre V (verdadeira). Uma proposição que tenha a forma P → Q é V
sempre que P for F (falsa) e sempre que P e Q forem V. Com base nessas informações e
na simbolização sugerida, julgue os itens subsequentes.
1)
A proposição “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro.
Portanto, se a arma do crime não estava no carro, então meu cliente não é culpado.” É
uma tautologia.
2)
A proposição “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro”.
Portanto, ou “meu cliente não é culpado” ou “a arma do crime estaria no carro” não é
uma tautologia.
O diagrama apresentado é percorrido de cima para baixo,
seguindo-se as setas. As instruções escritas nos retângulos são
atribuições, ou seja, o valor calculado na expressão à direita
é atribuído à variável da esquerda do símbolo :=. A instrução
escrita no losango é uma condição para se prosseguir na direção
da seta V (verdadeiro) ou da seta F (falso). Com base nessas
informações, julgue os itens a seguir.
352
3)
Se X = 1, então o valor de Z será igual a 3.
4)
Se X = √5 , então Z = 6√5 .
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
26.28. Cespe/Polícia Civil/Delegado/2007
1)
Dez prisioneiros precisam ser realocados para ganhar 62 roupas de cama. Cada
prisioneiro ou é homem ou é mulher. Cada homem ganha cinco roupas de cama, e cada
mulher, oito. Quantas mulheres e quantos homens há no grupo?
a) Sete mulheres e três homens.
b) Cinco mulheres e cinco homens.
c) Quatro mulheres e seis homens.
d) Três mulheres e sete homens.
e) Seis mulheres e quatro homens.
2)
Um investigador encontrou três suspeitos (A, B e C) que tinham o raciocínio lógico
perfeito. Todos eram capazes de deduzir consequências de um conjunto de premissas
e, além disso, cada um sabia que o outro era um lógico perfeito. Há sete crimes que
envolvem esses suspeitos: dois crimes leves, dois crimes médios e três crimes graves.
Cada suspeito cometeu um único crime. Cada um deles não sabe o tipo de crime que
cometeu, mas sabe que tipo de crime os outros cometeram. Quando começaram os
interrogatórios do investigador, perguntou-se ao suspeito A: “Você é capaz de dizer
que crime definitivamente não é o seu?”. “Não”, respondeu o suspeito A. Perguntou-se
então o mesmo para o suspeito B e a resposta foi: “Não”. A partir dessas informações,
assinale a alternativa correta:
a) é impossível deduzir os crimes dos suspeitos A e C;
b) o crime do suspeito C é grave;
c) se o suspeito A sabe que os crimes de B e C são, respectivamente, leve e grave, então
pode concluir que o seu é um crime médio;
d) o crime do suspeito A é leve;
e) o crime do suspeito B é médio.
3)
Uma equipe de peritos criminais precisa descobrir a posição correta de um esconderijo,
e, para tal, dispõe somente do pedaço de um bilhete rasgado.
A equipe situa-se na posição desse poço que se encontra dentro de um terreno de área
circular de raio igual a 100 passos e não possui bússola para indicar o norte. Além disso, é
noite. O bilhete rasgado não deixa claro se o número de passos a ser dado é de múltiplos
de três ou de oito. Entretanto, a equipe é formada por peritos que entendem de métodos
de contagem e que decidem usar o princípio da inclusão-exclusão: “Sendo A e B conjuntos
cujo número de elementos é dado por n(A) e n(B), respectivamente, então n(A ∪ B) = n(A) +
353
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
n(B) – n(A ∩ B), onde n(A ∪ B) é o número de elementos que pertence a pelo menos um dos
conjuntos A e B”. Com base nesse princípio, determine o número máximo de tentativas que
a equipe terá de realizar para encontrar o esconderijo.
a) 33.
d) 41.
b) 12.
e) 4.
c) 45.
26.29. Cesgranrio/IBGE/2006
1)
Um quadrado de madeira é dividido em 5 pedaços como mostra a figura:
Todas as figuras a seguir podem ser obtidas por meio de uma reordenação dos 5 pedaços,
exceto uma. Indique-a.
a)
d)
b)
e)
c)
354
2)
Um certo jogo consiste em colocar 11 pessoas em círculo e numerá-las de 1 a 11. A partir
da pessoa que recebeu o número 1, incluindo-a, conta-se de 3 em 3, na ordem natural
dos números, e cada terceira pessoa é eliminada, ou seja, são eliminadas as pessoas de
números 3, 6 etc. Depois de iniciada, a contagem não será interrompida, ainda que se
complete uma volta. Nesse caso, a contagem continua normalmente com aqueles que
ainda não foram eliminados. Vence quem sobrar. O vencedor é a pessoa de número:
a) 2;
d) 9;
b) 5;
e) 11.
c) 7;
3)
Na figura a seguir, quantos caminhos diferentes levam de A a E, não
passando por F e sem passar duas vezes por um mesmo ponto?
a) 6;
d) 3;
b) 5;
e) 2.
c) 4;
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
4)
Uma loja de artigos domésticos vende garfos, facas e colheres. Cada um desses artigos
tem seu próprio preço. Comprando-se 2 colheres, 3 garfos e 4 facas, paga-se R$ 13,50.
Comprando-se 3 colheres, 2 garfos e 1 faca, paga-se R$ 8,50. Pode-se afirmar que,
comprando-se 1 colher, 1 garfo e 1 faca, pagar-se-á, em reais:
a) 3,60;
d) 6,20;
b) 4,40;
e) 7,00.
c) 5,30;
5)
Em um quarto totalmente escuro, há uma gaveta com 3 pares de meias brancas e 4 pares
de meias pretas. Devido à escuridão, é impossível ver a cor das meias. Quantas meias
devem ser retiradas para que se tenha certeza de que, entre as meias retiradas, haja
pelo menos um par de meias pretas?
a) 8.
d) 4.
b) 6.
e) 2.
c) 5.
6)
Na “Consoantelândia”, fala-se o “consoantês”. Nessa língua, existem dez letras: seis
do tipo I e quatro do tipo II.
As letras do tipo I são: b, d, h, k, l, t.
As letras do tipo II são: g, p, q, y.
Nessa língua, só há uma regra de acentuação: uma palavra só será acentuada se tiver
uma letra do tipo II precedendo uma letra do tipo I.
Pode-se afirmar que:
a) dhtby é acentuada;
b) pyg é acentuada;
c) kpth não é acentuada;
d) kydd é acentuada;
e) btdh é acentuada.
7)
Na sequência (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...) o número que sucede 22 é:
a) 28;
d) 31;
b) 29;
e) 32.
c) 30;
8)
Dado o cubo ABCDEFGH de arestas medindo 1, pode-se afirmar
que a distância entre:
a) um ponto do segmento BE e um ponto do segmento DH é
sempre maior que 1;
b) um ponto do segmento BE e um ponto do segmento BH é
sempre maior que 0;
c) um ponto do segmento CD e um ponto do segmento EF é
sempre maior que 1;
d) os pontos G e D é 1;
e) os pontos A e H é igual à distância entre B e C.
355
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
356
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
9)
A seguir, tem-se um fragmento de uma das composições de Caetano Veloso.
“Luz do sol
Que a folha traga e traduz
Em verde novo,
Em folha, em graça, em vida, em força, em luz.”
A partir da leitura do fragmento, pode-se afirmar que:
a) todos os dias, pode-se ver de novo a graça da natureza (do “verde”);
b) a folha traz a luz do sol para si a fim de traduzi-la em novas folhas;
c) a luz do sol é a fonte de toda vida;
d) o texto fala da fotossíntese;
e) a luz do sol é fonte de energia gratuita.
10)
A seção “Dia a dia” do Jornal da Tarde de 6 de janeiro de 1996, trazia esta nota:
“Técnicos da CETESB já tinham retirado, até o fim da tarde de ontem, 75 litros de
gasolina que penetraram nas galerias de águas pluviais da Rua João Boemer, no Pari,
Zona Norte. A gasolina se espalhou pela galeria devido ao tombamento de um tambor
num posto de gasolina desativado.”
De acordo com a nota, a que conclusão se pode chegar a respeito da quantidade de litros
de gasolina vazada do tambor para as galerias pluviais?
a) Corresponde a 75 litros.
b) É menor do que 75 litros.
c) É maior do que 75 litros.
d) É impossível ter qualquer ideia a respeito da quantidade de gasolina.
e) Se se considerar a data de publicação do jornal e o dia do acidente, vazaram 150 litros
de gasolina.
11)
Anos bissextos são os múltiplos de 4 que não são múltiplos de 100 e, além desses, os
múltiplos de 400. Quantos anos bissextos há no conjunto {2015, 2018, 2020, 2100, 2400}?
a) 1.
d) 4.
b) 2.
e) 5.
c) 3.
12)
Sejam a, b e c números reais distintos, sobre os quais afirma-se:
I – Se b > a e c > b, então c é o maior dos três números.
II – Se b > a e c > a, então c é o maior dos três números.
III – Se b > a e c > a, então a é o menor dos três números.
É(São) correta(s) a(s) afirmativa(s):
a) Apenas I;
d) I e III;
b) Apenas II;
e) I, II e III.
c) Apenas III;
13)
Se todo Y é Z e existem X que são Y, pode-se concluir que:
a) existem X que são Z;
d) todo Y é X;
b) todo X é Z;
e) todo Z é Y.
c) todo X é Y;
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
14)
Suponha que todos os professores sejam poliglotas e todos os poliglotas sejam religiosos.
Pode-se concluir que, se:
a) João é religioso, João é poliglota;
b) Pedro é poliglota, Pedro é professor;
c) Joaquim é religioso, Joaquim é professor;
d) Antônio não é professor, Antônio não é religioso;
e) Cláudio não é religioso, Cláudio não é poliglota.
15)
Para cada pessoa x, sejam f(x) o pai de x e g(x) a mãe de x. A esse respeito, assinale a
afirmativa falsa.
a) f[f(x)] = avô paterno de x.
d) g[f(x)] = avó paterna de x.
b) g[g(x)] = avó materna de x.
e) f[g(x)] = g[f(x)].
c) f[g(x)] = avô materno de x.
26.30. Cesgranrio/Prominp/2007
1)
Uma prova que valia de 0 a 10 foi aplicada em uma turma de 20 alunos. A maior nota
alcançada foi 9 e a menor, 3. É possível que a média da turma nessa prova seja:
a) 9,0;
d) 3,2;
b) 8,8;
e) 3,0.
c) 8,6;
2)
A figura a seguir ilustra uma balança de pratos equilibrada, na qual há bolas e sacos.
As bolas são todas iguais, ou seja, têm o mesmo peso. Todos os sacos contêm a mesma
quantidade de bolas, todas elas iguais às que estão fora dos sacos. Os sacos, quando
vazios, têm peso desprezível.
Quantas bolas cada saquinho contém?
a) 5.
b) 4.
c) 3.
3)
d) 2.
e) 1.
Considere verdadeira a declaração:
“Todo brasileiro é apaixonado por futebol.”
Assinale a única afirmativa que contém uma argumentação válida.
a) José é apaixonado por futebol, logo, José é brasileiro.
b) Juliana é apaixonada por futebol, logo, Juliana não é brasileira.
c) Júlio não é apaixonado por futebol, logo, Júlio é brasileiro.
d) Joana não é apaixonada por futebol, logo, Joana não é brasileira.
e) Jaílson não é brasileiro, logo, Jaílson não é apaixonado por futebol.
357
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
4)
ELSEVIER

Considere um sistema de representação de quantidades, em que  vale 1 e
vale 3.
Dessa forma,  vale 4. Nesse sistema, para representar 17, precisamos de:
a) 5
e 3 ;
d) 4
e 3 ;
b) 5
e 2 ;
e) 4
e 2 .
c) 5
e 1 ;



5)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano



Uma folha de papel quadrada foi dobrada duas vezes como ilustra esta figura.
Os tracejados representam as dobras. Ao reabrir a folha dobrada, o aspecto da mesma
será:
358
a)
b)
d)
e)
c)
6)
Um relógio atrasa 5 minutos a cada hora. Se, às 4h, o relógio marcava a hora certa e foi
adiantado em meia hora, a que horas o relógio voltará a marcar a hora certa?
a) 9h.
d) 10h.
b) 9h 05min.
e) 10h 55min.
c) 9h 55min.
7)
Gabriel está passeando com 5 amiguinhos. Estão todos ou de bicicleta ou de triciclo. Uma
pessoa os viu passar e contou 14 rodas. Quantas bicicletas havia?
a) 5.
d) 2.
b) 4.
e) 1.
c) 3.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
8)
Em uma empresa, o número de homens é igual ao de mulheres. Todos os funcionários dessa
empresa ou são casados, ou são solteiros. A quantidade de homens solteiros é, ao mesmo
tempo, a metade do número de mulheres casadas e o dobro da quantidade de mulheres
solteiras. Com relação ao número de homens dessa empresa, a quantidade de homens
casados corresponde a:
a) 80%;
d) 40%;
b) 70%;
e) 30%.
c) 60%;
9)
Considere a afirmação:
“Todas as janelas da casa estão abertas.”
Para que essa afirmação seja falsa, é necessário que:
a) nenhuma das janelas esteja fechada;
b) todas as janelas da casa estejam fechadas;
c) no mínimo, metade das janelas esteja fechada;
d) no mínimo, duas das janelas estejam fechadas;
e) pelo menos uma das janelas da casa esteja fechada.
10)
Uma operadora de telefonia oferece as seguintes opções de planos:
Plano
Franquia
Valor mensal
1
31 minutos
R$ 6,90
2
62 minutos
R$ 13,50
3
93 minutos
R$ 20,30
É correto concluir que:
a) no plano 1, o minuto é mais barato do que nos outros dois planos;
b) no plano 2, o minuto é mais barato do que nos outros dois planos;
c) no plano 3, o minuto é mais barato do que nos outros dois planos;
d) nos planos 1 e 2, o minuto custa o mesmo;
e) o minuto custa o mesmo nos três planos.
26.31. Cespe/Serpro/2004
A lógica proposicional trata das proposições que podem ser interpretadas como verdadeiras
(V) ou falsas (F). Para as proposições (ou fórmulas) P e Q, duas operações básicas, “¬” e
“→”, podem ser definidas de acordo com as tabelas de interpretação a seguir.
P
¬P
V
F
F
V
P
Q
P→Q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
359
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Com base nessas operações, novas proposições podem ser construídas. Uma
argumentação é uma sequência finita de proposições. Uma argumentação é válida sempre
que a veracidade (V) de suas (n – 1) premissas acarreta a veracidade de sua n- ésima – e
última – proposição.
Com relação a esses conceitos, julgue os itens a seguir.
1)
A sequência de proposições:
• se existem tantos números racionais quanto números irracionais, então o conjunto
dos números irracionais é infinito;
• o conjunto dos números irracionais é infinito;
• existem tantos números racionais quanto números irracionais.
é uma argumentação da forma
• P→Q
• Q
• P
2)
A argumentação:
• se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo;
• lógica não é fácil;
• Sócrates não foi mico de circo.
é válida e tem a forma
• P→Q
• ¬P
• ¬Q
3)
A tabela de interpretação de (P → ¬ Q) → ¬ P é igual à tabela de interpretação de P →
Q.
A expressão (∃ y)(∀ x) P(x, y) é uma fórmula sintaticamente correta da lógica de predicados
clássica. Diz-se que uma tal fórmula é semanticamente válida quando as suas variáveis
x e y e o predicado P têm alguma interpretação que os verifique. Quanto a esse assunto,
julgue o item subsequente.
4)
Se x e y assumem valores no conjunto dos números inteiros e o predicado P(x, y) é
interpretado como x < y, então a fórmula é semanticamente válida.
26.32. Esaf/CGU/2006
1)
360
Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva. Renata não
é ruiva ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz não é bailarina, então Márcia é magra. Assim:
a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina;
b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina;
c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não é bailarina;
d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é bailarina;
e) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz não é bailarina.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
2)
Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das três caixas
contém um, e somente um, objeto. Uma delas contém um livro; outra, uma caneta; outra,
um diamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrição, a saber:
Caixa 1: “O livro está na caixa 3.”
Caixa 2: “A caneta está na caixa 1.”
Caixa 3: “O livro está aqui.”
Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe,
ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que a inscrição da caixa
que contém o diamante é verdadeira. Com tais informações, Pedro conclui corretamente
que nas caixas 1, 2 e 3 estão, respectivamente:
a) a caneta, o diamante, o livro;
b) o livro, o diamante, a caneta;
c) o diamante, a caneta, o livro;
d) o diamante, o livro, a caneta;
e) o livro, a caneta, o diamante.
3)
Se X está contido em Y, então X está contido em Z. Se X está contido em P, então X está
contido em T. Se X não está contido em Y, então X está contido em P. Ora, X não está
contido em T. Logo:
a) Z está contido em T e Y está contido em X;
b) X está contido em Y e X não está contido em Z;
c) X está contido em Z e X não está contido em Y;
d) Y está contido em T e X está contido em Z;
e) X não está contido em P e X está contido em Y.
4)
Ana é artista ou Carlos é compositor. Se Mauro gosta de música, então Flávia não é
fotógrafa. Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compositor. Ana não é artista e
Daniela não fuma. Pode-se, então, concluir corretamente que:
a) Ana não é artista e Carlos não é compositor;
b) Carlos é compositor e Flávia é fotógrafa;
c) Mauro gosta de música e Daniela não fuma;
d) Ana não é artista e Mauro gosta de música;
e) Mauro não gosta de música e Flávia não é fotógrafa.
5)
Amigas desde a infância, Beatriz, Dalva e Valna seguiram diferentes profissões, e hoje
uma delas é arquiteta, outra é psicóloga e outra é economista. Sabe-se que ou Beatriz é
a arquiteta ou Dalva é a arquiteta. Sabe-se, ainda, que ou Dalva é a psicóloga ou Valna é
a economista. Sabe-se, também, que ou Beatriz é a economista ou Valna é a economista.
Finalmente, sabe-se que ou Beatriz é a psicóloga ou Valna é a psicóloga. As profissões
de Beatriz, Dalva e Valna são, pois, respectivamente:
a) psicóloga, economista, arquiteta;
b) arquiteta, economista, psicóloga;
c) arquiteta, psicóloga, economista;
d) psicóloga, arquiteta, economista;
e) economista, arquiteta, psicóloga.
361
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
362
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
6)
Uma escola de idiomas oferece apenas três cursos: um curso de alemão, um curso de francês
e um curso de inglês. A escola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos
cursos desejar. No corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no curso de alemão, 30%
no curso de francês e 40% no de inglês. Sabendo-se que 5% dos alunos estão matriculados
em todos os três cursos, o número de alunos matriculados em mais de um curso é igual a:
a) 30;
d) 5;
b) 10;
e) 20.
c) 15;
7)
Três meninos estão andando de bicicleta. A bicicleta de um deles é azul, a do outro
é preta, a do outro é branca. Eles vestem bermudas dessas mesmas três cores, mas
somente Artur está com bermuda de mesma cor que sua bicicleta. Nem a bermuda nem
a bicicleta de Júlio são brancas. Marcos está com bermuda azul. Desse modo:
a) a bicicleta de Júlio é azul e a de Artur é preta;
b) a bicicleta de Marcos é branca e sua bermuda é preta;
c) a bermuda de Júlio é preta e a bicicleta de Artur é branca;
d) a bermuda de Artur é preta e a bicicleta de Marcos é branca;
e) a bicicleta de Artur é preta e a bermuda de Marcos é azul.
8)
Um professor de lógica encontra-se em viagem em um país distante, habitado pelos
verdamanos e pelos mentimanos. O que os distingue é que os verdamanos sempre dizem a
verdade, enquanto os mentimanos sempre mentem. Certo dia, o professor depara-se com
um grupo de cinco habitantes locais. Chamemo-los de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. O
professor sabe que um, e apenas um, no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles.
Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintes
respostas:
Alfa: “Beta é mentimano.”
Beta: “Gama é mentimano.”
Gama: “Delta é verdamano.”
Delta: “Épsilon é verdamano.”
Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta. Mesmo
assim, o professor de lógica conclui corretamente que o verdamano é:
a) Delta;
d) Beta;
b) Alfa;
e) Épsilon.
c) Gama;
9)
Perguntado sobre as notas de cinco alunas (Alice, Beatriz, Cláudia, Denise e Elenise),
um professor de matemática respondeu com as seguintes afirmações.
1.
“A nota de Alice é maior do que a de Beatriz e menor do que a de Cláudia.”
2.
“A nota de Alice é maior do que a de Denise e a nota de Denise é maior do que a de
Beatriz, se, e somente se, a nota de Beatriz é menor do que a de Cláudia.”
3.
“Elenise e Denise não têm a mesma nota, se, e somente se, a nota de Beatriz é igual
à de Alice.”
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Sabendo-se que todas as afirmações do professor são verdadeiras, conclui-se corretamente que a nota de:
a) Alice é maior do que a de Elenise, menor do que a de Cláudia e igual à de Beatriz;
b) Elenise é maior do que a de Beatriz, menor do que a de Cláudia e igual à de Denise;
c) Beatriz é maior do que a de Cláudia, menor do que a de Denise e menor do que a de
Alice;
d) Beatriz é menor do que a de Denise, menor do que a de Elenise e igual à de Cláudia;
e) Denise é maior do que a de Cláudia, maior do que a de Alice e igual à de Elenise.
10)
Cinco irmãs nasceram, cada uma, em um estado diferente do Brasil. Lúcia é morena como
a cearense, é mais moça do que a gaúcha e mais velha do que Maria. A cearense, a paulista
e Helena gostam de teatro tanto quanto Norma. A paulista, a mineira e Lúcia são, todas,
psicólogas. A mineira costuma ir ao cinema com Helena e Paula. A paulista é mais moça do
que a goiana, mas é mais velha do que a mineira; esta, por sua vez, é mais velha do que Paula.
Logo:
a) Norma é gaúcha, a goiana é mais velha do que a mineira, e Helena é mais moça do
que a paulista;
b) Paula é gaúcha, Lúcia é mais velha do que Helena, e a mineira é mais velha do que
Maria;
c) Norma é mineira, a goiana é mais velha do que a gaúcha, e Maria é mais moça do que
a cearense;
d) Lúcia é goiana, a gaúcha é mais moça do que a cearense, e Norma é mais velha do
que a mineira;
e) Paula é cearense, Lúcia é mais velha do que a paulista, e Norma é mais moça do que
a gaúcha.
26.33. Esaf/Assistente de Chancelaria/2002
1)
Ana, Beatriz, Carlos, Deoclides, Ernani, Flávio e Germano fazem parte de uma equipe de
vendas. O gerente geral acredita que se esses vendedores forem distribuídos em duas
diferentes equipes, haverá um aumento substancial nas vendas. Serão então formadas
duas equipes: equipe A com quatro vendedores e equipe B com três vendedores. Dadas
as características dos vendedores, na divisão, deverão ser obedecidas as seguintes
restrições: a) Beatriz e Deoclides devem estar no mesmo grupo; b) Ana não pode estar
no mesmo grupo nem com Beatriz, nem com Carlos. Ora, sabe-se que, na divisão final,
Ana e Flávio foram colocados na equipe A. Então, necessariamente, a equipe B tem os
seguintes vendedores:
a) Beatriz, Carlos e Germano;
d) Beatriz, Carlos e Ernani;
b) Carlos, Deoclides e Ernani;
e) Beatriz, Carlos e Deoclides.
c) Carlos, Deoclides e Germano;
2)
Quatro meninas que formam uma fila estão usando blusas de cores diferentes, amarelo,
verde, azul e preto. A menina que está imediatamente antes da menina que veste blusa
azul é menor do que a que está imediatamente depois da menina de blusa azul. A menina
que está usando blusa verde é a menor de todas e está depois da menina de blusa azul.
A menina de blusa amarela está depois da menina que veste blusa preta. As cores das
blusas da primeira e da segunda menina da fila são, respectivamente:
363
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
a) amarelo e verde;
b) azul e verde;
c) preto e azul;
364
ELSEVIER
d) verde e preto;
e) preto e amarelo.
3)
No final de semana, Chiquita não foi ao parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda,
Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Dadá vai à missa ou vai
visitar tia Célia. Sempre que Dadá vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao parque, e sempre
que Dadá vai à missa, Didi estuda. Então, no final de semana:
a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado;
b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia;
c) Didi não estudou e Didi foi aprovado;
d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque;
e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.
4)
A solução da inequação 32(x – 1) > 1 é dada pelo conjunto solução:
a) {x ∈ R | x < – 1};
d) {x ∈ R | x > – 1};
b) {x ∈ R | x < 1};
e) {x ∈ R | x > 1}.
c) {x ∈ R | x ≥ 1};
5)
Se a média aritmética dos números 6, 8, X e Y é igual a 12, então a média aritmética dos
números (X + 8) e (Y – 4) será:
a) 9,5;
d) 20;
b) 13;
e) 38.
c) 19;
6)
Se X, Y e Z são inteiros positivos e consecutivos tais que X < Y < Z, então a expressão
que necessariamente corresponde a um número inteiro ímpar é dada por:
a) (X Y) + (YZ)
d) X + Y + Z
b) (X+Y) (Y+Z)
e) X + Y Z
c) X Y Z
7)
O número X tem três algarismos. O produto dos algarismos de X é 126 e a soma dos dois
últimos algarismos de X é 11. O algarismo das centenas de X é:
a) 2;
d) 7;
b) 3;
e) 9.
c) 6;
8)
Seja x um número inteiro qualquer pertencente ao intervalo (-2,1). Para que ambas as
seguintes relações sejam verdadeiras:
–2–x⊕–1
– 2 – x ⊕ – 10
o símbolo deve ser substituído por:
a) ≤;
d) <;
b) ≥ ;
e) =.
c) >;
9)
Em um triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 60o. O maior ângulo formado
pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C mede:
a) 45o;
d) 120o;
o
b) 60 ;
e) 150o.
o
c) 90 ;
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
26.34. Esaf/MPU/2004
1)
Um avião XIS decola às 13h e voa a uma velocidade constante de x quilômetros por hora.
Um avião YPS decola às 13h30min e voa na mesma rota de XIS, mas a uma velocidade
constante de y quilômetros por hora. Sabendo que y>x, o tempo, em horas, que o avião
YPS, após sua decolagem, levará para alcançar o avião XIS é igual a:
a) 2 / (x + y) horas;
d) 1/ 2y horas;
b) x / (y – x) horas;
e) x / 2 (y – x) horas.
c) 1 / 2x horas;
2)
Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma mesma
parede, lado a lado. Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os
quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam
ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de
diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a:
a) 20;
d) 120;
b) 30;
e) 360.
c) 24;
3)
Uma empresa produz androides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e
os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está
examinando um grupo de cinco androides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon
–, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele
pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde, mas Dr. Turing, distraído, não ouve a
resposta. Os androides restantes fazem, então, as seguintes declarações:
Beta: “Alfa respondeu que sim.”
Gama: “Beta está mentindo.”
Delta: “Gama está mentindo.”
Épsilon: “Alfa é do tipo M.”
Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir
corretamente que o número de androides do tipo V, naquele grupo, era igual a:
a) 1;
d) 4;
b) 2;
e) 5.
c) 3;
4)
Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro
é músico. Sabe-se que:
1 – ou Ricardo é médico, ou Renato é médico;
2 – ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico;
3 – ou Renato é músico, ou Rogério é músico;
4 – ou Rogério é professor, ou Renato é professor;
Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente:
a) professor, médico, músico;
d) músico, médico, professor;
b) médico, professor, músico;
e) médico, músico, professor.
c) professor, músico, médico;
365
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
5)
Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha,
tem olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. Tanto o produto como a soma
das idades de Ana e Júlia, consideradas as idades em número de anos completados, são
iguais a números primos. Segue-se que a idade de Ana – a filha de olhos azuis –, em
número de anos completados, é igual:
a) à idade de Júlia mais 7 anos;
b) ao triplo da idade de Júlia;
c) à idade de Júlia mais 5 anos;
d) ao dobro da idade de Júlia;
e) à idade de Júlia mais 11 anos.
6)
Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo. Dessa
premissa pode-se corretamente concluir que:
a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo;
b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo;
c) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo;
d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo;
e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio é sociólogo.
26.35. Esaf/Aneel/2004
366
1)
Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim:
a) estudo e fumo;
b) não fumo e surfo;
c) não velejo e não fumo;
d) estudo e não fumo;
e) fumo e surfo.
2)
Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desisto, compreendo. Se é feriado,
não desisto. Então:
a) se jogo, não é feriado;
b) se não jogo, é feriado;
c) se é feriado, não leio;
d) se não é feriado, leio;
e) se é feriado, jogo.
3)
Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil e vão participar de
uma peça em que representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis de Fada,
Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o diretor da
peça realizou um sorteio para determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de
anunciar o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse seu palpite sobre
qual havia sido o resultado do sorteio.
Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla
é a Princesa.”
Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa.”
Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha.”
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa.”
Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz.”
Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma
de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio!”
Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis
sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectiva­mente:
a) rainha, bruxa, princesa, fada;
b) rainha, princesa, governanta, fada;
c) fada, bruxa, governanta, princesa;
d) rainha, princesa, bruxa, fada;
e) fada, bruxa, rainha, princesa.
4)
Quer-se formar um grupo de danças com seis bailarinas, de modo que três delas tenham
menos de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18 anos e as demais tenham idade
superior a 18 anos. Apresentaram-se, para a seleção, doze candidatas, com idades de 11
a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número
de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir desse conjunto de
candidatas é igual a:
a) 85;
d) 120;
b) 220;
e) 150.
c) 210;
5)
Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e 20 estudam canto. O número de crianças
desse grupo que têm olhos azuis e estudam canto é:
a) exatamente 16;
d) no máximo 6;
b) no mínimo 6;
e) exatamente 6.
c) exatamente 10;
26.36. NCE/Ministério da Agricultura/2004
1)
A negação da afirmativa “Me caso ou compro sorvete” é:
a) me caso e não compro sorvete;
b) não me caso ou não compro sorvete;
c) não me caso e não compro sorvete;
d) não me caso ou compro sorvete;
e) se me casar, não compro sorvete.
2)
Considere as afirmativas.
I – Sabemos que Maria vai ao cinema todos os sábados. Se hoje Maria foi ao cinema,
concluímos que hoje é sábado.
II – No conjunto dos números naturais, sabemos que o único número primo par é o número
2. Se X é um número ímpar, podemos concluir que X é um número primo.
III – Sabemos que quando João tem reunião com clientes, ele vai trabalhar usando
gravata. Se hoje João foi para o trabalho sem gravata, podemos concluir que hoje
ele não terá reunião com clientes.
IV – Sabemos que todo quadrilátero com quatro ângulos retos é um retângulo. Se um
quadrilátero é um quadrado, podemos concluir que esse quadrilátero é um retângulo.
367
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
São verdadeiras:
a) I e II;
b) I e III;
c) I e IV;
368
ELSEVIER
d) II e III;
e) III e IV.
3)
Se A é o conjunto das mulheres com mais de 30 anos e B é
o conjunto das mulheres que pintam seus cabelos, a região
cinza no diagrama a seguir representa:
a) o conjunto das mulheres com mais de trinta anos que
pintam seus cabelos;
b) o conjunto das mulheres com mais de trinta anos que não
pintam seus cabelos;
c) o conjunto das mulheres que não pintam os cabelos e não têm mais do que trinta anos;
d) o conjunto das mulheres que pintam seus cabelos e não têm mais do que trinta anos;
e) o conjunto das mulheres que ou pintam seus cabelos ou têm mais de 30 anos.
4)
O prefeito de um município, em campanha para reeleição, divulgou que, durante seu governo,
o número de crianças na escola aumentou em 100%. Considere os comentários feitos por
Pedro, João e André sobre essa afirmativa:
Pedro: “Agora temos muito mais crianças na escola.”
João: “Agora todas as crianças estão na escola.”
André: “Ainda existem mais crianças fora da escola do que crianças na escola.”
A única afirmativa de que podemos ter certeza ser verdadeira é:
a) se André está correto, então o prefeito mentiu;
b) se o prefeito disse a verdade, então João está correto;
c) se Pedro está correto, então André está errado;
d) se o prefeito disse a verdade, então André está errado;
e) se André está correto, então João está errado.
5)
Em uma prova, nem todos os alunos obtiveram aprovação. Sabemos que todos os alunos
aprovados fizeram a lista de exercícios proposta pelo professor do curso. Podemos
concluir, com absoluta certeza, que:
a) existem alunos que não fizeram a lista de exercícios;
b) se algum aluno não fez a lista de exercícios, ele foi reprovado;
c) existem alunos que não fizeram a lista de exercícios e foram aprovados;
d) todos os alunos que fizeram a lista de exercícios foram aprovados;
e) todos os alunos fizeram a lista de exercícios.
6)
A negação da afirmativa “Todo tricolor é fanático” é:
a) existem tricolores não fanáticos;
b) nenhum tricolor é fanático;
c) nem todo fanático é tricolor;
d) nenhum fanático é tricolor;
e) existe pelo menos um fanático que é tricolor.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
7)
Sabemos que a taxa de desemprego no município A é de 20% e no município B é de 12%.
Considere as seguintes afirmativas:
I – Existem mais trabalhadores desempregados no município A do que no município
B.
II – Existem mais trabalhadores desempregados no município B do que no município
A.
III – Para cada 10 trabalhadores desempregados no município A existem 6 trabalhadores
desempregados no município B.
IV – Para cada 4 trabalhadores empregados no município A existe um trabalhador
desempregado nesse mesmo município.
V – Para cada 25 trabalhadores empregados no município B existem 3 trabalhadores
desempregados nesse mesmo município.
Sem conhecer outros dados sobre os contingentes de trabalhadores existentes nos municípios
A e B, a única afirmativa de cuja correção podemos ter certeza é:
a) I;
d) IV;
b) II;
e) V.
c) III;
8)
Sabemos que o número 4 é escrito com um algarismo, o número 27 com dois algarismos
e o número 123 com três algarismos. O total de algarismos escritos para numerar as
páginas de um livro de 150 páginas é um número:
a) menor que 300;
d) entre 400 e 449;
b) entre 300 e 349;
e) maior que 450.
c) entre 350 e 399;
9)
Seja A o conjunto dos alunos da Escola da Luz, B o conjunto dos moradores do município
de Vila Feliz e C o conjunto de usuários dos ônibus da Companhia Feliz Viagem. A Escola
da Luz, localizada no município de Vila Feliz, atende desde crianças que moram na
vizinhança e não necessitam de transporte para ir à escola até crianças que moram
em municípios vizinhos. Sabemos que todos os alunos que estudam na Escola da Luz e
que não são moradores do município de Vila Feliz utilizam ônibus da Companhia Feliz
Viagem. O diagrama que melhor representa a situação descrita é:
10)
a)
b)
d)
e)
c)
A companhia de água de uma cidade resolveu que sempre que o reservatório estiver com
menos de 30% de sua capacidade de água, todos os canos que levam água do reservatório
para a cidade devem ser fechados entre 21 horas e 8 horas da manhã seguinte. Podemos
afirmar que:
369
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
a) se todos os canos estiverem fechados às 23 horas, então o reservatório está com mais
de 30% de sua capacidade de água;
b) se todos os canos estiverem fechados às 23 horas, então o reservatório está com menos
de 30% de sua capacidade de água;
c) se algum dos canos que levam água do reservatório para a cidade estiver aberto às 23
horas, então o reservatório está com mais de 30% de sua capacidade de água;
d) se o reservatório estiver com mais de 30% de sua capacidade de água, todos os canos
estarão abertos entre 21 horas e 8 horas da manhã do dia seguinte;
e) se o reservatório estiver com mais de 30% de sua capacidade de água, todos os canos
estarão fechados entre 21 horas e 8 horas da manhã do dia seguinte.
11)
Sobre a afirmativa “Todo múltiplo de 8 é múltiplo de 16”, é correto afirmar que:
a) é falsa, pois existem múltiplos de 8 que não são múltiplos de 16;
b) é verdadeira, pois todos os múltiplos de 16 são também múltiplos de 8;
c) é falsa, pois um múltiplo de 16 pode ou não ser um múltiplo de 8;
d) é verdadeira, pois existem múltiplos de 16 que são múltiplos de 8;
e) nada se pode afirmar, pois é impossível listar todos os múltiplos de 8.
12)
No diagrama a seguir, A representa o conjunto dos moradores
de uma cidade, B representa o conjunto dos moradores dessa
cidade que são assinantes do Jornal B e C representa o conjunto
dos moradores desta cidade que são assinantes do Jornal C. No
diagrama, a região pintada em cinza representa o conjunto dos
moradores dessa cidade que:
a) não assinam o Jornal B, mas assinam o jornal C;
b) não assinam o Jornal C, mas assinam o jornal B;
c) assinam os dois jornais, B e C;
d) não assinam nem o jornal B nem o jornal C;
e) não lêem jornal.
26.37. NCE-UFRJ/Eletronorte/Engenharia/Técnico/2006
370
1)
O Brasil tem 26 estados. Se quero reunir um certo número de brasileiros e ter certeza
de que pelo menos dois nasceram num mesmo estado, então devo reunir, no mínimo, o
seguinte número de brasileiros:
a) 27;
d) 1.024;
b) 52;
e) 1.501.
c) 144;
2)
Nosso código secreto usa o alfabeto ABCDEFGHIJLMNOPQRSTUVXZ do seguinte modo: cada
letra é substituída pela letra que ocupa a quarta posição depois dela. Então, o A vira E, o B
vira F, o C vira G e assim por diante. O código é “circular”, de modo que o U vira A e assim
por diante. Recebi uma mensagem em código que dizia: BSA HI EDAP. Decifrei o código e li:
a) FAZ AS DUAS;
d) VIM DA LOJA;
b) DIA DO LOBO;
e) VOU DE AZUL.
c) RIO ME QUER;
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
3)
Dagoberto tem cinco filhos, todos de idades distintas. O mais velho tem 20 anos, o mais
novo tem 13. A soma das idades dos cinco filhos de Dagoberto é no máximo igual a:
a) 85;
d) 88;
b) 86;
e) 89.
c) 87;
4)
Observe as somas a seguir:
O valor de ♥ é igual a:
a) 1;
b) 2;
c) 3;
d) 6;
e) 7.
5)
A sentença “Social está para laicos assim como 231678 está para ...” é melhor completada
por:
a) 326187;
d) 827361;
b) 876132;
e) 218763.
c) 286731;
6)
Maricota saiu do trabalho e seguiu pela calçada até chegar à primeira rua perpendicular,
na qual dobrou à direita. Seguiu por essa rua e, num dado momento, dobrou à esquerda
numa rua perpendicular. Seguiu adiante e dobrou novamente à esquerda, em outra
perpendicular. Após caminhar mais um pouco, chegou a seu destino. O percurso de
Maricota está mais bem representado por:
a)
b)
d)
e)
c)
26.38. NCE-UFRJ/Eletronorte/2006
1)
João tem mais do que Manuel, mas tem menos do que Pedro. Pedro tem menos do que
Altair, que tem mais do que Ambrósio, que tem mais do que João. Dos cinco, o que tem
menos é:
a) João;
d) Altair;
b) Manuel;
e) Ambrósio.
c) Pedro;
371
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
372
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
2)
Se todo cachorro alemão gosta de salsicha, mas nem todo cachorro que gosta de salsicha
é alemão, então:
a) se o cachorro gosta de salsicha, então é alemão;
b) se o cachorro não gosta de salsicha, então pode não ser alemão;
c) se o cachorro gosta de salsicha, então não pode ser alemão;
d) se o cachorro gosta de salsicha, então não é alemão;
e) se o cachorro não gosta de salsicha, então não é alemão.
3)
Um dado é um objeto com forma de um cubo em que são pintados os números 1, 2, 3, 4,
5 e 6, um em cada face. Se somarmos todos os números pintados em todas as faces de
sete dados, obteremos:
a) 42;
d) 161;
b) 81;
e) 201.
c) 147;
4)
Observe a série lógica a seguir: A5 b7 C9 d11 E13
O próximo termo é:
a) f15;
d) F14;
b) F15;
e) e14.
c) E14;
5)
Uma “capicua” é um número que lido de trás para diante é igual ao número original. Por
exemplo, 1881 é uma “capicua”, 134 não é “capicua”. Usando apenas os algarismos 1 e
2, além de 1111 e 2222, há a seguinte quantidade de números de quatro algarismos que
são “capicuas”:
a) 2;
d) 6;
b) 3;
e) 8.
c) 4;
6)
Maria gosta do número 5, mas não gosta do 8; gosta do 21, mas não gosta do 22; gosta
do 103, mas não gosta do 58. Dos números a seguir, Maria mais provavelmente gosta
do:
a) 10;
b) 36;
c) 98;
d) 127;
e) 212.
7)
Nosso time de futebol tem três camisas diferentes, três calções diferentes e dois meiões
diferentes. Um uniforme é composto de uma camisa, um calção e um meião. O número
de uniformes diferentes que nosso time pode usar é igual a:
a) 8;
b) 12;
c) 16;
d) 18;
e) 24.
Capítulo 26 I Provas
8)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
O primeiro sábado do mês de setembro cai no dia 2. Dia 7 de setembro é o único feriado do
mês. O calendário de setembro vai até o dia 30. Juvenal trabalha de segunda a sexta-feira,
exceto nos feriados. Para ir de casa ao trabalho, Juvenal gasta cerca de 40 minutos e, para
voltar, gasta 30 minutos. No mês de setembro, Juvenal gastará a seguinte quantidade
de minutos se deslocando de casa para o trabalho e do trabalho para casa:
a) 1.330;
d) 1.540;
b) 1.400;
e) 1.610.
c) 1.470;
26.39. FCC/Fiscal de Rendas/São Paulo/2006
1)
Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso”. Nessa proposição,
o conectivo lógico é:
a) condicional;
d) conjunção;
b) bicondicional;
e) disjunção exclusiva.
c) disjunção inclusiva;
2)
Considere as seguintes frases:
I.
Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
x+y
II.
é um número inteiro.
5
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.
É verdade que apenas:
a) I é uma sentença aberta;
b) II é uma sentença aberta;
c) I e II são sentenças abertas;
d) I e III são sentenças abertas;
e) II e III são sentenças abertas.
3)
Das cinco frases a seguir, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum,
enquanto uma delas não tem essa característica.
I.
Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
V.
Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é a:
a) IV;
d) II;
b) V;
e) III.
c) I;
4)
Se P e q são proposições, então a proposição p ∧ (~q) é equivalente a:
a) ~(q → ~p)
d) ~(p → q)
b) ~(p ∨ q)
e) ~q → ~p
c) ~(p → ~q)
373
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
374
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
5)
Na tabela verdade a seguir, p e q são proposições:
p
q
?
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é:
a) p ↔ q;
d) p → q;
b) ~(p ∨ q);
e) ~(p → q).
c) p ∧ q;
6)
Considere as seguintes afirmações.
I.
O número de linhas de uma tabela verdade é sempre um número par.
II. A proposição “(10 < √10 ) ↔ (8 – 3 = 6)” é falsa.
III. Se p e q são proposições, então a proposição “(p → q) ∨ (~q)” é uma tautologia.
É verdade o que se afirma apenas em:
a) I e II;
d) II;
b) I e III;
e) III.
c) I;
7)
Um seminário foi constituído de um ciclo de três conferências: uma de manhã, outra à tarde
e a terceira à noite. Do total de inscritos, 144 compareceram de manhã, 168 à tarde e 180
à noite. Dentre os que compareceram de manhã, 54 não voltaram mais para o seminário,
16 compareceram às três conferências e 22 compareceram também à tarde, mas não
compareceram à noite. Sabe-se também que 8 pessoas compareceram à tarde e à noite,
mas não de manhã. Constatou-se que o número de ausentes no seminário foi de um oitavo
do total de inscritos. Nessas condições, é verdade que:
a) 54 pessoas inscritas não compareceram ao seminário;
b) o número de inscritos no seminário foi menor que 420;
c) 387 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferências;
d) 282 pessoas compareceram a somente uma das conferências;
e) 108 pessoas compareceram a pelo menos duas conferências.
8)
No argumento: “Se estudo, passo no concurso. Se não estudo, trabalho. Logo, se não
passo no concurso, trabalho”, considere as proposições:
p: “estudo”,
q: “passo no concurso”, e
r: “trabalho”.
É verdade que:
a) a validade do argumento depende dos valores lógicos e do conteúdo das proposições
usadas no argumento;
b) o argumento é válido, porque a proposição [(p → q) ∧ (~p → r)] → (~q → r) é uma
tautologia;
c) p, q, ~p e r são premissas e ~q → r é a conclusão;
d) a forma simbólica do argumento é (p → q) (~p → r) |— (~q → r);
e) a validade do argumento é verificada por uma tabela verdade com 16 linhas.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
9)
Das proposições a seguir, a única que é logicamente equivalente a p → q é:
a) q → ~p
d) ~q → p
b) ~(q → p)
e) ~p → ~q
c) ~q → ~p
10)
Das alternativas a seguir, assinale a correta:
a) a proposição “Se está quente, ele usa camiseta”, é logicamente equivalente à proposição
“Não está quente e ele usa camiseta”;
b) a proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa;
c) as proposições ~(p ∧ q) e (~p ∨ ~q) não são logicamente equivalentes;
d) a negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom”, é a
proposição “Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom”;
e) a proposição ~[p ∨ ~(p ∧ q)] é logicamente falsa.
11)
Seja a sentença ~{[(p → q) ∨ r] ↔ [ q → (~p r)] ∨}. Se considerarmos que p é falsa, então
é verdade que:
a) nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é F;
b) faltou informar o valor lógico de q e de r;
c) essa sentença é uma tautologia;
d) o valor lógico dessa sentença é sempre F;
e) nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é V.
12)
O sangue humano admite uma dupla classificação:
• fator RH
RH+ se tiver o antígeno RH
RH– se não tiver o antígeno RH
• Grupo sanguíneo
A se tiver o antígeno A e não tiver o B
B se tiver o antígeno B e não tiver o A
AB se tiver ambos os antígenos, A e B
O se não tiver o antígeno A nem o B
Sejam os conjuntos:
H = {x | x é uma pessoa com sangue RH+}
A = {x | x é uma pessoa com sangue do grupo A}
B = {x | x é uma pessoa com sangue do grupo B}
M = H ∩ (A∆B)
N = H ∩ (A∆B)
(Se X e Y são conjuntos, X é o complementar de X e X ∆ Y é a diferença simétrica entre
X e Y).
Os conjuntos M e N são os conjuntos dos X tais que X é uma pessoa com sangue:
M
N
a) Do grupo A ou do B ou do AB, com RH+
Do grupo A ou do B com RHb) Todos os grupos e RH+
Todos os grupos e RHc) Do grupo AB e RH+
De grupo diferente de AB e RHd) Do grupo A ou do grupo B, com RHDo grupo O com RH+
e) Do grupo A ou do grupo B, com RH+
Do grupo O ou do grupo AB, com RH-
375
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
13)
Repare que com um número de cinco algarismos, respeitada a ordem dada, pode-se
criar quatro números de dois algarismos. Por exemplo: de 34712, pode-se criar o 34, o
47, o 71 e o 12. Procura-se um número de cinco algarismos formado pelos algarismos
4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja a seguir alguns números desse tipo e ao lado de cada
um deles a quantidade de números de dois algarismos que esse número tem em comum
com o número procurado.
Número dado
Quantidade de números de dois algarismos em comum
48765
1
86547
0
87465
2
48675
1
O número procurado é:
a) 58746;
b) 46875;
c) 87456;
d) 68745;
e) 56874.
14)
Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r.
Sua tabela-verdade é:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
Q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
s
V
V
F
V
V
V
F
V
Usando a conjunção (∧), a disjunção (∨) e a negação (~), pode-se construir sentenças
equivalentes a s. Uma dessas sentenças é:
a) (p ∧ q ∧ r) ∨ (~p ∧ ~q ∧ r);
b) (p ∧ ~q ∧ r) ∨ (~p ∧ ~q ∧ r);
c) (~p ∨ q ∨ ~r) ∧ (p ∨ q ∨ ~r);
d) (p ∨ q ∨ r) ∧ (~p ∨ ~q ∨ r);
e) (p ∧ q ∧ ~r) ∨ (p ∧ ~q ∧ ~r).
15)
376
Dada a sentença
→ ~(~p ∧ q ∧ r), complete o espaço
com uma, e apenas uma,
das sentenças simples p, q, r ou a sua negação ~p, ~q ou ~r para que a sentença dada
seja uma tautologia. Assinale a opção que responde a essa condição.
a) Somente uma das três: ~p, q ou r.
b) Somente uma das três: p, ~q ou ~r.
c) Somente q.
d) Somente p.
e) Somente uma das duas: q ou r.
Capítulo 26 I Provas
16)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Numa ilha dos mares do sul convivem três raças distintas de ilhéus: o(s) zel(s) só mente(m),
o(s) del(s) só fala(m) a verdade e o(s) mel(s) alternadamente fala(m) verdades e mentiras
– ou seja, uma verdade, uma mentira, uma verdade, uma mentira –, mas não se sabe se
começaram falando uma ou outra.
Encontramos três nativos, Sr. A, Sr. B, Sr. C, um de cada uma das raças.
Observe bem o diálogo que travamos com o Sr. C:
Nós: – Sr. C, o senhor é da raça zel, del ou mel?
Sr. C: – Eu sou mel. (primeira resposta)
Nós: – Sr. C, e o senhor A, de que raça é?
Sr. C: – Ele é zel. (segunda resposta)
Nós: – Mas então o Sr. B é del, não é isso, Sr. C?
Sr. C: – Claro, senhor! (terceira resposta)
Nessas condições, é verdade que os senhores A, B e C são respectivamente:
a) zel, del, mel;
b) zel, mel, del;
c) del, zel, mel;
d) del, mel, zel;
e) mel, dei, zel.
26.40. FCC/TCE-PB/Agente de Protocolo/2006
1)
A figura seguinte mostra uma pilha de cubos de mesmas
dimensões.
O número de cubos que foram usados na montagem dessa
pilha é:
a) 8;
b) 9;
c) 10;
d) 11;
e) 12.
2)
O caixa eletrônico de um banco foi programado para fazer pagamentos utilizando apenas
cédulas de R$ 50,00, R$ 20,00 e R$ 10,00. Ao usar esse caixa, de quantos modos distintos
uma pessoa poderá fazer uma retirada de R$ 100,00?
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
3)
Dona Mocinha teve seis filhos. Sabendo que cada filho lhe deu cinco netos, cada neto
lhe deu quatro bisnetos e cada bisneto teve três filhos, quantos são os descendentes de
dona Mocinha?
a) 516.
b) 484.
c) 460.
d) 380.
e) 320.
377
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
378
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
4)
Para resolver esta questão, observe o exemplo seguinte, em que são dadas as palavras:
TIGRE – CAVALO – CACHORRO – ORQUÍDEA – GATO
Quatro dessas cinco palavras têm uma relação entre si, pertencem a uma mesma classe,
enquanto a outra é diferente: uma é nome de flor (orquídea) e outras são nomes de
animais.
Considere agora as palavras:
AVÔ – TIO – SOGRO – FILHO – SOBRINHO
Dessas cinco palavras, a única que não pertence à mesma classe das outras é:
a) avô;
d) filho;
b) tio;
e) sobrinho.
c) sogro;
5)
Considere a figura a seguir.
Se fosse possível deslizar sobre esta folha de papel as figuras apresentadas
nas alternativas a seguir, aquela que coincidiria com a figura dada é:
a)
b)
d)
e)
c)
6)
Considere que os números que compõem a sequência seguinte obedecem a uma lei de
formação.
(414, 412, 206, 204, 102, 100, ...)
A soma do nono e décimo termos dessa sequência é igual a:
a) 98;
b) 72;
c) 58;
d) 46;
e) 38.
7)
Observe que com 10 moedas iguais é possível construir um
triângulo:
Movendo apenas três dessas moedas é possível fazer com
que esse triângulo fique com a posição invertida, ou seja,
a base para cima e o vértice oposto para baixo. Para que
isso aconteça, as moedas que devem ser movidas são as
de números:
a) 1, 2 e 3;
b) 1, 8 e 9;
c) 1, 7 e 10;
d) 2, 3 e 5;
e) 5, 7 e 10.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
8)
Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara
algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões
e sentenças:
1.
Três mais nove é igual a doze.
2.
Pelé é brasileiro.
3.
O jogador de futebol.
4.
A idade de Maria.
5.
A metade de um número.
6.
O triplo de 15 é maior do que 10.
É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números:
a) 1, 2 e 6;
d) 1, 2, 5 e 6;
b) 2, 3 e 4;
e) 2, 3, 4 e 5.
c) 3, 4 e 5;
9)
Ao ver o calendário de um ano, Josué observou que um certo mês começava em um
sábado e o mês seguinte terminava em uma quinta-feira. Em tal ano, o feriado de 7 de
setembro ocorreu em:
a) uma terça-feira;
d) um sábado;
b) uma quarta-feira;
e) um domingo.
c) uma quinta-feira;
10)
A sentença seguinte é seguida de um número entre parênteses, que corresponde ao número
de letras de uma palavra que se aplica à definição dada.
“Montes de areia formados pela ação do vento.” (5)
A alternativa em que se encontra a letra inicial de tal palavra é:
a) T;
d) A;
b) S;
e) D.
c) O;
11)
Segundo um determinado critério, foi construída a sucessão seguinte em que cada termo
é composto de uma letra seguida de um número:
A1 – C2 – F3 – J4 – ?5
Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letras K, Y e W, então, de
acordo com esse critério, a letra que deverá substituir o ponto de interrogação é:
a) M;
d) P;
b) N;
e) Q.
c) O;
12)
Os dois primeiros pares de palavras a seguir foram formados segundo determinado critério.
Argumentar – tara
Oriental – talo
Antecederam – ?
Segundo o mesmo critério, a palavra que deveria estar no lugar do ponto de interrogação é:
a) dama;
d) tece;
b) anta;
e) rama.
c) dera;
379
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
ELSEVIER
13)
No quadro seguinte, os símbolos ♥ e ♣ substituem as operações que devem ser efetuadas
em cada linha a fim de obter o correspondente resultado que se encontra na coluna da
extrema direita.
18
♥
2
♣
5
=
4
44
♥
4
♣
6
=
5
65
♥
5
♣
4
=
?
Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser
substituído pelo número:
a) 8;
d) 11;
b) 9;
e) 12.
c) 10;
14)
A sentença seguinte apresenta duas lacunas que devem ser preenchidas com palavras
que têm a mesma relação com as palavras grifadas, ou seja, a primeira palavra (grifada)
deverá ter para com a segunda a mesma relação que a terceira (grifada) tem para com
a quarta.
Atleta está para ............. assim como intelectual está para ................
As palavras que preenchem corretamente as duas lacunas são, respectivamente:
a) corpo – mente;
b) vigor – presunção;
c) esporte – reunião;
d) boxe – conferência;
e) saúde – doença.
15)
Sabendo que em qualquer dado a soma dos pontos marcados em faces opostas é igual
a 7, qual das figuras seguintes não representa a planificação de um dado?
16)
380
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
a)
b)
d)
e)
c)
Certo dia, um agente entregou cópias de um processo em seis seções do Tribunal de
Contas do estado da Paraíba. Se duas dessas seções receberam apenas uma cópia do
processo e as demais receberam três cópias a mais do que cada uma delas, então, nesse
dia, o número exato de cópias de tal processo que foram entregues por tal agente era:
a) 20;
d) 14;
b) 18;
e) 12.
c) 16;
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
17)
Sinésio pretendia ligar para um amigo, mas esqueceu os dois últimos dígitos do número
do telefone desse amigo. Lembrava-se apenas dos números iniciais 5613–49? ?. Como
ele sabia que o número não tinha algarismos repetidos, quantas possibilidades existem
para o número de tal telefone?
a) 6.
d) 14.
b) 9.
e) 18.
c) 12.
18)
Analise a figura seguinte:
Dos desenhos seguintes, aquele que pode ser encontrado no interior da figura dada é:
a)
b)
d)
e)
c)
26.41. FCC/MPE-PE/Analista/2006
1)
De um grupo de cinco homens (A, B, C, D e E) e seis mulheres (M, N, O, P, Q e R), deverá ser
formado um grupo de trabalho constituído de três homens e três mulheres, satisfazendo
as seguintes condições:
• A se recusa a trabalhar com M e Q;
• B se recusa a trabalhar com N e P;
• C se recusa a trabalhar com P e R;
• D se recusa a trabalhar com N e R;
• E se recusa a trabalhar com N e Q;
• Q se recusa a trabalhar com N e R.
Se Q pertencer ao grupo, então os outros membros desse grupo serão:
a) B, C, E, O e P;
b) B, C, D, M e O;
c) B, C, D, M e P;
d) B, C, D, N e O;
e) B, D, E, M e O.
381
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
2)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Observe a seguir que há uma relação entre as duas primeiras figuras.
Se a mesma relação é válida entre a terceira e a quarta figuras, então a quarta figura é:
382
a)
b)
d)
e)
c)
3)
Para a implementação de uma biblioteca, um analista ministerial foi incumbido de dar
plantões, num período de 30 dias. Durante esse período, observou-se que:
• sempre que deu plantão de manhã, também deu plantão à tarde;
• houve 10 manhãs e 6 tardes sem plantão.
Nessas condições, é verdade que houve:
a) 7 dias sem plantão;
b) 6 dias de plantão só de manhã;
c) 4 dias de plantão só à tarde;
d) 22 dias de plantão de manhã e de tarde;
e) 28 dias de plantão de manhã ou de tarde.
4)
Na beira de uma lagoa circular existe, entre outras coisas, um bebedouro (B), um telefone
público (T) e uma cerejeira (C). Curiosamente, uma pessoa observou que, caminhando
de:
• B a T, passando por C, percorreu 455,30 metros;
• C a B, passando por T, percorreu 392,50 metros;
• T a C, passando por B, percorreu 408,20 metros.
O perímetro da lagoa, em metros, é igual a:
a) 942;
d) 628;
b) 871;
e) 571.
c) 785;
5)
Das cinco ternas a seguir, quatro delas têm uma característica comum, baseada em
operações com seus elementos, enquanto uma delas não tem essa característica.
(9, 1, 3) – ( 3, 2, 1) – (2, 3, 4) – (7, 4, 1) – (8, 5, 2)
A terna que não possui essa característica comum é a terna:
a) (9, 1, 3);
d) (7, 4, 1);
b) (3, 2, 1);
e) (8, 5, 2).
c) (2, 3, 4);
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
26.42. NCE-UFRJ/Cepel/Assistente Administrativo e
Financeiro/2006
1)
Em uma comunidade, se A representa o conjunto de pessoas que usam o ônibus como
principal meio de transporte, B indica o conjunto de pessoas que usam o automóvel
e C é o conjunto das que utilizam o metrô, então o complemento da união de A com B
representa o conjunto de pessoas que, como principal meio de transporte:
a) usam os três meios;
b) usam apenas o metrô ou não usam nenhum desses três meios;
c) usam dois dos três meios, mas não usam os três;
d) usam pelo menos um dos três meios;
e) não usam mais do que um desses três meios.
2)
Em uma empresa há cinco técnicos em eletrotécnica e quatro técnicos em edificações.
Se quatro desses técnicos forem escolhidos ao acaso para um curso de treinamento em
segurança do trabalho, a probabilidade de que dois sejam técnicos em edificações e dois
sejam técnicos em eletrotécnica é, aproximadamente, de:
a) 48%;
d) 66%;
b) 55%;
e) 72%.
c) 61%;
3)
Judson tem uma coleção de 156 moedas. Ele resolveu que, a partir desse mês, incluirá
seis novas moedas, a cada mês, em sua coleção. Nesse caso, daqui a 32 meses, Judson
terá a seguinte quantidade de moedas em sua coleção:
a) 256;
d) 342;
b) 288;
e) 362.
c) 322;
4)
Observe o polígono a seguir:
A soma dos ângulos externos desse polígono é igual a:
a) 980º;
d) 1.580º;
b) 1.200º;
e) 1.620º.
c) 1.420º;
5)
A figura a seguir mostra um setor circular de 42º e 3 cm de raio que
foi reproduzido cinco vezes; em seguida, todos foram unidos pelo
vértice.
A área da figura, em cm, é aproximadamente igual a:
a) 13,8;
d) 20,8;
b) 16,5;
e) 22,9.
c) 18,4;
383
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
26.43. UFRJ/ANTT/Técnico/2005
1)
A tabela a seguir apresenta um resumo dos dados de transporte rodoviário coletivo
interestadual e internacional de passageiros no Brasil em 2002.
Quantidade de empresas
Quantidade de veículos (ônibus)
Quantidade de motoristas
Passageiros transportados
Viagens realizadas
Distância percorrida pela frota (km)
Fonte: ANTT
2)
213
13.567
22.984
135.749.449
4.352.144
1.472.368.730
Com base nesses dados, e considerando que todos os motoristas percorreram
aproximadamente a mesma distância, podemos concluir que cada motorista percorreu,
em 2002, a seguinte distância em quilômetros, aproximadamente:
a) 1.200.000;
d) 3.000;
b) 500.600;
e) 200.
c) 64.000;
O diagrama a seguir apresenta a distribuição dos vários tipos de transportes de cargas
no país em 2000:
Fonte: ANTT
Assinale a opção que melhor indica o percentual do transporte ferroviário no total de
cargas transportado no país, em 2000:
a) 20%;
d) 60%;
b) 40%;
e) 70%.
c) 50%;
3)
384
Um adesivo colado em um caminhão de carga indica: “CARGA MÁXIMA 1 TON”, o que
significa que aquele caminhão pode transportar, com segurança, no máximo uma tonelada
de carga. O caminhão será abastecido com caixas de um certo produto. Cada caixa tem um
peso bruto de 4.250g. Nesse caso, o caminhão poderá transportar, no máximo, a seguinte
quantidade de caixas:
a) 23;
b) 24;
c) 205;
d) 235;
e) 2.350.
Capítulo 26 I Provas
4)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Os dados a seguir são um resumo de uma nota fiscal que mostra, para cada produto
comprado, o preço de uma unidade do produto e a quantidade adquirida do produto.
Produto
purificador de água
filtro p/ purificador
fogão elétrico
lanterna
Preço unitário (R$)
550,00
84,50
440,00
64,60
Quantidade
02
04
01
05
O valor total da compra descrita, em reais, foi:
a) 1.550,00;
b) 2.124,60;
c) 2.201,00;
d) 2.358,80;
e) 2.569,90.
5)
6)
7)
Um artista plástico pretende fazer uma obra que apresentará três esferas, cada uma
com 10 cm de raio, dispostas, uma sobre a outra, no interior de uma peça cilíndrica
transparente cujo interior tem 20 cm de diâmetro e 60 cm de altura. O artista vai
preencher o espaço que ficará vazio no interior do cilindro, depois de postas as esferas,
com um líquido translúcido. O volume a ser preenchido com o líquido, em cm, vale,
aproximadamente:
a) 1.260;
d) 5.350;
b) 3.570;
e) 6.280.
c) 4.240;
Um comerciante aumentou o preço de um certo produto em 30%. Como a venda do produto
caiu, o comerciante, arrependido, pretende dar um desconto no novo preço de modo a
fazê-lo voltar ao valor anterior ao aumento. Nesse caso, o comerciante deve anunciar
um desconto de, aproximadamente:
a) 15%;
d) 28%;
b) 19%;
e) 30%.
c) 23%;
Ao fazer uma divisão entre dois números inteiros, numa calculadora, Josimar obteve, no
visor, como resultado, 0,1234123412341234. Assinale o item que pode indicar a divisão
feita por Josimar:
1234
a)
;
999
b)
c)
1234
;
1000
12
;
34
d)
12341234
;
9000000
e)
1234 .
9999
385
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
8)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Gumercindo comprou um lote que tinha a forma de um triângulo isósceles de lados
400 m, 250 m e 250 m. Ele está pensando em dividir seu terreno em quatro lotes, como
mostra a figura:
Na figura, as linhas tracejadas representam alturas dos respectivos triângulos e indicam
o planejamento de Gumercindo para a divisão do lote que resultará, evidentemente, em
dois lotes maiores de mesma área A e dois lotes menores de mesma área B. A razão A/B
é então igual a:
a) 10/7;
d) 16/9;
b) 12/5;
e) 9/5.
c) 14/8;
9)
Agenor está fazendo um curso de especialização. O curso é dividido em módulos, e cada
módulo tem um certo número de créditos, dependendo da importância do módulo. O
coeficiente de rendimento do aluno é a média ponderada das notas por ele obtidas nos
respectivos módulos, tendo como pesos os créditos correspondentes. A tabela a seguir
apresenta as notas obtidas por Agenor e o número de créditos de cada módulo:
Módulo
I
II
III
IV
V
VI
No de créditos
4
5
5
3
3
5
Nota
6,0
7,0
8,0
6,0
6,0
9,0
O coeficiente de rendimento de Agenor no curso é igual a:
a) 6,4;
b) 6,8;
c) 7,0;
d) 7,2;
e) 7,6.
10)
386
No planejamento de um certo setor, o chefe distribuiu as 82 tarefas do mês por seus
três funcionários de modo que Maria ficou com sete tarefas a mais que Josias, que, por
sua vez, recebeu menos 15 tarefas que Inácio. O produto entre o número de tarefas de
Maria e de Inácio é igual a:
a) 945;
b) 894;
c) 732;
d) 710;
e) 697.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
11)
As raízes da equação x2 + mx + n = 0 são 5 e –1. A soma dos valores das constantes m e
n é igual a:
a) –9;
d) 1;
b) –5;
e) 5.
c) 0;
12)
A média aritmética dos pesos de 19 pessoas que entraram num elevador é igual a 70 kg.
Se entrar mais uma pessoa, que pesa 82 kg, a nova média dos pesos das 20 pessoas, em
kg, será igual a:
a) 80,2;
d) 71,2;
b) 76,3;
e) 70,6.
c) 72,0;
13)
Três números inteiros, M, N e O, quando decompostos em fatores primos, podem ser
escritos como:
M = 2a × 3b × 5c × 7d × 11e × 13f × 17g
N = 2h × 3i × 5i × 7k × 11l × 13m × 17n
O = 20 × 3p × 5q × 7r × 11s × 13t × 17u
onde os expoentes a, b, ..., h, i, ..., o, p, ..., u são todos números inteiros positivos.
Nesse caso, não é correto afirmar que:
a) M, N e O são divisíveis por 210;
b) M, N e O são múltiplos de 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17;
c) M pode ser múltiplo de N e de O;
d) M, N e O não são múltiplos de 31;
e) o máximo denominador comum de M, N e O é 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17.
14)
Numa praça de pedágio, quatro cabines abertas durante 8 horas por dia são capazes de
atender a 22.400 veículos por semana. Nesse caso, se num feriado forem abertas oito
cabines, em seis horas pode ser atendida a seguinte quantidade de veículos, no máximo:
a) 4.200;
b) 4.800;
c) 5.200;
d) 5.600;
e) 6.000.
26.44. MPE-AM/Agente Administrativo/Cespe/2008
1)
Julgue os itens seguintes, que versam acerca de estruturas lógicas, lógica de argumentação e diagramas lógicos.
( ) Considere que o aniversário de Mariana ocorre no mês de janeiro, cujo mês/calendário do ano de 2007 é mostrado a seguir.
janeiro/2007
domingo
7
14
21
28
segunda
1
8
15
22
29
terça
2
9
16
23
30
quarta
3
10
17
24
31
quinta
4
11
18
25
sexta
5
12
19
26
sábado
6
13
20
27
387
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Nessa situação, se o número correspondente à data do aniversário de Maria­na tem dois
algarismos, a diferença entre eles é igual a 6 e, em 2007, o seu aniversário não ocorreu
em uma quarta-feira, então o aniversário de Mariana ocorreu em uma segunda-feira.
2)
(
3)
O texto abaixo deve ser utilizado como base para resolução das questões de 3 a 5:
Toda afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa é denominada proposição.
Considere que A e B representem proposições básicas e que as expressões A ∨ B e ¬A
sejam proposições compostas. A proposição A ∨ B é F quando A e B são F, caso contrário,
é V, e ¬A é F quando A é V, e é V quando A é F. De acordo com essas definições, julgue os
itens a seguir.
( ) Independentemente da valoração V ou F atribuída às proposições A e B, é correto
concluir que a proposição ¬(A ∨ B) ∨ (A ∨ B) é sempre V.
( ) Se a afirmativa “todos os beija-flores voam rapidamente” for considerada falsa,
então a afirmativa “algum beija-flor não voa rapidamente” tem de ser considerada
verdadeira.
( ) Se a proposição A for F e a proposição (¬A) ∨ B for V, então, obrigatoriamente, a
proposição B é V.
4)
5)
6)
7)
8)
388
)
Considere que, no fluxograma ilustrado abaixo, as instruções devam ser executadas
seguindo o fluxo das setas, de acordo com a avaliação verdadeira — V —, ou falsa —
F —, da expressão lógica que ocorre em cada caixa oval. Nessa situação, a execução do fluxograma termina em ACEITA se, e somente se, A e B forem ambas V.
Com respeito aos princípios básicos da contagem de elementos de um conjunto finito,
julgue os itens de 6 a 8.
( ) A quantidade de números divisíveis por 5 existente entre 1 e 68 é inferior a 14.
( ) Considere que, em um edifício residencial, haja uma caixa de correspondência para
cada um de seus 79 apartamentos e em cada uma delas tenha sido instalada uma
fechadura eletrônica com código de 2 dígitos distintos, formados com os algarismos
de 0 a 9. Então, de todos os códigos assim formados, 11 deles não precisaram ser
utilizados.
( ) Considere que um código seja constituído de 4 letras retiradas do conjunto {q, r, s,
t, u, v, w, x, y, z}, duas barras e 2 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0
a 9. Nessa situação, se forem permitidas repetições das letras e dos algarismos,
então o número de possíveis códigos distintos desse tipo será igual a 102(102 + 1).
Capítulo 26 I Provas
9)
10)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Julgue os itens seguintes, relativos a conceitos básicos de probabilidade.
( ) Ao se lançar dois dados não viciados, a probabilidade de se obter pelo menos um
número ímpar é superior a 5/6.
( ) Considere que, em um jogo em que se utilizam dois dados não viciados, o jogador
A pontuará se, ao lançar os dados, obtiver a soma 4 ou 5, e o jogador B pontuará
se obtiver a soma 6 ou 7. Nessa situação, é correto afirmar que o jogador 2 tem
maior probabilidade de obter os pontos esperados.
26.45. TCE-AC/Analista/Cespe/2008
Texto para as questões de 1 a 4:
Proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira — V —, ou falsa — F —,
mas não como V e F simultaneamente. Letras maiúsculas do alfabeto são frequentemente usadas para simbolizar uma proposição básica. A expressão A ∧ B simboliza a
proposição composta “A e B” e tem valor lógico V somente quando A e B forem V, nos
demais casos, será F. A expressão A ∨ B simboliza a proposição composta “A ou B” e tem
valor lógico F somente quando A e B forem F, nos demais casos, será V. A expressão da
forma ¬A é a negação da proposição A, e possui valores lógicos contrários aos de A. A
expressão A → B é uma proposição composta que tem valor lógico F somente quando
A for V e B for F, e nos demais casos, será V, e pode ser lida como: “se A então B”. Uma
argumentação lógica correta consiste de uma sequência finita de proposições, em que
algumas, denominadas premissas, são V, por hipótese, e as demais, as conclusões, são
V por consequência da veracidade das premissas e de conclusões anteriores.
1)
Considere que as seguintes proposições são premissas de um argumento:
•
•
César é o presidente do tribunal de contas e Tito é um conselheiro.
César não é o presidente do tribunal de contas ou Adriano impõe penas disciplinares
na forma da lei.
•
Se Adriano é o vice-presidente do tribunal de contas, então Tito não é o corregedor.
Com base nas definições apresentadas no texto acima, assinale a opção em que a proposição apresentada, junto com essas premissas, forma um argumento correto.
a) Adriano não é o vice-presidente do tribunal de contas.
b) Se César é o presidente do tribunal de contas, então Adriano não é o corregedor.
c) Se Tito é corregedor, então Adriano é o vice-presidente do tribunal de contas.
d) Tito não é o corregedor.
e) Adriano impõe penas disciplinares na forma da lei.
2)
Ainda com base nas definições do texto, é correto afirmar que a proposição simbolizada
por ((¬A) ∨ B) ∧ (A ∨ (¬B)) possui os mesmos valores lógicos que a proposição simbolizada
por:
a) (B→A) ∨ (¬A→¬B);
d) (B ∨ A) ∨ (¬A→¬B);
b) (B ∨ A) ∨ ((¬A) ∨ (¬B));
e) (B→A) ∨ (¬A) ∨ (¬B)).
c) (B ∧ A) ∨ ((¬A) ∧ (¬B));
389
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
3)
Considere que as proposições abaixo sejam premissas de determinado argumento:
•
Se Roberto é brasileiro, então Roberto tem plena liberdade de associação.
•
Roberto não tem plena liberdade de associação ou Magnólia foi obrigada a associar-se.
•
Se Carlos não interpretou corretamente a legislação, então Magnólia não foi obrigada a associar-se.
Assinale a opção que correspondente à proposição que é verdadeira por consequência
da veracidade dessas premissas.
a) Roberto não é brasileiro nem tem plena liberdade de associação.
b) Se Roberto é brasileiro, então Carlos interpretou corretamente a legislação.
c) Se Carlos não interpretou corretamente a legislação, então Roberto é brasileiro.
d) Carlos interpretou corretamente a legislação ou Magnólia foi obrigada a associar-se.
e) Se Magnólia foi obrigada a associar-se, então Roberto não tem plena liberdade de associação.
4)
Considere a tabela abaixo, que contém valorações de proposições simples A, B e C.
A
V
F
V
B
F
V
F
C
V
F
F
Nesse caso, assinale a opção correspondente à proposição composta a partir de A, B e
C que é sempre V para cada linha de valorações de A, B e C conforme a tabela.
a) [A ∧ (¬B) ∧ C] ∨ [(¬A) ∧ B ∧ (¬C)] ∨ [A ∧ (¬B) ∧ (¬C))]
b) [A ∧ B ∧ C] ∨ (¬A) ∧ B ∧ (¬C)] ∨ [A ∧ (¬B) ∧ (¬C)]
c) [A ∧ (¬B) C] ∨ [A B (¬C)] ∨ [A (¬B) (¬C)]
d) [A (¬B) ∧ C] ∨ [(¬A) ∧ B ∧ (¬C)] ∨ [(¬A) ∧ B ∧ C]
e) [A ∧ B ∧ C] ∨ [(¬A) ∧ B ∧ C] ∨ [A ∧ (¬B) ∧ (¬C)]
5)
A tabela abaixo deve ser preenchida com os algarismos de 1 até 6, de modo que em
cada linha e em cada coluna não se repitam algarismos, e que em cada uma das tabelas
menores de 2 linhas e 3 colunas cada, que divide a tabela original em 6 tabelas menores,
apareçam todos os 6 algarismos de 1 a 6.
2
6
4
1
5
5
3
1
1
5
6
4
3
2
3
6
1
4
1
3
5
4
2
6
Um preenchimento correto para essa tabela permite concluir que os ele­mentos da 5a coluna, A, B, C, D, E e F, nomeados, respectivamente, da 1a linha até a 6a linha, são tais que:
a) A × B = E × F + C + D;
b) A × D = B + C + E + F;
c) A × E = (B + C) × (D + F) + 1;
d) A + B + C = D + E + F + 1;
e) A × D × F = (B + C) × E.
390
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
26.46. CGU/AFC/Esaf/2008
1)
Três meninos, Pedro, Iago e Arnaldo, estão fazendo um curso de informática. A professora sabe que os meninos que estudam são aprovados e os que não estudam não são
aprovados. Sabendo-se que: se Pedro estuda, então Iago estuda; se Pedro não estuda,
então Iago ou Arnaldo estudam; se Arnaldo não estuda, então Iago não estuda; se Arnaldo
estuda então Pedro estuda. Com essas informações pode-se, com certeza, afirmar que:
a) Pedro, Iago e Arnaldo são aprovados;
b) Pedro, Iago e Arnaldo não são aprovados;
c) Pedro é aprovado, mas Iago e Arnaldo são reprovados;
d) Pedro e Iago são reprovados, mas Arnaldo é aprovado;
e) Pedro e Arnaldo são aprovados, mas Iago é reprovado.
2)
Maria foi informada por João que Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de Denise.
Como Maria sabe que João sempre mente, Maria tem certeza que a afirmação é falsa.
Desse modo, e do ponto de vista lógico, Maria pode concluir que é verdade que:
a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise;
b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise;
c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise;
d) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina é prima de Denise;
e) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina não é prima de Denise.
√2
Sabendo que x = arc cos
e que y = arc sen 1 , então o valor da expressão cos (x – y)
2
2
é igual a:
a)
b)
c)
4)
[
√6 + √2
4
√6 – √2
4
√2
2
d)
√3 + √2
e)
√2
2
Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por xij, onde i representa
a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de
terceira ordem, constrói-se a matriz B(bij), também de terceira ordem, dada por:
b11 = a31 b12 = a32 b13 = a33
b21 = a21 b22 = a22 b23 = a23
b31 = a11 b32 = a12 b23 = a13
[
3)
391
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz
B é igual a:
a) 50;
d) –100;
b) –50;
e) 100.
c) 0;
5)
Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso,
três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os
três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a:
a) 0,10;
d) 0,20;
b) 0,12;
e) 0,24.
c) 0,15;
6)
Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência possui os lados a, b, c e d,
medindo (4x – 9), (3x + 3), 3x e 2x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b são
lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é igual a:
a) 25;
d) 40;
b) 30;
e) 50.
c) 35;
26.47. MPOG/Analista de Planejamento e Orçamento/Esaf/2008
392
1)
Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as
luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde
guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas.
Para que Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o
número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter
um par de mesma cor é igual a:
a) 30;
b) 40;
c) 246;
d) 124;
e) 5.
2)
Dois colegas estão tentando resolver um problema de matemática. Pedro afirma para
Paulo que X = B e Y = D. Como Paulo sabe que Pedro sempre mente, então, do ponto de
vista lógico, Paulo pode afirmar corretamente que:
a) X ≠ B e Y ≠ D;
b) X = B ou Y ≠ D;
c) X ≠ B ou Y ≠ D;
d) se X ≠ B, então Y ≠ D;
e) se X ≠ B, então Y = D.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
3)
No último mês, cinco vendedores de uma grande loja realizaram as seguintes vendas de
pares de calçados: Paulo vendeu 71, Ricardo 76, Jorge 80, Eduardo 82 e Sérgio 91. Ana
é diretora de vendas e precisa calcular a venda média de pares de calçados realizada
por estes cinco vendedores. Para este cálculo, a empresa disponibiliza um software
que calcula automaticamente a média de uma série de valores à medida que os valores
vão sendo digitados. Ana observou que, após digitar o valor de cada uma das vendas
realizadas pelos vendedores, a média calculada pelo software era um número inteiro.
Desse modo, o valor da última venda digitada por Ana foi a realizada por:
a) Sérgio;
d) Eduardo;
b) Jorge;
e) Ricardo.
c) Paulo;
4)
Se X > Y, então Z > Y; se X < Y, então Z > Y ou W > Y; se W < Y, então Z < Y; se W >
Y, então X > Y. Com essas informações pode-se, com certeza, afirmar que:
a) X > Y; Z > Y; W > Y;
b) X < Y; Z < Y; W < Y;
c) X > Y; Z < Y; W < Y;
d) X < Y; W < Y; Z > Y;
e) X > Y; W < Y; Z > Y.
5)
Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida
multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante
da matriz B é igual a:
a) 10-6;
d) 106;
5
b) 10 ;
e) 103.
10
c) 10 ;
6)
Sabe-se que os números x, y e z são números racionais. Sabe-se, também, que z =
x – 2√3
.
3 – y√3
Com essas informações, conclui-se que:
a) x.y = -6;
b) x + y = 6;
c) x.y = 0;
d) x/y = 6;
e) x.y =6.
7)
Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. Retirando-se, aleatoriamente,
três bolas sem reposição, a probabilidade de se obter todas da mesma cor é igual a:
a) 1/10;
b) 8/5;
c) 1/120;
d) 11/720;
e) 41/360.
393
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
8)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Beatriz aposentou-se e resolveu participar de um curso de artesanato. Em sua primeira
aula, ela precisou construir uma caixa retangular aberta na parte de cima. Para tanto,
Beatriz colou duas peças retangulares de papelão, medindo 200 cm2 cada uma, duas
peças retangulares, também de papelão, medindo 300 cm2 cada uma e uma outra peça
retangular de papelão medindo 600 cm2. Assim, o volume da caixa, em litros, é igual a:
a) 48;
b) 6;
c) 36;
d) 24;
e) 12.
26.48. Prefeitura de Várzea Paulista/Analista/UFRJ/NCE/2008
1)
Observe as cinco figuras a seguir, todas compostas a partir de duas formas geométricas
iguais:
A figura cuja composição destoa das demais é a:
a) I;
d) IV;
b) II;
e) V.
c) III;
394
2)
No planeta FLERK, existem os SPT, os GHU e os FES. Sabe-se que nem todo SPT é GHU,
mas todo FES é GHU e existem FES que são SPT, mas nem todos. Avalie as seguintes
conclusões acerca desses seres:
I – Todo GHU é SPT.
II – Existe ao menos um SPT que não é FES.
III – Se um GHU não é FES, então é SPT.
IV – Existe SPT que é FES e é GHU.
Estão corretas as conclusões:
a) I e II, apenas;
d) II, III e IV, apenas;
b) II e IV, apenas;
e) I, II, III e IV.
c) I, II e III, apenas;
3)
Observe a sequência: aBcD, cDeF, eFgH, gHiJ.
O próximo termo é:
a) hiJk;
b) IJkL;
c) iJkL;
d) hIjK;
e) jKlM.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
4)
Se tenho três bolas idênticas e duas cestas de cores diferentes onde guardá-las, posso
arrumar as bolas nas cestas de quatro modos distintos: ou ponho as três na primeira
cesta, ou ponho duas na primeira e uma na segunda, ou ponho uma na primeira e duas
na segunda ou ponho as três na segunda. Se tenho quatro bolas idênticas e três cestas
de cores diferentes, o número de modos diferentes de guardar as bolas nas cestas é
igual a:
a) 8;
d) 15;
b) 10;
e) 20.
c) 12;
5)
Um jogo consiste em se tentar preencher as 25 quadrículas do reticulado a seguir com
os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, de modo que em cada linha e em cada coluna cada algarismo
só apareça uma vez.
Por exemplo, uma configuração possível é:
1
2
3
4
5
2
3
4
5
1
3
4
5
1
2
4
5
1
2
3
5
1
2
3
4
No jogo a seguir, algumas quadrículas já estão preenchidas:
2
4
1
x
3
4
2
1
5
O algarismo da quadrícula marcada com X é:
a) 1;
d) 4;
b) 2;
e) 5.
c) 3;
6)
Na sequência a seguir, cada termo, a partir do terceiro, é obtido a partir de todos os
anteriores, por um mesmo princípio:
11, 12, 23, 46, 92, ...
395
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
O próximo termo dessa sequência é:
a) 184;
b) 202;
c) 216;
ELSEVIER
d) 252;
e) 306.
7)
“QUEM NUNCA COMEU MELADO QUANDO COME SE LAMBUZA”.
Considerando verdadeira essa sentença, avalie as seguintes conclusões:
I – Quem já comeu melado não se lambuza.
II – Quem não se lambuza não come melado.
III – Quem não come melado não se lambuza.
IV – Quem se lambuza não come melado.
A quantidade de conclusões apresentadas corretas é igual a:
a) 0;
d) 3;
b) 1;
e) 4.
c) 2;
8)
No tênis de mesa, cada partida é disputada por dois jogadores e sempre há um vencedor.
Num torneio, o perdedor de cada partida é eliminado e o vencedor passa para a rodada
seguinte. O torneio segue até uma última partida, que consagra o vencedor como o
campeão do torneio. Um grande torneio será organizado e reunirá 1.533 jogadores. Esse
torneio terá a seguinte quantidade de partidas:
a) 1.234;
b) 1.532;
c) 2.458;
d) 2.860;
e) 3.212.
9)
Maria escreveu, numa folha de papel, uma primeira linha só com os números 1 e 2, depois
escreveu uma segunda linha com os números 1, 2 e 3, depois uma terceira linha com 1,
2, 3 e 4 e assim sucessivamente, como ilustra o esquema a seguir:
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
.......
.......
Ao todo, Maria escreveu dez linhas de números. A soma de todos os números escritos
por Maria é igual a:
a) 175;
b) 185;
c) 210;
d) 260;
e) 285.
396
Capítulo 26 I Provas
10)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
No basquete, uma cesta pode valer 1, 2 ou 3 pontos. Na partida final do campeonato,
Chico “Mão-de-Ouro” fez 15 cestas, apenas uma delas de 1 ponto. Nesse caso, o mínimo
e o máximo de pontos que Chico pode ter feito valem, respectivamente:
a) 15 e 42;
b) 28 e 42;
c) 22 e 31;
d) 29 e 43;
e) 31 e 40.
26.49. TRT – 1a Região/Analista/Cespe/2008
Texto I – para as questões de 1 a 5:
Uma sentença que possa ser julgada como verdadeira — V — ou falsa — F — é denominada proposição. Para facilitar o processo dedutivo, as proposições são frequentemente
simbolizadas. Considere como proposições básicas as proposições simbolizadas por
letras maiúsculas do alfabeto, tais como, A, B, P, Q, etc. Proposições compostas são
formadas usando-se símbolos lógicos. São proposições compostas expressões da forma
P ∧ Q que têm valor lógico V somente quando P e Q são V, caso contrário vale F, e são
lidas como “P e Q”; expressões da forma P ∨ Q têm valor lógico F somente quando P e
Q são F, caso contrário valem V, e são lidas como “P ou Q”; expressões da forma P → Q
têm valor lógico F somente quando P é V e Q é F, caso contrário valem V, e são lidas como
“se P então Q”. Expressões da forma ¬P simbolizam a negação de P, e são F quando P é
V, e é V quando P é F.
1)
Com base nas informações do texto I, é correto afirmar que, para todos os possíveis
valores lógicos, V ou F, que podem ser atribuídos a P e a Q, uma proposição simbolizada
por ¬[P→ (¬Q)] possui os mesmos valores lógicos que a proposição simbolizada por:
a) ¬[¬(P→Q)];
b) P ∧ Q;
c) (¬P) ∨ Q;
d) (¬Q) →P;
e) ¬[(¬P) ∧ (¬Q)].
2)
Tendo em vista as informações do texto I, considere que sejam verdadeiras as proposições:
I – Todos advogados ingressam no tribunal por concurso público;
II – José ingressou no tribunal por concurso público; e
III – João não é advogado ou João não ingressou no tribunal por concurso público. Nesse
caso, também é verdadeira a proposição:
a) José é advogado.
b) João não é advogado.
c) Se José não ingressou no tribunal por concurso público, então José é advogado.
d) João não ingressou no tribunal por concurso público.
e) José ingressou no tribunal por concurso público e João é advogado.
397
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Texto II – para as questões de 3 a 5.
De acordo com a forma de julgamento proposta no texto I, as várias proposições contidas
no texto abaixo devem ser consideradas verdadeiras — V.
Em 1932, o Governo Provisório, chefiado por Getúlio Vargas, criou dois organismos destinados a solucionar conflitos trabalhistas: Comissões Mistas de Conciliação e Juntas de
Conciliação e Julgamento. As primeiras tratavam de divergências coletivas, relativas a
categorias profissionais e econômicas. Eram órgãos de conciliação, não de julgamento.
As segundas eram órgãos administrativos, mas podiam impor a solução às partes. A
Constituição de 1946 transformou a justiça do trabalho em órgão do Poder Judiciário.
A justiça trabalhista estruturou-se com base nas Juntas de Conciliação e Julgamento,
presididas por um juiz de direito ou bacharel nomea­do pelo presidente da República para
mandato de dois anos, e compostas pelos vogais indicados por sindicatos, representando os interesses dos trabalhadores e empregadores, para mandato também de dois
anos. A CF atribuiu a titulação de juiz aos representantes classistas, extinta pela EC no
24/1999, que também alterou a denominação das Juntas de Conciliação e Julgamento,
que passaram a se chamar Varas do Trabalho. Os magistrados ingressam na carreira
mediante concurso público de provas e títulos, exceção apenas é a admissão do quinto
constitucional, pelo qual advogados (OAB) e procuradores (MP) ingressam diretamente e
sem concurso no tribunal, indicados pelas respectivas entidades. As juntas julgavam os
dissídios individuais e os embargos opostos às suas decisões, quando o valor da causa não
ultrapassava seis salários mínimos nos estados de São Paulo e Rio de Janeiro (art. 894
da CLT, hoje com nova redação). O Tribunal Regional da 1a Região tinha jurisdição no 23o
Distrito Federal, Rio de Janeiro e Espírito Santo, sendo que, além das juntas já citadas,
funcionavam as de Niterói, Campos, Petrópolis, Cachoeiro de Itapemirim e Vitória. Só
existiam substitutos na sede e eram apenas quatro, que permaneceram nessa situação
durante doze anos.
3)
398
Com base nas informações do texto I, julgue os itens subsequentes, relativos às informações históricas apresentadas no texto II.
I – As Juntas de Conciliação e Julgamento tratavam de divergências coletivas ou a
justiça trabalhista estruturou-se com base nas Juntas de Conciliação e Julgamento.
II – Os magistrados ingressam na carreira mediante concurso público de provas orais
a respeito de direito trabalhista.
III – Se a justiça do trabalho não teve início como órgão meramente adminis­trativo,
então não houve alteração de sua competência na CF.
IV – Os representantes classistas têm a titulação de juiz desde a EC no 24/1999.
V – O Tribunal Regional da 1a Região tinha jurisdição no Distrito Federal, Rio de Janeiro
e Espírito Santo, sendo que, além das juntas já citadas, também havia São Paulo e
Minas Gerais.
São apresentadas proposições verdadeiras apenas nos itens:
a) I e II;
d) III e V;
b) I e III;
e) IV e V.
c) II e IV;
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
4)
Com respeito às informações apresentadas nos textos I a II, assinale a opção que representa uma proposição falsa — F.
a) Se as Comissões Mistas de Conciliação não eram órgãos de julgamento, então elas
não tratavam de divergências coletivas.
b) Se o valor da causa não ultrapassasse seis salários mínimos nos estados de São Paulo
e Rio de Janeiro, então as juntas julgavam os dissídios individuais.
c) O Tribunal Regional da 1a Região possuía juntas em Cachoeiro de Itapemirim e em
Campos.
d) Um procurador pode ser indicado para ingressar no TRT/1a Região sem realizar concurso público.
e) Se as juntas não julgavam os embargos opostos à sua decisão, então as comissões o
faziam.
5)
Com base nos dados do texto, a quantidade de maneiras distintas para se formar
uma comissão de representantes dos empregados terceirizados, composta por um
presidente, um vice-presidente e um secretário, de modo que nenhum deles possa
acumular cargos, é:
a) inferior a 682;
b) superior a 682 e inferior a 104;
c) superior a 104 e inferior a 681×103;
d) superior a 681×103 e inferior a 341×106;
e) superior a 341×106.
6)
Caso as empresas R e H sejam responsáveis pela manutenção de ar-condicionado e
possuam 17 e 6 empregados, respectivamente, à disposição do TRT, sendo que um deles
trabalhe para ambas as empresas, nesse caso, o número de maneiras distintas para se
designar um empregado para realizar a manutenção de um aparelho de ar condicionado
será igual a:
a) 5;
b) 11;
c) 16;
d) 22;
e) 102.
7)
Se, entre as 16 empresas contratadas para atender aos serviços diversos do TRT, houver
4 empresas que prestem serviços de informática e 2 empresas que cuidem da manutenção de elevadores, e uma destas for escolhida aleatoriamente para prestar contas dos
custos de seus serviços, a probabilidade de que a empresa escolhida seja prestadora
de serviços de informática ou realize a manutenção de elevadores será igual a:
a) 0,125;
b) 0,250;
c) 0,375;
d) 0,500;
e) 0,625.
399
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
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26.50. TRT – 1a Região/Técnico/Cespe/2008
Texto I – para as questões de 1 a 5.
1)
2)
Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira – V –, ou falsa –
F –, mas não V e F simultaneamente. Proposições simples são simbolizadas por letras
maiúsculas A, B, C etc., chamadas letras proposicionais. São proposições compostas
expressões da forma A ∨ B, que é lida como “A ou B” e tem valor lógico F quando A e B
forem F, caso contrário será sempre V; A ∧ B, que é lida como “A e B” e tem valor lógico
V quando A e B forem V, caso contrário será sempre F; ¬A, que é a negação de A e tem
valores lógicos contrários aos de A.
Considerando todos os possíveis valores lógicos V ou F atribuídos às proposições A e B,
assinale a opção correspondente à proposição composta que tem sempre valor lógico F.
a) [A∧(¬B)]∧[(¬A)∨B].
b) (A∨B)∨[(¬A)∧(¬B)].
c) [A∧(¬B)]∨(A∧B).
d) [A∧(¬B)]∨A.
e) A∧[(¬B)∨A].
Assinale a opção correspondente à proposição composta que tem exatamente 2 valores
lógicos F e 2 valores lógicos V, para todas as possíveis atribuições de valores lógicos V
ou F para as proposições A e B.
a) B∨(¬A).
b) ¬(A∧B).
c) ¬[(¬A)∧(¬B)].
d) [(¬A)∨(¬B)]∧(A∧B).
e) [(¬A)∨B]∧[(¬B)∨A].
Texto II – para as questões de 3 a 5.
Considere as seguintes informações da Secretaria de Recursos Humanos do TRT/RJ,
adaptadas do sítio www.trtrio.gov.br.
Secretaria de Recursos Humanos – Registro Funcional
I – Atualização de currículo – As solicitações de atualização de currículo, instruídas
com a documentação comprobatória – cópias dos diplomas ou dos certificados de
conclusão, devidamente autenticadas – serão encaminhadas à Divisão de Administração de Pessoal para registro, via Protocolo Geral.
II – Alteração de endereço – Em caso de mudança, o servidor deverá comunicar, o
quanto antes, seu novo endereço à Divisão de Administração de Pessoal, a fim de
manter sempre atualizados seus dados pessoais.
III – Identidade funcional – As carteiras de identidade funcional (inclusive segundas
vias) deverão ser solicitadas diretamente à Divisão de Administração de Pessoal
por meio de formulário próprio e mediante entrega de uma foto 3 × 4 atualizada.
As novas carteiras estarão disponíveis, para retirada pelo próprio interessado, no
prazo de dez dias úteis contados do recebimento do requerimento, naquela divisão.
400
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Terão direito à carteira funcional todos os magistrados e servidores ativos desta regional,
ocupantes de cargos efetivos, bem como os inativos e ocupantes de cargos em comissão
CJ.3 e CJ.4.
Ao se desligarem, por exoneração ou dispensa, os servidores deverão entregar à Divisão
de Administração de Pessoal suas carteiras funcionais e, ao se aposentarem, terão suas
carteiras funcionais substituídas, para fazer constar a situação de servidor inativo.
Para resolução das questões de 3 a 5, considere que todas as proposições contidas no
texto II tenham valor lógico V.
3)
Com base nos textos I e II, assinale a opção correspondente à proposição que tem valor
lógico V.
a) Os magistrados têm direito à carteira funcional, mas os servidores inativos não têm.
b) Em caso de mudança, o servidor deverá atualizar o novo endereço no prazo de 10 dias
úteis.
c) Somente os certificados de conclusão de cursos dos servidores precisam ser autenticados.
d) A identidade funcional é solicitada na Divisão de Administração de Pessoal ou no Protocolo
Geral.
e) Nem o servidor ativo nem o servidor que se aposentar precisam substituir suas carteiras funcionais.
4)
Assinale a opção correspondente à negação correta da proposição “Os ocupantes de
cargos em comissão CJ.3 e CJ.4 não têm direito à carteira funcional”.
a) Os ocupantes de cargos em comissão CJ.3 e CJ.4 têm direito à carteira funcional.
b) Os ocupantes de cargos em comissão CJ.3 ou os ocupantes de cargos em comissão
CJ.4 têm direito à carteira funcional.
c) Não é o caso de os ocupantes de cargos em comissão CJ.3 e CJ.4 terem direito à carteira
funcional.
d) Nem ocupantes de cargos em comissão CJ.3, nem CJ.4 não têm direito à carteira
funcional.
e) Os ocupantes de cargos em comissão CJ.3 não têm direito à carteira funcional, mas
os ocupantes de cargos em comissão CJ.4 têm direito à carteira funcional.
5)
Considere que as proposições a seguir têm valores lógicos V.
–
Catarina é ocupante de cargo em comissão CJ.3 ou CJ.4.
–
Catarina não é ocupante de cargo em comissão CJ.4 ou Catarina é juíza.
–
Catarina não é juíza.
Assinale a opção correspondente à proposição que, como consequência da veracidade
das proposições acima, tem valoração V.
a) Catarina é juíza ou Catarina ocupa cargo em comissão CJ.4.
b) Catarina não ocupa cargo em comissão CJ.3 nem CJ.4.
c) Catarina ocupa cargo em comissão CJ.3.
d) Catarina não ocupa cargo em comissão CJ.4 e Catarina é juíza.
e) Catarina não é juíza, mas ocupa cargo em comissão CJ.4.
401
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
6)
Considerando que as matrículas funcionais dos servidores de um tribunal sejam formadas
por 5 algarismos e que o primeiro algarismo de todas a matrículas seja o 1 ou o 2, então
a quantidade máxima de matrículas funcionais que poderão ser formadas é igual a:
a) 4 × 10³;
b) 1 × 104;
c) 2 × 104;
d) 2 × 105;
e) 3 × 105.
7)
Em um setor de uma fábrica trabalham 10 pessoas que serão divididas em 2 grupos de 5
pessoas cada para realizar determinadas tarefas. João e Pedro são duas dessas pessoas.
Nesse caso, a probabilidade de João e Pedro ficarem no mesmo grupo é:
a) inferior a 0,36;
b) superior a 0,36 e inferior a 0,40;
c) superior a 0,40 e inferior a 0,42;
d) superior a 0,42 e inferior a 0,46;
e) superior a 0,46.
8)
Caso 5 servidores em atividade e 3 aposentados se ofereçam como voluntários para a
realização de um projeto que requeira a constituição de uma comissão formada por 5
dessas pessoas, das quais 3 sejam servidores em atividade e os outros dois, aposentados,
então a quantidade de comissões distintas que se poderá formar será igual a:
a) 60;
b) 30;
c) 25;
d) 13;
e) 10.
26.51. Ministério do Trabalho e Emprego (MTE)/Fiscal do Trabalho/
Esaf/2006
1)
402
Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos
de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade
superior a 23 anos. Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de
15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número
de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de
candidatas é igual a:
a) 120;
b) 1220;
c) 870;
d) 760;
e) 1120.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
2)
Beatriz, que é muito rica, possui cinco sobrinhos: Pedro, Sérgio, Teodoro, Carlos e
Quintino. Preocupada com a herança que deixará para seus familiares, Beatriz resolveu
sortear, entre seus cinco sobrinhos, três casas. A probabilidade de que Pedro e Sérgio,
ambos, estejam entre os sorteados, ou que Teodoro e Quintino, ambos, estejam entre
os sorteados é igual a:
a) 0,8;
b) 0,375;
c) 0,05;
d) 0,6;
e) 0,75.
3)
Ana encontra-se à frente de três salas cujas portas estão pintadas de verde, azul e rosa.
Em cada uma das três salas encontra-se uma e somente uma pessoa – em uma delas
encontra-se Luís; em outra, encontra-se Carla; em outra, encontra-se Diana. Na porta
de cada uma das salas existe uma inscrição, a saber: Sala verde: “Luís está na sala de
porta rosa” Sala azul: “Carla está na sala de porta verde” Sala rosa: “Luís está aqui”.
Ana sabe que a inscrição na porta da sala onde Luís se encontra pode ser verdadeira ou
falsa. Sabe, ainda, que a inscrição na porta da sala onde Carla se encontra é falsa, e que a
inscrição na porta da sala em que Diana se encontra é verdadeira. Com tais informações,
Ana conclui corretamente que nas salas de portas verde, azul e rosa encontram-se,
respectivamente:
a) Diana, Luís, Carla;
b) Luís, Diana, Carla;
c) Diana, Carla, Luís;
d) Carla, Diana, Luís;
e) Luís, Carla, Diana.
4)
Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus
vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:
a) 11;
b) 12;
c) 10;
d) 15;
e) 18.
5)
Sabendo-se que 3 cos x + sen x = –1, então um dos possíveis valores para a tangente de
x é igual a:
a) –4/3;
b) 4/3;
c) 5/3;
d) –5/3;
e) 1/7.
403
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
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26.52. TRF – 3a Região/Analista/FCC/2007
404
1)
Se o dia 8 de março de um certo ano foi uma terça-feira, então o dia 30 de julho desse
mesmo ano foi:
a) uma quarta-feira;
b) uma quinta-feira;
c) uma sexta-feira;
d) um sábado;
e) um domingo.
2)
Considere que, em um determinado instante, P passageiros aguardavam seu voo em uma
sala de embarque de certo aeroporto. Na primeira chamada embarcaram os idosos, que
correspondiam à metade de P; na segunda, embarcaram as mulheres não idosas, cuja
quantidade correspondia à metade do número de passageiros que haviam ficado na sala;
na terceira, embarcaram alguns homens, em quantidade igual à metade do número de
passageiros que ainda restavam na sala. Se, logo após as três chamadas, chegaram à
sala mais 24 passageiros e, nesse momento, o total de passageiros na sala passou a ser
a metade de P, então na:
a) primeira chamada embarcaram 34 passageiros;
b) primeira chamada embarcaram 36 passageiros;
c) segunda chamada embarcaram 16 passageiros;
d) segunda chamada embarcaram 18 passageiros;
e) terceira chamada embarcaram 12 passageiros.
3)
Considere que as sentenças abaixo são verdadeiras. Se a temperatura está abaixo de 5o C,
há nevoeiro. Se há nevoeiro, os aviões não decolam. Assim sendo, também é verdadeira
a sentença:
a) Se não há nevoeiro, os aviões decolam.
b) Se não há nevoeiro, a temperatura está igual a ou acima de 5o C.
c) Se os aviões não decolam, então há nevoeiro.
d) Se há nevoeiro, então a temperatura está abaixo de 5o C.
e) Se a temperatura está igual a ou acima de 5o C os aviões decolam.
4)
Nos Jogos Panamericanos de 1971, na cidade de Cali, um quadro de resultados parciais
apresentava os três países com maior número de medalhas de ouro (105, 31 e 19), de
prata (73, 49 e 20) e de bronze (41, 40 e 25): Canadá, Cuba e EUA. Em relação a esse
quadro, sabe-se que:
−
os EUA obtiveram 105 medalhas de ouro e 73 de prata;
−
Cuba recebeu a menor quantidade de medalhas de bronze;
−
Canadá recebeu um total de 80 medalhas.
Nessas condições, esse quadro informava que o número de medalhas recebidas:
a) por Cuba foi 120;
d) pelos EUA foi 219;
b) por Cuba foi 115;
e) pelos EUA foi 218.
c) pelos EUA foi 220;
Capítulo 26 I Provas
5)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
O esquema abaixo representa a multiplicação de um número natural F por 8, resultando
em um número G.
1
8
x 8
2
Os círculos representam algarismos, que satisfazem às seguintes condições:
–
são distintos entre si;
–
são diferentes de zero;
–
o algarismo das centenas de F é maior do que o algarismo das centenas de G.
Determinando-se corretamente esses cinco algarismos, verifica-se que o algarismo:
a) dos milhares de F é 3;
b) das centenas de F é 3;
c) das unidades de F é 8;
d) das centenas de G é 5;
e) das unidades de G é 6.
26.53. TJ-PE/Oficial de Justiça/FCC/2007
1)
Observe a lei de formação usada para construir a sequência de malhas quadriculadas abaixo.
Segundo essa lei, a posição que o número 169 ocuparia em uma malha a 15 ×15 é:
1
3
a)
b)
c)
d)
e)
2
4
1
4
7
2
5
8
3
6
9
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
1 2 3 4
6 7 8 9
11 12 13 14
16 17 18 19
21 22 23 24
5
10
15
20
25
9a linha e 14a coluna;
10a linha e 8a coluna;
11a linha e 6a coluna;
12a linha e 4a coluna;
13a linha e 5a coluna.
2)
Para todo número inteiro x, define-se uma operação # como x# = 2 – 3x. Nessas condições,
#
o valor da expressão (– 2)# é:
a) –26;
d) 22;
b) –22;
e) 26.
c) –20;
3)
Considere a afirmação abaixo. Existem funcionários públicos que não são eficientes. Se
essa afirmação é falsa, então é verdade que:
a) nenhum funcionário público é eficiente;
b) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público;
c) todo funcionário público é eficiente;
d) nem todos os funcionários públicos são eficientes;
e) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos.
(
)
405
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
4)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
A sucessão de figuras abaixo foi construída da esquerda para a direita segundo determinado padrão.
?
De acordo com esse padrão, a figura que completa a sequência dada é:
a)
b)
c)
d)
e)
5)
406
Suponha que exista uma pessoa que só fala mentiras às terças, quartas e quintas-feiras,
enquanto que, nos demais dias da semana, só fala a verdade. Nessas condições, somente
em quais dias da semana seria possível ela fazer a afirmação “Eu menti ontem e também
mentirei amanhã”?
a) Terça e quinta-feira.
b) Terça e sexta-feira.
c) Quarta e quinta-feira.
d) Quarta-feira e sábado.
e) Quinta-feira e domingo.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
26.54. Analista/ANA/Esaf/2009
1)
Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% de águas turvas e 80% de
águas claras, que não se misturam. Logo abaixo desse ponto desemboca um afluente,
que tem um volume d’água 30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70%
de águas turvas e 30% de águas claras, que não se misturam nem entre si nem com as
do rio principal. Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que os
dois rios terão logo após se encontrarem.
a) 41%.
d) 49%.
b) 35%.
e) 55%.
c) 45%.
2)
Em um ponto de um canal, passam em média 25 barcos por hora quando está chovendo
e 35 barcos por hora quando não está chovendo, exceto nos domingos, quando a frequência dos barcos cai em 20%. Qual o valor mais próximo do número médio de barcos
que passaram por hora neste ponto, em um fim de semana, se choveu durante 2/3 das
horas do sábado e durante 1/3 das horas do domingo?
a) 24,33.
d) 27,00.
b) 26,83.
e) 30,00.
c) 25,67.
3)
Alguns amigos apostam uma corrida num percurso em linha reta delimitado com 20
bandeirinhas igualmente espaçadas. A largada é na primeira bandeirinha e a chegada
na última. O corredor que está na frente leva exatamente 13 segundos para passar pela
13a bandeirinha. Se ele mantiver a mesma velocidade durante o restante do trajeto, o
valor mais próximo do tempo em que ele correrá o percurso todo será de:
a) 17,54 segundos;
b) 19 segundos;
c) 20,58 segundos;
d) 20 segundos;
e) 21,67 segundos.
4)
Determinado rio passa pelas cidades A, B e C. Se chove em A, o rio transborda. Se chove
em B, o rio transborda e, se chove em C, o rio não transborda. Se o rio transbordou,
pode-se afirmar que:
a) choveu em A e choveu em B;
b) não choveu em C;
c) choveu em A ou choveu em B;
d) choveu em C;
e) choveu em A.
5)
Três esferas rígidas estão imóveis em uma superfície plana horizontal, sendo que cada
esfera está encostada nas outras duas. Dado que a maior delas tem um raio de 4 cm e
as outras duas têm raios de 1 cm, os pontos em que as esferas tocam o chão formam
um triângulo cuja área é:
407
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
a)
2
b)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
cm2
cm2
c) 2
d)
e)
6)
O determinante da matriz
B=
2
a

4+a
é:
a)
b)
c)
d)
e)
1
0
b
c
2+b
c


2bc + c - a;
2b - c;
a + b + c;
6 + a + b + c;
0.
7)
Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais próximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam
da mesma cor?
a) 11,53%;
d) 5,15%;
b) 4,24%;
e) 3,96%.
c) 4,50%;
8)
Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população, qual
o valor mais próximo da probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir
esta variação genética?
a) 0,98%;
d) 1,30%;
b) 1%;
e) 3,96%.
c) 2,94%;
26.55. Contador/Detran/Acre/Cesgranrio/2009
1)
408
Segundo a Agência Nacional de Saúde, integram o grupo de risco da gripe A(N1H1)
mulheres grávidas ou pessoas com problemas respiratórios. A esse respeito, analise
as afirmativas abaixo.
I.
Mulheres grávidas que não apresentem problemas respiratórios não integram o
grupo de risco.
II. Homens que apresentem problemas respiratórios integram o grupo de risco.
III. Mulheres grávidas que apresentem problemas respiratórios não integram o grupo
de risco.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
É(São) verdadeira(s), apenas, a(s) afirmativa(s):
a) III;
d) I e II;
b) II;
e) I.
c) I e III;
2)
Considere verdadeira a seguinte proposição: “Se x é par e y é ímpar, então z é par”.
Pode-se afirmar, corretamente, que:
a) se z é ímpar, então x é ímpar ou y é par;
b) se z é par, então x é par e y é ímpar;
c) se x é ímpar ou y é par, então z é ímpar;
d) se x é ímpar e y é par, então z é ímpar;
e) se x é ímpar e y é ímpar, então z é ímpar.
3)
A tabela abaixo classifica um grupo de adultos por sexo e por situação empregatícia.
Ainda que a tabela esteja incompleta, é possível afirmar corretamente, com relação a
esse grupo, que há:
Homens
Mulheres
Total
a)
b)
c)
d)
e)
4)
Empregados
33%
71%
Desempregados
Total
45%
100%
17% de mulheres desempregadas;
39% de desempregados;
65% de mulheres;
mais homens desempregados do que mulheres desempregadas;
mais homens empregados do que mulheres empregadas.
O silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo. Na sua forma padronizada, é constituído por três proposições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira,
conclusão. As premissas são juízos que precedem a conclusão. Em um silogismo, a
conclusão é consequência necessária das premissas. São dados 3 conjuntos formados
por 2 premissas verdadeiras e 1 conclusão não necessariamente verdadeira.
(I) Premissa 1: Ana é paulista.
Premissa 2: Todo corintiano é paulista.
Conclusão: Ana é corintiana.
(II) Premissa 1: Bruno é torcedor do Grêmio.
Premissa 2: Todo torcedor do Grêmio é gaúcho.
Conclusão: Bruno é gaúcho.
(III) Premissa 1: Cláudio é goiano.
Premissa 2: Nenhum torcedor do Náutico é goiano.
Conclusão: Cláudio não é torcedor do Náutico.
É(São) silogismo(s) o(s) conjunto(s):
a) III, somente;
d) I, II e III;
b) II e III, somente;
e) I, somente.
c) II, somente;
409
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
410
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
5)
Qual é a negação da proposição “Se Lino se esforça, então consegue”?
a) Se Lino não se esforça, então não consegue.
b) Se Lino consegue, então se esforça.
c) Lino se esforça e não consegue.
d) Lino não se esforça e não consegue.
e) Lino não se esforça e consegue.
6)
Em uma urna há 7 bolas: 3 brancas, 2 pretas, 1 verde e 1 azul. É correto afirmar que, se
dessa urna forem retiradas:
a) 6 bolas, necessariamente haverá uma bola branca;
b) 5 bolas, necessariamente haverá bolas de três cores diferentes;
c) 4 bolas, necessariamente todas terão cores diferentes;
d) 3 bolas, necessariamente todas serão brancas;
e) 2 bolas, necessariamente ambas terão cores iguais.
7)
Um dado é dito “comum” quando possui 6 faces numeradas de 1 a 6 e em que as faces
opostas somam sete. Deste modo, num dado comum, o 1 opõe-se ao 6, o 2 opõe-se ao 5 e
o 3 opõe-se ao 4. Um dado comum é lançado 3 vezes. Sabendo-se que os três resultados
são diferentes entre si e que somam 14, conclui-se que o:
a) maior valor obtido foi 5;
b) maior valor obtido foi 4;
c) menor valor obtido foi 4;
d) menor valor obtido foi 3;
e) menor valor obtido foi 2.
8)
Encontram-se a seguir uma pergunta e duas informações. Analise-as.
Pergunta: N é um número primo?
Informações:
(I) N é um número ímpar;
(II) N é múltiplo de 13.
A esse respeito, conclui-se que:
a) cada uma das informações, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente
à pergunta;
b) as duas informações, em conjunto, são insuficientes para que se responda corretamente
à pergunta;
c) as duas informações, em conjunto, são suficientes para que se responda corretamente
à pergunta e cada uma delas, sozinha, é insuficiente;
d) a segunda informação, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente à
pergunta e a primeira, insuficiente;
e) a primeira informação, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente à
pergunta e a segunda, insuficiente.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
9)
Mário e Mauro são dois irmãos. Mário sempre mente e Mauro sempre fala a verdade.
Uma pessoa os encontra e pergunta ao primeiro irmão: “Qual o seu nome?” A seguir,
pergunta ao segundo: “Seu irmão, ao responder, falou a verdade?”. As respostas obtidas:
a) foram Mário e não;
b) foram Mário e sim;
c) foram Mauro e não;
d) foram Mauro e sim;
e) dependem de quem é o primeiro irmão e quem é o segundo irmão.
10)
Em um sistema de criptografia, as palavras são codificadas de acordo com as seguintes
regras:
–
cada vogal deve ser substituída por um dentre os números 1, 2, 3, 4 e 5, sendo que
o 1 corresponde ao A, o 2 corresponde ao E, e assim por diante, conforme a ordem
em que as vogais aparecem no alfabeto;
–
cada consoante deverá ser substituída pela letra do alfabeto que a sucede. A letra
Z será substituída pela letra A.
Que palavra está codificada de acordo com esse sistema criptográfico?
Código
Palavra
a)
1A2EP
AZEDO
b)
CS1R3M
BRASIL
c)
D15R1
CAUSA
d)
A2CSB
ZEBRA
e)
M2US1
LETRA
26.56. Agente Administrativo/Funasa/Cesgranrio/2009
1)
A figura ilustra a planificação de um dado comum de 6 faces.
Montando-se o dado, o número da face oposta à face que contém o 1 é:
a) 6;
d) 3;
b) 5;
e) 2.
c) 4;
2)
Se Marcos levanta cedo, então Júlia não perde a hora. É possível sempre garantir que:
a) se Marcos não levanta cedo, então Júlia perde a hora;
b) se Marcos não levanta cedo, então Júlia não perde a hora;
c) se Júlia perde a hora, então Marcos levantou cedo;
d) se Júlia perde a hora, então Marcos não levantou cedo;
e) se Júlia não perde a hora, então Marcos levantou cedo.
411
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
3)
Em uma gaveta, há 6 lenços brancos, 8 azuis e 9 vermelhos. Lenços serão retirados, ao
acaso, de dentro dessa gaveta. Quantos lenços, no mínimo, devem ser retirados para
que se possa garantir que, dentre os lenços retirados haja um de cada cor?
a) 11.
d) 17.
b) 15.
e) 18.
c) 16.
4)
Ana, Lúcio, Márcia e João estão sentados ao redor de uma mesa circular, como ilustrado.
Sabe-se que João está de frente para Márcia que, por sua vez, está à esquerda de Lúcio.
É correto afirmar que:
a) Ana está de frente para Lúcio;
d) João está à esquerda de Lúcio;
b) Ana está de frente para Márcia;
e) Lúcio está à esquerda de Ana.
c) João está à direita de Ana;
26.57. Agente Censitário Supervisor/IBGE/Cesgranrio/2009
412
1)
Em uma rua há 10 casas do lado direito e outras 10 do lado esquerdo. Todas as casas
são numeradas de tal forma que, de um lado da rua, ficam as de número par e, do lado
oposto, as de número ímpar. Em ambos os lados, a numeração das casas segue uma
ordem crescente (ou decrescente, dependendo do sentido em que o observador caminha). Não há grandes diferenças entre os números de casas adjacentes e nem entre os
números daquelas que ficam frente a frente. Um agente censitário encontra-se nessa
rua, na porta da casa de número 76. Sem mudar de lado, ele segue em um sentido. Em
poucos segundos, percebe que está diante da porta da casa de número 72. Pretendendo
entrevistar o morador da casa de número 183, o mais provável é que ele precise:
a) continuar no mesmo sentido sem mudar de lado;
b) continuar no mesmo sentido, mas mudando de lado;
c) apenas atravessar a rua;
d) andar no sentido contrário sem mudar de lado;
e) andar no sentido contrário, mas mudando de lado.
2)
Um grupo é formado por N pessoas. O valor mínimo de N para que se tenha certeza de
que duas delas fazem aniversário no mesmo dia da semana é:
a) 7;
d) 12;
b) 8;
e) 14.
c) 10;
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
3)
Admita como verdadeiras as seguintes declarações:
•
todo matemático sabe física;
•
há médicos que não sabem física.
Com base nestas declarações, é correto concluir que há:
a) médicos que não são matemáticos;
d) físicos que são matemáticos;
b) médicos que são matemáticos;
e) físicos que são médicos.
c) médicos que sabem física;
4)
Depois de amanhã é segunda-feira, então, ontem foi:
a) terça-feira;
d) sexta-feira;
b) quarta-feira;
e) sábado.
c) quinta-feira;
5)
Um dado é dito “comum” quando faces opostas somam sete. Um dado comum é colocado
sobre uma mesa. Se o número da face voltada para cima é 2, o número da face em contato
com a mesa tem o número:
a) 1;
d) 5;
b) 3;
e) 6.
c) 4;
6)
Na conta de somar armada abaixo, A, B e C são algarismos distintos entre si. Um resultado possível para essa soma é:
AB
BC
+ CA
a) 55;
b) 56;
c) 65;
d) 67;
e) 77.
7)
Os anos bissextos têm 366 dias, um a mais do que aqueles que não são bissextos. Esse
dia a mais é colocado sempre no final do mês de fevereiro, que, nesses casos, passa a
terminar no dia 29. Certo ano bissexto começou em uma segunda-feira. O primeiro dia
do mês de março foi um(a):
a) domingo;
d) quinta-feira;
b) sábado;
e) quarta-feira.
c) sexta-feira;
8)
Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Para que, nessa urna, as bolas brancas
passem a representar 50% do total de bolas, é suficiente:
a) acrescentar 1 bola branca à urna;
b) acrescentar 2 bolas brancas à urna;
c) acrescentar 3 bolas brancas à urna;
d) retirar 1 bola branca da urna;
e) retirar 1 bola preta da urna.
9)
Aldo, Beto e Caio são amigos. Um deles é médico, o outro, jornalista e o terceiro, advogado. Sabe-se que:
• Beto não é o jornalista;
• Caio não é o médico;
• Aldo não é o advogado e nem o médico.
413
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
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Com base nas informações, conclui-se corretamente que:
a) Caio é o advogado;
d) Beto não é o médico;
b) Caio é o jornalista;
e) Aldo é o médico.
c) Beto é o advogado;
10)
A figura abaixo ilustra um quadrado com suas diagonais.
A
B
E
D
F
C
Os pontos A, B, C e D são os seus vértices. O ponto E está exatamente no centro do quadrado. O ponto F está sobre o lado BC, a mesma distância de B e de C. É correto afirmar
que a distância de:
a) A a B é maior do que a distância de A até C;
b) A a B é maior do que a distância de B até C;
c) A a C é maior do que a soma das distâncias de D a E e de C a E;
d) A a E é igual à distância de E a F;
e) C a D é menor do que a soma das distâncias de D a E e de C a E.
26.58. Analista/TermoMacaé/Cesgranrio/2009
1)
Um feirante utiliza uma balança de dois pratos para fazer as suas vendas. Entretanto,
ele possui apenas um peso de 1 kg, um peso de 3 kg e um peso de 5 kg. O feirante pode
usar um ou mais pesos em cada pesagem. Neste último caso, ele pode colocar os pesos
em um único prato ou distribuí-los pelos dois pratos.
Quantos valores inteiros positivos pode ter a massa de uma mercadoria a ser pesada,
para que o feirante consiga determiná-la com uma única pesagem?
a) 3.
d) 7.
b) 4.
e) 9.
c) 6.
414
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
2)
A negação da proposição “Se o candidato estuda, então passa no concurso” é:
a) o candidato não estuda e passa no concurso;
b) o candidato estuda e não passa no concurso;
c) se o candidato estuda, então não passa no concurso;
d) se o candidato não estuda, então passa no concurso;
e) se o candidato não estuda, então não passa no concurso.
3)
Como o ano de 2009 não é bissexto, ou seja, tem 365 dias, houve um dia que caiu exatamente no “meio” do ano. Assim, as quantidades de dias do ano de 2009 antes e depois
dessa data são iguais. Esse data foi:
a) 30 de junho;
d) 3 de julho;
b) 1 de julho;
e) 4 de julho.
c) 2 de julho;
4)
Dulce é mãe de Paulo e Dirce é filha única e é mãe de Pedro. Pedro é filho de José e primo
de Paulo. João é pai de Paulo e é filho único. Conclui-se que:
a) Dulce é irmã de José;
d) Paulo não tem irmãos;
b) Dirce é irmã de José;
e) Pedro é filho de Dulce.
c) José é primo de Paulo;
5)
Ana, Bruna, Cecília, Dora e Elisa são cinco meninas. Na tabela abaixo, os sinais de “+”,
“–” e “=” significam que a menina indicada na linha é, respectivamente, maior, menor
ou da mesma altura que a menina indicada na coluna.
Ana
Bruna
Cecília
Dora
Elisa
Ana
=
–
–
+
=
Bruna
+
=
–
+
+
Ao analisar a tabela, conclui-se que:
a) Bruna é a mais alta;
b) Elisa é a mais alta;
c) Dora é a mais baixa;
6)
Cecília
+
+
=
+
+
Dora
–
–
–
=
–
Elisa
=
–
–
+
=
d) Cecília é a mais baixa;
e) Ana tem a mesma altura de Dora.
Considere verdadeiras as proposições a seguir.
–
Se Roberto casar, seu irmão Humberto será convidado.
–
Humberto não fala com seu primo Gilberto. Por isso, se Gilberto for convidado para
o casamento de Roberto, Humberto não irá.
–
Gilberto é orgulhoso e, por isso, só comparece em casamentos quando é convidado.
Sabendo que Humberto compareceu ao casamento de Roberto, conclui-se que:
a) Gilberto foi convidado para o casamento. Por isso, compareceu;
b) Gilberto não foi convidado para o casamento. Por isso, não compareceu;
c) Gilberto não foi convidado para o casamento, mas, mesmo assim, compareceu;
d) Gilberto não compareceu, ainda que tenha sido convidado;
e) Humberto não foi convidado, ainda que tenha comparecido.
415
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
7)
Três dados comuns são lançados sobre uma mesa fornecendo três resultados diferentes.
O maior dentre os números obtidos é, respectivamente, igual à soma e menor do que o
produto dos outros dois. A partir dessas informações, é possível concluir que o:
a) maior dos três números é 6;
b) maior dos três números é 5;
c) menor dos três números é 3;
d) menor dos três números é 2;
e) menor dos três números é 1.
8)
Para participar de um jogo, nove pessoas formam uma roda em que cada uma delas é
numerada, como ilustrado abaixo.
A partir de uma delas, excluindo-a da contagem, contam-se 5 pessoas no sentido horário. Essa 5a pessoa continua na roda, mas é eliminada do jogo, não participando das
próximas contagens. A partir dessa 5a pessoa, excluindo-a da contagem, contam-se, no
sentido horário, 5 pessoas que ainda estão no jogo. Essa 5a pessoa continua na roda,
mas é eliminada do jogo, não participando das próximas contagens e assim por diante,
até que reste apenas uma pessoa, que será declarada a vencedora.
Abaixo estão ilustradas as etapas do jogo, no caso de este ser iniciado pela pessoa de
número 1. Note que a pessoa de número 9 é a vencedora.
Se o jogo começar pela pessoa de número 3, a vencedora será aquela de número:
a) 2;
d) 6;
b) 3;
e) 9.
c) 5;
416
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
O enunciado a seguir refere-se às questões 9 e 10.
Proposição é toda sentença declarativa que pode ser classificada, unicamente, como
verdadeira ou como falsa. Portanto, uma proposição que não possa ser classificada como
falsa será verdadeira e vice-versa. Proposições compostas são sentenças formadas por
duas ou mais proposições relacionadas por conectivos.
Conectivo
Notação
Denominação
E
∧
Conjunção
Ou
∨
Disjunção
Se... então
→
Condicional
Se, e somente se
↔
Bicondicional
Não
~
Negação
9)
Sejam p e q proposições e ~p e ~q, respectivamente, suas negações. Se p é uma proposição verdadeira e q, uma proposição falsa, então é verdadeira a proposição composta:
a) p ∧ q;
b) ~p ∧ q;
c) ~p ∨ q;
d) ~p ∨ ~q;
e) ~p ↔ ~q.
10)
Duas proposições compostas são equivalentes se têm a mesma tabela de valores lógicos.
É correto afirmar que a proposição composta p → q é equivalente à proposição:
a) p ∧ q;
b) p ∨ q;
c) p → ~q;
d) ~p → ~q;
e) ~q → ~p.
26.59. Analista/Bacen/Cesgranrio/2010
1)
Com o objetivo de preservar a espécie durante o período reprodutivo, determinado
município estabeleceu um limite de pesca de camarão que dizia o seguinte: É permitida
a pesca de 3 kg de camarão e mais um camarão, não podendo haver mais do que 12 camarões com medida superior a 15 cm. Considere que uma pessoa pesque oito camarões,
todos com medida superior a 15 cm. Analise os procedimentos a seguir para decidir se
essa pescaria está dentro do limite permitido.
I.
Verificar se a soma dos pesos de todos menos o peso do mais pesado não ultrapassa
3 kg.
II. Verificar se a soma dos pesos de metade deles não ultrapassa 1,5 kg.
III. Verificar se a soma dos pesos de metade deles mais o peso do mais pesado ultrapassa 1,5 kg.
É (São) eficaz(es) APENAS o(s) procedimento(s):
a) I.
d) I e II.
b) II.
e) I e III.
c) III.
417
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
2)
O mês de fevereiro de um ano bissexto só terá cinco sábados se começar em um(a):
a) sábado;
d) quinta-feira;
b) domingo;
e) sexta-feira.
c) quarta-feira;
3)
Jonas possui 15 bolas visualmente idênticas. Entretanto, uma delas é um pouco mais
pesada do que as outras 14, que têm todas o mesmo peso.
Utilizando uma balança de dois pratos, semelhante à da figura acima, o número mínimo
de pesagens que deverão ser feitas para que se possa garantir que a bola que destoa
quanto ao peso será identificada é:
a) 2;
d) 5;
b) 3;
e) 6.
c) 4;
4)
Uma mesa de bilhar tem 5 m de comprimento e 3 m de largura e não possui caçapas.
A contar de suas quinas, a cada 1 m, está marcado um ponto. Ao todo, são 16 pontos,
incluindo essas quinas, como ilustra a Figura 1.
Um jogador dá uma forte tacada em uma bola que está em 1, lançando-a contra a tabela.
A bola choca-se contra o ponto 7, ricocheteia e segue em outra direção, preservando,
após cada choque, o mesmo ângulo que fazia com a tabela antes do choque (Figura 2).
418
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Após o primeiro choque, a bola continua a se chocar contra as tabelas e, a cada choque,
desvia sua trajetória como descrito anteriormente. Antes de parar, a bola chocou-se
cinco vezes contra as tabelas da mesa. O último ponto em que ela bateu na tabela foi o:
a) 6;
d) 3;
b) 5;
e) 2.
c) 4;
5)
Uma associação formada por três espelhos planos é construída no interior de uma
estrutura tubular. Em uma das figuras está ilustrado o trajeto de um raio de luz monocromático, através da estrutura, ocasionado pelas sucessivas reflexões, até atingir o
observador.
espelho 1
A
espelho 1
B
espelho 3
espelho 2
A D
B C
espelho 3
espelho 2
Observador
Uma placa de madeira ABCD, em forma de quadrado, é colocada de frente para a entrada da estrutura tubular. A disposição dos vértices A, B, C e D na imagem vista pelo
observador pode ser representada por:
D
C
A
B
B
C
A
D
C
B
D
A
D
A
C
B
A
D
B
C
a)
b)
c)
d)
e)
6)
;
;
;
;
.
Num famoso talk-show, o entrevistado faz a seguinte afirmação: “Toda pessoa gorda não
tem boa memória.” Ao que o entrevistador contrapôs: “Eu tenho boa memória. Logo,
não sou gordo.”
419
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Supondo que a afirmação do entrevistado seja verdadeira, a conclusão do entrevistador é:
a) falsa, pois o correto seria afirmar que, se ele não fosse gordo, então teria uma boa memória.
b) falsa, pois o correto seria afirmar que, se ele não tem uma boa memória, então ele
tanto poderia ser gordo como não.
c) falsa, pois o correto seria afirmar que ele é gordo e, portanto, não tem boa memória.
d) verdadeira, pois todo gordo tem boa memória.
e) verdadeira, pois, caso contrário, a afirmação do entrevistado seria falsa.
420
7)
Gabriel brinca com 24 moedas de R$ 1,00. Inicialmente, ele forma com elas três pilhas. Em
seguida, dobra a segunda pilha colocando nela moedas retiradas da primeira; depois, dobra
a terceira com moedas retiradas da segunda e, finalmente, dobra o que restou na primeira
pilha com moedas retiradas da terceira, ficando, assim, as três pilhas com o mesmo número
de moedas. O número de moedas que havia, no início, na pilha mais alta, era:
a) 6;
d) 11;
b) 7;
e) 12.
c) 8;
8)
Para selecionar um recruta dentre 225 voluntários, o sargento de determinado batalhão
os dispõe em um quadrado de 15 linhas por 15 colunas e, a princípio, manda sair o mais
alto de cada linha e denomina de A o mais baixo, dentre esses 15. Em seguida, faz com
que todos retomem suas posições no quadrado e, agora, manda sair o mais baixo de
cada coluna e denomina de B o mais alto, dentre esses 15.
Analise as seguintes situações:
I.
A ser mais alto do que B;
II. B ser mais alto do que A;
III. A e B serem a mesma pessoa.
É(São) possível(is) APENAS a(s) situação(ões)
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e III.
e) II e III.
9)
Analise as frases abaixo e assinale:
S: caso a declaração contenha um equívoco do ponto de vista da lógica verbal;
N: em caso contrário.
( ) Pretendendo acabar com as baratas que havia em sua casa, comprou remédio para
insetos.
( ) De acordo com o calendário de datas festivas do Brasil, em novembro há um feriado.
( ) Sua vida mudou radicalmente; pode-se dizer que deu um giro de 360º.
A sequência correta das letras, de cima para baixo, é:
a) S – N – N;
b) S – N – S;
c) S – S – N;
d) N – S – N;
e) N – S – S.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
26.60. Técnico/Bacen/Cesgranrio/2010
1)
Em uma disputa, há 34 pessoas: 20 homens e 14 mulheres. A cada etapa da competição,
três concorrentes são eliminados, sendo sempre 2 homens e 1 mulher. O número de
homens igualar-se-á ao número de mulheres após a eliminação de número:
a) 7;
d) 4;
b) 6;
e) 3.
c) 5;
2)
Considerando-se N um número inteiro e positivo, analise as afirmações seguintes,
qualquer que seja o valor de N:
I.
N2 + N + 1 é um número ímpar;
II. N(N + 1)(N + 2) é um número múltiplo de 3;
III. N2 tem uma quantidade par de divisores;
IV. N + (N + 1) + (N + 2) é um número múltiplo de 6.
A quantidade de afirmações verdadeiras é:
a) 1;
d) 4;
b) 2;
e) 0.
c) 3;
3)
Analise as afirmativas abaixo.
I.
A parte sempre cabe no todo.
II. O inimigo do meu inimigo é meu amigo.
III. Um professor de matemática afirma que todos os professores de matemática são
mentirosos.
Do ponto de vista da lógica, é(são) sempre verdadeira(s) somente a(s) afirmativa(s)
a) I.
d) II.
b) I e II.
e) III.
c) I e III.
4)
Um homem entra numa livraria, compra um livro que custa 20 reais e paga com uma nota
de 100 reais. Sem troco, o livreiro vai até a banca de jornais e troca a nota de 100 por 10
notas de 10 reais. O comprador leva o livro e 8 notas de 10 reais. Em seguida, entra o
jornaleiro dizendo que a nota de 100 reais é falsa. O livreiro troca a nota falsa por outra
de 100, verdadeira. O prejuízo do livreiro, em reais, sem contar o valor do livro, foi:
a) 200;
d) 80;
b) 180;
e) 20.
c) 100;
5)
Quatro casais divertem-se em uma casa noturna. São eles: Isabel, Joana, Maria, Ana,
Henrique, Pedro, Luís e Rogério. Em determinado momento, está ocorrendo o seguinte:
• a esposa de Henrique não dança com o seu marido, mas com o marido de Isabel;
• Ana e Rogério conversam sentados à beira do bar;
• Pedro toca piano acompanhando Maria que canta sentada ao seu lado;
• Maria não é a esposa de Pedro.
Considere a(s) afirmativa(s) a seguir.
421
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
I.
Rogério é o marido de Ana.
II. Luís é o marido de Isabel.
III. Pedro é o marido de Joana.
Está(ão) correta(s) somente a(s) afirmativa(s)
a) I.
d) II e III.
b) I e II.
e) III.
c) II.
6)
Existe uma regra prática de divisibilidade por 7 com o seguinte procedimento:
Separa-se o último algarismo da direita. Multiplica-se esse algarismo por 2 e tal resultado é subtraído do número que restou sem o algarismo à direita. Procede-se assim,
sucessivamente, até se ficar com um número múltiplo de 7, mesmo que seja zero.
Veja os exemplos a seguir:
1o) 23.457 é múltiplo de 7
2 3 4 5 7
–
1 4
7×2=14
2 3 3 1
–
2
1×2=2
2 3 1
–
2
1×2=2
2 1
(que é múltiplo de 7)
2o) 2.596 não é múltiplo de 7
2 5 9 6
–
1 2
6×2=12
2 4 7
– 1 4
7×2=14
1 0
(que não é múltiplo de 7)
Seja a um algarismo no número a13.477.307. O valor de a para que este número seja
divisível por 7 é:
a) 1;
d) 7;
b) 3;
e) 9.
c) 5;
7)
Uma escola organiza, para ocupar os seus recreios, um torneio de futebol de botão, com
16 participantes, que seguirá a tabela abaixo.
1a FASE
Jogo 1: A × B
Jogo 2: C × D
Jogo 3: E × F
Jogo 4: G × H
Jogo 5: I × J
Jogo 6: K × L
Jogo 7: M × N
Jogo 8: O × P
2a FASE
Jogo 9: vencedor do jogo 1 × vencedor do jogo 2
Jogo 10: vencedor do jogo 3 × vencedor do jogo 4
Jogo 11: vencedor do jogo 5 × vencedor do jogo 6
Jogo 12: vencedor do jogo 7 × vencedor do jogo 8
FASE SEMIFINAL
Jogo 13: vencedor do jogo 9 × vencedor do jogo 10
Jogo 14: vencedor do jogo 11 × vencedor do jogo 12
FINAL
Jogo 15: vencedor do jogo 13 × vencedor do jogo 14
Os jogos vão sendo disputados na ordem: primeiro, o jogo 1, a seguir, o jogo 2, depois,
o jogo 3 e assim por diante. A cada recreio, é possível realizar, no máximo, 5 jogos.
Cada participante joga uma única vez a cada recreio. Quantos recreios, no mínimo, são
necessários para se chegar ao campeão do torneio?
a) 3.
d) 6.
b) 4.
e) 7.
c) 5.
422
Capítulo 26 I Provas
8)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
André organizou 25 cartas de baralho como ilustra a Figura 1.
Luiza escolheu uma das cartas, mas não disse a André qual foi a escolhida. Disse-lhe
apenas que a carta escolhida está na terceira linha.
André retirou todas as cartas e as reorganizou, como ilustrado na Figura 2.
423
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Em seguida, André perguntou a Luiza em que linha, nessa nova arrumação, estava a
carta escolhida. Luiza respondeu que, desta vez, a carta estava na quarta linha. Qual foi
a carta escolhida por Luiza?
a) 6 de copas.
b) 7 de copas.
c) Ás de espadas.
d) Rei de espadas.
e) 2 de espadas.
424
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
26.61. Auditor Fiscal do Trabalho/MTE/Esaf/2010
1)
Em um grupo de pessoas, há 20 mulheres e 30 homens, sendo que 20 pessoas estão
usando óculos e 36 pessoas estão usando calça jeans. Sabe-se que, nesse grupo, i) há
20% menos mulheres com calça jeans que homens com calça jeans, ii) há três vezes
mais homens com óculos que mulheres com óculos, e iii) metade dos homens de calça
jeans estão usando óculos. Qual a porcentagem de pessoas no grupo que são homens
que estão usando óculos mas não estão usando calça jeans?
a) 5%.
b) 10%.
c) 12%.
d) 20%.
e) 18%.
2)
Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um
octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Logo:
a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.
b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.
c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não for
um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular.
d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou um
octaedro­ou um dodecaedro ou um icosaedro.
e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.
3)
Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de ciências humanas
e os outros 44% estudam em cursos da área de ciências exatas, que incluem matemática
e física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos
da universidade estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na
universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física entre os
alunos que estudam em cursos de ciências exatas?
a) 20,00%.
b) 21,67%.
c) 25,00%.
d) 11,00%.
e) 33,33%.
4)
O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens e
6 mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de
3 funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher?
a) 192.
b) 36.
c) 96.
d) 48.
e) 60.
425
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
26.62. Técnico Científico/BASA/Cespe/2010
1)
Texto para as questões 1 e 2: Julgue os itens seguintes a respeito de permutação e lógica
sentencial.
( ) Considerando que o anagrama da palavra ALARME seja uma permutação de letras
dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum, a quantidade de
anagramas distintos dessa palavra que começam por vogal é 360.
2)
(
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
) A sentença “como hoje o alarme não foi acionado, então José não foi ao banco e os
sensores não estavam ligados” é logicamente equivalente a “se José foi ao banco
ou os sensores estavam ligados, então hoje o alarme foi acionado”.
Texto para as questões 3 a 6: Suponha que um banco tenha um cartão especial para
estudantes, que já venha com senha de 4 algarismos escolhidos de 0 a 9 e atribuídos ao
acaso. Com relação a essa situação, julgue os itens subsequentes.
( ) Ao se realizar todas as combinações possíveis, com os algarismos 2 e 1 juntos,
nessa ordem, obtêm-se, no máximo, 192 senhas diferentes.
( ) Podem-se obter 2.016 senhas em que o 0 é, necessariamente, um, e somente um,
dos algarismos e os outros 3 algarismos são distintos.
( ) Ao se utilizar somente os algarismos 1, 3, 4 e 7, podem-se obter 12 senhas de
algarismos distintos e que não sejam maiores que 4.173.
( ) Dizer que “todas as senhas são números ímpares” é falsa, do ponto de vista lógico,
equivale a dizer que “pelo menos uma das senhas não é um número ímpar”.
Texto para as questões 7 a 10: Considerando que, dos 100 candidatos aprovados em um
concurso, 30 sejam mulheres, sendo que apenas 20% delas têm idade acima de 30 anos;
e, entre os homens, 40% têm idade acima de 30 anos, julgue os itens que se seguem.
( ) Selecionando-se, entre os referidos candidatos, somente homens com idade acima
de 30 anos, é possível formar mais de 20.000 grupos, não ordenáveis, de quatro
candidatos.
( ) Se forem separadas somente as mulheres acima de 30 anos e 10% dos homens,
então será possível formar 525 grupos diferentes de 5 pessoas, compostos por 3
homens e 2 mulheres.
( ) Se um candidato tiver de escolher, em ordem de preferência, 7 cidades para trabalhar, entre 10 apresentadas pelo banco, então haverá mais de 144 opções de
escolha para esse candidato.
( ) A negação da proposição “se Paulo está entre os 40% dos homens com mais de
30 anos, então Luísa tem mais de 30 anos” é “se Paulo não está entre os 40% dos
homens com mais de 30 anos, então Luísa não tem mais de 30 anos”.
26.63. Vunesp/Professor III Matemática/Pref. São Carlos
1)
426
Uma comissão de alunos recebeu orçamentos de duas empresas que se propõem a
organizar e promover as festividades de formatura de um certo colégio. A empresa A
cobra uma taxa fixa de R$ 1.000,00 mais R$ 50,00 por aluno participante, e a empresa
B cobra uma taxa fixa de R$ 1.900,00 mais R$ 45,00 por aluno participante. Para que a
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
proposta da empresa B seja economicamente mais vantajosa, o menor número de alunos
(n) participantes deve ser tal que:
a) n = 179;
b) n = 180;
c) n = 181;
d) n = 182;
e) n = 191.
2)
As figuras A, B e C representam 3 peças de cartolina, nas quais todos os ângulos são retos,
todos os lados menores têm comprimento 1 e todos os lados maiores têm comprimento
2.
Observe agora as figuras I, II e III:
I.
II.
III.
Utilizando-se apenas as 3 peças de cartolina, sem reposição, cortes ou superposição,
pode-se construir apenas a(s) figura(s):
a) I;
b) II;
c) III;
d) I e II;
e) I e III.
427
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
3)
8 cm;
10 cm;
12 cm;
15 cm;
18 cm.
A figura, com dimensões em metros, representa um terreno retangular vizinho de uma
pequena praça com a forma de um triângulo isósceles, ambos com frente para a Av. São
Carlos. Sabendo-se que a área do terreno é igual ao triplo da área da praça, pode-se
afirmar que a medida y, assinalada na figura, é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
428
ELSEVIER
A figura representa a planificação de uma caixa, feita em uma folha quadrada de papel
cartão. Para tanto, foram recortados, nos 4 cantos dessa folha, um quadradinho de 2 cm
de lado. Se a caixa tem volume igual a 128 cm³, então a folha quadrada original de papel
cartão tinha lado igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
4)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
6 m;
8 m;
10 m;
12 m;
16 m.
Capítulo 26 I Provas
5)
Num projeto paisagístico para um jardim, o terreno triangular ABC foi subdividido em
duas áreas triangulares, I e II, e uma região com a forma de um paralelogramo, identificado por III, na figura. A medida do lado ED do paralelogramo é:
a) 15 m;
b) 14 m;
c) 12 m;
6)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
d) 10 m;
e) 8 m.
Dadas as funções h(x) = x², g(x) = (x – 2)² + 3 e f(x) = (x + 2)² – 3, e os seus respectivos
gráficos, considere as seguintes afirmações:
I.
O gráfico da função g(x) é deslocado três unidades para cima e duas unidades para
a direita em relação à função h(x);
II. O gráfico da função f(x) é deslocado três unidades para baixo e duas unidades para
a esquerda em relação à h(x);
III. O vértice da parábola y = (x – m)² + k é representado pelo par ordenado (m,k).
Quanto a essas afirmações, está correto o contido em:
a) I, apenas;
b) I e II, apenas;
c) I e III, apenas;
d) II e III, apenas;
e) I, II e III.
429
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
26.64. Agente de Fiscalização de Trânsito/Vunesp/2007
1)
Uma piscina mede 60 m de comprimento e Luiza nada parte deste percurso em 1 minuto
e 30 segundos. Considerando que ela nada com velocidade constante, o tempo que Luiza
gasta para nadar o percurso completo da piscina é de:
a) 2 minutos e 30 segundos;
b) 2 minutos;
c) 1 minuto e 30 segundos;
d) 1 minuto e 15 segundos;
e) 1 minuto.
2)
A empresa onde Pedro trabalha tem 2 000 funcionários e na segunda-feira faltaram 100
deles, devido a problemas de transporte. Nesse mesmo dia, na empresa, houve uma
arrecadação de dinheiro em prol de uma entidade carente da comunidade. A metade
dos funcionários presentes contribuiu com R$ 2,00 cada um e outra metade contribuiu
com R$ 1,00 cada um. O total da arrecadação foi de:
a) R$ 2.450,00;
b) R$ 2.600,00;
c) R$ 2.750,00;
d) R$ 2.800,00;
e) R$ 2.850,00.
No 1o semestre houve 3 avaliações de matemática, cada uma delas com quantidade
diferente de questões. A tabela mostra a quantidade de questões que 3 determinados
alunos acertaram em cada prova. Os valores são tais que os números de acertos foram
proporcionais aos números de questões por prova.
Aluno
Meire
Fran
Luana
430
Número de questões
por prova
40
8
16
Número de questões
acertadas
25
5
x
3)
O número de questões que Luana acertou na 3a prova foi:
a) 8;
b) 9;
c) 10;
d) 11;
e) 12.
4)
Certa biblioteca tem 1 560 livros distribuídos em 4 prateleiras de uma estante, de modo
que a 1a prateleira tem 80 livros a mais do que a 2a; esta, 30 livros a mais do que a 3a; e
esta, 60 livros a menos do que a 4a. O número de livros da 1a prateleira é igual a:
a) 400;
d) 480;
b) 450;
e) 490.
c) 470;
Capítulo 26 I Provas
5)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
A idade de Gigi é 70% da de Lílian, e a de Lílian é 50% da de Júlia. Se Júlia tem 20 anos,
a soma total das idades delas é igual a:
a) 38;
b) 37;
c) 36;
d) 35;
e) 34.
26.65. Agente de Fiscalização/Vunesp/2007
1)
De acordo com reportagem publicada pela revista Veja, em 25 de julho de 2007, a pista
principal do aeroporto de Cumbica mede 3.700 m, enquanto a pista principal do aeroporto de Congonhas mede apenas 1.940 m, o que significa que para a pista principal de
Congonhas ter o mesmo comprimento que a pista principal de Cumbica, seria necessário
que ela fosse aumentada em, aproximadamente,
a) 95%;
b) 90%;
c) 85%;
d) 80%;
e) 75%.
2)
Um frasco contém 60 comprimidos que ocupam apenas 3/5 de sua capacidade total e que
pesam juntos 42 g. Se esse frasco estivesse cheio, o peso total de todos os comprimidos
que esse frasco comporta seria:
a) 50 g;
b) 60 g;
c) 70 g;
d) 80 g;
e) 90 g.
3)
Com 2 kg de carne moída, já preparada, é possível rechear 50 pastéis, todos de mesmo
tamanho. Se apenas 1,5 kg fosse utilizado para rechear os mesmos 50 pastéis, o recheio
de cada um deles teria de ser reduzido em:
a) 10%.
b) 15%.
c) 20%.
d) 25%.
e) 30%.
4)
Um supermercado está fazendo a promoção de sabonetes da marca A (todos de mesmo
preço) e de pasta de dentes da marca B(todas de mesmo preço). Um cliente comprou 5
sabonetes e 3 pastas dessa promoção e pagou R$ 5,40. Outro cliente comprou 7 sabonetes e 4 pastas, também dessa promoção, e pagou R$ 7,40. O preço de 1 sabonete mais
1 pasta dessa promoção é de:
a) R$ 1,40;
b) R$ 1,60;
431
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
c) R$ 1,80;
d) R$ 2,00;
e) R$ 2,20.
432
5)
Três pessoas de uma mesma família, que moram juntas, tomam medicamentos homeo­
páticos em horários determinados pelo médico, por isso cada uma delas ajustou seu
celular para tocar no horário certo de tomar o medicamento. Um dos celulares toca a cada
1 hora, o outro toca a cada 1,5 hora e o terceiro toca a cada 2 horas. Se em determinado
instante os três celulares tocaram ao mesmo tempo, eles irão tocar juntos, novamente,
após:
a) 4 horas;
b) 5 horas;
c) 6 horas;
d) 7 horas;
e) 8 horas.
6)
Um capital de R$ 1.500,00 aplicado a juros simples, com taxa de 0,5% ao mês, durante
8 meses, rendeu, de juros, R$ 12,00 a menos do que se tivesse sido aplicado, também a
juros simples, por 6 meses, com uma taxa mensal de:
a) 0,8%;
b) 0,9%;
c) 1,0%;
d) 1,1%;
e) 1,2%.
7)
Para uma festa foram compradas 7 garrafas de vinho tinto a R$ 12,00 cada uma e 5
garrafas de vinho branco. Se, na média, o preço de uma garrafa saiu por R$ 13,50, cada
garrafa de vinho branco custou:
a) R$ 13,80;
b) R$ 14,20;
c) R$ 14,80;
d) R$ 15,40;
e) R$ 15,60.
8)
Uma professora distribuirá lápis coloridos para seus alunos de modo que cada aluno
receba a mesma quantidade de lápis, independente da cor. Se ela distribuir 7 lápis para
cada um, sobrarão 8 lápis. Se distribuir 8 lápis para cada um, ficarão faltando 12. A
quantidade de lápis coloridos de que a professora dispõe é:
a) 152;
b) 148;
c) 144;
d) 140;
e) 138.
Capítulo 26 I Provas
9)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Um painel decorativo de madeira foi pintado conforme indicam as partes hachuradas na
figura, onde todas as medidas estão em cm.
A razão entre as áreas pintadas e as não pintadas é:
a) 11/4;
b) 11/6;
c) 11/8;
d) 11/16;
e) 11/32.
26.66. TRT – 19a Região/2011/Técnico Judiciário/TI
1)
Um ônibus viajava com um número inicial x de passageiros. Ao realizar a primeira parada, 40% desses passageiros desembarcaram. Logo após, entraram no ônibus 20% da
quantidade de passageiros que estavam no ônibus após o desembarque. Desse modo, o
número final de passageiros no ônibus correspondia a 54. A quantia correspondente ao
valor de x é igual a:
a) 60;
b) 72;
c) 75;
d) 80;
e) 90.
2)
Uma máquina copiadora foi comprada por uma empresa por R$ 6.800,00. O seu preço
decresceu linearmente com o passar do tempo, sendo que após 4 anos o valor comercial
dessa máquina era R$ 5.200,00. Baseando-se nessas informações,
a) em 10 anos esta máquina valerá mais que R$ 3.200,00;
b) após 7 anos serão necessários R$ 3.500,00 para comprar essa máquina;
c) em 8 anos o seu valor cairá para menos que um terço do valor de compra;
d) após 9 anos o valor comercial desta máquina será igual à metade do valor de compra;
e) após 17 anos essa máquina não terá mais valor comercial de mercado.
3)
Um evento em comemoração ao dia do trabalho, com duração de 2 dias, é promovido
para empresas de uma certa cidade. Para o primeiro dia do evento foram distribuídos
1 200 ingressos, e para o segundo dia 1.800 ingressos. As empresas contempladas só
433
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
poderiam participar em um único dia, recebendo, cada uma, a mesma quantidade máxima
possível de ingressos. O número de empresas participantes do evento é:
a) 12;
b) 18;
c) 9;
d) 6;
e) 5.
26.67. TRF – 1a Região/2011/Técnico Judiciário/Área Administrativa
434
1)
Analisando o número de horas dedicadas à consulta a banco de dados nas quatro semanas
de certo mês, um Técnico Judiciário verificou que o número de horas referente:
–
à primeira semana correspondeu a 3/10 do total de horas das quatro semanas;
–
à segunda semana correspondeu a 4/5 do referente à terceira semana;
–
à quarta semana foi igual a 5.
Se a soma das horas dedicadas a essa tarefa na primeira e na terceira semanas foi igual
a 11, então o número de horas referente à segunda semana foi igual a:
a) 3;
b) 4;
c) 5;
d) 6;
e) 7.
2)
Dois Técnicos Judiciários de um setor do Tribunal Regional Federal − Paulo e João − têm,
respectivamente, 30 e 35 anos de idade e seus respectivos tempos de trabalho nesse
setor são 6 e 9 anos. Incumbidos de arquivar os documentos de um lote, eles os dividiram
entre si em partes diretamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço
nesse setor, cabendo a Paulo 78 documentos. Se a divisão tivesse sido feita em partes
inversamente proporcionais às suas respectivas idades, quantos documentos caberiam
a João?
a) 82.
b) 85.
c) 87.
d) 90.
e) 105.
3)
Na compra de um computador, um Técnico recebeu um desconto de 10% sobre o preço
de M reais. Após certo tempo, comprou um novo computador por R$ 2.370,00 e, para
fazer o pagamento, deu o primeiro computador como entrada, com prejuízo de 10% sobre a quantia que havia pago, e mais três parcelas sem juros de R$ 250,00 cada. Nessas
condições, M é igual a:
a) 2 000;
b) 2 050;
c) 2 100;
d) 2 105;
e) 2 110.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
4)
Um anagrama de uma palavra é obtido trocando-se a ordem de suas letras, não importando se o resultado tem ou não significado em nosso idioma. Colocando em ordem
alfabética todos os anagramas da palavra PROVA, a posição ocupada pela palavra PROVA
é a:
a) 62a;
b) 63a;
c) 64a;
d) 65a;
e) 66a.
5)
Em 2010, três Técnicos Judiciários, Alfredo, Benício e Carlos, viajaram em suas férias,
cada um para um local diferente. Sabe-se que:
–
seus destinos foram: uma praia, uma região montanhosa e uma cidade do interior
do Estado;
–
as acomodações por ele utilizadas foram: uma pousada, um pequeno hotel e uma
casa alugada;
–
o técnico que foi à praia alojou-se em uma pousada;
–
Carlos foi a uma cidade do interior;
–
Alfredo não foi à praia;
–
quem hospedou-se em um hotel não foi Carlos.
Nessas condições, é verdade que:
a) Alfredo alugou uma casa;
b) Benício foi às montanhas;
c) Carlos hospedou-se em uma pousada;
d) aquele que foi à cidade hospedou-se em uma pousada;
e) aquele que foi às montanhas hospedou-se em um hotel.
26.68. TRT – 24a Região/2011/Técnico Judiciário/Administrativo
1)
Indagado sobre o número de processos que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, respondeu:
−
O número de processos que arquivei é igual a 12,252 − 10,252.
Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que:
a) X < 20;
b) 20 < X < 30;
c) 30 < X < 38;
d) 38 < X < 42;
e) X > 42.
2)
Sabe-se que Vitor e Valentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma
empresa e, sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a
cada 6 dias. Assim sendo, se no último dia de Natal − 25/12/2010 − ambos estiveram de
plantão, então, mantido o padrão de regularidade, uma nova coincidência de datas de
seus plantões em 2011, com certeza, NÃO ocorrerá em:
a) 18 de janeiro;
b) 10 de fevereiro;
435
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
c) 31 de março;
d) 24 de abril;
e) 18 de maio.
436
3)
Uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho tem 125 funcionários, 40% dos quais são
do sexo feminino. Suponha que, certo dia, todos os funcionários dessa Unidade foram
vacinados e que coube apenas a dois enfermeiros − Josué e Maura − a execução dessa
tarefa.
Sabe-se que:
−
todos os funcionários do sexo feminino foram vacinados por Maura e os demais por
Josué;
−
durante a execução da tarefa a capacidade operacional de Josué foi 90% da de
Maura.
Nessas condições, se Maura levou 3 horas para completar a sua parte da tarefa, quanto
tempo Josué levou para completar a sua?
a) 6 horas.
b) 5 horas e 45 minutos.
c) 5 horas.
d) 4 horas e 30 minutos.
e) 4 horas.
4)
Do total de pessoas que visitaram uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho de
segunda a sexta-feira de certa semana, sabe-se que:
1/5 o fizeram na terça-feira e 1/6 na sexta-feira. Considerando que o número de visitantes
da segunda-feira correspondia a 3/4 do de terça-feira e que a quarta-feira e a quinta-feira
receberam, cada uma, 58 pessoas, então o total de visitantes recebidos nessa Unidade
ao longo de tal semana é um número:
a) menor que 150;
b) múltiplo de 7;
c) quadrado perfeito;
d) divisível por 48;
e) maior que 250
5)
Para pagar os R$ 7,90 que gastou em uma lanchonete, Solimar usou apenas três tipos
de moedas: de 5 centavos, de 25 centavos e de 50 centavos. Sabendo que ela usou 8
moedas de 50 centavos e 13 de 25 centavos, então quantas moedas de 5 centavos foram
necessárias para que fosse completada a quantia devida?
a) 6.
b) 7.
c) 10.
d) 11.
e) 13.
Capítulo 26 I Provas
6)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Certo escritório anunciou uma vaga para escriturários e uma das formas de seleção dos
candidatos era testar sua habilidade em digitar textos, em que cada um recebia uma
lista com uma sucessão de códigos, que deveria ser copiada. Embora não fosse um bom
digitador, Salomão concorreu a essa vaga e o resultado de seu teste é mostrado abaixo.
Lista original da empresa
X
A
2
5
K
2
Y
B
5
J
2
1
1
C
X
H
4
M
D
0
V
1
E
6
E
9
O
N
6
4
Q
T
O
3
B
N
2
S
9
6
C
A
Lista digitada por Salomão
O
1
F
M
3
O
X
A
2
5
K
2
Y
B
5
J
2
1
I
C
X
H
4
N
D
O
U
1
F
9
E
9
O
N
6
4
O
T
O
3
B
M
2
S
9
6
C
A
Q
1
F
M
3
O
O número de erros cometidos por Salomão foi igual a:
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 11.
7)
São dados cinco conjuntos, cada qual com quatro palavras, três das quais têm uma relação
entre si e uma única que nada tem a ver com as outras:
X = {cão, gato, galo, cavalo}
Y = {Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá}
Z = {abacaxi, limão, chocolate, morango}
T = {violino, flauta, harpa, guitarra}
U = {Aline, Maria, Alfredo, Denise}
Em X, Y, Z, T e U, as palavras que nada têm a ver com as demais são, respectivamente:
a) galo, Canadá, chocolate, flauta e Alfredo;
b) galo, Bolívia, abacaxi, guitarra e Alfredo;
c) cão, Canadá, morango, flauta e Denise;
d) cavalo, Argentina, chocolate, harpa e Aline;
e) gato, Canadá, limão, guitarra e Maria.
8)
Parte do material de limpeza usado em certa Unidade do Tribunal Regional do Trabalho
é armazenada em uma estante que tem cinco prateleiras, sucessivamente numeradas
de 1 a 5, no sentido de cima para baixo. Sabe-se que:
–
cada prateleira destina-se a um único tipo dos seguintes produtos: álcool, detergente, sabão, cera e removedor;
–
o sabão fica em uma prateleira acima da do removedor e imediatamente abaixo da
prateleira onde é guardada a cera;
–
o detergente fica em uma prateleira acima da do álcool, mas não naquela colada à dele;
–
o álcool fica na prateleira imediatamente abaixo da do sabão.
Com base nas informações dadas, é correto afirmar que:
a) o detergente é guardado na prateleira 1;
b) a cera é guardada na prateleira 5;
437
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
c) o álcool é guardado na prateleira 3;
d) o removedor é guardado na prateleira 4;
e) o sabão é guardado na prateleira 2.
26.69. TRT-8a Região/2010/Técnico Judiciário Administrativo
1)
Sabe-se que em 1.000 lâminas há um total de 350 registros de células do tipo X, e que
em nenhuma das lâminas há mais do que 4 células do tipo X. O número de lâminas em
que não há registros de células do tipo X é, no máximo:
a) 913;
d) 125;
b) 912;
e) 120.
c) 400;
2)
Tenho 3 camisas (A, B e C) e 1 calça (X). Das afirmações a seguir, apenas uma é falsa:
I.
A e C são da mesma cor.
II. B e X são da mesma cor.
III. A e B são de cores diferentes.
IV. C e X são de cores diferentes.
Somente com essas informações, é correto deduzir que:
a) A, B, C e X podem ter a mesma cor;
b) A, B, C e X podem ser todas de cores diferentes;
c) A e B podem ser de mesma cor;
d) A e C são necessariamente de mesma cor;
e) B e X podem ser de mesma cor.
3)
Seis sacolas contêm 18, 19, 21, 23, 25 e 34 bolas, respectivamente. As bolas de uma das
sacolas são todas pretas, e as demais bolas de todas as outras sacolas são brancas.
Tânia pegou três sacolas, e Ruy outras duas sacolas, sendo que a sacola que sobrou foi
a das bolas pretas. Se o total de bolas das sacolas de Tânia é o dobro do total de bolas
das sacolas de Ruy, o número de bolas pretas nas seis sacolas é igual a:
a) 18;
b) 19;
c) 21;
d) 23;
e) 25.
26.70. Bahia Gás/2010/FCC/Técnico em Processos Organizacionais
1)
438
Um casal e seu filho foram a uma pizzaria jantar. O pai comeu 3/4 de uma pizza. A mãe
comeu 2/5 da quantidade que o pai havia comido. Os três juntos comeram exatamente
duas pizzas, que eram do mesmo tamanho. A fração de uma pizza que o filho comeu foi:
a) 3/5;
b) 6/20;
c) 7/10;
d) 19/20;
e) 21/15.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
2)
Em uma empresa o tempo gasto para operários dobrarem lonas retangulares é diretamente proporcional à área de cada lona. Sabe-se que 2 operários gastam 24 s para dobrar
uma lona de 6 m2. O tempo gasto para 3 operários dobrarem uma lona cuja largura é o
dobro da largura da lona anterior e o comprimento é o quádruplo do comprimento da
lona anterior é:
a) 1min54s;
b) 2min08s;
c) 2min38s;
d) 3min24s;
e) 4min36s.
3)
A conta de gás de uma empresa é calculada por meio de uma taxa fixa de R$ 35,00
acrescida de R$ 2,00 por m3 consumido. Num mês um cliente consumiu 40 m3 e no mês
seguinte consumiu um volume de gás 15% maior. O percentual aproximado de aumento
na conta desse cliente, do primeiro mês para o seguinte, é:
a) 8;
b) 10;
c) 12;
d) 14;
e) 15.
4)
Admita as frases seguintes como verdadeiras.
I.
Existem futebolistas (F) que surfam (S) e alguns desses futebolistas também são
tenistas (T).
II. Alguns tenistas e futebolistas também jogam vôlei (V).
III. Nenhum jogador de vôlei surfa.
A representação que admite a veracidade das frases é:
a)
d)
b)
e)
c)
439
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
5)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Em um certo dia um atleta percorre 12 voltas de uma pista em 30 minutos, sempre com
a mesma velocidade em cada volta. Num outro dia ele aumenta sua velocidade em 25%.
Em 50 minutos, com esta nova velocidade, o atleta percorrerá exatamente:
a) 21 voltas;
b) 23 voltas;
c) 25 voltas;
d) 27 voltas;
e) 30 voltas.
26.71. NCE-UFRJ/INPI/2004/Técnico I
440
1)
Se digo que “alguns torcedores do Flamengo são fanáticos”, isso significa que:
I – existem torcedores fanáticos pelo Flamengo.
II – nem todo torcedor do Flamengo é fanático.
III – existem torcedores de outro time que não são fanáticos.
IV – nenhum torcedor de outro time é fanático.
V – existem torcedores do Flamengo que não são fanáticos.
Assinale:
a) se apenas as afirmativas I e II estão corretas;
b) se apenas as afirmativas III e V estão corretas;
c) se apenas as afirmativas II, III e IV estão corretas;
d) se apenas as afirmativas I, II e V estão corretas;
e) se apenas as afirmativas III, IV e V estão corretas.
2)
Antônio pintou a metade de um muro na segundafeira. Na terça, pintou metade do que
restou; na quarta, voltou a pintar metade do que sobrou. Para completar a tarefa, resta
pintar a seguinte fração da área do muro:
a) 1/16;
b) 1/12;
c) 1/10;
d) 1/8;
e) 1/5.
3)
Na sequência de números a seguir, a partir do terceiro termo o número é obtido em
função dos dois anteriores, utilizando uma certa lei de formação. 2 3 5 8 13 21 34 ... O
próximo termo dessa sequência é:
a) 43;
d) 51;
b) 45;
e) 55.
c) 47;
4)
Se digo que “nem todo professor é pesquisador”, isso quer dizer que:
a) todo pesquisador é professor;
b) quem não é professor não é pesquisador;
c) existe pelo menos um professor que não é pesquisador;
d) no máximo poucos professores são pesquisadores;
e) quem é pesquisador não é professor.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
5)
O conjunto dos números inteiros positivos foi subdivido em subconjuntos de dois elementos do seguinte modo:
S1 = { 1, 2 }
S2 = { 3, 4 }
S3 = { 5, 6 }
S4 = { 7, 8 }
...
e assim por diante. A soma dos dois elementos do 200o subconjunto, S200, é igual a:
a) 795;
b) 797;
c) 799;
d) 800;
e) 801.
6)
João deu uma moeda a Maria; imediatamente, Maria deu a João duas moedas; João deu
então três moedas a Maria, que logo devolveu quatro a João. João deu então cinco moedas
a Maria, que não pôde continuar o jogo porque não tinha mais moedas. Para que essa
cena pudesse ocorrer, João e Maria teriam de ter, inicialmente, a seguinte quantidade
de moedas:
a) João: no mínimo 3, Maria: 2;
b) João: no mínimo 2, Maria: 2;
c) João: no mínimo 1, Maria: 1;
d) João: no mínimo 4, Maria: 3;
e) João: no mínimo 5, Maria: 1.
7)
Um cubo de madeira de 5 cm de aresta foi todo pintado de branco. Em seguida, o cubo
foi cortado em 125 cubinhos de 1 cm de aresta.
O número de cubinhos que apresentam então três faces pintadas de branco é igual a:
a) 6;
b) 8;
c) 64;
d) 75;
e) 100.
8)
Uma maneira possível de distribuir seis bolas idênticas para três meninos, André, Bento
e Carlito, é dar quatro bolas para André, uma para Bento e uma para Carlito. Outra é,
por exemplo, dar duas para André, duas para Bento e duas para Carlito; outra ainda
441
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
é dar uma para André, uma para Bento e quatro para Carlito. O número de maneiras
distintas de se distribuir as seis bolas pelos três meninos, de modo que cada um receba
pelo menos uma bola, é igual a:
a) 8;
b) 9;
c) 10;
d) 11;
e) 12.
442
9)
Uma pesquisa de opinião acerca da preferência dos consumidores por uma de duas
marcas de refrigerante ouviu quinhentas pessoas e revelou que 326 gostavam da marca
A e 264 gostavam da marca B, sendo que 125 gostavam de ambas as marcas. O número
de pessoas que, na pesquisa, informaram não gostar de nenhum dos dois refrigerantes
é igual a:
a) 35;
b) 40;
c) 45;
d) 50;
e) 55.
10)
Se digo que “pelo menos um funcionário da empresa é casado”, é possível concluir que,
nessa empresa:
a) pelo menos um funcionário não é casado;
b) no máximo um funcionário não é casado;
c) no mínimo um funcionário não é casado;
d) nem todo funcionário é casado;
e) nem todo funcionário é não casado.
11)
Um produto que custa R$ 215,00 à vista também pode ser pago dois meses depois do dia
da compra, com uma taxa de juros de 10% ao mês. Quem optar por essa forma pagará
a seguinte quantia, em reais:
a) 236,50;
b) 242,35;
c) 258,00;
d) 260,15;
e) 276,25.
12)
Todo mês, Belisário doa 3 kg de alimentos a um orfanato. Até o mês de março de 2004,
inclusive, Belisário já doou 294 kg de alimentos; se continuar com essas doações, em
junho de 2006, inclusive, Belisário terá doado, no total, a seguinte quantidade de alimentos, em kg:
a) 363;
b) 366;
c) 369;
d) 372;
e) 375.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
13)
Se A é o conjunto dos números inteiros maiores do que 10, B é o conjunto dos números
reais menores do que 31 e C é o conjunto dos números primos, então a interseção de A
com B e com C é o conjunto:
a) {1, 2, 3, 5, 7, 9};
b) {13, 17, 19, 23};
c) {11, 13, 17, 19, 23, 29};
d) {11, 13, 15,17, 19, 21, 23, 25, 27, 29};
e) {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31}.
14)
Gumercindo dá, num primeiro momento, um passo para a direita; em seguida, ele dá
dois passos para a esquerda; no terceiro momento ele dá três passos para a direita, no
quarto, dá quatro passos para a esquerda e assim sucessivamente. Todos os passos de
Gumercindo têm a mesma amplitude. No 123o momento, Gumercindo estará à seguinte
distância do ponto de partida, em passos:
a) 55;
b) 62;
c) 76;
d) 81;
e) 123.
15)
Observe a função a seguir: f (x) = 2x2 – 3x, x ∈ R. O valor de f (f (–1) ) é:
a) – 15;
b) – 1;
c) 1;
d) 20;
e) 35.
16)
Setembrina deve uma certa quantia ao banco. Por contrato, será aplicada uma taxa de
juros de 12% ao mês sobre a parcela não quitada da dívida. Se Setembrina não fizer
pagamentos mensais, essa sua dívida crescerá mensalmente de acordo com:
a) uma progressão aritmética de razão 12;
b) uma progressão geométrica de razão 0,12;
c) uma progressão aritmética de razão 112;
d) uma progressão geométrica de razão 1,2;
e) uma progressão geométrica de razão 1,12.
17)
Cremildo precisava medir a área de um terreno que tinha o formato de um triângulo
retângulo, mas estava sem sua trena. Cremildo usou, então, uma ripa de madeira e um
palito de fósforo e mediu os dois lados correspondentes aos dois catetos do triângulo,
obtendo:
lado A: 45 ripas mais 10 palitos lado B: 30 ripas mais 8 palitos Mais tarde, Cremildo mediu seus “instrumentos de medida” e verificou que a ripa media 52 cm e o palito 5 cm.
Cremildo pôde então concluir que a área do terreno, em m2, era de:
a) 164,5;
b) 175,3;
443
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
c) 191,2;
d) 202,0;
e) 233,7.
18)
Um artista plástico esculpiu, a partir de um bloco cilíndrico, uma peça, de mesma altura
que o bloco, formada por três cones “empilhados ”, como mostra a figura
A razão entre o volume de material retirado do bloco original e o volume da escultura
resultante, formada pelos três cones, é igual a:
a) 0,5;
b) 1;
c) 2;
d) 2,5;
e) 3.
444
19)
1 é raiz da equação x3 – 2x2 –11x + 12 = 0. A soma das outra duas raízes dessa equação
é igual a:
a) 1;
b) 2;
c) 3;
d) 4;
e) 5.
20)
Fransérgio dá uma volta completa em um caminho circular, de 200 m de diâmetro, que
circunda um lago. Onofre dá uma volta completa numa pista de forma retangular, de lados
de 200 m e 120 m, que circunda o prédio em que mora. A diferença aproximada entre a
distância percorrida por Onofre e a distância percorrida por Fransérgio, em metros, é:
a) 0;
b) 12;
c) 25;
d) 58;
e) 120.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
26.72. NCE-UFRJ/INPI/2009/Técnico em Propriedade Industrial
1)
Um médico afirmou que “toda pessoa que fuma há mais de vinte anos tem algum problema
pulmonar”. Se Sérgio fuma há trinta anos e Márcia tem problema pulmonar, pode-se
concluir, baseado na afirmação do médico, que:
a) Márcia fuma há mais de vinte anos;
b) Sérgio tem algum problema pulmonar e Márcia fuma há mais de vinte anos;
c) Sérgio pode não ter problema pulmonar;
d) Márcia e Sérgio são fumantes;
e) Sérgio tem algum problema pulmonar.
2)
Marcelo fez uma prova de múltipla escolha. Cada questão tinha cinco alternativas,
sendo apenas uma correta. Sabendo-se que ele marcou aleatoriamente três questões,
a probabilidade de ter acertado pelo menos uma delas é de:
a) 0,24;
b) 0,488;
c) 0,512;
d) 0,6;
e) 0,2.
26.73. SEDU-ES/2008/Cespe/Prof. de Matemática
O pentagrama, símbolo dos pitagóricos, divide o pentágono regular que o circunscreve
nas regiões designadas pelos algarismos 1, 2, 3 e 4, como ilustrado na figura abaixo. O
professor sugeriu aos alunos que pintassem as regiões utilizando apenas as cores azul,
rosa, verde e amarelo, e de forma que duas regiões que possuem um segmento de reta
em comum não podem ser pintadas com a mesma cor.
1)
2)
Acerca dessa atividade, julgue os itens subsequentes.
( ) Se um aluno utilizar apenas 3 das 4 cores permitidas e seguir a condição estabelecida, então o número de configurações distintas possíveis que ele poderá obter
é igual a 4.
( ) Segundo a regra estabelecida, a região 4 poderá ser pintada com a mesma cor de
uma das outras três regiões.
445
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Existem vários programas computacionais que permitem ao usuário traçar gráfico de
função a partir da expressão que a define e do domínio previamente estabelecido. Um
professor preparou uma atividade para seus alunos utilizando um desses programas. Ele
escolheu uma lista de funções com seus domínios e pediu que os alunos desenhassem
todas elas em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas. A curva que se obteve
como resultado do trabalho está ilustrado na figura a seguir.
3)
A partir das informações e da figura acima, julgue os itens a seguir.
( ) Se a curva contém parte da circunferência de centro (-4, -1) e raio 2, então essa
parte corresponde ao gráfico da função
y = –1 + 4 – (x + 4)2 , para –6 ≤ x ≤ –2.
4)
5)
6)
7)
8)
446
(
(
) Parte da curva está sobre o gráfico de uma reta com coeficiente angular igual a 3.
) Se parte da curva está sobre o gráfico da função 9y = 2x2 + 18, então essa parte está
sobre uma parábola de vértice no ponto (0, 2).
A figura acima ilustra duas latas de leite condensado. A lata 1 é um cilindro circular
reto de altura igual a 8 cm e diâmetro da base igual a 6 cm. A lata 2 é a sobreposição de
3 cilindros circulares retos: o inferior e o superior têm diâmetro da base igual a 6 cm e
altura igual a 3 cm; o do meio tem altura igual a 2 cm e diâmetro da base igual a 4 cm.
Com base nessas informações, e na figura, julgue os itens a seguir.
( ) A razão entre o volume da lata 1 e o volume da lata 2 é igual a 36/31.
( ) A diferença entre a área total da superfície da lata 2 e da lata 1 é igual a 6π cm2.
( ) Considere uma nova lata de leite condensado, de forma semelhante à da lata 2, em
que se duplicou a altura do cilindro central e as demais medidas foram preservadas.
Nessa situação, a lata 1 e essa nova lata têm a mesma capacidade.
Capítulo 26 I Provas
9)
(
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
) Considere que um recipiente tenha a forma de uma pirâmide de base quadrada,
comprimento da altura igual ao comprimento do lado do quadrado da base e a
mesma capacidade da lata 1. Nesse caso, as arestas da base da pirâmide são iguais
a 63 π cm.
A balança de dois pratos é um material concreto que auxilia na compreensão e resolução
de equações. Considere, na figura abaixo, que objetos iguais representam pesos iguais
e que todas as balanças estejam em equilíbrio.
10)
11)
12)
Com relação a essas balanças, julgue os itens subsequentes.
( ) A situação da balança 1 pode ser representada pela equação 2x = 3y.
( ) Infere-se da figura que as equações representadas nas balanças 2 e 3 são equivalentes.
( ) Designando por x, y e z, respectivamente, valores não nulos do pentágono, do quadrado e da cruz, que mantêm o equilíbrio nas três balanças, então 4x + 2y + z = 0.
O geoplano, um material concreto para se ensinar geometria, foi inventado pelo matemático e pedagogo egípcio Galeb Gattegno. São três tipos de geoplanos: quadrado, triangular e circular. A figura abaixo ilustra um geoplano triangular, formado por triângulos
equiláteros congruentes, no qual alguns polígonos foram construídos.
447
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
13)
14)
15)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Com base nas informações acima e considerando como unidade de comprimento o comprimento u dos lados dos triângulos que formam a malha do geoplano, julgue os itens
a seguir.
( ) O polígono II é a imagem obtida ao se transladar o polígono I por meio de um vetor
de comprimento 5u e paralelo ao vetor AB.
( ) O polígono III é a imagem obtida do polígono I por meio de uma reflexão em relação
a uma reta paralela ao segmento AB.
( ) O polígono IV é obtido como imagem do polígono I por meio de uma rotação de 60º,
no sentido anti-horário em torno do ponto P, seguido de uma translação determinada por um vetor que faz um ângulo de 60º com o segmento AB.
26.74. Prefeitura-PI/Cespe/2008/Professor de Matemática
1)
A partir de uma proposta do professor para atividade utilizando o geoplano retangular,
um aluno representou os segmentos de reta I, II e III mostrados no geoplano. Considerando que u seja a unidade de medida de comprimento, as medidas dos segmentos I, II
e III são, respectivamente, iguais a:
a)
b)
3 2
2
3 2
2
u, 5 u e 4 u.
u, 4 2 u e 5 u.
c) 3 u, 4 2 u e 5 2 u.
d) 3 u, 5 u e 4 u.
2)
448
Em uma atividade usando o geoplano isométrico, um aluno construiu o polígono de 6 lados
ilustrado na figura acima. Considerando que os triângulos T da malha sejam equiláteros
e congruentes, a soma, em graus, dos ângulos internos do polígono é igual a:
Capítulo 26 I Provas
a)
b)
c)
d)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
180;
360;
540;
720.
Uma peça de artesanato, construída em acrílico, é formada por dois cubos concêntricos
com faces correspondentes paralelas. As figuras abaixo mostram uma vista superior
desse sólido e uma imagem da peça. Os vértices correspondentes de cada cubo foram
conectados com arames retos de comprimentos iguais a 3 3 cm; as arestas do cubo
menor têm 10 cm de comprimento.
3)
Na situação apresentada e desconsiderando o volume dos arames que conectam os
vértices dos cubos, caso o artesão queira preencher completamente a porção da peça
compreendida entre o cubo menor e o cubo maior com líquido colorido, ele precisará de
um volume, em litros, igual a:
a) 3,096;
b) 4,096;
c) 30,96;
d) 40,96.
4)
Considere que o artesão utilize placas planas de acrílico, retangulares, medindo 30
cm × 65 cm, para construir as faces dos cubos da peça de artesanato. Nessa situação,
para construir 3 dessas peças, a quantidade mínima de placas de acrílico que o artesão
precisará é igual a:
a) 3;
c) 5;
b) 4;
d) 6.
449
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
26.75. SAEB-BA/Cespe/2011/Matemática e suas Tecnologias
Advise-PB/2010/Prof. de Matemática
1)
Um bloco retangular de madeira de dimensões cm e 6 cm, é cortado paralelamente
as suas faces de modo a obter a letra F, como mostra a figura abaixo, o percentual de
material desperdiçado em relação ao volume do bloco bruto é:
a)
b)
c)
d)
e)
2)
33,33%;
80%;
55,56%;
50%;
44,44%.
A figura abaixo representa um trecho de uma estrada limitada por duas semicircunferências, as unidades do plano cartesiano onde esse desenho foi representado estão em
decâmetro:
a área desse trecho da estrada, em metros quadrados, é aproximadamente:
a) 20,41;
d) 4082;
b) 1060;
e) 2120.
c) 2041;
450
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
26.76. Advise-AL/2011/Prof. de Matemática
1)
Dadas as retas r e s paralelas entre si, considere quatro pontos da reta r e seis pontos
da reta s.
O número de triângulos que podemos formar utilizando três desses pontos é:
a) 24;
d) 96;
b) 36;
e) 120.
c) 60;
2)
A curva abaixo é formada por seis semicircunferências, os diâmetros estão indicados na
figura.
Retificando essa curva o comprimento obtido estará entre os valores:
a) 20 e 30;
d) 34 e 60;
b) 30 e 32;
e) 60 e 66.
c) 32 e 34;
3)
A área do triângulo BCD é 54 cm², a medida do segmento AC é quatro vezes a medida do
segmento AD, o ponto E é médio do segmento AB.
A área do triângulo BDE, em centímetros quadrados, é:
a) 6,75;
b) 9;
c) 12;
d) 13,5;
e) 18.
451
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
26.77. SEEC-RN/2011/Prof. de Matemática
1)
João e Maria foram ao cinema e sentaram em uma mesma fila, formada por 7 cadeiras.
Sabendo que a fila estava vazia quando João e Maria chegaram e que eles sentaram de
forma aleatória, qual é a probabilidade de eles terem sentado em cadeiras vizinhas?
a)
5
7
b)
2
7
c)
2
21
d)
1
21
e)
1
42
2)
Em um brinquedo infantil bastante popular atualmente, há 45 peças idênticas, cada uma
com a forma de um paralelepípedo, cujas dimensões são 7,5 cm x 2,5 cm x 1,5 cm. No
jogo, inicialmente, todas as 45 peças devem ser empilhadas, de modo a formarem uma
grande pilha, também com a forma de um paralelepípedo. O empilhamento deve ser feito
452
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
de uma maneira especial: cada andar é formado por três peças, dispostas lado a lado, e o
sentido do alinhamento deve ser alternado, entre um andar e o próximo, conforme mostra
a figura acima, de modo a garantir um maior equilíbrio. Concluído o empilhamento, os
jogadores começam a retirar as peças da grande pilha, cada um retirando uma por vez.
O objetivo é não deixar a pilha cair. Após ter sido completamente montada, de acordo
com o procedimento descrito, e antes que qualquer peça tenha sido retirada, qual será
a área total, em cm2, da grande pilha?
a) 2.587,5.
b) 1.237,5.
c) 967,5.
d) 787,5.
e) 445,5.
3)
A figura representa parte da disposição dos alojamentos de uma academia militar. Oscar
está em seu alojamento, representado pelo ponto M, e precisa ir até o alojamento de seu
sargento, representado pelo ponto P. Oscar deve, antes, passar no alojamento representado pelo ponto N para pegar uma bandeira que deverá ser entregue ao sargento.
Oscar só pode caminhar sobre os segmentos do quadriculado da figura. Em destaque
é mostrado um caminho possível para ir de M para P, passando por N. Na figura, um
trecho corresponde a um lado do quadradinho do quadriculado. Oscar percebeu que,
para caminhar o menos possível, deveria passar por exatos 5 trechos até chegar ao
ponto N e, de lá, passar por exatos outros 3 trechos, até o alojamento do sargento. Se
descumprisse esses números, ele estaria andando menos do que o necessário ou mais
do que o suficiente. Diante disso, o número total de caminhos, com menor comprimento,
para ir de M até P, passando por N, é:
a) 8;
b) 13;
c) 15;
d) 30;
e) 70.
453
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
26.78. Analista Judiciário/TRT-8a Região/2010/FCC
1)
Se Ana diz a verdade, Beto também fala a verdade, caso contrário Beto pode dizer a verdade
ou mentir. Se Cléo mentir, David dirá a verdade, caso contrário ele mentirá. Beto e Cléo dizem
ambos a verdade, ou ambos mentem. Ana, Beto, Cléo e David responderam, nessa ordem,
se há ou não um cachorro em uma sala. Se há um cachorro nessa sala, uma possibilidade
de resposta de Ana, Beto, Cléo e David, nessa ordem, é:
Adote: S: há cachorro na sala
N: não há cachorro na sala
a) N, N, S, N.
b) N, S, N, N.
c) S, N, S, N.
d) S, S, S, N.
e) N, N, S, S.
454
2)
Se Alceu tira férias, então Brenda fica trabalhando. Se Brenda fica trabalhando, então
Clóvis chega mais tarde ao trabalho. Se Clóvis chega mais tarde ao trabalho, então Dalva
falta ao trabalho. Sabendo-se que Dalva não faltou ao trabalho, é correto concluir que:
a) Alceu não tira férias e Clóvis chega mais tarde ao trabalho;
b) Brenda não fica trabalhando e Clóvis chega mais tarde ao trabalho;
c) Clóvis não chega mais tarde ao trabalho e Alceu não tira férias;
d) Brenda fica trabalhando e Clóvis chega mais tarde ao trabalho;
e) Alceu tira férias e Brenda fica trabalhando.
3)
Quatro casais vão jogar uma partida de buraco, formando quatro duplas. As regras para
formação de duplas exigem que não sejam de marido com esposa. A respeito das duplas
formadas, sabe-se que:
–
Tarsila faz dupla com Rafael;
–
Julia não faz dupla com o marido de Carolina;
–
Amanda faz dupla com o marido de Julia;
–
Rafael faz dupla com a esposa de Breno;
–
Lucas faz dupla com Julia;
–
Nem Rafael, nem Lucas fazem dupla com Amanda;
–
Carolina faz dupla com o marido de Tarsila;
–
Pedro é um dos participantes.
Com base nas informações, é correto afirmar que:
a) Carolina não é esposa de Breno, nem de Lucas, nem de Pedro;
b) Amanda não é esposa de Lucas, nem de Rafael, nem de Pedro;
c) Tarsila é esposa de Lucas;
d) Rafael é marido de Julia;
e) Pedro é marido de Carolina.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
26.79. Ceperj/SEE/RJ/2007
1)
Um saco contém 30 bolinhas brancas, 22 bolinhas vermelhas e 16 bolinhas pretas, todas
iguais em tamanho e peso. No escuro, você deve retirar do saco certo número de bolinhas
de forma que tenha a certeza de ter, pelo menos, uma bolinha branca. O número mínimo
de bolinhas que você deve retirar do saco para ter esta certeza é:
a) 3;
b) 17;
c) 23;
d) 39;
e) 42.
2)
Em um bosque há 180 árvores. Sabe-se que cada árvore tem pelo menos 30 folhas e que
nenhuma árvore tem mais de 200 folhas. Pode-se concluir que:
a) existe pelo menos uma árvore com 200 folhas;
b) o número médio de folhas por árvore é 115;
c) existe alguma árvore com 115 folhas;
d) o número total de folhas é certamente maior que 6000;
e) existem pelo menos duas árvores com o mesmo número de folhas.
3)
Pedro investiu certa quantia comprando ações de uma indústria. No final do primeiro
ano, ele verificou que as ações tinham valorizado 25%, mas no final do ano seguinte ele
disse: “Puxa, eu tenho hoje o dobro do dinheiro que investi”. A valorização dessas ações
no segundo ano foi de:
a) 50%;
b) 55%;
c) 60%;
d) 70%;
e) 75%.
4)
A figura a seguir mostra três circunferências de raio 1 cm tangentes entre si duas a duas.
A área do triângulo que circunscreve essas circunferências em cm2 é aproximadamente
igual a:
a) 11,5;
b) 13;
c) 14;
d) 15,2;
e) 16,5.
455
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
5)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Marcelo possui tintas de quatro cores e deseja pintar a bandeira abaixo.
Considerando que não é necessário usar sempre todas as cores, e que duas regiões
vizinhas não podem ter a mesma cor, o número de maneiras diferentes com que Marcelo
pode pintar essa bandeira é:
a) 36;
b) 48;
c) 72;
d) 96;
e) 144.
6)
Um marceneiro possui uma placa de madeira quadrada com 2,20 m de lado e precisa
cortar, dos quatro cantos, triângulos retângulos iguais para transformar a placa em um
octógono regular.
O tamanho dos catetos dos triângulos que serão retirados é de, aproximadamente:
a) 62 cm;
b) 65 cm;
c) 69 cm;
d) 73 cm;
e) 77 cm.
26.80. Cperj/2007/Prof. de Matemática/Pref. S. Gonçalo
1)
456
Seja N o menor número de três algarismos com as características listadas abaixo.
–
dividido por 2 deixa resto 1,
–
dividido por 3 deixa resto 2,
–
dividido por 4 deixa resto 3,
–
dividido por 5 deixa resto 4, e
–
dividido por 6 deixa resto 5.
Sendo assim, a soma dos algarismos de N é:
a) 11;
d) 14;
b) 12;
e) 15.
c) 13;
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
2)
Considere uma calculadora com um número enorme de dígitos no visor e que só faz
multiplicações. Dado um número a, o número mínimo de multiplicações que você deve
fazer para calcular a37 é:
a) 6;
d) 9;
b) 7;
e) 10.
c) 8;
3)
Observe a sequência de figuras a seguir
O número de bolinhas usadas na 28a figura é:
a) 398;
b) 402;
c) 406;
d) 412;
e) 418.
4)
No quadro abaixo, cada linha deve conter as letras a, b, c, em qualquer ordem, de forma
que qualquer coluna não pode ter duas letras iguais.
O número de formas diferentes que pode ser feita a arrumação desse quadro é:
a) 3;
b) 4;
c) 6;
d) 8;
e) 12.
5)
A figura abaixo mostra duas circunferências – a maior de centro A e raio 16 cm e a menor
de centro B e raio 14 cm. As duas circunferências são tangentes entre si e são também
tangentes aos lados de um ângulo de vértice O.
457
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
A distância AO mede:
a) 220 cm;
b) 240 cm;
c) 270 cm;
d) 280 cm;
e) 300 cm.
6)
Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade
do que os outros dois juntos pagaram. Bruno pagou a terça parte do que os outros dois
juntos pagaram. Então Carlos pagou:
a) R$ 150,00;
b) R$ 200,00;
c) R$ 250,00;
d) R$ 300,00;
e) R$ 350,00.
7)
A figura abaixo mostra dois pentágonos regulares colados.
O valor do ângulo ABˆ C é:
a) 18º;
b) 20º;
c) 22º;
d) 24º;
e) 26º.
26.81. Ceperj/2007/Pref. Resende/Prof. de Matemática
1)
458
Na figura abaixo vê-se um retângulo de 10 cm por 20 cm, do qual foram retirados dois
quadrados iguais.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Se o perímetro da figura acima é igual a 76 cm, a sua área é:
a) 198 cm2;
b) 192 cm2;
c) 182 cm2;
d) 168 cm2;
e) 150 cm2.
2)
A figura abaixo mostra um retângulo ABCD e uma reta r passando pelo vértice D.
Sabendo-se que as distâncias de A e B à reta r são respectivamente 12 cm e 19 cm, a
distância de C à reta r é:
a) 6 cm;
b) 7 cm;
c) 8 cm;
d) 9 cm;
e) 10 cm.
26.82. Administrador de Dados/FGV/2009
1)
No conjunto dos irmãos de Maria, há exatamente o mesmo número de homens e de
mulheres. Míriam é irmã de Maria. Elas têm um irmão chamado Marcos. Esse, por sua
vez, tem um único irmão homem: Marcelo. Sabendo-se que Maria e seus irmãos são
todos filhos de um mesmo casal, o número total de filhos do casal é:
a) 2;
b) 3;
c) 4;
d) 5;
e) 6.
2)
Em um jogo, uma ficha preta vale o mesmo que 2 fichas azuis. Uma ficha azul equivale a
12 amarelas, 6 verdes equivalem a uma preta e 10 brancas, a uma verde. Dessa forma,
uma ficha azul equivale a:
a) 1 verde e 1 amarela;
b) 1 verde e 2 amarelas;
c) 1 verde, 1 amarela e 5 brancas;
d) 2 verdes e 2 amarelas;
e) 2 verdes, 2 amarelas e 5 brancas.
459
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
3)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
O silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo. Na sua forma padronizada, é constituído por três proposições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira,
conclusão. As premissas são juízos que precedem a conclusão. Em um silogismo, a
conclusão é consequência necessária das premissas. São dados 3 conjuntos formados
por 2 premissas verdadeiras e 1 conclusão não necessariamente verdadeira.
I.
Premissa 1: Alguns animais são homens.
Premissa 2: Júlio é um animal.
Conclusão: Júlio é homem.
II. Premissa 1: Todo homem é um animal.
Premissa 2: João é um animal.
Conclusão: João é um homem.
III. Premissa 1: Todo homem é um animal.
Premissa 2: José é um homem.
Conclusão: José é um animal.
É (são) silogismo(s) somente:
a) I;
d) I e III;
b) II;
e) II e III.
c) III;
A figura ilustra uma caixa com 2 dm de altura, cuja abertura tem 3 dm x 4 dm.
Abaixo, estão ilustrados 3 sólidos:
I.
II.
III.
460
ELSEVIER
Esfera com 3 dm de diâmetro.
Cilindro reto de base circular com 4 dm
de altura e 2 dm de diâmetro.
Cubo com 3 dm de aresta.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
4)
Dos sólidos apresentados, cabe(m) totalmente na caixa somente:
a) I;
b) II;
c) III;
d) I e II;
e) II e III.
5)
Nove cartões quadrados feitos de cartolina são dispostos sobre uma mesa. O verso de
cada um desses cartões pode ou não conter um x. Define-se como cartão vizinho aquele
imediatamente adjacente, seja na horizontal, vertical ou diagonal. Na Figura 1, nota-se
que:
–
B, D e E são vizinhos de A;
–
D, E, F, G e I são vizinhos de H;
–
A, B, C, D, F, G, H e I são vizinhos de E.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Figura 1
A Figura 2 ilustra os 9 cartões dispostos sobre a mesa de modo que, na face visível de
cada cartão, está anotada a quantidade de cartões vizinhos que contém um x.
1
2
1
2
3
3
1
3
1
Figura 2
Desvirando-se os 9 cartões, o número total de x será:
a) 3;
b) 4;
c) 5;
d) 6;
e) 7.
461
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
26.83. Arquiteto de Sistemas/FGV/MEC/2009
1)
Um jogo é constituído por 8 peças iguais, quadradas e numeradas de 1 a 8, que estão
encaixadas em um quadrado maior, como apresentado na figura 1.
Só se consegue mexer, na vertical ou na horizontal, uma peça por vez. Cada peça só pode
ser movimentada se estiver adjacente ao espaço vazio. A movimentação da peça é feita
empurrando-a para o espaço vazio. Seu deslocamento preenche o espaço existente e
causa o aparecimento de um novo espaço.
Considere que, em dado momento, a configuração do jogo é a apresentada na figura 4.
Assinale a alternativa que indique o número mínimo de movimentações para atingir a
configuração apresentada na figura 5.
a) menor do que 6.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) maior do que 8.
462
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
2)
Uma urna contém dez bolas: uma branca, duas amarelas, três verdes e quatro pretas.
Considere as afirmativas a seguir:
I.
Se uma bola for retirada da urna, restará, necessariamente, dentro dela, uma bola
de cada uma das quatro cores.
II. Se cinco bolas forem retiradas da urna, restarão em seu interior, necessariamente,
bolas apenas com três das quatro cores.
III. Se cinco bolas forem retiradas da urna, entre as bolas retiradas haverá, necessariamente, duas de uma mesma cor.
Assinale:
a) se somente a afirmativa I estiver correta;
b) se somente a afirmativa II estiver correta;
c) se somente a afirmativa III estiver correta;
d) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas;
e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
3)
O ano de 2009 começou em uma quinta-feira. Sabendo-se que os anos de 2012 e 2016
serão bissextos, ou seja, terão 366 dias cada um, é correto afirmar que o ano voltará a
começar em uma quinta-feira em:
a) 2014;
d) 2017;
b) 2015;
e) 2018.
c) 2016;
4)
Assinale a alternativa em que, de acordo com a lógica, a declaração jamais conduzirá a
um equívoco.
a) “Será eleito presidente o candidato que obtiver, no pleito, a metade mais um dos votos.”
b) “Foi multado porque sua velocidade excedeu 10% da velocidade máxima permitida.”
c) “Fez um investimento lucrativo: acabou ficando com 23% do que investiu.”
d) “A temperatura ontem elevou-se a 10ºC. Por isso, o dia ficou muito quente.”
e) “Houve 92% de adesão à greve, ou seja, a grande maioria participou do manifesto.”
5)
O silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo. Na sua forma padronizada, é constituído por três proposições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira,
conclusão. As premissas são juízos que precedem a conclusão. Em um silogismo, a
conclusão é consequência necessária das premissas. São dados 3 conjuntos formados
por 2 premissas verdadeiras e 1 conclusão não necessariamente verdadeira.
I–
Premissa 1: Nenhuma mulher é tabagista.
Premissa 2: Algumas mulheres são atletas.
Conclusão: Há atletas não tabagistas.
II –
Premissa 1: Alguns homens são tabagista.
Premissa 2: Alguns tabagista são médicos.
Conclusão: Alguns homens são médicos.
Premissa 1: Todo engenheiro é atleta.
III – Premissa 2: Se alguém é atleta, então é engenheiro.
Conclusão: Não existem atletas que não sejam engenheiros.
463
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Conclusão: Não existem atletas que não sejam engenheiros. Assinale:
a) se somente o conjunto I for silogismo;
b) se somente o conjunto II for silogismo;
c) se somente o conjunto III for silogismo;
d) se somente os conjuntos I e III forem silogismos;
e) se somente os conjuntos II e III forem silogismos.
6)
Abel, Gabriel e Daniel são amigos. Um deles mora em uma casa branca, o outro, em uma
casa azul e o terceiro, em uma casa amarela. Entre eles, um é pintor, o outro, escultor e
o terceiro, professor. Abel não mora na casa azul. Gabriel é escultor e não mora na casa
branca. O professor mora na casa azul. A esse respeito, é correto afirmar que:
a) Abel mora na casa amarela;
b) Abel é pintor;
c) Daniel não é professor;
d) Daniel mora na casa branca;
e) Gabriel mora na casa azul.
7)
Nas bancas das feiras, os feirantes empilham laranjas de tal forma que cada laranja
sempre fica apoiada sobre outras quatro, como ilustrado abaixo, excetuando-se as que
estão diretamente sobre a bancada.
A base do empilhamento tem sempre a forma de um retângulo (não se esqueça de
que quadrados são também retângulos). A quantidade de laranjas na base e a sua
disposição acabam por determinar a quantidade máxima de laranjas que podem ser
empilhadas. Na ilustração a seguir, há 6 laranjas na base dispostas de modo que N =
3 e P = 2. A quantidade máxima de empilhamento é 8.
Com base nas informações acima e adotando-se como convenção que N não pode ser
menor do que P, assinale a alternativa correta.
a) Com 8 laranjas na base, é possível um empilhamento máximo de 12 laranjas.
b) Se N = 4 e P = 3, obtém-se empilhamento máximo de 18 laranjas.
c) Há mais de uma disposição em que se obtém empilhamento máximo de 14 laranjas.
d) Não é possível obter-se empilhamento máximo de 5 laranjas.
e) Se P = 3, não é possível empilhar mais do que 20 laranjas.
464
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
8)
No dia 1o de janeiro de 2008, Marcelo arranjou um cofrinho vazio e nele colocou 1 centavo.
A partir de então, no décimo dia de cada mês, seu pai colocava, no cofrinho, exatamente
o mesmo valor que houvesse em seu interior e, dessa forma, dobrava a quantidade de
dinheiro. Sua mãe, no vigésimo dia de cada mês, acrescentava mais 2 centavos ao montante do cofrinho. Sabendo-se que, depois do depósito inicial feito por Marcelo, apenas
sua mãe e seu pai fizeram depósitos no cofre, em que mês esse montante ultrapassa os
R$ 3,00?
a) Abril.
b) Maio.
c) Junho.
d) Julho.
e) Agosto.
9)
Sejam X e Y dois números inteiros positivos. Se X2 + Y2 é ímpar, então se pode afirmar
de maneira correta que:
a) XY é par;
b) YX é par;
c) X . Y é par;
d) X – Y é par;
e) X + Y é par.
10)
Em um grupo de 10 pessoas, 5 praticam basquete, 6 praticam vôlei e 7 praticam natação.
Analise as afirmativas a seguir.
I.
É possível que 4 pessoas desse grupo pratiquem exclusivamente basquete.
II. É possível que 5 pessoas desse grupo pratiquem exclusivamente natação.
III. É possível que nenhuma pessoa desse grupo pratique exclusivamente vôlei.
Assinale:
a) se somente a afirmativa I estiver correta;
b) se somente a afirmativa II estiver correta;
c) se somente a afirmativa III estiver correta;
d) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas;
e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
26.84. Professor de Matemática/2008/FGV/Pref. de Campinas
1)
Pedro pensou em um número natural N e fez as seguintes operações sucessivas: somou
5, dividiu o resultado por 2, subtraiu 7, dividiu o resultado por 3, somou 9 e, finalmente,
dividiu por 4. Se o resultado final dessas operações foi 10, a soma dos algarismos do
número N é:
a) 13;
b) 14;
c) 15;
d) 16;
e) 17.
465
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
2)
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
A figura abaixo mostra um triângulo ABC e o ponto D sobre o lado AC.
Sabendo que AB = BC = CD e que DBA =18º, então o ângulo CBD mede:
a) 58º;
b) 60º;
c) 62º;
d) 64º;
e) 66º.
3)
A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular com raio aproximado de 150 milhões
de quilômetros. A velocidade do nosso planeta em seu eterno percurso em volta do Sol
é cerca de:
a) 2.000 km/h;
b) 10.000 km/h;
c) 50.000 km/h;
d) 100.000 km/h;
e) 200.000 km/h.
4)
Em um jardim há um gramado com a forma de um quadrilátero OABC. Esse gramado
será ampliado tomando a forma do quadrilátero OA’B’C’, semelhante ao anterior, como
mostra a figura abaixo.
Sabendo que a área do quadrilátero OABC é de 108 m2, que OA = 15 m e que AA’ = 5 m, a
área de grama nova (parte sombreada da figura que será plantada) é de:
a) 36 m2;
b) 48 m2;
c) 58 m2;
d) 76 m2;
e) 84 m2.
466
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
5)
Marcelo coleciona lápis. O número de lápis que Marcelo possui é maior que 150 e menor
que 200. Ele possui também muitas caixas, todas iguais, e experimenta guardar seus
lápis nessas caixas. Colocando 8 lápis em cada caixa, sobra 1 lápis. Colocando 11 em
cada caixa, sobram 6 lápis. Então, colocando 10 lápis em cada caixa, sobrarão:
a) 2 lápis;
b) 3 lápis;
c) 5 lápis;
d) 7 lápis;
e) 8 lápis.
6)
Na figura a seguir, o triângulo ABC é retângulo em A, AB = AC, as duas circunferências
têm centros B e C, são iguais e são tangentes.
Se cada circunferência tem raio 2, a área sombreada mede:
a) π – 2.
b) 4 – π.
c)
π–1
.
2
d) 8 – π .
2
e) 8 – 2π.
7)
Um cone com superfície de vidro muito fino tem 30 cm de altura e está inicialmente com
o vértice para baixo. Nessa posição, o líquido contido em seu interior está com nível a
20 cm do vértice, como mostra a primeira figura.
467
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Invertendo a posição do cone de forma que sua base fique sobre um plano horizontal, a
distância do vértice do cone à superfície do líquido é X = 103 n , onde n é igual a:
a) 19;
b) 20;
c) 21;
d) 24;
e) 26.
8)
Todo funcionário de uma empresa deve cadastrar uma senha de quatro dígitos para
ter acesso aos diversos sistemas do computador. Uma senha válida não pode ter três
algarismos iguais juntos. Por exemplo, 1059 e 4544 são senhas válidas, mas 6333 e 8888
não são válidas. O número de senhas válidas distintas é:
a) 9810;
b) 9850;
c) 9900;
d) 9910;
e) 10000.
9)
Cada um dos pequenos triângulos da figura abaixo possui um número oculto.
Nas figuras a seguir, o número que está embaixo de cada uma representa a soma dos
números dos triângulos sombreados.
42
37
O número que está no triângulo central é:
a) 9;
b) 11;
c) 13;
d) 15;
e) 17.
468
48
44
Capítulo 26 I Provas
10)
11)
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
No jogo de par-ou-ímpar, duas pessoas expõem, simultaneamente, uma das mãos,
indicando com os dedos 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Hugo e Luiz vão jogar par-ou-ímpar. Sabendo
que Luiz nunca indica o número 5, qual é a probabilidade de que o resultado seja 6?
a)
5
36
b)
1
18
c)
1
6
d)
2
15
e)
1
10
A figura ilustra três circunferências, de raio R1, R2 e R3, inscritas em um ângulo α. Se
R1 > R2 > R3, pode-se afirmar que:
a) R3 – R2 = R2 – R1.
b) R22 = R1 . R3.
c) R23 – R21 = R22.
d)
e)
12)
R1
R2
1
R1
=
+
R3
R1
1
R2
.
=
1
R3
.
Considere as 24 permutações dos números 1, 2, 3 e 4. Dizemos, em uma permutação,
que um par de elementos forma uma inversão quando, na permutação, esse par de
elementos se apresenta em ordem diferente da natural. Permutações de Classe Par
são aquelas com número par de inversões e Permutações de Classe Ímpar são as com
número ímpar de inversões. Assim:
–
a permutação (4; 1; 3; 2) é de classe par pois possui 4 inversões;
–
a permutação (2; 4; 1; 3) é de classe ímpar pois possui 3 inversões.
De acordo com as definições e exemplos acima, assinale a afirmativa incorreta.
469
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
a) Uma permutação muda de classe quando se trocam as posições de dois de seus elementos.
b) Em conjuntos com mais de um elemento, o número de permutações de classe par é
igual ao de permutações de classe ímpar.
c) Se duas permutações A e B têm a mesma classe, é necessário um número par de
inversões dos elementos de A para transformá-la em B.
d) Se duas permutações A e B têm classes diferentes, é necessário um número par de
inversões dos elementos de A para transformá-la em B.
e) O número máximo de inversões que uma permutação de n elementos distintos pode
n2 n
ter é
– .
2
2
13)
Na soma 3 + 3,4 + 3,8 + 4,2 + ... + an = 915, em que todas as parcelas são termos de uma
mesma sucessão numérica, o número n de termos dessa sucessão é:
a) 59;
b) 60;
c) 61;
d) 62;
e) 63.
26.85. Ceperj/Assistente Previdenciário
470
1)
Em uma sala há 10 pessoas: 4 cariocas, 3 paulistas, 2 mineiros e 1 baiano. É correto
afirmar que:
a) em qualquer grupo de 4 dessas pessoas há pessoas dos quatro estados;
b) em qualquer grupo de 6 dessas pessoas há pessoas de três estados;
c) em qualquer grupo de 7 dessas pessoas há, pelo menos, um carioca;
d) em qualquer grupo de 5 dessas pessoas há, pelo menos, um paulista;
e) em qualquer grupo de 3 dessas pessoas há, pelo menos, duas pessoas do mesmo
estado.
2)
Todos os 40 alunos de uma classe do 8o ano de uma escola passaram pelo departamento
médico e seus pesos foram anotados apenas com números inteiros. O aluno de menor
peso tinha 48 kg e o de maior peso tinha 66 kg. Pode-se concluir que:
a) pelo menos um aluno pesa 50 kg;
b) a soma dos pesos de todos os alunos é maior que 2.400 kg;
c) nenhum aluno pesa 64 kg;
d) pelo menos 3 alunos têm o mesmo peso;
e) a média dos pesos dos alunos é 57 kg.
3)
A negação de “Nenhum músico é surdo” é:
a) há, pelo menos, um músico surdo;
b) alguns surdos são músicos;
c) todos os músicos são surdos;
d) todos os surdos são músicos;
e) todos os músicos não são surdos.
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
4)
Entre os empregados de uma rede de supermercados 38% são casados. Entre eles, 20%
dos homens são casados e 50% das mulheres são casadas. A porcentagem de mulheres
entre os empregados da rede é:
a) 30%;
b) 40%;
c) 50%;
d) 60%;
e) 70%.
5)
Paulina possui em sua cozinha três potes A, B e C. Um deles contém farinha, outro café
e outro, açúcar. Dentre as afirmações a seguir, somente uma é verdadeira:
–
O pote A contém café.
–
O pote B não contém açúcar.
–
Café não está no pote C.
Pode-se afirmar que:
a) o pote A contém açúcar;
b) o pote B contém café;
c) o pote C contém farinha;
d) o pote A contém café;
e) o pote B não contém farinha.
6)
O preço real de um remédio acrescido de 35% de imposto é R$ 60,00. Sem este imposto,
o preço do remédio é, aproximadamente:
a) R$ 25,00;
b) R$ 39,00;
c) R$ 42,20;
d) R$ 44,44;
e) R$ 46,85.
7)
No campeonato brasileiro de futebol de 2010, cada time jogou 38 vezes. Certo time
ganhou 4 jogos a mais que perdeu e empatou 6 jogos a menos que ganhou. O número de
jogos que o time venceu foi:
a) 18;
b) 16;
c) 17;
d) 14;
e) 15.
8)
Considere a afirmação: “Se Milton pegou o primeiro ônibus, então não chegou atrasado.”
Pode-se concluir logicamente que:
a) se Milton não pegou o primeiro ônibus, então chegou atrasado;
b) se Milton não pegou o primeiro ônibus, então pode não ter chegado atrasado;
c) se Milton não chegou atrasado, então pegou o primeiro ônibus;
d) se Milton chegou atrasado, então não pegou o primeiro ônibus;
e) ou Milton pegou o primeiro ônibus ou chegou atrasado.
471
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
26.86. Analista de Finanças e Controle/SFC-Esaf/2000
472
1)
Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte, a outra
em Florianópolis, e a outra em São Paulo. Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte.
Priscila cursou Psicologia. Berenice não realizou seu curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, os cursos e os respectivos locais de estudo de Márcia, Berenice e Priscila
são, pela ordem:
a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulo;
b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo;
c) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulo;
d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolis;
e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis.
2)
Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento,
Vanderleia viajou. Se Vanderleia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo,
a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento;
b) Camile e Carla não foram ao casamento;
c) Carla não foi ao casamento e Vanderleia não viajou;
d) Carla não foi ao casamento ou Vanderleia viajou;
e) Vera e Vanderleia não viajaram.
3)
Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de 2 elementos, então o número de elementos de
X é igual a:
a) 10;
b) 20;
c) 35;
d) 45;
e) 90.
4)
A condição necessária e suficiente para a identidade sen 2 α = 2 sen α ser verdadeira é
que α seja, em radianos, igual a:
a) π/3;
b) π/2;
c) n π sendo n um número inteiro qualquer;
d) n π/2, sendo n um número inteiro qualquer;
e) n π/3 ,sendo n um número inteiro qualquer.
5)
Sabe-se que as retas de equações r1 = αx e r2 = –2x + β interceptam-se em um ponto
P(x < 0; y < 0). Logo,
a) α > 0 e β > 0
b) α > 0 e β < 0
c) α < 0 e β < 0
d) α < –1 e β < 0
e) α > –1 e β > 0
Capítulo 26 I Provas
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
6)
A sequência de valores: 1, 1/2, 1/4, 1/8 e 1/16, forma uma progressão geométrica. A
sequência dos logaritmos de cada um desses números na base 1/2, na ordem em que
estão dispostos, forma uma:
a) progressão geométrica de razão 1/2;
b) progressão geométrica de razão 1;
c) progressão aritmética de razão 1/2;
d) progressão aritmética de razão 1;
e) progressão aritmética de razão -1.
7)
Uma pessoa foi da localidade A para B a uma velocidade média de 75 Km por hora (Km/h);
após, retorna de B para A a uma velocidade média de 50 Km/h. Considerando todo o
percurso de ida e volta, a velocidade média, em Km/h foi de:
a) 50;
b) 60;
c) 62,5;
d) 70;
e) 72,5.
8)
A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij)
e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = 2 i j, então:
a soma dos elementos s31 e s13 é igual a:
a) 12;
b) 14;
c) 16;
d) 24;
e) 32.
9)
Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana ir para o trabalho: ou de carro ou
de metrô. A probabilidade de Ana ir de carro é de 60% e de ir de metrô é de 40%. Quando
ela vai de carro, a probabilidade de chegar atrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a
probabilidade de chegar atrasada é de 17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente,
verificou-se que Ana chegou atrasada ao seu local de trabalho. A probabilidade de ela
ter ido de carro nesse dia é:
a) 10%;
b) 30%;
c) 40%;
d) 70%;
e) 82,5%.
473
Gabaritos
Seção 1.3
1. C
2. C
3. B
4. B
5. A
6. E
7.
C
Seção 2.3
1. D
2. A
3. C
4. A
5. C
6. B
7.
C
Seção 3.3
1. C
2. B
3. D
4. C
5. A
6. B
7. D
8. C
9. B
10. A
11. B
12. C
Seção 4.4
1. D
2. A
3. D
4. E
5. B
6. A
7.
C
Seção 4.7
1. C
2. A
3. C
4.
E
5.
6.
7.
8.
A
B
C
B
9.
10.
11.
12.
A
D
E
C
13. C
14. C
15. A
16. E
17. D
18. E
19. D
20. A
21. A
5.
6.
7.
8.
D
B
B
C
9.
10.
11.
12.
E
A
B
C
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
13. E
14. B
15. E
16. E
17. B
Seção 5.2
1.
2.
3.
4.
E
D
D
A
Seção 6.2
1.
2.
3.
4.
D
E
C
B
B
C
A
E
D
B
C
D
B
C
C
D
Gabaritos
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Seção 7.2
1. D
2. D
3. C
4. D
5. C
6. B
7. D
8. D
9. C
10. A
Seção 8.2
1. E
2. C
3. E
4. A
5. C
6. B
7. C
8. B
9. A
10. C
11. C
12. E
13. C
14. E
15. C
Seção 9.3
1. D
2. B
3. D
Seção 10.2
1.
6 1
5 2
2 4
3 6
1 5
4 3
2.
9 4
6 1
8 5
1 2
5 7
3 6
2 9
7 8
4 3
3. E
4. D
4. B
5. D
6. B
7. E
8. D
9. A
4
3
1
5
2
6
2
6
5
4
3
1
3
1
6
2
4
5
5
4
3
1
6
2
7
3
2
9
8
4
1
5
6
1
8
4
3
9
7
6
2
5
6
5
9
8
2
1
3
4
7
2
7
3
4
6
5
8
1
9
3
9
1
5
4
2
7
6
8
5
2
7
6
3
8
4
9
1
10. B
11. B
12. B
13. B
14. A
15. C
16. B
17. D
18. D
8
4
6
7
1
9
5
3
2
475
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Seção 11.2
1. D
2. C
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
3. C
4. C
5. D
6. E
7.
8.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
ELSEVIER
A
D
9.
D
Seção 12.2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
B
D
D
B
E
D
D
B
A
B
D
B
D
B
E
D
C
D
B
C
D
D
23.
24.
25.
26.
27.
B
C
A
A
A
28.
29.
30.
31.
B
D
E
D
Seção 13.7
1. E
2. E
3. E
4. E
5. E
6. B
7. B
8. D
9. C
Seção 14.2
1. D
2. E
3. A
Seção 14.5
1. A
2. B
Seção 15.3
1. B
2. C
3. C
4.
D
Seção 16.3
1. B
2. C
3. A
4. A
5. C
6. B
7.
8.
A
A
Seção 17.5
1. D
2. E
3. A
4. C
5. D
6. B
7.
8.
D
C
9. C
10. B
5. A
6. A
7. B
8. D
9. E
10. B
11. A
12. A
13. D
14. D
15. E
16. C
Seção 18.16
1. E
2. A
3. B
4. B
476
10. A
11. D
12. C
13. B
14. A
15. A
5.
C
6.
D
17. E
18. C
19. A
Gabaritos
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Seção 18.18
1.
2.
3.
4.
5.
B
B
B
D
A
6.
7.
8.
9.
10.
A
D
B
C
A
11.
12.
13.
14.
B
D
B
C
15.
16.
17.
18.
C
B
C
A
19.
20.
21.
22.
A
A
E
E
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
C
B
E, C
C
C
C
C
D
A
C
D
23.
24.
25.
26.
D
C
B
E
Seção 19.5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
A
C
D
D
C
A) 8!, B) 2.6!, C) 2.4!.4!,
D) 6!, E) 2.7! F) 6!
C, C, C
C, E
C
C
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
C9,3 – (C6,3 + C 3,3)
4.524
(524 – C52,4)
C
60
C, C
48
C
A) 7!, B) 5!.3!,
C) 2!.3!.4!
20. C
Seção 19.15
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
E
A
C
D
D
D
B
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
D
A
D
CERTO
CERTO
CERTO
CERTO
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
D
B
A
E
C
C
B
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Seção 20.2
1. A
2. E
3. D
4. B
5. C
6. D
7.
8.
Seção 21.6
1. B
2. A
3. C
4. E
5. B
6. D
7. E
8. B
9. E
10. B
11. B
12. C
E
D
E
D
E
C
C
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
C
B
B
B
B
A
C
B
B
13. C
14. C
15. A
16. D
17. A
477
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
478
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Seção 22.3
1. D
2. D
3. B
4. B
5. B
6. A
7.
8
C
B
9.
B
Seção 23.11
1. B
2. A
3. A
4. E
5. D
6. A
7. D
8. B
9. B
10. C
11. D
12. C
13. B
14. E
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
E
A
E
B
B
C
D
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
B
D
E
D
E
D
E
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
A
B
B
A
D
A
E
36.
37.
38.
39.
40.
41.
Seção 24.4
1. B
2. A
3. E
4. B
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
E
E
A
D
13.
14.
15.
16.
C
B
E
C
17.
18.
19.
20.
A
C
D
D
21. B
Seção 25.9
1. A
2. E
3. D
4. A
5. A
6. D
7.
A
Seção 26.1
1. A
2. C
3. E
Seção 26.2
1. E
2. C
3. B
4. A
5. E
6. D
7.
8.
B
A
Seção 26.3
1. E
2. C
3. A
4.
B
Seção 26.4
1. E
2. B
3. A
4.
B
Seção 26.5
1. E
2. B
3. B
4.
D
C
A
B
D
9. C
10. D
5.
D
C
E
D
E
B
B
Gabaritos
Seção 26.6
1. E
2. D
3. B
4. A
5. C
6. D
7.
8.
A
C
9. D
10. B
Seção 26.7
1. C
2. A
3. C
4. B
5. E
6. E
7.
8.
B
A
9. D
10. B
Seção 26.8
1. B
2. B
3. E
4.
C
5.
A
Seção 26.9
1. E
2. D
3. B
4.
A
5.
C
Seção 26.10
1. C
2. E
Seção 26.11
1. D
2. B
3. E
4. A
5. C
6. C
7. E
8. A
9. B
10. D
11. E
12. A
13. D
14. E
15. D
Seção 26.12
1. D
2. C
3. A
4. D
5. D
6. E
7. B
8. E
9. C
10. E
11. B
12. A
13. B
14. A
Seção 26.13
1. B
2. E
3. A
Seção 26.14
1. B
2. D
3. C
4.
A
5.
Seção 26.15
1. C
2. E
3. A
4. E
5. A
6. D
7.
8.
C
B
9. D
10. B
Seção 26.16
1. D
2. C
3. D
4. E
5. A
6. C
7.
C
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
6.
E
E
479
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
ELSEVIER
Seção 26.17
1. D
2. B
3. B
4. D
5. C
6. A
7.
8.
E
E
9.
A
Seção 26.18
1. E
2. C
3. D
4.
B
5.
A
Seção 26.19
1. C
2. A
3. C
4. E
5. B
6. E
7.
C
Seção 26.20
1. C
2. C
3. D
4. B
5. E
6. C
7. A
8. C
9. B
10. E
11. D
12. D
13. E
14. A
15. B
Seção 26.21
1. C
2. D
3. A
4. B
5. C
6. D
7.
8.
C
A
9. E
10. E
Seção 26.22
1. A
2. E
3. E
4. A
5.
6.
7.
8.
B
C
D
E
9. D
10. D
11. A
12. D
13. C
14. C
15. B
16. C
17. B
Seção 26.23
1. C
2. C
3. E
4.
E
Seção 26.24
1. E
2. E
3. C
4. E
5. C
6. C
7.
8.
E
C
Seção 26.25
1. E
2. C
3. E
4. C
5. E
6. E
7.
8.
C
C
Seção 26.26
1. C
2. E
480
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
3. E
18. B
19. A
20. D
Gabaritos
Seção 26.27
1. C
2. E
3. E
Seção 26.28
1. C
2. B
3. D
Seção 26.29
1. D
2. C
3. E
4. B
5. A
6. D
7. B
8. C
9. D
10. C
11. B
12. D
13. A
14. E
15. E
Seção 26.30
1. C
2. B
3. D
4. B
5. E
6. D
7.
8.
B
C
9. E
10. B
Seção 26.31
1. C
2. E
3. C
4.
E
Seção 26.32
1. A
2. C
3. E
4. B
5. D
6. A
7.
8.
C
D
9. B
10. E
Seção 26.33
1. E
2. C
3. A
4. E
5. C
6. B
7.
8.
D
B
9.
D
Seção 26.34
1. E
2. D
3. B
4.
E
5.
D
Seção 26.35
1. E
2. A
3. D
4.
C
5.
B
Seção 26.36
1. C
2. E
3. D
4. E
5. B
6. A
7.
8.
D
B
9. B
10. C
4.
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
E
6.
B
11. A
12. D
481
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
482
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Seção 26.37
1. A
2. E
3. C
4.
D
Seção 26.38
1. B
2. E
3. C
4. A
5. A
6. D
7.
8.
D
B
Seção 26.39
1. D
2. C
3. A
4. D
5. E
6. B
7. A
8. B
9. C
10. E
11. A
12. E
13. B
14. C
15. B
16. D
Seção 26.40
1. B
2. E
3. A
4. C
5. B
6. D
7. C
8. A
9. C
10. E
11. D
12. E
13. B
14. A
15. D
16. B
17. C
18. A
Seção 26.41
1. B
2. E
3. C
4.
D
5.
A
Seção 26.42
1. B
2. A
3. D
4.
E
5.
B
Seção 26.43
1. C
2. A
3. D
4. C
5. E
6. C
7. E
8. D
9. D
10. A
11. A
12. E
Seção 26.44
1. E
2. E
3. C
4. C
5. E
6. C
7.
8.
C
E
9. E
10. C
Seção 26.45
1. E
2. C
3. B
4.
A
5.
D
Seção 26.46
1. A
2. C
3. A
4.
D
5.
D
5.
B
6.
E
13. E
14. B
6.
B
Gabaritos
Seção 26.47
1. E
2. C
3. B
4. A
5. D
6. E
7.
8.
C
B
Seção 26.48
1. E
2. B
3. C
4. D
5. C
6. A
7.
8.
A
B
Seção 26.49
1. B
2. E
3. B
4. C
5. D
6. D
7.
C
Seção 26.50
1. A
2. E
3. D
4. B
5. C
6. C
7.
8.
D
B
Seção 26.51
1. E
2. D
3. C
4.
B
5.
A
Seção 26.52
1. D
2. C
3. B
4.
E
5.
A
Seção 26.53
1. D
2. B
3. C
4.
E
5.
A
Seção 26.54
1. A
2. B
3. C
4. B
5. D
6. E
7.
8.
E
C
Seção 26.55
1. B
2. A
3. A
4. B
5. C
6. A
7.
8.
D
D
Seção 26.56
1. A
2. D
3. E
4.
A
Seção 26.57
1. E
2. B
3. A
4. D
5. D
6. E
7.
8.
C
B
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
9. E
10. D
9. C
10. E
9. A
10. E
483
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
484
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
ELSEVIER
Seção 26.58
1. E
2. B
3. C
4. A
5. D
6. B
7.
8.
D
A
9. D
10. E
Seção 26.59
1. A
2. A
3. B
4. D
5. C
6. E
7.
8.
D
D
9.
Seção 26.60
1. B
3. A
2. B (anulada) 4. D
5. C
6. C
7.
8.
C
A
Seção 26.61
1. B
2. E
3. C
4.
C
Seção 26.62
1. E
2. C
3. E
4. C
5. E
6. C
7.
8.
C
C
9. E
10. E
Seção 26.63
1. C
2. B
3. C
4.
B
5.
A
Seção 26.64
1. A
2. E
3. C
4.
B
5.
B
Seção 26.65
1. B
2. C
3. D
4. A
5. C
6. A
7.
8.
E
B
9.
D
Seção 26.66
1. C
2. E
3. E
Seção 26.67
1. B
2. D
3. A
4.
C
5.
E
Seção 26.68
1. E
2. B
3. C
4. D
5. E
6. C
7.
8.
A
A
B
6.
E
Gabaritos
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
Seção 26.69
1. B
2. E
3. D
Seção 26.70
1. D
2. B
3. B
4.
Seção 26.71
1. D
2. D
3. E
4. C
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
A
E
D
E
13. C
14. B
15. E
16. E
17. C
18. C
19. A
20. B
Seção 26.72
1. E
2. B
Seção 26.73
1. E
2. E
3. C
4. E
5. C
6. C
7. C
8. E
9. C
10. C
11. C
12. E
13. C
14. E
15. E
Seção 26.74
1. A
2. D
3. A
4.
Seção 26.75
1. E
2. C
Seção 26.76
1. D
2. C
3. B
Seção 26.77
1. B
2. D
3. D
Seção 26.78
1. D
2. C
3. A
C
A
B
C
E
5.
C
C
485
S é r i e P r o va s e C o n c u r s o s
ELSEVIER
Seção 26.79
1. D
2. E
3. C
4.
B
Seção 26.80
1. A
2. B
3. C
4. E
5. B
6. C
7.
A
Seção 26.81
1. D
2. B
Seção 26.82
1. D
2. E
3. C
4.
Seção 26.83
1. D
2. C
3. B
4. E
5. D
6. B
4. E
5. B
Seção 26.85
1. C
2. D
Seção 26.86
1. C
2. E
Seção 26.84
1. C
2. E
3. D
486
Raciocínio Lógico I Fabrício Mariano
5.
E
B
5.
B
7.
8.
C
D
9. C
10. C
6. B
7. A
8.
9.
A
C
10. D
11. B
3. A
4. D
5. A
6. D
7.
8.
B
D
3. A
4. C
5. B
6. D
7.
8.
B
E
9.
B
6.
B
12. D
13. C
Bibliografia Consultada
ALENCAR FILHO, Edgard de. Teoria Elementar dos Conjuntos. São Paulo: Nobel, 1978.
CARMO, José Carlos Dutra do. 2000 Psicotestes com Respostas. Rio de Janeiro: Folha
Carioca, 1977.
COPI, Irving Marmer. Introdução à Lógica. São Paulo: Mestre Jou, 1978.
DOPP, Joseph. Noções de Lógica Formal. São Paulo: Herder, 1970.
GIRASSOL EDIÇÕES. 1.000 Testes e Jogos de Inteligência. São Paulo: Girassol Edições,
2000.
SÉRATES, Jonofon. Raciocínio Lógico: Lógico Matemático, Lógico Quantitativo, Lógico
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SILVA, Joselias Santos da. Matemática Teoria: Resolvidas e Comentadas. São Paulo:
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Sites:
www.obm.org.br
Acesso em maio de 2007.
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Acesso em abril de 2007.
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Acesso em maio de 2007.
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