matA12
cálculo combinatório
Propriedades das operações sobre conjuntos
Interseção e reunião de conjuntos
Comutatividade
A B = B  A
A B = B  A
Associatividade
( A  B)  C = A  ( B  C )
( A  B)  C = A  ( B  C )
Distributividade
A  ( B  C ) = ( A  B)  ( A  C )
A  ( B  C ) = ( A  B)  ( A  C )
Idempotência
A A = A
A A = A
Elemento neutro
A U = A
A  = A
Elemento absorvente
A = 
A U = U
1
Diferença de conjuntos
A \ B = A − B =  x  A : x  B
U
Complementar
A =  x  U : x  A
B
A
U
A
A\B
Inclusão de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B
(A é subconjunto de B) e representa-se por A  B , quando se
verifica a proposição x, x  A  x  B
A
Igualdade de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, dizem-se iguais e representa-se
por A = B , se e somente se A  B e B  A
Nota: o conjunto vazio,  , está contido em qualquer conjunto.
Produto cartesiano
O produto cartesiano de A por B é um conjunto que se
representa por A  B , sendo os seus elementos todos os pares
ordenados ( a, b ) , em que a  A e b  B .
Leis de De Morgan
A B = A B
A B = A B
Propriedades: dados três conjunto A, B e C
( A  B) C = ( A C )  ( B  C )
C  ( A  B ) = (C  A)  (C  B )
Cardinais e fatorial
Conjuntos equipotentes
Cardinal da união de conjuntos disjuntos
Dois conjuntos A e B, dizem-se equipotentes, ou que têm o Se A e B são conjuntos disjuntos finitos, A  B =  , então:
mesmo cardinal (#A=#B) se e somente se existir uma função
#( A  B) = # A + # B
bijetiva de A sobre B.
Cardinal da união de conjuntos
Cardinal do produto cartesiano de conjuntos
Se A e B são conjuntos finitos, então:
Dados n conjuntos A1 , A2 ,..., An finitos, tem-se:
#( A  B) = # A + # B − #( A  B)
# ( A  A  ...  A ) = # A  # A  ...  # A
Se A  B =  então # ( A  B ) = # A + # B
Cardinal d conjunto das partes de um conjunto
Seja E um conjunto e P ( E ) o conjunto das partes de E
(conjunto formado pelos subconjuntos de E)
Seja p o número de elementos de E, então:
# P (E) = 2 p
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1
2
n
1
2
n
Fatorial de um número inteiro não negativo
Designa-se por fatorial de n e representa-se por n ! o produto
dos n primeiros números naturais:
n ! = n  ( n − 1)  ( n − 2 )  ...  2  1
Nota: por convenção 0! = 1
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cálculo combinatório
Arranjos
Arranjos com repetição (completos)
Arranjos sem repetição (simples)
“Arranjos com repetição de n elementos p a p” representa o
“Arranjos (ou arranjos sem repetição) de n elementos p a p”
número de sequências de p elementos que é possível formar
( n  p ) representa o número de sequências de p elementos
com n elementos disponíveis, distintos ou não e representa-se
distintos que é possível formar com n elementos disponíveis e
por
representa-se por
n
A 'p = n p
n!
n
Ap = n  ( n − 1)  ( n − 2 )  ...  ( n − p + 1) ou n Ap =
n
−
( p )!
Permutações
“Permutações de n elementos” representa o número de maneiras de ordenar os n elementos disponíveis e representa-se por
Pn = n An = n !
Combinações
“Combinações de n elementos p a p” ( 0  p  n ) representa o número de subconjuntos de p elementos que é possível definir
n
com os n elementos disponíveis e representa-se por nC p , C pn ou  
 p
n
Ap
n!
n
Cp =
=
p!
p !( n − p )!
Triângulo de Pascal
Linha
0→
1
1
2
1
1
3
4
1
5
6
10
5
Propriedades:
• linha n tem n + 1 elementos
n
•
n
C0 = nCn = 1
C p + nC p +1 =
5
C1
C0
5
C p +1 , n, p 
0
5
C2
4
C4
C3
C3
5
C4
5
C5
…
•
n
•

C p = nCn − p , n , p 
n
p =0
n +1
C3
4
C2
…
…
•
5
3
C2
4
C1
C0
5→
1
C1
4
4
C2
3
3
C0
2
C1
C0
3
C1
2
2
4→
1
1
C0
3→
1
4
10
1
2→
1
3
C0
1→
1
1
0
0
e n p
C p = nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn −1 + nCn = 2n
n
e n p
Binómio de Newton
Binómio o de Newton corresponde ao desenvolvimento da n-ésima potência de ( a + b ) , sendo:
(a + b)
n
= nC0 a n + nC1a n −1b + nC2 a n − 2b 2 + ... + nCn −1ab n −1 + nCnb n
ou
(a + b)
n
n
=  nC p a n − p b p
p =0
Nota:
O desenvolvimento de ( a + b ) tem n + 1 termos.
n
O termo de ordem p + 1 é Tp +1 = nC p a n − p b p
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