Дискретная случайная
величина
Теория вероятностей и математическая
статистика
Случайная величина
Величина, которая в результате
испытания примет одно и только одно
возможное значение, наперёд не
известное и зависящее от случайных
причин, которые заранее не могут
быть учтены
Случайные
величины
Дискретные
Непрерывные
отдельные,
изолированные
возможные значения
с определенными
вероятностями
принимает все
значения из
некоторого
конечного или
бесконечного
промежутка
Сокращения
ДСВ  дискретная случайная
величина
НСВ  непрерывная случайная
величина
Закон распределения ДСВ
соответствие между возможными
значениями и их вероятностями
Х
х1
х2
…
хi
…
xn
р
p1
p2
…
pi
…
pn
Х
х1
х2
…
хi
…
xn
р
p1
p2
…
pi
…
pn
События Х = х1, Х = х2, …, Х = хn образуют полную
систему попарно несовместных событий, поэтому
сумма их вероятностей равна единице, т.е.
х1
х1
Ряд распределения ДСВ
Табличный способ
X
x1
x2
x3
…
xn
P
p1
p2
p3
…
pn
Первая строка  возможные значения
случайной величины в порядке возрастания
Вторая – их вероятности
n
p
i 1
i
1
U
Х
р
PP
0
1/4
Х
р
PГ
1
1/4
0
1/4
ГР
1
1/4
1
1/2
2
1/4
ГГ
2
1/4
Пример
В денежной лотерее выпущено 100
билетов.
Разыгрывается один выигрыш в 10 000
рублей и десять выигрышей по 1 000
рублей.
Найти ряд распределения случайной
величины X – стоимости возможного
выигрыша для владельца одного
лотерейного билета.
Пример
1
P( X  10000) 
 0,01
100
10
P( X  1000) 
 0,1
100
P( X  0)  1  0,1  0,01  0,89
X
0
1 000
10 000
P
0,89
0,1
0,01
1. Суммой двух случайных величин X и Y называется
случайная величина, которая получается в результате
сложения всех значений случайной величины Х и всех
значений случайной величины Y, соответствующие
вероятности перемножаются.
двух случайных величин X и Y
называется случайная величина, которая получается в
результате перемножения всех значений случайной
величины Х и всех значений случайной величины Y,
соответствующие вероятности перемножаются.
X и Y заданы в виде таблиц:
Х
р
0
1
2
3
0,1 0,4 0,3 0,2
Найти: 1) Х + С, где
С = 2; 2) Z=X + Y.
Z
p
Z
у
р
Х+С
р
-1
0,2
0
0,3
1
0,5
ЧИСЛОВЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДСВ
Математическое ожидание
Сумма произведений всех возможных
значений случайной величины на их
вероятности
n
M ( X )   xi pi
i 1
Приближённо равно среднему
значению случайной величины
Пример
X
P
1
2
5
0,3
0,5
0,2
M ( X )  1 0,3  2  0,5  5  0,2  2,3
Пример
X
P
-1
0
1
0,2
0,6
0,2
M ( X )  1 0,2  0  0,6  1 0,2  0
X
P
-100
0
100
0,2
0,6
0,2
M ( X )  100  0,2  0  0,6  100  0,2  0
Свойства математического ожидания
1. Постоянный множитель можно выносить за знак
математического ожидания: М(СХ) = С М(Х).
2. Математическое ожидание суммы двух случайных
величин равно сумме их математических ожиданий:
М(X + Y) = M (X) + M (Y).
3. Математическое ожидание постоянной величины С
равно самой этой величине: М (С) = С.
4. Математическое ожидание любой линейной
комбинации случайных величин равно линейной
комбинации их математических ожиданий:
М ( Сk Хk) =  (Сk M (Хk)).
5. Математическое ожидание произведения
независимых случайных величин равно
произведению их математических ожиданий:
M (XY) = M (X) M(Y).
Дисперсия
Рассеяние случайной величины
Математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от её
математического ожидания
D( X )  M  X  M ( X )
2
  M ( X )
D( X )  M X
2
2
Пример
X
P
1
2
5
0,3
0,5
0,2
M ( X )  1 0,3  2  0,5  5  0,2  2,3
X2
P
12
22
52
0,3
0,5
0,2
M ( X )  1 0,3  4  0,5  25  0,2  7,3
D( X )  7,3  2,3  2,01
2
Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D (X) = 0.
2. Если Х – случайная величина, а С – постоянная,
то
D (СX) = С2 D (X),
D (X + С) = D (X).
3. Если Х и Y– независимые случайные величины,
то
D (X + Y) = D (X) + D (Y).
Пример.
Дискретная случайная величина
распределена по закону:
Х
-1
0
1
2
р
0,2
0,1
0,3
0,4
Найти D(X).
Упражнения
1. Найти математическое ожидание случайной
величины Х, если закон её распределения задан
таблицей:
Х
1
2
3
4
р
0,3
0,1
0,2
0,4
2. На заводе работают четыре автоматические линии.
Вероятность того, что в течение рабочей смены первая
линия не потребует регулировки, равна 09, вторая –
0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7. Найти
математическое ожидание числа линий, которые в
течение рабочей смены не потребуют регулировки.
3. Найти дисперсию случайной величины Х, если
закон её распределения задан таблицей:
Х
1
2
3
4
5
р
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02
4. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но
успевает делать не более четырех выстрелов. Найти
дисперсию числа промахов, если вероятность
попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.
Среднее квадратическое
отклонение
Квадратный корень из дисперсии
 ( X )  D( X )
Имеет ту же размерность, что и
случайная величина
Пример
X
P
1
2
5
0,3
0,5
0,2
M ( X )  2,3
D( X )  2,01
 ( X )  2,01  1,418