Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО "Уральский государственный технический университет – УПИ"
Теория вероятностей
Методические указания и контрольные задания к типовым расчетам по
курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"для студентов
дневной и заочной форм обучения всех специальностей
Часть 1
Екатеринбург
2007
УДК 519.2(07)
Составители М.А. Плескунов, Н.И. Потанин, С.И. Солодушкин
Научный редактор проф., д-р физ.-мат. наук А.И. Короткий
Теория вероятностей : методические указания и контрольные задания к типовым расчетам по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика". В 2 ч. Ч. 1/ сост. М.А. Плескунов, Н.И. Потанин, С.И.
Солодушкин.− Екатеринбург : ГОУ ВПО УГТУ–УПИ, 2007.− 82 с.
В работе представлены образцы решения задач и контрольные задания к
типовым расчетам по теории вероятностей. Приведены различные способы
решения.
В первой расчетно-графической работе (задания 1-12) представлены основные типы задач теории вероятностей. 1, 2 задания – на действия с событиями; 3 задание – на классическое определение вероятности; 4, 5 задания –
комбинаторика: сочетания, размещения, схема урн; условная вероятность;
6 задание – геометрическая вероятность; 7 задание – вычисление вероятности только одного или только двух событий из нескольких; 8 задание –
вычисление вероятности противоположных событий; 9 задание – формула полной вероятности и формула Байеса; 10 задание – схема Бернулли,
формула Бернулли; 11 задание – формулы Муавра-Лапласа; 12 задание –
формула Пуассона.
Во второй расчетно-графической работе задания 1-6 представляют основные задания на распределение случайных величин.
Подготовлено кафедрой «Прикладная математика».
c ГОУ ВПО "Уральский государственный
°
технический университет – УПИ", 2007
1. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ОТРАБОТКИ
НЕКОТОРЫХ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ КУРСА
(Для всех вариантов)
1. Образуют ли полную группу следующие группы событий:
а) опыт - бросание монеты, события: A1 - появление герба, A2 - появление
цифры;
б) опыт - бросание двух монет, события: B1 - появление двух гербов, B2 появление двух цифр;
в) опыт - два выстрела по мишени, события: C1 - ни одного попадания,
C2 - одно попадание, C3 - два попадания;
г) опыт - два выстрела по мишени, события: D1 - хотя бы одно попадание,
D2 - хотя бы один промах?
2. Являются ли совместными следующие события:
а) опыт - бросание монеты, события: A1 - появление герба, A2 - появление
цифры;
б) опыт - бросание двух монет, события: B1 - появление герба на первой
монете, B2 - появление цифры на второй монете;
в) опыт - два выстрела по мишени, события: C1 - ни одного попадания,
C2 - одно попадание, C3 - два попадания;
г) опыт - два выстрела по мишени, события: D1 - хотя бы одно попадание,
D2 - хотя бы один промах?
3. Являются ли равновозможными следующие события:
а) опыт - бросание симметричной монеты, события: A1 - появление герба,
A2 - появление цифры;
б) опыт - бросание погнутой монеты, события: B1 - появление герба,
B2 - появление цифры;
в) опыт - выстрел по мишени, события: C1 - попадание, C2 - промах;
3
г) опыт - бросание двух монет, события: D1 - появление двух гербов,
D2 - появление двух цифр, D3 - появление одного герба и одной цифры;
д) опыт - бросание игральной кости, события: E1 - появление не менее
трех очков, E2 - появление не более четырех очков;
е) опыт - бросание игральной кости, события: F1 - появление не менее
трех очков, F2 - появление не более трех очков?
4. Являются ли независимыми или же будут зависимыми следующие
события:
а) опыт - бросание двух монет, события: A1 - на первой монете выпал
герб, A2 - на второй монете выпала цифра;
б) опыт - из ящика, содержащего 10 шаров, среди которых 4 красных
шара, последовательно вынимают два шара, события: B1 - первый вынутый
шар - красный, B2 - второй вынутый шар - красный;
в) опыт - стрелок дважды стреляет по мишени (без корректировки стрельбы), события: C1 - первым выстрелом стрелок поразил мишень, C2 - вторым
выстрелом стрелок поразил мишень;
г) опыт - стрелок дважды стреляет по мишени (без корректировки стрельбы), события: D1 - только один выстрел стрелка поразил мишень, D2 - оба
выстрела стрелка поразили мишень;
д) опыт - стрелок дважды стреляет по мишени (без корректировки стрельбы), события: E1 - стрелок поразил мишень с первого выстрела, E2 - стрелок
поразил мишень со второго выстрела?
5. Пусть A и B - произвольные события. Что означают события A, B,
A + B, AB, AB, AB, A + B, AB, A ∗ B?
6. Пусть А, В, С - три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что: а) произошло только событие А; б) произошли
события А и В, но событие С не произошло; в) все три события произошли;
г) произошло по крайней мере одно из этих событий; д) произошло одно и
только одно из этих событий; е) ни одно из этих событий не произошло.
4
2. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 1
2.1. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА РГР 1
ЗАДАЧА 1
В ящике находятся однотипные игрушки, часть из которых раскрашена.
Из ящика берут наудачу три игрушки. Событие A состоит в том, что хотя
бы одна из трех взятых игрушек раскрашена. Событие B - только одна
из взятых игрушек раскрашена. Событие C - ни одна из взятых игрушек
не раскрашена. Совместны или нет события A и B, A и C? Что означают
события A + B, AB, A, B, AC, AB, C, A + B + C?
РЕШЕНИЕ
События называются совместными, если они могут появиться вместе в
качестве исходов одного и того же опыта. В рассматриваемом случае событие A - хотя бы одна из трех взятых игрушек раскрашена, событие B только одна из взятых игрушек раскрашена. Эти события могут появиться
вместе как результат одного опыта. Действительно, если, например, первая
из взятых игрушек оказалась раскрашенной, а две остальные - нет, то произошло событие B - только одна из трех игрушек оказалась раскрашенной,
но вместе с ним произошло и событие A - хотя бы одна из этих трех игрушек
оказалась раскрашенной. Следовательно, события A и B - совместные. События A и C - несовместны, так как если произойдет событие A, то событие
C произойти не сможет: если хотя бы одна игрушка окажется раскрашенной, то событие C - ни одна из игрушек не раскрашена - не произошло и
произойти вместе с событием A не может. Точно так же, если произошло
событие C, то это значит, что событие A не произошло.
Событие A + B означает, что хотя бы одно из двух событий (A или B)
произошло, то есть или хотя бы одна из трех взятых игрушек раскрашена,
или только одна из них раскрашена. Очевидно, что событие B - частный
случай события A. Следовательно, в данном случае A + B = A, так как
5
B ⊂ A (из события B следует событие A).
Событие AB - совместное (одновременное) появление событий A и B.
Поэтому оно возможно (смотри выше). В данном случае AB = B, так как
если появилось событие B (только одна из взятых игрушек раскрашена),
то произошло и событие A (хотя бы одна из взятых игрушек раскрашена).
Событие A - не произошло событие A, то есть неверно, что хотя бы
одна из взятых игрушек раскрашена, значит, ни одна из взятых игрушек
не раскрашена. Таким образом, в данном случае A = C.
Событие B - не произошло событие B, то есть неверно, что только одна из
взятых игрушек раскрашена. Это означает, что или раскрашенных игрушек
более одной, или же раскрашенных игрушек среди взятых трех нет.
Событие AC - невозможное событие (AC = ∅) в силу несовместности
событий A и C.
Событие AB состоит в том, что произошло событие A, то есть хотя бы одна из игрушек оказалась раскрашенной, но при этом не произошло событие
B, то есть неверно, что только одна из взятых игрушек оказалась раскрашенной. Это означает, что среди взятых игрушек раскрашенных оказалось
более одной (т.е. две или все три).
Событие C - не произошло событие C, т.е. неверно, что среди взятых игрушек нет ни одной раскрашенной. Это значит, что хотя бы одна из взятых
игрушек раскрашена, т.е. C = A.
Событие A+B+C - хотя бы одно (по крайней мере одно) из трех событий
(A, или B, или C) произошло, т.е. или хотя бы одна из игрушек раскрашена,
или только одна из них раскрашена, или ни одна из них не раскрашена. Так
как A + B = A, то A + B + C = A + C - это означает, что или хотя бы
одна из игрушек раскрашена, или же ни одна из них не раскрашена, а
только это и может произойти в результате рассматриваемого опыта, т.е.
данное событие - достоверное (Ω), проиcходящее при каждой реализации
рассматриваемого опыта.
6
Таким образом, A + B + C = A + C = Ω. Это же следует из того, что
A = C, A + B + C = A + C = C + C = Ω.
ОТВЕТ необходимо записать в следующем виде:
A и B - совместны;
A и C - несовместны;
A + B = A (хотя бы одна из взятых игрушек раскрашена);
AB = B (только одна из взятых игрушек раскрашена);
A = C (ни одна из взятых игрушек не раскрашена);
B - из трех взятых игрушек или раскрашено более одной, т.е. две или
три, или ни одна из них не раскрашена;
AC = ∅ (невозможное событие);
AB - из трех взятых игрушек раскрашено более одной, т.е. две или три
игрушки;
C = A (хотя бы одна из взятых трех игрушек раскрашена);
A + B + C = A + C = A + A = C + C = Ω (достоверное событие).
ЗАДАЧА 2
Пусть в условиях предыдущей задачи события:
A1 - первая из взятых игрушек раскрашена;
A2 - вторая из взятых игрушек раскрашена;
A3 - третья из взятых игрушек раскрашена.
Найти выражения для событий, состоящих в том, что:
а) только третья из взятых игрушек раскрашена;
б) первая и третья из взятых игрушек раскрашены, а вторая не раскрашена;
в) все три взятые игрушки раскрашены;
г) по крайней мере одна из взятых игрушек раскрашена;
д) только одна из взятых игрушек раскрашена;
е) ни одна из взятых игрушек не раскрашена.
7
РЕШЕНИЕ
Произведение событий обозначает совместное появление таких событий
в одном опыте. Сумма событий обозначает появление хотя бы одного из
этих событий в одном опыте. Через A обозначают то, что событие A не
произошло. Поэтому:
а) { только третья из взятых игрушек раскрашена } = { первая и вторая
из взятых игрушек не раскрашены, а третья раскрашена } = A1 ∗ A2 ∗ A3 ;
б) { первая и третья из взятых игрушек раскрашены, а вторая не раскрашена } = A1 ∗ A2 ∗ A3 ;
в) { все три взятые игрушки раскрашены } = { раскрашена и первая, и
вторая, и третья игрушка } =A1 ∗ A2 ∗ A3 ;
г) { по крайней мере одна из взятых игрушек раскрашена } = { раскрашены первая, или вторая, или третья игрушка, или любые две из них,
или все три } = { хотя бы одна из трех взятых игрушек раскрашена } =
= A = A1 + A2 + A3 ;
д) { только одна из взятых игрушек раскрашена } = { раскрашена первая игрушка, а вторая и третья не раскрашены, или раскрашена вторая игрушка, а первая и третья не раскрашены, или первая и вторая игрушки не
раскрашены, а третья - раскрашена } = A1 ∗A2 ∗A3 +A1 ∗A2 ∗A3 +A1 ∗A2 ∗A3 ;
е) { ни одна из взятых игрушек не раскрашена } = { не раскрашена
первая игрушка, и не раскрашена вторая игрушка, и не раскрашена третья
игрушка } = { не раскрашена ни первая, ни вторая, ни третья игрушка } =
= C = A = A1 ∗ A2 ∗ A3 .
Таким образом, A = A1 + A2 + A3 = A1 ∗ A2 ∗ A3 = C, т.е. события A =
= { хотя бы одна из трех взятых игрушек раскрашена } и C = { ни одна из трех взятых игрушек не раскрашена } являются противоположными
событиями.
A = A1 + A2 + A3 , C = A1 ∗ A2 ∗ A3 , C = A, A = C.
8
ОТВЕТ: а) A1 ∗ A2 ∗ A3 ; б)A1 ∗ A2 ∗ A3 ; в)A1 ∗ A2 ∗ A3 ; г)A1 + A2 + A3 ;
д)A1 ∗ A2 ∗ A3 + A1 ∗ A2 ∗ A3 + A1 ∗ A2 ∗ A3 ; е) A1 ∗ A2 ∗ A3 .
ЗАДАЧА 3
В ящике (урне) находятся 8 желтых, 4 синих, 7 красных и 1 черный
шар. Найти вероятность того, что вынутый наудачу из ящика шар окажется
синим или красным.
РЕШЕНИЕ
Опыт заключается в том, что из урны, содержащей 8 + 4 + 7 + 1 = 20
шаров, извлекают наудачу один шар. Все исходы опыта (их 20, т.к. можно
вынуть любой из имеющихся в урне шаров) равновозможны, элементарны
и несовместны. Число возможных исходов опыта n = |Ω| = 20.
Событие A - вынуть синий или красный шар. Благоприятный исход для
события A будет, если вынуть любой из 4 синих или любой из 7 красных
шаров. Таким образом, число благоприятных событию A исходов опыта
m = |A| = 4 + 7 = 11.
Следовательно, можно воспользоваться классическим определением вероятности: P (A) =
m
n
=
m
n
=
|A|
|Ω| .
Вероятность события A: P (A) =
m
n
=
11
20 ,
т.е.
чуть больше 12 .
ОТВЕТ: P (A) =
11
20 .
ЗАДАЧА 4
В доставленном на склад ящике 30 приборов. Из них 6 неисправных.
Найти вероятность того, что из взятых наудачу 5 приборов 3 будут исправны.
РЕШЕНИЕ
Опыт состоит в извлечении из множества элементов определенного состава подмножества тоже определенного состава. Поэтому нужно воспользоваться "схемой урн".
Число всех исходов опыта (элементарных, несовместных и равновозможных) равно числу различных сочетаний из 30 элементов по 5 (выбираем
9
любые 5 элементов из имеющихся 30):
5
n = C30
=
30!
= 142506.
5!(30 − 5)!
Число благоприятных исходов опыта равно числу сочетаний из 24 исправных приборов (30 − 6 = 24) по 3, умноженному на число сочетаний из 6
неисправных приборов по 2 (5 − 3 = 2), так как с каждым сочетанием 3 исправных приборов возможно любое сочетание двух неисправных приборов
из имеющихся 6.
24 ∗ 23 ∗ 22 6 ∗ 5
∗
=
3!
2!
24 ∗ 23 ∗ 22 ∗ 6 ∗ 5
= 30360.
=
3∗2∗1∗2∗1
3
∗C62
C24
30360
= 142506
Искомая вероятность P (A) = m
=
≈ 0.213.
n
C5
3
m = C24
∗ C62 =
ОТВЕТ: P (A) =
m
n
=
3
∗C62
C24
5
C30
30
≈ 0.213.
ЗАДАЧА 5
На 10 карточках разрезной азбуки имеются буквы: на 4 из них - буква
К, на 3 - буква А, на 2 - буква З и на 1 - буква С. Карточки тщательно
перемешаны. Наудачу выбирают по одной 6 карточек и выкладывают их
по мере поступления в ряд слева направо. Найти вероятность того, что в
результате будет выложено слово СКАЗКА.
РЕШЕНИЕ
1-й способ. Рассмотрим события: A1 - первой появится буква С; A2 второй появится буква К; A3 - третьей появится буква А; A4 - четвертой
появится буква З; A5 - пятой появится буква К; A6 - шестой появится буква А.
Тогда событие Z = { выложено слово СКАЗКА } можно записать как
произведение всех рассмотренных событий: Z = A1 A2 A3 A4 A5 A6 . Появление
очередной буквы меняет состав оставшихся букв и, следовательно, вероятность появления следующей буквы. Значит, рассмотренные события зависимы. Тогда P (Z) = P (A1 A2 A3 A4 A5 A6 ), и нужно воспользоваться общим
10
случаем теоремы умножения вероятностей:
P (Z) = P (A1 A2 A3 A4 A5 A6 ) = P (A1 ) ∗ P (A2 /A1 ) ∗ P (A3 /A1 A2 )∗
∗P (A4 /A1 A2 A3 ) ∗ P (A5 /A1 A2 A3 A4 ) ∗ P (A6 /A1 A2 A3 A4 A5 ).
Найдем эти вероятности. Вероятность того, что первой появится буква
С, P (A1 ) =
1
10
(имеется только одна карточка с буквой С из 10).
Вероятность того, что второй появится буква К, при условии, что первой
появилась буква С, P (A2 /A1 ) =
4
9
(имеется 4 карточки из оставшихся 9, на
которых есть буква К).
Вероятность того, что третьей появится буква А, при условии, что уже
появились буквы С и К, P (A3 /A1 A2 ) =
3
8
(3 карточки из оставшихся 8
содержат букву А).
Вероятность того, что четвертой появится буква З, при условии, что уже
появились буквы С, К, А, P (A4 /A1 A2 A3 ) =
2
7
(имеются две карточки с
буквой З из оставшихся 7).
Вероятность того, что пятой появится буква К, при условии, что уже
имеются буквы С, К, А, З, P (A5 /A1 A2 A3 A4 ) =
3
6
(остались 3 карточки с
буквой К среди оставшихся 6 краточек).
Вероятность того, что шестой появится буква А, при условии, что ранее появились буквы С, К, А, З, К, P (A6 /A1 A2 A3 A4 A5 ) =
2
5
(только две
карточки теперь содержат букву А среди оставшихся 5 карточек).
Таким образом,
P (Z) = P (A1 A2 A3 A4 A5 A6 ) = P (A1 ) ∗ P (A2 /A1 ) ∗ P (A3 /A1 A2 )∗
∗P (A4 /A1 A2 A3 ) ∗ P (A5 /A1 A2 A3 A4 ) ∗ P (A6 /A1 A2 A3 A4 A5 ) =
=
1 4 3 2 3 2
144
1
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =
=
.
10 9 8 7 6 5 151200 1050
2-й способ. Будем считать, что все буквы различны (например, одинаковые буквы отличаются цветом). Тогда общее количество различных исходов
11
опыта (то есть различных размещений разных по цвету и значению букв
на 6 имеющихся мест) равно числу размещений из 10 по 6 без повторения
элементов:
n = A610 = 10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5 = 151200.
Число благоприятных исходов подсчитаем следующим образом: есть 4
карточки с буквой К, и нам безразлично, какие по цвету буквы К будут
стоять на 2 имеющихся у нас местах (2-м и 5-м), предназначенных для этой
буквы. Значит, благоприятных вариантов размещения буквы К будет
A24 = 4 ∗ 3 = 12.
Благоприятных вариантов размещения буквы А (есть 3 карточки с такой
буквой) на 2 места (3-е и 6-е) будет A23 = 3 ∗ 2 = 6; есть также 2 карточки
с буквой З, и нам безразлично, какая из них будет стоять на предназначенном для нее (4-м) месте. Значит, благоприятных вариантов размещения
буквы З будет A12 = 2. После выбора любого варианта размещения буквы К можно выбрать любой вариант размещения буквы А, а после этого
любой вариант размещения буквы З. Выбор буквы С может быть осуществлен единственным способом. Таким образом, число благоприятных исходов
опыта согласно теореме умножения в комбинаторике будет равно произведению рассмотренных вариантов:
m = A24 ∗ A23 ∗ A12 ∗ 1 = 4 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 1 = 144.
Искомая вероятность будет равна
m A24 ∗ A23 ∗ A12
4∗3∗3∗2∗2
P (Z) =
=
=
=
n
A610
10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5
144
1
=
=
.
151200 1050
1
ОТВЕТ: P (Z) = 1050
.
12
ЗАДАЧА 6
В квадрат вписан круг, а в него вписан правильный шестиугольник. В
квадрат наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка
попадет в шестиугольник.
РЕШЕНИЕ
Воспользуемся геометрическим определением вероятности. Вероятность
рассматриваемого события равна отношению площади шестиугольника к
площади квадрата. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в
окружность, равна радиусу окружности. Пусть радиус окружности равен r.
Площадь вписанного правильного шестиугольника можно найти как сумму
площадей 6 одинаковых правильных равносторонних треугольников, у которых одна из вершин находится в центре окружности. Площадь правильного треугольника со стороной равной r вычислим по формуле s =
ким образом, площадь шестиугольника Sш = 6s =
3r
2
√
2
3
√
r2 3
4 .
Та-
. Сторона квадрата,
в который вписана окружность радиуса r, равна диаметру этой окружности, то есть 2r. Площадь квадрата в этом случае Sкв = (2r)2 = 4r2 . Вероятность рассматриваемого события
√
√
3 3r2
Sш
3 3
=
P (A) =
=
.
Sкв
2 ∗ 4r2
8
ОТВЕТ: P (A) =
√
3 3
8 .
ЗАДАЧА 7
Четыре студента сдают экзамен. Вероятность сдать экзамен с первого
раза у первого студента - 0.5, у второго - 0.7, у третьего - 0.4, у четвертого 0.8. Найти вероятность того, что только два из них сдадут экзамен с первого
раза.
РЕШЕНИЕ
Обозначим через Ai событие, состоящее в том, что i-й студент сдаст экзамен с первого раза (i = 1, 2, 3, 4). Тогда событие A, заключающееся в том,
что только два студента из четырех сдадут экзамен с первого раза, можно
13
выразить следующим образом:
A = A1 ∗ A2 ∗ A3 ∗ A4 + A1 ∗ A2 ∗ A3 ∗ A4 + A1 ∗ A2 ∗ A3 ∗ A4 +
+A1 ∗ A2 ∗ A3 ∗ A4 + A1 ∗ A2 ∗ A3 ∗ A4 + A1 ∗ A2 ∗ A3 ∗ A4 .
В силу того, что слагаемые в этой сумме являются событиями несовместными, а сомножители в каждом из слагаемых - событиями независимыми
в совокупности, вероятность события A будет равна сумме произведений
безусловных вероятностей соответствующих событий:
P (A) = p1 p2 q3 q4 + p1 q2 p3 q4 + p1 q2 q3 p4 + q1 p2 p3 q4 +
+q1 p2 q3 p4 + q1 q2 p3 p4 ,
где pi = P (Ai ); qi = P (Ai ) = 1 − P (Ai ), i = 1, 2, 3, 4. Таким образом,
p1 = P (A1 ) = 0.5; q1 = 1 − 0.5 = 0.5;
p2 = P (A2 ) = 0.7; q2 = 1 − 0.7 = 0.3;
p3 = P (A3 ) = 0.4; q3 = 1 − 0.4 = 0.6;
p4 = P (A4 ) = 0.8; q4 = 1 − 0.8 = 0.2.
P (A) = 0.5 ∗ 0.7 ∗ 0.6 ∗ 0.2 + 0.5 ∗ 0.3 ∗ 0.4 ∗ 0.2 + 0.5 ∗ 0.3 ∗ 0.6 ∗ 0.8+
+0.5 ∗ 0.7 ∗ 0.4 ∗ 0.2 + 0.5 ∗ 0.7 ∗ 0.6 ∗ 0.8 + 0.5 ∗ 0.3 ∗ 0.4 ∗ 0.8 =
= 0.042 + 0.012 + 0.072 + 0.028 + 0.168 + 0.048 = 0.37.
ОТВЕТ: P (A) = 0.37.
ЗАДАЧА 8
Используя условия предыдущей задачи, найти вероятность того, что хотя
бы один из студентов сдаст экзамен с первого раза.
РЕШЕНИЕ
При отыскании вероятности появления хотя бы одного из нескольких
событий следует рассмотреть противоположное событие: ни одно из данных
14
событий не произойдет. Тогда P (A) = 1 − P (A). Событие A - хотя бы один
из 4 студентов сдаст экзамен с первого раза: A = A1 + A2 + A3 + A4 , где Ai −
событие, состоящее в том, что i-й студент сдаст экзамен с первого раза. По
условиям задачи p1 = P (A1 ) = 0.5; p2 = P (A2 ) = 0.7; p3 = P (A3 ) = 0.4;
p4 = P (A4 ) = 0.8. Событие A – ни один из 4 студентов не сдаст экзамен с
первого раза, то есть ни первый, ни второй, ни третий, ни четвертый студент
не сдаст с первого раза экзамен:
A = A1 + A2 + A3 + A4 = A1 ∗ A2 ∗ A3 ∗ A4 .
Вероятности этих событий: q1 = P (A1 ) = 1 − p1 = 0.5; q2 = P (A2 ) =
= 1 − p2 = 0.3; q3 = P (A3 ) = 1 − p3 = 0.6; q4 = P (A4 ) = 1 − p4 = 0.2. Так как
события A1 , A2 , A3 , A4 независимы в совокупности, события A1 , A2 , A3 , A4
тоже независимы в совокупности (вероятность появления каждого из событий не меняется от того, произошли или нет другие события этой группы),
значит, вероятность произведения таких событий равна произведению безусловных вероятностей этих событий.
P (A) = P (A1 ∗ A2 ∗ A3 ∗ A4 ) = q1 ∗ q2 ∗ q3 ∗ q4 = 0.5 ∗ 0.3 ∗ 0.6 ∗ 0.2 = 0.018.
Тогда P (A) = 1 − P (A) = 1 − q1 ∗ q2 ∗ q3 ∗ q4 = 1 − 0.018 = 0.982.
ОТВЕТ: P (A) = 0.982.
ЗАДАЧА 9
На трех полках размещены книги: на первой полке 12 книг, из них 3 детективные романы, на второй полке 20 книг, из них 15 - детективы; на
третьей полке 16 книг, из них 8 - детективы. Найти вероятность того, что
наудачу взятая книга с наудачу выбранной полки окажется детективом. Какова вероятность того, что книгу взяли с первой полки, если она оказалась
детективом?
РЕШЕНИЕ
Так как в задаче рассматриваются различные варианты действий, то решать ее следует с применением формулы полной вероятности и формулы
15
проверки гипотез (формула Байеса). Введем следующие события: событие
A - книга оказалась детективом; гипотеза H1 − была выбрана первая полка; гипотеза H2 − была выбрана вторая полка; гипотеза H3 − была выбрана третья полка. Событие A может произойти только вместе с одной из
рассмотренных гипотез. Гипотезы являются событиями несовместными и
составляют полную группу событий. Воспользуемся формулой полной вероятности события A:
P (A) = P (H1 ) ∗ P (A/H1 ) + P (H2 ) ∗ P (A/H2 ) + P (H3 ) ∗ P (A/H3 ).
Рассмотрим условные вероятности события A. Вероятность события A
при условии реализации гипотезы H1 , то есть при условии, что была выбрана первая полка, равна отношению числа детективов на этой полке (m1 = 3)
к общему числу книг на этой полке (n1 = 12), т.е. P (A/H1 ) =
Аналогично P (A/H2 ) =
m2
n2
=
15
20
= 34 , P (A/H3 ) =
m3
n3
=
8
16
m1
n1
=
3
12
= 14 .
= 21 .
Найдем вероятности гипотез. Так как выбор любой полки равновозможен, то вероятности всех трех гипотез равны:
P (H1 ) = P (H2 ) = P (H3 ) =
1
3
(выбор одной полки из трех). Теперь найдем вероятность события A по
формуле полной вероятности:
P (A) =
6
1
1 1 1 3 1 1 1+3+2
∗ + ∗ + ∗ =
=
= = 0.5.
3 4 3 4 3 2
12
12 2
Чтобы ответить на второй вопрос задачи, заметим: нам нужно найти
вероятность первой гипотезы H1 (то есть того, что книгу взяли с первой
полки) при условии, что взятая книга оказалась детективом (событие A
произошло). Воспользуемся формулой Байеса (формулой проверки или переоценки гипотез):
P (H1 /A) =
P (H1 ) ∗ P (A/H1 )
,
P (A)
16
где P (A)− полная вероятность события A. Эта вероятность нами уже найдена. Поэтому
P (H1 /A) =
1
3
∗
1
2
1
4
=
1
2
= .
3∗4 6
ОТВЕТ: P (A) = 12 ; P (H1 /A) = 16 .
ЗАДАЧА 10
Известно, что 40 % продающихся видеокассет нелицензионные. Какова
вероятность, что среди купленных четырех видеокассет три нелицензионные? Какова вероятность, что среди купленных 4 видеокассет не более 3
нелицензионных?
РЕШЕНИЕ
В этой задаче мы имеем дело с повторяющимися испытаниями. Покупка
каждой видеокассеты представляет собой одно испытание. Можно купить
либо нелицензионную кассету (событие A), либо лицензионную (событие A).
Так как вероятность покупки нелицензионной кассеты постоянна при
каждой покупке видеокассеты и равна 0.4 (40 % от всей поступающей продукции), то это независимые однородные испытания с двумя исходами в
каждом испытании (схема испытаний Бернулли).
Поэтому воспользуемся формулой Бернулли:
Pn (k) = Cnk pk q n−k ,
где n - число проведенных испытаний; k - число появлений события A в
проведенных испытаниях; p - вероятность появления события A в каждом
испытании (p = P (A)); q - вероятность появления события A в каждом
испытании (q = P (A) = 1−p); Pn (k) - вероятность того, что в n испытаниях
событие A появится ровно k раз.
В нашем случае n = 4 (сделано 4 покупки), k = 3 (куплено 3 нелицензионных видеокассеты), p = P (A) = 0.4 (вероятность покупки нелицензионной видеокассеты), q = P (A) = 1 − p = 0.6 (вероятность покупки
лицензионной видеокассеты).
17
Искомая вероятность
Pn (k) = P4 (3) = C43 p3 q =
4!
∗(0.4)3 ∗0.6 = 4∗0.43 ∗0.6 = 0.256∗0.6 = 0.1536.
3!1!
Для ответа на второй вопрос можно рассмотреть противоположное событие: более 3 купленных видеокассет нелицензионные. Так как всего куплено 4 кассеты, то это значит, что все 4 купленные кассеты нелицензионные. Таким образом, P4 (k > 3) = P4 (4) = C44 p4 q 0 = p4 = (0.4)4 = 0.0256,
т.к. C44 = 1.
Значит, P4 (k ≤ 3) = 1 − P4 (k > 3) = 1 − 0.0256 = 0.9744 - вероятность
того, что среди купленных 4 видеокассет не более 3 нелицензионных.
Эту же вероятность можно было бы найти непосредственно как сумму
вероятностей: P4 (k ≤ 3) = P4 (0) + P4 (1) + P4 (2) + P4 (3), но, очевидно, в
этом случае объем вычислений был бы больше.
В общем случае
m2
X
Pn (m1 ≤ k ≤ m2 ) =
Pn (k) =
k=m1
Pn (k ≤ m) =
m
X
Pn (k) =
k=0
Pn (k > m) =
n
X
k=m+1
m
X
m2
X
Cnk pk q n−k ,
k=m1
Cnk pk q n−k = 1 − Pn (k > m),
k=0
Pn (k) =
n
X
Cnk pk q n−k = 1 − Pn (k ≤ m).
k=m+1
ОТВЕТ: P4 (3) = 0.1536, P4 (k ≤ 3) = 0.9744.
ЗАДАЧА 11
Вероятность того, что посетитель аптеки потребует средство от кашля,
равна 0.25. Определить вероятность того, что из 200 посетителей аптеки
средство от кашля потребуют: а) 30 человек; б) не более 100 человек. Найти
наивероятнейшее число посетителей из этих 200, которые потребуют средство от кашля.
18
РЕШЕНИЕ
Мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний, соответствующих схеме Бернулли. Число испытаний велико. Вероятность рассматриваемого события постоянна, отлична от 0 и 1 и не близка к 0 и 1.
Следовательно, можно воспользоваться локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа (np > 5 и nq > 5 - рекомендуемые соотношения
для использования теорем Муавра-Лапласа). У нас n = 200, p = 0.25,
q = 1 − p = 1 − 0.25 = 0.75, np = 200 ∗ 0.25 = 50, nq = 200 ∗ 0.75 = 150,
√
npq = 50 ∗ 0.75 = 37.5, npq ≈ 6.12.
a) Найдем приближенные значения искомых вероятностей:
Pn (k) ≈ √
1
k − np
ϕ(x), x = √
npq
npq
(локальная теорема Муавра-Лапласа).
В нашем случае
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1
30 − 50
−20
20
1
1
P200 (30) ≈ √
ϕ √
ϕ √
ϕ √
=√
=√
≈
37.5
37.5
37.5
37.5
37.5
37.5
≈ 0.16 ∗ ϕ(3.27) ≈ 0.16 ∗ 0.0019 ≈ 0.0003.
Здесь мы воспользовались четностью функции ϕ(x) : ϕ(−x) = ϕ(x) и по
табл. П. 1 нашли значение функции при x = 3.27: ϕ(3.27) ≈ 0.0019.
Итак, вероятность того, что ровно 30 человек из 200 посетителей аптеки
потребуют средство от кашля, равна P200 (30) ≈ 0.0003, т.е. ничтожно мала.
Это происходит в силу того, что здесь мы требуем точного значения числа
посетителей (не больше и не меньше 30).
б) Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа:
µ
k2 − np
Pn (k1 ≤ k ≤ k2 ) ≈ Φ √
npq
19
¶
µ
¶
k1 − np
−Φ √
.
npq
Имеем
µ
¶
µ
¶
100 − 50
0 − 50
√
P200 (k ≤ 100) = P200 (0 ≤ k ≤ 100) ≈ Φ
−Φ √
=
37.5
37.5
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
50
−50
50
50
=Φ √
−Φ √
=Φ √
+Φ √
=
37.5
37.5
37.5
37.5
µ
¶
50
=2∗Φ √
= 2 ∗ Φ(8.165) ≈ 2 ∗ 0.5 = 1.
37.5
Мы воспользовались нечетностью функции Φ(x): Φ(−x) = −Φ(x).
Значение функции Φ(x) при x > 5 считаем приближенно равным 0.5 (погрешность такого приближения весьма мала). Значения функции Φ(x) при
0 ≤ x ≤ 5 можно найти по табл. П. 3. Таким образом, событие, заключающееся в том, что не более 100 человек из 200 потребуют средство от кашля,
является практически достоверным событием. Наивероятнейшее число посетителей (k0 ) из 200, которым потребуется средство от кашля, найдем по
формуле np − q ≤ k0 < np + p, k0 − целое число.
Так как np в нашем случае является целым числом, то это число и будет
равным числу k0 . Таким образом, k0 = np = 50.
ОТВЕТ: P200 (30) ≈ 0.0003; P200 (k ≤ 100) ≈ 1; k0 = 50.
ЗАДАЧА 12
В магазин поступила партия из 1500 банок консервированных маслин в
жестяной упаковке. Вероятность того, что при транспортировке банка помнется, равна 0.002. Определить вероятность того, что в полученной партии
окажется: а) только 3 помятых банки; б) не более 3 помятых банок; в) более
3 помятых банок. Найти среднее число помятых банок в такой партии.
РЕШЕНИЕ
В данной задаче, как и в предыдущей, имеется последовательность независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли.
Число испытаний велико, но вероятность появления события A (банка
оказалась помятой) весьма мала. Поэтому для приближенного подсчета вероятностей рассматриваемых событий следует воспользоваться теоремой
20
Пуассона. Рекомендации для применения этой теоремы таковы: n > 20,
p < 0.05, np ≤ 7.
В нашем случае эти соотношения выполнены: n = 1500 (число испытаний), p = 0.002 (вероятность появления события A).
Среднее число помятых банок в партии λ = np = 1500 ∗ 0.002 = 3.
Воспользуемся приближенной формулой
λk
∗ e−λ ,
k!
где k − число появлений события A в n испытаниях; λ = np − среднее
Pn (k) ≈
число (математическое ожидание) появлений события A в этих испытаниях.
Найдем вероятность того, что в партии только 3 помятые банки: k = 3,
λ = 3 и тогда P1500 (3) ≈
33
3!
∗ e−3 =
9
2
∗ e−3 ≈ 4.5 ∗ 0.04979 ≈ 0.224.
Величину e−3 возьмем из табл. П. 2.
Вероятность того, что в партии не более 3 помятых банок, подсчитаем
следующим образом:
λ0 −λ λ −λ
e + e +
0!
1!
µ
¶
32 33 −3
= 1+3+ +
e =
2
6
P1500 (k ≤ 3) = P1500 (0) + P1500 (1) + P1500 (2) + P1500 (3) ≈
λ3
λ2
+ e−λ + e−λ =
2!
3!
µ
λ0
λ λ2 λ3
+ +
+
0! 1! 2!
3!
¶
e−λ
= (1 + 3 + 4.5 + 4.5)e−3 = 13 ∗ e−3 ≈ 13 ∗ 0.04979 ≈ 0.647.
Имеем в виду, что 0! = 1 и 1! = 1.
Вероятность того, что в партии более 3 помятых банок, найдем через
вероятность противоположного события:
P1500 (k > 3) = 1 − P1500 (k ≤ 3) ≈ 1 − 0.647 = 0.353.
21
Вообще,
Pn (k ≤ m) =
m
X
Pn (k) = Pn (0) + Pn (1) + Pn (2) + Pn (3) + . . . + Pn (m) ≈
k=0
µ
≈
λ2 λ3
λm
1+λ+
+
+ ... +
2!
3!
m!
¶
e−λ ,
Pn (k > m) = 1 − Pn (k ≤ m).
ОТВЕТ: а) P1500 (3) ≈ 0.224; б) P1500 (k ≤ 3) ≈ 0.647;
в) P1500 (k > 3) ≈ 0.353.
22
2.2. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ РГР 1
Вариант 1
1. Из ящика для проверки берется наудачу одна деталь. События: A - взятая наудачу деталь первого сорта; B - деталь второго сорта. Совместны
или нет события A и B? Что означают события A + B, AB, A, B?
2. В условиях предыдущей задачи найти выражения для событий, состоящих в том, что: а) произошло только событие A; б) произошли оба
события A и B; в) произошло по крайней мере одно из этих событий;
г) произошло одно и только одно событие; д) ни одно событие не произошло.
3. В коробке имеется 10 красных, 15 желтых и 5 синих карандашей. Наудачу вынимают один карандаш. Какова вероятность того, что он
синий?
4. В партии из 10 изделий 4 бракованных. Из партии выбирают наугад
6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2
окажутся бракованными.
5. Слово РАКЕТА составлено из букв разрезной азбуки. Буквы данного
слова перемешивают и берут наугад, раскладывая в ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово
КАРЕТА?
6. Электрический провод, соединяющий пункты A и B, порвался в неизвестном месте. Чему равна вероятность того, что разрыв произошел не
далее 1 км от пункта A, если расстояние между пунктами равно 5 км?
7. Три стрелка независимо один от другого ведут стрельбу по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка - 0.8; для второго - 0.7;
23
для третьего - 0.6. Найти вероятность того, что при одном выстреле
каждого стрелка только один из них попадет в цель.
8. В группе 30 юношей и 20 девушек. Выбирается делегация из 2 человек.
Выбор производится путем жеребьевки. Какова вероятность того, что
в составе делегации будет хотя бы одна девушка?
9. Поступило 3 партии изделий, причем количество изделий во второй
и третьей партиях одинаково, а в первой партии в три раза больше,
чем во второй, и известно, что изделий 1-го сорта в первой партии 80 %, во второй - 75 %, а в третьей - 90 %. Какова вероятность того,
что выбранное наугад изделие окажется 1-го сорта? Найти вероятность
того, что изделие было взято из второй партии, если оно оказалось
изделием 1-го сорта.
10. Партия содержит 10 % брака. Найти вероятность того, что среди 5
наугад взятых изделий: а) два будут испорченными; б) испорченными
будут не более двух изделий.
11. Вероятность того, что посетитель магазина сделает в нем покупку, равна 0.3. Определить вероятность того, что из 100 посетителей покупку
сделают: а) 80 человек; б) не менее 90 человек. Найти наивероятнейшее
число посетителей из этих 100, сделавших покупки.
12. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется с дефектом, равна 0.02. Определить вероятность
того, что среди 200 деталей окажется: а) только 5 бракованных; б) не
более двух бракованных; в) более двух бракованных. Найти среднее
число бракованных изделий в партии из 200 деталей.
24
Вариант 2
1. Два стрелка делают по цели по одному выстрелу. Событие A - первый
стрелок попадает в цель; событие B - второй стрелок попадает в цель.
Совместны или нет события A и B? Что означают события A + B,
B, AB, AB?
2. В условиях предыдущей задачи найти выражения для событий, состоящих в том, что: а) произошло только событие A; б) произошли оба
события A и B; в) произошло по крайней мере одно из этих событий;
г) произошло одно и только одно событие; д) ни одно событие не произошло.
3. На завод поступила партия из 100 деталей. Известно, что среди них
5 нестандартных. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь
будет стандартной.
4. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся разного цвета?
5. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одну за другой выбирают три и располагают в ряд в порядке появления. Какова вероятность,
что получится слово ДВА ?
6. Внутри прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 2, 3,
5 см, наудачу выбирается точка M . Какова вероятность того, что она
окажется внутри куба с ребром 1 см, помещенного в этом параллелепипеде?
7. В телеателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны: 0.8; 0.85; 0.9;
0.95. Найти вероятность того, что только один из кинескопов выдержит
гарантийный срок службы.
25
8. В магазин поступила партия электроламп. Известно, что вследствие
перевозки 4 % электроламп становятся неисправными. Найти вероятность того, что из купленных 2 электроламп хотя бы одна исправна.
9. Сборщик получил 2 коробки одинаковых деталей, изготовленных заводом № 1, и 3 коробки таких же деталей, изготовленных заводом № 2.
Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0.9, а завода
№ 2 - 0.7. Из наудачу взятой коробки сборщик наудачу извлек деталь.
Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь. Какова вероятность того, что сборщик взял деталь, изготовленную заводом № 1,
если деталь оказалась стандартной?
10. Вероятность того, что студент ответит на каждый заданный ему вопрос, одна и та же и равна 0.2. Какова вероятность того, что студент
ответит: а) на 2 из заданных ему 6 вопросов; б) не более чем на 2 из
заданных ему 6 вопросов?
11. Вероятность того, что заявка на поставку оборудования будет удовлетворена в течение указанного в ней срока, равна 0.8. Найти вероятность
того, что из 300 заявок удовлетворены в срок будут: а) 250 заявок; б) не
менее 100, но не более 200 заявок. Найти наивероятнейшее число заявок
из данных 300, которые будут удовлетворены в указанный срок.
12. Рукопись содержит 600 страниц печатного текста. Вероятность того,
что потребуется замена страницы, равна 0.005. Определить вероятность того, что потребуется замена: а) четырех страниц; б) не более
двух страниц; в) более двух страниц. Найти среднее число страниц,
требующих замены.
26
Вариант 3
1. Событие A состоит в том, что хотя бы два изделия из пяти бракованные, событие B - только одно из них бракованное. Совместны или нет
события A и B? Что означают события A + B, AB, A, A + A, B?
2. В условиях предыдущей задачи найти выражения для событий, состоящих в том, что: а) произошло только событие A; б) произошли оба
события A и B; в) произошло по крайней мере одно из этих событий;
г) произошло одно и только одно событие; д) ни одно событие не произошло.
3. На девяти карточках написаны цифры от 1 до 9 (по одной цифре на
каждой карточке). Наудачу вынимается одна карточка. Какова вероятность того, что вынутое число делится на 3?
4. Собрание, на котором присутствуют 15 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Найти вероятность того, что в
делегацию войдут двое мужчин и одна женщина.
5. Ребенок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки: А, А, М, М.
Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд
он получит слово МАМА?
6. Самолет бомбит железнодорожный мост, длина которого 200 м и ширина 15 м. Какова вероятность попасть в мост, если бомбы рассеиваются
равномерно по площади, равной 12000 кв. м (включающей в себя мост)?
7. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих
сигнализатора. Вероятности того, что при аварии сигнализатор сработает, равны: для первого - 0.8; для второго - 0.9; для третьего - 0.95.
Найти вероятность того, что при аварии только один из сигнализаторов сработает.
27
8. Рабочий обслуживает два станка. Вероятность того, что первый станок
за смену потребует внимания рабочего, равна 0.6. Вероятность того,
что второй станок за смену потребует внимания рабочего, равна 0.8.
Найти вероятность того, что хотя бы один станок за смену потребует
внимания рабочего.
9. Сборщик получил 3 ящика деталей. В 1-м ящике имеется 40 деталей, из
них 20 окрашенных; во 2-м ящике - 50 деталей, из них 10 окрашенных; в
3-м ящике - 30 деталей, из них 15 окрашенных. Найти вероятность того,
что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика окажется
окрашенной. Какова вероятность того, что сборщик взял деталь из
второго ящика, если оказалось, что взятая деталь окрашена?
10. Партия содержит 30 % изделий 1-го сорта. Найти вероятность того, что
среди 4 взятых наугад изделий: а) два будут 1-го сорта; б) не менее двух
будут 1-го сорта.
11. Вероятность того, что работник учреждения сделает профилактическую прививку, равна 0.7. Найти вероятность того, что из 260 работников учреждения прививку сделают: а) 150 человек; б) не более 200
человек. Найти наивероятнейшее число работников из этих 260, которые сделают прививку.
12. Завод отправил на базу 400 доброкачественных изделий. Вероятность
того, что в пути изделие повредится, равна 0.005. Определить вероятность того, что на базу прибудут: а) пять поврежденных изделий;
б) не более двух поврежденных изделий; в) более двух поврежденных
изделий. Найти среднее число поврежденных изделий в партии.
28
Вариант 4
1. Имеются две партии телевизоров. Наудачу выбирается один телевизор. Событие A - телевизор из первой партии. Событие B - телевизор
из второй партии. Совместны или нет события A и B? Что означают
события AB, A + B, A, B?
2. В условиях предыдущей задачи найти выражения для событий, состоящих в том, что: а) произошло только событие A; б) произошли оба
события A и B; в) произошло по крайней мере одно из этих событий;
г) произошло одно и только одно событие; д) ни одно событие не произошло.
3. Ящик содержит 90 годных и 10 дефектных деталей. Найти вероятность
того, что вынутая деталь годная.
4. В группе 20 студентов, из них 15 юношей и 5 девушек. Группа должна
выбрать трех студентов на профсоюзную конференцию. Какова вероятность, что среди делегатов будут один юноша и две девушки?
5. Ребенок играет семью буквами разрезной азбуки: О, Л, Д, О, К, Д, А.
Какова вероятность, что при случайном расположении пяти из этих
букв в ряд он получит слово ЛОДКА?
6. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых действительных положительных чисел, каждое из которых не больше двух, окажется больше единицы и не превзойдет двух?
7. Три стрелка независимо один от другого ведут стрельбу по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка - 0.8; для второго 0.7; для третьего - 0.9. Найти вероятность того, что только два из них
попадут в цель.
29
8. На завод поступили 20 деталей 1-го сорта и 10 деталей 2-го сорта.
Наудачу взяты две детали. Какова вероятность того, что среди взятых
деталей хотя бы одна 1-го сорта?
9. Деталь, поставленная в прибор, может принадлежать к одной из трех
партий с вероятностями p1 = 0.25, p2 = 0.5, p3 = 0.25. Вероятности,
что деталь проработает заданное число часов, для этих партий соответственно равны: 0.1, 0.2, 0.4. Определить вероятность того, что поставленная деталь проработает заданное число часов. Какова вероятность того, что деталь принадлежит второй партии, если известно, что
она проработала заданное число часов?
10. Партия содержит 40 % стандартных изделий. Наудачу выбраны три
изделия. Какова вероятность, что: а) два из них стандартны; б) не
менее двух стандартны?
11. Вероятность того, что от постоянного клиента в течение месяца в мастерскую поступит заказ, равна 0.4. Какова вероятность того, что мастерская, обслуживая 180 постоянных клиентов, получит в месяц: а) 65
заказов; б) не менее 80, но не более 120 заказов? Найти наивероятнейшее число заказов, которые могут быть получены в месяц от этих 180
клиентов.
12. Учебник издан тиражом 5000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0.001. Определить вероятность
того, что тираж содержит: а) ровно три бракованные книги; б) не более двух бракованных книг; в) более двух бракованных книг. Найти
среднее число бракованных книг в тираже.
30
Вариант 5
1. События: A - хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный, B - все приборы доброкачественные. Совместны или нет события
A и B? Что означают события A + B, AB, A, B?
2. В условиях предыдущей задачи найти выражения для событий, состоящих в том, что: а) произошло только событие A; б) произошли оба
события A и B; в) произошло по крайней мере одно из этих событий;
г) произошло одно и только одно событие; д) ни одно событие не произошло.
3. В классе 25 учеников. Известно, что 3 из них родились в январе, 2 - в
феврале, 4 - в марте. Какова вероятность того, что вызванный к доске
ученик родился в первой четверти года?
4. В партии из 12 изделий 4 - высшего качества. Определить вероятность
того, что среди выбранных наудачу 6 изделий ровно 2 окажутся высшего качества.
5. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: А, Р, М, И, М, Р. Карточки тщательно перемешаны. Найти
вероятность того, что на трех вынутых по одной и расположенных в
одну линию карточках получится слово РИМ.
6. На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата, равной 5 см,
бросают наудачу монету радиусом 1 см. Найти вероятность того, что
монета целиком попадет внутрь квадрата.
7. В контрольном пункте работают три прибора. Вероятность отказа первого прибора - 0.3; второго прибора - 0.2; третьего прибора - 0.1. Найти
вероятность того, что только один из трех приборов откажет.
31
8. Орудие производит стрельбу по цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0.6. Произведено три выстрела. Найти вероятность
поражения цели хотя бы одним снарядом.
9. На конвейер поступила деталь, принадлежащая одной из трех партий.
В 1-й партии 20 деталей, из них 10 нестандартных; во 2-й партии 50
деталей, из них 10 нестандартных; в 3-й партии 30 деталей, из них
5 нестандартных. Вероятности поступления детали из каждой партии
считаются равными. Найти вероятность того, что поступившая на конвейер деталь окажется нестандартной. Определить вероятность того,
что деталь поступила из третьей партии, если она оказалась нестандартной.
10. Партия содержит 50 % бракованных изделий. Найти вероятность того,
что среди 5 взятых наугад изделий: а) 3 будут годными; б) не более
трех будут годными.
11. Вероятность того, что человек при эпидемии заболеет данным заболеванием, равна 0.6. Найти вероятность того, что из 500 человек, проживающих в районе вспыхнувшей эпидемии: а) заболеет 250 человек; б)
заболеет не менее 400 человек. Найти наивероятнейшее число заболевших людей из этих 500.
12. Устройство состоит из 50 элементов, работающих независимо один от
другого. Вероятность отказа любого элемента в течение рабочего времени равна 0.04. Определить вероятность того, что в течение рабочего
времени откажут: а) ровно четыре элемента; б) не более двух элементов; в) более двух элементов. Найти среднее число отказавших в течение рабочего времени элементов.
32
Вариант 6
1. Событие A - хотя бы одно из имеющихся трех изделий бракованное,
событие B - бракованных изделий среди них не менее двух. Совместны
или нет события A и B? Что означают события A + B, AB, A, B?
2. В условиях предыдущей задачи найти выражения для событий, состоящих в том, что: а) произошло только событие A; б) произошли оба
события A и B; в) произошло по крайней мере одно из этих событий;
г) произошло одно и только одно событие; д) ни одно событие не произошло.
3. В магазин поступила партия тетрадей. Из них 80 в клетку, 20 в линейку. Какова вероятность того, что взятая наудачу тетрадь окажется в
линейку?
4. В ящике находится 20 деталей, среди которых 6 с водостойким покрытием. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 5 деталей две
будут с водостойким покрытием.
5. Слово АНТИЛОПА разрезано на отдельные буквы, они тщательно перемешаны. Последовательно выбирают семь букв и располагают в порядке поступления слева направо. Какова вероятность, что получится
слово ПЛОТИНА?
6. Имеются два круга, ограниченные концентрическими окружностями.
Радиус большей окружности 10 см, меньшей 5 см. Производится неприцельный выстрел. Какова вероятность попадания в малый круг, если
известно, что пуля попала в большой круг?
7. Произведен один залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания в мишень из первого орудия равна 0.3; из второго - 0.9. Найти
вероятность того, что в мишени будет только одна пробоина.
33
8. У сборщика 16 деталей, изготовленных заводом № 1, и 4 детали, изготовленныe заводом № 2. Наудачу взяты 2 детали. Найти вероятность
того, что хотя бы одна из них изготовлена заводом № 1.
9. Школьнику подарили 4 коробки цветных карандашей. Вероятность того, что карандаш из 1-й коробки имеет сломанный графит, равна 0.4,
из 2-й коробки - 0.3, из 3-й коробки - 0.2, из 4-й коробки - 0.3. Найти
вероятность того, что наудачу взятый карандаш из наудачу выбранной коробки имеет сломанный графит. Какова вероятность того, что
карандаш взят из 3-й коробки, если оказалось, что он имеет сломанный
графит?
10. Завод производит 60 % продукции высшего качества. Найти вероятность того, что из 6 выбранных наугад изделий этого завода: а) три
будут высшего качества; б) не более двух будут высшего качества.
11. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0.4. Сделано 625 выстрелов по мишени. Какова вероятность, что мишень поразили: а) 200 выстрелов; б) не менее 300, но не более 500 выстрелов?
Найти наивероятнейшее число попаданий в мишень при сделанных 625
выстрелах.
12. Книга содержит 300 страниц. Вероятность того, что на странице имеется опечатка, равна 0.01. Определить вероятность того, что в книге
имеется: а) ровно четыре опечатки; б) не более двух опечаток; в) более
двух опечаток. Найти среднее число возможных опечаток в книге.
34
Вариант 7
1. Три стрелка стреляют по мишени. Событие A - попадание в мишень
первым стрелком, B - попадание вторым стрелком, C - попадание третьим стрелком. Совместны или нет события A, B и C? Что означают
события A + B + C, ABC, BC, B?
2. В условиях предыдущей задачи найти выражения для событий, состоящих в том, что: а) произошло только событие A; б) произошли события A и B, но событие C не произошло; в) все три события произошли;
г) произошло по крайней мере одно из этих событий; д) произошло
одно и только одно событие; е) ни одно событие не произошло.
3. Игральную кость бросают один раз. Найти вероятность появления не
менее 3-х очков.
4. Из колоды в 36 карт наугад выбирают 3 карты. Какова вероятность,
что среди них окажутся два туза и одна десятка?
5. На десяти карточках напечатаны буквы Н, И, К, О, И, У, П, Т, С, Н.
Карточки перемешаны. По одной вынимают наудачу семь карточек и
выкладывают их последовательно. Какова вероятность, что получится
слово СПУТНИК ?
6. В круг радиусом 3 см вписан правильный шестиугольник. Какова вероятность того, что наудачу выбранная внутри круга точка окажется
внутри шестиугольника?
7. Для вентиляции складского помещения установлены два независимо
работающих вентилятора. Вероятность исправной работы первого вентилятора - 0.7; второго - 0.6. Найти вероятность того, что исправно
работает только один вентилятор.
35
8. Самолет производит последовательное одиночное бомбометание по цели. Вероятность попадания каждой бомбы в цель равна 0.8. Сбрасываются две бомбы. Какова вероятность того, что цель будет разрушена,
если для ее разрушения достаточно хотя бы одного попадания?
9. В магазин поступило 40 радиоприемников, изготовленных заводом № 1,
и 60 радиоприемников, изготовленных заводом № 2. Известно, что 75 %
продукции завода № 1 и 50 % продукции завода № 2 - 1-го сорта. Найти
вероятность того, что взятый наудачу радиоприемник − 1-го сорта.
Какова вероятность того, что радиоприемник изготовлен заводом № 2,
если оказалось, что он 1-го сорта?
10. Вероятность попадания стрелка в цель равна 0.7. Найти вероятность
того, что при 4-х выстрелах будет: а) три попадания; б) не менее трех
попаданий.
11. Вероятность сбоя при соединении клиента АТС равна 0.2. Определить
вероятность того, что при обслуживании 450 клиентов АТС произойдет: а) 50 сбоев; б) не более 100 сбоев. Найти наивероятнейшее число
сбоев при обслуживании этих 450 клиентов.
12. В магазин завезли партию из 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что в дороге бутылка окажется разбитой, равна 0.005.
Определить вероятность того, что в полученной партии оказались разбитыми: а) три бутылки; б) не более двух бутылок; в) более двух бутылок. Найти среднее число разбитых бутылок в такой партии.
36
Вариант 8
1. Событие A - из четырех проверяемых лампочек все дефектные, событие B - все лампочки доброкачественные. Совместны или нет события
A и B? Что означают события A + B, AB, A, B?
2. В условиях предыдущей задачи найти выражения для событий, состоящих в том, что: а) произошло только событие A; б) произошли оба
события A и B; в) произошло по крайней мере одно из этих событий;
г) произошло одно и только одно событие; д) ни одно событие не произошло.
3. Игральную кость бросают один раз. Найти вероятность появления не
более 4-х очков.
4. В классе 30 учеников. Из них 10 отличников, 15 ударников и 5 троечников. Наудачу к доске вызывают трех учеников. Найти вероятность
того, что среди них два отличника и один троечник.
5. Слово МОСКВА разрезано на отдельные буквы, они перемешаны. Наудачу выбирают четыре буквы и выкладывают слева направо в порядке
выбора. Какова вероятность, что получится слово ВОСК?
6. В квадрат с вершинами в точках O(0, 0), A(0, 1), B(1, 1), C(1, 0) наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты x и
y будут удовлетворять неравенству y ≤ 2x?
7. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что 1-й станок
потребует внимания рабочего в течение ближайшего часа, - 0.6; 2-й 0.4; 3-й - 0.2. Какова вероятность того, что в течение ближайшего часа
только один из станков потребует внимания рабочего?
8. В лотерее 100 билетов. Из них 60 выигрышных. Куплено 2 билета.
Какова вероятность, что среди них есть хотя бы один выигрышный?
37
9. На сборку поступают детали из 2 партий. Первая партия содержит 5 %
брака, вторая партия содержит 10 % брака. Имеется 70 деталей 1-й партии и 30 деталей 2-й партии. Какова вероятность того, что поступившая
деталь бракованная? Определить вероятность того, что поступившая
на сборку деталь принадлежит второй партии, если известно, что она
оказалась бракованной.
10. Известно, что 80 % выпускаемых в продажу школьных тетрадей в
клетку. Какова вероятность, что среди пяти купленных наугад тетрадей: а) четыре в клетку; б) не более четырех тетрадей в клетку?
11. Вероятность плохого соединения при установке однотипной аппаратуры равна 0.1. Установлено 600 комплектов такой аппаратуры. Определить вероятность того, что: а) плохое соединение имеют 40 установленных комплектов; б) плохое соединение имеют не менее 20, но не более
80 комплектов. Найти наивероятнейшее число плохих соединений среди этих 600 установленных комплектов.
12. АТС обслуживает 500 абонентов. Вероятность поступления вызова от
каждого абонента в течение минуты равна 0.002. Определить вероятность того, что в течение минуты на АТС поступят: а) три вызова от
разных абонентов; б) не более двух вызовов от разных абонентов; в) более двух вызовов от разных абонентов. Найти среднее число вызовов
от разных абонентов, поступающих на АТС в минуту.
38
Вариант 9
1. Из таблицы случайных чисел взято одно число. Событие A - выбранное
число делится на 2, B - выбранное число делится на 3. Совместны или
нет события A и B? Что означают события A + B, AB, A, B, AB, AB?
2. В условиях предыдущей задачи найти выражения для событий, состоящих в том, что: а) произошло только событие A; б) произошли оба
события A и B; в) произошло по крайней мере одно из этих событий;
г) произошло одно и только одно событие; д) ни одно событие не произошло.
3. В группе 12 мальчиков и 15 девочек. Один из мальчиков болен и не
пришел на занятия. Какова вероятность, что вызванный наугад ученик
окажется мальчиком?
4. Из колоды в 36 карт вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что
вынуты туз, валет и две десятки.
5. На шести карточках написаны буквы Т, П, В, О, Л, П. Наудачу выбирают четыре карточки и выкладывают слева направо в том порядке,
в каком они были выбраны. Какова вероятность, что получится слово
ПЛОТ?
6. Два действительных числа x и y выбирают наугад независимо друг
от друга так, что сумма их квадратов меньше 64. Какова вероятность
того, что оба эти числа положительны и их сумма меньше восьми?
7. В двух урнах находятся шары. В первой - 8 белых и 2 красных; во
второй - 6 белых и 4 красных. Из каждой урны наугад вынимают по
одному шару. Какова вероятность того, что только один из вынутых
шаров красный?
39
8. Стрелок производит 3 выстрела по цели. Вероятность попадания в цель
при одном выстреле равна 0.7. Найти вероятность поражения цели хотя
бы одним выстрелом.
9. Три самолета вылетели на боевое задание по трем разным курсам, на
одном из которых (неизвестно на каком) находится цель. Вероятность
того, что первый самолет выйдет на цель, равна 0.3, второй - 0.5, третий - 0.2. Вероятности поражения цели каждым самолетом соответственно равны: 0.6, 0.9, 0.5. Найти вероятность того, что цель будет
поражена. Определить вероятность того, что первый самолет вышел
на цель, если известно, что цель была поражена.
10. Завод выпускает 90 % продукции 1-го сорта. На склад поступило 6
изделий этого завода. Какова вероятность того, что: а) 4 из них будут
1-го сорта; б) не менее четырех из них будут 1-го сорта?
11. При автоматической штамповке изделий брак составляет 9 %. Какова вероятность, что среди 200 отштампованных изделий бракованных
изделий будет: а) 10; б) не менее 8, но не более 20? Найти наивероятнейшее число бракованных изделий из этих 200.
12. В аптеку доставлено 3000 ампул лекарства. Вероятность того, что ампула окажется разбитой, равна 0.001. Определить вероятность того, что
в доставленной партии оказалось: а) четыре разбитых ампулы; б) не
более двух разбитых ампул; в) более двух разбитых ампул. Найти среднее число разбитых ампул в подобной партии.
40
Вариант 10
1. Пусть на плоскость наудачу бросается точка и пусть события A и B
состоят в том, что эта точка попадает соответственно в круг K1 , в круг
K2 , которые частично пересекаются. Совместны или нет события A и
B? Какой смысл имеют события A + B, AB, A, B, A + B, AB?
2. В условиях предыдущей задачи найти выражения для событий, состоящих в том, что: а) произошло только событие A; б) произошли оба
события A и B; в) произошло по крайней мере одно из этих событий;
г) произошло одно и только одно событие; д) ни одно событие не произошло.
3. В лотерее 2000 билетов. На 2 билета падает выигрыш по 100 руб., на
10 билетов - по 50 руб., на 30 билетов - по 20 руб., на 50 билетов по 10 руб., на 100 билетов - по 5 руб. и на 400 билетов - по 1 руб.
Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по
одному билету не менее 10 руб.?
4. В урне 20 белых и 5 черных шаров. Из нее вынимают наудачу 3 шара.
Какова вероятность того, что будет вынуто 2 белых и 1 черный шар?
5. Слово РЕКЛАМА разрезано на отдельные буквы, они перемешаны.
Выбираются наудачу одна за другой три буквы. Какова вероятность,
что получится слово ЛАК?
6. Шар радиусом 2 см наудачу бросают в круг радиусом 25 см, в котором
вырезано квадратное отверстие со стороной 14 см. Какова вероятность
того, что шар пройдет через это отверстие, не задев его края, если он
непременно попадет в круг? Центры квадрата и круга совпадают.
41
7. Три ученика сдают спортивный норматив. Вероятность успешно сдать
его для первого ученика - 0.6; для второго - 0.3; для третьего - 0.8. Какова вероятность, что только два ученика успешно сдадут норматив?
8. В партии из 20 деталей 8 нестандартных. Найти вероятность того, что
среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.
9. На склад поступили два контейнера. Первый содержит 10 изделий,
из них 4 высшего качества; второй - 20 изделий, из них 5 высшего
качества. Найти вероятность того, что выбранное наудачу изделие из
выбранного наудачу контейнера окажется высшего качества. Какова
вероятность того, что изделие было взято из 2-го контейнера, если известно, что оно оказалось высшего качества?
10. Самолет производит последовательное одиночное бомбометание по цели с вероятностью попадания 0.1. Произведено 6 боевых заходов со
сбрасыванием бомбы на цель. Какова вероятность, что: а) 5 бомб попали в цель; б) не более пяти бомб попали в цель?
11. При эксплуатации прибора вероятность того, что он выдержит гарантийный срок, равна 0.85. Продано 675 таких приборов. Определить вероятность того, что гарантийный срок выдержат: а) 320 приборов; б)
не менее 500 приборов. Найти наивероятнейшее число приборов среди
проданных 675, которые сумеют выдержать гарантийный срок.
12. Вероятность повреждения единицы товара при транспортировке равна
0.001. Определить вероятность того, что при транспортировке партии
из 2000 единиц товара будет повреждено: а) ровно 5 единиц товара;
б) не более двух единиц товара; в) более двух единиц товара. Найти
среднее число единиц товара, которые могут быть повреждены при
транспортировке подобной партии.
42
3. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 2
3.1. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА РГР 2
ЗАДАЧА 1
Случайная величина ξ принимает только два значения: x1 = −3 c вероятностью p1 = 0.6 и x2 = 2 с вероятностью p2 . Найти p2 , M (ξ), D(ξ).
РЕШЕНИЕ
Случайная величина ξ является случайной величиной дискретного типа,
имеющей только два возможных значения. События A1 = { Случайная
величина ξ приняла значение x1 = −3 } и A2 = { Случайная величина
ξ приняла значение x2 = 2 } несовместны и составляют полную группу
событий. Следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице
(вероятность достоверного события): p1 + p2 = 1.
Отсюда следует p2 = 1 − p1 = 1 − 0.6 = 0.4.
Запишем ряд распределения случайной величины ξ:
ξ
-3
2
pi 0.6 0.4 p1 + p2 = 1
Математическое ожидание M (ξ) найдем по формуле
M (ξ) =
n=2
X
xi pi = x1 p1 + x2 p2 = −3 ∗ 0.6 + 2 ∗ 0.4 = −1.8 + 0.8 = −1.
i=1
Для определения дисперсии сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины:
2
M (ξ ) =
n=2
X
x2i pi = x21 p1 + x22 p2 = 9 ∗ 0.6 + 4 ∗ 0.4 = 5.4 + 1.6 = 7.
i=1
Чтобы найти дисперсию, воспользуемся формулой
D(ξ) = M (ξ 2 ) − (M (ξ))2 , D(ξ) = 7 − (−1)2 = 7 − 1 = 6.
ОТВЕТ: p2 = 0.4; M (ξ) = −1; D(ξ) = 6.
43
ЗАДАЧА 2
Дискретная случайная величина задана законом распределения:
ξ
-3
-1
1
2
4
pi 0.1 0.2 0.4 0.2 0,1
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ.
Построить график функции распределения случайной величины ξ. Определить вероятность попадания случайной величины ξ в интервал (−1; 3).
РЕШЕНИЕ
Математическое ожидание случайной величины ξ ищем по формуле
M (ξ) =
n=5
X
xi pi = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + x4 p4 + x5 p5 =
i=1
= −3∗0.1−1∗0.2+1∗0.4+2∗0.2+4∗0.1 = −0.3−0.2+0.4+0.4+0.4 = 0.7.
Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины ξ:
2
M (ξ ) =
n=5
X
x2i pi = x21 p1 + x22 p2 + x23 p3 + x24 p4 + x25 p5 =
i=1
= (−3)2 ∗0.1+(−1)2 ∗0.2+12 ∗0.4+22 ∗0.2+42 ∗0.1 = 0.9+0.2+0.4+0.8+1.6 = 3.9.
Воспользуемся формулой D(ξ) = M (ξ 2 ) − (M (ξ))2 для отыскания дисперсии случайной величины ξ:
D(ξ) = 3.9 − (0.7)2 = 3.9 − 0.49 = 3.41.
Найдем интегральную функцию распределения F (x) случайной величины ξ как вероятность того, что случайная величина ξ примет значение
меньшее, чем x:
F (x) = P (ξ < x) =

























0,
если
x ≤ x1 ,
p1 ,
если
x1 < x ≤ x2 ,
p1 + p2 ,
если
x2 < x ≤ x3 ,
p1 + p2 + p3 ,
если
x3 < x ≤ x4 ,
p1 + p2 + p3 + p4 ,
если
x4 < x ≤ x5 ,
p1 + p2 + p3 + p4 + p5 ,
если
x > x5 .
44
Таким образом,



0,





0.1,




 0.3,
F (x) =

0.7,






0.9,




 1,
если
x ≤ −3,
если
−3 < x ≤ −1,
если
−1 < x ≤ 1,
если
1 < x ≤ 2,
если
2 < x ≤ 4,
если
x > 4.
График полученной функции покажем на рис 1.
В интервале (−1; 3) находятся только два возможных значения случайной величины ξ: x3 = 1 и x4 = 2. Значит, вероятность того, что случайная
величина попадет в интервал (−1; 3), будет равна
P (−1 < ξ < 3) = P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = 0.4 + 0.2 = 0.6.
Эту вероятность можно найти также по формуле
F (a < ξ < b) = F (b) − F (a + 0),
принимая во внимание, что значение a = −1 не входит в заданный интервал, и поэтому P (−1 < ξ < 3) = F (3) − F (−1 + 0) = 0.9 − 0.3 = 0.6, где
F (a + 0)− правый односторонний предел функции F (x) в точке a. В рассматриваемом случае F (a + 0) = F (−1 + 0) = 0.3. Принципиально важное значение в этом случае имеет тот факт, что один из концов заданного
45
интервала является одним из возможных значений дискретной случайной
величины ξ: x2 = −1 = a.
Поэтому особенно внимательно следует рассмотреть вопрос о том, входит
или нет данное значение случайной величины в заданный промежуток.
ОТВЕТ: M (ξ) = 0.7; D(ξ) = 3.41; P (−1 < ξ < 3) = 0.6.
ЗАДАЧА 3
Вероятность того, что лотерейный билет с выигрышем, равна 0.1 для
каждого купленного билета. Найти закон распределения случайной величины ξ - числа билетов с выигрышем среди купленных шести билетов. Составить ряд распределения этой случайной величины. Найти ее числовые
характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Определить вероятность того, что среди купленных билетов не менее двух будут с выигрышем, т. е. случайная величина ξ примет
значение не меньшее, чем два.
РЕШЕНИЕ
Поскольку вероятность наступления события A = { лотерейный билет с
выигрышем } постоянна и не зависит от числа и качества (с выигрышем или
без) купленных до этого билетов, то покупка шести билетов - это последовательность испытаний, соответствующих схеме Бернулли. Следовательно,
случайная величина ξ - число билетов с выигрышем среди купленных имеет биномиальное распределение с параметрами: n = 6 и p = 0.1.
Возможные значения случайной величины ξ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Найдем
вероятности этих значений по формуле Бернулли:
Pn (k) = Cnk pk q n−k , q = 1 − p.
Итак, q = 1 − p = 1 − 0.1 = 0.9;
P6 (0) = C60 p0 q 6−0 = 1 ∗ 1 ∗ (0.9)6 = 0.531441;
P6 (1) = C61 p1 q 6−1 = 6 ∗ 0.1 ∗ (0.9)5 = 0.354294;
46
P6 (2) = C62 p2 q 6−2 = 15 ∗ (0.1)2 ∗ (0.9)4 = 0.098415;
P6 (3) = C63 p3 q 6−3 = 20 ∗ (0.1)3 ∗ (0.9)3 = 0.014580;
P6 (4) = C64 p4 q 6−4 = 15 ∗ (0.1)4 ∗ (0.9)2 = 0.001215;
P6 (5) = C65 p5 q 6−5 = 6 ∗ (0.1)5 ∗ (0.9)1 = 0.000054;
P6 (6) = C66 p6 q 6−6 = 1 ∗ (0.1)6 ∗ 1 = 0.000001.
Построим ряд распределения случайной величины:
ξ
0
1
2
3
4
5
6
Pi 0.531441 0.354294 0.098415 0.014580 0.001215 0.000054 0.000001
Сделаем проверку:
Pn=6
k=0
P6 (k) = P6 (0) + P6 (1) + P6 (2) + P6 (3) + P6 (4) + P6 (5) + P6 (6) =
= 0.531441 + 0.354294 + 0.098415 + 0.014580 + 0.001215 + 0.000054 + 0.16 = 1.
Математическое ожидание биномиально распределенной случайной величины M (ξ) = np = 6 ∗ 0.1 = 0.6, дисперсия
D(ξ) = npq = 6 ∗ 0.1 ∗ 0.9 = 0.54.
Среднеквадратическое отклонение этой случайной величины:
σ(ξ) =
p
D(ξ) =
√
npq =
√
0.54 ≈ 0.735.
Вероятность того, что случайная величина ξ примет значение не меньшее, чем два, найдем через вероятность противоположного события: ξ примет значение меньшее, чем два, т.е. число билетов с выигрышем будет либо
0, либо 1.
P (ξ ≥ 2) = 1 − P (ξ < 2) = 1 − (P6 (0) + P6 (1)) =
= 1 − (0.531441 + 0.354294) = 1 − 0.885735 ≈ 0.114.
Это и есть вероятность того, что среди шести купленных лотерейных билетов не менее двух будут с выигрышем.
ОТВЕТ: M (ξ) = 0.6; D(ξ) = 0.54; σ(ξ) ≈ 0.735; P (ξ ≥ 2) ≈ 0.114.
47
ЗАДАЧА 4
Случайная величина ξ задана функцией распределения (интегральной
функцией) F (x). Требуется найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию распределения); б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность попадания ξ в интервал (−1; 2). Построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей (интегральной и дифференциальной функций).


0, если
x < 0,


2
x +3x
F (x) =
18 , если 0 ≤ x ≤ 3,



1, если
x > 3.
РЕШЕНИЕ
а) Плотность распределения вероятностей p(x) случайной непрерывной
величины ξ равна производной от функции распределения F (x) этой случайной величины во всех точках непрерывности функции p(x):
p(x) = F 0 (x), где x − точки непрерывности функции p(x).
Таким образом, в нашем случае


0,


p(x) =



если
x < 0,
2x+3
18 ,
если
0 ≤ x ≤ 3,
0,
если
x > 3.
График функции p(x) приведен на рис. 2.
48
б) Математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ найдем
по формулам:
Z
+∞
M (ξ) =
xp(x)dx; D(ξ) = M (ξ 2 ) − (M (ξ))2 ,
−∞
R +∞
где M (ξ 2 ) = −∞ x2 p(x)dx;
Z +∞
Z
M (ξ) =
xp(x)dx =
−∞
Z
0
x ∗ 0dx +
−∞
Z
3
0
2x + 3
dx +
x∗
18
Z
+∞
x ∗ 0dx =
3
Z
2x + 3
1 3 2
=
x∗
dx =
(2x + 3x)dx =
18
18 0
0
µ 3
¶¯3
1
2x
3x2 ¯¯
1
27
=
∗
+
∗
(18
+
)−0=
=
18
3
2 ¯
18
2
3
0
3 7
= ;
4 4
Z 3
Z +∞
Z 3
1
2x
+
3
(2x3 + 3x2 )dx =
dx =
M (ξ 2 ) =
x2 p(x)dx =
x2 ∗
18
18 0
−∞
0
¯
µ 4
¶
¶
µ
3
1
2x
3x3 ¯¯
15
9 3
=
∗
+
+
−
0
=
.
=
18
4
3 ¯0
4 2
4
Так как все значения случайной величины сосредоточены на отрезке
=1+
[0; 3], то интегрирование сводится к вычислению интегралов на этом отрезке.
µ ¶2
7
15 49 11
=
−
= ;
4
4
16 16
√
p
11
.
σ = D(ξ) =
4
в) Вероятность попадания случайной величины непрерывного типа в заRb
данный интервал (a, b) можно найти по формуле P (a < ξ < b) = a p(x)dx.
15
D(ξ) = M (ξ 2 ) − (M (ξ))2 =
−
4
Таким образом,
Z
Z
2
P (−1 < ξ < 2) =
p(x)dx =
−1
Z
0
2
0 ∗ dx +
−1
0
2x + 3
dx =
18
¯
¢¯2 10 5
1 2
1 ¡ 2
=0+
(2x + 3)dx =
x + 3x ¯¯ =
= .
18 0
18
18
9
0
Z
49
Или другим способом − по формуле P (a < ξ < b) = F (b) − F (a) :
¯
x2 + 3x ¯¯
5
4+6
P (−1 < ξ < 2) = F (2) − F (−1) =
−
0
=
.
−
0|
=
x=−1
18 ¯x=2
18
9
Здесь мы учли, что x = 2 попадает в промежуток 0 ≤ x ≤ 3, и поэтому
значение F (2) вычисляется по формуле
x2 +3x
18
при x = 2, а x = −1 попадает
в промежуток x < 0, где значение функции F (x) равно 0, и следовательно,
F (−1) = 0. График функции F (x) приведен на рис. 3.
Отметим, что на промежутке 0 ≤ x ≤ 3 график функции p(x) представляет отрезок прямой, а функции F (x) - участок параболы.
ОТВЕТ: 



a)p(x) =



0,
если
x < 0,
2x+3
18 ,
если
0 ≤ x ≤ 3,
0, если
11
б) M (ξ) = 74 ; D(ξ) = 16
;
x > 3;
в) P (−1 < ξ < 2) = 59 .
ЗАДАЧА 5
Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [−7; −1].
Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей
случайной величины ξ. Построить графики найденных функций. Найти
числовые характеристики случайной величины ξ.
50
РЕШЕНИЕ
Равномерное распределение определяется двумя параметрами - концами промежутка, на котором сосредоточены значения случайной величины.
Если случайная величина распределена равномерно на отрезке [a, b], то:
a) плотность распределения вероятностей


x < a,

 0, если
1
p(x) =
, если a ≤ x ≤ b,
b−a



0, если
x > b;
б) функция распределения




F (x) =



0,
если
x < a,
x−a
b−a ,
если
a ≤ x ≤ b,
1,
если
x > b.
Следовательно, для данной задачи a = −7; b = −1; b − a = −1 − (−7) = 6;


0, если
x < −7,


1
p(x) =
= 16 , если −7 ≤ x ≤ −1,
−1−(−7)



0, если
x > −1.
График функции p(x) представлен на рис. 4.
Плотность распределения вероятностей равномерно распределенной на
отрезке [a, b] случайной величины является величиной постоянной на этом
51
отрезке (см. рис. 4).




F (x) =



0,
если
x < −7,
x+7
6 ,
если
−7 ≤ x ≤ −1,
1,
если
x > −1.
График функции F (x) представлен на рис. 5.
Числовые характеристики равномерно распределенной на [a, b] случайной величины (математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение) соответственно равны:
a+b
(b − a)2
b−a
M (ξ) =
; D(ξ) =
; σ(ξ) = √ .
2
12
2 3
p
√
36
−7 − 1
M (ξ) =
= −4; D(ξ) =
= 3; σ(ξ) = D(ξ) = 3 ≈ 1.73.
2
12
ОТВЕТ:


x < −7,

 0, если
1
p(x) =
6 , если −7 ≤ x ≤ −1,



0, если
x > −1;


x < −7,

 0, если
x+7
F (x) =
6 , если −7 ≤ x ≤ −1,



1, если
x > −1;
√
M (ξ) = −4; D(ξ) = 3; σ(ξ) = 3 ≈ 1.73.
52
ЗАДАЧА 6
Задана плотность распределения



0,



f (x) = a cos x,




0,
вероятностей случайной величины ξ:
если x 6 − π2 ,
если −
π
2
< x 6 π2 ,
если x > π2 .
Найти параметр a и функцию распределения случайной величины ξ. Определить вероятность того, что в результате испытания случайная величина
примет значение, заключенное в интервале (0; π4 ). Найти математическое
ожидание и дисперсию случайной величины ξ.
РЕШЕНИЕ
Для определения параметра a воспользуемся тем свойством, что интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице.
Z+∞
f (x) dx = 1.
−∞
По условию плотность распределения отлична от нуля лишь на интервале (− π2 ; π2 ), а значит, интегрировать следует лишь на этом интервале:
π
¯π
Z+∞
Z+ 2
¯2
³
π ´
π
¯
1=
f (x) dx = a cos x dx = a sin x¯ = a sin( ) − sin(− ) = 2a,
¯ π
2
2
−∞
−2
− π2
откуда a = 12 .
Найдем теперь функцию распределения. Известно, что функция распределения F (x) случайной величины ξ равна интегралу от плотности распределения в интервале от −∞ до x, т.е.
Zx
F (x) =
f (t) dt.
−∞
53
Поскольку плотность распределения задана по-разному на трех интервалах,
рассмотрим эти интервалы последовательно. При x ∈ (−∞; − π2 ] имеем
Zx
F (x) =
Zx
f (t) dt =
−∞
0 dt = 0.
−∞
При x ∈ (− π2 ; π2 ]
π
Z− 2
Zx
F (x) =
f (t) dt =
−∞
Zx
0 dt +
− π2
−∞
¯x
¯
1
1
¯
cos t dt = 0 + sin t¯ =
¯ π
2
2
−2
π ´ 1
1³
sin x − sin(− ) = (sin x + 1).
=
2
2
2
Наконец, при x ∈ ( π2 ; +∞) имеем
π
F (x) =
π
Z− 2
Zx
f (t) dt =
−∞
Z2
0 dt +
− π2
−∞
1
cos t dt +
2
Zx
0 dt =
π
2
¯π
¯2
1
1³
π
π ´
¯
= 0 + sin t¯ + 0 =
sin( ) − sin(− ) = 1.
¯ π
2
2
2
2
−2
Собрав найденные значения, получим аналитическую запись функции распределения случайной величины ξ.



0,
если x 6 − π2 ,



F (x) = 12 (sin x + 1), если − π2 < x 6 π2 ,




1,
если x > π2 .
Определим вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, заключенное в интервале (0; π4 ). Воспользуемся
тем свойством, что вероятность появления случайной величины ξ в полуинтервале [a; b), равна разности значений функции распределения в концах интервала, т.е. P (a 6 ξ < b) = F (b) − F (a). Заметим, однако, что для
54
непрерывной случайной величины, как в нашем случае, включение границ
интервала не принципиально.
π
π
) = P (0 6 ξ < );
4
4
´ √2
π
π
1³
π
P (0 6 ξ < ) = F ( ) − F (0) =
sin( ) + 1 − (sin(0) + 1) =
.
4
4
2
4
4
Найдем математическое ожидание случайной величины ξ. ВоспользуемZ+∞
ся формулой M (ξ) =
xf (x) dx, получим
P (0 < ξ <
−∞
π
π
Z2
M (ξ) =
− π2
1
x cos x dx =
2
Z2
− π2
π
¯π
Z2
2
¯
1
1
1
¯
x(sin x)0 dx = (x sin x)¯ −
(x)0 sin x dx =
¯ π 2
2
2
−2

³ π
1 π
π
π ´
=  sin( ) − − sin(− ) −
2 2
2
2
2
π
Z2
− π2
− π2

¯π
¯2
1

¯
sin x dx = 0 − cos x¯ = 0.
¯ π
2
−2
Здесь мы воспользовались формулой интегрирования по частям:
¯b Z b
Zb
¯
¯
0
f g dx = f g ¯ − f g 0 dx.
¯
a
a
a
Найдем дисперсию случайной величины ξ. Известно, что
Z+∞
D(ξ) = M (ξ 2 ) − M 2 (ξ) =
x2 f (x) dx − M 2 (ξ).
−∞
Поскольку M (ξ) = 0, имеем
π
Z2
Z+∞
1
D(ξ) =
x2 f (x) dx − M 2 (ξ) = x2 cos x dx =
2
− π2
−∞
π
=
1
2
Z2
− π2
π
π
¯π
Z2
Z2
2
¯
2
1
1
π 1
¯
x2 (sin x)0 dx = (x2 sin x)¯ −
(x2 )0 sin x dx = −
2x sin x dx =
¯ π 2
2
4 2
−2
− π2
55
− π2
π
π2
=
−
4
Z2
− π2


π
¯π
2
Z
¯2
π2 

¯
0
x(− cos x) dx =
− x(− cos x)¯ − x0 (− cos x) dx =
¯ π
4
−2
π
2
=
π
−
4
Z2
− π2
− π2
¯π
¯2
π
π2
¯
cos x dx =
− sin x¯ =
− 2.
¯ π
4
4
2
−2
Отметим тот факт, что дисперсия — величина неотрицательная. В нашем
случае это действительно так: D(ξ) =
ОТВЕТ: a =
1
2 ; M (ξ)
π2
4
− 2 ≈ 0.4674.
= 0; D(ξ) ≈ 0.4674; P (0 < ξ <
π
4)
=



0,
если x 6 − π2 ,



F (x) = 1 (sin x + 1), если − π < x 6 π ,
2
2
2




1,
если x > π2 .
56
√
2
4
≈ 0.3536;
3.2. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ РГР 2
Вариант 1
1. Случайная величина ξ принимает только два значения: x1 = 4 с вероятностью p1 = 0.9 и x2 = 5 с вероятностью p2 . Найти p2 , M (ξ), D(ξ).
2. Случайная дискретная величина задана законом распределения:
ξ
-7
-5
1
3
P 0.1 0.3 0.5 0.1
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
ξ. Построить график функции распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность попадания случайной величины в интервал
(−6; 2).
3. В магазин поступила большая партия тетрадей. Из них 60 % - в клетку. Наугад взяты 4 тетради. Составить ряд распределения случайной
величины ξ - числа тетрадей в клетку среди взятых тетрадей. Найти числовые характеристики случайной величины ξ: математическое
ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. Определить
вероятность того, что тетрадей в клетку среди отобранных тетрадей
будет не более двух (случайная величина ξ примет значение не большее, чем 2).
4. Случайная величина ξ задана функцией распределения (интегральной
функцией) F (x). Требуется найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию распределения); б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность попадания ξ в интервал
(0; 2). Построить графики функции распределения и плотности распре57
деления вероятностей (интегральной и дифференциальной функций).


0, если
x < −1,


2
(x+1)
F (x) =
4 , если −1 ≤ x ≤ 1,



1, если
x > 1.
5. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [−1; 2].
Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины ξ. Построить графики найденных функций.
Найти числовые характеристики случайной величины ξ.
6. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины ξ:



0,
если x 6 0,



f (x) = a cos x, если 0 < x 6 π/2,




0,
если x > π/2.
Найти параметр a и функцию распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность того, что в результате испытания случайная
величина примет значение, заключенное в интервале (0; π/4). Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ.
58
Вариант 2
1. Случайная величина ξ принимает только два значения: x1 = 3 с вероятностью p1 = 0.7 и x2 = 4 с вероятностью p2 . Найти p2 , M (ξ), D(ξ).
2. Случайная дискретная величина задана законом распределения:
ξ
-2
-1
0
2
P 0.1 0.3 0.5 0.1
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
ξ. Построить график функции распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность попадания случайной величины в интервал
(-4; 1).
3. Производится стрельба по цели. Вероятность поражения цели при каждом выстреле равна 0.8. Произведено 3 выстрела. Составить ряд распределения случайной величины ξ - числа поражений цели при этих
трех выстрелах. Найти числовые характеристики случайной величины
ξ: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. Определить вероятность того, что число поражений цели будет
не менее двух (случайная величина ξ примет значение не меньшее,
чем 2).
4. Случайная величина ξ задана функцией распределения (интегральной
функцией) F (x). Требуется найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию распределения); б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность попадания ξ в интервал
(−1; 2). Построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей (интегральной и дифференциальной функций).
59




F (x) =



0,
x2 −1
8 ,
1,
если
x < 1,
если 1 ≤ x ≤ 3,
если
x > 3.
5. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [−2; 1].
Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины ξ. Построить графики найденных функций.
Найти числовые характеристики случайной величины ξ.
6. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины ξ:



0,
если x 6 0,



f (x) = a sin x, если 0 < x 6 π/2,




0,
если x > π/2.
Найти параметр a и функцию распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность того, что в результате испытания случайная
величина примет значение, заключенное в интервале (0; π/4). Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ.
60
Вариант 3
1. Случайная величина ξ принимает только два значения: x1 = 4 с вероятностью p1 = 0.1 и x2 = 6 с вероятностью p2 . Найти p2 , M (ξ), D(ξ).
2. Случайная дискретная величина задана законом распределения:
ξ
-3
-1
1
2
P 0.2 0.2 0.5 0.1
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
ξ. Построить график функции распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность попадания случайной величины в интервал
(-2; 3).
3. Вероятность того, что устройство примет посланный сигнал, равна
0.7. Было послано 3 сигнала. Составить ряд распределения случайной величины ξ - числа принятых устройством сигналов. Найти числовые характеристики случайной величины ξ: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. Определить вероятность того, что число принятых устройством сигналов было не менее
двух (случайная величина ξ приняла значение не меньшее, чем 2).
4. Случайная величина ξ задана функцией распределения (интегральной
функцией) F (x). Требуется найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию распределения); б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность попадания ξ в интервал
(0.5; 2). Построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей (интегральной и дифференциальной функций).
61
F (x) =



 0,
если
x < 0,
x2 ,
если
0 ≤ x ≤ 1,
1,
если
x > 1.



5. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [2; 6]. Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей
случайной величины ξ. Построить графики найденных функций. Найти числовые характеристики случайной величины ξ.
6. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины ξ:



0,
если x 6 π/2,



f (x) = a sin x, если π/2 < x 6 π,




0,
если x > π.
Найти параметр a и функцию распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность того, что в результате испытания случайная
величина примет значение, заключенное в интервале (π/2; 3π/4). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ.
62
Вариант 4
1. Случайная величина ξ принимает только два значения: x1 = 1 с вероятностью p1 = 0.2 и x2 = 3 с вероятностью p2 . Найти p2 , M (ξ), D(ξ).
2. Случайная дискретная величина задана законом распределения:
ξ
-6
-5
-3
0
P 0.2 0.2 0.5 0.1
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
ξ. Построить график функции распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность попадания случайной величины в интервал
(-4; 2).
3. В магазин поступила большая партия обуви. Вероятность того, что взятая наугад пара обуви будет 42-го размера, равна 0.6. Выбрали наугад
4 пары. Составить ряд распределения случайной величины ξ - числа
пар 42-го размера среди выбранных пар. Найти числовые характеристики случайной величины ξ: математическое ожидание, дисперсию,
среднеквадратическое отклонение. Определить вероятность того, что
пар 42-го размера среди выбранных будет не менее трех (случайная
величина ξ примет значение не меньшее, чем 3).
4. Случайная величина ξ задана функцией распределения (интегральной
функцией) F (x). Требуется найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию распределения); б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность попадания ξ в интервал
(−2; 1). Построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей (интегральной и дифференциальной функций).
63




F (x) =



0,
если
x < 0,
x2 +x
12 ,
если
0 ≤ x ≤ 3,
1,
если
x > 3.
5. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [3; 7]. Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей
случайной величины ξ. Построить графики найденных функций. Найти числовые характеристики случайной величины ξ.
6. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины ξ:



0,
если x 6 π/2,



f (x) = a cos x, если π/2 < x 6 π,




0,
если x > π.
Найти параметр a и функцию распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность того, что в результате испытания случайная
величина примет значение, заключенное в интервале (π/2; 3π/4). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ.
64
Вариант 5
1. Случайная величина ξ принимает только два значения: x1 = 1 с вероятностью p1 = 0.1 и x2 = 2 с вероятностью p2 . Найти p2 , M (ξ), D(ξ).
2. Случайная дискретная величина задана законом распределения:
ξ
-3
-1
0
2
P 0.1 0.5 0.3 0.1
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
ξ. Построить график функции распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность попадания случайной величины в интервал
(-2; 3).
3. Поступающий товар имеет 10 % брака. Наугад взяты 3 изделия. Составить ряд распределения случайной величины ξ - числа бракованных
изделий среди взятых. Найти числовые характеристики случайной величины ξ: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. Определить вероятность того, что бракованных изделий среди взятых будет не более двух (случайная величина ξ примет
значение не большее, чем 2).
4. Случайная величина ξ задана функцией распределения (интегральной
функцией) F (x). Требуется найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию распределения); б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность попадания ξ в интервал
(−1; 1). Построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей (интегральной и дифференциальной функций).



 0,
F (x) =



если
x < 0,
x2
16 ,
если
0 ≤ x ≤ 4,
1,
если
x > 4.
65
5. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [−3; 1].
Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины ξ. Построить графики найденных функций.
Найти числовые характеристики случайной величины ξ.
6. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины ξ:



0,
если x 6 π,



f (x) = a cos x, если π < x 6 3π/2,




0,
если x > 3π/2.
Найти параметр a и функцию распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность того, что в результате испытания случайная
величина примет значение, заключенное в интервале (π; 5π/4). Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ.
66
Вариант 6
1. Случайная величина ξ принимает только два значения: x1 = 1 с вероятностью p1 = 0.3 и x2 = 4 с вероятностью p2 . Найти p2 , M (ξ), D(ξ).
2. Случайная дискретная величина задана законом распределения:
ξ
-3
-2
0
1
P 0.4 0.3 0.2 0.1
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
ξ. Построить график функции распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность попадания случайной величины в интервал
(-1; 3).
3. В помещении установлено 4 сигнализатора. Вероятность срабатывания
при аварии для каждого из них равна 0.7. Составить ряд распределения случайной величины ξ - числа сработавших при аварии сигнализаторов. Найти числовые характеристики случайной величины ξ: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.
Определить вероятность того, что при аварии сработают не менее трех
сигнализаторов (случайная величина ξ примет значение не меньшее,
чем 3).
4. Случайная величина ξ задана функцией распределения (интегральной
функцией) F (x). Требуется найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию распределения); б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность попадания ξ в интервал
(−2; 1). Построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей.
F (x) =



 0,



если
x < 0,
x2
25 ,
если
0 ≤ x ≤ 5,
1,
если
x > 5.
67
5. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [−4; −1].
Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины ξ. Построить графики найденных функций.
Найти числовые характеристики случайной величины ξ.
6. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины ξ:



0,
если x 6 π,



f (x) = a sin x, если π < x 6 3π/2,




0,
если x > 3π/2.
Найти параметр a и функцию распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность того, что в результате испытания случайная
величина примет значение, заключенное в интервале (π; 5π/4). Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ.
68
Вариант 7
1. Случайная величина ξ принимает только два значения: x1 = 2 с вероятностью p1 = 0.5 и x2 = 4 с вероятностью p2 . Найти p2 , M (ξ), D(ξ).
2. Случайная дискретная величина задана законом распределения:
ξ
-3
-2
-1
0
P 0.2 0.2 0.5 0.1
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
ξ. Построить график функции распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность попадания случайной величины в интервал
(-2.5; 2.5).
3. В магазин зашли три покупателя. Вероятность того, что покупатель
сделает покупку, равна 0.3 для каждого их них. Составить ряд распределения случайной величины ξ - числа сделавших покупку покупателей. Найти числовые характеристики случайной величины ξ: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.
Определить вероятность того, что не менее двух покупателей сделают
покупки (случайная величина ξ примет значение не меньшее, чем 2).
4. Случайная величина ξ задана функцией распределения (интегральной
функцией) F (x). Требуется найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию распределения); б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность попадания ξ в интервал
(−1; 2). Построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей (интегральной и дифференциальной функций).




F (x) =



0,
если
x < 1,
x3 −1
26 ,
если
1 ≤ x ≤ 3,
1,
если
x > 3.
69
5. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [−3; 2].
Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины ξ. Построить графики найденных функций.
Найти числовые характеристики случайной величины ξ.
6. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины ξ:



0,
если x 6 3π/2,



f (x) = a cos x, если 3π/2 < x 6 2π,




0,
если x > 2π.
Найти параметр a и функцию распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность того, что в результате испытания случайная
величина примет значение, заключенное в интервале (π; 7π/4). Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ.
70
Вариант 8
1. Случайная величина ξ принимает только два значения: x1 = 2 с вероятностью p1 = 0.4 и x2 = 3 с вероятностью p2 . Найти p2 , M (ξ), D(ξ).
2. Случайная дискретная величина задана законом распределения:
ξ
-3
-2
1
2
P 0.1 0.4 0.3 0.2
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
ξ. Построить график функции распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность попадания случайной величины в интервал
(−1; 3).
3. В мастерской работают три мотора. Вероятность исправной работы
каждого мотора равна 0.8. Составить ряд распределения случайной
величины ξ - числа исправно работающих моторов. Найти числовые характеристики случайной величины ξ: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. Определить вероятность того, что исправно работают не менее двух моторов (значение случайной
величины ξ будет не менее, чем 2).
4. Случайная величина ξ задана функцией распределения (интегральной
функцией) F (x). Требуется найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию распределения); б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность попадания ξ в интервал
(1; 3). Построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей (интегральной и дифференциальной функций).


0, если
x < −1,


1+x3
F (x) =
9 , если −1 ≤ x ≤ 2,



1, если
x > 2.
71
5. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [−2; 2].
Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины ξ. Построить графики найденных функций.
Найти числовые характеристики случайной величины ξ.
6. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины ξ:



0,
если x 6 3π/2,



f (x) = a sin x, если 3π/2 < x 6 2π,




0,
если x > 2π.
Найти параметр a и функцию распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность того, что в результате испытания случайная
величина примет значение, заключенное в интервале (π; 7π/4). Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ.
72
Вариант 9
1. Случайная величина ξ принимает только два значения: x1 = 2 с вероятностью p1 = 0.6 и x2 = 5 с вероятностью p2 . Найти p2 , M (ξ), D(ξ).
2. Случайная дискретная величина задана законом распределения:
ξ
-7
-6
-4
-3
P 0.2 0.2 0.5 0.1
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
ξ. Построить график функции распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность попадания случайной величины в интервал
(−5; 1).
3. В цехе установлено четыре однотипных станка. Вероятность выхода
каждого станка из строя равна 0.1. Составить ряд распределения случайной величины ξ - числа вышедших из строя станков. Найти числовые характеристики случайной величины ξ: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. Определить вероятность того, что из строя выйдет не более двух станков (значение
случайной величины ξ будет не более, чем 2).
4. Случайная величина ξ задана функцией распределения (интегральной
функцией) F (x). Требуется найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию распределения); б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность попадания ξ в интервал
(−2; 1). Построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей (интегральной и дифференциальной функций).



 0,
F (x) =



если
x < 0,
x2
4,
если
0 ≤ x ≤ 2,
1,
если
x > 2.
73
5. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [−2; 3].
Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины ξ. Построить графики найденных функций.
Найти числовые характеристики случайной величины ξ.
6. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины ξ:



0,
если x 6 −π/2,



f (x) = a cos x, если − π/2 < x 6 0,




0,
если x > 0.
Найти параметр a и функцию распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность того, что в результате испытания случайная
величина примет значение, заключенное в интервале (−π/4; 0). Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ.
74
Вариант 10
1. Случайная величина ξ принимает только два значения: x1 = 3 с вероятностью p1 = 0.8 и x2 = 5 с вероятностью p2 . Найти p2 , M (ξ), D(ξ).
2. Случайная дискретная величина задана законом распределения:
ξ
-7
-5
-4
2
P 0.1 0.5 0.3 0.1
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
ξ. Построить график функции распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность попадания случайной величины в интервал
(−6; 1).
3. Помещение освещается пятью лампочками. Вероятность того, что лампочка перегорит в течение месяца, равна 0.2 для каждой из них. Составить ряд распределения случайной величины ξ - числа перегоревших в
течение месяца лампочек. Найти числовые характеристики случайной
величины ξ: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. Определить вероятность того, что в течение месяца
перегорит не более трех лампочек (значение случайной величины ξ будет не более, чем 3).
4. Случайная величина ξ задана функцией распределения (интегральной
функцией) F (x). Требуется найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию распределения); б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность попадания ξ в интервал
(2; 4). Построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей (интегральной и дифференциальной функций).


x < 0,

 0, если
x2
F (x) =
9 , если 0 ≤ x ≤ 3,



1, если
x > 3.
75
5. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [3; 8]. Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей
случайной величины ξ. Построить графики найденных функций. Найти числовые характеристики случайной величины ξ.
6. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины ξ:



0,
если x 6 −π/2,



f (x) = a sin x, если − π/2 < x 6 0,




0,
если x > 0.
Найти параметр a и функцию распределения случайной величины ξ.
Определить вероятность того, что в результате испытания случайная
величина примет значение, заключенное в интервале (−π/4; 0). Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ.
76
Список литературы
1. Гмурман В.С. Теория вероятностей и математическая статистика/
В.С. Гмурман. - М. : Высшая школа, 2003.
2. Гмурман В.С. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике/ В.С. Гмурман. - М. : Высшая школа, 2003.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей/ Е.С. Вентцель. - М. : Наука, 1998.
4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей/ В.П. Чистяков. - М. : Наука,
1987.
5. Шолохович Ф.А. Основы высшей математики/ Ф.А. Шолохович, В.В. Васин. - Екатеринбург : Уральское изд-во, 2003.
77
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица П. 1
Значения функции ϕ(x) =
x
0
1
2
3
4
5
2
x
√1 e− 2
2π
6
7
8
9
0.0 0.3989 3989 3989 3988 3986
3984
3982 3980 3977 3973
0.1
3970
3965 3961 3956 3951
3945
3939 3932 3925 3918
0.2
3910
3902 3894 3885 3876
3867
3857 3847 3836 3825
0.3
3814
3802 3790 3778 3765
3752
3739 3726 3712 3697
0.4
3683
3668 3652 3637 3621
3605
3589 3572 3555 3538
0.5
3521
3503 3485 3467 3448
3429
3410 3391 3372 3352
0.6
3332
3312 3292 3271 3251
3230
3209 3187 3166 3144
0.7
3123
3101 3079 3056 3034 ЗО11 2989 2966 2943 2920
0.8
2897
2874 2850 2827 2803
2780
2756 2732 2709 2685
0.9
2661
2637 2613 2589 2565
2541
2516 2492 2468 2444
1.0 0.2420 2396 2371 2347 2323
2299
2275 2251 2227 2203
1.1
2179
2155 2131 2107 2083
2059
2036 2012 1989 1965
1.2
1942
1919 1895 1872 1849
1826
1804 1781 1758 1736
1.3
1714
1691 1669 1647 1626
1604
1582 1561 1539 1518
1.4
1497
1476 1456 1435 1415
1394
1374 1354 1334 1315
1.5
1295
1276 1257 1238 1219
1200
1182 1163 1145 1127
1.6
1109
1092 1074 1057 1040
1023
1006 0989 0973 0957
1.7
0940
0925 0909 0893 0878
0863
0848 0833 0818 0804
1.8
0790
0775 0761 0748 0734
0721
0707 0694 0681 0669
1.9
0656
0644 0632 0620 0608
0596
0584 0573 0562 0551
2.0 0.0540 0529 0519 0508 0498
0488
0478 0468 0459 0449
2.1
0440
0431 0422 0413 0404
0396
0387 0379 0371 0363
2.2
0355
0347 0339 0332 0325
0317
0310 0303 0297 0290
2.3
0283
0277 0270 0264 0258
0252
0246 0241 0235 0229
78
Окончание табл. П. 1
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2.4
0224
0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180
2.5
0175
0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139
2.6
0136
0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107
2.7
0104
0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081
2.8
0079
0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061
2.9
0060
0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046
3.0 0.0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034
3.1
0033
0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025
3.2
0024
0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018
3.3
0017
0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013
3.4
0012
0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009
3.5
0009
0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006
3.6
0006
0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004
3.7
0004
0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003
3.8
0003
0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002
3.9
0002
0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001
Таблица П. 2
Значения функции f (x) = e−x
x
1
2
3
4
5
6
7
e−x 0.36788 0.13534 0.04979 0.01832 0.00674 0.00248 0.00091
79
Таблица П. 3
Значения функции Φ(x) =
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
√1
2π
x
Rx
0
z2
e− 2 dz
Φ(x)
x
Φ(x)
0.00 0.0000 0.01 0.0040 0.02 0.0080 0.03 0.0120 0.04 0.0160
0.05 0.0199 0.06 0.0239 0.07 0.0279 0.08 0.0319 0.09 0.0359
0.10 0.0398 0.11 0.0438 0.12 0.0478 0.13 0.0517 0.14 0.0557
0.15 0.0596 0.16 0.0636 0.17 0.0675 0.18 0.0714 0.19 0.0753
0.20 0.0793 0.21 0.0832 0.22 0.0871 0.23 0.0910 0.24 0.0948
0.25 0.0987 0.26 0.1026 0.27 0.1064 0.28 0.1103 0.29 0.1141
0.30 0.1179 0.31 0.1217 0.32 0.1255 0.33 0.1293 0.34 0.1331
0.35 0.1368 0.36 0.1406 0.37 0.1443 0.38 0.1480 0.39 0.1517
0.40 0.1554 0.41 0.1591 0.42 0.1628 0.43 0.1664 0.44 0.1700
0.45 0.1736 0.46 0.1772 0.47 0.1808 0.48 0.1844 0.49 0.1879
0.50 0.1915 0.51 0.1950 0.52 0.1985 0.53 0.2019 0.54 0.2054
0.55 0.2088 0.56 0.2123 0.57 0.2157 0.58 0.2190 0.59 0.2224
0.60 0.2257 0.61 0.2291 0.62 0.2324 0.63 0.2357 0.64 0.2389
0.65 0.2422 0.66 0.2454 0.67 0.2486 0.68 0.2517 0.69 0.2549
0.70 0.2580 0.71 0.2611 0.72 0.2642 0.73 0.2673 0.74 0.2703
0.75 0.2734 0.76 0.2764 0.77 0.2794 0.78 0.2823 0.79 0.2852
0.80 0.2881 0.81 0.2910 0.82 0.2939 0.83 0.2967 0.84 0.2995
0.85 0.3023 0.86 0.3051 0.87 0.3078 0.88 0.3106 0.89 0.3133
0.90 0.3159 0.91 0.3186 0.92 0.3212 0.93 0.3238 0.94 0.3264
0.95 0.3289 0.96 0.3315 0.97 0.3340 0.98 0.3365 0.99 0.3389
1.00 0.3413 1.01 0.3438 1.02 0.3461 1.03 0.3485 1.04 0.3508
1.05 0.3531 1.06 0.3554 1.07 0.3577 1.08 0.3599 1.09 0.3621
1.10 0.3643 1.11 0.3665 1.12 0.3686 1.13 0.3708 1.14 0.3729
1.15 0.3749 1.16 0.3770 1.17 0.3790 1.18 0.3810 1.19 0.3830
1.20 0.3849 1.21 0.3869 1.22 0.3883 1.23 0.3907 1.24 0.3925
80
Окончание табл. П. 3
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
1.25
0.3944
1.26
0.3962
1.27
0.3980
1.28
0.3997
1.29
0.4015
1.30
0.4032
1.31
0.4049
1.32
0.4066
1.33
0.4082
1.34
0.4099
1.35
0.4115
1.36
0.4131
1.37
0.4147
1.38
0.4162
1.39
0.4177
1.40
0.4192
1.41
0.4207
1.42
0.4222
1.43
0.4236
1.44
0.4251
1.45
0.4265
1.46
0.4279
1.47
0.4292
1.48
0.4306
1.49
0.4319
1.50
0.4332
1.51
0.4345
1.52
0.4357
1.53
0.4370
1.54
0.4382
1.55
0.4394
1.56
0.4406
1.57
0.4418
1.58
0.4429
1.59
0.4441
1.60
0.4452
1.61
0.4463
1.62
0.4474
1.63
0.4484
1.64
0.4495
1.65
0.4505
1.66
0.4515
1.67
0.4525
1.68
0.4535
1.69
0.4545
1.70
0.4554
1.71
0.4564
1.72
0.4573
1.73
0.4582
1.74
0.4591
1.75
0.4599
1.76
0.4608
1.77
0.4616
1.78
0.4625
1.79
0.4633
1.80
0.4641
1.81
0.4649
1.82
0.4656
1.83
0.4664
1.84
0.4671
1.85
0.4678
1.86
0.4686
1.87
0.4693
1.88
0.4699
1.89
0.4706
1.90
0.4713
1.91
0.4719
1.92
0.4729
1.93
0.4732
1.94
0.4738
1.95
0.4744
1.96
0.4750
1.97
0.4756
1.98
0.4761
1.99
0.4767
2.00
0.4772
2.02
0.4783
2.04
0.4793
2.06
0.4803
2.08
0.4812
2.10
0.4821
2.12
0.4830
2.14
0.4838
2.16
0.4846
2.18
0.4854
2.20
0.4861
2.22
0.4868
2.24
0.4875
2.26
0.4881
2.28
0.4887
2.30
0.4893
2.32
0.4898
2.34
0.4904
2.36
0.4909
2.38
0.4913
2.40
0.4918
2.42
0.4922
2.44
0.4927
2.46
0.4931
2.48
0.4938
2.50
0.4938
2.52
0.4941
2.54
0.4945
2.56
0.4948
2.58
0.4951
2.60
0.4953
2.62
0.4956
2.64
0.4959
2.66
0.4961
2.68
0.4963
2.70
0.4965
2.72
0.4967
2.74
0.4969
2.76
0.4971
2.78
0.4973
2.80
0.4974
2.82
0.4976
2.84
0.4984
2.86
0.4979
2.88
0.4980
2.90
0.4981
2.92
0.4984
2.94
0.4985
2.96
0.4985
2.98
0.4986
3.00
0.49865
3.20
0.49931
3.40
0.49966
3.60
0.499841
3.80
0.499928
4.00
0.49968
4.50
0.49997
5.00
0.49997
81
Cодержание
1. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ОТРАБОТКИ НЕКОТОРЫХ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ КУРСА ...........................................3
2. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 1 ....................................5
2.1. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА РГР 1 ..............................................5
2.2. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ РГР 1 ..........................23
3. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 2 ..................................43
3.1. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА РГР 2 ............................................43
3.2. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ РГР 2 ..........................57
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................77
ПРИЛОЖЕНИЕ................................................................................78
82
Теория вероятностей
Составители
Плескунов Михаил Александрович
Потанин Николай Иванович
Солодушкин Святослав Игоревич
Редактор Е.А. Ишунина
Компьютерная верстка авторская
ИД № 06263 от 12.11.2001 г.
Подписано в печать 28.12.2006
Бумага писчая
Уч.-изд. л. 3,6
Формат 60x84 1/16
Плоская печать
Тираж 50
Усл. печ. л. 4,88
Заказ
Цена “C”
Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ–УПИ
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
Ризография НИЧ ГОУ ВПО УГТУ–УПИ
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ