Лабораторная работа 1.01.
ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
Цель работы
Проверка статистических закономерностей распределения результатов
измерений на примере измерения промежутка времени.
Введение
Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту
нерегулярно и на первый взгляд беспорядочно. Так, при бросании игральной
кости (кубика с нумерованными гранями) может выпасть любое число от 1 до
6. Радиоактивное ядро может распасться в любую наперед избранную секунду,
время жизни ядра до распада - случайная величина. При массовом
изготовлении какого-либо изделия его разные экземпляры оказываются не
вполне идентичными по параметрам. Таким образом, те или иные параметры
для совокупности таких экземпляров также являются случайными величинами.
Результат каждого отдельного измерения случайной величины непредсказуем.
Но при многократном повторении измерений в неизменных условиях
совокупность их результатов описывается статистическими закономерностями.
Если бросать игральную кость сотни раз, определенное число (например, два)
выпадает примерно в 1/6 части общего числа попыток; для радиоактивного
вещества, содержащего очень большое число одинаковых ядер, можно надежно
предсказать число распадов за любой (но не слишком малый) промежуток
времени. Удается подметить закономерности и в распределении по тому или
иному параметру для изделий, изготовляемых в массовом производстве по
определенной технологии (знание этих закономерностей оказывается полезным
как технологу-изготовителю, так и потребителю изделий).
При достаточно точном измерении физических величин из-за совместного
действия многочисленных неконтролируемых причин результат отдельного
измерения подвергается искажениям и становится случайной величиной.
Поэтому изучение статистических закономерностей служит одной из основ
теории и практики физического и инженерного эксперимента. Часто
принимается, что результаты многократных измерений описываются функцией
Гаусса (см. ниже) – так называемым законом нормального распределения.
В этой работе необходимо получить выборку (выборочную совокупность)
для дискретной случайной величины и исследовать закон распределения этой
случайной величины. В качестве исследуемой случайной величины выбран
результат измерения заданного промежутка времени. При помощи обычных
часов с секундной стрелкой или стрелочного секундомера задают некоторый
промежуток t времени и многократно измеряют его достаточно точным
цифровым секундомером.
Закономерности в распределении значений случайной величины можно
надежно выявить при соблюдении двух условий: 1) число измерений
достаточно велико; 2) чувствительность цифрового секундомера достаточна
для регистрации изменений величины t от опыта к опыту. Обычно при задании
человеком промежутка времени по секундомеру разброс t не превышает
нескольких десятых секунды, поэтому цифровой секундомер должен
показывать результат, как минимум, с точностью до сотых секунды.
Закономерности распределения значений изучаемой случайной величины
становятся наглядными, если построить гистограмму – ступенчатую
диаграмму, показывающую, как часто при измерениях появляются значения,
попадающие в тот или иной из равных интервалов Δt, лежащих между
наименьшим tmin и наибольшим tmax из измеренных значений величины t. По оси
абсцисс гистограммы откладывают измеряемую величину t (см. рисунок 1.), по
оси ординат – отношение ΔN/(N·Δt). Здесь N – полное количество измерений,
ΔN – количество результатов, попавших в интервал [t, t+Δt]. Частное ΔN/N есть
доля результатов, попавших в указанный интервал, она характеризует
вероятность попадания в указанный интервал результата отдельного измерения.
Отношение этой величины к ширине интервала ΔN/(N·Δt) характеризует
некоторую "плотность вероятности". При очень большом числе измерений
(𝑁 → ∞ ) весь диапазон значений t в принципе можно разбить на "бесконечно
малые" интервалы dt и подсчитать число результатов dN в каждом из них.
Тогда вместо ступенчатой гистограммы получится плавная кривая
соответствующая функции
N
1 dN
  t   lim
 
,
(1)
N  N  t
N
dt
t 0
Функцию ρ(t) называют плотностью вероятности или законом распределения
случайной величины.
Рис.1. Пример гистограммы
случайной величины t , подчиняющейся закону распределения ρ(t).
Нормальное распределение описывается функцией Гаусса
  t  t 2 
1
,
(2)
t  
 exp  
2
2

2




Вид нормального распределения (2) определяется значениями двух параметров:
математическим
ожиданием
t
и
среднеквадратичным
(стандартным)
отклонением  . Нормальное распределение симметрично относительно
вертикали
с
абсциссой
.
t
Параметр

характеризует
«ширину»
распределения: ширина нормального распределения на половине высоты
пропорциональна  .
Чтобы качественно сравнить распределение измеряемой в работе величины
с нормальным, проще всего, найти по данным измерений параметры t и σ,
вычислить для них функцию ρ(t) по формуле (2) и построить ее в тех же
координатах, что и гистограмму.
Строго говоря, параметры t и σ могут быть определены только на основе
результатов
бесконечно
большого
числа
измерений
(генеральной
совокупности). Однако, в соответствии с теорией вероятности из выборочной
совокупности, содержащей N значений случайной величины (t1, t2,…,tN), можно
найти приближенные значений этих параметров: выборочное среднее
t
N
1 N
  ti ,
N i 1
(3)
и выборочное среднеквадратичное отклонение
N 
1 N
  ti  t
N i 1
В пределе 𝑁 → ∞ величины t

2
N
.
и σN стремятся к t и σ, соответственно.
(4)
Для количественной проверки того, насколько хорошо полученные
результаты описываются нормальным распределением, воспользуемся
соотношением для вероятности попадания результата измерения в интервал
[t1, t2]:
t2
P  t1  t  t2      t  dt .
(5)
t1
В случае наиболее употребительных в практике интервалов эта вероятность
имеет следующие значения:
P  t    t  t     0.683;
P  t  2  t  t  2   0.954;
(6)
P  t  3  t  t  3   0.997.
Из экспериментальной выборки можно найти приближенные значения
вероятностей (6), как отношения ΔNσ/N, ΔN2σ/N, ΔN3σ/N, где ΔNσ, ΔN2σ, ΔN3σ –
количества результатов измерений, попавших в интервалы
 t N   N , t
соответственно.
N
  N  ,  t
N
 2 N , t
N
 2 N  ,  t
N
 3 N , t
N
 3 N  , (7)
Установка
В работе используются устройство или прибор, в котором происходит
периодический процесс с периодом около 1с (часы с секундной стрелкой,
стрелочный секундомер, математический или физический маятник) и цифровой
секундомер, с ценой деления 0.01с. Первый прибор задает интервал времени,
который многократно измеряется цифровым секундомером.
Порядок выполнения работы
1. Выберите устанавливаемый по задающему время прибору промежуток
времени: в интервале от 5 до 10 с. Многократно устанавливая этот
промежуток времени, проведите не менее 100 измерений его длительности
цифровым секундомером. Результат каждого измерения заносите во второй
столбец табл. 1.
Таблица 1.
Номер опыта, i
1
ti
ti  t
N
t 
i
t
N

2
2
…
N
t
N
 ...
t 
i
t
N
  ...

N
i 1
ti  t
N

2
 ...
N 
2. Постройте гистограмму, выполнив для этого следующие операции:
а) найдите в табл. 1 наименьший tmin и наибольший tmax из результатов
наблюдений;
б) промежуток (tmax – tmin) разбейте на т равных интервалов Δt, соблюдая
следующие условия; т должно быть целым, близким к N . Измеренные
значения tmin и tmax должны попадать внутрь "крайних" интервалов; граничные
значения, разделяющие соседние интервалы, должны быть по возможности
"круглыми" числами - это облегчит построение гистограммы. Границы
выбранных интервалов занесите в первый столбец табл.2.
Таблица 2.
Границы
N
, c–1
 (t), c–1
ΔN
t, с
интервалов, с
N  t
…
…
…
в) подсчитайте число результатов измерений ΔN, из табл. 1, попавших в
каждый из интервалов Δt , заполнив таким образом второй столбец табл.2;
г) вычислите опытное значение плотности вероятности (третий столбец
табл. 2);
д) постройте на миллиметровой бумаге гистограмму.
3. По данным табл. 1. с помощью формул (3) и (4) вычислите выборочное
среднее значение t
N
и выборочное среднеквадратичное отклонение σN.
4. Найдите значений t, соответствующие серединам избранных интервалов,
занесите их в четвертый столбец табл.2. Для этих значений, используя
параметры t
N
и σN в качестве t и σ, вычислите по формуле (2) значения
плотности распределения ρ(t), занесите их в пятый столбец табл.2. Нанесите
все расчетные точки на график, на котором изображена гистограмма, и
проводите через них плавную кривую.
5. Проверьте, насколько точно выполняется в ваших опытах соотношение
между вероятностями (6) и долями ΔNσ/N, ΔN2σ/N, ΔN3σ/N. Для этого
вычислите границы интервалов (7) для найденных вами t
их во второй третий столбцы табл. 3.
Таблица 3.
Интервал, с
Интервал
от
до
t
t
t
N
ΔN
N
ΔN/N
и σN, занесите
P
 N
N
 2 N
N
 2 N
По данным табл.1 подсчитайте и занесите в табл. 3 количество ΔN
измерений, попадающих в каждый из этих интервалов, и отношение ΔN/N
этого количества к общему числу измерений. Сравните их с
соответствующими нормальному распределению значениями P вероятности
(6).
6. Рассчитайте среднеквадратичное отклонение среднего значения по формуле
St 
N
1
  ti  t
N   N  1 i 1

2
,
(8)
Найдите табличное значение коэффициента Стьюдента KS(α, N) для
доверительной вероятности α = 0.95. Запишите доверительный интервал для
измеряемого в работе промежутка времени.