1
Вопросы и задачи по методам математической обработки данных
1. Что изучает математика?
Математика — область знаний, включающая изучение таких тем, как числа
(арифметика и теория чисел), формулы и связанные с ними структуры
(алгебра), формы и пространства, в которых они содержатся (геометрия),
величины и их изменения (исчисление и анализ).
Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории
математики:
1. Период зарождения математики, на протяжении которого был
накоплен достаточно большой фактический материал;
2. Период элементарной математики, начинающийся в VI — V веках
до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с
которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до
настоящего времени основу „элементарной математики“,
преподаваемой в начальной и средней школе»);
3. Период математики переменных величин, охватывающий XVII —
XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей
математики“»;
4. Период современной математики — математики XIX — XX века, в
ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу
расширения предмета математических исследований сознательно,
поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно
общей точки зрения возможных типов количественных отношений и
пространственных форм».
2. Понятие, примеры высказывания.
Высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно
сказать, истинно оно или ложно.
Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».
Приведем примеры высказываний.
1) Санкт-Петербург стоит на Неве.
2) Париж — столица Англии.
3) Карась — не рыба.
4) Число 6 делится на 2 и на 3.
5) Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости.
Высказывания 1), 4), 5) истинны, а высказывания 2) и 3) ложны.
Предложение «Да здравствуют наши спортсмены!» не является
высказыванием.
Различают два вида высказываний.
Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть
простым или элементарным.
Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и
2).
2
Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью
грамматических связок «не», «и», «или», «если …, то ...», «тогда и только
тогда», принято называть сложными или составными.
Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Карась —
рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из
элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на З»,
соединенных союзом «и». Высказывание 5) получается из простых
высказываний «Юноша окончил среднюю школу», «Юноша получает
аттестат зрелости» с помощью грамматической связки «если ..., то ...».
Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых
высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только
тогда».
В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения
их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются.
Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно
высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
Элементарные высказывания обозначаются малыми буквами латинского
алфавита: х, у, z, ..., а, b, с, ...; истинное значение высказывания цифрой 1, а
ложное значение — цифрой 0.
Если высказывание a истинно, то будем писать a = 1, а если a ложно, то a = 0.
3. Понятие, примеры, способы задания множества.
Под множеством понимается совокупность объектов
одной природы.
Множества обозначаются большими буквами (A , B , X , Y), его элементы —
малыми (a, b, x, y).
Обычно множества записываются в фигурных скобках. Например,
множество всех гласных букв русского алфавита будет записано так:
{а,е,ё,и,о,у,ы,э,ю,я}
А множество всех целых чисел, больших 8, но меньших 15, будет таким:
{9,10,11,12,13,14}
Множество может вообще не содержать ни одного элемента. В этом случае
его именуют пустым множеством и обозначают как ∅.
Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например,
множество страниц в книге, множество учеников в школе и т.д.
Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это
множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Примеры:
множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество
атомов во Вселенной и т.д.
Два основных способа задания множеств:
1. Для конечных множеств, содержащих небольшое количество элементов,
просто перечисляют все входящие в него элементы. Так, например, A = {a, b,
c} — это множество, элементами которого являются только a, b и c.
2. Задание множества с помощью некоторого условия P(a), которому
удовлетворяют все элементы этого множества и только они. Запись A = {a:
3
P(a)} означает, что множество A состоит из всех элементов, которые
удовлетворяют условию P(a) (знак “:” означает “такие, что”).
Множество A содержится во множестве B (обозначается A ⊆ B), если
каждый элемент множества A является элементом множества B.
4. Операции над множествами.
В широком смысле, множество – это совокупность объектов (элементов),
которые понимаются как единое целое (по тем или иным признакам,
критериям или обстоятельствам). Причём, это не только материальные
объекты, но и буквы, цифры, теоремы, мысли, эмоции и т.д.
Обычно множества обозначаются большими латинскими
буквами
Пересечением множеств A и B (обозначается A ∩ B) называется множество,
состоящее из всех элементов, которые одновременно принадлежат и A, и B.
Символьная запись: A ∩ B = {x: x ∈ A и x ∈ B}.
Объединением множеств A и B (обозначается A ∪ B) называется множество,
состоящее из всех элементов, принадлежащих или A, или B. Символьная
запись: A ∪ B = {x: x ∈ A или x ∈ B}.
Разностью множеств А и В (обозначается А\В) называется множество,
состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В
(т.е. А\В = {x: x ∈ А и x ∉В})
Декартовым (прямым) произведением множеств и называется
множество
всех упорядоченных пар
, в которых элемент
,а
элемент
5. Свойства операций над множествами.
1. Идемпотентность.
2. Коммутативность.
3. Ассоциативность.
4. Дистрибутивность.
5. Законы поглощения.
6. Свойства нуля.
7. Свойства единиц.
4
8. Инволютивность.
9. Законы де Моргана.
10.Свойства дополнения.
6. Мощность множества.
Мощность, или кардинальное число́, множества —
характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие
количества (числа) элементов конечного множества.
В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении
множеств:
1. любые два множества, между элементами которых может быть
установлено взаимно-однозначное соответствие, содержат одинаковое
количество элементов (имеют одинаковую мощность, равномощны);
2. обратно: равномощные множества должны допускать такое взаимнооднозначное соответствие;
3. часть множества не превосходит полного множества по мощности (то
есть по количеству элементов).
Мощность множества натуральных чисел
символом
обозначается
(«алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его
мощность не меньше
чисел).
Свойства:
(не меньше мощности множества натуральных

Если

Множество является бесконечным тогда и только тогда, когда оно
содержит подмножество равномощное себе.
В предположении выполненности аксиомы выбора любое бесконечное
множество содержит счётное подмножество.


конечно, и
- его булеан, то
Декартово произведение бесконечного множества
с самим собой
равномощно
7. Прямое произведение множеств.
Прямое или декартово произведение множеств — множество, элементами
которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных
двух множеств.
5
Пусть даны два множества
произведение
множество
множества
и
. Прямое
и множества
есть такое
, элементами которого являются упорядоченные
пары
для всевозможных
и
.
8. Степень множества.
Булеан (степень множества) — множество всех подмножеств данного
множества А (включая пустое множество и само множество А);
обозначается P(A) или 2A (так как оно соответствует множеству отображений
из A в{0,1}).
Если два множества равномощны, то равномощны и соответствующие
множества подмножеств.
9. Основные понятия комбинаторики: правило суммы, правило
произведения, выборка, выборка с повторениями, выборка без
повторений, упорядоченная выборка, неупорядоченная выборка,
сочетания с повторениями, сочетания без повторений, размещения с
повторениями, размещения без повторений, перестановки с
повторениями, перестановки без повторений.
Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о
том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям,
можно составить из заданных объектов.
Комбинаторные задачи делятся на: задачи на перестановки, задачи на
размещение, задачи на сочетание.
Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов,
отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них
элементов.
Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А
можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое
из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.
Пример 1.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно
назначить одного дежурного?
Решение
Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным
может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.
По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить
16+10=26 способами.
Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k
действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе
действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое
можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть
выполнены:
6
способами
Пример 2.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно
назначить двух дежурных?
Решение
Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в
классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного
можно 16+10=26 способами.
После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать
из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.
Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество,
состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из
данных n элементов.
Сочетанием из n элементов по k (k<n) называется любое множество,
составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов (не имеет
значения, в каком порядке указаны элементы).
Сочетание без повторений – это неупорядоченная ⟨n,k⟩-выборка без
повторений, k ≤ n. Общее количество сочетаний без повторений:
n!
Ckn =
(n − k)! k!
Сочетание с повторениями – это неупорядоченная ⟨n,k⟩-выборка с
повторениями. Общее количество сочетаний с повторениями:
(n + k − 1)!
k
Cn =
(n − 1)k!
10. Понятие вероятности события. Независимые и несовместные события.
Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теоремы сложения и умножения вероятностей для независимых
событий. Противоположные события.
Вероятность — степень (относительная мера, количественная оценка)
возможности наступления некоторого события.
Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло
в действительности, перевешивают противоположные основания, то это
событие называют вероятным, в противном случае — маловероятным или
невероятным.
Совместные события – события, одновременное появление которых
возможно.
Несовместные события – события, одновременное появление которых
невозможно.
Условная вероятность – вероятность наступления одного события при
условии, что другое событие уже произошло.
7
События называются совместными, если появление одного из них не
исключает появления другого в одном и том же испытании.
Пример совместных событий: выпадение чётного числа и выпадение числа,
кратного трём, при броске игрального кубика. Когда выпадает шесть,
реализуются сразу оба события.
События называются несовместными, если появление одного из них
исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример несовместных событий: выпадение чётного числа и выпадение
нечётного числа при броске игрального кубика.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей
этих событий:
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события
А не зависит от того, произошло событие В или нет.
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А
меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Теорема
умножения
вероятностей
(для
независимых
событий). Вероятность совместного появления двух независимых событи
й равна произведению вероятностей этих событий: Суммой А+В двух
событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или
события В, или обоих этих событий.
Теорема сложения вероятностей: Вероятность появления одного из двух
несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих
событий: P (A+B) = P (A)+P (B).
Два события называются противоположными, если в данном испытании
появление одного из них исключает появление другого и одно из них
обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме
дают 1. Вероятность противоположного события можно вычислить по
формуле: P (Ã)=1−P (A).
11. Найти объединение, пересечение множеств А и В, где А=
1,2,6,*,+,%,9,g,p,r, В= 2,6,%,s,b,r.
Пересечение множеств: {2, 6, %, r}
12. Найти разность, симметрическую разность множеств А и В, где
А=1,5,6,*,+,?,9,g,p,r, В=2,6,%,s,b,r.
Разница множеств: 1,5,*,+,?,9,g,p
13. Найти АВ, АВ, А\В, В\А, если
a. А=[3,5], B=[2,4],
А ∪ B = {2,3,4,5}
=Ø
A∖B ={3,5},
B∖A={2,4}.
8
b. A=[3,5], B=(2,4),
A∪B={2,3,4,5}.
A∩B=∅.
A∖B={3,5}.
B∖A={2,4}.
c. A=[3,5], B=[2,4),
А ∪ B ={[3,5],[2,4)}
А∪B=Ø
А \ B = {[3,5]}
B / A = [3,5]
d. A= [3,5], B= (2,4],
А ∪ B = {[3,5],(2,4]}
А∪B=Ø
А \ B = {[3,5]}
B / A = [3,5]
e. A= (3,5), B= (2,4),
A∪B= {(3,5),(2,4)}
A∩B=∅.
A∖B ={3,5}.
B∖A={2,4}.
f. A= (3,5), B= [2,4),
А ∪ B = {(3,5), [2,4)}
A∩B=∅.
A∖B ={3,5}
B∖A={2,4}.
g. A = (3,5), B = (2,4],
А ∪ B = {(3,5),(2,4]}
А ∪ B = ∅.
A∖B={3,5}
B∖A={2,4}.
h. A = [3,5), B = [2,4);
А ∪ B = {(3,5),(2,4]}
А ∪ B = ∅.
A∖B={3,5}
B∖A={2,4}.
14. Определить мощность множеств В= 2,6,%,s,b,r и А=
1,2,6,*,+,%,9,g,p,r.
15. Найти прямое произведение множеств А и В, где А=0,1, В=*,в.
{(a,0.1), (a), (a, b), (b, 0.1), (b), (b, b) }
16. Найти пересечение множеств А={*,-,$,!,r,w} и B={d,j,*,q,!,z,w,d
А ∪ B = {*,!,w}
17. Найти разность множеств А={*,-,$,!,r,w} и B={d,j,*,q,!,z,w,d}, т.е.
А\В
А\В = -,$,r
9
18. Найти прямое произведение множеств А={*,+} и B={2,3}, т.е. АхВ
АхВ = {(2), (3) }
19. Найти разность множеств B\A = ?, где А = [3;5], B = (2;4)
B\A = [3;5]
20. Понятия: случайной величины, функции распределения,
непрерывной и дискретной случайных величин.
В том случае, если случайное событие выражается в виде числа, можно
говорить о случайной величине. Случайной называют величину, которая в
результате испытания примет одно возможное значение, наперёд неизвестное
и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая
в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными
вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины
может быть конечным и бесконечным. Примеры дискретной случайной
величины: запись показаний спидометра или измеренной температуры в
конкретные моменты времени.
Непрерывной случайной величиной называют случайную величину,
которая в результате испытания принимает все значения из некоторого
числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной
величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение
скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение
конкретного интервала времени.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х),
определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате
испытания примет значение меньшее значения х, то есть:
F (х) = Р(Х < х ),
где х – произвольное действительное число.
21. Типичные законы распределения случайных величин.
Законом распределения дискретной случайной величины называют
соответствие между полученными значениями дискретной случайной
величины и их вероятностями. Его можно задать:
1) таблично (рядом распределения);
2) графически;
3) аналитически (в виде формулы).
Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником
распределения. Для его построения возможные значения случайной
величины (хi) откладываются по оси абсцисс, а вероятности (рi) – по оси
ординат. Точки Аi c координатами (хi, рi) соединяются ломаными линиями.
Функция F(х) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
F(x) = ∑pi
Про случайную величину говорят, что она подчинена данному закону
распределения.
1. Биномиальный закон распределения
10
Дискретная случайная величина
имеет биномиальное распределение (или
распределена по биномиальному закону), если она принимает значения 0, 1,
2,…, с вероятностями
.
Здесь – общее число испытаний, – число испытаний, в которых событие
появилось, – вероятность появления события в каждом испытании,
вероятность не появления события.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины,
распределенной по биномиальному закону, вычисляются по специальным
формулам:
,
.
2. Распределение Пуассона
Случайная величина
называется распределенной по закону Пуассона с
параметром >0, если
может принимать значения 0, 1, 2, 3,…, ,… и
.
Здесь – число независимых испытаний (оно велико), – число появлений
события в испытаниях, – вероятность появления события в каждом
испытании (она очень мала),
(среднее число появлений события в
испытаниях).
3. Геометрическое распределение
Геометрическое распределение встречается, когда производится ряд
независимых попыток добиться какого-то результата, при каждой попытке
результат достигается с вероятностью . Тогда вероятность того, что
потребуется попыток для достижения результата, равна
, где
.
4. Равномерный закон распределения
Пусть случайная величина принимает значения из некоторого интервала
и все значения равновозможны. Функция распределения имеет вид
Плотность вероятности задается формулой:
Математическое ожидание равно
Дисперсия:
.
,
11
5. Показательный закон распределения
Плотность распределения случайной величины, распределенной по
показательному закону, равна
Функция распределения
Математическое ожидание
.
Дисперсия
.
6. Нормальный закон распределения
Нормальное распределение является наиболее важным распределением
непрерывных случайных величин. Множество явлений в практической жизни
можно описать с помощью модели нормального распределения. Например:
распределение высоты деревьев;
площадей садовых участков;
массы людей;
дневной температуры и т.п.
Нормальное распределение используется и для решения многих проблем в
экономической жизни. По нормальному закону распределяется, например,
число дневных продаж в магазине;
число посетителей универмага в неделю;
число работников в некоторой отрасли;
объемы выпуска продукции на предприятии и т.д.
22. Математическое ожидание и дисперсия случайных величин.
Математическое ожидание дискретной случайной величины X = {xi} равно
сумме произведений всех возможных значений xi на соответствующие
вероятности pi:
n
M(X) = x1 p1 + x2 p2 +. . . +xn pn = ∑
i=1
x i pi
Математическое ожидание является средним значением величины X.
Свойства математического ожидания
1) Размерность математического ожидания равна размерности случайной
величины.
2) Математическое ожидание может быть любым действительным числом:
положительным, равным 0, отрицательным.
3) Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:
M(C) = C
4) Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно
сумме математических ожиданий:
M (X + Y) = M(X) + M(Y)
12
5) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных
величин равно произведению математических ожиданий:
M(XY) = M(X) · M(Y)
6) Постоянный множитель можно вынести за знак математического
ожидания:
M(CX) = C · M(X)
Дисперсия дискретной случайной величины X = {xi} – это математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического
ожидания: D(X)=M(X−M(X))2
D(X) = M(X − M(X))2
На практике дисперсия рассчитывается по формуле:
n
D(X) = M(X)2 − M 2 (X) = ∑
i=1
xi2 pi − M 2 (X)
Свойства дисперсии
1) Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины.
2) Дисперсия может быть любым неотрицательным действительным числом.
3) Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(C) = 0
4) Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме
дисперсий:
D (X + Y) = D(X) + D(Y)
5) Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии:
D(CX) = C2 · D(X)
23. Основные понятия математической статистики: генеральная
совокупность, выборочная совокупность, вариационный ряд,
статистическое распределение, закон распределения, полигон частот,
генеральное или выборочное среднее, генеральная или выборочная
дисперсия, среднее квадратичное отклонение, выборочная мода,
выборочная медиана.
Математическая статистика – это раздел математики, изучающий
приближенные методы сбора и анализа данных по результатам эксперимента
для выявления существующих закономерностей, т.е. отыскания законов
распределения случайных величин и их числовых характеристик.
В математической статистике принято выделять два основных
направления исследований:
1. Оценка параметров генеральной совокупности.
2. Проверка статистических гипотез (некоторых априорных предположений).
Основными понятиями математической статистики являются: генеральная
совокупность, выборка, теоретическая функция распределения.
Генеральной совокупностью является набор всех мыслимых
статистических данных при наблюдениях случайной величины.
ХГ = {х1, х2, х3, …, хN,} = {хi; i=1, N }
Наблюдаемая случайная величина Х называется признаком или фактором
выборки. Генеральная совокупность – есть статистический аналог случайной
13
величины, ее объем N обычно велик, поэтому из нее выбирается часть
данных, называемая выборочной совокупностью или просто выборкой.
ХВ = {х1, х2, х3, …, хn,} = {хi; i=1, n}
ХВ Ì ХГ, n £ N
Выборка – это совокупность случайно отобранных наблюдений (объектов)
из генеральной совокупности для непосредственного изучения. Количество
объектов в выборке называется объемом выборки и обозначается n. Обычно
выборка составляет 5%-10% от генеральной совокупности.
Использование выборки для построения закономерностей, которым
подчинена наблюдаемая случайная величина, позволяет избежать ее
сплошного (массового) наблюдения, что часто бывает ресурсоемким
процессом, а то и просто невозможным.
Каждый элемент выборки называется вариантой. Число повторений
варианты
Величина
в выборке называется частотой встречаемости
называется относительной частотой варианты, т.е.
находится как отношение абсолютной частоты варианты ко всему объему
выборки. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке,
называется вариационным рядом.
Статистическое распределение – это совокупность вариант и
соответствующих им частот
. Для проверки правильности записи
статистического распределения используют условие нормировки:
.
Задано распределение частот выборки объема n=20.
Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки
x1, n1   x2, n2 , ... ,  xk, nk .
Полигоном относительных частот называют ломаную отрезки которой
соединяют точки  x1, 1 ,  x2, 2 , ... ,  xk, k .
Среднеквадратическое отклонение — наиболее распространённый
показатель рассеивания значений случайной величины относительно
её математического ожидания.
Обычно означает квадратный корень из дисперсии случайной величины, но
иногда может означать тот или иной вариант оценки этого значения.
Обычно определяется как квадратный корень из дисперсии случайной
величины:
. Измеряется в единицах измерения самой случайной
величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего
арифметического.
14
– среднее квадратическое отклонение простое (или
невзвешенное);
– среднее квадратическое отклонение взвешенное, где:
xi – значения изучаемого признака (варианты);
n – объем статистической совокупности;
x – средняя арифметическая величина.
Генеральной средней называется среднее арифметическое всех значений
этой совокупности:
Выборочной средней называется среднее арифметическое всех значений
выборки:
Мода
дискретного вариационного ряда – это варианта с максимальной
частотой. В данном случае
. Моду легко отыскать по таблице, и
ещё легче на полигоне частот – это абсцисса самой высокой точки.
Медиана
вариационного ряда – это значение, которая делит его на две
равные части (по количеству вариант).
Это использование стандартной функции Экселя:
– забиваем в любую свободную ячейку =МЕДИАНА (, выделяем мышью все
числа, закрываем скобку) и жмём Enter. Этот способ удобен, когда вам дано
много значений.
Следует отметить, что в Экселе существуют и отдельные функции для
вычисления средней (=СРЗНАЧ), моды (=МОДА) и ещё много чего, но я
против использования этих функций в учебном курсе, за исключением
случаев, где это действительно целесообразно. …Почему против? Потому
что они не помогают понять суть показателей и, более того, отупляют.
Так, среднюю гораздо вразумительнее рассчитывать следующим образом:
=СУММ (выделяем мышью диапазон) / объем совокупности. Вычисления
рекомендую опробовать лично.
24. Сколькими различными способами можно расставить на полке 5
игрушек?
5 факториал, то есть 5!
1*2*3*4*5=120
15
25. В числовом лото надо выбрать 3 числа из 9 различных чисел.
Сколько способов для этого существует?
Поскольку предметы разные, то порядок выбора подарка не важен, то есть,
выбрать можно C 9 3 = ... ! ⋅ != 7 ⋅ 8 ⋅ 9 / 6 = 84 способами.
26. Сколько можно составить различных двухбуквенных слов из 8
различных букв?
N=8
m=2
Число размещений: 56
Число сочетаний: 28
56.
27. Сколькими различными способами можно расставить на полке 4
матрешки?
4*3*2*1=24 способа.
28. Сколько различных перестановок можно организовать из слова
"задача".
В слове "задача" 6 букв. Из них одна повторяется три раза. Формула для
перестановки с повторами: Pn=n!/k!
Итак: n=6 k=3 P=6!/3! P=120
29. Сколько способов существует для выбора пары карандашей из
коробки с карандашами, содержащей 8 цветов?
Число способов есть число сочетаний из 8 по 4 8!/4!*4!=70.
30. Сколько различных двухзначных чисел, в которых каждая цифра
встречается не более чем один раз можно составить из 5 различных
цифр 3, 4, 6, 8, 9?
5!/3!=20
31. В теннисном турнире принимали участие 5 теннисистов, при этом
каждые 2 теннисиста встретились по 1 разу. Сколько было игр в
турнире?
5!/(3!*2!)=10
32. Сколько различных слов можно составить из слова ЗИМА,
переставляя в нем буквы?
Всего можно составить 9 существительных слов из 2, 3, 4 букв.
33. Сколько различных слов можно составить из слова ТОПОТ,
переставляя в нем буквы?
Слово ТОПОТ состоит из 5 букв. Пытаясь составить слово и размещая буквы
различным образом в 5 ячейках можно получить 3125 комбинаций. Однако,
существующих слов из букв т о п о т получается только 15.
34. Сколькими способами можно составить пару, состоящую из одного
карандаша и одного фломастера, если даны набор карандашей из 8
цветов и набор фломастеров из 6 цветов?
6*8=48
35. Имеется 7 различных журналов одного издания и 5 различных
журналов другого издания. Сколькими способами можно составить
16
пару, состоящую из одного журнала первого издания и одного
журнала второго издания?
7*5=35
36. Какова вероятность того, что из корзины, в которой лежат 5 красных
и 5 синих шаров, Вы наугад вытащите красный?
Всего шаров 10. Красных =5. Синих =5. Вероятность, что будет красный:
5÷10=0.5.
37. Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей
одновременно в сумме выпадет 3?
Чтобы выпало в сумме 3 очка, нужно чтобы на первом кубике было 1, а на
втором 2 и также наоборот, следовательно, 2 удовлетворяющих исхода.
* Всего исходов 36 (после составления списка возможных исходов или
можно 6 * 6, так как 2 игральных кубика и на каждом по 6 очков)
* Вероятность(P) = 2 / 36 = 1 / 18 = 0.05555555555
38. Чему равна средняя выборочная вариационного ряда 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5,
6?
25/8 = 3,125.
39. Дискретная случайная величина х имеет закон распределения
вероятностей
Найти математическое ожидание.
Математическое ожидание равно 3.7
40. Дискретная случайная величина х имеет закон распределения
вероятностей
Найти математическое ожидание.
Суммарная вероятность должна равняться 1
41. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=60
статистическое распределение этой выборки имеет вид
Чему равно n2?
n2 = 55.
17
42. По статистическому распределению выборки установите ее объем
10 + 20 + 25 = 55
43. В корзине 12 синих шаров и 4 белых из корзины достали один синий
шар и отложили. Затем из корзины наугад вынули еще один шар.
Вероятность того, что этот шар белый равна?
1) 12+4=16 (шаров) было изначально
2) 16-1=15 (шаров) осталось после того как достали один шар
3) 4/15=0,26-вероятность достать белый шар
Ответ: 0,26
44. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=90
статистическое распределение этой выборки имеет вид
Чему равно n2?
90 – 30 – 35 = 25.
45. По статистическому распределению выборки установите ее объем
12 + 18 + 25 = 55.
46. На полке стоят 10 томов произведений Л.Н. Толстого. Сколькими
способами с полки можно взять 4 тома?
Поскольку порядок томов нам не важен (мы вытягиваем томы вместе), то
ответ будет число сочетаний
С из 10 по 4 (из 10 по четыре)
Рассчитывается по формуле:
18
10! / (4! * 6!) = 7 * 8 * 9 * 10 / (4 * 3 * 2) = 210
47. Сколько различных слов можно составить из слова КАМЕНЬ,
переставляя в нем буквы?
Всего можно составить 10 существительных слов из 2, 3, 4, 5 букв.
48. Сколько различных слов можно составить из слова ACCESS,
переставляя в нем буквы?
Всего можно составить 10 существительных слов из 2, 3, 4, 5 букв.
49. Сколько двухбуквенных различных слов можно составить из слова
РАДОСТЬ, так, чтобы буквы в словах были различны?
Из букв заданного слова "радость" образовано 36 вариантов новых слов с
неповторяющимися и повторяющимися буквами.
50. Сколько трехбуквенных различных слов можно составить из слова
КАПОТ, так, чтобы буквы в словах были различны?
5*5*4=100.
51. На полке стоят 8 томов произведений Джона Апдайка. Сколькими
способами с полки можно взять 2 тома?
8! / (2! * 4!) = 5 * 6* 7* 8 / (2* 1) = 840.
52. Дискретная случайная величина х имеет закон распределения
вероятностей
Чему равно математическое ожидание этой случайной величины?
53. Чему равна средняя выборочная вариационного ряда 1, 2, 2, 3, 5, 7, 8?
1+2+2+3+5+7+8 = 28.
28 / 7 = 4.
54. В результате 10 опытов получена следующая выборка: 1, 1, 1, 2, 3, 4,
4, 6,6,6. Для нее законом распределения будет.
xi
1
2
3
4
19
Pi
0,1
0,2
0,3
0,4
55. В результате 10 опытов получена следующая выборка: 3, 3, 4, 5, 6,
7,7, 9,9,9. Для нее законом распределения будет.
xi
3
4
5
6
7
9
Pi
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,9
56. Дана выборка 7, 13, 8, 16, 17. Тогда его выборочная медиана равна.
Медиана ряда чисел 7, 8, 13, 16, 17 равна 13
57. Дана выборка 3, 5, 12, 7, 13,16, 17. Тогда его выборочная медиана
равна
Медиана ряда чисел 3, 5, 7, 12, 13, 16, 17 равна 12
58. Дана выборка 3, 5, 12, 7, 10, 14, 16, 17. Тогда его выборочная медиана
равна.
Медиана ряда чисел 3, 5, 7, 10, 12, 14, 16, 17 равна 11
59. Дана выборка 8, 15, 18, 17, 11, 14, 17, 19. Тогда его выборочная
медиана равна.
Медиана ряда чисел 8, 11, 14, 15, 17, 17, 18, 19 равна 16
60. Дана выборка 1, 1, 2, 2, 4, 4, 4. Тогда его выборочная мода равна.
Мода равна 4.
61. Дана выборка 11, 21, 22, 23, 24, 14,14. Тогда его выборочная мода
равна.
Мода равна 14.
62. Дана выборка 11, 21, 22, 22, 22, 24, 24. Тогда его выборочная мода
равна.
Мода равна 22.
20
63.
Среднее выборочное вариационного ряда
равно
2+3+4+6 = 15
1+2+1+4 = 8
15 / 8 = 1,875.
64. Среднее выборочное вариационного ряда
равно
6+7+8+9 = 30
1+2+1+4 = 8
30 / 8 = 3,75.
65.
Алгебра высказываний.
Высказывание — первый важнейший объект изучения математической
логики. Алгебра высказываний изучает способы построения высказываний
из уже имеющихся высказываний, закономерности таких способов
сочетания высказываний. Алгебра высказываний является фундаментом
математической логики.
Под высказыванием понимается такое предложение, которое либо истинно,
либо ложно. Высказывание не может быть одновременно и истинным, и
ложным.
Примеры высказываний:
21
"Москва — столица России";
"Саратов находится на берегу Невы";
"Все люди смертны";
"Сократ — человек";
"7 < 4";
"Волга впадает в Каспийское море";
"А.С. Пушкин — великий русский математик";
"Снег белый".
Отрицание — унарная операция над суждениями, результатом которой
является суждение (в известном смысле) «противоположное» исходному.
Обозначается знаком ¬ перед или чертой над суждением.
Синоним: логическое "НЕ".
Конъюнкция /\ — логическая операция, по своему применению
максимально приближённая к союзу "и". Синонимы: логическое
"И", логическое умножение, иногда просто "И". Конъюнкцией к
высказываниям, а и называется высказывание истинное в том единственном
случае, когда истины оба высказывания.
Дизъюнкция \/ — логическая операция, по своему применению
максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или
оба сразу». Синонимы: логическое «ИЛИ», включающее
«ИЛИ», логическое сложение, иногда просто «ИЛИ». Дизъюнкцией
называется высказывание ложное в том единственном случае, когда ложны
оба исходных высказываний.
Импликация -> -логическая операция, по своему применению максимально
приближённая к высказыванию если, а, то в. Импликация двух
высказываний называется высказывание ложное в том единственном случае,
когда а(посылка) истинно, а в(заключение) ложно.
Эквиваленция ~ - логическая операция, по своему применению
максимально приближённая к высказыванию, а эквивалентно(равносильно)
22
в. Эквиваленцией называется высказывание истинным, когда оба
высказывания принимают одинаковые истинностные значения.
Формулы алгебры высказываний – осмысленные выражения, полученные
из символов элементарных высказываний, символов высказывательных
переменных, знаков операций (конечного числа) и скобок, определяющих
порядок действий.
Элементарные высказывания, символы логических переменных- формулы.
Если F1 и F2 – формулы алгебры высказываний, то
, (F1\/ F2), (F1/\ F2),
(F1~F2), (F1->F2) – формулы алгебры высказываний. Других формул
алгебры высказываний нет.
Теорема о фиксации значений в формуле.
Если F(x1, x2,..xn)-формула алгебры высказываний, где х1, х2,…хnвысказывательные переменные формулы, то при фиксации значений всех
высказывательных переменных формула алгебры высказываний
превращается в высказывание.
Теорема о подстановке формул в формулу.
Если F и f1 –формулы алгебры высказываний, то (f|yi<-fi) (x1, x2..xn)формула алгебры высказываний. При этом говорят, что она получена из
формул F подстановкой формул fi, вместо ее переменных.
Теорема о равносильной подстановке.
Формулы будут равносильными, если они принимают одинаковые
истинностные значения для всех возможных наборов истинностных
значений, входящих в эти формулы логических переменных.
66. Булевы переменные, булевы функции. Элементарные булевы
функции.
Boolean — это тип данных, переменные которого принимают одно
из значений:

true (истина, «да», логическая единица «1»);

false (ложь, «нет», логический ноль «0»).
23
Значение типа boolean возвращают операции сравнения, логические
операции и их сочетания. Выражения с ними — это по сути условные
высказывания, которые могут быть правдивы или нет.
Переменная х, принимающая значения 0 или 1, называется булевой (или
логической, двоичной). Функция F, зависящая
от булевых переменных
и принимающая также значения 0 или 1,
называется булевой (или логической, двоичной) и
обозначается
.
Общее число различных булевых функций F от n переменных равно
число булевых функций от двух переменных равно
, от трех
. Т.е.
переменных
.
Булевых (или логических) функций от одной переменной
.
Функция
называется конъюнкцией, ее обозначают также
, но
чаще всего знак конъюнкции аналогично знаку умножения опускают и
пишут
. Конъюнкция
равна единице, только если
=1 и
=1
одновременно, поэтому ее часто называют функцией И.
Еще одно название конъюнкции ― логическое умножение, поскольку ее
таблица истинности действительно совпадает с таблицей обычного
умножения для чисел 0 и 1.
Функция
называется дизъюнкцией. Дизъюнкция
равна
единице, только если
=1 или
=1 (т.е. хотя бы одна переменная равна
единице), поэтому ее часто называют функцией ИЛИ.
Кроме таблицы истинности, булевы функции могут быть заданы
аналитически с помощью формул.
Например,
.
Если формула a реализует булеву функцию F, которая тождественно равна
единице, то она называется тождественно истинной. Если
формула a реализует булеву функцию F, которая тождественно равна нулю,
то она называется тождественно ложной.
Если формулы a и b зависят от одних и тех же переменных и реализуют одну
и ту же булеву функцию F, то формулы a и b называются равносильными.
67.
Формулы алгебры высказываний.
Простые и составные высказывания
Бывают два вида высказываний: простые и составные. Составные
высказывания получаются из простых с помощью логических символов, ¯∧,
∨, →, ↔.
24
Рассмотрим высказывание «Иванов окончил школу и поступил в институт».
Оно образовано из простых высказываний «Иванов окончил школу» и
«Иванов поступил в институт» с помощью операции конъюнкции.
Выражение, составленное из обозначений высказываний и связок, –
логическая формула, если:
– любая переменная, обозначающая высказывание, – формула;
– если F1 и F2 – формулы, то выражения
также являются формулами;
– других формул, кроме построенных по правилам двух предыдущих
пунктов, нет.
Пропозициональная переменная, или переменная для высказываний, —
переменная, которая может принимать одно из двух истинностных значений:
«истина» или «ложь».
68. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4
черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность
того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.
В первом ящике вероятность что попадется белый шар 20% остальные 80%
черный
А во втором ящике вероятность что попадется белый шар 66,6 % а черный
33,3%
69. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9.
Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного
попадания; б) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.
Найдём вероятность двойного попадания. По теореме умножения
вероятностей независимых событий, вероятность произведения событий
равна произведению соответствующих вероятностей:
P1 = 0,8 · 0,9 = 0,72.
25
Найдём вероятность хотя бы одного
противоположное двойному промаху.
попадания.
Это
событие
P3 = 1 - P2 = 1 - 0,02 = 0,98.
Найдём вероятность, что попал один стрелок.
P4 = 0,8 · (1 - 0,9) + (1 - 0,8) · 0,9 = 0,08 + 0,18 = 0,26.
Ответ: а) 0,72; б) 0,02; в) 0,98; г) 0,26.
70. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках.
Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и
третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того,
что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в
двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.
Вероятности, что формула есть в трех справочниках:
p1 = 0,6; p2 = 0,7; p3 = 0,8
Вероятности, что формулы нет в справочниках:
q1 = 1 – p1 = 0,4; q2 = 1 – p2 = 0,3; q3 = 1 – p3 = 0,2
1) Вероятность, что формула есть только в 1–ом справочнике:
P(1) = p1·q2·q3 = 0,6·0,3·0,2 = 0,036
Вероятность, что формула есть только во 2–ом справочнике:
P(2) = q1·p2·q3 = 0,4·0,7·0,2 = 0,056
Вероятность, что формула есть только в 3–ем справочнике:
P(3) = q1·q2·p3 = 0,4·0,3·0,8 = 0,096
Вероятность, что формула есть только в одном справочнике:
P(A) = P(1) + P(2) + P(3) = 0,036 + 0,056 + 0,096 = 0,188
2) Вероятность, что формула есть в 1–ом и 2–ом справочниках:
P(12) = p1·p2·q3 = 0,6·0,7·0,2 = 0,084
Вероятность, что формула есть в 1–ом и 3–ем справочниках:
26
P(13) = p1·q2·p3 = 0,6·0,3·0,8 = 0,144
Вероятность, что формула есть во 2–ом и 3–ем справочниках:
P(23) = q1·p2·p3 = 0,4·0,7·0,8 = 0,224
Вероятность, что формула есть в двух справочниках:
P(B) = P(12) + P(13) + P(23) = 0,084 + 0,144 + 0,224 = 0,452
3) Вероятность, что формула есть во всех трёх справочниках:
P(C) = p1·p2·p3 = 0,6·0,7·0,8 = 0,336
71.
Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий
таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного
попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
72.
MS Excel: создание таблиц, вычисления в таблицах, формулы,
стандартные функции (СУММ, СРЗНАЧ, ЕСЛИ).