ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
N
—
множество натуральных чисел
Q
R
|a, b|
—
—
—
множество рациональных чисел
множество вещественных (действительных) чисел
промежуток с концами a и b
[a, b]
(a, b)
—
—
отрезок с концами a и b
интервал с концами a и b
∀
—
для любого
∃
—
существует
:=
—
равно по определению
A⊂B
x∈A
A∪B
A∩B
A\B
A×B
2И
НИ-1
НИ-2
КРИ-1
КРИ-2
ПОВИ-1
ПОВИ-2
НИЗОП-1
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
НИЗОП-2
—
ФР
ФП
дл.
пл.
об.
ф2п
—
—
—
—
—
—
—
конец доказательства
множество A содержится в B
элемент x принадлежит множеству A
объединение множеств A и B
пересечение множеств A и B
разность множеств A и B
произведение множеств A и B
двойной интеграл
несобственный интеграл первого типа
несобственный интеграл второго типа
криволинейный интеграл первого типа
криволинейный интеграл второго типа
поверхностный интеграл первого типа
поверхностный интеграл второго типа
несобственный интеграл первого типа,
зависящий от параметра
несобственный интеграл второго типа,
зависящий от параметра
функциональный ряд
функциональная последовательность
длина
площадь
объем
функция двух переменных
знак транспонирования
ГЛАВА1
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1.1. Числа
Множество н а т у р а л ь н ы х чисел
N = {1, 2, . . .}, N0 = N ∪ {0}
достаточно для обеспечения потребностей счета. Множество неотрицательных десятичных дробей дает возможность измерять длины и многие другие
величины со сколь угодно малой погрешностью. Каждая конечная десятичная дробь имеет два представления в виде периодической десятичной дроби.
Например,
0, 27 = 0, 2700 . . . = 0, 27(0),
0, 27 = 0, 2699 . . . = 0, 26(9).
За множество неотрицательных р а ц и о н а л ь н ы х чисел Q0 принимают
множество неотрицательных периодических десятичных дробей. В дальнейшем, когда мы будем говорить о конечной десятичной дроби как о рациональном числе, то будем иметь в виду одну из двух периодических десятичных
дробей, равных этой десятичной дроби. Каждое неотрицательное рациональное число можно представить в виде m/n, m ∈ N0 , n ∈ N.
Для точного измерения всех отрезков используют множество неотрицательных д е й с т в и т е л ь н ы х (в е щ е с т в е н н ы х) чисел R0 , состоящее из
всевозможных бесконечных десятичных дробей α = a0 , a1 a2 . . . an . . . , a0 ∈
N0 , ak ∈ {0, 1, . . . , 9}. Приписывая числам множества R0 знаки « − » и «+»,
получим множество всех действительных чисел R. Непериодические бесконечные дроби относят к и р р а ц и о н а л ь н ы м числам. П р и б л и ж е н и е м
п о р я д к а n ∈ N0 по н е д о с т а т к у неотрицательного вещественного числа
α = a0 , a1 a2 . . . an . . . (обозначают αn ) называют десятичную дробь αn =
= a0 , a1 . . . an , если же α — отрицательное вещественное число, то дробь
αn = a0 , a1 . . . an −10−n . Приближение нулевого порядка по недостатку числа
α = a0 , a1 a2 . . . an . . . называют ц е л о й ч а с т ь ю этого числа и обозначают
[α] .
6
Глава 1. Предел последовательности
Если α — иррациональное, то запись α = β означает, что αn = βn ∀n ∈
∈ N0 (∀ — для любого). Если α — рациональное, то α = β означает, что
либо αn = βn ∀n ∈ N0 , либо α и β — два представления одной десятичной дроби, одно из них с нулем в периоде, другое — с девяткой. Если
αn ⩽ βn ∀n ∈ N0 , то считаем, что α ⩽ β. Если αn ⩽ βn ∀n ∈ N0 и α = β,
то α < β.
Критерий (необходимое и достаточное условие) различия чисел
Число α меньше, чем β, α < β, тогда и только тогда, когда существует
число k ∈ N0 такое, что
αk + 2 · 10−k ⩽ βk .
(1.1)
Доказательство. Необходимость. Из неравенства α < β следует существование числа i ∈ N0 такого, что αn < βn ∀n ⩾ i и αn = βn ∀n < i
(если i > 0) . Если окажется, что αi + 2 · 10−i ⩽ βi , то искомое число k
равно i. В случае, когда αi + 10−i = βi , переходим к рассмотрению приближений по недостатку αi+1 и βi+1 порядка i + 1 чисел α и β. Если
αi+1 + 2 · 10−(i+1) ⩽ βi+1 , то k = i + 1. В случае, когда αi+1 + 10−i−1 = βi+1 ,
переходим к рассмотрению αi+2 , βi+2 и т. д. На некотором шаге должно
выполняться нужное неравенство (1.1), т. к. в противном случае все приближения по недостатку порядка большего, чем i, одного числа заканчиваются
девятками, а другого — нулями, и тогда α и β — два периодических представления одной десятичной дроби, что противоречит неравенству α < β.
Достаточность. Из соотношения (1.1) следует, что α = β и αk ⩽ βk ∀k ∈
∈ N0 , т. е. α < β. Пример 1.1. Проиллюстрируем схему доказательства критерия различия на примере чисел α = −2, 17804 . . . и β = −2, 17799 . . . . Выпишем приближения по недостатку чисел α и β до порядка 5
β0 = −3,
α0 = −3,
β0 = −2, 2,
α1 = −2, 2,
α2 = −2, 18,
β2 = −2, 18,
β3 = −2, 178,
α3 = −2, 179,
α4 = −2, 1781, β4 = −2, 1780,
α5 = −2, 17805, β5 = −2, 17800.
Сравнивая эти приближения, видим, что число i из доказательства критерия
в данном примере равно 3. Поскольку α3 + 10−3 = β3 , α4 + 10−4 = β4 , α5 +
+ 2 · 10−5 < β5 , то число k из критерия различия чисел равно 5.
1.2. Грани числовых множеств
7
Теорема о плотности множества действительных чисел
Для любых двух действительных чисел α, β, α < β, существует рациональное число r, заключенное между ними, т. е. α < r < β.
Доказательство. По критерию различия чисел существует k ∈ N0 такое, что αk +2·10−k ⩽ βk . Пусть αk+1 , βk+1 — приближения по недостатку порядка k +1 чисел α и β. В качестве r возьмем число αk +10−k +5·10−(k+1) ,
которое удовлетворяет неравенствам αk+1 +2 · 10−(k+1) ⩽ r ⩽ βk+1 −2 · 10−(k+1) ,
и, следовательно, по критерию различия чисел α < r < β. 1.2. Грани числовых множеств
И н т е р в а л о м и о т р е з к о м с концами α и β называют соответственно множества
(α, β) = {x ∈ R : α < x < β}, [α, β] = {x ∈ R : α ⩽ x ⩽ β}.
Интервал (α, β), отрезок [α, β], а также полуинтервалы [α, β), (α, β]
имеют общее название п р о м е ж у т о к (с концами α и β), который обозначают |α, β|.
Любое подмножество множества действительных чисел называют числовым множеством. В числовом множестве X, состоящем из конечного числа
элементов, имеются наибольший элемент max X и наименьший min X. В
бесконечном множестве такие элементы могут существовать, но могут и не
существовать: max(α, β] = β, а min(α, β] не существует.
Числовое множество X называют о г р а н и ч е н н ы м с в е р х у, если для
этого множества существует верхняя граница β, т. е. существует такое число
β, что для всех x ∈ X выполняется неравенство x ⩽ β. Наименьшую из
верхних границ называют т о ч н о й в е р х н е й г р а н ь ю X и обозначают
sup X. Таким образом, число β является точной верхней гранью множества
X, если оно удовлетворяет следующим двум условиям:
∀x ∈ X ⇒ x ⩽ β;
(1.2)
∀γ < β, ∃x̄ ∈ X : x̄ > γ
(1.3)
(∃ — существует, ⇒ — следует, : — такое, что).
Аналогично определяют т о ч н у ю н и ж н ю ю г р а н ь множества X.
Число α называют нижней границей X, если ∀x ∈ X выполняется неравенство x ⩾ α. Наибольшую из нижних границ называют точной нижней гранью
и обозначают inf X. Ясно, что sup(α, β) = β, inf(α, β) = α.
8
Глава 1. Предел последовательности
Теорема о гранях
Каждое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань, непустое ограниченное снизу — точную нижнюю грань.
Доказательство для ограниченного сверху множества X. Заменим все
периодические дроби с девяткой в периоде, входящие в множество X, на
равные периодические дроби с нулем в периоде. Множество целых частей
чисел из X ограничено сверху, следовательно, в этом множестве существует
максимальное число p. Пусть Y — множество чисел из X, целая часть которых равна p. Обозначим через Yn множество приближений по недостатку
порядка n ∈ N элементов множества Y. Для каждого n ∈ N множество
Yn состоит из конечного числа элементов, следовательно, для каждого n ∈
∈ N множество Yn имеет максимальный элемент. Пусть max Yn = βn =
= b0 , b1 b2 . . . bn . Десятичная дробь βn+1 = max Yn+1 = b0 , b1 . . . bn−1 θn bn+1
отличается от βn = b0 , b1 . . . bn−1 bn лишь наличием дополнительной цифры
на (n+1) месте после запятой и, если p < 0, то цифрой на n месте, цифры
же b0 , b1 , b2 , . . . , bn−1 у них совпадают. Пусть ηn−1 = b0 , b1 b2 . . . bn−1 и пусть
η — число, приближениями по недостатку которого являются числа ηn−1 . По
построению для любого y ∈ Y выполняется неравенство yn−1 ⩽ ηn−1 ∀n ∈
∈ N. Следовательно, для любого y ∈ Y выполняется неравенство y ⩽ η.
Более того, если γ < η, то на основании критерия различия чисел найдется
число l ∈ N0 такое, что
(1.4)
γl + 2 · 10−l ⩽ ηl .
Из определения ηl следует существование элемента ȳ ∈ Y, для которого
ȳl = ηl . Из условия (1.4) вытекает γ < ȳ. Таким образом, число η удовлетворяет условиям (1.2), (1.3), следовательно, sup Y = η. Так как sup X = sup Y,
то η является точной верхней гранью и всего множества X. Замечание 1.1. Если X неограниченное сверху множество, т. е. для любого β ∈ R найдется число x̄ ∈ X такое, что x̄ > β, то по определению полагают sup X := +∞ (:= — равно по определению). Для неограниченного
снизу множества X по определению полагают inf X := −∞.
Таким образом, любое непустое множество имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Но для ограниченного сверху (снизу) множества точной верхней
(нижней) гранью является действительное число или, как говорят, множество
имеет конечную точную верхнюю (нижнюю) грань.
С помощью теоремы о гранях можно определить арифметические операции с действительными числами, а также установить переместительный,
сочетательный, распределительный законы для вещественных чисел.
1.3. Логические операции
9
Под с у м м о й α + β двух вещественных чисел α и β понимают
α + β = sup{αn + βn },
где αn и βn — приближения по недостатку порядка n чисел α и β соответственно, а под р а з н о с т ь ю α − β — число α + (−β).
За п р о и з в е д е н и е αβ двух неотрицательных или неотрицательного и
отрицательного вещественных чисел α и β принимают
αβ = sup{αn βn }.
Если α и β — два отрицательных числа, то αβ = (−α)(−β).
Для любых действительных чисел α, β = 0 уравнение βx = α имеет
единственное решение (доказать). Это решение называют ч а с т н ы м чисел
α и β и обозначают α/β.
1.3. Логические операции
Математические рассуждения проводятся по правилам логики. Оперирует логика с высказываниями, т. е. с предложениями, каждое из которых
является либо истинным, либо ложным. Основные логические операции:
— отрицание, ⇔ — равносильно, ⇒ — влечет за собой. Запись A ⇒ B
означает, что высказывание A влечет высказывание B или, что то же самое,
B следует из A, но мы записи A ⇒ B будем придавать и другую словесную
интерпретацию, говоря, что B есть необходимый признак или необходимое
условие A. Соотношение A ⇔ B означает, что высказывание A равносильно высказыванию B , но мы его будем читать также одним из следующих
способов:
A необходимо и достаточно для B,
A тогда и только тогда, когда B,
A, если и только если B.
Мы будем оперировать и с переменными высказываниями P (x), т. е. с
высказываниями, которые могут быть истинными при одних значениях x и
ложными при других. Особенно важное значение имеют случаи:
1) P (x) истинно для всех x;
2) существует x, для которого P (x) истинно.
Используя символы ∀ — для всех, ∃ — существует, два указанных случая
можно записать кратко:
1) ∀x, P (x);
2) ∃x, P (x).
Важное значение для анализа имеют следующие правила отрицания:
(∃x, P (x)) ⇔ ∀x, P (x);
(∀x, P (x)) ⇔ ∃x, P (x),
10
Глава 1. Предел последовательности
которые означают следующее: для того чтобы образовать отрицание предложения ∃x, P (x) (∀x, P (x)), надо заменить в первом случае символ ∃ на
символ ∀ (во втором случае — ∀ на ∃), а высказывание P (x) — на его отрицание P (x). Например, для предложения
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ U : |x − a| ⩽ δ ⇒ |f (x) − A| ⩽ ε
его отрицание формулируется следующим образом:
∃ε0 > 0, ∀δ > 0, ∃x0 ∈ U : |x0 − a| ⩽ δ ⇒ |f (x0 ) − A| > ε0 .
При доказательствах будем часто использовать следующий п р и н ц и п
м а т е м а т и ч е с к о й и н д у к ц и и:
если утверждение P (n), n ∈ N0 , истинно при n = m, m ∈ N0 , и из
истинности P (n) при n = k > m следует его истинность при n = k + 1, то
P (n) истинно при всех n ⩾ m.
1.4. Предел последовательности
Если каждому натуральному числу (номеру) n поставлено в соответствие
некоторое вещественное число an , то говорят, что задана числовая последовательность (или просто последовательность)
a 1 , a 2 , . . . , an , . . . .
(1.5)
Для краткой записи последовательности (1.5) используют символ (an ).
Последовательность (1.5) называют о г р а н и ч е н н о й, если ограничено
сверху и снизу множество {an }, состоящее из элементов последовательности,
т. е.
∃M ∈ R, ∀n ∈ N ⇒ |an | ⩽ M.
Последовательность
ak+1 , ak+2 , . . . , ak+n , . . .
(1.6)
называют о с т а т к о м последовательности (1.5). Множество членов последовательности (1.5), не входящих в остаток, конечно, поэтому, если ограничен
один из остатков последовательности, то ограничена и вся последовательность.
Последовательность (1.5) называют с х о д я щ е й с я, если существует
число a такое, что
∀ε > 0, ∃ν(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ ν(ε) ⇒ |an − a| ⩽ ε.
1.4. Предел последовательности
11
В противном случае последовательность (1.5) называют расходящейся.
Если последовательность (1.5) сходится, то число a, из определения сходящейся последовательности, называют ее п р е д е л о м и обозначают
lim an = a или an → a.
n→∞
n→∞
Геометрически выражение « a предел последовательности (an ) » означает, что какую бы ε-окрестность Uε (a) = {x : |x − a| < ε} точки a ни взять,
все члены некоторого остатка последовательности попадут в Uε (a) (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Предел последовательности
(−1)n
Пример 1.2. Покажем, что
→ 0. Возьмем произвольное ε > 0
n2 n→∞
и рассмотрим цепочку неравенств
(−1)n 1
1
(1.7)
2 ⩽ ε ⇔ n2 ⩾ ⇔ n ⩾ √ ,
n
ε
ε
из которой видим, что в качестве ν(ε), из определения сходящейся последо√
вательности, можно взять ν(ε) = 1/ ε. Действительно, для любого n ⩾ ν(ε)
из цепочки неравенств (1.7) имеем |(−1)n /n2 | ⩽ ε.
M -лемма
Если
∀ε > 0, ∃ν(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ ν(ε) ⇒ |an − a| ⩽ M ε,
где M не зависит ни от ε, ни от n, то an → a.
n→∞
Доказательство. Если M = 0, то an = a ∀n ⩾ ν(1) и ясно, что
an → a. Если же M = 0, то для произвольного ε возьмем ε = ε/M.
n→∞
Существует ν(ε ) > 0, ∀n ⩾ ν(ε ) ⇒ |an − a| ⩽ M ε = M ε/M = ε. Если lim an = 0, то последовательность (an ) называют б е с к о н е ч н о
n→∞
м а л о й. Ясно, что последовательность (an ) сходится к числу a тогда и только тогда, когда an можно представить в виде an = a + αn , где (αn ) —
бесконечно малая последовательность.
12
Глава 1. Предел последовательности
Пример 1.3. Покажем, что
1) lim q n = 0,
n→∞
0 < |q| < 1;
2) lim
n
n→∞ 2n
= 0;
3) lim
√
n
n→∞
n = 1.
Действительно,
1) 0 < ε < 1, |q n | ⩽ ε ⇔ n lg |q| ⩽ lg ε ⇔ n ⩾
2) ε > 0,
lg ε
,
lg |q|
ν(ε) :=
lg ε
;
lg |q|
n
n
n
⩽ε⇔
⩽ε⇔
⩽ε⇐
n
n
2
(1 + 1)
1 + n + n(n − 1)/2 + . . . + 1
⇐
n
2
2
ε ⇔ n ⩾ + 1,
⩽ε⇔
n(n − 1)/2
n−1
ε
ν(ε) :=
2
+ 1;
ε
√
√
3) ε > 0, | n n − 1| ⩽ ε ⇔ n n − 1 ⩽ ε ⇔ n ⩽ (1 + ε)n ⇔
n(n − 1) 2
n(n − 1) 2
ε + . . . + εn ⇐ n ⩽
ε ⇔
2
2
2
2
⇔ n ⩾ 2 + 1, ν(ε) := 2 + 1.
ε
ε
⇔ n ⩽ 1 + nε +
1.5. Свойства сходящейся последовательности
1. Сходящаяся последовательность имеет лишь один предел.
Доказательство. Предположим противное: an → a, an → b, a = b.
n→∞
n→∞
Тогда αn = an − a, βn = an − b — две бесконечно малые последовательности
и
(1.8)
|a − b| = |αn − βn | ⩽ |αn | + |βn |.
Возьмем ε = |a − b|/4. Из определения предела имеем
∃ν1 > 0, ∀n ⩾ ν1 ⇒ |αn | ⩽
|a − b|
,
4
∃ν2 > 0, ∀n ⩾ ν2 ⇒ |βn | ⩽
|a − b|
.
4
Отсюда
|αn | + |βn | ⩽
|a − b|
2
∀n ⩾ max{ν1 , ν2 }.
(1.9)
|a − b|
Из неравенств (1.8), (1.9) следует противоречивое неравенство
⩾ |a−b|.
2
Поэтому сделанное предположение о существовании у последовательности
двух не равных пределов неверно. Но тогда a = b. 1.5. Свойства сходящейся последовательности
13
2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. Возьмем ε = 1, ∃ν > 0, ∀n ⩾ ν ⇒ |an − a| ⩽ 1 ⇒
⇒ a − 1 ⩽ an ⩽ a + 1. Остаток (an ), n ⩾ ν, ограничен, поэтому ограничена и
вся последовательность. 3. Если an → a, bn → b, то:
n→∞
n→∞
а) an +bn → a+b (предел суммы сходящихся последовательностей равен
n→∞
сумме их пределов);
б) an bn → ab (предел произведения сходящихся последовательностей
n→∞
равен произведению их пределов);
an
a
в)
→ , если b = 0, bn = 0 ∀n (предел частного сходящихся поbn n→∞ b
следовательностей равен частному их пределов, если предел знаменателя не
равен нулю и bn = 0 ∀n) .
Доказательство. а), б). Для любого ε > 0,
∃ν (ε) > 0, ∀n ⩾ ν (ε) ⇒ |an − a| ⩽ ε,
∃ν (ε) > 0, ∀n ⩾ ν (ε) ⇒ |bn − b| ⩽ ε.
Согласно свойству 2, существует постоянная M такая, что |an | ⩽ M
Для любого n ⩾ max{ν (ε), ν (ε)} имеем
∀n.
|an + bn − a − b| ⩽ |an − a| + |bn − b| ⩽ 2ε,
|an bn − ab| = |an bn − an b + an b − ab| ⩽ |an ||bn − b| + b|an − a| ⩽ M ε + bε.
По M -лемме an + bn → a + b, an bn → ab.
n→∞
n→∞
Осталось доказать утверждение в). По ε1 = |b|/2 найдем ν(ε1 ) такое,
что ∀n ⩾ ν(ε1 ) ⇒ |bn − b| ⩽ |b|/2. Отсюда
||bn | − |b|| ⩽ |bn − b| ⩽
|b|
|b|
3
⇒
⩽ |bn | ⩽ |b|.
2
2
2
Теперь для n ⩾ max{ν (ε), ν (ε), ν(ε1 )} имеем
a
1
n a an an an a |an |
+
− ⩽
|bn − b| + |an − a| ⩽
− = −
bn
b
bn
b
b
b
|bbn |
|b|
2M
1
M
1
ε+ ε=
ε.
+
|b||b|/2
|b|
|b|2
|b|
an
a
Согласно M -лемме,
→ .
bn n→∞ b
⩽
14
Глава 1. Предел последовательности
4. Если an → a, bn → b и an ⩽ bn ∀n ∈ N, то a ⩽ b.
n→∞
n→∞
Доказательство. Предположим противное: a > b. Найдется ε > 0 такое, что a − ε > b + ε. Для достаточно больших n an ⩾ a − ε и bn ⩽ b + ε,
поэтому an > bn , что противоречит условию. 5. Лемма о зажатой последовательности. Если bn ⩽ an ⩽ cn
bn → d, cn → d, то an → d.
n→∞
n→∞
n→∞
Доказательство.
∀n ∈ N,
∀ε > 0, ∃ν (ε) > 0, ∀n ⩾ ν (ε) ⇒ |bn − d| ⩽ ε, d − ε ⩽ bn ⩽ d + ε,
∀ε > 0, ∃ν (ε) > 0, ∀n ⩾ ν (ε) ⇒ |cn − d| ⩽ ε, d − ε ⩽ cn ⩽ d + ε.
Отсюда ∀n ⩾ max{ν (ε), ν (ε)}
d − ε ⩽ an ⩽ d + ε,
т. е. an → d. n→∞
6. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную
является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство. Пусть an → 0, а |bn | ⩽ M − const ∀n ∈ N. Тогда
n→∞
∀ε > 0, ∃ν(ε) > 0, ∀n ⩾ ν(ε) ⇒ |an | ⩽ ε ⇒ |an bn | ⩽ M ε.
По M -лемме an bn → 0. n→∞
1.6. Бесконечно большая последовательность
Последовательность (an ) называют б е с к о н е ч н о б о л ь ш о й, если
∀ε > 0, ∃ν(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ ν(ε) ⇒ |an | ⩾ ε.
Другими словами, последовательность бесконечно большая, если, какое бы
число ε > 0 мы ни взяли, найдется число ν(ε) > 0 такое, что все члены последовательности с номерами большими ν(ε), находятся вне ε-окрестности
нуля (рис. 1.2).
Рис. 1.2
1.7. Монотонная последовательность
15
Если последовательность (an ) бесконечно большая, то говорят, что она
имеет б е с к о н е ч н ы й п р е д е л, и пишут lim an = ∞.
n→∞
Свойства бесконечно больших последовательностей
1. Если (an ) — бесконечно большая последовательность и an = 0, то
1/an — бесконечно малая.
Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. Пусть ε = 1/ε
1 1
∃ν(ε ) > 0, ∀n ⩾ ν(ε ) ⇒ |an | ⩾ ε ⇒ ⩽ = ε. an
ε
2. Если (an ) — бесконечно малая последовательность и an = 0, то
1/an — бесконечно большая.
Свойство 2 устанавливается аналогично свойству 1.
Среди бесконечно больших последовательностей (an ) выделяют два типа
последовательностей
1) ∀ε > 0, ∃ν(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ ν(ε) ⇒ an ⩾ ε;
2) ∀ε > 0, ∃ν(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ ν(ε) ⇒ an ⩽ −ε.
В первом случае говорят, что (an ) имеет предел +∞ и пишут lim an = +∞,
n→∞
во втором — lim an = −∞.
n→∞
1.7. Монотонная последовательность
Последовательность (an ) называют с т р о г о в о з р а с т а ю щ е й, если
a1 < a2 < . . . < an < . . . . Если a1 ⩽ a2 ⩽ . . . ⩽ an ⩽ . . . , то (an ) называют
в о з р а с т а ю щ е й последовательностью. Аналогично определяют с т р о г о
у б ы в а ю щ и е и у б ы в а ю щ и е последовательности. Все эти последовательности называют м о н о т о н н ы м и.
Теорема о монотонной ограниченной последовательности
Каждая ограниченная монотонная последовательность сходится.
Доказательство для возрастающей последовательности. По теореме о
гранях (п. 1.4)
sup{an } = a ∈ R. Из определения точной верхней грани
следует, что an ⩽ a ∀n ∈ N и ∀ε > 0, ∃nε ∈ N : a − ε < anε . Теперь,
используя монотонность последовательности, имеем
∀ε > 0, ∃ν(ε) = nε , ∀n ⩾ ν(ε) ⇒ 0 ⩽ a − an ⩽ ε,
т. е. lim an = a. n→∞
16
Глава 1. Предел последовательности
Замечание 1.2. Если последовательность (an ), возрастающая и неограниченная, то, используя доказательство теоремы о монотонной ограниченной
последовательности, можно показать, что lim an = +∞, если же (an ) —
n→∞
неограниченная убывающая последовательность, то lim an = −∞.
n→∞
Таким образом, любая монотонная последовательность имеет предел, конечный, если она ограничена, или бесконечный определенного знака, если
она не ограничена. Напомним, что мы говорим «последовательность сходится» лишь в случае, когда ее предел принадлежит R.
1.8. Принцип выбора
Рассмотрим последовательность
a1 , . . . , a n , . . . .
(1.10)
Если из (1.10) удалить часть элементов, но так, чтобы осталось бесконечно
много членов последовательности, то получим п о д п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь
этой последовательности
a n1 , . . . , ank , . . . ,
n1 < n2 < . . . < nk < . . . .
Теорема о выборе монотонной подпоследовательности
Из любой последовательности можно выбрать монотонную подпоследовательность.
Доказательство. Любая последовательность обладает одним из двух
свойств:
1) каждый остаток последовательности имеет наибольший элемент,
2) существует остаток последовательности, не имеющий наибольшего элемента.
В первом случае можно выбрать монотонно убывающую подпоследовательность. Пусть an1 — наибольший элемент всей последовательности, an2 —
один из наибольших элементов остатка, начинающегося с номера n1 + 1,
an3 — один из наибольших элементов остатка, начинающегося с номера n2 +1,
и т. д. Тогда an1 ⩾ an2 ⩾ an3 ⩾ . . . и, следовательно, an1 , an2 , . . . — монотонная
подпоследовательность последовательности (1.10).
Во втором случае можно выбрать монотонно возрастающую подпоследовательность. Пусть am , am+1 , . . . — остаток без наибольшего элемента. Тогда
и все последующие остатки не имеют наибольших элементов. Положим an1 =
= am . В остатке, начинающемся с номера n1 , нет наибольшего, поэтому найдется элемент an2 > an1 . Затем рассмотрим остаток, начинающийся с номера
1.9. Число e
17
n2 , и выберем элемент an3 > an2 и т. д. Последовательность an1 , an2 , . . . —
возрастающая подпоследовательность последовательности (1.10). Принцип выбора
Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность.
Доказательство. Пусть (1.10) — ограниченная последовательность. На
основании теоремы о выборе монотонной подпоследовательности из (1.10)
можно выбрать монотонную подпоследовательность, которая вместе с последовательностью тоже ограничена. По теореме о монотонной ограниченной
последовательности выделенная подпоследовательность сходится. 1.9. Число e
1 n
Рассмотрим последовательность an = 1 +
. Используя формулу биn
нома Ньютона
(a + b)n = an b0 +
выражения
n n−1 1 n(n − 1) n−2 2
n(n − 1) · · · (n − n + 1) 0 n
a
a
a b ,
b +
b +...+
1!
2!
n!
1+
1 n
1 n+1
и 1+
представим в виде
n
n+1
1
1
1
n − 1
1 n
1
1−
+ ... +
1−
··· 1 −
,
=1+1+
1+
n
2!
n
n!
n
n
1+
(1.11)
1 n+1
1 1
1 n 1
1−
+. . .+
1−
· · · 1−
.
= 1+1+
n+1
2!
n+1
(n + 1)!
n+1
n+1
При переходе от an к an+1 все слагаемые в правой части равенства (1.11) не
убывают и добавляется еще одно положительное слагаемое, поэтому an+1 >
> an . Кроме того,
an < 1 + 1 +
1
1
1
1
1
+ ... +
< 2 + + 2 + . . . + n−1 < 3.
2!
n!
2 2
2
Последовательность (1 + 1/n)n возрастающая и ограниченная, следовательно, по теореме о монотонной ограниченной последовательности она сходится.
Ее предел обозначают через e.
Число e является иррациональным e = 2, 7182 . . . .
18
Глава 1. Предел последовательности
1.10. Критерий Коши
Говорят, что последовательность (1.10) удовлетворяет у с л о в и ю К о ш и,
если
∀ε > 0, ∃ν(ε) > 0, ∀n, m ∈ N : n, m ⩾ ν(ε) ⇒ |an − am | ⩽ ε.
Последовательность,
удовлетворяющую
ф у н д а м е н т а л ь н о й.
условию
Коши,
(1.12)
называют
Критерий Коши сходимости последовательности
Для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы
она была фундаментальной.
Доказательство. Необходимость. Если an → a, то
ε
n→∞
ε
ε
∀ε > 0, ∃ν
> 0, ∀n ⩾ ν
⇒ |an − a| ⩽ ,
2
2
2
ε
ε
⇒ |am − a| ⩽ .
∀m ⩾ ν
2
2
Отсюда для любых n, m ⩾ ν(ε/2) имеем
|an − am | = |an − a + a − am | ⩽ |an − a| + |am − a| ⩽ ε.
Достаточность. Фиксируя в неравенстве (1.12) ε и m, получаем
am − ε ⩽ an ⩽ am + ε ∀n ⩾ ν(ε),
т. е. остаток последовательности, начинающийся с номера большего, чем ν(ε),
ограничен, но тогда ограничена и последовательность. На основании принципа выбора из последовательности (1.10) можно выделить сходящуюся подпоследовательность ank → a. Поскольку последовательность (1.10) фундаk→∞
ментальная, то
∀ε > 0, ∃ν(ε) > 0, ∀n, nk ⩾ ν(ε) ⇒ |an − ank | ⩽ ε ⇒ ank − ε ⩽ an ⩽ ank + ε. (1.13)
Переходя в неравенстве (1.13) к пределу при k → ∞, получаем
a − ε ⩽ an ⩽ a + ε ∀n ⩾ ν(ε),
что означает an → a. n→∞
Очевидно, что определение фундаментальной последовательности можно
также сформулировать следующим образом:
∀ε > 0, ∃ν(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ ν(ε), ∀p ∈ N ⇒ |an − an+p | ⩽ ε.
1.11. Верхний и нижний пределы
19
Пример 1.4. Покажем, что последовательность
an = 1 +
cos n
cos 1
+ ... + n
2
2
является фундаментальной, следовательно, сходящейся. Действительно,
cos(n + 1)
cos(n + p) ∀ε, 0 < ε < 1, |an − an+p | = +
.
.
.
+
⩽ε⇐
2n+1
2n+p
1
1
1 1 1
⇐ n+1 + . . . + n+p ⩽ ε ⇔ n
+ ... + p ⩽ ε ⇐
2
2
2 2
2
1
1
1
⇐ n ⩽ ε ⇔ n ⩾ log2 , ν(ε) := log2 .
2
ε
ε
Пример 1.5. Покажем, что последовательность
an = 1 +
1
1
+ ... +
2
n
является расходящейся. Используя правила отрицания (п. 1.3), сформулируем определение нефундаментальной последовательности
∃ε0 > 0, ∀ν > 0, ∃n0 ∈ N : n0 ⩾ ν, ∃p0 ∈ N ⇒ |an0 − an0 +p0 | > ε0 .
Для доказательства расходимости рассматриваемой последовательности
достаточно показать, что она не является фундаментальной. Пусть ε0 = 1/4.
Для произвольного ν > 0 в качестве n0 , p0 возьмем числа n0 = [ν] + 1, p0 =
= 2n0 , тогда
1
1 1
1
+ ... +
|an0 − a2n0 | = n0 = > ε0 .
⩾
n0 + 1
2n0
2n0
2
1.11. Верхний и нижний пределы
Рассмотрим последовательность
a1 , . . . , a n , . . . .
(1.14)
Предел a (конечный или бесконечный, определенного знака) некоторой подпоследовательности (ank ) последовательности (1.14) называют
ч а с т и ч н ы м п р е д е л о м последовательности (1.14). Пусть L — множество ее частичных пределов. Точную верхнюю (нижнюю) грань множества
L называют в е р х н и м (н и ж н и м) п р е д е л о м последовательности (1.14)
20
Глава 1. Предел последовательности
и обозначают lim an ( lim an ) . Например, последовательность an = (−1)n
n→∞
n→∞
имеет два частичных предела +1, −1, следовательно,
lim (−1)n = 1, lim (−1)n = −1.
n→∞
n→∞
Из теоремы о гранях и замечания к ней, из теоремы о выборе монотонной
подпоследовательности и из теоремы о монотонной и ограниченной последовательности и замечания к ней следует, что любая последовательность имеет
верхний и нижний пределы, причем верхний предел является числом, если
последовательность ограничена сверху, и символом +∞ в противном случае, нижний предел — число, если последовательность ограничена снизу, и
символ −∞ в противном случае.
Критерий совпадения верхнего и нижнего пределов
Нижний и верхний пределы последовательности совпадают в том и
только том случае, когда последовательность имеет предел конечный
или бесконечный определенного знака, причем в этом случае
lim an = lim an = lim an .
n→∞
n→∞
n→∞
Доказательство. Необходимость. Пусть
lim an = lim an = a ∈ R.
n→∞
(1.15)
n→∞
Предположим, что последовательность (an ) не стремится к a. Используя правила отрицания (п. 1.3), утверждение, что lim an = a с помощью
« ε - δ », формулируется следующим образом:
n→+∞
∃ε0 > 0, ∀ν > 0, ∃n0 ∈ N : n0 ⩾ ν ⇒ |an0 − a| > ε0 .
Отсюда вытекает, что для каждого k ∈ N найдем номер nk ⩾ k такой, что
|ank − a| > ε0 .
(1.16)
Из неравенства (1.16) следует, что любой частичный предел подпоследовательности (ank ) отличен от a, что противоречит равенству (1.15). Аналогично рассматриваются случаи a = −∞, a = +∞.
Достаточность. Если предел последовательности (an ) равен a, то любая
ее подпоследовательность стремится к a. Значит, множество частичных пределов состоит из одного элемента a и, следовательно, lim an = a, lim an =
= a. n→∞
n→∞
ГЛАВА 2
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
2.1. Функции
Ф у н к ц и е й, определенной на множестве X со значениями в множестве Y, называют соответствие f, которое каждому элементу x ∈ X относит единственный элемент y из Y, обозначаемый f (x). Множество X
называют м н о ж е с т в о м з а д а н и я функции. Совокупность всех элементов f (x), x ∈ X, называют м н о ж е с т в о м з н а ч е н и й функции f. Тот
факт, что f — функция, заданная на X со значениями в Y, обозначают
одним из следующих способов:
f :X →Y;
f
X →Y ;
y = f (x),
x ∈ X,
y ∈ Y.
Иногда вместо слова «функция» используют слово «о т о б р а ж е н и е». В
определении функции множества X и Y могут быть множествами любой
природы. Если X ⊂ R, Y ⊂ R, то функцию называют в е щ е с т в е н н о й
или с к а л я р н о й. Пока будем рассматривать лишь скалярные функции.
Г р а ф и к о м Γf скалярной функции f называют множество точек плоскости 0xy с координатами (x, f (x)), x ∈ X
Γf = {(x, y) : x ∈ X, y = f (x)}
(здесь и в дальнейшем, когда говорится о плоскости 0xy, то имеется в виду
плоскость, на которой задана декартова прямоугольная система координат с
осями x, y ).
Линейная функция: y = kx + b, k, b ∈ R.
Графиком линейной функции служит прямая (рис. 2.1), образующая угол
ϕ с осью 0x такой, что tgϕ = k, и проходящая через точку (0, b).
Квадратичная функция: y = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a = 0.
График квадратичной функции — парабола (рис. 2.2), вершина которой
b 4ac − b2 , и пересекающаяся с осью 0y в точке
находится в точке − ,
2a
4a
(0, c).
22
Глава 2. Предел и непрерывность функции
Рис. 2.1. Графики функций y = x
(пунктирная прямая) и y = −x/2 − 1
Рис. 2.2. Графики функций y = x2
(пунктирная кривая) и y = −x2 −x+1
Многочлен степени n : y = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 ,
= 0, 1, . . . , n, an = 0 (рис. 2.3).
Рациональная функция: y =
степени n и m, m = 0 (рис. 2.4).
Рис. 2.3. Графики функций y = x3
и y = x4 (пунктирная кривая)
Pn (x)
,
Qm (x)
ai ∈ R,
i=
Pn (x), Qm (x) — многочлены
Рис. 2.4. Графики функций y = 1/x
и y = 1/x2 (пунктирная кривая)
Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y =
= ctg x (рис. 2.5—2.8).
Рис. 2.5. Графики функций y = sin x,
y = sin 2x (пунктирная кривая)
Рис. 2.6. Графики функций y = cos x,
y = cos 3x (пунктирная кривая)
2.1. Функции
Рис. 2.7. Графики функций y = tg x,
y = tg(x/2) (пунктирная кривая)
23
Рис. 2.8. Графики функций y = ctg x,
y = ctg 2x (пунктирная кривая)
Для отображений f : X → Y и g : Y → T с помощью формулы
h(x) = g(f (x)) можно построить функцию h : X → T, которую называют
к о м п о з и ц и е й функций f и g и обозначают g ◦ f. Композицию функций
часто называют с л о ж н о й функцией.
Отображение f : X → Y называют:
— с ю р ъ е к т и в н ы м, если
∀y ∈ Y, ∃x ∈ X ⇒ y = f (x);
— и н ъ е к т и в н ы м, если
∀x1 , x2 ∈ X : x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 );
— б и е к т и в н ы м, если оно сюръективно и инъективно одновременно.
Для биективного отображения f : X → Y можно построить отображение
из Y в X, которое каждому y ∈ Y ставит в соответствие элемент x из X
такой, что f (x) = y. Это отображение g : Y → X называют о б р а т н ы м
к f и обозначают f −1 . Из определения обратного отображения следует, что
(f −1 ◦ f )(x) = x ∀x ∈ X и (f ◦ f −1 )(y) = y ∀y ∈ Y. Множеством определения обратной функции f −1 служит множество Y, а множеством значений —
множество X. Так как точке (x, y) графика функции f соответствует симметричная относительно прямой y = x точка (y, x) графика f −1 , то графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y = x.
Функции y = arcsin x (рис. 2.9); y = arccos x (рис. 2.10); y = arctg x
(рис. 2.11); y = arcctg x (рис. 2.12) являются обратными соответственно
для функций y = sin x, x ∈ [−π/2, π/2]; y = cos x, x ∈ [0, π]; y = tg x, x ∈
∈ (−π/2, π/2); y = ctg x, x ∈ (0, π).
24
Глава 2. Предел и непрерывность функции
Рис. 2.9. График функции y = arcsin x
Рис. 2.10. График функции y = arccos x
Рис. 2.11. График функции y = arctg x
Рис. 2.12. График функции y = arcctg x
Поскольку −π/2 < arctg x < π/2, 0 < arcctg x < π, то функции y =
= arctg x, y = arcctg x ограничены.
2.2. Предел функции
Пусть функция f определена в Δ -о к р е с т н о с т и UΔ (c) точки c, т. е.
на интервале длины 2Δ с центром в точке c
UΔ (c) = {x ∈ R : |x − c| < Δ},
Δ > 0,
за ислючением, быть может, точки c. Множество UΔ (c) \ {c} называют
п р о к о л о т о й Δ -о к р е с т н о с т ь ю точки c.
Говорят, что функция f имеет п р е д е л при x → c, если существует
число A такое, что
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x ∈ UΔ (c) : 0 < |x − c| ⩽ δ(ε) ⇒ |f (x) − A| ⩽ ε.
Если функция f имеет предел при x → c, то число A из приведенного
выше определения называют ее п р е д е л о м и обозначают lim f (x) = A или
x→c
2.2. Предел функции
25
f (x) → A. Если функция f (x) определена в точке x = c и lim f (x) = A,
x→c
x→c
то не обязательно A = f (c).
Геометрически lim f (x) = A означает, что какую бы горизонтальную поx→c
лосу вдоль прямой y = A ни взять, всегда найдется вертикальная полоса с
осью симметрии x = c такая, что все точки графика функции f, расположенные в вертикальной полосе, кроме, может быть, точки, находящейся на
прямой x = c, попадут во взятую горизонтальную полосу (рис. 2.13).
Рис. 2.13. Число А — предел функции
Аналогично M -лемме для последовательностей доказывается следующее
утверждение.
M -лемма для предела функции
Если
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x ∈ UΔ (c) : 0 < |x − c| ⩽ δ(ε) ⇒ |f (x) − A| ⩽ M ε.
где M не зависит ни от x, ни от ε, то f (x) → A.
x→c
Пример 2.1. Докажем, что lim x2 = 4.
x→2
Пусть U1 (2) = {x : |x−2| < 1}. Возьмем произвольное ε > 0. Для любого
x ∈ U1 (2) имеет место следующая цепочка неравенств
ε
|x2 − 4| ⩽ ε ⇔ |x − 2||x + 2| ⩽ ε ⇐ |x − 2| ⩽ ,
5
из которой видим, что в качестве числа δ(ε), о котором идет речь в определении предела функции, можно взять δ(ε) = min{ε/5; 1}.
26
Глава 2. Предел и непрерывность функции
Критерий Гейне
Для того чтобы функция f (x) имела предел A при x → c, необходимо
и достаточно, чтобы для любой последовательности xn → c, xn = c,
n→∞
последовательность f (xn ) сходилась к A, т. е. lim f (xn ) = A.
n→∞
Доказательство. Необходимость. Возьмем ε > 0 и последовательность
xn → c, xn = c. Поскольку lim f (x) = A, то
n→∞
x→c
∃δ(ε) > 0, ∀x ∈ UΔ (c) : 0 < |x − c| ⩽ δ(ε) ⇒ |f (x) − A| ⩽ ε.
(2.1)
Из условия xn → c, xn = c, имеем
n→∞
∃ν(ε) > 0, ∀n ⩾ ν(ε) ⇒ 0 < |xn − c| ⩽ δ(ε).
(2.2)
Из соотношений (2.1), (2.2) следует
∃ν(ε) > 0, ∀n ⩾ ν(ε) ⇒ |f (xn ) − A| ⩽ ε,
что означает lim f (xn ) = A.
n→∞
Достаточность. От противного. Предположим, что lim f (x) = A. Испольx→c
зуя правила отрицания (п. 1.3), последнее утверждение с помощью « ε - δ »
формулируется следующим образом:
∃ε0 > 0, ∀δ > 0, ∃x0 ∈ UΔ (c) : 0 < |x0 − c| ⩽ δ ⇒ |f (x0 ) − A| > ε0 .
Отсюда следует, что для каждого δn = 1/n, n ∈ N, найдется точка xn
такая, что
1
0 < |xn − c| ⩽ , |f (xn ) − A| > ε0 .
n
1
вытекает, что последовательность (xn ) стреИз неравенств 0 < |xn − c| ⩽
n
мится к c и xn = c, а из неравенства |f (xn ) − A| > ε0 , что последовательность (f (xn )) не сходится к A, но это противоречит условию критерия
Гейне. 2.3. Односторонние и бесконечные пределы
Пусть функция f определена в п р а в о с т о р о н н е й Δ -о к р е с т н о с т и
VΔ (c) = {x : c ⩽ x < c + Δ}, Δ > 0, точки x = c, за ислючением, быть может,
точки c.
Говорят, что функция f имеет п р е д е л с п р а в а при x → c, если существует число A такое, что
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x ∈ VΔ (c) : 0 < x − c ⩽ δ(ε) ⇒ |f (x) − A| ⩽ ε.
2.3. Односторонние и бесконечные пределы
27
Если функция f имеет предел справа при x → c, то число A называют
ее правосторонним пределом и обозначают A = lim f (x) = f (c + 0) или
x→c+0
f (x) → A.
x→c+0
Геометрически
lim f (x) = A означает, что какую бы горизонтальную
x→c+0
полосу вдоль прямой y = A ни взять, всегда найдется вертикальная полоса, лежащая правее прямой x = c, такая, что все точки графика функции f, расположенные в вертикальной полосе, кроме, быть может, точки
находящейся на прямой x = c, попадут во взятую горизонтальную полосу
(рис. 2.14).
Говорят, что функция f, определенная в левосторонней Δ -окрестности
ZΔ (c) = {x : c − Δ < x ⩽ c}, Δ > 0, точки c, за ислючением, быть может,
точки c, имеет п р е д е л с л е в а при x → c, если существует число A такое,
что
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x ∈ ZΔ (c) : 0 < c − x ⩽ δ(ε) ⇒ |f (x) − A| ⩽ ε.
Левосторонний предел функции обозначают A = lim f (x) = f (c − 0) или
x→c−0
f (x) → A (рис. 2.15).
x→c−0
Рис. 2.14. Число А — предел справа
Рис. 2.15. Число А — предел слева
Из определений предела и односторонних пределов функции сразу вытекает следующий критерий.
Критерий равенства односторонних пределов
Для того чтобы функция f имела равные односторонние пределы f (c + 0),
f (c − 0), необходимо и достаточно, чтобы она имела предел при x → c,
причем в этом случае
f (c + 0) = lim f (x) = f (c − 0).
x→c
Говорят, что функция f, определенная на множестве [a, +∞), имеет предел при x → +∞, если существует число A такое, что
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x ∈ [a, +∞) : x ⩾ δ(ε) ⇒ |f (x) − A| ⩽ ε.
28
Глава 2. Предел и непрерывность функции
Обозначают A = lim f (x) = f (+∞) или f (x) → A.
x→+∞
Аналогично, A = lim f (x) = f (−∞), если
x→+∞
x→−∞
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x ∈ (−∞, a] : x ⩽ −δ(ε) ⇒ |f (x) − A| ⩽ ε.
Бесконечные пределы
Говорят, что функция f : UΔ → R с т р е м и т с я к б е с к о н е ч н о с т и
при x → c (или предел функции равен бесконечности), если
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x ∈ UΔ (c) : 0 < |x − c| ⩽ δ(ε) ⇒ |f (x)| ⩾ ε,
обозначают lim f (x) = ∞. Аналогично,
x→c
lim f (x) = +∞ :
x→c
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x ∈ UΔ (c) : 0 < |x − c| ⩽ δ(ε) ⇒ f (x) ⩾ ε;
lim f (x) = −∞ :
x→c
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x ∈ UΔ (c) : 0 < |x − c| ⩽ δ(ε) ⇒ f (x) ⩽ −ε.
Для односторонних и бесконечных пределов имеет место критерий Гейне с
соответствующими изменениями. Сформулируем критерий Гейне, например,
для случая lim f (x) = +∞ : функция f (x) стремится к +∞ при x →
x→c−0
→ c − 0 тогда и только тогда, когда для любой последовательности xn → c,
n→∞
xn < c, последовательность f (xn ) стремится к +∞, т. е. lim f (xn ) = +∞.
n→∞
Критерий Гейне позволяет распространить свойства предела последовательности на предел функции.
Свойства предела функции
1. Функция не может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим противное: lim f (x) = A, lim f (x) =
x→c
x→c
= B, A = B. Возьмем последовательность xn → c, xn = c. По критерию
Гейне f (xn ) → A, f (xn ) → B, что невозможно, так как последовательn→∞
n→∞
ность (f (xn )) не может иметь более одного предела (п. 1.5). 2. Если f (x) → A ∈ R, g(x) → B ∈ R, то
x→c
а) f (x) + g(x) → A + B;
x→c
x→c
б) f (x)g(x) → AB;
x→c
A
f (x)
→ , если B = 0 (доказать).
в)
g(x) x→c B
2.3. Односторонние и бесконечные пределы
29
3. Если f (x) → A, g(x) → B и f (x) ⩽ g(x) для всех x из некоторой
x→c
x→c
проколотой окрестности точки x = c, то A ⩽ B (доказать).
4. Если h(x) ⩽ f (x) ⩽ g(x) для всех x из некоторой проколотой окрестности точки x = c и h(x) → A, g(x) → A, то f (x) → A (доказать).
x→c
x→c
x→c
5. Произведение бесконечно малой при x → c функции f (x), т. е. такой функции, что lim f (x) = 0, на ограниченную в некоторой проколотой
x→c
окрестности точки x = c функцию снова является бесконечно малой при
x → c функцией (доказать).
Критерий Коши существования предела функции
Функция f : UΔ (c) \ {c} → R имеет предел при x → c тогда и только
тогда, когда
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x , x ∈ UΔ (c) :
0 < |x − c| ⩽ δ(ε), 0 < |x − c| ⩽ δ(ε) ⇒ |f (x ) − f (x )| ⩽ ε.
(2.3)
Доказательство. Необходимость. Если f (x) → A, то
x→c
∀ε > 0, ∃δ(ε/2) > 0, ∀x ∈ UΔ (c) : 0 < |x − c| ⩽ δ(ε/2) ⇒ |f (x) − A| ⩽ ε/2.
Отсюда ∀x , x ∈ UΔ (c) : 0 < |x − c| ⩽ δ(ε/2), 0 < |x − c| ⩽ δ(ε/2) имеем
|f (x ) − f (x )| = |f (x ) − A + A − f (x )| ⩽ ε.
Достаточность. Возьмем последовательность xn → c, xn = c и ε >
> 0. Из условия (2.3) найдем δ(ε). Существует ν(δ(ε)) > 0 такое, что
∀n ⩾ ν(δ(ε)), ∀m ⩾ ν(δ(ε)) имеем |xn − c| ⩽ δ(ε), |xm − c| ⩽ δ(ε). Отсюда и из
условия (2.3) вытекает |f (xn ) − f (xm )| ⩽ ε, т. е. последовательность (f (xn ))
является фундаментальной. По критерию Коши сходимости последовательности существует число A такое, что f (xn ) → A.
Из условия (2.3) имеем
∀n ⩾ ν(δ(ε)), ∀x ∈ UΔ (c) : 0 < |x − c| ⩽ δ(ε) ⇒
⇒ |f (x) − f (xn )| ⩽ ε ⇒ f (xn ) − ε ⩽ f (x) ⩽ f (xn ) + ε.
Переходя в неравенстве (2.4) к пределу при n → ∞, получаем
A − ε ⩽ f (x) ⩽ A + ε,
что означает f (x) → A. x→c
(2.4)
30
Глава 2. Предел и непрерывность функции
Пример 2.2. Покажем, что функция y = sin x не имеет предела при
x → +∞. Возьмем две последовательности xn = 2πn, xn = π/2 + 2πn, стремящиеся к +∞. Соответствующие последовательности значений функции
sin xn = 0, sin xn = 1 стремятся к разным пределам 0 и 1. Отсюда и из
критерия Гейне следует, что sin x не имеет предела при x → +∞.
2.4. Замечательный тригонометрический предел
Теорема о замене переменной при вычислении предела
Если
lim ϕ(x) = b, lim f (t) = A,
x→c
t→b
причем ϕ(x) = b в некоторой проколотой окрестности точки c, то
lim f (ϕ(x)) = A.
x→c
Доказательство. По критерию Гейне
∀xn → c, xn = c ⇒ ϕ(xn ) → b.
По условию теоремы tn = ϕ(xn ) = b. Опять по критерию Гейне f (tn ) →
→ A или f (ϕ(xn )) → A. Отсюда, согласно критерию Гейне, имеем
f (ϕ(x)) → A. x→c
Замечание 2.1. Справедливы также утверждения, аналогичные теореме
о замене переменной при вычислении предела, и для односторонних пределов,
например, если lim ϕ(x) = b, lim f (t) = A, причем ϕ(x) > b в некотоx→c−0
t→b+0
рой проколотой правосторонней окрестности точки c, то
(доказать).
lim f (ϕ(x)) = A
x→c−0
Замечательный тригонометрический предел
sin x
= 1.
x→0 x
lim
Доказательство. Рассмотрим на плоскости 0xy круг единичного радиуса с центром в начале координат. Проведем построения, указанные на рис.
2.16, где 0 < x < π/2.
2.4. Замечательный тригонометрический предел
31
Рис. 2.16
Пусть S1 , S2 , S3 — площади треугольника OAB, кругового сектора OAB
и треугольника OAD соответственно. Поскольку S1 < S2 < S3 и 2S1 =
= (OA)2 sin x = sin x, 2S2 = (OA)2 x = x, 2S3 = OA · AD = tg x, то имеют
место следующие неравенства:
sin x < x < tg x, 0 < x < π/2.
sin x
< 1, следовательно,
x
sin x 1 −
< 1 − cos x = 2 sin2 (x/2) < 2 sin(x/2) < x.
x
Отсюда cos x <
Из этой цепочки неравенств следует, что
sin x
π
− 1 ⩽ ε.
: 0 < x ⩽ δ(ε) ⇒ ∀ε > 0, ∃δ(ε) = ε > 0, ∀x ∈ 0,
2
x
Отсюда и из определения предела имеем
sin x
→ 1.
x x→+0
sin x
. Воспользуемся заменой t = −x
x→−0 x
Далее вычислим предел lim
sin t sin x
= t = −x, x → −0 = lim
.
t→+0 t
x→−0 x
1 = lim
sin x
= 1 следует из критерия равенства односторонТеперь равенство lim
x→0 x
них пределов. 32
Глава 2. Предел и непрерывность функции
2.5. Непрерывная функция
Пусть функция f определена в Δ -окрестности UΔ (c) точки x = c.
Функцию f называют н е п р е р ы в н о й в т о ч к е x = c, если предел функции при x → c совпадает со значением функции в точке c, т. е.
lim f (x) = f (c).
x→c
Если последнее равенство не выполняется, то говорят, что f р а з р ы в н а
в т о ч к е c.
Записав определение предела функции с помощью « ε - δ » (п. 2.2), приходим к следующему определению непрерывности функции: функция f непрерывна в точке x = c, если
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x ∈ UΔ (c) : |x − c| ⩽ δ(ε) ⇒ |f (x) − f (c)| ⩽ ε.
Геометрически непрерывность f в точке x = c означает, что какую бы
горизонтальную полосу вдоль прямой y = f (c) ни взять, всегда найдется
вертикальная полоса с осью симметрии x = c такая, что все точки графика функции f, расположенные в вертикальной полосе, попадут во взятую
горизонтальную полосу (рис. 2.17).
Рис. 2.17. Функция, непрерывная в точке c
Величину Δx = x − c называют п р и р а щ е н и е м а р г у м е н т а, а Δy =
= f (c + Δx) − f (c) — п р и р а щ е н и е м ф у н к ц и и в точке c. Используя
теорему о замене переменных при вычислении предела, имеем
lim f (x) = f (c) ⇔ lim Δy = 0.
x→c
Δx→0
Отсюда следует, что функция f непрерывна в точке x = c тогда и только
тогда, когда приращение функции Δy стремится к нулю при Δx → 0.
2.5. Непрерывная функция
33
Пример 2.3. Поскольку для функции y = x имеют место соотношения
Δy = Δx, lim Δy = 0, то функция y = x непрерывна в каждой точке
Δx→0
x ∈ R.
Функции y = sin x, y = cos x непрерывны в каждой точке x ∈ R. Действительно, для функции y = sin x имеем |Δy| = | sin(x + Δx) − sin x| =
= |2 cos(x + Δx/2) sin Δx/2| ⩽ |Δx| и lim Δy = 0.
Δx→0
Критерий Гейне непрерывности функции
Функция f непрерывна в точке x = c тогда и только тогда, когда для
любой последовательности xn → c последовательность f (xn ) сходится к
f (c).
Пример 2.4. Функция
y=
sin(1/x), x = 0,
0, x = 0
разрывна в точке x = 0. Действительно, возьмем две последовательности
1
1
xn =
, xn =
, стремящиеся к нулю. Соответствующие после2πn
π/2 + 2πn
довательности значений функции sin xn = 0, sin xn = 1 стремятся к разным
пределам 0 и 1. Из критерия Гейне непрерывности функции следует разрывность функции в точке x = 0 (рис. 2.18).
Рис. 2.18
34
Глава 2. Предел и непрерывность функции
Если функция f определена в правосторонней Δ-окрестности VΔ (c) =
= {x : c ⩽ x < c + Δ}, Δ > 0, точки c и
lim f (x) = f (c),
x→c+0
то f называют н е п р е р ы в н о й с п р а в а в точке x = c. Аналогично определяется н е п р е р ы в н о с т ь с л е в а в точке c. Функция f : (c − Δ, c] → R
непрерывна слева в точке x = c, если
lim f (x) = f (c).
x→c−0
Функцию f : |a, b| → R называют н е п р е р ы в н о й н а п р о м е ж у т к е
|a, b|, если она непрерывна в каждой точке интервала (a, b), непрерывна
справа в точке x = a, если a ∈ |a, b|, и непрерывна слева в точке x = b,
если b ∈ |a, b|.
2.6. Классификация точек разрыва
Пусть функция f определена в некоторой Δ-окрестности UΔ (c) точки
x = c. Функция f : UΔ (c) → R является разрывной в точке c, если имеет
место одно из следующих условий.
1) Функция имеет равные односторонние пределы f (c − 0) = f (c + 0), но
эти пределы не равны значению функции в точке x = c. Точку x = c в этом
случае называют т о ч к о й у с т р а н и м о г о р а з р ы в а.
Пример 2.5. Для функции
y=
1,
2,
x = 1,
x=1
точка x = 1 является точкой устранимого разрыва (рис. 2.19).
2) Функция имеет неравные односторонние пределы f (c − 0) = f (c + 0).
Точку x = c в этом случае называют т о ч к о й к о н е ч н о г о с к а ч к а.
Пример 2.6. Для функции
⎧
⎨ 1, x > 0,
0, x = 0,
y = sign x =
⎩
−1, x < 0
точка x = 0 является точкой конечного скачка (рис. 2.20).
2.7. Непрерывность монотонной функции
Рис. 2.19
35
Рис. 2.20
3) Хотя бы один из односторонних пределов f (c + 0), f (c − 0) равен бесконечности, второй же либо принадлежит R, либо тоже равен бесконечности.
Точку x = c в этом случае называют т о ч к о й б е с к о н е ч н о г о с к а ч к а
(рис. 2.4).
4) Функция не имеет хотя бы одного одностороннего предела f (c + 0),
f (c − 0) (конечного или бесконечного). В этом случае говорят, что x = c —
т о ч к а н е о п р е д е л е н н о с т и (пример 2.4).
Точки разрыва 1), 2) относят к т о ч к а м р а з р ы в а п е р в о г о т и п а,
точки разрыва 3), 4) — к т о ч к а м р а з р ы в а в т о р о г о т и п а.
Функцию f : |a, b| → R называют к у с о ч н о-н е п р е р ы в н о й на промежутке |a, b|, если она имеет лишь конечное число точек разрыва, причем все
они являются точками разрыва первого типа.
Примером разрывной в каждой точке функции служит функция Дирихле
D : [0, 1] → R
1, x − рациональное,
D(x) =
0, x − иррациональное.
2.7. Непрерывность монотонной функции
Функцию f : |a, b| → R называют: с т р о г о в о з р а с т а ю щ е й, если
∀x1 , x2 ∈ |a, b| : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 );
с т р о г о у б ы в а ю щ е й, если
∀x1 , x2 ∈ |a, b| : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ).
Строго возрастающие и строго убывающие функции называют с т р о г о
м о н о т о н н ы м и. Аналогично определяют возрастающие и убывающие
функции. Все эти функции называют м о н о т о н н ы м и.
36
Глава 2. Предел и непрерывность функции
Лемма 2.1
Если функция f : |a, b| → R монотонна, то для любого x0 ∈ (a, b) она
имеет односторонние пределы f (x0 − 0), f (x0 + 0), удовлетворяющие неравенствам
f (x0 − 0) ⩽ f (x0 ) ⩽ f (x0 + 0)
f (x0 − 0) ⩾ f (x0 ) ⩾ f (x0 + 0)
для возрастающей функции,
для убывающей функции.
Доказательство для возрастающей функции. Возьмем произвольную
точку x0 ∈ (a, b). Так как f — возрастающая, то
∀x ∈ (a, b) : x < x0 ⇒ f (x) ⩽ f (x0 ).
Следовательно, множество L = {f (x) : a < x < x0 } является ограниченным
сверху. По теореме о гранях существует конечная точная верхняя грань A
множества L, которая удовлетворяет условиям A ⩽ f (x0 ),
∀ε > 0, ∃xε , xε < x0 : f (xε ) > A − ε,
∀x ∈ (a, b) : x > xε ⇒ f (x) ⩾ f (xε ) ⇒ f (x) ⩾ A − ε.
Отсюда
∀ε > 0, ∃δ(ε) = x0 − xε , ∀x ∈ (a, b) : 0 < x0 − x ⩽ δ(ε) ⇒ A − ε ⩽ f (x) ⩽ A,
следовательно, f (x0 − 0) = A ⩽ f (x0 ). Аналогично, f (x0 + 0) ⩾ f (x0 ). Критерий непрерывности монотонной функции
Пусть функция f монотонна на отрезке [a, b]. Тогда для непрерывности
f на [a, b] необходимо и достаточно, чтобы множеством ее значений был
отрезок [f (a), f (b)] для возрастающей функции или отрезок [f (b), f (a)]
для убывающей функции.
Доказательство для возрастающей функции, отличной от постоянной.
Пусть A = f (a), B = f (b), A = B. По лемме 2.1
∀x0 ∈ (a, b) ⇒ f (x0 − 0) ⩽ f (x0 ) ⩽ f (x0 + 0).
Необходимость. Возьмем произвольное y0 ∈]A, B[. Пусть S = {x : f (x) <
< y0 } и пусть x0 = sup S. Если x < x0 , то из определений множества S и
числа x0 следует, что f (x) < y0 , поэтому
f (x0 − 0) ⩽ y0 .
(2.5)
2.8. Непрерывность обратной и сложной функций
37
Если x > x0 , то f (x) ⩾ y0 и
f (x0 + 0) ⩾ y0 .
(2.6)
Из непрерывности f в точке x0 и из неравенств (2.5), (2.6) следует
f (x0 ) = f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = y0 ,
т. е. функция принимает значение y0 в точке x0 .
Достаточность. От противного: пусть f разрывна в некоторой точке x0
и пусть a < x0 < b. Выполняется одно из неравенств
f (x0 − 0) < f (x0 ),
f (x0 + 0) > f (x0 ).
Допустим, что имеет место первое неравенство. Возьмем число γ такое, что
f (x0 − 0) < γ < f (x0 ). Число γ удовлетворяет условиям
∀x ∈ [a, b] : x < x0 ⇒ f (x) ⩽ f (x0 − 0) < γ,
∀x ∈ [a, b] : x ⩾ x0 ⇒ f (x) ⩾ f (x0 ) > γ,
т. е. f не принимает значения γ ∈ [f (a), f (b)], что противоречит условию
критерия. 2.8. Непрерывность обратной
и сложной функций
Теорема о непрерывности обратной функции
Если f : [a, b] → R — непрерывная строго возрастающая (строго убывающая) функция, то существует обратная к ней функция f −1 , определенная на отрезке [f (a), f (b)] ([f (b), f (a)]), которая является непрерывной и
строго возрастающей (строго убывающей).
Доказательство для строго возрастающей функции. Существование обратной функции f −1 следует из биективности отображения f : [a, b] →
→ [f (a), f (b)]. Из определения обратной функции следует, что она определена на отрезке [f (a), f (b)], строго возрастает и ее значения покрывают отрезок
[a, b]. По критерию непрерывности монотонной функции обратная функция
непрерывна на [f (a), f (b)]. Теорема о непрерывности сложной функции
Если функция f непрерывна в точке x0 , а функция g непрерывна в точке
y0 = f (x0 ), то сложная функция g(f (x)) непрерывна в точке x0 .
38
Глава 2. Предел и непрерывность функции
Доказательство. Возьмем произвольную последовательность xn → x0 .
По критерию Гейне непрерывности функции имеем
f (xn ) → y0 , ∀yn → y0 , g(yn ) → g(y0 ) ⇒ g(f (xn )) → g(f (x0 )).
На основании критерия Гейне g(f (x)) непрерывна в точке x0 . 2.9. Локальные свойства непрерывной функции
К локальным свойствам функции относят те свойства, которые определяются поведением функции в некоторой (сколь угодно малой) окрестности
рассматриваемой точки. В теоремах, приведенных в п. 2.9, если значение аргумента попадает на конец промежутка задания, то в качестве окрестности
выступает соответствующая односторонняя окрестность.
1. Теорема о стабилизации знака
Пусть f задана на промежутке |a, b| и непрерывна в точке x0 ∈ |a, b|.
Если f (x0 ) = 0, то существует окрестность точки x0 , во всех точках
которой f имеет тот же знак, что и f (x0 ).
Доказательство для случая f (x0 ) > 0 и x0 — внутренняя точка |a, b|.
f (x0 )
существует δ(ε) : 0 < δ(ε) < min{x0 − a, b − x0 },
Для ε =
2
∀x ∈ [x0 − δ(ε), x0 + δ(ε)] ⇒ f (x0 ) −
f (x0 )
f (x0 )
.
⩽ f (x) ⩽ f (x0 ) +
2
2
Отсюда f (x) ⩾ f (x0 )/2 при x ∈ [x0 − δ(ε), x0 + δ(ε)]. 2. Теорема о локальной ограниченности
Пусть f непрерывна в точке x0 ∈ |a, b|. Тогда x0 обладает окрестностью,
на которой f ограничена.
Доказательство для случая x0 — внутренняя точка |a, b|. Для ε = 1,
∃δ(ε) > 0, ∀x ∈ [x0 − δ(ε), x0 + δ(ε)] ⇒ f (x0 ) − 1 ⩽ f (x) ⩽ f (x0 ) + 1. 3. Теорема о непрерывности арифметических комбинаций непрерывных функций
Если функции f (x) и g(x) непрерывны в точке x0 , то их: а) сумма
f (x)
f (x) + g(x), б) произведение f (x)g(x), в) частное
(при условии, что
g(x)
g(x0 ) = 0) также непрерывные в точке x0 функции.
Теорема вытекает непосредственно из определения непрерывности функции в точке и соответствующих свойств предела функции.
2.10. Показательная, логарифмическая и гиперболические функции
39
Примеры. 1. Многочлен f (x) = an xn + . . . + a0 непрерывен для всех
x ∈ R как произведение и сумма непрерывных функций.
2. Функции y = tg x, x = πn, y = ctg x, x = π/2 + πn, непрерывны как
частное двух непрерывных функций.
P (x)
, где P (x), Q(x) — многочлены,
3. Рациональная функция y =
Q(x)
непрерывна при всех x ∈ R, кроме корней знаменателя Q(x).
4. Функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x
непрерывны на множестве определения по теореме о непрерывности обратной
функции.
2.10. Показательная, логарифмическая
и гиперболические функции
Степенная функция с рациональным показателем
Функция y = x непрерывна на R. Функция y = xn , n ∈ N, непрерывна, как произведение непрерывных функций, и строго монотонна на R для
нечетных n = 2k + 1 и строго монотонна на промежутке [0, +∞) для четных n = 2k. Следовательно, по теореме о непрерывности обратной функции
она имеет непрерывную обратную функцию y = x1/n , определенную на R
для нечетных n и на промежутке [0, +∞) для четных n. Отображение y =
1
= x−n , n ∈ N определим с помощью равенства x−n = n . Теперь можно
x
определить степенную функцию с рациональным показателем r = m/n, m ∈
∈ Z, n ∈ N (Z — множество целых чисел), положив xr = xm/n = (x1/n )m ,
(рис. 2.21, 2.22).
Рис. 2.21. Графики функций y = x1/2
(пунктирная кривая) и y = x1/3
Рис. 2.22. Графики функций y = x3/2
(пунктирная кривая) и y = x8/3
Эта функция определена на R, если n = 2k + 1, m ⩾ 0; на R \ {0}, если n = 2k + 1, −m > 0; на [0, +∞), если n = 2k, m ⩾ 0; на (0, +∞), если
40
Глава 2. Предел и непрерывность функции
n = 2k, m < 0, k ∈ N. Функция x1/n непрерывная и строго возрастающая
при x > 0. Функция tm непрерывная при t > 0, строго возрастающая при
m > 0 и строго убывающая при m < 0. Поэтому y = xr , x > 0, — непрерывная функция как сложная функция непрерывных отображений, строго
возрастающая при r > 0 и строго убывающая при r < 0 .
Степенная функция с рациональным показателем при x > 0 обладает
следующими свойствами:
(x1/n )m = (xm )1/n ;
(2.7)
xr > 1, если x > 1, r ∈ Q, r > 0;
xr1 xr2 = xr1 +r2 , r1 , r2 ∈ Q;
(xr1 )r2 = xr1 r2 , r1 , r2 ∈ Q;
r
r
x 1 > x 2 , если x > 1, r1 , r2 ∈ Q, r1 > r2 .
Перечисленные свойства вытекают из свойств целых степеней и из следующего утверждения: если an = bn , n ∈ N, то a = b. Проверим, например,
равенство (2.7)
((x1/n )m )n = ((x1/n )n )m = xm ,
((xm )1/n )n = xm .
Показательная функция
Выше была определена степенная функция с рациональным показателем,
что позволяет ввести для вещественных a таких, что 0 < a < 1 или a >
> 1 показательную функцию y = ax , x ∈ Q, определенную пока лишь на
Q. Ограничимся рассмотрением случая a > 1. Случай 0 < a < 1 изучается
аналогичным образом.
Число A называют пределом функции y = f (x) при x → x0 вдоль
множества Q, если ∀ε > 0, ∃νε > 0, ∀x ∈ Q : 0 < |x − x0 | ⩽ νε ⇒ |f (x) −
lim f (x) = A. Введенный предел функции вдоль
− A| ⩽ ε, и обозначают
x→x0 , x∈Q
множества Q обладает теми же свойствами (п. 2.3), что и предел функции
(доказать).
Свойства функции y = ax , x ∈ Q.
1)
lim
x→0, x∈Q
ax = 1.
Действительно, мы уже знаем, что lim a1/n = 1, lim a−1/n = 1, поэтому
n→∞
n→∞
∀ε > 0, ∃νε > 0, ∀n⩾νε ⇒ 1−ε ⩽ a1/n ⩽ 1+ε, 1−ε ⩽ a−1/n ⩽ 1+ε. Для каждого
ε > 0 зафиксируем номер nε ⩾ νε . Для любого рационального x такого, что
−1/nε ⩽ x ⩽ 1/nε , имеем a−1/nε ⩽ ax ⩽ a1/nε . Отсюда 1 − ε ⩽ ax ⩽ 1 + ε.
Таким образом, ∀ε > 0, ∃νε = 1/nε , ∀x ∈ Q : |x| ⩽ νε ⇒ |ax − 1| ⩽ ε.
2.10. Показательная, логарифмическая и гиперболические функции
2) Если r ∈ Q, то
lim
x→r, x∈Q
41
ax = a r .
ax
Действительно, lim ax =
lim ar r = ar lim ax−r = x−r = t,
x→r,x∈Q
x→r,x∈Q
x→r, x∈Q
a
t → 0, t ∈ Q = ar lim at = ar .
t→0, t∈Q
Используя функцию y = ax , x ∈ Q, определим показательную функцию
на R. Пусть x ∈ R, s = sup ar , p = inf ar . Ясно, что s, p ∈ R
r∈Q, r<x
r∈Q,r>x
и s ⩽ p. Покажем, что на самом деле p = s. Действительно, для любых
рациональных r1 , r2 : r1 < x < r2 , имеем 0 ⩽ p − s ⩽ ar1 (ar2 −r1 − 1) <
< s(ar2 −r1 − 1). Перейдем к пределу в последнем равенстве при r2 − r1 → 0,
получим 0 ⩽ p − s ⩽ 0, т. е. p = s. Для x ∈ R положим ax = s = p.
Свойства функции y = ax , x ∈ R, a > 1.
1)
lim
r→x, r∈Q
ar = a x .
Действительно, ∀ε > 0, ∃rε ∈ Q, rε < x ⇒ s − ε < arε ⩽ s = ax , ∃rε ∈ Q,
rε > x ⇒ ax ⩽ arε < p+ε, ∀r ∈ Q, rε ⩽ r ⩽ rε ⇒ arε ⩽ ar ⩽ arε , ax −ε ⩽ ar ⩽ ax +ε.
2) ∀x1 , x2 ∈ R ⇒ ax1 ax2 = ax1 +x2 .
Доказательство. Пусть rn → x1 , ρn → x2 , rn ∈ Q, ρn ∈ Q. Тогда arn →
→ ax1 , aρn → ax2 , arn +ρn → ax1 +x2 . Так как arn aρn = arn +ρn , то, переходя
к пределу в последнем равенстве, получаем ax1 ax2 = ax1 +x2 .
3) Функция y = ax , x ∈ R, a > 1, строго возрастает.
Доказательство. Пусть x1 < x2 . Существуют рациональные числа
r1 , r2 такие, что x1 < r1 < r2 < x2 . Используя определение ax и свойства
ar на Q, имеем ax1 < ar1 < ar2 < ax2 .
4) Функция y = ax , a > 1, непрерывна на R.
Доказательство. Для произвольной точки x0 из R
Δy = ax0 +Δx − ax0 = ax0 (aΔx − 1).
(2.8)
Если мы покажем, что lim ax = 1, то из равенства (2.8) будет следовать,
x→0
что Δy → 0, т. е. непрерывность функции y = ax в точке x0 .
Δx→0
Пусть (xn ) — произвольная бесконечно малая последовательность. Существуют бесконечно малые последовательности рациональных чисел, удовле
творяющие неравенствам rn ⩽ xn ⩽ rn . Следовательно, arn ⩽ axn ⩽ arn . А так
как arn → 1, arn → 1, то и lim axn = 1. По критерию Гейне lim ax = 1.
n→∞
n→∞
n→∞
x→0
42
Глава 2. Предел и непрерывность функции
5) (ax1 )x2 = ax1 x2 ∀x1 , x2 ∈ R.
Доказательство. Первый этап: x2 = r ∈ Q, x1 ∈ R. Пусть rn — последовательность рациональных чисел такая, что rn → x1 . Тогда (arn )r =
= arn r , rn r → x1 r, arn r → ax1 r , lim (ar1 )r = arn = tn , tn → ax1 =
n→∞
n→∞
limx (tn )r = (ax1 )r ⇒ (ax1 )r = ax1 r .
n→∞
tn →a 1
Второй этап: x1 , x2 — произвольные вещественные числа. Пусть ρn — последовательность рациональных чисел, сходящаяся
к x2 . Тогда (ax1 )ρn =
= ax1 ρn , lim ax1 ρn = ax1 x2 , lim (ax1 )ρn = ax1 = b = lim bρn = bx2 =
n→∞
= (ax1 )x2 ⇒ (ax1 )x2 = ax1 x2 .
6) ax
→ +∞, ax
x→+∞
n→∞
n→∞
→ 0.
x→−∞
Доказательство. Пусть x > 0, [x] = m. Тогда, используя формулу бином Ньютона, имеем ax ⩾ am = (1+q)m = 1+qm+. . .+q m ⩾ 1+qm → +∞.
Если x < 0, то
ax = (a−x )−1 =
1
m→+∞
→ 0.
a−x x→−∞
7) График y = ax (рис. 2.23).
Функцию y = ax называют п о к а з а т е л ь н о й ф у н к ц и е й по основанию a. В качестве основания часто используется число e, и вместо ex пишут
exp x.
Логарифмическая функция
На основании теоремы об обратной функции существует функция обратная к показательной y = ax , x ∈ R, a > 1. Эту функцию называют
л о г а р и ф м и ч е с к о й и обозначают y = loga x (рис. 2.24).
Рис. 2.23. Графики функций y = (1/3)x
(пунктирная кривая) и y = ex
Рис. 2.24. Графики функций y = log10 x
(пунктирная кривая) и y = log2 x
Она является непрерывной и строго возрастающей. Аналогично определяют функцию y = loga x, 0 < a < 1.
2.10. Показательная, логарифмическая и гиперболические функции
43
Поскольку логарифмическая функция является обратной к показательной функции, то
aloga x = x ∀x > 0,
loga ax = x ∀x ∈ R.
Из свойств показательной функции вытекают следующие свойства логарифмической функции:
1) loga a = 1;
2) loga (x1 x2 ) = loga x1 + loga x2 , x1 > 0, x2 > 0;
x1
3) loga
= loga x1 − loga x2 , x1 > 0, x2 > 0.
x2
Докажем, например, свойство 2). Пусть y1 = loga x1 , y2 = loga x2 . Тогда
x1 = ay1 , x2 = ay2 , x1 x2 = ay1 +y2 , loga (x1 x2 ) = loga ay1 +y2 = loga x1 + loga x2 .
Логарифм числа x по основанию e называют натуральным и обозначают
ln x.
В начале п. 2.2 была введена степенная функция с рациональным показателем. Степенную функцию с любым вещественным показателем определяют
лишь при x > 0 с помощью формулы
xα = eα ln x .
Сумму f + g, разность f − g, произведение f · g, частное f /g и композицию f ◦ g функций f и g относят к элементарным операциям над функциями. Степенную, тригонометрические, обратные тригонометрические, показательную и логарифмическую функции считают основными элементарными
функциями. К э л е м е н т а р н ы м функциям относят функции, получающиеся из основных элементарных функций с помощью элементарных операций,
применяемых конечное число раз.
Из результатов п. 2.1 и 2.2 следует вывод: элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.
Гиперболические функции
Функции
1
1
sh x := (ex − e−x ), ch x := (ex + e−x ),
2
2
shx
ch x
,
th x :=
cth x :=
ch x
sh x
называют соответственно г и п е р б о л и ч е с к и м с и н у с о м, гиперболическим косинусом, гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом.
44
Глава 2. Предел и непрерывность функции
Из определения гиперболических функций сразу следуют тождества:
ch2 x − sh2 x = 1,
ch2 x + sh2 x = ch 2x,
sh 2x = 2sh x ch x.
Графики функций y = sh x, y = ch x представлены на рис. 2.25, 2.26.
Рис. 2.25. График функции y = sh x
Рис. 2.26. График функции y = ch x
Найдем функцию, обратную к отображению y = sh x :
1
y = (ex − e−x ),
2
Аналогично, y = ch x,
ex = y +
y 2 + 1,
x ⩾ 0, x = ln(y +
x = ln(y +
y 2 − 1),
y 2 + 1).
y ⩾ 1. Функции
arcsh x = ln(x +
x2 + 1),
x ∈ R,
(2.9)
arcch x = ln(x +
x2 − 1),
x ⩾ 1,
(2.10)
называют соответственно обратным гиперболическим синусом и обратным
гиперболическим косинусом (рис. 2.27, 2.28).
Рис. 2.27. График функции y = arcsh x
Рис. 2.28. График функции y = arcch x
2.11. Замечательные показательно-степенной, логарифмический
45
2.11. Замечательные показательно-степенной,
логарифмический, показательный
и степенной пределы
1
1. Показательно-степенной предел lim (1 + x) x = e.
x→0
Доказательство. Воспользуемся критерием Гейне. Возьмем любую последовательность xn→ +0.Рассмотрим возможные случаи:
1
1 n
1) xn = , lim 1 +
= e (п. 1.11);
n n→∞
n 1
1 kn
, kn ∈ N, lim 1 +
= e (п. 1.11);
2) xn =
n→∞
kn
kn
1
1
1
< xn ⩽ ,
< kn + 1, kn ∈ N,
3) kn ⩽
xn
kn + 1
kn
kn
1
1 kn +1
1
⩽ (1 + xn ) xn ⩽ 1 +
,
1+
kn + 1
kn
1
1 −1
1 kn 1
1 kn +1 ⩽ (1 + xn ) xn ⩽ 1 +
1+
1+
,
1+
kn + 1
kn + 1
kn
kn
1
1
e ⩽ lim (1 + xn ) xn ⩽ e, lim (1 + x) x = e;
n→∞
x→+0
1 1
t
=
x→−0
t→+0
t→+0 1 − t
t 1t
t 1−t
t t
= e. = lim 1 +
= lim 1 +
1+
t→+0
t→+0
1−t
1−t
1−t
1
1
4) lim (1 + x) x = [x = −t, t → +0] = lim (1 − t) −t = lim
ln(1 + x)
= 1.
x
1
ln(1 + x)
1 = lim ln t = (1 + x) x = t, x → 0 = lim
.
t→e
x→0
x
ex − 1
= 1.
3. Показательный предел lim
x→0
x
t
ex − 1
1 = lim
= ex − 1 = t, x → 0 = lim
.
t→0 ln(1 + t)
x→0
x
2. Логарифмический предел lim
x→0
(1 + x)μ − 1
= μ.
x→0
x
4. Степенной предел lim
(1 + x)μ − 1
eμ ln(1+x) − 1
eμ ln(1+x) − 1 μ ln(1 + x)
= lim
= lim
= μ.
x→0
x→0
x→0 μ ln(1 + x)
x
x
x
lim
46
Глава 2. Предел и непрерывность функции
2.12. Сравнение бесконечно малых
и бесконечно больших функций
Говорят, что f — б е с к о н е ч н о м а л а я (б е с к о н е ч н о б о л ь ш а я )
функция при x → c, если
f (x) → 0
x→c
(f (x) → ∞).
x→c
Пусть f (x), g(x), g(x) = 0, — две бесконечно малые при x → c функции.
Функции f и g называют э к в и в а л е н т н ы м и при x → c, если
f (x)
= 1,
x→c g(x)
lim
записывают f (x) ∼ g(x).
x→c
Говорят, что функция f (x) — б о л ь ш е г о п о р я д к а м а л о с т и, чем
g(x) при x → c, если
f (x)
lim
= 0,
x→c g(x)
записывают f (x) = o(g(x)). Запись f (x) = o(1) означает, что f (x) бескоx→c
x→c
нечно малая функция при x → c.
Запись f (x) = O(g(x)) означает, что в некоторой проколотой окрестноx→c
сти точки x = c выполняется неравенство
|f (x)| ⩽ M |g(x)|,
где M — постоянная.
Аналогично сравнивают и бесконечно большие функции.
Замечательные пределы позволяют составить следующую таблицу эквивалентных при x → 0 функций:
sin x ∼ x,
ln(1 + x) ∼ x,
ex − 1 ∼ x,
(1 + x)μ ∼ μx.
Заметим, что предел произведения или частного не меняется, если при
его вычислении некоторые множители заменить на эквивалентные функции.
Пример 2.7
lim
x→0
ln cos x
= sin x2 ∼ x2 , ln cos x = ln(1 + (cos x − 1)) ∼
sin x2
∼ cos x − 1 ∼ −2 sin2
−x2
x
−x2 /2
1
∼
= lim
=− .
2
x→0
2
2
x
2
2.13. Глобальные свойства непрерывной функции
47
В анализе широко используются следующие правила обращения с символами o(·) и O(·) (f (x) → 0) :
x→c
а) o(f ) + o(f ) = o(f ),
б) o(f )o(f ) = o(f 2 ),
в) o(f ) + O(f ) = O(f ),
г) o(f ) = O(f ),
д) o(o(f )) = o(f ),
е) f n (x)o(f ) = o(f n+1 ), n ∈ N.
Докажем, например, б) lim
x→c
o(f )o(f )
o(f )
o(f )
lim
= 0.
= lim
2
x→c
x→c
f
f
f
В правилах а) — е) равенства являются символическими, а не обычными
равенствами. Их следует читать лишь слева направо.
2.13. Глобальные свойства
непрерывной функции
К глобальным свойствам функции относят те свойства, которые связаны
со всем множеством задания функции.
1. Теорема о промежуточных значениях
Если непрерывная на промежутке |a, b| функция f принимает значения
A и B, то она принимает любое промежуточное значение C.
Доказательство. Пусть f (x1 ) = A, f (x2 ) = B, A < C < B, x1 < x2 .
1) A < 0, C = 0, B > 0. Отнесем к множеству L такие точки x, что
на отрезке [x1 , x] функция f (x) принимает лишь отрицательные значения.
Положим x0 = sup L. Из построения множества L вытекает f (x0 − 0) ⩽ 0.
В точке x0 выполняется неравенство f (x0 ) ⩾ 0 (иначе, используя теорему
о стабилизации знака, легко показать, что множество L можно расширить).
Поскольку f непрерывна, то f (x0 − 0) = f (x0 ). Отсюда и из неравенств
f (x0 − 0) ⩽ 0, f (x0 ) ⩾ 0, имеем f (x0 ) = 0.
2) A, B и C — произвольные. Применяя доказанное на первом этапе
утверждение к функции g(x) = f (x) − C, получаем, что в некоторой точке
x0 ∈ |a, b| выполняется равенство g(x0 ) = 0. Отсюда f (x0 ) = C. Геометрическая интерпретация: если график непрерывной функции
проходит над и под некоторой горизонтальной прямой, то он пересекает эту
прямую (рис. 2.29).
Э к с т р е м а л ь н ы м и значениями функции f : X → R называют точную верхнюю и точную нижнюю грани множества ее значений на множестве
X. Значения аргументов, при которых функция принимает экстремальные
значения, называют т о ч к а м и э к с т р е м у м а. Ясно, что функция может
не иметь точек экстремума.
48
Глава 2. Предел и непрерывность функции
2. Теорема Вейерштрасса
Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то
∃x̄ ∈ [a, b] : f (x) ⩽ f (x̄)
∀x ∈ [a, b],
∃x ∈ [a, b] : f (x) ⩾ f (x)
∀x ∈ [a, b],
(2.11)
другими словами, непрерывная на отрезке [a, b] функция достигает своих
точной верхней и точной нижней граней.
Доказательство для случая (2.11). Пусть sup f (x) = A. Возьмем возx∈[a,b]
растающую последовательность чисел αn → A. Для каждого n найдетn→∞
ся точка xn ∈ [a, b] такая, что f (xn ) ⩾ αn . На основании принципа выбора у последовательности xn существует сходящаяся подпоследовательность
xnk → x̄. Покажем, что x̄ ∈ [a, b]. Предположим противное: x̄ не принадk→∞
лежит [a, b], т. е. x̄ < a или x̄ > b. Пусть для определенности x̄ > b. По
теореме о плотности множества действительных чисел существует Δ > 0,
что x̄ − Δ > b. На интервале (x̄ − Δ, +∞) нет членов подпоследовательности xnk , что противоречит ее сходимости к x̄. Таким образом, x̄ ∈ [a, b].
Переходя к пределу в неравенстве f (xnk ) ⩾ αnk при k → ∞ и используя критерий Гейне непрерывности функции, получаем f (x̄) ⩾ A. Отсюда A < +∞
и f (x̄) = A (рис. 2.30). Рис. 2.29
Рис. 2.30
Следствие
Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом
отрезке.
Доказательство. По теореме Вейерштрасса существуют точки x, x̄ ∈
∈ [a, b] такие, что inf f (x) = f (x), sup f (x) = f (x̄). Отсюда f (x) ⩽
x∈[a,b]
⩽f (x) ⩽ f (x̄)
∀x ∈ [a, b]. x∈[a,b]
2.14. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора
49
2.14. Равномерная непрерывность.
Теорема Кантора
Введенное в п. 2.5 определение непрерывной на промежутке |a, b| функции f : |a, b| → R может быть сформулировано с помощью « ε - δ » следующим образом:
∀x ∈ |a, b|, ∀ε > 0, ∃δ(ε, x ) > 0, ∀x ∈ |a, b| : |x − x | ⩽ δ(ε, x ) ⇒
⇒ |f (x ) − f (x )| ⩽ ε.
(2.12)
Если функция f : |a, b| → R удовлетворяет следующему более сильному,
чем (2.12), условию:
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x , x ∈ |a, b| : |x − x | ⩽ δ(ε) ⇒ |f (x ) − f (x )| ⩽ ε,
то ее называют р а в н о м е р н о н е п р е р ы в н о й на промежутке |a, b|.
При равномерной непрерывности для любого ε > 0 найдется δ(ε), не
зависящее от x ∈ |a, b|, которое обеспечивает выполнение неравенства
|f (x ) − f (x )| ⩽ ε при всех x , x ∈ |a, b| : |x − x | ⩽ δ(ε).
Из равномерной непрерывности f на |a, b| следует ее непрерывность на этом
промежутке. Обратное утверждение не верно (пример 2.8).
Используя правила отрицания (п. 1.3), сформулируем определение неравномерно непрерывной на промежутке |a, b| функции f : |a, b| → R :
∃ε0 > 0, ∀δ > 0, ∃x0 , x0 ∈ |a, b| : |x0 − x0 | ⩽ δ ⇒ |f (x0 ) − f (x0 )| > ε0 .
(2.13)
Пример 2.8. Функция f (x) = 1/x непрерывна на интервале (0, 1), однако она не является равномерно непрерывной на (0, 1). Действительно,
4 2 2
δ
δ
∃ε0 = 1, ∀δ : 0 < δ ⩽ 1, ∃x0 = , x0 = ∈ (0, 1) : |x0 − x0 | ⩽ δ ⇒ − = > 1,
2
4
δ δ
δ
т. е. f (x) удовлетворяет условию (2.13), поэтому f (x) не является равномерно непрерывной на (0, 1).
Теорема Кантора
Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она равномерно непрерывна на [a, b].
Доказательство от противного. Допустим, что f не является равномерно непрерывной на [a, b], т. е.
∃ε0 > 0, ∀δ > 0, ∃x0 , x0 ∈ [a, b] : |x0 − x0 | ⩽ δ ⇒ |f (x0 ) − f (x0 )| > ε0 .
(2.14)
50
Глава 2. Предел и непрерывность функции
Возьмем последовательность δn = 1/n и в соответствии с (2.14) найдем
xn , xn ∈ [a, b] такие, что |xn − xn | ⩽ 1/n, |f (xn ) − f (xn )| > ε0 . На основании принципа выбора из последовательности xn можно выбрать сходящуюся подпоследовательность xnk → x0 ∈ [a, b]. Отсюда и из неравенства
|xn −xn | ⩽ 1/n следует xnk
k→+∞
→ x0 . Функция f непрерывна в точке x0 , по-
k→+∞
этому по критерию Гейне непрерывности функции имеем f (xnk ) → f (x0 ),
k→+∞
f (xnk ) → f (x0 .) Переходя в неравенстве |f (xnk ) − f (xnk )| > ε0 к пределу
k→+∞
при k → ∞, получаем противоречивое неравенство |f (x0 ) − f (x0 )| > ε0 . Полученное противоречие показывает, что функция f равномерно непрерывна
на [a, b]. 2.15. Колебание функции
Число
ω(f, |α, β|) :=
sup
x ,x ∈|α,β|
|f (x ) − f (x )|
называют к о л е б а н и е м функции f : |α, β| → R на промежутке |α, β|.
Рассмотрим функцию f, заданную на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок
[a, b] на n частей точками x0 , x1 , . . . , xn такими, что
a = x0 < x1 < . . . < xk < . . . < xn = b.
Обозначим это разбиение символом {xk } . Число
W (f, {xk }) := max ω(f, [xk−1 , xk ])
1⩽k⩽n
называют колебанием функции f, соответствующим разбиению {xk }, а число δ := max (xk − xk−1 ) — диаметром разбиения.
1⩽k⩽n
Пример 2.9. Найдем колебание функции f (x) = x2 , соответствующее разбиению отрезка [0, 1] на n равных частей точками xk = k/n, k =
= 0, 1, . . . , n,
k − 1 k k 2 k − 1 2 2k − 1
,
=
−
=
,
ω x2 ,
n
n
n
n
n2
2k − 1
2n − 1
=
,
2
n
n2
1⩽k⩽n
W (x2 , {xk }) = max
δ = max (xk − xk−1 ) =
1⩽k⩽n
1
.
n
2.15. Колебание функции
51
Теорема о колебании функции
Пусть f — непрерывная на отрезке [a, b] функция и пусть ({xk }m ), m =
= 1, . . . , 0 ⩽ k ⩽ nm , — последовательность разбиений отрезка [a, b] с диаметрами δm → 0. Тогда последовательность колебаний функции, соm→+∞
ответствующая этой последовательности разбиений, стремится к нулю
при m → +∞, т. е.
W (f, ({xk }m )) → 0.
m→+∞
Доказательство. По теореме Кантора
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x , x ∈ [a, b] : |x − x | ⩽ δ(ε) ⇒ |f (x ) − f (x )| ⩽ ε. (2.15)
Поскольку δm → 0, то
∃ν(δ(ε)) > 0, ∀m ⩾ ν(δ(ε)) ⇒ δm ⩽ δ(ε) ⇒
⇒ |xk − xk−1 | ⩽ δ(ε) ∀k = 1, . . . , nm .
Из соотношений (2.15) и (2.16) имеем
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∃ν(δ(ε)) > 0, ∀m ⩾ ν(δ(ε)), ∀k = 1, . . . , nm ,
∀x , x ∈ [xk−1 , xk ] ⇒ |f (x ) − f (x )| ⩽ ε ⇒ W (f, ({xk }m )) ⩽ ε,
что означает W (f, ({xk }m ))
→
m→+∞
0. (2.16)
ГЛАВА 3
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
3.1. Определение производной.
Производные основных элементарных функций
Рассмотрим функцию y = f (x), определенную в некоторой окрестности
точки c. Придадим в точке x = c приращение аргументу Δx и найдем
соответствующее приращение функции Δy = f (c + Δx) − f (c).
П р о и з в о д н о й функции f в точке x = c называют предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx при Δx → 0
Δy
f (c + Δx) − f (c)
= lim
Δx→0 Δx
Δx→0
Δx
lim
f (c + Δx) − f (c)
и обозначают f (c). Если отношение
при Δx → 0
Δx
имеет предел, то говорят, что функция в точке c имеет к о н е ч н у ю
f (c + Δx) − f (c)
п р о и з в о д н у ю. Если отношение
при Δx → 0 стремится
Δx
к бесконечности, то говорят, что функция в точке c имеет б е с к о н е ч н у ю
п р о и з в о д н у ю. В противном случае, если функция не имеет ни конечной
ни бесконечной производной, говорят, что функция не имеет производной в
точке x = c, или у функции не существует производной в точке x = c.
Геометрический смысл производной. Пусть M0 (c, f (c)), M1 (c +
+ Δx, f (c + Δx)) — две точки, лежащие на графике Γf функции y = f (x).
Прямую, проходящую через точки M0 и M1 , называют секущей графика
Γf (рис. 3.1). Уравнение секущей имеет вид
y=
Δy
(x − c) + f (c).
Δx
Если функция имеет конечную производную в точке c, то при Δx → 0
секущая приближается к прямой
y = f (c)(x − c) + f (c),
(3.1)
3.1. Определение производной
53
которую называют касательной к графику функции f в точке c. Коэффициент f (c) в уравнении (3.1) — угловой коэффициент касательной к графику
Γ функции в точке x = c. Таким образом, если функция имеет конечную
производную в точке c, то f (c) — угловой коэффициент касательной к графику функции (рис. 3.2).
Рис. 3.1. Секущая
Рис. 3.2. Касательная
Механический смысл производной. Пусть s = s(t) — путь, t —
время, v(t) — скорость, a(t) — ускорение. Тогда s (t) = v(t), v (t) = a(t).
Теорема о непрерывности функции, имеющей конечную производную
Если функция имеет в точке конечную производную, то она непрерывна
в этой точке.
Доказательство. Из определения производной следует Δy/Δx = f (c)+
+ o(1) при Δx → 0. Отсюда Δy = f (c)Δx + o(1)Δx и, следовательно, Δy →
→ 0 при Δx → 0. Теорема о производных арифметических комбинаций функций
Если функции f и g имеют конечные производные в точке x, то
а) (f (x) + g(x)) = f (x) + g (x);
б) (f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x);
f (x) f (x)g(x) − f (x)g (x)
при g(x) = 0.
в)
=
g(x)
g 2 (x)
Доказательство. Проверим, например, равенство в). Действительно,
1 f (x + Δx) f (x) 1 f (x + Δx)g(x) − f (x)g(x + Δx) −
=
=
Δx g(x + Δx)
g(x)
Δx
g(x + Δx)g(x)
=
1 f (x + Δx)g(x) − f (x)g(x) + f (x)g(x) − f (x)g(x + Δx) .
Δx
g(x + Δx)g(x)
54
Глава 3. Производная функции
Отсюда
1 f (x + Δx) f (x) g(x)
−
=
Δx g(x + Δx)
g(x)
f (x + Δ) − f (x)
g(x + Δx) − g(x)
− f (x)
Δx
Δx
.
g(x + Δx)g(x)
Переходя к пределу в этом равенстве при Δx → 0 и учитывая, что согласно
теореме о непрерывности функции, имеющей конечную производную, выполняется соотношение g(x + Δx) → g(x), приходим к требуемой формуле. Δx→0
Производные синуса, косинуса, тангенса и котангенса
sin(x + Δx) − sin x
=
Δx→0
Δx
(sin x) = lim
2 sin(Δx/2) cos(x + Δx/2)
= cos x, x ∈ R;
Δx→0
Δx
cos(x + Δx) − cos x
(cos x) = lim
=
Δx→0
Δx
2 sin(Δx/2) sin(x + Δx/2)
= − lim
= − sin x, x ∈ R;
Δx→0
Δx
1
π
sin x sin x cos x − sin x cos x
(tg x) =
=
, x = + πn;
=
2
2
cos x
cos x
cos x
2
x sin x − cos x sin x
1
cos
x
cos
= − 2 , x = πn.
(ctg x) =
=
sin x
sin2 x
sin x
Производная степенной функции
= lim
(x + Δx)α − xα
=
Δx→0
Δx
(xα ) = lim
= lim xα−1
Δx→0
(1 + Δx/x)α − 1
= αxα−1 ,
Δx/x
α ∈ R;
x > 0,
(x + Δx)n − xn
=
Δx→0
Δx
xn + nxn−1 Δx + . . . + (Δx)n − xn
= lim
= nxn−1 ,
Δx→0
Δx
Производная показательной функции
(xn ) = lim
x ∈ R,
ex+Δx − ex
ex (eΔx − 1)
= lim
= ex ,
Δx→0
Δx→0
Δx
Δx
(ex ) = lim
n ∈ N.
x ∈ R.
Производная логарифмической функции
1
ln(x + Δx) − ln x
ln(1 + Δx/x)
= lim
= ,
Δx→0
Δx→0 x (Δx/x)
Δx
x
(ln x) = lim
x > 0.
3.2. Производные обратной и сложной функций
55
3.2. Производные обратной
и сложной функций
Теорема о производной обратной функции
Пусть f (x) строго монотонная и непрерывная в некоторой окрестности
точки x = c функция, имеющая в точке x = c конечную ненулевую производную f (c) = 0. Тогда в некоторой окрестности точки d = f (c) определена обратная функция x = g(y), которая строго монотонна, непрерывна,
1
имеет в точке d конечную производную и g (d) = .
f (c)
Доказательство. По теореме об обратной функции в некоторой окрестности точки d = f (c) определена обратная функция x = g(y), которая строго монотонна и непрерывна. Для каждого малого приращения Δy = 0 найдется единственное Δx = 0 такое, что g(d + Δy) = c + Δx. Поскольку g
непрерывна в точке d, то lim Δx = 0. Следовательно,
Δy→0
g(d + Δy) − g(d)
Δx
1
1
= lim
= lim
= .
Δy
Δy→0
Δy→0 Δy
Δx→0
Δy
f (c)
Δx
g (d) = lim
Пример 3.1. Используя теорему о производной обратной функции, найдем производные обратных тригонометрических функций:
1)
y(x) = arcsin x, x(y) = sin y,
y (x) = (arcsin x) =
2)
3)
1
1
=√
,
cos y
1 − x2
y(x) = arccos x, x(y) = cos y,
y (x) = (arccos x) =
|x| < 1;
x (y) =
y(x) = arctg x, x(y) = tg y,
1
,
1 + x2
y(x) = arcctg x, x(y) = ctg y,
y (x) = (arcctg x) = − sin2 y =
|x| < 1;
x (y) = − sin y,
−1
−1
=√
,
sin y
1 − x2
y (x) = (arctg x) = cos2 y =
4)
x (y) = cos y,
1
,
cos2 y
x ∈ R;
x (y) =
−1
,
1 + x2
−1
,
sin2 y
x ∈ R.
56
Глава 3. Производная функции
Теорема о производной сложной функции
Если функции x = ϕ(t) и y = f (x) имеют в точках t0 и x0 = ϕ(t0 )
конечные производные ϕ (t0 ) и f (x0 ), то сложная функция z = f (ϕ(t))
имеет в точке t0 конечную производную, которая может быть вычислена
по следующему правилу:
(f (ϕ(t0 ))) = f (x0 )ϕ (t0 ),
называемому правилом «цепочки».
Доказательство. Поскольку функции ϕ и f имеют соответственно в
точках t0 , x0 конечные производные, то
Δx = ϕ(t0 + Δt) − ϕ(t0 ) = ϕ (t0 )Δt + Δtα,
Δy = f (x0 + Δx) − f (x0 ) = f (x0 )Δx + Δxβ,
где α = o(1), β = o(1), Δx → 0. Отсюда
Δt→0
Δx→0
Δt→0
f (ϕ(t0 + Δt)) − f (ϕ(t0 )) = f (x0 )Δx + Δxβ =
= f (x0 )ϕ (t0 )Δt + f (x0 )Δtα + (ϕ (t0 )Δt + Δtα)β,
f (ϕ(t0 + Δt)) − f (ϕ(t0 ))
= f (x0 )ϕ (t0 ). Δt→0
Δt
lim
Пример 3.2
1.
(ax ) = (ex ln a ) = ax ln a,
2.
y = loga x, x = ay ,
y (x) =
3.
1
ay ln a
=
x ∈ R, a > 0, a = 1;
(ay ) = ay ln a,
1
,
x ln a
x > 0, a > 0, a = 1;
1
1
(sh x) = (ex − e−x ) = (ex + e−x ) = ch x,
2
2
(ch x) = sh x,
1
1
x = 0.
2 , (cth x) = − 2 ,
ch x
sh x
Из формул (2.9), (2.10) сразу следует, что
4.
(th x) =
(arcsh x) = √
1
x2 + 1
;
(arcch x) = √
1
x2 − 1
,
x > 1.
3.3. Дифференцируемая функция. Дифференциал
57
Таблица производных
(xα ) = αxα−1 , x > 0,
(ex ) = ex ,
(ln x) =
1
, x > 0,
x
(sin x) = cos x,
(cos x) = − sin x,
π
1
, x = + πn,
(sh x) = ch x,
cos2 x
2
1
(ctg x) = − 2 , x = πn,
(ch x) = sh x,
sin x
1
1
(arctg x) = 2
,
(th x) = 2
x +1
ch x
1
1
(arcsin x) = √
, |x| < 1, (arcsh x) = √
2
2
1−x
x +1
1
1
(arccos x) = − √
, |x| < 1, (arcch x) = √
2
2
1−x
x −1
(tgx) =
3.3. Дифференцируемая функция.
Дифференциал
Пусть f — функция, определенная в некоторой окрестности точки c.
Функцию f называют д и ф ф е р е н ц и р у е м о й в точке x = c, если существует постоянная A такая, что приращение функции Δf = f (c + Δx) − f (c)
представимо в виде
Δf = AΔx + o(Δx).
Произведение AΔx называют д и ф ф е р е н ц и а л о м функции f в точке
x = c и обозначают
df = AΔx.
(3.2)
Приращение аргумента Δx в формуле (3.2) обычно обозначают через dx,
при таком обозначении df = Adx.
Критерий дифференцируемости функции
Для дифференцируемости функции f в точке x = c необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную f (c). В
этом случае
df |x=c = f (c)dx.
Доказательство. Необходимость.
Δf = AΔx + o(Δx),
Δf
o(Δx)
=A+
,
Δx
Δx
Достаточность. f (c) = lim
Δf
Δx→0 Δx
,
Δf
= A.
Δx→0 Δx
f (c) = lim
Δf
Δx − f (c) = o(1),
Δf = f (c)Δx + o(1)Δx = f (c)Δx + o(Δx). 58
Глава 3. Производная функции
С геометрической точки зрения дифференциал функции f в точке x = c
представляет собой приращение ординаты касательной к графику Γf функции в точке (c, f (c)) при переходе от точки x = c к точке x = c + Δx
(рис. 3.3).
Рис. 3.3
Для дифференцируемой в точке x = c функции f приращение Δf мало
отличается от дифференциала dy при малых Δx
f (c + Δx) − f (c) ≈ dy |x=c = f (c)Δx.
Пределы
lim
Δx→+0
f (c + Δx) − f (c)
= f+ (c),
Δx
f (c + Δx) − f (c)
= f− (c)
Δx
называют соответственно п р а в о с т о р о н н е й и л е в о с т о р о н н е й
п р о и з в о д н о й функции f в точке x = c.
Непосредственно из определений производной и односторонних производных функции вытекает следующее утверждение: функция f имеет конечную
производную в точке x = c тогда и только тогда, когда она имеет в этой
точке конечные равные односторонние производные, причем в этом случае
lim
Δx→−0
f− (c) = f (c) = f+ (c).
Если функция имеет в точке x = c конечную правостороннюю (левостороннюю) производную, то она непрерывна справа (слева) в этой точке.
Пример 3.3. Найдем односторонние производные для функции y = |x|
в точке x = 0 :
f− (0) =
|Δx|
= −1,
Δx→−0 Δx
lim
f+ (0) =
|Δx|
= 1.
Δx→+0 Δx
lim
3.3. Дифференцируемая функция. Дифференциал
59
Производные f− (0), f+ (0) конечны, но не равны, следовательно, функция |x|
не дифференцируема в точке x = 0 (рис. 3.4).
Функцию f : |a, b| → R называют д и ф ф е р е н ц и р у е м о й н а
п р о м е ж у т к е |a, b|, если она дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), имеет конечную правостороннюю производную в точке x = a,
если a ∈ |a, b| и конечную левостороннюю производную в точке x = b, если
b ∈ |a, b|.
Функцию f называют н е п р е р ы в н о д и ф ф е р е н ц и р у е м о й н а
п р о м е ж у т к е |a, b|, если она дифференцируема на промежутке |a, b| и
ее производная f (x) непрерывна на |a, b|.
Пример 3.4. Отображение
x sin(1/x), x = 0,
f (x) =
0, x = 0,
непрерывно на R, но не имеет односторонних производных в точке x = 0,
поскольку пределы
f− (0) =
Δx sin(1/Δx)
,
Δx→−0
Δx
lim
f+ (0) =
Δx sin(1/Δx)
Δx→+0
Δx
lim
не существуют (пример 2.2, рис. 3.5).
Рис. 3.4. График непрерывной,
но не дифференцируемой в точке
x = 0 функции
Рис. 3.5. График непрерывной
функции, которая не имеет в точке
x = 0 односторонних производных
Пример 3.5. Отображение
2
x sin(1/x), x = 0,
f (x) =
0,
x = 0,
(3.3)
60
Глава 3. Производная функции
имеет в точке x = 0 равную нулю производную
(Δx)2 sin(1/Δx)
= 0.
Δx→0
Δx
f (0) = lim
Рис. 3.6. График дифференцируемой функции, которая
не является непрерывно дифференцируемой
Функция (3.3) дифференцируема на R, но не является непрерывно дифференцируемой. Ее производная разрывна в точке x = 0 (доказать) (рис. 3.6).
3.4. Производные и дифференциалы
высших порядков. Правило Лейбница
Если производная f (x) функции f (x) сама является дифференцируемой функцией, то производную от f (x) называют в т о р о й п р о и з в о д н о й
d2 f
.
от f (x) и обозначают f (x) или f (2) (x),
dx2
По индукции определяют
f (1) (x) = f (x), f (n) (x) = (f (n−1) (x))
для n > 1.
Кроме того, считают f (0) (x) = f (x). Очевидно, что
f (n+m) (x) = (f (n) (x))(m) .
Следующие формулы устанавливаются по индукции:
1. y = xμ , y (n) = μ(μ − 1) . . . (μ − n + 1)xμ−n , в частности, для μ = n ∈ N
(xm )(n) = 0, для n > m;
π
2. y = sin x, y (n) = sin(x + n);
2
π
(n)
3. y = cos x, y = cos(x + n);
2
3.4. Производные и дифференциалы высших порядков
61
4. y = ex , y (n) = ex ;
(−1)n−1 (n − 1)!
.
5. y = ln x, y (n) =
xn
Функцию f : |a, b| → R называют n р а з д и ф ф е р е н ц и р у е м о й на
промежутке |a, b|, если она имеет конечные производные до порядка n включительно в каждой точке интервала (a, b), конечные правосторонние производные до порядка n в точке x = a, если a ∈ |a, b| и конечные левосторонние
производные до порядка n в точке x = b, если b ∈ |a, b|. Если функция f
n раз дифференцируема на промежутке |a, b|, то все ее производные до порядка n − 1 включительно непрерывны на |a, b|. Функцию f называют n
р а з н е п р е р ы в н о д и ф ф е р е н ц и р у е м о й на промежутке |a, b|, если ее
производная порядка n f (n) (x) непрерывна на |a, b|.
Пример 3.6. Найдем односторонние производные для функции f (x) =
= x|x| в точке x = 0 :
f− (0) =
Δx|Δx|
= 0,
Δx→−0
Δx
lim
f+ (0) =
Δx|Δx|
= 0.
Δx→+0
Δx
lim
Односторонние производные конечны и равны (рис. 3.7), следовательно,
функция f (x) = x|x| дифференцируема в точке x = 0 и f (0) = 0. Производная функции f (x) = x|x| равна
⎧
⎨ −2x, x < 0,
0, x = 0,
(x|x|) =
⎩
2x, x > 0.
Она непрерывна на R (рис. 3.8), следовательно, функция является непрерывно дифференцируемой на R.
Рис. 3.7. График непрерывно дифференцируемой функции ( f (x) = x|x| ), не являющейся дважды дифференцируемой
Рис. 3.8. График производной
функции y = x|x|
62
Глава 3. Производная функции
Найдем вторые односторонние производные функции f (x) = x|x| в точке
x=0
−2Δx
2Δx
f− (0) = lim
= −2, f+ (0) = lim
= 2.
Δx→−0 Δx
Δx→+0 Δx
Производные f− (0), f+ (0) конечны, но не равны, следовательно, функция
f (x) = x|x| не является дважды дифференцируемой в точке x = 0.
Отображение
3
x sin(1/x), x = 0,
y=
0, x = 0
дважды дифференцируемо на R, но не является дважды непрерывно дифференцируемым (доказать).
Замечание 3.1. Обозначим через C 0 ((a, b)), Dn ((a, b)), C n ((a, b)) соответственно множества непрерывных, n раз дифференцируемых и n раз
непрерывно дифференцируемых функций на интервале (a, b). Из теоремы
о непрерывности функции, имеющей конечную производную, критерия дифференцируемости функции и из примеров 3.3—3.6 вытекают включения
C 0 ((a, b)) ⊃ D1 ((a, b)) ⊃ C 1 ((a, b)) ⊃ . . . ⊃ Dn ((a, b)) ⊃ C n ((a, b)),
причем все включения являются строгими.
Для вычисления производных высших порядков произведения двух
функций полезным является следующее правило Лейбница.
Правило Лейбница
(uv)
(n)
=
n
Cnk u(n−k) v (k) ,
где
k=0
Cnk =
n!
.
k!(n − k)!
0
Доказательство по индукции. n = 0, (uv)(0) = uv,
k=0
(3.4)
C0k u(n−k) v (k) =
= u(0) v (0) = uv. Допустим, что равенство (3.4) имеет место при n = m.
Рассмотрим производную (m + 1) -го порядка для произведения uv
(uv)
(m+1)
= ((uv)
(m) ) =
m
k (m−k) (k)
Cm
u
v
k=0
=
m
k=0
k
Cm
(u(m+1−k) v (k) + u(m−k) v (m+1) ).
=
3.4. Производные и дифференциалы высших порядков
63
Отсюда
0 (m+1) (0)
(uv)(m+1) = Cm
u
v +
m
k (m+1−k) (k)
Cm
u
v +
m−1
k=1
k (m−k) (k+1)
Cm
u
v
+
k=0
m+1
m (0) (m+1)
m
0
0
+Cm
u v
= [Cm
= Cm
= Cm+1
= Cm+1
= 1] =
0
= C(m+1)
u(m+1) v (0) +
m
k
k−1 (m+1−k) (k)
(Cm
+ Cm
)u
v +
k=1
m+1 (0) (m+1)
k
k−1
k
u v
= [Cm
+ Cm
= Cm+1
]=
+Cm+1
m+1
k
Cm+1
u(m+1−k) v (k) .
k=0
По индукции равенство (3.4) верно для любого n. Дифференциалы высших порядков
Дифференциал функции y = f (x)
dy = f (x)dx = f (x)Δx
зависит от двух переменных x и Δx. Если приращение аргумента Δx зафиксировать, то dy является функцией лишь от x. Дифференциал от первого дифференциала d(dy) = d(f (x)Δx) при предположении, что Δx зафиксировано, называют в т о р ы м д и ф ф е р е н ц и а л о м функции f и обозначают d2 y или d2 f, при этом предполагается, что при вычислении второго
дифференциала приращение Δx выбирается таким же, как и при вычислении первого дифференциала. Таким образом,
d2 y = d(f (x)Δx) = f (x)(Δx)2 = f (x)dx2 ,
где dx2 = (dx)2 . Аналогично по индукции определяют dn y :
dn y = d(dn−1 y),
и доказывают формулу
n > 1,
dn y = f (n) (x)dxn .
Из (3.5) следует, что
(3.5)
dn y
,
dxn
т. е. производная порядка n функции y = f (x) равна отношению дифференциала порядка n функции к n -й степени дифференциала независимой
переменной.
f (n) (x) =
64
Глава 3. Производная функции
При дифференцировании во избежание путаницы с переменными иногда указывают те переменные, по которым производится дифференцирование. Такие обозначения мы используем ниже. Пусть y = f (ϕ(t)) — сложная
функция. Тогда yt = fx ϕt . Отсюда
dy = fx ϕt dt = [ϕt dt = dx] = fx dx,
т. е. формула dy = fx dx справедлива в двух случаях: если x — независимая переменная и если x — лишь промежуточная переменная. Это свойство первого дифференциала называют и н в а р и а н т н о с т ь ю формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков уже не обладают
инвариантностью формы
d2 y = d2 (f (ϕ(t)) = (f (ϕ(t))) dt2 = (fx ϕt )t dt2 =
= (fx2 ϕt ϕt + fx ϕt2 )dt2 = [(ϕt )2 dt2 = dx2 , ϕt2 dt2 = d2 x] =
= fx2 dx2 + fx d2 x,
что не совпадает со вторым дифференциалом d2 y = f dx2 в случае, когда
x — независимая переменная.
Производные параметрически заданной функции
Пусть x = x(t), y = y(t), t ∈ T, — две функции, определенные на множестве T. Предположим, что отображение x = x(t), t ∈ T, обладает обратным
отображением t = t(x), x ∈ X = {x : x = x(t), t ∈ T }. Построим функцию
y = y(t(x)), x ∈ X, которую называют функцией, заданной параметрически
соотношениями x = x(t), y = y(t), t ∈ T.
Используя теоремы о производных сложной и обратной функций (предполагаем, что условия, обеспечивающие возможность применения этих теорем,
выполнены), получаем следующую формулу для вычисления производной
параметрически заданной функции:
1 y
(3.6)
yx = yt tx = tx = = t .
xt
xt
Первая производная параметрически заданной функции также является
функцией, заданной параметрически соотношениями
y = g(t) =
yt
, x = x(t), t ∈ T.
xt
Используя формулу (3.6), вычислим ее производную, которая является второй производной исходной функции, заданной параметрически,
yt /xt t
yt2 xt − yt xt2
(g(t))t
yx2 = (yx )x =
=
=
.
xt
xt
(xt )3
Аналогично вычисляются и последующие производные.
3.5. Свойства дифференцируемой функции
65
3.5. Свойства дифференцируемой функции
Точку, в которой производная функции равна нулю, называют
с т а ц и о н а р н о й точкой этой функции. В стационарной точке касательная
к графику горизонтальна.
1. Теорема Ферма
Если x0 — точка экстремума функции f : (a, b) → R и функция f дифференцируема в точке x0 , то x0 — стационарная точка.
Доказательство для случая f (x0 ) = sup f (x). Для Δx таких, что
x∈(a,b)
x0 + Δx ∈ (a, b), имеем
Δy = f (x0 + Δx) − f (x0 ) ⩽ 0,
Δy
⩽ 0 ∀Δx > 0,
Δx
Δy
⩾ 0 ∀Δx < 0.
Δx
Отсюда 0 ⩾ f+ (x0 ) = f (x0 ) = f− (x0 ) ⩾ 0 ⇒ f (x0 ) = 0. Геометрическая интерпретация теоремы Ферма: касательная к графику дифференцируемой в точке экстремума функции параллельна оси 0x
(рис. 3.9).
2. Теорема Ролля
Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f (a) = f (b),
то на интервале (a, b) существует стационарная точка функции.
Доказательство. По теореме Вейерштрасса существуют точки x, x̄ ∈
∈ [a, b] такие, что inf f (x) = f (x), sup f (x) = f (x̄).
x∈[a,b]
x∈[a,b]
Если f (x) = f (x̄), то f постоянна на [a, b] и каждая точка интервала
(a, b) — стационарная. Если же f (x) < f (x̄), то из условия f (a) = f (b)
следует, что хотя бы одна из точек x̄, x лежит на интервале (a, b), но тогда
по теореме Ферма эта точка стационарная. Геометрическая интерпретация теоремы Ролля: если функция f
непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и на
концах отрезка принимает равные значения f (a) = f (b), то касательная к
графику функции в некоторой точке интервала (a, b) параллельна оси 0x
(рис. 3.10).
66
Глава 3. Производная функции
Рис. 3.9
Рис. 3.10
3. Теорема Лагранжа
Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то на (a, b) существует такая точка x = c, что
f (b) − f (a) = f (c)(b − a).
(3.7)
Доказательство. Построим функцию
ϕ(x) = (f (b) − f (a))(x − a) − (f (x) − f (a))(b − a).
Функция ϕ(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля
ϕ(a) = ϕ(b) = 0, ϕ (x) = (f (b) − f (a)) − (b − a)f (x).
По теореме Ролля существует такая точка c ∈ (a, b) такая, что ϕ (c) =
= 0 ⇒ f (b) − f (a) = f (c)(b − a). Поскольку отношение
f (b) − f (a)
b−a
равно угловому коэффициенту секущей, проходящей через концы
A(a, f (a)), B(b, f (b)) графика функции y = f (x), x ∈ [a, b] , а производная f (c) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции
в точке x = c, то теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую
интерпретацию: если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то существует точка на графике функции,
в которой касательная к графику параллельна секущей, проходящей через
концы графика (рис. 3.11).
3.5. Свойства дифференцируемой функции
Рис. 3.11
67
Рис. 3.12
Следствие
Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то для любых x, x+Δx ∈ [a, b], существует число θ = θ(x, Δx),
0 < θ < 1, такое, что
f (x + Δx) − f (x) = f (x + θΔx)Δx.
(3.8)
Доказательство для случая Δx > 0. По теореме Лагранжа существует
c−x
, тогда
точка c такая, что f (x + Δx) − f (x) = f (c)Δx. Положим θ =
Δx
x + θΔx = c и 0 < θ < 1. Теперь формула (3.8) следует из формулы (3.7)
(рис. 3.12). Формулы (3.7), (3.8) называют формулами к о н е ч н ы х п р и р а щ е н и й,
или формулами Л а г р а н ж а.
4. Критерий постоянства дифференцируемой функции
Для постоянства дифференцируемой на промежутке |a, b| функции f
необходимо и достаточно, чтобы ее производная f (x) тождественно на
|a, b| равнялась нулю.
Доказательство. Необходимость очевидна.
Достаточность. f (x) = 0 ∀x ∈ |a, b|. Зафиксируем x0 ∈ |a, b|. По следствию из теоремы Лагранжа
∀Δx, x0 + Δx ∈ |a, b| ⇒ f (x0 + Δx) − f (x0 ) = 0 ⇒ f (x) = f (x0 ) ∀x ∈ |a, b|. 5. Теорема о функциях с совпадающими производными
Если две дифференцируемые функции имеют на интервале совпадающие
производные, то они отличаются на этом интервале на постоянную.
68
Глава 3. Производная функции
Доказательство. f (x) = g (x) ∀x ∈ (a, b), h(x) = f (x) − g(x), h (x) =
= 0 ∀x ∈ (a, b) ⇒ h(x) ≡ C, f (x) = g(x) + C ∀x ∈ (a, b). 6. Теорема Коши
Пусть функции f и g непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на
интервале (a, b), причем g (x) = 0 ∀x ∈ (a, b). Тогда на интервале (a, b)
существует такая точка c, что
f (c)
f (b) − f (a)
= .
g(b) − g(a)
g (c)
(3.9)
Доказательство. По теореме Лагранжа существует точка d ∈ (a, b) такая, что
g(b) − g(a) = g (d)(b − a) = 0.
Построим функцию
ϕ(x) = (f (x) − f (a))(g(b) − g(a)) − (f (b) − f (a))(g(x) − g(a)).
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля
ϕ(a) = ϕ(b) = 0, ϕ (x) = f (x)(g(b) − g(a)) − (f (b) − f (a))g (x).
По теореме Ролля существует точка c ∈ (a, b) такая, что
ϕ (c) = 0 ⇒ f (c) (g(b) − g(a)) − g (c) (f (b) − f (a)) = 0.
Отсюда после деления на g(b) − g(a) = 0 и g (c) = 0 приходим к формуле
(3.9). 3.6. Раскрытие неопределенностей
0
и ∞
по правилу Лопиталя
0
∞
Обозначим через X множество одного из трех видов:
1) X = (a, b), a ⩾ −∞, 2) X = (b, a), a ⩽ +∞, 3) X = (b, a) ∪ (a, d), a ∈ R.
Ниже запись lim означает правосторонний предел, если X — первого вида,
x→a
левосторонний предел, если X — второго вида и обычный предел, если X —
третьего вида.
3.6. Раскрытие неопределенностей
69
Правило Лопиталя
Пусть f (x) и g(x) — дифференцируемые на X функции такие, что
lim f (x) = 0 = lim g(x) или lim f (x) = ∞ = lim g(x), причем g(x) = 0,
x→a
x→a
g (x) = 0
x→a
x→a
∀x ∈ X. Если предел отношения производных
f (x)
при x → a
g (x)
f (x)
= l, −∞ ⩽ l ⩽ +∞, то предел отношения функций
x→a g (x)
f (x)
f (x)
при x → a тоже равен l, т. е. lim
= l.
x→a
g(x)
g(x)
равен l, т. е. lim
Доказательство проведем в следующих четырех случаях (в остальных
случаях доказательство аналогично одному из них).
1◦ . X = (a, b), a ∈ R, lim f (x) = 0 = lim g(x). Построим функции
x→a
F (x) =
x→a
f (x), x ∈ (a, b),
G(x) =
0, x = a,
g(x), x ∈ (a, b),
0, x = a.
Используя теорему Коши, имеем
F (x)
F (x) − F (a)
F (c)
f (c)
f (x)
=
=
= = → l.
g(x)
G(x)
G(x) − G(a)
G (c)
g (c) x→a
2◦ . X = (b, +∞), b > 0, lim f (x) = 0 = lim g(x). Положим
x→+∞
x→+∞ ∗ (t) = f 1/t , g ∗ (t) =
t = 1/x,
t
∈
0,
1/b
,
и
рассмотрим
функции
f
∗
= g 1/t , f (t) → 0, g ∗ (t) → 0. Применяя теорему о замене переменной
t→+0
t→+0
при вычислении предела и уже доказанное в пункте 1◦ утверждение, получаем
f (x)
f ∗ (t)
(f ∗ (t))
(f (1/t))
= lim ∗
= lim
=
lim
=
lim
x→a g(x)
t→+0 g (t)
t→+0 (g ∗ (t))
t→+0 (g(1/t))
f (1/t)(−1/t2 )
f (x)
=
lim
= l.
x→+∞ g (x)
t→+0 g (1/t)(−1/t2 )
= lim
3◦ . X = (a, b), a ∈ R, l ∈ R, lim f (x) = ∞ = lim g(x). Для любых x, x̄ ∈
x→a
x→a
f (x)
представим в виде
∈ (a, b) : a < x < x̄ < b, разность l −
g(x)
l−
f (x) − f (x̄) g(x) − g(x̄) f (x̄)
f (x)
= [g (x) = 0 ⇒ g(x)−g(x̄) = 0] = l−
−
+
g(x)
g(x) − g(x̄)
g(x)
g(x)
+l
g(x̄) f (c) g(x̄) f (x̄)
g(x̄)
= l− 1−
−
+l
,
g(x)
g (c)
g(x)
g(x)
g(x)
x < c < x̄.
70
Глава 3. Производная функции
f (x)
= l, то
x→a g (x)
f (x) f (c) ∃x̄ ∈ (a, b), ∀x ∈ (a, b) : a < x < x̄ ⇒ l − ⩽ ε ⇒ l − ⩽ ε,
g (x)
g (c)
Зафиксируем произвольное ε > 0. Так как lim
если x < c < x̄. Далее
f (x̄) g(x̄) ∃δ(ε) > 0, ∀x ∈ (a, x̄) : 0 < x − a ⩽ δ(ε) ⇒ ⩽ ε, ⩽ ε.
g(x)
g(x)
Таким образом,
f (x) l −
⩽ ε(1 + ε) + ε + lε ∀x ∈ (a, x̄) : 0 < x − a ⩽ δ(ε),
g(x)
f (x)
= l.
x→a g(x)
4◦ . X = (a, b), a ∈ R, l = ∞, lim f (x) = ∞ = lim g(x).
что означает lim
x→a
x→a
Рассматриваем g(x)/f (x) и применяем то же доказательство, что и в
случае 3◦ . Пример 3.7. С помощью правила Лопиталя можно вычислить следующие важные пределы, в которых устанавливаются соотношения между функциями ex , ln x и степенной функцией:
ln x
1
= lim
= 0, α > 0,
α
x→+∞ x
x→+∞ αxα
1) lim
ln x
=
x→+∞
o(xα );
xα
ln t
= [xα = ln t, t → +∞] = lim 1 = 0, α > 0, xα = o(ex );
x→+∞ ex
x→+∞
t→+∞ t α
1 ln x
1
lim xα = 0, α > 0, ln x = o α ;
3) lim xα ln x = lim −α =
x→+0
x→+0 x
x→+0
−α x→+0
x
2) lim
4) lim xx = lim ex ln x = 1.
x→+0
x→+0
Правило Лопиталя может быть использовано лишь для раскрытия
0 ∞
. Другие типы неопределенностей
неопределенностей вида ,
0 ∞
0 · ∞, ∞ − ∞, 00 , ∞0 , 1∞
раскрываются сведением к неопределенностям вида
∞
0
или
.
0
∞
Пример 3.8
1
x − 1 − ln x
x − 1 − ln x
1 1
0
−
= [∞−∞] = lim
= lim
= .
=
lim
2
x→1 ln x
x→1
x→1
x−1
(x − 1) ln x
(x − 1)
0
2
3.7. Формула Тейлора
71
3.7. Формула Тейлора. Теорема об остаточном
члене формулы Тейлора
Рассмотрим функцию f, у которой существуют производные
f (x0 ), . . . , f (n) (x0 ). Можно построить многочлен, имеющий в точке x0
те же производные до порядка n, что и функция f (x). Таким многочленом
является м н о г о ч л е н Т е й л о р а
Tn (x) = f (x0 ) +
f (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 ) + . . . +
(x − x0 )n .
1!
n!
Если положить Rn (x) = f (x) − Tn (x), то функцию f можно представить
в виде
f (x) = f (x0 ) +
f (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 ) + . . . +
(x − x0 )n + Rn (x).
1!
n!
(3.10)
Представление (3.10) называют ф о р м у л о й Т е й л о р а для функции f в
точке x0 , а Rn (x) — о с т а т о ч н ы м ч л е н о м формулы Тейлора.
Поскольку во многих случаях
Rn (x) = o((x − x0 )n )
при x → x0 , то формула Тейлора позволяет выделять главную часть функции f около точки x0 в виде многочлена.
Теорема об остаточном члене формулы Тейлора
Пусть функция f является (n + 1) раз дифференцируемой на интервале
I = (x0 − δ1 , x0 + δ2 ), δ1 > 0, δ2 > 0; x — точка из интервала I; ϕ(t) —
дифференцируемая на I функция и ϕ (t) = 0 на I \ {x}. Тогда между x0 и
x найдется такое число c, что остаточный член Rn (x) формулы Тейлора
можно представить в виде
Rn (x) =
ϕ(x) − ϕ(x0 ) f (n+1) (c)
(x − c)n .
ϕ (c)
n!
Доказательство для случая x > x0 . Рассмотрим функцию
ψ(t) = f (x) − f (t) −
ψ (t) = −
f (t)
f (n) (t)
(x − t) − . . . −
(x − t)n ,
1!
n!
f (n+1) (t)
(x − t)n , ψ(x0 ) = Rn (x),
n!
ψ(x) = 0.
(3.11)
72
Глава 3. Производная функции
Функции ψ(t), ϕ(t) на отрезке [x0 , x] удовлетворяют условиям теоремы Коши. Согласно этой теореме на интервале (x0 , x) найдется точка c такая, что
ψ (c)
ψ(x) − ψ(x0 )
= .
ϕ(x) − ϕ(x0 )
ϕ (c)
Отсюда
−
Rn (x)
f (n+1) (c)
1
=−
(x − c)n . ϕ(x) − ϕ(x0 )
n!
ϕ (c)
3.8. Представление остаточного члена формулы Тейлора
в формах Лагранжа, Коши и Пеано
Пусть функция f является (n + 1) раз дифференцируемой на интервале
I = (x0 − δ1 , x0 + δ2 ), δ1 > 0, δ2 > 0; x ∈ I. Положив в формуле (3.11)
ϕ(t) = (x − t)n+1 , получаем
Rn (x) =
−(x − x0 )n+1 f (n+1) (c)
(x − c)n ,
−(n + 1)(x − c)n
n!
Rn (x) =
θ :=
c − x0
,
x − x0
Rn (x) =
f (n+1) (c)
(x − x0 )n+1 ,
(n + 1)!
c = x0 + θ(x − x0 ),
0 < θ < 1,
f (n+1) (x0 + θ(x − x0 ))
(x − x0 )n+1 .
(n + 1)!
(3.12)
Формулу (3.12) называют ф о р м о й Л а г р а н ж а для Rn (x).
Положив в формуле (3.11) ϕ(t) = x − t, имеем
Rn (x) =
Rn (x) =
−(x − x0 ) f (n+1) (c)
(x − c)n ,
−1
n!
f (n+1) (c)
x−c n
(x − x0 )n+1 (
) ,
n!
x − x0
f (n+1) (x0 + θ(x − x0 ))
(1 − θ)n (x − x0 )n+1 .
(3.13)
n!
Формулу (3.13) называют ф о р м о й К о ш и для Rn (x).
Ослабим требования на функцию f, считая, что функция f является лишь n раз непрерывно дифференцируемой на интервале I. Возьмем
Rn (x) =
3.8. Представление остаточного члена
73
остаточный член Rn−1 (x) формулы Тейлора в форме Лагранжа Rn−1 (x) =
f (n) (c)
(x − x0 )n и запишем его в виде
=
n!
Rn−1 (x) =
α=
f (n) (c) − f (n) (x0 )
,
n!
f (n) (x0 )
(x − x0 )n + α · (x − x0 )n ,
n!
α = o(1),
x→x0
α · (x − x0 )n = o((x − x0 )n ).
x→x0
Теперь функцию f (x) можно представить в виде
f (x) = f (x0 ) +
f (x0 )
f (n−1) (x0 )
(x − x0 ) + · · · +
(x − x0 )n−1 + Rn−1 (x) =
1!
(n − 1)!
f (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 ) + · · · +
(x − x0 )n + o((x − x0 )n ).
1!
n!
Отсюда следует, что остаточный член Rn (x) можно записать в виде Rn (x) =
= o((x − x0 )n ), который называют ф о р м о й П е а н о для остаточного члена.
= f (x0 ) +
Формула Тейлора в дифференциалах
Пусть f — (n + 1) раз дифференцируемая на интервале I функция.
Положим в формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа x =
= x0 + Δx, Δf = f (x0 + Δx) − f (x0 ), получим
Δf =
f (n) (x0 )
f (x0 )
f (n+1) (x0 + θ(Δx))
(Δx) + . . . +
(Δx)n +
(Δx)n+1 =
1!
n!
(n + 1)!
= [Δx = dx] =
+
f (x0 )
f (n) (x0 ) n
dx + · · · +
dx +
1!
n!
f (n+1) (x0 + θ(Δx)) n+1
dx
= [f (k) (x0 )dxk = dk f (x0 )] =
(n + 1)!
=
dn f (x0 ) dn+1 f (x0 + θ(Δx))
df (x0 )
+ ··· +
+
.
1!
n!
(n + 1)!
Формулу
df dn f dn+1 f Δf =
+··· +
+
1! x0
n! x0 (n + 1)! x0 +θΔx
называют ф о р м у л о й Т е й л о р а в д и ф ф е р е н ц и а л а х с остаточным
членом в форме Лагранжа.
74
Глава 3. Производная функции
3.9. Разложение элементарных функций
по формуле Тейлора
1. Разложение экспоненты
f (x) = ex ,
f (n) (x) = ex ,
f (n) (0) = 1 ∀n ∈ N,
xk
xn
x
e = 1 + + ... +
+ Rn (x) =
+ Rn (x) ∀x ∈ R.
1!
n!
k!
n
x
k=0
Остаточный член имеет вид:
− в форме Лагранжа Rn (x) =
eθx
xn+1 ,
(n + 1)!
0 < θ < 1;
− в форме Пеано Rn (x) = o(xn ).
x→0
2. Разложение синуса (рис. 3.13)
f (x) = sin x,
f (n) (x) = sin(x +
sin x = x −
=
π
n),
2
f 2l+1 (0) = (−1)l ,
x3
(−1)n x2n+1
+ ... +
+ R2n+2 (x) =
3!
(2n + 1)!
n
(−1)k x2k+1
k=0
f (2l) (0) = 0,
(2k + 1)!
+ R2n+2 (x) ∀x ∈ R.
Рис. 3.13. Графики функций y = x — пунктирная прямая;
y = x − x3 /6 + x5 /120 — средняя кривая;
y = sin x — нижняя кривая
3.9. Разложение элементарных функций
75
Остаточный член имеет вид:
π
sin θx + (2n + 3)
2 x2n+3 ,
− в форме Лагранжа R2n+2 (x) =
(2n + 3)!
0 < θ < 1;
− в форме Пеано R2n+2 (x) = o(x2n+2 ).
x→0
3. Разложение косинуса
π
(n)
f (x) = cos x, f (x) = cos x + n ,
2
cos x = 1 −
=
f 2l+1 (0) = 0,
(−1)n x2n
x2
+ ... +
+ R2n+1 (x) =
2!
(2n)!
n
(−1)k x2k
k=0
f (2l) (0) = (−1)l ,
(2k)!
+ R2n+1 (x) ∀x ∈ R.
Остаточный член имеет вид:
π
cos θx + (2n + 2)
2 x2n+2 ,
− в форме Лагранжа R2n+1 (x) =
(2n + 2)!
0 < θ < 1;
− в форме Пеано R2n+1 (x) = o(x2n+1 ).
x→0
4. Разложение логарифма
f (x) = ln(1 + x), f (n) (x) =
ln(1 + x) = x −
=
(−1)n−1 (n − 1)! (n)
, f (0) = (−1)n−1 (n − 1)!,
(x + 1)n
(−1)n−1 xn
x2
+ ... +
+ Rn (x) =
2
n
n
(−1)k−1 xk
k=1
k
+ Rn (x) ∀x ∈ (−1, +∞).
Остаточный член имеет вид:
− в форме Лагранжа Rn (x) = (−1)n
xn+1
1
,
n + 1 (1 + θx)n+1
− в форме Коши Rn (x) = (−1)n xn+1
(1 − θ)n
,
(1 + θx)n+1
− в форме Пеано Rn (x) = o(xn ).
x→0
0 < θ < 1;
0 < θ < 1;
76
Глава 3. Производная функции
5. Разложение степенной функции
f (x) = (1 + x)μ , f (n) (x) = μ(μ − 1) · · · (μ − n + 1)(1 + x)μ−n ,
f (n) (0) = μ(μ − 1) · · · (μ − n + 1),
(1 + x)μ = 1 +
=
μ(μ − 1) · · · (μ − n + 1) n
μx
+ ... +
x + Rn (x) =
1!
n!
n
μ(μ − 1) · · · (μ − k + 1)
k!
k=0
xk + Rn (x) ∀x ∈ (−1, +∞).
Остаточный член имеет вид:
− в форме Лагранжа Rn (x) =
μ · · · (μ − n)
(1 + θx)μ−n+1 xn+1 ,
(n + 1)!
0 < θ < 1;
μ(μ − 1) · · · (μ − n)
(1 + θx)μ−n+1 (1 − θ)n xn+1 ;
n!
− в форме Пеано Rn (x) = o(xn ).
− в форме Коши Rn (x) =
x→0
В частности,
1
= 1 + x + x2 + . . . + xn + o(xn ).
1−x
Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений
Построим приближенную формулу для вычисления ex на промежутке
0 ⩽ x ⩽ 0, 1 с погрешностью не более 0, 00001. Используем разложение экспоненты по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
xn
eθx
x
+ ... +
+
xn+1 , 0 < θ < 1,
1!
n!
(n + 1)!
2|x|n+1
eθx
2(0, 1)n+1
xn+1 ⩽
, 0 ⩽ x ⩽ 0, 1.
⩽
(n + 1)!
(n + 1)!
(n + 1)!
ex = 1 +
2(0, 1)n+1
⩽ 0, 00001 методом подбора найдем наименьшее
(n + 1)!
n, при котором выполняется последнее неравенство: n = 3. Следовательно,
на отрезке 0 ⩽ x ⩽ 0, 1
x2 x3
+
ex ≈ 1 + x +
2
6
с погрешностью, не большей, чем 0,00001.
Применение формулы Тейлора для раскрытия неопределенностей
Для раскрытия неопределенностей используют формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Из неравенства
3.9. Разложение элементарных функций
77
Пример 3.9. Вычислим предел
esin x − 1 − x
.
x→0
x2
I = lim
Используя разложения функций ex и sin x по формуле Тейлора, найдем
разложение функции esin x до члена, содержащего x2 ,
x3
+ o(x4 )+
3!
2
2
x3
1
x3
x2
+ o(x4 ) + o x −
+ o(x4 ) = 1 + x +
+ o(x2 ).
+ x−
2
3!
3!
2
Теперь можем вычислить искомый предел
x3
4
esin x = ex− 3! +o(x ) = 1 + x −
1 o(x2 ) 1
1 + x + x2 + o(x2 ) − 1 − x
I = lim
+
=
lim
= .
x→0
x→0 2
x2
x2
2
2
ГЛАВА 4
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ
4.1. Критерий монотонности
Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к ее графику, а знак углового коэффициента показывает, острый
или тупой угол образует касательная к графику с положительным направлением оси 0x, поэтому ясно, что знак производной указывает, возрастает или
убывает функция.
Критерий монотонности
Для возрастания дифференцируемой функции f : |a, b| → R необходимо и
достаточно, чтобы на интервале (a, b) производная функции была неотрицательна:
f (x) ⩾ 0 ∀x ∈ (a, b);
для убывания, чтобы производная функции была неположительна:
f (x) ⩽ 0 ∀x ∈ (a, b).
Доказательство для возрастающей функции. Необходимость. Пусть
x0 — произвольная точка интервала (a, b)
∀x ∈ (a, b) : x > x0 ⇒ f (x) ⩾ f (x0 ),
∀x ∈ (a, b) : x < x0 ⇒ f (x) ⩽ f (x0 ).
Значит,
f (x) − f (x0 )
⩾ 0, x = x0 , x ∈ (a, b).
x − x0
Отсюда и из дифференцируемости функции в точке x0 следует, что
f (x) − f (x0 )
= f (x0 ) ⩾ 0.
x→x0
x − x0
lim
4.1. Критерий монотонности
79
Достаточность. Для любых x1 , x2 ∈ |a, b| : x1 < x2 применим теорему
Лагранжа к функции f : [x1 , x2 ] → R
f (x2 ) − f (x1 ) = f (c)(x2 − x1 ),
x1 < c < x2 , f (c) ⩾ 0.
Отсюда ∀x1 , x2 ∈ |a, b| : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ⩽ f (x2 ). Условия критерия монотонности не обеспечивают строгой монотонности
функции.
Пример 4.1. Производная функции (рис. 4.1)
⎧
⎧
3
2
⎪
⎪
⎨3(x + 1/2) , x ⩽ −1/2,
⎨(x + 1/2) , x ⩽ −1/2,
f (x) = 0, −1/2 < x < 1/2,
f (x) = 0, −1/2 < x < 1/2,
⎪
⎪
⎩
⎩
(x − 1/2)3 , x ⩾ 1/2,
3(x − 1/2)2 , x ⩾ 1/2,
неотрицательна (рис. 4.2), но функция не является строго возрастающей.
Рис. 4.1. График нестрого
возрастающей функции
Рис. 4.2. График производной
нестрого возрастающей функции
Критерий строгой монотонности
Для строгого возрастания (строгого убывания) дифференцируемой функции f : |a, b| → R необходимо и достаточно, чтобы
f (x) ⩾ 0 ∀x ∈ (a, b) (f (x) ⩽ 0 ∀x ∈ (a, b)),
причем f (x) не обращается в нуль ни на одном интервале (α, β) из |a, b|.
Доказательство следует из критерия монотонности и из критерия постоянства дифференцируемой функции. Пример 4.2. Функция f (x) = x3 строго монотонна на (−∞, +∞), так
как f (x) = 3x2 ⩾ 0, причем f (x) = 0 лишь в одной точке x = 0.
80
Глава 4. Исследование функции с помощью производных
4.2. Локальный экстремум
Внутреннюю точку x0 промежутка |a, b| называют точкой:
— л о к а л ь н о г о м а к с и м у м а функции f : |a, b| → R, если
f (x0 ) ⩾ f (x)
для всех x из некоторой δ -окрестности [x0 − δ, x0 + δ], δ > 0, точки x0 ;
— с т р о г о г о л о к а л ь н о г о м а к с и м у м а, если
f (x0 ) > f (x) ∀x ∈ [x0 − δ, x0 + δ], x = x0 ;
— л о к а л ь н о г о м и н и м у м а, если
f (x0 ) ⩽ f (x) ∀x ∈ [x0 − δ, x0 + δ];
— с т р о г о г о л о к а л ь н о г о м и н и м у м а, если
f (x0 ) > f (x) ∀x ∈ [x0 − δ, x0 + δ], x = x0 .
Точки локального минимума и локального максимума называют точками
л о к а л ь н о г о э к с т р е м у м а (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Точки локального экстремума:
x1 — точка строгого локального минимума;
x2 — точка локального максимума; x3 — точка локального минимума;
x4 — точка строго локального максимума
Необходимое условие локального экстремума
Если x0 – точка локального экстремума дифференцируемой в точке x0
функции, то x0 — стационарная точка функции.
Доказательство следует из теоремы Ферма.
4.2. Локальный экстремум
81
Таким образом, для дифференцируемой функции точками, подозрительными на точки локального экстремума, являются лишь корни уравнения
f (x) = 0.
Рассмотрим непрерывную на интервале (a, b) функцию f. Допустим, что
f дифференцируема во всех точках интервала (a, b), кроме точки x = c.
Точка c может оказаться точкой локального экстремума. Например, функция y = |x| недифференцируема в точке x = 0 и имеет в ней локальный
минимум.
Таким образом, точками, подозрительными на локальный экстремум
непрерывной функции, являются стационарные точки и точки, в которых
функция недифференцируема.
Для исследования точек, подозрительных на локальный экстремум, используют следующее правило.
Первое правило
Пусть функция f (x) непрерывно дифференцируема на интервалах
(x0 − δ, x0 ), (x0 , x0 + δ) и непрерывна в точке x0 и пусть x0 является либо
стационарной точкой функции, либо точкой, в которой функция недифференцируема. Если при переходе через точку x0 производная f (x) меняет знак с минуса на плюс, то x0 — точка локального максимума, если с
плюса на минус, то x0 — точка локального минимума. Если при переходе
через x0 производная f (x) не меняет знак, то x0 не является точкой
экстремума.
Доказательство для локального максимума. На интервале (x0 − δ, x0 )
функция возрастает, а на (x0 , x0 + δ) убывает, следовательно, x0 — точка
локального максимума. Следующие два правила применимы лишь для исследования стационарных точек функции.
Второе правило
Пусть функция f (x) дважды непрерывно дифференцируема в некоторой
окрестности стационарной точки x0 . Тогда, если f (x0 ) > 0, то x0 —
точка локального минимума, если f (x0 ) < 0, то x0 — точка локального
максимума.
Доказательство для локального максимума. По формуле Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа имеем
f (x) = f (x0 ) +
f (x0 )
f (x0 + θ(x − x0 ))
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 ,
1!
2!
f (x0 ) = 0,
f (x0 ) < 0,
0 < θ < 1.
82
Глава 4. Исследование функции с помощью производных
На основании теоремы о стабилизации знака существует δ > 0, что
f (x) < 0 ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), следовательно, f (x0 + θ(x − x0 )) < 0 ∀x ∈
∈ (x0 − δ, x0 + δ). Таким образом,
f (x) − f (x0 ) =
f (x0 + θ(x − x0 ))
(x − x0 )2 ⩽ 0 ⇒
2!
⇒ f (x) ⩽ f (x0 ) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Третье правило
Пусть функция f (x) n раз непрерывно дифференцируема в некоторой
окрестности точки x0 и f (x0 ) = f (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0,
f (n) (x0 ) = 0. Тогда, если n— четное и f (n) (x0 ) > 0, то x0 — точка локального минимума; если n— четное и f (n) (x0 ) < 0, то x0 — точка локального
максимума; если n— нечетное, то x0 не является точкой локального экстремума.
Доказательство. По формуле Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа
f (n) (x0 + θ(x − x0 )
(x − x0 )n .
f (x) = f (x0 )) +
n!
Если n — четное и f (n) (x0 ) > 0, то по теореме о стабилизации знака
существует δ > 0 такое, что f (n) (x) > 0 ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Отсюда
f (n) (x0 + θ(x − x0 )) > 0, следовательно, f (x) ⩾ f (x0 ) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ),
x0 — точка локального минимума.
Если n — четное и f (n) (x0 ) < 0, то исследование точки x0 аналогично
предыдущему случаю.
Если n — нечетное и f (n) (x0 ) = 0 (пусть для определенности f (n) (x0 ) >
> 0), то существует δ > 0 такое, что f (x) < f (x0 ) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 ), f (x) >
> f (x0 ) ∀x ∈ (x0 , x0 + δ), следовательно, x0 не является точкой локального
экстремума. 4.3. Выпуклая функция
Функцию f : |a, b| → R называют:
— в ы п у к л о й на промежутке |a, b|, если ∀ x0 , x1 ∈ |a, b|, ∀τ ∈ (0, 1)
выполняется неравенство
f (x0 + τ(x1 − x0 )) ⩽ f (x0 ) + τ(f (x1 ) − f (x0 ));
(4.1)
— с т р о г о в ы п у к л о й, если ∀ x0 , x1 ∈ |a, b|, x0 = x1 , ∀τ ∈ (0, 1)
f (x0 + τ(x1 − x0 )) < f (x0 ) + τ(f (x1 ) − f (x0 )).
(4.2)
4.3. Выпуклая функция
83
Аналогично определяют в о г н у т ы е и с т р о г о в о г н у т ы е функции.
Функцию f называют:
— вогнутой, если
f (x0 + τ(x1 − x0 )) ⩾ f (x0 ) + τ(f (x1 ) − f (x0 ))
∀x0 , x1 ∈ |a, b|,
∀τ ∈ (0, 1);
— строго вогнутой, если
f (x0 + τ(x1 − x0 )) > f (x0 ) + τ(f (x1 ) − f (x0 ))
∀x0 , x1 ∈ |a, b|,
x 0 = x1 ,
∀τ ∈ (0, 1).
Приведем геометрическую интерпретацию данного определения. Когда τ
пробегает интервал (0, 1), то точка xτ = x0 + τ(x1 − x0 ) пробегает интервал
с концами x0 и x1 . Пусть (xτ , yτ ) — точка, лежащая на секущей к графику
функции, проходящей через точки (x0 , f (x0 )) и (x1 , f (x1 )). Функция выпукла, если f (xτ ) ⩽ yτ для любых x0 , x1 ∈ (a, b) и τ ∈ (0, 1). Это означает, что
часть графика выпуклой функции, находящаяся между точками пересечения
графика и любой секущей, лежит ниже этой секущей (рис. 4.4).
Из соотношения (4.1) в предположении, что x0 < x1 , следует
f (xτ ) − f (x0 ) ⩽ τ(f (x1 ) − f (x0 )),
f (x1 ) − f (xτ ) ⩾ (1 − τ)(f (x1 ) − f (x0 )),
где
τ=
Отсюда
x τ − x0
,
x 1 − x0
1−τ=
x1 − xτ
.
x1 − x0
f (xτ ) − f (x0 ) f (x1 ) − f (x0 )
⩽
,
xτ − x0
x1 − x0
(4.3)
f (x1 ) − f (xτ ) f (x1 ) − f (x0 )
⩾
.
x1 − xτ
x1 − x0
(4.4)
Обозначим через k(M M ) угловой коэффициент прямой, проходящей
через точки M и M . Возьмем три точки M1 (x1 , f (x1 )), M2 (x2 , f (x2 )),
M3 (x3 , f (x3 )), лежащие на графике функции f. Из неравенств (4.3), (4.4)
следует, что для выпуклой функции (рис. 4.5)
k(M1 M2 ) ⩽ k(M1 M3 ) ⩽ k(M2 M3 ).
(4.5)
84
Глава 4. Исследование функции с помощью производных
Рис. 4.4. График выпуклой
функции
Рис. 4.5. Геометрический смысл
неравенства (4.5)
Критерий выпуклости дифференцируемой функции
Пусть f дифференцируема на |a, b|. Для выпуклости f на |a, b| необходимо
и достаточно, чтобы производная f (x) была возрастающей функцией на
интервале (a, b).
Доказательство. Необходимость. Пусть x1 , x2 , x3 ∈ (a, b) : x1 < x2 <
< x3 . В неравенствах (4.5) устремим сначала x2 к x1 , а затем x2 к x3 ,
получим
f (x1 ) ⩽ k(M1 M3 ) ⩽ f (x3 ).
Достаточность. Используя формулу Лагранжа, для любых x0 , x1 : x0 <
< x1 , для любого τ ∈ (0, 1) имеем
f (xτ ) − f (x0 ) = f (c1 )(xτ − x0 ) = f (c1 )τ(x1 − x0 ),
f (x1 ) − f (xτ ) = f (c2 )(x1 − xτ ) = f (c2 )(1 − τ)(x1 − x0 ),
a < c1 < c2 < b,
f (c1 ) ⩽ f (c2 ),
τ(f (x1 ) − f (xτ )) ⩾ (1 − τ)(f (xτ ) − f (x0 )),
f (xτ ) ⩽ f (x0 ) + τ(f (x1 ) − f (x0 )). Критерий выпуклости дважды дифференцируемой функции
Пусть f дважды дифференцируема на |a, b|. Для выпуклости f на |a, b|
необходимо и достаточно, чтобы
f (x) ⩾ 0 ∀x ∈ (a, b).
4.4. Точка перегиба
85
Доказательство вытекает из критерия выпуклости дифференцируемой
функции и из критерия монотонности. Критерий строгой выпуклости дважды дифференцируемой
функции
Пусть f дважды дифференцируема на |a, b|. Для строгой выпуклости f
на |a, b| необходимо и достаточно, чтобы
f (x) ⩾ 0 ∀x ∈ (a, b),
причем вторая производная f (x) не обращается в нуль ни на одном интервале (α, β) из |a, b| (доказать).
Если y = f (x) — вогнутая функция, то y = −f (x) — выпуклая. Отсюда
и из критерия выпуклости дважды дифференцируемой функции вытекает
следующий критерий.
Критерий вогнутости дважды дифференцируемой функции
Пусть f дважды дифференцируема на |a, b|. Для вогнутости f на |a, b|
необходимо и достаточно, чтобы f (x) ⩽ 0 ∀x ∈ (a, b).
4.4. Точка перегиба
Точку x0 называют т о ч к о й п е р е г и б а функции f : (x0 − δ, x0 + δ) →
→ R, если f имеет производную в точке x0 (конечную или бесконечную
определенного знака) и f выпукла на одном из интервалов (x0 − δ, x0 ),
(x0 , x0 + δ) и вогнута на другом.
Необходимое условие перегиба
Если функция f : (x0 −δ, x0 +δ) → R дважды непрерывно дифференцируема
и x0 — точка перегиба, то f (x0 ) = 0.
Доказательство. Допустим противное f (x0 ) = 0. Пусть для определенности f (x0 ) > 0. По теореме о стабилизации знака ∃δ1 , 0 < δ1 ⩽ δ, ∀x ∈
∈ (x0 − δ1 , x0 + δ1 ) ⇒ f (x) > 0. Согласно критерию строгой выпуклости,
f (x) строго выпукла на интервале (x0 − δ1 , x0 + δ1 ), что противоречит определению точки перегиба. Таким образом, подозрительными на точки перегиба для дважды непрерывно дифференцируемой функции f : (a, b) → R являются лишь точки,
удовлетворяющие уравнению f (x) = 0. Корни этого уравнения называют
точками с п р я м л е н и я функции f.
Рассмотрим функцию f, непрерывную на интервале (x0 − δ, x0 + δ) и
дифференцируемую во всех точках этого интервала, кроме точки x0 . Если f (x0 ) = +∞ или f (x0 ) = −∞, то точка x0 может оказаться точкой
перегиба.
86
Глава 4. Исследование функции с помощью производных
√
Пример 4.3. Для функции y = 1+ 3 x − 1 точка x = 1 является точкой
перегиба, в которой y (0) = +∞ (рис. 4.6)
Рассмотрим теперь функцию f, дифференцируемую на интервале
(x0 − δ, x0 + δ), но которая не имеет второй производной в точке x0 . Точка
x0 может оказаться точкой перегиба.
Пример 4.4. Для функции
x2 , x ⩾ 0,
y=
x5 , x < 0,
y =
2, x > 0,
20x3 , x < 0,
точка x = 0 является точкой перегиба, в которой функция не имеет второй
производной (рис. 4.7).
Рис. 4.6. x = 1 — точка перегиба,
в которой f (x) = +∞
Рис. 4.7. x = 0 — точка перегиба,
в которой функция не является
дважды дифференцируемой
Таким образом, точками, подозрительными на точки перегиба, являются
корни уравнения f (x) = 0; точки, в которых функция непрерывна и f (x) =
= +∞ или f (x) = −∞; точки, в которых функция f дифференцируема,
но не является дважды дифференцируемой.
Для исследования точек, подозрительных на точки перегиба, используют
следующее правило.
Первое правило
Пусть x0 — точка, подозрительная на точку перегиба для дважды непрерывно дифференцируемой на интервалах (x0 − δ, x0 ), (x0 , x0 + δ), δ > 0,
функции f. Если при переходе через точку x0 вторая производная f (x)
меняет знак, то x0 — точка перегиба. Если при переходе через точку x0
вторая производная не меняет знак, то x0 не является точкой перегиба.
4.5. Глобальный экстремум
87
Доказательство вытекает из критериев выпуклости и вогнутости дважды дифференцируемой функции. Следующие два правила применимы лишь для исследования точек спрямления функции.
Второе правило
Если функция f трижды непрерывно дифференцируема на интервале
(x0 − δ, x0 + δ), δ > 0, и f (x0 ) = 0, f (x0 ) = 0, то точка спрямления
x0 является точкой перегиба.
Доказательство для случая f (x0 ) > 0. По теореме о стабилизации
знака ∃δ1 : 0 < δ1 ⩽ δ, ∀x ∈ (x0 − δ1 , x0 + δ1 ) ⇒ f (x) > 0. На основании
критерия строгой монотонности вторая производная строго возрастает и обращается в нуль в точке x0 , значит f (x) меняет знак при переходе через
точку x0 . По первому правилу x0 — точка перегиба. Третье правило
Пусть функция f — n раз непрерывно дифференцируема на интервале
(x0 − δ, x0 + δ), δ > 0, и
f (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0,
f (n) (x0 ) = 0.
Тогда при нечетном n точка спрямления x0 — точка перегиба, а при четном n x0 не является точкой перегиба.
Доказательство. Представим f (x) по формуле Тейлора с остаточным
членом в форме Лагранжа
f (x) =
f (n) (c)
(x − x0 )n−2 .
(n − 2)!
(4.6)
Если n — четное, то из формулы (4.6) следует, что f (x) не меняет знак в
некоторой окрестности точки x0 и по первому правилу в точке x0 перегиба нет. Если n — нечетное, то f (x) меняет знак при переходе через точку
x0 , так как меняет знак функция (x − x0 )n−2 , что обеспечивает перегиб по
первому правилу. 4.5. Глобальный экстремум
Рассмотрим функцию f : X → R. Пусть sup f (x) = M,
x∈X
inf f (x) = m,
x∈X
−∞ < M ⩽ +∞, −∞ ⩽ m < +∞, — экстремальные значения для f на множестве X. Если существует точка x̄ ∈ X такая, что f (x̄) = M, то x̄ называют
88
Глава 4. Исследование функции с помощью производных
точкой г л о б а л ь н о г о м а к с и м у м а и пишут M = max f (x). Если сущеx∈X
ствует x ∈ X такая, что f (x) = m, то x называют точкой г л о б а л ь н о г о
м и н и м у м а и пишут m = min f (x).
x∈X
Укажем способ нахождения глобальных экстремумов непрерывной функции f в двух случаях: 1) X — отрезок [a, b], 2) X — интервал (a, b).
В первом случае, по теореме Вейерштрасса, точки глобального экстремума (максимума и минимума) заведомо существуют. Если точка глобального экстремума — внутренняя точка отрезка [a, b], то она является и точкой локального экстремума. Допустим, что f имеет конечное число точек ξ1 , . . . , ξl , подозрительных на точки локального экстремума, принадлежащих интервалу (a, b). Для выявления точек глобального экстремума
(рис. 4.8) достаточно найти значения функции f (ξ1 ), . . . , f (ξl ) и сравнить
их со значениями f (a) и f (b)
M = max{f (ξ1 ), . . . , f (ξl ), f (a), f (b)},
m = min{f (ξ1 ), . . . , f (ξl ), f (a), f (b)}.
Во втором случае допустим, что f имеет конечное число точек
ξ1 , . . . , ξl , подозрительных на точки локального экстремума, принадлежащих интервалу (a, b) и существуют (конечные или бесконечные) пределы
lim f (x) = f (a + 0), lim f (x) = f (b − 0). Вычислим значения функции
x→a+0
f (ξ1 ), . . . , f (ξl ). Если
x→b−0
max{f (ξ1 ), . . . , f (ξl )} = f (ξi ) ⩾ max{f (a + 0), f (b − 0)},
то ξi — точка глобального максимума, если max{f (ξ1 ), . . . , f (ξl )} <
< max{f (a + 0), f (b − 0)}, то f не достигает глобального максимума на (a, b)
и sup f (x) = max{f (a + 0), f (b − 0)}. Аналогично находятся точки глобальx∈X
ного минимума (рис. 4.9).
Рис. 4.8. M = f (ξ1 ) — глобальный максимум, m = f (a) — глобальный минимум
Рис. 4.9. M = f (a + 0) — глобальный максимум, m = f (ξ3 ) — глобальный минимум
4.6. Асимптоты
89
Теорема о глобальном минимуме выпуклой функции
Если f — дифференцируемая выпуклая (вогнутая) на интервале (a, b)
функция и x0 ∈ (a, b)— ее стационарная точка, то x0 — точка глобального
минимума (максимума), т. е. f (x0 ) = min f (x) (f (x0 ) = max f (x)).
x∈(a,b)
x∈(a,b)
Доказательство для выпуклой функции. По критерию выпуклости дифференцируемой функции (п. 4.3) f (x) — возрастающая функция, кроме того, по условию f (x0 ) = 0, следовательно, f (x) ⩽ 0 на интервале (a, x0 ) и
f (x) ⩾ 0 на (x0 , b). Согласно критерию монотонности (п. 4.1), функция f (x)
убывает на интервале (a, x0 ) и возрастает на (x0 , b). Следовательно, x0 —
точка глобального минимума. Задача. Из прямоугольного листа жести размером 6 × 5, изготовить
ящик наибольшего объема в форме параллелепипеда.
Решение. Если x — высота ящика, то его объем
V (x) = (6 − 2x)(5 − 2x)x,
0 ⩽ x ⩽ 5/2, V (x) = 12x2 − 44x + 30,
√
√
11 − 31
11 + 31
, x2 =
∈
/ [0, 5/2],
V (x) = 0, x1 =
6
6
11 − √31 > 0, V (0) = 0, V (5/2) = 0.
V
6
√
11 − 31
.
Ответ: x =
6
4.6. Асимптоты
Рассмотрим функцию f, определенную на интервале (a, d) и c ∈ (a, d).
Если lim f (x) = ∞, то прямую x = c называют л е в о с т о р о н н е й
x→c−0
в е р т и к а л ь н о й а с и м п т о т о й графика функции f. Если
lim f (x) =
x→c+0
= ∞ — п р а в о с т о р о н н е й в е р т и к а л ь н о й а с и м п т о т о й (рис. 4.10).
Если lim f (x) = ∞ — д в у х с т о р о н н е й в е р т и к а л ь н о й а с и м п т о т о й.
x→c
Если d = +∞ и существуют числа k и b такие, что
lim (f (x) − kx − b) = 0,
x→+∞
(4.7)
то прямую y = kx + b называют н а к л о н н о й а с и м п т о т о й графика при
x → +∞ (рис. 4.11). Аналогично определяют наклонную асимптоту при x →
→ −∞. Наклонные асимптоты — прямые, к которым приближается график
функции при x → +∞ или при x → −∞.
90
Глава 4. Исследование функции с помощью производных
Рис. 4.10. Правосторонняя
вертикальная асимптота
Рис. 4.11. Наклонная асимптота
Теорема о наклонной асимптоте
График функции f имеет наклонную асимптоту при x → +∞ (x → −∞)
тогда и только тогда, когда найдется число k такое, что существует
(f (x) − kx). В этом случае
конечный предел
lim
x→+∞(x→−∞)
k=
f (x)
,
x→+∞(x→−∞) x
lim
b=
lim
x→+∞(x→−∞)
(f (x) − kx).
Доказательство. Необходимость. Условие (4.7) эквивалентно равенству
lim (f (x) − kx) = b.
x→+∞
Достаточность. Пусть существует число k такое, что
= b ∈ R. Тогда
lim (f (x) − kx) =
x→+∞
lim (f (x) − kx − b) = 0 и, следовательно, y = kx + b —
x→+∞
наклонная асимптота. Так как f (x) − kx − b
=
x→+∞
o(1), то k =
b
f (x)
− −
x
x
f (x)
o(1)
,
k = lim
.
−
x→+∞ x
x
Для нахождения коэффициентов k и b асимптоты y = kx + b удобно
использовать правило Лопиталя.
Пример 4.5. Найдем наклонную асимптоту при x → +∞ графика
функции
x2 − x + 1
.
y=
x
Так как
x2 − x + 1
x2 − x + 1
−
x
= −1,
lim
=
1,
lim
x→+∞
x→+∞
x2
x
то по теореме о наклонной асимптоте прямая y = x − 1 — наклонная асимптота при x → +∞ графика рассматриваемой функции.
4.7. Построение графиков функций
91
4.7. Построение графиков функций
Для построения графика функции предварительно исследуют свойства
функции по следующему плану.
1) Определяют множество задания функции. Выделяют участки непрерывности. Определяют характер разрывов. Находят вертикальные асимптоты.
2) Если функция f периодическая, то определяют ее период T и дальнейшие построения проводят на отрезке [0, T ]. Полный график получают
периодическим продолжением.
3) Если функция f четная или нечетная, то строят график лишь на промежутке [0, ∞). Для построения всего графика четной функции достаточно
построенный график отразить симметрично оси 0y, в случае нечетной функции — относительно начала координат.
4) Находят наклонные асимптоты, определяя их параметры по формулам
k=
lim
x→+∞(−∞)
f (x)
,
x
b=
lim
(f (x) − kx).
x→+∞(−∞)
5) Вычисляют производную f (x). Находят участки монотонности, решая
неравенства f (x) ⩽ 0 и f (x) ⩾ 0. Находят точки, подозрительные на точки
локального экстремума, и исследуют их на экстремум по одному из трех
правил, рассмотренных в п. 4.2.
6) Вычисляют вторую производную f (x). Находят участки выпуклости
и вогнутости, решая неравенства f (x) ⩾ 0 и f (x) ⩽ 0. Находят точки, подозрительные на точки перегиба, и исследуют их по одному из трех правил,
рассмотренных в п. 4.4.
7) Выделяют другие свойства функции: точки пересечения с осями координат и т. д.
√
Пример 4.6. Построим график функции f (x) = 3 x3 + x2 .
Функция f (x) определена
и непрерывна на R. Находим наклонные
√
3
3
2
√
x +x
= 1, b =
lim
( 3 x3 + x2 − x) = 1/3.
асимптоты:
lim
x
x→+∞(−∞)
x→+∞(−∞)
Прямая y = x + 1/3 — наклонная асимптота при x → +∞ и при x → −∞.
Вычисляем первую производную
2
1
1
f (x) = (x + 1)− 3 x− 3 (3x + 2), x = 0, x = −1,
3
f+ (0) =
3
lim
Δx→+0
(Δx)3 + (Δx)2
= +∞, f− (0) = −∞,
Δx
92
Глава 4. Исследование функции с помощью производных
f (−1) = lim
Δx→0
3
(−1 + Δx)3 + (−1 + Δx)2
= +∞.
Δx
Стационарная точка функции x = −2/3. При переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, x = − 23 — точка локаль√
ного максимума, причем f (−2/3) = 3 4/3. В точках x = 0, x = −1 функция
недифференцируема. Они также могут быть точками локального экстремума. При переходе через точку x = 0 производная меняет знак с «–» на «+»,
следовательно, x = 0 — точка локального минимума, f (0) = 0. При переходе через точку x = −1 производная не меняет знак, x = −1 не является
точкой локального экстремума.
Рис. 4.12
5
4
Вычисляем вторую производную f (x) = −2/9 (x + 1)− 3 x− 3 , x = 0,
x = −1. На интервале (−∞, −1) f (x) > 0, поэтому функция выпукла.
На интервалах (−1, 0) (0, +∞) f (x) < 0, функция вогнута. Точка перегиба x = −1 . Точки пересечения с осью 0x : x = −1, x = 0. График функции
изображен на рис. 4.12.
ГЛАВА 5
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
5.1. Первообразная. Неопределенный интеграл
П е р в о о б р а з н о й для функции f (x) на промежутке |a, b| называют
такую функцию F (x), что
F (x) = f (x) ∀x ∈ |a, b|.
Теорема об общем виде первообразной
Если F (x) первообразная для f (x) на |a, b|, то функция Φ(x) также будет
первообразной тогда и только тогда, когда Φ(x) = F (x) + C ∀x ∈ |a, b|,
где C — постоянная. Другими словами, выражение F (x) + C, где C —
произвольная постоянная, является общим видом первообразной для f (x)
на |a, b|.
Доказательство сразу следует из теоремы о функциях с совпадающими
производными (п. 3.5). Совокупность всех первообразных для f (x) на промежутке |a, b| называют н е о п р е д е л е н н ы м и н т е г р а л о м от функции f (x) на |a, b|
и обозначают f (x)dx.
Если F (x) первообразная для f (x), то,
согласно теореме об общем виде
первообразной, неопределенный интеграл f (x)dx равен F (x) + C, где C —
произвольная постоянная.
Операция дифференцирования обратна операции неопределенного интегрирования
f (x)dx = f (x).
Операция неопределенного интегрирования обратна операции дифференцирования в том смысле, что
F (x)dx = F (x) + C.
94
Глава 5. Неопределенный интеграл
Если для функций f (x) и g(x) существуют первообразные на промежутке |a, b|, то ∀α, β ∈ R, |α| + |β| = 0,
(αf (x) + βg(x))dx = α f (x)dx + β f (x)dx ∀x ∈ |a, b|.
(5.1)
В последней формуле в правой и левой части имеются произвольные постоянные. Здесь и далее считаем, что два выражения, содержащие произвольные постоянные, равны, если для каждых фиксированных значений произвольных постоянных в первом выражении найдутся значения произвольных
постоянных во втором такие, что эти выражения принимают равные значения при всех x из рассматриваемого промежутка и, наоборот, для каждых
фиксированных значений произвольных постоянных во втором выражении
найдутся значения произвольных постоянных в первом такие, что выражения принимают равные значения при всех рассматриваемых x.
Таблица неопределенных интегралов
Непосредственной проверкой с помощью формул, приведенных в таблице
производных, устанавливаются следующие равенства:
dx
π
xα+1
+ C, α = −1,
= tg x + C, x = + πn,
xα dx =
2
α+1
cos x
2
1
x
x
dx = ctg x + C, x = πn,
e dx = e + C,
sin2 x
dx
dx
= ln |x| + C, x = 0,
= arctg x + C,
x
x2 + 1
sin xdx = − cos x + C,
ch xdx = sh x + C,
cos xdx = sin x + C,
sh xdx = ch x + C,
dx
= th x + C,
ch2 x
dx
√
= arcsin x + C = − arccos x + C, |x| < 1,
1 − x2
√
dx
√
= arcsh x + C = ln(x + x2 + 1) + C,
x2 + 1
√
dx
√
= arcch x + C = ln(x + x2 − 1) + C, x > 1.
x2 − 1
5.2. Методы вычисления неопределенных интегралов
1. Введение множителя под знак дифференциала
Предположим, что подынтегральную функцию f (x) можно представить
в виде f (x) = g(u(x))u (x) и возможно найти первообразную G(u) для функции g(u). Тогда G(u(x)) = g(u(x))u (x) = f (x), следовательно,
f (x)dx = G(u(x)) + C.
5.2. Методы вычисления неопределенных интегралов
95
На практике
f (x)dx = g(u(x))u (x)dx = g(u)du = G(u) + C = G(u(x)) + C.
Пример 5.1
arctg2 x
arctg x
+ C.
dx
=
arctg
x
d(arctg
x)
=
1 + x2
2
2. Замена переменной
Пусть x = ϕ(t) — непрерывно дифференцируемая функция, ϕ (t) = 0,
обратная к x = ϕ(t) и
и
f (ϕ(t))ϕ (t) = g(t). Если t = ψ(x) — функция
g(t)dt = G(t) + C, то (G(ψ(x))) = g(ψ(x))ψ (x) = f (x), следовательно,
f (x)dx = G(ψ(x)) + C.
На практике
f (x)dx = [x = ϕ(t), t = ψ(x)] = f (ϕ(t))ϕ (t)dt =
=
g(t)dt = G(t) + C = G(ψ(x)) + C.
Пример 5.2
1
2
2
1 − x dx = [x = sin t, t = arcsin x] = cos tdt =
(1 + cos 2t)dt =
2
1
1
1
1
1 1
= t+ sin 2t+C = arcsin x+ sin(2 arcsin x)+C = arcsin x+ x
2 4
2
4
2
2
1 − x2 +C
3. Интегрирование по частям
Рассмотрим две дифференцируемые функции u(x) и v(x). Поскольку
(uv) = u v + uv , то
(u(x)v(x)) dx = u (x)v(x)dx + u(x)v (x)dx
и, следовательно,
u(x)dv(x) = u(x)v(x) −
v(x)du(x).
(5.2)
Формулу (5.2) называют ф о р м у л о й и н т е г р и р о в а н и я п о ч а с т я м
для неопределенного интеграла.
96
Глава 5. Неопределенный интеграл
На практике
g(x)h(x)dx = [u = g(x), du = g (x)dx, h(x)dx = dv, v = H(x)] =
= g(x)H(x) −
Пример 5.3
ln x = u, du = dx/x,
1.
x ln xdx =
xdx = dv, v = x2 /2
H(x)g (x)dx.
x2 ln x
=
−
2
x2
x2 ln x x2
dx =
− + C;
2x
2
4
arctg x = u, du = dx/1 + x2 ,
=
dx = dv, v = x
xdx
1
1
d(1 + x2 )
= xarctg x −
=
xarctg
x
−
= xarctg x − ln(1 + x2 ) + C;
1 + x2
2
1 + x2
2
x = u, du = dx,
x
x
= xe − ex dx = xex − ex + C;
3.
xe dx =
ex dx = dv, v = ex
eax = u, du = aeax dx,
4. I = eax sin bxdx =
=
sin bxdx = dv, v = −cos bx/b
eax cos bx a
+
=−
eax cos bxdx =
b
b
2.
xarctg xdx =
eax cos bx
eax = u, du = aeax dx,
+
=−
cos bxdx = dv, v = sin bx/b
b
a2
a sin bx 1
a eax sin bx a
−
cos
bx
− 2 I,
+
−
eax sin bxdx = eax
b
b
b
b2
b
b
a
b
sin bx − 2
cos bx + C;
I = eax 2
2
a +b
a + b2
x2 dx
dx
(1 + x2 − x2 )dx
dx
−
5.
=
=
=
(x2 + 1)2
(x2 + 1)2
x2 + 1
(x2 + 1)2
x = u, du = dx,
xdx
1
=
=
= dv, v = −
(x2 + 1)2
2(x2 + 1)
x
1
dx
1
x
= arctg x +
−
= arctg x +
+ C.
2(x2 + 1) 2
x2 + 1
2
2(x2 + 1)
=
5.3. Разложение рациональной функции
97
5.3. Разложение рациональной функции
на простейшие дроби
Многочлены. Функцию вида
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 ,
an = 0,
ai ∈ R,
i = 0, 1, . . . , n,
называют м н о г о ч л е н о м степени n. Приведем свойства многочленов, используемые нами в дальнейшем. Их доказательства приводятся в курсе алгебры.
1) Для совпадения двух многочленов необходимо и достаточно, чтобы они
имели одинаковые степени и равные соответствующие коэффициенты.
2) Всякий многочлен ненулевой степени имеет, по крайней мере, один
корень, вообще говоря, комплексный.
3) Для любых двух многочленов
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 ,
Qm (x) = bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b0 , m < n,
существуют единственный многочлен Sn−m (x) степени n − m и единственный многочлен Rr (x) степени r < m такие, что
Pn (x) = Qm (x)Sn−m (x) + Rr (x).
4) Многочлен P (x) представим в виде P (x) = (x−α)S(x) в том и только
том случае, если α — корень многочлена P (x).
5) Если комплексное число α + iβ является корнем многочлена, то и
сопряженное число α − iβ также является его корнем.
6) Всякий многочлен Pn (x) ненулевой степени может быть, и притом
единственным способом с точностью до перестановки сомножителей, представлен в виде
Pn (x) = an (x − α1 )k1 · · · (x − αs )ks (x2 + p1 x + q1 )l1 · · · (x2 + pt x + qt )lt ,
где αj , j = 1, . . . , s, — вещественные корни, kj — их кратности; x2 + pj x +
+ qj = (x − αj − iβj )(x − αj + iβj ), βj = 0, x = αj + iβj , x = αj − iβj , j =
= 1, . . . , t, — комплексные корни, lj — их кратности; k1 + . . . + kj + 2l1 + . . . +
+ 2lt = n.
Q(x)
, где Q(x) и P (x) — многочлены, называют
Функцию вида
P (x)
р а ц и о н а л ь н о й функцией. Можем считать, что старший коэффициент
многочлена P (x) равен 1. Рациональные функции видов
A
,
(x − α)k
M + Nx
(x2 + px + q)l
, p2 − 4q < 0, A, N, M ∈ R, k, l ∈ N,
98
Глава 5. Неопределенный интеграл
называют п р о с т е й ш и м и д р о б я м и. Говорят, что рациональная функция
п р а в и л ь н а я, если степень многочлена Q(x) меньше степени P (x).
Теорема о разложении рациональной функции
Каждую правильную рациональную функцию можно представить в виде
суммы простейших дробей.
Q(x)
Доказательство. Разложим знаменатель рациональной функции
P (x)
на множители
P (x) = (x−α1 )k1 · · · (x−αs )ks (x2 +p1 x+q1 )l1 · · · (x2 +pt x+qt )lt = (x−α1 )k1 P̄ (x).
Представим рациональную функцию в виде
A1
Q(x)
A1
Q(x) − A1 P̄ (x)
Q(x)
A1
=
+
=
+
−
k
k
k
k
P (x)
(x − α1 ) 1 (x − α1 ) 1 P̄ (x) (x − α1 ) 1
(x − α1 ) 1 (x − α1 )k1 P̄ (x)
Если в последнем выражении в качестве A1 взять A1 = Q(α1 )/P̄ (α1 ), то
x = α1 — корень многочлена Q(x) − A1 P̄ (x). Поэтому
Q(x) − A1 P̄ (x) = (x − α1 )Q̄(x),
A1
Q(x)
Q̄(x)
=
+
.
k
1
P (x)
(x − α1 )
(x − α1 )k1 −1 P̄ (x)
Далее, применяя те же рассуждения к рациональной функции
Q̄(x)
A2
. Повторяем такие действия до
, выделим дробь
k−1
(x − α1 )k−1
(x − α1 ) P̄ (x)
тех пор, пока знаменатель рациональной функции имеет линейные множители. В результате получаем
1
s
Ai
Bi
Q̃(x)
Q(x) =
+
·
·
·
+
+
,
i
i
P (x)
(x − α1 )
(x − αs )
P̃ (x)
k
k
i=1
i=1
где P̃ (x) = (x2 + p1 x + q1 )l1 · · · (x2 + pt x + qt )lt .
Q̃(x)
Представим рациональную функцию
в виде
P̃ (x)
Q̃(x)
M1 + N1 x
M1 + N1 x
Q̃(x)
+
=
−
= 2
l
2
(x + p1 x + q1 ) 1
P̃ (x)
(x2 + p1 x + q1 )l1 P(x) (x + p1 x + q1 )l1
=
Q̃(x) − (M1 + N1 x)P(x)
M1 + N 1 x
+
,
(x2 + p1 x + q1 )l1
(x2 + p1 x + q1 )l1 P(x)
где P(α1 + iβ1 ) = 0, β1 = 0.
5.4. Вычисление коэффициентов разложения
99
Выберем M1 и N1 таким образом, чтобы многочлен T (x) = Q̃(x)−(M1 +
+ N1 x)P(x) имел корень α1 + iβ1 , т. е. так, чтобы выполнялось равенство
Q̃(α1 + iβ1 )
Q̃(α1 + iβ1 )
M1 + N1 (α1 + iβ1 ) =
. Пусть
= c + id. Если N1 =
P (α1 + iβ1 )
P(α1 + iβ1 )
dα1
d
, M1 = c−
, то M1 +N1 (α1 +iβ1 ) = c+id. При указанных значениях
=
β1
β1
постоянных M1 , N1 многочлен T (x) делится на x − α1 − iβ1 , но тогда он
делится и на x2 + p1 x + q1 , поэтому T (x) = (x2 + p1 x + q1 )Q(x),
Q(x)
Q̃(x)
M1 + N1 x
+
.
= 2
l
(x + p1 x + q1 ) 1
P̃ (x)
(x2 + p1 x + q1 )l1 −1 P (x)
Описанный
процесс
применим
к
рациональной
функции
M2 + N2 x
Q(x)
и т. д. В
и выделим дробь
(x2 + p1 x + q1 )l1 −1
(x2 + p1 x + q1 )l1 −1 P(x)
результате получаем разложение рациональной функции на простейшие
дроби
k1
ks
Ai
Bi
Q(x) =
+
.
.
.
+
+
i
P (x)
(x − α1 )
(x − αs )i
i=1
+
l1
j=1
i=1
Mj + Nj x
+ ... +
(x2 + p1 x + q1 )j
lt
j=1
K j + Lj x
.
(x2 + pt x + qt )j
(5.3)
5.4. Вычисление коэффициентов разложения
рациональной функции на простейшие дроби
Доказанная в п. 5.3 теорема о разложении рациональной функции на простейшие дроби позволяет применить для фактического разложения метод
Q(x)
неопределенных коэффициентов. Представим функцию
в виде (5.3) с
P (x)
неопределенными коэффициентами A1 , . . . , Bks , M1 , N1 , . . . , Klt , Llt . После
умножения равенства (5.3) на P (x) получаем два совпадающих многочлена
Q(x) = Q∗ (x).
(5.4)
Слева стоит многочлен Q(x) с известными коэффициентами, а справа — многочлен Q∗ (x), коэффициенты которого являются линейными комбинациями от A1 , . . . , Bks , M1 , N1 , . . . , Klt , Llt . Из (5.4), используя один
из описанных ниже методов, можно найти неизвестные коэффициенты
A1 , . . . , Bks , M1 , N1 , . . . , Klt , Llt .
100
Глава 5. Неопределенный интеграл
Способ соответствующих коэффициентов
Многочлены Q(x) и Q∗ (x) записывают по убывающим степеням x. Приравнивая коэффициенты Q(x) и Q∗ (x) при соответствующих степенях x, получают систему линейных уравнений относительно
A1 , . . . , Bks , M1 , N1 , . . . , Klt , Llt . Решая эту систему, находят искомые коэффициенты.
Пример 5.4
1
A
B
1
=
=
+
, 1 = A(x + 2) + B(x + 1),
x2 + 3x + 2
(x + 1)(x + 2)
x+1 x+2
(A + B)x + 2A + B = 1,
1
x2 + 3x + 2
A + B = 0,
A = 1, B = −1 :
2A + B = 1,
=
1
−1
+
.
x+1 x+2
Способ частных значений
Многочлены Q(x) и Q∗ (x) не переписываются по убывающим степеням
x, а сразу переменной x придаются подходящие конкретные значения, как
правило, корни многочлена P (x), и в результате получают систему линейных
уравнений для коэффициентов A1 , . . . , Bks , M1 , N1 , . . . , Klt , Llt .
Пример 5.5
x+2
A
D
E
x+2
B
= 2
= 2+ +
+
,
x2 (x2 − 1)
x (x + 1)(x − 1)
x
x
x−1 x+1
x + 2 = A(x − 1)(x + 1) + Bx(x − 1)(x + 1) + Dx2 (x + 1) + Ex2 (x − 1),
x = 0 ⇒ 2 = −A, A = −2, x = 1 ⇒ 3 = 2B, B = 3/2,
x = −1 ⇒ 1 = −2E, E = −1/2, x = 2 ⇒ 3 = 3A + 6B + 12D + 4E, D = 1/6 :
x+2
x2 (x2 − 1)
=
−2 3/2
1/6
−1/2
+
+
.
+
2
x
x
x−1 x+1
Способ домножения
При этом способе не переходят от тождества (5.3) к тождеству (5.4), а
умножают (5.3) последовательно на (x−α1 )k1 , . . . , (x2 +plt x+qlt )lt и полагают
каждый раз в получившихся равенствах x = α1 , . . . , x = αlt + iβlt , где αlt +
+ iβlt — корень многочлена x2 + plt x + qlt .
5.5. Интегрирование рациональных функций
101
Пример 5.6
x
A
B
D
=
+
+
.
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
x+1 x+2 x+3
Умножая последнее равенство поочередно на (x + 1), (x + 2), (x + 3) и
полагая соответственно x = −1, x = −2, x = −3, получаем A = −1/2, B =
= 2, D = −3/2 :
x
−1/2
2
−3/2
=
+
+
.
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
x+1 x+2 x+3
Пример 5.7
x
(x2 + 1)(x + 2)
=
Mx + N
A
+
.
2
x +1
x+2
Умножая поочередно на (x − i), (x + 2) и полагая соответственно x =
= i, x = −2, получаем i/2 + i = M i + N, N = 1/5, M = 2/5, A = 2/5 :
x
(x2 + 1)(x + 2)
=
2/5x + 1/5
2/5
+
.
2
x +1
x+2
5.5. Интегрирование рациональных функций
Рассмотрим сначала интегралы от простейших дробей.
A
A
1)
dx =
+ C, k > 1.
k
(x − α)
(1 − k)(x − α)k−1
A
dx = A ln |x − α| + C.
2)
x−α
N + Mx
N + Mx
x − p/2 = t,
3)
dx =
dx =
=
2
2
2
q − p2 /4 = a2 ,
x + px + q
(x + p/2) + q − p /4
N t + M + N p/2
d(t/a)
N
d(t2 + a2 )
M + N p/2
+
dt
=
=
=
2
2
2
t +a
a
(t/a) + 1
2
t2 + a 2
t
N
M + N p/2
arctg +
ln(t2 + a2 ) + C =
a
a
2
x + p/2 N
M + N p/2
arctg
+
ln(x2 + px + q) + C.
=
a
a
2
=
4)
N + Mx
dx =
2
(x + px + q)l
N t + M + N p/2
dt = [M1 = M + N p/2] =
(t2 + a2 )l
102
Глава 5. Неопределенный интеграл
=N
tdt
M1
+ 2
2
2
l
(t + a )
a
= u = t, du = dt,
tdt
(t2 + a2 )l
a2 + t2 − t2
dt =
(t2 + a2 )l
= dv, v =
1
1
=
2
2(1 − l) (t + a2 )l−1
M1
N
−
t
dt
M1 1
2(1 − l) 2a2 (1 − l)
+ 2 1+
,
=
2
2
l−1
2
a
2(1 − l)
(t + a )
(t + a2 )l−1
С помощью таких же преобразований интеграл
dt
(t2 + a2 )l−1
l > 1.
приводится
dt
. Повторяем этот прием до тех пор, пока
(t2 + a2 )l−2
не получим интеграл, рассмотренный в 3).
Перейдем теперь к вычислению неопределенного интеграла от произволь Q(x)
ной рациональной функции
dx.
P (x)
Если Q(x)/P (x) является неправильной рациональной функцией, то многочлен Q(x) представим в виде Q(x) = P (x)S(x) + R(x), где R(x) — многочлен, степень которого меньше степени P (x). Отсюда Q(x)/P (x) = S(x) +
+ R(x)/P (x), где R(x)/P (x) — правильная рациональная функция. Таким
образом, интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных рациональных функций и многочленов. Представляя правильную рациональную функцию в виде суммы простейших дробей, а затем
интегрируя каждую правильную дробь, мы найдем неопределенный интеграл
от любой рациональной функции, причем, как показано выше, он является
элементарной функцией.
в случае l > 2 к виду
5.6. Интегрирование иррациональных функций
В п. 5.5 был выделен широкий класс рациональных функций, которые обладают элементарной первообразной. В дальнейшем рассматриваются интегралы, вычисление которых сводится к интегрированию рациональных функций с помощью специальных подстановок.
Одночленом от двух переменных u и v называют выражение
Auk v m , k, m ∈ N0 , A ∈ R. Многочлен от двух переменных — конечная сумма
одночленов от двух переменных. Р а ц и о н а л ь н а я ф у н к ц и я о т д в у х
п е р е м е н н ы х — частное двух многочленов. Легко видеть, что арифметическая комбинация рациональных функций — снова рациональная функция,
так же как и композиция рациональных функций. В интегралах, рассматриваемых ниже, R(u, v) — рациональная функция от двух переменных.
5.6. Интегрирование иррациональных функций
1. Интеграл вида
+ |d| = 0.
Положим
ax + b n m
dx,
R x,
cx + d
n, m ∈ N, |a| + |c| = 0, |c| +
dtm − b
,
a − ctm
m(ad − cb)tm−1
dt, получим
(a − ctm )2
ax + b
= tm ,
cx + d
R
103
x=
dtm − b
, tn
a − ctm
dx =
m(ad − cb)tm−1
(a − ctm )2
dt.
Подынтегральная функция
интеграла — рациональная функция.
√
последнего
2. Интеграл вида R(x, ax2 + bx + c)dx, b2 − 4ac = 0.
Указанный интеграл рационализируется с помощью п о д с т а н о в о к
Э й л е р а:
I. a > 0,
√
ax2 + bx + c = x a + t (или
√
ax2 + bx + c = −x a + t),
√
√
2t(b − 2t a) − (t2 − c)2 a
t2 − c
√ , dx =
√
dt,
x=
b − 2t a
(b − 2t a)2
2
2t(b − 2t√a) − (t2 − c)2√a
t2 − c √
t −c
√ ,
√ a+t
√
dt,
R
b − 2t a b − 2t a
(b − 2t a)2
подынтегральная функция последнего интеграла — рациональная функция;
II. c > 0,
ax2 + bx + c =
√
c + xt (или
ax2 + bx + c =
√
c − xt),
√
b − 2t c
;
x= 2
t −a
III. b2 − 4ac > 0, x2 + bx + c = (x − λ1 )(x − λ2 ),
ax2 + bx + c = (x − λ1 )t, x =
λ2 − λ1 t
.
1−t
3. Интеграл
дифференциала xm (a + bxn )p dx.
mот биномиального
Интеграл x (a + bxn )p dx, m, n, p ∈ Q, a, b ∈ R, |a| = 0, |b| = 0,
сводится к интегралу от рациональной функции лишь в трех случаях:
m+1
m+1
— целое, в)
+ p — целое.
а) p — целое, б)
n
n
В случае
а) замена x = tr , где r — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n;
б) замена a + bxn = ts , где s — знаменатель числа p;
в) замена ax−n + b = ts , где s — знаменатель числа p.
104
Глава 5. Неопределенный интеграл
Пример 5.8
dx
1 m+1
√
+ p = 0, t = (1 + x−4 )1/4 ,
= m = 0, n = 4, p = − ,
4
4
4
n
1+x
t2 dt
=
x = (t4 − 1)−1/4 , dx = −t3 (t4 − 1)−5/4 dt =
1 − t4
1 1 t + 1 1
1 1
+
dt
=
ln =−
− arctg t + C, где t = (1 + x−4 )1/4 .
2
t2 − 1 t2 + 1
4
t−1
2
5.7. Интегрирование
рационально-тригонометрических функций
Рассмотрим интеграл вида
R(cos x, sin x)dx,
где R(u, v) — рациональная функция двух переменных. Синус и косинус рационально выражаются через тангенс половинного угла
sin x =
2t
,
1 + t2
cos x =
1 − t2
,
1 + t2
где t = tg
x
2
,
кроме того, x = 2arctg t, dx = 2dt/1 + t2 . Таким образом,
2t 2dt
1 − t2
,
= R1 (t)dt,
R(cos x, sin x)dx = R
1 + t2 1 + t2 1 + t2
где R1 (t) — рациональная функция. Таким образом, замена t = tg(x/2)
рационализирует рационально-тригонометрическую функцию R(cos x, sin x).
Во многих случаях при вычислении первообразной для рациональнотригонометрической функции удобно применять специальные замены:
а) если функция R удовлетворяет условию R(cos x, − sin x) =
= −R(cos x, sin x), то замена cos x = t;
б) R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x), sin x = t;
в) R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x), tg x = t.
Пример 5.9
x
2t
dt dx
=
= tg = t, sin x =
, x = 2arctg t, dx = 2
1.
2
sin x
2
1+t
1 + t2
x
dt
=
= ln tg + C;
t
2
5.7. Интегрирование рационально-тригонометрических функций
105
dx
t
1
= tg x = t, cos x = √
, sin x = √
,x=
2
cos4 x + sin4 x
1+t
1 + t2
1
d
t
−
2
tg 2x
1+t
1
dt
t
=
dt =
= √ arctg √ + C.
= arctg t, dx =
1 2
1 + t2
1 + t4
2
2
t−
+2
t
2.
Неберущиеся интегралы
Позже будет показано, что любая непрерывная на интервале I функция,
имеет первообразную, а значит, и неопределенный интеграл. Однако интеграл
от элементарной функции не обязательно является элементарной функцией.
Например,
2
1) e−x dx — интеграл вероятности;
sin x
dx — интегральный синус;
2)
x
dx
3)
— интегральный логарифм;
ln x
4) sin x2 dx и cos x2 dx — интегралы Френеля;
dx
, 0 < k < 1, — эллиптический интеграл первого
5)
2
(1 − x )(1 − k 2 x2 )
рода в форме Лежандра.
Неэлементарные интегралы от элементарных функций условно называют
неберущимися интегралами.
ГЛАВА 6
ИНТЕГРАЛ РИМАНА
6.1. Интегральные суммы
и интеграл Римана
Рассмотрим функцию f, заданную на отрезке [a, b]. Возьмем разбиение
{xk } отрезка [a, b] на n частей точками xk
a = x0 < x1 . . . < xk−1 < xk < . . . < xn = b.
Положим Δxk = xk − xk−1 , δ({xk }) = max Δxk . Число δ({xk }) называют
k
д и а м е т р о м р а з б и е н и я. На каждом отрезке [xk−1 , xk ] выберем точку
ξk и построим и н т е г р а л ь н у ю с у м м у (рис. 6.1)
σ({xk }, ξk ) =
n
f (ξk )Δxk .
k=1
Рис. 6.1
Если существует число I такое, что
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀{xk } : δ({xk }) ⩽ δ(ε), ∀ξk ⇒ |σ({xk }, ξk ) − I| ⩽ ε,
(6.1)
6.1. Интегральные суммы и интеграл Римана
107
то I называют и н т е г р а л о м Р и м а н а от f на [a, b] и обозначают
b
I=
f (x)dx.
a
При этом функцию f называют и н т е г р и р у е м о й п о Р и м а н у на [a, b].
Пример 6.1. Рассмотрим функцию y = L − const, x ∈ [a, b]. При любом
разбиении отрезка [a, b] на n частей и при любом выборе точек ξk интегральная сумма σ равна L(b − a). Поэтому функция y = L интегрируема
b
по Риману на [a, b] и a Ldx = L(b − a).
Первое необходимое условие интегрируемости по Риману
Если f интегрируема по Риману на [a, b], то для любой последовательности разбиений ({xk }m ), a = x0 < . . . < (xk−1 )m < (xk )m < . . . < xnm =
= b, m = 1, 2, . . . , с диаметрами δm → 0, при любом выборе точек
m→∞
(ξk )m ∈ [(xk−1 )m , (xk )m ] последовательность интегральных сумм σm =
n
m
b
f ((ξk )m )(Δxk )m сходится при m → +∞ к a f (x)dx, т. е.
=
k=1
lim
m→+∞
nm
b
f ((ξk )m )(Δxk )m =
k=1
f (x)dx.
(6.2)
a
Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0 и найдем δ(ε) из условия (6.1). Затем возьмем произвольную последовательность разбиений с
диаметрами δm → 0, выберем произвольным образом точки (ξk )m ∈
m→+∞
∈ [(xk−1 )m , (xk )m ] и построим последовательность интегральных сумм σm =
n
m
f ((ξk )m )(Δxk )m . Существует νε > 0, ∀m ⩾ νε ⇒ δm ⩽ δε . Из условия
=
k=1
(6.1) имеем
b
∀m ⩾ νε ⇒ σm −
f (x)dx ⩽ ε,
a
что равносильно (6.2). Второе необходимое условие интегрируемости по Риману
Если f интегрируема по Риману на [a, b], то f ограничена.
Доказательство. Допустим, что f не ограничена на [a, b]. Возьмем произвольное разбиение {xk } отрезка [a, b]. Хотя бы на одном отрезке [xi−1 , xi ]
108
Глава 6. Интеграл Римана
функция f не ограничена. Зафиксируем все точки ξ1 , . . . , ξi−1 , ξi+1 , . . . , ξn ,
кроме одной ξi . За счет выбора ξi соответствующая интегральная сумма
может быть сделана сколь угодно большой. Поэтому (6.1) невозможно ни с
каким конечным числом I. M -лемма для интеграла Римана
Если существует число I такое, что
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀{xk } : δ({xk }) ⩽ δ(ε), ∀ξk ⇒ |σ({xk }, ξk ) − I| ⩽ M ε,
M − const, то f интегрируема по Риману на [a, b] и I =
b
f (x)dx.
a
Функция Дирихле
D(x) =
x − рациональное,
x − иррациональное,
1,
0,
0 ⩽ x ⩽ 1,
ограничена, но неинтегрируема на [0, 1]. Поскольку для любого разбиения
при рациональных ξk имеем σ = 1, а при иррациональных — σ = 0.
6.2. Критерий Коши интегрируемости по Риману
Наряду с σ({xk }, ξk ) рассмотрим другую интегральную сумму
τ({zr }, γr ), построенную для разбиения a = z0 < z1 < . . . < zr−1 <
< zr < . . . < zs = b с промежуточными точками γr :
τ({zr }, γr ) =
s
f (γr )Δzr ,
d({zr }) = max{Δzr }.
r=1
r
Критерий Коши интегрируемости по Риману
Для интегрируемости по Риману функции f на [a, b] необходимо и достаточно, чтобы
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀{xk } : δ({xk }) ⩽ δ(ε), ∀ξk ,
∀{zr } : d({zr }) ⩽ δ(ε), ∀γr ⇒ |σ({xk }, ξk ) − τ({zr }, γr )| ⩽ ε.
(6.3)
Доказательство. Необходимость следует из неравенства
|σ − τ| ⩽ |τ − I| + |σ − I|.
Достаточность. Покажем сначала, что f ограничена. Допустим противное. Возьмем два произвольных разбиения {xk }, {zr }. Хотя бы на одном
6.3. Интегрируемость по Риману
109
отрезке [xi−1 , xi ] функция не ограничена. Зафиксируем все точки γr , r =
= 1, . . . , s; ξk , k = 1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n, кроме одной ξi . За счет выбора
ξi соответствующая интегральная сумма и, следовательно, разность |σ − τ|
могут быть сделаны сколь угодно большими, что противоречит условию (6.3).
Таким образом, |f (x)| ⩽ M − const ∀x ∈ [a, b]. Ограничены и все интегральn
ные суммы |σ| ⩽
|f (ξk )|Δxk ⩽ M (b − a).
k=1
Возьмем последовательность интегральных сумм (τm ) с диаметрами разбиения d({zr }m ) → 0. На основании принципа выбора из последовательm→+∞
ности (τm ) можно выделить сходящуюся подпоследовательность τml → I.
l→+∞
Возьмем произвольное ε > 0. Из условия (6.3) найдем δ(ε) > 0. Зафиксируем интегральную сумму τml , удовлетворяющую неравенству |τml −I| ⩽ ε
и имеющую диаметр разбиения меньший, чем δ(ε). Из условия (6.3) имеем
∀{xk } : δ({xk }) ⩽ δ(ε), ∀ξk ⇒
⇒ |σ({xk }, ξk ) − I| ⩽ |σ({xk }, ξk ) − τml | + |τml − I| ⩽ ε + ε = 2ε.
Отсюда в силу М-леммы для интеграла Римана вытекает интегрируемость
по Риману функции f на [a, b]. 6.3. Интегрируемость по Риману
непрерывной на отрезке функции
Для двух разбиений {xk }, {zr } отрезка [a, b] через Δkr обозначим длину общей части отрезков [xk−1 , xk ] и [zr−1 , zr ]. Тогда
n
Δkr = Δzr ,
k=1 r=1
Δkr = Δxk ,
r=1
k=1
s
n s
Δkr =
n
s Δkr = b − a.
r=1 k=1
Для двух интегральных сумм σ({xk }, ξk ) и τ({zr }, γr ) разность σ({xk }, ξk )−
− τ({zr }, γr ) можно представить в виде
σ({xk }, ξk ) − τ({zr }, γr ) =
s
n k=1 r=1
(f (ξk ) − f (γr ))Δkr .
(6.4)
110
Глава 6. Интеграл Римана
Лемма 6.1
Пусть δ и d — диаметры двух разбиений {xk } и {zr } отрезка [a, b],
а σ({xk }, ξk ), τ({zr }, γr ) — соответствующие интегральные суммы для
функции f (x). Тогда
(f (ξk ) − f (γr ))Δkr .
(6.5)
σ({xk }, ξk ) − τ({zr }, γr ) =
k,r,|ξk −γr |⩽δ+d
Доказательство. Если |ξk −γr | > δ+d, то отрезки [xk−1 , xk ] и [zr−1 , zr ]
не имеют общих точек и, следовательно, Δkr = 0. Поэтому в двойной сумме
из равенства (6.4) остаются лишь слагаемые, указанные в сумме из соотношения (6.5). Теорема об интегрируемости непрерывной на отрезке функции
Если f непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема по Риману на
этом отрезке.
Доказательство. По теореме Кантора f равномерно непрерывна, т. е.
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x , x ∈ [a, b] : |x − x | ⩽ δ(ε) ⇒ |f (x ) − f (x )| ⩽ ε. Для
любых двух интегральных сумм σ({xk }, ξk ), τ({zr }, γr ), отвечающих разбиениям с диаметрами меньшими, чем δ(ε)/2, на основании леммы 6.1 имеем
|f (ξk ) − f (γr )|Δkr ⩽ ε(b − a).
|σ({xk }, ξk ) − τ({zr }, γr )| ⩽
k,r,|ξk −γr |⩽δ(ε)
По критерию Коши интегрируемости по Риману функция f интегрируема
по Риману на [a, b]. 6.4. Свойства интеграла Римана
Интеграл Римана произошел от суммы и унаследовал многие свойства
сумм. Определим
a
b
f (x)dx := −
b
a
f (x)dx,
a
f (x)dx := 0.
a
1. Линейность. Если f1 и f2 — две интегрируемые по Риману на [a, b]
функции, то линейная комбинация g = α1 f1 + α2 f2 , α1 , α2 ∈ R, также
интегрируема по Риману и
b
b
(α1 f1 (x) + α2 f2 (x))dx = α1
a
b
f1 (x)dx + α2
a
f2 (x)dx.
a
(6.6)
6.4. Свойства интеграла Римана
111
Доказательство. Произвольную интегральную сумму τ функции g
можно представить в виде
τ=
n
(α1 f1 (ξk )+α2 f2 (ξk ))Δxk = α1
k=1
n
f1 (ξk )Δxk +α2
k=1
n
f2 (ξk )Δxk . (6.7)
k=1
Поскольку f1 , f2 интегрируемы на [a, b], то
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀{xk } : δ({xk }) ⩽ δ(ε), ∀ξk ⇒
b
n
⇒
fi (ξk )Δxk − fi (x)dx ⩽ ε,
k=1
i = 1, 2.
a
Отсюда и из равенства (6.7) получаем
b
b
τ
−
α
f
(x)dx
+
α
f
(x)dx
⩽ |α1 |ε + |α2 |ε.
1
1
2
2
a
a
На основании М-леммы для интеграла Римана функция g интегрируема по
Риману и имеет место равенство (6.6). Из свойства 1 интеграла Римана следует, что операции суммирования и
интегрирования перестановочны
b m
fr (x)dx =
a r=1
m b
fr (x)dx.
r=1 a
2. Монотонность. Пусть функции f и g интегрируемы по Риману на
[a, b] и
(6.8)
f (x) ⩽ g(x) ∀x ∈ [a, b].
Тогда
b
b
f (x)dx ⩽
a
g(x)dx.
(6.9)
a
Доказательство. Возьмем последовательности интегральных сумм
σm , τm для функций f, g, построенные для одной и той же последовательности разбиений ({xk }m ) отрезка [a, b] с диаметрами разбиения δm → 0
m→+∞
и при выборе одних и тех же промежуточных точек (ξk )m . На основании
первого необходимого условия интегрируемости
b
σm →
b
f (x)dx,
a
τm →
g(x)dx при m → +∞.
a
112
Глава 6. Интеграл Римана
Из неравенства (6.8) вытекает σm ⩽ τm . Переходя к пределу в последнем
неравенстве при m → +∞, получаем требуемое неравенство (6.9). 3. Аддитивность. Пусть f непрерывна на [a, b]. Тогда для любых
α, β, γ ∈ [a, b]
β
γ
f (x)dx =
α
β
f (x)dx +
α
(6.10)
f (x)dx.
γ
Доказательство. Пусть α ⩽ γ ⩽ β. По теореме об интегрируемости непрерывной на отрезке функции отображение f интегрируемо на каждом из
отрезков [α, γ], [γ, β], [α, β]. Возьмем последовательность разбиений отрезка [α, β] такую, что точка γ каждый раз будет одной из точек деления,
с диаметрами разбиения δm → 0. В этом случае для любого разбиения
m→+∞
интегральная сумма по отрезку [α, β] равна сумме интегральных сумм по
отрезкам [α, γ] и [γ, β]
σm,[α,β] = σm,[α,γ] + σm,[γ,β] .
Переходя к пределу в последнем равенстве при m → +∞, приходим к формуле (6.10). 4. Теорема о среднем. Если f непрерывна на [a, b], то существует
точка c ∈ [a, b] такая, что
b
f (x)dx = f (c)(b − a).
a
Доказательство. а) a < b,
d = min f (x),
x∈[a,b]
последовательность интегральных сумм τm =
рами разбиения δm
d
→
m→+∞
0. Поскольку
n
m
k=1
D = max f (x). Возьмем
x∈[a,b]
f ((ξk )m )(Δxk )m с диамет-
nm
nm
nm
(Δxk )m ⩽
f ((ξk )m )(Δxk )m ⩽ D
(Δxk )m ,
k=1
k=1
k=1
то переходя к пределу при m → +∞ в среднем члене последнего неравенства
(крайние члены имеют постоянные значения), имеем
b
d(b − a) ⩽
f (x)dx ⩽ D(b − a).
a
(6.11)
6.5. Теорема Барроу
113
1 b
f (x)dx. Из (6.11) следует d ⩽ μ ⩽ D. На основании теоb−a a
ремы о промежуточных значениях непрерывной функции существует точка
1 b
c ∈ [a, b] такая, что f (c) = μ. Отсюда
f (x)dx = f (c).
b−a a
б) a > b,
Положим μ =
b
a
f (x)dx = −
a
f (x)dx = −f (c)(a − b) = f (c)(b − a).
b
в) b = a, 0 = 0. 6.5. Теорема Барроу
Пусть f непрерывная на [a, b] функция. Для любого x ∈ [a, b] определен
интеграл
x
f (t)dt = F (x),
(6.12)
a
который называют
п р е д е л о м.
интегралом
с
переменным
верхним
Теорема Барроу
Производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, вычисленной на верхнем
пределе
x
d
f (t)dt = f (x) ∀x ∈ [a, b].
dx
a
Доказательство. Используя теорему о среднем для интеграла Римана
(п. 6.5), имеем
1
1 ΔF (x)
=
(F (x + Δx) − F (x)) =
Δx
Δx
Δx
x+Δx
f (t)dt −
a
1
=
Δx
x+Δx
f (t)dt =
x
x
f (c)
Δx → f (x). Δx→0
Δx
a
f (t)dt =
114
Глава 6. Интеграл Римана
Следствие 6.1
Любая непрерывная на [a, b] функция имеет на [a, b] первообразную
x
x ∈ [a, b].
f (t)dt = F (x),
a
6.6. Методы вычисления интегралов Римана
1. Формула Ньютона — Лейбница. Выражение
b
F (x) = F (b) − F (a)
a
называют д в о й н о й п о д с т а н о в к о й. Полагая в равенстве (6.12) x = b,
получаем
b
b
f (t)dt = F (b) = F (b) − F (a) = F (x) ,
a
a
Таким образом,
b
f (t)dt =
b b
F (x) = f (x)dx .
a
b
f (x)dx a
a
a
(6.13)
(при вычислении двойной подстановки неопределенные интегралы берутся
при одном и том же значении произвольной постоянной). Формула (6.13)
устанавливает связь между неопределенным интегралом и интегралом Римана, и ее называют ф о р м у л о й Н ь ю т о н а — Л е й б н и ц а.
Пример 6.2
π/2
π/2
1.
sin xdx = (− cos x) = 1;
0
0
1
2.
0
1
dx
dx
=
arctg
x
= π/4.
2
1+x
0
2. Формула замены переменной. Пусть f : [a, b] → R — непрерывная
функция, а ϕ : [α, β] → [a, b] — непрерывно дифференцируемое отображение
такое, что ϕ(α) = a, ϕ(β) = b. Тогда имеет место следующая формула:
b
β
f (x)dx =
a
α
f (ϕ(t))ϕ (t)dt,
(6.14)
6.6. Методы вычисления интегралов Римана
115
которую называют ф о р м у л о й з а м е н ы п е р е м е н н о й в интеграле Римана.
Доказательство. Пусть F (x) — первообразная для f (x) на [a, b]. По
формуле Ньютона — Лейбница
b
f (x)dx = F (b) − F (a).
(6.15)
a
Так как (F (ϕ(t))) = f (ϕ(t))ϕ (t), то по формуле Ньютона — Лейбница
β
β
f (ϕ(t))ϕ (t)dt = F (ϕ(t)) = F (ϕ(β)) − F (ϕ(α)) = F (b) − F (a).
α
α
(6.16)
Из равенств (6.15), (6.16) следует формула (6.14). На практике
b
β
f (x)dx = x = ϕ(t), ϕ(α) = a, ϕ(β) = b =
f (ϕ(t))ϕ (t)dt.
α
a
Пример 6.3
1
1 − x2 dx = x = sin t, dx = cos tdt, sin 0 = 0, sin π/2 = 1 =
0
π/2
π/2
1 + cos 2t
=
dt = π/4.
cos2 tdt =
2
0
0
3. Формула интегрирования по частям. Пусть u(x), v(x) — непрерывно дифференцируемые на [a, b] функции. Тогда
b
b b
u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u (x)dx.
a
a
(6.17)
a
Доказательство. На основании формулы Ньютона — Лейбница и формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла
b
u(x)v (x)dx =
a
b
b b
u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u (x)dx. a
a
a
116
Глава 6. Интеграл Римана
Краткая запись формулы (6.17)
b
b
udv = uv −
b
vdu.
a
a
a
Пример 6.4
2
1
2 2
dx
, v = x = x ln x − dx = 2 ln 2 − 1.
ln xdx = u = ln x, dx = dv, du =
x
1
1
Замечание 6.1. Рассмотрим непрерывную функцию f : [a, +∞) → R.
Для каждого A > a функция f (x) интегрируема по Риману на [a, A], слеA
довательно, определена функция F (A) = 0 f (x)dx. Предел lim F (A)
A→+∞
называют
несобственным интегралом от f (x) по [a, +∞) и обозначают
+∞
f (x)dx. Если этот предел конечен, то несобственный интеграл называa
ют сходящимся. Пусть Φ(x) — первообразная для f (x) на [a, +∞) и пусть
существует конечный предел lim Φ(x) = Φ(+∞). Тогда
x→+∞
+∞
A
f (x)dx = lim
f (x)dx = lim Φ(A) − Φ(a) = Φ(x) |+∞
.
a
A→+∞
a
A→+∞
a
Если ϕ : [α, +∞) → |D, B| — непрерывно дифференцируемая функция, |D, B| ⊃ [a, b], f : |D, B| → R — непрерывная функция, ϕ(α) = a,
lim ϕ(t) = b, то
t→+∞
b
+∞
f (x)dx =
f (ϕ(t))ϕ (t)dt.
(6.18)
α
a
Действительно, для каждого фиксированного A > α по формуле замены
переменной в интеграле Римана имеем
ϕ(A)
A
f (x)dx =
ϕ(α)
f (ϕ(t))ϕ (t)dt.
(6.19)
α
Перейдем к пределу в равенстве (6.19) при A → +∞, учитывая, что
lim ϕ(t) = b, получаем формулу (6.18).
t→+∞
6.7. Геометрический смысл интеграла Римана
117
Пример 6.5
π/2
0
dt
dx
2 + t2
2
=
tg
x
=
t,
x
=
arctg
t,
dx
=
=
,
1
+
cos
x
=
1 + cos2 x
1 + t2
1 + t2
+∞
=
0
√
dt
1
t +∞ π 2
.
= √ arctg √ =
2 + t2
4
2
2 0
6.7. Геометрический смысл интеграла Римана
Всякую совокупность точек на плоскости 0xy называют ф и г у р о й.
Точку M0 называют внутренней точкой фигуры Φ, если существует круг
B(M0 , δ) с радиусом δ > 0 и с центром в точке M0 , принадлежащий
Φ. Точку M1 называют граничной, если в любом круге B(M1 , δ) имеются точки из Φ и точки, не принадлежащие Φ. Множество граничных точек называют границей фигуры. Фигура ограничена, если она содержится
в некотором круге конечного радиуса, именно такие фигуры рассматриваем
в этом п. 6.7. Под прямоугольником будем понимать как множество P =
= {(x, y) : a ⩽ x ⩽ b, c ⩽ y ⩽ d}, так и множества, которые получаются из
P удалением всей границы или ее части. Площадью прямоугольника P называют число пл.P = (b − a)(d − c). Фигуру называют п р о с т о й, если ее
можно представить в виде объединения конечного числа непересекающихся
прямоугольников (рис. 6.2). За площадь простой фигуры принимают сумму
площадей прямоугольников, из которых она составлена.
Рис. 6.2. Простая фигура
Рис. 6.3. Вписанная в эллипс и описанная около эллипса простые фигуры
Пусть P∗ , P ∗ — соответственно вписанная и описанная простые фигуры
для фигуры Φ, т. е. P∗ ⊂ Φ ⊂ P ∗ и пусть s∗ = sup {пл.P∗ } — точная верхP∗ ⊂Φ
няя грань площадей всевозможных вписанных в фигуру Φ простых фигур,
118
Глава 6. Интеграл Римана
а s∗ = inf
{пл.P ∗ } — точная нижняя грань площадей всевозможных опи∗
P ⊃Φ
санных около фигуры Φ простых фигур (рис. 6.3). Если s∗ = s∗ , то фигуру
Φ называют к в а д р и р у е м о й, а величину s = s∗ = s∗ — ее п л о щ а д ь ю.
Критерий квадрируемости
Фигура Φ квадрируема тогда и только тогда, когда для любого ε > 0,
существуют квадрируемые фигуры Φ∗ , Φ∗ такие, что Φ∗ ⊂ Φ ⊂ Φ∗ и
|пл.Φ∗ − пл.Φ∗ | ⩽ ε. При этом пл.Φ = sup{пл.Φ∗ } = inf{пл.Φ∗ }.
Доказательство. Необходимость. Возьмем произвольное ε > 0. Существуют простые вписанная и описанная фигуры P∗ , P ∗ такие, что пл.P ∗ −
− пл.P ⩽ ε/2, пл.P − пл.P∗ ⩽ ε/2. Отсюда пл.P ∗ − пл.P∗ ⩽ ε.
Достаточность. Предположим противное, что фигура Φ неквадрируема,
т. е.
(6.20)
s∗ − s∗ = q > 0.
Существуют вписанная Φ∗ и описанная Φ∗ квадрируемые фигуры и существуют простые фигуры P∗ , P ∗ такие, что P ∗ ⊃ Φ∗ , P∗ ⊂ Φ∗ , пл.Φ∗ −
− пл.Φ∗ ⩽ q/4, пл.P ∗ − пл.Φ∗ ⩽ q/4, пл.Φ∗ − пл.P∗ ⩽ q/4. Отсюда |пл.P ∗ −
− пл.P∗ | < q, что противоречит неравенству (6.20). Пусть f : [a, b] → R — непрерывная и неотрицательная функция. Фигуру
T на плоскости 0xy, ограниченную сверху графиком функции y = f (x),
снизу осью Ox, сбоку прямыми x = a, x = b, называют к р и в о л и н е й н о й
т р а п е ц и е й (рис. 6.4).
Возьмем разбиение {xk } отрезка [a, b]. На основании теоремы Вейерштрасса найдутся точка максимума ξk и точка минимума ξk функции f
на каждом отрезке [xk−1 , xk ]. Интегральные суммы
∗
σ =
n
f (ξk )Δxk ,
k=1
σ∗ =
n
f (ξk )Δxk
k=1
равны площадям многоугольников, состоящих из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Первый — это многоугольник, описанный около трапеции, второй — вписанный в трапецию. Пусть σ∗m , σ∗m —
последовательности указанных интегральных сумм с диаметрами δm → 0.
На основании теоремы об интегрируемости непрерывной на отрезке функции
(п. 6.3) и первого необходимого условия интегрируемости (п. 6.1) последоb
вательности σ∗m , σ∗m при δm → 0 имеют общий предел a f (x)dx. Таким
образом, T — квадрируемая фигура и
b
пл.T =
f (x)dx.
a
6.7. Геометрический смысл интеграла Римана
119
Пример 6.6. Найдем площадь фигуры T, ограниченной эллипсом:
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
a пл.T = 4b
0
x2
1 − 2 dx = [x = a sin t] = 4ab
a
π/2
cos2 tdt = πab.
0
Отсюда следует, что площадь кругового сектора радиусом R, соответствующего углу ϕ, равна R2 ϕ/2.
Геометрический смысл теоремы о среднем (п. 6.4): если f непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b], то на [a, b] существует точка c
такая, что криволинейная трапеция, соответствующая функции f, равновелика прямоугольнику с тем же основанием и высотой f (c).
Площадь криволинейного сектора
Рассмотрим на плоскости 0xy к р и в о л и н е й н ы й с е к т о р P, т. е. фигуру, ограниченную множеством γ точек, полярные координаты которых
удовлетворяют соотношению r = r(ϕ), ϕ ∈ [α, β], где r(ϕ) — непрерывная функция, и лучами ϕ = α, ϕ = β, α, β ∈ [0, 2π] (в случаях, когда на
плоскости заданы две системы координат — полярная и декартова прямоугольная, всегда предполагается, что полюс полярной системы совпадает с
началом координат декартовой, а полярная ось — с положительной частью
оси 0x )(рис. 6.5).
Рис. 6.4. Криволинейная
трапеция
Рис. 6.5. Криволинейный
сектор
Возьмем разбиение {ϕk } отрезка [α, β] на n частей и пусть r(τk ) =
n
1 2
=
max
r(ϕ), r(τk ) =
min
r(ϕ). Суммы σ =
2 r (τk )Δϕk и
ϕ∈[ϕk−1 ,ϕk ]
n
1 2
σ=
2 r (τk )Δϕk
k=1
ϕ∈[ϕk−1 ,ϕk ]
k=1
равны площадям вписанной и описанной фигур, каждая
из которых состоит из n круговых секторов, следовательно, является квадрируемой. Суммы σ, σ также являются интегральными суммами для непрерывной, а следовательно, интегрируемой на [α, β] функции 1/2r2 (ϕ). Возь-
120
Глава 6. Интеграл Римана
мем две последовательности σm , σm с диаметрами разбиения δm → 0.
m→+∞
β 2
Они имеют общий предел 1/2 α r (ϕ)dϕ. По критерию квадрируемости фигура P квадрируема и
1 β 2
пл.P =
r (ϕ)dϕ.
2 α
6.8. Длина кривой
Пусть x(t), y(t) — две непрерывные функции, заданные на отрезке [a, b].
Множество точек M (t) с координатами (x(t), y(t)), t ∈ [a, b], на плоскости 0xy называют к р и в о й с п а р а м е т р и ч е с к и м у р а в н е н и е м
x = x(t),
t ∈ [a, b],
y = y(t),
(если различны параметрические уравнения двух кривых, то кривые считаем различными, даже в том случае, когда совпадают множества точек на
плоскости, соответствующие этим кривым).
Точку M0 называют точкой самопересечения кривой, если существуют
числа t1 , t2 ∈ [a, b], t1 = t2 , такие, что хотя бы одно из них принадлежит
интервалу (a, b) и M (t1 ) = M (t2 ) = M0 . Кривую называют п р о с т о й, если
она не имеет точек с а м о п е р е с е ч е н и я. Если x(a) = x(b), y(a) = y(b), то
кривую называют з а м к н у т о й.
Кривые, параметрические уравнения которых
x = sin 3t cos t,
x = t cos t,
t ∈ [0, π],
t ∈ [0, 2π],
(6.21)
y = sin 3t sin t,
y = t sin t,
называют соответственно трехлепестковой розой и спиралью Архимеда, и они
изображены на рис. 6.6, 6.7.
Рис. 6.6. Трехлепестковая роза,
(0,0) — точка самопересечения
Рис. 6.7. Спираль Архимеда
6.8. Длина кривой
Рассмотрим простую кривую
x = x(t),
l:
t ∈ [a, b].
y = y(t),
121
(6.22)
Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками tk . Ломаная L = M0 M1 . . . Mn ,
состоящая из отрезков, соединяющих точки Mk−1 = M (tk−1 ) и Mk = M (tk ),
k = 1, . . . , n, имеет общие с кривой l точки M0 , M1 , . . . , Mn , и ее называют
л о м а н о й, вписанной в кривую l. Длина ломаной L равна
дл.L =
n
(x(tk ) − x(tk−1 ))2 + (y(tk ) − y(tk−1 ))2 .
k=1
Кривую l называют с п р я м л я е м о й, если множество K длин всевозможных ломаных, вписанных в кривую, ограничено сверху, а величину sup K
называют д л и н о й с п р я м л я е м о й к р и в о й l.
Если функции x(t), y(t) имеют на [a, b] непрерывные производные
ẋ(t), ẏ(t) (точку вместо штриха часто используют для обозначения производной, если аргументом является t) и
ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) > 0 ∀t ∈ (a, b),
т. е. производные ẋ, ẏ не обращаются в нуль одновременно на (a, b), то кривую называют г л а д к о й.
Лемма 6.2
Простая гладкая кривая (6.22) является спрямляемой.
Доказательство. Возьмем произвольную ломаную L, вписанную в кривую l. Пусть она состоит из n отрезков, тогда ее длина равна
дл.L =
n
(x(tk ) − x(tk−1 ))2 + (y(tk ) − y(tk−1 ))2 =
k=1
=
n
ẋ2 (ξk ) + ẏ 2 (ηk )Δtk ,
ξk , ηk ∈ [tk−1 , tk ].
k=1
На основании следствия из теоремы Вейерштрасса (п. 2.13)
∃M > 0, max |ẋ(t)| ⩽ M, max |ẏ(t)| ⩽ M.
t∈[a,b]
t∈[a,b]
(6.23)
122
Глава 6. Интеграл Римана
Отсюда и из равенства (6.23) имеем
√
дл.L ⩽ 2M (b − a),
следовательно, множество длин всевозможных
ломаных, вписанных в кри√
вую, ограничено сверху числом 2M (b − a). Поэтому
по теореме о гранях
√
кривая l спрямляема и ее длина не превосходит 2M (b − a). Теорема о длине кривой
Длина простой гладкой кривой (6.22) равна
b
ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt.
дл.l =
(6.24)
a
Доказательство. По лемме 6.2 кривая является спрямляемой. Возьмем
последовательность (Lm ) ломаных, вписанных в кривую l, соответствующих последовательности разбиений {tk }m , 0 ⩽ k ⩽ nm , отрезка [a, b] с диаметрами δm , такую, что
(6.25)
дл.Lm → дл.l.
m→+∞
Поскольку при добавлении точек разбиения длина вписанной ломаной не
уменьшается, то можно считать, что δm → 0 (в противном случае, доm→+∞
бавляя точки разбиения в последовательность {tk }m , можно построить, исходя из последовательности (Lm ), последовательность ломаных, удовлетворяющих соотношению (6.25), для которой δm → 0) . Из формулы (6.23)
m→+∞
имеем
n
m
ẋ2 ((ξk )m ) + ẏ 2 ((ηk )m )(Δtk )m =
дл.Lm =
k=1
=
nm
ẋ2 ((ξk )m ) + ẏ 2 ((ξk )m )(Δtk )m + Am ,
(6.26)
k=1
где
Am =
nm
(
ẋ2 ((ξk )m ) + ẏ 2 ((ηk )m ) −
ẋ2 ((ξk )m ) + ẏ 2 ((ξk )m ))(Δtk )m =
k=1
=
nm
(ẏ((ηk )m ) − ẏ((ξk ))m )(Bk )m ,
k=1
(Bk )m =
ẏ((ξk )m ) + ẏ((ηk )m )
(Δtk )m .
2
ẋ ((ξk )m ) + ẏ 2 ((ηk )m ) + ẋ2 ((ξk )m ) + ẏ 2 ((ξk )m )
6.8. Длина кривой
Так как
n
m
k=1
123
|(Bk )m | ⩽ b − a, |ẏ((ηk )m ) − ẏ((ξk ))m | ⩽ W (ẏ, {tk }m ), то
|Am | ⩽ (b − a)W (y, {tk }m ),
где W (ẏ, {tk }m ) — колебание функции ẏ(t), соответствующее разбиению
{tk }m . Из теоремы о колебании функции (п. 2.15) следует
|Am |
→
m→+∞
(6.27)
0.
Функция ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) непрерывна на отрезке [a, b], следовательно, интегрируема на [a, b]. Из первого необходимого условия интегрируемости имеем
b
nm
ẋ2 ((ξk )m ) + ẏ 2 ((ξk )m )(Δtk )m →
ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt.
(6.28)
m→+∞
k=1
a
Переходя к пределу в (6.26) при m → +∞ и используя соотношения (6.25),
(6.27), (6.28), получаем требуемую формулу (6.24). y = f (x), x ∈ [a, b] считаем кривой с
График Γf непрерывной функции
x = t,
параметрическим уравнением
t ∈ [a, b]. Если функция f (x) не
y = f (t),
только непрерывна, но и непрерывно дифференцируема, то ее график Γf —
простая гладкая кривая и
b
1 + (f (x))2 dx.
дл.Γf =
a
Рассмотрим на плоскости 0xy множество точек γ, полярные координаты которых удовлетворяют соотношению r = r(ϕ), ϕ ∈ [α, β], где r(ϕ) —
непрерывная функция. Это множество γ считаем кривой с параметрическим
уравнением
x = r(ϕ) cos ϕ,
ϕ ∈ [α, β].
y = r(ϕ) sin ϕ,
Если такая кривая γ является простой гладкой, то
β
β
((r(ϕ) cos ϕ) )2 + ((r(ϕ) sin ϕ) )2 dϕ =
дл.γ =
α
r2 (ϕ) + (r (ϕ))2 dϕ.
α
Пример 6.7. Найдем длину спирали Архимеда (6.21). По формуле (6.24)
2π
1 + t2 dt = [t = shx] = 2π 1 + 4π2 + ln(2π +
дл.l =
0
1 + 4π2 ).
124
Глава 6. Интеграл Римана
6.9. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману
Рассмотрим функцию
f (x),
заданную на
[a, b].
Определим
и н т е г р а л ь н о е к о л е б а н и е Ω(f, {xk }) функции f, соответствующее разбиению {xk } отрезка [a, b], положив
Ω(f, {xk }) :=
n
ωk Δxk ,
k=1
где ωk =
sup
ξ,η∈[xk−1 ,xk ]
|f (ξ)−f (η)| — колебание функции на отрезке [xk−1 , xk ].
Пример 6.8. Найдем интегральное колебание функции f (x) = x2 , соответствующее разбиению отрезка [0, 1] на n равных частей точками xk =
= k/n, k = 0, 1, . . . , n. Действительно,
k 2 k − 1 2 2k − 1
ωk =
sup
|ξ2 − η2 | =
−
=
,
n
n
n2
ξ,η∈[ k−1 , k ]
n
n
Ω(x2 , {xk }) =
n
1 1
(2k − 1) = 2 .
3
n
n
n
ωk Δxk =
k=1
k=1
Необходимое условие Дарбу интегрируемости
Если функция f интегрируема на отрезке [a, b], то
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀{xk } : δ({xk }) ⩽ δ(ε) ⇒ Ω(f, {xk }) ⩽ ε.
Другими словами, если f интегрируема на [a, b], то интегральное колебание меньше любого ε > 0 на всех разбиениях с достаточно малыми
диаметрами.
Доказательство. Зафиксируем произвольное ε > 0. Согласно критерию
Коши интегрируемости по Риману
∃δ(ε) > 0, ∀{xk } : δ({xk }) ⩽ δ(ε), ∀ξk , ηk ∈ [xk−1 , xk ] ⇒
n
n
ε
f (ξk )Δxk −
f (ηk )Δxk ⩽ .
⇒
2
k=1
(6.29)
k=1
Возьмем произвольное разбиение {xk } отрезка [a, b] с диаметром разбиения
δ({xk }) ⩽ δ(ε). На каждом отрезке [xk−1 , xk ] существуют точки ξk , ηk такие,
что
ε
.
(6.30)
sup
|f (ξ) − f (η)| ⩽ f (ξk ) − f (ηk ) +
ωk =
2(b − a)
ξ,η∈[xk−1 ,xk ]
6.9. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману
125
Используя неравенства (6.29), (6.30), имеем
Ω(f, {xk }) =
⩽
n
f (ξk ) − f (ηk ) +
k=1
n
sup
k=1 ξ,η∈[xk−1 ,xk ]
|f (ξ) − f (η)|Δxk ⩽
n
ε
ε f (ξk ) − f (ηk ) Δxk ⩽ ε. Δxk = +
2(b − a)
2
k=1
Рассмотрим ограниченную функцию f : [a, b] → R, |f (x)| ⩽ A ∀x ∈ [a, b].
Возьмем разбиение {zr }, r = 0, 1, . . . , s, отрезка [a, b] на s частей. Обозначим
s
через ρr , Ω(f, {zr }) и τ =
f (ηr )Δzr колебание функции f на [zr−1 , zr ],
r=1
интегральное колебание и интегральную сумму, соответствующие этому разбиению.
Лемма 6.3
Для любой интегральной суммы σ =
n
k=1
f (ξk )Δxk с диаметром разбиения
δ выполняется неравенство |σ − τ| ⩽ Ω(f, {zr }) + 2Asδ.
Доказательство. Обозначим через Δkr длину общей части отрезков
[xk−1 , xk ], [zr−1 , zr ]. Разность σ − τ можно представить в виде (п. 6.3)
σ−τ=
n s
(f (ξk ) − f (ηr ))Δkr .
k=1 r=1
Разобьем последнюю двойную сумму на два слагаемых Σ1 и Σ2 . В Σ1 включим слагаемые с индексами k, r такими, что [xk−1 , xk ] ⊂ [zr−1 , zr ], в Σ2 —
все остальные слагаемые. Для каждого слагаемого из первой суммы Σ1 выполняется ξk , ηr ∈ [zr−1 , zr ] и поэтому |f (ξk ) − f (ηr )| ⩽ ρr , следовательно,
|Σ1 | ⩽
s
n k=1 r=1
ρr Δkr =
s
ρr Δzr = Ω(f, {zr }).
(6.31)
r=1
В Σ2 входят такие слагаемые, что либо [xk−1 , xk ] и [zr−1 , zr ] не имеют общих
точек, и тогда Δkr = 0, а значит, и это слагаемое равно нулю, либо интервал
(xk−1 , xk ) содержит одну из точек zr . Число таких интервалов не более чем
s
s. Поскольку |f (ξk ) − f (ηr )| ⩽ |f (ξk )| + |f (ηr )| ⩽ 2A,
Δkr = Δxk ⩽ δ, то
r=1
|Σ2 | ⩽ s2Aδ.
(6.32)
126
Глава 6. Интеграл Римана
На основании формул (6.31), (6.32) окончательно получаем
|σ − τ| ⩽ |Σ1 | + |Σ2 | ⩽ Ω(f, {zr }) + 2Asδ. Достаточное условие Дарбу интегрируемости
Если для любого ε > 0 существует разбиение {zr } отрезка [a, b], по которому интегральное колебание Ω(f, {zr }) не превосходит M ε, где M не
зависит ни от ε, ни от разбиения, то f интегрируема на [a, b].
Доказательство. Покажем сначала, что функция f ограничена на [a, b].
Если предположить противное, то для разбиения {zr } отрезка [a, b] хотя бы
одно из колебаний ωr , а следовательно, и интегральное колебание Ω(f, {zr })
равно бесконечности, что противоречит условию теоремы.
s
Зафиксируем произвольное ε > 0. Пусть τ =
f (ηr )Δzr — интегральr=1
ная сумма, соответствующая разбиению {zr }. Положим δ(ε) = ε/s. На основании леммы 6.3 для любых интегральных сумм σ , σ , отвечающих разбиениям с диаметрами, не превосходящими δ(ε), имеем
|σ − σ | ⩽ |σ − τ| + |σ − τ| ⩽ 2(Ω(f, {zr }) + 2Asδ(ε)) ⩽ (2M + 4A)ε.
В силу критерия Коши интегрируемости, функция f интегрируема на отрезке [a, b]. Замечание 6.2. Доказанные необходимое и достаточное условия Дарбу дают критерий Дарбу интегрируемости функций: для интегрируемости
необходимо, чтобы интегральное колебание по всякому достаточно мелкому
разбиению было сколь угодно мало, и достаточно, чтобы интегральное колебание можно было сделать по подходящему разбиению сколь угодно малым.
Кажущееся противоречие возникает из-за того, что существование хотя бы
одного разбиения со сколь угодно малым интегральным колебанием обеспечивает малость интегральных колебаний для всех разбиений с достаточно
малыми диаметрами.
Замечание 6.3. Достаточное условие Дарбу обеспечивает интегрируемость f на отрезках [a, c], [c, b], если f интегрируема на всем отрезке [a, b].
Наоборот, если функция f интегрируема на [a, c] и [c, b], то она интегрируема и на [a, b]. Используя это свойство интегрируемой функции и доказательство аддитивности интеграла от непрерывной функции, легко видеть,
что интеграл обладает свойством аддитивности для произвольной интегрируемой функции
b
c
f (x)dx =
a
b
f (x)dx +
a
f (x)dx,
c
a < c < b.
6.10. Классы функций, интегрируемых по Риману
127
6.10. Классы функций, интегрируемых по Риману
Функция f, заданная на [a, b], будет заведомо интегрируемой по Риману
на [a, b] в следующих случаях:
1) Функция f непрерывна на отрезке [a, b] (см. теорему об интегрируемости непрерывной функции).
2) Функция f монотонна на [a, b]. Действительно, в случае, например,
возрастающей функции f для любого разбиения {xk } с диаметром δ имеем
ωk = f (xk ) − f (xk−1 ),
Ω(f, {xk }) ⩽ (f (b) − f (a))δ.
Следовательно, интегральное колебание Ω(f, {xk }) может быть сделано
сколь угодно малым за счет выбора δ.
3) Функция f ограничена на [a, b] , т. е. |f (x)| ⩽ A ∀x ∈ [a, b], и интегрируема по Риману на любом отрезке [α, β], a < α < β < b.
Действительно, согласно необходимому условию Дарбу интегрируемости
для любого ε > 0, существует разбиение {xk } отрезка [a + ε, b − ε] такое,
что интегральное колебание Ω(f, {xk }) меньше ε. Тогда интегральное колебание Ω, которое соответствует разбиению отрезка [a, b], состоящему из
точек разбиения отрезка [a+ε, b−ε] и точек a, b, удовлетворяет неравенству
Ω ⩽ Ω(f, {xk }) + 2Aε ⩽ (1 + 2A)ε,
из которого, согласно достаточному условию Дарбу интегрируемости, следует
интегрируемость f на [a, b].
Замечание 6.4. Пусть g — функция, интегрируемая по Риману на отрезке [a, b] . Из приведенного выше доказательства и определения интеграла
Римана следует, что любая функция f : [a, b] → R, совпадающая с g на
b
интервале (a, b), также интегрируема по Риману на [a, b] и a f (x)dx =
b
= a g(x)dx. Это замечание позволяет считать интегрируемыми по Риману
на отрезке [a, b] и те функции f, которые не определены в точках a и b,
но становятся интегрируемыми по Риману после их доопределения на концах
отрезка.
4) Функция f кусочно-монотонна на [a, b]. Это следует из аддитивности
интеграла Римана и случая 2).
5) Функция f ограничена и имеет конечное число точек разрыва. Это
следует из аддитивности интеграла и случая 3).
6) Функция f является произведением интегрируемых функций. Действительно, пусть
f (x) = g(x)h(x), |g(x)| ⩽ A, |h(x)| ⩽ B, a ⩽ x ⩽ b.
128
Глава 6. Интеграл Римана
Тогда
|f (x ) − f (x )| ⩽ |g(x )||h(x ) − h(x )| + |h(x )||g(x ) − g(x )|⩽
⩽A|h(x ) − h(x )| + B|g(x ) − g(x )|.
Если интегральные колебания g и h для некоторого разбиения отрезка [a, b]
равны Ω1 и Ω2 , то для интегрального колебания Ω функции f справедлива
оценка Ω ⩽ AΩ2 + BΩ1 , из которой с помощью достаточного условия Дарбу
вытекает интегрируемость f на отрезке [a, b].
Пример 6.9. Функция
y=
sin(1/x), x = 0,
0, x = 0
разрывна в точке x = 0 (см. рис. 2.18), но она интегрируема по Риману на
отрезке [0, 1], поскольку ограничена на [0, 1] и интегрируема по Риману на
любом отрезке [α, β], 0 < α < β < 1, как непрерывная на [α, β] функция.
ГЛАВА 7
ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
7.1. Последовательность в R2
Рассмотрим множество R2 пар (x, y) вещественных чисел. R2 является
векторным пространством с обычными операциями сложения и умножения
на вещественные числа. Между множеством элементов из R2 и множеством
точек плоскости 0xy существует естественное взаимно однозначное соответствие. Поэтому элементы из R2 часто называют точками плоскости. Определим р а с с т о я н и е между двумя точками A1 = (x1 , y1 ) и A2 = (x2 , y2 ) из
R2 по формуле
ρ(A1 , A2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
При таком определении расстояние между элементами A1 и A2 пространства R2 совпадает с расстоянием между точками плоскости, соответствующим A1 , A2 .
Множество B(A0 , δ) = {A ∈ R2 : ρ(A, A0 ) < δ}, δ > 0, называют
к р у г о м с центром в точке A0 с радиусом δ или δ-о к р е с т н о с т ь ю точки
A0 (или просто окрестностью). Множество D ⊂ R2 называют о т к р ы т ы м,
если все его точки являются в н у т р е н н и м и, т. е. для любой точки A ∈ D
найдется δ-окрестность этой точки, принадлежащая D. Д о п о л н е н и е м
DC множества D называют совокупность всех точек из R2 , не входящих в
D. Множество D з а м к н у т о, если его дополнение открыто. Точку L называют г р а н и ч н о й для множества D, если любая δ-окрестность этой точки
содержит точки из D и точки из DC . Совокупность всех граничных точек
образуют г р а н и ц у ∂D множества D. Объединение D с ∂D называют
з а м ы к а н и е м D и обозначают D, например, B(A0 , δ) — круг B(A0 , δ)
с окружностью C(A0 , δ) = {A ∈ R2 : ρ(A, A0 ) = δ}. D замкнуто тогда и
только тогда, когда D = D (доказать). Точку A называют п р е д е л ь н о й
для множества D, если в любой δ-окрестности этой точки содержатся точки
из D, отличные от A. Точку A называют и з о л и р о в а н н о й для D, если
130
Глава 7. Функция двух переменных
существует δ-окрестность этой точки, в которой нет точек из D, отличных
от A. Множество D с в я з н о, если любые две точки A1 , A2 из D можно
соединить кривой, лежащей в D, т. е. существуют две непрерывные функции
x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b], такие, что (x(a), y(a)) = A1 , (x(b), y(b)) = A2
и множество точек (x(t), y(t)), t ∈ [a, b], содержится в D.
Множество называют о б л а с т ь ю, если оно открыто и связно.
Множество D о г р а н и ч е н о, если оно содержится в некотором круге,
т. е. ∃r > 0, ∀A ∈ D ⇒ ρ(A, O)⩽r, O = (0, 0). Множество H вида H = D∪∂D,
где D — ограниченная область, называют о г р а н и ч е н н о й з а м к н у т о й
областью.
Ограниченное замкнутое множество называют к о м п а к т о м.
Если каждому натуральному числу (номеру) n поставлен в соответствие
некоторый элемент An ∈ R2 , An = (xn , yn ), то говорят, что в R2 задана
последовательность
A1 = (x1 , y1 ), A2 = (x2 , y2 ), . . . , An = (xn , yn ), . . . .
Последовательность (An ) называют с х о д я щ е й с я, если существует точка
B = (a, b) такая, что
∀ε > 0, ∃ν(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ ν(ε) ⇒ ρ(An , B) ⩽ ε
(
(xn − a)2 + (yn − b)2 ⩽ ε).
B называют п р е д е л о м последовательности и пишут lim An = B или
n→∞
An → B. Геометрически запись lim An = B означает, что какую бы
n→∞
n→∞
ε-окрестность точки B ни взять, все члены последовательности, за исключением конечного числа, попадут в эту ε-окрестность.
Точка A — предельная для множества D тогда и только тогда, когда
существует последовательность (An ) различных точек из D, сходящаяся к
A (доказать).
Теорема о компакте
Если множество D является компактом, то из любой последовательности точек, содержащихся в D, можно выбрать подпоследовательность,
сходящуюся к точке этого множества.
Доказательство. Возьмем произвольную последовательность An =
= (xn , yn ) ∈ D. Множество {An } ограничено, следовательно, ограничены числовые последовательности (xn ), (yn ), что позволяет, используя принцип выбора, выделить последовательно сходящиеся подпоследовательности
xnk → a, ynkm → b. Ясно, что
k→∞
m→∞
Ankm → A = (a, b).
m→∞
(7.1)
7.2. Предел функции двух переменных
131
Допустим, что точка A не принадлежит D. Тогда A ∈ DC . DC — открытое множество. Существует ε-окрестность точки A, принадлежащая DC , в
которой нет точек последовательности (An ), что противоречит соотношению
(7.1). Полученное противоречие показывает, что A ∈ D. 7.2. Предел функции двух переменных
Пусть D — подмножество из R2 . Функцию f : D → R называют
ф у н к ц и е й д в у х п е р е м е н н ы х (ф2п) и обозначают z = f (x, y) или
z = f (X). В дальнейшем через 0xyz обозначаем пространство, в котором задана декартовая прямоугольная система координат с осями x, y, z , а через
i, j, k — единичные вектора, параллельные осям координат этой системы.
Г р а ф и к о м функции двух переменных z = f (x, y) называют множество
точек пространства 0xyz с координатами (x, y, f (x, y)), (x, y) ∈ D, т. е.
Γf = {(x, y, z) : z = f (x, y), (x, y) ∈ D}.
Линейная функция z = ax + by + c, a, b, c ∈ R. Ее графиком служит
плоскость (рис. 7.1), перпендикулярная вектору n = ai+bj−k и проходящая
через точку (0, 0, c).
Графиком функции z = a2 x2 + b2 y 2 , a, b ∈ R, a = 0, b = 0, является
эллиптический параболоид (рис. 7.2).
Рис. 7.1. График линейной функции
Рис. 7.2. Эллиптический параболоид
График функции z = a2 x2 , a ∈ R, a = 0, — параболический цилиндр (рис. 7.3). Графиком функции z = 1 − x2 − y 2 является полусфера
(рис. 7.4).
132
Глава 7. Функция двух переменных
Рис. 7.3. Параболический цилиндр
Рис. 7.4. Полусфера
Рассмотрим функцию z = f (X), определенную в некоторой проколотой
δ-окрестности E точки X0 , т. е. в δ-окрестности точки X0 за исключением
точки X0 .
Число p называют пределом f при X → X0 , если
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀X ∈ E : 0 < ρ(X, X0 ) ⩽ δ(ε) ⇒ |f (X) − p| ⩽ ε,
пишут
lim f (X) = p или f (X) → p.
X→X0
X→X0
Критерий Гейне для ф2п
f (X) → p равносильно ∀Xn ∈ E, Xn = X0 , Xn → X0 ⇒ f (Xn ) → p.
n→∞
X→X0
n→∞
Доказательство проводится по схеме доказательства критерия Гейне
для скалярных функций. Критерий Гейне позволяет перенести на предел функций двух переменных все основные свойства скалярных функций.
1) Функция не может иметь более одного предела.
2) Если f (X) → p, g(X) → q, то
X→X0
а) f (X) + g(X) → p + q;
X→X0
X→X0
б) f (X)g(X) → pq;
X→X0
f (X)
p
→
, если q = 0.
в)
g(X) X→X0 q
3) Если f (X) ⩽ g(X) в некоторой проколотой окрестности точки X0 ,
f (X) → p, g(X) → q, то p ⩽ q.
X→X0
X→X0
4) Если h(X) ⩽ f (X) ⩽ g(X) в некоторой проколотой окрестности точки
X0 , h(X) → q, g(X) → q, то f (X) → q.
X→X0
X→X0
X→X0
5) Произведение бесконечно малой функции f (X), т. е. такой, что
f (X) → 0, на ограниченную в некоторой проколотой окрестности
X→X0
7.2. Предел функции двух переменных
точки X0 функцию
f (X)g(X) → 0.
133
g(X) — снова бесконечно малая функция, т. е.
X→X0
Пусть X0 — предельная, но не внутренняя точка множества D. Если
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀X ∈ D : 0 < ρ(X, X0 ) ⩽ δ(ε) ⇒ |f (X) − p| ⩽ ε,
то число p называют п р е д е л о м ф у н к ц и и f (X) при X → X0 в д о л ь
f (X) = p. В частности, пределы
м н о ж е с т в а D и обозначают
lim
X→X0 ,X∈D
lim f (x0 , y),
y→y0
lim f (x, y0 ) называют п р е д е л а м и функции z = f (x, y) в
x→x0
точке (x0 , y0 ) соответственно в д о л ь п р я м ы х x = x0 и y = y0 .
Бесконечные пределы определяют обычным образом, например, говорят,
что функция f (X) стремится к +∞ и пишут f (X) → +∞, если
X→X0
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀X ∈ E : 0 < ρ(X, X0 ) ⩽ δ(ε) ⇒ f (X) ⩾ ε.
Аналогично обстоит дело с пределами на бесконечности:
= p означает
lim
(x,y)→(∞,∞)
f (x, y) =
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀(x, y) ∈ E : |x| ⩾ δ(ε), |y| ⩾ δ(ε) ⇒ |f (X) − p| ⩽ ε;
lim
(x,y)→(+∞,b)
f (x, y) = ∞ означает
∀ε > 0, ∃δ1 (ε) > 0, ∃δ2 (ε) > 0, ∀(x, y) ∈ E : x ⩾ δ1 (ε), |y − b| ⩽ δ2 (ε) ⇒ |f (X)| ⩾ ε.
Пример 7.1. Покажем, что
lim
x+y
(x,y)→(∞,∞) x2 + y 2
= 0.
Возьмем ε > 0 и рассмотрим цепочку неравенств
x+y 2
2
2
⩽ε⇐
⩽ ε ⇔ |x| ⩾ .
⩽ε⇐
2
2
x +y
|x| + |y|
|x|
ε
x+y Отсюда следует, что если |x| ⩾ δ(ε) := 2/ε, |y| ⩾ δ(ε), то 2
⩽ ε.
x + y2
Пример 7.2. Найдем предел
xy x2
.
(x,y)→(+∞,+∞) x2 + y 2
xy x2 1 x2
⩽
. Отсюда
Из неравенства x2 + y 2 ⩾ 2xy следует, что 0 <
x2 + y 2
2
xy x2
lim
= 0.
(x,y)→(+∞,+∞) x2 + y 2
lim
134
Глава 7. Функция двух переменных
7.3. Непрерывная функция двух переменных
Рассмотрим функцию z = f (x, y) = f (X), определенную в некоторой
= (x0 , y0 ). Функцию f называют
δ-окрестности E точки X0
н е п р е р ы в н о й в т о ч к е X0 , если ее предел при X → X0 совпадает со значением функции в точке X0 , т. е.
lim f (X) = f (X0 ).
X→X0
С помощью « ε - δ » определение непрерывной в точке функции формулируется следующим образом:
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀X ∈ E : ρ(X, X0 ) ⩽ δ(ε) ⇒ |f (X) − f (X0 )| ⩽ ε.
Функция f непрерывна в точке X0 тогда и только тогда, когда приращение функции Δz = f (X0 + ΔX) − f (X0 ) стремится к нулю при ΔX,
стремящемся к (0, 0).
Пусть X0 — предельная, хотя и не обязательно внутренняя точка множества D. Если
lim
f (X) = f (X0 ),
X→X0 ,X∈D
то f называют н е п р е р ы в н о й в точке X0 в д о л ь м н о ж е с т в а D.
Введенное понятие непрерывности функции в точке (x0 , y0 ) иногда называют н е п р е р ы в н о с т ь ю п о с о в о к у п н о с т и п е р е м е н н ы х, в отличие
от н е п р е р ы в н о с т и п о x и по y, т. е. непрерывности функций f (x, y0 ),
f (x0 , y) соответственно. Если f непрерывна в точке (x0 , y0 ) по совокупности переменных, то она непрерывна и по x, и по y. Обратное утверждение,
вообще говоря, неверно (пример 7.3).
Если X0 — изолированная точка множества D, то функцию f : D → R
считаем непрерывной в точке X0 вдоль множества D по определению.
Функцию f : D → R называют н е п р е р ы в н о й н а м н о ж е с т в е D,
если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Рассмотрим функции x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), определенные на множестве E. Пусть (ϕ(u, v), ψ(u, v)) ∈ D ∀(u, v) ∈ E, где D — множество,
на котором определена функция z = f (x, y). Можно построить сложную
функцию g(u, v) = f (ϕ(u, v), ψ(u, v)), (u, v) ∈ E.
Теорема о непрерывности сложной функции
Если функции ϕ и ψ непрерывны в точке (u0 , v0 ) вдоль множества E, а
f непрерывна в точке (x0 , y0 ), x0 = ϕ(u0 , v0 ), y0 = ψ(u0 , v0 ), вдоль множества D, то сложная функция g(u, v) = f (ϕ(u, v), ψ(u, v)) непрерывна
в точке (u0 , v0 ) вдоль множества E.
7.3. Непрерывная функция двух переменных
135
Доказательство. Поскольку функция f (x, y) непрерывна в точке
(x0 , y0 ) вдоль множества D, то
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀(x, y) ∈ D : ρ((x, y), (x0 , y0 ) ⩽ δ(ε) ⇒
⇒ |f (x, y) − f (x0 , y0 )| ⩽ ε.
(7.2)
Из непрерывности функций x(u, v), y(u, v) в точке (u0 , v0 ) вдоль множества
E имеем
δ(ε) δ(ε) ∃ν
> 0, ∀(u, v) ∈ E : ρ((u, v), (u0 , v0 )) ⩽ ν
⇒
2
2
⇒ |x(u, v) − x(u0 , v0 )| ⩽
δ(ε)
δ(ε)
, |y(u, v) − y(u0 , v0 )| ⩽
.
2
2
(7.3)
Теперь из соотношений (7.2)—(7.3) вытекает
∀ε > 0, ∃ν(δ(ε)) > 0, ∀(u, v) ∈ E : ρ((u, v), (u0 , v0 )) ⩽ ν(δ(ε)) ⇒
⇒ |f (x(u, v), y(u, v)) − f (x0 , y0 )| ⩽ ε,
что означает непрерывность функции g(u, v) в точке (u0 , v0 ) вдоль множества E. Свойства непрерывных функций двух переменных
1. Если f (X) непрерывна в точке X0 и f (X0 ) = 0, то существует окрестность точки X0 , во всех точках которой функция f (X) имеет тот же знак,
что и f (X0 ) (теорема о стабилизации знака)(доказать).
2. Если f (X) непрерывна в точке X0 , то X0 обладает окрестностью, на
которой f (X) ограничена (теорема о локальной ограниченности)(доказать).
3. Если непрерывная на связном множестве D функция f (X) принимает значения p и q, то она принимает любое промежуточное значение c
(теорема о промежуточных значениях).
Доказательство. Пусть f (X1 ) = p, f (X2 ) = q, p < c < q, и пусть
x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b], −
кривая, принадлежащая D и соединяющая точки X1 и X2 . Сложная функция f (x(t), y(t)) непрерывна на [a, b] и f (x(a), y(a)) = p, f (x(b), y(b)) = q.
По теореме о промежуточных значениях скалярной функции отображение
f (x(t), y(t)) принимает значение c в некоторой точке t0 . Тогда f (X) принимает значение c в точке X0 = (x(t0 ), y(t0 )). 4. Если f (X) непрерывна на компакте D, то среди ее значений есть
наибольшее и наименьшее (теорема Вейерштрасса).
136
Глава 7. Функция двух переменных
Доказательство. Пусть sup f (X) = M ⩽∞. Возьмем возрастающую поX∈D
следовательность αn → M. Для каждого n найдется Xn ∈ D, f (Xn ) ⩾ αn .
n→∞
По теореме о компакте из последовательности (Xn ) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность Xnk → X0 ∈ D. Переходя к пределу в
nk →∞
неравенстве f (Xnk ) ⩾ αnk , на основании непрерывности f (X), получаем
f (X0 ) ⩾ M. Отсюда следует, что M ∈ R и f (X0 ) = M. Следствие. Непрерывная на компакте функция ограничена (доказать).
5. Функцию f : D → R называют равномерно непрерывной на D, если
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀X2 , X2 ∈ D : ρ(X1 , X2 ) ⩽ δ(ε) ⇒ |f (X1 ) − f (X2 )| ⩽ ε.
Непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна (теорема
Кантора)(доказать).
6. Если f (X) и g(X) непрерывны в точке X0 , то
а) линейная комбинация αf (X) + βg(X), α, β ∈ R,
б) произведение f (X)g(X),
f (X)
(при условии g(X0 ) = 0), также непрерывны в точке
в) частное
g(X)
X0 (доказать).
Пример 7.3. Рассмотрим функцию
xy
f (x, y) =
, x2 + y 2 = 0,
x2 + y 2
0, x = y = 0.
Многочлены xy, x2 + y 2 непрерывны при всех (x, y) ∈ R2 , функция f (x, y)
непрерывна при всех (x, y) ∈ R2 , кроме точки (0, 0), как частное непрерывных функций со знаменателем, не равным нулю. Поскольку f (x, 0) =
= 0, f (0, y) = 0, то функция f (x, y) непрерывна по x и по y в точке
(0, 0), но разрывна в точке (0, 0) по совокупности переменных. Действительно, f (1/n, 1/n) = 1/2 → 1/2; f (1/n, −1/n) = −1/2 → −1/2. Из критерия
Гейне следует, что
lim f (x, y) не существует.
(x,y)→(0,0)
7.4. Дифференцируемая функция двух переменных
Рассмотрим функцию z = f (x, y) = f (X), определенную в некоторой
δ-окрестности точки X0 = (x0 , y0 ). Построим приращение
Δf = f (x0 + Δx, y0 + Δy) − f (x0 , y0 ),
где Δx = x − x0 , Δy = y − y0 .
7.4. Дифференцируемая функция двух переменных
137
Функцию f называют д и ф ф е р е н ц и р у е м о й в т о ч к е X0 , если существуют постоянные A и B такие, что приращение Δf можно представить
в виде
(7.4)
Δf = AΔx + BΔy + o( (Δx)2 + (Δy)2 ),
здесь применен символ o( (Δx)2 + (Δy)2 ), который используют вместо
функций β(Δx, Δy), удовлетворяющих условию
β(Δx, Δy)
lim
(Δx,Δy)→(0,0)
(Δx)2 + (Δy)2
= 0.
Выражение AΔx+BΔy называют д и ф ф е р е н ц и а л о м функции и обозначают df = AΔx + BΔy. Если обозначить Δx = dx, Δy = dy, то
df = Adx + Bdy.
Поскольку из (7.4) следует, что Δf → 0 при (Δx, Δy) → (0, 0), то из
дифференцируемости функции в точке (x0 , y0 ) вытекает ее непрерывность в
этой точке.
Если у функции f (x, y) фиксировать второй аргумент y, то производную
скалярной функции ϕ(x) = f (x, y) называют ч а с т н о й п р о и з в о д н о й
∂f
или fx . Аналогично
от f по x. Эту частную производную обозначают
∂x
определяют fy . Например, если f (x, y) = x3 y 2 + sin xy, то fx = 3x2 y 2 +
+ y cos xy, fy = 2x3 y + x cos xy.
Введем частные приращения Δx f = f (x0 + Δx, y0 ) − f (x0 , y0 ), Δy f =
= f (x0 , y0 + Δy) − f (x0 , y0 ). Предположим, что f дифференцируема в точке
(x0 , y0 ). Положив в равенстве (7.4) Δy = 0, получим Δx f = AΔx + o(Δx),
o(Δx)
Δx f
= A+
, Δx → 0, fx (x0 , y0 ) = A. Аналогично, если Δx = 0, то
Δx
Δx
Δy f = BΔy +o(Δy), fy (x0 , y0 ) = B. Таким образом, для дифференцируемой
функции ее дифференциал df равен
df = fx dx + fy dy.
(7.5)
Существование частных производных в точке обеспечивает непрерывность f по каждой переменной в этой точке, но не обеспечивает ее непрерывность по совокупности переменных и тем более ее дифференцируемость
в этой точке (пример 7.3).
Плоскость z = z0 + A(x − x0 ) + B(y − y0 ) называют к а с а т е л ь н о й
к графику функции z = f (x, y) в точке (x0 , y0 ), если она удовлетворяет
условию
f (x, y)−z0 −A(x−x0 )−B(y−y0 ) = o(
(Δx)2 + (Δy)2 ), Δx = x−x0 , Δy = y−y0 .
138
Глава 7. Функция двух переменных
Из определения дифференцируемости функции следует, что касательная
плоскость к графику дифференцируемой функции f существует, и уравнение касательной плоскости имеет вид
z = z0 + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ).
С геометрической точки зрения дифференциал функции f в точке
(x0 , y0 ) — это приращение, возникающее при замене графика функции касательной плоскостью при переходе от точки (x0 , y0 ) к точке (x0 +Δx, y0 +Δy)
(рис. 7.5). Частная производная fx (x0 , y0 ) равна тангенсу угла, который образует касательная к кривой z = f (x, y), y = y0 , с осью 0x.
Рис. 7.5. Геометрический смысл дифференциала
Теорема о частных производных сложной функции
Если f (x, y) дифференцируема в точке (x0 , y0 ), а функции x = x(u, v), y =
= y(u, v) дифференцируемы в точке (u0 , v0 ) и x(u0 , v0 ) = x0 , y(u0 , v0 ) = y0 ,
то сложная функция g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) имеет в точке (u0 , v0 )
конечные частные производные, которые могут быть вычислены по следующему правилу «цепочки»:
gu (u0 , v0 ) = fx (x0 , y0 )xu (u0 , v0 ) + fy (x0 , y0 )yu (u0 , v0 ),
gv (u0 , v0 ) = fx (x0 , y0 )xv (u0 , v0 ) + fy (x0 , y0 )yv (u0 , v0 ).
Доказательство. Из условий теоремы следует
Δu x = x(u0 + Δu, v0 ) − x(u0 , v0 ) = xu Δu + o(Δu),
(7.6)
7.4. Дифференцируемая функция двух переменных
139
Δu y = y(u0 + Δu, v0 ) − y(u0 , v0 ) = yu Δu + o(Δu),
Δf = fx Δx + fy Δy + o(
(Δx)2 + (Δy)2 ).
Теперь Δu g можно представить в виде
Δu g = g(u0 + Δu, v0 ) − g(u0 , v0 ) =
= f (x(u0 + Δu, v0 ), y(u0 + Δu, v0 )) − f (x(u0 , v0 ), y(u0 , v0 )) =
= fx (x0 , y0 )(x(u0 + Δu, v0 ) − x(u0 , v0 )) + fy (x0 , y0 )(y(u0 + Δu, v0 ) − y(u0 , v0 ))+
+o(
(Δu x)2 + (Δu y)2 ) =
= fx (xu Δu + o(Δu)) + fy (yu Δu + o(Δu)) + o(
(Δu x)2 + (Δu y)2 ) =
= (fx xu + fy yu )Δu + γ,
где γ = o( (Δu x)2 + (Δu y)2 )+o(Δu). Покажем, что o(
= o(Δu). Действительно,
(7.7)
(Δu x)2 + (Δu y)2 ) =
(Δu x)2 + (Δu y)2 )
=
Δu→0
Δu
o( (Δu x)2 + (Δu y)2 ) Δu x 2 Δu y) 2
= lim
+
= 0.
Δu→0 ( (Δu x)2 + (Δu y)2 )
Δu
Δu
lim
o(
(7.8)
Из (7.7), (7.8) вытекает первая из формул (7.6). Вторая формула устанавливается аналогичным образом. Кратко формулы (7.6) можно записать в виде
gu = fx xu + fy yu ,
gv = fx xv + fy yv .
Формула конечных приращений для ф2п
Рассмотрим функцию f (x, y), определенную на прямоугольнике Π =
= {(x, y) : a < x < b, c < y < d} и имеющую конечные частные производные
fx , fy в каждой точке (x, y) этого прямоугольника. Пусть (x0 , y0 ), (x0 +
+ Δx, y0 + Δy) — две точки, принадлежащие Π. На основании формулы
конечных приращений для скалярной функции имеем
f (x0 + Δx, y0 + Δy) − f (x0 , y0 ) = f (x0 + Δx, y0 ) − f ((x0 , y0 ))+
+f (x0 + Δx, y0 + Δy) − f (x0 + Δx, y0 ) =
= fx (x0 + θ1 Δx, y0 )Δx + fy (x0 + Δx, y0 + θ2 Δy)Δy, 0 < θ1 , θ2 < 1.
(7.9)
Формулу (7.9) называют ф о р м у л о й к о н е ч н ы х п р и р а щ е н и й для
ф2п.
140
Глава 7. Функция двух переменных
Достаточное условие дифференцируемости
Если частные производные fx , fy непрерывны на открытом множестве
D, то f дифференцируема в каждой точке этого множества.
Доказательство. Возьмем произвольную точку (x0 , y0 ) ∈ D и некоторую δ-окрестность этой точки, принадлежащую D. Пусть Π1 = {(x, y) : x0 −
− a < x < x0 + a, y0 − a < y < y0 + a} — квадрат, вписанный в указанную
δ-окрестность. Используя формулу (7.9), приращение функции Δf = f (x0 +
+ Δx, y0 + Δy) − f (x0 , y0 ) для всех Δx, Δy таких, что |Δx| < a, |Δy| < a,
можно представить в виде
Δf = fx (x0 + θ1 Δx, y0 )Δx + fy (x0 + Δx, y0 + θ2 Δy)Δy =
= fx (x0 , y0 )Δx + fy (x0 , y0 )Δy + α,
где
α=
fx (x0 + θ1 Δx, y0 ) − fx (x0 , y0 )
+ fy (x0 + Δx, y0 + θ2 Δy) − fy (x0 , y0 )
Δx
+
(Δx)2 + (Δy)2
Δy
(Δx)2 + (Δy)2 .
2
2
(Δx) + (Δy)
В силу непрерывности частных производных fx , fy предел
√
lim
(Δx)2 +(Δy)2 →0
α
(Δx)2 + (Δy)2
равен 0, т. е. α = o( (Δx)2 + (Δy)2 ). Таким образом, Δf = fx (x0 , y0 )Δx +
+ fy (x0 , y0 )Δy + o( (Δx)2 + (Δy)2 ). Рассмотрим функцию f : D → R, определенную на открытом множестве
D ∈ R2 . Функцию f называют н е п р е р ы в н о д и ф ф е р е н ц и р у е м о й
на D, если ее частные производные непрерывны на D. Из достаточного
условия дифференцируемости следует, что непрерывно дифференцируемая
функция на открытом множестве D является дифференцируемой в каждой
точке этого множества или кратко дифференцируемой на D.
Рассмотрим теперь функцию f : D → R, определенную на произвольном
множестве D. Отображение f¯, заданное на множестве D1 ⊃ D, называют
продолжением f c D на D1 , если f (X) = f¯(X) ∀X ∈ D. Функцию f называют непрерывно дифференцируемой на D, если существует непрерывно
дифференцируемое продолжение f¯ функции f с D на некоторое открытое
множество D1 ⊃ D.
Пусть z = f (x, y), (x, y) ∈ D, — непрерывно дифференцируемая на D
функция. Найдем dz в двух случаях:
1) x, y — независимые переменные,
7.4. Дифференцируемая функция двух переменных
141
2) x = x(u, v), y = y(u, v), где x(u, v), y(u, v) — непрерывно дифференцируемые функции на некотором множестве E таком, что для любых (u, v) ∈ E
точка (x(u, v), y(u, v)) принадлежит D.
В первом случае
dz = fx dx + fy dy,
(7.10)
во втором случае из теоремы о частных производных сложной функции и из достаточного условия дифференцируемости следует, что функция
f (x(u, v), y(u, v)) дифференцируема на E и
dz = (fx xu + fy yu )du + (fv vv + fy yv )dv =
= fx (xu du + xv dv) + fy (yu du + yv dv) = fx dx + fy dy.
(7.11)
Сравнивая формулы (7.10), (7.11), видим, что первый дифференциал
функции двух переменных обладает следующим свойством: формула для его
вычисления одна и та же как в случае, когда x, y — независимые переменные, так и в случае, когда x, y являются функциями. Это свойство первого дифференциала называют и н в а р и а н т н о с т ь ю ф о р м ы п е р в о г о
д и ф ф е р е н ц и а л а.
Правила дифференцирования функций двух переменных такие же, как и
для скалярных функций. Если f (x, y), g(x, y) — две непрерывно дифференцируемые на множестве D функции, то f + g; f g; f /g, если g(x, y) = 0,
непрерывно дифференцируемы на D и
а) d(f + g) = df + dg;
б) d(f g) = gdf + f dg;
gdf − f dg
, если g(x, y) = 0.
в) d(f /g) =
g2
Докажем, например, б). Из теоремы о частных производных сложной
функции следует, что произведение f (x, y)g(x, y) является функцией, непрерывно дифференцируемой на D и d(f g) = (f g)x dx+(f g)y dy = (fx g+f gx )dx+
+ (fy g + f gy )dy = gdf + f dg.
Производная по направлению. Градиент
Рассмотрим функцию f, заданную в окрестности точки X0 = (x0 , y0 ).
Пусть
l : x = t cos α, y = t sin α, 0 ⩽ t < +∞, −
луч, выходящий из точки (0, 0) и образующий угол α с осью 0x, а
d = i cos α + j sin α — единичный вектор, параллельный лучу l. Приращением функции f вдоль луча l (или вдоль направления, заданного этим лучом)
в точке X0 называют величину
Δl f = f (x0 + Δt cos α, y0 + Δt sin α) − f (x0 , y0 ).
142
Глава 7. Функция двух переменных
Предел
Δl f
Δt→0 Δt
называют п р о и з в о д н о й ф у н к ц и и f п о н а п р а в л е н и ю l в точке
∂f X0 и обозначают
. Поскольку Δl f совпадает с приращением сложной
∂l X0
функции t → f (x0 + t cos α, y0 + t sin α) в точке t = 0, то производная по
направлению совпадает с производной сложной функции f (x0 + t cos α, y0 +
+ t sin α) в точке t = 0. По правилу дифференцирования сложной функции
∂f =
= (f (x0 + t cos α, y0 + t sin α))t ∂l X0
t=0
∂f ∂f (7.12)
=
cos α +
sin α.
∂x X0
∂y X0
lim
Вектор
∂f
∂f
i+
j
∂x
∂y
называют г р а д и е н т о м функции f и обозначают grad f. Из формулы
(7.12) следует, что
∂f
= (grad f, d) = |grad f | cos ϕ,
∂l
где ϕ — угол, который образуют векторы grad f и d, а (grad f, d) —
скалярное произведение векторов. Отсюда в частности следует, что производная ∂f /∂l принимает наибольшее значение, когда векторы grad f и d
параллельны, а наименьшее, когда указанные векторы имеют противополож∂f ное направление, и равна 0, если ортогональны. Так как производная
∂l X0
характеризует скорость изменения функции в направлении l в точке (x0 , y0 ),
то grad f указывает направление, в котором скорость изменения функции
наибольшая.
Пример 7.4. Исследуем дифференцируемость функции
f (x, y) = 3 x3 + y 3 .
Вычислим частные производные функции f :
fx (0, 0) = lim
Δx→0
f (Δx, 0) − f (0, 0)
Δx
= lim
= 1,
Δx→0 Δx
Δx
f (0, Δy) − f (0, 0)
Δy
= lim
= 1,
Δy→0
Δy→0 Δy
Δy
fy (0, 0) = lim
7.5. Частные производные и дифференциалы
fx (x, y) =
fy (x, y) =
⎧
⎨
⎩
x2
3
⎧
⎨
⎩
143
, (x, y) = (0, 0),
(x3 + y 3 )2
1, (x, y) = (0, 0),
y2
3
, (x, y) = (0, 0),
(x3 + y 3 )2
1, (x, y) = (0, 0).
Поскольку частные производные непрерывны в области R2 \ (0, 0), то согласно достаточному условию дифференцируемости, функция дифференцируема
в области R2 \ (0, 0).
Чтобы исследовать дифференцируемость функции в точке (0, 0), запишем приращение Δf (0, 0) в виде Δf (0, 0) = 3 (Δx)3 + (Δy)3 = Δx + Δy +
+ β(Δx, Δy), где β(Δx, Δy) = 3 (Δx)3 + (Δy)3 − Δx − Δy. Так как
√
3
β(1/n, 1/n)
2−2
= √ ,
lim
2
2
n→∞
2
(1/n) + (1/n)
β(Δx, Δy)
= 0, следовательно, приращение Δf (0, 0) нельΔx2 + Δy 2
зя представить в виде (7.4), и поэтому функция f не дифференцируема в
точке (0, 0).
то
lim
(Δx,Δy)→(0,0)
7.5. Частные производные и дифференциалы
высших порядков функции двух переменных
Допустим, что функция двух переменных z = f (x, y) имеет на открытом
множестве D частные производные fx (x, y), fy (x, y). Эти производные также являются функциями двух переменных и, если они в свою очередь имеют частные производные, то их называют ч а с т н ы м и п р о и з в о д н ы м и
в т о р о г о п о р я д к а для функции f :
∂2f
∂ ∂f ∂ ∂f ∂ 2 f
=
=
= fxy
=
f
;
;
2
x
∂x ∂x
∂x2
∂y ∂x
∂y∂x
∂2f
∂ ∂f ∂ 2 f
∂ ∂f =
= fyx
=
;
= fy2 .
∂x ∂y
∂x∂y
∂y ∂y
∂y 2
По аналогии с частными производными второго порядка вводятся ч а с т н ы е
п р о и з в о д н ы е т р е т ь е г о п о р я д к а:
∂ ∂2f ∂3f
∂ ∂2f ∂3f
=
f
;
= fx2 y ;
=
=
3
x
2
3
2
2
∂x ∂x
∂x
∂y ∂x
∂y∂x
144
Глава 7. Функция двух переменных
∂ ∂2f ∂3f
=
= fxyx , . . .
∂x ∂y∂x
∂x∂y∂x
, f , f
и всех последующих порядков. Производные fxy
yx
xy 2 , fx2 y , . . . называют с м е ш а н н ы м и.
Пример 7.5
z = sin(x2 + y 3 ); zx = 2x cos(x2 + y 3 ), zy = 3y 2 cos(x2 + y 3 ),
zxy
= 6xy 2 sin(x2 + y 3 ), zyx
= 6xy 2 sin(x2 + y 3 ), zxy
= zyx
.
Как показывает следующая теорема, совпадение смешанных производных в
последнем примере не является случайным фактом.
Теорема о смешанных производных
Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны в
некоторой точке, то они совпадают в этой точке.
, f в
Доказательство. Из непрерывности смешанных производных fxy
yx
точке (x0 , y0 ) следует, что частные производные fx , fy , fxy , fyx определены
в некоторой окрестности точки (x0 , y0 ). Рассмотрим функции
ϕ(x) = f (x, y0 + Δy) − f (x, y0 ), Δy = 0,
ψ(y) = f (x0 + Δx, y) − f (x0 , y), Δx = 0,
и выражение
ω = f (x0 + Δx, y0 + Δy) − f (x0 + Δx, y0 ) − f (x0 , y0 + Δy) + f (x0 , y0 ),
которое можно представить двумя способами
ω = ϕ(x0 + Δx) − ϕ(x0 ),
ω = ψ(y0 + Δy) − ψ(y0 ).
Применяя дважды формулу конечных приращений (п. 3.5), получаем
ω = ϕx (x0 + θ1 Δx)Δx = (fx (x0 + θ1 Δx, y0 + Δy) − fx (x0 + θ1 Δx, y0 ))Δx,
ω = ψy (y0 + θ2 Δy)Δy = (fy (x0 + Δx, y0 + θ2 Δy) − fy (x0 , y0 + θ2 Δy))Δy.
Используя эту формулу еще дважды, имеем
ω = fxy
(x0 + θ1 Δx, y0 + θ3 Δy)ΔxΔy,
ω = fyx
(x0 + θ4 Δx, y0 + θ2 Δy)ΔxΔy.
7.5. Частные производные и дифференциалы
145
Отсюда после сокращения на ΔxΔy получаем равенство
fxy
(x0 + θ1 Δx, y0 + θ3 Δy) = fyx
(x0 + θ4 Δx, y0 + θ2 Δy).
Перейдя в последнем соотношении к пределу при Δx → 0, Δy → 0, придем, в
, f , к равенству смешанных частных производных
силу непрерывности fxy
yx
, f в точке (x , y ). fxy
0 0
yx
Функцию z = f (x, y) называют m р а з н е п р е р ы в н о д и ф ф ер е н ц и р у е м о й на открытом множестве D, если все ее частные производные порядка m непрерывны на D. Из теоремы о смешанных производных
следует, что для m раз непрерывно дифференцируемой функции величины смешанных производных, содержащих одинаковое число дифференци
рований по x и по y, совпадают. Например, убедимся, что fxyx = fx2 y .
=
Возьмем функцию g = fx . По теореме о смешанных производных gxy
= gyx . Подставим сюда вместо g функцию fx , получим требуемое равенство
(fx )yx = (fx )xy . Частные производные m раз непрерывно дифференцируемой функции, содержащие k дифференцирований по x и (m − k) дифференцирований по y, обозначают
∂mf
.
∂xk ∂y (m−k)
Дифференциал функции z = f (x, y) равен df = fx (x, y)Δx+fy (x, y)Δy и
зависит от x, y, Δx, Δy. Если считать, что приращения Δx, Δy фиксированы, то df является функцией лишь от x и y. Дифференциал от df при условии, что Δx, Δy фиксированы, называют в т о р ы м д и ф ф е р е н ц и а л о м
функции и обозначают d2 f, при этом предполагается, что при вычислении
второго дифференциала приращения Δx, Δy выбираются такими же, как
и при вычислении первого дифференциала. Предположим, что f дважды
непрерывно дифференцируема на открытом множестве D, тогда
ΔxΔy + fyx
ΔxΔy + fy2 (Δy)2 =
d2 f = d(fx Δx + fy Δy) = fx2 (Δx)2 + fxy
= Δx = dx, Δy = dy = fx2 dx2 + 2fxy
dxdy + fy2 dy 2 .
(7.13)
Если функция f m раз непрерывно дифференцируема на открытом множестве D, то
dm f := d(dm−1 f ), dm f =
m
k=0
k
Cm
∂mf
dxk dy m−k .
∂xk ∂y m−k
(7.14)
Формулу (7.14) можно доказать c помощью принципа математической индукции по схеме доказательства правила Лейбница (п. 3.4).
146
Глава 7. Функция двух переменных
Введем оператор дифференцирования d :=
dm :=
∂
∂x
∂
∂
dx + ∂y
dy и его степени
∂x
∂ m k
∂m
dy
=
Cm k m−k dxk dy m−k .
∂y
∂x ∂y
m
dx +
k=0
m
∂
∂
Теперь формулу (7.14) можно записать в виде dm f = ∂x
dx + ∂y
dy f.
Дифференциалы высших порядков, в отличие от дифференциала первого
порядка, уже не обладают инвариантностью формы. Действительно,
z = f (x(u, v), y(u, v)), dz = fx dx + fy dy,
d2 z = dxd(fx ) + fx d2 x + dyd(fy ) + fy d2 y =
dy) + dy(fyx
dx + fy2 dy) + fx d2 x + fy d2 y =
= dx(fx2 dx + fxy
dxdy + fy2 dy 2 + fx d2 x + fy d2 y,
= fx2 dx2 + 2fxy
(7.15)
где dx = xu du + xv dv, dy = yu du + yv dv. Формула (7.13) отличается от (7.15)
наличием дополнительных слагаемых fx d2 x + fy d2 y.
В одном важном случае, а именно, если x, y линейно выражаются через
u, v, формула для dm f остается такой же, как и в случае независимых x, y
x = au + bv + p, dx = adu + bdv, d2 x = 0,
y = cu + lv + q, dy = cdu + ldv, d2 y = 0,
∂
∂ m
dx +
dy f.
d2 z = fx2 dx2 + 2fxy
dxdy + fy2 dy 2 , . . . , dm z =
∂x
∂y
7.6. Формула Тейлора
для функции двух переменных
Допустим, что ф2п f m+1 раз непрерывно дифференцируема на открытом множестве E, содержащем точку X0 = (x0 , y0 ). Возьмем приращение
ΔX = (Δx, Δy) такое, что отрезок, соединяющий точки X0 , X0 + ΔX, принадлежит E. Построим сложную функцию
g(t) = f (x0 + tΔx, y0 + tΔy),
которая определена и m+1 раз непрерывно дифференцируема на некотором
интервале (−α, 1 + α), α > 0. Функцию g(t) можно представить по формуле Тейлора в дифференциалах с остаточным членом в форме Лагранжа в
следующем виде (п. 3.8)
g(Δt) − g(0) =
dm g(0) dm+1 g(θΔt)
dg(0)
+ ... +
+
,
1!
m!
(m + 1)!
(7.16)
7.6. Формула Тейлора
147
где Δt ∈ (−α, 1 + α), 0 < θ < 1. Поскольку функции x = x0 + tΔx, y =
= y0 + tΔy линейно выражаются через t и t — независимая переменная, то
dt = Δt, dx = Δxdt, dy = Δydt и
dk g =
∂
∂x
dx +
k
∂
∂ k
∂
dy f = (Δt)k
Δx +
Δy f.
∂y
∂x
∂y
(7.17)
Если положить в формуле (7.16) Δt = 1 и воспользоваться (7.17), то получим
f (X0 + ΔX) − f (X0 ) =
+
dm f (X0 )
df (X0 )
+ ... +
+
1!
m!
dm+1 f (X0 + θΔX)
.
(m + 1)!
(7.18)
Формулу (7.18) называют ф о р м у л о й Т е й л о р а для ф2п с остаточным
членом в форме Лагранжа. Если в формуле (7.18) заменить Δx на x − x0 ,
Δy на y − y0 , то она примет вид
f (x, y) = f (x0 , y0 ) +
1 ∂
∂
(x − x0 ) +
(y − y0 ) f (x0 , y0 ) + . . . +
1! ∂x
∂y
m
∂
1 ∂
(x − x0 ) +
(y − y0 ) f (x0 , y0 )+
m! ∂x
∂y
(m+1)
∂
1
∂
(x − x0 ) +
(y − y0 )
+
f (x0 + θΔx, y0 + θΔy).
(m + 1)! ∂x
∂y
+
k
Если учесть, что k!l!Ck+l
= (k + l)!, то последнюю формулу можно записать
в виде
f (x, y) =
0⩽k+l⩽m
1 1 ∂ k+l f (x0 , y0 )
(x − x0 )k (y − y0 )l + Rm (x, y).
k! l!
∂xk ∂y l
Пример 7.6
f (x, y) = x2 + xy + y 3 , x0 = 1, y0 = 1,
df = (2x + y)dx + (x + 3y 2 )dy, d2 f = 2dx2 + 2dxdy + 6ydy 2 ,
d3 f = 6dy 3 , d4 f = 0,
f (x, y) = 3 + 3(x − 1) + 4(y − 1) + (x − 1)2 +
+(x − 1)(y − 1) + 3(y − 1)2 + (y − 1)3 .
148
Глава 7. Функция двух переменных
7.7. Теорема о неявной функции
Рассмотрим соотношение
F (x, y) = 0.
(7.19)
Пусть Γ — множество пар (x, y), удовлетворяющих соотношению (7.19),
т. е. Γ = {(x, y) : F (x, y) = 0}. Может оказаться, что Γ пусто, например,
F (x, y) = x2 + y 2 + 1 = 0. Может быть, что разные точки из Γ имеют одинаковые проекции на ось 0x, например, x2 + y 2 − 2 = 0, (1, 1), (1, −1). Но
основным случаем (именно его мы будем изучать) является следующий: существует прямоугольник Π = [a, b] × [c, d] такой, что проекция на ось 0x
множества Γ содержит отрезок [a, b] и не существует различных точек в пересечении Γ ∩ Π, имеющих одинаковые проекции на ось 0x. Тогда на отрезке [a, b] определена функция y = ϕ(x), которая каждому x ∈ [a, b] ставит
в соответствие единственное число y ∈ [c, d] такое, что F (x, y) = 0. Очевидно, что F (x, ϕ(x)) = 0 ∀x ∈ [a, b]. Эту функцию называют н е я в н о й
ф у н к ц и е й, заданной соотношением (7.19) в прямоугольнике Π. Например,
3
5 3
5
.
(7.20)
⩽ x ⩽ ,
⩽ y ⩽
x2 + y 2 − 2 = 0, Π = (x, y) :
4
4 4
4
Неявной функцией, заданной
соотношением (7.20) в прямоугольнике Π, яв√
2
ляется функция y = 2 − x , 3/4 ⩽ x ⩽ 5/4 (рис. 7.6).
Рис. 7.6
Если взять другой прямоугольник, например, Π1 =√{(x, y) : 3/4 ⩽ x ⩽ 5/4,
−5/4 ⩽ y ⩽ −3/4}, то такой функцией будет y = − 2 − x2 , 3/4 ⩽ x ⩽ 5/4.
7.7. Теорема о неявной функции
149
В прямоугольнике
Π2 = {(x, y) : −2 ⩽ x ⩽ −1, −1/2 ⩽ y ⩽ 1/2}
неявной функции вида y = ϕ(x) нет, но есть неявная функция вида
x = ψ(y),
x=−
1 − y 2 , −1/2 ⩽ y ⩽ 1/2.
Теорема о неявной функции
Пусть функция F (x, y) удовлетворяет условиям:
1) F (x0 , y0 ) = 0;
2) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (x0 , y0 );
3) Fy (x0 , y0 ) = 0.
Тогда существует прямоугольник
Π = {(x, y) : x0 − a ⩽ x ⩽ x0 + a, y0 − b ⩽ y ⩽ y0 + b}, a > 0, b > 0,
в котором соотношение F (x, y) = 0 задает непрерывно дифференцируемую
неявную функцию y = ϕ(x), производная которой равна
ϕ (x) = −
Fx (x, ϕ(x))
Fy (x, ϕ(x))
∀x ∈ [x0 − a, x0 + a].
Доказательство проведем для случая Fy (x0 , y0 ) > 0 и разобьем на два
этапа.
П е р в ы й э т а п. Доказательство существования неявной функции.
Пусть B(X0 , δ) — окрестность точки X0 , в которой функция F непрерывно дифференцируема. По теореме о стабилизации знака неравенство
Fy (x, y) > 0 имеет место для всех X = (x, y) из некоторой окрестности
B(X0 , δ1 ), 0 < δ1 ⩽ δ, точки (x0 , y0 ). Выберем числа a и b таким образом,
чтобы прямоугольник Π = {(x, y) : x0 − a ⩽ x ⩽ x0 + a, y0 − b ⩽ y ⩽ y0 + b}
содержался в круге B(X0 , δ1 ). Согласно критерию строгой монотонности,
функция y → F (x0 , y) строго возрастает на отрезке [y0 − b, y0 + b] (рис. 7.7).
Поэтому в точках (x0 , y0 − b) и (x0 , y0 + b) имеют место неравенства
F (x0 , y0 − b) < F (x0 , y0 ) = 0 < F (x0 , y0 + b).
150
Глава 7. Функция двух переменных
Рис. 7.7
Функции x → F (x, y0 − b), x → F (x, y0 + b) непрерывны по x, поэтому
за счет уменьшения a (в случае необходимости) можно добиться того, что
F (x, y0 − b) < 0 < F (x, y0 + b) ∀x ∈ [x0 − a, x0 + a].
По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции, для каждого
x̄ ∈ [x0 − a, x0 + a] существует число ȳ ∈ [y0 − b, y0 + b] такое, что F (x̄, ȳ) = 0.
Из строгой монотонности функции y → F (x̄, y) следует, что такая точка ȳ
единственная на отрезке [y0 − b, y0 + b]. Таким образом, определена функция
y = ϕ(x) (ϕ(x̄) = ȳ), удовлетворяющая условиям
F (x, ϕ(x)) = 0,
y0 − b ⩽ ϕ(x) ⩽ y0 + b ∀x ∈ [x0 − a, x0 + a].
Построенная функция является неявной функцией, заданной соотношением
(7.19) в прямоугольнике Π.
В т о р о й э т а п. Доказательство непрерывной дифференцируемости
неявной функции.
Прямоугольник Π является компактом. По теореме Вейерштрасса (п. 7.3)
¯, ȳ¯) ∈ Π такая, что
существует точка (x̄
¯, ȳ¯) > 0.
min Fy (x, y) = Fy (x̄
(x,y)∈Π
(7.21)
Согласно следствию из теоремы Вейерштрасса (п. 7.3)
|Fx (x, y)| ⩽ M − const ∀(x, y) ∈ Π.
(7.22)
Возьмем произвольную точку x ∈ [x0 − a, x0 + a]. Пусть x + Δx ∈ [x0 −
− a, x0 + a], Δx = 0. Поскольку y = ϕ(x) неявная функция, определяемая
7.7. Теорема о неявной функции
151
соотношением F (x, y) = 0, то F (x, ϕ(x)) = 0, F (x + Δx, ϕ(x + Δx)) = 0.
Применяя формулу конечных приращений (п. 7.4), получаем
0 = F (x + Δx, ϕ(x + Δx)) − F (x, ϕ(x)) =
= Fx (x + θ1 Δx, ϕ(x))Δx + Fy (x + Δx, ϕ(x) + θ2 Δϕ))Δϕ,
(7.23)
где 0 < θ1 < 1, 0 < θ2 < 1, Δϕ = ϕ(x + Δx) − ϕ(x). Отсюда
F (x + θ1 Δx, ϕ(x))
Δϕ
=− x
.
Δx
Fy (x + Δx, ϕ(x) + θ2 Δϕ)
(7.24)
Из соотношений (7.21)—(7.23) вытекает, что
|Δϕ| ⩽
M
¯, ȳ¯)
Fy (x̄
|Δx|,
следовательно, Δϕ → 0 при Δx → 0, т. е. неявная функция y = ϕ(x)
непрерывна в точке x ∈ [x0 − a, x0 + a].
Переходя к пределу при Δx → 0 в равенстве (7.24) и используя при этом
непрерывность частных производных Fx , Fy , получаем
ϕ (x) = −
Fx (x, ϕ(x))
Fy (x, ϕ(x))
∀x ∈ [x0 − a, x0 + a].
(7.25)
Непрерывность ϕ (x) следует из формулы (7.25) и теоремы о непрерывности
сложной функции. Производные высших порядков неявной функции.
Пусть выполнены условия теоремы о неявной функции. Тогда существует
неявная непрерывно дифференцируемая функция y = ϕ(x) такая, что
F (x, ϕ(x)) = 0 ∀x ∈ [x0 − a, x0 + a].
Дифференцируя это тождество по x, получаем
Fx (x, ϕ(x)) + Fy (x, ϕ(x))ϕ (x) = 0 ∀x ∈ [x0 − a, x0 + a].
(7.26)
Предположим дополнительно, что F дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (x0 , y0 ). Тогда рассуждая аналогично
доказательству непрерывной дифференцируемости неявной функции, можно показать, что функция y = ϕ(x) дважды непрерывно дифференцируема
в некоторой окрестности точки x0 . Дифференцируя тождество (7.26) по x,
получаем
ϕ + Fy2 (ϕ )2 + Fy ϕ ≡ 0.
(7.27)
Fx2 + 2Fxy
152
Глава 7. Функция двух переменных
Отсюда, учитывая, что ϕ = −
ϕ = −
Fx
, имеем
Fy
1
(F 2 (F )2 − 2Fxy
Fx Fy + Fy2 (Fx )2 ).
(Fy )3 x y
Следующие производные вычисляются последовательным дифференцированием тождества (7.27).
Пример 7.7. Соотношение y + ey−1 − x − 2 = 0 удовлетворяет всем условиям теоремы о неявной функции в некоторой окрестности точки (x0 , y0 ) =
= (0, 1). По теореме о неявной функции оно задает неявную непрерывно дифференцируемую функцию y = ϕ(x), определенную в некоторой окрестности
точки x0 = 0. Чтобы найти первые две производные этой функции можно
воспользоваться установленными выше формулами, но проще продифференцировать тождество ϕ(x) + eϕ(x)−1 − x − 2 ≡ 0 два раза
(1 + eϕ(x)−1 )ϕ (x) − 1 ≡ 0,
(1 + eϕ(x)−1 )ϕ (x) + eϕ(x)−1 (ϕ (x))2 ≡ 0
и найти искомые производные из этих соотношений
ϕ (x) =
1
,
1 + eϕ(x)−1
ϕ (x) = −
eϕ(x)−1
.
(1 + eϕ(x)−1 )3
ГЛАВА 8
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
8.1. Определение двойного интеграла
Рассмотрим фигуру D. Д и а м е т р о м ф и г у р ы называют величину
diamD =
sup
X1 ∈D,X2 ∈D
ρ(X1 , X2 ).
Фигура ограничена, т. е. содержится в некотором круге, в том и только
том случае, когда diamD < ∞ (доказать). Говорят, что фигура D имеет
н у л е в у ю п л о щ а д ь, если для любого ε > 0 существует простая фигура
P , содержащая фигуру D , такая, что пл. P ⩽ ε.
Лемма 8.1
Простая гладкая кривая l имеет нулевую площадь.
Доказательство. Пусть дл. l = A. Разобьем кривую l точками
M1 , . . . , Mn на n − 1 часть, длина каждой ⩽ A/n. Построим n квадратов
с центрами в точках Mi , i = 1, . . . , n, со сторонами, параллельными осям
координат длины 2A/n. Объединение квадратов является простой фигурой
4A2
4A2
.
P, содержащей кривую l, и пл. P ⩽ n 2 ⩽ ε, если n ⩾
n
ε
Кривую
x = x(t),
l:
t ∈ [a, b],
y = y(t),
называют к у с о ч н о-г л а д к о й, если существует разбиение a = α0 < α1 <
< . . . < αm = b отрезка [a, b] на части [αk−1 , αk ] такое, что функции
x(t), y(t) непрерывно дифференцируемы на отрезках [αk−1 , αk ] (на концах
отрезков рассматриваются односторонние производные) и
(ẋ(t))2 + (ẏ(t))2 = 0, t ∈ (αk−1 , αk ), k = 1, . . . , m.
154
Глава 8. Двойной интеграл
Следствие 8.1
Простая кусочно-гладкая кривая имеет нулевую площадь.
Ограниченная фигура квадрируема тогда и только тогда, когда ее граница имеет нулевую площадь (доказать).
Пересечение и объединение конечного числа квадрируемых фигур являются квадрируемыми фигурами (доказать). Фигура, ограниченная простой
кусочно-гладкой кривой, квадрируема. В дальнейшем рассматриваем лишь
квадрируемые фигуры.
Совокупность множеств {Dk } = {D1 , . . . , Dn } называют р а з б и е н и е м
ф и г у р ы D, если объединение всех Dk составляет D и никакие две части из {Dk } не имеют общих внутренних точек. Если {Dk } — разбиение
n
D, то пл. D =
пл. Dk . Величину δ({Dk }) = max {diamDk } называют
1⩽k ⩽n
k=1
д и а м е т р о м р а з б и е н и я.
Допустим, что задана функция f : D → R. Возьмем разбиение {Dk }
фигуры D на n частей и выберем по точке Xk = (xk , yk ) в каждой части
Dk . Построим и н т е г р а л ь н у ю с у м м у
σ=
n
f (Xk )пл.Dk .
k=1
Если существует число I такое, что
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀{Dk } : δ({Dk }) ⩽ δ(ε), ∀Xk ∈ Dk ⇒ |σ − I| ⩽ ε,
то функцию f называют и н т е г р и р у е м о й п о Р и м а н у на D, а число
I — д в о й н ы м и н т е г р а л о м о т f п о D (2И) и обозначают
f (x, y)dxdy.
D
Первое необходимое условие интегрируемости
Если f интегрируема по Риману на D, то для любой последовательности
разбиений ({Dk }m ), k = 1, . . . , nm , m = 1, 2, . . . , с диаметрами δm → 0,
m→+∞
для любых точек (Xk )m ∈ (Dk )m имеем
lim
m→+∞
nm
k=1
f ((Xk )m )пл.(Dk )m =
f (x, y)dxdy.
D
8.2. Геометрический смысл
155
Второе необходимое условие интегрируемости
Если f интегрируема по Риману на D, то f ограничена на D.
Доказательство этих теорем, а также следующих двух утверждений мы
опускаем, так как они проводятся строго по схемам, использованным при
доказательствах аналогичных теорем для однократного интеграла Римана.
Критерий интегрируемости Коши
Для интегрируемости f на D необходимо и достаточно, чтобы
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀{Dk } : δ({Dk }) ⩽ δ(ε), ∀Xk ∈ Dk ,
∀{Er }r=s
r=1 : δ({Er }) ⩽ δ(ε), ∀Yr ∈ Er ⇒ |σ − τ| ⩽ ε,
где τ =
s
r=1
f (Yr )пл.Er .
Теорема об интегрируемости непрерывной на компакте функции
Непрерывная на компакте функция интегрируема по Риману на этом
компакте.
8.2. Геометрический смысл
и свойства двойного интеграла
Всякую совокупность точек в пространстве 0xyz называют т е л о м. Под
прямоугольным параллелепипедом понимают как множество
Ψ = {(x, y, z) : a ⩽ x ⩽ b, c ⩽ y ⩽ d, e ⩽ z ⩽ k},
так и любое множество, которое получается из Ψ удалением всей или части
границы. За объем прямоугольного параллелепипеда принимают число (b −
− a)(d − c)(k − e).
Тело называют п р о с т ы м, если его можно представить в виде объединения конечного числа непересекающихся прямоугольных параллелепипедов.
За объем простого тела принимают сумму объемов прямоугольных параллелепипедов, из которых оно составлено. Пусть T — ограниченное тело. Простые тела Ψ∗ , Ψ∗ такие, что Ψ∗ ⊂ T ⊂ Ψ∗ , называют соответственно вписанным и описанным для тела T. Если
{об.Ψ∗ } = V ∗ ,
V∗ = sup {об.Ψ∗ } = inf
∗
Ψ∗ ⊂T
Ψ ⊃T
то тело T называют к у б и р у е м ы м, а величину V = V∗ = V ∗ — его
о б ъ е м о м.
156
Глава 8. Двойной интеграл
Критерий кубируемости тела
Тело T кубируемо, если и только если ∀ε > 0 существуют вписанное и
описанное кубируемые тела T∗ , T ∗ такие, что об.T ∗ −об.T∗ ⩽ ε (доказать).
Цилиндр, в основании которого лежит квадрируемая фигура D с высотой, равной H, является кубируемым телом с об. T = пл.D × H (доказать).
Возьмем непрерывную неотрицательную определенную на компакте D
функцию f и рассмотрим ц и л и н д р о и д T, т. е. тело, ограниченное
сверху графиком функции z = f (x, y), снизу — координатной плоскостью
0xy, сбоку — цилиндрической поверхностью, направляющая которой — граница фигуры D, а образующие — прямые, параллельные оси 0z (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Цилиндроид
Разобьем фигуру D на компактные части Dk , k = 1, . . . , n. Пусть X k и
X k — точки, в которых f принимает максимальное и минимальное значения
на Dk . Тело Z, составленное из цилиндров с основаниями Dk и высотами
f (X k ), вписано в T, кубируемо и
об.Z =
n
f (X k )пл.Dk = σ.
k=1
Аналогично тело Z, составленное из цилиндров с основаниями Dk и высотами f (X k ), содержит T и
об.Z =
n
f (X k )пл.Dk = σ.
k=1
Пусть σm , σm — две последовательности интегральных сумм с диаметрами
δm → 0 и построенные таким же образом, как и суммы σ, σ. На основании
8.2. Геометрический смысл
157
теоремы об интегрируемости непрерывной на компакте функции и первого
необходимого условия
интегрируемости, последовательности σm , σm имеют
f
(x,
y)dxdy. По критерию кубируемости, тело T кубируобщий предел
D
емо и
об.T =
f (x, y)dxdy.
D
Свойства двойного интеграла
1. Линейность. Если f1 , f2 — две интегрируемые на D функции,
α, β ∈ R, то
(αf1 (x, y) + βf2 (x, y))dxdy =
D
f1 (x, y)dxdy + β
=α
D
f2 (x, y)dxdy
D
(доказать).
2. Монотонность. Если f и g — две интегрируемые на D функции и
f (x, y) ⩽ g(x, y) ∀(x, y) ∈ D, то
f (x, y)dxdy ⩽
g(x, y)dxdy
D
D
(доказать).
3. Теорема о среднем. Если f (x, y) непрерывна на связном компакте
D, то существует точка (ξ, η) ∈ D такая, что
f (x, y)dxdy = f (ξ, η)пл.D.
(8.1)
D
Доказательство. Пусть m = min f (x, y), M = max f (x, y). Тогда
(x,y)∈D
m · пл.D =
mdxdy ⩽
D
Если пл. D = 0, то и
(x,y)∈D
D
D
D f (x, y)dxdy = 0,
μ=
M dxdy = M · пл.D.
f (x, y)dxdy ⩽
1
пл.D
если пл. D > 0 и
f (x, y)dxdy,
(8.2)
D
то m ⩽ μ ⩽ M. В силу непрерывности f на связном множестве D существует
точка (ξ, η) ∈ D, что f (ξ, η) = μ. Отсюда и из равенства (8.2) вытекает
формула (8.1). 158
Глава 8. Двойной интеграл
8.3. Критерий Дарбу для двойного интеграла
Множество {X : ρ(X, Π) ⩽ q} = {X : ∃Y ∈ Π, ρ(X, Y ) ⩽ q} называют
q-окрестностью фигуры Π.
Лемма 8.2
Пусть площадь простой фигуры Π равна p = 0. Тогда ∃q > 0 такое, что
площадь q-окрестности фигуры Π не превосходит 2p.
Доказательство. Пусть l — периметр фигуры Π, а m — число ее вершин. Площадь q -окрестности не превосходит
p + lq + πq 2 m.
(8.3)
При достаточно малом q выражение (8.3) меньше 2p. Критерий Дарбу для двойного интеграла
I) Если функция f интегрируема на D, то для любого ε > 0, существует
δ(ε) > 0 такое, что для любого разбиения {Dk } фигуры D с диаметром
разбиения δ({Dk }) ⩽ δ(ε), интегральное колебание
Ω(f, {Dk }) =
n
ωk пл.Dk
k=1
не превосходит ε, где ωk =
sup
X1 ,X2 ∈Dk
|f (X1 ) − f (X2 )| — колебание f на Dk .
II) Если для любого ε > 0, существует разбиение {Dk } фигуры D, что
Ω(f, {Dk }) ⩽ ε,
(8.4)
то функция f интегрируема на D.
Первая часть критерия Дарбу, так же как и в случае однократного интеграла Римана, следует из критерия Коши интегрируемости f.
Докажем вторую часть критерия. Из условия (8.4) следует ограниченность f, т. е. |f (x)| ⩽ A − const ∀X ∈ D, поэтому колебание f на любом
подмножестве из D не превосходит 2A. Возьмем ε > 0 и разбиение {Dk },
для которого выполняется условие (8.4). Погрузим границы всех Dk в простую фигуру Π с площадью
p = пл.Π ⩽ ε.
(8.5)
Найдем в соответствии с леммой 8.2 число q такое, что площадь
q-окрестности фигуры Π не превосходит 2p.
8.3. Критерий Дарбу для двойного интеграла
159
Возьмем две произвольные интегральные суммы σ , σ , построенные по
разбиениям {Dr }, r = 1, . . . , s, {Dρ }, ρ = 1, . . . , t, фигуры D с диаметрами
меньшими, чем q/2. Расcмотрим разность
σ − σ =
s
t
f (Xr )пл.Dr −
ρ=1
r=1
f (Xρ )пл.Dρ =
(f (Xr ) − f (Xρ ))Δr,ρ ,
r,ρ
гдеΔr,ρ = пл.(Dr ∩ Dρ ). Представим последнюю сумму в виде
1+
2 , где
слагаемые с такими r и ρ, что Dr ∪ Dρ ⊂ Dk для некоторого
в
1 входят
k, а в
остальные
слагаемые. Из соотношения
2
|f (Xr ) − f (Xρ )| ⩽ ωk
следует, что
∀Xr , Xρ ∈ Dk
n
ωk пл.Dk ⩽ ε.
⩽
1
(8.6)
k=1
Если одно из множеств Dr или Dρ имеет общие точки с разными частями из разбиения {Dk }, то множество Dr ∩ Dρ либо пустое, либо лежит в
q-окрестности фигуры Π. Следовательно,
(8.7)
⩽ 4Ap.
2
Из (8.5)—(8.7) следует |σ − σ | ⩽ ε + 4Aε. На основании критерия Коши
интегрируемости функция f интегрируема на D. Аддитивность 2И
Пусть {D1 , D2 } — разбиение фигуры D на две части. Согласно критерию
Дарбу, из интегрируемости f на D следует интегрируемость f на D1 и D2 .
Возьмем последовательность разбиений ({Ek }m ) фигуры D с диаметрами
разбиения δm → 0 такую, что общие точки границ ∂D1 и ∂D2 для каждого
разбиения оказываются среди граничных точек частей {Ek }m . Тогда каждая
интегральная сумма σm от f по D равна сумме интегральных сумм σ1m
и σ2m от f по D1 и D2 . Переходя к пределу в равенстве σm = σ1m +
+ σ2m при m → +∞ и используя при этом первое необходимое условие
интегрируемости, получаем формулу
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy +
f (x, y)dxdy.
(8.8)
D
D1
D2
Свойство 2И, выраженное формулой (8.8), называют а д д и т и в н о с т ь ю
двойного интеграла.
160
Глава 8. Двойной интеграл
Из критерия Дарбу также следует, что интегрируемость f на D1 и D2
обеспечивает интегрируемость f на D.
Теорема об интегрируемости функций с нулевым по площади
множеством точек разрыва
Пусть функция f ограничена на компакте D, |f (X)| ⩽ A − const ∀X ∈ D,
и непрерывна во всех точках из D, за исключением множества точек
нулевой площади. Тогда f интегрируема на D.
Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. Погрузим множество
точек разрыва в открытую простую фигуру Π площадью меньшей, чем ε.
Тогда ωΠ пл.Π ⩽ 2Aε. Функция f непрерывна на компакте D \ Π и, следовательно, интегрируема на D \ Π. Согласно
критерию Дарбу, существует
ωk пл.Ek ⩽ ε. Добавим к {Ek }
разбиение {Ek } компакта D \ Π такое, что
k
множество Π∩D, получим разбиение множества D, для которого интегральное колебание не превосходит ε + 2Aε. По критерию Дарбу f интегрируема
на D. 8.4. Сведение двойного интеграла к повторному
Лемма о 2И по прямоугольнику
Пусть а) функция f (x, y) интегрируема по Риману на прямоугольнике
P = {(x, y) : a ⩽ x ⩽ b, c ⩽ y ⩽ d}, б) при каждом фиксированном x ∈ [a, b]
отображение y → f (x, y) интегрируемо по Риману на отрезке [c, d]. Тогда
d
функция F (x) = c f (x, y)dy интегрируема по Риману на отрезке [a, b] и
b
F (x)dx =
a
f (x, y)dxdy.
P
Доказательство. Возьмем ε > 0. Из определения двойного интеграла
следует существование такого δ(ε) > 0, что для любого разбиения прямоугольника P с диаметром меньшим δ(ε) любая интегральная сумма σ для
f (x, y) удовлетворяет неравенству
f (x, y)dxdy| ⩽ ε.
(8.9)
|σ −
P
Возьмем разбиение {xk } отрезка [a, b] на n частей точками xk с диаметром разбиения δ({xk }) ⩽ δ(ε)/2 и построим интегральную сумму s для
8.4. Сведение двойного интеграла к повторному
функции F (x) на [a, b]
s=
n
161
F (ξk )Δxk .
k=1
Из интегрируемости функций f (ξk , y) на отрезке [c, d] при каждом k вытекает, что при каждом k существует разбиение отрезка [c, d] точками yki ,
на mk частей так, чтобы диаметр разбиения был бы меньше, чем δ(ε)/2, и
чтобы выполнялось неравенство
f (ξk , ηki )Δyki − ε ⩽ F (ξk ) ⩽
1⩽i⩽mk
f (ξk , ηki )Δyki + ε,
(8.10)
1⩽i⩽mk
где yki−1 ⩽ ηki ⩽ yki (рис. 8.2).
Рис. 8.2
Умножая неравенства (8.10) на Δxk и суммируя по k, получаем
τ − ε(b − a) ⩽ s ⩽ τ − ε(b − a),
где
τ=
n
(8.11)
f (ξk , ηki )Δyki Δxk .
k=1 1⩽i⩽mk
Сумма τ является интегральной суммой для f (x, y) по P, соответствующей
разбиению прямоугольника P на части с диаметром разбиения ⩽δ(ε).
162
Глава 8. Двойной интеграл
На основании формул (8.9) и (8.11) имеем
s −
f (x, y)dxdy ⩽ |s − τ| + τ −
f (x, y)dxdy ⩽ (b − a)ε + ε.
P
P
Следовательно, функция F (x) интегрируема на отрезке [a, b] и
b
f (x, y)dxdy. F (x)dx =
a
P
Пусть D — к р и в о л и н е й н а я т р а п е ц и я, элементарная относительно о с и 0y, т. е. D — фигура, ограниченная вертикальными прямыми x =
= a, x = b и графиками непрерывных функций y = ψ1 (x), y = ψ2 (x),
ψ1 (x) ⩽ ψ2 (x) ∀x ∈ [a, b] (рис. 8.3). Если при каждом фиксированном x
функция f (x, y) интегрируема по Риману на отрезке [ψ1 (x), ψ2 (x)], то опре ψ (x)
делена функция F (x) = ψ12(x) f (x, y)dy. Интеграл
d ψ1 (x)
f (x, y)dy dx
ψ1 (x)
c
обозначают
ψ1 (x)
d
dy
c
f (x, y)dx
ψ1 (x)
и называют п о в т о р н ы м и н т е г р а л о м от f по D.
Рис. 8.3. Криволинейная трапеция,
элементарная относительно оси 0y
8.4. Сведение двойного интеграла к повторному
163
Теорема о сведении 2И к повторному интегралу
Пусть D — криволинейная трапеция, элементарная относительно оси
0y, и пусть f (x, y)— функция интегрируема по Риману на D и такая, что
при каждом фиксированном x функция f (x, y) интегрируема по Риману
на отрезке [ψ1 (x), ψ2 (x)]. Тогда
ψ1 (x)
b
f (x, y)dxdy =
dx
(8.12)
ψ1 (x)
a
D
f (x, y)dy.
Доказательство. Множество D содержится в прямоугольнике P =
= {(x, y) : a ⩽ x ⩽ b, c ⩽ y ⩽ d}, где c = min ψ1 (x), d = max ψ2 (x). Определим
x∈[a,b]
функцию
g(x, y) =
x∈[a,b]
f (x, y), (x, y) ∈ D,
0, (x, y) ∈ P \ D.
Функция g интегрируема на P, так как она интегрируема на D и на
P \ D, причем в силу аддитивности 2И
g(x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy +
0dxdy =
f (x, y)dxdy.
(8.13)
P \D
P
P
D
На основании леммы о 2И по прямоугольнику
b
gdxdy =
d
dx
a
P
gdy =
c
ψ2 (x)
ψ1 (x)
b ψ1 (x)
d
b
=
gdy +
gdy +
gdy dx = dx
f dy.
a
ψ1 (x)
c
ψ2 (x)
a
(8.14)
ψ1 (x)
Из равенств (8.13)—(8.14) вытекает требуемая формула (8.12.) Аналогично, если D — криволинейная трапеция, элементарная относительно оси 0x, т. е. фигура, ограниченная горизонтальными прямыми y =
= c, y = d и графиками непрерывных функций x = ϕ1 (y), x = ϕ2 (y),
ϕ1 (y) ⩽ ϕ2 (y) ∀y ∈ [c, d] (рис. 8.4), а f (x, y) — функция интегрируема по
Риману на D и такая, что при каждом фиксированном y функция f (x, y)
интегрируема по Риману на отрезке [ϕ1 (y), ϕ2 (y)], то
f (x, y)dxdy =
D
ϕ2 (y)
d
dy
c
ϕ1 (y)
f (x, y)dx.
(8.15)
164
Глава 8. Двойной интеграл
Рис. 8.4. Криволинейная трапеция,
элементарная относительно оси 0x
Рис. 8.5
Пример 8.1. Найдем площадь фигуры D, ограниченной кривыми: x =
= 2y − y 2 , x = 1 − y, y = 1/2 (рис. 8.5). Фигура D является криволинейной
трапецией, элементарной относительно оси 0x. По формуле (8.15) имеем
пл.D =
dxdy =
D
2
−3y
+6y
2
dy
1/2
dx = 9/4.
2−y
8.5. Замена переменных в двойном интеграле
Рассмотрим две фигуры D и E, первая из них расположена в плоскости
0xy, вторая — в плоскости 0uv. Говорят, что функции x = ϕ(u, v), y =
= ψ(u, v) осуществляют в з а и м н о о д н о з н а ч н о е п р е о б р а з о в а н и е
фигуры E в фигуру D, если D = {(x, y) : x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), (u, v) ∈
∈ E} и различным точкам из E соответствуют различные точки из D. Для
взаимно однозначного преобразования фигуры E в фигуру D существует обратное преобразование фигуры D в фигуру E, т. е. существуют две
функции u = ξ(x, y), v = η(x, y) такие, что E = {(u, v) : u = ξ(x, y), v =
= η(x, y), (x, y) ∈ D} и
ϕ(ξ(x, y), η(x, y)) = x,
ψ(ξ(x, y), η(x, y)) = y
∀(x, y) ∈ D.
(8.16)
Говорят, что фигуры D и E д и ф ф е о м о р ф н ы, если существует взаимно однозначное преобразование x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v) фигуры E в D
такое, что функции ϕ(u, v), ψ(u, v) непрерывно дифференцируемы на E, а
функции ξ(x, y), η(x, y), осуществляющие обратное преобразование, непрерывно дифференцируемы на D. В этом случае преобразование x = ϕ(u, v),
y = ψ(u, v) называют д и ф ф е о м о р ф н ы м п р е о б р а з о в а н и е м фигуры
E в D.
8.5. Замена переменных в двойном интеграле
Определитель
I(u, v) = det
ϕu ϕv
ψu ψv
165
называют я к о б и а н о м диффеоморфного преобразования x = ϕ(u, v), y =
= ψ(u, v), а определитель
ξx ξy
J(x, y) = det
−
ηx ηy
якобианом обратного преобразования. Из тождеств (8.16) следует ϕu ξx +
+ ϕy ηx = 1, ϕu ξy + ϕy ηy = 0, ψu ξx + ψy ηx = 0, ψu ξy + ψy ηy = 1, ∀(x, y) ∈
∈ D, поэтому I(ξ(x, y), η(x, y))J(x, y) = 1, следовательно, якобианы I и J
для диффеоморфного преобразования не равны нулю, I(u, v) = 0 ∀(u, v) ∈
∈ E, J(x, y) = 0 ∀(x, y) ∈ D.
Если l : u = u(t), v = v(t), t ∈ [a, b], (u (t))2 + (v (t))2 = 0, t ∈ (a, b), —
гладкая кривая, принадлежащая фигуре E, а x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v) —
диффеоморфное преобразование фигуры E в D, то образ этой кривой x =
= ϕ(u(t), v(t)) = g(t), y = ψ(u(t), v(t)) = h(t), t ∈ [a, b], является гладкой кривой в D. Действительно, непрерывная дифференцируемость функций g(t), h(t) следует из теоремы о частных производных сложной функции,
кроме того, (g (t))2 + (h (t))2 = (ϕu u + ϕv v )2 + (ψu u + ψv v )2 = 0 ∀t ∈ (a, b)
(доказать).
Лемма 8.3
Если
x = ϕ(u, v),
−
y = ψ(u, v),
(8.17)
диффеоморфное преобразование замкнутого прямоугольника P в фигуру D,
то существует точка (ū, v̄) ∈ P такая, что пл.D = I(ū, v̄)пл.Π.
Доказательство более общего, чем лемма 8.3, утверждения будет приведено в п. 9.4.
Лемма 8.4
Пусть (8.17) — диффеоморфное преобразование простой компактной фигуры E в фигуру D и пусть функции f (x, y) и f (ϕ(u, v), ψ(u, v))|I(u, v)|
интегрируемы соответственно на D и E. Тогда
(8.18)
f (x, y)dxdy =
f (x(u, v), y(u, v))I(u, v)dudv,
D
E
где |I(u, v)| — модуль якобиана преобразования (8.17).
166
Глава 8. Двойной интеграл
Доказательство. Для фигуры E возьмем последовательность разбиений ({Ek }m ), m = 1, 2, . . . , с диаметрами δm → 0 на замкнутые прямоугольники. Этой последовательности разбиений соответствует некоторая
последовательность разбиений ({Dk }m ) фигуры D. Пусть δm — диаметр
разбиения ({Dk }m ). Покажем, что δm → +0. Для любых двух точек
M1 (ϕ(u1 , v1 ), ψ(u1 , v1 )) и M2 (ϕ(u2 , v2 ), ψ(u2 , v2 )), принадлежащих некоторому множеству (Ek )m , с помощью формулы конечных приращений (п. 3.5)
имеем
ρ(M1 , M2 ) =
=
(ϕ(u2 , v2 ) − ϕ(u1 , v1 ))2 + (ψ(u2 , v2 ) − ψ(u1 , v1 ))2 =
2
ϕu (u1 + θ1 (u2 − u1 ), v1 )(u2 − u1 ) + ϕv (u2 , v1 + θ2 (v2 − v1 )(v2 − v1 ) +
2 1/2
+ ψu (u1 + θ3 (u2 − u1 ), v1 )(u2 − u1 ) + ψv (u2 , v1 + θ4 (v2 − v1 ))
⩽
⩽2 max {|ϕu |, |ϕv |, |ψu |, |ψv |}ρ((u1 , v1 ), (u2 , v2 ))⩽
(u,v)∈E
⩽Aρ((u1 , v1 ), (u2 , v2 )),
A − const, 0 < θ1 , θ2 , θ3 , θ4 < 1.
Отсюда вытекает, что δm ⩽ Aδm и, следовательно, δm → 0 при m → +∞.
По лемме 8.3 существуют точки ((uk )m , (vk )m ) ∈ (Ek )m такие, что
пл.(Dk )m = I((uk )m , (vk )m )пл.(Ek )m .
Точкам ((uk )m , (vk )m ) соответствуют точки ((xk )m , (yk )m ) ∈ (Dk )m , (xk )m =
= ϕ((uk )m , (vk )m ), (yk )m = ψ((uk )m , (vk )m ). Последовательности
σm =
nm
f ((xk )m , (yk )m )пл.(Dk )m ,
k=1
τm =
nm
f (ϕ((uk )m , (vk )m ), ψ((uk )m , (vk )m ))I((uk )m , (vk )m )пл.(Ek )m
k=1
являются последовательностями интегральных сумм для интегрируемых
функций f (x, y) и f (ϕ(u, v), ψ(u, v))|I(u, v)| соответственно на D и E. При
m → +∞ из равенства σm = τm , используя первое необходимое условие интегрируемости (п. 8.1), получаем требуемое соотношение (8.18). Отображение
x = ϕ(u, v),
(u, v) ∈ E,
(8.19)
y = ψ(u, v),
из множества E в D называют ε-д и ф ф е о м о р ф н ы м преобразованием
фигуры E в D, если для любого ε > 0, существуют множества Eε , Dε такие, что пл.Eε ⩽ ε, пл.Dε ⩽ ε, E \Eε — простая компактная фигура и сужение
8.5. Замена переменных в двойном интеграле
167
отображения (8.19) на E \ Eε является диффеоморфным преобразованием
фигуры E \ Eε в D \ Dε .
Теорема о замене переменных в 2И
Пусть (8.19) — ε-диффеоморфное преобразование фигуры E в D и пусть
функции f (x, y) и f (ϕ(u, v), ψ(u, v))|I(u, v)| интегрируемы соответственно на D и E. Тогда имеет место формула (8.18), которую называют
ф о р м у л о й з а м е н ы п е р е м е н н ы х в 2И.
Доказательство. Возьмем ε > 0. Пусть Eε , Dε — множества из определения ε-диффеоморфного преобразования фигуры E в D. Поскольку функции f (x, y), f (ϕ(u, v), ψ(u, v))|I(u, v)| интегрируемы соответственно на множествах D и E, то они ограничены и, следовательно,
f (x, y)dxdy ⩽ M ε, f (x(u, v), y(u, v))|I|dudv ⩽ M ε,
(8.20)
Dε
Eε
M − const. По лемме 8.4
f (x, y)dxdy =
f (x(u, v), y(u, v))|I(u, v)|dudv.
D\Dε
(8.21)
E\Eε
Из аддитивности 2И и из соотношений (8.20)—(8.21) вытекает, что
f (x, y)dxdy −
f (x(u, v), y(u, v))|I(u, v)|dudv ⩽
D
E
Dε
Eε
f (x, y)dxdy + f (x(u, v), y(u, v))|I|dudv ⩽ 2M ε.
⩽
Поскольку ε произвольно, то из последнего неравенства вытекает требуемая
формула (8.18). Отображение криволинейной трапеции: 0 ⩽ ϕ0 ⩽ ϕ ⩽ ϕ1 ⩽ 2π, 0 ⩽ r⩽
⩽r(ϕ), в плоскости 0ϕr на криволинейный сектор в плоскости 0xy с помощью полярного преобразования x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, обладающего якобианом
cos ϕ −r sin ϕ
I = det
= r,
sin ϕ r cos ϕ
является ε-диффеоморфным (но не диффеоморфным) преобразованием криволинейной трапеции. В качестве Eε можно взять простое открытое множество, содержащее границу криволинейной трапеции, а в качестве Dε — соответствующее множество в плоскости 0xy.
168
Глава 8. Двойной интеграл
Пример 8.2. Найдем площадь фигуры D, ограниченной кривыми
(рис. 8.6)
(x2 + y 2 )2 = 2(x2 − y 2 ) (лемниската Бернулли),
x2 + y 2 = 1 (окружность).
Рис. 8.6
Рис. 8.7
Фигура D симметрична относительно координатных осей системы 0xy,
поэтому достаточно найти площадь части фигуры, которая находится в первой четверти. Используя формулы
x = r cos ϕ,
r ⩾ 0, 0 ⩽ ϕ ⩽ 2π,
y = r sin ϕ,
связывающие декартовые и полярные координаты, запишем уравнения кривых, ограничивающих фигуру D, в полярных координатах:
√
(r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ)2 = 2r2 (cos2 ϕ − sin2 ϕ), r = 2 cos 2ϕ;
r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ = 1,
r = 1.
Точка (1, π/6) является одной из четырех точек пересечения лемнискаты с
окружностью, находящаяся в секторе 0 ⩽ ϕ ⩽ π/2.
√В системе координат 0ϕr фигура E, ограниченная кривыми r = 1, r =
= 2 cos 2ϕ, ϕ = 0, ϕ = π/6, является криволинейной трапецией,
√ элементарной относительно оси 0r. Она ограничена сверху кривой r = 2 cos 2ϕ,
снизу – прямой r = 1 и ее проекция на ось 0ϕ — отрезок 0 ⩽ ϕ ⩽ π/6
(рис. 8.7).
Используя полярное преобразование в двойном интеграле, имеем
пл.D = 4
dxdy = 4
D
E
π/6
rdϕdr = 4
dϕ
0
√
√
3 3−π
.
rdr =
3
2cos 2ϕ
1
ГЛАВА 9
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
9.1. Криволинейный интеграл первого типа
Пусть на отрезке [a, b] заданы две непрерывные функции x(t), y(t). Напомним, что кривой с п а р а м е т р и ч е с к и м у р а в н е н и е м
x = x(t),
t ∈ [a, b],
y = y(t),
называют множество точек M (t) на плоскости 0xy с координатами
(x(t), y(t)), t ∈ [a, b]. Возьмем две точки M (t0 ), M (t0 + Δt), лежащие на
→
кривой. Проведем через эти точки секущую. Вектор −
a1 = (x(t0 + Δt) −
− x(t0 ))i + (y(t0 + Δt) − y(t0 ))j параллелен секущей так же, как и вектор
y(t0 + Δt) − y(t0 )
x(t0 + Δt) − x(t0 )
i+
j. Параметрическое уравнение сеa=
Δt
Δt
кущей
⎧
x(t0 + Δt) − x(t0 )
⎪
⎨ x = x(t0 ) +
τ,
Δt
τ ∈ R.
⎪
⎩ y = y(t ) + x(t0 + Δt) − x(t0 ) τ,
0
Δt
x(t0 + Δt) − x(t0 )
Если существуют конечные пределы lim
= ẋ(t0 ),
Δt→0
Δt
y(t0 + Δt) − y(t0 )
lim
= ẏ(t0 ) и (ẋ(t0 ))2 + (ẏ(t0 ))2 = 0, то секущая имеет
Δt→0
Δt
предельное положение при Δt → 0. Прямую
x = x(t0 ) + ẋ(t0 )τ,
τ ∈ R,
y = y(t0 ) + ẏ(t0 )τ,
являющуюся предельным положением секущей, называют к а с а т е л ь н о й
к кривой в точке M (t0 ). Вектор b = ẋ(t0 )i + ẏ(t0 )j — направляющий вектор
касательной (рис. 9.1).
170
Глава 9. Криволинейные интегралы
Рис. 9.1. Касательная к кривой
Рассмотрим кривую
l:
x = x(t),
t ∈ [a, b].
y = y(t),
Каждому значению t ∈ [a, b] отвечает определенная точка на кривой, но
не наоборот, так как самопересечения не исключаются, в частности, не исключается случай совпадения начальной точки A = (x(t0 ), y(t0 )) и конечной
B = (x(b), y(b)). Будем считать, что точка M (t2 ) следует за точкой M (t1 ),
если t2 > t1 .
П у т е м AM (t), лежащим на кривой l, называют множество, которое
пробегает точка M (τ) при изменении τ от a до t с указанием направления
движения точки по кривой, соответствующим возрастанию τ. За параметрическое уравнение пути принимают параметрическое уравнение кривой, на
которой лежит путь.
Путь называют к у с о ч н о-г л а д к и м ( п р о с т ы м ), если соответствующая кривая кусочно-гладкая (простая) (п. 8.1).
Пример 9.1. Рассмотрим кривую l с параметрическим уравнением
x = cos t,
y = 0,
t ∈ [−π, π/4].
Путь AB, лежащий на этой кривой, — это отрезок оси 0x, пробегаемый
точкой M (t), t ∈ [−π, 0], от точки A = (−1, 0) до точки C = (1, 0), и отрезок
оси 0x,
√ пробегаемый точкой M (t), t ∈ [0, π/4], от точки C до точки B =
= (1/ 2, 0).
9.1. Криволинейный интеграл первого типа
171
Определения с п р я м л я е м о г о п у т и и е г о д л и н ы такие же,
как определения спрямляемой кривой и ее длины. Длина простого
x = x(t),
t ∈ [a, b], равна дл.AB =
кусочно-гладкого пути AB :
y = y(t),
b
=
ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt.
a
Путь
BA :
x = x(a + b − t),
t ∈ [a, b],
y = y(a + b − t),
лежит на той же кривой, что и AB : x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b], но движение по пути BA противоположное направлению движения по AB. Путь
BA называют противоположно ориентированным по отношению к AB и его
обозначают AB − , в то время как исходный путь обозначают AB + .
Предположим, что заданы функция f : D → R, D ⊂ R2 , и кусочногладкий путь AB + : x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b], лежащий в D, такие, что
отображение f (x(t), y(t)) интегрируемо по Риману на [a, b]. Тогда функция
f (x(t), y(t)) ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) также интегрируема на [a, b], как произведение
интегрируемых функций.
Интеграл Римана вида
b
f (x(t), y(t))
ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt
a
принимают за криволинейный интеграл первого типа от f (x, y) по пуf (x, y)ds. Таким образом, по
ти AB + (кратко КРИ-1) и обозначают
AB +
определению
b
f (x(t), y(t)) ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt.
f (x, y)ds :=
AB +
(9.1)
a
Свойства КРИ-1
1. Аддитивность. Рассмотрим путь AB + : x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b].
Пусть a = β0 < β1 < . . . < βn = b — некоторое разбиение отрезка [a, b].
Если Ci−1 Ci+ , i = 1, . . . , n, — пути, имеющие параметрические уравнения
x = x(t), y = y(t), t ∈ [βi−1 , βi ], то говорим, что AB + составлен из путей
Ci−1 Ci+ .
Если кусочно-гладкий путь AB + : x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b], составлен
из путей C0 C1+ , C1 C2+ , . . . , Cn−1 Cn+ , и определен интеграл
f (x, y)ds, то
AB +
172
Глава 9. Криволинейные интегралы
из определения КРИ-1 и из аддитивности интеграла Римана вытекает, что
f (x, y)ds =
i=1
AB +
n
f (x, y)ds.
Ci−1 Ci+
2. Рассмотрим кусочно-гладкий путь AB + : x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b].
Непрерывную функцию t = ϕ(τ), τ ∈ [α, β], называют допустимой заменой
параметра, если ϕ(α) = a, ϕ(β) = b и найдется такое разбиение α = γ0 <
< γ1 < . . . < γk = β отрезка [α, β], что функция t = ϕ(τ) непрерывно
дифференцируема и ϕ (τ) > 0 на каждом отрезке [γj−1 , γj ]. Пусть t =
= ϕ(τ) — допустимая замена параметра. Рассмотрим путь CD+ : x = ξ(τ) =
= x(ϕ(τ)), y = η(τ) = y(ϕ(τ)), τ ∈ [α, β]. Он является кусочно-гладким и
множества на плоскости, которые пробегают точки M (θ) = (x(θ), y(θ)) и
N (ϑ) = (ξ(ϑ), η(ϑ)), когда θ и ϑ пробегают соответственно отрезки [a, b] и
[α, β], совпадают. В дальнейшем говорим, что путь CD+ получен из пути
AB + с помощью допустимой замены параметра.
+
Если путь CD+ получен из кусочно-гладкого пути
AB с помощью доf (x, y)ds, то
пустимой замены параметра и определен интеграл
AB +
f (x, y)ds =
AB +
f (x, y)ds.
CD +
Действительно,
b
f (x, y)ds =
AB +
=
k
i=1
k f (x(t), y(t))
ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt =
a
ϕ(γ
i)
f (x(t), y(t))
ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt = t = ϕ(τ) =
ϕ(γi−1 )
γi
=
i=1 γ
f (x(ϕ(τ)), y(ϕ(τ)))
(xt (ϕ(τ)))2 + (yt (ϕ(τ)))2 ϕ (τ)dτ =
i−1
β
f (x(ϕ(τ)), y(ϕ(τ)))
=
α
((x(ϕ(τ)))τ )2 + ((y(ϕ(τ)))τ )2 dτ =
f (x, y)ds.
CD +
9.1. Криволинейный интеграл первого типа
173
3. КРИ-1 не зависит от ориентации пути
f (x, y)ds =
f (x, y)ds
AB +
AB −
(доказать).
4. Механический смысл КРИ-1. Пусть f (x, y) — линейная плотность
простого кусочно-гладкого пути
AB + : x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b].
Разобьем [a, b] на n частей точками a = t0 < t1 < · · · < tn = b, таким
образом, чтобы точки αj (точки αj из определения кусочно-гладкой кривой
(п. 8.1)) были среди точек разбиения tk . Точкам tk соответствуют точки
Mk , принадлежащие пути AB + . Длину пути Mk−1 Mk+ обозначим Δsk . Она
равна
tk
Δsk =
ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt.
tk−1
По теореме о среднем (п. 6.5)
Δsk =
ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)
t=ξk
Δtk ,
ξk ∈ [tk−1 , tk ].
Произведение f (x(ξk ), y(ξk ))Δsk равно массе пути Mk−1 Mk+ , если считать,
что путь Mk−1 Mk+ имеет постоянную плотность f (x(ξk ), y(ξk )). Сумма
σ=
n
f (x(ξk ), y(ξk ))Δsk =
k=1
n
ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)
f (x(ξk ), y(ξk ))
k=1
t=ξk
Δtk
является интегральной суммой для интеграла (9.1) и совпадает с массой пути,
состоящего из n частей, каждая из которых имеет соответствующую постоf (x, y)ds равен массе
янную плотность. Отсюда следует, что интеграл
AB +
пути AB + .
5. Экономический смысл КРИ-1. Если f (x,
y) — удельная стоимость
+
f (x, y)ds — цена провоза
провоза груза в точке (x, y) по пути AB , то
груза по всему пути AB + .
AB +
Пример 9.2. Определим цену T провоза груза по пути AB + , проходящему по окружности x2 + y 2 = 4x, если удельная стоимость провоза груза
равна f (x, y) = x2 + y 2 .
174
Глава 9. Криволинейные интегралы
Уравнение окружности в полярных координатах имеет вид: r = 4 cos ϕ,
−π/2 ⩽ ϕ ⩽ π/2. Теперь можем записать параметрическое уравнение окружности
π
π
x = 4 cos2 ϕ,
− ⩽ϕ⩽ .
y = 4 cos ϕ sin ϕ,
2
2
Используя свойство 5 криволинейного интеграла первого типа и формулу
(9.1), имеем
π/2
2
2
T =
x + y ds = 16
cos ϕdϕ = 32.
AB +
−π/2
9.2. Криволинейный интеграл второго типа
Пусть заданы две функции P (x, y), Q(x, y), определенные на некотором множестве D, и пусть AB + : x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b], —
кусочно-гладкий путь, лежащий в D. Предположим, что функции
P (x(t), y(t)), Q(x(t), y(t)) интегрируемы по Риману на отрезке [a, b]. Тогда
функции P (x(t), y(t))ẋ(t), Q(x(t), y(t))ẏ(t) так же интегрируемы на [a, b],
как произведения интегрируемых функций. Интегралы Римана вида
b
b
P (x(t), y(t))ẋ(t)dt,
a
Q(x(t), y(t))ẏ(t)dt
(9.2)
a
принимают за криволинейные интегралы второго типа (КРИ-2) соответственно от функций P (x, y), Q(x, y) по пути AB + и обозначают
P (x, y)dx,
Q(x, y)dy.
AB +
AB +
Таким образом, по определению
b
P (x, y)dx :=
P (x(t), y(t))ẋ(t)dt,
AB +
a
b
Q(x, y)dy :=
AB +
Q(x(t), y(t))ẏ(t)dt.
a
(9.3)
9.2. Криволинейный интеграл второго типа
175
Чаще всего рассматривают сумму этих интегралов, которую обозначают
P (x, y)dx + Q(x, y)dy.
AB +
Свойства КРИ-2
1. Аддитивность. Если путь AB + : x = x(t), y = y(t), t ∈
+
+
+
∈ [a, b], составлен из путей C0 C1 , C1 C2 , . . . , Cn−1 Cn и определен интеграл
AB + P (x, y)dx + Q(x, y)dy, то из аддитивности интеграла Римана вытекает,
что
n
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
P (x, y)dx + Q(x, y)dy.
i=1
AB +
Ci−1 Ci+
2. КРИ-2 при изменении ориентации пути на противоположную
(п. 9.1) меняет знак
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = −
P (x, y)dx + Q(x, y)dy.
AB +
AB −
Действительно,
b
P dx + Qdy =
AB −
P (x(b + a − t), y(b + a − t))(x(b + a − t))t +
a
+Q(x(b + a − t), y(b + a − t))(y(b + a − t))t dt = τ = b + a − t =
b
=−
(P (x(τ), y(τ))xτ (τ) + Q(x(τ), y(τ))yτ (τ))dτ = −
P dx + Qdy.
AB +
a
CD+
получен из кусочно-гладкого пути AB + с помощью
3. Если путь
допустимой
замены параметра t = ϕ(τ), τ ∈ [α, β] , и определен интеграл
P (x, y)dx + Q(x, y)dy, то
AB +
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
AB +
P (x, y)dx + Q(x, y)dy.
CD +
Действительно, по определению КРИ-2
b
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
I=
AB +
(P (x(t), y(t))ẋ(t) + Q(x(t), y(t))ẏ(t))dt.
a
176
Глава 9. Криволинейные интегралы
Далее, используя свойства интеграла Римана, имеем
I=
k
i=1
=
i=1 γ
β
=
(P (x(t), y(t))ẋ(t) + Q(x(t), y(t))ẏ(t))dt = t = ϕ(τ) =
ϕ(γi−1 )
k γi
ϕ(γ
i)
P (x(ϕ(τ)), y(ϕ(τ)))xt (ϕ(τ)) + Q(x(ϕ(τ)), y(ϕ(τ)))yt ϕ (τ)dτ =
i−1
P (ξ(τ), η(τ))ξ (τ) + Q(ξ(τ), η(τ))η (τ) dτ =
α
P (x, y)dx + Q(x, y)dy.
CD +
Замечание 9.1. Согласно третьему свойству криволинейных интегралов, значения интегралов для всех путей, связанных допустимыми заменами
параметра, совпадают. Поэтому часто при задании криволинейного интеграла задают лишь множество, на котором лежит путь, и указывают направление движения, не указывая параметрическое уравнение пути. В этом случае
предполагается, что существует простой кусочно-гладкий путь, лежащий на
этом множестве, и интеграл вычисляется по одному из путей, связанных допустимой заменой параметра с этим путем.
4. Физический смысл КРИ-2. Допустим, что на множестве D задано силовое поле F = P (x, y) i + Q(x, y) j. Пусть AB + : x = x(t), y = y(t),
t ∈ [a, b], — кусочно-гладкий путь, лежащий в D. Разобьем [a, b] на n частей точками tk , k = 0, . . . , n, таким образом, чтобы точки αj из определения кусочно-гладкого пути были среди точек разбиения tk . Точкам tk соответствуют точки M (tk ), лежащие на пути. На каждом интервале (tk−1 , tk )
выберем по точке ξk . Рассмотрим участок пути Mk−1 Mk+ . Заменим его направленным отрезком Nk−1 Nk+ :
x = x(ξk ) + ẋ(ξk )τ,
y = y(ξk ) + ẏ(ξk )τ,
tk−1 − ξk ⩽ τ ⩽ tk − ξk .
(9.4)
Отрезок Nk−1 Nk+ находится на касательной к пути в точке M (ξk ), Nk−1 —
начало отрезка (9.4), Nk — его конец. Заменим силу F на дуге Mk−1 Mk+
постоянной силой F(x(ξk ), y(ξk )) = P (x(ξk ), y(ξk ))i + Q(x(ξk ), y(ξk ))j, а сам
путь Mk−1 Mk+ на путь Nk−1 Nk+ . Работа силы F(x(ξk ), y(ξk )) по перемещению точки единичной массы по пути Nk−1 Nk+ равна
ΔAk = P (x(ξk ), y(ξk ))ẋ(ξk )Δtk + Q(x(ξk ), y(ξk ))ẏ(ξk )Δtk .
9.2. Криволинейный интеграл второго типа
177
Выражение
σ=
n
(P (x(ξk ), y(ξk ))ẋ(ξk ) + Q(x(ξk ), y(ξk ))ẏ(ξk ))Δtk
k=1
является интегральной суммой для суммы интегралов (9.3) и совпадает с
n
ΔAk . Отсюда следует, что интеграл
P (x, y)dx + Q(x, y)dy равен раAB +
k=1
боте силы F по перемещению точки единичной массы по пути AB + .
5. Пусть y = f (x), x ∈ [a, b], — непрерывно дифференцируемая функция.
Рассмотрим кривую, параметрическое уравнение которой
x = t,
t ∈ [a, b].
Γ:
y = f (t),
Она является простой гладкой кривой и множество точек плоскости 0xy ,
соответствующих этой кривой, совпадает с графиком функции y = f (x),
x ∈ [a, b]. Именно эта кривая имеется в виду, когда говорится о графике
функции y = f (x), как о кривой.
Если путь AB + лежит на графике непрерывно дифференцируемой функции y = f (x), x ∈ [a, b], то
b
P (x, y)dx =
AB +
b
P (x, f (x))dx,
AB +
a
Q(x, y)dy =
P (x, f (x))f (x)dx.
a
6. Если гладкий путь AB + : x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b], лежит на прямой,
параллельной оси 0y, то ẋ(t) = 0 ∀t ∈ [a, b], следовательно,
P (x, y)dx = 0.
AB +
Пример 9.3. Найдем работу D силы F = (x + y)i + (x − y)j по перемещению точки единичной массы по пути
x = a cos t,
+
0 ⩽ t ⩽ 2π.
AB :
y = b sin t,
Используя свойство 4 криволинейных интегралов второго типа и формулу
(9.3), имеем
2π
a2 + b2
ab cos 2t −
sin 2t dt = 0.
D=
2
0
178
Глава 9. Криволинейные интегралы
9.3. Формула Грина
Фигуру D называют с о с т а в н о й, если ее можно разбить прямыми, параллельными оси 0y, на конечное число криволинейных трапеций таким образом, что каждая трапеция элементарна относительно оси 0y и ограничена
простой кусочно-гладкой кривой, а также если фигура обладает таким же
свойством относительно оси 0x.
Лемма 9.1
Пусть G — криволинейная трапеция, элементарная относительно оси 0y
и ограниченная простым кусочно-гладким путем ADCBA+ (рис. 9.2), и
пусть P (x, y) — непрерывно дифференцируемая на G функция. Тогда
∂P
dxdy.
P (x, y)dx = −
∂y
ADCBA+
G
Рис. 9.2
Доказательство. Воспользовавшись теоремой о сведении 2И к повторному интегралу и свойством 5 криволинейных интегралов второго типа,
имеем
ψ2 (x)
b
∂P
∂P
dxdy = dx
dy =
∂y
∂y
G
a
ψ1 (x)
b
(P (x, ψ2 (x)) − P (x, ψ1 (x)))dx = −
=
a
BA+
P (x, y)dx −
P (x, y)dx.
DC +
9.3. Формула Грина
179
Дополним последнюю сумму двумя равными нулю интегралами
−
P (x, y)dx, −
P (x, y)dx
AD +
CB +
(пути AD+ , CB + параллельны оси 0y ), в результате получаем
P (x, y)dx = −
ADCBA+
∂P
dxdy. ∂y
G
Теорема о сведении КРИ-2 к 2И
Пусть D — ограниченная замкнутая область, граница которой является простой кусочно-гладкой кривой ∂D, а P (x, y) и Q(x, y) — непрерывно
дифференцируемые на D функции. Тогда справедлива формула Грина
∂Q ∂P −
dxdy,
(9.5)
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
∂x
∂y
∂D +
D
где ∂D+ — путь, находящийся на границе фигуры D и ориентированный
таким образом, что при движении по пути в этом направлении, фигура
остается слева (рис. 9.3).
Рис. 9.3
Доказательство проведем лишь для случая, когда D — составная фигура (в общем случае доказательство проводится с помощью приближения
фигуры D составной фигурой).
Пусть {Dj }, j = 1, . . . , k, — разбиение фигуры D на криволинейные
трапеции Dj , каждая из которых является элементарной относительно оси
180
Глава 9. Криволинейные интегралы
0y и ограничена простой кусочно-гладкой кривой. На основании леммы 9.1
и аддитивности 2И
k k ∂P
∂P
dxdy =
dxdy = −
P (x, y)dx.
(9.6)
∂y
∂y
j=1 D
D
j=1
∂Dj+
j
Пути ∂Dj+ состоят из путей, лежащих на границе ∂D, и из тех, которые находятся на прямых, появившихся в результате разбиения фигуры D. Согласно свойству 6 КРИ-2 интегралы по путям, лежащим на прямых, появившихся
в результате разбиения, равны нулю, поэтому
k P (x, y)dx =
P (x, y)dx.
Итак,
j=1
∂Dj+
∂D +
P (x, y)dx = −
Аналогично
∂D +
D
Q(x, y)dy =
∂D +
∂P
dxdy.
∂y
(9.7)
∂Q
dxdy.
∂x
(9.8)
D
Объединяя формулы (9.7) и (9.8), приходим к формуле Грина (9.5). Пример 9.4. Используя формулу Грина, вычислим криволинейный интеграл
x2 ydx − xy 2 dy,
I=
C+
где C + — путь, находящийся на границе круга K : x2 + y 2 ⩽ a2 и ориентированный таким образом, что при движении по пути в этом направлении
фигура остается слева.
По формуле Грина
2 2 ((−xy )x − (x y)y )dxdy = −
(x2 + y 2 )dxdy.
I=
K
K
Используя для вычисления двойного интеграла полярное преобразование,
имеем
2π a
πa4
.
I = − dϕ r3 dr = −
2
0
0
9.4. Выражение площади
181
9.4. Выражение площади через криволинейный
интеграл второго типа
Пусть D — ограниченная замкнутая область, граница которой является
простой кусочно-гладкой кривой ∂D. Если функции P и Q таковы, что
∂P
∂Q
−
= 1 ∀(x, y) ∈ D, то, используя формулу Грина, имеем пл.D =
∂x
∂y
= ∂D+ P (x, y)dx + Q(x, y)dy. В частности,
xdy.
(9.9)
пл.D =
∂D +
Лемма 9.2
Пусть E — ограниченная замкнутая область с простой кусочно-гладкой
границей ∂E, а
x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v) −
(9.10)
диффеоморфное преобразование E в D. Тогда существует точка (ū, v̄) ∈ E
такая, что
пл.D = I(ū, v̄)пл.E,
(9.11)
где I(u, v) — якобиан преобразования (9.10) (п. 8.5).
Доказательство для случая ψuv (u, v) = ψvu (u, v) (с помощью несколько более сложных рассуждений, чем приведенное ниже доказательство, лемма 9.2 может быть установлена и без предположения ψuv (u, v) = ψvu (u, v)) .
Пусть u = u(t), v = v(t), t ∈ [a, b], — параметрическое уравнение пути
∂E + . Кривая
x = ϕ(u(t), v(t)),
t ∈ [a, b],
L:
y = ψ(u(t), v(t)),
является границей D. Пусть L+ — путь, находящийся на кривой L. Если
при движении точки по кривой L при возрастании t фигура D остается
слева, то ∂D + = L+ , в противном случае ∂D+ = L− . На основании формул
(9.3), (9.9)
пл.D =
∂D +
b
xdy = xdy = ϕ(u(t), v(t))(ψu u (t) + ψv v (t))dt =
L+
a
=
ϕ(u, v)ψu (u, v)du + ϕ(u, v)ψv (u, v)dv .
∂E +
182
Глава 9. Криволинейные интегралы
Теперь используя формулу Грина, имеем
∂
∂
пл.D = (ϕψu ))dudv =
( (ϕψv )) −
∂u
∂v
E
(ϕu ψv + ϕψvu − ϕv ψu − ϕψuv )dudv =
|I(u, v)|dudv
=
E
(9.12)
E
(при переходе к последнему выражению использован тот факт, что якобиан диффеоморфного преобразования не меняет знак). По теореме о среднем
(п. 8.3) существует точка (ū, v̄) ∈ E такая, что
|I(u, v)|dudv = I(ū, v̄)пл.E.
(9.13)
E
Из равенств (9.12), (9.13) получаем требуемую формулу (9.11). 9.5. Условия независимости
криволинейного интеграла второго типа
от пути интегрирования
Лемма о ломаной
Любые две точки области D можно соединить ломаной, содержащейся
в D.
Доказательство. Пусть точки A и B принадлежат D и пусть l : x =
= x(t), y = y(t), t ∈ [a, b], — кривая, содержащаяся в D и соединяющая
точки A и B, т. е. такая кривая, что для любого t ∈ [a, b] точка (x(t), y(t))
принадлежит D и (x(a), y(a)) = A, (x(b), y(b)) = B. Точку t ∈ [a, b] отнесем к множеству T, если дугу кривой AM (t), M (t) = (x(t), y(t)), можно
покрыть конечным числом кругов положительного радиуса, содержащихся в
D. Пусть t∗ = sup T. Поскольку (x(t∗ ), y(t∗ )) — внутренняя точка множества D, то точка t∗ может быть лишь точкой b. Через круги, покрывающие
кривую, проводим искомую ломаную, лежащую в D. Пусть P (x, y), Q(x, y) — две непрерывные функции, определенные в D.
Возьмем две произвольные точки A = (x0 , y0 ) и B = (x, y), принадлежащие
D. Соединим эти точки кусочно-гладким путем AB + , содержащимся в D,
и рассмотрим интеграл
P dx + Qdy.
AB +
(9.14)
9.5. Условия независимости
183
Его значение зависит как от точек A и B, так и от пути AB + , по которому
мы из точки A приходим в точку B. Если для произвольных фиксированных
точек A, B ∈ D интеграл (9.14) принимает одно и тоже значение для любого
кусочно-гладкого пути AB + , принадлежащего D, то говорят, что КРИ-2
не зависит от пути интегрирования. В этом случае криволинейный интеграл
обозначают следующим образом:
(x,y)
P dx + Qdy.
(x0 ,y0 )
Область D называют о д н о с в я з н о й, если любая простая замкнутая
кривая, содержащаяся в D, ограничивает множество, состоящее лишь из
точек, принадлежащих D (рис. 9.4).
Рис. 9.4. D1 — односвязная область, D2 не является односвязной
Теорема о независимости КРИ-2 от пути интегрирования
Пусть функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывно дифференцируемы в односвязной области D. Тогда следующие четыре условия эквивалентны:
а) для любого замкнутого ломанного пути L+ ∈ D интеграл
P dx + Qdy
L+
равен нулю;
б) для любых двух точек A, B из D интеграл AB + P dx + Qdy не зависит
от ломаного пути, лежащего в D и соединяющего точки A и B;
в) существует непрерывно дифференцируемая функция u(x, y) такая, что
du(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy
∀(x, y) ∈ D;
г) функции P (x, y) и Q(x, y) удовлетворяют условию Эйлера
∂Q(x, y)
∂P (x, y)
=
∂y
∂x
∀(x, y) ∈ D.
184
Глава 9. Криволинейные интегралы
Доказательство проведем по схеме а) ⇒ б) ⇒ в) ⇒ г) ⇒ а).
а) ⇒ б). Пусть (AB + )1 : x = x1 (t), y = y1 (t), t ∈ [a1 , b1 ], (AB + )2 : x =
= x2 (t), y = y2 (t), t ∈ [a2 , b2 ], — два ломаных пути, соединяющих точки A и
B. Построим замкнутый ломаный путь L+ : x = x3 (t), y = y3 (t), t ∈ [a1 , b1 +
+ b2 − a2 ], где
x1 (t), t ∈ [a1 , b1 ],
x3 (t) =
x2 (−t + b1 + b2 ), t ∈ (b1 , b1 + b2 − a2 ],
y1 (t), t ∈ [a1 , b1 ],
y3 (t) =
y2 (−t + b1 + b2 ), t ∈ (b1 , b1 + b2 − a2 ],
+
составленный из путей L+
L+
1 = (AB )1 ,
2 : x = x2 (−t + b1 + b2 ), y = y2 (−t +
+
− с помощью допустииз AB
+b1 + b2 ), t ∈ [b1 , b1 + b2 − a2 ]. Путь L2 получен
мой замены параметра, следовательно, − (AB + )2 = L+ . Отсюда, используя
2
аддитивность КРИ-2, имеем
=
−
⇒
=
.
0=
L
(AB + )1
(AB + )2
(AB + )1
(AB + )2
б) ⇒ в). Пусть A = (x0 , y0 ) — фиксированная
точка, а B = (x, y) —
произвольная точка из D. Интеграл AB + P dx+Qdy не зависит от ломаного
пути интегрирования AB + , следовательно, определена функция
P dx + Qdy,
u(x, y) =
AB +
где AB + — произвольный ломаный путь, соединяющий точки A и B и
принадлежащий области D. Рассмотрим частное приращение Δx u функции
u(x, y)
P dx + Qdy −
P dx + Qdy,
Δx u = u(x + Δx, y) − u(x, y) =
AB1+
AB +
где AB1+ — ломаный путь, соединяющий точки A и B1 = ((x + Δx, y)). Соединим точки (x0 , y0 ), (x, y) некоторым ломаным путем, а точки (x0 , y0 ), (x+
+ Δx, y) — путем, составленным из уже выбранного пути, соединяющего
точки (x0 , y0 ), (x, y) и пути, параллельного оси 0x и соединяющего точки
B = (x, y) и B1 = (x + Δx, y) (рис. 9.5). Тогда, используя аддитивность
КРИ-2 и формулы (9.3), имеем
Δx u =
BB1+
1
P dx + Qdy =
Δx
x+Δx
P (τ, y)dτ.
x
9.5. Условия независимости
185
Рис. 9.5
По теореме о среднем для интеграла Римана (п. 7.3), получаем
1
Δx u = P (x + θΔx, y), 0 < θ < 1.
Δx
Переходя к пределу при Δx → 0 в последнем равенстве, имеем ux (x, y) =
= P (x, y). Аналогично доказывается, что uy (x, y) = Q(x, y). Таким образом,
du = P dx + Qdy.
в) ⇒ г). du(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy = ux dx + uy dy, P (x, y) =
= ux (x, y), Q(x, y) = uy (x, y). Поскольку функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывно дифференцируемы, то функция u(x, y) дважды непрерывно дифференцируема в D. По теореме о смешанных производных (п. 7.5)
Py = uxy = uyx = Qx
∀(x, y) ∈ D.
г) ⇒ а). Рассмотрим сначала случай, когда L+ — простой ломаный
замкнутый путь. Множество, на котором лежит путь L+ , является границей некоторой составной фигуры E. Так как D односвязная область, то E
принадлежит D. По формуле Грина
∂Q ∂P −
dxdy = 0.
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
∂x
∂y
L+
L+
E
Если
— произвольный замкнутый ломаный путь, то L+ составлен
из конечного числа простых замкнутых путей, ограничивающих некоторые
составные фигуры, и конечного числа путей, соединяющих эти фигуры и
проходящих дважды в противоположных направлениях. Как показано выше,
криволинейный интеграл по пути, ограничивающем составную фигуру, равен
нулю. Равна нулю и сумма интегралов по двум путям, лежащим на одном
отрезке,
но проходящим в противоположных направлениях. Таким образом,
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. L+
186
Глава 9. Криволинейные интегралы
Следствие 9.1
Если выполнено хотя бы одно из условий теоремы, то КРИ-2 не зависит
от пути интегрирования.
Доказательство. Пусть L+ : x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b], — кусочногладкий путь, соединяющий точки (x0 , y0 ) и (x1 , y1 ). Тогда
b
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
L+
(P (x(t), y(t))ẋ(t) + Q(x(t), y(t))ẏ(t))dt =
a
b
(ux (x(t), y(t))ẋ(t) + uy (x(t), y(t))ẏ(t))dt =
=
a
b
=
(u(x(t), y(t)))t dt = u(x1 , y1 ) − u(x0 , y0 ). a
Замечание 9.2. Функцию u(x, y) такую, что du(x, y) = P (x, y)dx +
+ Q(x, y)dy ∀(x, y) ∈ D, называют п е р в о о б р а з н о й для выражения
P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Из доказательства теоремы следует, что при выполнении одного, а следовательно, и трех оставшихся условий теоремы о независимости КРИ-2 от пути интегрирования, первообразной для выражения
P (x, y)dx + Q(x, y)dy является функция
(x,y)
u(x, y) =
P dx + Qdy,
(x0 ,y0 )
где (x0 , y0 ) — некоторая фиксированная точка из D.
Замечание 9.3. Если область D и точка (x0 , y0 ) таковы, что для любой
точки (x, y) ∈ D ломаная, соединяющая точки (x0 , y0 ), (x, y) и состоящая
из двух отрезков, один из которых параллелен оси 0x, а второй — оси 0y,
принадлежит D, то
x
y
Q(x, η)dη.
P (τ, y0 )dτ +
u(x, y) =
x0
(9.15)
y0
Замечание 9.4. Если область D не является односвязной, то теорема о
независимости КРИ-2 от пути интегрирования в общем случае неверна.
9.5. Условия независимости
187
Пример 9.5. Вычислим интеграл
xdy − ydx
x = cos t,
+
I=
; L :
t ∈ [0, 2π].
y = sin t,
x2 + y 2
L+
Используя формулы (9.3), имеем
2π
I=
0
cos2 t + sin2 t
dt = 2π = 0.
cos2 t + sin2 t
Интеграл не равен нулю, хотя в области
P (x, y), Q(x, y) удовлетворяют условию Эйлера
Qx =
−x2 + y 2
= Py
(x2 + y 2 )2
R2 \(0, 0)
функции
∀(x, y) ∈ R2 \(0, 0).
Теорема не применима, так как область R2 \(0, 0) не является односвязной.
Пример 9.6. Функции P (x, y) = x4 + 4xy 3 , Q(x, y) = 6x2 y 2 − 5y 4 удовлетворяют условию Эйлера в R2
Py = Qx = 12xy 2 ,
следовательно, существует первообразная u(x, y) для выражения du =
= P dx + Qdy. По формуле (9.15)
x
u(x, y) =
0
τ4 dτ +
y
0
(6x2 η2 − 5η4 )dη =
x5
+ 2x2 y 3 − y 5 .
5
ГЛАВА 10
ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ
10.1. Топология Rn
⎛
⎞
x1
Множество столбцов x = ⎝ . . . ⎠ , xi ∈ R, с обычными операциями слоxn
жения и умножения на вещественные числа является векторным пространством над полем R. Это векторное пространство обозначают Rn , а его элементы называют векторами или точками. Задав в Rn скалярное произведение векторов
⎞
⎛
⎞
⎛
y1
x1
x = ⎝ ... ⎠,y = ⎝ ... ⎠
xn
yn
по формуле (x, y) = x1 y1 + . . . + xn yn , мы превращаем Rn в евклидово
(x, x) =
пространство. Н о р м о й в е к т о р а x называют число x =
2
2
= x1 + · · · + xn , а р а с с т о я н и е м м е ж д у в е к т о р а м и x, y ∈ Rn —
(x1 − y1 )2 + . . . + (xn − yn )2 . Расстоячисло ρ(x, y) = (x − y, x − y) =
n
ние и норма в R обладают следующими свойствами:
а) ρ(x, y) ⩾ 0 ∀ x, y ∈ Rn , причем ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y;
б) ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀ x, y ∈ Rn ;
в) ρ(x, y) ⩽ ρ(x, z) + ρ(z, y) ∀ x, y, z ∈ Rn
(неравенство треугольника);
г) x + y ⩽ x + y ∀ x, y ∈ Rn ;
д) λx = |λ|x ∀ λ ∈ R, ∀ x ∈ Rn ;
е) |(x, y)| ⩽ xy ∀ x, y ∈ Rn .
Ш а р о м и с ф е р о й в Rn с центром в точке x0 и радиусом r называют
соответственно множества
B(x0 , r) = {x : ρ(x, x0 ) < r},
S(x0 , r) = {x : ρ(x, x0 ) = r}.
10.1. Топология Rn
сом
189
Rn является n-мерным векторным пространством с каноническим бази⎞
⎞
⎛
1
0
⎜ 0 ⎟
⎜
⎟
⎟ , . . . , en = ⎜ 0 ⎟ ,
e1 = ⎜
⎝ ... ⎠
⎝ ... ⎠
0
1
⎛
x=
n
x k ek .
k=1
Шар B(x0 , δ), δ > 0, называют δ-о к р е с т н о с т ь ю точки x0 (или просто окрестностью). Множество D ⊂ Rn называют о т к р ы т ы м, если для
любой точки x ∈ D найдется δ-окрестность этой точки, содержащаяся в
D. Все определения и обозначения, относящиеся к R2 , переносятся на Rn .
Без дальнейших пояснений ниже используются следующие понятия: внутренняя точка, дополнение множества, замкнутое множество, граничная точка, граница, замыкание множества, предельная точка, область, ограниченная
замкнутая область, компакт, последовательность в Rn , сходящаяся последовательность. Между множеством элементов из R3 и множеством точек пространства 0xyz существует естественное взаимно однозначное соответствие.
Поэтому элементы из R3 часто называют точками пространства 0xyz .
Скалярная функция векторного аргумента
Функцию вида f : D → R, D ⊂ Rn , называют с к а л я р н о й ф у н к ц и е й
в е к т о р н о г о а р г у м е н т а или скалярной функцией от n переменных и
обозначают y = f (x1 , . . . , xn ) или y = f (x). Пусть x0 — внутренняя точка множества D ⊂ Rn , а f : D → R — скалярная функция векторного
аргумента. Говорят, что п р е д е л lim f (x) равен A ∈ R, если
x→x0
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x ∈ D : 0 < ρ(x, x0 ) ⩽ δ(ε) ⇒ |f (x) − A| ⩽ ε.
Для точек x0 , предельных для множества D, определяют п р е д е л
ф у н к ц и и в д о л ь м н о ж е с т в а D (п. 7.2):
lim f (x) = A.
x→x0 ,x∈D
Функцию f называют н е п р е р ы в н о й во внутренней точке x0 ∈ D, если lim f (x) = f (x0 ) и н е п р е р ы в н о й в предельной точке x0 ∈ D в д о л ь
x→x0
м н о ж е с т в а D, если
lim
x→x0 ,x∈D
f (x) = f (x0 ).
Непрерывные скалярные функции n переменных обладают теми же свойствами, что и функции двух переменных: локальная ограниченность; стабилизация знака; множество значений непрерывной функции на связном множестве является промежутком; функция, непрерывная на компакте, достигает экстремальных значений и равномерно непрерывна; арифметические комбинации непрерывных функций сами непрерывны (в случае частного при
условии, что знаменатель отличен от нуля)(доказать).
190
Глава 10. Векторная функция
Рассмотрим скалярную функцию векторного аргумента f, заданную на
множестве D ⊂ Rn с внутренней точкой x0 . Построим приращение Δf =
= f (x0 + Δx) − f (x0 ) = f (x01 + Δx1 , . . . , x0n + Δxn ) − f (x01 , . . . , x0n ).
Функцию f называют д и ф ф е р е н ц и р у е м о й в точке x0 , если существуют числа q1 , . . . , qn такие, что
Δf = q1 Δx1 + · · · + qn Δxn + o(Δx).
(10.1)
Выражение q1 Δx1 + · · · + qn Δxn называют д и ф ф е р е н ц и а л о м функции f в точке x0 и обозначают df = q1 Δx1 + · · · + qn Δxn . Если обозначить
Δx1 = dx1 , . . . , Δxn = dxn , то df = q1 dx1 + . . . + qn dxn .
Если у функции y = f (x1 , . . . , xn ) зафиксировать переменные
x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn , то производную скалярной функции одной переменной xi → f (x1 , . . . , xi−1 , xi , xi+1 , . . . , xn ) называют частной производ∂f
ной функции f по xi и обозначают
или fx i . Аналогично определяют
∂xi
частные производные fx 1 , . . . , fx i−1 , fx i+1 , . . . , fx n .
Введем частное приращение Δxi f функции f по переменной xi :
Δxi f := f (x01 , . . . , x0i + Δx0i , . . . , x0n ) − f (x01 , . . . , x0i , . . . , x0n ),
i = 1, . . . , n. Предположим, что f дифференцируема в точке x0 . Положим
в (10.1) Δx1 = 0, . . . , Δxi−1 = 0, Δxi+1 = 0, . . . , Δxn = 0, получим
Δxi f = qi Δxi + o(|Δxi |),
Δxi → 0,
Δxi f
o(|Δxi |)
= qi +
,
Δxi
Δxi
fx i (x0 ) = qi ,
i = 1, . . . , n.
Таким образом, для дифференцируемой в точке x0 функции
df x0 = fx 1 (x0 )dx1 + . . . + fx n (x0 )dxn .
Функцию f называют непрерывно дифференцируемой на открытом множестве D, если все частные производные этой функции непрерывны в D.
Если функция f непрерывно дифференцируема на открытом множестве
D, то, применяя формулу конечных приращений для функции одной переменной n раз, так же, как и для функций двух переменных, для достаточно
малых Δx1 , . . . , Δxn , получаем формулу конечных приращений для скалярных функций векторного аргумента
Δf = fx 1 (x1 + θ1 Δx1 , x2 , . . . , xn )Δx1 + fx 2 (x1 + Δx1 , x2 + θ2 Δx2 , . . . , xn )Δx2 +
+ . . . + fx n (x1 + Δx1 , . . . , xn + θn Δxn )Δxn ,
0 < θi < 1, i = 1, . . . , n. (10.2)
10.2. Дифференцируемая векторная функция
191
Достаточное условие дифференцируемости скалярной функции
векторного аргумента
Если функция f непрерывно дифференцируема на открытом множестве
D, то она дифференцируема в каждой точке этого множества.
Доказательство. Возьмем произвольную точку x0 ∈ D. Используя
формулу (10.2), Δf представим в виде
Δf = fx 1 (x0 )Δx1 + · · · + fx n (x0 )Δxn + α,
где
Δx1
α
= (fx 1 (x01 + θ1 Δx1 , . . . , x0n ) − fx 1 (x01 , . . . , x0n ))
+ ···+
Δx
Δx
+(fx 1 (x01 + Δx1 , . . . , x0n + θn Δxn ) − fx n (x01 , . . . , x0n ))
Из непрерывности частных производных следует, что
Δxn
.
Δx
α
→ 0, т. е.
Δx Δx →0
α = o(Δx). Рассмотрим теперь функцию f : D → R, определенную на произвольном
множестве D ∈ Rn . Отображение f¯, заданное на множестве D1 ⊃ D, называют продолжением f c D на D1 , если f (X) = f¯(X) ∀X ∈ D. Функцию
f называют непрерывно дифференцируемой на D, если существует непрерывно дифференцируемое продолжение f¯ функции f с D на некоторое
открытое множество D1 ⊃ D.
10.2. Дифференцируемая векторная функция
Функцию вида F : D → Rm , D ⊂ Rn , называют в е к т о р н о й
ф у н к ц и е й и обозначают y = F (x) или в координатной форме
⎧
⎨ y1 = f1 (x1 , . . . , xn ),
.....................
⎩
ym = fm (x1 , . . . , xn ).
Задание векторной функции F равносильно заданию m скалярных функций
от n переменных yi = fi (x1 , . . . , xn ), i = 1, . . . , m.
Допустим, что x0 — предельная точка множества D. Вектор A называют п р е д е л о м F (x) при x → x0 в д о л ь м н о ж е с т в а D, если
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x ∈ D : 0 < ρ(x, x0 ) ⩽ δ(ε) ⇒ ρ(F (x), A) ⩽ ε.
192
Глава 10. Векторная функция
Функцию F называют н е п р е р ы в н о й в точке x0 в д о л ь м н о ж е с т в а
D, если
lim F (x) = F (x0 ).
x→x0 ,x∈D
Теорема о непрерывности векторной функции
Векторная функция F непрерывна в точке x0 вдоль множества D тогда
и только тогда, когда все ее компоненты fi (x), i = 1, . . . , m, непрерывны
в точке x0 вдоль множества D.
Доказательство. Достаточность. Если все компоненты fi (x),
= 1, . . . , m, векторной функции непрерывны в точке x0 , то
i =
∀ε > 0, ∃δi (ε) > 0, ∀x ∈ D : 0 < ρ(x, x0 ) ⩽ δi (ε) ⇒ ρ(fi (x), fi (x0 )) ⩽ ε.
Отсюда
ρ(F (x), F (x0 )) =
(f1 (x) − f1 (x0 ))2 + . . . + (fm (x) − fm (x0 ))2 ⩽
если ρ(x, x0 ) ⩽ min{δ1 (ε), . . . , δm (ε)}, x ∈ D, т. е.
lim
x→x0 ,x∈D
√
mε,
F (x) = F (x0 ).
Обратное утверждение очевидно. Рассмотрим векторную функцию F, заданную на множестве D ⊂ Rn с
внутренней точкой x0 . Построим приращение
⎛
⎞ ⎛
⎞
f1 (x0 + Δx) − f1 (x0 )
Δf1
ΔF = F (x0 + Δx) − F (x0 ) = ⎝ . . . . ⎠ = ⎝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ .
Δfm
fm (x0 + Δx) − fm (x0 )
Функцию F называют д и ф ф е р е н ц и р у е м о й в т о ч к е x0 , если существует матрица
⎛
⎞
q11 . . . q1n
Q = ⎝ .............. ⎠
qm1 . . . qmn
с вещественными элементами такая, что
ΔF = QΔx + o(Δx),
или в координатной форме
⎧
Δf1 = q11 Δx1 + . . . + q1n Δxn + o1 (Δx),
⎪
⎪
⎪
⎪
.
.
⎨ ...........................................
Δfi = qi1 Δx1 + . . . + qin Δxn + oi (Δx),
⎪
⎪
.
.
...........................................
⎪
⎪
⎩
Δfm = qm1 Δx1 + . . . + qmn Δxn + om (Δx).
(10.3)
(10.4)
10.2. Дифференцируемая векторная функция
193
Выражение QΔx называют
дифференциалом функции F в точке
x0 и обозначают dF x0 = QΔx.
Если обозначить Δx = dx, то
dF |x0 = Qdx.
Предположим, что F дифференцируема в точке x0 . Положим в i -й
строке равенств (10.4) Δx1 = 0, . . . , Δxj−1 = 0, Δxj+1 = 0, . . . , Δxn = 0,
получим
Δxj fi = qij Δxj + oi (|Δxj |),
Δxj → 0,
Матрицу
Δxj fi
oi (|Δxj |)
= qij +
,
Δxj
Δxj
∂fi = qij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
∂xj x0
⎞
∂f1
∂f1
.
.
.
⎜ ∂x1
∂xn ⎟
⎟
⎜
⎜ ................ ⎟
⎜ ∂f
∂fi ⎟
⎟
⎜
i
...
⎟
⎜
⎜ ∂x1
∂x ⎟
⎜ . . . . . . . . . . . . . . .n. ⎟
⎟
⎜
⎝ ∂fm
∂fm ⎠
...
∂x1
∂xn
⎛
dF
называют м а т р и ц е й Я к о б и отображения F и обозначают
.
dx
Таким образом, для дифференцируемой в точке x0 функции
dF dF x0 =
dx
dx x0
или в координатной форме
⎞
⎛
∂f1 ∂f1 ⎛
⎞
.
.
.
dx1
⎜ ∂x1 x0
∂x
x0 ⎟
n
⎟
⎜
dF x0 = ⎜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎟ ⎝ . . . ⎠ =
⎝ ∂f ∂fm ⎠ dxn
m
...
∂x1 x0
∂xn x0
⎛ n
⎞
∂f1 ⎛
⎞
⎜ k=1 ∂xk x0 dxk ⎟
df1 x0
⎜
⎟
⎟ ⎝ ...... ⎠.
=⎜
⎜ . n. . . . . . . . . . . . . ⎟ =
⎝ ∂fm ⎠
dfm x0
dxk
k=1 ∂xk x0
194
Глава 10. Векторная функция
Из равенств (10.4) сразу вытекает следующая теорема.
Теорема о дифференцируемости векторной функции
Векторная функция F (x) дифференцируема в точке x0 тогда и только
тогда, когда все ее компоненты
⎛ fi (x), ⎞i = 1, . . . , m, дифференцируемы в
df1 |x0
точке x0 , при этом dF |x0 = ⎝ . . . . . . ⎠ .
dfm |x0
Векторную функцию F называют непрерывно дифференцируемой на от∂fi
крытом множестве D, если все частные производные
, i = 1, . . . , m, j =
∂xj
= 1, . . . , n, непрерывны на D.
Достаточное условие дифференцируемости векторной функции
Непрерывно дифференцируемая на открытом множестве D векторная
функция F дифференцируема в каждой точке этого множества (доказать).
10.3. Матрица Якоби сложной векторной функции
Пусть заданы две векторные функции
y = F (x),
x ∈ D ⊂ Rn ,
z = G(y),
y ∈ E,
F (D) = E ⊂ Rm ,
G(E) ⊂ Rk .
Можно построить сложную векторную функцию H(x) = G(F (x)), x ∈ D,
которую рассматриваем в следующей теореме.
Теорема о матрице Якоби сложной функции
Если функция y = F (x) дифференцируема в точке x0 , а функция z = G(y)
дифференцируема в точке y0 = F (x0 ), то сложная функция G(F (x))) дифференцируема в точке x0 и ее матрица Якоби равна произведению матриц
Якоби отображений G и F
dG(F (x)) dG(y) dF (x) =
.
dx
dy y0 dx x0
x0
(10.5)
Доказательство. Пусть (gi )yj и (fi )xj — элементы соответственно матdF (x) dG(y) риц Якоби
и
, Δyi — элементы вектора Δy. При выdy y0
dx x0
полнении условий теоремы имеем
dF (x) Δy = F (x0 + Δx) − F (x0 ) =
Δx + o(Δx),
dx x0
10.3. Матрица Якоби сложной векторной функции
dG(y) Δy + o(Δy),
dy y0
dG(y) G(F (x0 + Δx)) − G(F (x0 )) =
Δy + o(Δy) =
dy y0
dG(y) dF (x) =
Δx + o(Δx) + o(Δy) =
dy y0
dx x0
dG(y) dF (x) =
Δx + p,
dy y0 dx x0
dG(y) p=
o(Δx) + o(Δy).
dy y0
195
Δz = G(y0 + Δy) − G(y0 ) =
Покажем, что
(10.6)
⎛
⎞
o1 (Δx)
p = ⎝ ......... ⎠.
ok (Δx)
(10.7)
Действительно,
⎛
⎞ ⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞
(g1 )y1 ... (g1 )ym
p1
o1 (Δy)
o1 (Δx)
p = ⎝ . . ⎠ = ⎝ .................. ⎠⎝ .......... ⎠ + ⎝ ......... ⎠.
pk
(gk )y1 ... (gk )ym
om (Δx)
ok (Δy)
Используя свойства нормы и скалярного произведения векторов (п. 10.1),
имеем
|pi | ⩽ |(gi )y1 o1 (Δx) + . . . + (gi )ym om (Δx)| + |oi (Δy)|⩽
⩽Mi · o(Δx) + |oi (Δy)|,
Ясно, что
где Mi =
((gi )y1 )2 + . . . + ((gi )ym )2 y0 .
Mi · o(Δx) = oi (Δx).
Поскольку
|Δyi | ⩽ |(fi )x1 Δx1 + . . . + (fi )xn Δxn | + |oi (Δx)|⩽
⩽M i · Δx + |oi (Δx)|,
то
Δy
→
Δx →0
0,
где M i =
((fi )x1 )2 + . . . + ((fi )xn )2 x0 ,
oi (Δy) Δy
oi (Δy)
=
→ 0,
Δx
Δy Δx Δx →0
oi (Δy) = oi (Δx).
196
Глава 10. Векторная функция
Таким образом, pi = oi (Δx), i = 1, . . . , k, что равносильно равенству
(10.7).
Из соотношений (10.6), (10.7) следует дифференцируемость сложной
функции и требуемое представление (10.5) матрицы Якоби сложной
функции. Найдем dz в двух случаях:
1) z = G(y), y — вектор с независимыми компонентами,
2) z = G(y), y = F (x).
В первом случае
dG
dy,
(10.8)
dz =
dy
во втором —
dG dF
dG
dz =
dx =
dy.
(10.9)
dy dx
dy
Сравнивая формулы (10.8), (10.9) видим, что векторная функция обладает
инвариантностью формы первого дифференциала.
Пример 10.1. Найдем матрицу Якоби сложной функции, образованной
отображениями y = F (x), z = G(y), где
⎛
⎞
2
g(y1 , y2 )
x1 + x22
F (x) =
, G(y) = ⎝ h(y1 , y2 ) ⎠ .
x 1 x2
k(y1 , y2 )
Пусть
x=
Тогда
dF
=
dx
x1
x2
, y=
2x1 2x2
x 2 x1
⎛
y1
y2
⎞
z1
, z = ⎝ z2 ⎠ .
z3
⎛
⎛
g
dG ⎝ y 1
hy1
=
,
dy
ky 1
2x1 gy 1 + x2 gy 2
dG(F (x))
dG dF
=
= ⎝ 2x1 hy1 + x2 hy2
dx
dy dx
2x1 ky 1 + x2 ky 2
⎞
gy 2
hy2 ⎠ ,
ky 2
⎞
2x2 gy 1 + x1 gy 2
2x2 hy1 + x1 hy2 ⎠ .
2x2 ky 1 + x1 ky 2
10.4. Дифференциалы высших порядков
197
10.4. Дифференциалы высших порядков
векторной функции
Допустим, что компоненты fi (x) векторной функции y = F (x) :
⎧
⎨ y1 = f1 (x1 , . . . , xn ),
.....................
⎩
ym = fm (x1 , . . . , xn ),
∂fj
имеют частные производные
, j = 1, . . . , m; i = 1, . . . , n. Произ∂xi
∂ ∂fj
водные
, j = 1, . . . , m; k, i = 1, . . . , n, называют ч а с т н ы м и
∂xk ∂xi
п р о и з в о д н ы м и в т о р о г о п о р я д к а для функции F (x) и обозначают
∂ 2 fj
или (fj )xi xk . Аналогично вводятся частные производные любого по∂xk ∂xi
рядка.
Векторную функцию
F
называют
l
раз
непрерывно
д и ф ф е р е н ц и р у е м о й на открытом множестве D, если все частные
производные до порядка l включительно всех компонент fi , i = 1, . . . , m,
векторной функции F непрерывны на D. Векторную функцию F, заданную на произвольном множестве D, называют l раз непрерывно
дифференцируемой на D, если существует l раз непрерывно дифференцируемое продолжение F̄ функции F с D на некоторое открытое множество
D1 ⊃ D.
Если функция F (x) дважды непрерывно дифференцируема на открытом
множестве D, то по теореме о смешанных производных
∂ 2 fj
∂ 2 fj
=
,
∂xk ∂xi
∂xi ∂xk
j = 1, . . . , m;
k, i = 1, . . . , n.
Аналогичное утверждение справедливо для частных производных высших
порядков.
dF (x)
dx зависит от x и dx.
Дифференциал векторной функции dy =
dx
Если считать dx фиксированным, то dy является лишь функцией от x.
Дифференциал этой функции называют в т о р ы м д и ф ф е р е н ц и а л о м
функции F (x) и обозначают d2 F (x), при этом предполагается, что при вычислении второго дифференциала приращения Δx выбираются такими же,
как и при вычислении первого дифференциала,
⎞
2
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 2
(∂/∂x1 )dx1 + · · · + (∂/∂xn )dxn f1
d f1
d(df1 )
⎜
⎟
d2 F = ⎝ . . . . . . ⎠ = ⎝ . . . . . ⎠ = ⎝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠
2
d 2 fm
d(dfm )
(∂/∂x1 )dx1 + · · · + (∂/∂xn )dxn fm
198
Глава 10. Векторная функция
где (∂/∂x1 ) dx1 + · · · + (∂/∂xn ) dxn = d — оператор дифференцирования,
n
n ∂2
вторая степень которого определяется по формуле d2 =
dxi dxk .
k=1 i=1 ∂xi ∂xk
Для скалярной функции векторного аргумента fi (x1 , . . . , xn ) построим
матрицу
⎛
⎞
(fi )x2 (fi )x1 x2 . . . (fi )x1 xn
1
⎜
⎟
⎝ ............................... ⎠,
(fi )xn x1 (fi )xn x2 . . . (fi )x2
n
∂ 2 fi
. С помощью этой матрицы второй дифференциал
∂x2
скалярной функции векторного аргумента d2 fi (x) можно записать в виде
которую обозначают
d2 fi = (dx)
∂ 2 fi
dx.
∂x2
Действительно,
df dfi
i
dx = (dx)
,
dx
dx
i
d df
dx
∂ 2 fi
2
d fi = d(dfi ) = (dx)
dx = (dx)
dx.
dx
∂x2
Таким образом,
⎞
⎞ ⎛ ⎛
n n
∂ 2 f1
∂ 2 f1
dx
dx
i
k ⎟
⎜ (dx) ∂x2 dx ⎟ ⎜
k=1 i=1 ∂xi ∂xk
⎟
⎟ ⎜
⎜
2
⎟.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
d F = ⎜ .............. ⎟ = ⎜
⎟
⎠ ⎜
⎝
2
2
n
n
⎝
⎠
∂ fm
∂ fm
(dx)
dx
dx
dx
i
k
∂x2
k=1 i=1 ∂xi ∂xk
dfi =
По индукции, отправляясь от дифференциала первого порядка, определяют дифференциалы любого порядка
ds F = d(ds−1 F ), s > 1.
Воспользовавшись схемой рассуждений из п. 7.6, при выводе формулы
Тейлора для функций двух переменных, можно получить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для (p + 1) раз непрерывно
дифференцируемой в некоторой окрестности точки x0 скалярной функции
векторного аргумента y = f (x)
f (x0 + Δx) − f (x0 ) =
df dp f dp+1 f , 0 < θ < 1.
+ ... +
+
1! x0
p! x0 (p + 1)! (x0 +θΔx)
10.5. Кратные интегралы
199
10.5. Кратные интегралы
Всякую совокупность точек T в Rn называют т е л о м. К л е т к о й в Rn
называют как множество вида
K = {(x1 , . . . , xn ) : ai ⩽ xi ⩽ bi , i = 1, . . . , n}, ai , bi ∈ R,
так и любое множество, которое получается из K удалением всей или части
его границы. За о б ъ е м к л е т к и принимают число (b1 − a1 ) . . . (bn − an ).
Тело называют п р о с т ы м, если его можно представить в виде объединения
конечного числа непересекающихся клеток. За объем простого тела берут
сумму объемов клеток, из которых оно составлено. Пусть T — ограниченное
тело. Простые тела Π∗ , Π∗ такие, что Π∗ ⊂ T ⊂ Π∗ называют соответственно
вписанным и описанным для тела T. Если
{об.Π∗ } = V ∗ ,
V∗ = sup {об.Π∗ } = inf
∗
Π ⊃T
Π∗ ⊂T
то тело T называют к у б и р у е м ы м, а величину V = V∗ = V ∗ — его
о б ъ е м о м.
Тело T кубируемо, если и только если ∀ε > 0 существуют вписанное и
описанное кубируемые тела T∗ , T ∗ такие, что об.T ∗ − об.T∗ ⩽ ε (доказать).
В дальнейшем рассматриваем лишь кубируемые тела.
Совокупность тел {Tk } = {T1 , . . . , Tn } называют р а з б и е н и е м тела T,
если объединение всех Tk составляет T и никакие две части из {Tk } не имеn
ют общих внутренних точек. Если {Tk } — разбиение T, то об. T =
об. Tk .
Величину δ({Tk }) = max {diamTk }, где diamTk =
1⩽k⩽n
sup
x1 ,x2 ∈Tk
k=1
ρ(x1 , x2 ), назы-
вают д и а м е т р о м р а з б и е н и я.
Допустим, что задана функция f : T → R. Возьмем разбиение {Tk } тела
T на n частей и выберем по точке xk ∈ Tk . Построим и н т е г р а л ь н у ю
сумму
n
f (xk )об.Tk .
σ=
k=1
Если существует число I такое, что
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀{Tk } : δ({Tk }) ⩽ δ(ε), ∀xk ∈ Tk ⇒ |σ − I| ⩽ ε,
то функцию f называют и н т е г р и р у е м о й п о Р и м а н у на T, а число
I — n-кратным и н т е г р а л о м о т f п о T и обозначают
f (x)dx или
· · · f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn .
T
T
200
Глава 10. Векторная функция
Если n = 3, то соответствующий кратный интеграл называют тройным.
Доказательства утверждений этого параграфа во многом аналогичны доказательствам соответствующих утверждений для 2И, и мы их опускаем.
Тело T = {(x1 , . . . , xn−1 , xn ) : (x1 , . . . , xn−1 ) ∈ D, ψ1 (x1 , . . . , xn−1 ) ⩽
⩽ xn ⩽ ψ2 (x1 , . . . , xn−1 )}, где D — замкнутая ограниченная область в Rn−1 ,
а ψ1 (x1 , . . . , xn−1 ), ψ2 (x1 , . . . , xn−1 ) — непрерывные на D функции, называют ц и л и н д р о и д о м, элементарным относительно оси 0xn .
Теорема о сведении кратного интеграла к повторному интегралу
Пусть T — цилиндроид, элементарный относительно оси 0xn , и пусть
f (x1 , . . . , xn )— непрерывная на T функция. Тогда
· · · f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn =
T
=
,...,xn−1 )
ψ1 (x1
···
dx1 . . . dxn−1
f (x1 , . . . , xn )dxn .
ψ1 (x1 ,...,xn−1 )
D
Пример 10.2. Вычислим тройной интеграл
J=
zdxdydz,
T
где T — тело, ограниченное плоскостями x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0.
Тело T — цилиндроид, элементарный относительно оси 0z,
0 ⩽ z ⩽ 1 − x − y, (x, y) ∈ D,
где D — фигура на плоскости 0xy, ограниченная прямыми x = 0, y = 0, x+
+ y = 1. Используя теорему о сведении кратного интеграла к повторному,
имеем
1−x−y
J=
dxdy
zdz = 1/2
(1 − x − y)2 dxdy =
D
0
D
1
1−x
1
dx
(1 − x − y)2 dy = .
24
= 1/2
0
0
10.5. Кратные интегралы
201
Говорят, что тела D и E д и ф ф е о м о р ф н ы, если существует взаимно
однозначное преобразование
x = G(t)
(10.10)
тела E в D такое, что функция x = G(t) непрерывно дифференцируема на E, а функция t = H(x), осуществляющая обратное преобразование,
непрерывно дифференцируема на T.
Отображение (10.10) тела E в D называют ε-д и ф ф е о м о р ф н ы м
п р е о б р а з о в а н и е м тела E в D, если для любого ε > 0, существуют множества Eε , Dε такие, что об.Eε ⩽ ε, об.Dε ⩽ ε, E \ Eε — простое компактное
тело и сужение отображения (10.10) на E \ Eε является диффеоморфным
преобразованием тела E \ Eε в D \ Dε .
Теорема о замене переменных в кратном интеграле
Пусть (10.10) — ε-диффеоморфное преобразование тела E в D, и пусть
функции f (x) и f (G(t))|I| интегрируемы соответственно на D и E. Тогда
имеет место формула замены переменных в кратном интеграле
f (x)dx = f (G(t))|I|dt,
T
E
dG где |I| = det
— модуль определителя матрицы Якоби отображения
dt
G(t).
Отображение цилиндроида E в пространстве 0ψϕr на тело T в пространстве 0xyz с помощью сферического преобразования
⎧
⎨ x = r cos ϕ cos ψ,
y = r sin ϕ cos ψ,
⎩
z = r sin ψ,
обладающего якобианом
⎛
⎞
cos ϕ cos ψ −r sin ϕ cos ψ −r cos ϕ sin ψ
I = det ⎝ sin ϕ cos ψ r cos ϕ cos ψ −r sin ϕ sin ψ ⎠ = r2 cos ψ,
sin ψ
0
r cos ψ
где E — цилиндроид следующего вида: E = (ψ, ϕ, r) : −π/2 ⩽ α1 ⩽ ψ ⩽
⩽ α2 ⩽ π/2, 0⩽ a1 (ψ)⩽ϕ⩽a2 (ψ)⩽2π, 0⩽b1 (ϕ, ψ)⩽r ⩽b2 (ϕ, ψ) , a1 (ψ), a2 (ψ) —
непрерывные на B = {ψ : α1 ⩽ ψ ⩽ α2 } функции, b1 (ϕ, ψ), b2 (ϕ, ψ) — непрерывные на D = {(ϕ, ψ) : α1 ⩽ ψ ⩽ α2 , a1 (ψ) ⩽ ϕ ⩽ a2 (ψ)} функции, является
ε-диффеоморфным преобразованием E в T.
202
Глава 10. Векторная функция
Пример 10.3. Найдем объем тела T, ограниченного поверхностями
S1 : z = x 2 + y 2 , S 2 : z = 2 −
x2 + y 2 .
Поверхности S1 , S2 пересекаются по кривой, проекция которой на плоскость 0xy — окружность x2 + y 2 = 1. Тело T — цилиндроид, элементарный
относительно оси 0z, ограниченный снизу эллиптическим параболоидом S1 ,
сверху — конусом S2 (см. рисунок).
Проекция тела T на плоскость 0xy — круг K : x2 + y 2 ⩽ 1. По теореме
о сведении кратного интеграла к повторному
√
2− x2 +y 2
dxdydz =
dxdy
dz =
об.T =
T
K
(2 −
=
x2 +y 2
x2 + y 2 − x2 − y 2 )dxdy.
K
Вычислим двойной интеграл, используя полярное преобразование
x = r cos ϕ,
|I| = r,
y = r sin ϕ,
2π
об.T =
1
dϕ
0
0
(2 − r2 − r3 )dr =
17π
.
6
10.6. Неявная векторная функция
203
Пример 10.4. Найдем объем тела T, ограниченного конусами второго
1
порядка z = 3(x2 + y 2 ), z = x2 + y 2 и плоскостями z = 1, z = .
2
Используя формулы
⎧
⎨ x = r cos ϕ cos ψ,
y = r sin ϕ cos ψ, r ⩾ 0, 0 ⩽ ϕ < 2π, −π/2 ⩽ ψ ⩽ π/2,
⎩
z = r sin ψ,
устанавливающие связь между декартовыми и сферическими координатами,
запишем уравнения поверхностей, ограничивающих тело T, в сферических
координатах:
√
r sin ψ = r 3 cos ψ, ψ = π/3; r sin ψ = r cos ψ, ψ = π/4;
r sin ψ = 1,
r=
1
;
sin ψ
r sin ψ = 1/2,
r=
1/2
.
sin ψ
В системе координат 0ϕψr тело E, ограниченное поверхностями
r=
1
1/2
,r=
, ϕ = 0, ϕ = 2π, ψ = π/3, ψ = π/4, −
sin ψ
sin ψ
цилиндроид, элементарный относительно оси 0r, ограниченный сверху по1
1/2
верхностью r =
, снизу — r =
, и проекция которого на плоскость
sin ψ
sin ψ
0ϕψ — прямоугольник 0 ⩽ ϕ ⩽ 2π, π/4 ⩽ ψ ⩽ π/3.
Используя сферическое преобразование в тройном интеграле, имеем
об.T =
dxdydz =
r2 cos ψdϕdψdr =
T
2π
=
0
E
1
sin
π/3
ψ
7
dϕ
dψ
r2 cos ψdϕdψdr = π.
36
π/4
1/2
sin ψ
10.6. Неявная векторная функция
Рассмотрим соотношение
F (x1 , . . . , xn , y) = 0.
(10.11)
Пусть T = {(x1 , . . . , xn , y) : a ⩽ xi ⩽ b, i = 1, . . . , n, c ⩽ y ⩽ d} — к л е т к а в
Rn+1 , а P = {(x1 , . . . , xn ) : a ⩽ xi ⩽ b, i = 1, . . . , n} — соответствующая клетка в Rn . Если для каждой точки (x1 , . . . , xn ) ∈ P существует единственная
204
Глава 10. Векторная функция
точка y ∈ [c, d], удовлетворяющая соотношению F (x1 , . . . , xn , y) = 0, то
определена функция y = ϕ(x1 , . . . , xn ), (x1 , . . . , xn ) ∈ P, c ⩽ y ⩽ d, такая,
что F (x1 , . . . , xn , ϕ(x1 , . . . , xn )) = 0 ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ P. Эту функцию называют н е я в н о й с к а л я р н о й ф у н к ц и е й в е к т о р н о г о а р г у м е н т а,
заданной соотношением (10.11) в клетке T.
Теорема о неявной скалярной функции векторного аргумента
Пусть функция F (x1 , . . . , xn , y) удовлетворяет условиям:
1) F (x01 , . . . , x0n , y0 ) = 0;
2) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки
(x01 , . . . , x0n , y0 );
3) Fy (x01 , . . . , x0n , y0 ) = 0.
Тогда существует клетка T = {(x1 , . . . , xn , y) : x0i − a ⩽ xi ⩽ x0i +
+ a, i = 1, . . . , n, y0 − b ⩽ y ⩽ y0 + b}, a > 0, b > 0, в которой соотношение
F (x1 , . . . , xn , y) = 0 задает неявную непрерывно дифференцируемую функцию y = ϕ(x1 , . . . , xn ), (x1 , . . . , xn ) ∈ P = {(x1 , . . . , xn ) : x0i −a ⩽ xi ⩽ x0i +
+ a, i = 1, . . . , n}, частные производные которой удовлетворяют соотношениям
Fx (x1 , . . . , xn , ϕ(x1 , . . . , xn ))
∂ϕ
, i = 1, . . . , n.
= − i
∂xi
Fy (x1 , . . . , xn , ϕ(x1 , . . . , xn ))
Доказательство проводится строго по схеме доказательства теоремы о
неявной функции из п. 7.7. Рассмотрим систему соотношений
⎧
⎨ f1 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0,
..............................
⎩
fm (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0.
(10.12)
Если ввести векторы
⎛
⎞
⎞
y1
x1
x = ⎝ ... ⎠,y = ⎝ ... ⎠
xn
ym
⎛
и векторную функцию F с компонентами fi , то систему (10.12) можно записать в векторном виде
F (x, y) = 0.
(10.13)
10.6. Неявная векторная функция
205
Построим матрицы
⎞ ⎛ ∂f
⎛
∂f1 ⎞
∂f1
∂f1
1
...
...
⎜ ∂y1
⎜ ∂x1
∂ym ⎟
∂xn ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎜ ................ ⎟, ⎜ ................ ⎟,
⎝ ∂f
∂fm ⎠ ⎝ ∂fm
∂fm ⎠
m
...
...
∂x1
∂xn
∂x1
∂ym
∂F ∂F
,
.
∂x ∂y
Пусть T = {(x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) : a ⩽ xi ⩽ b, i = 1, . . . , n, c ⩽ yj ⩽
⩽ d, j = 1, . . . , m} — клетка в Rn+m , P = {(x1 , . . . , xn ) : a ⩽ xi ⩽ b, i =
= 1, . . . , n} — соответствующая клетка в Rn . Если для каждого вектора
x ∈ P существует единственный вектор y ∈ {y : c ⩽ yj ⩽ d, j = 1, . . . , m},
удовлетворяющий соотношению F (x, y) = 0, то определена векторная функция y = ϕ(x), x ∈ P, такая, что F (x, ϕ(x)) = 0 ∀x ∈ P. Эту функцию
называют н е я в н о й в е к т о р н о й ф у н к ц и е й, заданной соотношением
(10.13) в клетке T.
которые обозначим соответственно через
Теорема о неявной векторной функции
Пусть функция F (x, y) удовлетворяет условиям:
1) F (x0 , y0 ) = 0;
2) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (x0 , y0 );
∂F = 0.
3) det
∂y (x0 ,y0 )
Тогда существует клетка T = {(x, y) : x0i − a ⩽ xi ⩽ x0i + a, i =
= 1, . . . , n, y0j − b ⩽ yj ⩽ y0j + b, j = 1, . . . , m}, a > 0, b > 0, в которой
соотношение F (x, y) = 0 задает неявную непрерывно дифференцируемую
векторную функцию y = ϕ(x), x ∈ P = {x : x0i − a ⩽ xi ⩽ x0i + a, i =
= 1, . . . , n}.
Доказательство проведем по индукции по числу уравнений в системе
(10.12). Если m = 1, то существование искомой неявной функции следует из
теоремы о неявной скалярной функции векторного аргумента. Допустим, что
теорема уже доказана для систем, состоящих из (m − 1) уравнения, и рассмотрим систему, состоящую из m уравнений. Среди алгебраических допол∂F нений элементов первой строки матрицы
есть ненулевые. Изменив
∂x (x0 ,y0 )
при необходимости нумерацию переменных yj , всегда можно добиться того,
чтобы
⎛ ∂f
∂f2 ⎞
2
...
⎜ ∂y2
∂ym ⎟ ⎟
⎜
= 0.
det ⎜ . . . . . . . . . . . . . . . . ⎟ ⎠
⎝ ∂f
∂f
m
m
(x0 ,y0 )
...
∂y2
∂ym
206
Глава 10. Векторная функция
Для системы
⎧
⎨ f2 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0,
..............................
⎩
fm (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0,
(10.14)
состоящей из (m − 1) уравнения, выполнены все условия теоремы о неявной
векторной функции. По индуктивному предположению существует клетка
T1 = {(x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) : x0i − a ⩽ xi ⩽ x0i + a, i = 1, . . . , n, y01 −
−a ⩽ y1 ⩽ y01 +a, y0j −b ⩽ yj ⩽ y0j +b, j = 2, . . . , m}, и существует непрерывно
дифференцируемая неявная функция
⎧
⎨ y2 = ϕ2 (x1 , . . . , xn , y1 ),
.........................
⎩
ym = ϕm (x1 , . . . , xn , y1 ),
заданная системой (10.14) в клетке T1 . Для любых (x1 , . . . , xn , y1 ) ∈ P1 :=
= {(x1 , . . . , xn , y1 ) : x0i − a ⩽ xi ⩽ x0i + a, i = 1, . . . , n, y01 − a ⩽ y1 ⩽ y01 + a}
имеют место равенства
⎧
⎨ f2 (x1 , . . . , xn , y1 , ϕ2 (x1 , . . . , xn , y1 ), . . . , ϕm (x1 , . . . , xn , y1 )) = 0,
..................................................................
⎩
fm (x1 , . . . , xn , y1 , ϕ2 (x1 , . . . , xn , y1 ), . . . , ϕm (x1 , . . . , xn , y1 )) = 0.
(10.15)
Положим
f1 (x1 , . . . , xn , y1 , ϕ2 (x1 , . . . , xn , y1 ), . . . , ϕm (x1 , . . . , xn , y1 )) :=
:= g(x1 , . . . , xn , y1 ).
(10.16)
Дифференцируя функцию (10.16) и тождества (10.15) по y1 и полагая
(x1 , . . . , xn , y1 ) = (x01 , . . . , x0n , y01 ), получаем систему равенств
⎧
∂f1 ∂ϕm
∂g
∂f1 ∂f1 ∂ϕ2
⎪
⎪
⎪ ∂y + ∂y ∂y + · · · + ∂y ∂y = ∂y ,
⎪
⎪
1
2
1
m
1
1
⎪
⎪
⎪ ∂f
⎨
∂f2 ∂ϕ2
∂f2 ∂ϕm
2
+
+ ··· +
= 0,
∂y
∂y
∂y
∂y
1
2
1
m ∂y1
⎪
⎪
⎪
........................................
⎪
⎪
⎪
⎪
∂fm ∂fm ∂ϕ2
∂fm ∂ϕm
⎪
⎩
+
+ ··· +
= 0.
∂y1
∂y2 ∂y1
∂ym ∂y1
(10.17)
10.6. Неявная векторная функция
207
Из системы равенств (10.17) следует, что система линейных уравнений
⎧
∂f1
∂f1
∂g
∂f1
⎪
⎪
z1 +
z2 + · · · +
zm =
,
⎪
⎪
∂y1
∂y2
∂ym
∂y1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ ∂f2
∂f2
∂f2
z1 +
z2 + · · · +
zm = 0,
(10.18)
∂y1
∂y2
∂ym
⎪
⎪
⎪
.....................................
⎪
⎪
⎪
⎪
∂fm
∂fm
∂fm
⎪
⎩
z1 +
z2 + · · · +
zm = 0
∂y1
∂y2
∂ym
имеет ненулевое решение
z1 = 1, z2 =
∂ϕ2 ∂ϕm , . . . , zm =
.
∂y1 (x0 ,y01 )
∂y1 (x0 ,y01 )
(10.19)
∂F , и
∂y (x0 ,y0 )
он по условию теоремы отличен от нуля. Если предположить, что
∂g
(x01 , . . . , x0n , y01 ) = 0, то система (10.18) является однородной системой
∂y1
линейных уравнений и имеет единственное нулевое решение, что противоречит существованию ненулевого решения (10.19) у системы (10.18). Поэтому
Определителем
матрицы
системы
(10.18)
является
det
∂g
(x01 , . . . , x0n , y01 ) = 0.
∂y1
Кроме того,
g(x01 , . . . , x0n , y01 ) = f1 (x01 , . . . , x0n , y01 , y02 , . . . , y0m ) = 0.
Соотношение
g(x1 , . . . , xn , y1 ) = 0
удовлетворяет всем условиям теоремы о неявной скалярной функции векторного аргумента в окрестности точки (x01 , . . . , x0n , y01 ). По этой теореме существует клетка T2 = {(x1 , . . . , xn , y1 ) : x0i − a1 ⩽ xi ⩽ x0i + a1 , i =
= 1, . . . , n, y01 − b1 ⩽ y1 ⩽ y01 + b1 }, 0 < a1 ⩽ a, 0 < b1 ⩽ min{a, b}, в которой
соотношение g(x1 , . . . , xn , y1 ) = 0 задает неявную непрерывно дифференцируемую на P2 = {(x1 , . . . , xn ) : x0i − a1 ⩽ xi ⩽ x0i + a1 , i = 1, . . . , n} функцию
y1 = ϕ1 (x1 , . . . , xn ).
Векторная функция
⎧
y1 = ϕ1 (x1 , . . . , xn ),
⎪
⎪
⎨
y2 = ϕ2 (x1 , . . . , xn , ϕ1 (x1 , . . . , xn )),
.
.....................................
⎪
⎪
⎩
ym = ϕm (x1 , . . . , xn , ϕ1 (x1 , . . . , xn )),
208
Глава 10. Векторная функция
(x1 , . . . , xn ) ∈ P2 , является непрерывно дифференцируемой функцией, заданной системой (10.12) в клетке T3 = {(x, y) : x0i − a1 ⩽ xi ⩽ x0i + a1 , i =
= 1, . . . , n, y0j − b1 ⩽ yj ⩽ y0j + b1 , j = 1, . . . , m}. Доказательство завершается
ссылкой на метод математической индукции. 10.7. Матрица Якоби
неявной векторной функции
Допустим, что соотношение F (x, y) = 0 удовлетворяет условиям теоремы о неявной векторной функции. Тогда существует неявная непрерывно
дифференцируемая функция y = ϕ(x), x ∈ P,
⎞ ⎛
⎛
⎞
ϕ1 (x1 , . . . , xn )
y1
⎝ ... ⎠ = ⎝ ............... ⎠,
ϕm (x1 , . . . , xn )
ym
dϕ
неявной
dx
векторной функции. Функция w = F (x, ϕ(x)) является сложной функцией,
образованной отображениями w = F (z) и
заданная соотношением F (x, y) = 0. Найдем матрицу Якоби
z = (x1 . . . xn y1 . . . ym ) = (x1 . . . xn ϕ1 (x1 , . . . , xn ) . . . ϕm (x1 , . . . , xn )) .
По теореме о матрице Якоби сложной функции (п. 10.3)
⎞
⎛
(f1 )x1 . . . (f1 )xn (f1 )y1 . . . (f1 )ym
dF (x, ϕ(x)) ⎝
.......................................... ⎠
=
×
dx
(fm )x1 . . . (fm )xn (fm )y1 . . . (fm )ym
(x,ϕ(x))
⎞
1
...
0
⎜ ..................... ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
0
...
1
⎟ =
⎜
×⎜
⎟
⎜ (ϕ1 )x1 . . . (ϕ1 )xn ⎟ x
⎝ ..................... ⎠
(ϕm )x1 . . . (ϕm )xn
∂F dϕ ∂F =
+
.
∂x (x,ϕ(x)) ∂y (x,ϕ(x)) dx x
⎛
dF (x, ϕ(x))
= 0 ∀x ∈ P, и, следоПоскольку F (x, ϕ(x)) = 0 ∀x ∈ P, то
dx
вательно,
∂F dϕ ∂F +
= 0.
∂x (x,ϕ(x)) ∂y (x,ϕ(x)) dx x
10.7. Матрица Якоби
209
Отсюда находим матрицу Якоби неявной векторной функции
∂F −1 ∂F dϕ ∀x ∈ P.
(10.20)
=−
dx x
∂y
∂x (x,ϕ(x))
∂F −1
Существование обратной матрицы
гарантируется условием 3)
∂y
теоремы о неявной векторной функции.
Замечание 10.1. Пусть w = F (x, y), где y = ϕ(x). При выводе формулы (10.20) было показано, что матрица Якоби векторной функции w =
= F (x, ϕ(x)) имеет вид
∂F dϕ ∂F dF (x, ϕ(x))
=
+
(10.21)
.
dx
∂x (x,ϕ(x)) ∂y (x,ϕ(x)) dx x
Пример 10.5. Рассмотрим систему соотношений
1
− x2 + y12 + y22 = 0,
2
x + y1 + y2 − 2 = 0.
(10.22)
и векторную функцию
1
− x2 + y12 + y22
F (x, y) =
.
2
x + y1 + y2 − 2
Введем вектор y = (y1
y2 )
Систему (10.22) можно записать в векторной форме F (x, y) = 0. Пусть x0 =
= 2, y0 = (1 − 1) . Проверим, что система (10.22) удовлетворяет условиям
теоремы о неявной векторной функции: F (x0 , y0 ) = 0, компоненты векторной функции F (x, y) — многочлены и, очевидно, непрерывно дифференцируемы;
∂F 2y1 2y2 det
= det
= 4 = 0.
1
1
∂y (x0 ,y0 )
(x0 ,y0 )
По теореме о неявной векторной функции система (10.22) задает неявную
непрерывно дифференцируемую функцию y = ϕ(x) = (ϕ1 (x) ϕ2 (x)) ,
определенную в некоторой окрестности точки x0 = 2, со значениями в некоторой окрестности точки y0 . Матрицу Якоби этой функции можно найти по
формуле (10.20)
∂F −1 ∂F dϕ =
=−
dx x
∂y
∂x (x, ϕ(x))
1
−x − 2y2 .
=
x + 2y1
−2y1 + 2y2
(x, ϕ(x))
dϕ 0
В частности,
=
.
−1
dx x=2
210
Глава 10. Векторная функция
10.8. Теорема об обратной функции
Рассмотрим векторную функцию x = g(y), определенную в некоторой
окрестности точки y0 ∈ Rn и со значениями в Rn .
Теорема об обратной функции
Пусть функция g(y) удовлетворяет условиям:
1) x0 = g(y0 );
2) непрерывно дифференцируемая в некоторой окрестности точки y0 ;
dg 3) det = 0.
dy y0
Тогда существуют клетки Q = {y : y0i − b ⩽ yi ⩽ y0i + b, i = 1, . . . , n},
b > 0, и P = {x : x0i − a ⩽ xi ⩽ x0i + a, i = 1, . . . , n}, a > 0, такие, что для
функции x = g(y), g : Q → P, существует непрерывно дифференцируемая
обратная функция y = f (x), f : P → Q, матрица Якоби которой равна
dg −1 df =
dx x
dy
y=f (x)
∀x ∈ P.
(10.23)
Доказательство. Существование клеток Q и P и обратной непрерывно
дифференцируемой функции y = f (x), f : P → Q, вытекает из теоремы о
неявной векторной функции, примененной к соотношению F (x, y) = g(y) −
∂g ∂F
∂F
=
,
= −E, где E — единичная матрица, то
− x = 0. Так как
∂y
∂y ∂x
формула (10.23) следует из равенства (10.20). 10.9. Зависимые и независимые
функциональные совокупности
Рассмотрим совокупность скалярных непрерывно дифференцируемых
функций векторного аргумента:
fi : D → R, i = 1, . . . , yi = fi (x), D ⊂ Rn .
Функциональную совокупность называют з а в и с и м о й н а множестве D,
если одна функция выражается через конечное число других функций. Другими словами, система {fi (x)}, i = 1, 2, . . . , зависима, если для некоторой
функции fm (x) можно указать систему функций, например, f1 , . . . , fm−1 и
непрерывно дифференцируемую функцию
Φ : G → R, G = {(y1 , . . . , ym−1 ) : y1 = f1 (x), . . . , ym−1 = fm−1 (x), x ∈ D},
10.9. Зависимые и независимые функциональные совокупности
211
такие, что
fm (x) = Φ(f1 (x), . . . , fm−1 (x)) ∀x ∈ D.
В противном случае совокупность {fi (x)}, i = 1, 2, . . . , называют
н е з а в и с и м о й н а D.
Рассмотрим сначала совокупность, состоящую из m линейных функций:
y1 = a11 x1 + . . . + a1n xn ,
...........................
ym = a1m x1 + . . . + amn xn ,
x ∈ Rn .
(10.24)
Построим матрицу, составленную из коэффициентов совокупности функций
(10.24):
⎛
⎞
a11 . . . a1n
A = ⎝ .............. ⎠.
a1m . . . amn
Теорема о зависимости линейных функций
Для зависимости совокупности линейных функций (10.24) необходимо и
достаточно, чтобы ранг матрицы A был меньше, чем m, ранг(A) < m.
Доказательство. Достаточность. Если ранг матрицы A меньше, чем
n, то одна из строк матрицы является линейной комбинацией остальных,
поэтому одна из функций совокупности (10.24) представляет собой линейную
комбинацию остальных функций.
Необходимость. Допустим, что некоторая функция, например последняя,
представима в виде
a1m x1 + . . . + amn xn =
= Φ(a11 x1 + . . . + a1n xn , . . . , a(m−1)1 x1 + . . . + a(m−1)n xn )
(10.25)
и ранг (A) = m. Поскольку ранг (A) = m, то при любом a ∈ R система
линейных уравнений
⎧
a11 x1 + . . . + a1n xn = 0,
⎪
⎪
⎨
................................
x + . . . + a(m−1)n xn = 0,
a
⎪
⎪
⎩ (m−1)1 1
am1 x1 + . . . + amn xn = a
имеет решение (x1 (a), . . . , xn (a)). Подставляя его в тождество (10.25), получим противоречивое равенство
a = Φ(0, . . . , 0). 212
Глава 10. Векторная функция
10.10. Признак независимости
функциональной совокупности
Рассмотрим совокупность, состоящую из m непрерывно дифференцируемых скалярных функций yi = fi (x), x ∈ D ⊂ Rn , i = 1, . . . , m. Построим
векторную функцию y = F (x), компонентами которой являются функции
fi (x), и найдем матрицу Якоби этой векторной функции
⎞
⎛
∂f1
∂f1
...
⎜ ∂x1
∂xn ⎟
dF
⎟
⎜
= ⎜ ................ ⎟.
dx
⎝ ∂f
∂fm ⎠
m
...
∂x1
∂xn
dF
Отметим, что в случае совокупности линейных функций матрица
dx
совпадает с матрицей A, рассмотренной в п. 10.9.
Признак независимости функций
Если
dF ранг
=m
dx x0
(10.26)
в некоторой точке x0 ∈ D, то совокупность функций {fi (x)}, i =
= 1, . . . , m, независима на D.
Доказательство. Из условия (10.26) без нарушения общности рассуждений (дело сводится к перенумерации переменных xk ) следует, что
⎞
⎛
∂f1
∂f1
...
⎜ ∂x1
∂xm ⎟
⎟
⎜
det ⎜ . . . . . . . . . . . . . . . . ⎟ = 0.
(10.27)
⎝ ∂f
∂fm ⎠ x0
m
...
∂x1
∂xm
Допустим вместе с тем, что система зависима, т. е. существует непрерывно
дифференцируемая функция Φ такая, что
Φ(f1 (x), . . . , fm−1 (x)) − fm (x) = 0 ∀x ∈ D.
Продифференцировав последнее тождество по x1 , . . . , xm и положив x =
= x0 , получим в точке x0
⎧ ∂Φ ∂f
∂Φ ∂fm−1 ∂fm
1
⎪
+ ... +
−
= 0,
⎪
⎪
⎨ ∂y1 ∂x1
∂ym−1 ∂x1
∂x1
..........................................
(10.28)
⎪
⎪
∂Φ
∂f
∂f
∂Φ
∂f
1
m−1
m
⎪
⎩
+ ... +
−
= 0.
∂y1 ∂xm
∂ym−1 ∂xm
∂xm
10.11. Признак зависимости
213
Из системы соотношений (10.28) следует, что однородная система линейных
уравнений
⎧
∂fm−1
∂fm
∂f1
⎪
⎪
z1 + . . . +
zm−1 +
zm = 0,
⎪
⎨ ∂x1
∂x1
∂x1
.........................................
(10.29)
⎪
⎪
∂f
∂f
∂f
1
m−1
m
⎪
⎩
z1 + . . . +
zm−1 +
zm = 0
∂xm
∂xm
∂xm
с определителем, не равным нулю (10.27), имеет ненулевое решение
z1 =
∂Φ
∂Φ
, . . . , zm−1 =
, zm = −1,
∂y1
∂ym−1
что невозможно. Полученное противоречие показывает независимость функциональной совокупности {fi (x)} на D. 10.11. Признак зависимости
функциональной совокупности
Рассмотрим совокупность функций, состоящую из m непрерывно дифференцируемых скалярных функций yi = fi (x), x ∈ D ⊂ Rn , i = 1, . . . , m.
Как и в п. 10.10, построим векторную функцию y = F (x), компонентами которой являются функции fi (x), и построим матрицу Якоби этой векторной
функции
⎞
⎛
∂f1
∂f1
...
⎜ ∂x1
∂xn ⎟
dF
⎟
⎜
= ⎜ ................ ⎟.
dx
⎝ ∂f
∂fm ⎠
m
...
∂x1
∂xn
dF Пусть ранг
= r < m. Точку x0 называют т о ч к о й с т а б и л ь н о г о
dx x0
dF
, если существует клетка P = {x : x0i −a ⩽ xi ⩽ x0i +
р а н г а для матрицы
dx
dF
= r для всех x ∈ P.
+ a, i = 1, . . . , n}, a > 0, такая, что ранг
dx
Признак локальной зависимости функций
dF Если ранг
= r < m и x0 является точкой стабильного ранга для
dx x0
dF
матрицы
, то система функций {fi (x)} зависима в некоторой окрестdx
ности точки x0 .
214
Глава 10. Векторная функция
dF , не равdx x0
ный нулю. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что
⎞
⎛
(f1 )x1 . . . (f1 )xr
det J(x0 ) = 0, где J(x) = ⎝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ .
(fr )x1 . . . (fr )xr
Доказательство. Существует минор порядка r матрицы
На основании теоремы о неявной векторной функции, система соотношений
⎧
⎨ f1 (x1 , . . . , xr , xr+1 , . . . , xn ) − y1 = 0,
.....................................
⎩
fr (x1 , . . . , xr , xr+1 , . . . , xn ) − yr = 0
в некоторой клетке T = {(x, y) : x0i − a1 ⩽ xi ⩽ x0i + a1 , i = 1, . . . , r, x0i − b ⩽
⩽ xi ⩽ x0i +b, i = r+1, . . . , n, y0j −b ⩽ yj ⩽ y0j +b, j = 1, . . . , r}, 0 < a1 ⩽ a, 0 <
< b ⩽ a, где y0j = fj (x0 ), задает неявную непрерывно дифференцируемую
функцию
⎧
⎨ x1 = ϕ1 (xr+1 , . . . , xn , y1 , . . . , yr ),
..................................
⎩
xr = ϕr (xr+1 , . . . , xn , y1 , . . . , yr ),
(xr+1 , . . . , xn , y1 , . . . , yr ) ∈ P1 := {(xr+1 , . . . , xn , y1 , . . . , yr ) : x0i − b ⩽ xi ⩽
⩽ x0i + b, i = r + 1, . . . , n, y0j − b ⩽ yj ⩽ y0j + b, j = 1, . . . , r}. Поскольку
det J(x0 ) = 0, то из теоремы о стабилизации знака следует, что det J(x) = 0
для всех x из некоторой окрестности точки x0 . Можно считать (уменьшая
в случае необходимости a ), что det J(x) = 0 ∀x ∈ P.
Возьмем k такое, что r + 1 ⩽ k ⩽ m, и построим функцию
g(xr+1 , . . . , xn , y1 , . . . , yr ) =
= fk (ϕ1 (xr+1 , . . . , xn , y1 , . . . , yr ), . . . , ϕr , xr+1 , . . . , xn ),
(10.30)
(xr+1 , . . . , xn , y1 . . . , yr ) ∈ P1 . Покажем, что функция g не зависит от переменных (xr+1 , . . . , xn ). Для этого достаточно показать, что
∂g
= 0 ∀(xr+1 , . . . , xn , y1 , . . . , yr ) ∈ P1 ,
∂xj
j = r + 1, . . . , n.
Составим систему тождеств
⎧
f1 (ϕ1 , . . . , ϕr , xr+1 , . . . , xn ) = y1 ,
⎪
⎪
⎨
...........................................................
fr (ϕ1 , . . . , ϕr , xr+1 , . . . , xn ) = yr ,
⎪
⎪
⎩
fk (ϕ1 , . . . , ϕr , xr+1 , . . . , xn ) = g(xr+1 , . . . , xn , y1 , . . . , yr ),
10.11. Признак зависимости
215
(xr+1 , . . . , xn , y1 , . . . , yr ) ∈ P1 . Возьмем j такое, что r + 1 ⩽ j ⩽ n, и продифференцируем эти тождества по xj , получим
⎧
∂f1 ∂ϕr
∂f1
∂f1 ∂ϕ1
⎪
⎪
+ ... +
+
= 0,
⎪
⎪
⎪
∂x1 ∂xj
∂xr ∂xj
∂xj
⎪
⎪
⎪
⎨ .......................................
∂fr ∂ϕ1
∂fr ∂ϕr
∂fr
(10.31)
+ ... +
+
= 0,
⎪
⎪
⎪
∂x1 ∂xj
∂xr ∂xj
∂xj
⎪
⎪
⎪
∂fk ∂ϕ1
∂fk ∂ϕr
∂fk
∂g
⎪
⎪
+ ... +
+
=
,
⎩
∂x1 ∂xj
∂xr ∂xj
∂xj
∂xj
(xr+1 , . . . , xn , y1 , . . . , yr )
∈
P1 .
При
каждых
фиксированных
(xr+1 , . . . , xn , y1 , . . . , yr ) ∈ P1 рассмотрим следующую систему линейных функций относительно переменных t1 , . . . , tr+1
⎧
∂f1
∂f1
∂f1
⎪
⎪
t1 + . . . +
tr +
tr+1 = u1 ,
⎪
⎪
⎪
∂x1
∂xr
∂xj
⎪
⎪
⎪
⎨ ......................................
∂fr
∂fr
∂fr
(10.32)
t1 + . . . +
tr +
tr+1 = ur ,
⎪
⎪
⎪ ∂x1
∂xr
∂xj
⎪
⎪
⎪
∂fk
∂fk
∂fk
⎪
⎪
t1 + . . . +
tr +
tr+1 = ur+1 .
⎩
∂x1
∂xr
∂xj
dF Поскольку ранг
= r < m и x0 является точкой стабильного ранга для
dx x0
dF
матрицы
, то для любой точки (xr+1 , . . . , xn , y1 , . . . , yr ) из клетки P1
dx
определитель матрицы системы линейных функций (10.32) равен нулю, в то
же время det J(x) = 0 ∀x ∈ P. По признаку независимости функций первые
r функций системы (10.32) независимы, а из доказательства достаточности
теоремы о зависимости линейных функций следует, что функция ur+1 является линейной комбинацией предыдущих функций u1 , . . . , ur при каждых
(xr+1 , . . . , xn , y1 , . . . , yr ) ∈ P1 . Из системы (10.31) следует, что в каждой
∂g
точке (xr+1 , . . . , xn , y1 , . . . , yr ) ∈ P1 производная
является линейной
∂xj
комбинацией нулей и, следовательно, равна нулю. Таким образом, функция
g не зависит от xj . Аналогичным образом устанавливается независимость g
от переменных xr+1 , . . . , xj−1 , xj+1 , . . . , xn . Из соотношения (10.30) следует fk (x) = g(f1 (x), . . . , fr (x)) для всех x из некоторой окрестности точки
x0 . Замечание 10.2. При доказательстве теоремы была использована процедура, позволяющая фактическое нахождение отображения, связывающего
функции fk , k = 1, . . . , m.
216
Глава 10. Векторная функция
Пример 10.6. Покажем, что функции
f 1 = x 1 + x 2 + x3 ,
f2 = x 1 − x 2 ,
f3 = x21 + x22 − 2x1 x2 − x1 − x2 − x3
зависимы. Действительно, так как
⎛
⎞
1
1
1
dF
1
−1
0 ⎠ = 2 ∀x ∈ R3
ранг
= ранг ⎝
dx
2x1 − 2x2 − 1 2x2 − 2x1 − 1 −1
и все точки x ∈ R3 являются точками стабильного ранга, то зависимость
функций f1 , f2 , f3 вытекает из признака локальной зависимости функций.
Найдем отображение, связывающее эти функции. Из системы
x1 + x2 + x3 − y1 = 0,
x 1 − x 2 − y2 = 0
выразим
x1 = 1/2(y1 + y2 − x3 ),
x2 = 1/2(y1 − y2 − x3 )
и построим функцию g, подставив найденные выражения для x1 , x2 в функцию f3 , получим
g=
1
2
(y1 + y2 − x3 )
2
+
1
2
(y1 − y2 − x3 )
2
1
(y1 − y2 − x3 ) −
− y1 + y2 − x 3
2
1
1
− (y1 + y2 − x3 ) − (y1 − y2 − x3 ) − x3 = y22 − y1 ,
2
2
следовательно, f3 = f22 − f1 .
ГЛАВА 11
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ВЕКТОРНОГО
АРГУМЕНТА
11.1. Необходимое условие
локального экстремума
Рассмотрим скалярную функцию векторного аргумента f : D → R,
D ⊂ Rn . Внутреннюю точку x0 ∈ D называют точкой л о к а л ь н о г о
м а к с и м у м а функции f, если существует δ-окрестность B(x0 , δ) точки
x0 такая, что
f (x) ⩽ f (x0 ) ∀x ∈ B(x0 , δ).
Аналогично определяются точки л о к а л ь н о г о м и н и м у м а, с т р о г о г о
л о к а л ь н о г о м а к с и м у м а и с т р о г о г о л о к а л ь н о г о м и н и м у м а.
Необходимое условие локального экстремума функции векторного аргумента
Если функция f дифференцируема в точке локального экстремума x0 , то
x0 — с т а ц и о н а р н а я точка функции f, т. е.
∂f ∂f = ... =
= 0.
∂x1 x0
∂xn x0
(11.1)
Доказательство. Если (x01 , . . . , x0n ) — точка локального экстремума,
то для каждого i = 1, . . . , n точка x0i — точка локального экстремума для
скалярной функции y = f (x01 , . . . , x0(i−1) , xi , x0(i+1) , . . . , x0n ). Из необходимого условия локального экстремума скалярной функции (п. 4.2) следует,
что
∂f = 0, i = 1, . . . , n. ∂xi x0
218
Глава 11. Экстремумы функции векторного аргумента
Таким образом, подозрительными на локальный экстремум точками для
дифференцируемой функции являются точки, удовлетворяющие системе
уравнений
⎧
∂f (x1 , . . . , xn )
⎪
⎪
= 0,
⎪
⎨
∂x1
...................
⎪
⎪
⎪
⎩ ∂f (x1 , . . . , xn ) = 0
∂x1
df (x)
или в векторной форме
= 0.
dx
Если функция не дифференцируема в некоторых внутренних точках множества D, то такие точки, как и в случае скалярных функций, являются
подозрительными на точки локального экстремума.
Квадратичные формы
Функцию h : Rn → R вида
h(t1 , . . . , tn ) = a11 t21 +2a12 t1 t2 +. . .+2a1n t1 tn +a22 t22 +. . .+2a2n t2 tn +· · ·+ann t2n
называют к в а д р а т и ч н о й ф о р м о й, а матрицу
⎛
⎞
a11 a12 . . . a1n
⎜ a12 a22 . . . a2n ⎟
⎟
A=⎜
⎝ ................... ⎠−
a1n a2n . . . ann
м а т р и ц е й к в а д р а т и ч н о й ф о р м ы. Квадратичная форма может быть
записана в матричном виде
h(t) = t At,
t ∈ Rn .
Если для любого ненулевого вектора t ∈ Rn выполняется неравенство
h(t) = t At > 0, то квадратичную форму называют п о л о ж и т е л ь н о
о п р е д е л е н н о й; если h(t) = t At < 0 ∀t ∈ Rn , t = 0, то —
о т р и ц а т е л ь н о о п р е д е л е н н о й; если h(t) меняет знак, то —
з н а к о п е р е м е н н о й. Остальные квадратичные формы: h(t) = t At ⩾ 0
∀t ∈ Rn или h(t) = t At ⩽ 0 ∀t ∈ Rn называют п о л у о п р е д е л е н н ы м и.
В дальнейшем мы используем критерий Сильвестра положительной и отрицательной определенности квадратичной формы, доказательство которого
приводится в курсе линейной алгебры.
11.2. Исследование стационарных точек
219
Критерий Сильвестра
Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные угловые
миноры ее матрицы были положительны (все главные угловые миноры
нечетного порядка — отрицательны, а четного порядка — положительны).
11.2. Исследование стационарных точек
Допустим, что функция f : D → R, D ⊂ Rn , дважды непрерывно дифференцируема в окрестности стационарной точки x0 . Построим матрицу
⎞
∂2f
∂2f
...
⎜ ∂x2
∂x1 ∂xn ⎟
⎟ ⎜
1
∂ 2 f = ⎜ ...................... ⎟
⎟ ∂x2 x0 ⎜
⎝ ∂2f
∂ 2 f ⎠ x0
...
∂xn ∂x1
∂x2n
⎛
и образуем квадратичную форму
h(t) = t
∂ 2 f t.
∂x2 x0
Достаточное условие локального экстремума
Пусть x0 — стационарная точка дважды непрерывно дифференцируемой
в некоторой окрестности этой точки функции f.
Если h(t) — положительно определенная квадратичная форма, то x0 —
точка локального минимума;
если h(t) — отрицательно определенная квадратичная форма, то x0 —
точка локального максимума;
если h(t) — знакопеременная квадратичная форма, то x0 не является
точкой локального экстремума.
Доказательство для локального минимума. По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеем
f (x0 + Δx) − f (x0 ) =
df (x0 ) d2 f (x0 + θΔx)
+
,
1!
2!
df (x0 ) = 0, d2 f (x0 + θΔx) = Δx
∂ 2 f (x0 + θΔx)
Δx,
∂x2
0 < θ < 1.
(11.2)
220
Глава 11. Экстремумы функции векторного аргумента
По критерию Сильвестра все главные угловые миноры матрицы
∂ 2 f (x0 )
по∂x2
∂ 2 f (x)
ложительны. Миноры матрицы
являются непрерывными в точке x0
∂x2
функциями. По теореме о стабилизации знака существует δ > 0 такое, что
для каждого вектора w, w ⩽ δ, все главные угловые миноры матрицы
∂ 2 f (x0 + w)
положительны. По критерию Сильвестра функция
∂x2
p(Δx) = Δx
∂ 2 f (x0 + θΔx)
Δx
∂x2
при всех Δx, 0 < Δx ⩽ δ, принимает лишь положительные значения.
Отсюда и из соотношения (11.2) следует неравенство
f (x0 + Δx) ⩾ f (x0 ) ∀Δx, Δx ⩽ δ.
т. е. x0 — точка локального минимума.
Пусть теперь существуют вектора t+ , t− такие, что
(t+ )
∂ 2 f (x0 ) +
∂ 2 f (x0 ) −
−
(t
)
=
a
>
0,
(t
)
(t ) = b < 0.
∂x2
∂x2
Функции
g1 (w) = (t+ )
∂ 2 f (x0 + w) +
(t ),
∂x2
g2 (w) = (t− )
∂ 2 f (x0 + w) −
(t )
∂x2
непрерывны в точке w = 0. По теореме о стабилизации знака существует
δ1 > 0 такое, что g1 (w) ⩾ a/2, g2 (w) ⩽ b/2 для всех w, w ⩽ δ1 . Положим
в равенстве (11.2) сначала Δx = αt+ , а затем Δx = βt− , α, β ∈ R, 0 <
< |α|t+ ⩽ δ1 , 0 < |β|t− ⩽ δ1 , получим
f (x0 + αt+ ) − f (x0 ) =
d2 f (x0 + αθt+ )
⩾ α2 a/4 > 0,
2!
(11.3)
d2 f (x0 + βθt− )
⩽ β2 b/4 < 0.
(11.4)
2!
Из соотношений (11.3)–(11.4) следует, что в любой окрестности точки x0
всегда найдутся две точки вида x0 + αt+ , x0 + βt− , в которых f (x0 +
+ αt+ ) − f (x0 ) > 0, f (x0 + βt+ ) − f (x0 ) < 0, поэтому в точке x0 экстремум
невозможен. f (x0 + βt+ ) − f (x0 ) =
Пример 11.1. Найдем точки локального экстремума функции
f (x1 , x2 ) = x31 + x32 − 3x1 x2 .
11.3. Условный локальный экстремум
Решая систему
221
⎧
∂f
⎪
⎪
= 3x21 − 3x2 = 0,
⎨
∂x1
∂f
⎪
⎪
⎩
= 3x22 − 3x1 = 0,
∂x2
найдем стационарные точки
x01 = 1,
x02 = 1,
x11 = 0,
x12 = 0.
Исследуем их на наличие экстремума:
∂2f
6x1 −3
,
=
−3 6x2
∂x2
∂ 2 f =
∂x2 (1,1)
6 −3
−3 6
, M1 = 6 > 0, M2 = 27 > 0,
(1, 1) − точка локального минимума;
0 −3
=
, M1 = 0, M2 = −9,
−3 0
∂x2 (0,0)
∂ 2 f h(t) = t
t = −6t1 t2 , h(1, 1) < 0, h(1, −1) > 0,
∂x2 (0,0)
∂2f квадратичная форма h(t) знакопеременная, точка (0, 0) не является точкой
локального экстремума.
11.3. Условный локальный экстремум
Рассмотрим скалярную функцию векторного аргумента y = f (x), определенную на множестве E ⊂ Rn . Пусть M — подмножество множества E.
Точку x0 называют т о ч к о й у с л о в н о г о м и н и м у м а функции f относительно M, если
f (x) ⩾ f (x0 ) ∀x ∈ M.
Точку
x0
называют
точкой
локального
условного
м и н и м у м а, если существует окрестность B(x0 , δ) точки x0 такая,
что x0 — точка условного минимума относительно M ∩ B(x0 , δ), т. е.
f (x) ⩾ f (x0 ) ∀x ∈ M ∩ B(x0 , δ). Например, для функции y = x21 + x22 в
случае, когда множество M — прямая x1 + x2 = 1, точка (1/2, 1/2) является
точкой условного минимума (рис. 11.1).
222
Глава 11. Экстремумы функции векторного аргумента
Рис. 11.1
Аналогично определяют т о ч к и у с л о в н о г о м а к с и м у м а и
л о к а л ь н о г о у с л о в н о г о м а к с и м у м а.
Пусть M является множеством точек (x1 , . . . , xn ), удовлетворяющих
соотношениям
⎧
⎨ F1 (x1 , . . . , xm , . . . , xn ) = 0,
.............................
(11.5)
⎩
Fm (x1 , . . . , xm , . . . , xn ) = 0.
Уравнения Fi (x1 , . . . , xm , . . . , xn ) = 0, i = 1, . . . , m, называют уравнениями связей.
Введем векторы
⎞
⎛
x1
⎛
⎛
⎞
⎞
⎜ ... ⎟
x1
xm+1
⎟
⎜
⎟
⎝ ... ⎠,t = ⎝ ... ⎠
x=⎜
⎜ xm ⎟ , z =
⎝ ... ⎠
xm
xn
xn
и векторную функцию
⎛
⎞
F1 (z, t)
F (x) = F (z, t) = ⎝ . . . . . . . . ⎠ ,
Fm (z, t)
что позволяет функцию y = f (x) и систему (11.5) записать в следующей
векторной форме:
y = f (z, t),
F (z, t) = 0.
11.3. Условный локальный экстремум
223
В дальнейшем в этом пункте предполагается, что выполняются следующих два условия:
1) функции f, Fi , i = 1, . . . , m, непрерывно дифференцируемы на множестве E;
dF (x)
2) ранг
= m ∀x ∈ M.
dx
Согласно признаку независимости функциональной совокупности, система функций Fi (z, t), i = 1, . . . , m, независима на E.
Пусть x0 = (z0 , t0 ) — точка, принадлежащая множеству M. Согласно
dF (x) условию 2), хотя бы один из миноров порядка m матрицы
отличен
dx x0
от нуля. Предположим для определенности, что
det
∂F = 0.
∂z x0
В силу теоремы о неявной векторной функции соотношение F (z, t) = 0
в некоторой окрестности точки (z0 , t0 ) задает непрерывно дифференцируемую неявную векторную функцию z = Φ(t), определенную в некоторой
окрестности T точки t0 .
Построим функцию
g(t) = f (Φ(t), t), t ∈ T.
Поскольку множество M в некоторой окрестности точки x0 совпадает
с множеством {(Φ(t), t)}, t ∈ T, то точка x0 = (z0 , t0 ) является точкой
условного локального экстремума для функции f относительно множества
M = {(z, t) : F (z, t) = 0} тогда и только тогда, когда точка t0 является
точкой локального экстремума для функции g(t). В п. 11.2 было показано,
что подозрительными на точки локального экстремума для функции g(t)
являются точки, удовлетворяющие системе уравнений
dg(t)
= 0.
dt
(11.6)
Пусть t0 — решение системы (11.6). Из достаточного условия локаль∂ 2 g ного экстремума вытекает: а) если квадратичная форма h(v) = v
v
∂t2 t0
положительно определенная, то (Φ(t0 ), t0 ) — точка условного локального минимума; б) если h(v) — отрицательно определенная, то (Φ(t0 ), t0 ) — точка
условного локального максимума; в) если h(v) — знакопеременная квадратичная форма, то (Φ(t0 ), t0 ) не является точкой условного локального экстремума.
224
Глава 11. Экстремумы функции векторного аргумента
Пример 11.2. Найдем точки условного локального экстремума в задаче
u = x2 + y 2 + z 2 + z 2 − yz,
(11.7)
x + y = 1.
Из уравнения связи x + y = 1 выражаем y = 1 − x и подставляем в функцию
u, в результате построим функцию W = x2 + (1 − x)2 + z 2 − (1 − x)z = 2x2 −
− 2x + z 2 − z + xz + 1. Находим точки локального экстремума этой функции
Wx = 4x + z − 2 = 0,
x = 3/7, z = 2/7,
Wz = x + 2z − 1 = 0,
∂2W
=
∂x2
4 1
1 2
, M1 = 4 > 0, M2 = 7 > 0,
(3/7, 2/7) — точка локального минимума функции W, следовательно,
(3/7, 4/7, 2/7) — точка условного локального минимума для задачи (11.7).
Описанный выше метод позволяет свести нахождение точек условного локального экстремума к уже изученной проблеме нахождения точек локального экстремума. При этом наиболее трудный этап такого сведения — нахождение неявной функции z = Φ(t). В методе, рассматриваемом в п. 11.4, такая
функция уже не используется.
11.4. Метод Лагранжа нахождения точек
условного локального экстремума
Предположим, что функции f, Fi , i = 1, . . . , m, удовлетворяют условиям 1), 2) из п. 11.3. Построим ф у н к ц и ю Л а г р а н ж а
L(x1 , . . . , xn , d1 , . . . , dm ) =
= f (x1 , . . . , xn ) + d1 F1 (x1 , . . . , xn ) + · · · + dm Fm (x1 , . . . , xn ),
или в векторной форме
L(x, d) = f (x) + d F (x) = f (z, t) + d F (z, t),
где d = (d1 . . . dm ), di , i = 1, . . . , m, — множители Лагранжа; x, z, t —
векторы, введенные в п. 11.3.
11.4. Метод Лагранжа
225
Необходимое условие Лагранжа локального условного экстремума
Пусть x0 — точка локального условного экстремума для функции f относительно множества M, заданного уравнениями связей (11.5). Тогда
существует набор множителей Лагранжа d0 = (d01 . . . d0m ) такой, что
точка (x0 , d0 ) является стационарной точкой функции Лагранжа, т. е.
∂L = 0,
∂x (x0 ,d0 )
∂L = 0.
∂d x0
Доказательство. Возьмем матрицу
∂L
∂F
∂f
=d
+
∂z
∂z
∂z
и построим систему линейных уравнений относительно d
∂F ∂f +
(11.8)
d
= 0.
∂z x0 ∂z x0
∂F Определитель системы (11.8) det
не равен нулю, следовательно,
∂z x0
система (11.8) имеет единственное решение d0 = (d01 . . . d0m ). При таком
выборе множителей Лагранжа имеем
∂L ∂F ∂f = d0
(11.9)
+
= 0.
∂z (x0 ,d0 )
∂z x0 ∂z x0
Пусть z = Φ(t) — непрерывно дифференцируемая неявная функция, определяемая соотношением F (z, t) = 0 в окрестности точки (z0 , t0 ). Существование такой функции Φ(t) следует из теоремы о неявной векторной функции.
Тогда
F (Φ(t), t) = 0
(11.10)
для всех t из некоторой окрестности точки t0 .
Точка t0 является точкой локального экстремума функции g(t) =
= f (Φ(t), t) (см. п. 11.3) и функции
p(t) = f (Φ(t), t) + d0 F (Φ(t), t)
(последнее утверждение вытекает из тождества (11.10)). Из необходимого
dp условия локального экстремума следует, что
= 0. Используя формулу
dt t0
(10.21), имеем
∂F dΦ ∂f dΦ
dp ∂f ∂F
+
+ d0
+
.
= d0
dt t0
∂z dt
∂z dt
∂t
∂t t0
226
Глава 11. Экстремумы функции векторного аргумента
Отсюда и из равенства (11.9) следует
∂F ∂f ∂L = d0
+
= 0.
∂t x0
∂t x0 ∂t x0
Равенство
∂L = F (x0 ) = 0
∂d x0
вытекает из определения точки x0 ∈ M. Из теоремы следует, что для нахождения точек локального условного экстремума методом Лагранжа надо:
1) построить функцию Лагранжа L = f + d F ;
2) составить систему уравнений
∂L
= 0,
∂x
∂L
= 0;
∂d
(11.11)
3) найти решения системы (11.11);
4) провести исследование найденных решений на наличие условного локального экстремума.
Решения системы (11.11) являются лишь точками, подозрительными на
точки локального условного экстремума. Для их исследования можно исполь∂2L
. Пусть (x0 , d0 ) — решение системы (11.11). Найдем
зовать матрицу
∂x2
2
∂ L
матрицу
и, используя уравнения связей, построим систему
∂x2 (x0 ,d0 )
⎛
⎛
⎞
⎞
vm+1
u1
∂F ∂F (11.12)
u+
v = 0, u = ⎝ . . . ⎠ , v = ⎝ . . . ⎠ ,
∂z x0
∂t x0
um
vn
из которой найдем выражение вектора u через v
u(v) =
∂F −1 ∂F v.
∂z
∂t x0
Построим квадратичную форму относительно v
u(v)
v
∂ 2 L ∂x2 (x0 ,d0 )
u(v)
v
= h(v).
Можно проверить, что квадратичная форма h(v) совпадает с квадратичной
∂ 2 g формой v
v, где g(t) = f (Φ(t), t). Из результатов п. 11.3 следует:
∂t2 t0
если h(v) — положительно определенная квадратичная форма, то t0 — точка
11.4. Метод Лагранжа
227
локального минимума функции g(t), следовательно, x0 — точка условного
локального минимума функции f относительно множества M ; если h(v) —
отрицательно определенная квадратичная форма, то x0 — точка условного
локального минимума; если h(v) — знакопеременная квадратичная форма,
то x0 не является точкой локального условного экстремума.
Пример 11.3. Используя метод Лагранжа, найдем точки условного локального экстремума в задаче
⎧
⎨ u = xy + yz,
x2 + y 2 = 2, E = {(x, y, z) : x > 0, y > 0, z > 0}.
(11.13)
⎩
y + z = 2,
Построим функцию Лагранжа
L(x, y, z, d1 , d2 ) = xy + yz + d1 (x2 + y 2 − 2) + d2 (y + z − 2)
и найдем принадлежащую области E точку, подозрительную на точку условного локального экстремума:
⎧
⎧
= y + 2d x = 0,
L
x0 = 1,
1
⎪
⎪
x
⎪
⎪
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎪
⎪
⎪
⎪
x
1
y0 = 1,
⎨ Ly = x + z + 2d1 y + d2 = 0, ⎨
Lz = y + d2 = 0,
z0 = 1,
x = ⎝ y ⎠ , x0 = ⎝ 1 ⎠ .
⎪
⎪
⎪
⎪
Ld1 = x2 + y 2 − 2 = 0,
z
1
⎪ d01 = −1/2,
⎪
⎪
⎪
⎩
⎩
d02 = −1,
Ld2 = y + z − 1 = 0,
Запишем матрицу
⎛
⎞
−1 1 0
= ⎝ 1 −1 1 ⎠
2
∂x (x0 ,d01 ,d02 )
0
1 0
∂2L и систему (11.12), которая в данном примере имеет вид
u1 + u2 = 0,
u2 + v = 0.
Отсюда u1 = v, u2 = −v. Построим квадратичную форму
∂ 2 L u(v)
u(v)
=
v
v
∂x2 (x0 ,d0 )
⎛
⎞⎛
⎞
−1 1 0
v
= (v − v v) ⎝ 1 −1 1 ⎠ ⎝ −v ⎠ = −6v 2 < 0.
0
1 0
v
Поскольку квадратичная форма является отрицательно определенной, то
x0 — точка условного локального максимума в задаче (11.13).
228
Глава 11. Экстремумы функции векторного аргумента
11.5. Глобальные экстремумы
функции векторного аргумента
Рассмотрим скалярную функцию y = f (x1 , . . . , xn ), определенную на
множестве D ⊂ Rn . Величины M = sup f (x), m = inf f (x) называют
x∈D
x∈D
э к с т р е м а л ь н ы м и для функции f на D. Если существует точка x∗ ∈
∈ D такая, что f (x∗ ) = M, то точку x∗ называют точкой г л о б а л ь н о г о
м а к с и м у м а и пишут M = max f (x), аналогично пишут m = min f (x) в
x∈D
x∈D
случае, если существует точка x∗ ∈ D такая, что f (x∗ ) = m. Ограничимся
нахождением глобального экстремума в двух случаях.
1) D — компакт, граница которого ∂D имеет вид {x : F (x) = 0}, и
функции f, F удовлетворяют условиям 1), 2) из п. 11.3. Для нахождения
точек глобального экстремума в этом случае надо: a) найти стационарные
точки функции f, принадлежащие intD = {x : x − внутренняя точка D};
б) найти стационарные точки функции Лагранжа L = f (x) + d F (x); в)
вычислить значения функции f в найденных точках (если их конечное число) и среди найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее числа,
первое из них — max f (x), второе — min f (x).
x∈D
x∈D
2) D — область, f дифференцируема на D, f (x) → +∞ при x → ∂D
и f имеет конечное число стационарных точек γ1 , . . . , γr в D. Говорят, что
f (x) → +∞ при x → ∂D, если ∀α ∈ R, ∃ компакт K ⊂ D такой, что
f (x) ⩾ α ∀x ∈ D \ K.
Покажем, что min f (x) = min{f (γ1 ), . . . , f (γr )}. Действительно, возьx∈D
мем компакт K такой, что f (x) ⩾ 1 + max{f (γ1 , . . . , f (γr )} ∀x ∈
∈ D \ K. Следовательно, inf f (x) = min f (x). Поскольку min f (x) >
x∈D
> max{f (γ1 ), . . . , f (γr )}, то
x∈K
x∈∂K
min f (x) = min{f (γ1 ), . . . , f (γr )}.
x∈D
Глобальный минимум выпуклой функции
Множество D ⊂ Rn называют в ы п у к л ы м, если
∀x0 , x1 ∈ D, ∀τ : 0 ⩽ τ ⩽ 1 ⇒ xτ = x0 + τ(x1 − x0 ) ∈ D.
Функцию f : D → R называют в ы п у к л о й, если множество D — выпукло и для любых x0 , x1 ∈ D, для любых τ, 0 ⩽ τ ⩽ 1, выполняется неравенство
f (xτ ) ⩽ f (x0 ) + τ(f (x1 ) − f (x0 )).
11.5. Глобальные экстремумы
229
Достаточное условие выпуклости скалярной функции векторного аргумента
Пусть f : D → R — дважды непрерывно дифференцируемая функция, заданная на выпуклом множестве D. Если для любого x ∈ D все главные
∂ 2 f (x)
положительны, то функция f являетугловые миноры матрицы
∂x2
ся выпуклой.
Доказательство. Из критерия Сильвестра следует, что при каждом x ∈
∂ 2 f (x)
∈ D квадратичная форма u
u является положительно определен∂x2
ной. Пусть x0 , x1 — две различные точки из D. Рассмотрим скалярную
функцию ϕ(t) = f (x0 + t(x1 − x0 )), 0 ⩽ t ⩽ 1, и вычислим ϕ (t). Используя
теорему о матрице Якоби сложной векторной функции, имеем
ϕ (t) =
df (x + t(x − x )) df (x0 + t(x1 − x0 ))
0
1
0
(x1 − x0 ) = (x1 − x0 )
,
dx
dx
∂ 2 f (x0 + t(x1 − x0 ))
(x1 − x0 ).
∂x2
Отсюда и из критерия Сильвестра следует, что ϕ (t) > 0 ∀t ∈ [0, 1]. По
критерию выпуклости скалярных дважды дифференцируемых отображений
функция ϕ(t) выпукла на [0, 1], т. е. для любых t0 , t1 ∈ [0, 1], для любых
τ, 0 ⩽ τ ⩽ 1, выполняется неравенство ϕ(t0 +τ(t1 −t0 )) ⩽ ϕ(t0 )+τ(ϕ(t1 )−ϕ(t0 )).
Полагая в последнем неравенстве t0 = 0, t1 = 1, получим f (xτ ) ⩽ f (x0 ) +
+ τ(f (x1 ) − f (x0 )). ϕ (t) = (x1 − x0 )
Теорема о глобальном минимуме выпуклой функции
Пусть f : D → R — дифференцируемая выпуклая функция, x0 — внутренняя стационарная точка функции. Тогда x0 — точка глобального минимума f на D.
что
Доказательство. Предположим, что существует точка x1 ∈ D такая,
f (x1 ) < f (x0 ).
(11.14)
Точка t = 0 является стационарной точкой скалярной функции ϕ(t) =
= f (x0 +t(x1 −x0 )), t ∈ [−δ, 1], где δ > 0 такое число, что точка x0 −δ(x1 −x0 )
принадлежит D. Кроме того, ϕ — выпуклая функция на [−δ, 1] (доказать).
По теореме о глобальном минимуме скалярной выпуклой функции (п. 4.5),
t = 0 — точка глобального минимума для ϕ(t), t ∈ [−δ, 1]. Следовательно,
ϕ(1) ⩾ ϕ(0), отсюда f (x1 ) ⩾ f (x0 ), что противоречит (11.14). ГЛАВА 12
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
12.1. Поверхности
Пусть D — ограниченная область на плоскости 0uv, ∂D — ее граница, а
D ∪ ∂D = D — замыкание D, и пусть x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) —
три непрерывные функции, определенные на D. Множество точек M (u, v)
с координатами (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D, в пространстве 0xyz называют п о в е р х н о с т ь ю с п а р а м е т р и ч е с к и м у р а в н е н и е м
⎧
⎨ x = x(u, v),
y = y(u, v), (u, v) ∈ D.
(12.1)
⎩
z = z(u, v),
Векторную функцию
⎛
⎞
x(u, v)
r = r(u, v) = ⎝ y(u, v) ⎠ , (u, v) ∈ D,
z(u, v)
называют в е к т о р н ы м у р а в н е н и е м поверхности (если различны параметрические уравнения двух поверхностей, то поверхности считаем различными, даже в том случае, когда совпадают множества точек в пространстве,
соответствующие этим поверхностям). Поверхность называют п р о с т о й, если у нее нет точек самопересечения, т. е. для любых двух различных точек
(u1 , v1 ), (u2 , v2 ) ∈ D, причем хотя бы одна из них принадлежит области D,
выполняется неравенство r(u1 , v1 ) = r(u2 , v2 ).
Поверхность называют m раз непрерывно дифференцируемой, если
функция r(u, v) m раз непрерывно дифференцируема на D.
Пример 12.1. Поверхности с параметрическими уравнениями
⎧
⎧
x = u,
⎨
⎨ x = 3 cos ϕ cos ψ,
0 ⩽ ϕ ⩽ 2π,
y = 3 sin ϕ cos ψ,
y = v,
(u, v) ∈ D;
−π/2 ⩽ ψ ⩽ π/2,
⎩
⎩
z = 3 sin ψ,
z = c + au + bv,
12.1. Поверхности
231
являются соответственно частью плоскости (рис. 12.1) и сферой радиусом 3
с центром в точке (0,0,0) (рис. 12.2).
Рис. 12.1. Плоскость
Рис. 12.2. Сфера
Пусть x = x(t), y = y(t), z = z(t) — три непрерывные функции, определенные на отрезке [a, b]. Множество точек M (t) в пространстве 0xyz с
координатами (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b], называют п р о с т р а н с т в е н н о й
кривой с п а р а м е т р и ч е с к и м у р а в н е н и е м
⎧
⎨ x = x(t),
y = y(t), t ∈ [a, b].
⎩
z = z(t),
Векторную функцию
⎛
⎞
x(t)
r = r(t) = ⎝ y(t) ⎠ , t ∈ [a, b],
z(t)
называют в е к т о р н ы м у р а в н е н и е м кривой. Для пространственных кривых мы сохраняем все определения, касающиеся плоских кривых, и для них
имеют место все утверждения с очевидными изменениями, справедливые для
плоских кривых (кроме формулы Грина и вытекающих из этой формулы
утверждений). Например, простая гладкая пространственная кривая спрямляема, и ее длина равна
b
ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) + ż 2 (t)dt.
a
(12.2)
⎧
⎨ x = x(t),
y = y(t), t ∈ [a, b], — кусочно-гладкий путь, а
Пусть AB + :
⎩
z = z(t),
f (x, y, z), P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) — четыре скалярные функции трех
переменных.
232
Глава 12. Поверхностные интегралы
Интеграл Римана вида
b
f (x(t), y(t), z(t)) ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) + ż 2 (t)dt :=
f (x, y, z)ds
AB +
a
принимают за к р и в о л и н е й н ы й и н т е г р а л п е р в о г о т и п а от f по
пространственному пути AB + .
Интегралы
b
P (x(t), y(t), z(t))ẋ(t)dt :=
P (x, y, z)dx,
a
AB +
b
Q(x(t), y(t), z(t))ẋ(t)dt :=
(12.3)
Q(x, y, z)dy,
a
AB +
b
R(x(t), y(t), z(t))ẋ(t)dt :=
R(x, y, z)dz
AB +
a
принимают за к р и в о л и н е й н ы е и н т е г р а л ы в т о р о г о т и п а по пространственному пути AB + .
Пусть S : r = r(u, v), (u, v) ∈ D, — непрерывно дифференцируемая поверхность; (u0 , v0 ) — точка, принадлежащая D. Пространственные кривые
⎧
⎧
⎨ x = x(t, v0 ),
⎨ x = x(u0 , t),
y = y(u0 , t), t ∈ [v0 −δ, v0 +δ], l1 :
y = y(t, v0 ), t ∈ [u0 −δ, u0 +δ], δ > 0,
l:
⎩
⎩
z = z(u0 , t),
z = z(t, v0 ),
находятся на поверхности S и являются непрерывно дифференцируемыми,
а вектора
rv = xv (u0 , v0 ) i + yv (u0 , v0 ) j + zv (u0 , v0 ) k,
ru = xu (u0 , v0 ) i + yu (u0 , v0 ) j + zu (u0 , v0 ) k,
если они не равны нулю, — направляющими векторами касательных соответственно к кривым l и l1 в точке (u0 , v0 ) .
Непрерывно дифференцируемую поверхность S : r = r(u, v), (u, v) ∈ D
называют г л а д к о й, если в каждой точке (u, v) ∈ D векторы ru , rv не коллинеарны. Последнее условие равносильно тому, что векторное произведение
[ru , rv ] не равно нулю.
Плоскость, параллельную векторам ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 ) и проходящую через точку (x0 , y0 , z0 ) = (x(u0 , v0 ), y(u0 , v0 ), z(u0 , v0 )), называют
12.1. Поверхности
233
к а с а т е л ь н о й к поверхности S в точке (x0 , y0 , z0 ) . Уравнение касательной
плоскости
⎞
⎛
x − x0 y − y 0 z − z 0
⎠ = 0.
yu
zu
det ⎝ xu
xv
yv
zv
Прямую, проходящую через точку касания поверхности и касательной плоскости и перпендикулярную касательной плоскости, называют н о р м а л ь н о й
п р я м о й к поверхности в этой точке (рис. 12.3).
Рис. 12.3. Касательная плоскость ( Π ) и нормальная прямая ( α )
Вектор
[ru , rv ] = det
yu yv
zu zv
i + det
zu zv
xu xv
j + det
xu xv
yu yv
k
является направляющим вектором нормальной прямой.
Введем обозначения
zu zv
xu xv
yu yv
, B = det
, C = det
.
A = det
zu zv
xu xv
yu yv
Параметрическое уравнение нормальной прямой
⎧
⎨ x = At + x0 ,
y = Bt + y0 , t ∈ R.
⎩
z = Ct + z0 ,
Пусть z = f (x, y), (x, y) ∈ D, — непрерывно дифференцируемая функция. Рассмотрим поверхность с параметрическим уравнением
⎧
x = u,
⎨
y = v,
Γ:
(u, v) ∈ D.
⎩
z = f (u, v),
234
Глава 12. Поверхностные интегралы
Она является простой гладкой поверхностью, и множество точек, лежащих
на этой поверхности, совпадает с графиком функции z = f (x, y), (x, y) ∈ D.
Именно эта поверхность имеется в виду, когда говорится о графике функции
z = f (x, y) как о поверхности. В этом случае
rv = j + fv (u0 , v0 ) k, ru = i + fu (u0 , v0 ) k,
A = −fu , B = −fv , C = 1, [ru , rv ] = −fu i − fv j + k = 0,
fu (u0 , v0 )(x − x0 ) + fv (u0 , v0 )(y − y0 ) − (z − z0 ) = 0−
уравнение касательной плоскости,
⎧
⎨ x = fu (u0 , v0 )t + x0 ,
y = fv (u0 , v0 )t + y0 , t ∈ R, −
⎩
z = −t + z0 ,
уравнение нормальной прямой.
12.2. Площадь поверхности
⎧
⎨ x = x(u, v),
y = y(u, v), (u, v) ∈ D, − простая гладкая
Пусть S : r = r(u, v) =
⎩
z = z(u, v),
поверхность. Разобьем множество D прямыми, параллельными осям 0u, 0v,
на n компактных частей Dk . Прямые разбиения образуют прямоугольники,
покрывающие фигуру D. Возьмем одну из частей Dk . Пусть Mk = (uk , vk ) —
одна из вершин прямоугольника, принадлежащая D, а Mk = (uk + Δuk , vk ),
Mk = (uk , vk + Δvk ) — соседние вершины этого прямоугольника (рис. 12.4).
Образ части Dk при отображении r = r(u, v) — множество Sk , лежащее на
поверхности S (рис. 12.5).
Рис. 12.4
Рис. 12.5
12.2. Площадь поверхности
235
Заменим Sk на параллелограмм Qk , которой строится следующим образом: проведем касательную плоскость к поверхности S в точке Pk =
= (xk , yk , zk )), xk = x(uk , vk ), yk = y(uk , vk ), zk = z(uk , vk ), и на касательной
плоскости возьмем параллелограмм Qk с вершинами Pk = (xk , yk , zk )),
Lk = (xk + xu (uk , vk )Δuk , yk + yu (uk , vk )Δuk , zk + zu (uk , vk )Δuk ),
Nk = (xk + xv (uk , vk )Δvk , yk + yv (uk , vk )Δvk , zk + zv (uk , vk )Δvk ).
Стороны параллелограмма Qk параллельны векторам ru (uk , vk ), rv (uk , vk ),
и его площадь равна
−−−→ −−−→ Δuk Δvk пл.Qk = [Pk Lk , Pk Nk ] = [ru , rv ]
(uk ,vk )
(здесь и в дальнейшем символом |a| обозначается длина вектора a в пространстве 0xyz ). Найдем сумму σ площадей всех параллелограммов Qk
σ=
n [r
,
r
]
u v
(uk ,vk )
k=1
Δuk Δvk .
σ является интегральной суммой
для двойного интеграла
Сумма
[ru , rv ]dudv. Поскольку функция [ru , rv ] непрерывна на компакте
D
D, то она интегрируема на D и, согласно первому необходимому условию
интегрируемости, для любой последовательности разбиений ({Dk }m ), k =
= 1, . . . , nm , с диаметрами δm → +0 при любом выборе точек (uk , vk )m ∈
∈ (Dk )m выполняется
nm
[ru , rv ]dudv.
[ru , rv ] ((u ,v )m ) пл.(Dk )m =
lim
m→∞
k=1
k
k
D
Приведенные рассуждения позволяют принять двойной интеграл
[ru , rv ]dudv
пл.S =
(12.4)
D
за п л о щ а д ь п о в е р х н о с т и S.
Поверхность S : x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ D, называют к у с о ч н о-г л а д к о й, если ограниченную замкнутую область D можно
разбить кусочно-гладкими кривыми на конечное число замкнутых областей
Di , i = 1, . . . , r, таким образом, что любых два множества Di , Dj не имеют
общих внутренних точек и каждая из поверхностей Si : r = r(u, v), (u, v) ∈
∈ Di , является гладкой (рис. 12.6).
236
Глава 12. Поверхностные интегралы
Рис. 12.6. Кусочно-гладкая поверхность
r
i=1
За площадь простой кусочно-гладкой поверхности S принимают сумму
пл.Si . Из определения площади простой кусочно-гладкой поверхности и
из аддитивности
интеграла следует, что площадь такой поверхности
двойного
[ru , rv ]dudv.
S равна
D √
Поскольку [ru , rv ] = A2 + B 2 + C 2 , то формулу (12.4) можно записать
в виде
A2 + B 2 + C 2 dudv.
(12.5)
пл.S =
D
Если воспользоваться равенствами
'
[a, b] = |a||b| sin(ab),
'
(a, b) = |a||b| cos(ab),
' — угол между векторами, то выражение [a, b]2 можно представить
где ab
2
в виде [a, b] = |a|2 |b|2 − (a, b)2 . Отсюда, в частности, имеем
[ru , rv ]2 = |ru |2 |rv |2 − (ru , rv )2 .
Обозначим |ru |2 = (ru , ru ) = E, |rv |2 = (rv , rv ) = G, (ru , rv ) = F. Тогда
[ru , rv ]2 = EG−F 2 и формулу (12.4) можно записать в следующем наиболее
часто используемом виде:
EG − F 2 dudv.
(12.6)
пл.S =
D
Если S является графиком непрерывно дифференцируемой функции z =
= f (x, y), (x, y) ∈ D, то формула (12.5) имеет следующий вид:
пл.S =
1 + (fx )2 + (fy )2 dxdy.
D
12.3. Поверхностные интегралы
237
12.3. Поверхностные интегралы
Пусть w = f (x, y, z) — скалярная функция, заданная на множестве E ⊂
⊂ R3 , а
⎧
⎨ x = x(u, v),
y = y(u, v), (u, v) ∈ D, −
S:
⎩
z = z(u, v),
кусочно-гладкая поверхность, лежащая в E. Предположим, что функция f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) интегрируема по Риману на D. Отображение
E((u, v))G((u, v)) − F 2 ((u, v)), (u, v) ∈ D, ограничено и имеет множество
точек разрыва нулевой площади, следовательно,√оно тоже интегрируемо по
Риману на D. Функция f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) EG − F 2 интегрируема на
D как произведение интегрируемых функций (доказать).
Двойной интеграл вида
f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) EG − F 2 dudv
D
принимают за поверхностный интеграл первого типа от f по поверхности S (ПОВИ-1) и обозначают
f (x, y, z)ds.
S
Таким образом, по определению
f (x, y, z)ds :=
f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) EG − F 2 dudv.
S
D
Свойства ПОВИ-1
1. Аддитивность
Рассмотрим поверхность S : r = r(u, v), (u, v) ∈ D . Пусть D1 , . . . , Dk —
некоторое разбиение замкнутой области D кусочно-гладкими кривыми на
замкнутые области, не имеющие общих внутренних точек. Мы говорим, что
поверхность S составлена из поверхностей Si , если Si , i = 1, . . . , k, —
поверхности c векторными уравнениями r = r(u, v), (u, v) ∈ Di .
Если кусочно-гладкая поверхность
S составлена из поверхностей Si , i =
1, . . . , k, и определен интеграл
f
(x,
y, z)ds, то из определения ПОВИ-1
S
и из аддитивности двойного интеграла вытекает аддитивность ПОВИ-1, т. е.
k f (x, y, z)ds =
f (x, y, z)ds.
(12.7)
S
i=1 S
i
238
Глава 12. Поверхностные интегралы
2. Физический смысл. Пусть ρ(x, y, z) — плотностьпростой кусочногладкой поверхности S в точке (x, y, z). Тогда ПОВИ-1
S ρ(x, y, z)ds равен массе поверхности S.
Перейдем к определению поверхностных интегралов второго типа. Рассмотрим простую гладкую поверхность
⎧
⎨ x = x(u, v),
y = y(u, v), (u, v) ∈ D.
S:
(12.8)
⎩
z = z(u, v),
Пусть (u0 , v0 ) — граничная точка множества D. Точку L =
= (x(u0 , v0 ), y(u0 , v0 ), z(u0 , v0 )) называют к р а е в о й для поверхности S.
Множество краевых точек называют к р а е м п о в е р х н о с т и. Точки
M (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D, называют в н у т р е н н и м и
т о ч к а м и п о в е р х н о с т и.
В каждой точке M (u, v) поверхности S определены два противоположно
направленных единичных нормальных вектора
n(u, v) =
[ru , rv ]
|[ru , rv ]|
и −n(u, v). Так как поверхность является гладкой, то функция n = n(u, v)
непрерывна на D . Фиксируем один из единичных нормальных векторов
n(u, v) или −n(u, v) и обозначим его через q(u, v). Пару (S, q) называют п о л о ж и т е л ь н о й с т о р о н о й п о в е р х н о с т и и ее обозначают S +
(рис. 12.7).
Рис. 12.7. Сторона поверхности
Пара (S, −q) — противоположная о т р и ц а т е л ь н а я с т о р о н а, которую обозначают S − . При выборе стороны поверхности достаточно указать
нормаль в одной точке этой поверхности.
12.3. Поверхностные интегралы
239
Пусть S — простая гладкая поверхность с краем ∂S. Предположим,
что край является простой кусочно-гладкой замкнутой кривой. Выбрав
положительную сторону поверхности S + , мы задаем п о л о ж и т е л ь н о е
н а п р а в л е н и е движения по краю ∂S, а именно то направление, двигаясь
по которому наблюдатель, находящийся на положительной стороне поверхности, видит поверхность S слева. Обратно по положительному направлению
движения по краю можно однозначно восстановить положительную сторону
поверхности. Направление движения по ∂S, противоположное положительному, называют отрицательным.
Пусть теперь S — кусочно-гладкая поверхность, составленная из простых
гладких поверхностей S1 , . . . , Sk , причем край ∂Si каждой поверхности является простой кусочно-гладкой кривой и любые две части Si , Sj , имеющие
общие точки, примыкают друг к другу по некоторой кусочно-гладкой кривой. Пусть S1+ — положительная сторона части S1 . Выбор стороны задает
положительное направление на крае ∂S1 . Далее выбираем положительные
направления движения на краях частей, смежных с S1+ , а именно, выбираем те направления, которые противоположны направлению на ∂S1+ и т. д.
Кусочно-гладкую поверхность S называют д в у х с т о р о н н е й, если по указанному выше правилу можно однозначно установить положительное движение по краю каждой части Si , i = 1, . . . , k. По положительным паправлениям на краях находим соответствующие стороны Si+ каждой части. Совокупность (S1+ , . . . , Sk+ ) называют положительной стороной кусочно-гладкой
двухсторонней поверхности S. В дальнейшем рассматриваем лишь кусочногладкие двухсторонние поверхности.
Пусть на множестве E ⊂ R3 заданы три скалярные функции
P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) и пусть S + = (S, q) — положительная сторона
простой гладкой поверхности, S ⊂ E.
Поверхностные интегралы первого типа
P (x, y, z) cos(qi)ds,
S
S
(
P (x, y, z) cos(−qi)ds,
S
Q(x, y, z) cos(qj)ds,
S
(
Q(x, y, z) cos(−qj)ds,
S
'
R(x, y, z) cos(qk)ds,
R(x, y, z) cos(−qk)ds
S
относят к поверхностным интегралам второго типа (ПОВИ-2) и
240
Глава 12. Поверхностные интегралы
обозначают соответственно
P (x, y, z)dydz,
P (x, y, z)dydz,
Q(x, y, z)dxdz,
S+
S−
S+
Q(x, y, z)dxdz,
S−
R(x, y, z)dxdy,
S+
R(x, y, z)dxdy.
S−
P dzdy +
Qdxdz +
Чаще всего рассматривают сумму интегралов
+
+
S
S
Rdxdy, которую обозначают следующим образом:
+
S+
P dzdy + Qdxdz + Rdxdy.
S+
Свойства ПОВИ-2
1. ПОВИ-2 меняет знак при замене стороны поверхности на противоположную.
+ (−qk)
=
Доказательство для интеграла
Rdxdy. Поскольку (qk)
= π, то
' = − cos(−qk),
cos(qk)
S+
Rdxdy = −
S+
Rdxdy. S−
2. Формулы сведения ПОВИ-2 к двойному интегралу.
Если функции
P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) интегрируемы по Риману на D и нормаль q,
соответствующая положительной стороне S + = (S, q) простой гладкой
поверхности (12.8), совпадает с вектором
n=
то
[ru , rv ]
A
B
C
=
i+
j+
k,
|[ru , rv ]|
|[ru , rv ]|
|[ru , rv ]|
|[ru , rv ]|
P (x, y, z)dydz =
S+
Q(x, y, z)dxdz =
S+
(12.9)
D
Q(x(u, v)y(u, v), z(u, v))Bdudv,
(12.10)
R(x(u, v)y(u, v), z(u, v))Cdudv.
(12.11)
D
R(x, y, z)dydx =
S+
P (x(u, v)y(u, v), z(u, v))Adudv,
D
12.3. Поверхностные интегралы
241
Если же q = −n, то в правых частях формул (12.9)—(12.11) знак меняется
на противоположный.
Доказательство для интеграла
Rdydx. Действительно,
S+
([ru , rv ], k)
C
C
=
=√
,
|[ru , rv ]|
|[ru , rv ]|
EG − F 2
R(x, y, z)dydx =
R(x, y, z) cos((nk))ds
=
' =
cos(nk)
S+
S
R(x(u, v)y(u, v), z(u, v)) √
=
D
C
EG − F 2
EG − F 2 dudv =
R(x(u, v)y(u, v), z(u, v))Cdudv. =
D
3. Пусть поверхность S является графиком непрерывно дифференцируемой функции z = f (x, y), (x, y) ∈ D, и пусть (S, n) = S + — сторона
поверхности, соответствующая нормальному вектору
n=
−fx
1 + (fx )2 + (fy )2
i+
−fy
1 + (fx )2 + (fy )2
j+
1
1 + (fx )2 + (fy )2
k.
Эту сторону S + называют верхней, и в этом случае формулы сведения
ПОВИ-2 к 2И имеют вид
P (x, y, z)dydz = −
P (x, y, f (x, y))fx (x, y)dxdy,
S+
D
Q(x, y, z)dxdz = −
S+
D
Q(x, y, f (x, y))fy (x, y)dxdy,
R(x, y, z)dxdy =
S+
Если
R(x, y, f (x, y))dxdy.
D
S + = (S, −n)
— нижняя сторона поверхности, то
R(x, y, z)dxdy = −
R(x, y, f (x, y))dxdy.
S+
D
242
Глава 12. Поверхностные интегралы
4. Рассмотрим гладкую поверхность S : x = x(u, v), y = y(u, v), z =
= z(u, v), (u, v) ∈ D, и диффеоморфное преобразование
u = ϕ(t, τ),
(12.12)
v = ψ(t, τ)
ограниченной замкнутой области E = E ∪ ∂E в D. Якобиан этого преобразования I(t, τ) непрерывен и не равен нулю (п. 8.5). Диффеоморфное
преобразование (12.12) называют допустимой заменой параметров, если для
любых (t, τ) ∈ E его якобиан I(t, τ) положителен.
Пусть u = ϕ(t, τ), v = ψ(t, τ), (t, τ) ∈ E, — допустимая замена параметров. Рассмотрим поверхность L : x = ξ(t, τ) = x(ϕ(t, τ), ψ(t, τ)), y = η(t, τ) =
= y(ϕ(t, τ), ψ(t, τ)), z = χ(t, τ) = z(ϕ(t, τ), ψ(t, τ)), (t, τ) ∈ E. Она является
гладкой (доказать), и множества в пространстве 0xyz , которые пробегают
точки M (u, v) = (x(u, v), y(u, v), (x(u, v))) и N (t, τ) = (ξ(t, τ), η(t, τ), χ(t, τ)),
когда (u, v) и (t, τ) принимают значения соответственно из множеств D и
E, совпадают. В дальнейшем говорим, что поверхность L получена из поверхности S с помощью допустимой замены параметров.
Если поверхность L получена из простой гладкой поверхности S с помощью допустимой замены
τ), (t, τ) ∈ E,
параметров u = ϕ(t, τ), v = ψ(t,
+
P dydz + Qdxdz + Rdxdy, где S = (S, q(u, v)) —
и определен интеграл
S+
положительная сторона поверхности S , то
P dydz + Qdxdz + Rdxdy =
P dydz + Qdxdz + Rdxdy,
S+
L+
где L+ = (L, q(ϕ(t, τ), ψ(t, τ))).
Доказательство для интеграла
S+
Rdxdy в случае q = n =
A
i+
|[ru , rv ]|
C
B
j+
k. По формуле (12.11)
+
|[ru , rv ]|
|[ru , rv ]|
R(x, y, z)dxdy =
R(x(u, v), y(u, v), z(u, v))C(u, v)dudv.
S+
D
u = ϕ(t, τ),
(t, τ) ∈ E, в двойном интеграv = ψ(t, τ),
ле последней формулы, имеем (п. 8.5)
Rdxdy =
R(x(ϕ(t, τ), ψ(t, τ)), y, z)C(ϕ(t, τ), ψ(t, τ))I(t, τ)dtdτ.
Используя замену переменных
S+
E
12.3. Поверхностные интегралы
243
Так как C(ϕ(t, τ), ψ(t, τ))I(t, τ) = ξt ητ − ηt ξτ = C1 (t, τ), то
Rdxdy =
R(ξ(t, τ), η(t, τ), χ(t, τ))C1 (t, τ)dtdτ =
R(x, y, z)dxdy. S+
L+
E
Замечание 12.1. Согласно четвертому свойству поверхностных интегралов второго типа, значения интеграла для всех поверхностей, параметрические уравнения которых связаны допустимыми заменами параметров, совпадают. Поэтому часто при задании поверхностного интеграла задают лишь
множество точек в пространстве, соответствующее поверхности, не указывая
параметрическое уравнение поверхности. В этом случае предполагается, что
существует такое параметрическое уравнение, соответствующее указанному
множеству, что поверхность с этим уравнением является простой гладкой. В
этом случае интеграл вычисляется по этой поверхности или по любой другой,
полученной из нее допустимой заменой параметров.
5. Если S — цилиндрическая поверхность, образующая которой парал' = 0 и, следовательно,
лельна оси 0z, то cos(nk)
R(x, y, z)dydx = 0.
S+
6. Если (S1+ , . . . , Sk+ ) — положительная сторона кусочно-гладкой поверхности S, то по определению полагают
P dydz :=
S+
k i=1
P dydz,
Si+
Rdxdy :=
Qdxdz :=
i=1
S+
k i=1
S+
k Rdxdy.
Si+
Пример 12.2. Вычислим ПОВИ-2
I=
xdydz + ydxdz + zdxdy,
S+
где S + — внутренняя сторона цилиндра (рис. 12.8):
x2 + y 2 = a2 , −h ⩽ z ⩽ h.
Si+
Qdxdz,
244
Глава 12. Поверхностные интегралы
Рис. 12.8
Параметрическое уравнение поверхности S :
⎧
⎨ x = a cos u,
0 ⩽ u ⩽ 2π,
y = a sin u, D :
−h
⩽ v ⩽ h.
⎩
z = v,
Найдем коэффициенты A, B, C для S :
yu yv
zu zv
A = det
= a cos u, B = det
= a sin u, C = 0.
zu zv
xu xv
A
B
C
i+
j+
k образует острый угол
|[ru , rv ]|
|[ru , rv ]|
|[ru , rv ]|
(π/2,0)
с осью 0y, а вектор q, соответствующий внутренней стороне цилиндра в
той же точке поверхности, образует тупой угол с этой осью, следовательно,
q = −n. Используя формулы сведения ПОВИ-2 к двойному интегралу, имеем
I=−
a2 dudv = −a2 пл.D = −4πa2 h.
Вектор n =
D
12.4. Формула Гаусса — Остроградского
Пусть T — ограниченная замкнутая область в R3 , граница которой ∂T
является простой кусочно-гладкой поверхностью. Граница ∂T делит пространство R3 на две части, одна внутренняя — это множество T, вторая
внешняя — это область R3 \ T. За положительную сторону ∂T + границы
тела T принимаем в н е ш н ю ю с т о р о н у (∂T, q), т. е. ту сторону, которая
соответствует нормали q, направленной из внутренней части пространства
во внешнюю.
12.4. Формула Гаусса — Остроградского
245
Лемма 12.1
Пусть G — элементарный относительно оси 0z цилиндроид, граница которого является простой кусочно-гладкой поверхностью S (рис. 12.9), и
пусть R(x, y) — непрерывно дифференцируемая на G функция. Тогда
Rdxdy =
Rz dxdydz,
S+
G
где S + — внешняя сторона границы цилиндроида.
Рис. 12.9
Доказательство. По теореме о сведении кратного интеграла к повторному имеем
z=ϕ2 (x,y)
Rz dxdydz =
R(x, y, z) dxdy =
z=ϕ1 (x,y)
G
D
(R(x, y, ϕ2 (x, y)) − R(x, y, ϕ2 (x, y)))dxdy.
(12.13)
Используя свойства ПОВИ-2, получаем
R(x, y, ϕ2 (x, y))dxdy =
R(x, y, z)dxdy,
(12.14)
=
D
D
S2+
246
Глава 12. Поверхностные интегралы
R(x, y, ϕ1 (x, y))dxdy = −
D
R(x, y, z)dxdy,
(12.15)
S1+
(12.16)
R(x, y, z)dxdy = 0,
S3+
где S1 — нижняя, S2 — верхняя и S3 — боковая стороны цилиндроида. Из
равенств (12.13)—(12.16) вытекает
Rz dxdydz =
R(x, y, z)dxdy +
R(x, y, z)dxdy+
S1+
G
R(x, y, z)dxdy. R(x, y, z)dxdy =
+
S2+
S3+
S+
Тело T ⊂ R3 называют с о с т а в н ы м, если его можно разбить цилиндрическими поверхностями с образующей, параллельной оси 0z, на конечное
число цилиндроидов, каждый из которых является элементарным относительно оси 0z и ограничен простой кусочно-гладкой поверхностью, а также
если тело обладает аналогичным свойством относительно других осей 0x и
0y.
Теорема о сведении ПОВИ-2 к тройному интегралу
Пусть граница ∂T ограниченной замкнутой области T ⊂ R3 является простой кусочно-гладкой поверхностью и пусть P (x, y, z), Q(x, y, z),
R(x, y, z) — скалярные непрерывно дифференцируемые на T функции. Тогда имеет место формула Гаусса — Остроградского
P dzdy + Qdxdz + Rdxdy =
(Px + Qy + Rz )dxdydz,
∂T +
T
где ∂T + — внешняя сторона границы тела T.
Доказательство проведем лишь, когда T — составное тело. Пусть
{Tj }, j = 1, . . . , k, — разбиение тела T на цилиндроиды Tj , элементарные
относительно оси 0z.
На основании леммы 12.1 и свойства аддитивности тройного интеграла
имеем
Rz dxdydz =
Rz dxdydz =
R(x, y, z)dxdy.
T
j
Tj
j
∂Tj+
12.5. Формула Стокса
247
Границы ∂Tj цилиндроидов Tj состоят, во-первых, из поверхностей, которые
входят в границу ∂T тела T, и, во-вторых, из поверхностей, появившихся
в результате разбиения тела T. Вторые поверхности являются цилиндрическими, образующие которых параллельны оси 0z, и по свойству 5 ПОВИ-2,
интегралы по ним равны нулю, поэтому
Rz dxdydz =
Rdxdy.
(12.17)
∂T +
T
Если {Ti } — разбиение тела T на цилиндроиды Ti , элементарные относительно оси 0x или оси 0y, то аналогичным образом получаем
Px dxdydz =
P dydz,
(12.18)
∂T +
T
T
Qy dxdydz =
Qdxdz.
(12.19)
∂T +
Складывая формулы (12.17)—(12.19) приходим к формуле Гаусса — Остроградского. 12.5. Формула Стокса
Пусть S + = (S, q) — положительная сторона простой гладкой поверхности
⎧
⎨ x = x(u, v),
y = y(u, v), (u, v) ∈ D,
S:
⎩
z = z(u, v),
где D — ограниченная замкнутая
область, граница которой является простой
u = u(t),
кусочно-гладкой кривой l :
t ∈ [a, b], причем путь l+ , лежащий
v = v(t),
на этой кривой, таков, что при движении по пути l+ область D остается
слева. Кривая
⎧
⎨ x = x(u(t), v(t)),
y = y(u(t), v(t)), t ∈ [a, b],
L:
⎩
z = z(u(t), v(t)),
является краем поверхности S. Предположим, что путь L+ , лежащий на
кривой L, является простым кусочно-гладким. Если наблюдатель, находящийся на положительной стороне поверхности и двигающийся по пути L+ ,
видит поверхность слева, то положим ∂S + = L+ , в противном случае —
∂S + = L− (рис. 12.10).
248
Глава 12. Поверхностные интегралы
Рис. 12.10
Теорема о сведении КРИ-2 к ПОВИ-2
Пусть S + , ∂S + — сторона поверхности и путь, указанные перед формулировкой теоремы, а P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) — непрерывно дифференцируемые на S функции. Тогда имеет место следующая формула
Стокса:
P dx + Qdy + Rdz =
=
S+
∂S +
∂P
∂Q ∂P ∂R ∂R ∂Q −
dydz +
−
dxdz +
−
dxdy.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
(12.20)
Доказательство для дважды непрерывно дифференцируемой поверхности (с помощью несколько более сложных рассуждений, чем приведенное
ниже доказательство, теорема может быть установлена и без этого условия).
Предположим для определенности, что ∂S + = L+ и вектор q, соответствующий положительной стороне S + , совпадает с вектором n =
1
=
(Ai + Bj + Ck). Используя свойства криволинейных интегралов
|[ru , rv ]|
и формулу Грина, имеем
P dx =
∂S +
b
P dx =
L+
=
P (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t)))×
a
×(xu (u(t), v(t))u (t) + xv (u(t), v(t))v (t))dt =
P (x(u, v), y(u, v), z(u, v))(xu (u, v)du + xv (u, v)dv) =
l+
=
D
∂
∂
(P xv ) −
(P xu ) dudv.
∂u
∂v
12.6. Условия независимости
249
Далее, поскольку xvu = xuv и zu xv − zv xu = B, yu xv − yv xu = −C, то
∂P ∂P ∂P xu +
yu +
z x +
P dx =
∂x
∂y
∂z u v
∂S +
D
∂P ∂P ∂P xv +
yv +
zv xu + P xuv dudv =
+P xvu −
∂x
∂y
∂z
∂P
∂P
∂P
∂P
B−
C dudv =
dxdz −
dxdy.
=
∂z
∂y
∂z
∂y
(12.21)
S+
D
Аналогично
Qdy =
∂S +
S+
Rdz =
∂S +
S+
∂Q
∂Q
dxdy −
dxdz,
∂x
∂z
(12.22)
∂R
∂R
dydz −
dxdz.
∂y
∂x
(12.23)
Складывая формулы (12.21)—(12.23), приходим к формуле Стокса (12.20).
Замечание 12.2. Формулу Стокса можно записать в следующем легко
запоминаемом виде
dydz dxdz dxdy ∂
∂
∂ .
P dx + Qdy + Rdz =
∂x
∂y
∂z ∂S +
S+ P
Q
R Пример 12.3.
Применяя формулу Стокса, покажем, что криволинейный
интеграл I = l+ (y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz, где l+ — путь, лежащий на
эллипсе x = cos t, y = 2 sin t, z = 0, 0 ⩽ t ⩽ 2π, равен нулю. Действительно,
в этом примере P = y + z, Q = z + x, R = x + y и Qx − Py = 0, Ry − Qz =
= 0, Pz − Rx = 0 , следовательно, по формуле Стокса I = 0.
12.6. Условия независимости
криволинейного интеграла второго типа
от пути интегрирования в пространстве
Область E ⊂ R3 называют п о в е р х н о с т н о-о д н о с в я з н о й, если для
любой простой замкнутой ломаной L, принадлежащей области E, существует простая гладкая поверхность S, содержащаяся в E, для которой L
является ее краем. Аналогично теореме о независимости КРИ-2 от пути интегрирования (п. 9.5) доказывается следующая теорема.
250
Глава 12. Поверхностные интегралы
Теорема о независимости КРИ-2 от пути интегрирования в пространстве
Пусть функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) — непрерывно дифференцируемы в поверхностно-односвязной области E. Тогда следующие четыре
условия эквивалентны:
1) для любого замкнутого ломаного пути L+ , принадлежащего E, имеет
место равенство
P dx + Qdy + Rdz = 0;
L+
2) для любых точек A и B ∈ E интеграл
P dx + Qdy + Rdz
AB +
не зависит от ломаного пути, соединяющего эти точки;
3) существует непрерывно дифференцируемая функция u(x, y, z) такая,
что
du = P dx + Qdy + Rdz ∀(x, y, z) ∈ E;
4) функции P, Q, R удовлетворяют условию Эйлера
∂Q
∂P
=
,
∂x
∂y
∂R
∂Q
=
,
∂y
∂z
∂P
∂R
=
∂z
∂x
∀(x, y, z) ∈ E.
Следствие 12.1. Пусть выполнено одно из условий теоремы. Тогда
КРИ-2 не зависит от пути интегрирования и для любого кусочно-гладкого
P dx + Qdy + Rdz = 0.
замкнутого пути l+ ∈ E выполняется равенство
l+
Замечание 12.3. Функцию u(x, y, z) такую, что du = P dx + Qdy +
+ Rdz ∀(x, y, z) ∈ E, называют первообразной для выражения P dx + Qdy +
+ Rdz в области E. При выполнении одного из условий теоремы функция
(x,y,z)
u(x, y, z) =
P dx + Qdy + Rdz,
(x0 ,y0 ,z0 )
где (x0 , y0 , z0 ) — некоторая фиксированная точка из E, а (x, y, z) — произвольная точка из E, является первообразной для выражения P dx + Qdy +
+ Rdz в E.
12.7. Потенциальные и соленоидальные векторные поля
251
12.7. Потенциальные и соленоидальные
векторные поля
Пусть T — тело в R3 . Если на теле T определена скалярная функция векторного аргумента f : T → R, то говорят, что на T задано
с к а л я р н о е п о л е f. Если на теле T определена векторная функция
a : T → R3 , то говорят, что на T задано в е к т о р н о е п о л е a. Пусть
P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) — компоненты векторной функции a, т. е.
⎛
⎞
P (x, y, z)
a(x, y, z) = ⎝ Q(x, y, z) ⎠ .
R(x, y, z)
Векторное a(x, y, z) (скалярное f (x, y, z) ) поле называют непрерывно
дифференцируемым, если функция a(x, y, z) (f (x, y, z)) непрерывно дифференцируема на T. В дальнейшем рассматриваем лишь непрерывно дифференцируемые векторные и скалярные поля.
Вектор
∂f
∂f
∂f
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
называют г р а д и е н т о м скалярного поля f и обозначают grad(f ).
∂P
∂Q ∂R
Выражение
+
+
принимают за д и в е р г е н ц и ю векторного
∂x
∂y
∂z
поля a(P, Q, R) и обозначают div(a).
Вектор
∂P
∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂R −
i+
−
j+
−
k
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
принимают за р о т о р векторного поля a(P, Q, R)
и обозначают rot(a).
Пусть l+ — кусочно-гладкий путь. Интеграл P dx+Qdy+Rdz принимаl+
+
ют
за ц и р к у л я ц и ю векторного поля a(P, Q, R) по пути l и обозначают
(a, dr), где dr = (dx dy dz) , а (a, dr) — скалярное произведение векто-
l+
ров. Пусть S + = (S, n) — сторона гладкой поверхности S, соответствующая
нормали
n= √
A
A2 + B 2 + C 2
i+ √
B
A2 + B 2 + C 2
j+ √
C
A2 + B 2 + C 2
+ cos(nj)j
+ cos(nk)k.
'
= cos(ni)i
k=
252
Глава 12. Поверхностные интегралы
Интеграл
'
P (x, y, z) cos(ni)ds +
Q(x, y, z) cos(nj)ds +
R(x, y, z) cos(nk)ds
S
S
S
принимают за п о т о к векторного поля a через сторону S + поверхности S
и обозначают
(a, n)ds.
S
Используя введенные понятия дивергенции, ротора, циркуляции и потока,
формулу Стокса можно записать в следующем виде:
(a, dr) =
(rot(a), n)ds,
∂l+
S
где ∂l+ , S — путь и поверхность, удовлетворяющие условиям теоремы о сведении КРИ-2 к ПОВИ-2; а формулу Гаусса — Остроградского — в виде
(a, n)ds =
div(a)dxdydz,
∂E
E
где ∂E, E — поверхность и тело, удовлетворяющие условиям теоремы о сведении ПОВИ-2 к тройному интегралу.
Векторное поле a : T → R3 , где T — область в R3 , циркуляция которого по любому замкнутому ломаному пути, лежащему в T, равна нулю,
называют п о т е н ц и а л ь н ы м.
Теперь теорему о независимости КРИ-2 от пути интегрирования в пространстве можно сформулировать следующим образом:
если векторное поле a(P, Q, R) непрерывно дифференцируемо на
поверхностно-односвязной области T ⊂ R3 , то следующих четыре условия
эквивалентны:
1) векторное поле потенциальное;
(a, dr) не зависит от ломаного пути, соединяющего
2) циркуляция
AB +
произвольные точки A, B ∈ T ;
3) существует функция u(x, y, z) такая, что grad(u) = a ∀(x, y, z) ∈ T ;
4) векторное поле безвихревое, т. е. rot(a) = 0 ∀(x, y, z) ∈ T.
Функцию, удовлетворяющую третьему условию последнего утверждения,
называют п о т е н ц и а л о м векторного поля a.
Область T ⊂ R3 называют о б ъ е м н о-о д н о с в я з н о й, если любое тело
E, граница которого принадлежит T, содержится целиком в T. Открытый
шар — объемно-односвязная область. Область, ограниченная двумя сферами
с общим центром, — нет.
12.7. Потенциальные и соленоидальные векторные поля
253
Векторное поле a называют с о л е н о и д а л ь н ы м, если его поток через
границу любого составного тела, принадлежащего T, равен нулю.
Критерий соленоидальности векторного поля
Для того чтобы векторное поле a(x, y, z) было соленоидальным в объемноодносвязной области T, необходимо и достаточно, чтобы
div(a) = 0
∀(x, y, z) ∈ T.
Доказательство. Необходимость. Допустим противное, т. е. существует точка
(x0 , y0 , z0 ), в которой div(a) = 0. Пусть для определенности
div(a) (x0 ,y0 ,z0 ) > 0. Функция (x, y, z) → div(a) непрерывна на T. По теореме о стабилизации знака существует шар B((x0 , y0 , z0 ), r), принадлежащий
T, такой, что div(a) > 0 ∀(x, y, z) ∈ B((x0 , y0 , z0 ), r). Пусть S + — внешняя
сторона сферы S((x0 , y0 , z0 ), r). По формуле Гаусса — Остроградского
(a, n)ds =
div(a)dxdydz > 0,
S+
B
что противоречит соленоидальности поля a.
Достаточность. Возьмем произвольное составное тело D, принадлежащее
T, так как тело T
то D ⊂ T. По формуле Гаусса —
— объемно-односвязно,
(a, n)ds =
div(a)dxdydz = 0.
Остроградского
∂D +
D
Поскольку D — произвольное тело указанного выше вида, то a — соленоидальное векторное поле. ГЛАВА 13
ЧИСЛОВОЙ РЯД
13.1. Критерий сходимости и признаки сравнения
для положительного ряда
Рассмотрим последовательность действительных чисел
a 1 , a 2 , . . . , an , . . . .
Выражение
a1 + a2 + . . . + an + . . . =
∞
ak
k=1
n
называют ч и с л о в ы м р я д о м, а последовательность sn =
k=1 ak —
п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю ч а с т н ы х с у м м этого ряда.
Если последовательность (sn ) является сходящейся, то ряд называют
с х о д я щ и м с я, а число s = lim sn — его с у м м о й и пишут s = ∞
k=1 ak .
n→∞
Если предел lim sn либо не существует, либо равен бесконечности, то ряд
n→∞
называют р а с х о д я щ и м с я. Иногда в случае, когда lim sn = ∞, говорят,
n→∞
что сумма ряда равна бесконечности.
Необходимое условие сходимости ряда
Если ряд сходится, то последовательность его членов бесконечно мала,
т. е. lim an = 0.
n→∞
Доказательство. Пусть s — предел последовательности (sn ). Последовательность (sn+1 ) также имеет предел s. Поскольку an+1 = sn+1 − sn , то
lim an+1 = s − s = 0. n→∞
Если an ⩾ 0, то ряд называют п о л о ж и т е л ь н ы м, если же an > 0, то
с т р о г о п о л о ж и т е л ь н ы м.
13.1. Критерий сходимости и признаки сравнения
255
Критерий сходимости положительных рядов
Для сходимости положительного ряда необходимо и достаточно, чтобы
последовательность его частных сумм была ограниченной.
Доказательство. Последовательность sn для положительных рядов
является возрастающей. Монотонная последовательность сходится тогда и
только тогда, когда она ограничена. Признак сравнения
Если
(13.1)
0 ⩽ an ⩽ bn ∀n ∈ N,
∞
∞
то из сходимости ряда n=1 bn следует сходимость ряда n=1 an , а из
расходимости второго ряда следует расходимость первого.
Доказательство.
An = nk=1 ak , Bn = nk=1 bk — частные сумПусть
∞
∞
мы рядов
n=1 an ,
n=1 bn соответственно. Из неравенства (13.1) следует
0 ⩽ An ⩽ Bn . Поэтому из ограниченности последовательности Bn следует
ограниченность An , а из неограниченности An — неограниченность последовательности Bn . Теперь справедливость признака вытекает из критерия
сходимости
∞
∞положительных рядов. Ряд
n=m an , m ∈ N, называют о с т а т к о м ряда
n=1 an . Ясно, что
если ряд сходится, то сходится и любой его остаток. Если же сходится какойто остаток ряда, то сходится и сам ряд.
Предельный признак сравнения
∞
Пусть ∞
n=1 an ,
n=1 bn — строго положительные ряды.
an
= l, 0 < l < ∞, то ряды ∞
an , ∞
1. Если lim
n=1
n=1 bn сходятся или
n→∞ bn
расходятся одновременно.
an
2. Если lim
= 0, то из сходимости ряда ∞
n=1 bn следует сходимость
n→∞ bn
∞
∞
ряда n=1 an , а из расходимости n=1 an — расходимость ряда ∞
n=1 bn .
∞
an
= ∞, то из расходимости ряда n=1 an следует расходи3. Если lim
n→∞
bn
∞
∞
мость ряда ∞
n=1 bn , из сходимости
n=1 an — сходимость ряда
n=1 bn .
Доказательство. 1. Для ε = l/2, ∃δ(l/2) > 0, ∀n ⩾ δ(l/2) ⇒
a
l
l an 3
l
3
n
⇒ − l ⩽ ,
bn ⩽ an ⩽ l bn .
⩽
⩽ l,
bn
2
2 bn 2
2
2
∞
bn ∀n ⩾ δ(l/2) и из сходимости
ряда
Из неравенства an ⩽ 3/2
n=1 bn сле∞
l∞
a
,
из
расходимости
a
следует
расходидует сходимость
ряда
n
n
n=1
n=1
∞
b
;
из
неравенства
l/2b
⩽
a
∀n
⩾
δ(l/2)
и
из
сходимости
рямость
n
∞n
∞
∞ n=1 n
да
n=1 an следует
n=1 bn , из расходимости
n=1 bn следует
∞ сходимость
a
.
расходимость
n=1 n
256
Глава 13. Числовой ряд
2. Для
an
⩽ 1, 0 ⩽ an ⩽ bn .
bn
∞
Из признака
сравнения
следует,
что
сходимость
ряда
n=1 bn влечет схо∞
∞
димость
n=1 an вытекает расходимость
∞ n=1 an , а из расходимости ряда
ряда
b
.
n=1 n
3. Для
an
ε = 1, ∃δ(1) > 0, ∀n ⩾ δ(1) ⇒
⩾ 1, an ⩾ bn .
bn
∞
∞
b
расходится,
то
an тоже расходящийся, а сходимость
Если ряд
n
n=1
n=1
∞
∞
ряда
n=1 an влечет сходимость
n=1 bn . ε = 1, ∃δ(1) > 0, ∀n ⩾ δ(1) ⇒ 0 ⩽
13.2. Признаки Коши и Даламбера
Геометрический ряд
∞
n=1 q
sn =
n−1
n
имеет частные суммы
q k−1 =
k=1
При |q| < 1, sn →
1
n→∞ 1 − q
1 − qn
.
1−q
, следовательно, в этом случае геометрический ряд
сходится, а при |q| ⩾ 1, lim q n−1 = 0, геометрический ряд расходится.
n→∞
Признак Коши (an ⩾ 0)
∞
√
Если n an → q, то при q < 1 ряд
an сходится, а при q > 1 расходится.
n→∞
n=1
Доказательство. Пусть q < 1. Возьмем число r, удовлетворяющее
√
неравенствам q < r < 1. Существует номер m такой, что n an ⩽ r ⇒
из признака срав⇒ an ⩽ rn ∀n ⩾ m. Теперь требуемое утверждение
∞ следует
n
нения и сходимости геометрического ряда
n=1 r . Если q > 1, то суще√
n a ⩾1 ⇒ a ⩾ 1
∀n ⩾ m, и, следовательно, ряд
ствует
номер
m
такой,
что
n
n
∞
a
не
удовлетворяет
необходимому
условию
сходимости, что влечет его
n=1 n
расходимость. Лемма 13.1
Если an > 0, bn > 0 и
an+1 bn+1
⩽
an
bn
∀n ∈ N,
∞
то из сходимости
ряда ∞
n=1 bn следует сходимость
n=1 an , а из расхо∞
∞
димости n=1 an следует расходимость n=1 bn .
13.3. Интегральный критерий
257
Доказательство.
a 2 b2 a 3 b3
an+1 bn+1
⩽ ,
⩽ , ...,
⩽
.
a 1 b1 a2 b2
an
bn
Перемножим эти неравенства, получим
a1
an+1 bn+1
⩽
, an+1 ⩽ bn+1
a1
b1
b1
∀n.
Теперь требуемое утверждение вытекает из признака сравнения. Признак Даламбера (an > 0)
an+1
Если
→ q, то при q < 1 ряд ∞
n=1 an сходится, а при q > 1 расхоn→∞
an
дится.
Доказательство. Пусть q < 1. Возьмем число p, удовлетворяющее
неравенствам q < p < 1. Найдется номер m такой, что
an+1
pn+1
⩽p=
an
pn
∀n ⩾ m.
∞ n
∞
Ряд
n=1 p сходится. По
n=m an сходится, что
∞лемме 13.1 остаток ряда
a
.
влечет сходимость ряда
n=1 n
Если q > 1, то существует номер k такой, что
an+1
⩾ 1 ∀n ⩾ k,
an
т. е. an+1 ⩾ an при n ⩾ k. Последовательность an , начиная с некоторого
номера, возрастающая и, следовательно,
не является бесконечно малой, что
∞
a
.
влечет расходимость ряда
n=1 n
13.3. Интегральный критерий.
Степенной признак сходимости ряда
Функцию f (x), x ⩾ 1, называют производящей для ряда
f (n) = an ∀n ∈ N.
∞
n=1 an ,
если
Интегральный критерий (an ⩾ 0)
Если функция f (x), производящая для ряда ∞
n=1 an , убывает, то для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный
интеграл
∞
A
f (x)dx = lim
f (x)dx.
1
A→∞
1
258
Глава 13. Числовой ряд
Доказательство. Поскольку функция f (x) убывает, то
ak ⩾ f (x) ⩾ ak+1
k+1
∀x ∈ [k, k + 1] ⇒ ak ⩾
f (x)dx ⩾ ak+1 .
k
Отсюда
n+1
f (x)dx ⩾ sn+1 − a1 .
sn ⩾
(13.2)
1
Последовательность sn и функция F (A) =
A
1
f (x)dx являются возрастаю-
щими. Из неравенств (13.2) вытекает, что последовательность sn и функция
F (A) одновременно ограничены или неограничены, т. е. ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно. Пример 13.1. Г а р м о н и ч е с к и й р я д
ны стремятся к нулю. Действительно,
A
1
dx
= ln A → +∞.
A→∞
x
Обобщенный гармонический ряд
ходится при α < 1, так как
A
1
∞ 1
расходится, хотя его члеn=1 n
∞ 1
, α = 1, сходится при α > 1 и расα
n=1 n
⎧
1
⎨
dx
A1−α − 1
, если α > 1,
→
=
α
−
1
xα
1 − α A→∞ ⎩ +∞, если α < 1.
Степенной признак (an ⩾ 0)
∞
M
Если an ∼
, M − const, 0 < M < +∞, то при α > 1 ряд
n=1 an
n→∞ nα
сходится, а при α ⩽ 1 расходится.
Доказательство сразу следует из условий сходимости и расходимости
обобщенного гармонического ряда расходимости гармонического ряда и предельного признака сравнения. 13.4. Признак Раабе
259
13.4. Признак Раабе
√
n
an+1
в признаках Коши и Даламбера равan
ны 1, эти признаки не позволяют установить сходимость ряда. Следующий
признак часто дает возможность исследовать и такие ряды.
Когда пределы lim
n→∞
an , lim
n→∞
Признак Раабе (an > 0)
Если
a
n
− 1 = q,
lim n
n→∞
an+1
∞
то при q > 1 ряд n=1 an сходится, а при q < 1 расходится.
Доказательство. Пусть q > 1. Возьмем числа p и s такие, что 1 <
< s < p < q. Существует номер m, что
a
n
− 1 ⩾ p,
n
an+1
an
p
⩾ + 1 ∀n ⩾ m.
an+1 n
(13.3)
Из степенного замечательного предела (п. 2.11) имеем
(1 + 1/n)s − 1
= s.
n→∞
1/n
lim
Существует номер m1 ⩾ m такой, что
p
(1 + 1/n)s − 1
⩽ p ⇒ (1 + 1/n)s ⩽ + 1 ∀n ⩾ m1 .
1/n
n
(13.4)
Из неравенств (13.3) и (13.4) следует
(1 + 1/n)s ⩽
Ряд
∞
an
1
an+1
1/(n + 1)s
⇒
⩽
=
.
an+1
an
(1 + 1/n)s
1/ns
1/ns сходится. По лемме 13.1 ряд
n=1
∞
n=1
an также сходящийся.
Пусть теперь q < 1. Существует номер m такой, что
a
n
n
− 1 ⩽ 1 ∀n ⩾ m ⇒
an+1
an
an+1
1/(n + 1)
1
1
=
.
⩽ +1⇒
⩾
an+1 n
an
1 + 1/n
1/n
∞
Гармонический ряд расходится. По лемме 13.1 ряд
n=1 an
расходящийся. ⇒
также
260
Глава 13. Числовой ряд
Замечание 13.1. Если
1 an
1
= 1 + + o 1+ε , ε > 0,
an+1
n
n
то ряд
∞
n=1
an расходится (признак Гаусса).
∞
Замечание 13.2. Если an ⩽ 0,то ряд
n=1 an называют отрицательным. Из соотношения nk=1 ak = − nk=1 (−ak ) следует, что сходимость
∞ отрицательного ряда равносильна сходимости положительного ряда
n=1 (−an ).
13.5. Знакопеременный ряд
Ряд ∞
n=1 an называют з н а к о п е р е м е н н ы м, если бесконечное множество членов ряда положительно и бесконечное множество членов ряда отрицательно.
Критерий Коши сходимости ряда
∞
Для сходимости ряда
an необходимо и достаточно, чтобы
n=1
n+p
ak ⩽ ε.
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ δ(ε), ∀p ∈ N ⇒ k=n+1
Доказательство сразу вытекает из критерия Коши для последовательностей. Действительно, последовательность sn сходится тогда и только тогда, когда
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ δ(ε), ∀p ∈ N ⇒ |sn+p − sn | ⩽ ε.
Отсюда и вытекает требуемое соотношение, так как
n
n+p
n+p
ak −
ak = ak ⩽ ε. |sn+p − sn | = k=1
k=1
k=1+n
Лемма 13.2
Если ряд
∞
n=1
|an | сходится, то ряд
∞
n=1
an также является сходящимся.
13.6. Знакочередующийся ряд
261
∞
Доказательство. По критерию Коши сходимости ряда
n=1
|an | имеем
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ δ(ε), ∀p ∈ N ⇒
⇒
n+p
n+p
ak ⩽ ε ⇒ ak ⩽ ε.
ak ⩽
n+p
k=1+n
k=1+n
∞
k=1+n
По критерию Коши сходимости ряда ряд
n=1 an сходится. ∞
Ряд
a
называют
а
б
с
о
л
ю
т
н
о
с
х
о д я щ и м с я, если сходится ряд
n
n=1
∞
|a
|.
Из
леммы
13.2
следует,
что
абсолютно
сходящийся ряд является
n=1 n
сходящимся.
∞
∞
Ряд
у
с
л
о
в
н
о
с
х
о
д
я
щ
и
м
с
я,
если
ряд
n=1 an называют
n=1 |an |
∞
расходится, а ряд
n=1 an является сходящимся.
13.6. Знакочередующийся ряд
Ряд
∞
(−1)n−1 an ,
an > 0 ∀n ∈ N,
(13.5)
n=1
называют з н а к о ч е р е д у ю щ и м с я.
Признак Лейбница
Если последовательность an является монотонной и бесконечно малой,
то знакочередующийся ряд (13.5) сходится и для его остатков имеют
место оценки
∞
(−1)k−1 ak ⩽ an+1 ∀n ∈ N0 .
k=1+n
Доказательство. Последовательность an может быть лишь монотонно убывающей. Четные частные суммы ряда можно записать следующими
двумя способами:
s2m = (a1 − a2 ) + . . . + (a2m−1 − a2m ) =
= a1 − (a2 − a3 ) − . . . − (a2m−2 − a2m−1 ) − a2m .
Из первого равенства следует, что последовательность s2m — монотонно
возрастающая: 0 ⩽ s2m ⩽ s2m+2 , а из второго — ее ограниченность сверху:
s2m ⩽ a1 ∀m ∈ N. Следовательно, существует предел lim s2m = s, −∞ <
m→∞
< s < +∞.
262
Глава 13. Числовой ряд
Нечетные частные суммы запишем также двумя способами:
s2m+1 = a1 − (a2 − a3 ) − . . . − (a2m − a2m+1 ) =
= (a1 − a2 ) + . . . + (a2m−1 − a2m ) + a2m+1 .
Из первого равенства следует, что последовательность s2m+1 — монотонно
убывающая: s2m−1 ⩾ s2m+1 , а из второго — ее ограниченность снизу: s2m−1 ⩾ 0
∀m ∈ N. Следовательно, существует предел lim s2m+1 = s, −∞ < s < +∞.
m→∞
Поскольку s2m+1 − s2m = a2m+1 → 0, то пределы s, s совпадают, cлеm→∞
∞
n−1 a = s = s = s.
довательно,
n
n=1 (−1)
Из неравенств s2m ⩽ s ⩽ s2m+1 следует
|s2m − s| ⩽ s2m+1 − s2m = a2m+1 ,
|s2m−1 − s| ⩽ s2m−1 − s2m = a2m .
k−1 a ⩽ a
Отсюда вытекает требуемое неравенство ∞
n+1 . k
k=n+1 (−1)
13.7. Признаки Дирихле и Абеля
Лемма 13.3
Пусть a1 , . . . , ap — монотонная, b1 , . . . , bp — произвольная совокупности
чисел, s = a1 b1 + · · · + ap bp , p ∈ N, Bk = b1 + · · · + bk , |Bk | ⩽ M − const ∀k =
= 1, . . . , p. Тогда |s| ⩽ M (|a1 | + 2|ap |).
Доказательство для возрастающей совокупности чисел ai :
s = a1 B1 + a2 (B2 − B1 ) + · · · + ap (Bp − Bp−1 ) =
= (a1 − a2 )B1 + · · · + (ap−1 − ap )Bp−1 + ap Bp ,
|s| ⩽ |a1 − a2 ||B1 | + · · · + |ap−1 − ap ||Bp−1 | + |ap ||Bp |⩽
⩽M (|a2 − a1 + a3 − a2 + · · · + ap − ap−1 | + |ap |) ⩽ M (|a1 | + 2|ap |). Признак Дирихле
Если:
1) последовательность am является
∞ монотонной и бесконечно малой;
2) частные суммы Bn ряда
n=1 bn ограничены, т. е. |Bn | ⩽ M −
− const ∀n ∈ N,
то ряд ∞
n=1 an bn сходится.
Доказательство. Поскольку an → 0, то
n→∞
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n ⩾ δ(ε) ⇒ |an | ⩽ ε.
(13.6)
13.8. Действия над числовыми рядами
263
Из второго условия признака Дирихле имеем ∀n ∈ N, ∀p ∈ N
n
n+p
n+p
b
⩽
b
−
b
i
i
i ⩽ 2M.
i=n+1
i=1
(13.7)
i=1
Используя лемму 13.3 и неравенства (13.6)—(13.7), получаем
n+p
ai bi ⩽ 2M (|an+1 | + 2|an+p |) ⩽ 6M ε ∀n ⩾ δ(ε), ∀p ∈ N.
i=n+1
На основании критерия Коши (п. 13.5) ряд
∞
n=1 an bn
сходится. Признак Абеля
Если:
1) последовательность
an является монотонной и ограниченной;
b
сходится,
2) ряд ∞
n=1 n
то ряд ∞
n=1 an bn также является сходящимся.
∞
Доказательство. Поскольку ряд
n=1 bn сходится, то согласно критерию Коши сходимости ряда (п. 13.5)
n+p
bi ⩽ ε.
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n ⩾ δ(ε), ∀p ∈ N ⇒ (13.8)
i=n+1
Пусть |an | ⩽ M
имеем
∀n ∈ N, тогда используя лемму 13.3 и неравенство (13.8),
n+p
ai bi ⩽ ε(|an+1 | + 2|an+p |) ⩽ 3M ε ∀n ⩾ δ(ε), ∀p ∈ N.
i=n+1
На основании критерия Коши ряд
∞
n=1 an bn
сходится. 13.8. Действия над числовыми рядами
1. Линейная комбинация рядов
∞
∞
n=1 an и
n=1 bn сходятся, то для любых α, β ∈ R ряд
∞Если ряды
n=1 (αan + βbn ) также является сходящимся и
∞
n=1
(αan + βbn ) = α
∞
n=1
an + β
∞
n=1
bn .
(13.9)
264
Глава 13. Числовой ряд
n
n
n
Действительно,
k=1 (αak + βbk ) = α
k=1 ak + β
k=1 bk . Переходя к
пределу в последнем соотношении, приходим к равенству (13.9).
2. Группировка членов ряда
∞
В ряду
n=1 an сгруппируем слагаемые, объединив без изменения порядка следования по несколько (конечное число) членов ряда. Получим новый ряд, последовательность частных сумм которого является подпоследова∞
тельностью частных сумм исходного ряда. Поэтому, если ряд
n=1 an сходится, то сходится и имеет ту же сумму преобразованный ряд, полученный
г р у п п и р о в к о й ч л е н о в ряда.
Раскрытие скобок в общем случае недопустимо. Например, ряд (1 − 1) +
(1−1) + . . . сходится, а ряд 1−1+1−1 + . . . расходится. Однако в следующих
двух частных случаях раскрытие скобок возможно. Во-первых, если после
раскрытия скобок получается сходящийся ряд. Во-вторых, если в каждой
скобке все слагаемые имеют один и тот же знак (доказать).
3. Перестановка членов ряда
∞
an . Пусть bk = 1/2(|ak | + ak ), ck = 1/2(|ak | − ak ).
Рассмотрим ряд
n=1
Тогда ak = bk − ck , |ak | = bk + ck ,
bk ⩾ 0, ck ⩾ 0 ∀k ∈ N.
Лемма 13.4
Ряд ∞
абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся
n=1 an сходится
∞
b
и
c
ряды ∞
n=1 n
n=1 n .
Доказательство.
|ak | ⩾ bk ⩾ 0, |ak | ⩾ ck ⩾ 0. По признаку
∞
∞ Необходимость.
сравнения ряды
n=1 bn ,
n=1 cn сходятся.
∞
∞
Достаточность.
Если
сходятся
ряды
n=1 bn ,
n=1 cn , то сходится и ряд
∞
n=1 an , как разность сходящихся рядов. Следствие 13.1
∞
∞
Если ряд ∞
n=1 an сходится условно, то ряды
n=1 bn ,
n=1 cn являются
расходящимися.
∞
∞
Доказательство. Если ряды
сходятся, то соn=1 bn ,
n=1 cn
∞
гласно лемме
n=1 an сходится абсолютно. Если один
∞ ряд
∞ из рядов
∞
b
,
c
сходится,
а
другой
расходится,
то
ряд
n
n
n=1
n=1
n=1 an имеет
бесконечную сумму и, следовательно, расходится. Таким образом, условная
возможна лишь при одновременной расходимости рядов
∞ сходимость
∞
b
,
c
n=1 n
n=1 n . 13.8. Действия над числовыми рядами
265
Последовательность (mn ) называют перестановкой последовательности
натуральных чисел (n), если каждое натуральное число встречается
в (mn )
∞
— перестановка (n), то ряд
и притом только один раз. Если (mn ) n=1 amn
∞
называют п е р е с т а н о в к о й р я д а
n=1 an .
Теорема о перестановке ряда
Если ряд ∞
n=1 an сходится абсолютно, то любая его перестановка является сходящимся рядом с той же суммой.
n
∞
an положительный, то
Доказательство. Если ряд
n=1
k=1 amk ⩽
Q
⩽ k=1 ak , где Q = max{m1 , . . . , mn }, и поэтому
∞
a mn ⩽
n=1
∞
an ,
n=1
∞
т. е. перестановка не увеличивает сумму
ряда.
Поскольку
ряд
n=1 an в свою
∞
очередь является
n=1 amn , то обе суммы совпадают.
∞
∞ перестановкой
a
знакопеременный,
то представив его в виде
Если
ряд
n
n=1
n=1 bn −
∞
− n=1 cn и воспользовавшись первой частью доказательства, получим
∞
an =
n=1
∞
bn −
n=1
∞
cn =
n=1
∞
b mn −
n=1
∞
c mn =
n=1
∞
am n . n=1
4. Произведение рядов
∞
∞
Возьмем два ряда
n=0 an и
n=0 bn . Построим последовательность
, c1 = a0 b1 + a1 b0 , c2 = a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 , . . . , cn = ni=0 ai b
c0 = a0 b0
n−i , . . . .
∞
∞
∞
Ряд
c
называют
п
р
о
и
з
в
е
д
е
н
и
е
м
р
я
д
о
в
a
,
n=0 n
n=0 n
n=0 bn .
Теорема о произведении рядов
∞
∞
Если ряды ∞
n=0 an ,
n=0 an сходятся абсолютно, то ряд
n=0 cn также
сходится абсолютно и
∞
cn =
n=0
n
∞ ai bn−i =
∞
n=0 i=0
an
∞
n=0
bn .
n=0
Доказательство. Пусть
S=
∞
n=0
|an |, T =
∞
|bn |, A =
n=0
∞
an , B =
n=0
∞
bn .
n=0
Тогда
n
k=0
|ck | =
n k
n n
n
k
ai bn−i ⩽
|ai ||bn−i | ⩽
|ak |
|bk | ⩽ ST,
k=0
i=0
k=0 i=0
k=0
k=0
266
Глава 13. Числовой ряд
n
т. е. частные суммы ряда
k=0 |ck | ограничены, следовательно, по критерию
сходимости
положительных
рядов этот ряд сходится. Из неравенства
( nk=0 |ak |)( nk=0 |bk |) ⩽ ST также вытекает, что ряд
a0 b0 + a0 b1 + a1 b0 + a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 + a0 b3 + a1 b2 + a2 b1 + a3 b0 + · · · (13.10)
является абсолютно сходящимся. Воспользовавшись теоремой о перестановке
членов ряда, представим ряд (13.10) в виде
a0 b0 + a0 b1 + a1 b0 + a1 b1 + a0 b2 + a1 b2 + a2 b2 + a2 b1 + a2 b0 +
+a0 b3 + a1 b3 + a2 b3 + a3 b3 + a3 b2 + a3 b1 + a3 b0 + · · · .
Если
n через Ln частные суммы последнего ряда, то Ln2 =
nобозначить
= ( k=0 ak ) ( k=0 bk ), следовательно, Ln2 → AB, но тогда и Ln → AB.
n→+∞
Ряд ∞
c
получается
из
(13.10)
группировкой
членов, поэтому ∞
n=0 n
n=0 cn =
= AB. 13.9. Двойной ряд
Если каждой паре натуральных чисел n, m поставлено в соответствие
некоторое вещественное число anm , то говорят, что задана д в о й н а я последовательность (anm ).
Число A называют п р е д е л о м д в о й н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и,
если
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n, m ⩾ δ(ε) ⇒ |anm − A| ⩽ ε,
пишут
A=
lim anm .
n,m→∞
Двойную последовательность, имеющую предел A ∈ R, называют сходящейся. Наряду с (anm ) рассмотрим последовательности (bm ), (cn ), где
bm = lim anm , cn = lim anm . Пределы lim bm = lim ( lim anm ),
n→∞
m→∞
m→∞
m→∞ n→∞
lim cn = lim ( lim anm ) называют п о в т о р н ы м и п р е д е л а м и двойной
n→∞
n→∞ m→∞
последовательности.
Теорема о двойной последовательности
Если двойная последовательность (anm ) сходится и при каждом m ∈ N
существует предел bm = lim anm , то
n→∞
lim anm = lim ( lim anm ).
n,m→∞
m→∞ n→∞
13.9. Двойной ряд
Доказательство. Пусть A =
267
lim anm . Для любого ε > 0, ∃δ(ε) >
n,m→∞
> 0, ∀n, m ⩾ δ(ε) ⇒ |anm −A| ⩽ ε. Переходя к пределу при n → ∞ в последнем
неравенстве, получим |bm − A| ⩽ ε. Отсюда имеем lim bm = A. m→∞
Двойную
последовательность
(anm )
называют
монотонно
в о з р а с т а ю щ е й, если ∀n, m ∈ N, ∀i ⩾ n, ∀j ⩾ m выполняется неравенство anm ⩽ aij .
Теорема о возрастающей ограниченной двойной последовательности
Если монотонно возрастающая двойная последовательность ограничена,
т. е. |anm | ⩽ M − const ∀n, m ∈ N, то она сходится.
Доказательство. Пусть A = sup {anm }. Для любого ε > 0 существуn,m∈N
ют номера n(ε), m(ε) такие, что an(ε)m(ε) > A − ε. Поскольку последовательность (anm ) монотонно возрастающая, то ∀i, j ⩾ max{n(ε), m(ε)} = δ(ε)
⇒ A − ε < aij ⩽ A. Отсюда |aij − A| ⩽ ε ∀i, j ⩾ δ(ε), т. е. lim aij = A. Выражение вида
мы этого ряда snm =
∞
i,j→∞
anm называют д в о й н ы м р я д о м. Частные сум-
n,m=1
m
n k=1 i=1
aki образуют двойную последовательность. Если
существует предел частных сумм
lim snm = A, то двойной ряд называ-
n,m→∞
ют с х о д я щ и м с я, а число A его с у м м о й. Поскольку последовательность
частных сумм положительного двойного ряда (anm ⩾ 0) — монотонно возрастающая, то положительный двойной ряд, для которого последовательность
частных сумм ограничена — сходящийся.
∞
Ряд
anm называют а б с о л ю т н о с х о д я щ и м с я, если сходится
ряд
∞
n,m=1
n,m=1
|anm |. Абсолютно сходящийся двойной ряд является сходящимся
(доказать).
Из теоремы о двойной последовательности сразу вытекает следующее
утверждение.
Теорема о двойном ряде
∞
Если двойной ряд
anm сходится и при каждом m сходится ряд
n,m=1
∞
n=1 anm , то
∞
∞ ∞
anm =
anm .
n,m=1
m=1
n=1
268
Глава 13. Числовой ряд
13.10. Бесконечное произведение
Рассмотрим последовательность p1 , p2 , . . . , pn , . . . , pi ∈ R. Выражение
∞
)
p1 p2 · · · pn · · · =
pn называют б е с к о н е ч н ы м п р о и з в е д е н и е м, а поn=1
следовательность Pn =
n
)
k=1
pk — последовательностью его частных произве-
дений. Если существует ненулевой предел a = 0 последовательности (Pn ),
то бесконечное произведение называют с х о д я щ и м с я. Если предел lim Pn
n→∞
либо не существует, либо равен бесконечности, то бесконечное произведение
называют р а с х о д я щ и м с я. Если lim Pn = 0, то бесконечное произведеn→∞
ние называют р а с х о д я щ и м с я к н у л ю.
Свойства бесконечных произведений
1. Необходимое условие сходимости. Если бесконечное произведение
∞
)
pn сходится, то lim pn = 1.
n→∞
n=1
Pn
A
= 1. A
∞
)
2. Для сходимости бесконечного произведения
pn , pn > 0, необхоn=1
∞
димо и достаточно, чтобы сходился ряд n=1 ln pn .
n
Sn
Доказательство. Пусть Sn =
k=1 ln pk . Тогда Pn = e . Если
S
lim Sn = S, то lim Pn = e . Обратно, если lim Pn = A, то lim Sn =
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
= ln A. 3. Запишем pn в виде pn = 1 + αn . Если αn > 0 или −1 < αn < 0, то
для сходимости
произведения необходимо и достаточно, чтобы
бесконечного
∞
α
.
сходился ряд
n=1 n
Доказательство. Поскольку ln(1 + αn ) ∼ αn , то по предельному приn →0
∞
α∞
знаку сравнения ряды
ln(1
+
α
)
и
n
n=1
n=1 αn сходятся или расходятся
одновременно. Теперь требуемое утверждение вытекает из свойства 2. 4. Бесконечное произведение называют абсолютно сходящимся, если аб∞
солютно сходится ряд
ln pn . Для абсолютной сходимости бесконечноДоказательство. lim pn = lim
n→∞
n→∞ Pn−1
=
n=1
го
∞произведения необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходился ряд
n=1 αn .
Пусть (mn ) — перестановка последовательности (n). Если произведение
∞
∞
)
)
pn сходится абсолютно, то любая его перестановка
pmn сходится и
n=1
∞
)
n=1
pn =
∞
)
n=1
n=1
pmn (доказать).
ГЛАВА 14
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
14.1. Поточечная и равномерная сходимости
функциональной последовательности
Рассмотрим последовательность скалярных функций (an (x)), заданных
на одном и том же множестве E. Предположим, что при каждом фиксированном x ∈ E существует предел lim an (x). Функцию
n→∞
a(x) := lim an (x), x ∈ E,
n→∞
называют предельной для последовательности (an (x)). Соотношение a(x) =
= lim an (x), x ∈ E, c помощью « ε - δ » записывается следующим образом:
n→∞
∀x ∈ E, ∀ε > 0, ∃δ(ε, x) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ δ(ε, x) ⇒ |an (x) − a(x)| ⩽ ε.
(14.1)
Последовательность,
удовлетворяющую
условию
(14.1),
называют
п о т о ч е ч н о с х о д я щ е й с я на E к предельной функции a(x). Если
последовательность (an (x)) удовлетворяет более сильному, чем (14.1)
условию
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ δ(ε), ∀x ∈ E ⇒ |an (x) − a(x)| ⩽ ε,
(14.2)
то ее называют р а в н о м е р н о с х о д я щ е й с я на E и используют обозначение
E
an (x) ⇒ a(x).
n→∞
При равномерной сходимости для любого ε > 0 найдется δ(ε), пригодное
сразу для всех x ∈ E, которое обеспечивает выполнение неравенства |an (x)−
− a(x)| ⩽ ε при n ⩾ δ(ε).
270
Глава 14. Функциональные последовательности и ряды
Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности
Последовательность an (x) сходится равномерно на E к функции a(x) тогда и только тогда, когда lim sup |an (x) − a(x)| = 0.
n→∞ x∈E
Доказательство. Необходимость.
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ δ(ε), ∀x ∈ E ⇒ |an (x) − a(x)| ⩽ ε.
Отсюда sup |an (x) − a(x)| ⩽ ε, что означает lim sup |an (x) − a(x)| = 0.
n→∞ x∈E
x∈E
Достаточность.
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ δ(ε) ⇒ sup |an (x) − a(x)| ⩽ ε.
x∈E
Отсюда ∀x ∈ E
E
|an (x) − a(x)| ⩽ ε, т. е. an (x) ⇒ a(x). n→∞
Пример 14.1. Последовательность an (x) = xn , x ∈ [0, 1), сходится поточечно к функции a(x) ≡ 0 на промежутке [0, 1), но по критерию равномерной сходимости она не является равномерно сходящейся. Действительно,
lim sup |an (x) − a(x)| = lim sup xn = [ lim xn = 1] = lim 1 = 1 = 0.
n→∞ x∈[0,1)
n→∞ x∈[0,1)
x→1−0
n→∞
Пример 14.2. Рассмотрим последовательность an (x) = xn − xn+1 , x ∈
∈ [0, 1). Функция a(x) = lim (xn − xn+1 ) = 0 является предельной для
n→∞
этой последовательности. Поскольку lim sup (xn − xn+1 ) = [(xn − xn+1 ) =
n→∞ x∈[0,1)
n
, lim (xn − xn+1 ) = 0)] =
= nxn−1 − (n + 1)xn = 0, x = 0, x =
x→1−0
n
+
1
n n n = lim
= 0, то по критерию равномерной сходимости
1−
n→∞ n + 1
n+1
последовательность сходится равномерно на промежутке [0, 1) к функции
a(x) ≡ 0.
Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности
Для равномерной сходимости последовательности (an (x)) на E необходимо и достаточно, чтобы
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ δ(ε), ∀p ∈ N, ∀x ∈ E ⇒
⇒ |an (x) − an+p (x)| ⩽ ε.
(14.3)
14.2. Равномерная сходимость функционального ряда
271
Доказательство. Необходимость следует из неравенства
|an (x) − an+p (x)| ⩽ |an+p (x) − a(x)| + |an (x) − a(x)|.
Достаточность. Из условия (14.3) и критерия Коши сходимости числовых последовательностей вытекает поточечная сходимость последовательности (an (x)). Пусть
lim an (x) = a(x), x ∈ E.
n→∞
При каждом фиксированном n ⩾ δ(ε) и при каждом фиксированном x ∈ E
перейдем к пределу при p → ∞ в неравенстве an+p (x)−ε ⩽ an (x) ⩽ an+p (x)+ε,
E
получим a(x) − ε ⩽ an (x) ⩽ a(x) + ε. Отсюда следует, что an (x) ⇒ a(x). n→∞
14.2. Равномерная сходимость функционального ряда
Ряды, члены которых
являются функциями, относят к функциональным.
∞
an : E → R, называют равномерно
Функциональный ряд
n=1 an (x),
сходящимся на E, если последовательность частных сумм sn (x) этого ряда
сходится равномерно на E, т. е.
∞
ak (x) ⩽ ε.
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ δ(ε), ∀x ∈ E ⇒ |sn (x) − s(x)| = k=n+1
Следующие два критерия непосредственно вытекают из критерия Коши
и критерия равномерной сходимости функциональной последовательности
(п. 14.1).
Критерий равномерной сходимости функционального ряда
Функциональный ряд сходится равномерно на E тогда и только тогда,
когда
∞
lim sup ak (x) = 0.
n→∞ x∈E
k=n+1
Критерий Коши равномерной сходимости функционального
ряда
Функциональный ряд сходится равномерно на E тогда и только тогда,
когда
n+p
ak (x) ⩽ ε.
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n ∈ N : n ⩾ δ(ε), ∀p ∈ N, ∀x ∈ E ⇒ k=n+1
272
Глава 14. Функциональные последовательности и ряды
Пример 14.3. Используя критерий равномерной сходимости, исследуем
на равномерную сходимость ряд
∞ n
x
n=1
n
−
xn+1 , −1 < x < 1.
n+1
xn+1 1
=
Находим lim
lim sup = lim
n→∞ x∈(−1,1) k=n+1
n→∞ x∈(−1,1) n + 1
n→∞ n + 1
= 0. По критерию равномерной сходимости функциональный ряд сходится
равномерно на интервале (−1, 1).
∞
sup ak (x) =
∞
Числовой ряд
∞ n=1 bn называют м а ж о р а н т о й на E для функционального ряда
n=1 an (x), если
|an (x)| ⩽ bn
∀x ∈ E
∀n ∈ N.
(14.4)
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда
Если функциональный ряд имеет сходящуюся мажоранту на E, то он
сходится равномерно на E.
Доказательство. По критерию Коши сходимости числового ряда имеем
n+p
bk ⩽ ε.
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n ⩾ δ(ε), ∀p ∈ N, ∀x ∈ E ⇒ k=n+1
Отсюда на основании неравенства (14.4) имеем
n+p
n+p
ak (x) ⩽ bk ⩽ ε.
∀n ⩾ δ(ε), ∀p ∈ N, ∀x ∈ E ⇒ k=n+1
k=n+1
По критерию Коши равномерной сходимости ФР, ряд
равномерно на E. ∞
n=1 an (x)
сходится
sin x 1
Пример 14.4. Поскольку 2 ⩽ 2 ∀x ∈ R, то функциональный ряд
n
n
∞
sin x
n=1
n2
сходится равномерно на R по признаку Вейерштрасса.
14.3. Признаки Дирихле и Абеля
273
14.3. Признаки Дирихле и Абеля
равномерной сходимости функционального ряда
Признак Дирихле равномерной сходимости ФР
Пусть:
E
1) an (x) ⇒ 0;
n→∞
2) при каждом фиксированном x ∈ E последовательность (an (x))
монотонна;
3) частные суммы Bn (x) ряда ∞
n=1 bn (x) ограничены, т. е. |Bn (x)| ⩽ M −
− const ∀x
∈ E, ∀n ∈ N.
Тогда ряд ∞
n=1 an (x)bn (x) сходится равномерно на E.
E
Доказательство. Поскольку an (x) ⇒ 0, то
n→∞
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n ⩾ δ(ε), ∀x ∈ E ⇒ |an (x)| ⩽ ε.
Из ограниченности частных сумм ряда
∞
n=1 bn (x)
n
n+p
n+p
bn (x) ⩽ bk (x) −
bk (x) ⩽ 2M
k=n+1
k=1
(14.5)
следует
∀x ∈ E,
∀n, p ∈ N.
(14.6)
k=1
Используя лемму 13.3 и неравенства (14.5), (14.6), имеем
n+p
an (x)bn (x)⩽2M (|an+1 (x)|+2|an+p (x)|)⩽6M ε ∀n⩾δ(ε), ∀p ∈ N, ∀x ∈ E
k=n+1
На основании критерия Коши (п. 14.2) ряд
мерно на E. ∞
n=1 an (x)bn (x) сходится равно-
Признак Абеля равномерной сходимости ФР
Пусть:
1) последовательность (an (x)) ограничена, т. е. |an (x)| ⩽ M − const ∀x ∈
∈ E, ∀n ∈ N;
2) при каждом фиксированном x ∈ E последовательность (an (x))
монотонна;
bn (x) сходится равномерно на E.
3) ряд ∞
n=1
∞
Тогда ряд n=1 an (x)bn (x) также сходится равномерно на E.
274
да
Глава 14. Функциональные последовательности и ряды
Доказательство. Согласно критерию Коши равномерной сходимости ря
∞
n=1 bn (x), имеем
n+p
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n ⩾ δ(ε), ∀p ∈ N, ∀x ∈ E ⇒ bk (x) ⩽ ε.
k=n+1
Отсюда, используя лемму 13.3 и первое условие признака Абеля, получаем
n+p
an (x)bn (x) ⩽ ε(|an+1 (x)| + 2|an+p (x)|) ⩽ 3M ε.
k=n+1
На основании критерия Коши (п. 14.2) ряд
мерно на E. ∞
n=1 an (x)bn (x) сходится равно-
∞ sin nx
сходится равномерно по x ∈
n
n=1
∈ [1, 2]. Проверим,
условия признака Дирихле.
∞
nчто для ряда выполняются
Частные суммы
k=1 sin kx ряда
n=1 sin nx ограничены:
sin(nx/2) sin((n + 1)x/2) 1
∀x ∈ [1, 2], n ∈ N.
| sin x + . . . + sin nx| = ⩽
sin x/2
sin 1
Пример 14.5. Покажем, что ряд
Так как члены последовательности (1/n) не зависят от x, то для проверки первых двух условий признака Дирихле достаточно убедиться, что последовательность (1/n) является монотонной и бесконечно малой: 1/n >
> 1/(n + 1), lim 1/n = 0. По признаку Дирихле ряд сходится равномерно на
n→∞
отрезке [1, 2].
14.4. Непрерывность суммы
функционального ряда
Конечная сумма непрерывных на отрезке функций является непрерывной функцией (п. 2.9). Для рядов, т. е. для бесконечной суммы непрерывных
функций, это утверждение, вообще говоря, не верно.
n
n+1
Пример 14.6. Рассмотрим ряд ∞
n=1 (x −x ), x ∈ [0, 1]. Частные суммы этого ряда можно представить в виде sn (x) = nk=1 (xk −xk+1 ) = x−xn+1 .
Отсюда следует, что сумма ряда равна
x, x ∈ [0, 1),
n+1
s(x) = lim (x − x
)=
n→∞
0, x = 1.
Функции xn − xn+1 непрерывны на отрезке [0, 1], но сумма ряда s(x) —
функция, разрывная в точке x = 1.
14.5. Почленное интегрирование
275
Из следующей теоремы следует, что сумма равномерно сходящегося ряда
с непрерывными членами — функция непрерывная.
Теорема Стокса — Зайделя
Если члены функционального ряда ∞
n=1 an (x) непрерывны на отрезке [c, d]
и ряд сходится равномерно на [c, d], то сумма ряда непрерывна на [c, d].
Доказательство. Пусть s(x) — сумма ряда и пусть x0 , x0 + Δx ∈ [c, d].
Зафиксируем произвольное ε > 0. Поскольку ряд сходится равномерно, то
∃ν(ε) > 0, ∀n ⩾ ν(ε), ∀x ∈ [c, d] ⇒ |sn (x) − s(x)| ⩽ ε.
(14.7)
Зафиксируем номер n̄ ⩾ ν(ε). Оценим приращение функции s(x)
|s(x0 + Δx) − s(x0 )| ⩽ |s(x0 + Δx) − sn̄ (x0 + Δx)|+
+|sn̄ (x0 + Δx) − sn̄ (x0 )| + |sn̄ (x0 ) − s(x0 )|.
(14.8)
Функция sn̄ (x) непрерывна в точке x0 , поэтому
∃δ(ε) > 0, ∀Δx : |Δx| ⩽ δ(ε) ⇒ |sn̄ (x0 + Δx) − sn̄ (x0 )| ⩽ ε.
(14.9)
Из неравенств (14.7)—(14.9) следует
|s(x0 + Δx) − s(x0 )| ⩽ 3ε ∀Δx : |Δx| ⩽ δ(ε),
что обеспечивает непрерывность функции s(x) в точке x0 . 14.5. Почленное интегрирование
функционального ряда
Теорема о почленном интегрировании ФР
Равномерно сходящийся на промежутке |c, d| ряд ∞
n=1 an (x) с непрерывными на |c, d| членами можно почленно интегрировать на любом отрезке
[α, β] ∈ |c, d|, т. е.
β ∞
α
n=1
∞ an (x) dx =
an (x)dx .
β
n=1
α
Доказательство.
На основании теоремы Стокса — Зайделя сумма ряда
s(x) = ∞
a
(x)
непрерывна
и тем более интегрируема на любом отрезке
n=1 n
276
Глава 14. Функциональные последовательности и ряды
[α, β] ∈ |c, d|. Пусть An частные суммы ряда
зать, что lim An =
n→∞
на |c, d|, то
β
α
s(x)dx. Поскольку ряд
∞ β
n=1 α
∞
n=1
an (x)dx. Требуется дока-
an (x) сходится равномерно
∞
ak (x) ⩽ ε.
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀n ⩾ δ(ε), ∀x ∈ |c, d| ⇒ k=n+1
Следовательно,
β ∞
n
β ∀n ⩾ δ(ε) ⇒ ak (x) dx −
ak (x) dx ⩽ ε(β − α).
k=1
α
Оценим
α
k=1
β
β
n β
ak (x)dx − s(x)dx =
An − s(x)dx = k=1 α
α
α
β ∞
n
β =
ak (x) dx −
ak (x) dx ⩽ ε(β − α).
α
k=1
Отсюда вытекает lim An =
n→∞
α
β
α
k=1
s(x)dx. 14.6. Почленное дифференцирование
функционального ряда
Теорема о почленном дифференцировании ФР
Если: 1) ряд ∞
n=1 an (x) сходится поточечно на отрезке [c, d];
2) члены ряда an (x) непрерывно
∞ дифференцируемы на [c, d];
3) ряд из производных n=1 an (x) сходится равномерно на [c, d],
то функциональный ряд ∞
n=1 an (x) можно почленно дифференцировать,
т. е.
∞
∞
an (x) =
an (x) ∀x ∈ [c, d].
n=1
n=1
14.7. Локально равномерная сходимость
277
Доказательство. На основании
∞ теоремы о почленном интегрировании
функционального ряда ряд
n=1 an (x) можно почленно интегрировать на
любом отрезке [c, x] ⊂ [c, d], т. е.
x ∞
∞
∞ x
dx =
n=1
c
=
an (x)
an (x)dx =
n=1 c
(an (x) − an (c)) =
n=1
∞ s(x) = n=1 an (x)
∞
an (x) −
n=1
∞
(14.10)
an (c).
n=1
по теореме Стокса — Зайделя непрерывна на
Функция
отрезке [c, d] , следовательно, используя теорему Барроу (п. 6.6), из равенства
(14.10) имеем
x
c
∞
an (x) dx
=
n=1
∞
an (x) =
n=1
∞
∞
∞
∞
an (x) +
an (c) =
an (x)
n=1
n=1
n=1
14.7. Локально равномерная сходимость
Ряд
n=1 an (x) называют л о к а л ь н о р а в н о м е р н о с х о д я щ и м с я
на промежутке |c, d|, если он сходится равномерно на любом отрезке [α, β] ⊂
⊂ |c, d|.
Следующий пример показывает, что локально равномерно сходящийся
ряд не обязательно является равномерно сходящимся.
Пример 14.7. Рассмотрим ряд
∞
xn ,
x ∈ (−1, +1).
n=1
Для произвольного отрезка [α, β] ⊂ (−1, +1) имеем |xn | ⩽ pn ∀x ∈
∞
n сходится,
∈ [α, β], ∀n ∈ N, где p = max{|α|, |β|}.
ряд
n=1 p
∞ Поскольку
n
то по признаку Вейерштрасса ряд
n=1 x сходится равномерно на [α, β],
т. е. ряд сходится локально равномерно на интервале (−1, 1). В то же время
lim
sup
n→∞ x∈(−1,+1)
xn+1 = ∞.
n→∞ x∈(−1,+1) 1 − x
∞
xn = lim
k=n+1
По критерию равномерной сходимости ряд
на (−1, 1).
sup
∞
n=1 x
n
сходится неравномерно
278
Глава 14. Функциональные последовательности и ряды
Следствие из теоремы Стокса — Зайделя
Если члены ряда ∞
n=1 an (x) непрерывны на промежутке |c, d| и ряд сходится локально равномерно на |c, d|, то сумма ряда непрерывна на |c, d|.
Доказательство для случая, когда промежуток |c, d| является интервалом (c, d). Возьмем произвольную точку x0 ∈ (c, d). Существует отрезок
[x0 − δ, x0 + δ], δ > 0, принадлежащий (c, d). По теореме Стокса — Зайделя
сумма ряда непрерывна на [x0 − δ, x0 + δ], в частности, непрерывна в точке
x0 . Поскольку x0 произвольная точка из (c, d), то сумма ряда непрерывна
на (c, d). Следствие из теоремы о почленном дифференцировании ФР
Если: 1) ряд ∞
n=1 an (x) сходится поточечно на |c, d|;
2) члены ряда an (x) непрерывно
дифференцируемы на |c, d|;
(x) сходится локально равномерно на |c, d|,
a
3) ряд из производных ∞
n=1
n
то функциональный ряд ∞
n=1 an (x) можно почленно дифференцировать
на |c, d| (доказать).
Свойства функциональных последовательностей
Функциональную
последовательность
называют
локально
р а в н о м е р н о с х о д я щ е й с я на |c, d|, если она сходится равномерно
на любом отрезке [α, β] ⊂ |c, d|.
1. Если члены функциональной последовательности (an (x)) непрерывны
на промежутке |c, d| и последовательность сходится локально равномерно на
|c, d| к функции a(x), то a(x) непрерывна на |c, d|.
∞
Доказательство. Рассмотрим ряд
a0 (x) ≡ 0.
n=1 (an (x) − an−1 (x)),
Частные суммы этого ряда
sn (x) = (a1 (x) − a0 (x)) + (a2 (x) − a1 (x)) + . . . + (an (x) − an−1 (x)) = an (x)
совпадают с членами последовательности (an (x)). Поэтому сумма ряда s(x)
совпадает с пределом lim an (x) = a(x). По следствию из теоремы Стокса —
n→∞
Зайделя сумма ряда s(x) непрерывна на |c, d|, следовательно, непрерывна
и предельная функция a(x). 2. Пусть:
1) функциональная последовательность (an (x)) сходится поточечно на
промежутке |c, d|;
2) члены an (x) последовательности непрерывно дифференцируемы на
|c, d|;
3) последовательность из производных (an (x)) сходится локально равномерно на |c, d|.
14.7. Локально равномерная сходимость
279
Тогда функциональную последовательность (an (x)) можно почленно
дифференцировать, т. е.
( lim an (x)) = lim an (x) ∀x ∈ |c, d|.
n→∞
n→∞
∞
Доказательство. Так как частные суммы ряда
n=1 (an (x) −
− an−1
(x)), a0 (x) ≡ 0, совпадают с членами последовательности (an (x))
∞
и ряд
n=1 (an (x) − an−1 (x)) удовлетворяет всем условиям следствия из теоремы о почленном дифференцировании функционального ряда, то
∞
lim an (x) =
an (x) − an−1 (x)
=
n→∞
=
∞
n=1
(an (x) − an−1 (x)) = lim an (x) ∀x ∈ |c, d|.
n→∞
n=1
3. Если члены функциональной последовательности (an (x)) непрерывны
на промежутке |c, d| и последовательность сходится локально равномерно на
|c, d|, то для любого отрезка [α, β] ⊂ |c, d| имеет место равенство
β
α
β
an (x)dx (доказать).
lim an (x) dx = lim
n→∞
n→∞
α
ГЛАВА 15
СТЕПЕННОЙ РЯД
15.1. Радиус сходимости степенного ряда
Функциональный ряд вида
∞
an (x − x0 )n ,
an ∈ R,
n=0
называют с т е п е н н ы м р я д о м.
замены x − x0 на x степенной ряд можно привести к виду
∞С помощью
n . В таком виде и будем рассматривать степенные ряды.
a
x
n=0 n
Лемма Абеля
n
Если степенной ряд ∞
n=0 an x сходится в точке x = ξ = 0, то он сходится локально равномерно и абсолютно на интервале (−|ξ|, |ξ|).
∞
n
Доказательство. Из необходимого условия сходимости ряда
n=0 an ξ
n
n
следует lim an ξ = 0. Поэтому последовательность (an ξ ) ограничена
n→∞
(п. 1.5) |an ξn | ⩽ M − const ∀n ∈ N. Возьмем произвольный отрезок [α, β],
принадлежащий интервалу (−|ξ|, |ξ|). Для любого x ∈ [α, β] имеем
n
p n
n
n x
|an x | = |an ξ | ⩽ M = M q n ,
ξ
ξ
∞
n
где p = max{|α|, |β|}, q = p/|ξ| < 1. Ряд
∞ n=0n|an x | на отрезке [α, β]
имеет сходящуюся числовую
n=0 M q . На основании призна∞ мажоранту
n
ка Вейерштрасса ряд
сходится равномерно на [α, β]. Абсолютn=0 an x
ная сходимость степенного ряда на [α, β] следует из признака сравнения
(п. 13.1). n
Пусть E — множество сходимости степенного ряда ∞
n=0 an x , т. е. мно∞
n
жество тех значений x = ξ, при которых числовой ряд
n=0 an ξ является
15.1. Радиус сходимости степенного ряда
281
сходящимся. Множество сходимости E любого степенного ряда непусто, так
как содержит точку x = 0. Величину
R = sup{|ξ|},
ξ∈E
0 ⩽ R ⩽ +∞,
называют р а д и у с о м с х о д и м о с т и степенного ряда.
Из леммы Абеля следует, что степенной ряд сходится локально равномерно и абсолютно на интервале (−R, R) и расходится при |x| > R. В точках
x = −R, x = R ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Пример 15.1. Рассмотрим ряд
∞
xn
n
n=0
,
lim
n→∞
n
|xn |
= |x|.
n
По признаку Коши он сходится при |x| < 1 и расходится при |x| > 1. Если
∞
x = 1, то ряд имеет вид
1/n, и он расходится, если x = −1, то вид
∞
n=0
(−1)n /n, и он сходится по признаку Лейбница. Множество сходимости
n=0
ряда E = [−1, 1).
Вычисление радиуса сходимости
1) Формула Коши. Если существует предел
n
|an | = q, 0 ⩽ q ⩽ ∞,
∞
n равен 1/q (R = 0 при q = ∞,
то радиус сходимости R ряда
n=0 an x
R = ∞ при q = 0).
∞
n
Доказательство. Применим признак Коши к ряду
n=0 |an x | :
lim
n→∞
lim
n→∞
n
|an xn | = q|x|.
Пусть сначала 0 < q < ∞. Если q|x| < 1, т. е. |x| < 1/q, то ряд сходится,
если q|x| > 1, т. е. |x| > 1/q, то ряд расходится. Следовательно, R = 1/q.
Если же q = 0, то ряд сходится при всех x и R = ∞, если же q = ∞,
то ряд расходится при всех x = 0 и R = 0. a n 2) Формула Даламбера. Если существует предел lim = p,
n→∞ an+1
0 ⩽ p ⩽ ∞, то R = p.
Доказательство. Пусть сначала 0 < p < ∞. Применим признак Далам∞
бера к ряду
|an xn | :
n=0
1
|an+1 xn+1 |
= |x|.
n
n→∞
|an x |
p
lim
282
Глава 15. Степенной ряд
Если |x|/p < 1, т. е. |x| < p, то ряд сходится, если |x|/p > 1, т. е. |x| > p, то
ряд расходится. Следовательно, R = p.
Если же p = 0, то ряд расходится при всех x = 0 и R = 0, если же
p = ∞, то ряд сходится при всех x и R = ∞. 3) Формула Коши — Адамара
Лемма 15.1
Если
lim bn = p < ∞,
n→∞
(15.1)
то
а) ∀d > p, ∃ν > 0, ∀n ⩾ ν ⇒ bn ⩽ d;
б) ∀r < p, существует подпоследовательность (bni ) такая, что
lim bni > r.
i→∞
Доказательство. а) Предположим противное:
∃d∗ > p, ∀m ∈ N, ∃nm ⩾ m ⇒ bnm > d∗ .
Поскольку p < ∞, то последовательность (bnm ) ограничена сверху. На основании принципа выбора существует подпоследовательность (bnmk ) такая,
что lim bnmk ⩾ d∗ > p, что противоречит (15.1).
k→∞
б) Существование требуемой подпоследовательности вытекает из определений точной верхней грани и верхнего предела. Если lim n |an | = q, 0 ⩽ q ⩽ ∞, то радиус сходимости степенного ряда
n→∞
может быть найден по следующей формуле Коши — Адамара:
⎧
⎨ 1/q, 0 < q < ∞,
0, q = ∞,
R=
⎩
+∞, q = 0.
Доказательство для случая 0 < q < ∞. Пусть |x| < 1/q. Возьмем r
такое, что |x| < 1/r < 1/q, т. е. q < r, r|x| < 1. По лемме 15.1
∃ν > 0, ∀n ⩾ ν ⇒ n |an | ⩽ r ⇒ n |an ||x| ⩽ r|x| ⇒ |an ||x|n ⩽ rn |x|n .
∞
n сходится, то остаток ряда
Так
геометрический ряд
n=1 (r|x|)
как
n
|an x |, n ⩾ ν, сходится по признаку сравнения. Следовательно, R ⩾ 1/q.
Если |x| > 1/q, то возьмем r такое, что |x| > 1/r > 1/q, т. е. r < q, r|x| >
> 1. По лемме 15.1 существует подпоследовательность |anm |1/nm такая, что
|anm |1/nm > r ∀m. Отсюда |anm |1/nm |x| > r|x| ⇒ |anm ||x|nm > 1, т. е. последовательность |an xn | не стремится к нулю при n → ∞. Следовательно, ряд
∞
n
n=0 |an x | расходится. Таким образом, R = 1/q. 15.2. Свойства степенного ряда
283
15.2. Свойства степенного ряда
1) Линейная комбинация и произведение степенных рядов
сходимости соответственно степенЕсли α, β ∈ R, R1 и R
2 ∞— радиусы
∞
n и
n , то на интервале ] − Q, Q[, где Q =
a
x
b
x
ных рядов
n=0 n
n=0 n
= min{R1 , R2 }, оба ряда сходятся локально равномерно и абсолютно и
∞
(αan x + βbn x ) = α
an x + β
∞
∞
n
n
ai bn−i x =
an x
bn x n
∀x, |x| < Q.
(15.3)
n
n=0
∞ n
∞
(15.2)
n
n=0
n=0
∞
∀x, |x| < Q,
n
n=0
n=0
i=0
a n xn
n=0
Локально равномерная и абсолютная сходимости степенных рядов на интервале ]−Q, Q[ следует из леммы Абеля, а формулы (15.2) и (15.3) вытекают
из соответствующих свойств числовых рядов (п. 13.8).
2) Непрерывность суммы степенного
ряда
∞
n непрерывна на множестве схоСумма s(x) степенного ряда
a
x
n=0 n
димости.
Доказательство. Если множество сходимости ряда — интервал (−R, R),
то непрерывность суммы s(x) следует из локально равномерной сходимости
ряда на интервале (−R, R) и из следствия из теоремы Стокса — Зайделя
(п. 14.7).
Пусть степенной ряд сходится на конце интервала сходимости, например,
в точке x = R. Покажем, что тогда ряд сходится равномерно на отрезке
[0, R]. Воспользуемся признаком Абеля (п. 14.3). Представим ряд в виде
∞
an R n
n=0
x n
R
.
∞
n
n
Ряд
n=0 an R сходится по условию, а последовательность ((x/R) ) монотонна при каждом фиксированном x ∈ [0, R] и ограничена |(x/R)n | ⩽ 1 ∀n ∈
∈ N, ∀x ∈ [0, R]. По теореме Стокса — Зайделя (п. 14.4) функция s(x) непрерывна на [0, R], в частности, непрерывна слева в точке x = R. Случай, когда степенной ряд сходится в точке x = −R рассматривается аналогичным
образом. 3) Почленное интегрирование степенного ряда
Для любого x из промежутка сходимости степенного ряда
x ∞
0
n=0
∞
an xn+1
an tn dt =
n+1
n=0
(доказать).
(15.4)
284
Глава 15. Степенной ряд
15.3. Дифференцирование степенного ряда
Лемма 15.2
Если lim αn = 1, lim βn = 1 и lim |an | = p, то lim αn |an |βn = p.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Доказательство. Множество A частичных пределов последовательности (|an |) совпадает с множеством B частичных пределов последовательности (αn |an |βn ), поэтому sup{A} = sup{B} ⇒ lim |an | = lim αn |an |βn . n→∞
n→∞
Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда
n
Пусть R = 0 — радиус сходимости степенного ряда ∞
n=0 an x , s(x) —
его сумма, k ∈ N. Тогда
s(k) (x) =
∞
an x n
(k)
=
n=0
∞
n(n − 1) . . . (n − k + 1)an xn−k
∀x ∈ (−R, R).
n=k
Доказательство. Из формулы Коши — Адамара следует, что для каждого r ∈ N радиус сходимости Rr ряда
∞
n(n − 1) . . . (n − r + 1)an xn−r
(15.5)
n=r
равен R. Действительно, используя лемму 15.2, имеем
R = lim |an |1/n = lim (|an |1/n )n/n−r (n(n − 1) . . . (n − r + 1))1/n−r =
n→∞
n→∞
= lim (|an |n(n − 1) . . . (n − r + 1))1/n−r = Rr .
n→∞
∞
Ряд n=1 nan xn−1 сходится локально равномерно на интервале (−R, R). По
следствию из теоремы о почленном дифференцировании функционального
ряда имеем
∞
∞
a n xn =
nan xn−1 ∀x ∈ (−R, R).
(15.6)
n=0
n=1
Применяя формулу (15.6) к ряду
∞
n=1
∞
n=1
nan xn−1
=
∞
n=2
nan xn−1 , получаем
n(n − 1)an xn−2
∀x ∈ (−R, R).
15.4. Композиция степенных рядов
285
Аналогично,
∞
an xn
(k)
=
n=0
∞
n(n − 1) . . . (n − k + 1)an xn−k
∀x ∈ (−R, R),
k ∈ N. n=k
Ряд
f (n) (c)
f (c)
(x − c) + . . . +
(x − c)n + . . .
1!
n!
называют р я д о м Т е й л о р адля функции f (x) в точке x = c.
∞
n
Если s(x) сумма ряда
n=0 an (x − c) , R = 0, то из теоремы о
почленном дифференцировании степенного ряда следует s(c) = a0 , s (c) =
= 1!a1 , . . . , s(n) (c) = n!an , . . . , т. е. степенной ряд с не нулевым радиусом
сходимости является рядом Тейлора для его суммы.
f (c) +
Критерий совпадения степенных рядов
∞
n
n
Суммы двух степенных рядов ∞
n=0 an x и
n=0 bn x совпадают на некотором интервале (−R, R) тогда и только тогда, когда an = bn ∀n ∈ N0 .
Доказательство. Необходимость. Если s(x) =
∞
n=0
an xn =
∞
n=0
bn xn , то
s(n) (0)
s(n) (0)
, bn =
. Поэтому an = bn ∀n ∈ N0 .
an =
n!
n!
Обратное утверждение очевидно. Вывод. Из свойств степенных рядов, установленных в п. 15.2, 15.3, вытекает следующее утверждение: на интервале сходимости образование линейной комбинации степенных рядов, перемножение, интегрирование, дифференцирование степенных рядов и их сравнение выполняются по правилам
для многочленов.
15.4. Композиция степенных рядов
Любая натуральная степень степенного ряда с радиусом сходимости R
является степенным рядом с тем же радиусом сходимости (п. 15.2)
k
∞
∞
∞
k
(2)
(2)
k
2
ak t , s (t) =
ai ak−i tk =
ak t k , a k =
ai ak−i ,
s(t) =
k=0
3
k=0
s (t) =
∞
i=0
i=0
k=0
k
∞
k
(2)
(3) k
(3)
(2)
k
ai ak−i t =
ak t , a k =
ai ak−i , . . . ,
k=0
i=0
k=0
i=0
k=0
i=0
k
∞
∞
k
(m−1)
(m)
(m)
(m−1)
ai
ak−i tk =
a k tk , a k =
ai
ak−i .
sm (t) =
k=0
i=0
286
Глава 15. Степенной ряд
n
∞
∞
k
Выражение
b
a
t
с помощью формальных преобразоваn=0 n
k=0 k
ний можно записать следующим образом:
∞
n
∞
∞
∞
∞
∞
∞
(n)
(n)
k
k
k
=
t =
bn
ak t
=
bn
ak t
bn ak
d k tk .
n=0
n=0
k=0
k=0
k=0
n=0
k=0
∞
(n)
Степенной ряд
tk , где dk = ∞
k=0 dk
n=0 bn ak , называют к о м п о з и ц и е й
∞
∞
n
k
степенных рядов
n=0 bn x и
k=0 ak t .
Теорема о разложении сложной функции в степенной ряд
Пусть функции y = f (x) и x = s(t) разложимы в степенные ряды
f (x) =
∞
bn xn , −ρ < x < ρ,
(15.7)
an tn , −R < t < R,
(15.8)
n=0
s(t) =
∞
n=0
причем
|a0 | < ρ. Тогда существует r, 0 < r < R, такое, что ряд
∞
k , являющийся композицией степенных рядов (15.7) и (15.8), схоd
t
k
k=0
дится на интервале (−r, r), и его сумма равна f (s(t))
f (s(t)) =
∞
n=0
bn
∞
ak t
k
n
k=0
=
∞
d k tk
∀t ∈ (−r, r).
k=0
n
Доказательство. Сумма ряда τ(t) = ∞
n=0 |an |t непрерывна на интервале −R < t < R, причем
τ(0) = |a0 | < ρ. Существует
∞ r, 0 <nr < R, такое,
∞
n (r) сходится. Пусть
|b
|τ
что τ(r) < ρ. Ряд
n=0 n
n=0 |bn |τ (r) = A. Рассмотрим двойной ряд
∞
(n)
|bn ||ak ||t|k .
(15.9)
n,k=0
Частные суммы sij (t) =
j
i n=0 k=0
(n)
|bn ||ak ||t|k ряда (15.9) ограничены |sij (t)|⩽
∀i, j ∈ N0 , ∀t, |t| < r, следовательно, двойной ряд (15.9) при |t| < r является сходящимся. Аналогичным образом показывается сходимость рядов
∞
∞
(n)
(n) k
n=0 |bn ||ak | ∀k ∈ N0 ,
k=0 |ak ||t | ∀n ∈ N0 , ∀t, |t| < r. Но тогда схо∞
(n) k
(n)
∀k ∈ N0 ,
дится двойной ряд ∞
n,k=0 bn ak t так же, как и ряды
n=0 bn ak
∞ (n) k
∀n ∈ N0 , ∀t, |t| < r.
k=0 ak t
⩽A
15.5. Разложение основных элементарных функций
287
Используя теорему о двойном ряде (п. 13.9), имеем
f (x(t)) =
∞
bn
n=0
=
∞
(n)
bn ak t k =
n,k=0
∞
n
=
∞ ∞
n=0
k=0
∞ ∞
k=0
ak t k
(n)
bn a k
(n)
b n a k tk =
k=0
∞
k
t =
d k tk
n=0
∀t, −r < t < r. k=0
15.5. Разложение основных элементарных
функций в степенные ряды
Пусть функция f (x) имеет производные любого порядка на интервале
I и x0 ∈ I. Функцию f (x) на I можно представить по формуле Тейлора
(п. 3.9) в виде
f (x) = f (x0 ) +
f (x0 )
f (n)
(x − x0 ) + . . . +
(x − x0 )n + Rn (x).
1!
n!
Пусть I1 — множество тех x из интервала I, при которых остаточный член
Rn (x) формулы Тейлора стремится к нулю при n → ∞, Rn (x) → 0. Тогда
при каждом x ∈ I1 частная сумма sn (x) ряда
f (x0 ) +
f (x0 )
f (n)
(x − x0 ) + . . . +
(x − x0 )n + . . .
1!
n!
n→∞
(15.10)
сходится к f (x), т. е. функция f (x) разложима в ряд Тейлора (15.10) на
множестве I1 . При x0 = 0 ряд Тейлора часто называют рядом Маклорена.
Найдем разложение основных элементарных функций в степенные ряды.
а) Возьмем разложение функции y = ex по формуле Тейлора
ex = 1 +
xn
x
+ ... +
+ Rn (x).
1!
n!
Для остаточного члена Rn (x) верна оценка
|Rn (x)| ⩽
max{ex , 1} (n+1)
|x|
.
(n + 1)!
При каждом x ∈ (−∞, +∞) имеем Rn (x) → 0. Поэтому
n→∞
ex = 1 +
xn
x
+ ... +
+ ...,
1!
n!
x ∈ (−∞, +∞).
288
Глава 15. Степенной ряд
б) Разложим функции y = sin x, y = cos x по формуле Тейлора
sin x = x −
x3
(−1)n+1 x2n+1
∗
+ ... +
+ R2n+2
(x),
3!
(2n + 1)!
cos x = 1 −
(−1)n x2n
x2
∗∗
+ ... +
+ R2n+1
(x).
2!
(2n)!
|x|2n+2
|x|2n+1
∗∗
, |R2n+1
. Отсюда видим, что
(x)| ⩽
(2n + 2)!
(2n + 1)!
∗
∗∗
при каждом x ∈ (−∞, +∞) выполняется R2n+2 (x) → 0, R2n+1
(x) → 0,
n→∞
n→∞
поэтому
(−1)n+1 x2n+1
x3
+ ... +
+ ...,
sin x = x −
3!
(2n + 1)!
∗
(x)| ⩽
Оценим |R2n+2
cos x = 1 −
(−1)n x2n
x2
+ ... +
+ ...,
2!
(2n)!
x ∈ (−∞, +∞).
в) Разложим функцию y = ln(1 + x) по формуле Тейлора
ln(1 + x) = x −
(−1)n+1 xn
x2
+ ... +
+ Rn (x), −1 < x < +∞.
2
n
Запишем Rn (x) в форме Коши
Rn (x) = (−1)n xn+1
(1 − θ)n
,
(1 + θx)n+1
0 < θ < 1.
Возьмем произвольную точку x ∈ (−1, 1) и оценим
|Rn (x)| ⩽ |x|n+1
n
(1 − θ)n
(1 − θ)n
|x|n+1
n+1
n+1 (1 − θ|x|)
.
⩽
|x|
⩽
|x|
⩽
(1 + θx)n+1
(1 − θ|x|)n+1
(1 − θ|x|)n+1 1 − |x|
Отсюда для x ∈ (−1, 1) имеем Rn (x) → 0. Следовательно,
n→∞
ln(1 + x) = x −
(−1)n+1 xn
x2
+ ... +
+ . . . , −1 < x < +1.
2
n
(15.11)
г) Разложим функцию y = (1 + x)μ по формуле Тейлора с остаточным
членом в форме Коши (−1 < x < +∞)
(1 + x)μ = 1 + μx +
Rn (x) =
μ(μ − 1) 2
μ(μ − 1) · · · (μ − n + 1)xn
x + ... +
+ Rn (x),
2!
n!
1
μ(μ − 1) · · · (μ − n)
(1 − θ)n
xn+1 .
n!
(1 + θx)n+1−μ
15.5. Разложение основных элементарных функций
289
Возьмем произвольную точку x ∈ (−1, 1). Пусть μ = 0. Существует натуральное число k такое, что 1/k ⩽ |μ| < k. Считая, что n > k, оценим
|Rn (x)| ⩽
⩽
|μ(μ − 1) · · · (μ − n)|
1
(1 − θ)n
|x|n+1 ⩽
n!
(1 − θ|x|)n−μ+1
|μ(μ − 1) · · · (μ − n)|
1
(1 − θ|x|)n
|x|n+1 ⩽
n!
(1 − θ|x|)n−μ+1
1
k(k + 1) · · · (k + n)
|x|n+1 ⩽
n!
(1 − θ|x|)−μ+1
⎧
⎨ (n + k)k+1 |x|n+1 (1 + |x|)μ−1 , 1 − μ ⩽ 0,
(n + k)k+1 |x|n+1
⩽
⎩
, 1 − μ > 0.
(1 − |x|)1−μ
⩽
Найдем
(n + k)k+1
1
lim (n + k)k+1 |x|n+1 = |x| = , b > 1 = lim
,
n→∞
n→∞
b
bn+1
(y + k)k+1
(k + 1)(y + k)k
= ... =
=
lim
y→+∞
y→+∞
by+1
by+1 ln b
lim
(k + 1)k · · · 1(y + k)0
= 0.
y→+∞
by+1 lnk+1 b
= lim
Следовательно, для −1 < x < 1 имеем
(1 + x)μ = 1 + μx +
μ(μ − 1) 2
μ(μ − 1) · · · (μ − n + 1)xn
x + ... +
+ ... .
2!
n!
Лемма 15.3
Если функция f (x) является суммой ряда
∞
n=0
an xn на интервале (−R, R),
ряд сходится в точке x = R (x = −R), a функция f (x) непрерывна справа
(слева) в точке x = R (x = −R), то
f (x) =
∞
n=0
на промежутке (−R, R] ([−R, R)).
an xn ,
(15.12)
290
∞
n=0
Глава 15. Степенной ряд
Доказательство для промежутка (−R, R]. Пусть s(x) — сумма ряда
an xn . Тогда f (x) = s(x) для x ∈ (−R, R). Функция s(x) непрерывна на
промежутке (−R, R] (п. 15.2). Теперь имеем
f (R) = lim f (x) = lim s(x) = s(R) =
x→R−0
x→R−0
∞
an R n . n=0
Применяя лемму 15.3 к разложению (15.11), видим, что равенство (15.11)
справедливо при x ∈ (−1, 1]. В частности, из (15.11) при x = 1 имеем
1
1
+ . . . + (−1)n+1 + . . . = ln 2.
2
n
1−
Пример 15.2. Найдем разложение в степенной ряд функции y = arctg x.
1
Так как (arctg x) =
= 1 − x2 + x4 − . . . + (−1)n x2n + . . . , x ∈ (−1, 1),
1 + x2
то отсюда для x ∈ (−1, 1), используя третье свойство степенных рядов
(п. 15.2), имеем
x
arctg x =
(arctg t) dt =
0
∞ x
n=0 0
(−1)n t2n dt =
∞
x2n+1
n=0
2n + 1
(−1)n .
(15.13)
∞ x2n+1
(−1)n сходится в точках x = 1, x = −1, а функция y =
2n
+
1
n=0
= arctg x непрерывна в этих точках, по лемме 15.3 разложение (15.13) имеет
место на отрезке [−1, 1].
Ряд
ГЛАВА 16
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
16.1. Несобственный интеграл первого типа
Рассмотрим скалярную функцию y = f (x), заданную на промежутке
[a, +∞) и интегрируемую по Риману на любом отрезке [a, A], A > a.
Построим функцию
A
f (x)dx,
Φ(A) =
A ∈ [a, ∞).
a
Предел функции Φ(A) при A → ∞ называют н е с о б с т в е н н ы м
и н т е г р а л о м п е р в о г о т и п а (НИ-1) от функции f (x) по проме+∞
жутку [a, +∞) и обозначают
f (x)dx. Таким образом,
a
∞
A
f (x)dx := lim Φ(A) = lim
A→∞
a
f (x)dx.
A→∞
a
Если предел limA→∞ Φ(A) конечен, то несобственный интеграл называют с х о д я щ и м с я, а функцию f (x) — и н т е г р и р у е м о й ( в
н е с о б с т в е н н о м с м ы с л е ) на [a, +∞). В противном случае, если предел limA→∞ Φ(A) либо не существует, либо равен ∞, то интеграл называют
р а с х о д я щ и м с я.
Если f (x) при x ⩾ a неотрицательная и непрерывная функция, то
A
f
(x)dx равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью 0x,
a
прямыми x = a, x = A и графиком функции y = f (x) (п. 6.7). В случае
+∞
сходимости интеграла a f (x)dx его значение естественно принять за площадь неограниченной фигуры, заключенной между осью 0x, прямой x = a
и графиком функции f (x) (рис. 16.1).
292
Глава 16. Несобственные интегралы
Рис. 16.1
Следующие свойства НИ-1 непосредственно вытекают из свойств интеграла Римана и свойств предела функции.
Свойства несобственных интегралов первого типа
+∞
+∞
1. Линейность. Если интегралы a f (x)dx, a g(x)dx сходятся, то
+∞
+∞
+∞
(αf (x) + βg(x))dx = α
f (x)dx + β
g(x)dx,
a
a
α, β ∈ R.
a
+∞
2. Аддитивность. Интеграл b f (x)dx, b > a, называют остатком для
+∞
f (x)dx. Если несобственный интеграл сходится, то сходится любой его
a
остаток. Обратно, если сходится какой-то остаток интеграла, то сходится и
сам интеграл. При этом
+∞
+∞
b
f (x)dx = f (x)dx +
f (x)dx.
a
a
b
3. Монотонность. Если функции f (x) и g(x) интегрируемы на [a, +∞)
и f (x) ⩽ g(x) ∀x ∈ [a, +∞), то
+∞
+∞
f (x)dx ⩽
g(x)dx.
a
a
Отметим, что для несобственных интегралов утверждение, аналогичное
необходимому условию сходимости числового ряда, не имеет места, т. е. из
∞
сходимости интеграла f (x)dx не следует, что f (x) → 0.
a
x→∞
16.1. Несобственный интеграл первого типа
293
2
Пример
= 1, если x ∈ [n −
1, n − 1 + 1/n
= 0,
16.1. f (x)
+∞
)∞ и f (x)
2
2 . Ряд,
если x ∈ n − 1 + 1/n , n , n = 1, 2, . . . , 1 f (x)dx =
1/n
n=1
а следовательно, и интеграл сходятся, но f (x) не стремится к нулю при
x → +∞ (рис. 16.2).
Рис. 16.2
Критерий сходимости НИ-1 от положительной функции
+∞
Для сходимости интеграла a f (x)dx, f (x) ⩾ 0, необходимо и достаA
точно, чтобы функция Φ(A) = a f (x)dx, A ∈ [a, +∞), была ограниченной.
Доказательство. Поскольку функция f (x) принимает неотрицательные значения, то функция Φ(A), A ⩾ a, является монотонно возрастающей.
Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел при A → +∞
тогда и только тогда, когда она ограничена. Признак сравнения для НИ-1
Если
0 ⩽ f (x) ⩽ g(x)
∀x ∈ [a, +∞),
(16.1)
+∞
то из сходимости интеграла
g(x)dx следует сходимость
a
+∞
+∞
f (x)dx, а из расходимости интеграла a f (x)dx следует расa
+∞
ходимость a g(x)dx.
Доказательство. Пусть
A
F (A) =
A
f (x)dx, G(A) =
a
g(x)dx.
a
Из неравенства (16.1) следует 0 ⩽ F (A) ⩽ G(A). Из ограниченности функции
G(A) следует ограниченность F (A), а из неограниченности F (A) следует
неограниченность G(A). Теперь справедливость признака вытекает из критерия сходимости НИ-1 от положительной функции. 294
Глава 16. Несобственные интегралы
Предельный признак сравнения для НИ-1 (f (x) > 0, g(x) > 0)
+∞
+∞
f (x)
= l, 0 < l < ∞, то интегралы a f (x)dx и a g(x)dx
1. Если lim
x→+∞ g(x)
сходятся или расходятся одновременно.
+∞
f (x)
2. Если lim
= 0, то из сходимости интеграла a g(x)dx следует
x→+∞ g(x)
+∞
+∞
сходимость a f (x)dx, а из расходимости интеграла a f (x)dx следу +∞
ет расходимость a g(x)dx.
+∞
f (x)
= ∞, то из расходимости интеграла a g(x)dx сле3. Если lim
x→+∞ g(x)
+∞
+∞
дует расходимость a f (x)dx, а из сходимости интеграла a f (x)dx
+∞
следует сходимость a g(x)dx.
Доказательство. 1. Для ε = l/2, ∃δ(l/2) > 0,
⇒ |f (x)/g(x) − l| ⩽ l/2 ⇒ l/2 ⩽ f (x)/g(x) ⩽ 3l/2 ⇒
∀x ⩾ δ(l/2) ⇒
⇒ lg(x)/2 ⩽ f (x) ⩽ 3lg(x)/2.
(16.2)
Теперь требуемое утверждение следует из неравенств (16.2) и из признака
сравнения для НИ-1.
Аналогично:
2. Для ε = 1, ∃δ(1) > 0, ∀x ⩾ δ(1) ⇒ f (x)/g(x) ⩽ 1 ⇒ f (x) ⩽ g(x).
3. Для ε = 1, ∃δ(1) > 0, ∀x ⩾ δ(1) ⇒ f (x)/g(x) ⩾ 1 ⇒ f (x) ⩾ g(x). Степенной признак для НИ-1 (f (x) ⩾ 0)
M
1. Если f (x) ∼
, M − const, 0 < M < ∞, то при α > 1 интеграл
x→+∞ xα
+∞
f (x)dx сходится, при α ⩽ 1 расходится.
a
1 +∞
2. Если f (x) = o α , α > 1, то интеграл a f (x)dx сходится.
x→∞
x
+∞ M
Доказательство. Поскольку интеграл 1
dx сходится при α > 1 и
xα
расходится при α ⩽ 1, то степенной признак следует из предельного признака
сравнения для НИ-1. Критерий Коши для НИ-1
+∞
Для сходимости интеграла a f (x)dx необходимо и достаточно, чтобы
A
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀A , A ∈ [a, +∞) : A ⩾ δ(ε), A ⩾ δ(ε) ⇒ f (x)dx ⩽ ε.
A
16.1. Несобственный интеграл первого типа
295
Доказательство. Согласно критерию Коши существования предела
функции (п. 2.3), предел lim F (A) существует тогда и только тогда, когда
A→+∞
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀A , A ⩾ δ(ε) ⇒ |F (A ) − F (A )| ⩽ ε.
Отсюда и из соотношений
A
A
A
|F (A ) − F (A )| = f (x)dx − f (x)dx = f (x)dx ⩽ ε
a
A
a
вытекает требуемое утверждение. Лемма 16.1
Если интеграл
сходящимся.
+∞
a
|f (x)|dx сходится, то
+∞
a
f (x)dx также является
Доказательство. Согласно критерию Коши для НИ-1,
A
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀A , A ⩾ δ(ε) ⇒ |f (x)|dx ⩽ ε.
A
A
A
A
Так как f (x)dx ⩽ |f (x)|dx, то f (x)dx ⩽ ε для A , A ⩾ δ(ε).
A
A
A
+∞
По критерию Коши для НИ-1 a f (x)dx сходится. +∞
Интеграл a f (x)dx называют а б с о л ю т н о с х о д я щ и м с я, если схо +∞
дится интеграл a |f (x)|dx. Из леммы 16.1 следует, что абсолютная схо +∞
димость интеграла влечет его сходимость. Интеграл a f (x)dx называ +∞
ют у с л о в н о с х о д я щ и м с я, если интеграл a |f (x)|dx расходится, а
+∞
f (x)dx является сходящимся.
a
+∞
sin x
dx сходится аб2
0 1−x+x
солютно.
требуемое утверждение вытекает из неравенства
sin x Действительно,
1
⩽
∀x ∈ [0, +∞), признака сравнения для НИ-1
1 − x + x2
1 − x + x2
+∞
1
и сходимости интеграла
dx, который сходится по степенному
2
0 1−x+x
1
1
∼
.
признаку
1 − x + x2 x→+∞ x2
Пример 16.2. Покажем, что интеграл
296
Глава 16. Несобственные интегралы
16.2. Признаки Дирихле и Абеля сходимости
несобственного интеграла первого типа
Обобщенная теорема о среднем для интеграла Римана
Если функции f (x) и g(x) непрерывны на отрезке с концами a и b, функция
g(x) не меняет знак на этом отрезке, то существует точка x = c на
этом отрезке такая, что
b
b
f (x)g(x)dx = f (c)
a
g(x)dx.
(16.3)
a
Доказательство для случая g(x) ⩾ 0, a ⩽ b. Если g(x) ≡ 0, то равенство
(16.3) имеет место с любой точкой c ∈ [a, b]. Поэтому в дальнейшем считаем,
b
что g(x) отлична от нуля, хотя бы в одной точке, тогда a g(x)dx > 0 (доказать). Пусть M = max f (x), l = min f (x). Возьмем последовательность
x∈[a,b]
интегральных сумм
x∈[a,b]
σm =
nm
f ((ξk )m )g((ξk )m )(Δxk )m
k=1
с диаметрами δm → 0. Поскольку
l
nm
g((ξk )m )(Δxk )m ⩽ σm ⩽ M
k=1
nm
g((ξk )m )(Δxk )m ,
k=1
то переходя к пределу при m → ∞, получаем
b
b
g(x)dx ⩽
l
a
b
f (x)g(x)dx ⩽ M
a
Отсюда
l⩽
b
g(x)dx
g(x)dx.
a
−1 b
a
f (x)g(x)dx ⩽ M.
a
По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции (п. 2.13) существует точка c ∈ [a, b] такая, что
b
f (c) =
g(x)dx
a
−1 b
a
f (x)g(x)dx. 16.2. Признаки Дирихле и Абеля
297
Лемма 16.2
Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], а функция g(x) непрерывно дифференцируема и монотонна на [a, b]. Тогда существует точка ξ ∈ [a, b]
такая, что
b
f (x)g(x)dx = (F (b) − F (ξ))g(b) + (F (ξ) − F (a))g(a),
a
где F (x) =
x
a f (t)dt.
Доказательство. Используя формулу интегрирования по частям и обобщенную теорему о среднем для интеграла Римана, имеем
b
f (x)g(x)dx = [f (x)dx = dv, v = F (x), g(x) = u, g (x)dx = du] =
a
b
= F (x)g(x) −
b
b
F (x)g (x)dx = F (b)g(b) − F (a)g(a) − F (ξ)
a
a
g (x)dx =
a
= F (b)g(b) − F (a)g(a) − F (ξ)(g(b) − g(a)) =
= (F (b) − F (ξ))g(b) + (F (ξ) − F (a))g(a),
где ξ — некоторая точка из отрезка [a, b]. Признак Дирихле для НИ-1
Пусть функция f (x) непрерывна, а g(x) непрерывно дифференцируема и
монотонна на промежутке
[a, ∞). Если:
x
1) функция F (x) = a f (t)dt ограничена на [a, ∞), т. е. |F (x)| ⩽ M −
− const ∀x ⩾ a;
2) g(x) → 0,
x→+∞
+∞
то интеграл a f (x)g(x)dx сходится.
Доказательство. Из первого условия признака Дирихле и из леммы 16.2
следует, что ∀A , A ∈ [a, ∞)
A
f
(x)g(x)dx
= (F (A ) − F (ξ))g(A ) + (F (ξ) − F (A ))g(A )⩽
A
⩽2M (|g(A )| + |g(A )|),
(16.4)
298
Глава 16. Несобственные интегралы
где ξ — некоторая точка из отрезка с концами A , A . Поскольку
g(x) → 0, то ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x ⩾ δ(ε) ⇒ |g(x)| ⩽ ε. Отсюда и из нераx→+∞
венства (16.4) вытекает
A
f (x)g(x)dx ⩽ 4M ε,
если A , A ⩾ δ(ε).
A
Согласно критерию Коши для НИ-1, интеграл
+∞
a
f (x)g(x)dx сходится. Признак Абеля для НИ-1
Пусть функция f (x) непрерывна, а g(x) непрерывно дифференцируема и
монотонна на
промежутке [a, +∞). Если:
+∞
1) интеграл a f (x)dx сходится;
2) функция g(x)
ограничена на [a, +∞), т. е. |g(x)| ⩽ M − const ∀x ⩾ a,
+∞
то интеграл a f (x)g(x)dx сходится.
+∞
Доказательство. Из критерия Коши сходимости интеграла a f (x)dx
следует
A2
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀A1 , A2 ⩾ δ(ε) ⇒ f (x)dx ⩽ ε.
A1
Отсюда для любых A , A ⩾ δ(ε), для любой точки ξ из отрезка с концами
A , A , имеем
(16.5)
|F (ξ) − F (A )| ⩽ ε, |F (A ) − F (ξ)| ⩽ ε.
Используя лемму 16.2 и неравенства (16.5), получаем оценку
A
f (x)g(x)dx ⩽ |(F (A ) − F (ξ))g(A ) + (F (ξ) − F (A ))g(A )| ⩽ 2M ε.
A
Согласно критерию Коши для НИ-1, интеграл
+∞
a
f (x)g(x)dx сходится. 16.3. Несобственный интеграл второго типа
Рассмотрим функцию f (x), заданную на промежутке [a, b). Предположим, точка b такова, что на любом отрезке [a, b − η], 0 < η < b − a, функция
интегрируема по Риману, но не интегрируема на отрезке [a, b]. Точку x = b с
такими свойствами называют о с о б о й т о ч к о й функции f. Если x = b —
особая точка, то для любого η, 0 < η < b − a, функция f (x) неограничена
на промежутке [b − η, b) (если f (x) была бы ограниченной на некотором
16.3. Несобственный интеграл второго типа
299
промежутке [b − η, b), то она была бы интегрируемой по Риману на [a, b]
(п. 6.10).
Предел
b−η
lim
f (x)dx
(16.6)
η→+0
a
называют н е с о б с т в е н н ы м и н т е г р а л о м в т о р о г о т и п а
(НИ-2) от функции f (x) на промежутке [a, b) (рис. 16.3) и обозначают
b
a f (x)dx.
Рис. 16.3
Если предел (16.6) конечен, то несобственный интеграл второго типа называют с х о д я щ и м с я, а функцию f — интегрируемой (в несобственном
смысле) на [a, b). В противном случае говорят, что интеграл р а с х о д и т с я.
Пусть теперь функция интегрируема по Риману на любом отрезке [a +
+ η, b], 0 < η < b − a, но не интегрируема на [a, b]. В этом случае говорят, что
точка x = a — особая. Несобственный интеграл второго типа на промежутке
(a, b] определяют равенством
b
b
f (x)dx := lim
a
η→+0
a+η
f (x)dx.
Ввиду полной аналогии теории НИ-2 с теорией НИ-1 мы не будем приводить всех теорем, касающихся НИ-2, сформулируем лишь несколько основных утверждений, предполагая, что x = b — особая точка.
1. Для сходимости интеграла от неотрицательной функции f (x) ⩾ 0 необ b−η
ходимо и достаточно, чтобы функция F (η) = a f (x)dx была ограниченной
на промежутке (0, b − a] (доказать).
300
b
Глава 16. Несобственные интегралы
2. Если
lim f (x)/g(x) = l, 0 < l < ∞, то интегралы
x→b−0
b
a f (x)dx
и
сходятся или расходятся одновременно (доказать).
3. Степенной признак.
M
1. Если f (x) ∼
, M −const, 0 < M < ∞, то при α < 1 интеграл
x→∞ (b − x)α
b
a f (x)dx сходится, при α ⩾ 1 расходится.
b
1
), α < 1, то интеграл a f (x)dx сходится (до2. Если f (x) = o(
α
x→∞
(b − x)
казать).
b
b
4. Если интеграл a |f (x)|dx сходится, то a f (x)dx также является сходящимся (доказать).
Рассмотрим функцию f (x), имеющую конечное число особых точек на
промежутке |a, b|, a ⩾ −∞, b ⩽ +∞. Отнесем +∞ к особым точкам, если
b = +∞, также как и −∞, если a = −∞.
Разобьем промежуток |a, b| на интервалы
a g(x)dx
(α1 , β1 ), (α2 , β2 ), . . . , (αr , βr ), α1 = a, β1 = α2 , . . . , βr = b,
таким образом, чтобы на каждом из них функция f (x) имела одну особую
b
точку, являющуюся одним из концов интервала. Интеграл a f (x)dx назыβ
вают с х о д я щ и м с я, если сходятся все интегралы αii f (x)dx, i = 1, . . . , r,
и р а с х о д я щ и м с я, если хотя
b бы один из этих интегралов расходится. В
случае сходимости интеграла a f (x)dx его значением считают величину
β1
βr
f (x)dx + · · · +
α1
f (x)dx
(16.7)
αr
(легко видеть, что cходимость интеграла (16.7) и его значение не зависят от
выбора точек αi , βi ) .
16.4. Методы вычисления
несобственных интегралов
b
Рассмотрим интеграл a f (x)dx, предполагая, что b — единственная особая точка, которая может быть +∞, а f (x) — непрерывная на [a, b) функция.
1. Формула Ньютона — Лейбница для НИ
Пусть F (x) — первообразная для f (x) на промежутке [a, b). Выражение
= F (b − 0) − F (a), где F (b − 0) = lim F (x) (если b = +∞, то
F (x) |b−0
a
x→b−0
F (b − 0) := F (+∞) = lim F (x)) называют двойной подстановкой.
x→+∞
16.4. Методы вычисления несобственных интегралов
301
b
Интеграл a f (x)dx сходится тогда и только тогда, когда существует конечный предел F (b − 0), и в случае сходимости интеграла имеет место формула Ньютона — Лейбница
b
b−0
f (x)dx = F (x) a .
a
Доказательство для случая b < +∞. Пусть 0 < η < b − a. По формуле
Ньютона — Лейбница для интеграла Римана
b−η
b−η
f (x)dx = F (x) a .
a
Переходя к пределу при η → +0, получаем
b
b−η
b−0
f (x)dx = lim
f (x)dx = F (x) a . η→+0
a
a
2. Формула замены переменной для НИ
Пусть функция x = ϕ(t) непрерывно дифференцируема на промежутке
b
[α, β), строго возрастает и ϕ(α) = a, lim ϕ(t) = b. Интеграл a f (x)dx
t→β−0
β
сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл α f (ϕ(t))ϕ (t)dt и
в случае сходимости одного из интегралов имеет место следующая формула
замены переменной для НИ
b
β
f (x)dx =
f (ϕ(t))ϕ (t)dt.
(16.8)
α
a
Доказательство. Пусть τ ∈ [α, β[, ϕ(τ) = ξ. Тогда ϕ(τ) → b. По
формуле замены переменной в интеграле Римана
ξ
τ
f (x)dx =
a
f (ϕ(t))ϕ (t)dt.
τ→β−0
(16.9)
α
Если τ → β − 0, то ξ → b. Переходя к пределу при τ → β − 0 в равенстве
(16.9) получаем требуемую формулу (16.8). 302
Глава 16. Несобственные интегралы
3. Формула интегрирования по частям для НИ
Пусть функции u(x), v(x) непрерывно дифференцируемы на [a, b). Если
существует конечный предел
lim u(x)v(x) = u(b − 0)v(b − 0)
x→b−0
(16.10)
b
b
и сходится один из интегралов a v(x)u (x)dx, a u(x)v (x)dx, то сходится
другой интеграл и справедлива следующая формула интегрирования по частям для НИ
b
b−0
u(x)v (x)dx = u(x)v(x) −
b
a
a
v(x)u (x)dx.
a
Доказательство. Пусть τ ∈ [α, β). По формуле интегрирования по частям для интеграла Римана
τ
τ
u(x)v (x)dx = u(x)v(x) −
τ
a
a
v(x)u (x)dx.
(16.11)
a
Переходя в (16.11) к пределу при τ → β − 0, приходим к требуемому
утверждению. ГЛАВА 17
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
17.1. Равномерная сходимость функции
двух переменных к предельной функции
Рассмотрим скалярную функцию двух переменных f (x, y) , определенную на множестве [a, b) × Y, Y ⊂ R (b может быть +∞) . Предположим,
что при каждом фиксированном y ∈ Y функция f (x, y) является интегрируемой на [a, b) (интегрируемой по Риману, если b не является особой точкой,
если же b — особая точка, то интегрируемой в несобственном смысле).
На множестве Y определена функция
b
f (x, y)dx,
F (y) =
a
которую называют и н т е г р а л о м, з а в и с я щ и м о т п а р а м е т р а.
Эта глава посвящена изучению свойств функции F (y). Если возможно
b
вычислить интеграл a f (x, y)dx, например, как в случае
1
x 1 arctg y
dx
1
= F (y), y = 0,
= arctg =
2
2
y
y 0
y
0 x +y
то исследование функции F (y) может быть проведено методами главы 4.
Если же вычисление интеграла невозможно или формула для F (y) сложна,
то для исследования функции F (y) используют теоремы этой главы. В дальнейшем важную роль играет введенное ниже понятие равномерной сходимости функции двух переменных к предельной функции, обобщающее понятие
равномерной сходимости функциональной последовательности.
Пусть Ψ(x, y) функция двух переменных, определенная на множестве
X × Y, X ⊂ R, Y ⊂ R и пусть y0 — предельная точка для Y.
Предположим, что при каждом фиксированном x ∈ X существует преlim Ψ(x, y), x ∈ X, называют
дел
lim Ψ(x, y). Функцию ψ(x) :=
y→y0 ,y∈Y
y→y0 ,y∈Y
304
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
предельной для отображения Ψ(x, y) при стремлении y к y0 вдоль множества Y (в дальнейшем для краткости слова вдоль множества Y опускаем).
При этом говорят, что функция Ψ(x, y) с х о д и т с я п о т о ч е ч н о на множестве X к ψ(x) при y → y0 . Соотношение ψ(x) = lim Ψ(x, y), x ∈ X, с
помощью « ε - δ » записывается следующим образом:
y→y0
∀x ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ(x, ε) > 0, ∀y ∈ Y :
0 < |y − y0 | ⩽ δ(x, ε) ⇒ |Ψ(x, y) − ψ(x)| ⩽ ε.
Если же имеет место более сильное свойство
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀y ∈ Y : 0 < |y − y0 | ⩽ δ(ε),
∀x ∈ X ⇒ |Ψ(x, y) − ψ(x)| ⩽ ε,
(17.1)
то говорят, что функция Ψ(x, y) с х о д и т с я р а в н о м е р н о относительно
x ∈ X при y → y0 к предельной функции ψ(x) и обозначают
X
Ψ(x, y) ⇒ ψ(x).
y→y0
Это определение сформулировано для случая y0 ∈ R, если же y0 = +∞
или y0 = −∞, то в определении надо сделать одно изменение — неравенство
0 < |y − y0 | ⩽ δ(ε) следует заменить соответственно на неравенство вида
y ⩾ δ(ε) или y ⩽ −δ(ε).
Критерий равномерной сходимости ф2п к предельной функции
Функция Ψ(x, y) сходится равномерно относительно x ∈ X при y → y0 к
предельной функции ψ(x) тогда и только тогда, когда
lim sup |Ψ(x, y) − ψ(x)| = 0.
y→y0 x∈X
Доказательство. Необходимость. Из (17.1) следует
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀y ∈ Y : 0 < |y − y0 | ⩽ δ(ε) ⇒ sup |Ψ(x, y) − ψ(x)| ⩽ ε,
x∈X
т. е. lim sup |Ψ(x, y) − ψ(x)| = 0.
y→y0 x∈X
Для доказательства достаточности надо все рассуждения провести в обратном порядке. 17.1. Равномерная сходимость
305
Критерий Коши равномерной сходимости ф2п к предельной
функции
Функция Ψ(x, y) сходится равномерно относительно x ∈ X при y →
→ y0 к некоторой предельной функции тогда и только тогда, когда ∀ε >
> 0, ∃δ(ε) > 0, ∀y , y ∈ Y : 0 < |y − y0 | ⩽ δ(ε), 0 < |y − y0 | ⩽ δ(ε), ∀x ∈
∈ X ⇒ |Ψ(x, y ) − Ψ(x, y )| ⩽ ε (доказать).
Пример 17.1. Рассмотрим функцию Ψ(x, y) = ye−xy , X = [0, ∞), Y =
= (0, 1), y0 = 0. Найдем предельную функцию ψ(x) = lim ye−xy = 0.
y→+0
[0,∞)
Используя критерий равномерной сходимости, покажем, что ye−xy ⇒ 0.
Действительно,
= 0] = y,
sup ye−xy = [(ye−xy )x = 0, ye−xy |x=0 = y,
x∈[0,∞)
lim
sup
y→+0 x∈[0,∞)
ye−xy =
y→+0
lim ye−xy =
x→+∞
lim y = 0.
y→+0
Достаточное условие равномерной сходимости ф2п к предельной
функции
Если функция Ψ(x, y) непрерывна на прямоугольнике [a, b] × [c, d] и y0 ∈
∈ [c, d], то
[a,b]
Ψ(x, y) ⇒ Ψ(x, y0 ).
y→y0
Доказательство. По теореме Кантора (п. 7.3) функция Ψ(x, y) равномерно непрерывна на компакте [a, b] × [c, d], т. е.
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x , x ∈ [a, b] : 0 < |x − x | ⩽ δ(ε),
∀y , y ∈ [c, d] : 0 < |y − y | ⩽ δ(ε) ⇒ |Ψ(x , y ) − Ψ(x , y )| ⩽ ε.
Возьмем x = x = x ∈ [a, b], y = y, y = y0 , 0 < |y − y0 | ⩽ δ(ε). Тогда
[a,b]
|Ψ(x, y) − Ψ(x, y0 )| ⩽ ε, т. е. Ψ(x, y) ⇒ Ψ(x, y0 ). y→y0
Теорема о непрерывности предельной функции
Если при каждом фиксированном y ∈ Y функция Ψ(x, y) непрерывна по x
[a,b]
на отрезке [a, b] и Ψ(x, y) ⇒ ψ(x), то функция ψ(x) непрерывна на [a, b].
y→y0
Доказательство. Возьмем последовательность yn → y0 ,
n→∞
yn ∈ Y,
yn = y0 . Покажем, что функциональная последовательность Ψ(x, yn ) сходится равномерно по x ∈ [a, b] к ψ(x).
306
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
[a,b]
Из условия Ψ(x, y) ⇒ ψ(x) имеем ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0,
y→y0
∀y ∈ Y : 0 < |y − y0 | ⩽ δ(ε), ∀x ∈ [a, b] ⇒ |Ψ(x, y) − ψ(x)| ⩽ ε.
(17.2)
Поскольку yn → y0 , то
∃ν(δ(ε)) > 0, ∀n ⩾ ν(δ(ε)) ⇒ 0 < |yn − y0 | ⩽ δ(ε).
(17.3)
Из (17.2)—(17.3) вытекает
∀ε > 0, ∃ν(δ(ε)) > 0, ∀n ⩾ ν(δ(ε)), ∀x ∈ [a, b] ⇒ |Ψ(x, yn ) − ψ(x)| ⩽ ε.
[a,b]
т. е. Ψ(x, yn ) ⇒ ψ(x). Из свойства 1 функциональных последовательностей
yn →y0
(п. 14.7) следует, что функция ψ(x) непрерывна на [a, b]. 17.2. Свойства интеграла, зависящего от параметра
1. Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла
Если при каждом фиксированном y ∈ Y функция f (x, y) непрерывна по x
[a,b]
на отрезке [a, b] и f (x, y) ⇒ ϕ(x), то
y→y0
b
b
f (x, y)dx =
lim
y→y0
a
b
ϕ(x)dx.
lim f (x, y)dx =
y→y0
a
(17.4)
a
Доказательство. По теореме о непрерывности предельной функции,
функция ϕ(x) непрерывна, а следовательно, интегрируема на [a, b]. По[a,b]
скольку f (x, y) ⇒ ϕ(x), то
y→y0
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀y ∈ Y : 0 < |y − y0 | ⩽ δ(ε), ∀x ∈ [a, b] ⇒ |f (x, y) − ϕ(x)| ⩽ ε.
Тогда при 0 < |y − y0 | ⩽ δ(ε) имеем
b
b
b
f (x, y)dx − ϕ(x)dx ⩽ |f (x, y) − ϕ(x)|dx ⩽ ε(b − a),
a
a
что доказывает равенство (17.4). a
17.2. Свойства интеграла, зависящего от параметра
307
2. Теорема о непрерывности интеграла, зависящего от параметра
Если функция f (x, y) непрерывна на прямоугольнике [a, b] × [c, d], то функb
ция F (y) = a f (x, y)dx непрерывна на [c, d].
Доказательство. Возьмем произвольную точку y0 ∈ [c, d]. Из достаточного условия равномерной сходимости ф2п к предельной функции следует,
[a,b]
что f (x, y) ⇒ f (x, y0 ). Используя теорему о предельном переходе под знаy→y0
ком интеграла (все условия этой теоремы выполнены), получаем
b
lim F (y) = lim
y→y0
b
f (x, y)dx =
y→y0
a
b
lim f (x, y)dx =
f (x, y0 )dx = F (y0 ),
y→y0
a
a
что доказывает непрерывность функции F (y) в точке y0 . 3. Теорема о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра
Пусть:
1) функция f (x, y) непрерывна по x при каждом фиксированном y ∈ [c, d];
2) частная производная fy (x, y) непрерывна на [a, b] × [c, d].
Тогда имеет место следующая формула Лейбница:
F (y) =
b
f (x, y)dx
a
b
=
fy (x, y)dx
∀y ∈ [c, d].
a
Доказательство. Возьмем произвольную точку y0 ∈ [c, d]. Пусть y0 +
+ Δy ∈ [c, d]. Тогда
F (y0 + Δy) − F (y0 )
=
F (y) y0 = lim
Δy→0
Δy
b
f (x, y0 + Δy) − f (x, y0 )
dx.
Δy
(17.5)
f (x, y0 + Δy) − f (x, y0 ) [a,b] ⇒ fy (x, y0 ).
Δy
y→y0
(17.6)
= lim
Δy→0
a
Покажем, что
По формуле Лагранжа (п. 3.5)
f (x, y0 + Δy) − f (x, y0 )
= fy (x, y0 + θΔy), 0 < θ < 1, θ = θ(x, Δy).
Δy
(17.7)
308
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
Из теоремы Кантора следует, что функция fy (x, y) равномерно непрерывна
на [a, b] × [c, d], поэтому
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x , x ∈ [a, b] : 0 < |x − x | ⩽ δ(ε),
∀y , y ∈ [c, d] : 0 < |y − y | ⩽ δ(ε) ⇒ |fy (x , y ) − fy (x , y )| ⩽ ε.
Положим здесь x = x = x ∈ [a, b], y = y0 , y = y0 + θΔy получим, считая,
что |Δy| ⩽ δ(ε) и учитывая (17.7):
f (x, y + Δy) − f (x, y )
0
0
− fy (x, y0 ) ⩽ ε,
Δy
т. е. соотношение (17.6) имеет место. Интеграл в равенстве (17.5) удовлетворяет всем условиям теоремы о переходе к пределу под знаком интеграла.
Воспользовавшись этой теоремой, имеем
F (y) b
y0
=
f (x, y0 + Δy) − f (x, y0 )
dx =
lim
Δy→0
Δy
a
b
fy (x, y)dx. a
4. Теорема о дифференцировании интеграла с пределами интегрирования, зависящими от параметра
Пусть функции f (x, y) и fy (x, y) непрерывны на прямоугольнике [a, b] ×
× [c, d], а отображения x = α(y), x = β(y), y ∈ [c, d], непрерывно дифференцируемы, и их графики принадлежат прямоугольнику [a, b] × [c, d].
Тогда
β(y)
f (x, y)dx
β(y)
fy (x, y)dx + f (β(y), y)β (y) − f (α(y), y)α (y), (17.8)
=
α(y)
α(y)
y ∈ [c, d].
Доказательство. Пусть y0 ∈ [c, d]. Интеграл
в виде
β(y)
β(y
0)
f (x, y)dx =
α(y)
β(y)
α(y) f (x, y)dx представим
β(y)
f (x, y)dx −
f (x, y)dx +
α(y0 )
α(y)
β(y0 )
f (x, y)dx.
(17.9)
α(y0 )
Производная первого интеграла из равенства (17.9) по теореме о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, равна
β(y
β(y
0)
0)
f (x, y)dx
α(y0 )
fy (x, y)dx ∀y ∈ [c, d].
=
α(y0 )
(17.10)
17.2. Свойства интеграла, зависящего от параметра
309
Используя теорему о среднем, второй интеграл из правой части равенства
(17.9) можно представить в виде
β(y)
f (x, y)dx = f (ξ, y)(β(y) − β(y0 )),
β(y0 )
где ξ — точка, лежащая между β(y0 ) и β(y). Отсюда
β(y)
f (x, y)dx =
y0
β(y0 )
1
f (ξ, y)(β(y) − β(y0 )) = f (β(y0 ), y0 )β (y0 ).
y→y0 y − y0
Аналогично
α(y)
−
f (x, y)dx = −f (α(y0 ), y0 )α (y0 ).
= lim
(17.11)
(17.12)
y0
α(y0 )
Объединяя формулы (17.10)—(17.12), убеждаемся в справедливости формулы
(17.8). Пример 17.2. Вычислим интеграл
1
F (b) =
0
xb − x
dx,
ln x
1 ⩽ b ⩽ 2.
xb − x
не определена в точке
ln x
x = 0, поэтому сразу применить формулу Лейбница для вычисления F (b)
xb − x
мы не можем. Поскольку существует конечный предел lim
= 0, то
x→+0 ln x
можно построить функцию
⎧
⎨ xb − x
, x ∈ (0, 1],
g(x, b) =
⎩ ln x0, x = 0,
Воспользуемся формулой Лейбница. Функция
которая уже непрерывна на прямоугольнике [0, 1] × [1, 2] вместе с частной
производной gb (x, b) = xb . Поскольку (п. 6.10)
1
0
xb − x
dx =
ln x
1
g(x, b)dx,
0
310
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
1
то можно вместо исходного интеграла вычислить интеграл 0 g(x, b)dx.
Функция g(x, b) уже удовлетворяет условиям теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра. По формуле Лейбница
1
xb dx =
F (b) =
0
1
.
b+1
Отсюда F (b) = ln(b + 1) + C. Так как при b = 1 интеграл F (b) равен нулю,
то 0 = F (1) = ln 2 + C, C = − ln 2.
Таким образом,
b+1
F (b) = ln
.
2
5. Теорема о перестановке порядка интегрирования
Если функция f (x, y) непрерывна на прямоугольнике [a, b] × [c, d], то
d
b
dy
c
b
f (x, y)dx =
a
d
dx
a
f (x, y)dy.
c
Доказательство вытекает из леммы о двойном интеграле по прямоугольнику (п. 8.4)
d
f (x, y)dxdy =
[a,b]×[c,d]
b
dy
c
b
f (x, y)dx =
a
d
f (x, y)dy. dx
a
c
17.3. Равномерная сходимость несобственного
интеграла, зависящего от параметра
Рассмотрим функцию двух переменных f (x, y), определенную на множестве [a, +∞) × Y, Y ⊂R, такую, что при каждом фиксированном y ∈ Y
+∞
несобственный интеграл a f (x, y)dx является сходящимся.
Функцию
+∞
F (y) =
f (x, y)dx
a
называют н е с о б с т в е н н ы м и н т е г р а л о м п е р в о г о т и п а, з а в и с ящ и м о т п а р а м е т р а (НИЗОП-1).
17.3. Равномерная сходимость несобственного интеграла
311
При изучении несобственных интегралов, зависящих от параметра, важную роль играет особый вид сходимости — равномерная сходимость, которую
мы сейчас рассмотрим.
Введем функцию
A
Φ(A, y) = f (x, y)dx.
a
b
Сходимость интеграла a f (x, y)dx на множестве Y означает, что при каждом фиксированном y ∈ Y выполняется соотношение Φ(A, y) → F (y).
A→+∞
Если
Y
⇒
Φ(A, y)
т. е.
или
F (y),
A→+∞
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀A ⩾ δ(ε), ∀y ∈ Y ⇒ |Φ(A, y) − F (y)| ⩽ ε,
+∞
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀A ⩾ δ(ε), ∀y ∈ Y ⇒ f (x, y)dx ⩽ ε,
A
то интеграл
+∞
f (x, y)dx называют равномерно сходящимся относи-
a
тельно y ∈ Y.
Следующие два критерия сразу вытекают из соответствующих критериев
равномерной сходимости ф2п к предельной функции.
Критерий равномерной сходимости НИЗОП-1
+∞
Интеграл a f (x, y)dx сходится равномерно относительно y ∈ Y тогда
и только тогда, когда
+∞
lim sup f (x, y)dx = 0.
A→+∞ y∈Y
A
Критерий Коши равномерной сходимости НИЗОП-1
+∞
Интеграл a f (x, y)dx сходится равномерно относительно y ∈ Y тогда
и только тогда, когда
A
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀A , A : A ⩾ δ(ε), A ⩾ δ(ε), ∀y ∈ Y ⇒ f (x, y)dx ⩽ ε.
A
312
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости НИЗОП-1
Если
(17.13)
|f (x, y)| ⩽ g(x) ∀x ∈ [a, +∞), ∀y ∈ Y,
+∞
+∞
и интеграл a g(x)dx сходится, то НИЗОП-1 a f (x, y)dx сходится
равномерно относительно y ∈ Y.
+∞Доказательство. Согласно критерию Коши сходимости интеграла
g(x)dx, имеем
a
A
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀A , A ∈ [a, +∞) : A ⩾ δ(ε), A ⩾ δ(ε) ⇒ g(x)dx ⩽ ε.
A
Отсюда и из неравенства (17.13) вытекает
A
A
∀A , A ⩾ δ(ε), ∀y ∈ Y ⇒ f (x, y)dx ⩽ g(x)dx ⩽ ε.
A
A
По
+∞ критерию Коши равномерной сходимости НИЗОП-1,
f (x, y)dx сходится равномерно относительно y ∈ Y. a
интеграл
Пример 17.3. Рассмотрим интеграл
+∞
1
dx
x2 + y 2
,
y ∈ R.
+∞ −2
1
1
⩽
∀x
∈
[1,
∞),
∀y
∈
R,
и
интеграл
x dx схо1
x2 + y 2
x2
дится, то по признаку Вейерштрасса рассматриваемый интеграл сходится
равномерно относительно y ∈ R.
+∞
Пример 17.4. Интеграл 0 ye−xy dx, y ∈ (0, +∞) сходится неравномерно. Действительно,
+∞
sup
ye−xy dx = lim
sup e−Ay = 1 = 0.
lim
Поскольку
A→+∞ y∈(0,+∞) A
A→+∞ y∈(0,+∞)
По критерию равномерной сходимости рассматриваемый интеграл сходится
неравномерно относительно y ∈ (0, +∞).
Аналогично лемме 16.2 устанавливается следующее утверждение.
17.3. Равномерная сходимость несобственного интеграла
313
Лемма 17.1
Пусть при каждом фиксированном y ∈ Y функции f (x, y), g(x, y), gx (x, y)
непрерывны по x на отрезке [a, b], кроме того, gx (x, y) = 0 ∀(x, y) ∈ [a, b]×
× Y. Тогда существует точка ξ ∈ [a, b], ξ = ξ(y), такая, что
b
f (x, y)g(x, y)dx = (F (b, y) − F (ξ, y))g(b, y) + (F (ξ, y) − F (a, y))g(a, y),
a
где F (x, y) =
x
a f (t, y)dt.
Признак Дирихле равномерной сходимости НИЗОП-1
Пусть при каждом фиксированном y ∈ Y функции f (x, y), g(x, y), gx (x, y)
непрерывны по x на отрезке [a, b], кроме того gx (x, y) = 0 ∀(x, y) ∈ [a, b]×
× Y.
Если:
x
1) функция F (x, y) = a f (t, y)dt ограничена на [a, +∞) × Y, т. е. |F (x, y)|⩽
⩽M − const ∀(x, y) ∈ [a, +∞) × Y ;
Y
2) g(x, y) ⇒ 0,
x→+∞
+∞
то интеграл a f (x, y)g(x, y)dx сходится равномерно относительно
y ∈ Y.
Доказательство. Из леммы 17.1 следует, что ∀A , A ∈ [a, ∞), ∀y ∈ Y,
выполняется неравенство
A
f (x, y)g(x, y)dx ⩽ |F (A , y) − F (ξ, y)||g(A , y)|+
A
+|F (ξ, y) − F (A , y)||g(A , y)| ⩽ 2M (|g(A , y)| + |g(A , y)|),
где ξ — некоторая точка из отрезка с концами A , A .
Y
Поскольку g(x, y) ⇒ 0, то
x→+∞
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀x ⩾ δ(ε), ∀y ∈ Y ⇒ |g(x, y)| ⩽ ε.
Отсюда и из неравенства (17.14) вытекает
A
f (x, y)g(x, y)dx ⩽ 4M ε ∀A , A ⩾ δ(ε).
A
(17.14)
314
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
Согласно
критерию Коши равномерной сходимости НИЗОП-1, интеграл
+∞
f
(x,
y)g(x,
y)dx сходится равномерно относительно y ∈ Y. a
Признак Абеля равномерной сходимости НИЗОП-1
Пусть при каждом фиксированном y ∈ Y функции f (x, y), g(x, y), gx (x, y)
непрерывны по x на отрезке [a, b], кроме того gx (x, y) = 0 ∀(x, y) ∈ [a, b]×
× Y.
Если:
+∞
1) интеграл a f (x, y)dx сходится равномерно относительно y ∈ Y ;
2) функция g(x, y) ограничена на [a, +∞) × Y, т. е. |g(x, y) ⩽ M −
− const ∀(x, y) ∈ [a, +∞) × Y,
+∞
f (x, y)g(x, y)dx сходится равномерно относительно y ∈
то интеграл
a
∈ Y.
Из критерия Коши равномерной сходимости интеграДоказательство.
+∞
ла a f (x, y)dx следует
A2
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀A1 , A2 ⩾ δ(ε), ∀y ∈ Y ⇒ f (x, y)dx ⩽ ε.
A1
Отсюда для любых A , A ⩾ δ(ε), для любой точки ξ из отрезка с концами
A , A и для любого y ∈ Y имеем
|F (ξ, y) − F (A , y)| ⩽ ε, |F (A , y) − F (ξ, y)| ⩽ ε.
(17.15)
Используя лемму 17.1 и неравенства (17.15), получаем оценку
A
f (x, y)g(x, y)dx ⩽ |F (A , y) − F (ξ, y)||g(A , y)|+
A
+|F (ξ, y) − F (A , y)||g(A , y)| ⩽ 2M ε.
Согласно
критерию Коши равномерной сходимости НИЗОП-1, интеграл
+∞
f
(x,
y)g(x,
y)dx сходится равномерно относительно y ∈ Y. a
17.4. Свойства несобственного интеграла
первого типа, зависящего от параметра
1. Переход к пределу под знаком НИЗОП-1
Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла (п. 17.2), как показывает следующий пример, не позволяет, вообще говоря, осуществлять предельный переход под знаком несобственного интеграла, зависящего от параметра.
17.4. Свойства несобственного интеграла
315
Пример 17.5. Рассмотрим функциональную последовательность
n
n
e− 2x2 , x > 0,
3
fn (x) =
x
0, x = 0.
Ее члены fn (x) непрерывны по x ∈ [0, ∞) при каждом фиксированном
n ∈ N. Поскольку
n
n n −3n
n
sup fn (x) = (fn (x))x = 4 e− 2x2 − 3 e− 2x2 3 = 0, x = n/3,
n→+∞ x∈[0,∞)
x
x
x
√
√
3 3 −3/2
3 3 −3/2
, fn (0) = 0, lim fn (x) = 0 = lim √ e
= 0,
fn ( n/3) = √ e
x→+∞
n→+∞
n
n
lim
то согласно критерию равномерной сходимости ФП, последовательность схо[0,+∞)
дится равномерно fn (x) ⇒ 0. Все условия теоремы о переходе к пределу
n→∞
под знаком интеграла выполнены, но
+∞
0
+∞
lim fn (x)dx = 0 = lim
fn (x)dx = 1.
n→∞
n→∞
0
Требуются дополнительные условия, кроме условий теоремы о переходе к пределу под знаком интеграла, гарантирующие возможность перехода
к пределу под знаком НИЗОП-1. Этим дополнительным условием является
равномерная сходимость НИЗОП-1.
Теорема о переходе к пределу под знаком НИЗОП-1
Пусть:
1) функция f (x, y) непрерывна по x ∈ [a, +∞) при каждом фиксированном
y ∈Y;
[a,A]
2) для любого A > a f (x, y) ⇒ ϕ(x);
y→y0
+∞
3) интеграл a f (x, y) сходится равномерно относительно y ∈ Y.
Тогда
+∞
+∞
+∞
f (x, y)dx =
lim f (x, y)dx =
ϕ(x)dx.
lim
y→y0
y→y0
a
a
(17.16)
a
Доказательство. По теореме о непрерывности предельной функции
функция ϕ(x) непрерывна на [a, +∞), следовательно, интегрируема на любом отрезке [A , A ] ⊂ [a, +∞).
316
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
Из критерия Коши равномерной сходимости интеграла
следует
+∞
a
f (x, y)dx
A
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀A , A : A ⩾ δ(ε), A ⩾ δ(ε), ∀y ∈ Y ⇒ f (x, y)dx ⩽ ε.
A
Для интеграла
A
A
f (x, y)dx выполнены все условия теоремы о переходе к
пределу под знаком интеграла (п. 17.2), поэтому
A
A
f (x, y)dx = ϕ(x)dx ⩽ ε.
lim
y→y0
A
A
На основании критерия Коши сходимости НИ-1 (п. 16.1) интеграл
+∞
ϕ(x)dx
a
сходится.
Для любого A > a имеем
+∞
+∞
A
A
f
(x,
y)dx
−
ϕ(x)dx
⩽
f
(x,
y)dx
−
ϕ(x)dx
+
a
a
a
a
+∞
+∞
f (x, y)dx + ϕ(x)dx.
+
A
(17.17)
A
Возьмем произвольное ε > 0. Существует δ(ε) > 0 такое, что ∀A ⩾ δ(ε), ∀y ∈
∈ Y, второе и третье слагаемые в правой части неравенства (17.17) меньше ε.
Зафиксируем A большее δ(ε). Из теоремы о переходе к пределу под знаком
интеграла следует, что
A
A
∃ν(ε) > 0, ∀y ∈ Y : 0 < |y − y0 | ⩽ ν(ε) ⇒ f (x, y)dx − ϕ(x)dx ⩽ ε.
a
a
Таким образом,
+∞
+∞
f (x, y)dx −
ϕ(x)dx ⩽ 3ε,
∃ν(ε) > 0, ∀y ∈ Y : 0 < |y − y0 | ⩽ ν(ε) ⇒ a
что приводит к требуемой формуле (17.16). a
17.4. Свойства несобственного интеграла
317
2. Теорема о непрерывности НИЗОП-1
Пусть функция
f (x, y) непрерывна на множестве [a, +∞) × [c, d] и ин +∞
теграл a f (x, y)dx сходится равномерно относительно y ∈ [c, d]. Тогда
+∞
функция F (y) = a f (x, y)dx непрерывна на [c, d].
Доказательство. Для любых A > a и y0 ∈ [c, d] из достаточного
условия равномерной сходимости ф2п к предельной функции следует, что
[a,A]
f (x, y) ⇒ f (x, y0 ). По теореме о переходе к пределу под знаком НИЗОП-1
y→y0
+∞
+∞
+∞
lim F (y) = lim
f (x, y)dx =
lim f (x, y)dx =
f (x, y0 )dx = F (y0 ),
y→y0
y→y0
y→y0
a
a
a
что доказывает непрерывность функции F (y) в точке y0 . 3. Теорема о перестановке порядка интегрирования в повторном
интеграле с одним несобственным интегралом
Пусть
функция f (x, y) непрерывна на множестве [a, +∞) × [c, d] и инте +∞
грал a f (x, y)dx сходится равномерно относительно y ∈ [c, d]. Тогда
d
+∞
+∞
d
dy
f (x, y)dx =
dx f (x, y)dy.
c
a
a
c
Доказательство. Возьмем A > a. Используя теорему о перестановке
порядка интегрирования (п. 17.2), получаем
d
c
+∞
+∞
d A
d
dy
f (x, y)dx = dy f (x, y)dx + dy
f (x, y)dx =
a
c
A
=
d
dx
a
a
c
d
f (x, y)dy +
c
c
A
+∞
dy
f (x, y)dx.
A
На основании равномерной сходимости интеграла
+∞
a
f (x, y)dx имеем
+∞
f (x, y)dx ⩽ ε.
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀A ⩾ δ(ε), ∀y ∈ Y ⇒ A
(17.18)
318
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
d
+∞
Поэтому dy
f (x, y)dx ⩽ ε(d − c) ∀A ⩾ δ(ε), что означает
c
A
d
∞
dy
lim
A→∞
c
f (x, y)dx = 0.
A
Отсюда и из равенства (17.18) вытекает
d
+∞
+∞
A d
d
dy
f (x, y)dx = lim
dx f (x, y)dy =
dx f (x, y)dy. A→∞
c
a
a
c
a
c
4. Теорема о дифференцировании НИЗОП-1
Пусть:
1) функция f (x, y) непрерывна по x ∈ [a, +∞) при каждом фиксированном
y ∈ [c, d];
2) функция fy (x, y) непрерывна на множестве [a, +∞) × [c, d];
+∞
3) при каждом фиксированном y ∈ [c, d] интеграл a f (x, y)dx сходится;
+∞ 4) интеграл a fy (x, y)dx сходится равномерно относительно y ∈ [c, d].
Тогда справедлива следующая формула Лейбница для НИЗОП-1:
d
dy
+∞
+∞
f (x, y)dx =
fy (x, y)dx,
a
y ∈ |c, d|.
a
Доказательство. Для произвольного y ∈ [c, d] по теореме о перестановке порядка интегрирования с одним несобственным интегралом имеем
y
c
+∞
+∞
y
dy
fy (x, y)dx =
dx fy (x, y)dy =
a
a
c
+∞
+∞
f (x, y)dx −
f (x, c)dx.
=
a
(17.19)
a
Из теоремы о непрерывности НИЗОП-1 следует непрерывность функции
+∞
L(y) =
fy (x, y)dx,
a
y ∈ [c, d],
17.4. Свойства несобственного интеграла
319
что позволяет применить теорему Барроу (п. 6.6) к интегралу
d
dy
y
L(t)dt
y
c L(t)dt
+∞
= L(y) =
fy (x, y)dx.
c
(17.20)
a
Дифференцируя соотношение (17.19) и используя равенство (17.20), получаем
+∞
+∞
d
f (x, y)dx =
fy (x, y)dx. dy
a
a
5. Локально равномерная сходимость НИЗОП-1
+∞
Интеграл
f (x, y)dx
называют
локально
равномерно
a
с х о д я щ и м с я о т н о с и т е л ь н о y ∈ |c, d|, если для любого отрезка
[α, β] ⊂ |c, d| этот интеграл сходится равномерно относительно y ∈ [α, β].
Следствие из теоремы о непрерывности НИЗОП-1
Пусть:
1) функция f(x, y) непрерывна на множестве [a, +∞) × |c, d|;
+∞
2) интеграл a f (x, y)dx сходится локально равномерно относительно
y ∈ |c, d|.
+∞
Тогда функция F (y) = a f (x, y)dx непрерывна на |c, d| (доказать).
Следствие из теоремы о дифференцировании НИЗОП-1
Пусть:
1) функция f (x, y) непрерывна по x ∈ [a, +∞) при каждом фиксированном
y ∈ |c, d|;
2) функция fy (x, y) непрерывна на множестве [a, +∞) × |c, d|;
+∞
3) при каждом фиксированном y ∈ |c, d| интеграл a f (x, y)dx сходится;
+∞
4) интеграл a fy (x, y)dx сходится локально равномерно относительно
y ∈ |c, d|.
Тогда справедлива следующая формула Лейбница для НИЗОП-1:
∞
f (x, y)dx
a
y
∞
=
a
fy (x, y)dx,
y ∈ |c, d|
(доказать).
320
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
6. Теорема о перестановке порядка интегрирования в повторном
интеграле с двумя несобственными интегралами
Пусть:
1) функция f(x, y) непрерывна на множестве [a, +∞) × [c, +∞);
+∞
2) интеграл a |f (x, y)|dx сходится локально равномерно относительно
y ∈ (c, +∞); +∞
3) интеграл a |f (x, y)|dy сходится локально равномерно относительно
x ∈ (a, +∞);
+∞
+∞
+∞
+∞
4) один из интегралов
dy
|f (x, y)|dx,
dx
|f (x, y)|dy сходится.
c
a
a
c
Тогда сходится другой интеграл из условия 4) и
+∞
+∞
+∞
+∞
dy
f (x, y)dx =
dx
f (x, y)dy.
c
a
a
c
Первый этап: f (x, y) ⩾ 0. Пусть сходится интеграл
+∞Доказательство.
+∞
dx c f (x, y)dy = I1 . Возьмем произвольный отрезок [c , d ] ∈ (c, ∞).
a
d +∞
Обозначим J(c , d ) = c dy a f (x, y)dx. По теореме о перестановке порядка интегрирования в повторном интеграле с одним несобственным интегралом имеем
d +∞
+∞ d
dy
f (x, y)dx =
dx
f (x, y)dy ⩽
J(c , d ) =
c
a
+∞
+∞
⩽
dx
c
a
(17.21)
f (x, y)dy = I1 .
a
c
Последнее неравенство вытекает из неотрицательности функции f (x, y). При
каждом фиксированном c функция J(c , d ) является ограниченной и возрастающей относительно d ∈ [c , +∞), следовательно, существует предел
+∞
+∞
, d ) = K(c ) =
lim
J(c
dy
f (x, y)dx ⩽ I1 . Функция K(c ) являет
d →∞
c
a
ся убывающей и ограниченной, поэтому существует предел
=
+∞
c
dy
+∞
lim K(c ) =
c →c+0
f (x, y)dx = I2 , причем I2 ⩽ I1 . Повторяя те же рассуждения,
a
используя только в качестве начального интеграл
+∞
c
dy
+∞
a
f (x, y)dx, полу-
чим I1 ⩽ I2 . Таким образом, I1 = I2 .
Второй этап: f (x, y) — произвольная функция. Представим f в виде f =
f + −f − , где f + = max{f, 0}, f − = max{−f, 0} — неотрицательные функции.
17.5. Несобственный интеграл второго типа
321
При выполнении условий теоремы функции f + , f − также удовлетворяют
этим условиям. Как было показано на первом этапе для f + , f − допустима
перестановка порядка интегрирования, но тогда эта операция допустима и
для функции f. 17.5. Несобственный интеграл второго типа,
зависящий от параметра
Пусть функция f (x, y) определена на множестве [a, b)×Y, Y ⊂ R, где b —
b
особая точка для интеграла a f (x, y)dx, хотя бы при некоторых значениях
параметра y ∈ Y, и пусть при каждом фиксированном y ∈ Y этот интеграл
сходится.
Функцию
b
F (y) =
f (x, y)dx
a
называют н е с о б с т в е н н ы м и н т е г р а л о м в т о р о г о т и п а (НИЗОП-2),
зависящим от параметра.
Введем функцию
b−η
f (x, y)dx.
Φ(η, y) =
b
a
на множестве
Сходимость интеграла
a f (x, y)dx
Φ(η, y) → F (y) при каждом фиксированном y ∈ Y.
Y
означает, что
η→+0
Y
Если Φ(η, y) ⇒ F (y), т. е.
η→+0
b
f (x, y)dx ⩽ ε,
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, ∀η ∈ (0, b − a] : 0 < η ⩽ δ(ε), ∀y ∈ Y ⇒ b−η
b
то интеграл
называют р а в н о м е р н о с х о д я щ и м с я
a f (x, y) dx
о т н о с и т е л ь н о y ∈ Y.
Свойства НИЗОП-2 и их доказательства аналогичны свойствам НИЗОП-1.
Сформулируем лишь те теоремы о свойствах НИЗОП-2, которые используются в дальнейшем.
Признак Вейерштрасса для НИЗОП-2
Если
|f (x, y)| ⩽ g(x) ∀x ∈ [a, b), ∀y ∈ Y,
b
и интеграл a g(x)dx сходится, то интеграл, зависящий от параметра
b
a f (x, y)dx, сходится равномерно относительно y ∈ Y (доказать).
322
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
Теорема о переходе к пределу под знаком НИЗОП-2
Пусть:
1) функция f (x, y) непрерывна по x ∈ [a, b) при каждом фиксированном
y ∈Y;
[a,b−η]
2) для любого η : 0 < η ⩽ b − a, f (x, y) ⇒ ϕ(x);
y→y0
b
3) интеграл a f (x, y) сходится равномерно относительно y ∈ Y.
Тогда
b
b
b
lim
f (x, y)dx =
lim f (x, y)dx = ϕ(x)dx
y→y0
y→y0
a
a
a
(доказать).
b
Интеграл
называют
локально
равномерно
a f (x, y)dx
с х о д я щ и м с я относительно y ∈ |c, d|, если для любого отрезка [α, β] ∈
∈ |c, d| этот интеграл сходится равномерно относительно y ∈ [α, β].
Теорема о непрерывности НИЗОП-2
Пусть функция f (x, y) непрерывна на множестве [a, b) × |c, d| и интеграл
b
локально равномерно относительно y ∈ |c, d|. Тогда
a f (x, y)dx сходится
b
функция F (y) = a f (x, y)dx непрерывна на |c, d| (доказать).
Теорема о дифференцировании НИЗОП-2
Пусть:
1) функция f (x, y) непрерывна по x ∈ [a, b) при каждом фиксированном
y ∈ |c, d|;
2) функция fy (x, y) непрерывна на множестве [a, b) × |c, d|;
b
3) при каждом фиксированном y ∈ |c, d| интеграл f (x, y)dx сходится;
4) интеграл
b
a
a
fy (x, y)dx сходится локально равномерно относительно y ∈
∈ |c, d|.
Тогда справедлива следующая формула Лейбница для НИЗОП-2:
d
dy
b
b
f (x, y)dx =
a
(доказать).
a
fy (x, y)dx,
y ∈ |c, d|
17.6. Интеграл Дирихле
323
17.6. Интеграл Дирихле
Установленные выше свойства интегралов, зависящих от параметра, позволяют вычислить многие важные для приложений интегралы, вычисление
которых с помощью других методов невозможно.
Интеграл
+∞
π
sin x
dx =
(17.22)
x
2
0
называют и н т е г р а л о м Д и р и х л е. Для его вычисления рассмотрим более
общий интеграл
+∞
sin x
F (a) =
dx, a ⩾ 0.
e−ax
(17.23)
x
0
sin x
в точке x = 0, считая, что ее значение в этой
x
точке равно 1. После такого доопределения интеграл F (a) не меняется, а
sin x
становится непрерывной на промежутке [0, +∞). Проверим,
функция
x
что интеграл (17.23) удовлетворяет условиям признака Абеля равномерной
+∞
sin x
dx сходится по признасходимости НИЗОП-1 (п. 17.4): 1) интеграл
x
0
ку Дирихле (п. 16.2); 2) функция e−ax ограничена на множестве [0, +∞) ×
×[0, +∞), |eax | ⩽ 1. Интеграл (17.23) сходится равномерно относительно
a ∈ [0, +∞) по признаку Абеля. По следствию из теоремы о непрерывности НИЗОП-1 (п. 17.4) функция F (a) непрерывна на промежутке [0, +∞).
Поэтому
(17.24)
lim F (a) = F (0).
Доопределим функцию
a→+0
Интеграл (17.23) при a > 0 удовлетворяет условиям следствия из теоремы о
дифференцировании НИЗОП-1 (п. 17.4). Все условия этого следствия, кроме
локально равномерной сходимости интеграла
+∞
∞
−ax sin x
dx = − e−ax sin xdx
e
x a
0
0
относительно a > 0, установлены выше. Локально равномерная сходимость этого интеграла вытекает из признака
Вейерштрасса (п. 17.4), т. к.
+∞
|e−ax sin x| ⩽ e−αx , если a ∈ [α, β] ⊂ (0, +∞), 0 e−αx dx = 1/α. По правилу
324
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
Лейбница для НИЗОП-1 имеем
+∞
F (a) =
e−ax sin xdx = −
0
1
,
1 + a2
a > 0.
1
da = −arctg a + C, a > 0, где C — некоторая
1 + a2
постоянная. Найдем эту постоянную. Поскольку
Отсюда F (a) = −
+∞
1
|F (a)| ⩽
e−ax dx = ,
a
0
то
lim |F (a)| = 0. Поэтому −arctg a + C
a→+∞
→ 0. Отсюда C = π/2. Таким
a→+∞
образом, F (a) = −arctg a + π/2, a > 0. Окончательно, отсюда и из (17.24)
имеем
+∞
sin x
dx = lim − arctg a + π/2 = π/2.
F (0) =
a→+0
x
0
+∞
sin ax
π
sign a. Дейx
2
0
ствительно, если a = 0, то G(0) = 0, если a < 0, то с помощью замены
+∞
− sin y
−ax = y получаем G(a) =
dy = −π/2. Аналогично, G(a) = π/2,
y
0
если a > 0.
Замечание 17.1. Покажем, что G(a) =
dx =
17.7. Интегралы Лапласа
И н т е г р а л а м и Л а п л а с а называют следующие два интеграла:
+∞
I(a) =
0
+∞
J(a) =
0
cos ax
π
dx = e−a ,
2
1+x
2
a ⩾ 0;
x sin ax
π
dx = e−a ,
2
1+x
2
a > 0.
Подынтегральные функции в интегралах Лапласа непрерывны на множестве [0, +∞) × [a, +∞). Первый интеграл сходится равномерно относительно a ∈ [0, +∞) по признаку Вейерштрасса, и, следовательно, по теореме о
17.7. Интегралы Лапласа
325
непрерывности НИЗОП-1 функция I(a) непрерывна при a ⩾ 0. Второй интеграл сходится локально равномерно относительно a ∈ (0, +∞) (доказать).
По формуле Лейбница для НИЗОП-1 (п. 17.4) при a > 0 имеем
I (a) = −J(a).
(17.25)
Прибавим к (17.25) почленно равенство
+∞
π
=
2
0
sin ax
dx,
x
a > 0,
получим
π
I (a) + =
2
+∞
0
sin ax x sin ax −
dx =
x
1 + x2
+∞
0
sin ax
dx.
x(1 + x2 )
Применяя формулу Лейбница для НИЗОП-1 к последнему интегралу (проверить, что формула Лейбница применима), имеем
+∞
I (a) =
0
cos ax
dx = I(a), a > 0.
1 + x2
(17.26)
Таким образом, функция I(a) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка (17.26). Общее решение уравнения (17.26)
C1 ea +C2 e−a , где C1 , C2 — произвольные постоянные. Функция I(a) является частным решением этого дифференциального уравнения, следовательно,
I(a) = A1 ea + A2 e−a ,
(17.27)
где A1 , A2 — некоторые постоянные. Найдем эти постоянные. Поскольку
функция I(a) ограничена
+∞
|I(a)| ⩽
0
dx
π
= ,
1 + x2
2
то в формуле (17.27) A1 = 0. Из равенства I(0) = π/2 следует, что A2 = π/2.
Таким образом,
+∞
I(a) =
0
cos ax
π
dx = e−a , a ⩾ 0;
2
1+x
2
+∞
J(a) =
0
x sin ax
π
dx = e−a , a > 0.
2
1+x
2
326
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
Замечание 17.2. Следующие два интеграла также называют интегралами Лапласа:
+∞
0
cos ax
dx = [x = kt, k > 0] =
k 2 + x2
1
=
k
+∞
0
+∞
0
+∞
0
cos akt
kdt =
k 2 + k 2 t2
cos akt
π −ka
e , a ⩾ 0, k > 0;
dt =
2
1+t
2k
x sin ax
π
dx = e−ka , a > 0, k > 0.
2
2
k +x
2
17.8. В-функция
НИЗОП-2 вида
1
xa−1 (1 − x)b−1 dx
B(a, b) =
0
называют В-ф у н к ц и е й.
Свойства В-функции
1) В-функция определена при a > 0, b > 0.
Действительно, интеграл в определении В-функции имеет две особые точки x = 0, x = 1 :
1/2
1
a−1
b−1
x (1 − x) dx +
xa−1 (1 − x)b−1 dx = I1 + I2 ;
B(a, b) =
0
1/2
I1 : xa−1 (1 − x)b−1 ∼
1
x→+0 x1−a
,
при 1 − a < 1, a > 0 интеграл сходится, при a ⩽ 0 расходится;
I2 : xa−1 (1 − x)b−1
1
,
x→1−0 (1 − x)1−b
∼
при 1 − b < 1, b > 0 интеграл сходится, при b ⩽ 0 расходится. Таким образом,
оба интеграла I1 и I2 сходятся лишь при a > 0 и b > 0.
17.8. В-функция
327
2) Представление В-функции через НИЗОП-1
+∞
B(a, b) =
0
ta−1
dt.
(1 + t)a+b−1
Действительно,
t
=
B(a, b) = x =
1+t
+∞
0
+∞
=
0
1
t a−1 t b−1
dt =
1−
1+t
1+t
(1 + t)2
ta−1
dt.
(1 + t)a+b−1
3) Формула понижения для В-функции B(a + 1, b) =
aB(a, b)
.
a+b
1
xa (1 − x)b−1 dx = xa = u, du = axa−1 dx, dv =
B(a + 1, b) =
0
= (1 − x)
b−1
1
a
(1 − x)b =
dx, v =
−b
b
1
xa−1 (1 − x)b dx =
0
= xa−1 (1 − x)b = (1 − x)b−1 (xa−1 − xa ) = (1 − x)b−1 xa−1 − (1 − x)b−1 xa =
a
a
aB(a, b)
B(a, b) − B(a + 1, b) ⇒ B(a + 1, b) =
.
b
b
a+b
4) В-функция симметрична относительно a и b B(a, b) = B(b, a).
Действительно, с помощью замены переменной x = 1 − t, получаем
1
1
b−1
a−1
x (1 − x) dx =
ta−1 (1 − t)b−1 dx = B(a, b).
B(b, a) =
=
0
0
5) Формула дополнения для В-функции
B(a, 1 − a) =
π
,
sin aπ
0 < a < 1.
Доказательство.
+∞
B(a, 1 − a) =
0
xa−1
dx =
(1 + x)
1
0
xa−1
dx +
(1 + x)
+∞
1
xa−1
dx = J1 (a) + J2 (a).
(1 + x)
328
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
При каждом фиксированном n ∈ N
1
xa−1
J1 (a) =
n
k=0
0
n 1
1
=
(−1)k+1 xn+1 dx =
(1 + x)
(−1)k xk +
k k+a−1
(−1) x
(−1)k+1 xn+a
dx =
(1 + x)
dx +
k=0 0
0
n
=
(−1)k
k=0
1
+
k+a
1
0
(−1)k+1 xn+a
dx.
(1 + x)
1 (−1)k+1 xn+a 1
1
dx ⩽ xn+a dx =
→ 0, то
Поскольку (1 + x)
n + a − 1 n→∞
0
0
J1 (a) =
∞
1
,
k+a
(−1)k
k=0
1
1
1
J2 (a) =
= t, x = , dx = − 2 dt =
x
t
t
= J1 (1 − a) =
∞
(−1)k
k=0
B(a, 1 − a) =
1
+
a
1
0
t−a
dt =
(1 + t)
1
=
k−a+1
∞
(−1)k (
k=1
∞
1
0
(−1)k
k=1
t(1−a)+1
dt =
(1 + t)
1
,
a−k
1
1
+
).
a+k a−k
Теперь воспользуемся следующим разложением функции 1/sin t, которое
будет получено в п. 18.6,
1
1
1 1 = +
+
,
(−1)k
sin t
t
t + πk t − πk
∞
−π < t < π.
k=1
Полагая в последнем равенстве t = πa, имеем
1
1
1
1
=
+
+
.
(−1)k
sin πa
πa
πa + πk πa − πk
∞
k=1
Таким образом,
B(a, 1 − a) =
π
,
sin aπ
0 < a < 1. 17.9. Г-функция
329
17.9. Г-функция
НИЗОП-1 вида
+∞
xa−1 e−x dx = Γ(a)
0
называют Г-ф у н к ц и е й.
Свойства Г-функции
1) Г-функция определена
при a > 0.
+∞
Действительно, интеграл 0 xa−1 e−x dx имеет две особые точки x =
= 0, x = ∞ :
1
1
K1 = xa−1 e−x dx, xa−1 e−x ∼
,
1−a
x→+0 x
0
если 1 − a < 1, a > 0, то по степенному признаку для НИ-2 интеграл K1
сходится, если же a ⩽ 0, то интеграл расходится;
∞
K2 =
xa−1 e−x dx,
xa−1 e−x = o
x→∞
1
1
x2
,
по степенному признаку для НИ-1 интеграл K2 сходится при любом a. Таким образом, оба интеграла сходятся лишь при a > 0.
2) Г-функция имеет производные всех порядков.
Доказательство. Представим функцию Γ(a) в виде
1
x
Γ(a) =
a−1 −x
0
e
+∞
dx +
xa−1 e−x dx = K1 (a) + K2 (a),
1
f (x, a) = xa−1 e−x , fa (x, a) = xa−1 e−x ln x,
1
x
0
a−1 −x
e
+∞
ln xdx = K3 (a),
xa−1 e−x ln xdx = K4 (a)
1
и воспользуемся теоремой о дифференцировании НИЗОП-2 и следствием из
теоремы о дифференцировании НИЗОП-1. Проверим, что условия этих теорем выполняются. Возьмем произвольный отрезок [α, β] ⊂ (0, +∞). Интегралы K1 (a), K3 (a) являются равномерно сходящимися относительно a ∈
∈ [α, β] по признаку Вейерштрасса для НИЗОП-2 (мажоранты соответственно xα−1 , xα−1 | ln x|).
330
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
Интегралы K2 (a), K4 (a) сходятся равномерно относительно a ∈ [α, β]
по признаку Вейерштрасса для НИЗОП-1 (мажоранты xβ−1 , xβ−1 ln x соответственно). По правилу Лейбница
+∞
xa−1 e−x ln xdx ∀a > 0.
Γ (a) =
0
Аналогично убеждаемся, что
+∞
+∞
a−1 −x 2
(n)
Γ (a) =
x e ln xdx, . . . , Γ (a) =
xa−1 e−x lnn xdx ∀a > 0. 0
0
3) Формула понижения для Г-функции Γ(a + 1) = a Γ(a).
Действительно,
+∞
xa −x
Γ(a) =
, e = u, du = −e−x dx =
xa−1 e−x dx = xa−1 dx = dv, v =
a
0
1
=
a
+∞
+∞
1
xa e−x dx + xa e−x = Γ(a + 1).
a
0
0
4) График Г-функции.
Вторая производная Γ -функции принимает положительные значения
Γ (a) > 0 ∀a > 0, следовательно, функция является строго выпуклой. Так
как Γ(1) = Γ(2) = 1, то по теореме Ролля между 1 и 2 лежит стационарная
точка Γ -функции, Γ (c) = 0, которая является точкой глобального минимума, причем Γ(c) > 0. На интервале (0, c) Γ -функция строго убывает, а на
(c, +∞) строго возрастает и
lim Γ(a) = lim
a→+0
a→+0
Γ(a + 1)
= +∞, lim Γ(a) = +∞
a→+∞
a
(Γ(a) ⩾ n! при a ⩾ n + 1) . График Γ -функции представлен на рисунке.
17.9. Г-функция
331
График Г-функции
5) Связь между В- и Г-функциями B(a, b) =
Γ(a)Γ(b)
.
Γ(a + b)
Доказательство проведем в два этапа.
+∞
Первый этап: a > 1, b > 0. В интеграле Γ(a) = 0 xa−1 e−x dx сделаем
замену x = ty, t > 0, получим
+∞
ta y a−1 e−ty dy,
Γ(a) =
0
Γ(a)
=
ta
+∞
y a−1 e−ty dy.
(17.28)
0
В формуле (17.28) заменим t на 1 + t, а a на a + b
Γ(a + b)
=
(1 + t)a+b
+∞
y a+b−1 e−(1+t)y dy.
(17.29)
0
Умножим обе части равенства (17.29) на ta−1 и проинтегрируем по t от 0
до +∞
+∞
Γ(a + b)
0
ta−1
dt =
(1 + t)a+b
+∞
+∞
a−1
t dt
y a+b−1 e−(1+t)y dy.
0
(17.30)
0
В формуле (17.30) выражение слева равно Γ(a + b) B(a, b), справа же, меняя
332
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
порядок интегрирования, получаем
+∞
+∞
+∞
a+b−1 −y
a−1 −ty
y
e dy t e dt = Γ(a) y b−1 e−y dy = Γ(a)Γ(b).
Γ(a + b)B(a, b) =
0
0
0
Чтобы показать, что замена порядка интегрирования в формуле (17.30) возможна, достаточно проверить, что выполнены условия теоремы о перестановке порядка интегрирования в повторном интеграле с двумя несобственными
интегралами (п. 17.4):
а) функция y a+b−1 e−y ta−1 e−ty = f (t, y) непрерывна и не отрицательна на
множестве [0, ∞)× [0, ∞);
∞
б) интеграл 0 f (t, y)dt по признаку Вейерштрасса сходится локально
равномерно относительно y ∈ (0, +∞). Действительно, ∀[α, β] ⊂ (0, +∞)
место неравенство y a+b−1 e−y ta−1 e−ty ⩽ βa+b−1 e−α ta−1 e−tα , а интеграл
имеет
+∞ a−1 −tα
t e dt сходится;
0
∞
в) интеграл 0 f (t, y)dy по признаку Вейерштрасса сходится локально равномерно относительно t ∈ (0, +∞). Действительно, ∀[c, d] ⊂ (0, +∞)
имеет
место неравенство y a+b−1 e−y ta−1 e−ty ⩽ da−1 e−y y a+b−1 e−cy , а интеграл
+∞ a+b−1
y
e−y(c+1) dy сходится;
0
+∞
a−1 +∞
a+b−1 −(1+t)y
t dt
y
e
dy = Γ(a + b)B(a, b), то интеграл
г) так как
0
0
слева сходится.
Второй этап: 0 < a ⩽ 1, b > 0. Как было показано на первом этапе,
B(a + 1, b) =
aΓ(a)Γ(b)
Γ(a + 1)Γ(b)
=
.
Γ(a + b + 1)
(a + b)Γ(a + b)
Используя формулу понижения для B -функции
B(a + 1, b) =
a
B(a, b)
(a + b)
Γ(a)Γ(b)
.
Γ(a + b)
6) Формула дополнения для Г-функции
из равенства (17.31), получаем B(a, b) =
Γ(a)Γ(1 − a) =
π
,
sin aπ
0 < a < 1.
Действительно,
Γ(a)Γ(1 − a)
π
= B(a)B(1 − a) =
= Γ(a)Γ(1 − a).
sin aπ
Γ(1)
(17.31)
17.9. Г-функция
6) Интеграл Эйлера — Пуассона
+∞
333
2
e−x dx =
0
√
π
.
2
Действительно, используя замену x2 = t, имеем
+∞
e
−x2
0
B
1
dx =
2
+∞
1 1
,
t−1/2 e−t dt = Γ
2
2
0
1 1
1 1 √
,
= π = Γ2
, Γ
= π.
2 2
2
2
Пример 17.6. К В-функции приводится следующий, часто встречающийся при решении задач, интеграл
π
2
0
dt =
sina−1 x cosb−1 xdx = sin x = t, x = arcsin x, dx = √
1 − x2
1
=
t
a−1
2 b−1
(1 − t )
2 −1/2
(1 − t )
0
1
1
= t2 = y, dt = y −1/2 dy =
2
2
1
dt =
ta−1 (1 − t2 )b/2−1 dt =
0
1
y a/2−1/2 (1 − y)b/2−1/2 dy =
0
1 a + 1 b + 1
B
,
.
2
2
2
ГЛАВА 18
РЯД ФУРЬЕ
18.1. Ряд Фурье по ортогональной
системе функций
Рассмотрим систему
ϕ1 (x), . . . , ϕn (x), . . .
(18.1)
непрерывных на отрезке [a, b] функций. Говорят, что система функций (18.1)
b
о р т о г о н а л ь н а на [a, b], если a ϕn (x)ϕm (x)dx = 0 ∀n, m ∈ N, n = m.
b
Если, кроме того, a ϕ2m (x)dx = 1 ∀m ∈ N, то систему (18.1) называют
о р т о н о р м и р о в а н н о й на [a, b].
Приведем примеры наиболее часто используемых ортогональных систем.
1) Тригонометрическая система
1
, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . .
2
ортогональна на [−π, π] :
π
−π
1
cos nx cos mxdx =
2
π
−π
π
(cos(n + m)x + cos(n − m)x)dx = 0, m = n,
−π
1
sin nx cos mxdx =
2
π
(sin(n + m)x + sin(n − m)x)dx = 0,
−π
π
sin nx sin mxdx = 0, m = n.
−π
18.1. Ряд Фурье
Поскольку
π
π
2
sin nxdx =
−π
−π
π
π
cos2 nxdx =
−π
−π
335
1 − cos 2nx
dx = π,
2
1 + cos 2nx
dx = π,
2
то тригонометрическая система не является ортонормированной. Система
1
1
1
1
1
√ , √ cos x, √ sin x, √ cos 2x, √ sin 2x, . . .
π
π
π
2π π
уже ортонормирована на [−π, π].
2) Многочлены Лежандра
Ln (x) =
1 dn 2
(x − 1)n , n ∈ N, L0 (x) = 1,
2n n! dxn
(18.2)
образуют ортогональную систему на [−1, 1].
Для доказательства ортогональности системы (18.2) надо показать, что
1
Ln (x)Lm (x)dx = 0, n = m.
−1
Пусть для определенности n > m. Точки x = 1, x = −1 являются нулями
кратности k для многочлена (x2 −1)k . Поэтому все производные многочлена
(x2 − 1)n до порядка n − 1 обращаются в нуль в точках x = 1, x = −1.
Интегрируя по частям и используя тождество ((x2 − 1)m )(n+m) ≡ 0, имеем
1
2
n (n)
((x − 1) )
2
m (m)
((x − 1) )
1
dx =
−1
((x2 − 1)n )(n−1) ((x2 − 1)m )(m+1) dx = . . .
−1
1
... =
((x2 − 1))((x2 − 1)m )(n+m) dx = 0.
−1
3) Система косинусов
1
, cos x, cos 2x, . . .
2
ортогональна на [0, π] (доказать).
336
Глава 18. Ряд Фурье
4) Система синусов
sin
πx
2πx
, sin
, ...
l
l
ортогональна на [0, l] (доказать).
5) Тригонометрическая система
1
πx
πx
2πx
2πx
, cos
, sin
, cos
, sin
, ...
2
l
l
l
l
ортогональна на [−l, l] (доказать).
Говорят, что функция f (x) разложима по ортогональной системе функций ϕ1 (x), . . . , ϕn (x), . . . на отрезке [a, b], если существует последовательность действительных чисел (an ) такая, что
∞
f (x) =
an ϕn (x) ∀x ∈ [a, b].
(18.3)
n=1
Всегда в дальнейшем считаем, что
b
a
ϕ2n (x)dx = 0 ∀n ∈ N.
Лемма 18.1
Если функция f (x) разложима в равномерно сходящийся на отрезке [a, b]
ряд (18.3), то функция f (x) непрерывна на [a, b] и
an = b
a
b
1
ϕn (x)f (x)dx
∀n ∈ N.
(18.4)
ϕ2n (x)dx a
Доказательство. Непрерывность функции f (x) вытекает из теоремы
Стокса — Зайделя. Из признака Абеля равномерной сходимости функционального ряда следует, что при умножении всех членов равномерно сходящегося ряда на ограниченную функцию получаем равномерно сходящийся ряд.
Умножим ряд (18.3) на ограниченную по теореме Вейерштрасса функцию
ϕk (x), получим
f (x)ϕk (x) =
∞
n=1
an ϕn (x)ϕk (x) ∀x ∈ [a, b],
(18.5)
18.1. Ряд Фурье
337
где справа — равномерно сходящийся на [a, b] ряд. Проинтегрируем равенство (18.5) от a до b, получим
b
f (x)ϕk (x)dx =
∞
b
ϕn (x)ϕk (x)dx = ak
an
n=1
a
b
a
ϕ2k (x)dx.
a
Возможность почленного интегрирования ряда в последнем равенстве
следует из теоремы о почленном интегрировании функционального ряда
(п. 14.5). Числа
b
1
an = b
ϕn (x)f (x)dx
2
ϕn (x)dx a
a
называют к о э ф ф и ц и е н т а м и Ф у р ь е для функции f (x).
В частности, если {ϕn (x)} — тригонометрическая система и f (x) —
функция, разложимая в равномерно сходящийся на [−π, π] ряд
∞
a0 +
an cos nx + bn sin nx,
f (x) =
2
n=1
то в этом случае коэффициенты Фурье имеют вид
1
a0 =
π
π
−π
1
f (x)dx, an =
π
π
−π
1
f (x) cos nxdx, bn =
π
π
f (x) sin nxdx.
−π
Говорят, что функция f (x), x ∈ [a, b], к у с о ч н о-н е п р е р ы в н а на отрезке [a, b], если существует разбиение отрезка [a, b] точками a = x0 < x1 <
< . . . < xn = b такое, что на каждом интервале (xi−1 , xi ) функция f (x)
непрерывна и существуют односторонние пределы f (x0 + 0), f (xi − 0), f (xi +
+ 0), f (xn − 0), i = 1, . . . , n − 1. Функцию f (x), x ∈ (−∞, +∞), называют
кусочно-непрерывной, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке [a, b] ∈
∈ (−∞, +∞).
Коэффициенты Фурье могут быть вычислены по формулам (18.4) для
любой кусочно-непрерывной функции, а не только для функции, удовлетворяющей условию леммы 18.1.
∞
Ряд
an ϕn (x), где an — коэффициенты Фурье кусочно-непрерывной
n=1
на [a, b] функции f (x) , называют р я д о м Ф у р ь е для f (x) по ортогональной системе функций {ϕn (x)}.
338
Глава 18. Ряд Фурье
Если f (x) произвольная кусочно-непрерывная функция, то далее будет
показано, что ряд Фурье может оказаться расходящимся и даже если он сходится, то не обязательно к функции f (x). Тот факт, что коэффициенты ряда
Фурье вычислены по функции f (x), будем записывать следующим образом:
f (x) ∼
∞
an ϕn (x).
n=1
В частности, для тригонометрической на [−l, l] системы ряд Фурье имеет
вид
∞
a0 πnx
πnx
f (x) ∼
+
+ bn sin
,
an cos
2
l
l
n=1
1
a0 =
l
l
−l
1
f (x)dx, an =
l
l
−l
πnx
1
dx, bn =
f (x) cos
l
l
l
f (x) sin
−l
πnx
dx.
l
Перейдем к изучению сходимости ряда Фурье, при этом основную роль
играет лемма Римана, к доказательству которой перейдем в п. 18.2.
18.2. Лемма Римана
Пусть функция f (x) кусочно-непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда
b
lim
b
f (x) sin pxdx = 0, lim
p→∞
f (x) cos pxdx = 0.
p→∞
a
a
Доказательство достаточно провести для непрерывной функции f (x),
так как в силу аддитивности интеграла Римана интеграл от кусочнонепрерывной функции можно представить в виде суммы интегралов от непрерывных функций.
Возьмем произвольное ε > 0. На основании необходимого условия Дарбу
интегрируемости (п. 6.9) существует разбиение a = x0 < x1 < . . . < xn = b
отрезка [a, b] такое, что интегральное колебание Ω функции f (x), соответствующее этому разбиению, не превосходит ε
Ω=
n
k=1
ωk Δxk ⩽ ε, ωk =
sup
x1 ,x2 ∈[xk−1 xk ]
|f (x1 ) − f (x2 )|, Δxk = xk − xk−1 .
18.3. Представление Дирихле частных сумм
Зафиксируем это разбиение отрезка [a, b]. Пусть mk =
min
x∈[xk−1 ,xk ]
339
f (x). Тогда
n xk
b
f (x) sin pxdx⩽
f (x) sin pxdx = k=1x
k−1
a
xk
n xk
n
⩽
(f (x) − mk )dx + mk
sin pxdx⩽
k=1x
k−1
1
⩽Ω +
p
n
k=1
k=1
xk−1
2
|mk || cos pxk − cos pxk−1 | ⩽ ε +
|mk |.
p
n
k=1
Существует ν(ε) > 0, ∀p ⩾ ν(ε) ⇒
n
2 p k=1
|mk | ⩽ ε. Таким образом,
b
∃ν(ε) > 0, ∀p ⩾ ν(ε) ⇒ f (x) sin pxdx ⩽ 2ε,
b
a
что доказывает равенство lim a f (x) sin pxdx = 0. Второе соотношение
p→∞
b
lim a f (x) cos pxdx = 0 доказывается аналогичным образом. p→∞
18.3. Представление Дирихле частных сумм
тригонометрического ряда Фурье
Функцию f (x) называют п е р и о д и ч е с к о й, если существует число
T = 0 такое, что для любого x из множества задания D(f ) функции, точки
T + x, −T + x принадлежат D(f ) и
f (x − T ) = f (x) = f (x + T ).
(18.6)
Наименьшее положительное число T , удовлетворяющее равенству (18.6), называют п е р и о д о м функции, а функцию — T -п е р и о д и ч е с к о й.
Рассмотрим функцию, определенную на [−l, l). Ее можно периодически
продолжить на R, сдвигая последовательно ее график на промежуток [−l, l)
параллельно оси 0x. В результате построим 2l -периодическую функцию
⎧
......................
⎪
⎪
⎪
⎪
f
⎨ (x + l), x ∈ [−3l, −l),
∗
f (x), x ∈ [−l, l),
f (x) =
.
⎪
⎪
f
(x
−
l),
x
∈
[l,
3l),
⎪
⎪
⎩
......................
340
Глава 18. Ряд Фурье
Если непрерывную на промежутке [−l, l) функцию, имеющую предел
f (l−0), периодически продолжить на (−∞, +∞), то продолженная функция
непрерывна в том и только том случае, когда f (l − 0) = f (−l).
Лемма 18.2
Если f (x) — кусочно-непрерывная, 2l-периодическая, определенная на
a+l
l
(−∞, +∞) функция, то для любого a ∈ R имеем a−l f (x)dx = −l f (x)dx.
Доказательство.
a+l
−l
l
a+l
f (x)dx =
f (x)dx + f (x)dx +
f (x)dx.
a−l
−l
a−l
l
В третьем интеграле сделаем замену переменных x = t + 2l
a+l
a−l
−l
f (x)dx =
f (t + 2l)dt = −
f (t)dt.
−l
l
a−l
Из последних двух соотношений получаем требуемое равенство. Из леммы вытекает, что в формулах (18.4) для вычисления коэффициентов Фурье для 2l -периодической функции интегралы могут быть взяты по
любому промежутку длины 2l.
Рассмотрим 2π -периодическую, кусочно-непрерывную, определенную на
R функцию f (x). Пусть
∞
f (x) ∼
a0 +
an cos nx + bn sin nx,
2
(18.7)
n=1
1
a0 =
π
π
−π
1
bn =
π
1
f (x)dx, an =
π
π
f (x) cos nxdx,
−π
π
f (x) sin nxdx, n = 1, 2, . . . ,
(18.8)
−π
ряд Фурье, соответствующий функции f (x) по тригонометрической системе 1/2, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , x ∈ [−π, π]. Ряд (18.7) называют
т р и г о н о м е т р и ч е с к и м р я д о м Ф у р ь е.
18.3. Представление Дирихле частных сумм
341
Исследуем поточечную сходимость ряда (18.7). Предварительно найдем
представление Дирихле частных сумм
a0 +
ak cos kx0 + bk sin kx0
2
n
Sn (x0 ) =
k=1
тригонометрического ряда Фурье в точке x0 . Заменим ak , bk их значениями
по формулам (18.15)
1
Sn (x0 ) =
2π
π
−π
1
f (x)dx +
π
n
π
f (x)(cos kx cos kx0 + sin kx sin kx0 )dx =
k=1−π
1
=
π
π
f (x)
−π
1
2
+
n
cos k(x − x0 ) dx.
(18.9)
k=1
Покажем, что
sin((2n + 1)x/2)
1
+ cos x + sin x + · · · + cos nx + sin nx =
.
2
2 sin(x/2)
(18.10)
Действительно,
(1/2 + cos x + sin x + · · · + cos nx + sin nx)2 sin(x/2)
=
2 sin(x/2)
=
sin(x/2) + sin(3x/2) − sin(x/2) + · · · + sin((2n + 1)x/2) − sin((2n − 1)x/2)
=
2 sin(x/2)
=
sin((2n + 1)x/2)
.
2 sin(x/2)
Подставляя (18.10) в (18.9) и используя лемму 18.2, получаем
1
Sn (x0 ) =
π
1
=
π
π−x
0
−π−x0
1
=
π
π
0
π
f (x)
−π
sin((2n + 1)(x − x0 )/2)
dx = [x − x0 = t] =
2 sin((x − x0 )/2)
1
sin((2n + 1)t/2)
dt =
f (t + x0 )
2 sin(t/2)
π
1
sin((2n + 1)t/2)
dt +
f (t + x0 )
2 sin(t/2)
π
π
f (t + x0 )
−π
0
f (t + x0 )
−π
sin((2n + 1)t/2)
dt =
2 sin(t/2)
sin((2n + 1)t/2) dt .
2 sin(t/2)
342
Глава 18. Ряд Фурье
После замены t на −t во втором интеграле последней формулы имеем
π
1
sin((2n + 1)t/2)
dt.
(18.11)
Sn (x0 ) =
(f (t + x0 ) + f (x0 − t))
π
2 sin(t/2)
0
Представление частных сумм Sn (x0 ) ряда Фурье в виде (18.11) называют
представлением Дирихле.
Интеграл (18.11) запишем в виде
π
sin((2n + 1)t/2)
1
dt =
(f (t + x0 ) + f (x0 − t))
π
2 sin(t/2)
0
1
= (
π
π
(f (t + x0 ) + f (x0 − t))
δ
δ
(f (t + x0 ) + f (x0 − t))
+
0
где 0 < δ < π. Функция
sin((2n + 1)t/2)
dt+
2 sin(t/2)
sin((2n + 1)t/2)
dt)
2 sin(t/2)
f (t + x0 ) + f (x0 − t)
1
кусочно-непрерывна
2 sin(t/2)
на отрезке [δ, π]. По лемме Римана
π sin((2n + 1)t/2)
lim
dt = 0.
f (t + x0 ) + f (x0 − t)
n→∞
2 sin(t/2)
δ
Поэтому предел частных сумм Sn (x0 ) ряда Фурье равен
δ lim Sn (x0 ) = lim
n→∞
n→∞
f (t + x0 ) + f (x0 − t)
0
sin((2n + 1)t/2)
2 sin(t/2)
dt.
В последний интеграл входят значения функции f (x) лишь из промежутка
[x0 − δ, x0 + δ], что позволяет сделать следующее заключение.
Принцип локализации. Сходимость ряда Фурье и его сумма в точке
x0 зависят исключительно от значений функции f (x) в сколь угодно малой
окрестности x0 − δ ⩽ x ⩽ x0 + δ точки x0 .
Замечание 18.1. Для функции f (x) ≡ 1 ряд Фурье (18.7) состоит из
одного слагаемого 1, следовательно, для этой функции Sn (x) ≡ 1 и равенство
(18.11) в этом случае имеет вид
π
sin((2n + 1)t/2)
2
dt.
(18.12)
1=
π
2 sin(t/2)
0
18.4. Поточечная сходимость ряда Фурье
343
18.4. Поточечная сходимость ряда Фурье
Говорят, что функция f (x), x ∈ [a, b], к у с о ч н о-д и ф ф е р е н ц и р у е м а,
если существует такое разбиение a = x0 < x1 < . . . < xn = b отрезка [a, b],
что на каждом интервале (xi−1 , xi ), i = 1, . . . , n, функция f (x) дифференцируема и имеет односторонние пределы f (xi + 0), f (xi − 0), f (a + 0), f (b −
− 0), i = 1, ..., n − 1, кроме того, существуют односторонние производные
f+ (xi ), f− (xi ), f+ (a), f− (b) при условии, что значения функции на концах
интервалов (xi−1 , xi ) заменены на соответствующие односторонние пределы. Функцию f (x), x ∈ (−∞, +∞), называют кусочно-дифференцируемой,
если она кусочно-дифференцируема на любом отрезке [a, b] ⊂ (−∞, +∞).
Теорема о поточечной сходимости ряда Фурье
Если функция f (x) кусочно-дифференцируема на отрезке [−π, π], то ее
тригонометрический ряд Фурье сходится поточечно к функции, которая
является периодическим продолжением на R функции
⎧
f (x + 0) + f (x − 0)
⎪
⎨
, x ∈ (−π, π),
2
S(x) =
⎪
⎩ f (−π + 0) + f (π − 0) , x = −π, x = π.
2
Доказательство. Пусть f ∗ (x) — периодическое продолжение на R
функции f (x), x ∈ [−π, π). Возьмем произвольную точку x0 ∈ [−π, π] и
рассмотрим представление Дирихле частных сумм ряда Фурье для функции
f ∗ (x)
1
Sn (x0 ) =
π
π
(f ∗ (t + x0 ) + f ∗ (x0 − t))
0
sin((2n + 1)t/2)
dt.
2 sin(t/2)
(18.13)
Умножая обе части равенства (18.12) на число
S(x0 ) =
f ∗ (x0 + 0) + f ∗ (x0 − 0)
2
и вычитая из (18.13), получаем
1
Sn (x0 ) − S(x0 ) =
π
π
(f ∗ (t + x0 ) + f ∗ (x0 − t)−
0
−f ∗ (x0 + 0) − f ∗ (x0 − 0))
sin((2n + 1)t/2)
dt.
2 sin(t/2)
(18.14)
344
Глава 18. Ряд Фурье
Покажем, что функция g(t), принимающая на промежутке t ∈ (0, π] значения
f ∗ (t + x ) − f ∗ (x + 0) f ∗ (x − t) − f ∗ (x − 0) t/2
0
0
0
0
+
,
t
t
sin(t/2)
и g(0) = 0 является кусочно-непрерывной. Достаточно установить, что функции
⎧ ∗
t/2
∗
⎨ f (x0 + t) − f (x0 + 0)
, t ∈ (0, π],
g1 (t) =
t
sin(t/2)
⎩
0, t = 0,
⎧ ∗
t/2
∗
⎨ f (x0 − t) − f (x0 − 0)
, t ∈ (0, π],
g2 (t) =
t
sin(t/2)
⎩
0, t = 0.
кусочно-непрерывны. Рассмотрим, например, функцию g1 (t). Функция g2 (t)
исследуется аналогичным образом. Пусть 0 = t0 < t1 < . . . < tn = π
разбиение отрезка [0, π] на интервалы, на которых функция f ∗ (x0 + t)
дифференцируема и, следовательно, непрерывна. На интервалах (ti−1 , ti ),
i = 1, . . . , n, функция g1 (t) непрерывна, так как непрерывны функции
f ∗ (x0 + t), t, sin(t/2) и t = 0, sin(t/2) = 0. Существуют пределы g1 (ti +
+ 0), g1 (ti − 0), i = 1, . . . , n, так как функция f ∗ (x0 + t) кусочнодифференцируема. Остается показать, что существует предел lim g1 (t). Есt→+0
ли x0 является точкой, в которой f ∗ (x) дифференцируема, то
f ∗ (x + t) − f ∗ (x + 0) t/2
0
0
lim g1 (t) = lim
= (f ∗ ) (x0 ).
t→+0
t→+0
t
sin(t/2)
Если x0 является точкой, в которой f ∗ (x) имеет лишь односторонние производные, то односторонний предел g1 (+0) тоже существует и lim g1 (t) =
t→+0
= (f ∗ )+ (x0 ). Переходя к пределу в равенстве (18.14) и используя лемму Римана, имеем
1
lim (Sn (x0 ) − S(x0 )) = lim
n→∞
n→∞ π
π
g(t) sin((2n + 1)t/2)dt = 0.
0
Для завершения доказательства достаточно заметить, что
⎧
⎪
⎨ f (x0 + 0) + f (x0 − 0) , x0 ∈ (−π, π),
2
S(x0 ) =
⎪
⎩ f (−π + 0) + f (π − 0) , x0 = −π, x0 = π
2
и что сумма ряда Фурье — 2π -периодическая функция, потому что такими
являются все члены ряда Фурье. 18.5. Разложение в ряд Фурье
345
Следствие 18.1. Если f (x) — кусочно-дифференцируемая, 2π -периодическая, определенная на R функция, которая в каждой точке разрыва x̄
принимает значение
f (x̄) =
f (x̄ + 0) + f (x̄ − 0)
,
2
то ее тригонометрический ряд Фурье сходится поточечно на R к функции
f (x)
∞
a0 +
f (x) =
an cos nx + bn sin nx ∀x ∈ R.
2
n=1
Доказательство вытекает из теоремы о поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье, так как при сделанных предположениях S̃(x) =
= f (x) ∀x ∈ R, где S̃(x) — функция, к которой сходится ряд Фурье.
Следствие 18.2. Если f (x) — непрерывная, кусочно-дифференцируемая, 2π -периодическая, определенная на R функция, то ее тригонометрический ряд Фурье сходится поточечно на R к функции f (x).
18.5. Разложение в ряд Фурье
непериодических функций
Рассмотрим кусочно-непрерывную на отрезке [−l, l] функцию f (x). Построим функцию f˜(y) = f (ly/π), которая определена и кусочно-непрерывна
на отрезке [−π, π]. Пусть f˜(y) соответствует тригонометрический ряд Фурье
a0
+
f˜(y) ∼
2
1
a0 =
π
bn =
π
−π
1
π
∞
an cos ny + bn sin ny,
n=1
1
f˜(y)dy, an =
π
π
f˜(y) cos nydy,
−π
π
f˜(y) sin nydy,
n = 1, 2, . . . .
(18.15)
−π
Вернемся к начальной переменной x, полагая y = πx/l, получим для функции f (x) следующий ряд Фурье:
∞
f (x) ∼
a0 nπx
nπx
+
+ bn sin
,
an cos
2
l
l
n=1
(18.16)
346
1
a0 =
l
Глава 18. Ряд Фурье
l
−l
1
f (x)dx, an =
π
1
bn =
l
π
−π
1
πx
=
f˜(y) cos nydy = y =
l
l
l
f (x) sin
−l
nπx
dx,
l
l
f (x) cos
−l
n = 1, 2, . . . .
nπx
dx,
l
(18.17)
Если f (x) является, кроме того, кусочно-дифференцируемой, то из теоремы
о поточечной сходимости ряда Фурье следует, что ряд Фурье (18.16), (18.17)
сходится к значению функции f (x) в каждой точке x из интервала (−l, l),
в которой f (x) непрерывна и в каждой точке разрыва x̄ ∈ (−l, l), в коf (x̄ + 0) + f (x̄ − 0)
, а также в точке x = −l, если f (−l) =
торой f (x̄) =
2
f (−l + 0) + f (l − 0)
f (−l + 0) + f (l − 0)
, и в точке x = l, если f (l) =
.
=
2
2
Рассмотрим теперь функцию f¯(x), кусочно-непрерывную на отрезке
[a, b]. Продолжая функцию f¯(x), x ∈ [a, b), периодически на R, построим
функцию f (x), которая является 2l -периодической, где l = (b − a)/2. Пусть
функции f (x) соответствует ряд Фурье (18.16) с коэффициентами (18.17).
Если f¯(x) кусочно-дифференцируемая, то используя лемму 18.2 и приведенные в начале п. 18.5 рассуждения видим, что функции f¯(x) соответствует
ряд Фурье
∞
2nπx
2nπx
a0 +
+ bn sin
an cos
f¯(x) ∼
2
b−a
b−a
n=1
с коэффициентами
2
an =
b−a
2
bn =
b−a
b
a
b
a
2nπx
dx,
f¯(x) cos
b−a
n = 0, 1, . . . ,
2nπx
dx,
f¯(x) sin
b−a
n = 1, 2, . . . ,
который сходится к значению функции f¯(x) в каждой точке x из интервала
(a, b), в которой f¯(x) непрерывна, и в каждой точке разрыва x̄ ∈ (a, b), в
f¯(x̄ + 0) + f¯(x̄ − 0)
, а также в точке x = a, если f¯(a) =
которой f¯(x̄) =
2
f¯(a + 0) + f¯(b − 0)
f¯(a + 0) + f¯(b − 0)
, и в точке x = b, если f¯(b) =
.
=
2
2
18.5. Разложение в ряд Фурье
347
Рассмотрим четную кусочно-непрерывную на [−π, π] функцию. Пусть
∞
f (x) ∼
a0 +
an cos nx + bn sin nx,
2
n=1
1
an =
π
1
bn =
π
0
π
f (x) cos nxdx +
−π
f (x) cos nxdx , n = 0, 1, . . . ,
0
0
π
f (x) sin nxdx +
−π
f (x) sin nxdx , n = 1, 2, . . . ,
0
тригонометрический ряд Фурье, соответствующий функции f (x) . Сделаем
замену переменных x = −t в первых слагаемых последних двух формул,
получим
π
2
f (x) cos nxdx, bn = 0.
an =
π
0
Таким образом, тригонометрический ряд Фурье четной функции содержит
лишь косинусы
∞
a0 +
an cos nx.
f (x) ∼
2
n=1
Если f (x) — нечетная функция, то
an = 0,
2
bn =
π
π
f (x) sin nxdx.
0
Ряд Фурье нечетной функции содержит лишь синусы
f (x) ∼
∞
bn sin nx.
n=1
Предположим далее, что функция f (x) кусочно-непрерывна и задана
лишь на промежутке [0, π]. Определим функцию
f (x), x ∈ [0, π],
˜
f (x) =
f (−x), x ∈ [−π, 0),
которая является четной, следовательно, ее тригонометрический ряд Фурье
содержит лишь косинусы
a0
f˜(x) ∼
+
2
∞
n=1
an cos nx.
(18.18)
348
Глава 18. Ряд Фурье
Если ввести нечетную функцию
⎧
f (x), x ∈ (0, π],
⎨
˜
−f (−x), x ∈ [−π, 0),
f˜(x) =
⎩
0, x = 0,
то
∞
˜
f˜(x) ∼
bn sin nx,
(18.19)
n=1
т. е. ее тригонометрический ряд Фурье содержит лишь синусы. Допустим дополнительно, что f (x) кусочно-дифференцируема и непрерывна на [0, π].
˜
Поскольку f (x) = f˜(x) = f˜(x) для x ∈ (0, π], то из (18.18), (18.19) получаем
разложение функции f (x) в ряды Фурье, содержащие лишь косинусы или
лишь синусы
∞
a0 +
an cos nx, x ∈ [0, π],
f (x) =
2
n=1
∞
f (x) =
bn sin nx,
x ∈ (0, π),
S(0) = S(π) = 0.
n=1
Пример 18.1.
Разложим функцию
y = cos ax,
x ∈ [−π, π], a − нецелое число,
в тригонометрический ряд Фурье. Функция является четной непрерывно
дифференцируемой и f (π) = f (−π), следовательно, bn = 0,
2
a0 =
π
1
=
π
π
0
π
0
2 sin aπ
,
cos axdx =
aπ
2
an =
π
π
cos ax cos nxdx =
0
2a sin aπ
,
(cos(a + n)x + cos(a − n)x)dx = (−1)n 2
a − n2 π
∞
2a sin aπ
sin aπ cos ax =
+
cos nx,
(−1)n 2
aπ
a − n2 π
n=1
При x = 0 получим
∞
1
1
2aπ
=
+
(−1)n
.
2
sin aπ
aπ
(aπ) − (nπ)2
n=1
x ∈ [−π, π].
18.6. Неравенство Бесселя
349
Если положить aπ = t, то имеем
1
1
2t
1 1 1 n
= +
+
+
,
(−1)n 2
=
(−1)
sin t
t
t − (nπ)2
t
t − nπ t + nπ
∞
∞
n=1
n=1
(18.20)
t = kπ, k = 0, −1, +1, . . . . Формула (18.20) использовалась в п. 17.8 при
исследовании В-функции.
18.6. Неравенство Бесселя
Пусть f (x)— кусочно-непрерывная на отрезке [a, b] функция, {ϕn (x)} —
ортогональная на [a, b] система непрерывных функций, а
f (x) ∼
∞
an ϕn (x) −
n=1
соответствующий ряд Фурье. Тогда коэффициенты ряда Фурье удовлетворяют следующему н е р а в е н с т в у Б е с с е л я
∞
a2n
n=1
b
ϕ2n (x)dx ⩽
a
b
f 2 (x)dx.
a
Доказательство. Используя ортогональность системы {ϕn (x)}, имеем
b
(f (x) −
0⩽
2
f (x)dx − 2
=
n b
f (x)ak ϕk (x)dx +
k=1 a
a
b
=
ak ϕk (x))2 dx =
k=1
a
b
n
b
f (x)ϕk (x)dx = ak
a
n
k=1
a2k
a
a2k
b
k=1
ϕ2k (x)dx =
a
b
n
ϕ2k (x)dx ⩽
b
f 2 (x)dx −
a
n
k=1
a
b
ϕ2k (x)dx =
a2k
b
ϕ2k (x)dx,
a
f 2 (x)dx ∀n ∈ N.
a
∞
a2n
b
ϕ2n (x)dx ограничены. Следоn=1
a
b
вательно, этот ряд сходится и его сумма не превосходит a f 2 (x)dx. Частные суммы положительного ряда
350
Глава 18. Ряд Фурье
Следствие 18.3. Пусть f (x) кусочно-непрерывная на отрезке [−π, π]
функция. Тогда
π
∞
a20 2
1
2
+
(an + bn ) ⩽
f 2 (x)dx,
(18.21)
2
π
n=1
−π
где an , bn — коэффициенты тригонометрического ряда Фурье, соответствующего функции f (x).
Доказательство. Пусть a0 /2 + ∞
n=1 an cos nx + bn sin nx — тригонометрический
ряд
Фурье,
соответствующий
функции f (x). Для этого ряда
π
π
π
2
2
2
−π cos nxdx = −π sin nxdx = π,
−π (1/2) dx = π/2 и неравенство Бесселя
в этом случае имеет вид (18.21). 18.7. Равномерная сходимость ряда Фурье
Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье
Пусть функция f (x) непрерывно дифференцируема на отрезке [−π, π] и
f (π) = f (−π). Тогда ее тригонометрический ряд Фурье
∞
a0 +
an cos nx + bn sin nx
2
(18.22)
n=1
сходится равномерно на отрезке [−π, π] к функции f (x).
Доказательство. Из теоремы о поточечной сходимости ряда Фурье следует, что ряд (18.22) сходится поточечно к функции f (x) на [−π, π]. Пусть
производной f (x) соответствует ряд Фурье
∞
α0 +
αn cos nx + βn sin nx.
f (x) ∼
2
n=1
Найдем формулы, связывающие коэффициенты тригонометрических рядов
1 π Фурье функций f (x) и f (x), αn =
f (x) cos nxdx =
π −π
= [f (x)dx = dv, v = f (x), cos nx = u, du = −n sin nxdx] =
= f (x) cos nx |π−π +n
π
f (x) sin nxdx = nbn , n = 1, 2, . . . , α0 = 0,
−π
1
βn =
π
π
f (x) sin nxdx = −nan , n = 1, 2, . . . .
−π
18.8. Почленное интегрирование ряда Фурье
351
Таким образом,
αn
βn
, an = − , n = 1, 2, . . . .
n
n
Запишем неравенство Бесселя для производной f (x)
bn =
∞
1
(α2n + β2n ) ⩽
π
n=1
π
(f (x))2 dx.
(18.23)
(18.24)
−π
Используя соотношения (18.23), имеем
α β 1
1
1
n n
|an cos nx + bn sin nx| ⩽ |an | + |bn | = + ⩽ |αn |2 + |βn |2 + 2 .
n
n
2
2
n
∞
Из неравенства (18.24) следует сходимость ряда
((1/2)|αn |2 + (1/2)|βn |2 ).
n=1
По признаку Вейерштрасса (п. 14.2) функциональный ряд (18.22) сходится
равномерно на [−π, π]. 18.8. Почленное интегрирование ряда Фурье
Теорема о почленном интегрировании ряда Фурье
Пусть f (x) — непрерывная на отрезке [−π, π] функция,
∞
f (x) ∼
a0 +
an cos nx + bn sin nx−
2
n=1
ее тригонометрический ряд Фурье. Тогда для любого x ∈ [−π, π] имеем
x
0
1 − cos nx an
a0
sin nx + bn
,
f (t)dt = x +
2
n
n
∞
n=1
причем ряд справа сходится равномерно на отрезке [−π, π].
Доказательство. По теореме Барроу функция
x
f (t)dt −
Φ(x) =
0
a0 x
2
непрерывно дифференцируема на [−π, π] и
π
Φ(π) − Φ(−π) =
0
−π
π
f (t)dt − f (t)dt − a0 π = f (t)dt − a0 π = 0.
0
−π
352
Глава 18. Ряд Фурье
По теореме о равномерной сходимости ряда Фурье тригонометрический ряд
Фурье
∞
A0 +
An cos nx + Bn sin nx,
(18.25)
2
n=1
соответствующий функции Φ(x), сходится равномерно на [−π, π] к функции
Φ(x), здесь
π
π
π
a0 bn
1
1 − sin nx
f (x)−
Φ(x) −π −
sin nxdx =− ,
Φ(x) cos nxdx =
An =
π
π
n
2
n
−π
−π
1
Bn =
π
π
Φ(x) sin nxdx =
−π
an
, n = 1, 2, . . . .
n
Найдем коэффициент A0 . Полагая в равенстве (18.25) x = 0, получаем
−
∞
∞
n=1
n=1
bn
A0 =
.
An = −
2
n
Таким образом,
x
1 − cos nx an
a0
x+
sin nx + bn
.
2
n
n
∞
f (t)dt =
n=1
0
18.9. Суммирование ряда Фурье
методом средних арифметических
Пусть f (x) — непрерывная на [−π, π] функция, f (−π) = f (π),
∞
f (x) ∼
a0 +
an cos nx + bn sin nx−
2
n=1
ее тригонометрический ряд Фурье.
Ряд Фурье при сделанных предположениях, вообще говоря, не сходится
к функции f (x). Цель п. 18.9 — показать, что, тем не менее, последовательность средних арифметических частных сумм ряда Фурье сходится равномерно на [−π, π] к функции f (x).
Пусть
a0 +
ak cos kx + bk sin kx,
2
n
Sn (x) =
k=1
σn (x) =
S0 (x) + . . . + Sn (x)
.
n+1
18.9. Суммирование ряда Фурье
353
Теорема Фейера
Если f (x) — непрерывная на [−π, π] функция и f (−π) = f (π), то
[−π,π]
σn (x) ⇒ f (x).
n→∞
Доказательство. Продолжим f (x), x ∈ [−π, π], периодически на R,
получим непрерывную на R функцию f ∗ (x). Воспользуемся представлением
частных сумм Sn (x) ряда Фурье функции f ∗ (x), полученным в п. 18.3,
1
Sn (x) =
π
π
f ∗ (t + x)
−π
Отсюда
1
σn (x) =
π
где
Fn (x) =
π
sin((2n + 1)t/2)
dt.
2 sin(t/2)
f ∗ (t + x)Fn (t)dt,
−π
D0 (x) + . . . + Dn (x)
,
n+1
Di (x) =
sin((2i + 1)x/2)
,
2 sin(x/2)
x ∈ (nπ, (n+1)π), Di (nπ) = (2i + 1)/2, n ∈ N0 . Функции Fn (x), n = 0, 1, . . . ,
называют я д р а м и Ф е й е р а. Покажем, что ядра Фейера обладают следующими свойствами:
1) Fn (x)
π — четные, 2π -периодические и непрерывные функции;
2) 1/π −π Fn (x)dx = 1 ∀n ∈ N0 ;
3) Fn (x) ⩾ 0;
4) ∀δ : 0 < δ < π ⇒ lim max Fn (x) = 0.
n→∞ δ⩽x⩽π
Свойство 1) следует из аналогичных свойств функций Di (x).
Свойство 2) вытекает из установленной в п. 18.3 формулы
1
1=
π
π
Dn (x)dx ∀n ∈ N0 .
−π
Чтобы установить свойство 3), функцию (n + 1)Fn (x) представим в виде
(n + 1)Fn (x) =
n
sin((2k + 1)t/2)
k=0
2 sin(t/2)
=
1
2k + 1
1 − cos(n + 1)x
x
.
x=
2 sin sin
2
2
2
4 sin (x/2) k=0
4 sin2 (x/2)
n
=
(18.26)
354
Глава 18. Ряд Фурье
Отсюда Fn (x) ⩾ 0.
Свойство 4) следует из соотношения (18.26). Действительно,
max Fn (x) ⩽
x∈[δ,π]
1
→ 0.
2(n + 1) sin2 (δ/2) n→∞
Вернемся к доказательству теоремы. Возьмем произвольное ε > 0. Функция f ∗ (x) непрерывна на отрезке [−2π, 2π]. По теореме Кантора она равномерно непрерывна на [−2π, 2π], т. е.
∃δ(ε), 0 < δ(ε) < π, ∀x , x ∈ [−2π, 2π] : |x − x | ⩽ δ(ε) ⇒ |f ∗ (x ) − f ∗ (x )| ⩽ ε.
Отсюда
∀x ∈ [−π, π], ∀t : |t| ⩽ δ(ε) ⇒ |f ∗ (x + t) − f ∗ (x)| ⩽ ε.
(18.27)
Из свойств 1), 4) функций Fn (x) имеем
∃ν(ε) > 0, ∀n ⩾ ν(ε) ⇒
max
δ(ε)⩽x⩽π
Fn (x) ⩽ ε,
max
−π⩽x⩽−δ(ε)
Fn (x) ⩽ ε.
(18.28)
Теперь, используя неравенства (18.27), (18.28) и ограниченность функции
f ∗ (x), |f ∗ (x)| ⩽ M − const ∀x ∈ R, имеем
1
|σn (x)−f ∗ (x)|⩽
π
1
+
π
δ(ε)
−δ(ε)
π
−π
1
|f ∗ (t+x)−f ∗ (x)|Fn (t)dt =
π
1
|f (t + x) − f (x)|Fn (t)dt +
π
∗
∗
1
π
⩽ (2M πε + ε + 2M πε)
π
−δ(ε)
|f ∗ (t+x)−f ∗ (x)|Fn (t)dt+
−π
|f ∗ (t + x) − f ∗ (x)|Fn (t)dt⩽
δ(ε)
∀n ⩾ ν(ε), ∀x ∈ [−π, π],
[−π,π]
что означает σn (x) ⇒ f ∗ (x) = f (x). n→∞
18.10. Приближение непрерывной
функции многочленами
Функцию вида
n
A0 +
Ak cos kx + Bk sin kx = Tn (x),
2
Ak , Bk ∈ R,
k=1
называют т р и г о н о м е т р и ч е с к и м п о л и н о м о м порядка n.
18.10. Приближение непрерывной функции многочленами
355
Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной функции
многочленами
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то для любого ε > 0 существует многочлен P (x) такой, что |f (x) − P (x)| ⩽ ε ∀x ∈ [a, b].
Доказательство проведем в два этапа.
Первый этап, функция f (x) непрерывна на отрезке [0, π]. Продолжим
f (x) на отрезок [−π, π] четным образом. Получим четную непрерывную
функцию f ∗ (x) такую, что f ∗ (−π) = f ∗ (π), и совпадающую с f (x) на [0, π].
Возьмем произвольное ε > 0. На основании теоремы Фейера существует тригонометрический многочлен T (x) (среднее арифметическое частных сумм
ряда Фурье) такой, что
|f ∗ (x) − T (x)| ⩽ ε ∀x ∈ [−π, π].
Функции cos kx, sin kx разложимы в степенные ряды, локально равномерно
сходящиеся на R. Поскольку T (x) — конечная линейная комбинация функций cos kx, sin kx, то существует многочлен P (x) такой, что
|T (x) − P (x)| ⩽ ε ∀x ∈ [−π, π].
Теперь ∀x ∈ [0, π]
|f (x) − P (x)| ⩽ |f (x) − T (x)| + |T (x) − P (x)| ⩽ 2ε.
Второй этап, функция f (x) непрерывна на произвольном отрезке [a, b].
t
Положим Ψ(t) = f a + (b − a) , t ∈ [0, π]. Функция Ψ(t) непрерывна
π
на [0, π]. Как было показано на первом этапе, для любого ε > 0 существует
многочлен Pε (t) такой, что |Ψ(t)−Pε (t)| ⩽ ε ∀t ∈ [0, π]. Полагая в последнем
π(x − a)
, имеем
равенстве t =
b−a
|f (x) − P (x)| ⩽ ε ∀x ∈ [a, b],
где P (x) = Pε
π(x − a) .
b−a
Следствие 18.4. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то
существует последовательность многочленов, равномерно сходящаяся на
[a, b] к функции f (x) (доказать).
ГЛАВА 19
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
19.1. Интеграл Фурье
Пусть функция f (t) кусочно-непрерывна
и абсолютно интегрируема на
+∞
интервале (−∞, +∞), т. е. интеграл −∞ |f (t)|dt является сходящимся. По
признаку сравнения (п. 16.1) абсолютно сходятся также интегралы
1
a(y) =
2π
+∞
f (t) cos tydt,
−∞
1
b(y) =
2π
+∞
f (t) sin tydt
(19.1)
−∞
Несобственный интеграл
+∞
a(y) cos xy + b(y) sin xydy ∼ f (x)
(19.2)
−∞
называют и н т е г р а л о м Ф у р ь е для функции f (x).
Подставляя выражения для a(y) и b(y) в интеграл (19.2), получим
1
f (x) ∼
2π
1
=
π
+∞
+∞
dy
f (t)(cos ty cos yx + sin ty sin yx)dt =
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
A
1
dy
f (t) cos y(t − x)dt = lim
dy
f (t) cos y(t − x)dt. (19.3)
A→∞ π
0
−∞
0
−∞
Возьмем точку x0 ∈ R и рассмотрим функцию
1
J(A) =
π
A
0
+∞
dy
f (t) cos y(t − x0 )dt,
−∞
A > 0.
19.1. Интеграл Фурье
357
Получим аналог формулы (18.11) для интеграла Фурье. При любом B > 0
по теореме о перестановке порядка интегрирования (п. 17.2) имеем
A
B
f (t) cos y(t − x0 )dt =
dy
0
B
−B
=
f (t)
−B
f (t) cos y(t − x0 )dy =
dt
−B
B
A
−0
sin A(t − x0 )
dt.
t − x0
(19.4)
Упомянутая теорема о перестановке порядка интегрирования применима, если подынтегральная функция f (t) cos y(t−x0 ) непрерывна на прямоугольнике [−B, B] × [0, A]. Но функция f (t) лишь кусочно-непрерывна на [−B, B].
B
Чтобы воспользоваться теоремой, предварительно интеграл −B f (t) cos y(t−
− x0 )dt представим в виде суммы интегралов по промежуткам, на которых
f (t) непрерывна, применим эту теорему к каждому слагаемому и затем опять
вернемся к интегралу по промежутку [−B, B]. Перейдем к пределу в равенстве (19.4) при B → +∞. Справа получим интеграл
+∞
sin A(t − x0 )
f (t)
dt,
t − x0
−∞
слева —
A
lim
B→+∞
B
dy
0
A
f (t) cos y(t − x0 )dt =
dy( lim
0
−B
A
=
0
B
B→+∞
−B
f (t) cos y(t − x0 )dt) =
+∞
dy
f (t) cos y(t − x0 )dt = J(A).
−∞
В предыдущей цепочке равенств мы перешли к пределу под знаком интеграла. Чтобы обосновать эту операцию, достаточно проверить, что выполняются условия теоремы о переходе к пределу под знаком интеграла (п. 17.2):
по теореме о непрерывности интеграла, зависящего от параметра (п. 17.2),
B
функция g(B, y) = −B f (t) cos y(t − x0 )dt непрерывна по y ∈ [0, A] при каждом фиксированном B (так как функция f (t) лишь кусочно-непрерывна,
то теорему о непрерывности
ИЗОП следует применять следующим образом:
B
представить интеграл −B f (t) cos y(t−x0 )dt в виде суммы интегралов по промежуткам, на которых f (t) непрерывна, по теореме о непрерывности ИЗОП
358
Глава 19. Преобразование Фурье
все эти интегралы — функции, непрерывные по y, но тогда непрерывна по
y и функция g(B, y) как сумма непрерывных функций);
[0,A]
g(B, y)
⇒
+∞
f (t) cos y(t − x0 )dt,
B→+∞
−∞
т. е. интеграл
+∞
−∞
f (t) cos y(t − x0 )dt является равномерно сходящимся по y ∈
[0, A], что следует из признака Вейерштрасса (п. 17.3),так как |f (t) cos y(t −
+∞
− x0 )| ⩽ |f (t)| ∀t ∈ (−∞, ∞), ∀y ∈ [0, A], а интеграл −∞ |f (t)|dt сходится.
Таким образом, J(A) можно записать в следующем виде:
1
J(A) =
π
1
=
π
+∞
+∞
sin A(t − x0 )
1
sin Au
du =
f (t)
dt =
f (u + x0 )
t − x0
π
u
−∞
0
−∞
−∞
1
sin Au
du +
f (u + x0 )
u
π
=
1
π
+∞
sin Au du =
f (u + x0 )
u
0
∞
(f (u + x0 ) + f (x0 − u))
0
sin Au
du.
u
(19.5)
Формула (19.5) является аналогом представления Дирихле для частных сумм
ряда Фурье.
19.2. Представление функции интегралом Фурье
Лемма Римана для несобственного интеграла
Если функция f (t) кусочно-непрерывна и абсолютно интегрируема на промежутке [a, +∞), то
+∞
+∞
lim
f (t) sin ptdt = 0,
lim
f (t) cos ptdt = 0.
p→+∞ a
p→+∞ a
Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. Из абсолютной интегрируемости функции f (t) следует, что
+∞
+∞
∃δ(ε) > 0, ∀A ⩾ δ(ε) ⇒
|f (t)|dt ⩽ ε ⇒ f (t) sin ptdt ⩽ ε.
A
A
(19.6)
19.2. Представление функции интегралом Фурье
359
Зафиксируем некоторое A ⩾ δ(ε). Согласно лемме Римана,
A
∃ν(ε) > 0, ∀p ⩾ ν(ε) ⇒ f (t) sin ptdt ⩽ ε.
(19.7)
a
Из неравенств (19.6) и (19.7) имеем
+∞
f (t) sin ptdt ⩽ 2ε ∀p ⩾ ν(ε),
a
что означает
lim
+∞
p→+∞ a
f (t) sin ptdt = 0. Второе равенство доказывается ана-
логичным образом. Теорема о представлении функции интегралом Фурье
Пусть функция f (t) кусочно-дифференцируема и абсолютно интегрируема на интервале (−∞, +∞). Тогда для любого x ∈ (−∞, +∞) имеем
+∞
f (x + 0) + f (x − 0)
,
a(y) cos xy + b(y) sin xydy =
2
−∞
где
1
a(y) =
2π
+∞
f (t) cos tydt,
−∞
1
b(y) =
2π
+∞
f (t) sin tydt.
−∞
Доказательство. Возьмем точку x0 ∈ (−∞, ∞). Пусть
f (x0 + 0) + f (x0 − 0)
= S0 .
2
Умножим обе части равенства (п. 17.7, с. 324)
2
π
∞
0
sin Ax
dx = 1,
x
A > 0,
на S0 и вычтем из (19.5), получим
1
J(A) − S0 =
π
+∞
0
f (t + x0 ) − f (x0 + 0) f (x0 − t) − f (x0 − 0)
−
t
−t
sin At
dt.
t
360
Глава 19. Преобразование Фурье
Теперь разность J(A) − S0 можно представить в виде
1
J(A) − S0 =
π
1
f (t + x ) − f (x + 0)
0
0
t
0
+∞
+
1
+∞
+ 2S0
1
−
f (x0 − t) − f (x0 − 0) sin At
dt +
−t
t
f (t + x0 ) + f (x0 − t) sin At
dt +
t
t
sin At
dt
t
(19.8)
= J1 (A) + J2 (A) + J3 (A).
Так как функция f (x) кусочно-дифференцируемая, то функция
h(t) =
f (t + x0 ) − f (x0 + 0) f (x0 − t) − f (x0 − 0)
−
t
−t
имеет предел при t → +0, равный f+ (x0 ) − f− (x0 ). Отсюда и из условия,
что функция f является кусочно-непрерывной, следует, что h(t) кусочнонепрерывна на [0, 1]. По лемме Римана предел lim J1 (A) равен нулю.
A→+∞
Функция
h1 (t) =
f (t + x0 ) + f (x0 − t)
t
кусочно-непрерывна и абсолютно интегрируема на промежутке [1, +∞). Абсолютная интегрируемость h1 (t) на [1, +∞) вытекает из неравенства
f (t + x ) + f (x − t) 0
0
⩽ |f (x0 + t)| + |f (x0 − t)|,
t
абсолютной интегрируемости на (−∞, +∞) функции f и признака сравнения. По лемме Римана для несобственного интеграла имеем lim J2 (A) = 0.
В интеграле
+∞
sin At
1
t
A→+∞
dt сделаем замену At = y, получим
Отсюда и из сходимости интеграла
+∞
sin y
+∞
sin y
1
y
+∞
sin y
A
dy имеем
y
dy.
lim J3 (A) =
A→+∞
dy = 0. Таким образом, из равенства (19.8) вытекает
y
lim (J(A) − S0 ) = 0. =
lim
A→+∞ A
A→+∞
19.3. Преобразование Фурье
361
1
интегралом Фурье.
1 + x2
Функция f (x) дифференцируема и абсолютно интегрируема на интервале
(−∞, +∞), следовательно, представима интегралом Фурье.
В силу четности f (x) имеем b(y) = 0,
Пример 19.1. Представим функцию f (x) =
2
a(y) =
π
+∞
0
cos xy
dx = e−y ,
1 + x2
Таким образом,
1
=
1 + x2
y ⩾ 0.
+∞
e−y cos xydy.
0
19.3. Преобразование Фурье
Пусть f (t) — непрерывная, кусочно-дифференцируемая и абсолютно интегрируемая на промежутке (−∞, +∞) функция. По теореме о представлении функции интегралом Фурье для любого x ∈ R имеем
+∞
+∞
+∞
1
a(y) cos xy + b(y) sin xydy =
dy
f (t) cos y(x − t)dt. (19.9)
f (x) =
2π
−∞
−∞
По признаку Вейерштрасса интеграл
+∞
−∞
−∞
f (t) sin y(x − t)dt сходится рав-
номерно относительно y ∈ (−∞, ∞), поэтому согласно следствию из теоремы
о непрерывности НИЗОП-1 (п. 17.4) функция
+∞
Φ(y) =
f (t) sin y(x − t)dt
−∞
непрерывна на (−∞, ∞) и, следовательно, интегрируема по Риману на любом отрезке [−A, A], более того, в силу нечетности функции f (t) sin y(x − t)
по y
+∞
A
dy
f (t) sin y(x − t)dt = 0.
(19.10)
−∞
−A
Однако нельзя утверждать, что несобственный интеграл
+∞
+∞
dy
f (t) sin y(x − t)dt
−∞
−∞
(19.11)
362
Глава 19. Преобразование Фурье
сходится. Последний интеграл является сходящимся лишь в смысле главного
значения.
Введем понятие сходимости несобственного интеграла в смысле главного
значения. Пусть функция ϕ(t) интегрируема по Риману на любом отрезке
[−A, A] ⊂ (−∞, +∞). Если существует предел
A
lim
A→+∞
−A
ϕ(t)dt,
то его называют г л а в н ы м з н а ч е н и е м и н т е г р а л а
значают
∞
ϕ(t)dt.
v.p.
∞
−∞ ϕ(t)dt
и обо-
−∞
В этом случае функцию ϕ(t) называют и н т е г р и р у е м о й на (−∞, +∞)
( в с м ы с л е г л а в н о г о з н а ч е н и я), а интеграл — сходящимся в смысле главного значения.
Несобственный
A
0 интеграл сходится, если конечны два
lim −B ϕ(t)dt. Ясно, что если несобственный
предела lim 0 ϕ(t)dt,
A→+∞
B→+∞
∞
интеграл −∞ ϕ(t)dt сходится, то
∞
∞
ϕ(t)dt =
v.p.
−∞
ϕ(t)dt.
−∞
Интеграл может быть сходящимся в смысле главного значения, но
являться
+∞
+∞
расходящимся. Например, интеграл −∞ xdx расходится, но v.p. −∞ xdx =
= 0.
Вернемся теперь к интегралу (19.11). Из (19.10) следует, что
+∞
+∞
v.p.
dy
f (t) sin y(x − t)dt = 0.
−∞
(19.12)
−∞
Умножим обе части равенства (19.12) на i/2π и сложим с (19.9), получим
1
f (x) = v.p.
2π
+∞
+∞
dy
f (t)(cos y(x − t) + i sin y(x − t))dt =
−∞
−∞
1
= v.p.
2π
+∞
+∞
dy
f (t)eiy(x−t) dt.
−∞
−∞
(19.13)
19.3. Преобразование Фурье
Если положить
1
F (y) = v.p. √
2π
363
+∞
f (t)e−iyt dt,
−∞
то формула (19.13) примет вид
1
f (x) = v.p. √
2π
+∞
F (y)eiyx dy.
(19.14)
−∞
Рассмотрим две вещественные функции f (x) и g(x), определенные на
промежутке |a, b|. Сумму f (x)+ig(x) = h(x), h : |a, b| → C, где C — множество комплексных чисел, называют к о м п л е к с н о з н а ч н о й ф у н к ц и е й
c вещественной компонентой f (x) и мнимой — g(x). Комплекснозначную
функцию считаем непрерывной (ограниченной), если непрерывны (ограничены) ее вещественная и мнимая компоненты. Производную и интеграл от
комплекснозначной функции определяют покомпонентно
β
h (x) = f (x) + ig (x),
β
h(x)dx =
α
β
α
|h(x)| =
g(x)dx, α, β ∈ [a, b],
f (x)dx + i
α
f 2 (x) + g 2 (x).
Отображение, ставящее в соответствие комплекснозначной функции
h(x), заданной на R, функцию
1
F (y) = v.p. √
2π
+∞
h(x)e−iyx dx,
−∞
называют п р е о б р а з о в а н и е м Ф у р ь е для h(x) и обозначают F [h].
Отображение, ставящее в соответствие комплекснозначной функции
Q(y), заданной на R, функцию
1
H(x) = v.p. √
2π
называют
F −1 [Q].
обратным
+∞
Q(y)eiyx dy,
−∞
преобразованием
Фурье
и обозначают
364
Глава 19. Преобразование Фурье
Свойства преобразования Фурье
1. Преобразование Фурье непрерывной абсолютно интегрируемой на R
вещественной функции h(x) является непрерывной ограниченной на R
функцией.
Доказательство. Поскольку функция h(x) абсолютно интегрируема на
R, то
+∞
+∞
1 iyx
h(x)e dx ⩽
|h(x)|dx = M − const,
|F (y)| = √ 2π
−∞
−∞
следовательно, F (y) ограниченная на R функция.
Запишем F (y) в виде
1 F (y) = √
2π
+∞
+∞
h(x) cos yxdx − i
h(x) sin ytdt = F1 (y) − iF2 (y).
−∞
−∞
Функции F1 (y) и F2 (y) непрерывны по следствию из теоремы о непрерывности НИЗОП-1 (п. 17.4, с. 319). 2. Если f (x) непрерывная, абсолютно интегрируемая и кусочнодифференцируемая на (−∞, +∞) вещественная функция, то
F −1 [F [f ]] = f,
(19.15)
F [F −1 [f ]] = f.
Доказательство. Формула (19.15) является другой записью формулы
(19.14). В силу четности косинуса и нечетности синуса наряду с формулой
(19.13) имеет место равенство
1
f (x) = v.p.
2π
+∞
+∞
dy
f (t)eiy(t−x) dt,
−∞
−∞
что означает F [F −1 [f ]] = f. 2
Пример 19.2. Найдем F [e−x /2 ].
I(y) = F [e
1 =√
2π
−x2 /2
1
]= √
2π
+∞
2
e−x /2−ixy dx =
−∞
+∞
+∞
2
−x2 /2
e
cos xydx − i
e−x /2 sin xydx .
−∞
−∞
19.3. Преобразование Фурье
365
Дифференцируя по y (показать возможность дифференцирования), получаем
+∞
+∞
1 2
−x2 /2
I (y) = − √
xe
sin xydx − i
xe−x /2 cos xydx =
2π
−∞
−∞
2
2
= xe−x /2 dx = dv, v = −e−x /2 , sin xy = u, du = y cos xydx =
+∞
+∞
2
2
e−x /2 cos xydx + e−x /2 cos xy −∞ −
+∞
1 −x2 /2
=√
e
sin xy −∞ −y
2π
−∞
+∞
2
−iy
e−x /2 sin xydx = −yI(y).
−∞
Отсюда
I (y) = yI(y),
I(y) = Ce
−y 2 /2
C = 1,
,
1
I(0) = √
2π
+∞
2
e−x /2 dx = 1,
−∞
2
I(y) = e−y /2 .
(19.16)
Пример 19.3. Покажем, что
x2
1
2
F √ e− 4t = e−y t ,
2t
t > 0.
(19.17)
Действительно, используя формулу (19.16), имеем
x2
1
1
F √ e− 4t = √
2 πt
2t
1
=√
2π
+∞
x2
e− 4t −ixy dx =
−∞
+∞
√
√
s2
2
e− 2 −is( 2t)y ds = I(y 2t) = e−y t .
−∞
3. Преобразование Фурье для производной
Пусть функция f : R → R непрерывно дифференцируема на R и абсолютно интегрируема на R вместе с f (x). Тогда
F [f (x)] = iyF [f (x)].
366
Глава 19. Преобразование Фурье
Доказательство. По формуле Ньютона — Лейбница
x
f (x) = f (0) +
f (t)dt.
0
Поскольку
f (x)
абсолютно интегрируема, то существует предел
+∞
lim f (x) = f (0) +
f (t)dt = A.
x→+∞
0
Покажем, что A = 0. Если предположить, что, например, A > 0, то для
всех достаточно больших x выполняется
неравенство |f (x)| ⩾ A/2, откуда
+∞
по признаку сравнения интеграл 0 |f (t)|dt является расходящимся, что
противоречит условию теоремы. Таким образом, lim f (x) = 0. Аналогично,
x→+∞
lim f (x) = 0.
x→−∞
Используя формулу интегрирования по частям, получаем
1
F [f (x)] = √
2π
+∞
1 f (x)e−ixy −∞ +iy
=√
2π
+∞
f (x)e−ixy dx =
−∞
+∞
f (x)e−ixy dx = iyF [f (x)]. −∞
4. Преобразование Фурье для свертки
Пусть две комплекснозначные
+∞ функции ϕ(x) и ψ(x) определены на R,
и несобственный интеграл −∞ ϕ(t)ψ(x − t)dt сходится при любом x ∈ R.
Тогда этот интеграл называют с в е р т к о й функций ϕ(x) и ψ(x) и обозначают ϕ ∗ ψ
+∞
(ϕ ∗ ψ)(x) :=
ϕ(t)ψ(x − t)dt.
−∞
Лемма 19.1. Если функции ϕ : R → R и ψ : R → R непрерывны,
ограничены и абсолютно интегрируемы на R, то свертка ϕ ∗ ψ также
непрерывна, ограничена и абсолютно интегрируема на R.
Доказательство. Ограниченность функции (ϕ ∗ ψ)(x) следует из неравенства
+∞
+∞
|(ϕ ∗ ψ)(x)| ⩽
|ϕ(t)||ψ(x − t)|dt ⩽ sup |ψ(t)| ·
|ϕ(t)|dt.
−∞
t∈R
−∞
19.3. Преобразование Фурье
367
Поскольку функция ϕ(t)ψ(x − t) непрерывна, а из неравенства
|ϕ(t)ψ(x − t)| ⩽ M |ϕ(t)|, M = sup |ψ(t)|,
t∈R
(19.18)
+∞
и сходимости интеграла −∞ |ϕ(t)|dt по признаку Вейерштрасса вытекает
+∞
равномерная сходимость по x ∈ R несобственного интеграла −∞ |ϕ(t)ψ(x−
− t)|dt, то выполнены все условия следствия из теоремы о непрерывности
НИЗОП-1, следовательно, функция (ϕ ∗ ψ)(x) непрерывна на R.
Докажем абсолютную интегрируемость свертки. Применяя теорему о перестановке порядка интегрирования в повторном интеграле с двумя несобственными интегралами (п. 17.4), получаем
+∞
+∞
+∞
|(ϕ ∗ ψ)(x)|dx ⩽
dx
|ϕ(t)||ψ(x − t)|dt =
−∞
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
+∞
dt
|ϕ(t)||ψ(x − t)|dx =
|ϕ(t)|dx ·
|ψ(s)|ds.
=
−∞
−∞
−∞
(19.19)
−∞
Осталось проверить, что выполнены условия теоремы о перестановке порядка интегрирования в повторном интеграле с двумя несобственными
интегра +∞
лами. Равномерная сходимость по x ∈ R интеграла −∞ |ϕ(t)ψ(x − t)|dt
показана выше. Равномерная сходимость интегралов
+∞
0
|ϕ(t)ψ(x − t)|dx,
|ϕ(t)ψ(x − t)|dx
−∞
0
по t из произвольного отрезка [α, β] ⊂ R следует из неравенств
|ϕ(t)ψ(x − t)| ⩽ M1 |ψ(x − t)|, M1 = sup |ϕ(t)|,
t∈R
+∞
+∞
0
|α|
|ψ(x − t)|dx ⩽
|ψ(s)|ds,
|ψ(x − t)|dx ⩽
|ψ(s)|ds
0
−|β|
−∞
−∞
+∞
Сходимость
интеграла
и
сходимости
интеграла
−∞ |ψ(s)|ds.
+∞
+∞
dt
|(ϕ(t)||ψ(x − t)|dx установлена при выводе формулы (19.19). −∞
−∞
368
Глава 19. Преобразование Фурье
Теорема о преобразовании Фурье для свертки. Если функции
ϕ : R → R и ψ : R → R непрерывны, ограничены и абсолютно интегрируемы на R, то
√
F [ϕ ∗ ψ] = 2πF [ϕ]F [ψ].
Доказательство. Применяя теорему о перестановке порядка интегрирования в повторном интеграле с двумя несобственными интегралами, получаем
+∞
+∞
1
−ixy
e
(ϕ(t)ψ(x − t)dt dx =
F [ϕ ∗ ψ] = √
2π
−∞
1
=√
2π
1
=√
2π
−∞
+∞
+∞
ϕ(t)dt
e−ixy ψ(x − t)dx =
−∞
−∞
+∞
+∞
√
e−iyt ϕ(t)dt ·
e−isy ψ(s)ds = 2πF [ϕ] · F [ψ].
−∞
−∞
Возможность замены порядка интегрирования установлена при доказательстве леммы 19.1. Пример 19.4. Найдем функцию u(t, x), удовлетворяющую уравнению
теплопроводности
∂u(t, x)
∂ 2 u(t, x)
=
, t > 0, x ∈ R,
∂t
∂x2
(19.20)
и начальному условию
u(x, +0) = f (x).
(19.21)
Далее мы не будем останавливаться на обосновании промежуточных преобразований, так как обычно при решении уравнений легче найти нужную
функцию без обоснования проводимых преобразований, а затем непосредственной проверкой убедиться, что эта функция удовлетворяет рассматриваемому уравнению и начальному условию.
Будем искать решение уравнения (19.20) в следующем виде:
1
u(t, x) = √
2π
+∞
F [f ]v(t, y)eixy dy,
−∞
(19.22)
19.3. Преобразование Фурье
369
где v(t, y) — некоторая функция, вид которой укажем позже. Функция u(t, y)
будет решением задачи (19.20), (19.21), если
∂u ∂ 2 u
1
− 2 =√
∂t
∂x
2π
+∞
∂v(t, y)
2
+ y v(t, y) eixy dy ≡ 0.
F [f ]
∂t
−∞
Чтобы имело место последнее тождество, достаточно, чтобы функция v(t, y)
удовлетворяла уравнению
∂v(t, y)
+ y 2 v(t, y) = 0
∂t
и начальному условию v(y, 0) = 1. Решением этой задачи является функция
2
v = e−ty . Подставляя ее в формулу (19.22), имеем
1
u(t, x) = √
2π
+∞
2
F [f ]e−ty eixy dy.
−∞
Преобразуем последнее выражение, используя формулу (19.17) и свойства 2
и 4 преобразования Фурье,
1
u(t, x) = √
2π
1
=
2π
+∞
x2
1
F [f (x)]F √ e− 4t eixy dy =
2t
−∞
+∞
x2
1
F [f (x) ∗ √ e− 4t ]eixy dy =
2t
−∞
x2 1
1
1
= √ F −1 F f (x) ∗ √ e− 4t = √
2 πt
2π
2t
+∞
(x−s)2
e− 4t f (s)ds.
(19.23)
−∞
Формулу (19.23) называют формулой Пуассона. Функция u(t, x) из формулы Пуассона является решением задачи (19.20), (19.21).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Архипов, Г. И. Лекции по математическому анализу : учеб. для университетов
и пед. вузов / Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В. И. Чубариков. — М. : Высш. шк.,
1999.
Богданов, Ю. С. Лекции по математическому анализу : в 2 ч. / Ю. С. Богданов. — Минск : БГУ, 1974, 1978. – 2 ч.
Богданов, Ю. С. Математический анализ / Ю. С. Богданов, О. А. Кастрица,
Ю. Б. Сыроид. — М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2003.
Воднев, В. Т. Основные математические формулы / В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович. — Минск : Выш. шк., 1995.
Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу /
Б. П. Демидович. — М. : Наука, 1990.
Зверович, Э. И. Вещественный и комплексный анализ : в 6 ч./ Э. И. Зверович. —
Минск : Выш. шк., 2006–2008. — 6 ч.
Зорич, В. А. Математический анализ : в 2 ч./ В. А. Зорич. — М. : Наука, 1981,
1984. — 2 ч.
Ильин, В. А. Основы математического анализа : в 2 ч. / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — М. : Наука, 2002, 2005. — 2 ч.
Ильин, В. А. Математический анализ. Начальный курс / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Ч. Сендов. — М. : МГУ, 1985.
Ильин, В. А. Математический анализ. Продолжение курса / В. А. Ильин,
В. А. Садовничий, Бл. Ч. Сендов. — М. : МГУ, 1987.
Кудрявцев, Л. Д. Математический анализ : в 3 т. / Л. Д. Кудрявцев. — М. :
Дрофа, 2003– 2006. — 3 т.
Никольский, С. М. Курс математического анализа / С. М. Никольский. — М. :
Наука, 2001.
Рождественский, Б. Л. Лекции по математическому анализу / Б. Л. Рождественский. — М. : Наука, 1972.
Тер-Крикоров, А. М. Курс математического анализа / А. М. Тер-Крикоров,
М. И. Шабунин. — М. : Наука, 2001.
Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления :
в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. — М. : Физматлит, 2003. — 3 т.
Шварц, Л. Анализ : в 2 т. / Л. Шварц. — М. : Мир, 1972. — 2 т.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аддитивность 112, 159, 171, 175, 237
Асимптота
– вертикальная левосторонняя 89
– – правосторонняя 89
– – двухсторонняя 89
– наклонная 89
Величины экстремальные 228
Градиент 141, 251
Грань
– точная верхняя 7
– – нижняя 7
График 131
Группировка членов ряда 264
Диаметр
– разбиения 106, 154, 199
– фигуры 153
Дивергенция 251
Дифференциал 57, 137, 190, 193
– биномиальный 103
– второй 63, 145
– порядка n 63, 145
Длина
– кривой 121
– пути 171
Дополнение 129
Дробь простейшая 98
Замыкание 129
Инвариантность формы
первого дифференциала 64, 141, 196
Интеграл
– двойной 154
– Дирихле 323
– зависящий от параметра 303
– кратный 199
– криволинейный первого
типа 171, 232
– – второго типа 174, 232
– неберущийся 105
– неопределенный 93
– несобственный абсолютно
сходящийся 295
– – сходящийся в смысле
главного значения 362
– – условно сходящийся 295
– – первого типа 291
– – – – зависящий от параметра 310
– – – – – – равномерно сходящийся 31
– – – – – – сходящийся
локально равномерно 319
– – – – расходящийся 291
– – – – сходящийся 291
– – второго типа 299
– – – – зависящий от параметра 321
– – – – – – равномерно сходящийся 32
– – второго типа
сходящийся 299
– – – – – локально равномерно 322
– – – – расходящийся 299
– поверхностный первого типа 237
– – второго типа 239
– повторный 162
– Римана 107
– с переменным верхним пределом 11
– Фурье 356
– Эйлера — Пуассона 333
Интегралы Лапласа 324
Интервал 7
Касательная 169, 233
Клетка 199
Колебание
– интегральное 124
– функции 50
Компакт 130
Композиция степенных рядов 286
372
Предметный указатель
Косинус гиперболический 43
Котангенс гиперболический 43
Коэффициенты Фурье 337
Край поверхности 238
Кривая 120
– гладкая 121
– замкнутая 120
– кусочно-гладкая 153
– простая 120
– пространственная 231
– спрямляемая 121
Критерий
– вогнутости дважды
дифференцируемой функции 85
– выпуклости 84
– – строгой 84
– – дважды дифференцируемой
функции 85
– Гейне 26
– Гейне для ф2п 132
– Гейне непрерывности
функции 33
– Дарбу для двойного интеграла 158
– дифференцируемости функции 57
– интегральный 257
– квадрируемости 118
– Коши интегрируемости
по Риману 108, 155
– – равномерной сходимости ф2п
к предельной функции 305
– – – – НИЗОП-1 270
– – – – ФП 311
– – – – ФР 271
– – сходимости НИ-1 294
– – – последовательности 18
– – – ряда 260
– кубируемости 156
– монотонности 78
– – строгой 79
– непрерывности монотонной
функции 36
– постоянства дифференцируемой
функции 67
– равенства односторонних
пределов 27
– равномерной сходимости ф2п
к предельной функции 304
– – – НИЗОП-1 311
– – – ФП 270
– – – ФР 271
– различия чисел 6
– Сильвестра 219
– совпадения верхнего и
нижнего пределов 20
– – степенных
рядов 285
– соленоидальности векторного
поля 253
– сходимости положительного
ряда 255
– – НИ-1 от положительной
функции 293
Круг 129
Лемма
– Абеля 280
– о двойном интеграле
по прямоугольнику 160
– о ломаной 182
– Римана 338
– – для несобственного
интеграла 358
Ломаная 121
Максимум
– глобальный 228
– локальный 80, 217
– – строгий 80, 217
Матрица
– квадратичной формы 218
– Якоби 193
– – неявной векторной функции 209
Мажоранта 272
Минимум
– глобальный 228
– локальный 80, 217
– – строгий 80, 217
Многочлен 97
Многочлены Лежандра 335
Множество
– выпуклое 228
– задания функции 21
– замкнутое 129
– значений функции 21
– ограниченное 7, 130
– открытое 129
– связное 130
M-лемма для интеграла Римана 108
Предметный указатель
– для предела функции 25
– для последовательности 11
Множители Лагранжа 224
Неравенство
– Бесселя 349
– треугольника 188
Норма 188
Нормаль 233
Область 130
– объемно односвязная 249
– ограниченная замкнутая 130
– односвязная 183
– поверхностно односвязная 249
Объем 155, 199
Окрестность 129, 189
– левосторонняя 26
– правосторонняя 26
– проколотая 24
Остаток последовательности 10
Отображение 21
– биективное 23
– инъективное 23
– сюръективное 23
Отрезок 7
Первообразная 93, 186
Перестановка ряда 265
Плоскость касательная 137
Площадь
– нулевая 153
– поверхности 235
– фигуры 118
Поверхность 230
– гладкая 232
– двухсторонняя 239
– кусочно-гладкая 235
– простая 230
Подпоследовательность 16
Подстановки Эйлера 103
Поле
– векторное 251
– – потенциальное 252
– – соленоидальное 253
– скалярное 251
Полином тригонометрический 354
373
Последовательность 10
– бесконечно большая 14
– бесконечно малая 11
– возрастающая 15
– двойная 266
– локально равномерно сходящаяся 278
– монотонная 15
– ограниченная 10
– расходящаяся 11
– строго возрастающая 15
– – убывающая 15
– сходящаяся 10
– – поточечно 269
– – равномерно 269
– убывающая 15
– частных сумм 254
– фундаментальная 18
Потенциал 252
Правило Лейбница 62
– Лопиталя 69
– первое исследования
точек, подозрительных на
наличие экстремума 81
– второе исследования
стационарных точек 81
– третье исследования
стационарных точек 82
– первое исследования
точек, подозрительных на
наличие перегиба 86
– второе исследования
точек спрямления 87
– третье исследования
точек спрямления 87
Предел 130, 189
– бесконечный 15
– верхний 19
– вдоль множества 133, 189, 191
– двойной последовательности 266
– замечательный
тригонометрический 30
– логарифмический 45
– нижний 19
– повторный 266
– показательно-степенной 45
– показательный 45
– последовательности 11
– слева 27
– справа 26
– степенной 45
374
Предметный указатель
– частичный 19
– функции 24, 132
Представление Дирихле частных
сумм ряда Фурье 342
Преобразование
– диффеоморфное 164, 201
– ε -диффеоморфное 166, 201
– Фурье 363
– Фурье обратное 363
Приближение числа
по недостатку порядка n 5
Признак
– Абеля 263
– – для НИ-1 298
– – равномерной сходимости
НИЗОП-1 312
– – – – ФР 273
– Вейерштрасса 272
– – равномерной сходимости
НИЗОП-1 312
– – – – НИЗОП-2 321
– Гаусса 260
– Даламбера 257
– Дирихле 262
– – равномерной сходимости
НИЗОП-1 313
– – – – ФР 273
– – для НИ-1 297
– Коши 256
– Лейбница 261
– локальной зависимости функций 213
– независимости функций 212
– Раабе 259
– сравнения 255
– – для НИ-1 293
– – предельный 255
– – – для НИ-1 294
– степенной 258
– – для НИ-1 294
Принцип
– выбора 17
– локализации 342
– математической индукции 10
Приращение
– аргумента 32
– функции 32
Произведение
– бесконечное 268
– – расходящееся 268
– – – к нулю 268
– – сходящееся 268
– рядов 265
Производная 52
– бесконечная 52
– вторая 60
– левосторонняя 58
– параметрически заданной
функции 64
– по направлению 141
– правосторонняя 58
– cмешанная 144
– частная 137, 190
– – порядка n 143, 197
Промежуток 7
Путь 170
– замкнутый 120
– кусочно гладкий 170
– простой 170
– спрямляемый 171
Радиус сходимости 281
Разбиение 154, 199
Разложение
– косинуса 75
– логарифма 75
– синуса 74
– степенной функции 76
– экспоненты 75
Расстояние 129, 188
Ротор 251
Ряд
– абсолютно сходящийся 261, 267
– гармонический 258
– – обобщенный 258
– двойной 267
– знакопеременный 260
– знакочередующийся 261
– локально равномерно сходящийся 277
– положительный 254
– равномерно сходящийся 271
– расходящийся 254
– степенной 280
– строго положительный 254
– сходящийся 254
– Тейлора 285
– условно сходящийся 261
– Фурье 337
– – тригонометрический 340
Предметный указатель
375
– числовой 254
Сфера 190
Свойства
– бесконечно больших последовательностей 14
– бесконечных произведений 268
– B -функции 326
– Γ -функции 329
– двойного интеграла 157
– интеграла Римана 110
– КРИ-1 171
– КРИ-2 175
– непрерывных функций двух
переменных 135
– НИ-1 292
– НИ-2 299
– ПОВИ-1 237
– ПОВИ-2 240
– предела функции 29
– – – двух переменных 132
– преобразования Фурье 364
– степенных рядов 283
– сходящихся последовательностей 12
Сектор криволинейный 119
Синус гиперболический 43
Система функций
– ортогональная 334
– ортонормированная 334
Следствие
– из теоремы о дифференцировании
НИЗОП-1 319
– – о непрерывности
НИЗОП-1 319
– – о почленном дифференцировании
ФР 278
– – – интегрировании ФР 278
– – Стокса — Зайделя 278
Сторона поверхности
– отрицательная 238
– положительная 238
Сумма
– двойного ряда 267
– интегральная 106, 154, 199
Совокупность
– функциональная зависимая 210
– – независимая 211
Сходимость
– поточечная 304
– равномерная 304
Таблица
неопределенных интегралов 94
производных 57
Тангенс гиперболический 43
Тело 155, 199
– кубируемое 155, 199
– простое 199
– составное 246
Теорема
– Барроу 113
– Вейерштрасса 48
– Кантора 49, 136
– Коши 68
– Лагранжа 67
– о возрастающей ограниченной
двойной последовательности 267
– о выборе монотонной
подпоследовательности 16
– о глобальном минимуме
выпуклой функции 89, 229
– о гранях 8
– о двойной последовательности 267
– о двойном ряде 267
– о дифференцировании интеграла,
зависящего от параметра 307
– – НИЗОП-1 318
– – НИЗОП-2 322
– – – с пределами интегрирования,
зависящими от параметра 308
– – векторной функции 194
– о длине кривой 122
– о зависимости линейных функций 211
– о замене переменной
при вычислении предела 30
– – переменных в 2И 167
– – – в кратном интеграле 201
– – порядка интегрирования 310
– – – – в повторном интеграле
с одним несобственным интегралом 317
– – – – – – с двумя
несобственными интегралами 320
– о колебании функции 51
– о компакте 130
– о локальной ограниченности 38
– о матрице Якоби сложной
функции 194
– о монотонной
ограниченной последовательности 15
376
Предметный указатель
– о наклонной асимптоте 90
– о независимости КРИ-2 от пути
интегрирования 183, 250
– о непрерывности арифметических
комбинаций непрерывных функций 38
– – векторной функции 192
– – интеграла, зависящего
от параметра 307
– – НИЗОП-1 317
– – НИЗОП-2 322
– – обратной функции 37
– – предельной функции 305
– – сложной функции 37 134
– – функции, имеющей
конечную производную 53
– о неявной функции 149
– – скалярной функции
векторного аргумента 204
– – векторной функции 205
– о перестановке ряда 265
– о переходе к пределу
под знаком интеграла 306
– – – – НИЗОП-1 315
– – – – НИЗОП-2 322
– о поточечной сходимости
ряда Фурье 343
– о почленном дифференцировании
степенного ряда 284
– – – ФР 276
– – интегрировании ФР 275
– – – ряда Фурье 351
– о представлении функции
интегралом Фурье 359
– о приближении непрерывной
функции многочленами 355
– о производной арифметических
комбинаций функций 53
– – обратной функции 55
– – сложной функции 56
– о промежуточном значении 47
– о равномерной сходимости
ряда Фурье 350
– о разложении рациональной
функции 98
– – сложной функции
в степенной ряд 286
– о сведении 2И к
повторному интегралу 160
– – кратного интеграла
к повторному интегралу 200
– – КРИ-2 к 2И 179
– – КРИ-2 к ПОВИ-2 248
– – ПОВИ-2 к 3И 246
– о смешанных производных 144
– о среднем 112, 157
– о стабилизации знака 38
– о частных производных
сложной функции 138
– о функциях с совпадающими
производными 67
– об интегрируемости функции
с нулевым по площади множеством
точек разрыва 160
– – – непрерывной
на отрезке функции 110
– – – – на компакте функции 155
– об обратной функции 210
– об общем виде первообразной 93
– об остаточном члене
формулы Тейлора 71
– обобщенная о среднем
интеграла Римана 296
– Ролля 65
– Стокса — Зайделя 275
– Ферма 66
– Фейера 353
Точка
– бесконечного скачка 35
– внутренняя 129
– – поверхности 238
– глобального максимума 88
– – минимума 88
– граничная 129
– изолированная 129
– конечного скачка 34
– краевая 238
– неопределенности 35
– особая 298
– перегиба 85
– предельная 129
– разрыва первого типа 35
– – второго типа 35
– самопересечения 120
– спрямления 85
– стабильного ранга 213
– стационарная 65
– условного максимума 222
– – локального максимума 222
– – минумума 221
– – локального минумума 221
Трапеция криволинейная 118
– – элементарная относительно
Предметный указатель
оси 0x 163
– – – – – 0y 162
Уравнение
– векторное кривой 231
– – поверхности 230
– параметрическое кривой 169, 231
– – поверхности 230
– связи 222
Условие
– Дарбу интегрируемости
необходимое 124
– Дарбу интегрируемости
достаточное 126
– достаточное дифференцируемости
140, 191, 194
– – локального экстремума 219
– – выпуклости скалярной
функции векторного аргумента 229
– – равномерной сходимости ф2п
к предельной функции 305
– Коши 18
– необходимое Лагранжа
локального условного экстремума 225
– – локального экстремума 80, 217
– – точки перегиба 85
– – интегрируемости
по Риману первое 107, 154
– – интегрируемости
по Риману второе 107, 155
– – сходимости ряда 254
Фигура 117
– квадрируемая 118
– простая 118
– составная 178
Фигуры диффеоморфные 164
Форма
– квадратичная 218
– – положительно определенная 218
– – полуопределенная 218
– – отрицательно определенная 218
– – знакопеременная 218
– Коши для остаточного члена 72
– Лагранжа для остаточного члена 72
– Пеано для остаточного
члена 72
Формула
– Гаусса — Остроградского 246
– Грина 179
– Даламбера вычисления
радиуса сходимости 281
– интегрирования по частям 115, 302
– замены переменных 115, 301
– – – в 2И 167
– конечных приращений 67
– – – для ф2п 139
– Коши вычисления радиуса
сходимости 281
– Коши — Адамара вычисления
радиуса сходимости 282
– Лагранжа 67
– Лейбница 307
– Ньютона — Лейбница 114, 300
– сведения ПОВИ-2 к 2И 240
– связывающая В- и
Г-функции 331
– Стокса 248
– Тейлора 71, 147, 198
– – в дифференциалах 73
Функции эквивалентные 21
Функция 21
– бесконечно большая 46
– – малая 46
– В 326
– большего порядка малости 46
– векторная 191
– вещественная 21
– вогнутая 83
– – строго 83
– возрастающая 35
– выпуклая 82, 228
– – строго 82
– Γ 329
– двух переменных 131
– дифференцируемая
в точке 57, 137, 190, 192
– – на промежутке n -раз 61
– интегрируемая
в несобственном смысле 291
– – в смысле главного значения 362
– – по Риману 107, 154, 199
– комплекснозначная 363
– кусочно-дифференцируемая 343
– кусочно-непрерывная 35
– Лагранжа 224
– логарифмическая 42
– монотонная 35
– непрерывная в точке 32, 134, 189
– – вдоль множества 134, 189, 192
377
378
Предметный указатель
– – на множестве 134
– – по совокупности переменных 134
– – по x и по y 134
– – слева 34
– – справа 34
– непрерывно дифференцируемая
на множестве 140, 190
– – – – m раз 145, 197
– – – на промежутке 59
– – – – n-раз 61
– неявная 148
– – скалярная векторного
аргумента 204
– – векторная 205
– обратная 23
– периодическая 339
– показательная 40
– равномерно непрерывная 49
– разрывная в точке 32
– рациональная 97
– – от двух переменных 102
– – правильная 98
– рациональнотригонометрическая 104
– скалярная 21
– – векторного аргумента 189
– сложная 23
– степенная с вещественным
показателем 43
– – с рациональным
показателем 39
– стремящаяся к бесконечности 2
– строго монотонная 35
– – возрастающая 35
– – убывающая 35
– убывающая 35
– элементарная 43
Цилиндроид 156, 200
Циркуляция 251
Числа натуральные 5
– вещественные 5
– иррациональные 5
– рациональные 5
Член остаточный
формулы Тейлора 71
Шар 188
Экстремум локальный 80
Ядра Фейера 353
Якобиан 165