בעיות מבוא ליחס 010303 מבוא ליחס א. מהו יחס? יחס הוא נתון שמלמד על קשר מתמטי בין גדלים או בין קבוצות. למשל ,אם נרצה לציין כי בכיתה מסוימת מספר הבנות גדול פי 2ממספר הבנים נוכל לכתוב זאת כך: "בכיתה מסויימת ,היחס בין מספר הבנים למספר הבנות בכיתה הוא ."1 : 2 שימו לב :את סוף המשפט נקרא" :אחת ל -שתיים" .שכן ,עברית קוראים מימין לשמאל ומספרים משמאל לימין .הגודל שמוזכר ראשון במשפט )מספר הבנים( מיוצג על-ידי המספר שאותו נקרא ראשון )המספר ,1השמאלי( והגודל שמוזכר שני במשפט )מספר הבנות( מיוצג על-ידי המספר שאותו נקרא אחר כך )המספר ,2הימני(. אפשר להעביר מידע זה בצורות נוספות .למשל ,אפשר לומר שמספר הבנות בכיתה גדול פי 2 1 ממספר הבנים בכיתה ,או שמספר הבנים בכיתה מהווה ממספר הבנות בכיתה. 2 בכל אחת מהצורות הללו מועבר אותו מידע ,מי הקבוצה הגדולה יותר ופי כמה היא גדולה. חשוב לדעת כי אם נתון יחס בלבד לא ניתן להסיק ממנו מה הגודל האמיתי של כל קבוצה. למשל ,על-פי הדוגמה שלעיל ,ייתכן שבכיתה יש 5בנים ו 10 -בנות ,וייתכן גם שיש 20בנים ו 40 -בנות וכן הלאה. לסיכום: יחס מלמד על קשר בין גדלים או קבוצות )מי יותר גדול ופי כמה( ,אך אינו מלמד על גודלם האמיתי. ב. יחס כשבר ניתן להבין יחס גם כפעולת חילוק בין גדלים .נחזור לדוגמה הקודמת: היחס בין מספר הבנים למספר הבנות בכיתה הוא .1 : 2 מכיוון שהסימן " " :משמעו "חלקי" הרי שהרישום " "1 : 2משמעו "אחת חלקי שתיים". כלומר :אם ניקח את מספר הבנים ונחלק במספר הבנות )ונצמצם( נקבל את הביטוי החשבוני " =) 1 : 2אחת חלקי שתיים"(. 1מספר הבנים . ניתן לרשום את היחס כשבר ,כך= : 2מספר הבנות שימו לב שגם צורת הרישום של היחס כשבר מלמדת רק על הקשר שבין גדלי הקבוצות ולא על גודלם האמיתי .שהרי יש מספרים רבים שאם נחלק אותם זה בזה נקבל את התוצאה . 1 2 למשל. 1 = 5 = 10 = 45 ... : 90 20 10 2 ראינו שאת השבר הנתון ביחס ניתן להרחיב או לצמצם .כלומר ,להכפיל את המונה ואת המכנה באותו גודל ,או לחלקם באותו גודל )מי שזקוק להרחבה בנושא צמצום והרחבה של שברים כדאי שיפנה למבוא לשברים -סעיף ה' ,עמודים .(41 - 37 290 בעיות מבוא ליחס בצורה דומה ,ניתן היה להרחיב ולצמצם את המספרים המופיעים ביחס גם כשהוא רשום אופקית: בנות : : 2 : 10 : 40 : 4 בנים 1 5 20 2 פי 5 פי 4 או: 1 5 20 2בנים = = = = 2 10 40 4בנות חלקי 10 במילים אחרות ,אם נכפול ,או נחלק ,כל אחד מהגדלים שביחס באותו מספר -היחס יישמר. בהמשך המבוא נלמד מתי כדאי להשתמש בהרחבה ובצמצום של יחס. לסיכום: יחס הוא פעולת חילוק בין גדלים ולכן ,ניתן להרחיבו ולצמצמו כמו שבר )על-ידי כפל או חילוק כל הגורמים באותו מספר(. דוגמה: נתון :בגינה ,היחס בין מספר הכלבים למספר החתולים הוא .2 : 3 )כאמור ,את סוף המשפט נקרא" :שתיים ל -שלוש"(. קבוצת הכלבים מופיעה ראשונה במשפט ולכן מיוצגת על-ידי המספר ,2וקבוצת החתולים, המופיעה שנייה במשפט ,מיוצגת על-ידי המספר .3מספרים אלה לא מלמדים אותנו על הגודל האמיתי של כל קבוצה אלא רק על הקשר בין גדלי הקבוצות: 1 1 מספר החתולים גדול פי 1ממספר הכלבים )כי 3גדול פי 2 2 2 2 מספר הכלבים מהווה ממספר החתולים )כי 2מהווה מ.(3 - 3 3 2מספר הכלבים . ניתן לרשום את הנתון גם כך= : 3מספר החתולים 1מ.(2 - שאלה לדוגמה: נתון :בגינה ,היחס בין מספר הכלבים למספר החתולים הוא .2 : 3 אם ידוע שבגינה 8כלבים ,כמה חתולים בגינה? פתרון: אפשר לראות שמספר הכלבים האמיתי ) (8גדול פי 4מהמספר שמייצג את קבוצת הכלבים ביחס ) ,(2ועל כן מספר החתולים האמיתי צריך גם הוא להיות גדול פי 4מהמספר שמייצג את קבוצת החתולים ) ,(3כלומר מספר החתולים האמיתי הוא .(3 ⋅ 4 =) 12 מה שעשינו היה הרחבה של היחס פי 4כדי להתאימו למספר הכלבים הנתון. ⋅4 2 מספר הכלבים → 8 = ניתן לרשום זאת כך= : . → 12 3 מספר החתולים ⋅4 291 בעיות מבוא ליחס תרגול ) 1פתרונות בעמוד : (299 .1 נתון :בחנות ממתקים היחס בין מספר המסטיקים למספר הסוכריות הוא .1 : 4 א .אם נרחיב את היחס פי 3נקבל את היחס __ . __ : ב .אם נרחיב את היחס פי 7נקבל את היחס __ ל. __ - ג .אם נצמצם את היחס ב 2 -נקבל את היחס __ . __ : .2 נתון :בגן החיות היחס בין מספר הדובים למספר הדובות הוא .3 : 5 השלימו את הגדלים החסרים )השתמשו בהרחבה ובצמצום המספרים שביחס הנתון(: א .דובות :דובים ג. ב .דובות :דובים ג .דובות :דובים ד .דובות :דובים 3:5 3:5 3:5 3:5 __ : 10 __ 12 : __ 1 : __ : 1 מציאת היחס בין מספרים במקרה בו ידועים לנו הגדלים האמיתיים של הקבוצות ,ניתן להציג את הקשר ביניהן בצורת יחס. דוגמה א': מה היחס בין המספרים 25ל?50 - פתרון: ניתן לראות שהמספר 50גדול פי 2מהמספר .25לכן היחס בין המספר 25למספר 50הוא .1 : 2 אם אנו נתקלים במקרה שבו קשה יותר לגלות את היחס בין המספרים ,נוכל למצוא אותו על-ידי רישום היחס כפעולת חילוק וצמצום שני המספרים שביחס )בדומה לצמצום מונה ומכנה בשבר(, כך25 : 50 : חילוק ב25 - 1 : 2 דוגמה ב': במגרש החנייה 18משאיות ו 24 -מכוניות .מה היחס בין מספר המשאיות למספר המכוניות? פתרון: דוגמה זו מורכבת יותר מהדוגמה הקודמת ,כי 18לא נכנס ב 24 -מספר שלם של פעמים. לכן ,נרשום את שני המספרים זה ליד זה ונצמצם כמו שמצמצמים שבר: - 18 : 24נחלק את שני הגורמים ב ,6 -ונקבל .3 : 4 מכאן שהיחס בין מספר המשאיות למספר המכוניות הוא .3 : 4 292 בעיות מבוא ליחס שימו לב :היינו יכולים לבצע את הצמצום בשלבים ,למשל :בשלב ראשון לחלק את שניהם ב3 - ולקבל 6 : 8ואז לחלק ב 2 -ולקבל .3 : 4תמיד נשאף לצמצם עד שנגיע למספרים השלמים הקטנים ביותר .כך לרוב נהוג להציג יחס. לסיכום: כדי למצוא את היחס בין שני גדלים ידועים -נרשום את הגדלים זה לצד זה ונצמצם עד שנגיע למספרים השלמים הקטנים ביותר )או למספרים הרשומים בתשובות(. תרגול ) 2פתרונות בעמוד : (299 .1 מה היחס בין המספר 15למספר ?45 .2 במגירת הסכו"ם של ערן יש 24סכינים ו 32 -מזלגות. מה היחס בין מספר הסכינים שבמגירה למספר המזלגות? .3 במוזיאון העירוני יש 25פסלים ו 125 -תמונות. מה היחס בין מספר הפסלים למספר הפריטים הכולל במוזיאון ,אם מוצגים בו פסלים ותמונות בלבד? ד. חישוב גודל אמיתי בעזרת יחס כאמור ,מנתון אודות יחס אפשר ללמוד על הקשר שבין קבוצות אבל לא על הגודל האמיתי של כל אחת מהן .מתי נוכל לחשב גודל אמיתי? אם בנוסף ליחס נתון גם מספר אמיתי ,למשל הגודל המדויק של אחת הקבוצות .בעזרת מספר אמיתי זה ובעזרת הקשר שלו לגדלים האחרים ,קשר שעליו אנו לומדים מתוך היחס ,נוכל לחשב את הגודל האמיתי של כל ה"משתתפים" ביחס. דוגמה א': היחס בין מספר הבנים למספר הבנות בכיתה הוא .1 : 2בכיתה 30בנות .כמה בנים יש בכיתה? פתרון: כאשר נתון יחס וגם גודל אמיתי של אחת הקבוצות ,נוכל להשתמש בקשר שנותן היחס כדי לחשב את הגדלים האחרים .במקרה זה הגודל הנתון קטן ונוח יחסית וגם הקשר בין הקבוצות הוא פשוט ולכן אפשר לחשב בעל-פה: 1 מספר הבנים מהווה 2 ממספר הבנות ,כך שאם יש 30בנות בכיתה ,אז יש בה 15בנים. 293 בעיות מבוא ליחס דרך אחרת לחשב גודל אמיתי בהינתן יחס היא להשתמש במשוואה. בשלב הראשון ,נצמיד xלכל אחד מהמספרים ביחס. בשלב השני ,נבנה משוואה :באגף אחד שלה נרשום את המספר האמיתי הנתון ובאגף האחר נרשום את גודל קבוצה הנתונה בעזרת .x על-ידי פתרון המשוואה נמצא את ערכו של xוכך נוכל למצוא את הגודל עליו נשאלנו. נציג דרך זו על דוגמה א' ,שבעמוד הקודם: שלב א' :נצמיד xלכל אחד מהמספרים ביחס :מספר הבנים הוא xומספר הבנות הוא .2x )שימו לב :הקשר בין הקבוצות נשמר .מספר הבנות הוא פי 2ממספר הבנים .הנעלם xמחליף את המספר בו היחס הצטמצם(. שלב ב' :נבנה משוואה: הגודל האמיתי הנתון הוא מספר הבנות ) .(30גודל קבוצת הבנות המבוטא ב x -הוא .2x אם כך2x = 30 : ומכאןx = 15 : שלב ג' :נמצא את מה שהתבקשנו למצוא .מספר הבנים שווה ל x -ולכן יש 15בנים בכיתה. דוגמה ב': היחס בין מספר הגברים למספר הנשים במשרד הוא .2 : 3כמה נשים עובדות במשרד ,אם בסך הכל עובדים בו 45אנשים? פתרון: נשתמש בגודל האמיתי הנתון )סך כל העובדים במשרד( וביחס הנתון כדי לחשב את מספר הנשים. שלב א' :נצמיד xלמספרים ביחס הנתון .נסמן את מספר הגברים כ 2x -ואת מספר הנשים כ.3x - שלב ב' :נבנה משוואה שבאגף אחד הגודל האמיתי ,ובאגף השני אותו הגודל מבוטא בעזרת .x הגודל הנתון ) (45שווה ל = 3x + 2x =) 5x -מספר הגברים +מספר הנשים = סך-כל העובדים(. כעת אפשר לרשום משוואה ולחשב את ערכו של :x 5x = 45 x=9 שלב ג' :לאחר שמצאנו מה ערכו של ,xנוכל לחשב את מספר הנשים. מספר הנשים הוא .(3x = 3 ⋅ 9 =) 27 שימו לב :ניתן היה להשתמש גם בהרחבה של היחס כדי להתאים אותו לגודל המספרי הנתון )כמו שראינו בסעיף ב' במבוא( .בדוגמה א' ,השימוש בהרחבה נוח למדי .עם זאת ,במקרים אחרים הרחבת היחס עלולה להיות לא נוחה .למשל ,בדוגמה ב' ,הקשר בין היחס לבין הכמות הנתונה לא כל כך ברור .במקרים אלו נעדיף לבנות משוואה. 294 בעיות מבוא ליחס לסיכום: חישוב גודל אמיתי בעזרת יחס: כאשר נתונים גם יחס וגם גודל מספרי אמיתי ,אפשר לחשב את שאר הגדלים האמיתיים בעזרת הקשר שנותן היחס בשתי דרכים עיקריות: .1הרחבה של היחס )בעל-פה או ברישום כשבר( כך שיתאים למספר הנתון. .2כתיבת משוואה: א .נצמיד xלכל אחד מהמספרים ביחס הנתון. ב .נכתוב משוואה שמקשרת בין המספר הנתון לבין ערכו המבוטא ב x -ונמצא את ערכו של .x ג .נחשב כל גודל רצוי לפי ערכו ב.x - תרגול ) 3פתרונות בעמוד :(299 .1 בילקוט של גל ,היחס בין מספר הספרים למספר המחברות הוא .1 : 4 אם בילקוט של גל 12ספרים ,כמה מחברות בילקוט? .2 בתערוכה במוזיאון מוצגות 40יצירות .היחס בין מספר היצירות של אמנים ישראלים למספר היצירות של אמנים זרים הוא .1 : 3 כמה יצירות הן של אמנים ישראלים? .3 בבריכה יש 72בעלי מנויים .היחס בין מספר הילדים המנויים לבריכה לבין מספר המבוגרים המנויים לבריכה הוא .3 : 5 לכמה מבוגרים יש מנוי לבריכה? 295 בעיות מבוא ליחס דף סיכום א .מהו יחס? .1יחס מלמד על קשר בין גדלים )מי יותר גדול ופי כמה( ,אך לא מלמד על ערכם האמיתי. .2יחס הוא פעולת חילוק בין גדלים ,ולכן ניתן להרחיבו ולצמצמו כמו שבר )על-ידי כפל או חילוק של כל הגורמים באותו מספר(. ב .מציאת היחס בין גדלים כדי למצוא את היחס בין שני גדלים ידועים ,נרשום את הגדלים זה לצד זה ,ונצמצם עד שנגיע למספרים השלמים הקטנים ביותר )או למספרים הרשומים בתשובות(. ג .חישוב גודל אמיתי בעזרת יחס כאשר נתונים גם יחס וגם גודל מספרי אמיתי ,אפשר לחשב את שאר הגדלים האמיתיים בשתי דרכים עיקריות: .1הרחבה של היחס )בעל-פה או ברישום כשבר( כך שיתאים למספר הנתון. .2כתיבת משוואה: א .נצמיד xלכל אחד מהמספרים ביחס הנתון. ב .נכתוב משוואה שמקשרת בין המספר הנתון לבין ערכו המבוטא ב ,x -ונמצא את ערכו של .x ג .נחשב כל גודל רצוי לפי ערכו ב.x - 296 בעיות מבוא ליחס שאלות לסיכום )פתרונות בעמוד (299 .1 ליעל 24ספרים בעברית ו 60 -ספרים באנגלית. מה היחס בין מספר הספרים בעברית למספר הספרים באנגלית? )1 : 5 (1 .2 מה היחס בין המספרים 12 ,3ו?72 - )1 : 4 : 24 (1 .3 )2 : 5 (2 )1 : 4 (3 )2 : 7 (4 )1 : 5 : 25 (2 )1 : 4 : 25 (3 )2 : 4 : 25 (4 במשרד נסיעות נרשמו 28הזמנות לנופש בארץ ו 70 -הזמנות לנופש בחו"ל. מה היחס בין מספר ההזמנות לנופש בארץ לבין מספר ההזמנות הכולל? )1 : 2 (1 .4 )2 : 3 (2 )2 : 7 (3 )4 : 7 (4 בחנות חיות ,היחס בין מספר האוגרים למספר התוכים הוא .1 : 4 אם בחנות 12אוגרים ,כמה תוכים יש בחנות? )40 (1 .5 )60 (2 )3 (3 )48 (4 מספר החולצות של דנה שווה 1ממספר הכובעים שלה. 3 אם לדנה יש 18חולצות ,כמה כובעים יש לה? )54 (1 .6 )6 (2 )60 (3 )66 (4 ביחידה צבאית ,מספר המפקדים גדול פי 5ממספר הסגנים. אם ביחידה 25מפקדים ,כמה סגנים יש בה? )1 (1 )5 (2 )3 (3 )4 (4 297 בעיות .7 מבוא ליחס בבית החולים ,היחס בין מספר הרופאים למספר המתמחים הוא .2 : 5 אם בסך הכול יש 35רופאים ומתמחים ,כמה רופאים יש? )7 (1 .8 )10 (2 )30 (3 )45 (4 היחס בין מספר הסכינים למספר המזלגות למספר הכפות שבארון הוא .1 : 2 : 3 אם בארון 6מזלגות ,כמה כפות יש? )9 (1 .9 )18 (2 )3 (3 )6 (4 במוסך "יוסי" יש אופנועים ומכוניות בלבד .היחס בין מספר האופנועים למספר המכוניות שבמוסך הוא .4 : 5 אם במוסך 24אופנועים ,כמה כלי רכב יש בו בסך הכול? )12 (1 .10 )24 (2 )30 (3 )54 (4 לאילנית יש 28מסטיקים בשני צבעים בלבד :אדום וכחול .היחס בין מספר המסטיקים האדומים למספר המסטיקים הכחולים הוא .3 : 4 כמה מסטיקים כחולים יש לאילנית? )10 (1 .11 )12 (2 )14 (3 )16 (4 בחדר כושר 80מתאמנים בסך הכול )גברים ונשים( .היחס בין מספר הגברים למספר הנשים הוא .3 : 7 כמה נשים מתאמנות בחדר הכושר? )12 (1 298 )24 (2 )56 (3 )70 (4 בעיות מבוא ליחס התשובות הנכונות תרגול 1 1א 1ב 1ג 2א 3 : 12 7ל28 - 1 :2 2 6 תרגול 2 2ב 20 2ג 2ד 5 3 3 5 תרגול 3 1 2 3 1 2 3 1:3 3:4 1:6 48 10 45 שאלות לסיכום 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 1 3 4 1 2 2 1 4 4 3 299
