מבוא למשוואות דיפרנציאליות 1 למה ללמוד משוואות דיפרנציאליות ? משוואות דיפרנציאליות הן אחד מהכלים המתמטיים החזקים ביותר שהמציאו בני־אדם, ויש להן אין־ספור שימושים בכל תחומי המדע וההנדסה .הסיבה לכך היא שמשוואות דיפרנציאליות נותנות לנו שפה טבעית כדי לתאר תופעות דינמיות ־ שינוי בזמן .הנה כמה דוגמאות לתופעות שאפשר לתאר ולחקור בעזרת משוואות דיפרנציאליות: • תנועה של כוכבים תחת השפעת הכוחות ההדדיים בינהם • תגובות כימיות • מתחים וזרמים במעגלים חשמליים • התפשטות של גלים אלקטרומגנטיים במרחב • מעבר חום ושינויי טמפרטורה של גופים • בקרה אוטומטית של מטוסים • רעידות אדמה • דינמיקה כלכלית ־ צמיחה ,אבטלה ,אינפלציה • גידול של אוכלוסיית בני אדם או חיות • תהליכים אקולוגיים ,השפעות הדדיות בין טורפים ונטרפים או חיות המתחרות על משאבים • התפשטות של מגיפות באוכלוסייה • תהליכי שינוי גנטי ואבולוציה ביולוגית 1 2 מהן משוואות דיפרנציאליות ? • זרימת נוזלים • חיזוי מזג אוויר ושינויי אקלים את הרשימה הזאת אפשר להמשיך עוד ועוד ...במסגרת קורס זה נכיר כמה מהשימושים המוזכרים כאן ,ושימושים אחרים תפגשו בקורסים אחרים. כדי לתאר תופעה בעזרת משוואה דיפרנציאלית ,עלינו להשתמש בידע או בהשערה שיש לנו לגבי המנגנון שעומד מאחורי התופעה כדי לנסח משוואה דיפרנציאלית מתאימה. לאחר שניסחנו משוואה דיפרנציאלית ,עלינו לפתור אותה ,ובעזרת הפתרון נקבל תחזית לגבי התפתחות התופעה שאותה מתארת המשוואה הדיפרנציאלית .על־מנת לפתור משוואות דיפרנציאליות צריך להשתמש בטכניקות שאותן נלמד בקורס זה. בפרק זה נכיר את המושג "משוואה דיפרנציאלית" ,נתחיל לחקור דוגמאות למשוואות דיפרנציאליות ,ונראה כיצד לנסח משוואות דיפרנציאליות המתארות תופעות חשובות של גידול ודעיכה. 2 מהן משוואות דיפרנציאליות ? כדי להכיר את המושג "משוואה דיפרנציאלית" ולהבין כיצד שונות משוואות דיפרנציאליות מסוגים אחרים של משוואות המוכרים לנו מלימודים קודמים ,נכתוב שלוש דוגמאות למשוואות דיפרנציאליות: 0 )(2.1 )y (t) = y(t )y 0 (t) = 2y(t )(2.2 y 0 (t) = (y(t))2 )(2.3 הנה ההגדרה של המושג "משוואה דיפרנציאלית" מויקיפדיה: משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה הנעלם הוא פונקציה ,כאשר המשוואה מתארת תלות בין הפונקציה ונגזרותיה. בכל אחת מהמשוואות הדיפרנציאליות שכתבנו ,מופיעה פונקציה ) ,y(tשהיא הפונקציה הנעלמת .מימי הלימודים בבית־הספר אנו מכירים משוואות אלגבריות כמו 2x + 1 = 9 c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 2 2 מהן משוואות דיפרנציאליות ? x2 + 2x − 6 = 0 שבהן הנעלם הוא מספר .xכאשר מדובר במשוואות דיפרנציאליות ,הנעלם שלנו איננו מספר אלא פונקציה .זהו הבדל מרכזי בין משוואות אלגבריות ומשוואות דיפרנציאליות. מאפיין נוסף של משוואות דיפרנציאליות הוא שבמשוואה מופיעה לא רק הפונקציה הנעלמת אלא גם נגזרות שלה. כאשר אנחנו מנסים לפתור משוואה דיפרנציאלית ,אנחנו מנסים למצוא פונקציה )y(t שאם נציב אותה במשוואה ,שני האגפים יהיו שווים. נסתכל על המשוואה הדיפרנציאלית ) .(2.1כדי לפתור אותה ,צריך למצוא פונקציה שאם גוזרים אותה מקבלים את אותה הפונקציה שממנה התחלנו .מלימודינו בחשבון דיפרנציאלי ,נוכל להיזכר בפונקציה מפורסמת שיש לה את התכונה הזאת ,הפונקציה y(t) = et . ראו נספח לפרק זה לדיון יותר מעמיק בפונקציה הזאת. לכן מצאנו פתרון למשוואה הדיפרנציאלית ) .(2.1האם הפתרון שמצאנו הוא הפתרון היחיד של המשוואה הדיפרנציאלית ) (2.1או שאולי ניתן למצוא פתרונות נוספים? לאחר הרהורים נוספים נוכל להגיע למסקנה שיש פונקציות אחרות שגם הן פתרונות של אותה המשוואה הדיפרנציאלית: y(t) = 2et , y(t) = 3et , y(t) = −et ... ולמעשה כל פונקציה מהצורה y(t) = Cet )(2.4 כאשר Cמספר כלשהו שנבחר .אפשר אפילו לבחור C = 0ולקבל את הפונקציה הקבועה y(t) = 0שגם היא פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית ).(2.1 בשלב זה מצאנו משפחה אינסופית של פתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית ) .(2.1זוהי תופעה אופיינית ־ למשוואות דיפרנציאליות יש משפחות אינסופיות של פתרונות .מעניין, ולפעמים גם מועיל מאד ,להציג בצורה גרפית את משפחת הפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית .כמובן שאיננו יכולים לסרטט גרפים של אינסוף פונקציות ,אבל אפשר לסרטט כמה גרפים יצוגיים שיתנו לנו תמונה טובה לגבי הצורות שיכולים לקבל פתרונות המשוואה הדיפרנציאלית )איור .(1 נציין שלמרות שמצאנו משפחה אינסופית של פתרונות עבור ) ,(2.1לא הראינו שמשפחת הפתרונות שמצאנו כוללת את כל הפתרונות האפשריים של המשוואה הדיפרנציאלית ) .(2.1האם ייתכן שיש פתרונות אחרים שעוד לא מצאנו? ניתן להוכיח שאוסף הפתרונות ) (2.4הוא אכן אוסף כל הפתרונות של ) .(2.1הוכחה פשוטה ויפה של עובדה זו אפשר למצוא בנספח לפרק זה )משפט .(10.3 c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 3 3 דוגמה :משוואה דיפרנציאלית לתיאור גידול אוכלוסיה איור :1משפחת הפתרונות של המשוואה )(2.1 שאלה 2.1א .מצאו פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית ).(2.2 ב .מצאו משפחה אינסופית של פתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית ).(2.2 שאלה 2.2א .מצאו משפחה אינסופית של פתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית y 0 (t) = −y(t). ב .צרו סרטוט של משפחת הפתרונות האלה. בשלב זה של עבודתנו ,הדרך היחידה שיש לנו למצוא פתרונות עבור משוואות דיפרנציאליות היא "שיטת הניחוש" .כמובן ששיטה זו לא יעילה במיוחד ,והיא גם נעשית קשה מאד כאשר המשוואה קצת יותר מסובכת .האם ,למשל ,נוכל לנחש פתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית )?(2.3 אחת ממטרותינו בקורס הזה היא ללמוד דרכים שיטתיות לפתרון משוואות דיפרנציאליות, כך שלא נאלץ לנחש פתרונות. 3 דוגמה :משוואה דיפרנציאלית לתיאור גידול אוכלוסיה נציג דוגמה לשימוש במשוואה דיפרנציאלית לבניית מודל מתימטי לתיאור תופעה חשובה ־ גידול אוכלוסיה .חיזוי גודל אוכלוסייה עתידית של עיר או של מדינה היא משימה חשובה ,מאחר ותכנון של תשתיות עתידיות ־ דיור ,כבישים ,בתי ספר ,שירותים רפואיים c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 4 3 דוגמה :משוואה דיפרנציאלית לתיאור גידול אוכלוסיה וכו' ־ חייב להסתמך על תחזיות כאלה .ננסה לבנות מודל מתימטי שיאפשר לנו לחזות את גודל אוכלוסיית ישראל בעתיד. דוגמה 3.1על פי נתוני הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה ,אוכלוסיית ישראל מנתה בתחילת שנת 8.345 2015מיליון .בשנת 2014נולדו כ־ 176, 600תינוקות ,ונפטרו 42, 396בני אדם. כיצד נוכל להשתמש בנתונים אלו כדי לחזות את אוכלוסיית ישראל בעתיד? נתחיל ראשית ממודל פשוט מאד ,אבל בעל חסרונות רציניים .מהנתונים לגבי שנת 2014אנו יודעים שהאוכלוסיה גדלה בשנה זו ב־ 176, 600 − 42, 396 = 134, 204 אנשים .במלים אחרות קצב הגידול של האוכלוסיה בשנה זו הוא 134, 204אנשים לשנה ,או 0.134מליוני אנשים לשנה .נגדיר פונקציה ) P (tשתתאר את גודל אוכלוסיית ישראל במליונים בזמן tבשנים ,כאשר t = 0מציין את תחילת .2015אנו משתמשים באות Pבגלל המילה האנגלית population־ אוכלוסיה. אם נניח קצב גידול קבוע ,אז בכל שנה יתווספו 0.134מיליון אנשים לאוכלוסיה ,ונוכל לכתוב ביטוי למספר האנשים ) P (tבמיליונים P (t) = 8.345 + 0.134 · t. )(3.1 זהו מודל של גידול בקצב קבוע ,או מודל לינארי ־ הגרף של הפונקציה ) P (tהוא קו ישר .מודל זה חוזה שבשנת 2050אוכלוסיית ישראל תהיה P (35) = 8.345 + 0.134 · 35 = 13.035 מליונים ובשנת 2100תהיה P (85) = 8.345 + 0.134 · 85 = 19.735 מליונים. שאלה 3.1הסבירו מדוע המודל הזה אינו מודל סביר לגידול אוכלוסיה. כדי לשפר את המודל שלנו ,נרצה לקחת בחשבון את העובדה שככל שהאוכלוסיה גדלה, יש יותר לידות מדי שנה ־ יותר אנשים עושים תינוקות ,ויש גם יותר פטירות מדי שנה. כלומר קצב הילודה וקצב התמותה אינם קבועים אלא גדלים מדי שנה .לכן גם קצב c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 5 3 דוגמה :משוואה דיפרנציאלית לתיאור גידול אוכלוסיה גידול האוכלוסיה ,שהוא ההפרש בין קצב הילודה לקצב התמותה ,ישתנה עם הזמן. איך נוכל להעריך את קצב גידול האוכלוסיה העתידי? בשנת 2014היו כ־ 8.345 − 0.134 = 8.211מליון אנשים בישראל ,והם הולידו 176000 תינוקות ,כלומר שיעור הילודה השנתי בישראל הוא 176600 = 0.021 8.211 · 106 =b לאדם .במילים אחרות ־ על כל אדם נולדים 0.021תינוקות בשנה .הרבה פעמים נותנים שיעור ילודה ל־ 1000איש ,כלומר אומרים ששיעור הילודה השנתי בישראל הוא 21לאלף .במודל המשופר שלנו אנחנו נניח ששיעור הילודה יישאר קבוע ,כלומר אם גודל האוכלוסיה בזמן tבעתיד יהיה ) P (tאז קצב גידול האוכלוסיה יהיה )0.021 · P (t לשנה. באופן דומה ,אנו נניח ששיעור התמותה ,שבשנת 2014היה 42, 396 = 0.005 8.211 · 106 =d יישאר קבוע .כלומר על כל 1000אנשים נפטרים 5אנשים משנה .על ידי הפחתת שיעור התמותה משיעור הילודה נקבל את שיעור גידול האוכלוסיה: r = b − d = 0.021 − 0.005 = 0.016 כלומר %1.6לשנה .לכן אם גודל האוכלוסיה בזמן tבעתיד יהיה ) P (tאז קצב גידול האוכלוסיה באותו זמן יהיה 0.016P (t) :מליוני אנשים לשנה. ההנחה של שיעורי ילודה ותמותה קבועים איננה בהכרח מדויקת :אם אנשים יעשו פחות תינוקות אז שיעור הילודה ירד ,וגם שיעור התמותה יכול לרדת אם אנשים יאמצו אורח חיים בריא יותר ובעקבות התפתחויות בתחום הרפואה ,אבל ההנחה הזו היא הנחת עבודה שתאפשר לנו לתאר תסריט שבו אין שינויים בפריון ובתוחלת החיים .בכל מקרה ההנחה של שיעורי ילודה ותמותה קבועים סבירה הרבה יותר מההנחה של קצב ילודה וקצב תמותה קבועים שעשינו במודל הראשון שלנו. כעת נשתמש בהנחה שלנו כדי לבנות תחזית לגבי האוכלוסיה העתידית של ישראל. בתחילת ,2015כלומר בזמן ,t = 0אוכלוסיית ישראל היתה 8.345מיליון ,כלומר P (0) = 8.345 גידול האוכלוסיה ־ לידות פחות פטירות ־ במשך שנה אחת יהיה ,על פי ההנחה של שיעור גידול קבוע של ,r = 0.016 P (1) − P (0) = r · P (0) = 0.016 · P (0) = 0.016 · 8.345 = 0.134 c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 6 3 דוגמה :משוואה דיפרנציאלית לתיאור גידול אוכלוסיה כלומר האוכלוסיה תגדל ב־ .134, 000לכן האוכלוסייה בתחילת 2016תהיה P (1) = P (0) + r · P (0) = 8.479 באופן דומה נוכל להמשיך ולחשב את גודל האוכלוסיה בשנים הבאות ,כאשר בכל פעם נשתמש בתוצאת החישוב הקודם: P (2) = P (1) + r · P (1) = 8.479 + 0.016 · 8.479 = 8.615 P (3) = P (2) + r · P (2) = 8.615 + 0.016 · 8.615 = 8.753 ובאופן כללי P (t + 1) = P (t) + r · P (t). )(3.2 בעזרת גליון אלקטרוני או תכנית מחשב פשוטה קל להמשיך את החישוב ככל שנרצה. אבל במקרה זה נוכל גם לקבל נוסחה סגורה .את משוואה ) (3.2נכתוב בצורה P (t + 1) = (1 + r) · P (t), ומכאן ש: )P (1) = (1 + r)P (0 )P (2) = (1 + r)P (1) = (1 + r)(1 + r)P (0) = (1 + r)2 P (0 P (3) = (1 + r)P (2) = (1 + r)(1 + r)2 P (0) = (1 + r)3 P (0), ובאופן כללי אנו רואים שנקבל P (t) = (1 + r)t P (0) = 1.016t · 8.345 כעת יש לנו נוסחה שבה נוכל להשתמש כדי לחזות את האוכלוסיה בכל זמן בעתיד ־ תחת הנחות המודל .למשל בשנת 2050אנו צופים שהאוכלוסיה תהיה P (35) = 1.01635 · 8.345 = 14.545 ובשנת 2100 85 P (85) = 1.016 · 8.345 = 32.166 c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 7 3 דוגמה :משוואה דיפרנציאלית לתיאור גידול אוכלוסיה איור :2תחזית לגידול אוכלוסיית ישראל ־ מודל עם קצב גידול קבוע לעומת מודל עם שיעור גידול קבוע נשים לב להבדל הגדול בין תחזית זו לתחזית של המודל הראשון שבו קצב הילודה והתמותה הם קבועים .באיור 2מוצגים גרפים של התחזית של המודל עם קצב גידול קבוע לעומת המודל עם שיעור גידול קבוע. בחישוב שערכנו יש בעייתיות אחת :אנחנו מעדכנים את גודל האוכלוסיה פעם בשנה, בעוד שלמעשה אנשים נולדים ומתים כל הזמן .נרצה לפתח מודל המתאר את השתנות האוכלוסיה בזמן רציף במקום בקפיצות זמן של שנה .מודל זה יביא אותנו למשוואה דיפרנציאלית. נניח שהאוכלוסיה בזמן tהיא ) ,P (tואנו רוצים לחשב את האוכלוסיה כעבור זמן קצר, 1 בזמן .t + ∆tלמשל אם רוצים לחשב את האוכלוסיה כעבור שבוע ,ניקח ,∆t = 52 כי בשנה יש 52שבועות והזמן נמדד בשנים .מאחר וקצב גידול האוכלוסיה בזמן t הוא ,על פי ההנחה שלנו ,r · P (t) ,גידול האוכלוסיה בפרק הזמן מ־ tעד t + ∆tיהיה .rP (t) · ∆tלכן )(3.3 P (t + ∆t) = P (t) + rP (t)∆t נבחין כאן שאם ניקח ) ∆t = 1קפיצות זמן של שנה( ,נחזור למשוואה ).(3.2 נוכל להשתמש במשוואה ) (3.3כדי לחשב את גידול האוכלוסיה בקפיצות של ,∆tלמשל קפיצות שבועיות ,וכך נקבל תיאור מדויק יותר של גידול האוכלוסיה .אולם המטרה שלנו היא אחרת :אנחנו רוצים להשאיף את ∆tלאפס ,וכך לקבל תיאור בזמן רציף. אם נשאיף את ∆tלאפס בשני האגפים של משוואה ) ,(3.3נקבל ) ,P (t) = P (tמשוואה נכונה אך לא מעניינת במיוחד .כדי לקבל משוואה לא טריוויאלית ,נבצע את הפעולות הבאות :נחסיר ) P (tמשני האגפים של ) (3.3ונחלק את שני האגפים ב־:∆t )P (t + ∆t) − P (t )= rP (t ∆t c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה )(3.4 8 3 דוגמה :משוואה דיפרנציאלית לתיאור גידול אוכלוסיה נציין שמשמעות הביטוי באגף שמאל היא קצב השינוי של האוכלוסיה בפרק הזמן מ־t עד t + ∆t־ השינוי באוכלוסיה חלקי פרק הזמן .עכשיו מגיע השלב הקריטי :נשאיף את ∆tל־ 0בשני האגפים של ) .(3.4על פי הגדרת הנגזרת, )P (t + ∆t) − P (t )= P 0 (t ∆t→0 ∆t lim אגף ימין אינו תלוי כלל ב־ .∆tלכן נקבל )P 0 (t) = rP (t )(3.5 זוהי משוואה דיפרנציאלית אשר מתארת את תהליך גידול האוכלוסיה בזמן רציף .מאחר והפירוש של הנגזרת הוא קצב השינוי הרגעי של הפונקציה ) P (tנוכל לבטא במילים את מה שהמשוואה הדיפרנציאלית אומרת :קצב השינוי הרגעי של גודל האוכלוסיה שווה לשיעור הגידול כפול גודל האוכלוסיה הנוכחי .כעת ,על ידי פתרון המשוואה הדיפרנציאלית ,נוכל למצוא את הפונקציה ) P (tשתיתן לנו תחזית לאוכלוסיה העתידית. המשוואה הדיפרנציאלית ) (3.5דומה למשוואות ) (2.1ו־ ) ,(2.2ונוכל לנחש פתרונות שלה. שאלה 3.2הראו שלכל מספר ,Cהפונקציה P (t) = Cert היא פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית ).(3.5 במקרה של אוכלוסיית ישראל ,שיעור הגידול הוא ,r = 0.016ולכן משפחת הפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית היא P (t) = Ce0.016·t . )(3.6 יש לנו אינסוף פתרונות ,ונשאלת השאלה איזה מהם הוא הפתרון שיתאר את אוכלוסיית ישראל .כדא לקבוע את הפתרון הרלוונטי ,נשתמש בעובדה שאנו מניחים שהזמן t = 0 מתאים לתחילת שנת ,2015ובזמן זה אוכלוסיית ישראל היתה 8.345מיליון ,כלומר P (0) = 8.345 )(3.7 השוויון ) (3.7נקרא תנאי התחלה .כדי להשתמש בתנאי ההתחלה ,נציב t = 0בפתרון ) (3.6ונקבל 0.016·0 8.345 = P (0) = Ce =C c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 9 4 גידול אקספוננציאלי וזמן ההכפלה כלומר קיבלנו שכדי שתנאי ההתחלה יתקיים צריך ש C = 8.345 נציב ערך זה של Cבחזרה ב־ ) (3.6ונקבל את הפתרון הרלוונטי P (t) = 8.345e0.016·t . )(3.8 כעת יש לנו תחזית לגודל האוכלוסיה העתידי .למשל ,בשנת 2050יהיה גודל האוכלוסיה P (35) = 8.345e0.016·35 = 14.609 ובשנת 2100 P (85) = 8.345e0.016·35 = 32.514 תוצאות אלו קרובות מאד אך לא זהות לתוצאות שקיבלנו קודם על־ידי חישוב בקפיצות של שנה. שאלה 3.3בשנת 1859הובאו 24ארנבות מאנגליה למערב אוסטרליה ,כדי ליצור אוכלוסיית ארנבות למטרות ציד .בשנת 1920העריכו שמספר הארנבות באזור גדל ל־ 10מיליארד. מה היה שיעור הגידול השנתי של אוכלוסיית הארנבות בתקופה זו? 4 גידול אקספוננציאלי וזמן ההכפלה ראינו שהמשוואה הדיפרנציאלית )P 0 (t) = rP (t )(4.1 מתארת גידול אוכלוסיה בשיעור קבוע rליחידת זמן .זו אחת המשוואות הדיפרנציאליות החשובות והשימושיות ביותר .ראינו גם שהפתרונות שלה נתונים ע"י P (t) = Cert , )(4.2 כאשר הקבוע Cנקבע על־פי תנאי התחלה נתון .הפונקציה ) P (tמתארת מה שנקרא )0 (t ) PP (tהוא קבוע גידול אקספוננציאלי .גידול אקספוננציאלי הוא גידול שבו שיעור הגידול ,rאו במילים אחרות קצב הגידול ) P 0 (tפרופורציונאלי לגודל הנוכחי של האוכלוסיה. מאחר והאוכלוסיה גדלה כל הזמן ,גם קצב הגידול גדל באופן פרופורציונאלי ,ולכן c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 10 5 דעיכה אקספוננציאלית תהליך הגידול נעשה יותר ויותר מהיר .לכן גידול אקספוננציאלי יכול להוביל תוך זמן קצר יחסית לאוכלוסיה גדולה מאד .דבר זה ברור גם מסרטוט הגרף של הפונקציה האקספוננציאלית ).(4.2 כדי לקבל מדד למהירות הגידול של תהליך גידול אקספוננציאלי ,משתמשים במושג זמן הכפלה .נניח שאנחנו כרגע בזמן ,t0ולכן גודל האוכלוסיה הוא .P (t0 ) = Cert0אנחנו רוצים לדעת כמה זמן ייקח עד שהאוכלוסיה תכפיל את עצמה ־ לזמן זה נקרא זמן ההכפלה של האוכלוסיה ונסמן אותו ב־ .T2כדי למצוא את זמן ההכפלה ,נבחין שצריך להתקיים P (t0 + T2 ) = 2 · P (t0 ), כלומר Cer(t0 +T2 ) = 2 · Cert0 , ועל ידי פישוט erT2 = 2, כלומר )ln(2 . )(4.3 = T2 r מצאנו אם כן נוסחה לזמן ההכפלה .מעניין להבחין שזמן ההכפלה אינו תלוי בזמן t0 שבו התחלנו או בערך C־ כלומר אם נתחיל בכל נקודת זמן ,נקבל שכעבור זמן T2 האוכלוסיה תוכפל .זוהי תכונה אופיינית של הגידול האקספוננציאלי אשר לא תהיה נכונה עבור סוגי גידול אחרים. דוגמה 4.1שיעור הגידול של אוכלוסיית בני האדם בעולם ב־ 2015הוא %1.13לשנה .מהו זמן ההכפלה של אוכלוסיית העולם? מאחר ו־ ,r = 0.0113על פי ) (4.3זמן ההכפלה של האוכלוסיה האנושית הוא 0.693 )ln(2 = = 61.3 0.0113 0.0113 כלומר אם האוכלוסיה האנושית תמשיך לגדול באותו שיעור כמו היום ,היא תכפיל את עצמה כל 61שנה. = T2 5 דעיכה אקספוננציאלית דוגמה 5.1שיעור הילודה בגרמניה בשנת 2014הוא 8.42לידות לאלף איש ,ושיעור התמותה הוא 11.29לאלף איש. מה צפוי לקרות לאוכלוסיה של גרמניה בעתיד? c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 11 5 דעיכה אקספוננציאלית איור :3תחזית לאוכלוסיית גרמניה בהנחה של שיעורי ילודה ותמותה של 2014 שיעור הגידול של האוכלוסיה הוא 8.42 − 11.29 = −0.0029 1000 =r שיעור גידול שלילי! האוכלוסיה קטנה ב־ %0.29לשנה. המשוואה הדיפרנציאלית ) (3.5לתיאור גידול האוכלוסיה עדיין תקפה כאן ,ופתרונה P (t) = Cert = Ce−0.0029·t כדי לקבוע את Cנגדיר t = 0בתור תחילת שנת .2015אוכלוסיית גרמניה בזמן זה היתה 81מיליון ,כלומר .P (0) = 81בעזרת נתון זה נקבל P (t) = 81e−0.0029·t התחזית המתקבלת לגבי אוכלוסיית גרמניה ב־ 500השנים הבאות מוצגת בגרף. ♦ זוהי דוגמה של דעיכה אקספוננציאלית .דעיכת גודל האוכלוסיה מהווה בעייה כלכלית רצינית כבר בטווח הקצר ,משום שאין מספיק עובדים צעירים כדי לממן את הפנסיות של המבוגרים. שאלה 5.1על פי המודל שפיתחנו: א .באיזה שנה תהיה אוכלוסיית גרמניה מחצית מגודלה הנוכחי? ב .תוך כמה שנים לא ישארו אנשים בגרמניה? c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 12 7 6 ריבית בבנק דינמיקה של אוכלוסיה עם הגירה מדינה שאוכלוסיתה מידלדלת בגלל שיעור ילודה נמוך יכולה למנוע את המשבר הצפוי על ידי קליטת מהגרים ממדינות אחרות .נבנה משוואה דיפרנציאלית שתתאר את שינוי גודל האוכלוסיה אם בנוסף לילודה ותמותה יש הגירה לתוך המדינה. כמו קודם ,נסמן את שיעור הילודה לאדם לשנה ב־ bואת שיעור התמותה לאדם לשנה ב־ ,dונסמן את קצב ההגירה במליונים לשנה ב־.I אם בזמן tגודל האוכלוסיה במיליונים הוא ) ,P (tבזמן ∆ t +יהיה גודל האוכלוסיה P (t + ∆t) = P (t) + b · P (t)∆t − d · P (t)∆t + I · ∆t. נסמן r = b − d־ שיעור הגידול הטבעי של האוכלוסיה ,כך שנוכל לכתוב P (t + ∆t) = P (t) + r · P (t)∆t + I · ∆t. כדי לקבל משוואה דיפרנציאלית נחסר ) P (tמשני האגפים ונחלק ב־,∆t )P (t + ∆t) − P (t = r · P (t) + I, ∆t ונשאיף את ∆tלאפס ,כדי לקבל P 0 (t) = rP (t) + I. למשל ,אם גרמניה תקלוט חצי מליון מהגרים מדי שנה ,שינוי האוכלוסיה שלה יתואר על־ידי המשוואה הדיפרנציאלית P 0 (t) = −0.0029P (t) + 0.5 זו משוואה שונה מזו המתארת גידול אוכלוסיה ללא הגירה .נפתור אותה מאוחר יותר כאשר נפתח טכניקה שיטתית לפתרון משוואות דיפרנציאליות. 7 ריבית בבנק נעסוק כעת בבעיה של חישוב ריבית שנקבל מהבנק על סכום כסף שהפקדנו בבנק ,או ריבית שנשלם לבנק על סכום כסף שלווינו ממנו .נדון בשיטות שונות לחישוב ריבית, ובהבדלים בתוצאות שיתקבלו בשיטות שונות .ניראה ששיטת חישוב הריבית "בזמן רציף" מובילה למשוואה דיפרנציאלית. c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 13 7 ריבית בבנק דוגמה 7.1נפקיד 1000ש"ח בבנק ,בתכנית חסכון המעניקה ריבית בשיעור שנתי של .%5 כמה כסף יהיה בחשבון הבנק שלנו בעוד עשר שנים ,אם א .הריבית מחושבת בחישוב שנתי? ב .הריבית מחושבת בחישוב חודשי? ג .הריבית מחושבת בחישוב יומי? ד .הריבית מחושבת בחישוב רציף? את המושגים המופיעים בשאלה זו נבהיר בהמשך. נסמן ב־ ) S(tאת כמות הכסף שיש לנו בחשבון הבנק בזמן tבשנים ) .(Savingsאנו יודעים ש S(0) = 1000 ומעוניינים למצוא את הערך ).S(10 נחשב את כמות הכסף שתהיה בחשבון כעבור שנה .מאחר ושיעור הריבית השנתי הוא %5בשנה הראשונה נקבל 0.05 · S(0) = 0.05 · 1000 = 50 ש"ח של ריבית ,כלומר סכום הכסף בחשבון שלנו כעבור שנה יהיה S(1) = S(0) + 0.05 · S(0) = 1000 + 50 = 1050 ש"ח .כעבור שנתיים סכום הכסף בחשבון שלנו S(2) = S(1) + 0.05 · S(1) = 1050 + 52.5 = 1102.5 .. . נוכל לבצע את החישוב בצורה יותר יעילה: )S(1) = (1 + 0.05)S(0 )S(2) = (1 + 0.05)S(1) = (1 + 0.05)(1 + 0.05) · S(0) = (1 + 0.05)2 · S(0 c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 14 7 ריבית בבנק )S(3) = (1 + 0.05)S(2) = (1 + 0.05)(1 + 0.05)2 · S(0) = (1 + 0.05)3 · S(0 .. . כלומר ,לכל nשלם )S(n) = (1 + 0.05)n · S(0 ובפרט 10 S(10) = (1 + 0.05) · S(0) = 1628.89. כלומר לאחר עשר שנים יהיו לנו 1628.89ש"ח. החישוב שערכנו היה חישוב שנתי של הריבית .מוסדות פיננסיים שונים מחשבים ריבית בצורות שונות .נניח עכשיו שבנק אחר מציע לנו תכנית חסכון עם ריבית בשיעור שנתי של ,%5אבל בחישוב חודשי .מאחר ובשנה יש 12חודשים ,פירוש הדבר שנקבל ריבית 5 של % 12מדי חודש .אנחנו ממשיכים למדוד את הזמן tבשנים ,ולכן נקבל :סכום הכסף בחשבון אחרי חודש: 0.05 1 = 1+ )· S(0 S 12 12 אחרי חודשיים: 2 2 0.05 1 0.05 S = 1+ S = 1+ )· S(0 12 12 12 12 אחרי nחודשים: n 0.05 S = 1+ )· S(0 12 12 n ובפרט אחרי עשר שנים 120 · S(0) = 1647.01 0.05 1+ 12 = 120 12 S(10) = S נבחין שסכום הכסף שיהיה ברשותנו כעבור עשר שנים אם הריבית מחושבת באופן חודשי גבוה בכ־ 20ש"ח מאשר אם הריבית מחושבת בחישוב שנתי. מה יקרה אם נקטין עוד יותר את מרווחי הזמן שבהם אנחנו מחשבים את הריבית? נוכל לערוך חישוב בקפיצות זמן של יום ,או של שעה .על פי הנסיון עד כה ניראה שנרוויח יותר ־ עד כמה? c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 15 7 ריבית בבנק נוכל לערוך את החישוב באופן כללי .נחלק כל שנה ל־ Nיחידות זמן שאורך כל אחת 1 מהן ∆t = N1שנה ־ למשל חישוב חודשי מתאים ל־ N = 12, ∆t = 12וחישוב יומי 1 .N = 365, ∆t = 365אז מתאים ל־ )S(∆t) = (1 + 0.05∆t) · S(0 )S(2∆t) = (1 + 0.05∆t)S(∆t) = (1 + 0.05∆t)2 · S(0 ובאופן כללי לאחר nיחידות זמן S(n∆t) = (1 + 0.05∆t)n · S(0). בפרט לאחר 10שנים S(10) = S(10N · ∆t) = (1 + 0.05∆t)10N · S(0). למשל אם מדובר בחישוב יומי אז 10·365 · S(0) = 1648.66, 1 · 1 + 0.05 365 = )S(10 כלומר במעבר מחישוב חודשי לחישוב יומי הרווחנו רק כשקל וחצי. מה יקרה אם נשאיף את מרווח הזמן ∆tל־ ?0הגבול כאשר ∆tשואף ל־ 0נקרא חישוב רציף של הריבית. כדי לקבל את הערך הגבולי הזה נבצע את החישוב הבא .ראשית ,עבור כל זמן tוכל ∆t > 0נרשום )S(t + ∆t) = S(t) + ∆t · 0.05 · S(t נחסר ) S(tמשני האגפים ,ואחר־כך נחלק את שני האגפים ב־ ,∆t )S(t + ∆t) − S(t = 0.05 · S(t). ∆t נשאיף את ∆tלאפס ,ונקבל את המשוואה הדיפרנציאלית S 0 (t) = 0.05 · S(t). הפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית הזאת הם S(t) = Ce0.05·t c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 16 7 ריבית בבנק ובעזרת תנאי ההתחלה S(0) = 1000נקבל 1000 = S(0) = Ce0 = C ⇒ C = 1000 ⇒ S(t) = 1000 · e0.05·t . בפרט לאחר עשר שנים S(10) = 1000e0.5 = 1648.72. נבחין שההבדל בין התוצאה בחישוב יומי לבין התוצאה בחישוב רציף הוא רק 6 אגורות. נציין שכיום בנקים מבצעים את חישובי הריבית על חשבונות חסכון בחישוב יומי. שאלה 7.1אם נפקיד סכום כסף בחשבון בנק עם ריבית בשיעןר %4לשנה בחישוב רציף, תוך כמה זמן יוכפל סכום הכסף בחשבון שלנו? שאלה 7.2מה עדיף :חשבון חסכון שמעניק ריבית בשיעור שנתי של %8בחישוב רבעוני )כל שלושה חודשים( או חשבון שמעניק ריבית שנתית של %7.95בחישוב רציף? בעזרת משוואות דיפרנציאליות נוכל לתאר גם מצב מורכב יותר ,שבו מפקידים או מושכים כסף מהחשבון במהלך הזמן: דוגמה 7.2נניח שזכינו במליון ש"ח בהגרלה ־ ונפקיד את הכסף בחשבון בנק המעניק ריבית שנתית בשיעור .%6מדי חודש נמשוך 10, 000ש"ח מהחשבון לשימושנו האישי. תוך כמה זמן ייגמר הכסף בחשבון הבנק שלנו? נסמן את כמות הכסף באלפי ש"ח בחשבון הבנק לאחר tשנים ב־) .S(tנבצע חישובים בצעדי זמן של ,∆tכאשר בסופו של דבר נשאיף את ∆tלאפס .יש כאן עיוות מסוים של המציאות ,כי גם אם חישוב הריבית מתבצע בצורה רציפה ,משיכת הכסף ודאי לא מתרחשת בצורה רציפה ,אלא למשל בזמנים בהם אנו הולכים לכספומט ,אולי פעם בשבוע .עם זאת ,כפי שראינו בדוגמה הקודמת ,החישוב הרציף נותן קירוב טוב לחישוב בצעדי זמן שאינם גדולים מדי ,ולכן חוסר הדיוק של החישוב הרציף שנעשה לא יוביל להבדל גדול בתוצאה. אם בזמן tהיתה כמות הכסף בחשבון הבנק ) S(tאז בזמן t + ∆tתתווסף ריבית בסך ) ∆t · 0.06 · S(tאבל תוחסר כמות הכסף שאנו מושכים מהחשבון בפרק זמן באורך ∆t שנים .מאחר ואנו מושכים 120אלפי ש"ח בשנה ,בפרק זמן ∆tאנו מושכים 120 · ∆t 1 אלפי ש"ח .לדוגמה :אם מדובר בפרק זמן של שבוע אז ∆t = 52ולכן בפרק זמן זה 1 120 · ∆t = 120 · 52אלפי ש"ח ,כלומר 2307.69ש"ח. אנחנו מושכים = 2.30769 c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 17 7 ריבית בבנק לכן נקבל: S(t + ∆t) = S(t) + ∆t · 0.06 · S(t) − 120∆t. נחסר ) S(tמשני האגפים ,נחלק ב־ ,∆tונשאיף את ∆tל־ ,0ונקבל את המשוואה הדיפרנציאלית 0 S (t) = 0.06 · S(t) − 120. את המשוואה הדיפרנציאלית הזו נפתור בפרק הבא. שאלה 7.3חוו דעתכם בנוגע למחלוקת שמתוארת בקטעי העיתונות הבאים מתוך הכתבה "נוסחת חישוב ריבית המשכנתא שלנו מגיעה לבית המשפט" ,מאת דרור מרמור ,גלובס, ,6.1.15 http://www.globes.co.il/news/article.aspx?did=1000998054 "הדרך שבה נוהגים הבנקים אינה נכונה מבחינה מתמטית ,אינה נכונה מבחינה כלכלית ואינה עולה בקנה אחד עם הוראות החוק .כתוצאה מכך גובים הבנקים מהלווים ריבית גבוהה מן המותר לפי הסכמי ההלוואה" .את הפצצה הזו הטיל לאחרונה פרופ' ירון זליכה ,לשעבר החשב הכללי של המדינה, בחוות־דעת שנמסרה לבית משפט בבקשה לאשר תביעה ייצוגית נגד הבנקים על גביית יתר בהלוואות משכנתא. ... בבסיס הטענה עומדת העובדה שבהסכמי ההלוואה נקבעה במפורש ריבית חוזית )נקראת גם ריבית תעריפית או ריבית נומינלית(־ שנתית ולא חודשית .כך לדוגמה ,המשמעות של ריבית חוזית שנתית בשיעור של %6על הלוואה של 100אלף שקל ,היא כי הלוואה שתיפרע בתשלום אחד בתום שנה תישא ריבית בסך 6, 000שקל. מוקד הוויכוח הוא בחישוב החודשי .לטענת הבנקים ,ריבית שנתית של %6שווה לריבית חודשית של %0.5בחישוב פשוט של 6חלקי 12חודשים" .זו טעות והטעיה גם יחד" ,כותב זליכה" .ריבית שנתית וריבית חודשית הן שני דברים שונים בתכלית ,אשר ההבדל ביניהן יסתכם בגובה תשלום סכום הריבית שיתבקש הלקוח לשלם .לכן ,לא ניתן לקבוע בהסכם ריבית שנתית ולדרוש ריבית חודשית בשיעור השווה 1 12מהריבית השנתית" .על־פי החישוב של זליכה ,בהינתן הדוגמה שהבאנו פה ,ריבית שנתית חוזית ל־ של %6שווה לריבית חודשית בשיעור " %0.487בעוד שהיתרה העודפת מגלמת בפועל חיוב בריבית דריבית". מתוך הכתבה "נדחתה בקשה לייצוגית נגד בנקים :לא הוכח חישוב ריבית שגוי על הלוואות לדיור" ,מאת עו"ד לילך דניאל ,תקדין,25.8.15 , http://www.takdin.co.il/Pages/article.aspx?artId=5084389 בית המשפט המחוזי דחה בקשה לאישור תביעה ייצוגית נגד הבנקים מזרחי טפחות ,לאומי למשכנתאות והפועלים ,בטענה לטעות בחישוב הריבית על הלוואות הדיור שהם גובים .השופטת אסתר שטמר קבעה כי תכנית שאפתנית להביא לתיקון באופן חישוב הריבית בכלל המוסדות הפיננסים צריכה להבהיר כי הפרקטיקה הנוהגת היא שגויה ,אולם המבקשים לא עמדו בנטל זה והחישוב כדרך הבנקים עולה בקנה אחד עם החוק ועם עמדת הרגולטור. ... c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 18 8 תרופה בגוף לדעת השופטת ,המחלוקת בין הצדדים נובעת מהבדלי מינוח ,אך כיוון שהמבקשים לא הוכיחו כי המינוח שנקטו בו הוא המינוח הנכון והראוי ,ואילו המשיבים נסמכו על הוראות החוק והרגולטור ,המינוח הנכון הוא כדברי הרגולטור ואין מקום למסקנה הנובעת מהצבת מינוח אחר בנוסחת הריבית. 8 תרופה בגוף נדון במודל מתמטי מתחום הרפואה ־ נתאר את תהליך ההתפרקות של תרופה בגוף. כאשר לוקחים תרופה היא נכנסת למערכת הדם ומתפזרת בו ,וכך מגיעה לתאים שעליהם היא פועלת .אבל אם דוגמים דם מאדם שלקח תרופה מגלים שככל שעובר זמן, ריכוז התרופה בדם הולך ויורד .הכבד והכליות שלנו מפרקים את התרופה ומסלקים אותה דרך השתן .על מנת לתכנן טיפול תרופתי יעיל ,חשוב לדעת כיצד יורדת כמות התרופה בדם במהלך הזמן. קצב הסילוק של תרופה מהדם אינו קבוע :לגבי רוב התרופות ,קצב הסילוק פרופרציונאלי לכמות התרופה הנוכחית בדם קצב סילוק התרופה = · kכמות התרופה הנוכחית זאת אומרת שבההתחלה ,כאשר יש כמות גדולה של תרופה בגוף ,כמות התרופה המסולקת ליחידת זמן היא גבוהה ,ומאוחר יותר ,כאשר כמות התרופה כבר קטנה יותר ,גם כמות התרופה המסולקת ליחידת זמן תהיה נמוכה .הקבוע kנקרא שיעור הסילוק של התרופה ,והוא שונה מתרופה לתרופה. נבנה משוואה דיפרנציאלית מתאימה .נסמן ב־ ) x(tאת כמות התרופה בדם ,למשל במיליגרם )אלפיות גרם( בזמן tבשעות .נגדיר את זמן t = 0בתור הזמן שבו לקחנו את התרופה .אם לקחנו מינון dמיליגרם של התרופה ,אז כמות התרופה בדם בהתחלה היא )(8.1 x(0) = d. קצב הסילוק של התרופה מהגוף בזמן tהוא ) k ·x(tמיליגרם לשעה ,ולכן כמות התרופה המסולקת מהגוף בין זמן tלזמן t + ∆t־ כאשר אנו מניחים ש־ ∆tהוא משך זמן קצר ־ הוא k · x(t) · ∆tמיליגרם .לכן כמות התרופה בגוף בזמן t + ∆tתהיה: x(t + ∆t) = x(t) − k · x(t) · ∆t. נחסר ) x(tמשני האגפים ,ונחלק את שני האגפים ב־ ,∆tונקבל )x(t + ∆t) − x(t = −k · x(t). ∆t c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 19 9 תופעות שונות ־ אותה משוואה דיפרנציאלית נשאיף את ∆tל־ 0ונקבל את המשוואה הדיפרנציאלית: x0 (t) = −kx(t). )(8.2 נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית ) , (8.2עם תנאי ההתחלה ) ,(8.1ונקבל x(t) = de−kt . ניתן לראות שככל שהקבוע kגדול יותר ,כמות התרופה בגוף דועכת מהר יותר .הקבוע kשונה מתרופה לתרופה :יש תרופות שמסולקות כמעט לגמרי מהגוף תוך שעות ספורות, ויש תרופות שנשארות בגוף ימים רבים .בספרות הרפואית בדרך כלל נותנים את זמן מחצית החיים של התרופה בגוף ,במקום את הקבוע .k שאלה 8.1א .זמן מחצית החיים של תרופה הוא הזמן שבו כמות התרופה יורדת בחצי. מצאו ביטוי לזמן מחצית החיים של תרופה באמצעות הקבוע .k ב .זמן מחצית החיים של פרצטמול )אקמול( הוא כשעתיים .מצאו את הקבוע kלפרצטמול. ג .אדם לקח גלולה של 500מיליגרם פרצטמול להורדת חום .כמה מיליגרם פרצטמול יהיו בגופו כעבור 5שעות? כעבור כמה זמן תרד כמות הפרצטמול בגופו ל־ 50מ"ג? 9 תופעות שונות ־ אותה משוואה דיפרנציאלית עסקנו בשלושה יישומים של משוואות דיפרנציאליות ,בשלושה תחומים שונים :גידול אוכלוסיה ,חסכונות בבנק ,והתנהגות תרופות בגוף .בכל המקרים המשוואה הדיפרנציאלית שהתקבלה היתה בעצם אותה המשוואה הדיפרנציאלית y 0 (t) = ry(t). )(9.1 ראינו שכאשר r > 0מקבלים גידול אקספוננציאלי ,וכאשר r < 0מקבלים דעיכה אקספוננציאלית )מה קורה כאשר (?r = 0 למעשה יש עוד תופעות רבות שאפשר לתאר בעזרת המשוואה הדיפרנציאלית ):(9.1 צמיחה כלכלית )גידול התל"ג( ,התפשטות של שמועות ,תהליכי ביקוע בכור גרעיני מתוארים על ידי ) (9.1עם .r > 0התפרקות של חומר רדיואקטיבי ,פריקה של קבל במעגל חשמלי ,והירידה בכמות המזהמים באגם לאחר שמפסיקים לזהם אותו ,מתוארים על ידי ) (9.1עם .r < 0 c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 20 9 תופעות שונות ־ אותה משוואה דיפרנציאלית המשוואה ) (9.1אינה מקרה ייחודי ־ יש דוגמאות רבות בהן אותה משוואה דיפרנציאלית מתארת תופעות מגוונות מתחומים שונים .תוצאות כאלו הן מעניינות ושימושית ביותר, מאחר והעובדה שאותה משוואה דיפרנציאלית מתארת תופעות שונות מצביעה על דמיון עמוק בין תופעות שעל פניהן אינן קשורות ,ומאפשרת לנו להשתמש באותם ניתוחים מתמטיים כדי לחקור אותן ,וגם להיעזר באינטואיציות שיש לנו לגבי תופעה אחת כדי להבין תופעה אחרת. שאלה 9.1אטומים רדיואקטיביים הם חומרים בלתי־יציבים שמתפרקים באופן ספונטני. לכל אטום רדיואקטיבי יש סיכוי מסוים להתפרק בכל רגע ,ולכן במסה המורכבת מאטומים רדיואקטיביים מספר האטומים שיתפרקו כל שניה פרופורציונאלי למספר האטומים הנוכחי. בכתיבה מתמטית ,אם נסמן ב־ ) y(tאת המסה של דגימה של חומר רדיואקטיבי בזמן ,t המסה הזו תלך ותקטן על־פי המשוואה הדיפרנציאלית y 0 = −ry, כאשר rקבוע השונה עבור חומרים רדיואקטיביים שונים .זמן מחצית החיים של חומר רדיואטיבי הוא הזמן שבו יורדת הכמות שלו במחצית. פחמן־ 14הוא חומר רדיואקטיבי )הגרעין של אטום של חומר זה מכיל 6פרוטונים ו־8 ניוטרונים ,בעוד שגרעין של אטום פחמן רגיל מכיל 6פרוטונים ו־ 6ניוטרונים( .הוא מתפרק והופך לחנקן תוך פליטת אלקטרון ,כאשר זמן מחצית החיים שלו היא 5730שנה. פחמן־ 14נוצר באטמוספירה כל הזמן כתוצאה מפגיעה של קרינה קוסמית באטומי פחמן־ .12לכן אחד מכל 1012מאטומי הפחמן שנמצאים באטמוספירה )בצורת פחמן דו־חמצני( הוא אטום של פחמן־ .14צמחים קולטים פחמן דו־חמצני מהאטמוספירה ומשם הוא עובר לחיות שאוכלות את הצמחים ,כולל לבני אדם .לכן גם 1מכל 1012אטומי פחמן בצמחים ובחיות הוא פחמן־ ) 14מספר אטומי הפחמן בגוף של אדם הוא כ־ .(1027כאשר הצמח או האדם מתים ומפסיקים לקלוט פחמן מהסביבה ,כמות הפחמן־ 14שבגופם )למשל בעצמותיהם( הולכת ודועכת בגלל ההתפרקות הרדיואקטיבית .לכן על ידי מדידת כמות הפחמן־ 14בדגימה ,אפשר לקבוע מתי חי הייצור שממנו נלקחה הדגימה .שיטת תיארוך זו הומצאה ב־ 1949על־ידי ויליארד ליבי ,וזיכתה אותו בפרס נובל לכימיה. בשנים 1947 − 1956התגלו במערות במדבר יהודה מגילות עתיקות הנקראות מגילות ים המלח ־ אחד הממצאים הארכיאולוגיים החשובים ביותר .בדיקה של הקלף )עור של חיה( ממנו עשויות המגילות גילתה שהריכוז של פחמן־ 14בחומר הוא %79.1מריכוזו ברקמה חיה. א .העריכו את גילן של מגילות ים המלח. ב .בדקו באינטרנט מתי נכתבו מגילות ים המלח ,והשוו עם ההערכה שלכם. c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 21 10 נספח :הפונקציה ex שאלה 9.2אחד החומרים הרדיואקטיביים הנוצרים בהתפוצצות של פצצה אטומית הוא סטרונציום־ ,90שזמן מחצית החיים שלו הוא 28שנה .חומר זה מצטבר בעצמות של בני־ אדם הנחשפים אליו ,וגורם לסוגי סרטן שונים .אם אתר שבו נערך ניסוי בפצצה גרעינית זוהם על־ידי סטרונציום־ ,90כמה זמן יעבור עד שכמות הזיהום תרד עד ל־ %10מהכמות ההתחלתית? 10 נספח :הפונקציה ex כולנו יודעים שהפונקציה f (x) = exהיא פונקציה המקיימת את המשוואה דיפרנציאלית )f 0 (x) = f (x וזו בעצם הסיבה שהפונקציה הזו חשובה כל כך. הפונקציה הזאת ,והמספר ,eהתגלו על ידי המתמטיקאי המפורסם לאונרד אוילר ).(1707-1783 נסביר כאן כיצד ניתן לגלות ולהוכיח את העובדה המתמטית החשובה הזאת .ההצגה כאן מסתמכת על המאמר P.M. Anselone, J.W. Lee, Differentiability of exponential functions, College Mathematics Journal 36 (2005), 388-392. נתחיל מהפונקציה x g(x) = a כאשר aקבוע חיובי כלשהו .ננסה לחשב את הנגזרת של gעל פי הגדרת הנגזרת. ax+h − ax )g(x + h) − g(x = lim g (x) = lim h→0 h→0 h h 0 ah − 1 . h→0 h כלומר אם נגדיר לכל a > 0את הערך = ax lim ah − 1 h→0 h Ca = lim )(10.1 אז קיבלנו שמתקיים 0 g (x) = Ca g(x). c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 22 10 נספח :הפונקציה ex זאת אומרת שלכל a > 0לפונקציה gיש את התכונה שהנגזרת שלה היא קבוע מסוים כפול הפונקציה המקורית .ערך הקבוע ניתן על־ידי הגבול ).(10.1 נעיר כאן שיש צורך להוכיח שהגבול הנ"ל בכלל קיים .אפשר לעשות זאת ללא קושי רב ,נפנה למאמר שצוטט למעלה לפרטים. עכשיו מגיעה טענת המפתח: משפט 10.1קיים ערך יחיד של ,aאשר נסמן אותו ב־ eאשר עבורו מתקיים Ca = 1 כלומר הפונקציה f (x) = exמקיימת.f 0 (x) = f (x) : הוכחה :נניח a > 0מספר כלשהו .נסמן ) ,c = log2 (aכלומר cהוא המספר שעבורו .2c = aנחשב ch h 2 −1 a −1 = lim Ca = lim h→0 h→0 h h 0 2ch − 1 2h − 1 = c lim = cC2 = log2 (a)C2 . h→0 h0 →0 ch h0 כלומר הוכחנו את הזהות: Ca = log2 (a)C2 = c lim לכן כדי למצוא aכך ש־ Ca = 1צריך ש־ , log2 (a)C2 = 1כלומר log2 (a) = C12 1 כלומר a = 2 C2לכן הראינו שאם נגדיר: 1 e = 2 C2 אז נקבל Ce = 1 ♦ וזה מה שרצינו. מהו הערך המספרי של ?eכדי להעריך אותו צריך להעריך את 2h − 1 h→0 h C2 = lim כדי לקבל קירוב ,ניקח h = 0.001ונקבל 2h − 1 = 0.6933870000 h c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה ≈ C2 23 נספח :הפונקציה ex 10 לכן קירוב ל־ eיינתן על־ידי: 1 e = 2 C2 ≈ 2.717341828 אם ניקח h = 0.0001נקבל קירוב מדויק יותר e = 2.718281828 קירוב זה מדויק עד 3ספרות אחרי הנקודה .ככל שנקטין את ,hנקבל קירוב מדויק יותר ל־.e יש גם דרכים אחרות לחשב את המספר .eנציג עוד דרך ,מאחר והיא מתקשרת למושג חשוב שיופיע בהמשך הקורס ־ פיתוח של הפונקציה f (x) = exלטור חזקות .אנו מניחים כאן שהמושג של טור חזקות מוכר. משפט 10.2לכל xממשי מתקיים ∞ X 1 1 1 · xn = 1 + 1 · x + x2 + x3 + !n 2 6 n=0 x = e זהו הפיתוח של הפונקציה exלטור חזקות .לפני שנוכיח את התוצאה הזו ,נבחין שהיא נותנת לנו ,בפרט ,דרך נוספת לבטא את המספר .eאם נציב x = 1בפיתוח ,נקבל . ∞ X 1 !n =e n=0 לכן כדי לקבל קירוב ל־ eנוכל פשוט לחשב סכומים חלקיים של הטור הזה .למשל xn = 2.718281801, 10 X 1 !n ≈e n=0 דיוק של 6ספרות אחרי הנקודה. נוכיח עכשיו את משפט .10.2ההוכחה שניתן מעניינת כי היא משתמשת במשוואה דיפרנציאלית .נגדיר ∞ X 1 n = )g(x x . !n n=0 c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 24 10 נספח :הפונקציה ex בעזרת מבחני התכנסות אפשר להראות שהטור מתכנס לכל xממשי ולכן הוא מגדיר פונקציה .אנחנו רוצים להוכיח ש־ .g(x) = exכדי להראות זאת נוכיח קודם כל ש־ )g 0 (x) = g(x אכן ,על ידי גזירה איבר איבר של הטור המגדיר את ) g(xנקבל ∞ X ∞ X 1 1 n n−1 = x = x = g(x). !)(n − 1 !n n=1 n=0 n−1 nx ∞ X 1 !n 0 = )g (x n=1 כמו־כן ,רואים באופן מיידי ש: g(0) = 1 + 0 + 0 + · · · = 1. נראה שמשתי העובדות הללו נובע ש־ .g(x) = ex טענה 10.1אם ) g(xפונקציה המוגדרת על כל הישר ומקיימת g(0) = 1 g 0 (x) = g(x), אז g(x) = ex . נקבל את ההוכחה של הטענה הזו מהתוצאה החשובה הבאה ,שמראה ש f (x) = Cex הם אוסף כל הפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית ).f 0 (x) = f (x משפט 10.3אם ) f (xפונקציה המוגדרת על כל הישר ומקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית f 0 (x) = f (x), )(10.2 אז קיים קבוע Cכך ש: f (x) = Cex . הוכחה :נניח ש־ fמקיימת את ) ,(10.2ונגדיר פונקציה חדשה h(x) = e−x f (x). c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 25 10 נספח :הפונקציה ex אז h0 (x) = −e−x f (x) + e−x gf 0 (x) = −e−x f (x) + e−x f (x) = 0 ולכן ) h(xהיא פונקציה קבועה ,כלומר קיים קבוע Cכך ש h(x) = Cלכל xכלומר e−x f (x) = C ⇒ f (x) = Cex וסיימנו את ההוכחה. ♦ טענה 10.1נובעת מיידית ממשפט ,10.3כי מההנחה ש־ gמקיימת ) g 0 (x) = g(xנובע, על פי משפט ,10.3ש־ ,g(x) = Cexומההנחה ש g(0) = 1נובע ש 1 = g(0) = Ce0 = C ⇒ C = 1 ⇒ g(x) = ex . c חגי כתריאל ,המחלקה למתמטיקה ,אורט בראודה 26
