Matrices
Docente: Sebastián Quizhpi Salamea
Matriz: Conjunto de números ordenados en filas y columnas.
1
Componentes de una matriz
Nombre de la matriz: Se denomina con una letra mayúscula.
Elementos de la matriz: Se denominan con letras minúsculas.
Número de filas: se denomina con la letra.
Número de columnas: Se denomina con la letra.
Orden de la matriz: Se denomina de la siguiente manera (m × n).
1.1
Ejemplos:

a11
a21
A=
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43

a14
a24 

a34 
a44 (4×4)
Nombre de la matriz: A.
Elementos de la matriz: a11 , a12 , a13 , a14 , a21 , a22 , a23 , a24 , a31 , a32 , a33 , a34 , a41 , a42 , a43 , a44 . (16 en
total)
Número de filas: 4.
Número de columnas: 4.
Orden de la matriz: (4 × 4)
B=
a11
a21
a12
a22
a13
a23
a14
a24
(2×4)
Nombre de la matriz: B.
Elementos de la matriz: b11 , b12 , b13 , b14 , b21 , b22 , b23 , b24 . (8 en total)
Número de filas: 2.
Número de columnas: 4.
Orden de la matriz: (2 × 4)

c11
c21

C=
c31
c41
c12
c22
c32
c42
1

c13
c23 

c33 
c43 (4×3)
Nombre de la matriz: C.
Elementos de la matriz: c11 , c12 , c13 , c21 , c22 , c23 , c31 , c32 , c33 , c41 , c42 , c43 . (12 en total)
Número de filas: 4.
Número de columnas: 3.
Orden de la matriz: (4 × 3)
2
Tipos de matrices
Matriz fila: Consta de una sola fila, el orden de la matriz es: (1 × m). Se puede denominar
también como un vector.
A = a11 a12 a13 a14 (1×4)
Matriz columna: Consta de una sola columna, el orden de la matriz es: (n × 1). Se puede
denominar también como un vector traspuesto.
 
a11
a21 

A=
a31 
a41 (4×1)
Matriz cuadrada: Tiene el mismo número de
de la matriz es: (m × n).

a11 a12
a21 a22
A=
a31 a32
a41 a42
filas que de columnas, es decir m = n. El orden
a13
a23
a33
a43
Dentro de la matriz cuadrada es importante reconocer

a11 a12 a13
a21 a22 a23
A=
a31 a32 a33
a41 a42 a43

a14
a24 

a34 
a44 (4×4)
la diagonal principal:

a14
a24 

a34 
a44 (4×4)
Donde los elementos de la diagonal son: a11 , a22 , a33 , a44 .
También se puede reconocer la diagonal secundaria:


a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 

A=
a31 a32 a33 a34 
a41 a42 a43 a44 (4×4)
Donde los elementos de la diagonal son: a14 , a23 , a32 , a41 .
Matriz rectangular: el número de filas es distinto que de columnas. Tenemos dos casos:
Caso: m > n

a11
a21
A=
a31
a41
a12
a22
a32
a42
2

a13
a23 

a33 
a43 (4×3)
Caso: m < n
a11
A=
a21
a12
a22
a13
a23
a14
a24
(2×4)
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada donde solo los elemntos de la diagonal principal son
no nulos.


a11 0
0
0
 0 a22 0
0 

A=
 0
0 a33 0 
0
0
0 a44 (4×4)
Matriz nula: Es una matriz cuadrada donde todos los elementos son nulos. Dentro de la operaciones con matrices, esta matriz es equivalente al número cero.


0 0 0 0
0 0 0 0

O=
0 0 0 0
0 0 0 0 (4×4)
Matriz Identidad: Es una matriz cuadrada donde los elementos de la diagonal son 1. Dentro de
las operaciones con matrices, esta matriz es la equivalente al número uno:


1 0 0 0
0 1 0 0

I=
0 0 1 0
0 0 0 1 (4×4)
Matriz triángular superior: Es una matriz
los que están arriba de la diagonal superior.

a11 a12
 0 a22
A=
 0
0
0
0
cuadrada cuyos únicos elementos no nulos son
a13
a23
a33
0

a14
a24 

a34 
a44 (4×4)
Matriz triángular inferior: Es una matriz cuadrada cuyos únicos elementos no nulos son los
que están debajo de la diagonal superior.


a11 0
0
0
a21 a22 0
0 

A=
a31 a32 a33 0 
a41 a42 a43 a44 (4×4)
Matriz traspuesta: Es una matriz cuadrada donde se intercambian los elementos superiores e
inferiores a la diagonal inferior:

a11
a21
A=
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
3

a14
a24 

a34 
a44 (4×4)

a11

a12
At = 
a13
a14
a21
a11
a23
a24
a31
a32
a33
a34

a41
a42 

a43 
a44 (4×4)
Matriz simétrica: Una matriz es simétrica cuando su traspuesta es igual a la matriz inicial.


2 5 11
A=5 4 3
11 3 6 (3×3)


2 5 11
At =  5 4 3 
11 3 6 (3×3)
A = At
Matriz antisimétrica: Tiene la diagonal principal llena de ceros, la matriz antisimétrica es igual
a la opuesta de su traspuesta.


0 −1 −2
A = 1 0 −4
2 4
0 (3×3)


0
1 2
At = −1 0 4
−2 −4 0 (3×3)
A → At = −A → A = −At
3
3.1
Operaciones entre matrices
Suma de matrices
La condición para la suma de matrices es que deben de tener



a11 a12 a13
b11
A = a21 a22 a23 
, B = b21
a31 a32 a33 (3×3)
b31

a11 + b11
A + B = a21 + b21
a31 + b31
3.2
a12 + b12
a22 + b22
a32 + b32
el mismo orden.

b12 b13
b22 b23 
b32 b33 (3×3)

a13 + b13
a23 + b23 
a33 + b33 (3×3)
Resta de matrices
Se realiza de la misma manera que la

a11 a12
A = a21 a22
a31 a32
suma, pero con el signo menos.



a13
b11 b12 b13
a23 
, B = b21 b22 b23 
a33 (3×3)
b31 b32 b33 (3×3)
4

a11 − b11
A − B = a21 − b21
a31 − b31
3.3

a13 − b13
a23 − b23 
a33 − b33 (3×3)
a12 − b12
a22 − b22
a32 − b32
Multiplicación de una matriz por un escalar
De forma análoga a los vectores, se multiplica el escalar k por cada uno de los elementos de la matriz.


a11 a12 a13
k = constante, A = a21 a22 a23 
a31 a32 a33 (3×3)

k · a11
k · A = k · a21
k · a31
3.4
k · a12
k · a22
k · a32

k · a13
k · a23 
k · a33 (3×3)
Multiplicación entre matrices
Multiplicación entre matrices cuadradas: El resultado de la multiplicación entre matrices
cuadradas es otra matriz cuadrada de igual dimensión.
A=
a11
a21
a12
a22
A·B =
a11
a21
a12
a22
b
· 11
b21
b12
b22
b
, B = 11
b21
(2×2)
b12
b22
b
· 11
b21
b12
b22
a11
a21
a12
a22
a11 · b11 + a12 · b21
=
a21 · b11 + a22 · b21
(2×2)
a11 · b12 + a12 · b22
a12 · b12 + a22 · b22
(2×2)
Multiplicación de matrices rectangulares: Para la multiplicación entre matrices rectangulares se debe de cumpir la siguiente condición.
A(3×2) · B(2×3) = (A · B)(3×3)


a12
b

a22
, B = 11
b21
a32 (3×2)
a11
A = a21
a31

a11
A · B = a21
a31

a11
a21
a31

a12 b
a22 · 11
b21
a32
b12
b22
b13
b23

a12
b
a22  · 11
b21
a32

a11 · b11 + a12 · b21
= a21 · b11 + a22 · b21
a31 · b11 + a32 · b21
5
b12
b22
b12
b22
b13
b23
b13
b23
(2×3)
a11 · b12 + a12 · b22
a21 · b12 + a22 · b22
a31 · b12 + a32 · b22

a11 · b13 + a12 · b23
a21 · b13 + a22 · b23 
a31 · b13 + a32 · b23 (3×3)
3.5
Propiedades de las operaciones entre matrices
A · B ̸= B · A
A · (BC) = (AB) · C
A · (B + C) = A · B + A · C
(A · B)t = B t · At
|(A · B)| = |A| · |B|
An = A · A · · · A
A0 = I
(k · A)n = k n · An
|An | = |A|n
Traspuesto de una matriz
A=

a
B = c
e
a
c
b
a
t
, A =
d
b

b
a
d
, Bt =
b
f (3×2)
c
d
c
d
Ecuación de forma matricial
a1 x + b1 y
a2 x + b2 y
a1
a2
b1
b2
=
c1
c2
x
c
= 1
y
c2
6
e
f
(2×3)
3.5.1
Ejercicios
Multiplicar la matriz por el escalar:

1
k = 2, A = −1
−1

 
2 · (−1)
2
2 · (−1) = −2
2·1
−2
2·1
2 · (−1)
2·1
k · A = 2 · (−1)
2(−1) 2 · (−1)

1
k = 3, B = 4
2

3·1
3·5
k · B = 3 · 4 3 · (−1)
3 · 2 3 · (−3)

−1
−1
1 (3×3)
−1
1
−1
5
−1
−3
(1)
−2
2
−2

−2
−2
2 (3×3)

−2
3
1 (3×3)
 
3 · (−2)
3
3 · 3  = 12
3·1
6
(2)

−6
9
3 (3×3)
15
−3
−9
Se puede sacar el factor común de los elementos de una matriz:




2
4
1
1 2 1/2
A = 6 −2 −4 = 2 · 3 −1 −2 
8 −10 2
4 −5 1 (3×3)
1
√
 3


A= 0


0

0
1
√
3
0
0



1

1
0 
 = √ · 0

3
0
1 
√
3
0
1
0
Realizar las siguientes multiplicaciones entre matrices:
1 2
3
A=
,B =
−3 0 (2×2)
4
A·B =
1
−3
2
3
·
0
4
5
1
=
1·3+2·4
−3 · 3 + 0 · 4
C=
1
3
(3)
2
3
·
0
4
1
−3

0
1
0
= √ · I(3×3)
3
1 (3×3)
5
1 (2×2)
C ·D =
1
3
2
3
·
4
1
7
(5)
5
1
1·5+2·1
3+8
=
−3 · 5 + 0 · 1
−9 + 0
2
3
,D =
4 (2×2)
1
(4)
5+2
−15 + 0
−2
5 (2×2)
−2
5
=
11
−9
7
−15 (2×2)
(6)
1
3
2
3
·
4
1
−2
1 · 3 + 2 · 1 1 · (−2) + 2 · 5
3+2
=
=
5
3 · 3 + 4 · 1 3 · (−2) + 4 · 5
9+4
P =
4
−2
−1
−2
·
3
6
−1
−2
,Q =
3 (2×2)
6
4
−2
5
4 · (−2) + (−1) · 6
=
−3
−2 · (−2) + 3 · 6
=
−14
22
−2 + 10
−6 + 20
=
5
13
8
14
5
−3 (2×2)
4 · 5 + (−1) · (−3)
−2 · 5 + 3 · (−3)
23
−19
(2×2)
(7)
=
−8 − 6
4 + 18
20 + 3
−10 − 9
(2×2)
Demostrar que A · B ̸= B · A:
A=
1
2
2
2
,B =
1 (2×2)
1
A·B =
1
2
2
2
·
1
1
2
1·2+2·1
=
1
2·2+1·1
2
1
·
1
2
2
2
·
1
1
1·2+2·1
2·2+1·1
B·A=
2
1
1
2
2
2·1+2·2
=
1
1·1+1·2
2
1
=
2+2
4+1
2+2
4
=
4+1
5
4
5 (2×2)
4+2
6
=
2+1
3
6
3 (2×2)
2
1
=
(8)
2
1
2
1
·
1
2
2·2+2·1
1·2+1·1
2
1 (2×2)
2+4
1+2
A · B ̸= B · A
4
5
4
6
̸=
5
3
6
3
Demostrar que A · I = A
A=
1
3
2
1
,I =
1 (2×2)
0
1
A·B =
3
1
3
2
1
·
1
0
2
1
·
1
0
0
1 (2×2)
0
1
0
1·1+2·0 1·0+2·1
1+0
=
=
1
3·1+1·0 3·0+1·1
3+0
8
(9)
0+2
1
=
0+1
3
2
1 (2×2)

3
A = 1
1

1
1
2
, B=
1
3 (3×2)

3
A · B = 1
1

3
1
1

1
1

2 ·
1
3
3
1

1
1

2 ·
1
3
2
2 (2×3)
3
1
3
1
2
2

 
3·1+1·1 3·3+1·1 3·2+1·2
3+1
2
= 1 · 1 + 2 · 1 1 · 3 + 2 · 1 1 · 2 + 2 · 2 = 1 + 2
2
1·1+3·1 1·3+3·1 1·2+3·2
1+3

4
= 3
4
10
5
6
9

8
6
8 (3×3)
(10)
9+1
3+2
3+3

6+2
2 + 4
2+6
3.6
Determinante de una matriz
Determinante de una matriz 2 × 2
La determinante de la matriz es un escalar resultado del producto entre los números de la diagonal
principal restados del producto de la diagonal secundaria.
A=
a11
a21
a12
a22
(2×2)
Det A = |A| = a11 · a22 − a12 · a21
Determinante de una matriz 3 × 3
El determinante de una matriz 3 × 3 se calcula de la siguiente manera:


a11 a12 a13
a22 a23
a21 a23
a


A = a21 a22 a23 = a11 ·
− a12 ·
+ a13 · 21
a32 a33
a31 a33
a31
a31 a32 a33
a21
a31
Det A = a11 · (a22 · a33 − a32 · a23 ) − a12 · (a21 · a33 − a31 · a23 ) + a13 · (a21 · a31 − a21 · a31 )
Det A = a11 · a22 · a33 − a11 · a32 · a23 − a12 · a21 · a33 + a12 · a31 · a23 + a13 · a21 · a31 − a13 · a21 · a31
Det A = a11 · a22 · a33 + a12 · a31 · a23 + a13 · a21 · a31 − a11 · a32 · a23 − a12 · a21 · a33 − a13 · a21 · a31
3.7
Métodos de determinntes para la solución de ecuaciones lineales 2×2
Partimos de un sistema de ecuaciones lineales 2 × 2:
a1 x + b1 y = c1
(11)
a2 x + b2 y = c2
(12)
Formamos la matriz M con los coeficientes numéricos que multiplican a las variables x y y y calculamos el determinante:
a1 b1
M=
, |M | = (a1 · b2 ) + (a2 · b1 )
(13)
a2 b2
Formamos la matriz Mx sustituyendo el valor los coeficientes de la igualdad en el lugar de los
coeficientes de x y calculamos el dterminante:
c b
Mx = 1 1 , |Mx | = (c1 · b2 ) + (c2 · b1 )
(14)
c2 b2
Formamos la matriz My sustituyendo el valor los coeficientes de la igualdad en el lugar de los
coeficientes de y y calculamos el determinante:
a1 c1
My =
, |My | = (a1 · c2 ) + (a2 · c1 )
(15)
a2 c2
10
Encontramos el valor de x de la siguiente manera:
x=
|Mx |
|M |
(16)
Encontramos el valor de y de la siguiente manera:
y=
3.8
|My |
|M |
(17)
Inverso de la matriz
La matriz inversa cumple lo siguiente:
A · A−1 = I
A−1 · A = I
Propiedades de la matriz inversa
(A · B)−1 = B −1 · A−1
(A−1 )−1 = A
(At )−1 = (A−1 )t
Ejemplo: Encontrar la matriz inversa de la matriz
1
A=
2
Expresamos la matriz A de la siguiente manera:
1 3
A=
2 4
A:
3
4
(18)
0
1
| 1
| 0
(19)
4 F1 − 3 F2
4 F1
-3 F2
4 ·1
-3 ·2
4 F1
-3 F2
4 ·3
-3 ·4
4
-6
-2
12
-12
0
4 ·1
-3 ·0
4
0
4
4 ·0
-3 ·1
0
-3
-3
F2 − 2 F1
F2
-2 F1
2
-2 ·1
F2
-2 F1
4
-2 ·3
2
-2
0
4
-6
-2
Ordenamos la matriz:
11
0
-2 ·0
0
0
0
1
-2
-1
1
-2 ·1
4 F1 − 3 F2
F 2 − 2 F1
−2 0
0 −2
|
|
4
−2
−3
1
Dividimos la matriz para −2:
(−2)/(−2)
(0)/(−2)
(0)/(−2))
(−2)/(−2)
|
|
1
0
−2
1
|
|
0
1
(4)/(−2)
(−2)/(−2)
3/2
−1/2
(−3)/(−2)
(1)/(−2)
La matriz A−1 es:
A−1 =
−2
1
3/2
−1/2
Comprobamos:
A·A
−1
=
3
−2
·
4
1
1
2
=
−2 · 1 + 3 · 1
2 · (−2) + (4) · 1
=
1 · (3/2) + 3 · (−1/2)
2 · (3/2) + (4) · (−1/2)
−2 + 3
−4 + 4
3/2 − 3/2
3−2
=
3/2
−1/2
1
0
12
0
1
1
B=
0
B=
1
0
4
1
(20)
| 1
| 0
4
1
0
1
(21)
F1 − 4 F2
F1
-4 F2
1
-4 ·0
4
-4 ·1
F1
-4 F2
1
0
1
F1 − 4 F2
F1
1
-4 ·0
4
-4
0
1
0
1
0
-4 ·1
0
-4
-4
Ordenamos la matriz:
0 |
1 |
1
0
1
0
−4
1
La matriz B −1 es:
B
−1
=
1
0
−4
1
Comprobamos:
B · B −1 =
=
4
1
·
1
0
1
0
1·1+4·0
0 · (1) + 1 · 0
1+3
=
0
=
1
0
13
−4
1
1 · (−4) + 4 · 1
0 · (−4) + 1 · 1
−4 + 4
1
0
1
C=
C=
3
2
7
5
3
2
(22)
0
1
| 1
| 0
7
5
(23)
5 F1 − 7 F2
5 ·3
-7 ·2
5 F1
-7 F2
5 F1
-7 F2
5 ·7
-7 ·5
15
-14
1
5 ·1
-7 ·0
35
-35
0
5
0
5
5 ·0
-7 ·1
0
-7
-7
3 F2 − 2 F1
3 ·2
3 ·(−2)
3 F2
-2 F1
3 F2
-2 F1
3 ·5
-2 ·7
6
-6
0
3 ·0
-2 ·1
15
-14
1
0
-2
-2
3 ·1
-2 ·0
3
0
3
Ordenamos la matriz:
5 F1 − 7 F2
3 F2 − 2 F1
1
0
|
|
5
−2
−7
3
0
1
−7
3
La matriz B −1 es:
C −1 =
5
−2
Comprobamos:
C ·C
=
−1
3
=
2
7
5
·
5
−2
−7
3
3 · 5 + 7 · (−2) 3 · (−7) + 7 · 3
2 · 5 + 5 · (−2) 2 · (−7) + 5 · 3
=
15 − 14 −21 + 21
10 − 10 −14 + 15
=
1
0
14
0
1