Números reales
El conjunto de los números reales ( ) es la unión del conjunto de los irracionales y los racionales.
El diagrama representa claramente que decimos al hablar de unión.
Diremos que el conjunto de los números reales es DENSO, esto significa que entre dos reales siempre
existe otro real.
Al ubicar los números en la recta numérica, se establece una correspondencia entre los números
reales y los puntos de la recta de tal manera que cada punto de la recta que corresponde con un
real y a cada real le corresponde solamente un punto del a recta. Es por esta razón que solemos
llamarla recta real.
Orden en .El conjunto de los números reales es un conjunto ORDENADO. Esto significa que dado dos números
reales 𝑎 y 𝑏 siempre ocurre una de estas tres posibilidades:
𝑎 > 𝑏 ( 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏)
𝑜 𝑎 < 𝑏 (𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏) 𝑜
𝑎 = 𝑏 ( 𝑎 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑏)
A partir de esta idea de orden, podemos considerar algunos subconjuntos particulares de números
reales, a los que llamaremos, intervalos.
Pensemos juntos:
Es imposible escribir todos los números reales mayores que -3 o todos los números reales menores que
con este cometido apelar a los símbolos.
Por ejemplo, si queremos escribir: “los números reales mayores que -3 “
7
2
. Podemos
→ {𝑥 ∈  ; 𝑥 > −3}
(esto formalmente se leería: el conjunto de los
números reales que son mayores que -3)
Observa que si quisiera representar este conjunto en la recta numérica tendríamos algo así
No incluimos el -3 por eso lo ponemos corrido
Sigue ………
Pero también podríamos escribirlo de la siguiente manera apelando al concepto del infinito y haciendo uso de su
símbolo: (−3;
+∞)
esto es lo que llamamos INTERVALO NO ACOTADO.
Pensemos juntos: todos los números reales menores que
7
7
→ {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 < 2}
2
Representándolo
7
2
7
2
Como Intervalo sería (−∞; ) 𝑝𝑜𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟é𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑜. 𝑁𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠.
Ahora pensemos que pasa si pidiéramos todos los números reales menores que
7
2
7
2
y mayores que -3.
7
2
{𝑥 𝜖 𝑅; −3 < 𝑥 < } = {𝑥 𝜖 𝑅 ; 𝑥 > −3; 𝑥 < }
7
2
7
2
Como intervalo (−3; ). Diremos que este tipo de intervalo es ABIERTO
Y si agregáramos…. todos los números reales menores o iguales que
7
2
7
2
y mayores o iguales a -3……
7
2
{𝑥 𝜖 𝑅; −3 ≤ 𝑥 ≤ } = {𝑥 𝜖 𝑅 ; 𝑥 ≥ −3; 𝑥 ≤ }
7
2
𝟕
𝟐
Como intervalo [−𝟑; ]Diremos que este es un intervalo CERRADO
Y si agregáramos…. todos los números reales mayores que
7
2
o menores o iguales a -3 …
7
2
{𝑥 𝜖 𝑅 ; 𝑥 ≤ −3; 𝑥 > }
7
2
𝟕
𝟐
Como intervalo ( ; +∞) ∪ (−∞; −𝟑] Aquí tenemos la UNION de intervalos. Esto implica que ambos intervalos son
válidos y el conjunto final es la unión de ambos que en definitiva es un único conjunto.
Resumen tipos de intervalos:
Intervalo
Notación conjuntista
Intervalo cerrado
𝑰𝟏 = [𝒂; 𝒃 ]
Representación gráfica
𝑰𝟏 = {𝒙 ∈ 𝑹 ; 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃}
→
Intervalo cerrado
𝑰𝟐 = (𝒂; 𝒃 )
𝑰𝟐 = {𝒙 ∈ 𝑹 ; 𝒂 < 𝒙 < 𝒃}
→
Intervalo semiabierto
𝑰𝟑 = (𝒂; 𝒃]
𝑰𝟑 = {𝒙 ∈ 𝑹 ; 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃}
→
𝑰𝟒 = [𝒂; 𝒃)
𝑰𝟒 = {𝒙 ∈ 𝑹 ; 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃}
→
Intervalos no acotados
𝑰𝟓 = (−∞; 𝒂] 𝒐 (−∞; 𝒃)
𝑰𝟓 = {𝒙 ∈ 𝑹 ; 𝒙 ≤ 𝒂} 𝒐 {𝒙 ∈ 𝑹 ; 𝒙 < 𝒃}
→
𝑰𝟒 = [𝒂; +∞)𝒐 (𝒃; +∞)
𝑰𝟒 = {𝒙 ∈ 𝑹 ; 𝒂 < 𝒙} 𝒐 {𝒙 ∈ 𝑹 ; 𝒃 ≤ 𝒙}
→
𝒂
𝒃
𝒂
𝒃
𝒂
𝒃
𝒂
𝒃
→
𝒂
→
𝒂
𝒃
𝒃
Tareas para realizar.
1) Expresar, utilizando los distintos símbolos y formatos vistos, las siguientes frases:
“conjunto de números reales mayor que 2”
“conjunto de números reales menor que 5 “
“conjunto de números reales mayor que 2 y menor que 5”
“conjunto de números reales mayor que 2 y menor o igual que 5”
“conjunto de números reales mayor o igual que 2 y menor o igual que 5”
2) Expresa de dos formas cada uno de los siguientes intervalos:
a)
b)
c)
d)
3) Representar en la recta numérica los siguientes intervalos:
a) (2,3) ∪ [5,8]
1
b) [−2; 2] ∪ [3; +∞)
c)(−∞; 1) ∪ (1; +∞)
1
d) (−∞, − 2) ∪ [5, +∞)