VALOR ABSOLUTO
VALOR ABSOLUTO
El
valor
absoluto
de
un
número
real
𝑎
,
se
denota
por
|𝑎|
y
se
de
fine como:
𝑎; 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
|𝑎| =
− 𝑎; 𝑠𝑖 𝑎 < 0
PROPIEDADES
𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
Propiedades
1.-|𝑎| ≥ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎 ∈ ℝ
2.- |𝑎| = 0, ⇔ 𝑎 = 0
3.-|−𝑎| = |𝑎|
4.-|𝑎. 𝑏| = |𝑎|. |𝑏|
𝑎
Ejemplos
|𝑎|
5.-|𝑏 | = |𝑏| , 𝑏 ≠ 0
6.-|𝑎| = 𝑏 ⇔ (𝑏 ≥ 0) ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
7.- |𝑎| = |𝑏| ⇔ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
8.-|𝑎 𝑛 | = |𝑎|𝑛 , 𝑛 ∈ ℚ
9.-|𝑎|2 = 𝑎 2
10.-−|𝑎| ≤ 𝑎 ≤ |𝑎|
11.-|𝑎| ≥ |𝑏| ⇔ 𝑎 2 ≥ 𝑏2
|𝑎| > |𝑏| ⇔ 𝑎 2 > 𝑏2
12.-|𝑥| ≤ 𝑏 ⇔ 𝑏 ≥ 0 ∧ −𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
|𝑥| < 𝑏 ⇔ 𝑏 > 0 ∧ −𝑏 < 𝑥 < 𝑏
13.-|𝑥| ≥ 𝑏 ⇔ 𝑥 ≤ −𝑏 ∨ 𝑥 ≥ 𝑏
|𝑥| > 𝑏 ⇔ 𝑥 < −𝑏 ∨ 𝑥 > 𝑏
|−12| = 12 ≥ 0
|0| = 0
|7| = |−7| = 7
|(−4)(15)| = |−4|. |15| = 60
|−6|
−6
6
| |=
=
|11| 11
11
|𝑎| = 12 ⇒ 𝑎 = 12 ∨ 𝑎 = −12
|𝑎| = |−4| ⇒ 𝑎 = −4 ∨ 𝑎 = −(−4) = 4
|−25 | = |−2|5 = 25 = 32
|−15|2 = (−15)2 = 225
−|5| ≤ 5 ≤ |5|
|−8| ≥ |−5| ⇔ (−8)2 ≥ (−5)2
|6| > |3| ⇔ 62 > 32
|𝑥 − 2| ≤ 6 ⇔ −6 ≤ 𝑥 − 2 ≤ 6 ⇔ −4 ≤ 𝑥 ≤ 8
|𝑥 + 3| < 8 ⇔ −8 < 𝑥 + 3 < 8 ⇔ −11 < 𝑥 < 5
|𝑥| ≥ −2 ⇔ 𝑥 ≤ 2 ∨ 𝑥 ≥ −2
|𝑥| > 6 ⇔ 𝑥 < −6 ∨ 𝑥 > 6
Ejemplo 1
Resuelve, enℝ, la ecuación |2𝑥 + 3| = 7
Solución
Por la propiedad 6: |𝑎| = 𝑏 ⇔ (𝑏 ≥ 0) ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
|2𝑥 + 3| = 7 ⇒ 2𝑥 + 3 = 7
⇒
𝑥=2
∴ 𝐶. 𝑆 = {−5; 2}
∨
∨ 2𝑥 + 3 = −7
𝑥 = −5
Ejemplo 2
Resuelve, en ℝ, la ecuación |3𝑥 − 7| = |𝑥 + 5|
Solución
Por la propiedad 7 |𝑎| = |𝑏| ⇔ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
|3𝑥 − 7| = |𝑥 + 5| ⇒ 3𝑥 − 7 = 𝑥 + 5
∨ 3𝑥 − 7 = −(𝑥 + 5)
⇒𝑥=6 ∨ 𝑥=
1
2
1
∴ 𝐶. 𝑆 = { ; 6}
2
Ejemplo 3
Resolver |𝑥 − 4|2 − 5|𝑥 − 4| + 6 = 0
Solución
Por la propiedad |𝑎|2 = 𝑎 2
(𝑥 − 4)2 − 5|𝑥 − 4| + 6 = 0
𝑥 2 − 8𝑥 − 5|𝑥 − 4| + 22 = 0
¿ 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 |𝑎| = 𝑏 ⇔ (𝑏 ≥ 0) ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
Mejor consideremos la definición de valor absoluto:
𝑥 − 4; 𝑥 ≥ 4
|𝑥 − 4| =
−(𝑥 − 4); 𝑥 < 4

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 4
𝑥 2 − 8𝑥 − 5(𝑥 − 4) + 22 = 0 → 𝑥 2 − 13𝑥 + 42 = 0
→ 𝑥 2 − 13𝑥 + 42 = 0

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 4
𝐶. 𝑆 = {1,2,6,7}
→ 𝐶. 𝑆𝐼 = {6; 7}
𝑥 2 − 8𝑥 − 5(4 − 𝑥) + 22 = 0 → 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0
→ 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0
Por tanto:
→ (𝑥 − 6)(𝑥 − 7) = 0
→ (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) = 0
→
𝐶. 𝑆𝐼𝐼 = {1,2}
Ejemplo 4
Resuelve, en ℝ, la inecuación |4𝑥 − 5| < 3𝑥 − 4
Solución
Por la propiedad 12
|𝑥| < 𝑏 ⇔ 𝑏 > 0 ∧ −𝑏 < 𝑥 < 𝑏
|4𝑥 − 5| < 3𝑥 − 4 ⇒ (3𝑥 − 4 > 0) ∧ (−3𝑥 + 4 < 4𝑥 − 5 < 3𝑥 − 4
4
⇒ (𝑥 > ) ∧ (−3𝑥 + 4 < 4𝑥 − 5 ∧ 4𝑥 − 5 < 3𝑥 − 4)
3
4
9
⇒ (𝑥 > ) ∧ (𝑥 >
∧
3
7
𝑥 < 1)
4
⇒ (𝑥 > ) ∧ (∅)
3
∴ 𝐶. 𝑆 = ∅
Ejemplo 5
Resuelve, en ℝ, la inecuación |2𝑥 − 3| ≥ −𝑥
Solución
Por la propiedad 13
|𝑥| ≥ 𝑏 ⇔ 𝑥 ≤ −𝑏 ∨
|2𝑥 − 3| ≥ −𝑥 ⇒ 2𝑥 − 3 ≥ −𝑥
⇒𝑥≥1
∨
𝑥≥𝑏
∨
2𝑥 − 3 ≤ 𝑥
𝑥≤3
∴ 𝐶. 𝑆 = ℝ
Ejemplo 6
Resuelve, en ℝ, la inecuación 1 < |𝑥 − 1| ≤ 𝑥 + 1
Rpta
∴ 𝐶. 𝑆 =< 2, ∞ >
Ejemplo 7
𝑆𝑖 𝑚 < 0, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 |𝑥|2 − 𝑚|𝑥| > 0
Solución
ECUACIONES LINEALES CON MÁS DE UN VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 8
Resuelve, en ℝ, la ecuación |𝑥 − 8| + 5𝑥 = 6 + |2𝑥 − 3|
Solución
Hallamos los puntos en los que se da un cambio de signo en las expresiones que aparecen en valor
absoluto.
Por definición de valor absoluto, tenemos:
𝑥 − 8;
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 8
2𝑥 − 3; 𝑠𝑖 𝑥 ≥
|𝑥 − 8| =
3
2
|2𝑥 − 3| =
−(𝑥 − 8);
− (2𝑥 − 3); 𝑠𝑖 𝑥 <
𝑠𝑖 𝑥 < 8
Los puntos en que se da cambio de signo son:
3
2
3
2
𝑦 8
Ubicamos los puntos de cambio de signo en la recta real e identificamos los intervalos que se forman,
tal como se muestra a continuación.
II
III
I
3
2
8
Como se forman tres intervalos, tenemos:
Intervalo I:
Intervalo II:
Intervalo III:
3
𝑥<2
3
2
≤𝑥<8
𝑥≥8
Resolvemos la ecuación en cada intervalo y hallamos sus respectivos conjuntos solución:
Intervalo I: 𝑥 < 3/2
−(𝑥 − 8) + 5𝑥 = 6 − (2𝑥 − 3)
−𝑥 + 8 + 5𝑥 = 6 − 2𝑥 + 3
1
6𝑥 = 1 → 𝑥 =
6
Como el valor de x hallado,
pertenece al intervalo I.
1
Entonces: 𝐶. 𝑆𝐼 = { ]
6
3
Intervalo II:2 ≤ 𝑥 < 8
−(𝑥 − 8) + 5𝑥 = 6 + 2𝑥 − 3
−𝑥 + 8 + 5𝑥 = 3 + 2𝑥
5
𝑥=−
2
Como el valor de x hallado no
pertenece al intervalo II
Entonces:𝐶. 𝑆𝐼𝐼 = ∅
Intervalo III:𝑥 ≥ 8
𝑥 − 8 + 5𝑥 = 6 + 2𝑥 − 3
4𝑥 = 11
11
𝑥=
4
Como el valor de x hallado, no
pertenece al intervalo III.
Entonces: 𝐶. 𝑆𝐼𝐼𝐼 = ∅
Finalmente, el conjunto solución de la ecuación es igual a la unión de los conjuntos solución hallados
en cada uno de los intervalos.
1
1
6
6
Por tanto, 𝐶. 𝑆 = 𝐶. 𝑆𝐼 ∪ 𝐶. 𝑆𝐼𝐼 ∪ 𝐶. 𝑆𝐼𝐼𝐼 = { } ∪ ∅ ∪ ∅ = { }
Ejemplo 9
Resolver
|3𝑥 − 1| − |𝑥 + 2| = 1
Solución
3𝑥 − 1;
𝑥≥
1
𝑥 + 2;
3
|3𝑥 − 1|
|𝑥 + 2| =
−(3𝑥 − 1);
1
𝑥<3
−(𝑥 + 2); 𝑥 < −2
Ordenamos los intervalos:

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −2
− (3𝑥 − 1) − [−(𝑥 + 2)] = 1
𝑃𝑒𝑟𝑜 𝑥 = 1 ∉< −∞; −2 >
→𝑥=1
𝐶. 𝑆𝐼 = ∅
𝐷𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎: 𝐶. 𝑆𝐼 =< −∞; −2 >∩ {1] = ∅.

1
𝑃𝑎𝑟𝑎 − 2 ≤ 𝑥 < 3
𝑥=−
− (3𝑥 − 1) − (𝑥 + 2) = 1
1
1
∈ ≤ −2; >
2
3
1
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 3
1
𝐶. 𝑆𝐼𝐼 = {− }
2
(3𝑥 − 1) − (𝑥 + 2) = 1
1
𝑥 = 2 ∈ ≤ ; +∞ >
3
𝐷𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎: 𝐶. 𝑆𝐼𝐼𝐼 =≤
𝟏
𝑷𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝑪. 𝑺 = {− : 𝟐}
𝟐
→𝑥=2
𝐶. 𝑆𝐼𝐼𝐼 = {2}
1
; +∞ >∩ {2] = {2}
3
1
→ 𝑥 = −2
1
1
1
𝐷𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎: 𝐶. 𝑆𝐼𝐼 =≤ −2; >∩ {− ] = {− }
3
2
2

𝑥 ≥ −2
Ejemplo 10 Resolver
2 − |2 − 𝑥| − 𝑥
<0
|𝑥 − 𝑥 2 | − 2
Solución
Utilizamos la expresión: |𝑎. 𝑏| = |𝑎|. |𝑏|
2 − |2 − 𝑥| − 𝑥
<0
|𝑥||𝑥 − 1| − 2
𝑥;
𝑥≥0
|𝑥| =
𝑥 − 1;
𝑥≥1
|𝑥 − 1| =
−𝑥;
𝑥<0
𝑥 − 2;
𝑥≥2
|𝑥 − 2| =
1 − 𝑥;
𝑥<1
2 − 𝑥;
𝑥<2
Ordenamos los intervalos
𝑥<0
→
2 − (2 − 𝑥) − 𝑥
<0
(−𝑥)((1 − 𝑥) − 2
→
𝑥2
0≤𝑥<1
→
2 − (2 − 𝑥) − 𝑥
<0
(𝑥)((1 − 𝑥) − 2
→
1≤𝑥<2
→
2 − (2 − 𝑥) − 𝑥
<0
(𝑥)((𝑥 − 1) − 2
→
𝑥≥2
→
2 − (𝑥 − 2) − 𝑥
<0
(𝑥)((𝑥 − 1) − 2
→
0
<0
−𝑥−2
→ 𝐶𝑆𝐼 = ∅
0
<0
𝑥2 − 𝑥 − 2
→ 𝐶𝑆𝐼𝐼 = ∅
0
<0
−𝑥−2
→ 𝐶𝑆𝐼𝐼𝐼 = ∅
𝑥2
2𝑥 − 4
>0
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
𝐶. 𝑆𝐼𝑉 = < −1; +∞ > ∩ < 2; +∞ ≥ = < 2; +∞ >
𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝐶. 𝑆 = 𝐶. 𝑆𝐼 ∪ 𝐶. 𝑆𝐼𝐼 ∪ 𝐶. 𝑆𝐼𝐼𝐼 ∪ 𝐶. 𝑆𝐼𝑉 =< 2; +∞ >
→
2
𝑥+1
→ 𝑥 > −1
𝑥 ≠ 2, −1
Ejemplo 11
Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación:
|𝑥 + 1| + 2|𝑥 − 2| < 9
Solución
Hallamos los puntos en los que se da un cambio de signo en las expresiones que aparecen en valor
absoluto.
Por definición de valor absoluto, tenemos:
𝑥 + 1;
𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1
𝑥 − 2; 𝑠𝑖 𝑥 ≥2
|𝑥 + 1| =
|𝑥 − 2| =
−(𝑥 + 1); 𝑠𝑖 𝑥 < −1
−(𝑥 − 2); 𝑠𝑖 𝑥 < 2
Los puntos en los que se da un cambio de sigo son: −1 𝑦 2
Ubicamos los puntos de cambio de sigo en la recta real y obtenemos tres intervalos, tal como se
muestra a continuación:
I
III
II
-1
2
Los intervalos son:
𝑥 < −1
Intervalo I:
Intervalo II:
−1 ≤ 𝑥 < 2
Intervalo III:
𝑥≥2
Resolvemos la inecuación en cada intervalo y hallamos sus respectivos conjuntos solución:
Intervalo I: 𝑥 < −1
|𝑥 + 1| + 2|𝑥 − 2| < 9
−(𝑥 + 1) − 2(𝑥 − 2) < 9
𝑥 > −2
El conjunto solución de la inecuación
en este intervalo es igual a:
𝐶. 𝑆𝐼 = (𝑥 < −1) ∧ (𝑥 > −2)
Por tanto
𝐶. 𝑆𝐼 =< −2; −1 >
Intervalo II: −1 ≤ 𝑥 < 2
|𝑥 + 1| + 2|𝑥 − 2| < 9
(𝑥 + 1) − 2(𝑥 − 2) < 9
𝑥 > −4
El conjunto solución de la
inecuación en este intervalo es
igual a:
Intervalo III: 𝑥 ≥ 2
|𝑥 + 1| + 2|𝑥 − 2| < 9
(𝑥 + 1) + 2(𝑥 − 2) < 9
𝑥<4
El conjunto solución de la
inecuación en este intervalo es
igual a:
𝐶. 𝑆𝐼𝐼 = (−1 ≤ 𝑥 < 2) ∧ (𝑥 > −4)
𝐶. 𝑆𝐼𝐼𝐼 = (𝑥 ≥ 2) ∧ (𝑥 < 4)
Por tanto
Por tanto
𝐶. 𝑆𝐼𝐼 = [−1; 2 >
𝐶. 𝑆𝐼𝐼𝐼 = [2; 4 >
Finalmente, el conjunto solución de la ecuación es igual a la unión de los conjuntos solución hallados
en cada uno de los intervalos.
Por tanto:
𝐶. 𝑆 = 𝐶. 𝑆𝐼 ∪ 𝐶. 𝑆𝐼𝐼 ∪ 𝐶. 𝑆𝐼𝐼𝐼 =< −2; −1 >∪ [−1; 2 >∪ [2; 4 >=< −2; 4 >
Ejemplo 12
Hallar el conjunto solución de:|𝑥 2 − 𝑥| − 𝑥|𝑥| − 𝑥 2 ≥ 0
Solución
𝐿𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎: |𝑥||𝑥 − 1| − 𝑥|𝑥| − 𝑥 2 ≥ 0
𝑠𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑜 |𝑎. 𝑏| = |𝑎|. |𝑏|
Por definición de valor absoluto, tenemos:
𝑥;
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
|𝑥| =
𝑥 − 1; 𝑠𝑖 𝑥 ≥1
|𝑥 − 1| =
− (𝑥 − 1); 𝑠𝑖 𝑥 < 1
−𝑥; 𝑠𝑖 𝑥 < 0
Trabajando por zonas con los valores de referencia: 0 y 1.
Intervalo I: 𝑥 < 0
|𝑥||𝑥 − 1| − 𝑥|𝑥| − 𝑥 2 ≥ 0
−𝑥(−𝑥 + 1) − 𝑥(−𝑥) − 𝑥 2 ≥ 0
𝑥2 − 1 ≥ 0
El conjunto solución de la inecuación
en este intervalo es igual a:
𝐶. 𝑆𝐼 =< −∞; 0 >
Intervalo II: 0 ≤ 𝑥 < 1
|𝑥||𝑥 − 1| − 𝑥|𝑥| − 𝑥 2 ≥ 0
𝑥(−𝑥 + 1) − 𝑥(𝑥) − 𝑥 2 ≥ 0
−3𝑥 2 + 𝑥 ≥ 0
El conjunto solución de la
inecuación en este intervalo es
igual a:
1
𝐶. 𝑆𝐼𝐼 = [0; ]
3
1
1
3
3
Luego :𝐶. 𝑆 = 𝐶𝑆𝐼 ∪ 𝐶𝑆𝐼𝐼 ∪ 𝐶𝑆𝐼𝐼𝐼 =< −∞; 0 > ∪ [0; ] ∪ ∅ = ]−∞; ]
Intervalo III: 𝑥 ≥ 1
|𝑥||𝑥 − 1| − 𝑥|𝑥| − 𝑥 2 ≥ 0
𝑥(𝑥 − 1) − 𝑥(𝑥) − 𝑥 2 ≥ 0
𝑥(𝑥 + 1) ≤ 0
El conjunto solución de la
inecuación en este intervalo es
igual a: [-1;0]
Pero la solución no esta en el
intervalo III
𝐶. 𝑆𝐼𝐼𝐼 = (𝑥 ≥ 1) ∧ [−1; 0]
Por tanto
𝐶. 𝑆𝐼𝐼𝐼 = ∅
Ejemplo 13
Hallar el conjunto solución de la siguiente e inecuación:
|𝑥 − 6| − 𝑥 + |𝑥 + 2|
<3
𝑥−2
Hallamos los puntos en los que se da un cambio de signo en las expresiones que aparecen en valor
absoluto.
Por definición de valor absoluto, tenemos:
𝑥 − 6;
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 6
𝑥 + 2; 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −2
|𝑥 − 6| =
|𝑥 + 2| =
−(𝑥 − 6); 𝑠𝑖 𝑥 < 6
−(𝑥 + 2); 𝑠𝑖 𝑥 < −2
Los puntos en los que se da un cambio de sigo son: −2 𝑦 6
Ubicamos los puntos de cambio de sigo en la recta real y obtenemos tres intervalos, tal como se
muestra a continuación:
I
III
II
-2
6
Los intervalos son:
Intervalo I:
𝑥 < −2
Intervalo II:
−2 ≤ 𝑥 < 6
Intervalo III:
𝑥≥6
Resolvemos la inecuación en cada intervalo y hallamos sus respectivos conjuntos solución:
Intervalo I: 𝑥 < −2
|𝑥 − 6| − 𝑥 + |𝑥 + 2|
<3
𝑥−2
−(𝑥 − 6) − 𝑥 − (𝑥 + 2)
<3
𝑥−2
−3𝑥 + 4
3𝑥 − 5
−3<0→
>0
𝑥−2
𝑥−2
El conjunto solución es:
5
< −∞; >∪< 2; ∞ >
3
El conjunto solución de la inecuación en
este intervalo es igual a:
𝐶. 𝑆𝐼 = [< −∞; 5/3 >∪< 2; ∞ >] ∧ (𝑥
< −2)
Por tanto
𝐶. 𝑆𝐼 =< −∞; −2 >
Intervalo II: −2 ≤ 𝑥 < 6
|𝑥 − 6| − 𝑥 + |𝑥 + 2|
<3
𝑥−2
−(𝑥 − 6) − 𝑥 + (𝑥 + 2)
<3
𝑥−2
8−𝑥
2(2𝑥 − 7)
−3 < 0 →
>0
𝑥−2
𝑥−2
El conjunto solución es:
7
< −∞; 2 >∪< ; ∞ >
2
El conjunto solución de la inecuación
en este intervalo es igual a:
7
𝐶. 𝑆𝐼𝐼 = [< −∞; 2 >∪< ; ∞
2
>] ∧ (−2 ≤ 𝑥
< 6)
Por tanto
7
𝐶. 𝑆𝐼𝐼 = [−2; 2 >∪< ; 6 >
2
Intervalo III: 𝑥 ≥ 6
|𝑥 − 6| − 𝑥 + |𝑥 + 2|
<3
𝑥−2
(𝑥 − 6) − 𝑥 + (𝑥 + 2)
<3
𝑥−2
𝑥−4
−3<0
𝑥−2
El conjunto solución de la inecuación
en este intervalo es igual a:
𝐶. 𝑆𝐼𝐼𝐼 = (𝑥 ≥ 2) ∧ (𝑥 < 4)
Por tanto
𝐶. 𝑆𝐼𝐼𝐼 = [2; 4 >
Finalmente, el conjunto solución de la ecuación es igual a la unión de los conjuntos solución hallados
en cada uno de los intervalos.
Por tanto: 𝐶. 𝑆 = 𝐶. 𝑆𝐼 ∪ 𝐶. 𝑆𝐼𝐼 ∪ 𝐶. 𝑆𝐼𝐼𝐼 =< −2; −1 >∪ [−1; 2 >∪ [2; 4 >=< −2; 4 >
Ejemplo 14
|𝑥 2 − 2𝑥 − 5| ≥ |𝑥 2 + 4𝑥 + 1|
Solución
Aplicaremos la propiedad: |𝑎|2 = 𝑎 2
Elevando al cuadrado ambos términos:
|𝑥 2 − 2𝑥 − 5|2 ≥ |𝑥 2 + 4𝑥 + 1|2
(𝑥 2 − 2𝑥 − 5)2 − (𝑥 2 + 4𝑥 + 1)2 ≥ 0
(𝑥 2 − 2𝑥 − 5 + 𝑥 2 + 4𝑥 + 1)(𝑥 2 − 2𝑥 − 5 − 𝑥 2 − 4𝑥 − 1) ≥ 0
(2𝑥 2 − 2𝑥 − 4)(−6𝑥 − 6) ≥ 0
(𝑥 2 − 𝑥 − 2)(−3𝑥 − 3) ≥ 0
3(𝑥 2 − 𝑥 − 2)(𝑥 + 1) ≤ 0
3(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 1) ≤ 0
𝐶. 𝑆 =< −∞; −2 > ∪ < 1; 1 >
Ejemplo 15
Analice la verdad o falsedad de la siguiente afirmación
𝑥−3
𝑆𝑖 |𝑥| ≤ 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |
|≤5
𝑥+3
Solución
𝑥−3
Notemos que:𝑥+3 =
(𝑥+3)−6
𝑥+3
6
= 1 − 𝑥+3
En la expresión ⌈𝑥⌉ ≤ 2 𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 |𝑥| ≤ 𝑏 ⇔ 𝑏 ≥ 0 ∧ −𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
−2 ≤ 𝑥 ≤ 2 → 1 ≤ 𝑥 + 3 ≤ 5 →
→
1
1
≤
≤1
5 𝑥+3
6
6
6
6
≤
≤ 6 → −6 ≤ −
≤−
5 𝑥+3
𝑥+3
5
−5 ≤ 1 −
6
1
6
1
≤ − → −5 ≤ 1 −
≤− ≤5
𝑥+3
5
𝑥+3
5
𝑥−3
|
|≤5
𝑥+3
Es verdadero
Ejemplo 16 Hallar el conjunto solución en los números reales de:
||2𝑥 2 − 𝑥 + 1| − 𝑥 2 | = 𝑥 + 4
Solución

Como la expresión cuadrática 2𝑥 2 − 𝑥 + 1 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 2 >
0, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒
2𝑥 2 − 𝑥 + 1 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙. 𝐷𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 |2𝑥 2 − 𝑥 + 1| = 2𝑥 2 − 𝑥 + 1

𝐴𝑠í 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ||2𝑥 2 − 𝑥 + 1| − 𝑥 2 | = 𝑥 + 4 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎:
|(2𝑥 2 − 𝑥 + 1) − 𝑥 2 | = 𝑥 + 4, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 |𝑥 2 − 𝑥 + 1 | = 𝑥 + 4
𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑: |𝑎| = 𝑏 ⇔ (𝑏 ≥ 0) ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
𝑥 + 4 ≥ 0 ∧ (𝑥 2 − 𝑥 + 1 = 𝑥 + 4
𝑥 ≥ −4 ∧ (𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0
∨ 𝑥 2 + 5 = 0)
𝑥 ≥ −4 ∧ ((𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0
𝑥 ≥ −4 ∧ ((𝑥 = 3
∨ 𝑥 2 − 𝑥 + 1 = −(𝑥 + 4))
∨ 𝑥 2 + 5 = 0)
∨ 𝑥 = −1) ∨
𝑥 ∈ ∅)
𝑃𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. 𝐶. 𝑆 = {−1; 3}
Ejemplo 17 Hallar el conjunto solución en los números reales de:
2𝑥 + |3𝑥 − 2| ≥ |𝑥 + 4|
3
Respuesta:]−∞; −1] ∪ [ ; +∞[
2
Ejemplo 18 Hallar el conjunto solución en los números reales de:
|
𝑥 2 − 3𝑥 + 1
|<1
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
Solución
La inecuación equivale a: |1 −
1
𝑥 2 −3𝑥+2
|<1
Aplicando la propiedad de valor absoluto: |𝑥| < 𝑏 ⇔ 𝑏 > 0
∧
1
1
< 1 ↔ −2 < − 2
<0
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
𝑥 − 3𝑥 + 2
↔
−1 < 1 −
↔
𝑥2
1
>0
− 3𝑥 + 2
∧
𝑥2
−𝑏 < 𝑥 < 𝑏
0<
1
<2
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
1
<2
− 3𝑥 + 2
Resolvemos el primer caso
𝑥2
1
>0
− 3𝑥 + 2
↔
1
> 0 ↔ (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) > 0
(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)
𝐶. 𝑆𝐼 = ]−∞; 1[ ∪ ]2; +∞[
Resolvemos el segundo caso:
1
<2
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
↔
1
−2<0 ↔
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
(
1 − 2𝑥 2 + 6𝑥 − 4
2𝑥 2 − 6𝑥 + 3
)
<
0
↔
>0
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
1
<2
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
↔
1
−2<0 ↔
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
(
1 − 2𝑥 2 + 6𝑥 − 4
2𝑥 2 − 6𝑥 + 3
)
<
0
↔
>0
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
↔
(𝑥 −
3 + √3
3 − √3
2 )(𝑥 − 2 ) < 0
(𝑥 − 2)(𝑥 − 1
Haciendo los intervalos en la recta numérica:
𝐶. 𝑆𝐼𝐼 = ]−∞;
3 − √3
3 + √3
[ ∪ ]1; 2[ ∪ ]
; +∞[
2
2
El conjunto solución final es:
𝐶. 𝑆 = 𝐶. 𝑆𝐼 ∪ 𝐶. 𝑆𝐼𝐼= ]−∞;
3 − √3
3 + √3
[∪]
; +∞[
2
2
Ejemplo 19 Hallar el conjunto solución en los números reales de:
|𝑥 − 4|2 − 5|𝑥 − 4| + 6 = 0
Solución
¿Cuál es plan?
𝐶. 𝑆 = {1; 2; 6; 7}
Ejemplo 20 Resolver
2|𝑥 − 1| − 3|𝑥 − 2| + |𝑥 − 5| = 𝑥 + 2
Solución
𝑥 − 1;
𝑥≥1
|𝑥 − 1| =
𝑥 − 2;
𝑥≥2
|𝑥 − 2| =
1 − 𝑥;
𝑥<1
𝑥 − 5;
|𝑥 − 5| =
2 − 𝑥;
𝑥<2
5 − 𝑥;
Ordenando los intervalos:
Caso: 𝑥 < 1
2(1 − 𝑥) − 3(2 − 𝑥) + (5 − 𝑥) = 𝑥 + 2
𝑥 = −1
¡Recordar! 𝐶𝑆𝐼 =< −∞; 1 >∩ {−1} = {−1}
Continuar con los intervalos II,III,IV.
5 7
𝐶𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = {−1; ; }
3 3
𝑥≥5
𝑥<5
PROPIEDADES DEL MÁXIMO ENTERO DE UN NÚMERO REAL
Propiedades
1.𝑥 ∈ 𝑅 ⟦𝑥⟧ ∈ 𝑍
2.𝑥 ∈ 𝑅 ⟦𝑥⟧ ≤ 𝑥
3.⟦⟦𝑥⟧⟧ = ⟦𝑥⟧
4.⟦⟦𝑥⟧ + 𝑚⟧ = ⟦𝑥⟧ + 𝑚 𝑚 ∈ 𝑍
5.- 𝑥 ∈ 𝑅
0 ≤ 𝑥 − ⟦𝑥⟧ ≤ 1
⟦𝑥⟧ < 𝑚 ↔ 𝑥 < 𝑚
6.⟦𝑥⟧ ≤ 𝑚 ↔ 𝑥 < 𝑚 + 1
7.⟦𝑥⟧ ≥ 𝑚 ↔ 𝑥 ≥ 𝑚
8.⟦𝑥⟧ > 𝑚 ↔ 𝑥 ≥ 𝑚 + 1
9.10.- ⟦𝑥⟧ ≤ ⟦𝑦⟧ ↔ 𝑥 ≤ 𝑦
11.- ⟦𝑥 + 𝑦⟧ ≥ ⟦𝑥⟧ + ⟦𝑦⟧
12.- ⟦𝑥⟧ = 𝑛
↔
𝑛≤ 𝑥 < 𝑛+1
Ejemplos
⟦8.5⟧ = 8 ∈ 𝑍
⟦1.5⟧ ≤ 1.5
⟦⟦7.5⟧⟧ = ⟦7.5⟧
⟦⟦6.5⟧ + 4⟧ = ⟦6.5⟧ + 4
0 ≤ 12.5 − ⟦12.5⟧ ≤ 1
⟦10⟧ < 11
↔ 10 < 11
⟦−5⟧ ≤ −5
↔ −5 < −5 + 1
⟦13⟧ ≥ 13 ↔ 13 ≥ 13
⟦13.1⟧ ≥ 12 ↔ 13.1 ≥ 12 + 1
⟦12⟧ ≤ ⟦14.5⟧
↔ 12 ≤ 14.5
⟦10.8 + 5.5⟧ ≥ ⟦10.8⟧ + ⟦5.5⟧
Ejemplo 21 Hallar el conjunto solución de:
⟦2𝑥 − |𝑥|⟧ = 𝑥
Solución
De acuerdo con la definición de máximo entero ¿qué tipo de número es x?
→𝑥∈𝑍
Teniendo en cuenta la siguiente propiedad:
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 2𝑥 − |𝑥| = 𝑥
→
|𝑥| = 𝑥 … … … . . (1)
En (1) deducimos que: 𝑥 ≥ 0 ¡ 𝑝𝑒𝑟𝑜! 𝑠𝑒 ℎ𝑎 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ∈ 𝑍
𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑥 ∈ 𝑍 + = {1,2, … . , +∞} ∪ {0}
𝐶. 𝑆 = {1,2, … . , +∞} ∪ {0}
Ejemplo 22 Resolver
𝑥+3
⟦
⟧ = −3
𝑥+6
Solución
Por definición
⟦𝑥⟧ = 𝑛
↔
𝑛≤ 𝑥 <𝑛+1
Por lo tanto, en el problema.
−3 ≤
𝑥+3
< −3 + 1
𝑥+6
−3 ≤ 1 −
3
< −2
𝑥+6
1 𝑥+6 1
≤
<
4
3
3
→
→ −3 ≤
→
𝑥+3
< −2
𝑥+6
2<
3
−1≤3
𝑥+6
3
≤𝑥+6<1
4
→
−
→
3<
3
≤4
𝑥+6
21
≤ 𝑥 < −5
4
Por tanto:
−
𝐶. 𝑆 = [−
21
≤ 𝑥 < −5
4
ó
𝑥 ∈ [−
21
; −5[
4
21
; −5[
4
Ejemplo 23 Resolver
⟦
|𝑥 − 2| + 3
⟧≥5
2
Solución
Aplicamos la siguiente propiedad:
|𝑥 − 2| + 3
≥5
2
∀𝑥 ∈ 𝑅; ∀𝑚 ∈ 𝑍
⟦𝑥⟧ ≥ 𝑚 ↔ 𝑥 ≥ 𝑚
↔ |𝑥 − 2| ≥ 7
Aplicamos la propiedad:
(𝑥 − 2) ≤ −7
∨
𝑥 ≤ −5
∨
|𝑥| ≥ 𝑏 ⇔ 𝑥 ≤ −𝑏 ∨
(𝑥 − 2) ≥ 7
𝐶. 𝑆 =< −∞; −5] ∪ [9; +∞ >
𝑥≥9
𝑥≥𝑏
Ejemplo 24 Resolver
⟦
|𝑥 + 2| + 3
⟧≥5
2
Solución
Utilizamos: ⟦𝑥⟧ ≥ 𝑚
↔𝑥≥𝑚
|𝑥 + 2| + 3
≥5
2
𝑥+2
𝑥 ≥ −2
|𝑥 + 2| =
−(𝑥 + 2)
𝑥<2
𝑆𝑖 𝑥 ≥ −2
𝑆𝑖
𝑥<2
𝑥+2+3
≥5
2
−(𝑥 + 2) + 3
≥5
2
𝑥≥5
𝑥 ≤ −9
𝐶. 𝑆 =< −∞; −9 ≥ ∪ ≤ 5; +∞ >
Ejemplo 25 Resolver
⟦
4𝑥 + 1
⟧≤4
4𝑥 − 2
Solución
Utilizamos la propiedad: ⟦𝑥⟧ ≤ 𝑚
↔
4𝑥 + 1
<5
4𝑥 − 2
−16𝑥 + 11
<0
4𝑥 − 2
→
16𝑥 − 11
<0
4𝑥 − 2
1
11
𝐶. 𝑆 =< −∞; >∪<
; +∞ >
2
16
𝑥 < 𝑚+1
→
4𝑥 + 1
−5<0
4𝑥 − 2
⟦3𝑥 − 5⟧ = 2𝑥 + 1
Ejemplo 26 Resolver
Solución
Empleamos: ⟦𝑥⟧ = 𝑛
𝑆𝑖
𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1,
𝑛∈𝑍
2𝑥 + 1 ≤ 3𝑥 − 5 < 2𝑥 + 2
2𝑥 + 1 ≤ 3𝑥 − 5
∧
𝑥≥6
→ 𝑥 ∈ [6; 7[
3𝑥 − 5 < 2𝑥 + 2
∧
𝑥<7
… … … … … … … … … … . . (1)
Por la condición del problema: debe cumplirse que (2𝑥 + 1) ∈ 𝑍
En (1)
6≤𝑥<7 →
12 ≤ 2𝑥 < 14
→
𝑆𝑖 2𝑥 + 1 = 13 → 𝑥 = 6
𝐶. 𝑆 = {6;
13 ≤ 2𝑥 + 1 < 15
2𝑥 + 1 = 14 → 𝑥 =
→ 2𝑥 + 1 = 13 𝑜 14 … … … … . . (3)
13
2
13
}
2
⟦5𝑥⟧ − 3𝑥 − 4 = 0
Ejemplo 27 Resolver
Solución
De la ecuación tendremos: ⟦5𝑥⟧ = 3𝑥 + 4
Empleamos: ⟦𝑥⟧ = 𝑛
𝑆𝑖
𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1,
𝑛∈𝑍
Por lo que: 𝑛 = 3𝑥 + 4 ∈ 𝑍 … … … … . (1)
3𝑥 + 4 ≤ 5𝑥 < 3𝑥 + 5
Aplicando la propiedad:
Resolviendo:
3𝑥 + 4 ≤ 5𝑥
∧
5𝑥 < 3𝑥 + 5
∧
𝑥<2
2≤𝑥
5
5
2 ≤ 𝑥 < 2 … … … … … … … … … . . (2)
Reemplazando de (1) : 𝑥 =
2≤
𝑛−4
3
𝑛−4 5
<
3
2
en (2)
→
10 ≤ 𝑛 <
23
2
→ 𝑛 = {10,11}
Por lo tanto, en (2)
𝑥=
7
Respuesta: 𝑥 = {2; }
3
10 − 4
=2
3
∨
𝑥=
11 − 4 7
=
3
3
Ejemplo 28 Resolver
⟦2𝑥 −
10
⟧≥1
𝑥
Solución
Utilizamos: ⟦𝑥 + 𝑚⟧ = ⟦𝑥⟧ + 𝑚
⟦2𝑥 −
2𝑥 −
10
⟧−1≥ 0
𝑥
10
−1≥0
𝑥
→ ⟦2𝑥 −
⟦𝑥⟧ ≥ 𝑚 ↔ 𝑥 ≥ 𝑚
10
− 1⟧ ≥ 0
𝑥
2𝑥 2 − 𝑥 − 10
≥0
𝑥
→
→
(2𝑥 − 5)(𝑥 + 2)
≥0
𝑥
Construyendo la recta númerica con los puntos críticos:
5
𝐶𝑆 =≤ −2; 0 > ∪ ≤ ; +∞ >
2
Ejemplo 29 Resolver
1
𝑥−1
|⟦ 𝑥⟧ − √
| < √𝑥
2
𝑥
Ejemplo 30 Resolver
⟦𝑥⟧ − ⟦3𝑥⟧ = 1
Solución
Hagamos ⟦𝑥⟧ = 𝑘; 𝑘 ∈ 𝑍
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑘≤ 𝑥 < 𝑘+1
3𝑘 ≤ 3𝑥 < 3𝑘 + 3 … … … . (1)
𝐷𝑒 (1)𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒: ⟦3𝑥⟧ = 3𝑘 ó 3𝑘 + 1 ó 3𝑘 + 2
Hagamos el siguiente cuadro, para el análisis:
⟦𝑥⟧
⟦3𝑥⟧
⟦𝑥⟧ − ⟦3𝑥⟧ = 1
k
K
3k
k-3k=1
-1/2
K
3k+1
k-(3k+1)=1
-1
k
3k+2
k-(3k+2)=1
-3/2
La única alternativa factible, es cuando K = -1, las otras alternativas no dan valores enteros para k.
𝑆𝑖 𝐾 = −1
⟦𝑥⟧ = −1
∧
⟦3𝑥⟧ = −2 𝑅𝑒𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎: ⟦𝑥⟧ = 𝑛
−1 ≤ 𝑥 < 0
∧
−2 ≤ 3𝑥 < −1
−1 ≤ 𝑥 < 0
∧
2
1
− ≤ 3𝑥 < −
3
3
𝑆𝑖
𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1,
2 1
2
1
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝐶. 𝑆 = [−1; 0 >∩ [− ; − ≥ = [− ; −
3 3
3
3
𝑛∈𝑍
Ejemplo 31 Resolver
3⟦𝑥⟧ − 5⟦2𝑥⟧ + 4⟦3𝑥⟧ = 4
1 1
3 5
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: [ ; >∪ [ ; >
3 2
2 3