UNIVERSIDAD AUTÓNOMA "TOMAS FRíAS"
FAt. DE CIENCIAS PURAS - CARRERA DE FíSICA
TEORíA DE ERRORES
1.-
ERRORES DE MEDIDA
Cuando se mide una magnitud física, no debe esperarse que el valor obtenido sea
exactamente igual al valor verdadero. Es importante dar alguna indicación de qué tan
cerca está el resultado obtenido del valor verdadero; es decir, alguna indicación de la
exactitud o confiabilidad de las mediciones.
La estimación de los errores es importante, por que sin ella no se puede obtener
conclusiones significativas de los resultados experimentales. La idea de error no es cosa
de interés secundario o circunstancial en un experimento, al contrario, está relacionado
con el propósito del experimentador, el método de efectuarlo y el significado de los
resultados.
Para lo que sigue se requiere tener presente las siguientes
definiciones:
Error.Precisión.Exactitud.-
Incertidumbre estimada.
Definición nítida (error casual pequeño).
Proximidad al valor verdadero (relativamente
sistemático) .
Discrepancia.Diferencia entre dos resultados.
libre
de
error
No debe confundirse precisión con exactitud. Presión denota inexactitud por ejemplo
un reloj de alta precisión en su construcción, por algún deterioro, puede estar
marcando valores inexactos. También se debe tener cuidado en no confundir error y
discrepancia.
2.-
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
El resultado de una medición, por lo menos debe caracterizarse por:
~ Los dígitos del valor numérico de la magnitud (Cifras significativas).
~ La posición de la coma decimal asociada a la unidad de medida.
~ La precisión del instrumento de medida (en forma implícita).
Por ejemplo, si se ha determinado la longitud de una varilla con tres dígitos,
empleando una regla graduada en milímetros, el resultado puede expresarse
varias formas:
310 mm
31,0 cm
0,310 m
de
310,0 mm
31 cm
0,31 m
Sin embargo, solamente las tres expresiones de la izquierda dan una idea clara del
número de cifras significativas,
de acuerdo con las convenciones y prácticas
aceptadas. Estas convenciones son:
1°._
2°._
El último dígito expresado representa el dato incierto
Se entiende (a menos que se diga lo contrario) que hay una incertidumbre total de
una unidad en el último dígito. P. ej. el tercer dígito de la longitud de la varilla está
1
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3°._
más cerca de cero que de uno a nueve. Así pues, la longitud 310 mm tiene un valor
comprendido entre 309 y 311 mm.
Para evitar la necesidad de poner ceros después del dígito incierto, se debe utilizar,
cuando sea necesario, una potencia apropiada de 10; P. ej. 310x10-3 m.
Cuando se requiere redondear hasta un número especificado de cifras significativas,
deben seguirse los siguientes pasos sugeridos por el 5.1.
a) Si el primer dígito que debe despreciarse es menor que 5, el dígito precedente
permanece el mismo.
b) Si el primer dígito que debe despreciarse es mayor que 5, el dígito precedente se
aumenta en 1.
c) Si el primer dígito que debe despreciarse es igual a 5, y va seguido de dígitos
mayores que cero, el dígito que antecede al 5 debe aumentarse en 1.
d) Si el primer dígito que debe despreciarse es igual a 5 y va seguido por cero, o no
le sigue ningún otro dígito, el dígito precedente al 5 es redondeado a su valor par
más próximo. (La elección de par en lugar de impar es arbitraria, la idea es que
una convención permanente producirá un efecto equilibrador a lo largo de un gran
número de casos).
Por ejemplo, redondeando hasta tres cifras significativas,
52,409
pasa a ser 52,4
52,46
pasa a ser 52,5
52,4501 pasa a ser 52,5
52,45
pasa a ser 52,4
52,35
pasa a ser 52,4
En las operaciones aritméticas deben seguirse las siguientes reglas:
i)
Al sumar o al restar, el dígito menos significativo de la suma o de la diferencia ocupa
la misma posición relativa que el dígito menos significativo de las cantidades que son
sumadas o restadas. En este caso, el número de cifras significativas no es
importante; la posición es lo que importa. Por ejemplo, supongamos que queremos
hallar la masa total de tres objetos como sigue:
103,9 Kg + 2,10 Kg + 0,319 Kg
= 106,3 Kg
ii) En cálculos de multiplicación, división y extracción de raíces, el resultado final no
debe tener más cifras significativas que los datos con menor número de ellas. Por
ejemplo:
1,173
0,031
3.-
= 38
FUENTES DE ERROR
Como ya hemos indicado al hacer una medición experimental sucede que jamás se puede
llegar a medir sin cometer error alguno. En consecuencia, existe diferencia entre el valor
medio y el verdadero, a esta deferencia se designa con el nombre de error.
La fuente del error puede ser de distinta naturaleza, para los fines que interesa, a la física
en particular, se clasifican en dos grupos importantes: Errores sistemáticos y errores
2
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casuales o accidentales. En la anterior clasificación no se incluye la equivocación que
resulta ser fortuita.
3.1.
Errores sistemáticos o acumulativos
Un error sistemático se caracteriza por tener aproximadamente el mismo valor numérico y
el mismo signo bajo las mismas condiciones dadas; P. ej. el retardo de un reloj.
Errores Naturales
Estos provienen de fenómenos naturales y son el efecto de ciertas influencias que inciden
directamente en las observaciones o lecturas que se realizan, algunas de éstas
influencias son p. ej. la refracción de la luz, la dilatación térmica de los materiales, la
presión atmosférica, etc. Así p. ej. un instrumento que mide distancias por el tiempo
tardado en viajar, entre dos puntos por una radiofrecuencia de radar dará un resultado
erróneo si no se corrige la variación de la velocidad de las ondas por las variaciones de
densidad de la atmósfera, presencia de vapor de agua, etc.
Errores instrumentados
Estos son efecto de imperfecciones de construcción, deterioros o deficiente calibración de
los instrumentos de medida. Por ejemplo si las divisiones de una regla graduada son en
exceso o en defecto de lo que señala, las longitudes que se miden con ella, tendrán sus
valores numéricos demasiado pequeños o demasiado grandes. Todavía peor, si las
divisiones de la escala fuesen diferentes entre sí.
Errores personales
Estos dependen de las limitaciones físicas y también de los hábitos del observador, p. ej.
él puede tener un retardo en audición y visualización de señales, tendencia a observar las
escalas siempre por el lado izquierdo, en la estimación de fracciones, etc.
El error sistemático debido a fenómenos naturales se compensa tomando en cuenta
Factores de corrección especificados en cada instrumento a usar.
En cambio los errores instrumentales, se puede corregir sometiendo el instrumento a
control continuo sobre su correcto funcionamiento mediante contrastación con
subpatrones. Esta corrección es limitada por la carencia de esta última razón por la cual
cada instrumento, según su calidad o categoría, ofrece una precisión determinada. Por
ejemplo, instrumento de clase 1 significando que la medición se realiza con un error del
1% de la desviación final en toda la escala de medición correspondiente.
3.2.
Errores casuales o accidentales
Los errores accidentales o de observación son casuales en naturaleza y usualmente
pequeños y tienen la tendencia de compensarse unos con otros. Su presencia es
detectada en una serie de medidas por la aparíción de discrepancias. Los errores
casuales pueden tener tanto de signo positivo como negativo, de hecho hay una igual
probabilidad de que el signo sea positivo o negativo. De modo que es imposible
determinar el signo, puesto que no hay relación conocida entre el signo y la magnitud del
3
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error por un lado, y las condiciones de medida por el otro. Hay una verdadera casualidad
en ocurrencia y cantidad.
Se puede observar que los distintos resultados de medición presentan una dispersión en
torno a un valor (valor medio) y a medida que el número de mediciones aumente, se
establece la función analítica denominada distribución normal o gaussiana como se
observa en la figura 1.
3.2.1
Valor medio
Si se tiene una serie de valores parciales de observación Xi correspondientes a una
magnitud, estos valores Xi se dispersan en los alrededores del valor verdadero
X
desconocido.
Puesto que el valor verdadero se desconoce, por ello es conveniente calcular el valor medio,
como la media aritmética definida por:
Xl
x =
+
X2
+
+
(1)
Xn
n
Donde n, es el número de mediciones.
La importancia del valor medio radica en que es el valor más próximo al valor verdadero.
f(x)
X
In ervalo de confianza
Fig. 1.- Función de distribución de Gauss
3.2.2
Error típico
El error absoluto de una medición con valor Xjes:
ei
=
X¡ -
(2)
X
y el error del valor medio será :
(3)
E = x-X
El residuo di de la medición
X¡
está definido por:
4
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(4)
A diferencia del error, el residuo es una cantidad conocida. Según Gauss, los errores
típicos se calculan de la forma siguiente (desviación estándar de la muestra):
u = ±
con n ~
00
(grande)
(5)
n -1
Si n s 20, se recomienda usar la relación:
r-----
(6)
u
Donde A
=
±
n(n -1)
= X¡ máx - Xi min (intervalo de variación)
El resultado de la serie de mediciones se expresa como
-
X = x ± u
(7)
Cuya interpretación consiste en: el valor verdadero X se hallará en el "intervalo de confianza"
-
-
x-u
:::; X :::; X +u
Con un "porcentaje de confianza" de 68,3%. Es decir que hay probabilidad del 68,3% de
que el valor verdadero se halle dentro de esos límites y un 31,7% que no se halle.
Tabla 1.- Resultados de algunas mediciones hipotéticas
INTERVALO
(mm)
9,9-10,1
10,1-10,3
10,3 - 10,5
10,5 -10,7
10,7 - 10,9
10,9-11,1
11,1 - 11,3
N° de lecturas que
caen en el
intervalo
1
3
7
9
10
8
6
4
4
2
5
2
O +-'~--~-r--~~~~4-~~
10
11
Fig.2.- Histograma
correspondiente
Interpolación
representativos
a
de
la
tabla
1.
los
puntos
La relación (7) expresa el resultado final de nuestra medición, pero debe tomarse en
cuenta que ella no incluye al error proveniente de fuentes del tipo sistemático.
5
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N°
Ejemplo 1: Se ha propuesto
medir el tiempo que emplea una
esfera en rodar todo el tramo de
un plano inclinado. Se han
efectuado 1O mediciones bajo
las mismas condiciones que la
primera y se tienen los valores
tabulados en la columna de ti.
Se desea hallar el valor medio y
su error correspondiente.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Prom
El promedio es:
y el error típico medio del
tiempo será:
(Y-
I
-
t
=
~
(s)
10,4
10,2
10,6
10,5
10,2
10,3
10,5
10,5
10,7
10,6
10,45
10,4 s
di
(s)
0,05
-0,25
+0,15
+0,05
-0,25
-0,15
+0,05
+0,05
+0,25
+0,15
di'!
(S2)
0,0025
0,0625
0,0225
0,0025
0,0625
0,0225
0,0025
0,0025
0,0325
0,0225
Ed·I 2 O ,265
=
= 0,1795 s == 0,2 s
Si se desea usar los programas de las máquinas de calcular, p. ej. las CASIO, se cumplen
que:
n
¿d~
=
(Y'
==
(Y'n-l
~
~t,2650 ~0,17159
n-l
9
Para realizar el anterior ejemplo 1 en una Casio Fx-3800Pse debe proceder de la
siguiente manera:
1.- Fijar el modo de función en "SO" presionando MOOE 3
2.-Realizar las siguientes operaciones:
r:
OPERACiÓN Y LECTURA
SHIFT KAC
10.4
DATA 10.2
DATA 10.6
DATA
10.5
DATA 10.2
DATA 10.3
DATA10.5
DATA
10.5
DATA 10.7
DATA 10.6
DATA
(Muestra la desviación
estándar)
(Media aritmética)
10.6
SHIFT
a n-l
SHIFT
X
0.171593835
10.45
En este ejemplo puede indicarse que el valor verdadero del tiempo empleado por la
esferita en rodar el plano inclinado es:
t
=
(10,4 ± 0,2) s
Es decir, que el valor del tiempo se halla en el intervalo entre 10,2 Y 10,6 s con una
probabilidad del 68,3%.
6
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2.2.3
Error porcentual
En muchos casos se suele indicar el error en forma porcentual
Para una medición individual, el error porcentual será:
P
(J"
= •••
·100%
(8)
x
Para el ejemplo anterior, el error porcentual en la medición del tiempo es 1,9 %.
2.2.4
r
Distribución de frecuencias - Histogramas
TOMA DE DATOS
La toma de datos es la obtención de los mismos que no han sido ordenados numéricamente.
En siguiente ejemplo se muestra la toma de datos (X¡) que corresponden al tiempo de
oscilación de un péndulo (periodo). Observación: iEs inexorablemente necesario factorizar la
potencia de 10 tal que la última cifra significativa sea del orden de las unidades!
N° medida
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tiempo en 101 N° medida
ms
133
11
137
12
131
13
138
14
134
15
128
16
135
17
132
18
135
19
137
20
Tiempo en 101 N° medida
ms
132
21
135
22
137
23
142
24
138
25
140
26
133
27
135
28
139
29
140
30
Tiempo en 101
ms
136
132
136
139
131
137
134
129
134
136
ORDENACiÓN
Una ordenación es una colocación de los datos numéricos tomados, en orden creciente o
decreciente de magnitud. La diferencia entre el mayor y el menor de los números se llama
recorrido o rango de los datos.
DISTRIBUCiÓN DE FRECUENCIA
Cuando se dispone de un gran número de datos, es útil el distribuirlos en clases o categorías
y determinar el número de ellos pertenecientes a cada clase, que es la frecuencia de clase
DETERMINACiÓN DEL TAMAÑO O ANCHURA DE UN INTERVALO DE CLASE
Para determinar el ancho de los intervalos se procede de la siguiente manera:
1.- Determinar la amplitud:
•
A = Amplitud = ~AX - ~IN + 1
(9)
En el ejemplo: ~
= 142 .101 ms
Y
XM1N = 128. 101 ms
Entonces: A = (142 - 128 + 1) . 101 ms = 15 .101 ms
2.- Determinar el tamaño o anchura del intervalo de clase:
7
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h=~
no(J)
=
Amplitud
Númerode intervalos
(10)
=
Donde usualmente el número de intervalos puede ser no(l) 3,5 010
Volviendo a nuestro ejemplo y escogiendo no(l) = 5 (5 intervalos) se obtiene:
A
15
h=--=-·lO
no(J)
5
1
1
ms=3·10ms
En realidad el límite inferior del intervalo (I¡) es 0,5 unidades menor que el extremo
inferior del intervalo y el límite superior del intervalo (L¡) es 0,5 unidades mayor que el
extremo superior del intervalo y el punto medio se encuentra al medio de estos dos
valores. El punto medio (h¡) del intervalo se encuentra al medio entre los límites: h¡ = (L¡
- 1¡)12.En el ejemplo los límites superiores e inferiores serían: 127,5 - 130,5; 130,5133,5; 133,5 - 136,5; etc.
Por lo tanto, partiendo del valor mínimo de la variable se construyen la serie de
intervalos y se evalúa la frecuencia con que cae la variable en el para cada caso:
INTERVALOS DE
TIEMPO
En 101 ms
128 a 130
131 a 133
134 a 136
1137 a 139
140 a 142
TOTAL
CUENTEO
FRECUENCIA
11
11111
11
11
JII11I11
11111111
11I
2
7
10
8
3
30
y el histograma correspondiente a la distribución:
Distribución del periodo de un péndulo
ns
.g
12
10
8
CD
;::, 6
C.)
f
u..
4
2
O
11
128-130
~
1
131-133
134-136
137-139
t
140-142
Tiempo en 10 ms
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PRÁCTICA: ERROR DE DISTRIBUCiÓN DE GAUSS
1.-
OBJETIVOS
Observación y registro de errores casuales en la medición de una variable física
Obtención del valor medio ( X )
Cálculo del error típico ( a )
Realización de la curva de distribución de la variable observada
2.-
r:
PRINCIPIO
El sistema resorte masa esta compuesto por un resorte suspendido verticalmente donde
en su extremo inferior se cuelga una masa. El sistema descrito tiene propiedades
elásticas, por tanto al desplazar la masa de su posición de equilibrio (reposo), y
soltándola, este se pone a oscilar alrededor de su posición de equilibrio. El tiempo de una
oscilación completa (un vaivén) se llama periodo de oscilación. En tal sistema el periodo
es constante (invariable). Se trata de medir dicho periodo.
3.-
FUNDAMENTOS
Ver párrafos 1, 2 Y 3
4.-
MONTAJE Y REALIZACiÓN
Se debe medir 50 veces el periodo de oscilación a partir del montaje indicado ella figura 1
a continuación, usando un cronómetro:
~~~.~.
5.5.1)
5.2)
5.3)
5.4)
5.5)
Montaje de la práctica
TAREAS
Anotar los datos obtenidos experimentalmente en la tabla 1
Obtener el valor medio de los periodos medidos (con la ecuación 1)
Calcular el error típico y el error porcentual (evaluar con la ecuación 5 y 8)
Escribir el valor verdadero en función del valor medio y el error típico medio.
Establecer el intervalo de confianza (según la ecuación 7).
Ordene sus datos por intervalos y frecuencias según el ejemplo de la pagina 7 y
anote sus datos en la Tabla 2. Grafique en papel milimetrado el histograma y ubique
en el intervalo de confianza.
9
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FAt DE CIENCIM PURAS - CARRERA DE FíSICA
7 Y 8.- OBTENCiÓN Y PROCEDIMIENTO
TABLA 1: Valores experimentales
N°
~ en s
d¡=t¡-t en
DE DATOS
d¡;¿en s;¿ N°
t¡ en s
S
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
f=...............
d=t-t en
s
d¡;¿ens;¿
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
(1'=...................
p=
Intervalo de confianza:
.
.
TABLA 2: Valores para el histograma
N°
1
2
INTERVALO
FRECUENCIA
3
4
5
6
7
8
10
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FAC. DE CIENCIAS PURAS - CARRERA DE FíSICA
9.-
CUESTIONARIO
9.1)
¿Cuál es el valor del tiempo de oscilación que tiene la mayor probabilidad de ser
correcto?
9.2)
Interprete la curva de Gauss obtenida. ¿Qué puede decir, si la curva es achatada o
si es empinada?
9.3)
¿Cuáles son las fuentes de error en la práctica? Indique además, al tipo de error
que corresponden.
9.4)
¿Es posible realizar algún tipo de medición sin error? Justifique su respuesta.
r:
10.-
CONCLUSIONES
11