EVALUACIÓN II
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
VARIABILIDAD – RESPUESTAS
(MTC)
Y
Ejercicio No. 1:
Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las
siguientes:
5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5,
5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 5, 4, 6
6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7
a. Realizar la distribución de frecuencia de las calificaciones obtenidas a por
los 50 alumnos.
Para el caso de “Datos no agrupados” la primera actividad a realizar sobre los datos
presentados, es ordenarlos de menor a mayor (forma creciente), tomando TODOS
los datos, incluyendo los que estén repetidos.
Procedemos entonces a ordenarlos, quedando de la siguiente manera:
Dato menor = 0
Dato mayor = 10
Número de datos (n) = 50
0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6,
6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10
Una vez ordenados los datos, se procede a construir la tabla de distribución de
frecuencias, la cual es una tabla que muestra cómo se distribuyen los datos de
acuerdo a su frecuencia.
En el caso de datos no agrupados, se usa este tipo de tablas cuando se tienen
variables cualitativas o cuantitativas (estas últimas el caso de nuestro ejercicio) con
pocos valores (50 en nuestro caso).
La tabla está compuesta de las siguientes columnas:

Valores de la variable (Xi): los diferentes valores que toma la variable en
el estudio. Las calificaciones de los 50 alumnos en la asignatura Matemáticas.

Frecuencia absoluta (fi): es la cantidad de veces que aparece el valor en el
estudio. Para nuestro caso es la cantidad de calificaciones iguales. La
sumatoria de las frecuencias absolutas es igual al número de datos.

Frecuencia a acumulada (Fac): es el acumulado de las frecuencias
absolutas e indica cuántos datos se van contando hasta ese momento o
cuántos datos se van reportando.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y VARIABILIDAD
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
Frecuencia relativa (fri): es la fracción o proporción de elementos que
pertenecen a una clase o categoría. Se calcula dividiendo la frecuencia
absoluta entre el número de datos del estudio.

Frecuencia relativa acumulada (Fri): es la proporción de datos respecto al
total que se han reportado hasta ese momento. Es la suma de las frecuencias
relativas y se puede calcular también dividiendo la frecuencia acumulada
entre el número de datos del estudio.
A continuación se detalla cómo se completa la tabla sobre la base de los datos
suministrados:

(Xi): En la primera columna se tendrán los datos repetidos, una sola vez,
ordenados de mayor a menor.

(fi): Es el número de veces que se repite el dato colocado en la fila
correspondiente de la primera columna. En la última fila se coloca el total de
la columna y debe ser igual al número de datos.

(Fac): En la primera fila se coloca el valor correspondiente a la frecuencia
absoluta y, en las filas sucesivas, se calcula sumando su frecuencia absoluta
más la frecuencia absoluta de la fila que le precede.

(fri): Se calcula dividiendo la frecuencia absoluta (fi) entre el número total de
datos.

(Fri): En la primera fila se coloca el valor correspondiente a la frecuencia
relativa y, en las filas sucesivas, se calcula sumando su frecuencia relativa
más la frecuencia relativa de la fila que le precede.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y VARIABILIDAD
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La tabla de distribución de frecuencias para nuestro ejercicio sería:
DATOS
FRECUENCIA
ABSOLUTA
FRECUENCIA
ABSOLUTA
ACUMULADA
FRECUENCIA
RELATIVA
FRECUENCIA
RELATIVA
ACUMULADA
( Xi )
( fi )
( Fac )
( fri )
( Fri )
Fac1 = f1
Fac1 =
1
Fac2 = Fac1 + f2
Fac2= 1+1 =
2
Fac3 = Fac2 + f3
Fac3= 2+2=
4
Fac4 = Fac3 + f4
Fac4= 4+3=
7
Fac5 = Fac4 + f5
Fac5= 7+6=
13
Fac6 = Fac5 + f6
Fac6= 13+11=
24
Fac7 = Fac6 + f7
Fac7=24+12=
36
Fac8 = Fac7 + f8
Fac8=36+7=
43
Fac9 = Fac8 + f9
Fac9=43+4=
47
Fac10 = Fac9 + f10
Fac10=47+2=
49
Fac11 = Fac10 + f11
Fac8=49+1=
50
fri1 = (f1/n)*100
fri1=(1/50)*100=
2
fri2 = (f2/n)*100
fri2=(1/50)*100=
2
fri3 = (f3/n)*100
fri3=(2/50)*100=
4
fri4 = (f4/n)*100
fri4=(3/50)*100=
6
fri5 = (f5/n)*100
fri5=(6/50)*100=
12
fri6 = (f6/n)*100
fri6=(11/50)*100=
22
fri7 = (f7/n)*100
fri7=(12/50)*100=
24
fri8 = (f8/n)*100
fri7=(7/50)*100=
14
fri9 = (f9/n)*100
fri7=(4/50)*100=
8
fri10 = (f10/n)*100
fri7=(2/50)*100=
4
fri11 = (f11/n)*100
fri8=(1/50)*100=
2
Fri1 = fri1
Fri1 =
2
Fri2=Fri1 + fri2
Fri2=2+2=
4
Fri3=Fri2+fri3
Fri2=4+4=
8
Fri4=Fri3+fri4
Fri4=8+6=
14
Fri5=Fri4+fri5
Fri5=14+12=
26
Fri6=Fri5+fri6
Fri6=26+22=
48
Fri7=Fri6+fri7
Fri7=48+24=
72
Fri8=Fri7+fri8
Fri7=72+14=
86
Fri9=Fri8+fri9
Fri7=86+8=
94
Fri10=Fri9+fri10
Fri7=94+4=
98
Fri11=Fri11+fri10
Fri8=98+2=
100
X1 = 0
f1 = 1
X2 = 1
f2 = 1
X3 = 2
f3 = 2
X4 = 3
f4 = 3
X5 = 4
f5 = 6
X6 = 5
f6 = 11
X7 = 6
f7 = 12
X8 = 7
F8 = 7
X9 = 8
F9 = 4
X10 = 9
F10 = 2
X11 = 10
F11 = 1
Total
n = 50
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En resumen:
DATOS
FRECUENCIA
ABSOLUTA
FRECUENCIA
ABSOLUTA
ACUMULADA
FRECUENCIA
RELATIVA
FRECUENCIA
RELATIVA
ACUMULADA
( Xi )
( fi )
( Fac )
( fri )
( Fri )
0
1
1
2
2
1
1
2
2
4
2
2
4
4
8
3
3
7
6
14
4
6
13
12
26
5
11
24
22
48
6
12
36
24
72
7
7
43
14
86
8
4
47
8
94
9
2
49
4
98
10
1
50
2
100
Total
n = 50
(CALIFICACIONES)
100
b. Analizar (para Datos no Agrupados)

fr2 (frecuencia relativa de la calificación cuyo valor es “2” y que aparece dos
veces en el estudio)
Respuesta: fr2 = 4. La frecuencia absoluta de la calificación “2” es 2, pues
ella aparece dos veces en el grupo de calificaciones dado. Entonces, la
frecuencia relativa de la calificación 2 es 4, porque corresponde a la división
de 2/50, 2 de las veces que aparece de las 50 calificaciones que aparecen en
total, pudiendo expresarse como fracción (2/50), decimal (0,04) o porcentaje
(4%).
Podemos decir entonces que el 4% de los estudiantes obtuvieron 2 puntos de
calificación en la asignatura Matemáticas.

Fac3 (Frecuencia acumulada de la calificación cuyo valor es “3” y que aparece
tres veces en el estudio)
Respuesta: Fac3 = 7. En este caso, la frecuencia acumulada de la calificación
3, indica cuántos elementos cumplen con la condición de tener menos de 3
puntos en la calificación de la asignatura Matemáticas; dado que el valor de
la frecuencia acumulada para esta nota fue de 7, podemos decir entonces que
hay 7 estudiantes cuya nota es menor de 7 en la asignatura Matemáticas.
c. Elaborar o construir la tabla de distribución de frecuencias para Datos
Agrupadas.
Por lo general una tabla de distribución de frecuencias con datos agrupados se
realiza cuando la cantidad de datos es grande o la variable es continua. Básicamente
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consiste en agrupar los datos en intervalos de una misma amplitud, denominados
clases y a cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.
Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la
clase. La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la
clase y la marca de clase es el punto medio de cada intervalo, siendo ésta el valor
que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.
La marca de clase se representa por ci y su fórmula para el cálculo es:
𝑐𝑖 =
𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 − 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒
2
El procedimiento a seguir para construir la tabla de distribución de frecuencias para
datos agrupados son los siguientes:
1. Identificar el valor máximo y el valor mínimos del conjunto de datos del estudio
En nuestro ejercicio se tiene que:
Valor máximo = Xmáx = 10
Valor mínimo = Xmín = 0
2. Calcular el Rango: El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el
valor máximo y el valor mínimo de dicho conjunto
𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 = 𝑿𝒎á𝒙 − 𝑿𝒎í𝒏
En nuestro ejemplo para obtener el rango de calificaciones en la asignatura
Matemáticas sólo basta con determinar la diferencia que hay entre la calificación
más alta (valor máximo) y la más baja (valor mínimo):
𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 = 𝟏𝟎 − 𝟎 = 𝟏𝟎
Rango = 10
3. Calcular la cantidad de intervalos: A los intervalos también se les conoce como
clases. Simplemente son las categorías en las cuales vamos a agrupar las
calificaciones, en nuestro ejemplo.
Hay varias formas de calcular cuántos intervalos debemos utilizar. Para nuestro
ejercicio analizaremos dos de ellas:
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠) = √𝑛
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠) = 1 + 3,322 × log(𝑛)
Para ambas formas de calcular la cantidad de intervalos a utilizar, el valor n
corresponde a la cantidad de datos que tenemos para analizar. En nuestro
ejemplo son 50 datos.
Con la primera forma tendríamos que redondear el resultado, ya que los
intervalos corresponden a cantidades enteras:
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠) = √50 = 7,07 ≅ 7
La segunda forma se conoce como Regla de Sturges y el resultado obtenido se
debe aproximar por arriba, es decir, al entero siguiente. Para nuestro ejercicio
tenemos:
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𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠) = 1 + 3,322 × log(50) = 6,64 ≅ 7
Para ambas formas de cálculo se obtienen 7 intervalos o clases.
4. Calcular la amplitud de los intervalos:
Ya conocemos el rango de calificaciones en la asignatura de Matemáticas y entre
cuántos intervalos hay que repartir las categorías o clases. Para calcular su
amplitud utilizaremos la siguiente fórmula:
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 =
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜
10
=
= 1,43 ≅ 1,5
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠
7
Debemos asegurarnos que el producto de los intervalos o número de clases por
la amplitud o tamaño de los intervalos tiene que ser lo suficiente para cubrir el
rango, es decir, si multiplicamos 7 (número de clases) por 1,5 (tamaño o
amplitud del intervalo) que da 10,5, debe cubrir el rango, que en nuestro caso
es 10.
5. Construcción de los intervalos:
El primer intervalo tiene como límite inferior el valor mínimo de los datos, en
nuestro ejemplo 0. Le sumamos el valor de la amplitud, es decir 1,5, y obtenemos
el límite superior de 1,5. Esto nos daría el primer intervalo:
[0 − 1,5)
Utilizamos corchete para el dato que se incluye en el intervalo (el 0, límite
inferior) y paréntesis para el dato que no se incluye (1,5, límite superior). Esto
significa que las calificaciones de 0 se cuentan, pero no las de 1,5.
El 1,5 se cuenta en el siguiente intervalo y allí vendría siendo el límite inferior.
Le sumamos el valor de la amplitud, es decir, 1,5 puntos y obtenemos el límite
superior de 3 puntos. Eso nos daría el segundo intervalo:
[1,5 − 3)
En este intervalo contamos la calificación 1,5 puntos pero no incluimos la
calificación 3 puntos.
Los 7 intervalos construidos serían:
Calificaciones
Intervalos o Clases
[0 – 1,5)
[1,5 – 3)
[3 – 4,5)
[4.5 – 6)
[6 – 7,5)
[7,5 – 9)
[9 – 10,5]
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Dado que los datos con los que se están trabajando son números enteros,
convendría que los intervalos fuesen números enteros para facilitar los cálculos.
Para ello vamos a disminuir el número de intervalos a 5 e incrementar su
amplitud a 2, valores que también nos aseguran. Al multiplicarse, que cubren el
rango (5 x 2 = 10, valor del rango)
Bajo esta premisa, los intervalos o clase serían:
Calificaciones
Intervalos o Clases
[0 – 2)
[2 – 4)
[4 – 6)
[6 – 8)
[8 – 10]
Nótese que el último intervalo o clase tiene un corchete en ambos límites
(superior e inferior) ya que, al tratarse del último, se deben tomar los valores
restantes.
6. Cálculo de la Marca de Clase de cada intervalo:
La marca de clase es el punto medio que hay en cada intervalo. Su cálculo es la
semisuma del límite superior e inferior de cada intervalo o clase:
Marca de clase
ci
Calificaciones
Intervalos o Clases
[0 – 2)
𝐶𝑖 =
𝐿𝑆 + 𝐿𝐼 (2 + 0) 2
=
= =𝟏
2
2
2
[2 – 4)
𝐶𝑖 =
𝐿𝑆 + 𝐿𝐼 (4 + 2) 6
=
= =𝟑
2
2
2
[4 – 6)
𝐶𝑖 =
𝐿𝑆 + 𝐿𝐼 (6 + 4) 10
=
=
=𝟓
2
2
2
[6 – 8)
𝐶𝑖 =
𝐿𝑆 + 𝐿𝐼 (8 + 6) 14
=
=
=𝟕
2
2
2
[8 – 10]
𝐶𝑖 =
𝐿𝑆 + 𝐿𝐼 (10 + 8) 18
=
=
=𝟗
2
2
2
7. Determinar la frecuencia absoluta de cada intervalo o clase:
La frecuencia absoluta es la cantidad de datos contenidos en cada intervalo. Para
ellos inspeccionamos los datos, ordenados de menor a mayor e indicamos la
cantidad de ellos que pertenecen a cada intervalo o clase, considerando que el
dato analizado debe ser mayor o igual que el límite superior (lo incluye) y menor
que el límite inferior (no lo incluye).
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Calificaciones (n = 50):
0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6,
6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10
Calificaciones
ci
Frecuencia
Absoluta (fi)
[0 – 2)
1
2
[2 – 4)
3
5
[4 – 6)
5
17
[6 – 8)
7
19
[8 – 10]
9
7
50
La sumatoria de todas las frecuencias absolutas debe ser igual al número de
datos (50)
8. Determinar la Frecuencia Absoluta Acumulada de cada intervalo o clase:
La Frecuencia Absoluta Acumulada (Fac) de cada intervalo o clase consiste en
sumar todas las frecuencias absolutas de los intervalos anteriores y el actual.
Calificaciones
ci
fi
Frecuencia Absoluta Acumulada
(Fac)
[0 – 2)
1
2
𝐹𝑎𝑐1 = 𝑓1 = 𝟐
[2 – 4)
3
5
𝐹𝑎𝑐2 = 𝐹𝑎𝑐1 + 𝑓2 = 2 + 5 = 𝟕
[4 – 6)
5
17
𝐹𝑎𝑐3 = 𝐹𝑎𝑐2 + 𝑓3 = 7 + 17 = 𝟐𝟒
[6 – 8)
7
19
𝐹𝑎𝑐4 = 𝐹𝑎𝑐3 + 𝑓4 = 24 + 19 = 𝟒𝟑
[8 – 10]
9
7
𝐹𝑎𝑐5 = 𝐹𝑎𝑐4 + 𝑓5 = 43 + 7 = 𝟓𝟎
50
9. Determinar la Frecuencia Relativa de cada intervalo o clase:
Para calcular la frecuencia relativa de cada intervalo clase se divide la Frecuencia
Absoluta de ese mismo intervalo o clase entre el número total de datos.
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Para nuestro ejercicio, tendremos:
Calificaciones
ci
fi
Fac
1
2
2
3
5
7
5
17
24
7
19
43
9
7
50
[0 – 2)
[2 – 4)
[4 – 6)
[6 – 8)
[8 – 10]
Frecuencia Relativa (fr)
𝑓𝑟1 =
𝑓1
2
𝑥100 =
𝑥100 = 𝟒
𝑛
50
𝑓𝑟2 =
𝑓2
5
𝑥100 =
𝑥100 = 𝟏𝟎
𝑛
50
𝑓𝑟3 =
𝑓3
17
𝑥100 =
𝑥100 = 𝟑𝟒
𝑛
50
𝑓𝑟4 =
𝑓4
19
𝑥100 =
𝑥100 = 𝟑𝟖
𝑛
50
𝑓𝑟5 =
𝑓5
7
𝑥100 =
𝑥100 = 𝟏𝟒
𝑛
50
50
100
La frecuencia relativa se puede expresar en decimal o en porcentaje y la suma
de todas las frecuencias relativas debe ser 100%
10. Determinar la Frecuencia Relativa de cada intervalo o clase:
La Frecuencia Relativa de cada intervalo o clase consiste en sumar todas las
frecuencias relativas de los intervalos o clases anteriores y el actual.
Para nuestro ejercicio, tendremos:
Calificaciones
ci
fi
Fac
fr
Frecuencia Relativa Acumulada
(Fri)
[0 – 2)
1
2
2
4
𝐹𝑟1 = 𝑓𝑟1 = 𝟒
[2 – 4)
3
5
7
10
𝐹𝑟2 = 𝐹𝑟1 + 𝑓𝑟2 = 4 + 10 = 𝟏𝟒
[4 – 6)
5
17
24
34
𝐹𝑟3 = 𝐹𝑟2 + 𝑓𝑟3 = 14 + 34 = 𝟒𝟖
[6 – 8)
7
19
43
38
𝐹𝑟4 = 𝐹𝑟3 + 𝑓𝑟4 = 48 + 38 = 𝟖𝟔
[8 – 10]
9
7
50
14
𝐹𝑟5 = 𝐹𝑟4 + 𝑓𝑟5 = 86 + 14 = 𝟏𝟎𝟎
50
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y VARIABILIDAD
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Queda de esta manera construida la Tabla de Distribución de Frecuencias para
los datos agrupados:
Calificaciones
Marca
de clase
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
acumulada
Frecuencia
relativa
Frecuencia
relativa
acumulada
Intervalos
ci
fi
Fac
fr
Fri
[0 – 2)
1
2
2
4
4
[2 – 4)
3
5
7
10
14
[4 – 6)
5
17
24
34
48
[6 – 8)
7
19
43
38
86
[8 – 10]
9
7
50
14
100
50
100
d. Graficar el Histograma y Polígono de Frecuencias de la parte (c)
Las representaciones gráficas son importantes porque a través de ellas se puede
visualizar con mayor facilidad el comportamiento de una variable estadística,
permitiendo así mismo la comprensión, comparación y análisis de la variable.
Los Histogramas son gráficos de barras utilizados para representar variables
cuantitativas que estén agrupadas en intervalos. Están formados por rectángulos
contiguos. La variable (intervalos) se grafica en el eje horizontal y en el eje vertical
se representa la frecuencia absoluta o relativa. Sirve para interpretar las variaciones
de los datos, investigar cómo se puede solucionar un problema o mejorar un
proceso.
El Polígono de frecuencias se forma uniendo los puntos medios de las barras de un
histograma en su parte superior mediante segmentos. Se usa para determinar la
forma que sigue la distribución de frecuencias de las observaciones con el fin de
ajustar alguna función probabilística determinada.
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS (DATOS AGRUPADOS)
Clase
ci
fi
Fac
fri
Fri
[0 - 2)
[2 - 4)
[4 - 6)
[6 - 8)
[8 - 10]
1
3
5
7
9
2
5
17
19
7
2
7
24
43
50
4
10
34
38
14
4
14
48
86
100
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Histograma y polígono de frecuencias
20
19
18
17
16
14
12
10
8
7
6
5
4
2
2
0
[0 - 2)
[2 - 4)
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y VARIABILIDAD
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[4 - 6)
[6 - 8)
[8 - 10]
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Ejercicio No. 2:
Un operador local ha considerado una muestra aleatoria de 20
transformadores, anotando el tiempo necesario que requiere en
cada uno para lograr un plan integral de trabajo, obteniéndose
lo siguiente (en horas):
6–6–7–8–8 – 8 –8 –9 –9–9
9 – 9 – 9 – 9 – 10 – 10 – 10 – 10 – 10 - 11
Para Datos no Agrupados:
a. Calcule las medidas de tendencia central de estos datos, indicando a qué tipo
de medida pertenece.
Los datos no agrupados constituyen el conjunto de datos que no han sido clasificados
y que son presentados en una tabla de datos en forma individual, es decir que no
forman parte de un conjunto. De manera general constituye una cantidad de elementos
que es menor a 30 con muy poca o nula repetición.
Las medidas de tendencia central para datos no agrupados son un conjunto de
indicadores estadísticos que van a mostrar hacia qué valores se agrupan los datos
numéricos, es decir, son medidas estadísticas que buscan resumir en un solo valor un
conjunto de valores.
Hay tres medidas que son comunes para poder identificar el centro de los conjuntos de
datos: la media, mediana y moda, cada una de ellas ubicadas alrededor del punto
donde se aglomeran los datos.
La media, promedio o media aritmética:
Está determinada por el valor en promedio de una serie de conjunto de datos
numéricos.
Para su cálculo se procede de la siguiente manera:

Sumamos todos los números del conjunto de datos.

Dividimos esa suma entre el número total de datos en el conjunto.
La fórmula para el cálculo sería:
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
𝑥̅ =
𝑛
Para nuestro ejercicio:
𝑥̅ =
6 + 6 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 11 175
=
20
20
̅ = 𝟖, 𝟕𝟓
𝒙
Este valor se interpreta como el “punto de equilibrio” o “centro de masas” del conjunto
de datos.
La media del conjunto de datos es 8,75 horas, lo que indica el tiempo promedio
necesario para lograr un plan de trabajo integral para los transformadores en estudio.
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La mediana o mediana aritmética
Es el valor encontrado en el centro del conjunto de los datos luego de haber sido
ordenados. Las medianas son útiles siempre que estemos tratando de averiguar cuál
es el centro de un conjunto de datos.
Para determinarla se procede de la siguiente manera:

Ordenar los datos en orden ascendente (de menor a mayor), asegurándose de incluir
los números repetidos en caso de existir.
6 6 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11

Encontrar el número medio del conjunto de datos, presentándose dos casos:
i. Si el conjunto de datos tiene un número impar de valores, la mediana será el
valor que se encuentra en el punto medio del conjunto.
ii. Si el conjunto de datos tiene un número par de valores, que es nuestro caso, ya
que tenemos 20, se deben encontrar los dos valores centrales del conjunto de
datos y calcular la media de dichos valores:
6 6 7 8 8 8 8 9 9
9 9
9 9 9 10 10 10 10 10 11
Los valores centrales son: 9 y 9
La media de esos valores será: 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = 9 + 9⁄2 = 18⁄2 = 9
Siendo entonces el valor de la mediana 9 para nuestro conjunto de datos, lo
que se interpreta como que la mitad de los valores del conjunto de datos es
menor que o igual a 9 y la otra mitad de los valores es mayor o igual que 9.
La moda
La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.
Para determinarla se procede de la siguiente manera:

Ordenar los datos en orden ascendente (de menor a mayor), asegurándose de incluir
los números repetidos en caso de existir.
6 6 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11

Encontrar los números que se repiten, determinando las veces que lo hacen
(frecuencia):
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y VARIABILIDAD
EVALUACIÓN SUMATIVA II | AACM
Valor
Frecuencia de
repetición
6
2
7
1
8
4
9
7
10
5
11
1
Página 13 de 18
Observando la tabla anterior, vemos que el valor 9 se repite 7 veces en el conjunto
de datos, por lo que este será el valor de la moda del conjunto. Dado que 9 es el
valor que se repite el mayor número de veces, se concluye que 9 horas es el tiempo
con más frecuencia en lograr un plan integral de trabajo para los transformadores
en estudio.
Estas medidas de tendencia central para datos no agrupados nos permitirán analizar
los datos de un conjunto.
b. Graficar
Conocidas las medidas de tendencia central (MTC) para datos no agrupados, como lo
hicimos en el aparte anterior del ejercicio, procedemos a organizar los datos, los cuales
se pueden distribuir en tablas de frecuencia, a efectos de proceder con la elaboración
de las gráficas correspondientes (Histograma y polígono de frecuencias y gráfico de
sectores).
Para ello calcularemos:
Frecuencia absoluta
Es la cantidad de veces que se encuentra un valor y está denotado o representado con
“fi“, donde el subíndice simboliza cada uno de los valores o datos numéricos. Cabe
destacar que la suma de las frecuencias absolutas es la cantidad de números total de
los datos.
Frecuencia relativa
Es la medida estadística que constituye el cociente de frecuencia absoluta de un valor
de la población entre el total de valores que componen la población muestra y se
encuentra representado por las letras “fr”.
Frecuencia acumulada
Está representada por “Fac”, es la sumatoria de las frecuencias absolutas, dadas por
todos los valores que son iguales o inferiores al valor que se está calculando.
Frecuencia relativa acumulada
Está representada por “Fri”, es la división de la frecuencia acumulada entre el número
total de datos.
Para nuestro ejercicio tenemos:
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y VARIABILIDAD
EVALUACIÓN SUMATIVA II | AACM
Página 14 de 18
Horas
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
acumulada
Frecuencia relativa
Frecuencia
acumulada relativa
xi
fi
Fac
fr
(Fri)
2
𝐹𝑎𝑐1 = 𝑓1 = 𝟐
𝑓1
𝑓𝑟1 = 𝑥100
𝑛
2
=
𝑥100 = 𝟏𝟎
20
𝐹𝑟1 = 𝑓𝑟1 = 𝟏𝟎
1
𝐹𝑎𝑐2 = 𝐹𝑎𝑐1 + 𝑓2
=2+1=𝟑
𝑓2
𝑓𝑟2 = 𝑥100
𝑛
1
=
𝑥100 = 𝟓
20
𝐹𝑟2 = 𝐹𝑟1 + 𝑓𝑟2 = 10
+5
= 𝟏𝟓
4
𝐹𝑎𝑐3 = 𝐹𝑎𝑐2 + 𝑓3 =
3 + 4 =7
𝑓3
𝑓𝑟3 = 𝑥100
𝑛
4
=
𝑥100 = 𝟐𝟎
20
𝐹𝑟3 = 𝐹𝑟2 + 𝑓𝑟3 = 15
+ 20
= 𝟑𝟓
7
𝐹𝑎𝑐4 = 𝐹𝑎𝑐3 + 𝑓4
= 7 + 7 = 14
𝑓4
𝑓𝑟4 = 𝑥100
𝑛
7
=
𝑥100 = 𝟑𝟓
20
𝐹𝑟4 = 𝐹𝑟3 + 𝑓𝑟4 = 35
+ 35
= 𝟕𝟎
5
𝐹𝑎𝑐5 = 𝐹𝑎𝑐4 + 𝑓5
= 14 + 5 = 𝟏𝟗
6
7
8
9
10
11
1
𝐹𝑎𝑐6 = 𝐹𝑎𝑐5 + 𝑓6
= 19 + 1 = 𝟐𝟎
20
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y VARIABILIDAD
EVALUACIÓN SUMATIVA II | AACM
𝑓𝑟5 =
=
𝑓5
𝑥100
𝑛
5
𝑥100 = 𝟐𝟓
20
𝑓6
𝑓𝑟6 = 𝑥100
𝑛
1
=
𝑥100 = 𝟓
20
𝐹𝑟5 = 𝐹𝑟4 + 𝑓𝑟5 = 70
+ 25
= 𝟗𝟓
𝐹𝑟6 = 𝐹𝑟5 + 𝑓𝑟6
= 95 + 5 = 𝟏𝟎𝟎
100
Página 15 de 18
Resumiendo:
Horas
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
acumulada
Frecuencia
relativa
Frecuencia acumulada
relativa
xi
fi
Fac
fr
(Fri)
6
2
2
10
10
7
1
3
5
15
8
4
7
20
35
9
7
14
35
70
10
5
19
25
95
11
1
20
5
100
20
100
Procedemos a elaborar el histograma y polígono de frecuencias con los datos de la
tabla, ploteando los valores de los datos (xi) en el eje de las abscisas (eje x) y los
valores de frecuencia absoluta en el eje de las ordenadas (eje y), obteniéndose la
siguiente gráfica:
Histograma y polígono de frecuencias
8
7
7
6
5
5
4
4
3
2
2
1
1
1
0
1
2
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y VARIABILIDAD
EVALUACIÓN SUMATIVA II | AACM
3
4
5
6
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El diagrama de sectores, también denominado diagrama de pastel, es un círculo dividido
en partes y que se usa para representar variables cualitativas. Muestra la proporción que
le corresponde a cada valor del conjunto de datos en función de su frecuencia.
Para hacer la gráfica agregaremos una columna a la tabla de distribución de frecuencias
para calcular los grados que le corresponde a cada sector del gráfico, utilizando la siguiente
fórmula:
360°
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =
× 𝑓𝑖 = 360° × 𝑓𝑟
𝑛
Para nuestro ejercicio:
Horas
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
acumulada
Frecuencia
relativa
Frecuencia acumulada
relativa
Grados
xi
fi
Fac
fr
(Fri)
𝛼°
6
2
2
10
10
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =
=
7
1
3
5
15
8
4
7
20
35
7
14
35
70
10
5
19
25
95
11
1
20
20
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y VARIABILIDAD
EVALUACIÓN SUMATIVA II | AACM
5
100
100
360°
× 𝑓4
𝑛
360°
× 7 = 𝟏𝟐𝟔
20
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =
=
360°
× 𝑓3
𝑛
360°
× 4 = 𝟕𝟐
20
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =
=
360°
× 𝑓2
𝑛
360°
× 1 = 𝟏𝟖
20
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =
=
9
360°
× 2 = 𝟑𝟔
20
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =
=
360°
× 𝑓1
𝑛
360°
× 𝑓5
𝑛
360°
× 5 = 𝟗𝟎
20
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =
360°
× 𝑓6
𝑛
360°
=
× 1 = 𝟏𝟖
20
360°
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Frecuencia
absoluta
Frecuencia
acumulada
Frecuencia
relativa
Frecuencia
acumulada
relativa
Grados
Horas
xi
fi
Fac
fr
(Fri)
𝛼°
6
2
2
10
10
36
7
1
3
5
15
18
8
4
7
20
35
72
9
7
14
35
70
126
10
5
19
25
95
90
11
1
20
5
100
18
20
100
360°
Diagrama de sectores
5
10
5
25
20
35
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y VARIABILIDAD
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