Universidad Mariana
Ingeniería de Sistemas
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Unidad 6
Actividad 10: ESTIMACIÓN DE INTERVALOS Y PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Instrucciones
•
Desarrolle el taller en los grupos formados previamente.
•
Cargue el desarrollo de la actividad 10. Sólo se debe subir por uno de los integrantes del grupo en formato word según
las especificaciones dadas.
Recurra al material de apoyo que se asignan en la plataforma sobre el tema.
Resuelva los ejercicios asignados en la siguiente tabla, teniendo en cuenta que todos los ejercicios deben presentar de
principio a fin su desarrollo y procedimiento.
•
•
Grupo 1
1
7
13
19
Grupo 2
2
8
14
20
Grupo 3
3
9
15
21
Grupo 4
4
10
16
22
Grupo 5
5
11
17
23
Grupo 6
6
12
18
24
Problemas Propuestos
1. La enfermera de la secundaria de Westview está interesada en conocer la estatura promedio de los estudiantes del
último año, pero no tiene suficiente tiempo para examinar los registros de los 430 estudiantes. Por ello, selecciona 48 al
azar y encuentra que la media de la muestra es 64.5 pulgadas y la desviación estándar es 2.3 pulgadas.
a) Encuentre la estimación del error estándar de la media.
b) Construya un intervalo de confianza del 95% para la media.
2. Jon Jackobsen, un pasante de posgrado muy dedicado acaba de terminar una primera versión de su tesis de 700 páginas.
Jon mecanografió el trabajo por sí mismo y está interesado en conocer el número promedio de errores tipográficos por
página, pero no quiere leer todo el documento. Como sabe algo acerca de estadística para la administración, Jon leyó 40
páginas seleccionadas de manera aleatoria y encontró que el promedio de errores tipográficos por página fue 4.3 y la
desviación estándar de la muestra fue 1.2 errores por página.
a) Calcule el error estándar estimado de la media.
b) Calcule un intervalo de confianza del 93% para el número promedio verdadero de errores por página en su trabajo.
3. La Autoridad para la Televisión por Cable de Nebraska (ATCN) realizó una prueba para determinar el tiempo que las
personas pasan frente al televisor por semana. La ATCN encuestó a 84 suscriptores y encontró que el número promedio de
horas que ven televisión por semana es 11.6 horas con una desviación estándar de 1.8 horas.
a) ¿Cuál es la desviación estándar de la población estimada para esta población? (Existen cerca de 95,000 personas con
televisión por cable en Nebraska.)
b) Calcule el error estándar estimado de la media.
c) Construya un intervalo de confianza del 94% para la media de la población.
4. Joel Friedlander es un corredor de la Bolsa de Valores de Nueva York y tiene curiosidad acerca del tiempo que
transcurre entre la colocación de una orden de venta y su ejecución. Joel hizo un muestreo de 45 órdenes y encontró que el
tiempo medio para la ejecución fue 24.3 minutos, con una desviación estándar de 3.2 minutos. Ayude a Joel con la
construcción de un intervalo de confianza del 97% para el tiempo medio para la ejecución de una orden.
5. Oscar T. Grady es el gerente de producción de la compañía Citrus Groves, localizada justo al norte de Ocala, Florida.
Oscar está preocupado debido a que las heladas tardías de los últimos tres años han estado dañando los 2,500 naranjos que
posee la Citrus Groves. Con el fin de determinar el grado del daño ocasionado a los árboles, Oscar ha recogido una
muestra del número de naranjas producidas por cada árbol para 42 naranjos y encontró que la producción promedio fue
525 naranjas por árbol, con una desviación estándar de 30 naranjas por árbol.
a) Estime la desviación estándar de la población a partir de la desviación estándar de la muestra.
b) Estime el error estándar de la muestra de esta población finita.
c) Construya un intervalo de confianza del 95% para la producción media por árbol del total de 2,500 árboles.
d) Si la producción media de naranjas por árbol fue 600 frutas hace cinco años, ¿qué puede decir Oscar acerca de la
posible existencia de daños en el presente?
6. La jefa de policía, Kathy Ackert, recientemente estableció medidas enérgicas para combatir a los traficantes de droga de
su ciudad. Desde que se pusieron en funcionamiento dichas medidas, han sido capturados 750 de los 12,368 traficantes de
droga de la ciudad. El valor promedio, en dólares, de las drogas decomisadas a estos 750 traficantes es $250,000. La
desviación estándar del valor de la droga de esos 750 traficantes es $41,000. Elabore para la jefa Ackert un intervalo de
confianza del 92% para el valor medio en dólares de las drogas que están en manos de los traficantes de la ciudad.
7. Por muchos años, las empresas han luchado con el creciente costo del cuidado de la salud. Recientemente los
incrementos han disminuido debido a la menor inflación en los precios del servicio y a los empleados que pagan gran
parte de esos beneficios. Una reciente encuesta de Mercer mostró que era probable que 52% de los empleadores
estadounidenses requiriera contribuciones más altas de los empleados para la cobertura del cuidado de la salud en 2009
(BusinessWeek, 16 de febrero de 2009). Suponga que la encuesta se basó en una muestra de 800 empresas. Calcule el
margen de error y un intervalo de confianza de 97% para la proporción de compañías con probabilidad de requerir
contribuciones más altas de los empleados para la cobertura del cuidado de la salud en 2009.
8. Los jóvenes de Estados Unidos usan Internet intensamente: 87% de los jóvenes entre 12 y 17 años son usuarios de la
red (The Cincinnati Enquirer, 1 de febrero de 2006). En una muestra de usuarios de Internet de esta edad, 9% votó por
MySpace como el sitio más popular de la Web. Suponga que en este estudio participaron 1400 sujetos. ¿Cuáles son los
márgenes de error y la estimación por intervalo de la proporción poblacional de quienes consideran que este sitio es el más
popular? Use 96% de nivel de confianza.
9. Debido a una variación en técnicas de laboratorio, impurezas en
materiales y otros factores desconocidos, los resultados de un experimento en un laboratorio de química no siempre darán
la misma respuesta numérica. En un experimento de electrólisis, un grupo de estudiantes midió la cantidad de cobre
precipitado de una solución saturada de sulfato de cobre en un periodo de 30 minutos. Los n =30 estudiantes calcularon
una media muestral y desviación estándar igual a .145 y .0051 moles, respectivamente. Encuentre un intervalo de
confianza de 93% para la cantidad media de cobre precipitado de la solución en un periodo de 30 minutos.
10. La lluvia ácida, causada por la reacción de ciertos contaminantes del aire con el agua de lluvia, parece ser un problema
creciente en la región noreste de Estados Unidos. (La lluvia ácida afecta al suelo y causa corrosión en superficies
metálicas expuestas.) La lluvia pura que cae en aire limpio registra un valor de pH de 5.7 (el pH es una medida de la
acidez: 0 es ácido; 14 es alcalino). Suponga que muestras de agua de 40 lluvias se analizan para el contenido del pH y 𝑥̅ y
s son iguales a 3.7 y .5, respectivamente. Encuentre un intervalo de confianza de 97% para el pH medio en agua de lluvia
e interprete el intervalo. ¿Qué suposición debe hacerse para que el intervalo de confianza sea válido?
11. ¿Tiene usted un iPod Nano o un Walkman Bean Sony? Éstas y otras marcas de reproductores MP3 están haciéndose
cada vez más populares entre los jóvenes estadounidenses. Un estudio acerca de los iPod indicó que 54% de los jóvenes
entre 12 y 17 años, 30% de entre 18 y 34 años y 13% de entre 35 y 54 años tienen reproductores MP3. Suponga que estas
tres estimaciones están basadas en muestras aleatorias de tamaños 400, 350 y 362, respectivamente.
a. Construya una estimación de intervalo de confianza de 97% para la proporción de personas entre 12 y 17 años que
tienen un reproductor MP3.
b. Construya una estimación de intervalo de confianza de 93% para la proporción de personas entre 18 y 34 años que
tienen un reproductor MP3.
12. Los resultados de una encuesta del Newsweek respecto a puntos de vista sobre el aborto dados en el ejercicio 7.66
mostró que de n = 1020 adultos, 39% favorecieron la postura del “derecho a la vida”, en tanto que 53% estuvieron “a
favor de la elección libre”. La encuesta reportó un margen de error de más o menos 3%.
a. Construya un intervalo de confianza de 93% para la proporción de adultos que están a favor de la postura del “derecho
a la vida”.
b. Construya un intervalo de confianza de 92% para la proporción de adultos que están “a favor de la elección libre”.
13. Atlas Sporting Goods ha puesto en marcha una promoción especial para su estufa de propano y siente que la
promoción debe provocar un cambio en el precio para el consumidor. Atlas sabe que antes de que comenzara la
promoción, el precio promedio al menudeo de la estufa era $45.85, con una desviación estándar de $4.95. Atlas muestrea
a 27 de sus minoristas después de iniciada la promoción y encuentra que el precio medio de las estufas es ahora $44.95. A
un nivel de significancia de 0.05, ¿tiene Atlas razones para creer que el precio promedio al menudeo para el consumidor
ha disminuido?
14. Generally Electric ha desarrollado un nuevo foco cuyas especificaciones de diseño requieren una salida de luz de 980
lúmenes comparado con un modelo anterior que producía sólo 740 lúmenes. Los datos de la compañía, indican que la
desviación estándar de la salida de luz para este tipo de foco es 18.4 lúmenes. Para una muestra de 27 focos, el comité de
pruebas encontró una salida de luz promedio de 974 lúmenes por foco. A un nivel de significancia de 0.04, ¿puede
concluir Generally Electric que su nuevo foco produce la salida especificada de 980 lúmenes?
15. Bay City Bigleaguers, un equipo de béisbol semiprofesional, tiene al jugador líder de la liga en promedio de bateo
durante muchos años. Durante los últimos años, el promedio de bateo de Joe Carver ha sido de .334, con una desviación
estándar de .018. Sin embargo, este año, el promedio de Joe fue sólo .302. Joe está renegociando su contrato para el año
siguiente, y el salario que podrá obtener depende en gran medida de su habilidad de convencer al dueño del equipo de que
su promedio de bateo de este año no fue significativamente peor que en años anteriores. Si el dueño desea usar un nivel de
significancia de 0.03, ¿reducirán el salario de Joe para el año próximo?
16. Los altos porcentajes de ocupación en vuelos regulares son esenciales para la rentabilidad corporativa. Suponga que
un vuelo regular debe promediar al menos 60% de ocupación para ser rentable y un examen del porcentaje de ocupación
para 120 vuelos de las 10:00 a.m. de Atlanta a Dallas mostró una ocupación media por vuelo de 58% y una desviación
estándar de 11%.
a. Si 𝜇 es la ocupación media por vuelo y si la compañía decide determinar si este vuelo es rentable o no lo es, dé la
hipótesis alternativa y nula para la prueba.
b. ¿La hipótesis alternativa del inciso a) implica una prueba de una o de dos colas? Explique.
c. ¿Los datos de ocupación para los 120 vuelos sugieren que este vuelo regular no es rentable? Pruebe usando 𝛼 =.06.
17. ¿Qué es normal, cuando se trata de temperaturas corporales de personas? Una muestra aleatoria de 130 temperaturas
corporales en personas, dada por Allen Shoemaker3 en la Journal of Statistical Education, tuvo una media de 98.25
grados y una desviación estándar de 0.73 grados. ¿Los datos indican que el promedio de temperatura corporal para
personas sanas es diferente de 98.6 grados, que es el promedio de temperatura citada por médicos y otros especialistas?
a. Use el método del valor p con 𝛼 = .07.
b. Use el método del valor crítico con 𝛼 =.07.
c. Compare las conclusiones de los incisos a) y b). ¿Son iguales?
d. El estándar de 98.6 fue deducido por un médico alemán en 1868, quien dijo haber registrado un millón
de temperaturas en el curso de su investigación. ¿Qué conclusiones se pueden sacar acerca de la investigación de este
último, teniendo en cuenta las conclusiones del mismo en los incisos a) y b)?
18. Numerosas compañías tienen ahora un horario flexible, en el que un trabajador programa sus propias horas de trabajo
o “comprime” el tiempo de semanas de trabajo. Una compañía que estaba contemplando la instalación de un programa de
horario flexible estimó que necesitaba una media mínima de 7 horas por día por trabajador de ensamble para operar de
manera eficiente. A cada uno de una muestra aleatoria de 80 ensambladores de la compañía se les pidió que enviaran un
programa de horario flexible. Si el número
medio de horas por día para el lunes era de 6.7 horas y la desviación estándar fue de 2.7 horas, ¿los datos dan
suficiente evidencia para indicar que el número medio de horas trabajadas por día los lunes, para todos los
ensambladores de la compañía, será menor a 7 horas? Pruebe usando 𝛼 =.04. y determinando el p-valor.
19. De un total de 10,200 préstamos otorgados por una unión de crédito de empleados del Estado en el último periodo de
cinco años, se muestrearon 350 para determinar qué proporción de los préstamos se otorgaron a mujeres. Esta muestra
indicó que el 39% de los créditos fue dado a empleadas. Un censo completo de préstamos de hace cinco años mostraba
que el 41% de los prestatarios eran mujeres. A un nivel de significancia del 0.02, ¿puede concluir que la proporción de
préstamos otorgados a mujeres ha cambiado significativamente en los últimos cinco años? Demuestre la hipótesis usando
p-valor.
20. Algunos teóricos financieros creen que los precios diarios del mercado de valores constituyen una “caminata aleatoria
con tendencia positiva”. Si esto es correcto, entonces el promedio industrial Dow Jones debería mostrar una ganancia en
más del 50% de todos los días de actividad financiera. Si el promedio se incrementó en 101 de 175 días escogidos
aleatoriamente, ¿qué piensa de la teoría sugerida? Plantee una hipótesis de la situación y demuéstrela. Use el p-valor con y
un nivel de significancia de 0.03.
21. Un estudio realizado por Consumer Reports indica que 64% de los clientes de los supermercados piensa que las
marcas de esos establecimientos son tan buenas como las marcas nacionales. Para investigar si estos resultados aplican a
sus propios productos, un fabricante de salsa de tomate de una marca nacional preguntó a los integrantes de una muestra si
consideraban las salsas de tomate de marca propia de los supermercados tan buenas como la de marca nacional.
a) Formule las hipótesis para determinar si el porcentaje de clientes de los supermercados que considera las salsas de
tomate de marca propia de estos establecimientos tan buenas como la de marca nacional difiere de 64%.
b) Si en una muestra de 100 clientes, 52 opinan que las marcas de los supermercados son tan buenas como las nacionales,
¿cuál es el valor-p?
c) Con 𝛼 =0.06, ¿cuál es la conclusión?
d) ¿Le dará gusto esta conclusión al fabricante de la marca nacional de salsa de tomate? Explique.
22. Según el Pew Internet & American Life Project, 75% de los estadounidenses adultos usa Internet (sitio web de Pew
Internet, 19 de abril de 2008). Los autores del Project Pew también reportaron el porcentaje de estadounidenses que usa
Internet por grupo de edad. Los datos en el archivo AgeGroup son congruentes con sus hallazgos. Esos datos fueron
obtenidos de una muestra de 100 usuarios en el grupo de edad de 30 a 49 años y 200 usuarios en el grupo de edad de 50 a
64 años. Un Yes (Sí) indica que el encuestado usa Internet; un No indica que el encuestado no lo hace.
a) Establezca las hipótesis que pueden utilizarse para determinar si el porcentaje de usuarios de Internet en ambos grupos
de edad difieren del promedio general de 75%.
b) Estime la proporción de usuarios en el grupo de edad de 30 a 49 años. ¿Esta proporción difiere significativamente de la
proporción general de 0.75? Utilice 𝛼 = 0.04.
c) Determine la proporción de usuarios en el grupo de edad de 50 a 64 años. ¿Esta proporción difiere significativamente
de la proporción general de 0.75? Utilice 𝛼 =0.04.
d) ¿Esperaría que la proporción de usuarios en el grupo de 18 a 29 años sea más grande o más pequeña que la proporción
del grupo de edad de 30 a 49 años? Sustente su conclusión con los resultados obtenidos en los incisos b) y c).
23. Antes del Super Bowl de 2003, la ABC pronosticó que 22% de la audiencia por televisión expresaría interés por ver
uno de sus programas por estrenar, entre ellos: 8 Simple Rules, Are You Hot? y Dragnet. Durante el Super Bowl, la ABC
pasó anuncios sobre estos programas de televisión. Al día siguiente del evento, una firma de publicidad tomó una muestra
de 1 532 espectadores que los vieron, de los cuales 414 afirmaron que verían alguna de las series promovidas por la ABC
(The Wall Street Journal, 30 de enero de 2003).
a) ¿Cuál es la estimación puntual de la proporción de espectadores que después de ver los anuncios dijeron que verían los
programas de televisión?
b) Con 𝛼 =0.06, determine si la intención de ver los programas de la ABC aumentó significativamente después de ver los
anuncios. Establezca las hipótesis apropiadas, calcule el valor-p y defina su conclusión.
c) ¿Por qué tales estudios son valiosos para las empresas y los negocios de publicidad?
24. De las mujeres a las que se diagnosticó cáncer de pecho en su etapa temprana, un tercio murieron finalmente de la
enfermedad. Suponga que el departamento de salud pública de una comunidad instituyó un programa de selección para la
detección temprana de ese cáncer y aumentar el porcentaje de sobrevivencia p de las diagnosticadas con la enfermedad.
Una muestra aleatoria de 200 mujeres se seleccionó de entre las que eran seleccionadas periódicamente por el programa y
a las que se les diagnosticó la enfermedad. Con x representemos el número de las de la muestra que sobreviven a la
enfermedad.
a. Si se desea detectar si el programa de selección ha sido efectivo, exprese la hipótesis nula que deba probarse.
b. Indique la hipótesis alternativa.
c. Si 164 mujeres de la muestra de 200 sobreviven a la enfermedad, ¿se puede concluir que el programa
de selección de la comunidad fue efectivo? Pruebe usando 𝛼 = .06 y explique las conclusiones prácticas a partir de su
prueba.
d. Encuentre el valor-p para la prueba e interprételo.