М.С.Баранова, В.В. Гладков ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ВЕЙВЛЕТ- БАЗИСОВ ПЕРВОГО ЭТАПА 𝒍𝟐 (ℤ𝐍 ), Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева Во многих направлениях высшей математики актуальны задачи поиска базисов, разложения по которым наилучшим в некотором смысле образом описывает элементы пространства. Широкое применение нашли вейвлетные базисы. Общепринятый базис Фурье хорошо определяет частоты, но не дает информацию о локальном поведении функции. Желательно, чтобы элементы базиса были хорошо локализированы и по времени и по частоте. Вейвлетные базисы удовлетворяют таким требованиям и активно используются во многих областях вычислительной математики, в том число в цифровой обработке сигналов. В работе рассматривается пространство 𝒍𝟐 (ℤ𝐍 ), комплекснозначных функций, заданных на конечном множестве (ℤ𝐍 ) = { 0, 1, … , N − 1} или на языке цифровой обработки сигналов это дискретный сигнал, заданный на конечном множестве. В работе дано описание всевозможных ортонормированных базисов в 𝑙 2 (ℤN ), которые могут быть получены сдвигами на четное число разрядов двух N-мерных векторов, т.е. дано описание всевозможных вейвлет – базисов первого этапа 𝑙 2 (ℤN ), Ключевые слова: Линейное пространство. Вейвлет базисы. Дискретное преобразование Фурье. Введение Основные обозначения взяты из [1] 1. 𝑙 2 (ℤN ), = {z = (z(0), z(1), … , z(N − 1)): z(j) ∈ ℂ, 0 ≤ j ≤ N − 1} – N-мерное пространство над полем комплексных чисел ℂ . Векторы этого пространства обозначаются или как строки или как столбцы z(0), z(1), … , z(N − 1) – компонента вектора z, вектор z считается периодическим с периодом N, z(j + N) = z(j) для j ∈ ℤ, ℤ − множество целых чисел. Например, при N=12, z (-21) = z (-9) = z (-15) = z(27) =z (3). 2 ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ 2. <z,w>= ∑N−1 k=0 z (k)w(k) – скалярное произведение в 𝑙 (ℤN ), w(k) – число комплексно сопряженное к w(k). 2 2 1/2 3. ‖z‖ = (∑N−1 k=0 |z(k)| ) – норма вектора z в 𝑙 (ℤN ), 4. Дискретное преобразование Фурье N−1 ẑ(m) = ∑ z(n)e−2πimn/N n=0 5. Обратное дискретное преобразование Фурье N−1 1 w ̌ (n) = ∑ w(m)e2πimn/N N m=0 6. Оператор циклического сдвига R k z(n) = z(n − k) Для всех n n ∈ Z Например z = (2,3 − i, 2i, 4 + i, 0,1) R 2 z = (0,1,2,3 − i, 4 + i) 7. z ∨ - обратно дискретно преобразование Фурье для вектора Z 8. (𝑧̂ )v = z В работе дается описание всевозможных ортонормированных базисов в 𝑙 2 (ZN ), которые могут быть получены с помощью четных целочисленных сдвигов двух N – мерных векторов. Определение [1] Пусть N=2M, 𝑀 ∈ ℕ Ортонормированный базис 𝑙 2 (ℤ𝑁 ) вида 𝑀−1 𝐵 = {𝑅2𝑘 𝑢}𝑀−1 𝑘=0 ⋃ {𝑅2𝑘 𝑣}𝑘=0 Для не которых 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑙 2 (ℤ𝑁 ) называется вейвлет-базисом первого этапа 𝑙 2 (ℤN ), Векторы 𝑢 и 𝑣 называются порождающими векторами вейвлет – базиса первого этапа. 𝑢 – называется отцовским вейвлетом, а 𝑣 – материнским вейвлетом. В работе [1] получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы множество векторов B было ортонормированным базисом 𝑙 2 (ℤ𝑁 ), (т.е. вейвлет-базисом первого этапа). Пусть N=2M, 𝑀 ∈ ℕ, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑒 2 (ℤ𝑁 ), тогда 𝑀−1 𝑀−1 𝐵 = {𝑅2𝑘 𝑢}𝑘=0 ⋃ {𝑅2𝑘 𝑣}𝑘=0 множество Есть ортонормированный базис 𝑒 2 (𝑍𝑁 ), если и только если матрицы 𝐴(𝑛) = 1 𝑢̂(𝑛) 𝑣̂(𝑛) ( ) 𝑢 ̂(𝑛 + 𝑚) 𝑣 ̂(𝑛 + 𝑚) √2 (1) Унитарны для n = 0, 1, …, M-1. Эквивалентно: Если и только если |𝑣̂(𝑛)|2 + |𝑣̂(𝑛 + 𝑚)|2 = 2 |𝑢̂(𝑛)|2 + |𝑢̂(𝑛 + 𝑚)|2 = 2 ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ И 𝑣̂(𝑛)𝑢 ̂(𝑛) + 𝑣̂(𝑛 + 𝑚)𝑢 ̂(𝑛 + 𝑚) = 0 Для m=0, 1,…, N-1 Характеризация вейвлет базисов первого этапа векторов Найдем условия при которых матрицы (1) унитарны при всех n=0,1, 2, …,M-1. Если матрицы (1) унитарны, то должно быть 1 0 A(n)A∗ (n) = A∗ (n)A(n) = ( ) 0 1 (2) Где A∗ (n) матрица, полученная из A(n) транспортированием и заменой элементов матрицы A(n) на комплексно сопряженные. Из (2) следует, что для унитарности матрицы (1) необходимо: |û(n)|2 + |v̂(n)|2 = 2 |û(n)|2 + |û(n + m)|2 = 2 |v̂(n)|2 + |v̂(n + m)|2 = 2 |û(n + m)|2 + |v̂(n + m))|2 = 2 (3) Положим û(n) = r(n)eiθ(n) (0≤r(n)≤√2), тогда из соотношения (3) следует, что v̂(n) = √2 − r 2 (n)eiσ(n) , û(n + m) = √2 − r 2 (n)eiφ(n), v̂(n + m) = r(n)eiρ(n) Теперь можно считать, что система матриц A(n) имеет вид: A(n) = 1 [ √2 r(n)eiθ(n) √2 − r 2 (n)eiσ(n) √2 − r 2 (n)eiφ(n) r(n)eiρ(n) ] (4) Где (0≤r(n)≤√2) Для матриц (4) условия (3) выполнены Пусть r(n)=0, тогда A(n) = 1 A∗ (n)= [ 0 θ(n), φ(n), σ(n), ρ(n). Так как A(n) 1 0 √2 √2eiφ(n) [ √2eiσ(n) ] 0 0 ], то такие матрицы унитарны при любых вещественных 1 Если r(n)= √2, то A(n) = 1 Для такой матрицы А(n) A∗ (n) =[ 0 1 √2eiφ(n) [ 0 √2 0 ] √2ei ρ(n) 0 ], 1 И значит такие матрицы унитарны при любых вещественных θ(n), φ(n), σ(n), ρ(n). Пусть теперь 0<r(n) <√2 Тогда А(n)A∗ (n) = 2 1 ( 2 (∗∗) (∗) ) где: 2 (*) = r(n)√2 − r 2 (n)(ei(θ(n)−φ(n)) + ei(σ(n)−ρ(n)) ) (**) = r(n)√2 − r 2 (n)(ei(φ(n)−θ(n)) + ei(ρ(n)−σ(n)) ) Так как r(n)√2 − r 2 (n) ≠ 0, то должно быть ei(θ(n)−φ(n)) = −ei(σ(n)−ρ(n)) = ei(σ(n)−ρ(n)+π) Аргументы этих комплексных чисел могут отличаться на 2πk σ(n) − ρ(n) = σ(n) − ρ(n) + π + 2πk Или θ(n) + ρ(n) − φ(n) − σ(n) = (2k + 1)π (5) Для некоторого k=k(n)ϵN С другой стороны если (5) выполнено, то матрицы A(n) унитарны для n=0,1, 2, …, M-1 и (5) является необходимым и достаточным условием унитарности матриц A(n) (4),в случае 0 < 𝑟(𝑛) < √2 , а значит это необходимое и достаточное условие для того, что бы (û)∨ = u , u(v̂)∨ = v были порождающими векторами вейвлет-базисов первого этапа 𝑙 2 (ℤN ). Вывод: Предположим, что 𝑀𝜖ℕ и Т = 2М. М−1 1) Пусть {𝑟(𝑛) } вещественныые числа, такие что 0 ≤ 𝑟(𝑛) ≤ √2 для всех 𝑛=0 𝑛 = 0,1, … , М − 1. М − 1 {𝜑(𝑛)} М − 1 {𝜎(𝑛)} М − 1 {𝜌(𝑛)} М − 1 Пусть {𝜃(𝑛)} , , , 𝑛=0 𝑛=0 𝑛=0 𝑛=0 вещественныые числа, такие что 𝑛 ∈ {𝑛 = 0,1, … , М − 1} и 0 < 𝑟(𝑛) < √2 , то 𝜃(𝑛) + 𝜌(𝑛) − 𝜑(𝑛) − 𝜎(𝑛) = (2𝑘 + 1)𝜋, для некоторых 𝑘 = 𝑘(𝑛) ∈ ℤ (Если 𝑟(𝑛) = 0 или 𝑟(𝑛) = √2 , то 𝜃(𝑛), 𝜌(𝑛), 𝜑(𝑛), 𝜎(𝑛) − любые вещественные числа) - Определим û, 𝑣̂ ∈ 𝑙 2 (ℤN ), положив û(𝑛) = 𝑟(𝑛)𝑒 𝑖𝜃(𝑛) , 𝑁 2 2 û (𝑛 + ) = √2 − (𝑟(𝑛)) 𝑒 𝑖𝜑(𝑛) , 𝑣̂(𝑛) = √2 − (𝑟(𝑛)) 𝑒 𝑖𝜎(𝑛) и 2 𝑁 𝑣̂ (𝑛 + ) = 𝑟(𝑛)𝑒 𝑖𝜌(𝑛) для 𝑛 = 0,1, … , М − 1. 2 Определим 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑙 2 (ℤN ) как 𝑢 = (û)∨ 𝑢 𝑣 = (𝑣̂)∨ . 𝑀−1 2 Тогда{𝑅2𝑘 𝑣}𝑀−1 𝑘=0 ∪ {𝑅2𝑘 𝑢}𝑘=0 есть ортонормированный базис 𝑙 (ℤN ). 𝑀−1 2) Для любого вейвлет-базиса первого этапа {𝑅2𝑘 𝑣}𝑀−1 ̂ и 𝑣̂ имеют 𝑘=0 ∪ {𝑅2𝑘 𝑢}𝑘=0 , векторы u вид, определенный в п.1, при некоторый вещественных 𝑟(𝑛), 𝜃(𝑛), 𝜌(𝑛), 𝜑(𝑛), 𝜎(𝑛), 𝑛 = 0,1, … , М − 1, удовлетворяющих условиям 0 ≤ 𝑟(𝑛) ≤ √2 и 𝜃 + 𝜌 − 𝜑 − 𝜎 = (2л + 1)𝜋 для некоторого 𝑘 = 𝑘(𝑛) ∈ ℤ, для каждого 𝑛 = 0,1, … , М − 1. Рассмотри несколько примеров 1. Базис Хаара [1] (N=8) 1 1 , , 0,0,0,0,0,0) √2 √2 U= ( V= 1 1 , − 2 , 0,0,0,0,0,0) √2 √ Исходя из дискретного преобразования Фурье получим: û = (√2, i 1−i √2−1 i i 1+i √2+1 i √2+1 √2−1 − 2 , 2 , 2 − 2 , 0, 2 + 2 , 2 , 2 + 2) 2 √ √ v̂ = (0, √2 − 1 i 1 + i √2 + 1 i √2 + 1 i 1 − i √2 − 1 i + , , + , √2, − , , − ) 2 2 √2 2 2 2 2 √2 2 2 Легко проверить, что следующие матрицы унитарны 1 √2 A(0) = ( √2 0 √2 + 1 i √2 − 1 i − + 0 ) , A(1) = 2 2 2 2 √2 √2 √2 − 1 i √2 + 1 i + − 2 2 2) ( 2 1 1−i 1+i A(2) = 1 √2 √2 1 + i ( √2 √2 − 1 i − √2 2 2 , A(3) = 1−i √2 √2 + 1 i + √2 ) 2 ( 2 0 1 Рассмотри, например A(1) √2 + 1 i − 2 2 A(1) = √2 √2 − 1 i + 2 ( 2 1 √2 − 1 i + 2 2 √2 + 1 i − 2 2) 2 + 2√2 + 1 + 1 2 + √2 r(n) = √ =√ 4 2 2 − √2 √2 − (r(n))2 = √ 2 1 −2 1 tgθ = =− = −(√2 − 1) 1 1 √2 − 1 +2 √2 √2 + 1 i + 2 2 √2 − 1 i − 2 2) 1 −2 1 tgσ = = = −(√2 + 1) 1 1 √2 − 1 − √2 2 θ = −arctg(√2 − 1) = − σ = arctg(√2 + 1) = π 8 3π 8 φ = σ, ρ = θ π π 3π 3π θ+ρ−φ−σ=− − − − = −π 8 8 8 8 A(1) = 1 √2 2 + √2 −iπ √ e 8 2 2 − √2 i3π √ e 8 2 ( 2 − √2 i3π √ e 8 2 2 + √2 −iπ √ e 8 2 ) 2. Базис Шеннона [1] (N=8) û= (√2, √2, 0,0,0,0, √2, √2) v̂= (0,0, √2, √2, √2, √2, 0,0) Находя обратно дискретное преобразование Фурье, получим: 1 u = (4√2, 2 + √2 − i√2, 0, √2 − 2 + i√2, 0, √2 − 2 − i√2, 0,2 + √2 + i√2) 8 1 v = (4√2, −(2 + √2) + i√2, 0, √2 − 2 − i√2, 0, √2 − 2 + i√2, 0, −(2 + √2) − i√2) 8 Матрицы: A(0) = A(2) = 1 √2 ( √2 0 1 (0 √2 √2 0 ) , A(1) = 1 (√2 0 ) √2 √2 0 √2 √2) , A(3) = 1 ( 0 √2) 0 √2 √2 0 Унитарны. 3. Вещественный базис Шеннона [1] (N=8) û= (√2, √2, i, 0,0,0, −i, √2) v̂= (0,0,1, √2, √2, √2, 1,0) Матрицы A(0) = 1 √2 ( √2 0 A(2) = 1 0 ) , A(1) = 1 (√2 0 ) √2 √2 0 √2 1 0 √2 i 1 ( ) , A(3) = ( ) √2 −i 1 √2 √2 0 Унитарны. Например, 1 i 1 −i i 1 0 A(2) A∗ (n2) = 2 ( )( )=( ) −i 1 1 1 0 1 u и v получим найдя обратное дискретное преобразование Фурье u = (0.5303, 0.1768, 0.1768, 0.1768,-0.1768,-0.3232, 0.1768, 0 .6768) v = (0.7803.-0.4268, -0.0732, 0.0732, 0.0732, 0.0732,-0.0732,-0.4268) 4. Базис Добеши [1] (N=8) a = 1 − √10, b = 1 + √10, c = √5 + 2√10 √2 u =32 (b + c, 2a + 3b + 3c, 6a + 4b + 2c, 6a + 4b − 2c, 2a + 3b − 3c, b − c, 0,0) √2 v = 32 (−2a − 3b − 3c, b + c, 0,0, −b + c, 2a + 3b − 3c, −6a − 4b + 2c, 6a + 4b + 2c) Находя дискретно преобразование Фурье, получим: u = (0.3327, 0.8069, 0.4599, -0.1350, -0.0854, 0.0352, 0, 0) û= (1.4142, 1.0592-0.9101i,-0.2126-0.9771i, -0.2230+0.00971, -0.0000, -0.2230-0.0097i,0.2126+0.9771i, 1.0592+0.9101i) v = (-0.8069, 0.3327, 0, 0, -0.0352, -0.0854, 0.1350, 0.4599) v̂= (-0.0000, -0.1508+0.1645i, -0.9797+0.2126i,-1.3925-0.1055i, -1.4142, -1.3925+0.1055i, 0.9771-0.2126i, -0.1508-0.1645i) Все соответствующие матрицы унитарны, например: A(1) = Можно проверить, что 1 0 А(1) A∗ (1) =( ) 0 1 1 1,0592 − 0,9101i −0.1508 + 0.1645i ( ) √2 −0.2230 − 0.0097i −1.3925 + 0.1055i Литература: 1. М. Фрейзер. Введение в вейвлеты в свете линейной алгебры. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008. – 487с 2. M.W. Wong. Discrete Fourier Analysis. Pseudo – Differential Operators Theory and Applications.Vol.5, 2011.-175c M.S.Baranova, V.V. Gladkov CHARACTERIZATION OF THE WAVELEY BASES OF THE FIRST-STAGE IN SPACE 𝒍𝟐 (𝐙𝐍 ). Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alexeev Purpose: An important objective is to construct ortonormal bases B for 𝑙 2 (ZN ) such that B is time –localized, frequency-localized and there is a fast algorithm for the computation of (ZB ) for all z in 𝑙 2 (ZN ).To study the wavelet bases first-stage in spaces 𝑙 2 (ZN ). Design/methodology/approach: For the description of bases, we used the methods of linear algebra. Findings: In this paper, we obtain a description of all possible wavelet bases of the bases first-stage in spaces 𝑙 2 (ZN ). Research limitation/implications: In this paper, we considered only discrete finitedimensional space. Originality/value: Necessary and sufficient conditions for existence of wavelet bases of the first-stage in spaces 𝑙 2 (ZN ) are proved/ Key words: linear space, wavelet bases, Discrete Fourier transform.