М.С.Баранова, В.В. Гладков
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ВЕЙВЛЕТ- БАЗИСОВ ПЕРВОГО ЭТАПА 𝒍𝟐 (ℤ𝐍 ),
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
Во многих направлениях высшей математики актуальны задачи поиска базисов,
разложения по которым наилучшим в некотором смысле образом описывает элементы
пространства. Широкое применение нашли вейвлетные базисы. Общепринятый базис
Фурье хорошо определяет частоты, но не дает информацию о локальном поведении
функции. Желательно, чтобы элементы базиса были хорошо локализированы и по
времени и по частоте. Вейвлетные базисы удовлетворяют таким требованиям и активно
используются во многих областях вычислительной математики, в том число в цифровой
обработке сигналов.
В работе рассматривается пространство 𝒍𝟐 (ℤ𝐍 ), комплекснозначных функций, заданных
на конечном множестве (ℤ𝐍 ) = { 0, 1, … , N − 1} или на языке цифровой обработки сигналов это
дискретный сигнал, заданный на конечном множестве.
В работе дано описание всевозможных ортонормированных базисов в 𝑙 2 (ℤN ), которые могут
быть получены сдвигами на четное число разрядов двух N-мерных векторов, т.е. дано описание
всевозможных вейвлет – базисов первого этапа 𝑙 2 (ℤN ),
Ключевые слова: Линейное пространство. Вейвлет базисы. Дискретное преобразование Фурье.
Введение
Основные обозначения взяты из [1]
1. 𝑙 2 (ℤN ), = {z = (z(0), z(1), … , z(N − 1)): z(j) ∈ ℂ, 0 ≤ j ≤ N − 1} – N-мерное пространство
над полем комплексных чисел ℂ .
Векторы этого пространства обозначаются или как строки или как столбцы
z(0), z(1), … , z(N − 1) – компонента вектора z, вектор z считается периодическим с
периодом N,
z(j + N) = z(j) для j ∈ ℤ, ℤ − множество целых чисел.
Например, при N=12, z (-21) = z (-9) = z (-15) = z(27) =z (3).
2
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
2. <z,w>= ∑N−1
k=0 z (k)w(k) – скалярное произведение в 𝑙 (ℤN ), w(k) – число комплексно
сопряженное к w(k).
2
2 1/2
3. ‖z‖ = (∑N−1
k=0 |z(k)| ) – норма вектора z в 𝑙 (ℤN ),
4. Дискретное преобразование Фурье
N−1
ẑ(m) = ∑ z(n)e−2πimn/N
n=0
5. Обратное дискретное преобразование Фурье
N−1
1
w
̌ (n) = ∑ w(m)e2πimn/N
N
m=0
6. Оператор циклического сдвига
R k z(n) = z(n − k) Для всех n n ∈ Z
Например
z = (2,3 − i, 2i, 4 + i, 0,1)
R 2 z = (0,1,2,3 − i, 4 + i)
7. z ∨ - обратно дискретно преобразование Фурье для вектора Z
8. (𝑧̂ )v = z
В работе дается описание всевозможных ортонормированных базисов в 𝑙 2 (ZN ), которые могут
быть получены с помощью четных целочисленных сдвигов двух N – мерных векторов.
Определение [1]
Пусть N=2M, 𝑀 ∈ ℕ
Ортонормированный базис 𝑙 2 (ℤ𝑁 ) вида
𝑀−1
𝐵 = {𝑅2𝑘 𝑢}𝑀−1
𝑘=0 ⋃ {𝑅2𝑘 𝑣}𝑘=0
Для не которых 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑙 2 (ℤ𝑁 ) называется вейвлет-базисом первого этапа 𝑙 2 (ℤN ),
Векторы 𝑢 и 𝑣 называются порождающими векторами вейвлет – базиса первого этапа.
𝑢 – называется отцовским вейвлетом, а 𝑣 – материнским вейвлетом.
В работе [1] получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы множество
векторов B было ортонормированным базисом 𝑙 2 (ℤ𝑁 ), (т.е. вейвлет-базисом первого этапа).
Пусть
N=2M,
𝑀 ∈ ℕ,
𝑢,
𝑣
∈ 𝑒 2 (ℤ𝑁 ),
тогда
𝑀−1
𝑀−1
𝐵 = {𝑅2𝑘 𝑢}𝑘=0 ⋃ {𝑅2𝑘 𝑣}𝑘=0
множество
Есть ортонормированный базис 𝑒 2 (𝑍𝑁 ), если и только если матрицы
𝐴(𝑛) =
1
𝑢̂(𝑛)
𝑣̂(𝑛)
(
)
𝑢
̂(𝑛
+
𝑚)
𝑣
̂(𝑛
+ 𝑚)
√2
(1)
Унитарны для n = 0, 1, …, M-1.
Эквивалентно:
Если и только если
|𝑣̂(𝑛)|2 + |𝑣̂(𝑛 + 𝑚)|2 = 2
|𝑢̂(𝑛)|2 + |𝑢̂(𝑛 + 𝑚)|2 = 2
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
И 𝑣̂(𝑛)𝑢
̂(𝑛) + 𝑣̂(𝑛 + 𝑚)𝑢
̂(𝑛 + 𝑚) = 0
Для m=0, 1,…, N-1
Характеризация вейвлет базисов первого этапа
векторов
Найдем условия при которых матрицы (1) унитарны при всех n=0,1, 2, …,M-1. Если матрицы (1)
унитарны, то должно быть
1 0
A(n)A∗ (n) = A∗ (n)A(n) = (
)
0 1
(2)
Где A∗ (n) матрица, полученная из A(n) транспортированием и заменой элементов
матрицы A(n) на комплексно сопряженные.
Из (2) следует, что для унитарности матрицы (1) необходимо:
|û(n)|2 + |v̂(n)|2 = 2
|û(n)|2 + |û(n + m)|2 = 2
|v̂(n)|2 + |v̂(n + m)|2 = 2
|û(n + m)|2 + |v̂(n + m))|2 = 2
(3)
Положим û(n) = r(n)eiθ(n) (0≤r(n)≤√2), тогда из соотношения (3) следует, что
v̂(n) = √2 − r 2 (n)eiσ(n) , û(n + m) = √2 − r 2 (n)eiφ(n), v̂(n + m) = r(n)eiρ(n)
Теперь можно считать, что система матриц A(n) имеет вид:
A(n) =
1
[
√2
r(n)eiθ(n)
√2 − r 2 (n)eiσ(n)
√2 − r 2 (n)eiφ(n)
r(n)eiρ(n)
] (4)
Где (0≤r(n)≤√2)
Для матриц (4) условия (3) выполнены
Пусть r(n)=0, тогда
A(n) =
1
A∗ (n)= [
0
θ(n), φ(n), σ(n), ρ(n).
Так как A(n)
1
0
√2 √2eiφ(n)
[
√2eiσ(n) ]
0
0
], то такие матрицы унитарны при любых вещественных
1
Если r(n)= √2, то
A(n) =
1
Для такой матрицы А(n) A∗ (n) =[
0
1 √2eiφ(n)
[
0
√2
0
]
√2ei ρ(n)
0
],
1
И значит такие матрицы унитарны при любых вещественных θ(n), φ(n), σ(n), ρ(n).
Пусть теперь 0<r(n) <√2
Тогда А(n)A∗ (n) =
2
1
(
2 (∗∗)
(∗)
) где:
2
(*) = r(n)√2 − r 2 (n)(ei(θ(n)−φ(n)) + ei(σ(n)−ρ(n)) )
(**) = r(n)√2 − r 2 (n)(ei(φ(n)−θ(n)) + ei(ρ(n)−σ(n)) )
Так как r(n)√2 − r 2 (n) ≠ 0, то должно быть
ei(θ(n)−φ(n)) = −ei(σ(n)−ρ(n)) = ei(σ(n)−ρ(n)+π)
Аргументы этих комплексных чисел могут отличаться на 2πk
σ(n) − ρ(n) = σ(n) − ρ(n) + π + 2πk
Или θ(n) + ρ(n) − φ(n) − σ(n) = (2k + 1)π
(5)
Для некоторого k=k(n)ϵN
С другой стороны если (5) выполнено, то матрицы A(n) унитарны для n=0,1, 2, …, M-1 и (5)
является необходимым и достаточным условием унитарности матриц A(n) (4),в случае 0 < 𝑟(𝑛) <
√2 , а значит это необходимое и достаточное условие для того, что бы
(û)∨ = u , u(v̂)∨ = v
были порождающими векторами вейвлет-базисов первого этапа 𝑙 2 (ℤN ).
Вывод:
Предположим, что 𝑀𝜖ℕ и Т = 2М.
М−1
1) Пусть {𝑟(𝑛)
} вещественныые числа, такие что 0 ≤ 𝑟(𝑛) ≤ √2 для всех
𝑛=0
𝑛 = 0,1, … , М − 1.
М − 1 {𝜑(𝑛)} М − 1 {𝜎(𝑛)} М − 1 {𝜌(𝑛)} М − 1
Пусть {𝜃(𝑛)}
,
,
,
𝑛=0
𝑛=0
𝑛=0
𝑛=0
вещественныые числа, такие что 𝑛 ∈ {𝑛 = 0,1, … , М − 1} и
0 < 𝑟(𝑛) < √2 , то 𝜃(𝑛) + 𝜌(𝑛) − 𝜑(𝑛) − 𝜎(𝑛) = (2𝑘 + 1)𝜋,
для некоторых
𝑘 = 𝑘(𝑛) ∈ ℤ
(Если 𝑟(𝑛) = 0 или 𝑟(𝑛) = √2 , то 𝜃(𝑛), 𝜌(𝑛), 𝜑(𝑛), 𝜎(𝑛) − любые вещественные числа)
-
Определим û, 𝑣̂ ∈ 𝑙 2 (ℤN ), положив û(𝑛) = 𝑟(𝑛)𝑒 𝑖𝜃(𝑛) ,
𝑁
2
2
û (𝑛 + ) = √2 − (𝑟(𝑛)) 𝑒 𝑖𝜑(𝑛) , 𝑣̂(𝑛) = √2 − (𝑟(𝑛)) 𝑒 𝑖𝜎(𝑛) и
2
𝑁
𝑣̂ (𝑛 + ) = 𝑟(𝑛)𝑒 𝑖𝜌(𝑛) для 𝑛 = 0,1, … , М − 1.
2
Определим 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑙 2 (ℤN ) как 𝑢 = (û)∨ 𝑢 𝑣 = (𝑣̂)∨ .
𝑀−1
2
Тогда{𝑅2𝑘 𝑣}𝑀−1
𝑘=0 ∪ {𝑅2𝑘 𝑢}𝑘=0 есть ортонормированный базис 𝑙 (ℤN ).
𝑀−1
2) Для любого вейвлет-базиса первого этапа {𝑅2𝑘 𝑣}𝑀−1
̂ и 𝑣̂ имеют
𝑘=0 ∪ {𝑅2𝑘 𝑢}𝑘=0 , векторы u
вид, определенный в п.1, при некоторый вещественных 𝑟(𝑛), 𝜃(𝑛), 𝜌(𝑛), 𝜑(𝑛), 𝜎(𝑛), 𝑛 =
0,1, … , М − 1, удовлетворяющих условиям
0 ≤ 𝑟(𝑛) ≤ √2 и 𝜃 + 𝜌 − 𝜑 − 𝜎 = (2л + 1)𝜋 для некоторого 𝑘 = 𝑘(𝑛) ∈ ℤ, для каждого
𝑛 = 0,1, … , М − 1.
Рассмотри несколько примеров
1. Базис Хаара [1] (N=8)
1 1
, , 0,0,0,0,0,0)
√2 √2
U= (
V=
1
1
, − 2 , 0,0,0,0,0,0)
√2
√
Исходя из дискретного преобразования Фурье получим:
û = (√2,
i 1−i √2−1
i
i 1+i √2+1
i
√2+1
√2−1
− 2 , 2 , 2 − 2 , 0, 2 + 2 , 2 , 2 + 2)
2
√
√
v̂ = (0,
√2 − 1 i 1 + i √2 + 1 i
√2 + 1 i 1 − i √2 − 1 i
+ ,
,
+ , √2,
− ,
,
− )
2
2 √2
2
2
2
2 √2
2
2
Легко проверить, что следующие матрицы унитарны
1 √2
A(0) =
(
√2 0
√2 + 1 i √2 − 1 i
−
+
0 ) , A(1) =
2
2
2
2
√2
√2 √2 − 1 i √2 + 1 i
+
−
2
2
2)
( 2
1
1−i 1+i
A(2) =
1
√2
√2 1 + i
( √2
√2 − 1 i
−
√2
2
2
, A(3) =
1−i
√2 √2 + 1 i
+
√2 )
2
( 2
0
1
Рассмотри, например A(1)
√2 + 1 i
−
2
2
A(1) =
√2 √2 − 1 i
+
2
( 2
1
√2 − 1 i
+
2
2
√2 + 1 i
−
2
2)
2 + 2√2 + 1 + 1
2 + √2
r(n) = √
=√
4
2
2 − √2
√2 − (r(n))2 = √
2
1
−2
1
tgθ =
=−
= −(√2 − 1)
1
1
√2 − 1
+2
√2
√2 + 1 i
+
2
2
√2 − 1 i
−
2
2)
1
−2
1
tgσ =
=
= −(√2 + 1)
1
1 √2 − 1
−
√2 2
θ = −arctg(√2 − 1) = −
σ = arctg(√2 + 1) =
π
8
3π
8
φ = σ, ρ = θ
π π 3π 3π
θ+ρ−φ−σ=− − −
−
= −π
8 8
8
8
A(1) =
1
√2
2 + √2 −iπ
√
e 8
2
2 − √2 i3π
√
e 8
2
(
2 − √2 i3π
√
e 8
2
2 + √2 −iπ
√
e 8
2
)
2. Базис Шеннона [1] (N=8)
û= (√2, √2, 0,0,0,0, √2, √2)
v̂= (0,0, √2, √2, √2, √2, 0,0)
Находя обратно дискретное преобразование Фурье, получим:
1
u = (4√2, 2 + √2 − i√2, 0, √2 − 2 + i√2, 0, √2 − 2 − i√2, 0,2 + √2 + i√2)
8
1
v = (4√2, −(2 + √2) + i√2, 0, √2 − 2 − i√2, 0, √2 − 2 + i√2, 0, −(2 + √2) − i√2)
8
Матрицы:
A(0) =
A(2) =
1 √2
(
√2 0
1
(0
√2 √2
0 ) , A(1) = 1 (√2 0 )
√2
√2 0 √2
√2) , A(3) = 1 ( 0 √2)
0
√2 √2 0
Унитарны.
3. Вещественный базис Шеннона [1] (N=8)
û= (√2, √2, i, 0,0,0, −i, √2)
v̂= (0,0,1, √2, √2, √2, 1,0)
Матрицы
A(0) =
1 √2
(
√2 0
A(2) =
1
0 ) , A(1) = 1 (√2 0 )
√2
√2 0 √2
1 0 √2
i 1
(
) , A(3) =
(
)
√2 −i 1
√2 √2 0
Унитарны.
Например,
1 i
1 −i i
1 0
A(2) A∗ (n2) = 2 (
)(
)=(
)
−i 1 1 1
0 1
u и v получим найдя обратное дискретное преобразование Фурье
u = (0.5303, 0.1768, 0.1768, 0.1768,-0.1768,-0.3232, 0.1768, 0 .6768)
v = (0.7803.-0.4268, -0.0732, 0.0732, 0.0732, 0.0732,-0.0732,-0.4268)
4. Базис Добеши [1] (N=8)
a = 1 − √10, b = 1 + √10, c = √5 + 2√10
√2
u =32 (b + c, 2a + 3b + 3c, 6a + 4b + 2c, 6a + 4b − 2c, 2a + 3b − 3c, b − c, 0,0)
√2
v = 32 (−2a − 3b − 3c, b + c, 0,0, −b + c, 2a + 3b − 3c, −6a − 4b + 2c, 6a + 4b + 2c)
Находя дискретно преобразование Фурье, получим:
u = (0.3327, 0.8069, 0.4599, -0.1350, -0.0854, 0.0352, 0, 0)
û= (1.4142, 1.0592-0.9101i,-0.2126-0.9771i, -0.2230+0.00971, -0.0000, -0.2230-0.0097i,0.2126+0.9771i, 1.0592+0.9101i)
v = (-0.8069, 0.3327, 0, 0, -0.0352, -0.0854, 0.1350, 0.4599)
v̂= (-0.0000, -0.1508+0.1645i, -0.9797+0.2126i,-1.3925-0.1055i, -1.4142, -1.3925+0.1055i, 0.9771-0.2126i, -0.1508-0.1645i)
Все соответствующие матрицы унитарны, например:
A(1) =
Можно проверить, что
1 0
А(1) A∗ (1) =(
)
0 1
1
1,0592 − 0,9101i −0.1508 + 0.1645i
(
)
√2 −0.2230 − 0.0097i −1.3925 + 0.1055i
Литература:
1. М. Фрейзер. Введение в вейвлеты в свете линейной алгебры. – М.: Бином.
Лаборатория знаний, 2008. – 487с
2. M.W. Wong. Discrete Fourier Analysis. Pseudo – Differential Operators
Theory and Applications.Vol.5, 2011.-175c
M.S.Baranova, V.V. Gladkov
CHARACTERIZATION OF THE WAVELEY BASES OF THE FIRST-STAGE IN
SPACE 𝒍𝟐 (𝐙𝐍 ).
Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alexeev
Purpose: An important objective is to construct ortonormal bases B for 𝑙 2 (ZN ) such that B is
time –localized, frequency-localized and there is a fast algorithm for the computation of (ZB )
for all z in 𝑙 2 (ZN ).To study the wavelet bases first-stage in spaces 𝑙 2 (ZN ).
Design/methodology/approach: For the description of bases, we used the methods of linear
algebra.
Findings: In this paper, we obtain a description of all possible wavelet bases of the bases
first-stage in spaces 𝑙 2 (ZN ).
Research limitation/implications: In this paper, we considered only discrete finitedimensional space.
Originality/value: Necessary and sufficient conditions for existence of wavelet bases of the
first-stage in spaces 𝑙 2 (ZN ) are proved/
Key words: linear space, wavelet bases, Discrete Fourier transform.