Обобщённые функции
Рассмотрим некоторую мотивацию для ведения обобщённых функций. В ряде
задач возникла необходимость работать с производной функции, которая имеет точку
разрыва. Например, можно рассмотреть функцию Хевисайда
u(t) = 
1, t ≥ 0
0, t < 0.
Ясно, что производная функции δ(t) := u' (t) должна быть равна нулю в каждой точке
t ≠ 0. И при этом интеграл от производной по любому интервалу [-ε, ε] хотелось бы
получить равным 1, то есть
ε
 u' (t) ⅆt = u(ε) - u(-ε) = 1.
-ε
Эту функцию называют дельта-функцией Дирака (1902- 1984, британский физик). То
есть на такую функцию наложены противоречивые требования
1
δ(t) = 0 при t ≠ 0 и  δ(t) ⅆt = 1.
-1
В физике необходимость работы с такими функциями обусловлена необходимостью
математически корректной работы с точечными массами или зарядами. Например,
пусть в точке x = 0 расположена точечная масса. Для того, чтобы описать
распределение плотности этой массы вдоль прямой также требуется описанная выше
δ-функция с указанными требованиям. Действительно, для выяснения плотности
точечной массы надо взять небольшой объём этой массы и поделить массу на этот
объём, а затем стягивать объём в точку. Но для точечной массы числитель, равный
массе, меняться не будет, а значит формально значение плотности этой точке равно
бесконечности, а вне этой точки равно нулю. При этом интеграл от плотности должен
быть равен массе, то есть равен 1.
Основная идея работы с такого типа функциями или распределениями была
предложена С.Л. Соболевым в 1930-х годах (советский математик, 1908-1989). Эта идея
заключается в использовании тестовых функций. Мы некоторым образом “применяем” к
распределениям тестовые функции и через результаты этого “применения” работаем с
распределением.
Пусть  некоторый класс тестовых функций, являющийся линейным пространством
на котором определена сходимость последовательностей элементов этого класса к
элементу из этого же класса. Множеством распределений над этим классом тестовых
функций называют множество всех линейных непрерывных функционалов
f :  → ℂ. Для функционала f ∈ ' его значение на элементе φ ∈  будем обозначать
( f , φ) или
f : φ → ( f , φ),
Линейность функционала значит, что
φ ∈ .
2
Test_Print.nb
( f , a φ + b ψ) = a ( f , φ) + b( f , ψ), ∀ φ, ψ ∈ , ∀ a, b ∈ ℂ.
А непрерывность значит, что для любой последовательности функций φk ∈ , которая
сходится к функции φ ∈ , то есть φk → φ при k → +∞, следует, что
( f , φk) → ( f , φ) при k → +∞.
Две обобщённые функции f и g из ' равны, если они совпадают на классе тестовых
функций, то есть
f = g , если ( f , φ) = (g, φ), ∀ φ ∈ .
Множество распределений ' само является линейным пространством, где операции
сложения и умножения на число вводятся следующим образом: для f и g из ' их
суммой является функционал f + g, действующий по правилу
( f + g, φ) := ( f , φ) + (g, φ),
∀ φ ∈ ;
а умножение f на число α ∈ ℂ — это функционал α f , действующий по правилу
(α f , φ) := α ( f , φ),
∀ φ ∈ .
В линейном пространстве ' можно ввести сходимость, называемую сходимостью в
слабом смысле. Будем говорить, что последовательность fn ∈ ' сходится к f ∈ ', если
( fn, φ) → ( f , φ) при n → +∞ ∀ φ ∈ .
Например, рассмотрим множество непрерывных функций C0 (), которые на
бесконечности убывают к нулю. Сходимость на нём задаётся равномерной нормой.
Рассмотрим множество распределений на этом множестве.
Например, рассмотрим в качестве пространства тестовых функций пространство
то есть пространство бесконечно-дифференцируемых функций с компактным
носителем. На этом множестве можно ввести следующее понятие сходимости:
последовательность функций φn ∈ C0∞ () сходится к φ ∈ C0∞ (), если для каждого k ∈ ℕ
C0∞ (),
(k) равномерно на .
φ(k)
n ⇒φ
Можно также ввести и метрику (хотя норму ввести не удастся). Это пространство
тестовых функций обычно обозначают ().
Множество распределений, заданных на пространстве тестовых функций (),
обозначают ' (). Также ' () называют пространством обобщённых функций. Среди
распределений можно выделить два класса функционалов. Некоторые обычные
функции естественным образом порождают функционалы. А именно, локально
интегрируемой функции f ∈ Lloc
1 () можно сопоставить функционал
 f (t) φ(t) ⅆt = : ( f , φ) .

Сам функционал при этом обозначают также как и функцию. Такие функционалы
называют регулярными. Все прочие функционалы называют сингулярными. Таким
функционалом является и δ-функция. Формально, δ-функция определяется как
функционал по правилу
Test_Print.nb
(δ, φ) = φ(0),
то есть на каждой тестовой функции этот функционал даёт значение этой тестовой
функции в нуле.
Далее, для обобщённых функций можно ввести понятие производной. Пусть
f ∈ '. Тогда её производной называют обобщённую функцию f ' ∈ , действие
которой на тестовых функциях задано в виде
( f ', φ) := -( f , φ').
При этом f ' называют производной в слабом смысле для f . Мотивацией такого
определения является формула интегрирования по частям для регулярных гладких
функций. Действительно, для непрерывно-дифференцируемой функции f :  → 
верно, что
+∞
( f ', φ) =  f ' (t) φ(t) ⅆt = f (t) φ(t)
-  f (t) φ' (t) ⅆt = -  f (t) φ' (t) ⅆt .
t=-∞



В частности, если f = u, где u является функцией Хевисайда, то u' = δ. Действительно,
+∞
(u', φ) = -(u, φ') = -  φ' (t) ⅆt = φ(0) = (δ, φ) ∀ φ ∈ .
0
Более того, δ-функция (и вообще любая обобщённая функция) дифференцируема
сколько угодно раз. Например,
(δ', φ) = -(δ, φ') = -φ' (0),
δ(k), φ = (-1)k φ(k)(0).
Хотя не имеет смысл говорить о конкретных значениях обобщённых функций в той
или иной точке, тем не менее, при работе с такими функциями также запись,
аналогичную работе с регулярными функциями. Это удобно в том смысле, что на
множестве ' () можно ввести операторы сдвига, сжатия и другие и использовать при
этом не операторную запись, а ту же, что используется и для обычных функций.
Например, оператор сдвига на y, y ∈ , для обобщённых функций является оператором
Ty : ' () → ' () переводящим обобщённую функцию f ∈ ' () в обобщённую
функцию Ty f ∈ ' (), которая определяется следующим образом
(Ty f , φ) = ( f , φ( · + y)) , ∀ φ ∈ ().
Используя обычное обозначение для сдвига, сдвиг обобщённой функции f ∈ ' ()
будем обозначать f ( · -y), при этом
( f ( · - y), φ) = ( f , φ( · + y)) , ∀ φ ∈ (), y ∈ .
В случае, когда f является регулярной обобщённой функцией, это определение
согласуется с обычной заменой переменной в интеграле
( f ( · - y), φ) =  f (t - y) φ(t) ⅆt =  f (t) φ(t + y) ⅆt = ( f , φ( · + y)).


3
4
Test_Print.nb
Этот принцип согласования работает и при определении любых других действий с
обобщёнными функциями. Введём также оператор сжатия/растяжения для обобщённых
функций. Пусть a ∈ , a ≠ 0, тогда
( f (a ·), φ) = f ,
1
·
φ  .
a
a
Можно также в качестве пространства тестовых функций рассмотреть класс
Шварца. Это линейное пространство. Можно также ввести и метрику (хотя норму
ввести не удастся), однако, введём соответствующее понимание сходимости. Будем
говорить, что последовательность функций φk ∈ () сходится к функции φ ∈ (), то
есть φk → φ при k → +∞, если
∀ α, β ∈ ℕ ⋃ {0} :
(β)
sup xα φ(β)
k (x) - φ (x)  → 0 при k → +∞.
x∈
Множество распределений ' () , заданных на пространстве тестовых функций
() называют множеством обобщённых функций медленного роста. Этот класс
полезен тем, что на нём можно ввести преобразование Фурье.
Преобразование Фурье обобщённой функции f ∈ ' () определяется следующим


образом:  f , φ :=  f , φ, ∀ φ ∈ (). Известно, что множество обобщённых функций
медленного роста ' () также инвариантно относительно преобразования Фурье, как и
класс Шварца. Например, вычислим преобразование Фурье для δ-функции:

δ, φ = (δ, φ) = φ(0) =  φ(t) · 1 ⅆt = (1, φ), ∀ φ ∈ ().

То есть преобразование Фурье δ-функции является регулярной обобщённой функцией,

соответствующей функции тождественно равной единице, то есть δ ≡ 1, где равенство
понимается в смысле обобщённых функций. Это равенство работает и в обратную
сторону, то есть преобразование Фурье от функции равной тождественно единице
является δ-функцией:

1, φ = (1, φ) =  φ(ξ) · 1 ⅆξ = φ(0) = (δ, φ).

Отметим, что ряд свойств преобразования Фурье для функций из L2 () также
справедлив и для обобщённых функций медленного роста, в частности:
преобразование Фурье сдвинутой δ-функции является имеет вид
ℱ (δ( · -r)) (ω) = ⅇ-2 π ⅈ r ω, r ∈ .

Проверить это свойство можно аналогично проверке соотношения δ ≡ 1, а именно
( ℱ (δ( · -r)), φ) = (δ( · -r), φ) = φ(r) =  φ(t) · ⅇ-2 π ⅈ r t ⅆt = ⅇ-2 π ⅈ r (·) , φ,

∀ φ ∈ ().
Двойственным к этому свойству является следующее
Test_Print.nb
ℱ ⅇ-2 π ⅈ r (·)  = δ( · +r), r ∈ .
Действительно,
 ℱ ⅇ-2 π ⅈ r (·) , φ =
 ⅇ-2 π ⅈ r (·) , φ =  φ(ω) · ⅇ-2 π ⅈ r ω ⅆω = φ(-r) = (δ, φ( · -r)) = (δ( · +r), φ).

Отсюда, можно найти преобразование Фурье синусоид, как регулярных обобщённых
функций:
1 ⅈφ
1
ⅇ δ(ω - a) + ⅇ-ⅈ φ δ(ω + a),
2
2
1 ⅈφ
1 -ⅈ φ
ⅇ δ(ω - a) ⅇ δ(ω + a) .
ℱ sin(2 π a ( · ) + φ)  (ω) =
2ⅈ
2ⅈ
ℱ cos(2 π a ( · ) + φ)  (ω) =
5