Лекция 1
Вопросы:
1. Определители.
2. Матрицы.
3. Системы линейных уравнений.
1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Основной учебный материал
1.1 Определители
Определителем
n-го порядка называется
представленное в виде квадратной таблицы
a11
a12
a
det =  = 21
...
a 22
a n1
an2
...
... a1n
... a 2n
...
...
.
число,
(1.1)
... a nn
Элемент определителя − это число
aij , расположенное
на пересечении i-ой строки и j-го столбца.
Строки и столбцы также называют рядами определителя.
Главную диагональ образует совокупность элементов,
расположенных на отрезке, соединяющем левый верхний угол
с правым нижним, побочную диагональ − на отрезке,
соединяющем правый верхний угол с левым нижним.
Минор М ij элемента а ij – это определитель, полученный
из заданного определителя  вычеркиванием i-ой строки и j-го
столбца, на пересечении которых расположен элемент.
Алгебраическое дополнение Аij элемента аij – минор М ij,
взятый со своим знаком
Aij = (–1)i+j M ij.
(1.2)
Определитель первого порядка равен своему элементу
1 = a11 = a11 .
(1.3)
Определитель второго порядка вычисляют по формуле
2 =
a11
a12
a21 a22
= a11a22 − a21a12 .
(1.4)
Определитель третьего порядка вычисляют:
по правилу Саррюса, (правило «треугольников», рисунок 1.1)
a11
a12
a13
a21 a22
a23 =
a31
a33
a32
a11a22 a33 + a21a32 a13 + a12 a23a31 −
− (a13a22 a31 + a11a23a32 + a12 a21a33 ).
разложением по элементам строки или столбца
n
n
 =  aik Aik =  akj Akj .
k =1
k =1
«+»
«−»
Рисунок 1.1
(1.5)
(1.6)
Пример 1.1
Вычислить определитель
=
9 −3
5 −2
.
Решение
 = −9  2 − (− 3  5) = −18 + 15 = −3 .
Пример 1.2
2 −3 6
Вычислить определитель
= 1
0
4.
1 −7 5
Решение
Вычисляем по правилу Саррюса
 = 2  0  5 + (−3)  4  1 + 1(−7)  6 −
= 6  0  1 + (−3)  5  1 + 2(−7)  4 = 17 .
Вычисляем разложением по элементам 2-го столбца. Так как
один из элементов равен нулю, объем решения уменьшиться.
2 −3 6
= 1
0
4 = −3  (−1)1+ 2
1 −7 5
+ (−7)  (−1) 3 + 2
2 6
1 4
1 4
1 5
+ 0  (−1) 2 + 2
2 6
1 5
+
= 3  (5 − 4) + 0 + 7  (8 − 6) = 17 .
Дополнительный учебный материал
Свойства определителей:
1. Величина определителя не меняется при замене строк
столбцами (или столбцов строками) .
2. При перестановке местами двух рядов определитель меняет
знак на противоположный.
3.
Определитель
с
двумя
одинаковыми
или
пропорциональными рядами равен нулю.
4. Определитель, один из рядов которого состоит из нулей,
равен нулю.
5. Общий множитель какого-либо ряда можно выносить за
знак определителя.
6. Величина определителя не изменится, если к какому-либо
его столбцу (строке) прибавить соответствующие элементы
другого столбца (строки), умноженные на число не равное
нулю.
1.2 Матрицы
Основной учебный материал
Матрицей А размера (m n) называется совокупность
mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы,
состоящей из m строк и n столбцов (i = 1,2…m; j = 1,2… n)
 a11 a12

Аm×n = (а ij)=  a21 a22
 ...
...

 am1 am 2
( )
a1n 

... a2n  .
... ... 

... amn 
...
(1.7)
( ) одинаковой
Сумма двух матриц A = aij и B = bij
( )
размерности − матрица C = cij той же размерности, каждый
элемент которой равен сумме соответствующих элементов
матриц А и В
cij = aij + bij .
(1. 8)
Произведением матрицы А на действительное число λ
называется матрица той же размерности, полученная из А
умножением всех ее элементов на число λ.
Пример 1.3
Найти матрицу 3А – 2В, если
3 5 


A =  4 − 1,
7 0 


6 3 


B =  1 − 2 .
2 0 


Решение
 9 15 
12 6 


3 A = 12 − 3 , 2 B =  2 − 4 ,
 21 0 
4 0 




 − 3 9


3 A − 2 B =  10 1 .
 17 0 


Произведением матрицы А размера (mn) на матрицу
В размера (np) называется матрица С размера (mp), каждый
элемент которой сij равен сумме парных произведений
элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В
n
C = A  B , сij =  ais  bsj .
(1.9)
s =1
Произведение матриц АВ существует (определено), если
число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Пример 1.4
Найти произведения матриц
 3 
1 4 2
 
A = 
, B =  0 .
5 − 3 0
− 7
 
Решение
Найдем произведение , выяснив его определенность
А(2×3) · В(3×1) = С(2×1).
 3 
1
4
2

    3 + 0 − 14   − 11
С = 
   0  = 
 = 
.
5
−
3
0
15
−
0
−
0
15

   
 

− 7
Результат BA = Ø, так как число столбцов матрицы В
не равно числу строк матрицы А.
Невырожденной (неособенной, обратимой) называется
квадратная матрица А, если  A  0 .
Любая невырожденная матрица имеет обратную.
−1
Квадратная матрица A
называется обратной для
квадратной матрицы А, если
A−1 A = AA−1 = E .
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
1. Вычислить  A .
2. Вычислить алгебраические дополнения Аij и составить
матрицу алгебраических дополнений A*, заменив каждый а ij
на его Аij.
3. Транспонировать A* и составить присоединенную
(союзную) матрицу A* Т.
4. Составить A−1 = 1 A* T .
A
 −1
5. Проверить правильность вычислений  A A = E .
 −1
 AA = E .
Пример 1.5
Найти матрицу обратную данной
2 
3 1


A =  1 −1 −1.
 − 1 2 − 3


Решение
Определяем, что обратная матрица существует
3
1
A = 1
2
− 1 − 1 = 21  0 .
−1
−3
2
Вычисляем алгебраические дополнения
A11 =
−1 −1
A12 = −
A13 =
−3
2
1
= 5,
−1
−1 − 3
1
−1
−1
2
A21 = −
= 4 , A22 =
= 1, A23 = −
1
2
2 −3
3
= 7,
2
−1 − 3
3
1
−1 2
A31 =
1
−1 −1
= −7 , A32 = −
= −7 , A33 =
Составляем: матрицу алгебраических
присоединенную матрицу
2
3
3
2
1 −1
1
1 −1
= 1,
= 5,
= −4 .
дополнений
и
1 
1 
5 7
5 4




Т
A =  7 − 7 − 7  , A =  4 − 7 5  .
1 − 7 − 4
1 5 − 4




Записываем обратную матрицу
1 
5 7


1
A−1 =  4 − 7 5  .
21 

1 − 7 − 4
Дополнительный учебный материа
Основные виды матриц:
1. Квадратная – с одинаковым числом строк и столбцов.
2. Диагональная – квадратная матрица, у которой отличны от
нуля лишь элементы главной диагонали.
3. Треугольная − квадратная матрица, все элементы которой,
стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.
4. Нулевая – матрица, все элементы которой равны нулю.
5. Единичная (обозначают Е) – диагональная матрица, у
которой все элементы главной диагонали равны единице
6. Матрица-строка – матрица размером (1× n).
7. Матрица-столбец – матрица размера (m × 1).
8. Симметрическая − квадратная матрица, у которой элементы
симметричны относительно главной диагонали.
9. Каноническая − у которой в начале главной диагонали
стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы
равны нулю.
10. Ступенчатая (трапециевидная) − у которой элементы ниже
главной диагонали (в том числе и все элементы k последних
строк) равны нулю.
Для возведения матриц в степень применяют правило
умножения. Пусть А – квадратная матрица, тогда
An = 
A 
A
 ...
A.
n
Многочленом от квадратной матрицы
выражение
A называется
P( A) =  0 Ak + 1 Ak −1 + ... +  k E ,
которое получают при подстановке матрицы вместо
переменной в полином степени k .
Транспонирование
–
операция
преобразования
матрицы А, размера ( m  n ), в матрицу АТ размера ( n  m )
в результате замены строк столбцами при сохранении их
нумерации
А = (а ij)  AT = (a ji), i = 1…m, j = 1…n.
След trA квадратной матрицы A равен сумме
элементов, расположенных на главной диагона
k
trA =  aij .
i = j =1
В матрице Amn , вычеркивая строки и столбцы,
k , определители
которых являются минорами k -го порядка M k .
Окаймляющим называется минор M
порядка
(k + 1), который содержит в себе минор порядка k .
выделяют квадратные подматрицы порядка
Минор называется базисным (а его строки и столбцы
базисными), если  k  0 , а все остальные миноры порядка
(k + 1) равны нулю или не существуют.
Рангом матрицы r ( A ) называется наивысший порядок
ее базисного минора.
Алгоритм вычисления ранга матрицы методом
окаймляющих миноров:
1. Выбирают минор первого порядка или сразу минор второго
порядка, отличный от нуля.
2. Если уже найден отличный от нуля минор порядка k , то
вычисляют окаймляющие миноры порядка
(k + 1). Если все
они равны нулю, то ранг матрицы равен k . Если хотя бы
один из окаймляющих миноров не равен нулю, продолжают
вычисление миноров.
Две матрицы А и В называются эквивалентными (А ~ В),
( )
( )
а их ранги равны r A = r B , если одна получается из
другой при помощи конечного числа элементарных
преобразований.
Элементарные преобразования матриц:
1. Перестановка строк (столбцов).
2. Умножение какой либо строки или столбца на число λ ≠ 0.
3.
Прибавление
к
какой-либо
строке
(столбцу)
соответствующих элементов другой строки (столбца),
умноженных на число λ ≠ 0.
4. Вычеркивание нулевой строки (столбца).
5. Транспонирование.
Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее
главной диагонали; ранг ступенчатой матрицы равен числу
строк, в каждой из которых хотя бы один элемент не равен
нулю.
Пример
1 2 3 4


Вычислить ранг матрицы A = 5 6 7 8 .


9 8 7 6


Решение
Вычисляем ранг методом окаймляющих
Элемент а 12 = 2 не равен нулю. Поэтому r ( A)  1 .
Так как минор M =
12
2 4
6 8
миноров.
= −8  0, то r ( A)  2 .
Все окаймляющие миноры третьего порядка равны
нулю, например
1 2 3
2 3 4
5 6 7 = 0,
6 7 8 = 0,
9 8 7
8 7 6
поэтому r ( A) = 2 .
Ранг матрицы также определяют по линейной
зависимости строк (столбцов) матрицы.
Матрица A произвольного размера может быть
записана в виде
 e1 
 ,
e 
A= 2 
...
 
 em 
где ei – матрицы-строки размером (1  n ) .
Линейной комбинацией строк называется строка
e = 1e1 +  2e2 + ... +  mem ,
где
m
– действительные числа.
Строки называются линейно зависимыми, если
равенство 1e1 +  2e2 + ... +  m em = 0 выполняется для
m
одновременно не равных нулю, и линейно независимыми,
если только при всех 1 =  2 = ... =  m = 0 .
Каждая строка матрицы может быть представлена в виде
линейной комбинации независимых строк матрицы.
Ранг матрицы равен максимальному числу линейно
независимых в ней строк (столбцов).
Корни λi характеристического уравнения квадратной
матрицы А
A − E = 0
называются характеристическими числами (собственными
значениями) матрицы А.
Пример
2 − 2
.
1 3 
Найти собственные значения матрицы A = 

Решение
Составляем характеристическое уравнение
2− −2
−1 3 − 
2
= 0 или  − 5 + 4 = 0 ,
откуда получаем
1 = 1 .

 2 = 4
1.3 Системы линейных уравнений
Основной учебный материал
Система m линейных уравнений с n неизвестными хn
имеет вид
a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a x + a x + ... + a x = b
 21 1 22 2
2n n
2

.......... .......... .......... .......... .........
am1x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm ,
(1.10)
где а ij – коэффициенты при неизвестных (i , j = 1, 2 … n);
b i – свободные слагаемые.
Решением системы уравнений называется совокупность
чисел с1,с2 … сn, подстановка которой вместо переменных
х1,х2… хn, превращает все уравнения системы в равенства.
Система
уравнений
называется
совместной
(разрешимой), если она имеет хотя бы одно решение и
несовместной, если она не имеет решений.
Совместная система называется определенной, если
имеет единственное решение, и неопределенной – если
множество решений.
Системе сопоставляют две матрицы:
основную и расширенную
 a11
 a11 a12 ...a1n 



и
 a21
a

a22 ...a2 n
A
=
21
p

 ...
A=
 .......... .......... .....



 am1
a

 m1 am 2 ...amn 
a12
a22
...
am 2
... a1n b1 

... a2n b2  .
... ... ... 

... amn bm 
Теорема Кронекера – Капелли (критерий совместности
системы): система линейных уравнений совместна тогда и
только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен
рангу расширенной матрицы.
1.3.1 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Две системы линейных уравнений называются
эквивалентными (равносильными), когда каждое решение
первой системы является решением второй, и наоборот.
Элементарные преобразования переводят данную систему в
эквивалентную.
Элементарные преобразования системы:
1. Перестановка любых двух уравнений.
2. Умножение обеих частей одного из уравнений на любое
отличное от нуля число.
3. Прибавление к обеим частям одного уравнения
соответствующих частей другого, умноженных на любое
число.
Метод Гаусса состоит в том, что при помощи
элементарных
преобразований
систему
приводят
к
ступенчатому виду
a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
.......... ..c x + ... + c x = l

22 2
2n n
2

.......... .......... .......... .......... ........
.......... .ckk xk + ... + ckn xn = lk ,
где k ≤ n, a ii ≠ 0, i = 1, 2 … k.
В результате получают совместную (эквивалентную
данной) или несовместную ступенчатую систему (в одном из
уравнений которой свободное слагаемое отлично от нуля, а
все коэффициенты левой части равны нулю).
Треугольной называется система, если k = n. В этом
случае она будет определенной.
Если k < n, то k неизвестных х1,х2 … хk называемых
главными (базисными), могут быть выражены через (n–k)
остальных неизвестных, называемых свободными. В этом
случае система будет неопределенной.
К ступенчатому виду удобнее приводить расширенную
матрицу системы, преобразуя ее строки.
1.3.2 Метод Крамера
Основная матрица А системы n линейных уравнений с n
неизвестными является квадратной. Определитель этой
матрицы называется определителем системы.
Вспомогательным называется Δj, полученный заменой
j-го столбца столбцом В из свободных слагаемых.
Теорема (правило Крамера): если дана система
уравнений, определитель которой отличен от нуля, то эта
система совместна и имеет единственное решение, которое
находят по формулам
xj =
j

, j = 1, 2 … n.
(1.11)
1.3.3 Метод обратной матрицы
Система может быть записана в матричной форме
АХ = В,
(1.12)
где А – основная матрица системы,
Х, В – матрицы-столбцы из неизвестных и свободных
слагаемых.
Если матрица А невырожденная, то решение системы
линейных уравнений по формуле
(1.13)
X = A−1B .
называют матричным способом решения системы.
Пример 1.8
5 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1850
Решаем систему 2 x + 3 x + 6 x = 2400.
 1
2
3
3 x + 4 x + 7 x = 2950
 1
2
3
По формулам Крамера
5 2 3
1850
2 3
 = 2 3 6 = −10 ,  x1 = 2400 3 6 = −1500 ,
3 4 7
2950 4 7
5 1850
3
 x2 = 2 2400 6 = −1000 ,
3 2950 7
5 2 1850
 x3 = 2 3 2400 = −3000 .
3 4 2950
Вычисляем значения переменных:
x1 =
1500
1000
3000
= 150, x2 =
= 100, x3 =
= 300.
10
10
10
Решаем методом обратной матрицы.
Так как  A = −10  0, то обратная матрица существует
и равна
3 
− 3 − 2


1
A−1 = −  4
26 − 24 .
10 

 − 1 − 14 11 
 1850 
Кроме того B =  2400 .


 2950 


Получаем
3  1850 
− 3 − 2
 − 1500   150 


 

1
1
X =−  4
26 − 24  2400  = −  − 1000  =  100 
10 
10 
 2950 
 

−
1
−
14
11



 − 3000   300 
Решаем систему методом Гаусса
 5 2 3 1850 (−2)


 2 3 6 2400  5
 3 4 7 2950 


 (−3)
+
~
 5 2 3 1850 
 5 2 3 1850 




+
~
 0 11 24 8300   (−14)
 0 11 24 8300  
 0 14 26 9200  11
 0 0 50 15000




Из третьей строки находим х3 = 300, из второй – х2 =
100, из первой – х1 = 150.
Дополнительный учебный материал
1.3.4 Решения однородных систем линейных уравнений
Однородной называется система линейных уравнений
вида
a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0
a x + a x + ... + a x = 0
 21 1 22 2
2n n

.......... .......... .......... .......... .......
am1x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0.
или в матричной форме
AX = O ,
где O − нулевая матрица-столбец размером ( m  1) .
Если выполнены условия n = m и   0 , то по
теореме
Крамера
получают
единственное нулевое
(тривиальное) решение x1 = x2 = ... = xn = 0 .
Ненулевые решения возможны для случаев: 1) n  m ;
2) n = m при  = 0 .
Решение однородной системы х1 = k1, x2 = k2 … ... xn = kn
обозначают в виде строки e1 = k1 , k2 ...kn .
(
)
Система линейно независимых решений е1 … еk
называется фундаментальной (ФСР), если каждое решение
является линейной комбинацией решений е1… еk.
Общее решение однородной системы m линейных
уравнений с n переменными
c1e1 + c2e2 + ... + ck ek ,
где e1 , e2 ,...ek – любая фундаментальная система решений,
c1 ,c2 ...ck – произвольные числа, (k = n – r).
Алгоритм получения ФСР:
1. Определяют r основных (базисных) переменных,
определитель из коэффициентов которых (базисный минор)
r  0.
2. Базисные переменные выражают через свободные
(неосновные). Находят множество решений любым из
методов.
3. Поочередно заменяют n − r неосновных переменных
элементами строк единичной матрицы соответствующего
порядка, получая совокупность решений, которая является
фундаментальной.
Пример
Найти решения системы однородных уравнений
(
)
3 x1 + 4 x2 − x3 = 0

 x1 − 3 x2 + 5 x3 = 0
 4 x + x + 4 x = 0.
 1 2
3
Решение
В заданной системе
определитель
3
4
3 = 1 − 3
4
1
m = n = 3 . Вычисляем главный
−1
5 = 0.
4
Вычисляем
определитель,
составленный
из
коэффициентов перед переменными x1 и
 x1 x2 =
3
4
1 −3
x2
= −13  0  r = 2 .
r  n , система имеет множество решений.
В качестве базисных принимаем переменные x1 и x 2 .
Так как
Число свободных переменных k = 3 − 2 = 1. Поэтому х3
– свободная переменная.
Составляем систему из первых двух уравнений, выразив
x1 и x2 через х3
3x1 + 4 x2 = x3

 x1 − 3x2 = −5 x3 .
Решаем полученную систему (например, по формулам
Крамера)
x1 = −
16 x3 .
17 x3 ,
x2 =
13
13
Записываем множество решений, обозначив
x3 = c
 17 16

− c , c ,c | c  R  .
 13 13

Так как свободная переменная одна, то для получения
фундаментальной системы принимаем с = 1 .
Тогда фундаментальную систему образует строка
 17 16 
e1 =  − ; ;1 .
 13 13 
Если строку e1 умножить на 13, то фундаментальная
система будет иметь вид e1 = (− 17;16;13) .
1.3.5 Неоднородные неопределенные системы
Если для неоднородной системы линейных уравнений
выполняется условие теоремы Кронекера-Капелли, но при
этом r  n , то данная система имеет бесконечное множество
решений.
Общее решение неоднородной системы m линейных
уравнений с n переменными равно сумме общего решения
соответствующей ей системы однородных уравнений и
произвольного частного решения неоднородной системы
x = x0 + c1x1 + c2 x2 + ... + cn xn .
Пример
Решить систему линейных уравнений
 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 7

 x2 + x3 + x4 = 3
 x + x = 4.
 1 2
Решение
Составляем расширенную матрицу системы
выполняем элементарные преобразования строк
и
1 2 1 1 7 1 2 1 1 7 

 

Aр =  0 1 1 1 3  ~  0 1 1 1 3  ~
 1 1 0 0 4   0 − 1 − 1 − 1 − 3

 

1 2 1 1 7


~ 0 1 1 1 3 .
0 0 0 0 0


( )
Таким образом, r ( A) = r Aр = 2  n = 4 . Поэтому
система совместна и имеет множество решений.
Число базисных переменных равно двум, а свободных
k = 4 − 2 = 2.
Так как
 x1 x2 =
1 2
0 1
=1 0,
то в качестве базисных принимаем переменные x1 и
Тогда свободными будут x3 и x 4 .
x2 .
Эквивалентной матрице соответствует система
 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 7
 x1 = 1 + x3 + x4



 x2 + x3 + x4 = 3
 x2 = 3 − x3 − x4 .
Обозначив свободные переменные
x3 = c1 и x4 = c2 ,
записываем общее решение неоднородной системы
x1 = 1 + c1 + c2 , x2 = 3 − c1 − c2 , x3 = c1 , x4 = c2 .
Найдем
фундаментальную
систему
решений
соответствующей однородной системы. Для этого сначала в
эквивалентной системе свободные постоянные заменяем
нулями
 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 0
 x1 = x3 + x4


 x2 + x3 + x4 = 0
 x2 = − x3 − x4 .
Потом поочередно заменяем свободные переменные
строками единичной матрицы E =  1 0  .
0 1


При x3
= 1 и x4 = 0 вычисляем x1 = 1 и x2 = −1 .
При x3 = 0 и x4 = 1 вычисляем x1 = 1 и x2 = −1 .
Тогда фундаментальную систему образуют строки
e1 = (1;−1;1;0 ) и e2 = (1;−1;0;1) .
Находим произвольное частное решение неоднородной
системы (например, при с1 = 0 и с2 = 0 ) x0 = (1;3;0;0) .
Окончательно записываем
неоднородной системы
общее
решение
данной
 1 + с1 + с2   1 
1
1

  
 
 
3
−
с
−
с
3
−
1

 
 − 1
1
2  
=
+
с
+
с

  0  1 1  2  0 
с1

  
 
 
с
0
0
 
1

  
2
или x = x0 + c1e2 + c2e2 .
Список рекомендуемой учебной литературы
Основная учебная литература
1. Морозова Л.Е. Линейная алгебра. Часть 2 [Электронный
ресурс]: учебное пособие/ Л.Е. Морозова, О.Р. Полякова −
Электрон. текстовые данные. − СПб.: Санкт-Петербургский
государственный архитектурно-строи-тельный университет,
ЭБС АСВ, 2014. − 108 c. − Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/30007.html. − ЭБС «IPRbooks»
2. Попов Л.Д. Линейная алгебра для экономистов
[Электронный ресурс]: учебное пособие/ Л.Д. Попов, М.М.
Фоминых − Электрон. текстовые данные. − Екатеринбург:
Уральский федеральный университет, 2013. − 112 c. − Режим
доступа:
http://www.iprbookshop.ru/68344.html.
−
ЭБС
«IPRbooks»
3. Элементы линейной алгебры: Учебное пособие / Гулай
Т.А., Долгополова А.Ф., Жукова В.А. – Ставрополь:
Сервисшкола, 2017. – 88 с.: ISBN – Режим доступа:
http://znanium.com/catalog/product/976992 – ЭБС «Znanium»
Дополнительная учебная литература
4. Математика. Часть 1 [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ В.Е. Бегларян [и др.]. − Электрон. текстовые данные.
− М.: Российский государственный университет правосудия,
2015. − 184 c. − Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/45226.html. − ЭБС «IPRbooks»
5. Михалев А.А. Алгебра матриц и линейные пространства
[Электронный ресурс]/ А.А. Михалев, А.В. Михалев −
Электрон. текстовые данные. − М.: Интернет-Университет
Информационных Технологий (ИНТУИТ), 2016. − 145 c. −
Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/52180.html. − ЭБС
«IPRbooks»
6. Морозова Л.Е. Векторная алгебра [Электронный ресурс]:
учебное пособие/ Л.Е. Морозова, В.Б. Смирнова— Электрон.
текстовые
данные.
−
СПб.:
Санкт-Петербургский
государственный архитектурно-строительный университет,
ЭБС АСВ, 2014. − 120 c. − Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/26870.html. − ЭБС «IPRbooks»
7. Практикум по аналитической геометрии [Электронный
ресурс]: учебное пособие/ О.Н. Казакова [и др.]. − Электрон.
текстовые
данные.
−
Оренбург:
Оренбургский
государственный университет, ЭБС АСВ, 2016. − 117 c. −
Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/61392.html. − ЭБС
«IPRbooks»
8. Учебное пособие. Линейная алгебра и аналитическая
геометрия: экономический бакалавриат. [Электронный
ресурс]. Смоленцев В.М., Ариничева И.В. / [Портал КубГАУ,
ЭУМ],
2017.
Режим
доступа:
https://edu.kubsau.ru/file.php/111/LAiAG_Smolencev_Arinichev_
2016.pdf
9. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах.
Том 1 [Электронный ресурс]: учебное пособие для вузов/ В.Д.
Черненко − Электрон. текстовые данные. − СПб.:
Политехника, 2016. − 713 c. − Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/59550.html. − ЭБС «IPRbooks»
Методические указания для обучающихся
по освоению дисциплины
10. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебнометодическое пособие по выполнению аудиторной и
самостоятельной работы обучающихся по направлениям
09.03.02 Информационные системы и технологии b 09.03.03
Прикладная информатика / И. А. Петунина. − Краснодар:
КубГАУ, 2020. − 65 с. [Электронный ресурс, сайт кафедры
высшей математики КубГАУ].
https://kubsau.ru/upload/iblock/28e/28e83189b850a5aa8a6944191
f1e6328.pdf Вход по паролю qwerty12345
11. Линейная алгебра и аналитическая геометрия:
методические указания по организации самостоятельной
работы
обучающихся
по
направлениям
09.03.02
Информационные системы и технологии и 09.03.03
Прикладная информатика / сост.
И. А.
Петунина. −
Краснодар: КубГАУ, 2020. − 36 с. [Электронный ресурс, сайт
кафедры высшей математики КубГАУ].
https://kubsau.ru/upload/iblock/6b5/6b581584fef85e2e91a35ae877
596c82.pdf Вход по паролю qwerty12345
12. Линейная алгебра : сб. тестов [Электронный ресурс]: /
Л. Н. Кондратенко, И. А. Петунина. – Краснодар : КубГАУ,
2018 [Портал ЭУМ КубГАУ]
https://edu.kubsau.ru/file.php/111/Lineinaja_algebra_366312_v1_.
pdf
13. Петунина И.А. Линейная алгебра: учебное пособие и
индивидуальные задания для студентов очной и заочной форм
обучения / И.А. Петунина, Л.Н. Кондратенко [Электронный
ресурс, сайт кафедры высшей математики КубГАУ].
https://kubsau.ru/upload/iblock/851/851064585614e3f39df476542
b5adf28.pdf