Матрицы Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца и поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которые представляют собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века Габриель Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-м столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими. Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами. Для матрицы определены следующие алгебраический операции: сложение матриц, имеющих один и тот же размер; умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую строк); в том числе умножение матрицы на вектор-столбец и умножение вектор-строки на матрицу (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы); умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр). Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения. Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в nмерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно — каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам. То же можно сказать о представлении матрицами билинейных (квадратичных) форм. В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например: единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т.п. матрицы Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью. Матрицы естественным образом возникают при решении систем линейных уравнений, а также при рассмотрении линейных преобразований. Система линейных уравнений вида: Эта система состоит из линейных уравнений относительно неизвестных. Она может быть записана в виде следующего матричного уравнения: Ax=b, где: Матрица A — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец x — вектор неизвестных, а вектор-столбец b — некоторый заданный вектор. Для того чтобы система имела решение (хотя бы одно), необходимо и достаточно, чтобы вектор b был линейной комбинацией столбцов A, и тогда вектор x — это вектор, содержащий коэффициенты разложения вектора b по столбцам матрицы A. На языке матриц условие разрешимости системы линейных уравнений формулируется в виде теоремы Кронекера-Капелли. Важный частный случай. Если количество уравнений совпадает с количеством неизвестных (m=n, то есть матрица A — квадратная), то условие однозначной разрешимости является равносильным условию обратимости матрицы A. Замечание: разрешимость системы ещё не влечёт не вырожденности матрицы. Пример: 0х=0 В частности, если матрица А является обратимой, то решение системы может быть записано (а если вычислена А−1 , то и найдено) в виде х = А−1 b. Это приводит к алгоритму вычисления значений неизвестных по правилу Крамера. Рассмотрим линейное преобразование , действующее из nмерного векторного пространства в m-мерное векторное пространство , имеющее следующий вид В матричной форме это преобразование уравнения вида: y=Ax Матрица A — это матрица коэффициентов линейного преобразования. Если рассмотреть действие линейного преобразования на векторы вида составляющие базис пространства матрицы A. , то — это есть j-ый столбец Таким образом, матрица A полностью описывает линейное преобразование , и поэтому называется матрицей линейного преобразования. Прямоугольная матрица Пусть есть два конечных множества: номера строк: номера столбцов: ; , где m и n — натуральные числа. Назовём матрицей A размера m x n (читается m на n) (m — строк, n — столбцов) с элементами из некоторого кольца или поля K отображение вида . Матрица записывается как Где элементы матрицы й строки и j-го столбца. i-я строка матрицы находится на пересечении i- j-й столбец матрицы При этом количество элементов матрицы равно m*n. В соответствии с этим каждую строку матрицы можно интерпретировать как вектор в n- мерном координатном пространстве ; каждый столбец матрицы — как вектор в m-мерном координатном пространстве . Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве , имеющем размерность mn. Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число; что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы. Квадратная матрица Если у матрицы количество строк m совпадает с количеством столбцов n, то такая матрица называется квадратной, а число m=n называется размером квадратной матрицы или её порядком. Вектор-строка и вектор-столбец: Матрицы размера m x 1 и 1 x n являются элементами пространств и соответственно: матрица размера m x 1 называется вектор-столбцом и имеет специальное обозначение: матрица размера 1 x n называется вектор-строкой и имеет специальное обозначение: Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования: 1. 2. 3. Умножение строки на отличное от нуля число, Прибавление одной строки к другой строке, Перестановка местами двух строк. Элементарные преобразования столбцов матрицы определяются аналогично. Ранг матрицы: Строки и столбцы матрицы являются элементами соответствующих векторных пространств: столбцы матрицы A составляют элементы пространства размерности m; строки матрицы A составляют элементы пространства размерности n. Рангом матрицы называют количество линейно независимых столбцов матрицы (столбцовый ранг матрицы) или количество линейно независимых строк матрицы (строчный ранг матрицы). Этому определению эквивалентно определение ранга матрицы как порядка максимального отличного от нуля минора матрицы. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Обозначения матриц Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: , тогда А — матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля К вида первый индекс означает индекс строки: второй индекс означает индекс столбца: , где ; . таким образом, — элемент матрицы , находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера . Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида Операции над матрицами 1) Сложение матриц Складывать можно только матрицы одинакового размера. Сложение матриц А + В есть операция нахождения матрицы С, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц А и В, то есть каждый элемент матрицы С равен Свойства сложения матриц: коммутативность: A + B = B + A; ассоциативность: (A + B) + C = A + (B + C); сложение с нулевой матрицей: A + 0 = 0 + A = A; существование противоположной матрицы: A + (-A) = 0; Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема: Множество всех матриц одинаковых размеров m x n с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образует линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства). 2) Умножение матрицы на число Умножение матрицы А на число матрицы . заключается в построении Свойства умножения матриц на число: умножение на единицу: 1 * А = А * 1 = А ; ассоциативность: дистрибутивность: дистрибутивность: ; ; ; 3) Умножение матриц Умножение матриц - операция вычисления матрицы, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго. . Количество столбцов в матрице А должно совпадать с количеством строк в матрице В, иными словами, матрица А обязана быть согласованной с матрицей В. Если матрица А имеет размерность m * n, B – n * k, то размерность их произведения AB = C есть m * k. Свойства умножения матриц: ассоциативность: (AB)C = A(BC) ; некоммутативность: AB ≠ BA ; произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA = A; дистрибутивность: (A + B)C = AC + BC ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: 4) Умножение вектора на матрицу По обычным правилам матричного умножения вектор-столбец умножается на матрицу, которая записывается слева от него, а вектор-строка умножается на матрицу, которая записывается справа от неё. Поскольку элементы вектора-столбца или вектора-строки можно записать (что обычно и делается), используя один, а не два индекса, это умножение можно записать так: для вектора-столбца u (получая новый вектор-столбец Au): для вектора-строки s (получая новый вектор-строку sA): Вектор-строка, матрица и вектор-столбец могут быть перемножены друг на друга, давая число (скаляр): Эти операции являются основой матричного представления линейных операторов и линейных преобразований координат (смены базисов), таких, как повороты, масштабирования, зеркальные отражения, а также (последнее) матричного представления билинейных (квадратичных) форм. При представлении вектора вещественного векторного пространства в ортонормированном базисе (что эквивалентно использованию прямоугольных декартовых координат) соответствующие ему вектор-столбец и вектор-строка, представляющие собой набор компонент вектора, будут совпадать (поэлементно), отличаясь лишь формально своим изображением для корректности матричных операций (то есть один получается из другого просто операцией транспонирования). При использовании же неортонормированных базисов (например, косоугольных координат или хотя бы разных масштабов по осям) вектор-столбец соответствует компонентам вектора в основном базисе, а вектор-строка — в базисе, дуальном основному. В заключение, матрицы являются важным и широко применяемым математическим инструментом, который находит свое применение в различных областях науки и техники. Изучение матриц позволяет углубить понимание линейной алгебры, развивает навыки работы с большими объемами данных и освоение методов решения сложных задач. Благодаря матрицам можно эффективно проводить анализ данных, решать системы линейных уравнений, моделировать реальные процессы, работать с многомерными пространствами и многое другое. Понимание основ матричной алгебры позволяет ускорить процессы обработки информации, повысить точность расчетов и оптимизировать решение задач. Таким образом, изучение матриц является важным компонентом математического образования, позволяющим студентам и специалистам успешно применять свои знания в практических сферах деятельности и находить новые, более эффективные решения для различных задач. Список используемой литературы 1) Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969. 2) Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. — М.: Мир, 1976. 3) Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1979. 4) Гантмахер Ф. Р. Теория матриц: Физматлит, 2004. 5) Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. 6) Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1968. 7) Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Наука, 1973. 8) Ланкастер П. Теория матриц / Пер. с англ. — М.: Наука, 1982. 9) Ленг С. Алгебра. — 1968. 10) Наймарк М. А. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976. 11) Соколов Н. П. Пространственные матрицы и их положения. — 1960. 12) Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989. 13) Халмош П. Конечномерные векторные пространства — 1963.
