TRANSFORMADA DE LAPLACE
Sea 𝑓 una funcion definida para 𝑡 ≥ 0. Entonces la integral
$
ℒ {𝑓(𝑡)} = + 𝑒 !"# 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
%
se llama transformada de Laplace de 𝑓 siempre y cuando la integral converja.
Cuando la integral converge el resultado es una funcion de 𝑠.
Nota: Las letras minúsculas representan la funcion que se va a transformar y la
letra mayúscula para denotar su transformada de Laplace.
ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠), ℒ {𝑔(𝑡)} = 𝐺(𝑠), ℒ{𝑦(𝑡)} = 𝑌(𝑠),
$
&
Ejemplo: ℒ{1} = ∫% 𝑒 !"# 𝑑𝑡 = lim ∫% 𝑒 !"# 𝑑𝑡 = lim −
= lim <−
&→$
𝑒
!"&
𝑠
+
𝑒
&→$
!"(%)
𝑠
( !"#
&→$
> = lim ?−
&→$
"
;
&
%
1
1
1
1 1
+ @ = − lim "& + =
"&
&→$ 𝑠𝑒
𝑠𝑒
𝑠
𝑠 𝑠
Transformadas de algunas funciones básicas:
1
𝑠
ℒ {1} =
ℒ {𝑡 + } =
ℒ {𝑒 .# } =
𝑛!
𝑠 +,1
𝑠−𝛼
𝑘
𝑠/ + 𝑘/
ℒ {𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑡} =
ℒ{𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑡} =
𝑠/
ℒ {𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑘𝑡} =
ℒ {𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑘𝑡} =
𝑠
+ 𝑘/
𝑘
𝑠/ − 𝑘/
𝑠/
𝑠
− 𝑘/
𝓛 es una transformación lineal. Para una suma de funciones se puede escribir
$
$
ℒ[𝛼𝑓(𝑡) + 𝛽𝑔(𝑡)] = ∫% 𝑒 !"# [𝛼𝑓(𝑡) + 𝛽𝑔(𝑡)]𝑑𝑡 = 𝛼 ∫% 𝑒 !"# 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 +
$
𝛽 ∫% 𝑒 !"# 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 = 𝛼ℒ{𝑓(𝑡)} + 𝛽ℒ{𝑔(𝑡)}
siempre que las dos integrales converjan, por lo tanto:
ℒ {𝛼𝑓(𝑡) + 𝛽𝑔(𝑡)} = 𝛼ℒ{𝑓(𝑡)} + 𝛽ℒ{𝑔(𝑡)} = 𝛼𝐹(𝑠) + 𝛽𝐺(𝑠)
así ℒ es una transformación lineal. Y se puede generalizar para las sumas o restas
de tres o más funciones.
Entonces por esta propiedad, por ejemplo:
ℒ{1 + 5𝑡} = ℒ {1} + 5ℒ {𝑡} = ℒ {1} + 5ℒ {𝑡 - }) =
1
1!
1 5
𝑠+5
+ 5 ? -,- @ = + / = /
𝑠
𝑠
𝑠 𝑠
𝑠
ℒ{3 − 2𝑡 0 + 𝑠𝑒𝑛(4𝑡)} = 3ℒ{1} − 2ℒ {𝑡 0 } + ℒ {𝑠𝑒𝑛(4𝑡)}
1
3!
4
3 12
4
= 3 ? @ − 2 ? 0,- @ + /
= − 1+ /
𝑠
𝑠
𝑠 + 16 𝑠 𝑠
𝑠 + 16
Transformada de Laplace inversa.
Si 𝐹(𝑠) representa la transformada de Laplace de una funcion 𝑓(𝑡), esto es
ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠), se dice que 𝑓(𝑡) es la transformada de Laplace inversa de 𝐹(𝑠) y
se escribe 𝑓(𝑡) = ℒ !- {𝐹(𝑠)}.
Las transformadas de Laplace inversas de la lista anterior son las siguientes:
1
ℒ !- Q R = 1
𝑠
ℒ !- Q
𝑛!
𝑠 +,-
R = 𝑡+,
𝑛 = 1,2,3, …
1
ℒ !- Q
R = 𝑒 .#
𝑠−𝛼
ℒ !- Q
𝑘
R = 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑡
𝑠/ + 𝑘/
𝑠
ℒ !- U /
V = cos 𝑘𝑡
𝑠 + 𝑘/
𝑘
ℒ !- Q /
R = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑘𝑡
𝑠 − 𝑘/
𝑠
ℒ !- U /
V = cosh 𝑘𝑡
𝑠 − 𝑘/
También ℒ !- es una transformación lineal.
Ejemplo:
ℒ !- ?
𝑠/
𝑠
6
7 48
+ /
− + 2@
−9 𝑠 +4 𝑠 𝑠
𝑠
6
7
48
= ℒ !- ^ /
_ + ℒ !- ? /
@ − ℒ !- ? @ + ℒ !- ? 2 @
𝑠 −9
𝑠 +4
𝑠
𝑠
2
1
24
= cosh(3𝑡) + 3ℒ !- ? /
@ + 7ℒ !- ? @ + 2ℒ !- ? 2 @
𝑠 +4
𝑠
𝑠
= cosh(3𝑡) + 3𝑠𝑒𝑛(2𝑡) + 7(1) + 2𝑡 1
Transformada de una derivada.
Si 𝑓, 𝑓 3 , … , 𝑓 (+!-) son continuas en [0, ∞) y son de orden exponencial y si 𝑓 (+) (𝑡)
es continua por tramos en [0, ∞), entonces
ℒ {𝑓 + (𝑡)} = 𝑠 + 𝐹(𝑠) − 𝑠 (+!-) 𝑓(0) − 𝑠 (+!/) 𝑓 3 (0) − ⋯ . −𝑓 (+!-) (0)
Así con la ecuación anterior la transformada de Laplace de la Primera Derivada
queda de la forma siguiente:
ℒ{𝑓′(𝑡)} = 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0)
que aplicada a la funcion 𝑓(𝑡) = 𝑦(𝑡) con 𝐹(𝑠) = ℒ {𝑦(𝑡)} = 𝑌(𝑠) queda
𝓛{𝒚′(𝒕)} = 𝒔𝒀(𝒔) − 𝒚(𝟎)
Y de la segunda derivada queda
ℒ {𝑓 33 (𝑡)} = 𝑠 / 𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓 3 (0)
𝓛{𝒚33 (𝒕)} = 𝒔𝟐 𝒀(𝒔) − 𝒔𝒚(𝟎) − 𝒚3 (𝟎)
Uso de la Transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales de
valor inicial.
Paso1.- Aplicar transformada de Laplace a la ecuación diferencial, usando el hecho
de que la transformada de Laplace es lineal, ocupando las formulas de
Transformada de Laplace para la primera derivada y/o segunda derivada según
sea el cas0, las fórmulas enlistadas anteriormente y sustituyendo los valores
iniciales para 𝑦(0) y/o 𝑦′(0).
Paso 2.- Factorizar la transformada de Laplace de 𝑦(𝑡), la cual es 𝑌(𝑠) y despejarla
usando fracciones parciales.
Paso 3.- Aplicar transformada de Laplace inversa a 𝑌(𝑠) para despejar 𝑦(𝑡) ésta es
la solución de la ecuación diferencial correspondiente.
Ejemplo: Resolver 𝑦 3 + 6𝑦 = 𝑒 1# , 𝑦(0) = 2
Aplicando transformada de Laplace queda:
ℒ(𝑦 3 ) + ℒ(6𝑦) = ℒ(𝑒 1# )
𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) + 6𝑌(𝑠) =
𝑌(𝑠)(𝑠 + 6) =
𝑌(𝑠) =
𝑌(𝑠) =
1
𝑠−4
1
1
2𝑠 − 8 2𝑠 − 7
+2=
+
=
𝑠−4
𝑠−4 𝑠−4
𝑠−4
2𝑠 − 7
𝐴
𝐵
𝐴(𝑠 − 4) + 𝐵(𝑠 + 6)
=
+
=
(𝑠 + 6)(𝑠 − 4) 𝑠 + 6 𝑠 − 4
(𝑠 + 6)(𝑠 − 4)
𝟐𝒔 − 𝟕
𝐴𝑠 − 4𝐴 + 𝐵𝑠 + 6𝐵 𝒔(𝑨 + 𝑩) − (𝟒𝑨 − 𝟔𝑩)
=
=
(𝑠 + 6)(𝑠 − 4)
(𝑠 + 6)(𝑠 − 4)
(𝑠 + 6)(𝑠 − 4)
Entonces se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
𝐴+𝐵 =2
(1)
4𝐴 − 6𝐵 = 7 (2)
De la primera ecuación se obtiene que 𝐴 = 2 − 𝐵 y sustituyendo en la ecuación
se tiene que:
4(2 − 𝐵) − 6𝐵 = 7 → 8 − 4𝐵 − 6𝐵 = 7 → −10𝐵 = −1 → 𝐵 = -%
19
𝐴=
10
-56
-6
-%
-%
Entonces 𝑌(𝑠) = ",7 + "!1
Aplicando transformada de Laplace inversa queda:
ℒ !- (𝑌(𝑠)) =
19 !1
1
1
ℒ ?
@ + ℒ !- ?
@
10
𝑠+6
10
𝑠−4
𝑦(𝑡) =
19 !7#
1
𝑒
+ 𝑒 1#
10
10
esta es la respuesta a la ecuación diferencial dada.