Universidad Nacional de Ingenierı́a
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matemática
Ciclo 2019-II
[Cod: BMA03 Curso: Álgebra Lineal]
Examen Final
1. Determine the truth or false of following propositions:
a) (1 pto.) In R3 let M be the line x = y = z, N be the line x =
L = M + N , then L = M ⊕ N .
1
y
2
=
1
z,
3
and
b) (1 pto.) The smallest subspace of R3 containing the vectors (2, −3, −3) and
(0, 3, 2) is the plane whose equation is 15x + 4y + 6z = 0.
c) (2 ptos.) In R3 let L be a line and P be a plane which contain point (0, 0, 0), then
R3 = L ⊕ P .
d ) (1 pto.) In R3 let U, V, W be orthogonal vectors and let Z = aU + bV + cW ,
where a, b, c are scalars, then ||Z||2 = a2 ||U ||2 + b2 ||V ||2 + c2 ||W ||2 .
2. Dado el sistema lineal:
−2x1 + x2 + x3 = a
x1 − 2x2 + x3 = b
x1 + x2 − 2x3 = c
a) (2 ptos) Demuestre que W = {(a, b, c)/el sistema dado tiene solución} es un
subespacio de R3 .
b) (2 ptos) Encuentre una base de W .
c) (1 pto) Encuentre una base de R3 , extendiendo la base de W .
3. (5 ptos) En el triángulo ABC donde Q = (1, 9) y S = (6, 2) son los puntos medios de
−→
−→
→ AB = 52 (3, 1). Hallar
los lados AB y BC respectivamente, si AB k (1, 1) y P roy−
5
AS
los vértices del triángulo.
4. Considere las rectas:
l1 : (x, y, z) = (1 − t, 2 + t, 3 − 2t)
y
l2 : (x, y, z) = (2 + 2t, 3 − t, 10 + t)
a) (4 ptos.) Determine la ecuación normal del plano π que contiene a la recta l1 y
es paralelo a la recta l2 .
b) (1 pto.) Determine la distancia entre l2 y el plano π.
UNI, 11 de diciembre de 2019.
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