Pauta de Certamen 01
Ondas, Óptica y Fı́sica Moderna / 230035 / UBB / 2021-I
Jueves 15 de abril de 2021
Nombre:
Rut:
Estimada o estimado estudiante, antes de iniciar el desarrollo del Certamen 01, considere las siguientes instrucciones:
El inicio del Certamen es a las 12:30 h. Consta de dos partes, la primera parte alojada en Moodle (Certamen 01 - Parte 01) y
ésta segunda parte escrita (Certamen 01 - Parte 02).
Transcurridos los 80 min asignados para el desarrollo; vale decir, a las 13:50 h: detenga su resolución, haya terminado o no de
resolver completamente el certamen.
Con su puño y letra, en cada hoja de trabajo registre su nombre, su rut y su firma en la parte superior. Finalmente, inicie el proceso de
entrega. Se han contemplado 20 min para escanear, armar el archivo final en formato pdf y enviarlo a la plataforma correspondiente.
No los desperdicie.
La entrega de los desarrollos del Certamen 01 - Parte 02 debe realizarla por medio de la plataforma dispuesta por su docente para
tal efecto: Moodle. No se aceptarán entregas por otro medio.
IMPORTANTE: Si realiza su entrega posterior al horario máximo estipulado de las 14:10 h, de su nota final se descontará una
décima por minuto de retraso. No se arriesgue a descuentos innecesarios.
La y el docentes de la asignatura.
Problema Puntaje Máximo Puntaje Obtenido
1
19
2
20
3
20
Total:
59
Cuadro 1: Completar esta tabla es de completa exclusividad de la/el docente indicada/o.
Calificación
Observaciones
Cuadro 2: Completar esta tabla es de completa exclusividad de la/el docente indicada/o.
Formulario:
π rad ≡ 180◦ .
(1)
A considerar:
“He fallado más de 9 000 tiros en mi carrera. He perdido casi 300 partidos. 26 veces han confiado en mı́ para tomar el tiro que ganaba
el partido y lo he fallado. He fracasado una y otra vez en mi vida y es por eso que tengo éxito.”
Michael Jordan.
(Ex jugador de baloncesto estadounidense)
1. 19 Pregunta sobre Movimiento Armónico Simple alojada en el recurso Certamen 01 - Parte 01 que está disponible en Moodle.
Como cada estudiante tuvo una versión distinta de la primera parte del Certamen 01, se tomaran los datos de uno de los intentos y
ası́ usted podrá aplicar el mismo procedimiento para comprobar sus resultados.
En la Figura 1, se muestra una mesa horizontal sin fricción, donde
oscila una caja de masa desconocida sujeta a un resorte ideal,
cuya constante elástica es ke = 235 N/m. En la Figura 2, se
muestra que la máxima amplitud que alcaza la componente de
velocidad es V = 2.24 m/s y el tiempo entre dos valles es T =
0.984 s, determine:
(a) La frecuencia (03 ptos).
ke
m
v0x
(b) La frecuencia o rapidez angular (03 ptos).
(c) La masa de la caja (03 ptos).
(d) El máximo desplazamiento de la caja (03 ptos).
(e) La máxima magnitud de fuerza que el resorte ejerse sobre
la caja (04 ptos).
O
Figura 1: Bloque sobre una mesa sin roce.
(f) El ángulo de fase constante del movimiento (03 ptos).
Velocidad (m/s)
V
0
-V
T
Tiempo (s)
Figura 2: Gráfico de velocidad v/s tiempo.
Solución:
(a) La frecuencia.
f=
1
,
T
f=
1
1
= 1.016 = 1.016 Hz (03 ptos).
0.984 s
s
(2)
(b) La frecuencia o rapidez angular.
ω = 2πf,
(3)
1
ω = 2π1.016 = 6.38 rad/s (03 ptos).
s
(c) La masa de la caja.
r
ke
ke
⇒ m = 2,
m
ω
235 N/m
m=
= 5.77 kg (03 ptos).
(6.38 rad/s)2
ω=
(4)
(d) El máximo desplazamiento de la caja. La amplitud máxima de la ecuación de velocidad v(t) = −Aω sen (ω t + φ),
V = Aω
A=
⇒ A=
V
,
ω
2.24 m/s
= 0.351 m (03 ptos).
6.38 rad/s
(5)
(e) La máxima fuerza que el resorte ejerse sobre la caja. Recordamos Fe (t) = −ke A cos(ωt + φ), luego la fuerza máxima es,
Fmax = ke A,
(6)
Fmax = 235 N/m × 0.351 m = 82.5 N (04 ptos).
(f) El ángulo de fase constante del movimiento. En t = 0 s la componente de velocidad es v(t = 0 s) = V = 2.24 m/s y evaluando en
la ecuación de velocidad
v(t) = −Aω sen (ω t + φ)
v(t = 0 s) = V = −Aω sen (ω 0 + φ) = −Aω sen (φ) ,
V
⇒ φ = sen−1 −
,
Aω
2.24
−1
−
≈ −1.57 rad = −90◦ (03 ptos).
φ = sen
0.351 × 6.38
(7)
6.00
2. 20 Considere una onda transversal y sinusoidal que se propaga en
una cuerda con densidad lineal de masa de 25.0 g/m y que se ha
sometido a una tensión de 35.0 N. La onda viaja en la dirección del
eje x− , de manera que en el tiempo t = 0.00 s la forma de la cuerda
es como se ha mostrado en la figura 3. Note que el extremo izquierdo
de la cuerda inicia su movimieto en la coordenada y0 = 4.00 cm.
(b) Determine la amplitud, la longitud de la onda y el periodo de
oscilación de la onda (06 ptos).
(c) Determine la rapidez transversal máxima de una partı́cula en la
cuerda (02 ptos).
(d) Si la función de onda de la onda es de la forma:
y(x, t) = A cos(kx ± ωt + ϕ0 ).
(8)
4.00
3.00
2.00
y (cm)
(a) Determine la rapidez de propagación de la onda (02 ptos).
5.00
1.00
0
-1.00
-2.00
-3.00
-4.00
-5.00
−6.00
0
10.0
i) Determine el número de onda k, la rapidez o frecuencia
angular ω y la fase constante ϕ0 (07 ptos).
20.0
30.0
x (cm)
40.0
50.0
ii) Escriba apropiadamente la función de onda en la forma como se muestra en la ecuación 8 (03 ptos).
Figura 3: Onda transversal en una cuerda en el instante
de tiempo inicial.
Solución:
(a) La rapidez de propagación está dada por:
r
v=
T
=
µ
r
35.0 N
= 37.4 m/s (02 ptos).
25.0 × 10−3 kg
(b) A partir de la figura se concluye que:
A = 5.00 cm = 5.00 × 10−2 m (02 ptos),
λ = 35.0 cm = 35.0 × 10−2 m (02 ptos),
v=
λ
,
T
⇒
T =
λ
35.0 × 10−2 m
=
≈ 0.00936 s = 9.36 × 10−3 s (02 ptos).
v
37.4 m/s
(c) La rapidez transversal máxima de una partı́cula en la cuerda está dada por:
vmax = Aω = A
2π
2π
= 5.00 × 10−2 m ×
≈ 33.4 m/s (02 ptos).
T
9.36 × 10−3 s
(d) Si la función de onda tiene la forma de la ecuación (8), entonces:
i) El número de onda y la rapidez angular están dadas por:
2π
2π
=
= 18.0 rad/m (02 ptos),
λ
35.0 × 10−2 m
2π
ω=
= 671 rad/s (02 ptos).
T
k=
Para la fase constante notamos que la función de onda debe satisfacer que:
y(x = 0 cm, t = 0 s) = y0 = 4.00 cm,
⇒ A cos(k · 0 ± ω · 0 + ϕ0 ) = y0 ,
y 0
⇒ ϕ0 = arc cos
≈ 0.644 rad = 36.9◦ (03 ptos).
A
ii) Por lo tanto, la función de la onda de la onda es:
y(x, t) = (5.00 × 10−2 m) cos (18.0 rad/m) · x + (671 rad/s) · t + (0.664 rad) (03 ptos).
3. 20 En el instante de tiempo t = 0 s, un pulso de onda en una cuerda tiene las dimensiones que se muestran en la figura 4. Considerando
que el pulso se propaga en la dirección x+ y que la rapidez de la onda es v = 2.0 cm/s. Si el punto O es un extremo móvil, en la figura
4 dibuje la onda total en los instantes t = 3.5 s, t = 4.0 s, t = 4.5 s, t = 5.0 s y t = 5.5 s.
Indicaciones:
Justifique sus respuestas adjuntando los cálculos realizados. No basta con decir que realizaron “cálculos mentales”.
En cada instante se tiempo se calificará con (04 ptos) en total, donde se asignará:
• (01 pto) al cálculo de la posición de un punto caracterı́stico del pulso al cual se le hace el seguimiento.
• (02 ptos) a la aplicación del Principio de Superposición en al menos dos puntos de la cuerda.
• (01 pto) si dibuja correctamente la onda en el instante correspondiente.
y
1.0 cm
1.0 cm
P
x
O
Figura 4: Pulso en el instante t = 0 s.
Cálculos: A medida que la onda se desplaza, el punto P de la figura tiene un MRU con ecuación itinerario x(t) = x0 + v0 (t − t0 ),
donde las condiciones iniciales son:
t0 = 0 s,
x0 = −7.0 cm,
v0 = v = 2.0 cm/s.
Por lo tanto x(t) = (−7.0 + 2.0t), la cual se mide en centimetros si el tiempo t se mide en segundos. Ası́,
x(t = 3.5 s) = (−7.0 + 2.0 · 3.5) = 0 cm (02 ptos),
x(t = 4.0 s) = (−7.0 + 2.0 · 4.0) = 1.0 cm (02 ptos),
x(t = 4.5 s) = (−7.0 + 2.0 · 4.5) = 2.0 cm (02 ptos),
x(t = 5.0 s) = (−7.0 + 2.0 · 5.0) = 3.0 cm (02 ptos),
x(t = 5.5 s) = (−7.0 + 2.0 · 5.5) = 4.0 cm (02 ptos).
Si y1 (x, t) es la onda incidente (color rojo) e y2 (x, t) la onda reflejada (color azul), por Principio de Superposición la onda total
(color verde) es y(x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t) ∀x y ∀t. Luego, satisface que en los puntos con coordenadas x0 = 0 m, x1 = −1.0 cm,
x2 = −2.0 cm, x3 = −3.0 cm y x4 = −4.0 cm y en los tiempos:
• t1 = 3.5 s (02 ptos por superposición en al menos dos puntos no triviales):
x0 :
y1 (x0 , t1 ) = 0 cm,
x1 :
y1 (x1 , t1 ) = 3.0 cm,
x2 :
y1 (x2 , t1 ) = 0 cm,
x3 :
y1 (x3 , t1 ) = 1.0 cm,
x4 :
y3 (x4 , t1 ) = 0 cm,
y2 (x0 , t1 ) = 0 cm
⇒
⇒
y2 (x1 , t1 ) = 0 cm
y2 (x2 , t1 ) = 0 cm
⇒
⇒
y2 (x3 , t1 ) = 0 cm
y2 (x4 , t1 ) = 0 cm
⇒
y(x0 , t1 ) = 0 + 0 = 0 cm,
y(x1 , t1 ) = 3.0 + 0 = 3.0 cm,
y(x2 , t1 ) = 0 + 0 = 0 cm,
y(x3 , t1 ) = 1.0 + 0 = 1.0 cm,
y(x4 , t1 ) = 0 + 0 = 0 cm.
• t2 = 4.0 s (02 ptos por superposición en al menos dos puntos no triviales):
⇒
x0 :
y1 (x0 , t2 ) = 3.0 cm,
y2 (x0 , t2 ) = 3.0 cm
x1 :
y1 (x1 , t2 ) = 0 cm,
x2 :
y1 (x2 , t2 ) = 1.0 cm,
x3 :
y1 (x3 , t2 ) = 0 cm,
y2 (x3 , t2 ) = 0 cm
⇒
y(x3 , t2 ) = 0 + 0 = 0 cm,
x4 :
y3 (x4 , t2 ) = 0 cm,
y2 (x4 , t2 ) = 0 cm
⇒
y(x4 , t2 ) = 0 + 0 = 0 cm.
y2 (x1 , t2 ) = 0 cm
y2 (x2 , t2 ) = 0 cm
⇒
y(x0 , t2 ) = 3.0 + 3.0 = 6.0 cm,
y(x1 , t2 ) = 0 + 0 = 0 cm,
⇒
y(x2 , t2 ) = 1.0 + 0 = 1.0 cm,
• t3 = 4.5 s (02 ptos por superposición en al menos dos puntos no triviales):
y2 (x0 , t3 ) = 0 cm
⇒
x0 :
y1 (x0 , t3 ) = 0 cm,
x1 :
y1 (x1 , t3 ) = 1.0 cm,
y(x0 , t3 ) = 0 + 0 = 0 cm,
x2 :
y1 (x2 , t3 ) = 0 cm,
y2 (x2 , t3 ) = 0 cm
⇒
y(x2 , t3 ) = 0 + 0 = 0 cm,
x3 :
y1 (x3 , t3 ) = 0 cm,
y2 (x3 , t3 ) = 0 cm
⇒
y(x3 , t3 ) = 0 + 0 = 0 cm,
x4 :
y3 (x4 , t3 ) = 0 cm,
y2 (x4 , t3 ) = 0 cm
⇒
y(x4 , t3 ) = 0 + 0 = 0 cm.
⇒
y2 (x1 , t3 ) = 3.0 cm
y(x1 , t3 ) = 1.0 + 3.0 = 4.0 cm,
• t4 = 5.0 s (02 ptos por superposición en al menos dos puntos no triviales):
⇒
x0 :
y1 (x0 , t4 ) = 1.0 cm,
x1 :
y1 (x1 , t4 ) = 0 cm,
y2 (x0 , t4 ) = 1.0 cm
x2 :
y1 (x2 , t4 ) = 0 cm,
y2 (x2 , t4 ) = 3.0 cm
x3 :
y1 (x3 , t4 ) = 0 cm,
y2 (x3 , t4 ) = 0 cm
⇒
y(x3 , t4 ) = 0 + 0 = 0 cm,
x4 :
y3 (x4 , t4 ) = 0 cm,
y2 (x4 , t4 ) = 0 cm
⇒
y(x4 , t4 ) = 0 + 0 = 0 cm.
y2 (x1 , t4 ) = 0 cm
⇒
⇒
y(x0 , t4 ) = 1.0 + 1.0 = 2.0 cm,
y(x1 , t4 ) = 0 + 0 = 0 cm,
y(x2 , t4 ) = 0 + 3.0 = 3.0 cm,
• t5 = 5.5 s (02 ptos por superposición en al menos dos puntos no triviales):
x0 :
y1 (x0 , t5 ) = 0 cm,
y2 (x0 , t5 ) = 0 cm
x1 :
y1 (x1 , t5 ) = 0 cm,
y2 (x1 , t5 ) = 1.0 cm
x2 :
y1 (x2 , t5 ) = 0 cm,
y2 (x2 , t5 ) = 0 cm
x3 :
y1 (x3 , t5 ) = 0 cm,
y2 (x3 , t5 ) = 3.0 cm
x4 :
y3 (x4 , t5 ) = 0 cm,
y2 (x4 , t5 ) = 0 cm
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
y(x0 , t5 ) = 0 + 0 = 0 cm,
y(x1 , t5 ) = 0 + 1.0 = 1.0 cm,
y(x2 , t5 ) = 0 + 0 = 0 cm,
y(x3 , t5 ) = 0 + 3.0 = 3.0 cm,
y(x4 , t5 ) = 0 + 0 = 0 cm.
Dibujos:
Figura 5: Reflexión en punto móvil. (01 pto) por cada gráfico correcto.