Лекция 1. Краткий перечень основных понятий и результатов
Потребительское множество
Рассмотрим случай двух благ. x  ( x1 , x2 )  потребительский набор (корзина), где xi  объем
потребления i -го блага, i  1, 2 .
X  потребительское множество – множество всех допустимых наборов благ. Будем считать,
что все блага бесконечно делимы и могут потребляться в неотрицательном объеме, т.е.
X  x : xi  0.
Бюджетное множество
Пусть pi  0  цена единицы блага i , m  0  доход потребителя (фиксированная величина).
Бюджетное ограничение описывает множество доступных потребителю наборов благ (из
потребительского множества) при данных фиксированных ценах и доходе: p1 x1  p2 x2  m .
Бюджетное множество – множество наборов из потребительского множества,
удовлетворяющих бюджетному ограничению. Формально бюджетное множество можно
записать так: B   x  X : p1 x1  p2 x2  m .
Бюджетная линия – граница бюджетного множества – множество всех наборов благ, стоимость
которых равна доходу потребителя: p1 x1  p 2 x2  m . Наклон бюджетной линии на плоскости
p
( x1 , x 2 ) равен  1 .
p2
Поскольку при умножении всех цен и дохода на положительное число бюджетное множество
остается неизменным, то одну из цен можно пронормировать, положив, например, равной
единице (или любому другому положительному числу). Благо, цена которого положена равной
единице, называется благом-измерителем (или агрегированным потребительским благом, или
композитным благом).
Основные виды рассматриваемых в курсе налогов (субсидий)
1) Потоварный налог. Устанавливается в денежном выражении. Например, при потоварном
налоге t на первое благо уравнение бюджетной линии имеет вид:
( p1  t ) x1  p2 x 2  m .
2) Адвалорный налог (налог на стоимость, налог с продаж). Устанавливается в долях или
процентах. Например, при адвалорном налоге 0    1 на первое благо уравнение бюджетной
линии имеет вид:
p1 (1  ) x1  p2 x 2  m .
3) Паушальный (аккордный) налог, T ,  это фиксированная сумма денег, вычитаемая из дохода
потребителя. В этом случае уравнение бюджетной линии имеет вид:
p1 x1  p2 x2  m  T .
Аналогичные субсидии действуют противоположно налогу: там, где налог добавляется –
субсидия вычитается, и наоборот.
1
Теория выявленных предпочтений
Предпосылки:


Потребитель при любых ценах и доходе выбирает единственный набор благ.
Потребитель выбирает набор на бюджетной линии.
Определение.
Пусть при ценах p  ( p1 , p2 ) потребитель приобрел набор x  ( x1 , x2 ) . Тогда набор x  ( x1 , x2 )
выявленно
предпочитается
отличному
от
него
набору
y  ( y1 , y2 ) ,
y  x,
если
p1 y1  p 2 y 2  p1 x1  p 2 x2 . ■
Утверждение (слабая аксиома выявленных предпочтений - WARP).
Если набор x выявленно предпочитается набору y и x  y , то набор y не может выявленно
предпочитаться набору x .
Формально: пусть при ценах p  ( p1 , p2 ) потребитель выбрал набор x  ( x1 , x2 ) , а при ценах
q  (q1 , q2 ) потребитель выбрал набор
y  ( y1 , y2 ) , x  y . Тогда поведение потребителя
согласуется с WARP, если из p1 x1  p2 x2  p1 y1  p2 y2 , следует q1 y1  q2 y2  q1 x1  q2 x2 .■
Если, приобретая набор x  ( x1 , x2 ) при ценах p  ( p1 , p2 ) , потребитель не мог купить набор
y  ( y1 , y 2 ) , а при выборе набора y  ( y1 , y 2 ) при ценах q  (q1 , q 2 ) , набор x  ( x1 , x2 ) был не
доступен, то будет говорить, что такое поведение не противоречит WARP, и наборы x  ( x1 , x2 )
и y  ( y1 , y 2 ) выявленно несравнимы.
2
Лекция 2. Краткий перечень основных понятий и результатов
Отношения предпочтений
Значком  обозначают отношение нестрогого предпочтения. Запись x  y означает, что набор


x не хуже набора y .
Запись x  y следует читать так: набор x лучше набора y . Это означает, что набор x не хуже
набора y , и обратное неверно.
Запись x  y следует читать так: набор x эквивалентен набору y (или потребитель безразличен
между этими наборами). Это означает, что набор x не хуже набора y и набор y не хуже
набора x .
Свойства предпочтений
Полнота. Для любых двух наборов x и y из потребительского множества выполнено: либо
x  y , либо y  x , либо и то, и другое.


Полнота говорит о том, что любые два набора из потребительского множества сравнимы с точки
зрения вкусов потребителя.
Транзитивность. Для любых трех наборов x , y и z из потребительского множества
выполнено: если x  y и y  z , то x  z .



Транзитивность говорит об отсутствии циклов в упорядочении наборов с точки зрения вкусов
потребителя.
Предпочтения, удовлетворяющие
рациональными.
свойствам
полноты
Непрерывность. Для любой последовательности пар
и
транзитивности,
( x , y )
n
n

n 1
называют
из потребительского
множества, где x n  y n для любого n , такой, что x  lim x n и y  lim y n , выполнено: x  y .


n 
n 
Свойство непрерывности означает, что если набор x предпочитается набору y , то наборы
«близкие» к набору x также должны предпочитаться набору y , т.е. непрерывность говорит о
том, что предпочтения потребителя не имеют «скачков».
Монотонность. Для любых двух наборов x и y из потребительского множества выполнено:
если x  y , то x  y .
Монотонность говорит о том, что если в наборе x больше каждого блага, чем в наборе y , то
набор x лучше набора y .
Строгая монотонность. Для любых двух наборов x и y из потребительского множества
выполнено: если x  y и x  y , то x  y .
Строгая монотонность говорит о том, что если в наборе x каждого блага не меньше, чем в
наборе y , и хотя бы одного блага строго больше, то набор x лучше набора y .
Выпуклость. Для любых двух наборов x и y из потребительского множества выполнено: если
x  y , то  x  (1   ) y  y для любого 0    1 .


1
Выпуклость, в частности, говорит о том, что если взять любые два набора из потребительского
множества, которые для потребителя эквивалентны, и составить из них некий «средний» набор,
то он будет по крайней мере не хуже каждого из исходных наборов.
Строгая выпуклость. Для любых двух наборов x и y из потребительского множества
выполнено: если x  y и x  y , то  x  (1   ) y  y для любого 0    1 .

Строгая выпуклость, в частности, говорит о том, что если взять любые два набора из
потребительского множества, которые для потребителя эквивалентны, и составить из них некий
«средний» набор, то он будет лучше каждого из исходных наборов.
Функция полезности
Функция полезности, u , описывающая предпочтения потребителя на потребительском
множестве, сопоставляет каждому набору из потребительского множество некоторое
действительное число так, что для любых двух наборов x и y из потребительского множества
выполнено: x ~
 y тогда и только тогда, когда u ( x )  u ( y ) .
Утверждение.
Пусть u (.) - функция полезности потребителя, описывающая его предпочтения на
потребительском множестве. Пусть f (.) - строго возрастающая функция. Тогда функция
v( x)  f  u ( x) 
также
является
функцией
полезности,
представляющей
предпочтения
потребителя на потребительском множестве. ■
Утверждение.
Если предпочтения потребителя на потребительском множестве описываются функцией
полезности, то они полны и транзитивны (т.е. рациональны). ■
Утверждение.
Если предпочтения потребителя, определенные на потребительском множестве, полны,
транзитивны и непрерывны, то существует непрерывная функция полезности, описывающая эти
предпочтения. ■
Кривая безразличия
Кривая безразличия – это множество всех наборов из потребительского множества, которые для
потребителя эквивалентны, т.е. кривая безразличия, проходящая через набор x , - это множество
наборов y из потребительского множества, эквивалентных набору x : { y  X : y ~ x} .
Если предпочтения потребителя представимы функцией полезности, то кривая безразличия –
это все такие наборы благ, которые приносят потребителю одинаковую полезность, т.е. кривая
безразличия представляет собой линию уровня функции полезности в пространстве благ и
описывается условием: u ( x1 , x2 )  u , где u - это константа.
Предельная норма замещения
Предельная норма замещения второго блага первым ( MRS12 ) – это максимальное количество
(дифференциально) малых единиц второго блага, от которого готов отказаться потребитель в
обмен на малую единицу первого блага.
2
Предельная норма замещения равна наклону кривой безразличия в пространстве благ ( x1 , x2 ) ,
dx
взятому с обратным знаком: MRS12 ( x)   2
dx1
Если предпочтения потребителя представимы дифференцируемой функцией полезности, то
u ( x) / x1
, где u ( x) / xi - предельная полезность блага i , i  1, 2 .
MRS12 ( x) 
u ( x) / x2
3
Лекция 3. Краткий перечень основных понятий и результатов
Примеры предпочтений
1) Субституты (абсолютно взаимозаменяемые блага).
Предпочтения потребителя таковы, что он всегда готов заменить одно благо другим в некоторой
постоянной пропорции. Функция полезности имеет вид (подходит и любое положительное
монотонное преобразование): u ( x1 , x 2 )  x1  x2 ,  ,   0 . В этом случае потребитель всегда
готов заменить  единиц второго блага  единицами первого блага или готов заменить  / 
единиц второго блага на одну единицу первого блага: MRS12   /  . Кривые безразличия –
прямые.
Свойства предпочтений: полны, транзитивны, непрерывны, строго монотонны, выпуклы.
2) Комплементы (абсолютно взаимодополняющие блага).
Предпочтения потребителя таковы, что он всегда потребляет блага вместе в некоторой
постоянной пропорции. Функция полезности имеет вид (подходит и любое положительное
x x 
монотонное преобразование): u ( x1 , x 2 )  min  1 , 2  ,  ,   0 . В этом случае потребитель
  
всегда потребляет  единиц первого блага с  единицами второго блага. Кривые безразличия
x x
– «уголки», вершины которых лежат на прямой 1  2 .


Свойства предпочтений: полны, транзитивны, непрерывны, монотонны, выпуклы.
3) Нейтральное благо.
Нейтральное благо – это благо, к которому потребитель равнодушен: увеличение или
уменьшение этого блага в наборе никак не влияет на уровень благосостояния потребителя.
Если потребитель нейтрален ко второму благу, но ценит первое благо, то функция полезности
имеет вид (подходит и любое положительное монотонное преобразование): u ( x1 , x2 )  x1 .
Свойства предпочтений: полны, транзитивны, непрерывны, монотонны, выпуклы.
4) Антиблаго.
Антиблаго – это такой товар, увеличение которого в наборе потребителя (при прочих равных)
снижает его благосостояние.
Примеры функций полезности, когда потребитель ценит первое благо, а второе считает
2
антиблагом: (1) u ( x1 , x2 )  x1  x2 , (2) u ( x1 , x2 )  x1  x2 , (3) u ( x1 , x2 )   x1   x2 .
Свойства предпочтений: полны, транзитивны, непрерывны. Предпочтения могут быть как
выпуклыми, так и не удовлетворять этому свойству в зависимости от конкретного вида функции
полезности: функции полезности (1) и (2) описывают выпуклые предпочтения; (2) – строго
выпуклые; (3) – предпочтения, не удовлетворяющие свойству выпуклости.
5) Предпочтения с точкой (глобального) насыщения.
Предпочтения потребителя таковы, что в потребительском множестве существует наилучший
набор x - точка насыщения, эквивалентных которому нет; чем больше отклонение от набора x ,
тем потребителю хуже. Если предположить также, что все наборы, равноудаленные от набора x
1
в потребительском множестве, для потребителя эквивалентны, то предпочтения потребителя
могут быть представлены функцией полезности u ( x1 , x2 )  ( x1  x1 ) 2  ( x2  x2 ) 2 (или любым
положительным монотонным преобразованием этой функции). В этом случае кривые
безразличия – это окружности с центром в точке насыщения.
Свойства предпочтений: полны, транзитивны, непрерывны, строго выпуклы.
6) Функция полезности Кобба-Дугласа: u ( x1 , x 2 )  x1 x2 ,  ,   0 (или любое положительной
преобразование этой функции). Кривые безразличия имеют форму гипербол;
x
MRS12 ( x1 , x2 )  2 .
 x1
Свойства предпочтений: полны, транзитивны, непрерывны, монотонны, выпуклы во всем
потребительском множестве и строго монотонны и строго выпуклы на множестве наборов,
содержащих положительное количество каждого блага.
7) Квазилинейная функция полезности.
Функция полезности вида u ( x1 , x2 )  v( x1 )  x2 (или u ( x1 , x2 )  v( x2 )  x1 ), где v '(.)  0 , v ''(.)  0 .
Если u ( x1 , x2 )  v( x1 )  x2 , то MRS12 ( x1 , x2 )  v '( x1 ) .
Свойства предпочтений: полны, транзитивны, непрерывны, строго монотонны и строго
выпуклы.
Задача потребителя
Задача потребителя заключается в выборе наилучшего набора из доступных, т.е. в выборе
такого набора из бюджетного множества, который приносит наибольшую полезность:
u ( x1 , x2 )  max
x1 , x2  0
.



p
x
p
x
m
 1 1
2 2
Решив задачу потребителя при произвольных положительных ценах и доходе, мы получим связь
между объемом потребления благ и ценами и доходом потребителя, т.е. если
x  ( x1 , x2 ) - решение задачи потребителя, то, то x( p, m)  ( x1 ( p, m), x2 ( p, m)) , где
xi  xi ( p, m) - функция маршаллианского спроса или просто функция спроса на i-ое благо. При
заданных ценах и доходе мы получим конкретный набор (или наборы) благ – выбор
потребителя.
Утверждение.
Если предпочтения потребителя монотонны, то решение задачи потребителя удовлетворяет
бюджетному ограничению как равенству. ■
Утверждение.
Если предпочтения потребителя строго монотонны, функция полезности дифференцируема и
p
x  ( x1 , x2 ) - внутреннее решение задачи потребителя, то MRS12 ( x )  1 . ■
p2
Утверждение.
2
Если предпочтения потребителя выпуклы и строго монотонны, функция полезности
p
дифференцируема, то MRS12 ( x )  1 – необходимое и достаточное условие внутреннего
p2
решения задачи потребителя. ■
Утверждение.
Если предпочтения потребителя строго монотонны, функция полезности дифференцируема и (i)


m
p
решение
задачи
потребителя,
то
(ii)
MRS12 ( x )  1 ;
 x1  , x2  0 
p2
p1



m
p1
.■
 x1  0, x2 
 - решение задачи потребителя, то MRS12 ( x ) 
p2
p2 

Функции спроса для некоторых предпочтений
1) u ( x1 , x 2 )  x1  x2 ,  ,   0 (субституты).
Функция спроса:
p1 / p2   / 
p1 / p2   / 
0,
0,
m / p , p / p   / 
m / p , p / p   / 


1
1
2
2
1
2
x1 ( p1 , p2 , m)  
, x1 ( p1 , p2 , m)  
.
0, m / p1 , p1 / p2   / 
0, m / p2 , p1 / p2   / 
при p1 x1  p2 x2  m
при p1 x1  p2 x2  m
x x 
2) u ( x1 , x 2 )  min  1 , 2  ,  ,   0 (комплементы).
  
Функция спроса:
x1 ( p1 , p2 , m) 
m
m
, x2 ( p1 , p2 , m) 
.
p1   p2
p1   p2
3) u ( x1 , x2 )  x1 x2 ,  ,   0 (Кобб-Дуглас).
Функция спроса:
x1 ( p1 , p 2 , m) 
m
m
, x 2 ( p1 , p 2 , m) 
.
(   ) p1
(   ) p 2
Случай натурального дохода
Пусть потребитель не имеет фиксированного дохода, но располагает первоначальным запасом
благ:   (1 , 2 )  0 . Доход потребителя формируется за счет продажи на рынке тех ресурсов,
которыми он обладает, т.е. при ценах p1 , p2 доход потребителя равен m  p11  p22 .
Уравнение бюджетной линии: p1 x1  p 2 x2  p11  p 2 2 . Точка первоначального запаса лежит
p
на бюджетной лини; наклон бюджетной линии в пространстве ( x1 , x2 ) равен  1 . На
p2
бюджетной линии слева от точки первоначального запаса потребитель продает запас первого
блага, чтобы приобрести дополнительное к своему запасу количество второго блага; справа от
3
точки первоначального запаса – потребитель продает второе благо и покупает первое.
Поскольку наклон бюджетной линии слева и справа от точки первоначального запаса одинаков,
то это означает, что потребитель продает и покупает благо i по одной и той же цене pi , i  1, 2 .
Задача потребителя формулируется так же, как при фиксированном доходе, и ее решение
характеризуется теми же условиями, но с учетом того, что доход потребителя теперь равен
стоимости первоначального запаса.
Пусть x  ( x1 , x2 ) - решение задачи потребителя в случае натурального дохода. Если xi  i , то
говорят, что потребитель является чистым покупателем блага i . Если xi  i , то говорят, что
потребитель является чистым продавцом блага i .
4
Лекция 4. Краткий перечень основных понятий и результатов
Описание экономики обмена
Экономикой обмена называют такую экономику, в которой отсутствует производство, и все
сделки между экономическими агентами – потребителями - носят обменный характер.
Рассмотрим экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В). Объем
потребления блага i , i  1, 2 , потребителем k , k  A, B , обозначим через xik . Пусть
предпочтения потребителя k , k  A, B , представимы непрерывной функцией полезности
u k  x1k , x2k  . Потребители не имеют фиксированного дохода, но обладают первоначальными


запасами благ; вектор первоначального запаса потребителя k обозначим через  k  1k , 2k ,
где   0 - запас блага i , i  1, 2 , у потребителя k , k  A, B . Совокупный запас блага i в
k
i
экономике обозначим через i , т.е. i  iA  iB , i  1, 2 . Предполагается, что i  0 для любого
блага i . Пусть pi - цена блага i , i  1, 2 ; будем считать, что цены всех благ положительны, и
потребители принимают цены заданными.
Допустимые распределения
Распределением (состоянием экономики) в экономике обмена с двумя потребителями (А и В) и
двумя благами (1 и 2) называется набор, специфицирующий объем потребления каждого блага
каждым потребителем: x  x1A , x2A , x1B , x2B .




Допустимым распределением будем называть распределение x  x1A , x2A , x1B , x2B , такое, что
x1A  x1B  1 и x2A  x2B  2 .
Внутреннее распределение – это такое распределение, в котором у каждого потребителя
положительное количество каждого блага.
Граничное распределение – это такое распределение, в котором хотя бы у одного потребителя
отсутствует хотя бы одно благо.
Ящик Эджвота – графическое представление множества всех допустимых распределений.
Парето-оптимальные распределения
Определение.

Допустимое распределение x  x1A , x2A , x1B , x2B

называется Парето-оптимальным, если нельзя
улучшить положение одного потребителя, не ухудшая положения другого, т.е. не найдется
другого допустимого распределения xˆ  xˆ1A , xˆ2A , xˆ1B , xˆ2B , такого, что u A xˆ1A , xˆ2A  u A x1A , x2A и
u
B
 xˆ
B
1
B
2
, xˆ
  u x
B
B
1

B
2
,x

 , причем хотя бы одно из неравенств строгое. ■




Определение.
Парето-улучшением

для
распределения
распределение xˆ  xˆ1A , xˆ2A , xˆ1B , xˆ2B

x   x1A , x2A , x1B , x2B 



называется


допустимое



такое, что u A xˆ1A , xˆ2A  u A x1A , x2A и u B xˆ1B , xˆ2B  u B x1B , x2B ,
причем хотя бы одно из неравенств строгое. ■
1
Утверждение.
Пусть предпочтения потребителей строго монотонны и представимы дифференцируемыми
функциями полезности. Пусть x  x1A , x2A , x1B , x2B
- внутреннее Парето-оптимальное


распределение, тогда MRS ( x )  MRS ( x ) . ■
A
12
A
B
12
B
Утверждение.
Пусть предпочтения потребителей строго монотонны, выпуклы и представимы
дифференцируемыми функциями полезности. Тогда условие равенства предельных норм
замещения является не только необходимым, но и достаточным условием внутреннего Паретооптимума. ■
Утверждение.
Если
предпочтения
потребителей
строго
монотонны,
то
распределения
A
A
B
B
A
A
B
B
x1  1, x2  2 , x1  0, x2  0 и x1  0, x2  0, x1  1 , x2  2 оптимальны по Парето. ■

 

2
Лекция 5. Краткий перечень основных понятий и результатов
Закон Вальраса
В экономике обмена с двумя благами и двумя потребителями (А и В) функция избыточного
p1 , p 2
спроса
на
благо
при
ценах
имеет
вид
i,
i  1, 2 ,
A
B
A
B
k
z i  p1 , p 2   xi  p1 , p 2   xi  p1 , p 2    i   i , где xi  p1 , p 2   спрос потребителя k , k  A, B , на
благо i , i  1, 2 .
Если zi  p1 , p2   0 , то, говорят, что при ценах p1 , p 2 на рынке наблюдается дефицит блага i .
Если zi  p1 , p2   0 , то, говорят, что при ценах p1 , p 2 на рынке наблюдается профицит блага i .
Закон Вальраса: p1 z1  p1 , p2   p2 z 2  p1 , p2   0 .
Утверждение.
Если предпочтения потребителей монотонны, то при любых ценах, при которых определен
избыточный спрос, выполнен закон Вальраса: p1 z1  p1 , p2   p2 z 2  p1 , p2   0 . ■
Равновесие по Вальрасу
Определение.
Равновесием по Вальрасу в экономике обмена с двумя благами и двумя потребителями
p1 , ~
p2 , ~
x1A , ~
x2A , ~
x1B , ~
x2B , такой, что:
называется набор ~


u x
, x 2A


, x 2B



x1A , ~
x2A  решение задачи потребителя А при равновесных ценах ~
p1 , ~
p2 :
(1) ~
A
A
1
max
x1A , x2A  0
;

 p1 x1A  p 2 x 2A  p11A  p 2 2A
p1 , ~
p2 :
x1B , ~
x2B  решение задачи потребителя В при равновесных ценах ~
(2) ~

u x
B
B
1
max
x1B , x2B  0
;

 p1 x1B  p 2 x 2B  p11B  p 2 2B
(3) выполнены условия сбалансированности рынков:
~
xA ~
x B  и ~
xA ~
x B  . ■
1
1
1
2
2
2
p  ~
p1 , ~
p2  - равновесный вектор цен, то вектор p  ~
p1 , ~
p2  , где   0 , также
Если цен ~
является равновесным. Это означает, что одну из цен всегда можно пронормировать, положив
равной некоторому положительному числу.
Следствие закона Вальраса: В экономике обмена с двумя благами достаточно уравновесить
один рынок, тогда второй рынок будет уравновешен автоматически.
Равновесие и оптимальность
Утверждение (первая фундаментальная теорема экономики благосостояния).
1
~p , ~p , ~x
A
1
,~
x2A , ~
x1B , ~
x2B

 равновесие по Вальрасу в экономике обмена. Пусть
x1A , ~
x2A , ~
x1B , ~
x2B
предпочтения всех потребителей монотонны. Тогда равновесное распределение ~
оптимально по Парето. ■
Пусть
1
2


Определение.
Равновесием по Вальрасу в экономике
~ ~
~
p1 , ~
p2 , ~
x1A , ~
x 2A , ~
x1B , ~
x 2B , T A , T B , такой, что:










с
трансфертами
называется
набор
~
x1A , ~
x2A  решение задачи потребителя А при равновесных ценах ~
p1 , ~
p2 и трансферте T A :
(1) ~
u A x1A , x 2A  max
x1A , x2A  0

~ ;
A
A
 p1 x1  p 2 x 2  p11A  p 2 2A  T A
~
p1 , ~
p 2 и трансферте T B :
x1B , ~
x2B  решение задачи потребителя В при равновесных ценах ~
(2) ~
u B x1B , x 2B  max
x1B , x2B  0

~ ;
B
B
 p1 x1  p 2 x 2  p11B  p 2 2B  T B
(3) выполнено условие сбалансированности рынков:
~
xA ~
x B  и ~
xA ~
x B  ;
1
1
1
2
2
2
~
~
(4) выполнен финансовый баланс: T A  T B  0 . ■
Утверждение (вторая фундаментальная теорема экономики благосостояния).
Пусть предпочтения потребителей строго монотонны, выпуклы и представимы
дифференцируемыми функциями полезности. Тогда внутреннее Парето-оптимальное
распределение xˆ  xˆ1A , xˆ 2A , xˆ1B , xˆ 2B можно реализовать как равновесное в экономике с
трансфертами, где трансферт потребителю k составляет Tˆ k  p xˆ k  p xˆ k  p  k  p  k . ■


1 1
2
2
1
1
2
2
2
Лекция 6. Краткий перечень основных понятий и результатов
Простые лотереи
Пусть возможно два состояния мира (1 и 2), и s -ое состояние мира реализуется с некоторой
вероятностью  s , s  1, 2 ,  s  [0, 1] ,  1   2  1 . Состояния мира дают полное описание того,
что может произойти, и при этом они являются взаимоисключающими: если реализуется одно
из состояний мира, то не может реализоваться другое. Пусть s -ое состояние мира для индивида
характеризуется исходом xs  0 , т.е. уровнем богатства, которое индивид имеет в этом исходе.
Определение.
Простая лотерея - это набор вероятностей наступления возможных состояний мира и
соответствующих исходов: L  ( 1 ,  2 ; x1 , x2 ) , где  s  [0, 1] – вероятность реализации исхода xs
и 1   2  1 . ■
Любой исход также можно трактовать как простую лотерею, которая дает этот исход
гарантированно, т.е. с вероятностью 1. Такую лотерею будем называть вырожденной.
Обозначим через Ex(L) ожидаемый (средний) выигрыш по лотерее L  ( 1 ,  2 ; x1 , x2 ) , т.е.
Ex( L)   1 x1   2 x2 .
Отношение к риску
Будем называть индивида рискофобом (строго несклонным к риску), если любая лотерея из
множества простых лотерей для него хуже, чем вырожденная лотерея, которая дает ожидаемый
выигрыш от этой лотереи (гарантированно).
Будем называть индивида нейтральным к риску, если любая лотерея из множества простых
лотерей для него эквивалентна вырожденной лотереи, которая дает ожидаемый выигрыш от
этой лотереи (гарантированно).
Будем называть индивида рискофилом (строго склонным к риску), если любая лотерея из
множества простых лотерей для него лучше, чем вырожденная лотерея, которая дает
ожидаемый выигрыш от этой лотереи (гарантированно).
Функция ожидаемой полезности
Для того, чтобы построить функцию ожидаемой полезности (или функцию полезности
Неймана-Моргенштерна), U , от лотереи L   1 ,  2 ; x1 , x2  , каждому исходу xs , s  1, 2 , нужно
присвоить (действительное) число u( xs ) , а затем умножить его на вероятность наступления
этого исхода и сложить по всем возможным состояниями мира: U ( L)   1u ( x1 )   2u ( x2 ) .
Функция ожидаемой полезности U отображает множество простых лотерей во множество
действительных чисел. Функция u , определенная на исходах (денежных суммах), называется
элементарной функцией полезности или функцией полезности Бернулли; эта функция
полезности характеризует «удовольствие» индивида от денег. Будем считать, что элементарная
функцией полезности является возрастающей и дважды непрерывно дифференцируемой.
Если предпочтения потребителя на множестве простых лотерей представимы функцией
 L  тогда
ожидаемой полезности, то для любых двух простых лотерей L и L  выполнено: L ~
и только тогда, когда U ( L)  U ( L) .
1
Функция ожидаемой полезности и отношение к риску
Пусть предпочтения индивида на множестве простых лотерей описываются функцией
ожидаемой полезности.
Индивид является рискофобом тогда и только тогда, когда  1u ( x1 )   2u ( x2 )  u  1 x1   2 x2  для
любой простой лотереи L  1 ,  2 ; x1 , x2  . В случае дифференцируемой элементарной функции
полезности это означает, что u( x)  0 и u ( x)  0 для x  0 .
Индивид является рискофилом тогда и только тогда, когда  1u ( x1 )   2u ( x2 )  u  1 x1   2 x2  для
любой простой лотереи L   1 ,  2 ; x1 , x2  . В случае дифференцируемой элементарной функции
полезности это означает, что u( x)  0 и u( x)  0 для x  0 .
нейтральным
к
риску
тогда
и
только
тогда,
когда
Индивид
является
 1u ( x1 )   2u ( x2 )  u  1 x1   2 x2  для любой простой лотереи L  1 ,  2 ; x1 , x2  . В случае
дифференцируемой элементарной функции полезности это означает, что u( x)  0 и u( x)  0 .
Денежный (гарантированный) эквивалент лотереи
Денежным (гарантированным) эквивалентном простой лотереи L  ( 1 ,  2 ; x1 , x2 ) называется
такая сумма денег, CE (L) 1, которая, будучи полученной с определенностью, дает потребителю
тот же уровень ожидаемой полезности, что и сама лотерея: u (CE ( L))   1u ( x1 )   2 u ( x 2 ) .■
Утверждение.
1) Индивид является рискофобом тогда и только тогда, когда для любой простой лотереи
L  ( 1 ,  2 ; x1 , x2 ) выполнено: CE ( L)  Ex( L) .
2) Индивид нейтрален к риску тогда и только тогда, когда для любой простой лотереи
L  ( 1 ,  2 ; x1 , x2 ) выполнено: CE( L)  Ex( L) .
3) Индивид является рискофилом тогда и только тогда, когда для любой простой лотереи
L  ( 1 ,  2 ; x1 , x2 ) выполнено: CE( L)  Ex( L) . ■
Неединственность функции ожидаемой полезности
Утверждение.
Пусть U ( L) - функция ожидаемой полезности, описывающая предпочтения индивида на
множестве простых лотерей. Тогда U ( L) – это другая функция ожидаемой полезности,
описывающая те же предпочтения, тогда и только тогда, когда существуют такие числа   0 и
 , что U ( L)  U ( L)   для любой лотереи L из множества простых. ■
В частности, из утверждения следует, что элементарная функция полезности индивида
нейтрального к риску может быть представлена в виде u ( x)  x (но и любое ее положительное
линейно преобразование будет описывать те же предпочтения).
1
От англ. Certainty Equivalent.
2
Лекция 7. Краткий перечень основных понятий и результатов
Описание модели спроса на страховку
Предположим, индивид имеет богатство w  0 , часть которого, а именно сумму денег L ,
0  L  w , он может потерять в результате некоторого несчастного случая Вероятность
несчастного случая равна  , 0    1 . Индивид может обратиться к услугам страховой
компании и приобрести страховку от несчастного случая по цене  за единицу страхового
покрытия, 0    1 , т.е. предполагается линейное ценообразование. Будем считать, что
страховая компания конкурентна, не несет операционных издержек и нейтральна к риску.
Обозначим через y величину страхового покрытия, т.е. ту сумму, которую выплатит страховая
компания при наступлении страхового случая. Предположим также, что величина страхового
покрытия не может быть отрицательной, т.е. индивид не имеет возможности эмитировать
страховку: y  0 . Кроме того, введем предположение о том, что страхование на сумму,
превышающую потери, запрещено, т.е. y  L .
Задача выбора оптимальной величины страхового покрытия и характеристики ее
решения
Задача индивида выбрать такой уровень страхового покрытия, который позволяет достичь
максимально
возможного
уровня
ожидаемой
полезности:
U   u(w  L   y  y)  (1   )u(w   y)  max .
0 y  L
В отношении ценообразования на страховку будем рассматривать два случая: 1) актуарно
справедливая страховка, т.е.    ; 2) несправедливая страховка:    .
Утверждение.
При актуарно справедливой страховке:
1) индивид-рискофоб застрахуется на всю величину потерь: y  L ;
2) для индивида нейтрального к риску любой допустимый уровень страхового покрытия
является оптимальным, т.е. 0  y  L , поскольку ожидаемая полезность не зависит от
величины страхового покрытия;
3) индивид-рискофил не будет страховаться: y  0 . ■
Утверждение.
При несправедливой страховке1:
1) индивид-рискофоб застрахуется либо частично, либо откажется от страхования, но точно
не будет страховаться на всю величину потерь: 0  y  L ;
2) индивид нейтральный к риску и рискофил не будут приобретать страховку: y  0 . ■
Описание модели спроса на страховку в терминах контингентных благ
Будем считать, что богатство в разных состояниях мира – это разные блага, которые будем
называть контингентными2. Соответственно, будем считать, что предпочтения на наборах
1
Напомним, что предполагается дифференцируемость элементарной функции полезности. При отказе от этой
предпосылки утверждение, вообще говоря, неверно.
2
От англ. contingent – обусловленный.
1
контингентных благ описываются (обобщенной) функцией ожидаемой полезности, а бюджетное
множество представляет собой множество всех доступных потребителю наборов контингентных
благ.
В модели спроса на страховку два контингентных блага: 1) обозначим через x L богатство
индивида при наступлении страхового случая: xL  w  L  y  y ; 2) обозначим через
xNL - богатство в случае отсутствия потерь: xNL  w  y .
Уравнение
бюджетной
линии
xL  (1   ) x NL   (w  L)  (1   )w , где
в
терминах
w  L  x L  w  L
и
контингентных
w   L  xNL  w .
благ:
Набор
контингентных благ ( xL  w  L, xNL  w) можно рассматривать как точку первоначального
запаса, поэтому уравнение бюджетной линии, как в теории выбора потребителя при наличии
натурального дохода, интерпретируется как условие равенства стоимости набора благ должна
стоимости первоначального запаса. Наклон бюджетной линии в пространстве ( xL , xNL ) равен


1 
.
Ожидаемая
полезность
(обобщенная)
от
набора
( xL , xNL )
равна
U ( xL , xNL )   u( xL )  (1   )u( xNL ) . Наклон (с обратным знаком) кривой безразличия в
 u( xL )
, причем на
пространстве контингентных благ ( xL , xNL ) равен MRS xL xNL ( xL , xNL ) 
(1   )u( xNL )

линии определенности, т.е. в точках, где xL  xNL , MRS xL xNL ( xL , xNL ) 
.
1
Задача потребителя в терминах контингентных благ сводится к обычной задаче максимизации
(ожидаемой) полезности при бюджетном ограничении (которое в решении задачи выполняется
как равенство в силу строгой монотонности предпочтений):
U ( xL , xNL )   u( xL )  (1   )u( xNL )  max
xL , xNL

 xL  (1   ) xNL   (w  L)  (1   )w
.

w  L  xL  w   L
w   L  x  w
NL

Как и в теории потребителя в условиях определенности, если ( xL , xNL ) - внутреннее решение
задачи потребителя, то в этой точке имеет место касание кривой безразличия и бюджетной
линии, т.е. выполнено условие: MRS xL xNL ( x L , x NL ) 

1 
.
2
Лекция 8. Краткий перечень основных понятий и результатов
Описание модели формирования портфеля инвестиций из двух активов (рискового и
безрискового)
Пусть индивид, обладающий богатством w  0 , решает вопрос о том, как распределить его
между двумя активами: безрисковым и рисковым. Безрисковый – это актив с (валовой) нормой
отдачи на единицу вложений, равной c  1 . Рисковый актив характеризуется (валовой) нормой
отдачи на единицу вложений, равной a  c с вероятностью  , 0    1 , и b  c - в противном
случае.
Пусть x1 - это сумма денег, инвестируемая в безрисковый актив, а x2 – вложения в рисковый
актив, тогда x1  x2  w . Задача индивида выбрать такие объемы инвестиций, чтобы достичь
максимального уровня ожидаемой полезности:
U   u(cx1  ax2 )  (1   )u(cx1  bx2 )  max
x1 , x2 0
.



x
x
w
 1 2
Или, сведя задачу к выбору одной переменной, получим:
U  u (cw  x2 (a  c))  (1   )u (cw  x2 (b  c))  max .
0  x2  w
Пусть x2 - решение задачи, т.е. оптимальная величина инвестиций в рисковый актив; тогда
x1  w  x2 - оптимальная величина инвестиций в безрисковый актив.
Характеристика решения задачи максимизации ожидаемой полезности для рискофоба и
нейтрального к риску
Утверждение.
1) Условие a  (1   )b  c является необходимым и достаточным условием того, что
индивид-рискофоб будет вкладывать средства в рисковый актив, т.е. 0  x2  w .
2) Условие  a  (1   )b  c является необходимым и достаточным условием вложения
рискофобом всех средств в безрисковый актив, т.е. x1  w . ■
Утверждение.
1) Условие a  (1   )b  c является необходимым и достаточным условием того, что
индивид нейтральный к риску будет вкладывать все средства в рисковый актив, т.е.
x2  w ;
2) Условие  a  (1   )b  c является необходимым и достаточным условием того, что
индивид нейтральный к риску будет вкладывать все средства в безрисковый актив, т.е.
x1  w ;
1
3) При a  (1   )b  c имеет место множественность решений задачи максимизации
ожидаемой полезности индивида нейтрального к риску: он может выбрать любой
допустимый уровень инвестиций в рисковый актив, т.е. 0  x2  w .■
Модель формирования портфеля инвестиций в терминах контингентных благ
В этой модели возможно два состояния мира: 1) благоприятное, когда a  c (вероятность
наступления этого состояния мира равна  ). 2) и «неблагоприятное», когда b  c (вероятность
наступления этого состояния мира равна 1   ). Соответственно, получаем два контингентных
блага: 1) богатство в «благоприятном» состоянии мира: xNL  cw  x2 (a  c) ; 2) богатство в
«неблагоприятном» состоянии мира: xL  cw  x2 (b  c) .
терминах
контингентных
благ
имеет
вид:
(a  c) xL  (c  b) xNL  (a  c)cw  (c  b)cw , где bw  xL  cw и cw  xNL  aw , и набор
контингентных благ (cw, cw) представляет собой точку первоначального запаса. Наклон
ac
0.
бюджетной лини в пространстве ( xL , xNL ) равен
bc
Уравнение
бюджетной
линии
в
Ожидаемая полезность от набора контингентных благ описывается функцией
U ( xL , xNL )   u ( xNL )  (1   )u ( xL ) . Наклон (с обратным знаком) кривой безразличия в
(1   )u( xL )
1 
, причем MRS xL xNL ( xL  xNL ) 
.
пространстве ( xL , xNL ) равен MRS xL xNL ( xL , xNL ) 
 u( xNL )

Задача индивида заключается в выборе наилучшего из доступных наборов контингентных благ
(поскольку предпочтения строго монотонны, то выбор лежит на бюджетной линии):
U   u ( xNL )  (1   )u ( xL )  max
xL , xNL

(a  c) xL  (c  b) xNL  (a  c)cw  (c  b)cw
.



cw
x
aw

NL
bw  x  cw

L
Если ( xL , xNL ) - внутреннее решение задачи потребителя, то в этой точке имеет место касание
ac 1
кривой безразличия и бюджетной линии, т.е. выполнено условие: MRS xL xNL ( x L , x NL ) 
.
c b
Условие a  (1   )b  c в пространстве контингентных благ ( xL , xNL ) означает, что в точке
первоначального запаса (cw, cw) кривая безразличия положе бюджетной линии; соответственно,
при a  (1   )b  c в точке (cw, cw) кривая безразличия круче бюджетной линии.
Для того, чтобы получить наклон бюджетной линии с обратным знаком, (a  c) / (c  b)  0 , знак «минус»
внесен в выражение (a  c) / (b  c)  0 .
1
2
Лекция 9. Краткий перечень обозначений и основных понятий
Теория поведения производителя
Описание технологии
Будем считать, что фирма производит единственный вид продукции, объем производства
которой (выпуск) обозначим через y . Будем рассматривать случаи, когда для производства
готовой продукции фирма использует либо один, либо два фактора производства. Для
однофакторной технологии объем потребления фактора обозначим через х , а для
двухфакторной фирмы x  ( x1 , x2 ) - это комбинация (вектор) факторов, где xi - объем
использования i -го фактора производства, i  1, 2 . Выпуск и факторы бесконечно делимы.
Производственная функция f ( x) показывает максимальный объем выпуска y , который может
быть получен из факторов производства x , где x  ( x1 , x2 ) , если речь идет о двухфакторной
технологии, и x скалярная величина, если рассматривается однофакторная технология.
Будем считать, что производственная функция является непрерывной, неубывающей1 и факторы
производства существенны для производственного процесса, т.е. f (0)  0 , если не оговорено
другое.
Изокванта – для двухфакторной технологии это множество всех комбинаций факторов
производства ( x1 , x2 ) , позволяющих произвести одинаковый максимально возможный уровень
выпуска y . Таким образом уравнение изокванты имеет вид: y  f ( x1 , x2 ) , где y  const .
Примеры двухфакторных технологий
1) Комплементарные факторы производства2 (абсолютно взаимодополняющие факторы):
x x 
f ( x)  min  1 , 2  , где  ,   0 . Факторы используются в постоянной пропорции:  единиц
  
первого фактора совместно с  единицами второго фактора.
2) Субституты (абсолютно взаимозаменяющие факторы): f ( x)   x1   x2 , где  ,   0 .
Технология характеризуется возможностью замещения одного фактора другим в постоянной
пропорции.
3) Производственная функция Кобба-Дугласа: f ( x1 , x2 )  Ax1 x2 , A,  ,   0 .
Свойства технологий
Монотонность (свобода расходования): увеличение количества хотя бы одного фактора
производства должно давать возможность произвести по меньшей мере тот же уровень выпуска,
сколько производилось первоначально. В терминах производственной функции это означает,
что f ( x1 , x2 ) является возрастающей (вообще говоря, неубывающей) функцией.
Выпуклость технологии: Если есть две возможности произвести y единиц выпуска ( x1 , x2 ) и
( z1 , z 2 ) , то с помощью их комбинации (x1  (1   ) z1 , x2  (1   ) z 2 ) , где 0    1, можно
произвести по меньшей мере y единиц выпуска (это эквивалентно выпуклости предпочтений).
1
Обратим внимание, то термин «неубывающая» функция используется, чтобы иметь возможность рассматривать
технологию, когда факторы производства комплементарны, описывается не возрастающей, а неубывающей
x x 
производственной функцией вида f ( x)  min  1 , 2  , где  ,   0 . Остальные же рассматриваемые в курсе
  
функции являются возрастающими.
2
Такую технологию также называют Леонтьевской.
Если производственная функция дифференцируема, то для однофакторной технологии
предельный продукт фактора производства определяется как MP( x)  f ( x) . Аналогично, для
двухфакторной технологии предельным продуктом фактора производства i называется
f ( x1 , x2 )
, i  1, 2 .
MPi ( x1 , x2 ) 
xi
Предельная норма технологического замещения, MRTS12 ( x1 , x2 ) , показывает, на какое
количество малых единиц3 второго фактора можно заменить малую единицу первого фактора в
точке ( x1 , x2 ) не изменяя выпуск. Предельная норма технологического замещения характеризует
тангенс угла наклона касательной к изокванте (с обратным знаком) в пространстве факторов
MP1 ( x1 , x2 )
производства ( x1 , x2 ) : MRTS12 ( x1 , x2 ) 
.
MP2 ( x1 , x2 )
Технология, описываемая производственной функцией f ( x) , характеризуется:
1) возрастающей отдачей от масштаба (IRTS4), если для любого числа t  1
f (tx)  tf ( x) ;5
2) убывающей отдачей от масштаба (DRTS6), если для любого числа t  1
f (tx)  tf ( x) ;
3) постоянной отдачей от масштаба (CRTS7), если для любого положительного числа t  0
f (tx)  tf ( x) .
Максимизация прибыли для случая однофакторной технологии
Пусть p  цена единицы готовой продукции, производимой фирмой, w  цена единицы
фактора производства, p , w  0 .
 p y  wx  max
x , y 0
Задача максимизации прибыли (задача фирмы): 
.
 y  f ( x)
Пусть ( x, y) - решение задачи при произвольных положительных ценах. Тогда x  x( p, w) - это
функция спроса на фактор производства, y  y( p, w) - функция предложения готовой
продукции, а  ( p, w)  py  wx - функция прибыли.
Если ( x, y)  0 и производственная функция дифференцируема, то pMP( x)  w .
Изопрофиты – это множество всех комбинаций объемов использования фактора производства и
уровня выпуска, которые дают один и тот же уровень прибыли (при фиксированных ценах).
Таким образом, уравнение изопрофиты имеет вид: py  wx   ,   const . Для графической
иллюстрации решения задачи максимизации прибыли нужно изобразить в пространстве ( x, y)
график производственной функции и изопрофиты. На рисунке решение задачи максимизации
прибыли - это такая точка на графике производственной функции, где достигается самая
высокая изпрофита.
3
Имеются в виду дифференциально малые изменения.
4
От англ. Increasing Return to Scale.
Для двухфакторной технологии запись y  f ( x) означает y  f ( x1 , x2 ) , следовательно, f (tx)  f (tx1 , tx2 ) и
tf ( x)  tf ( x1 , x2 ) .
5
6
От англ. Decreasing Return to Scale.
7
От англ. Constant Return to Scale.
Лекция 10. Краткий перечень основных понятий и результатов
Теория поведения производителя (продолжение)
1
Слабая аксиома максимизации прибыли (WAPM ) для случая однофакторной технологии
Согласно слабой аксиоме максимизации прибыли (WAPM), если максимизирующая прибыль
фирма при цене фактора wt и цене продукции p t выбрала осуществимую комбинацию ( x t , y t ),
а при ценах ws и p s  осуществимую комбинацию ( x s , y s ), то выполнены следующие
соотношения: pt yt  wt xt  pt y s  wt x s и p s y s  ws x s  p s yt  ws xt .
Следствия слабой аксиомы максимизации прибыли: 1) выпуск фирмы не убывает с ростом цены
готовой продукции; 2) спрос на фактор производства не возрастает по своей цене (т.е. в
производстве отсутствует аналог товара Гиффена).
Максимизация прибыли в случае двухфакторной технологии
p  цена единицы готовой продукции, производимой фирмой, w1  цена единицы 1-го фактора
производства, w2  цена единицы 2-го фактора производства, p1 , w1 , w2  0 .
Краткосрочный период определяется как период времени, в котором существуют факторы,
которые могут использоваться только в неизменных количествах. В долгосрочном периоде
фирма может изменять количества всех факторов производства.
Максимизация прибыли в краткосрочном периоде
Задача максимизации прибыли (задача фирмы) в краткосрочном периоде при фиксированном
 py  w1 x1  w2 x2  max
y  0, x1  0
количестве второго фактора на уровне x2  0 имеет вид: 
.
 y  f ( x1 , x2 )
Решение задачи: x1 ( p, w1 , w2 , x2 )  функция спроса на первый фактор в краткосрочном периоде,
y( p, w1 , w2 , x2 )  функция предложения готовой продукции в краткосрочном периоде.
 ( p, w1 , w2 , x2 )  py( p, w1, w2 , x2 )  w1x1 ( p, w1 , w2 , x2 )  w2 x2  функция прибыли в краткосрочном
периоде.
Если ( x1 , y)  0  решение задачи, производственная функция дифференцируема, то
pMP1 ( x1 , x2 )  w1 . Если технология фирмы характеризуется убывающим предельным продуктом
первого фактора, то это условие является не только необходимым, но и достаточным условием
внутреннего решения задачи фирмы.
Графическая иллюстрация решения задачи фирмы аналогична описанному в лекции 9 случаю
однофакторной технологии.
Максимизация прибыли в долгосрочном периоде
В долгосрочном периоде задача максимизации прибыли отличается от случая краткосрочного
периода тем, что теперь фирма может выбирать объемы всех факторов. Таким образом, задача
 py  w1 x1  w2 x2  max
y  0, x1  0, x2  0
максимизации прибыли имеет вид: 
.
 y  f ( x1 , x2 )
1
WAPM – от англ. Weak Axiom of Profit Maximization.
Решив эту задачу, найдем функции спроса на факторы и функцию предложения готовой
продукции. xi ( p, w1 , w2 )  функция спроса на i-й фактор, i  1, 2 . y( p, w1 , w2 )  функция
предложения готовой продукции. Как и раньше, подставив функции спроса на факторы и
функцию предложения в целевую функцию, найдем функцию прибыли:
 ( p, w1 , w2 )  py( p, w1, w2 )  w1x1 ( p, w1, w2 )  w2 x2 ( p, w1, w2 )  функция прибыли.
Если ( x1 , x2 , y)  0  решение задачи, производственная функция дифференцируема, то
w
w
MRTS12 ( x1 , x2 )  1 . Если производственная функция вогнута, то условие MRTS12 ( x1 , x2 )  1
w2
w2
является не только необходимым, но и достаточным условием внутреннего решения задачи
фирмы.
WAPM в долгосрочном периоде: предположим, при ценах ( pt , w1t , w2t ) фирма, максимизируя
прибыль, выбрала комбинацию выпуска и факторов ( y t , x1t , x2t ) , а при ценах ( p s , w1s , w2s ) фирма,
максимизируя прибыль, выбрала комбинацию ( y s , x1s , x2s ) . Тогда справедливы следующие
соотношения: pt yt  w1t x1t  w2t x2t  pt y s  w1t x1s  w2t x2s и p s y s  w1s x1s  w2s x2s  p s yt  w1s x1t  w2s x2t .
Утверждение. Если технология фирмы характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то в
долгосрочном периоде либо решения задачи максимизации прибыли не существует, либо
решение существует и тогда максимальная прибыль фирмы равна нулю.
Минимизация издержек
Задачу максимизации прибыли можно разделить на два этапа. На первом этапе для любого
возможного уровня выпуска выбирается оптимальная комбинация факторов, позволяющая
произвести этот уровень выпуска наиболее дешевым способом, и определяется функция
издержек фирмы. На втором этапе при функции издержек, характеризующей производственные
возможности фирмы, определяется уровень выпуска, максимизирующий прибыль.
Утверждение. Если фирма максимизирует прибыль, то она минимизирует издержки.
Минимизация издержек при двухфакторной технологии в долгосрочном периоде
 w1 x1  w2 x2  min 2
x1 , x2  0
Задача минимизации издержек имеет вид: 
.
 y  f ( x1 , x2 )
Решение задачи: xi (w1 , w2 , y)  функция условного спроса на i -й фактор производства, i  1, 2 .
Подставив функции условного спроса на факторы производства в целевую функцию задачи
получим функцию издержек: c(w1 , w2 , y)  w1 x1 (w1 , w2 , y)  w2 x2 (w1 , w2 , y) , которая показывает
минимальные издержки производства y единиц выпуска при ценах факторов производства
w  (w1 , w2 ) .
Для графической иллюстрации решения задачи минимизации издержек нужно изобразить в
пространстве ( x1 , x2 ) изокванту, соответствующую заданному выпуску, и изокосты. Изокосты –
множество комбинаций объемов использования факторов, которые дают один и тот же уровень
издержек: w1 x1  w2 x2  c , c  const . В пространстве ( x1 , x2 ) изокосты представляют собой
прямые с наклоном (w1 / w2 ) . Чем выше проведена изокоста, тем большему уровню издержек
2
Обратите внимание, что в этой задаче уровень выпуска не включен в переменные оптимизации, т.е. выступает
параметром.
она соответствует. Решение задачи на рисунке соответствует точке на изокванте, которая лежит
на самой низко расположенной изокосте.
( x1 , x2 )  0  решение задачи, производственная функция дифференцируема, то
w
MRTS12 ( x1 , x2 )  1 .
w2
Если
В фрагменте 10.14 сформулирован алгоритм, по которому можно найти минимальные издержки
(рисунок использован для иллюстрации идеи). Например, для производственной функции
w
u( x1 , x2 )  ( x1 )2  ( x2 )2 точка на изокванте, удовлетворяющая условию MRTS12 ( x1 , x2 )  1 , стоит
w2
w12  w22 y . Граничная точка на изокванте с координатами ( y , 0) (т.е. на горизонтальной
оси) стоит w1 y . Граничная точка с координатами (0, y ) (т.е. на вертикальной оси) стоит
w2 y . Поскольку
w12  w22 y  w1 y и
w12  w22 y  w2 y , то внутренняя точка не будет
решением. Если w1  w2 , то минимальные издержки w1 y , если w1  w2 , то минимальные
издержки w2 y , если w1  w2 , то w1 y  w2 y . Таким образом, функция издержек для
рассматриваемой производственной функции имеет вид: c(w1 , w2 , y)  min w1 , w2  y .
Лекция 11. Краткий перечень основных понятий и результатов
Теория поведения производителя (продолжение)
Слабая аксиома минимизации издержек (WAСM1)
Пусть при ценах ( w1t , w2t ) фирма, минимизируя издержки производства выпуска y , выбрала
комбинацию факторов ( x1t , x2t ) . А при ценах ( w1s , w2s ) минимальные издержки производства того
же объема выпуска y достигаются при комбинации факторов ( x1s , x2s ) . Тогда должны быть
выполнены следующие соотношения: w1t x1t  w2t x2t  w1t x1s  w2t x2s и w1s x1s  w2s x2s  w1s x1t  w2s x2t .
Минимизация издержек при двухфакторной технологии в краткосрочном периоде
Пусть объем использования второго фактора фиксирован на уровне x2  0 . Тогда задача

 w1 x1  w2 x2  min
x1  0
минимизации издержек имеет вид: 
.
y

f
(
x
,
x
)


1
2
Решением задачи является функция условного спроса в краткосрочном периоде на переменный
фактор: x1SR ( y, x2 ) . Подставляя решение задачи в целевую функцию, получим функцию
издержек в краткосрочном периоде: c SR (w1 , w2 , y, x2 )  w1 x1SR ( y, x2 )  w2 x2 .
Минимизация издержек для однофакторной технологии
 wx  min
x0
Задача минимизации издержек имеет вид: 
.
 y  f ( x)
Решением этой задачи при возрастающей производственной функции является x  f 1 ( y) ,
соответственно, функция издержек будет следующей: с(w, y)  wf 1 ( y) , где f 1 ( y)  функция,
обратная функции f ( x) .
Кривые издержек
Кривые издержек в долгосрочном периоде
Зафиксируем цены факторов и будем рассматривать издержки как функцию от y .
Средние издержки: AC ( y ) 
c( y ) 2
. Средние издержки – это издержки на единицу производства.
y
Утверждение.
1) Если технология характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то при положительном
уровне выпуска AC ( y)  AC ( y) для любого   0 , т.е. AC ( y)  const .
2) Если технология характеризуется возрастающей отдачей от масштаба, то при положительном
уровне выпуска AC ( y)  AC ( y) для любого   1 , т.е. AC ( y)  убывает по y .
3) Если технология характеризуется убывающей отдачей от масштаба, то при положительном
уровне выпуска AC ( y)  AC ( y) для любого   1 , т.е. AC ( y)  возрастает по y . ■
1
WACM – от англ. Weak Axiom of Cost Minimization.
2
AC – от англ. Average Costs.
Если при малых объемах производства имеет место возрастающая отдача от масштаба, а при
росте объемов выпуска с некоторого момента отдача от масштаба убывающая, то график
функции средних издержек имеет U-образную форму. Кроме того, график функции средних
издержек имеет U-образную форму в случае, если существуют квазипостоянные издержки.
Утверждение.
Пусть функция издержек непрерывна, дифференцируема и с(0)  0 . Тогда справедливы
следующие соотношения между предельными и средними издержками.
1) Средние издержки равны предельным при y  0 .
2) AC( y)  0 ( AC( y)  0 ) тогда и только тогда, когда MC ( y)  AC ( y) ( MC ( y)  AC ( y) ), т.е.
кривая средних издержек лежит выше (ниже) кривой предельных издержек MC ( y) .
3) Если существует уровень выпуска y  0 , при котором средние издержки достигают
минимума, то в этой точке средние издержки равны предельным, т.е. MC ( y )  AC ( y ) .■
Предложение фирмы в долгосрочном периоде
Поскольку максимизирующая прибыль фирма должна минимизировать издержки, то при
фиксированных ценах факторов задача максимизации прибыли может быть записана в виде:
py  c( y)  max . В долгосрочном периоде фирма производит положительный объем
y 0
продукции, y , при выполнении условий: 1) p  MC ( y ) ; 2) MC ( y) при y не убывает; 3)
p  AC ( y ) . Таким образом, в долгосрочном периоде фирма будет производить положительный
выпуск только при p  min AC .
Кривые издержек в краткосрочном периоде
Рассмотрим двухфакторную технологию и предположим, что объем использования второго
фактора фиксирован на уровне x2  0 .
Функция издержек в краткосрочном периоде может быть записана в виде
c SR ( y, x2 )  VC ( y, x2 )  FC , где VC ( y, x2 )  w1 x1SR ( y, x2 ) 3 - это функция переменных издержек, а
FC  w2 x2 4 - фиксированные (постоянные) издержки.
Функция средних краткосрочных издержек: AC SR ( y, x2 )  c SR ( y, x2 ) y . Эта функция может быть
представлена как сумма средних переменных издержек, AVC ( y, x2 )  VC ( y, x2 ) y 5, и средних
фиксированных издержек, AFC ( y, x2 )  FC y 6.
Если VC (0, x2 )  0 , то площадь под кривой предельных издержек дает переменные издержки.
Поскольку переменные и фиксированные издержки и, соответственно, средние переменные
издержки и средние фиксированные издержки, существуют только в краткосрочном периоде, то
можем не использовать для них индекс SR.
Утверждение.
Пусть x1SR (0, x2 )  0 .7 Тогда справедливы следующие соотношения между предельными,
средними переменными и совокупными издержками в краткосрочном периоде.
3
VC – от англ. Variable Costs.
4
FC – от англ. Fixed Costs.
5
AVC – от англ. Average Variable Costs.
6
AFC – от англ. Average Fixed Costs.
1) Средние переменные издержки равны предельным при y  0 .
2)
AVC( y)  0
( AVC( y)  0 )
тогда
и
только
тогда,
когда
MC SR ( y)  AVC ( y)
(
MC SR ( y)  AVC ( y) ).
3) Если существует уровень выпуска y  0 , при котором AVC ( y) достигают минимума, то
AVC ( y )  MC SR ( y ) .
4)
 AC
SR
( y)   0
(  AC SR ( y)   0 ) тогда и только тогда, когда
MC SR ( y)  AC SR ( y)
(
MC SR ( y)  AC SR ( y) ).
5) Если существует уровень выпуска y  0 , при котором AC SR ( y) достигают минимума, то
AC SR ( y )  MC SR ( y ) .■
Если предельный продукт переменного фактора сначала возрастает, а затем, с ростом выпуска,
убывает, то AVC ( y) могут иметь U -образную форму. Средние издержки в краткосрочном
периоде – это сумма средних переменных издержек и средних фиксированных (постоянных)
издержек. Поэтому кривая средних издержек поначалу должна убывать из-за убывания средних
фиксированных издержек. Но затем, если AVC ( y) возрастают, наклон должен стать
положительным, т.е. кривая AC SR ( y) будет иметь U -образную форму.
Кривые издержек в краткосрочном и долгосрочном периодах
Поскольку в долгосрочном периоде можно менять количество обоих факторов, а в
краткосрочном периоде один из факторов фиксирован, то c LR ( y)  c SR ( y, x2 ) .
Пусть y  это уровень выпуска, для которого в долгосрочном периоде, когда все факторы
переменны, оптимальный объем использования второго фактора равен как раз тому уровню, на
x2  x2 ( y ) 8. Тогда
котором он зафиксирован в краткосрочном периоде, т.е.
c LR ( y )  c SR  y , x2  x2 ( y )  ,
соответственно,
средние
издержки
соотносятся
аналогично
совокупным издержкам: AC ( y)  AC ( y, x2 ) и AC ( y )  AC ( y , x2  x2 ( y )) . Таким образом,
кривые средних издержек краткосрочного периода лежат выше кривой средних издержек
долгосрочного периода и касаются ее лишь в одной точке (не обязательно соответствующей
минимуму средних краткосрочных издержек). Кроме того, MC LR ( y )  MC SR ( y , x2  x2 ( y )) .
LR
LR
SR
SR
Предложение фирмы в краткосрочном периоде
Аналогично долгосрочному периоду, задача максимизации прибыли в краткосрочном периоде
может быть записана, как py  c SR ( y)  max . В краткосрочном периоде фирма производит
y 0
положительный объем продукции, y , при выполнении условий: 1) p  MC SR ( y ) ; 2) MC SR ( y)
при y не убывает; 3) p  AVC ( y ) . Следовательно, в краткосрочном периоде фирма будет
производить положительный объем продукции только при p  min AVC .
7
8
Предпосылка нужна для применения правила Лопиталя в доказательстве части 1 утверждения.
Здесь x2 ( y ) - это функция условного спроса на второй фактор производства при минимизации издержек выпуска
y в долгосрочном периоде; напомним, что для удобства опущены цены факторов производства в записи функций.