Límites de Funciones
Vectoriales
Unidad 1
Cálculo Vectorial – Consuelo Jara
Ingeniería
LIMITES DE FUNCIONES VECTORIALES
EJERCICIO
Demostrar que lim 𝑭 =(6 , 4) si 𝐹 𝑡 = (3𝑡, 𝑡 2 )
𝑡→2
Solución
Dado cualquier 𝜀 > 0, existe un 𝛿 > 0 tal que 0 < 𝑡 − 2 < 𝛿 → 𝑭 𝑡 − (𝟔, 𝟒) < 𝜀
𝑭 𝑡 − (𝟔, 𝟒) =
3𝑡, 𝑡 2 − (𝟔, 𝟒)
= 3𝑡 − 6, 𝑡 2 − 4
= (3𝑡 − 6)2 +(𝑡 2 − 4)2
3𝑡 − 6 2 + (𝑡 2 − 4)2
Desigualdad triangular: 𝑎2 + 𝑏2 ≤ 𝑎2 + 𝑏2
3𝑡 − 6 2 + (𝑡 2 − 4)2 ≤ 3𝑡 − 6 + 𝑡 2 − 4
≤
, ⌊a⌋= 𝑎2
3𝑡 − 6 2 + (𝑡 2 − 4)2 ≤ 3 𝑡 − 2 + 𝑡 − 2 𝑡 + 2
< 3𝛿 + 𝛿
𝑡+2
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LIMITES DE FUNCIONES VECTORIALES
< 3𝛿 + 𝛿 𝑡 + 2
Acotamos: sea 𝛿=1
𝑡−2 <𝛿 =1
𝑡−2 <1
−1 < 𝑡 − 2 < 1
1<𝑡<3
3<𝑡+2<5
3< 𝑡+2 <5
Acotamos:3 𝑡 − 2 + 𝑡 − 2 𝑡 + 2
3 𝑡 − 2 + 𝑡 − 2 𝑡 + 2 < 3𝛿 +5 𝛿 =8 𝛿 = 𝜀
𝜀
𝛿 =8
𝜀
𝛿 = 𝑚𝑖𝑛 1, 8
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CONTINUIDAD
DEFINICIÓN
Sea 𝑭: 𝑰 ⊆ 𝑹 → 𝑹𝒏 siendo 𝑰 un intervalo abierto, entonces:
𝑭 es continua en 𝒕𝟎 ∈ 𝑰 si y solo si 𝒍𝒊𝒎 𝑭 𝒕 = 𝑭(𝒕𝟎 )
𝒕→𝒕𝟎
Demostración
lim 𝑭(𝒕) = ( lim 𝑓1 , lim 𝑓2 , … … lim 𝑓𝑛 )
𝑡→𝑡0
𝑡→𝑡0
𝑡→𝑡0
𝑡→𝑡0
= (𝑓1 (𝑡0 ), 𝑓2 (𝑡0 ), … … 𝑓𝑛 (𝑡0 ))
lim 𝑭(𝒕) = 𝑭(𝑡0 )
𝑡→𝑡0
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TEOREMA
Sea 𝑭: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅𝑛 una función vectorial definida en un abierto
𝐼. La función 𝑭 es continua en 𝑡0 ∈ 𝐼 si y solo si las funciones
coordenadas 𝑓𝑖 son continuas en 𝑓 ∀𝑖 = 1, 2 … 𝑛
EJEMPLO
Sea 𝐹: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅𝑛 una función definida por la regla de
correspondencia:
𝐹 𝑡 = 𝑡 3 − 1, 𝑡 2 − 2𝑡 + 1 .
Analice
la
continuidad en su dominio.
Las funciones coordenadas son polinomiales, que son
continuas en todos los reales. Por tanto F es continua en todo
su dominio.
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EJEMPLO
Sea 𝐹: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅𝑛
correspondencia:
𝐹 𝑡 =
una función definida por la regla de
sen 3𝑡 cos 4𝑡
,
,
sen 4𝑡 cos 3𝑡
3
,1 ,𝑡 = 0
4
𝑡≠0
¿Es F continua en 𝑡 = 0?
Solución
Para que sea continua en 𝑡 = 0 debe cumplirse 𝑙𝑖𝑚 𝐹 𝑡 = 𝐹(0)
𝑡→0
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sen 3𝑡 cos 4𝑡
𝑙𝑖𝑚 𝐹 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚
,
𝑡→0
𝑡→0 sen 4𝑡
cos 3𝑡
sen 3𝑡
= lim
𝑡→0 sen 4𝑡
sen 3𝑡
𝑡→0 sen 4𝑡
cos 4𝑡
lim
𝑡→0 cos 3𝑡
lim
3 co𝑠 3𝑡
𝑡→0 4 cos 4𝑡
1
= =1
1
= lim
=
cos 4𝑡
, lim
𝑡→0 cos 3𝑡
3
4
3
𝑙𝑖𝑚 𝐹 𝑡 =
, 1 = 𝑭(0)
𝑡→0
4
Por lo tanto, F es continua en t = 0
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EJERCICIOS
1. La función 𝐹: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅3 una función definida por la regla de
correspondencia:
sen(𝑡)
2
𝑡, 𝑡 ,
,
𝑡≠0
𝐹 𝑡 =൞
𝑡
0 ,0 ,0 ,𝑡 = 0
¿Es F continua en 𝑡 = 0?
Solución
𝑙𝑖𝑚 𝐹 𝑡 = lim
𝑡→0
𝑡→0
𝑡, 𝑡 2 ,
sen(𝑡)
= (0 , 0 , 1) ≠ 0 , 0 , 0
𝑡
Por lo tanto no es continua en t = 0
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EJERCICIOS
2. La función 𝐹: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅3 una función definida por la regla de
correspondencia:
1 − 𝑡 2 , 1 − 𝑡, 1 − 𝑡 ,
𝑡<0
𝐹 𝑡 =൞
1 ,1 ,1 ,𝑡 = 0
𝑒 𝑡 , 𝑒 𝑡 , 𝑒 2𝑡 , 𝑡 > 0
¿Es F continua en su dominio?
Solución
𝑙𝑖𝑚− 𝐹(𝑡) = lim− 1 − 𝑡 2 , 1 − 𝑡, 1 − 𝑡 = (1 , 1 , 1)
𝑡→0
𝑡→0
𝑙𝑖𝑚+ 𝐹(𝑡) = lim+(𝑒 𝑡 , 𝑒 𝑡 , 𝑒 2𝑡 ) = (1 , 1 , 1)
𝑡→0
𝑡→0
𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑡) = 1,1,1 = 𝐹(0)
𝑡→0
Las funciones coordenadas son polinomiales y exponenciales,
continuas en R, por lo tanto F es continua
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CURVAS EN 𝑹𝒏
DEFINICIÓN
Un camino o trayectoria en el espacio ℝ𝑛 es una función vectorial
continua en un intervalo 𝐼 contenido en ℝ.
DEFINICIÓN
Se llama curva en ℝ𝑛 , al conjunto C formado por la imagen o rango
de una trayectoria o camino 𝐹: 𝑎 , 𝑏 → ℝ𝑛
𝐶 = 𝑃 ∈ ℝ𝑛 Τ𝑃 = 𝐹 𝑡 , 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]
Si 𝑡 es el tiempo, 𝐹(𝑡) puede ser considerado como la trayectoria de
una partícula.
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CURVA EN 𝑹𝟐
𝛼1 𝑡 , 𝛼2 (𝑡)
ℝ
I
𝑡
𝑦
Parametrización
curva C
𝛼1 𝑡 , 𝛼2 (𝑡)
𝑥
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NOTA 1
La curva C se conoce como la traza de F. Los vectores 𝐹(𝑎) y 𝐹(𝑏)
son los extremos de la curva.
NOTA 2
En la gráfica de una curva descrita por una función continua no
puede tener interrupciones.
NOTA 3
En caso de curvas es usual denotar la función por letras griegas:
𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜃, 𝑒𝑡𝑐.
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ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA CURVA
Sea 𝐶: 𝑃 = 𝛼(𝑡), la curva descrita por la trayectoria o camino
𝛼: 𝛼 𝑡 = (𝛼1 𝑡 , 𝛼2 𝑡 , … 𝛼𝑛 𝑡 ) . Si 𝑃(𝑥1 , 𝑥2 . . 𝑥𝑛 ) ∈ 𝐶 (punto
genérico)
Las ecuaciones reales:
𝑥1 = 𝛼1 𝑡
𝑥2 = 𝛼2 𝑡
.
.
.
𝑥𝑛 = 𝛼𝑛 𝑡 , 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]
Se llaman ecuaciones paramétricas de C y la función 𝜶 constituye
una parametrización de la curva.
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EJEMPLO
La función 𝛼 𝑡 = (1 − sen 𝑡 , 1 − cos 𝑡), describe una curva C en el
plano XY y sus ecuaciones paramétricas son:
𝑥 = 1 − sen 𝑡
𝐶:
,
𝑡 ∈ [0,2𝜋]
𝑦 = 1 − cos 𝑡
La gráfica de F es la
curva de la figura.
𝒕
0
𝝅/𝟐
𝑥
1
0
𝑦
0
1
El parámetro t es el ángulo
polar medido entre el radio
vector 𝑂𝑃 y el semieje 𝑋 +
despejando
en
las
ecuaciones originales.
𝒔𝒆𝒏 𝒕 = 𝟏 − 𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝒕 = 𝟏 − 𝒚
(𝒙 − 𝟏)𝟐 +(𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟏
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EJEMPLO
𝑥 = 𝑡2
Graficar la curva 𝑪: ቊ
, −1 ≤ 𝑡 ≤ 2
𝑦 = 𝑡3
8
𝑡=2
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Solución
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Realizamos una tabulación de
algunos valores para el parámetro 𝑡
4
𝒕
𝒙
𝒚
−1
1
−1
0
0
0
1
1
1
2
4
8
3
2
1
𝑡=0
–1 0
𝑡=1
1
2
3
4
𝑡 = −1
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EJERCICIO
Trace la curva cuya ecuación vectorial es: 𝛼 𝑡 = (cos 𝑡 , sen 𝑡 , 𝑡)
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EJERCICIO
Trace la curva cuya ecuación vectorial es:
𝛼 𝑡 = 𝑡, 4 − 𝑡 2 𝑡 ∈ [−2, 2]
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NOTA (En 𝑹𝟑 )
a.
Una
sola
ecuación
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 , representa
una superficie.
b. Dos ecuaciones 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
y g 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 representa una
curva.
𝐶
𝑥2 + 𝑦2 = 2
𝑥2 + 𝑦2 = 2
𝑥+𝑦+𝑧 =1
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