Identité cyclique de dérivées partielles
On considère les trois fonctions d’état inversibles x (y, z), y (z, x) et z (x, y). Les
différentielles de ces fonctions sont données par,
∂x
∂x
dy +
dz
∂y
∂z
∂y
∂y
dz +
dx
dy =
∂z
∂x
∂z
∂z
dz =
dx +
dy
∂x
∂y
dx =
(9.114)
où la dépendance explicite en termes des variables d’état x, y et z n’a pas été indiquée afin d’alléger les expressions. En substituant la deuxième et la troisième
équation du système (9.114) dans la première, on obtient respectivement,
∂x
dx 1 −
∂y
∂x
dx 1 −
∂z
∂y
∂x ∂x ∂y
= dz
+
∂x
∂z
∂y ∂z
∂z
∂x ∂x ∂z
= dy
+
∂x
∂y
∂z ∂y
(9.115)
Afin de satisfaire les identités (9.115) pour toute variation infinitésimale, les
termes entre parenthèses doivent être nuls. Pour que ces termes s’annulent
dans les membres de gauche des identités (9.115), il faut que
∂x (y, z)
=
∂y
∂y (z, x)
∂x
−1
∂x (y, z)
=
∂z
∂z (x, y)
∂x
−1
(9.116)
Compte tenu des relations (9.116), les termes entre parenthèses dans les membres
de droite des identités (9.115) s’annulent si,
∂x (y, z) ∂y (z, x) ∂z (x, y)
= −1
∂y
∂z
∂x
(9.117)
Cette dernière relation est l’identité cyclique de dérivées partielles.
c Thermodynamique, Jean-Philippe Ansermet et Sylvain Bréchet, PPUR (2016)