Produit scalaire dans le plan
Produit scalaire dans le plan
L’exemple fondamental du concept de produit scalaire apparaı̂t en dynamique avec le
~ déplace un corps selon un chemin rectiligne ~d,
travail d’une force : si une force F
alors le travail fourni W est donné par la formule :
F
~ ||~d| cos(θ)
W = |F
θ
d
~ | désignant l’intensité de la force,
|F
|~d| la longueur du déplacement,
θ l’angle entre les directions de la force et du déplacement.
Produit scalaire dans le plan
Notation Dans ce qui suit, on notera P l’ensemble des points du plan et V l’ensemble des
vecteurs du plan (On peut identifier P et V à R2 en passant aux coordonnées ). Si ~u est un
−→
vecteur de V , on note k~u k sa norme. Si A et B sont deux points de P tels que ~u = AB, la
norme de ~u est donnée par la longueur AB.
Definition (Produit scalaire)
Le produit scalaire de deux vecteurs ~u et ~v du plan V , noté ~u .~v est défini, de manière
géométrique, par :
(
~u · ~v = k~u kk~v k cos(~ud
, ~v ) si les deux vecteurs ~u et ~v sont non nuls
~u · ~v = 0 sinon.
~u
~v
θ
)
os(θ
c
k~u k
Produit scalaire dans le plan
θ = (~ud
, ~v )
Remarque
Le produit scalaire ne dépend pas de l’orientation choisie dans le plan.
~u · ~u = k~u k · k~u k cos(~ud
, ~u ) = k~u k2 . En résumé, ~u · ~u = k~u k2 .
Proposition
Deux vecteurs ~u et ~v de V sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est
nul.
Preuve. Si un des deux vecteurs ~u ou ~v est nul, le résultat est immédiat. Supposons
que ~u et ~v ne sont pas nuls.
⇒) ~u et ~v de V sont orthogonaux alors (~ud
, ~v ) = π2 [π] et donc cos(~ud
, ~v ) = 0, par suite
~u .~v = 0.
⇐) Réciproquement, si ~u .~v = 0 alors k~u kk~v k cos(~ud
, ~v ) = 0. Mais comme ~u et ~v ne
sont pas nuls, on a nécessairement cos(ubd
, ~v ) = 0, c’est a dire (ubd
, ~v ) = π2 [π] et ~u , ~v
sont bien orthogonaux.
Produit scalaire dans le plan
Definition (Mesure algébrique)
Soit D une droite de P orientée par un vecteur unitaire ~u . Soient A et B deux points
−→
distincts de D. La mesure algébrique AB est l’unique réel λ tel que AB = λ~u
Proposition ( Projection orthogonale)
Soit D une droite et soit A un point du plan P. Il existe un unique point A0 de D tel
−−→
que le vecteur AA0 soit orthogonal à la droite D. Ce point est appelé le projeté
orthogonal de A su D.
Preuve. Soit ~u un vecteur unitaire directeur de D. Soit ~v un vecteur unitaire de Y choisi en
sorte que le couple (~u , ~v ) forme une base orthonormale du plan. Considérons le repère
orthonormal R(Ω, ~u , ~v ) où Ω est un point de D. Soient (xA , yA ) les coordonnées de A dans ce
repère. Un point M est élément de D si et seulement si dans R, son ordonnée est nulle.
−−→
Considérons donc M(x , 0) un point de D. On a AM (x − xA , −yA ). Ce vecteur est orthogonal à
D si et seulement si il est colinéaire a ~v , c’est-à-dire si et seulement si x − xA = 0. On prouve
ainsi a la fois l’existence et l’unicité de A0 .
Produit scalaire dans le plan
Remarque
Soit R(O,~ı, ~) un repère orthonormal et A un point du plan de coordonnées (x , y )
dans ce repère. La droite des abscisses est orientée par le vecteur ~ı. Si Ax est le projeté
orthogonal de A sur (Ox ) alors OAx = x .
Proposition ( Interprétation du produit scalaire en terme de projection)
−→
Soient ~u et ~v deux vecteurs de V . Soient O, A, B trois points de P tels que OA = ~u
−→
et OB = ~v . Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (OA). Choisissons pour
cette droite l’orientation donnée par le vecteur OA. On a alors
~u · ~v = OA · OH
Produit scalaire dans le plan
Démonstration.
\
¯ Si (~
Par l’orientation choisie pour la droite (OA), k~u k = OA = OA.
u , ~v ) est un angle
\
aigu alors k~v k cos(ub, ~v ) = OH et si (~u , ~v ) est un angle obtus alors
k~v k cos(ub, ~v ) = −OH . Par conséquent, k~v k cos(ub, ~v ) = OH et
~u · ~v = k~u kk~v k cos(ub, ~v ) = OA · OH
Proposition (Symétrie du produit scalaire)
Le produit scalaire est symétrique : si ~u et ~v sont deux vecteurs de V alors
~u .~v = ~v · ~u
Preuve. Il suffit d’écrire ~u · ~v = k~u kk~v k cos(ub, ~v ) et ~v · ~u = k~v kk~u k cos(~vd
, ~u ) puis
d
d
d’observer que (~u , ~v ) = −(~v , ~u ) et que la fonction cosinus est paire.
Produit scalaire dans le plan
Proposition (Bilinéarité du produit scalaire)
Le produit scalaire est bilinéaire : pour tous vecteurs ~u , ~u1 , ~u2 , ~v , ~v1 , ~v2 de V et pour
tous réels λ1 , λ2
~u · (λ1~v1 + λ2~v2 ) = λ1~u · ~v1 + λ2~u · ~v2
et
(λ1~u1 + λ2~u2 ) · ~v = λ1~u1 · ~v + λ2~u2 · ~v
Preuve. Supposons que ~u 6= 0. Soient ~ı = ku~u1 k et O un point de P. Soit ~ le vecteur
image de ~ı par la rotation de centre O et d’angle π2 . Le triplet (O,~ı, ~) forme un repère
orthonormal direct R du plan. Dans cette base, les coordonnées de ~u sont (x , 0) avec
−
−
x = k~u k, les coordonnées de →
v1 sont (x1 , y1 ), les coordonnées de →
v2 sont (x2 , y2 ) et les
→
−
→
−
coordonnées de −λ1 v1 + λ2 v2 sont (λ1 x1 + λ2 x2 , λ1 y1 + λ2 y2 ).
Par application de la proposition 3 il vient :
~u · (λ1~v1 + λ2~v2 ) = x (λ1 x1 + λ2 x2 ) ,
~u · ~v1 = x · x1
et
~u · ~v2 = x · x2
Ceci prouve que ~u · (λ1~v1 + λ2~v2 ) = λ1~u · ~v1 + λ2~u · ~v2 · La seconde égalité se démontre
de la même façon ou en utilisant la symétrie du produit scalaire et la première égalité.
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Proposition (Définition algébrique du produit scalaire)
~i,~j) une base orthonormale et soient ~u , ~v deux vecteurs de V de coordonnées
Soit (!
!
x
x0
~u
et ~v
dans cette base. Alors
y
y0
~u .~v = xx 0 + yy 0
Preuve. On a ~u = x~ı + y~ et ~v = x 0~ı + y 0~, donc par la bilinéarité du produit scalaire
et par le fait que les vecteurs ~ı ~ sont orthonormaux, i. e. ~ı.~ = 0 et k~ık = k~k = 1, on
obtient
~u .~v = (x~ı + y~) . x 0~ı + y 0~
= x~ı. x 0~ı + y 0~ + y~ı. x 0~ı + y 0~
= xx 0~ı.~ı + yy 0~.~
= xx 0 + yy 0
Produit scalaire dans le plan
Corollaire (Expression de la norme d’un vecteur dans une base orthonormale)
x
Soit (~i,~j) une base orthonormale. Soient ~u un vecteur de coordonnées ~u
y
cette base. Alors
q
k~u k = x 2 + y 2
!
dans
Si (O,~ı, ~) est un repère orthonormal et que A et B sont deux points de P de
coordonnées A(xA , yA ), B(xB , yB ) dans ce repère alors
−→
AB = kABk =
Produit scalaire dans le plan
q
(xA − xB )2 + (yA − yB )2