Hamilton系统的运动复杂性
程崇庆
南京大学数学系
牛顿力学三定律的第二定律
F = mA
万有引力定律：引力与距离平方成反比
引力势
P=−
μ
1≤i<𝑗 ≤𝑛
xi − xj
2
xi − xj
动能
Isaac Newton
1642-1727
1
K=
2
n
mi x i
2
i=1
方程由欧式坐标表示
mi x i =
μ
j≠i
xj − xi
xi − xj
3
二体问题：n=2方程的解法
根据角动量守恒，二体运动在一个平面上。
由坐标变换
m1 x1 + m2 x1
R=
M
r = x1 − x 2
其中M = m1 + m2 是系统的总质量。如图
3
二体问题：n=2方程的解法
根据牛顿第三定律，F12 = −F21 。于是方程
F12 x1, x2 = m1 x1 ,
F21 x1, x2 = m2 x2 ,
可化为
其中F r = μ
r
R=0
m1 m2
r=F r
M
。
r 3
只要求得R(t)与r(t)，就可以计算出两个天体的轨道x1 (t)与x2 (t)：
m2
x1 t = R t +
r t
M
m1
x2 t = R t −
r t
M
4
二体问题：n=2方程的解法
椭圆情况的图像（坐标原点固定在一个质点）
Kepler: 单位时间内扫过的面积为常数
5
三体问题：n=3 方程无法求显式解
根据Laplace的解释，牛顿认为只有上帝能解决此问题，
控制着稳定性。
6
分析力学的奠基人
构型空间: 欧式空间
（坐标，速度）
流形
广义坐标，广义速度
1 2
h = θ − 1 − cos θ
2
Joseph-Louis Lagrange
1736-1813
Lagrange 量 L = L(x, x)
L: TM × ℝ → ℝ
Lagrange 方程
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂xi
∂xi
7
变分原理
给定一条曲线 γ：ℝ → M，Lagrange 作用量
A=
L γ t , γ t , t dt
真实的运动是使得该泛函达到临界点，Lagrange 方程正好表示
该泛函的变分导数为零。
8
1834 年 Hamilton 发表论文
On a general method in dynamics
Hamilton 方程：相空间坐标(x, y) ∈ ℝ2n
由系统 Hamilton 量 H = H(x, y)可以得
到运动方程
William R. Hamilton
1805-1865
∂H
∂H
x=
, y=−
∂y
∂x
如果 Lagrange 量关于 x 严格凸，则由
Legendre 变换
H x, y, t = max x, y − L(x, x, t)
y
9
Hamilton 方程是 1 −形式
n
ydx − Hdt =
yi dxi − Hdt
i=1
的微分的特征方向。这个方程实际上对应于 Poincaré−Cartan 积分的临界点
n
yi dxi − Hdt
i=1
这里的积分路径是在相空间，而 Lagrange 作用量的积分是在构型空间
L: TM × ℝ → ℝ
H: T ∗ M × ℝ → ℝ
10
求解方程：寻找首次积分（first integral）
对于自治 Hamilton 系统而言，Hamilton 量 H x, y 本身就是一个首次积分
d
H x t ,y t
dt
= H, H = 0
Poisson 括号
n
H, F =
i=1
∂H ∂F ∂H ∂F
−
∂yi ∂xi ∂xi ∂yi
显然，如果 H, F = 0，则 F 是 Hamilton 流 ΦHt 的首次积分。
11
求解方程：寻找首次积分（first integral）
Liouville 定理：对于一个 2n 维辛流形，如果存在 n 个独立的首次积分
F1 = H1 , F2 , ⋯ , Fn
 对合性： Fi , Fj = 0 ∀ i, j
 独立性：1 −形式 dF1 , dF2 , ⋯ , dFn 在每一点都线性独立
如果
Mf = x: Fi x = fi , i = 1,2, ⋯ , n
f = f1 , f2 , ⋯ , fn
是紧致连通的，则
 Mf 关于 Hamilton 流 ΦHt 不变
 Mf 微分同胚于𝕋n = ℝn ℤn
 存在作用角变量坐标(I1 , I2 , ⋯ , In , φ1 , φ2 , ⋯ , φn ) 使得 ΦHt 在该坐标下为
dφi
= ωi f ,
dt
dIi
=0。
dt
12
寻找首次积分求解方程的范例
在万有引力作用下的定点刚体旋转（陀螺）
1.Euler top (1750)：定点在质心上，外力矩为零（图a）
2.Lagrange top (1788)：刚体关于旋转轴对称，质心在对称轴上但不与
固定点重合（图b）
3.Kovalevskaya top (1888)：两个惯性力矩相等，并等于第三个惯性力
矩的两倍（图c）
然而，人们将发现这样的求解方法在一般情况下行不通：
天才巨星Poincaré闪亮登场
13
瑞典国王Oscar二世，由 Gösta MitttagLeffler建议设立奖项：
Henri Poincaré
1854-1912
Given a system of arbitrarily many mass
points that attract each according to
Newton’s law, under the assumption that
no two points ever collide, try to find a
representation of the coordinates of each
point as a series in a variable that is
some known function of time and for all
of whose values the series converges
uniformly.
Karl Weierstrass: "This work cannot indeed be considered as furnishing
the complete solution of the question proposed, but that it is nevertheless
of such importance that its publication will inaugurate a new era in the
history of celestial mechanics."
开启动力系统研究的新纪元！
14
Poincaré在三体问题研究中发现了
不可积现象。一类Poincaré回归映
射（保面积微分同胚）有一个双
曲不动点，它的稳定流形与不稳
定流形横截相交。
• 在不动点附近，这两个流形无限
相交，构成栅栏状
•不可积
首次积分不存在
15
Poincaré最终几何猜测
A：圆环域，f: A → A 是保面积扭转映
射，则：f 至少有两个不动点。
演变为 Arnold 猜测：
Every symplectic diffeomorphism of
a compact symplectic manifold, homologous to identity, has at least as
many fixed points as a smooth function on this manifold has critical points
(at least if this diffeomorphism is not
too far from the identity).
16
Poincaré回归定理
设 g 是有界区域 D 上的保体积微分同胚，gD = D，则 D 中任
意小邻域 U 中总存在 x 以及 n ∈ ℤ 使得 g n x ∈ U。
熵增大定理的数学反例（数学和物理）
Boltzmann用
熵（entropy）
度量一个系统
中的无序状态。
S=k log(W)
W
无序度
Ludwig E.Boltzmann
1844-1906
17
 证明了 Poincaré 最终几何猜测
 Birkhoff 遍历定理（有许多形式的遍
历定理）：
T: 𝕏 → 𝕏 是测度空间 (𝕏, σ, μ)上的保
测变换，如果 T 是遍历的，即如若
S = T −1 S ⇒ μ S = 1 或 0，
则对几乎所有的 x ∈ 𝕏，有对所有的
George D. Birkhoff
1884-1944
时间平均=空间平均
f ∈ L1 (μ)
1
n→∞ n
n−1
f (T i x) =
lim
fdμ
i=0
源于Boltzmann 的 ergodic hypothesis（关于Lebesgue测
度或与Lebesgue测度等价的测度）
18
常微分方程运动稳定性理论-直接方法
一个解称为
•稳
定
所有初值足够靠近的
解永远充分靠近该解；
•渐近稳定
所有初值足够靠近的
解将无限趋于该解；
•不稳定
Aleksandr Lyapunov
1857-1918
不论初值如何靠近，
总有解会偏离该解。
Hamilton系统的解不可能有渐近稳定性
19
n个自由度近可积Hamilton系统中
大量n维不变环面的发现（ 1954）
Kolmogorov起初的动机是试图证明
Hamilton系统中不变环面上的运动
弱混合，然而这导致他发现了大量
拟周期运动不变环面的存在。
Andrey N. Kolmogorov
1903-1987
正如Arnold所说“Kolmogorov’s achievement is similar to that of Colombus, whose attempt to find Western route to India failed.”
20
几个概念：遍历、弱混合、强混合
(𝕏, ℬ, μ)是一个概率空间，
T: 𝕏 → 𝕏 称为遍历的：
A = T −1 A ⇒ μ A = 1 或 0;
T 为弱混合：∀ A, B ∈ ℬ
1
lim
n→∞ n
n
μ T −i A ∩ B − μ(A)μ(B) = 0 ;
i=0
T 为强混合：∀ A, B ∈ ℬ
lim μ T −n A ∩ B = μ(A)μ(B) 。
n→∞
21
可积系统
相空间 = 𝕋n × ℝn ∋ (x, y)，Hamilton 量 h = h y 独立于角变量，因此有
y = 0，x = ∂h(y)
精确解是
x t = x0 + ωt，y t = y0
𝕋n × ℝn 有一个 foliation，
每一个 𝕋n × y = y0 关于 Hamilton 流 Φht 不变，
每一个环面上的运动都是拟周期（周期）运动。如果 ω 是完全整数独立，
即不存在 k ∈ ℤn ，使得
k, ω = 0，
则该环面上的拟周期运动是遍历运动。
22
KAM定理
我们考虑充分无理的旋转频率，即 Diophantine 频率：
D
k, ω ≥ μ ， μ > 𝑛 − 1
k
所有 Diophantine 频率在 ℝn 中构成 Lebesgue 全测集。
如今称为 KAM 定理的结果考虑近可积 Hamilton 系统
H = h y + εP(x, y)
简单地说就是旋转向量为 Diophantine 向量的环面在充分小扰动下仍然存在。
Σ
Σ0
Φ th
x→x+ωt
Σ
Σ0
23
KAM定理
证明方法方法是近牛顿迭代法。寻找接近于恒等映射的辛变换，逐次迭代。
这种变换是由生成函数产生的 Hamilton 流所生成。设生成函数为 W ，则变
t
|t=1 = ΦW
换为ΦW
1
H ∘ ΦW = H0 + H, W +
0
s
ds
(1 − S) W, W, H ∘ ΦW
如果取函数 W 满足同调方程
h, W + ε P = 0
则
1
H ∘ ΦW = h + ε P + ε P, W +
0
s
ds
(1 − S) W, W, H ∘ ΦW
解同调方程必须处理小分母问题
24
Vladimir I. Arnold
1937-2010
Jürgen K. Moser
1928-1999
1962年，J.Moser就扰动在C333中充分小证明了保面积扭转
映射中不变曲线的存在性。
1963年，V.I.Arnold就任意n个自由度系统中充分小解析扰
动证明了n维不变环面的存在性。
25
如今，关于光滑性的要求已经降低到在C2n+中充分小即
可。可以证明在C2n-空间中存在任意小扰动破坏KAM环
面（程2011），甚至于Lagrange环面（程王林2012）。
在80年代，M.Herman就二维扭转映射证明了
C3+
KAM 定理成立（生成函数相当于C4+ ）
C3 -
KAM 定理成立（生成函数相当于C4- ）
26
KAM理论的重大意义
1. 稳定性：对于所有在不变环面上的轨道 (x t , y(t))
y t − y(0) = O
ε ，
∀t ∈ ℝ
对于二维保面积扭转映射而言，证明了椭圆不动点的 Lyapunov 稳
定性。
27
KAM理论的重大意义
2. 否定了 Hamilton 系统范畴的遍历性假设：对于初始值取在这些不
变环面上的轨道而言，沿轨道时间平均不等于空间平均，而 KAM
不变环面构成的集合在相空间中充分多（接近 Lebesgue 全测），但
不能否定拟遍历猜测（稠轨道）。
28
KAM理论的重大意义
3. 实际应用：地球磁场导致其被带电粒子带包围，卫星观 测
发现地球周围有两个区域（van Allan 带），其中的带电粒子被
俘获。这一现象可以用KAM理论解释（M.Braun 1970）。除
了自然形成的van Allan 带，大当量核武器爆炸也会形成人工放
射带，存在时间长达几年。
29
退化性
应用 KAM 理论到 n 体问题还有技术上的困难退化性。
Kolmogorov 非退化性：∂2 h 是非退化方阵
对于一般扰动而言，最弱条件是 ∂2 h：ℝn → ℝn 映射的象不在
n − 1 −维超平面上。
（H.Rüssmann，M.Herman，M.Sevryuk，程
孙）
但是对于 n 体这样一种特殊系统，最弱的非退化条件也不成立。
对于理论太阳系，该问题由 J.Fejoz（2004）解决。
30
KAM理论向保体积微分同胚的延伸
考虑一类保体积映射 (I, φ, ψ) → (I1 , φ1 , ψ1 ) ∈ ℝ × 𝕋2
I1 = I
+ ℛ(I, φ, ψ)
φ1 = φ + f I + Φ(I, φ, ψ)
ψ1 = ψ + g I + Ψ(I, φ, ψ)
只要(ℛ, Φ, Ψ) 充分小，该映射也存在充分多的不变环面（程孙
1990）。M.Herman 与夏志宏推广到 n 维只有一个作用量的情形。
这类系统不可能由 Hamilton 流产生。
1. 直接导致了保体积映射中的拟遍历猜测的否定。二维不变环面
分割三维空间为互不连通的两部分；
2. 直接导致了 Pesin 的正 Lyapunov 指数猜测的否定，从而说明在
保体积映射范畴内非一致双曲映射不通有。
31
Arnold扩散
KAM不变环面在相空间中构成一个无处稠密的闭集，
余集便是由各阶共振区构成的处处稠密的开集，尽管
其Lebesgue测度较小。当系统自由度不少于3（2.5）时，
这个开集道路连通。一个自然的问题便是是否存在这
样的轨道，沿着该轨道其作用量变化可以很大
y t − y(0) ≥ O(1)
32
Arnold扩散
Arnold 构造了一个例子（两个自由度非自治系统）
1 2
H = y1 + y22 − ε 1 − cos x1 1 + μ cos x2 + cos t
2
对于映射 ΦHt |t=1 而言，相空间有二维不变柱面
Π = (x, y) ∈ 𝕋2 × ℝ2 | x1 , y1 = 0
柱面上所有的曲线 y1 = const. 关于映射不变，这些不变曲线都有稳
定流形与不稳定流形彼此横截相交，从而产生扩散轨道。他证明：
任给 A < 𝐵 ，存在这样的轨道 x t , y t 使得
y2 t → < 𝐴
𝑡 → −∞
y2 t → > 𝐵
𝑡 → +∞
但是该例子不具有代表性。
33
Arnold扩散
34
自从1964年Arnold提出该问题以来，有大量的工作研究此问题。
方法主要有两类：几何方法与变分方法
1.a priori unstable system
H = h1 p + h2 x, y + Pε (p, q, x, y, t)
k
k
其中p, q ∈ ℝ × 𝕋, (x, y) ∈ 𝕋 × ℝ
R. de la Llave 及其合作者(2004), P. Bernard (2008),
D.Treschev (2004), 程–严 (2004,2009)
35
2.
a priori stable system （近可积系统）
关于2.5或3个自由度系统，该问题近期有望解决。任意
自由度的解决有待时日。直观看，自由度越大，扩散越
容易。
尽管有 Arnold 扩散现象，但是作用量发生变化的速度非常
之慢，有所谓 Nekhoroshev 估计:
对近可积系统
H = h p + εP(x, y)
σ
εα
而言，在时间t~O e
这样大的时间尺度内
y t − y(0) < 𝑂(𝜀)
36
多自由度Hamilton系统的动力学不稳定
对于二维保面积扭转映射而言，椭圆不动点具有Lyapunov稳
定性，但是对于多自由度系统而言，这样的稳定性相信不存
在。根据我们研究Arnold扩散的经验可以猜测：
尽管KAM环面在线性近似下具有稳定性，但是考虑非线性
作用后，KAM环面不再具有Lyapunov稳定性。任意两个
KAM环面之间存在连接轨道。
动力系统中心问题（M.Herman）
典型系统的拟遍历猜测成立：自治系统的等能量面上具有稠
轨道，即一条轨道的轨迹的闭包是整个等能量面。
37
变分法简介
设 L：TM × 𝕋 → ℝ 至少是 C 2 光滑，其中 M 是闭流形，通常是
M = 𝕋n ，且满足 Tonelli 条件：
1. L 关于 x 正定，即
∂2L
∂x 2
正定；
2. L 关于 x 有超线性增长性，即对任意 (x, t) ∈ M × 𝕋
L x, t, x
→ ∞ as x → ∞
x
3. 完备性，Lagrange 方程的每一个解都在 t ∈ ℝ 上有意义（自治系
统自动满足）
38
变分法简介
对于任一上同调类 c ∈ H1 M, ℝ ，取闭 1 −形式
ηc =
ai x dxi （局部坐标）
使得 ηc = c，然后引入新的 Lagrange 量
Lc = L − η c = L −
ai x xi
Lc 的 Euler-Lagrange 方程与 L的一样，因为
d ∂
dt ∂xi
∂
aj x xj −
∂xi
aj x xj = 0
39
变分法简介
Tonelli 引理：在 1,2 条件下，定义在绝对连续函数空间上的
泛函
t
inf
γ
L γ s , γ s , s ds
0
取到下界，且在条件 3 下，minimizer 是 C1 函数，从而也是C 2 函
数。
有反例
40
变分法简介
一条光滑曲线 γ: [0, k] 使得γ 0 = γ k ，得到 TM × 𝕋 上的一个测度μγ ：
1
fdμγ =
k
k
f γ t , γ t , t dt ∀f ∈ L1
0
令𝔐是所有这些测度集合的闭包（弱意义下），可以证明 ∀c ∈ H1 (M, ℝ) 至
少存在一个测度μc （称为c −极小测度）使得
Lc d μc = inf
ν∈𝔐
Lc d ν
∗
而且这样的测度关于 Lagrange 流 ΦL 不变 ΦLt μc = μc ，所有这些c −极小测
度支撑的并称为 Mather 集
ℳ c = ⋃suppμc
41
变分法简介
人们还可以定义 Aubry 集，Mañé 集
𝒩 (c) ⊇ 𝒜 (c) ⊇ ℳ c
这是人们对稳态运动认识概念的不断扩充
不动点 → 周期轨 → 不变环面 → Mather 集
42
稳定与不稳定流形的概念扩张
双曲型不动点（中心流形）具有稳定流
形和不稳定流形 W u,s ，它们至少局部是
水平的 Lagrange 子流形，即对于 W u
（W s ）上的任意两个切向量场 u, v 都
有
ω(u, v) ≡ 0
这说明存在生成函数 𝒰 u,s 使得
W u,s = graph d𝒰 u,s
43
稳定与不稳定流形的概念扩张
在稳定与不稳定流形相交处有
d𝒰u = d𝒰s ⟹ 𝒰u − 𝒰s 有临界点（极小点）
𝒰u − 𝒰s 称为障碍函数（barrier）
（横截）异宿轨（同宿轨）对应于 barrier 的极小点。
44
对于一般不可积系统不要指望有这样好的光滑结构，稳定（不
稳定）流形（集合）的生成函数是 Hamilton−Jacobi 方程的弱
KAM 解（粘性解）
H x, ∂x 𝒰 + c = α(c)
经典解一般不存在。这些解是所谓 Lax−Oleinik 算子的不动点
t
T𝒰 x = inf 𝒰 γ 0
γ t =x
+
0
Lc γ s , γ s
+ α(c) ds
当 H 关于 y 严格凸时，粘性解是 Lipschitz 函数，所以几乎处处
可微。在可微处，以 x, y = x, ∂x 𝒰 + c 为初值唯一决定一条单
向极小轨道。
所谓扩散轨道就是构造连接不同 Mather 集的连接轨道，这些轨
道几乎沿着一系列 Mañé 集合中的轨道延伸。
45
一个关键问题：
当 c 取遍 H1 (M, ℝ)时，H am ilton−Jacobi 方程H x, ∂x 𝒰 + c =
α
(c) 的所有弱 K A M 解构成的集合在C0 −拓扑下是否具有有限
H ausdorff维数？
目前这一套变分方法不能用于研究拟遍历猜测（稠轨道）。因为
所有 Mañé 集合的并不在 M 的切丛上稠密。可能途径之一是发
展对应于局部极小的变分理论。
46
Poincaré used to say that precise formulation, as a question admitting a “yes
or no” answer, is possible only for problems of little interest. Questions that
are really interesting would not be settled this way: they yield gradual
forward motion and permanent development.
V. I. Arnold (1999)
Poincare followed rather the ideas of Francis Bacon (who claimed that to start
scientific investigations from general axioms and principles is a dangerous and
damned methods, leading to unavoidable mistakes) than the Cartesian theory
(saying that copnformity to any reality is unrelated to science, which is the art
of deducing corollaries of arbitrary axioms).
V.I. Arnold (2006)
47
谢 谢
48