可积系研究和组合计数方法
Integrable System and Enumerative Combinatorics
从KdV方程族的无穷多个守恒律说起
十分感谢朱佐农教授给了我一个很难得的机会向在座
各位老师和同学学习交流。
胡星标研究员最近在讲课中提到可积系研究中的
一些有趣的进展，比如正交多项式，代数编码（BCH
Goppa decoding algorithm），组合数学等领域和可
积系的交叉研究。对此我深感兴趣，特别是组合计数
方法在可积系研究中的应用，和我在这两个领域里的
工作相关。下面是我阅读有关文献的一个读书报告。
因为所读有限，遗漏之处请予指正。我谨在此感谢胡
星标提供的文献资料。
如所周知，可积系研究涉及到数学物理许多方向：微分方程，微分几何，
代数几何，李代数，复分析， 群论，力学，规范场理论等等。可积系出
现在众多领域这一事实表明可积系研究的价值和它的潜在的美。数学理论
中的内在美一直是推动其进展的强大动力。
何谓可积系?为何要研究可积系?
何谓可积系?这是个大题目,可以讲上几天.我们只能笼统的讲,所谓可积系是
指一组微分或差分方程,它具有足够多的互相对合的初次积分.
对于经典的可积系曹策问教授有精湛的综述文
曹策问: 经典可积系统, 孤立子理论与应用，谷超豪等著 浙江科技出版社
(1990), pp.176-215
对于无穷维连续系统言,可以指他们能写成所谓的广义Hamilton形式
并有无穷多个彼此对合的守恒量。这里J是所谓的辛算子。下面讨论到的
KdV方程就是一例。
为何研究可积系?原因很多,最吸引人的是他们具有一系列有趣的性质;出现
在许多数学物理领域中;其研究结果有应用前景,其研究方法有理论价值.
报告摘要
1. Bernoulli数和Bernoulli 多项式和KdV方程的无穷多个守恒密度之积分的关
系；
2. Bell 多项式，di Bruno公式和KdV方程族的明显表达式及Hirota的双线性
方法的关系；
3. 计数反演公式和可积系理论中达布变换中的应用.
4. 一些可供进一步研究的问题。
Bernoulli 数出现在很多数学领域。比如一些初等函数如tan(x)
的Tylor 展开式.
Bernoulli 数和Bernoulli多项式有很多有趣的公式,其详及下面将提到
的Bell多项式 di Bruno公式，生成函数，反演公式等可见我的编著
屠规彰 组合计数方法及其应用，科学出版社，1981。

自然数数列的幂次和及Faulhaber多项式
Bernoulli数和Bernoulli多项式可以用来写出自然数数列的幂次和
Bernoulli数还可以用来写出自然数数列倒数的偶次幂的和
这和数论里有名的Riemann采他函数有关, 这里就不提了.
有趣的是自然数数列的奇幂次和都可以用自然数数列的和表示出来:
称作Faulhaber多项式
KdV方程的孤子解和无穷多个守恒量
或
是可积系理论中最著名的方程.可以说可积系理论中所有新方法,新思
想都是从KdV方程入手发展起来的. 该方程的一个显式解是
这一解的图形如一个单峰波形, 称作单孤子解. KdV方程还有双孤子及
多孤子解. 双孤子解代表的两个波峰对向运行时,两个峰重叠后会复原,
继续各自向前,犹如两个粒子.此乃孤子名字的由来. KdV方程有许多美
妙的性质. 其一是有无穷多个守恒量:
这里我们假设u(x,t)在x等于正负无穷时迅速递减至零。
KdV方程守恒量和Faulhaber多项式
上面的
成为守恒量是因为
使得
是所谓的守恒密度,也即存在
, 事实上我们有
2001年Fairlie 和 Veselov发现了KdV方程的守恒量和Faulhaber 多项式之
间有一个出人意料的关系 Bernoulli polynomials and solitons, Physica D
152–153 (2001) 47–50
如果上面的守恒量I被表示成Bernoulli数的一些线性组合,并不出人意料;但
不多不少恰好等于一个Faulhaber多项式的值实在让人惊讶.
2005年 Grosset 和 Veselov受上述结果的启发在文 Bernoulli Numbers
and Solitons，J. Nonlinear Math. Phys. V12 (2005), 469–474 中证明
了Bernoulli数和KdV方程单孤子解的关系式
其证明很长。2007年Boyadzhiev利用Fourier变换和Parseval定理给出了
上述结果的一个稍为简单些的证明 A note on Bernoulli polynomials and
solitons,J. Nonlinear Math. Phys. V14 (2007), 174–178
KdV方程的无穷多个守恒律的推导
Fairlie 和 Veselov从当Schrödinger算
具有离散谱
这一结果导出上面提到的关系式的. 我觉得他们的证明
并不令人信服. 在他们的文中并没有提到各个守恒量的递推关系，更没有守
恒量的明显表达式。事实上当I[u]和J[u]是KdV方程的守恒量时，其线性组
合也是同一方程的守恒量。所以我们需要弄清楚究竟什么样的守恒量才引出
Faulhaber多项式？
下面我们来回顾一下导出KdV方程无穷多个守恒密度的两种算法。
Miura方法
假设u(x,t)是KdV方程的解
令
可得
由此可见若w满足方程
则u满足KdV方程. 将w按
展开
则各个
均为守恒密度
这是一个非线性的递推式,它包含w的二次项. 其奇数序号的项都是全导数, 所
以都是平凡的守恒密度.只有偶数序号的项才给出非平凡的守恒密度. 这样为
了计算下一个守恒密度需叠代两次.
KdV方程族和递推式
KdV方程实际上是所谓的KdV方程族中的一员。方程族成员间存在着一个微
分递推关系。下面我们使用所谓的零曲率方程方法来导出KdV方程的无穷多
个守恒密度,并说明由这无穷多个守恒密度之导数便可得到KdV方程族.
我们从经典的李代数
的所有矩阵组成。它的基是
出发。
乃由复数域
上所有迹为0
对此我们有
然后我们考虑相应的所谓loop 李代数
有关loop代数在可积系研究中的应用的更详细的讨论见我的综述文：
屠规彰 Kac-Moody代数与可积系，孤立子理论与应用，谷超豪等著 浙江
科技出版社 (1990), pp.268-342
Step1:求解驻定方程
将U,V的表达式代入驻定方程,易得
或即
经过简单的推导即可得
由此可得
算子 在下面的推演中将起到重要作用. 它的形式共轭乃是所谓的遗传
对称 (hereditary symmetry),在可积系的双Hamilton理论中有很多讨论.
Step2. KdV方程族的导出
我们对上面驻定方程的解作进一步处理
代入上面的驻定方程
上式左边与
有关.于是
比较
因此两边都只与
相关,而右边与
我们需要消去和h相关的一项。为此我们引入
易证明零曲率方程族
当n=2时便是KdV方程
引出KdV方程族
Step3. KdV方程族的Hamilton结构
下面我们要论证上面导出的
乃是KdV方程族的守恒密度,也是这一方程族的
彼此对合的Hamilton量. 为此我们需要应用一个很有用的工具:迹恒等式
Gui-zhang Tu: The trace identity, a powerful tool for constructing the
Hamiltonian structure of integrable systems. J.Math.Phys., v.30 (1989),
pp.330-338
上述等式乃对多位势
建立的，并已推广到离散可积系和高
维1+2的情形。很多作者利用这一等式成功地找到了一系列新的可积系的
Hamilton 结构。在今之情形,我们有
于是迹恒等式给出
比较等式两边
的系数即得
于是
便可写成Hamilton形式:
令n=2 可定出常数
这样KdV方程族
容易证明上面得到的Hamilton量彼此对合：
其中{,} 表示Poisson刮号:
从上面的推导可以得出结论, 由递推式
族的无穷多个守恒密度. 而且其导数
的表示式.
算得的列
给出KdV方程族
乃是KdV方程
右边
为了更好地了解Faulhaber多项式和KdV方程的关系,我们来推导
或
的
一般表达式. 换言之下面的任务就是求解下面的微分差分方程的明显表达式.
或在方程两边施以算子
KdV方程族守恒密度的一般表示式
上面我们推导出KdV方程实际上是KdV方程族中的一员。它们共有一组无穷多个
守恒密度。若将这组守恒密度规范化，将其最高阶导数项的系数取作1，则KdV
方程族可以写成
2000年Avramidi 和 Rainer:在文 A new explicit expression for the
Korteweg-De Vries hierarchy, Math. Nachr. (219 (2000) 45{64), 中给出
了一个G的一个很复杂的所谓一般表达式
守恒密度G[u]的构造
Avramidi 和 Rainer还考察了微分多项式 G 的构造。他们提到G中次数最高
而阶数最低的项为
而次数最低阶数最高的项为
文中还观察到G中包含 u的低阶项与Bernoulli数的关系
其实早在1987年Rosenhouse 和 Katriel就得过KdV方程族的表达式
The Korteweg–de Vries hierarchy of isospectral transformations:
Towards a general explicit expression, J. Math. Phys. 28, 1344 (1987)
他们得到的表达式也是非常的复杂。
为了导出KdV方程族的表达式也许从Hirota的双线性方法入手会更有效。
KdV方程族守恒密度的l另一表示式
Polterovich：From Agmon-Kannai expansion to Korteweg-de Vries
hierarchy (1999) part of Ph.D thesis
上面提到的三种表达式都十分的复杂。为了导出KdV方程族的一个简洁些的
表达式，也许从Hirota的双线性方法入手会更有效。
Hirota导数和他的双线性方法
Hirata发现很多有孤子解的偏微分方程可以经由应变量的代换化为所谓的双线
性方程。由这些双线性方程入手他成功地找到了N-孤子解。有关他的方法的详
细陈述可见
广田良吾：孤子理论中的直接方法。王红艳，李春霞，赵俊霄，虞国富译，胡
星标校。清华大学出版社 2008
Hirata导数定义为
对于KdV方程
Hirata的双线性行式。
写成通常行式便是
引入变换
便可将之写成
复合函数高阶导数的 di Bruno 公式
如所周知，对复合函数
我们有下面的求导公式
这一公式看似简单,实际上用它来计算复合函数的高阶导数却很繁杂.次之
di Bruno公式给出了复合函数高阶导数的一般表达式.
上述公式可以推广到
其中和式遍及所有的分划
情形.特别当 r = 2 时有
Hirota导数的一个表达式
应用上面的di Bruno 公式我在1993年得到Hirata 导数的一个表达式
其中和式遍及所有的分划
Gui-zhang Tu: A combinatorial formula relating to Hirota’s bilinear
equations, Discrete Math. v.123 (1993) pp.121-129
易知
特别有
例:因6=2+4=2+2+2,所以我们有
此式与 Sawada-Kotera方程相关
Bell多项式
将前面的di Bruno 公式应用于复合函数
可得
右边的多项式称为Bell多项式。
Gilson, Lambert, Nimmo 和 Willox在文:
On the Combinatorics of the Hirota D-Operators,Proc. R. Soc. Lond.
A 1996 452, 223-234
中讨论了Hirata导数和Bell多项式的关系。限于时间这里就不多言了。
反演公式在可积系研究中的应用
何谓反演公式？我们举个例子说明之。
重排问题. 有n个人坐在n个不同的座位上, 今重排各人座位，每人不能回到
原来的座位。问有几种排法1？
当n=4时共有9种排法：
2143 2341 2413 3142 3412
3421 4123 4312 4321
而如 4132， 因数字3在3号座，不合条件。
今以
记问题的解。则容易推出
为恰有r个
的排列
之个数. 既然全部排列的个数为n! 可见
应用下面的二项式反演公式便得
二项式反演公式
微分算子的易位变换
我在1993年证明了这样一个定理。
假设T和A各为1 阶和 n 阶微分算子
则存在唯一的 n 阶算子
是个 0 阶算子, 也即
使得
定理的证明是构造性的,也即给出了算子
文中证明了 A 的系数 和
式… 进而我们证明了若
的系数
中各系数
的表达式.
恰好满足一个组合反演公
则
这一结果可以用来的到微分方程解的 Darboux变换. 运用 Daboux
变换我们可以把,非线性偏微分方程的一个平凡解, 比如 u=0, 变成一
个非平凡解.
Gui-zhang Tu : An inversion formula and its application to
soliton theory, Advances Appl. Math. v.14 (1993) pp.416-429
Darboux 变换
Darboux 变换是可积系理论中一种生成解的工具. 其详可见专著
Gu Chaohao, Hu Hesheng, Zhou Zixiang Darboux transformation in
integrable systems (2010) Springer
可积系除去前面提到的零曲率方程表示外,还有一种称为Lax对的表示.
若果我们可以选择 L 和 A 使得 [A, L] 的阶数为 n – 1, 则上述Lax 对便构成
的一组方程。我们证明了
Boussinesq方程的Darboux变换
P. di Francesco Integrable combinatorics
Plenary talk given at the International Congress of
Mathematical Physics, Aalborg, Denmark, August 10, 2012.)
Abstract. We review various combinatorial problems with
underlying classical or quantum
integrable structures.
P. van Moerbeke Combinatorics and integrable Geometry
This lecture illustrates application of integrable systems to
unitary matrix integrals and ultimately to combinatorics and
probability theory.
P. Deift Integrable systems and combinatorial Theory
Notices of AMS V47, No. 6 (2000) pp.631-640
I. Goulden and D. Jackson A family of combinatorial solutions to the
KP hierarchy
ABSTRACT. We give a new explicit solution to the KP hierarchy. This
is written in terms of Schur symmetric functions, and uses the known
characterization of solutions to the KP hierarchy in terms of solutions
to the Plucker relations. Our solution to the Plucker relations involves
a countable set of variables for content, a combinatorial parameter for
partitions (which themselves arise because they index the Schur
functions). By specializing the content variables, we obtain a number
of solutions to the KP hierarchy, including Okounkov’s result for the
double Hurwitz series. Another specialization gives the m-hypermap
series, which contains the double Hurwitz series as the leading
coefficient. In turn this specializes to the series for hypermaps and
maps in an orientable surface. For the latter series, we use one of the
KP equations to obtain a remarkably simple recurrence for
triangulations in a surface of given genus, with a given number of
faces.
谢谢
Thanks