‫بسم ا‪ ...‬الرحمن الرحيم‬
‫درس کنترل ديجيتال‬
‫مهر ‪1389‬‬
‫دکتر حسين بلندي‪ -‬دکتر سید مجید اسما عیل زاده‬
‫فصل اول‬
‫” آشنايی با سيستم های کنترل زمان ‪ -‬گسسته“‬
‫در سالهای اخير‪ ،‬بسياری از سيستم های صنعتی‪ ،‬کامپيوتر های ديجيتال را به‬
‫عنوان جزء الزم عمليات خود دربر می گيرند‪ .‬سير تکاملی اخير‬
‫ميکروپروسسورها و ميکروکامپيوترها که می توانند در وظايف کنترلی مختلف‬
‫مورد استفاده قرار گيرند‪ ،‬روند جديدی در جهت منظور کردن کامپيوترهای‬
‫ديجيتال حتی در سيستم های کنترل با مقياس کوچک به منظور به دست‬
‫آوردن عملکرد بهينه برقرار کرده است‪.‬‬
‫در مهندس ی کنترل‪ ،‬کامپيوترهای ديجيتال برای دو منظور مختلف بکار‬
‫برده می شوند‪:‬‬
‫‪ -1‬تحليل و ترکيب سيستم های کنترل پيچيده شامل شبيه سازی‬
‫ديجيتالی و محاسبه ديجيتالی ديناميک های کنترل پيچيده‬
‫‪ -2‬به صورت کنترل کننده در سيستم های کنترل‬
‫‪ ‬تاکيد ما در اين دوره بر کنترل کننده های ديجيتال است نه بر شبيه سازی‬
‫ديجيتالی يا محاسبه ديجيتالی ديناميک های کنترل پيچيده‪.‬‬
‫انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل‬
• People know more than machines, so
• Manual operation
• Mechanical Operation
• Pneumatic Devices
• Analog Electronics
• Digital Electronics
leave decisions to them
‫انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل‬
•
Mechanical Devices
The value of variable is represented by position of equipment
• Manual operation
• Mechanical Operation
• Pneumatic Devices
• Analog Electronics
• Digital Electronics
‫انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل‬
• the value of variable is proportional to air pressure
• Manual operation
• Mechanical Operation
• Pneumatic Devices
• Analog Electronics
• Digital Electronics
‫انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل‬
• Manual operation
• PID implementation in
pneumatic devices
• Mechanical Operation
• force balance-Newtone law
• Pneumatic Devices
• Analog Electronics
• Digital Electronics
‫انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل‬
• the variable is proportional to voltage or current
• Manual operation
• Mechanical Operation
• Pneumatic Devices
• Analog Electronics
• Digital Electronics
‫انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل‬
• Manual operation
• PID implementation in
analog electronics
• Mechanical Operation
• current balance-(Kirkoff’s laws)
• Pneumatic Devices
• Analog Electronics
• Digital Electronics
‫انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل‬
• Manual operation
• Mechanical Operation
• Pneumatic Devices
• Analog Electronics
• Digital Electronics
Displays of variables, calculations,
and commands to valves are in the
central control room
‫نمونه كاربردهاي سیستمهای كنترل ديجيتال‬
used to manufacture product
embedded in product
Satellite Attitude
Control
Missile guidance &
Control
Industrial Control
Engine Control
Flight Control
Motion Control
Mobile robot
‫نمونه هایی از كاربردهای عملي‬
‫• صنایع پتروشیمی‬
‫• سیستمهای فضایی‬
‫• صنایع موشکی و رباتیک‬
‫انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل‬
‫?‪• Why digital control‬‬
‫‪• digital control versus analog control‬‬
‫• دقت‪:‬‬
‫• سيستمهاي ديجيتال از دقت باالتري برخوردار مي باشند و در اثر نويز‬
‫مختلف كمتر از سيگنالهاي آنالوگ دچار خطا مي شوند‬
‫• خطاهاي پياده سازي‪:‬‬
‫• پردازش ديجيتال سيگنالهاي كنترل‪ :‬بر اساس مقادير ذخيره شده مي باشد‬
‫كه نمايش ديجيتال آنها با خطاي كمي همراه است‪.‬‬
‫• پردازش سيگنال آنالوگ‪ :‬از املانهائي مثل خازن و مقاومت استفاده مي كند‬
‫كه مقادير آنها نسبت به مقادير نامي تغيير محسوس ي مي كند‪.‬‬
‫انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل‬
‫‪• digital control versus analog control‬‬
‫• انعطاف پذيري‪:‬‬
‫• كنترل كننده هاي آنالوگ‪ :‬با پياده سازي سخت افزاري آنها‪ ،‬اصالح يا تغيير طراحي مشكل خواهد بود‬
‫• كنترل كننده هاي آنالوگ‪ :‬تنها پياده سازي كنترل كننده هاي ساده امكان پذير خواهد بود‬
‫• كنترل كننده هاي ديجيتال‪ :‬اصالح آنها بدون جايگزينی كامل كنترل كننده اصلي ميسرخواهد بود‬
‫• كنترل كننده هاي ديجيتال‪ :‬پيچيده تر شدن كنترل كننده تنها منتج به اضافه شدن چند عمليات‬
‫رياض ي در كنترل كننده مي گردد‬
‫انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل‬
‫‪• digital control versus analog control‬‬
‫• سرعت و هزينه ‪:‬‬
‫• سخت افزارهاي كامپيوتري سريع تر‪ ،‬پريودهاي نمونه برداري كوتاه تري را نتيجه مي دهند‬
‫• با پريودهاي نمونه برداري كوتاه‪ ،‬كنترل كننده هاي ديجيتال‪ ،‬متغيرهاي كنترلي را تقريبا بطور پيوسته مونيتور‬
‫مي كنند‬
‫• پيشرفت در تكنولوژي ‪ VLSI‬منجر به مدارات مجتمع بهتر‪ ،‬سربع تر و مطمئن تر و با قيمت كمتر شده‬
‫است‪.‬‬
‫بلوك دياگرام کلی یک سيستم كنترل ديجيتال‬
‫‪100‬‬
‫‪011‬‬
‫‪010‬‬
‫‪001‬‬
‫مبدل‬
‫‪010‬‬
‫‪001‬‬
‫دستگاه يا‬
‫فرايند‬
‫محرك‬
‫مدار‬
‫نگهدار‬
‫‪D/A‬‬
‫مبدل‬
‫كامپيوتر‬
‫ديجيتال‬
‫‪S/H‬‬
‫&‬
‫‪A/D‬‬
‫مبدل‬
‫‪+‬‬
‫‪-‬‬
‫سيستم كنترل اتوماتيك مربوط به زمين نشستن يك هواپيما‬
Automatic Aircraft Landing
System
Radar
unit
Transmitter
Digital Computer
Bank command(tilt)
Pitch command
Lateral position
Controlling
unit
Vertical position
‫سيستم كنترل موقعيت افقي هواپيما‬
disturbance
w(t) Wind input
Bank
command
 (t)
Aircraft
Lateral
system
Aircraft
position
y(t)
T
Data
hold
y(kT)
+
Radar noise
+
Control system
attempts to force
y(t) to zero
 (kT)
Lateral
Digital
controller
Desired
position
difference between
the exact aircraft
position and the
measured position
‫کنترل دور موتور ‪ DC‬با استفاده از کنترل کننده دیجیتال‬
‫شماتیک حلقه بسته سیستم کنترل دیجیتال دور موتور ‪DC‬‬
‫مراحل طراحی سیستم کنترل دور موتور ‪DC‬‬
‫‪ -1‬مدلسازی موتور ‪DC‬‬
‫‪ -2‬طراحی کنترل کننده آنالوگ ‪PI‬‬
‫‪ -3‬تبدیل کنترل کننده آنالوگ به دیجیتال‬
‫‪ -4‬تحقق کنترل کننده‬
‫مدلسازی موتور‬
‫اولين گام در طراحی یک سیستم کنترل ‪ ،‬مدلسازی سیستم تحت کنترل است‪.‬‬
‫روش های مدلسازی‪:‬‬
‫‪ ‬مدلسازی بر اساس قوانين و روابط فيزیکی حاکم بر سیستم‬
‫‪ ‬مدلسازی با استفاده از اطالعات ورودی‪ -‬خروجی سیستم‬
‫مدلسازی با استفاده اطالعات ورودی خروجی‬
‫اعمال ورودی پله با ولتاژهای ‪ 9.47 ، 7.5 ، 5 ، 2.5‬ولت ‪‬‬
‫اندازه گيری سرعت موتور ‪‬‬
‫موتور ‪ DC‬را می توان بصورت یک سیستم مرتبه اول مدل کرد‪.‬‬
‫تخمين پارامترهای مدل‬
‫میانگين گيری از پارامترها‬
‫بررس ی صحت مدل استخراج شده‬
‫طراحی کنترل کننده ‪ PI‬آنالوگ‬
‫طراحی کنترل کننده ‪ PI‬آنالوگ‬
‫تبدیل کنترل کننده آنالوگ به دیجیتال‬
‫روش تفاضل معکوس‬
‫روش تبدیل دو خطی‬
‫روش تغیير ناپذیری ضربه‬
‫روش تغیير ناپذیری پله‬
‫تحقق سیستم کنترل دور موتور ‪DC‬‬
‫اجزای سیستم کنترل حلقه بسته‬
‫میکروکنترلر‬
‫‪ ‬اجرای الگوریتم کنترل و محاسبه سیگنال کنترلی‬
‫‪ ‬محاسبه سرعت موتور با استفاده از سیگنال خروجی سنسور سرعت نوری‬
‫مبدل دیجیتال به آنالوگ‬
‫‪ ‬تبدیل سیگنال دیجیتال )‪ u(kT‬به سیگنال آنالوگ ولتاژ‬
‫عملگر‬
‫‪ ‬تقویت جریان ناش ی از سیگنال کنترل )‪ u(kT‬جهت راه اندازی موتور ‪DC‬‬
‫سنسور سرعت نوری‬
‫‪ ‬اندازه گیری سرعت چرخش موتور با تولید پالس‬
‫شماتیک سخت افزاری سیستم کنترل‬
‫‪D/A‬‬
‫موتور ‪DC‬‬
‫راه انداز موتور ‪DC‬‬
‫نمایشگر‬
‫واحد پردازش و کنترل‬
‫بورد سیستم کنترل‬
‫بخش راه انداز‬
‫بخش کنترل و پردازش‬
‫پاسخ سیستم‬
‫نمودار سرعت موتور ‪DC‬‬
Overview
Continuous or analog signals
Discrete-time signals
Basic analog signals
Basic discrete signals
Quantized signals
Digital signals
Representation of signals in MATLAB
What is a signal?
A signal is a physical quantity, or quality,
which conveys information
Example: voice of my friend is a signal
which causes me to perform certain
actions or react in a particular way
My friend's voice is called an excitation
My action or reaction is called a response
Continuous or analog signals
Continuous signal is a signal that exists at
every instant of time
A continuous signal is often referred to as
continuous time or analog
‫سيگنالی است که در گستره پيوسته ای از زمان تعريف می شود که دامنه آن می تواند گستره‬
‫پيوسته ای از مقادير را انتخاب کند‪ .‬شکل (الف) يک سيگنال آنالوگ زمان ‪ -‬پيوسته وشکل (ب) يک‬
‫سيگنال کوانتيزه شده زمان ‪ -‬پيوسته را نشان می دهد‪.‬‬
Discrete-time signals
A signal defined only for discrete values of
time is called a discrete-time signal or
simply a discrete signal
Discrete signal can be obtained by taking
samples of an analog signal at discrete
instants of time
Digital signal is a discrete-time signal
whose values are represented by digits
‫در واقع‪ :‬سيگنال ديجيتال‬
‫يک سيگنال زمان – گسسته با دامنه کوانتيزه شده است‪ .‬چنين سيگنالی را ميتوان‬
‫با دنباله ای از اعداد نمايش داد‪ .‬در عمل بسياری از سيگنال های ديجيتال از نمونه‬
‫برداری سيگنال های آنالوگ و سپس کوانتيزه کردن آنها به دست می آيند‪ .‬اين عمل‬
‫کوانتيزه کردن است که خواندن سيگنال های آنالوگ را به صورت کلمه های باينری‬
‫محدود مجاز می دارد‪ .‬شکل (پ) يک سيگنال نمونه برداری داده را نمايش می دهد‪.‬‬
‫‪ ‬سيگنال ديجيتال سيگنالی است که هم از لحاظ دامنه و هم از لحاظ زمان کوانتيزه شده است‪.‬‬
What is sampling?
Sampling is capturing a signal at an
instant in time
Sampling means taking amplitude values
of the signal at certain time instances
Uniform sampling is sampling every T units of
time
xk  x(kT )  x(t ) t 0,T ,2T ,3T ,
Sampling
frequency or
sampling rate
1
F0 
T
time step or
sample interval
Lets generate few signals by
MATLAB
Sinusoidal signal
xs (t )  X s sin(2f s t  s )
Phase in
radian (rad)
Amplitude
xs(t) = Xs sin(2  f s t + s)
2
xs
Time in
seconds (s)
0
Frequency in
Hertz (Hz)
-2
-0.1
0
0.1
t
0.2
MATLAB code for sine signal
x s (t) = Xs sin(2  fs t +  s )
2
x
s
Xs = 1.8;
1.5
fs = 10;
1
fi = pi/3;
0.5
t1 = -0.1;
0
tstep = 0.01;
-0.5
t2 = 0.2;
-1
t = t1:tstep:t2;
x = Xs*sin(2*pi*fs*t+fi); -1.5
-2
plot(t, x)
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
t
xlabel('t')
ylabel('x_s')
title('x_s(t) = X_s sin(2 \pi f_s t + \phi_s)')
grid on
0.2
0.25
Advanced MATLAB code
x s (t) = Xs sin(2  fs t +  s )
2
1.5
1
s
0.5
x
Xs = 1.8;
fs = 10;
fi = pi/3;
0
-0.5
t1 = -0.1;
t2 = 0.2;
t = [t1, t2];
-1
-1.5
-2
-0.1
-0.05
0
0.05
t
0.1
0.15
0.2
x = inline('Xs*sin(2*pi*fs*t+fi)','t','Xs','fs','fi');
fplot(x,t,2e-3,1,'-',Xs,fs,fi)
xlabel('t'); ylabel('x_s'); grid on
title('x_s(t) = X_s sin(2 \pi f_s t + \phi_s)')
Exponential signal
xe (t )  X e ebt
x = inline('Xe*exp(b*t)','t','Xe','b');
x e(t) = Xe eb t
0.8
Xe = 0.8;
b = -0.5;
0.6
e
0.5
x
t1 = 0;
t2 = 8;
t = [t1, t2];
0.7
fplot(x,t,2e-3,1,'-',Xe,b)
xlabel('t')
ylabel('x_e')
title('x_e(t) = X_e e^{b t}')
grid on
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
t
5
6
7
8
Unit step signal
1, t  0
u (t )  
0, t  0
x = inline('t>0', 't');
Unit step signal
1
t1 = -2;
t2 = 6;
t = [t1, t2];
0.8
fplot(x, t)
u
0.6
0.4
xlabel('t')
ylabel('u')
title('Unit step signal')
axis([t -0.1 1.1])
0.2
0
-2
-1
0
1
2
t
3
4
5
6
Pulse signal
1
 , 0t 
p (t )   
0, otherwise

x = inline('(1/e)*((t>0)&(t<=e))','t','e');
Pulse function,  = 1/100
e = 1/100;
t1 = -1;
t2 = 5;
t = [t1, t2];
80
p (t)
fplot(x,t,1e-5,1000,'-',e)
100
60
40
set(gca,'FontSize',16)
20
xlabel('t')
ylabel('p_\epsilon(t)')
0
0
-1
axis([t -0.1 1.1/e])
title('Pulse function, \epsilon = 1/100')
1
2
t
3
4
5
Unit impulse signal (Dirac delta)
 (t )  lim p (t )
 0
 (t )  0, t  0

  (t ) dt  1

Discrete-time signal – Sequence
A sequence (discrete-time signal, discrete
signal, data sequence, or sample set) is a
collection of ordered samples
In practical applications we process
finite-length sequences
The existing sequence is often a
sampled version of a continuous signal
Sinusoidal sequence
1
x s ,k  X s sin(2
k  s )
Ns
Phase in
radian (rad)
Amplitude
xs,k = Xs sin(2  (1/Ns) k + s)
2
Sample index
xs
1
Period
0
-1
-2
-5
0
5
k
10
Exponential sequence
xe,k  X e a k
xe,k = Xe ak
Xe = 0.8;
a = 0.75;
0.6
xe
k1 = 0;
k2 = 10;
k = k1:k2;
0.8
0.4
x = Xe*a.^k;
stem(k, x)
xlabel('k')
ylabel('x_e')
title('x_{e,k} = X_e a^k')
0.2
0
0
2
4
6
k
8
10
Unit step sequence
1, k  0
uk  
0, k  0
Unit step sequence
k1 = -5;
k2 = 10;
k = k1:k2;
0.8
x = (k>=0);
0.6
uk
1
stem(k, x)
0.4
xlabel('k')
ylabel('u_k')
title('Unit step sequence')
axis([k1 k2 -0.1 1.1])
0.2
0
-5
0
5
k
10
Unit impulse sequence
1, k  0
k  
0, k  0
Unit impulse sequence
k1 = -5;
k2 = 10;
k = k1:k2;
1
0.8
x = (k==0);
k
stem(k, x)
0.6
0.4
0.2
xlabel('k')
ylabel('\delta_k')
title('Unit impulse sequence') 0
axis([k1 k2 -0.1 1.1])
-5
0
5
k
10
Quantized signal
The purpose of sampling a continuous
signal is to transmit, store, or process a
limited number of samples that are
represented by a limited number of digits
By using fewer digits we attain faster
transmission and smaller storage
requirements for the information
We utilize the quantized samples rather
than the true samples of infinite accuracy
Choice of digits for quantization
Choice of digits for quantization should be done
properly: in transmitting, storing, and
processing we prefer less digits
With too small a number of digits we can lose
information from the original signal
Two opposing requirements must be satisfied:
1) Minimize number of digits to facilitate the
signal transmission or storing, and
2) Maximize number of digits to keep the
quantization error as low as necessary in
order to preserve the information
Digital signal in MATLAB
3
x(t), xq(kT)
t = 0:30;
x = 0.2+2*sin(0.245*t+0.15);
d = 0.5;
xq = d*round(x/d);
plot(t,x)
hold on
stem(t,xq,'r')
hold off
ylabel('x(t), x_q(kT)')
xlabel('t')
legend('analog signal',...
'digital (quantized)')
analog signal
digital (quantized)
2
1
0
-1
-2
0
10
20
t
30
What is a system?
A signal is a physical quantity, or quality,
which conveys information
Systems take one or more signals as
input, perform operations on the signals,
and produce one or more signals as
output
A system is a group of related parts
working together, or an ordered set of
ideas, methods, or ways of working
Continuous-time system
Continuous-time system: the input and output signals
are continuous time
Discrete-time system
Discrete-time system has discrete-time
input and output signals
‫تفاوت سيستم های کنترل زمان – گسسته با سيستم های زمان ‪ -‬پيوسته‬
‫‪ -1‬سيستم های کنترل زمان – گسسته با سيستم های کنترل زمان – پيوسته از اين‬
‫لحاظ متفاوت هستند که سيگنالهای سيستم های کنترل زمان – گسسته به صورت‬
‫نمونه برداری داده ها يا به شکل ديجيتال هستند‪.‬‬
‫‪ -2‬سيستم های زمان – پيوسته را که سيگنال های آنها زمان – پيوسته باشند می توان با‬
‫معادالت ديفرانسيل توصيف نمود‪.‬‬
‫‪ -3‬سيستم های زمان – گسسته را که شامل سيگنال های نمونه برداری شده يا احيانا‬
‫سيگنال های زمان پيوسته نيز باشند‪ ،‬می توان پس از گسسته کردن مناسب سيگنال های‬
‫زمان – پيوسته با معادالت تفاضلی توصيف کرد‪.‬‬
Digital system
A discrete-time system is digital if it
operates on discrete-time signals whose
amplitudes are quantized
Quantization maps each continuous
amplitude level into a number
The digital system employs digital hardware:
1. explicitly in the form of logic circuits
2. implicitly when the operations on the signals
are executed by writing a computer
program
‫سيستم های کنترل ديجيتال‬
‫شمای کنترلی را که در آن برای انجام پردازش سيگنال با شيوه مطلوب‪ ،‬کامپيوتر ديجيتالی در‬
‫حلقه کنترل گنجانده شود‪ ،‬کنترل ديجيتال مستقيم‪ ،‬نامند‪.‬‬
‫مزايای کنترل ديجيتال‬
‫‪ -1‬پردازش داده ها در کنترل کننده های ديجيتال سر راست است‪ ،‬محاسبات کنترلی‬
‫پيچيده را می توان به سهولت انجام داد‪.‬‬
‫‪ -2‬برنامه های کنترل (مشخصه های کنترل کننده) را می توان به سادگی تغيير داد‪ ،‬در‬
‫صورتی که چنين تغييراتی مورد نياز باشد‪.‬‬
‫‪ -3‬از ديدگاه نويز داخلی‪ ،‬کنترل کننده های ديجيتال به مراتب برتر از کنترل کننده های‬
‫آنالوگ متناظر می باشند‪.‬‬
Analysis and design
Analysis of a system is investigation of the
properties and the behavior (response) of an
existing system
Design of a system is the choice and
arrangement of systems components to perform
a specific task
Design by analysis is accomplished by
modifying the characteristics of an existing
system
Design by synthesis: we define the form of the
system directly from its specifications
‫نتيجه گيری‬
‫‪ -1‬کنترل کننده های ديجيتال فقط با اعداد کار می کنند‪.‬‬
‫‪ -2‬تصميم گيری‪ ،‬يکی از وظايف مهم کنترل کننده های ديجيتال است‪.‬‬
‫‪ -3‬فوق العاده تطبيق پذير هستند‬
‫‪ -4‬انجام محاسبات پيچيده يا عمليات منطقی و حل معادالت غير خطی با‬
‫دقت ثابت و سرعت باال‬
‫‪ -5‬رده بسيار وسيع تری از قوانين کنترل را در مقايسه با کنترل کننده های‬
‫آنالوگ بکار می برند‪.‬‬
‫‪ -6‬در کنترل کننده های ديجيتال صرفا ٌ با صدور يک برنامه جديد می توان‬
‫عملياتی را که انجام می گيرد کامال ٌ تغيير داد‪.‬‬
‫‪ -7‬قطعات ديجيتال نظير مدارهای نمونه بردار و نگهدار‪ ،‬مبدل های ‪ A/D‬و ‪، D/A‬‬
‫مبدل های ديجيتال از لحاظ ساختمانی سخت‪ ،‬با قابليت اطمينان باال و اغلب فشرده و‬
‫از نظر وزنی سبک هستند‪.‬‬
‫نتيجه گيری‬
‫‪ -8‬قطعات ديجيتال دارای حساسيت باال بوده و اغلب از قطعات مشابه آنالوگی خود‬
‫ارزان تر هستند و نسبت به سيگنالهای نويز حساسيت کمتری دارند‪.‬‬
‫‪ -9‬کنترل کننده های ديجيتال از لحاظ مجاز داشتن تغيير برنامه سازی‪ ،‬انعطاف پذير‬
‫هستند‪.‬‬
‫‪ -10‬با استفاده از کنترل کننده های ديجيتال‪ ،‬می توان تمام متغيرهای فرآيند را‬
‫همراه با عوامل اقتصادی‪ ،‬نيازهای توليد‪ ،‬عملکرد تجهيزات و همه عوامل ديگر‬
‫به حساب آورد و در نتيجه کنترل بهينه فرآيندهای صنعتی را انجام داد‪.‬‬
Systems that satisfy difference equations
include things like:
Computer controlled systems - systems
that take measurements with digital I/O
boards, calculate an output voltage.
Frequently these systems run a program
loop that executes in a fixed interval of
time.
Other systems that satisfy difference
equations are:
 those systems with Digital Filters - which
are found anywhere digital signal
processing - digital filtering is
done. That includes: Digital signal
transmission systems like the telephone
system.
Systems that process audio signals. For
example, a CD contains digital signal
information, and when it is read off the CD,
it is initially a digital signal that can be
processed with a digital filter
there are an incredible number of systems
we use every day that have digital
components which satisfy difference
equations.
In continuous systems, inputs and outputs
are related by differential equations and
Laplace transform techniques are used to
solve those differential equations.
In continuous systems, Laplace transforms
are used to represent systems with
transfer functions
Z transforms play the role in sampled systems
that Laplace transforms play in continuous
systems.
In sampled systems, inputs and outputs are
related by difference equations and Z transform
techniques are used to solve those differential
equations
In sampled systems, Z-transforms are used to
represent systems with transfer functions.
History
In mathematics and signal processing, the Z-transform
converts a discrete time domain signal, which is a sequence of
real numbers, into a complex frequency domain
representation.
The Z-transform and advanced Z-transform were introduced
(under the Z-transform name) by E. I. Jury in 1958 in
Sampled-Data Control Systems (John Wiley & Sons). The idea
contained within the Z-transform was previously known as the
"generating function method".
The (unilateral) Z-transform is to discrete time domain
signals what the one-sided Laplace transform is to continuous
time domain signals.
‫” تبديل ‪“z‬‬
‫اهداف ‪:‬‬
‫‪ -1‬تعاريف تبديل ‪z‬‬
‫‪ -2‬قضايای اساس ی مربوط به تبديل ‪z‬‬
‫‪ -3‬روشهای تعيین عکس تبديل ‪z‬‬
‫‪ -4‬تابع تبديل پالس ی و دنباله وزنی‬
‫سيگنال های زمان گسسته‬
‫‪ -1‬اگر سيستمی شامل يک عمل نمونه برداری باشد‪.‬‬
‫‪ -2‬اگر سيستمی شامل يک فرآيند تکراری انجام يافته با يک کامپيوتر ديجيتال‬
‫باشد‪.‬‬
‫دنباله مقاديری که از عمل نمونه برداری حاصل می شود را به صورت زير‬
‫نمايش می دهند‪:‬‬
‫) ‪x(k‬‬
‫دوره تناوب نمونه برداری‬
‫ساده شدن طرز نمايش‬
‫…‪K=0,1,2,3,‬‬
‫) ‪x(kT‬‬
‫تابع تبديل پالس ی‬
‫با بکار بردن تبديل ‪ ، z‬يک سيستم خطی زمان – گسسته را می توان با تابع‬
‫تبديلی نمايش داد که تابع تبديل پالس ی گفته می شود‪.‬‬
‫تبديل ‪ z‬سيگنال خروجی‬
‫تبديل ‪ z‬سيگنال خروجی را می توان به صورت حاصلضرب تابع تبديل پالس ی و‬
‫تبديل ‪ z‬سيگنال ورودی بيان نمود‪.‬‬
‫تبديل ‪z‬‬
‫تعريف ‪:‬‬
‫تبديل ‪ z‬يک تابع زمانی ) ‪ x(t‬که در آن ‪ t‬نامنفی است‪ ،‬يا دنباله ای از مقادير‬
‫يا ) ‪x(kT‬که در آن ‪k‬مقادير صفر يا مثبت را اختيار کرده و ‪ T‬دوره تناوب نمونه‬
‫برداری است‪ ،‬با معادله زير تعريف می شود‪:‬‬
‫]) ‪X ( z )  Z [ x(t )]  Z [ x(kT )]  Z [ x(k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪  x(k ) z‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪  x(kT ) z‬‬
‫به تبديل ‪ z‬فوق‪ ،‬تبديل ‪ z‬يکطرفه اطالق می شود‪.‬‬
‫‪k 0‬‬
: ‫ يکطرفه‬z ‫درتبديل‬
t0
x(t )  0
k 0
x(kT )  x(k )  0
k  0,1,2,...
‫يا‬
  t  
: ‫ دوطرفه‬z ‫تبديل‬
X ( z )  Z [ x(t )]  Z [ x(kT )]  Z [ x(k )]


 x(kT ) z
k  
k


 x(k ) z
k  
k
‫درتبديل ‪ z‬دوطرفه ‪:‬‬
‫‪t 0‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪x(t )  0‬‬
‫‪x(kT )  x(k )  0‬‬
‫‪ ‬تبديل ‪ z‬يکطرفه و دوطرفه سری های توانی از‬
‫‪1‬‬
‫هستند‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ ‬در اين دوره تنها تبديل ‪ z‬يکطرفه به تفصيل درنظر گرفته می شود‪.‬‬
‫عکس تبديل ‪z‬‬
‫) ‪x(kT‬‬
‫‪1‬‬
‫]) ‪Z [ X ( z‬‬
‫روش های محاسبه عکس تبديل ‪z‬‬
‫‪ -1‬روش تقسيم مستقيم‬
‫‪ -2‬روش محاسباتی‬
‫‪ -3‬روش گسترش کسرهای جزيی‬
‫‪ -4‬روش انتگرال معکوس‬
‫) ‪X (z‬‬
‫تبديل ‪ z‬توابع مقدماتی‬
‫فرضيات‪:‬‬
‫در نظريه تبديل ‪ z‬يکطرفه‪ ،‬در نمونه گيری يک تابع ناپيوسته )‪ x(t‬فرض می کنيم که تابع از‬
‫سمت راست پيوسته است‪ .‬يعنی اگر ناپيوستگی در ‪ t=0‬پيش بيايد‪ ،‬در اين صورت به جای‬
‫اينکه )‪ x(0‬را به صورت مقدار متوسط در ناپيوستگی ‪ [x(0-)+x(0+)]/2‬نشان دهيم‪،‬‬
‫مقدار )‪ x(0‬را برابر )‪ x(0+‬فرض می کنيم‪.‬‬
‫‪ -1‬تابع پله واحد‬
‫فرض ‪:‬‬
‫‪1(0)  1‬‬
‫‪t0‬‬
‫) ‪1(t‬‬
‫‪t 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x(t ) ‬‬


k 0
k 0
X ( z )  Z [1(t )]  1.z  k   z  k
: ‫حل‬
 1  z 1  z 2  z 3  ...
1
z


1
1 z
z 1
1(k)=
1
0
k=0,1,2,3,…
K<0
‫ دنباله پله واحد‬: ‫نکته‬
x(t ) 
t 0
t 0
t
0
‫ تابع شيب واحد‬-2
x(kT )  kT
: ‫حل‬



k 0
k 0
k 0
X ( z )  Z [t ]   x(kT ).z  k   kTz  k  T  kz  k
1
2
3
 T ( z  2 z  3 z  ...)
1
z
Tz
T

1 2
2
(1  z )
( z  1)
x(k ) 
a
0
k  0,1,2,3,...
k
a
k
‫ تابع چند جمله ای‬-3
k 0

X ( z )  Z [a ]   x(k ) z
k
k 0
1
k

 a z
k
: ‫حل‬
k
k 0
2 2
3 3
 1  az  a z  a z  ...
1
z


1
1  az
za
x(t ) 
e
 at
t 0
t 0
0
x(kT )  e
‫ تابع نمايی‬-4
k  0,1,2,3,...
 akT


k 0
k 0
X ( z )  Z [e  at ]   x(kT ) z  k   e  akT z  k
 1 e

 aT
1
z e
1
1  e  aT z 1
2 aT
2
z e
z

z  e  aT
3 aT
3
z  ...
: ‫حل‬
x(t ) 
sin t t  0
0
‫ تابع سينوس ی‬-5
t0
: ‫فرضيات‬
Z [e
 aT
]
1
1  e  aT z 1
‫و‬
1 j t  j t
sin t 
(e  e )
2j
1
1
1
Z [sin t ] 
(

)
jT 1
 jT 1
2 j 1 e z
1 e
z
1
(e jT  e  jT ) z 1

(
)
j T
 j T
1
2
2 j 1  (e  e
)z  z
z 1 sin T
z sin T

 2
1
2
1  2 z cos T  z
z  2 cos T  1
: ‫حل‬
x(t ) 
cos t
0
t 0
t 0
‫ تابع کسينوس ی‬-6
1
Z [cos t ]  Z (e jt  e  jt )
2
1
1
1
 (

)
jT 1
 jT 1
2 1 e z
1 e
z
1
2  (e  jT  e jT ) z 1
 (
)
j T
 j T
1
2
2 1  (e  e
)z  z
z  z cos T
 2
z  2 z cos T  1
2
: ‫حل‬
x(t ) 
Z [e
 at
e  at sin t
0
t 0
t 0
‫ تابع سينوس ی میرا‬-7
1  at jt  at  jt
sin t ]  [e e e e ]
2j
: ‫حل‬
1
1
1

(

)
 ( a  j )T 1
 ( a  j )T 1
2 j 1 e
z
1 e
z
1
(e jT  e  jT )e  aT z 1

(
)
j T
 j T
 aT 1
 2 aT  2
2 j 1  (e  e
)e z  e
z
e  aT z sin T
 2
z  2e  aT z cos T  e  2 aT
e  at cos t
x(t ) 
Z [e
0
 at
t 0
t 0
‫ تابع کسينوس ی میرا‬-8
1  at jt  at  jt
cos t ]  [e e e e ]
2
1
1
1
 (

)
 ( a  j )T 1
 ( a  j )T 1
2 1 e
z
1 e
z
1
2  (e jT  e  jT )e  aT z 1
 (
)
j T
 j T
 aT 1
 2 aT  2
2 1  (e  e
)e z  e
z
z 2  e  aT z cos T
 2
z  2e  aT z cos T  e  2 aT
: ‫حل‬
‫مثال ‪:‬‬
‫روش‬
‫‪1‬‬
‫‪X (s) ‬‬
‫)‪s ( s  1‬‬
‫? ‪X ( z) ‬‬
‫اول ‪ :‬تبديل )‪ X(s‬به‬
‫) ‪(t‬و‪x‬سپس پيدا کردن تبديل ‪ z‬مربوط به‬
‫‪t0‬‬
‫‪t‬‬
‫) ‪x(t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪L [ X ( s )]  1  e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X ( z )  Z [1  e ] ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 z‬‬
‫‪1  e T z 1‬‬
‫‪(1  e T ) z 1‬‬
‫‪(1  e T ) z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪T 1‬‬
‫‪T‬‬
‫) ‪(1  z )(1  e z ) ( z  1)( z  e‬‬
‫‪t‬‬
‫روش دوم ‪ :‬گسترش )‪ X(s‬به کسرهای ساده و استفاده از جدول تبديل ‪Z‬‬
z ‫خواص و قضايای مهم تبديل‬
‫ ضرب در يک مقدار ثابت‬-1
Z [ax(t )]  aZ [ x(t )]  aX ( z )
: ‫اثبات‬


k 0
k 0
Z [ax(t )]   ax(kT ) z  k  a  x(kT ) z  k  aX ( z )
z ‫ خطی بودن تبديل‬-2
x ( k )  f ( k )   g ( k )
X ( z )  F ( z )   G ( z )
: ‫اثبات‬
Z [ x(k )]  Z [f (k )  g (k )]

  [f ( k )   g ( k )]z  k
k 0

  f ( k ) z
k 0
k

  g (k ) z
k 0
 Z [ f ( k )]   Z [ g ( k )]
 F ( z )   G ( z )
k
1
Z [a x(k )]  X (a z )
k
a
k
‫ ضرب در‬-3
: ‫اثبات‬


k 0
k 0
Z [a k x(k )]   a k x(k ) z  k   x(k )(a 1 z )  k  X (a 1 z )
‫ قضيه انتقال حقيقی‬-4
a)
n
Z [ x(t  nT )]  z X ( z )
n 1
b)
Z [ x(t  nT )]  z [ X ( z )   x(kT ) z ]
n
k 0
k
x(t )  0
,t  0
)1
)2
‫ صفر يا يک عدد صحيح مثبت‬n
: ‫مفروضات‬
: (a) ‫اثبات‬


k 0
k 0
Z [ x(t  nT )]   x(kT  nT ) z  k  z  n  x(kT  nT ) z ( k  n )
: ‫ داريم‬m= k - n ‫با تعريف‬
Z [ x(t  nT )]  z  n

m
x
(
mT
)
z

m n
x(mT )  0, m  0

: ‫) داريم‬1( ‫با توجه به فرض‬
Z [ x(t  nT )  z  n  x(mT ) z  m  z  n X ( z )
m 0
: (b) ‫اثبات‬


k 0
k 0
Z [ x(t  nT )   x(kT  nT ) z  k  z n  x(kT  nT ) z ( k  n )

n 1
n 1
k 0
k 0
k 0
 z n [ x(kT  nT ) z ( k  n )   x(kT ) z  k   x(kT ) z  k ]

n 1
k 0
k 0
 z n [ x(kT ) z  k   x(kT ) z  k ]
n 1
 z [ X ( z )   x(kT ) z ]
n
k 0
k
x(k  1)
‫ عبارات زير را بدست آوريد‬z ‫ تبديل‬: ‫مثال‬
:‫حل‬


k 0

k 1
Z [ x(k  1)]   x(k  1) z  k   x(k ) z  k 1
 z[ x(k ) z  k  x(0)]
k 0
zX((zz))zx
zx((00))
zX
‫ حالت خاص‬: ‫تذکر‬
x(0)  0
Z [ x(k  1)]  z.Z [ x(k )]
x(k  2)
:‫حل‬
Z [ x(k  2)]  z.Z [ x(k  1)]  zx(1)
z 2 X ( z )  z 2 x(0)  zx(1)
x ( k  n)
:‫حل‬
Z [ x(k  n)]  z n X ( z )  z n x(0)  z n 1 x(1)  ...  zx(n  1)
x ( k  n)
:‫حل‬
n
Z [ x(k  n)]  z X ( z )
‫ عبارت زير را بدست آوريد‬z ‫ تبديل‬: ‫مثال‬
f (a ) 
a
0
k 1
k  1,2,3,...
k 0
1
Z [ x(k  1)]  z X ( z )
‫ ميدانيم‬: ‫حل‬
1
Z [a ] 
1
1  az
k
1
1
z
Z [ f (a )]  Z [a k 1 ]  z 1

1
1
1  az
1  az
‫‪-5‬قضيه انتقال مختلط ‪:‬‬
‫) ‪X ( ze at‬‬
‫اثبات ‪:‬‬
‫]) ‪[e  at x(t‬‬
‫تبديل ‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z [e  at x(t )]   x(kT )e  akT z  k‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪  x(kT )( ze aT )  k  X ( ze aT‬‬
‫‪k 0‬‬
‫مثال ‪ :1‬تبديل ‪ Z‬تابع سينوس ی ميرا با استفاده از قضيه انتقال مختلط ؟‬
‫? ‪sin t ] ‬‬
‫‪ at‬‬
‫‪Z [e‬‬
z 1 sin t
Z [sin t ] 
1  2 z 1 cos T  z  2
z  ze
Z [e
 at
‫ می دانيم‬: ‫حل‬
aT
e z sin t
sin t ] 
1  2e  aT z 1 cos T  e  2 aT z  2
 aT
1
Z [te
at
]?
:‫ تابع زير را بدست آوريد‬Z ‫ تبديل‬:2 ‫مثال‬
: ‫ می دانيم‬: ‫حل‬
1
Tz
Z [t ] 
 X ( z)
1 2
(1  z )
z  ze
Z [te
 at
 aT
aT
1
Te z
]  X ( ze ) 
 aT 1 2
(1  e z )
aT
‫‪-6‬قضيه مقدار اوليه ‪:‬‬
‫مفروضات‬
Z [ x(t )]  X ( z )
LimX ( z ) ‫موجود است‬
z 
x(0)  LimX ( z )
z 
: ‫اثبات‬

X ( z )   x(k ) z  k  x(0)  x(1) z 1  x(2) z  2  ....
k 0
LimX ( z )  x(0)
z 
(1  e T ) z 1
X ( z) 
(1  z 1 )(1  e T z 1 )
(1  e T ) z 1
x(0)  Lim
0

1

T

1
z  (1  z )(1  e z )
x(0)=? ‫ مقدار‬: ‫مثال‬
x(t )  1 e  t
: ‫حل‬
x(0)=? ‫ مقدار‬: ‫مثال‬
1
X ( z) 
(1  z 1 )(1  az 1 )
x(0)  Lim
z 
1
1
1
1
(1  z )(1  az )
: ‫حل‬
: ‫روش اول‬
: ‫روش دوم‬
1
X ( z) 
(1  z 1 )(1  az 1 )
1
a
1
1
a
1

a
1

a



[

]
1
1
1
1
(1  z ) (1  az ) 1  a 1  z
1  az
1
x(0)  Lim X ( z ) 
[1  a ]  1
z 
1 a
‫‪-7‬قضيه مقدار نهايی ‪:‬‬
‫مفروضات ‪:‬‬
‫‪ x(k )  0 )1‬برای‬
‫‪k 0‬‬
‫‪ )2‬تمام قطبهای )‪ X(z‬درون دايره واحد قرار گيرند‪ ،‬به استثنای امکان يک قطب‬
‫ساده در ‪. z=1‬‬
‫‪1‬‬
‫]) ‪Limx(k )  Lim[(1  z ) X ( z‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪k ‬‬

:‫اثبات‬
Z [ x(k )]  X ( z )   x(k ) z  k
k 0

Z [ x(k  1)]  z X ( z )   x(k  1) z  k
1


k 0
k 0


k 0
k 0
k 0
k
k
1
x
(
k
)
z

x
(
k

1
)
z

X
(
z
)

z
X ( z)


Lim[ x(k ) z  k   x(k  1) z  k ]  Lim[ X ( z )  z 1 X ( z )]
z 1
z 1
: 1 ‫با در نظر گرفتن فرض‬


k 0
k 0
 [ x(k )   x(k  1)]  [ x(0)  x(1)]  [ x(1)  x(0)] 
 [ x(2)  x(1)]  ...  x()  Lim[ x(k )]
k 
Lim[ x(k )]  Lim[(1  z 1 ) X ( z )]
k 
z 1
‫ مقدار نهايی تابع زير را بدست آوريد‬:‫مثال‬
1
1
X ( z) 

1
1 z
1  e  aT z 1
‫ با استفاده از قضيه مقدار نهايی‬:‫حل‬
1
x()  Lim[(1  z ) X ( z )]
z 1
1
1
 Lim[(1  z )(

)]

1

aT

1
z 1
1 z
1 e z
1
1
1
 Lim[(1  z )(

)]

1

aT

1
z 1
1 z
1 e z
1
1  z 1
 Lim(1 
) 1

aT

1
z 1
1 e z
‫حل‪ :‬بدون استفاده از قضيه مقدار نهايی‬
‫‪ at‬‬
‫‪) 1‬‬
‫‪x(t )  1  e‬‬
‫‪ at‬‬
‫‪x()  Lim(1  e‬‬
‫‪t ‬‬
‫مثال‪ :‬مقدار نهايی تابع زير را بدست آوريد‬
‫‪0.387 z 2‬‬
‫‪X ( z) ‬‬
‫)‪( z  1)( z 2  2.37 z  0.25‬‬
‫حل‪ :‬با استفاده از قضيه مقدار نهايی‬
‫‪1‬‬
‫]) ‪x()  Lim[(1  z ) X ( z‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪0.378 z‬‬
‫‪0.378‬‬
‫‪ Lim[ 2‬‬
‫‪]‬‬
‫‪ 0.345‬‬
‫‪z 1 z  2.37 z  0.25‬‬
‫‪ 1.12‬‬
‫ مشتق گيری مختلط‬:‫قضيه‬-8
d
Z [kx(k )]   z X ( z )
dz

X ( z )   x(k ) z  k
:‫اثبات‬
k 0

d
X ( z )   (k ) x(k ) z  k 1
dz
k 0
:‫– ضرب می نماييم‬z ‫طرفين را در‬

d
 z X ( z )   kx(k ) z  k  Z [kx(k )]
dz
k 0
d
Z [kx(k )]   z X ( z )
dz
‫به طريق مشابه می توان نشان داد‪:‬‬
‫‪d 2‬‬
‫) ‪Z [k x(k )]  ( z ) X ( z‬‬
‫‪dz‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(See p. 62‬‬
‫با تکرار فرآيند فوق می توان نشان داد‪:‬‬
‫‪d m‬‬
‫) ‪Z [k x(k )]  ( z ) X ( z‬‬
‫‪dz‬‬
‫‪m‬‬
‫مثال‪ :‬با استفاده از قضيه مشتق گيری مختلط‪ ،‬تبديل ‪ z‬تابع شيب واحد را بدست آوريد ‪:‬‬
‫? ‪Z [ x(k )] ‬‬
‫حل‪ :‬ميدانيم‪:‬‬
‫‪x(k )  k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z [1(k )] ‬‬
‫‪1  z 1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z 1‬‬
‫( ‪Z [ x(k )]  Z [k ]  Z [k .1(k )]   z‬‬
‫‪)‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dz 1  z‬‬
‫‪(1  z 1 ) 2‬‬