古代數學問題
及
其對數學教學的啟示
1
文耀光博士
香港教育學院
數學及資訊科技學系
數學史的教育價值
(蕭文強教授)

數學史就是數學本身

吸收和運用數學史，既充實了
自己，也豐富了教學。
2
運用數學史的方式
(JOHN FAUVEL與蕭文強教授)






課堂中加插數學家的軼事和言行。
開始講授數學概念時，先介紹它的歷史發展。
以數學名題及解答講授有關數學概念；以數學史的關鍵事
例去說明有關的技巧方法；以數學史的著名錯誤或誤解去
幫助學生克服困難。
利用原著數學文獻設計課堂習作。
指導學生製作富數學史興味的壁報、專題探討、特輯、戲
劇或錄像等。
利用數學史作為指引，設計整體課程。
3
古代數學問題對現今教學有何啟示？
可作一題多解的示例。
 提高學生學習數學的興趣。
 對照古今的解法，可擴闊學生的視野。
 透過欣賞及分析古代數學問題的解法，可提升個人的解
題技巧。
 以古題為切入點，可刺激學生思考如何解決相關或更一
般的問題。
 以古為鑑，可避免因陷入錯誤思維而導致錯誤的結論。

4
古代數題的例子
5
古人如何約分
(更相減損法)
2015/4/13
『以子除母，母亦除子，子、
母數交等者，即約之矣。』
 《九章算術
6
 《算數書》曰：
》曰：『可半者，半之。不可半者，
副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求
其等也，以等數約之。』
例子
7
求最大公因數的常用方法
列舉法
短除法
質因子分解法
輾轉相除法
8
更相減損法
中國古代數學具算法
化(algorithmic)的特色
更相減損法便是一個
例子
吳文俊教授
9
如何解雞兔問題？
『今有雉兔同籠，上有三十五頭，

下有九十四足。問雉兔各幾何？』
10
《孫子算經》：
方法一：半足法
(金雞獨立法)
11
頭 35
足 94
頭 35
半
其
足
半足 47
35
下
減
上
12
23 (雞數)
上
減
下
如何解讀這種算法？
12 (兔數)
半其足
頭35
足94
頭35
→
半足47
12
下減上
頭35
半足47
→
35
12
兔子有12隻
13
上減下
35
12
23
→
雞有23 隻
12
兔有12隻
14
其他方法(一)：以翼作足法

把每隻雞的雙翼看作雞足，那麼雞和兔都變成4 足動物，
其腳數共有：35  4 = 140 (隻)。
多出的腳數共有：140 – 94 = 46 (隻)。
雞數：46  2 = 23 (隻)
 兔數：35 – 23 =12 (隻)

15

其他方法(二)：兔來雞往法
假設全部是雞，共35隻。

共欠腳數：94 – 2×35 = 24 (隻)。

若採用一雞換一兔的策略，則每次可增加2足。
兔數：24  2 = 12 (隻)
 雞數：35 – 12 = 23 (隻)

16

其他方法(三)：列方程
假設雞有 x 隻。
 那麼兔有 (35 – x) 隻。
 ∴ 2x + 4× (35 – x) = 94

2x + 140 – 4x = 94

2x = 140 – 94

x = 46 ÷ 2 = 23
 雞數 = 23 (隻)
 兔數 = 35 – 23 = 12 (隻)

17
思考：
以上方法涉及了多少步運算？
18
其他方法(四)：繪圖法

Herr, T., & Johnson, K. (2001).
Problem solving strategies:
Crossing the river with dogs
and other mathematical
adventures. (2nd edition).
Berkeley, CA: Key Curriculum
Press.
19
日本的鶴龜算

“某處有鶴龜百頭，只云足數和為二
百七十二，
 問鶴龜各幾何？”
答：龜三十六，鶴六十四
20
古人如何量度高山
或
大建築物的高度？
21
古希臘的泰利斯利用相似三角形
的方法測量金字塔的高度
可以用比例計
算。
多高?
建築師,金字塔
有多高？
22
中國古人如何處理類似問題？
23
24
海
島
算
經
25
立兩根杆子AB和CD，
它們之間的距離為d；
兩根杆子的影長分別
是BE、DF；
設 DT = BE，
則「黃甲與黃乙部分
的面積相等」，
26
P
Q




E’

AE’QP與CJGK的面積
相等 (∵ BE=DT)
∵ AE’QP與NBAL的面
積相等
∴ CJGK與NBAL的面
積相等
NBAL的面積+ACDB的
面積=CJGK的面積
+GHIJ的面積
∴ ACDB的面積
=GHIJ的面積
27
ACDB的面積 = dh
GHIJ的面積 = HI‧a
其中 a =a1 – a2。
28
怎樣看數學史？
頭盤?
主菜?
甜品?
29
PROF. M. KOOL’S SUGGESTIONS
(NETHERLANDS)
Use historical problems in your teaching for
reasons of variety and to give your pupils
something extra!
 The extras that historical problems bring to your
pupils are historical insights and mathematical
insights.
 Historical problems may intervene at the end of the
learning process as an extra exercise or the
application of a new learned mathematical topic, or
at the beginning to stimulate pupils to develop their
own individual strategies.

30
31