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CHAPITRE 2-1
STATIQUE DES PARTICULES :
Forces et équilibre dans le plan
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But :
• Définir les forces agissant sur un corps rigide,
• Calculer la résultante d’un ensemble de forces,
• Déterminer les forces agissant sur un corps rigide en
équilibre.
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1- Grandeurs physiques
Une grandeur physique peut être :
- un scalaire
- ou un vecteur
a) Grandeur scalaire :
Elle représente l’état de l’objet.
Caractéristique :
• la grandeur
Exemples:
- La masse,
- La longueur
- Le volume,
- Le temps, etc…
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b) Grandeur vectorielle :
Elle représente l’action entre un objet et son
environnement.
Caractéristiques :
• La grandeur ou intensité ou module
• La direction ou ligne d’action
• Le sens
Exemples :
- Les forces
- Le déplacement,
- La vitesse, etc...
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2- Vecteurs
▪ Un vecteur est un segment de droite ayant une origine et
une extrémité qui désigne son sens.
Exemple : vecteur vitesse 𝐕
𝑽 = 𝟓𝒎/𝒔
30⁰
• Grandeur de 𝑽 : V = 5 m/s
• Direction : 30ᵒ au dessus de l’horizontale
• Sens : sens de la flèche (de la gauche vers la droite)
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▪
Un vecteur unitaire est un vecteur ayant une grandeur
égale à 1.
𝐕
𝑽 = 𝟓 .𝝀
𝝀: vecteur unitaire, 𝝀 = 1
Grandeur de 𝑽 :
𝝀
V = 5 m/s
y
Pour un système de coordonnées
cartésiennes, on définie :
𝒊Ԧ : vecteur unitaire le long de l’axe x
1
Ԧ𝐣
𝒊Ԧ
1
x
𝒋Ԧ: vecteur unitaire le long de l’axe y
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▪ Propriétés des vecteurs :
• Tout vecteur est le produit d’un scalaire et d’un vecteur
unitaire.
• Le sens du vecteur est celui du signe du scalaire.
• L’addition de deux vecteurs est un vecteur.
• La soustraction de deux vecteurs est un vecteur.
• Le produit d’un vecteur par un scalaire est un vecteur.
• Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même grandeur,
la même direction et le même sens.
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Partie A
Forces dans le plan
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3- Forces
• Une force est l’effet d’un corps sur un autre corps.
• Une force est une grandeur vectorielle, elle est caractérisée
par :
Sens
- sa grandeur
Grandeur
50 N
- sa direction
θ : direction
- son sens
- son point d’application
Point d’application
• L’unité de la force dans le système international est
le Newton (N)
1 N = 1 kg . m/s2
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On distingue :
▪ les forces de contact : forces qui s’exercent à travers une
surface ou un point de contact de l’objet.
Exemples :
- Force normale 𝑵 : force perpendiculaire à la surface de
contact et dont le sens est de la surface vers
l’objet (système).
- Force de tension 𝑻 : force exercée par un câble ou une corde
- Force qui pousse ou tire : 𝑭, 𝑷, ….
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▪ Les forces à distance : forces qui s’exercent entre deux
objets sans qu’il ait contact.
Exemples :
- Poids 𝑾 : force d’attraction qu’exerce la terre sur un objet.
𝑾 est toujours dirigé suivant la verticale et son sens est
vers le bas.
- Forces électrostatiques et électromagnétiques
𝐓
𝐍
𝐅Ԧ
𝐖
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▪ Tension dans un câble ou corde :
• Un câble ou corde tire sur l’objet auquel il est attaché.
• La grandeur de la force est appelée tension.
• La tension est la même dans un câble, elle ne dépend pas de la
direction du câble.
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4- Résultante de forces concourantes
Résultante : somme vectorielle des forces qui agissent sur un
corps.
𝑹 = σ 𝑭𝒊 = σ 𝑭
Résultante de deux forces:
𝑹= 𝑷+𝑸= 𝑸+ 𝑷
▪ Méthode du triangle :
On dessine 𝑸 à l’extrémité de 𝑷.
𝑹 est le vecteur qui relie l’origine de 𝑷 à l’extrémité de 𝑸 .
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▪ Méthode du parallélogramme :
On joigne les origines de 𝑷 et 𝑸 à un
même point A et on construit le
parallélogramme de côté P et Q.
𝑹 est la grande diagonale du parallélogramme de côtés P
et Q.
Résultante de plusieurs forces:
𝑹= 𝑷+𝑸+𝑺
▪ Méthode du polygone :
On dessine les forces l’une à l’extrémité de l’autre.
𝑹 est le vecteur qui relie l’origine de 𝑷 à l’extrémité de 𝑺 .
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Exemple 1
Problème résolu 2-1
Calculez la résultante des forces 𝑃 et 𝑄 appliquées au boulon
A.
Méthode trigonométrique :
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Grandeur de 𝑹 :
Loi du cosinus : 𝑅2 = 𝑃2 + 𝑄2 − 2. 𝑃. 𝑄. cos(𝐵)
Angle B :
B = 180º - 25º = 155º
𝑅2 = 402 + 602 − 2 × 40 × 60 × cos(155º)
R = 97,73 N
Direction de 𝑹 :
angle α entre R et l’axe Ox
Loi des sinus :
sin(𝐴)
sin(𝐵)
=
𝑄
𝑅
sin(𝐴)
sin(155)
=
60
97,73
A= 15,06º
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α = 20º + A
α = 20º + 15,06º = 35,04º
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5- Composantes rectangulaires d’une force
Grandeur de 𝑭 : F
Direction de 𝑭 : angle 𝜽
𝑭 = 𝑭𝒙 . 𝒊Ԧ + 𝑭𝒚 . 𝒋Ԧ
𝑭𝒙 = 𝑭. 𝒄𝒐𝒔(𝜽)
𝑭𝒚 = 𝑭. 𝒔𝒊𝒏(𝜽)
𝜽 : angle entre l’axe Ox positif et la force 𝑭 ,
compris entre 0° et 360°
𝑭𝒙 : composante de 𝑭 suivant l’axe x
𝑭𝒚 : composante de 𝑭 suivant l’axe y
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6- Résultante des forces par la méthode des composantes
Résultante de deux ou plusieurs forces :
𝑹 = σ𝑭
On décompose chacune des forces en une composante suivant l’axe
x et une composante suivant l’axe y.
• Composantes de 𝐑 :
- Composante suivant l’axe x : 𝑹𝒙 = σ 𝑭𝒙
- Composante suivant l’axe y : 𝑹𝒚 = σ 𝑭𝒚
• Grandeur de 𝑹 :
𝑹=
𝑹𝟐𝒙 + 𝑹𝟐𝒚
• Direction de 𝑹 : angle θ que fait 𝑹 avec l’axe horizontal
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
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𝑹𝒚
𝑹𝒙
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Exemple 2
Problème 2-36
Calculez la résultante des trois forces appliquées au point B.
y
𝑻 (𝟕𝟐𝟓 𝑵)
𝛼
𝛾
𝛽
x
𝑭𝟐 (𝟕𝟖𝟎 𝐍)
𝑭𝟏 (𝟓𝟎𝟎 𝐍)
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Composantes des forces :
840
𝑇𝑥 = −𝑇. 𝑐𝑜𝑠(𝛼)= − 725 ×
= −525 𝑁
1160
𝑇 ൞
800
𝑇𝑦 = 𝑇. 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 725 ×
= 500 𝑁
1160
𝐹Ԧ1
3
𝐹1𝑥 = −𝐹1 . 𝑐𝑜𝑠(𝛽)= − 500 × = −300 𝑁
5
4
𝐹1𝑦 = −𝐹1 . 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = − 500 × = −400 𝑁
5
𝐹Ԧ2
12
𝐹2𝑥 = 𝐹2 . 𝑐𝑜𝑠 𝛾 = 780 ×
= 720 𝑁
13
5
𝐹2𝑦 = −𝐹2 . 𝑠𝑖𝑛 𝛾 = − 780 ×
= −300 𝑁
13
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Résultante des forces :
𝑹 = 𝑻 + 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐
𝑅𝑥 = 𝑇𝑥 + 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥
𝑅𝑥 = −525 − 300 + 720 = −105 𝑁
𝑹𝒙
θ
𝑅𝑦 = 𝑇𝑦 + 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦
𝑅𝑦 = 500 − 400 − 300 = −200 𝑁
𝑹
- Grandeur de 𝑹 :
𝑅=
𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2
𝑹𝒚
→ 𝑅=
(−105)2 +(−200)2 = 226 𝑁
- Direction de 𝑹 :
tan 𝜃 =
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𝑅𝑦
𝑅𝑥
→
200
−1
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛
105
= 62,3° (3ième quadrant)
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7- Équilibre d’un corps rigide
Un corps rigide est en équilibre dans le plan si la résultante
des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle.
𝑹 = σ𝑭 = 𝟎
Dans un système de coordonnées cartésiennes, on aura :
𝑹𝒙 = σ 𝑭𝒙 = 𝟎
𝑹𝒚 = σ 𝑭𝒚 = 𝟎
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8- Résolution des problèmes d’équilibre
Étapes pour la résolutions des problèmes d’équilibre :
1) Choisir l’objet à étudier : système ;
2) Dessiner le diagramme du corps libre (DCL) du système :
ensemble des forces extérieures qui agissent sur le
système ;
3) Choisir un système de coordonnées x et y et le dessiner ;
4) Écrire les équations d’équilibre ;
5) Résoudre le système d’équations pour déterminer les
inconnues.
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Exemple 3
Problème résolu 2-6
1,5m
4m
150,53N
401,49N (600-198,51)
4,27m
198,51N
400N
347,27N
400^2=198,51^2+x^2
X = 150,53N
401,49N
---------- = ---------1,5 m
4m
408,44N
600N
Fx=0
Fx= 347,27 - 150,53+Ft
Ft=-196,74 N
Fx=401,49N + 198,51N - 600N
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Fx=0N
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